Kompleksni broj
Izvor: Wikipedija
Kompleksni brojevi su u izrazi oblika a + bi, gdje su a i b realni brojevi, i istaknuti simbol.
Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:



U kompleksnom broju z = a + bi broj a se naziva realni dio, piše se a = Re(z), a broj b je imaginarni dio, i piše se b = Im(z).
Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd.
Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih brojeva (a,b). Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:



Par (0;1) se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i. Iz potonjih formula slijedi da je i2 = − 1. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

[uredi] Trigonometrijski oblik
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

, za a > 0 i
za a < 0; kada je a = 0 onda je
, ako je b > 0 i
, ako je b < 0. Broj ρ se naziva modul kompleksnog broja, a φ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva a,b,ρ,φ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu paralelograma.
Duljina vektora ρ je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog teorema. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: .
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i, takvog da je i2 = − 1.