Όριο (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

[Επεξεργασία] Όριο ακολουθίας

Όριο μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών λέγεται ένας πραγματικός, τέτοιος ώστε η απόστασή του από τους όρους της ακολουθίας να γίνεται τελικά οσοδήποτε μικρή. Δηλαδή αν \{a_\nu\}_{\nu \in \N} είναι μία ακολουθία πραγματικών, τότε όριο της \, a_\nu είναι το a \in \R, αν και μόνο αν για οσοδήποτε μικρό ε > 0 και για όλα τα αρκετά μεγάλα ν ισχύει |a_\nu -a| < \varepsilon . Συμβολικά:

\lim_{\nu \to \infty}a_\nu\ = a \iff \forall \varepsilon >0 \;\; \exists n \in \N \; τέτοιο ώστε \; \forall \nu>n\; ισχύει \; |a_\nu -a| < \varepsilon.

Αν μία ακολουθία έχει όριο, τότε η ακολουθία αυτή ονομάζεται συγκλίνουσα, στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται αποκλίνουσα.

Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του \R, ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.

[Επεξεργασία] Όριο συνάρτησης

Γενικότερα για μία συνάρτηση η έννοια του ορίου μπορεί να οριστεί με βάση το όριο ακολουθίας. Δηλαδή, μία συνάρτηση f(x) έχει όριο το σημείο α, του x τείνοντος στο σημείο c, αν για οποιαδήποτε ακολουθία xν που έχει όριο το c, η ακολουθία f(xν) έχει όριο το α. Συμβολικά:

\lim_{x \to c}f(x) = a \iff \forall ακολουθία (x_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}} με \lim_{\nu\to\infty}x_\nu=c ισχύει \lim_{\nu\to\infty}f(x_\nu)=a.

O κλασσικός ορισμός του ορίου πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής: To όριο της f(x) όταν το x τείνει στο c ειναι ίσο με α, ανν για κάθε ε θετικό υπάρχει δ θετικό, τέτοιο ώστε αν το x έχει απόσταση από το c μικρότερη του δ, τότε να συνεπάγεται ότι η απόσταση του f(x) από το α είναι μικρότερη του ε. Αν δηλαδή το x ανήκει σε μια περιοχή του c, τότε το f(x) ανήκει σε μια περιοχή του α και αυτό ισχύει όσοδηποτε μικρή και αν είναι η περιοχή του α που θα διαλέξουμε. Συμβολικά:

\lim_{x \to c}f(x) = a \iff \forall \varepsilon >0\; \exists \delta>0 τέτοιο ώστε:  |x-c|< \delta \Rightarrow | f(x)-a|< \varepsilon .

Στη γενική περίπτωση συνάρτησης f:(M, d_M) \to (N, d_N) μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής:

\lim_{x \to c}f(x) = a \iff \forall \varepsilon >0\; \exists \delta>0 τέτοιο ώστε:  d_M(x,c)< \delta \Rightarrow d_N(f(x),a)< \varepsilon .