Συνάρτηση γάμμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

H συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς
H συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς
Απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα
Απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα

H συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο \,H(0)=\{z: Re(z)>0\} σύμφωνα με:

\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.

H συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση:

\,z\Gamma(z)=\Gamma(z+1).

Από τη σχέση αυτή και από Γ(1) = 1 προκύπτει \Gamma(n+1)=n!, n\in\N. Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού.

Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση n + 1 φορές προκύπτει:

\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}.

To δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο \,\{z: Re(z)>-n-1\} με πόλους πρώτου βαθμού στα z=-k, k=0,1,\dots,n. Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα συνεχίζεται αναλυτικά σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το \mathbb{C} με πόλους πρώτου βαθμού στα z=-n, n\in\N_0.

[Επεξεργασία] Εφαρμογές

  • Στατιστική: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται σε πολλες κατανομές, όπως η γάμμα και η βήτα.
  • Θεωρία αριθμών: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται στη συναρτηρησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα.