Τριγωνομετρία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την επίλυση τριγώνου, δηλαδή με τον προσδιορισμό άγνωστων στοιχείων του τριγώνου, αν κάποια άλλα στοιχεία του είναι ήδη γνωστά.

Πίνακας περιεχομένων

[Επεξεργασία] Επίπεδη τριγωνομετρία

Σχήμα 1
Σχήμα 1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 1, ορίζουμε τους εξής τριγωνομετρικούς αριθμούς:

\sin\omega = \frac{\mathrm{A}\Gamma}{\Beta\Gamma}
\cos\omega = \frac{\mathrm{A}\Beta}{\Beta\Gamma}
\tan\omega = \frac{\mathrm{A}\Gamma}{\mathrm{A}\Beta}

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε γωνία ω μπορούμε να την θέσουμε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, και από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, να έχουμε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα:

\sin\omega = \frac{y}{\rho}
\cos\omega = \frac{x}{\rho}
\tan\omega = \frac{y}{x}

[Επεξεργασία] Ιδιότητες

Σχήμα 2
Σχήμα 2

Για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ισχύουν τα παρακάτω:

  • -1\leq\sin\omega\leq 1 και -1\leq\cos\omega\leq 1
  • \sin\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right) = \cos\omega και \cos\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right) = \sin\omega
  • \sin(\pi-\omega) = \sin\omega \,, \cos(\pi-\omega) = -\cos\omega \, και \tan(\pi-\omega) = -\tan\omega \,
  • \tan\omega=\frac{\sin\omega}{\cos\omega}
  • \sin^2\omega + \cos^2\omega = 1 \,
  • Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των ημιτόνων:

\frac{\alpha}{\sin\mathrm{A}} = \frac{\beta}{\sin\Beta} = \frac{\gamma}{\sin\Gamma}

όπου α, β και γ είναι οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες Α, Β και Γ αντίστοιχα.

  • Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι νόμοι των συνημιτόνων:
\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos\mathrm{A} \,
\beta^2=\gamma^2+\alpha^2-2\gamma\alpha\cos\Beta \,
\gamma^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\cos\Gamma \,

Μια και \cos\frac{\pi}{2}=0, ο νόμος του συνημιτόνου για την ορθή γωνία ορθογώνιου τριγώνου, όπως στο Σχήμα 1, δίνει το πυθαγόρειο θεώρημα:

\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \,

[Επεξεργασία] Σφαιρική τριγωνομετρία

Η σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί ενμέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφορά στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

[Επεξεργασία] Ιδιότητες

[Επεξεργασία] Δείτε επίσης

[Επεξεργασία] Εξωτερικές συνδέσεις