Ακεραία περιοχή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Έστω (R,\circ,+) μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1_R \ne 0_R. Αυτός θα καλείται ακεραία περιοχή (integral domain) αν όποτε

x \circ y=0_R όπου x,y στοιχεία του R έπεται ότι x = 0R είτε y = 0R.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

  • Το \mathbb{Z}_4 δεν είναι ακεραία περιοχή καθώς [2] \in \mathbb{Z}_4 και [2][2]=[4]=0_{\mathbb{Z}_4} όμως [2] \ne 0_{\mathbb{Z}_4}.
  • Ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι ακεραία περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη 1_R \ne 0_R στον ορισμό της ακεραίας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1R = 0R, οπότε έχουμε ότι x=x\circ 1_R=x\circ 0_R =0_R και αυτό για κάθε x \in R, οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος.
  • Ο δακτύλιος M_n(\mathbb{C}) των n\times n πινάκων με συντελεστές απο το σώμα \mathbb{C} δεν είναι ακεραία περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός.
  • Οι δακτύλιοι \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} είναι ακέραιες περιοχές.