Απλή αρμονική ταλάντωση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το σύστημα ελατηρίου-μάζας αποτελεί παράδειγμα αρμονικού ταλαντωτή
Το σύστημα ελατηρίου-μάζας αποτελεί παράδειγμα αρμονικού ταλαντωτή

Απλή (γραμμική) αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη (απλή) και η απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονοειδής (αρμονική) συνάρτηση του χρόνου.

Παραδείγματα απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι το σύστημα ιδανικού ελατηρίου - μάζας και το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής, και με την προϋπόθεση και για τα δύο παραδείγματα ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες, όπως λόγω τριβών.

[Επεξεργασία] Χαρακτηριστικά μεγέθη της ταλάντωσης

Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xOx' με θέση ισορροπίας (x = 0) την αρχή του άξονα. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας, το πλάτος της ταλάντωσης A, η στιγμιαία φάση, η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης,η κυκλική συχνότητα ω, η περίοδος T και η συχνότητα f της ταλάντωσης.

Απομάκρυνση x: Είναι η αλγεβρική τιμή του διανύσματος \vec{x} από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Μονάδα στο S.I. είναι το μέτρο (m).
Πλάτος A: Είναι η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.
Στιγμιαία φάση: Είναι η γωνία η οποία καθορίζει κάθε στιγμή μέσω του ημιτόνου τη στιγμιαία τιμή της απομάκρυνσης. Μετράται σε rad.
Αρχική φάση φ0: Είναι η τιμή της στιγμιαίας φάσης την αρχή της μέτρησης του χρόνου, και συνεπώς καθορίζει την απομάκρυνση του κινητού εκείνη τη στιγμή. Έχει εύρος τιμών 0 \le \phi_0  < 2\pi.
Κυκλική συχνότητα ω: Εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της στιγμιαίας φάσης ως προς τον χρόνο, \omega = \frac{d\phi}{dt}. Συνδέεται με την περίοδο με τη σχέση \omega = \frac{2\pi}{T} και με τη συχνότητα με την σχέση ω = 2πf.
Περίοδος T: Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά. Μετράται σε δευτερόλεπτα (s) στο S.I.
Συχνότητα f: Είναι το πλήθος των επαναλήψεων που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου, δηλαδή f=\frac{N}{t}, όπου N είναι το πλήθος των επαναλήψεων και t είναι ο χρόνος. Είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το Hz ή s − 1.

[Επεξεργασία] Κινηματική της απλής αρμονικής ταλάντωσης

Η απομάκρυνση στην απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται από τον γενικό τύπο x = Asin(ωt + φ0). Στην περίπτωση που το κινητό βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την θετική φορά την χρονική στιγμή t = 0 τότε η αρχική φάση φ0 είναι μηδέν και η παραπάνω εξίσωση γίνεται x = Asin(ωt)

Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης \upsilon = \frac{dx}{dt} = \frac{d(A \sin{(\omega t + \phi_0)})}{dt} = \omega A \cos{(\omega t + \phi_0)}. Ο παράγοντας ωA συμβολίζεται με υmax και αποτελεί τη μέγιστη τιμή της ταχύτητας (πλάτος ταχύτητας) στην ταλάντωση, που αποκτάται στη θέση ισορροπίας.

Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας \alpha = \frac{d \upsilon}{dt} = \frac{d(\omega A \cos{(\omega t + \phi_0)})}{dt} = - \omega^2 A \sin{(\omega t + \phi_0)}. Ο παράγοντας ω2A συμβολίζεται με αmax και αποτελεί τη μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης (πλάτος επιτάχυνσης) στην ταλάντωση, που αποκτάται στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης. Η επιτάχυνση χρησιμοποιώντας την εξίσωση απομάκρυνσης μπορεί να γραφεί α = − ω2x.

Αποδεικνύονται επίσης οι εξής σχέσεις:  \upsilon = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} και  \alpha = \pm \omega \sqrt{\upsilon_{max}^2 - \upsilon^2}.