Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του \,x η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου \,1/\ln x

[Επεξεργασία] Θεώρημα

Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών \,\pi(x) που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του x, x\in\R_+:

\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.

Ισχύει:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},

που σημαίνει ότι η \,\pi(x) και η \frac{x}{\ln x} έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{{x}/{\ln x}}=1.

[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση

Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)
Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)

Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):

Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},

που μπορεί να γραφεί και ως:

Li(x)=\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2x}{(\ln x)^3}+\cdots.

Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει \,\pi(x)\sim Li(x). Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}}),

όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος απο αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση

\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\ln x),

που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.