Vektor

Izvor: Wikipedija

Ovo je glavno značenje pojma Vektor. Za druga značenja, pogledajte Vektor (razdvojba).

Vektor je pojam iz matematike, grane linearna algebra, koji je uveden ponajprvo da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju orijentaciju i smjer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene dvama ili više parametrima. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje orijentacijom, smjerom i intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom), a predstavlja strjelicom orijentiranom duž pravca, duljine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadanom pravcu. Poopćeni vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor se u n-dimenzionalnom prostoru opisuje sa n parametara.

Fizikalno se tumačenje vektora obično svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, obujam.

Fizikalne veličine čija vektorska vrijednost ovisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najjednostavnijem slučaju 3×3. Tenzorskim se veličinama opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini - npr. kod nekubičnih kristala. Tenzorske su veličine toplinska vodljivost, električna vodljivost, koeficijent difuzije, indeks loma itd.

Sadržaj

[uredi] Definicija

Vektor može biti definiran uređenim parom tačaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:

\overrightarrow{AB} = \left ( B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots , B_n - A_n \right ), a
\overrightarrow{BA} = \left ( A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots , A_n - B_n \right )

Vektor se može predstaviti i polaznom točkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

\overrightarrow{AB} = A + ||AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}

Ako ovdje ||AB|| zamijenimo sa l koji može biti bilo koji broj iz R, definirali smo pravac koji prolazi kroz točku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je l samo nenegativno ili samo nepozitivno, definiran je polupravac, s početkom u točki A.

Ukoliko je l neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je s prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB', tada vrijedi:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}

[uredi] Nul-vektor

Nul-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Označuje se kao nula s naznakom za vektor.

\overrightarrow{a_0} = \overrightarrow{0}, \;|\overrightarrow{a_0}| = 0

[uredi] Jedinični vektor

Jedinični je vektor vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki se ne-nul vektor a može odrediti odgovarajući jedinični vektor v iste orijentacije i smjera.

\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \; \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}

Ovaj se postupak zove normiranje vektora.

[uredi] Operacije nad vektorima

Nad vektorima se, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), \; a_i \in K, i = 1,...,n

je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definiran pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torci koordinate vektora. Na primjer, a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definiraju nad vektorima istih dimenzija.

[uredi] Intenzitet vektora

Intenzitet se vektora se u euklidskoj geometriji definira kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.

\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
|a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}

[uredi] Množenje vektora skalarom

Množenje vektora \overrightarrow{a} \in K^n nekim skalarom \alpha \in K je definirano kao množenje svake koordinate vektora tim skalarom. Ova je operacija komutativna.

\alpha \cdot \overrightarrow{a} = \alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n) = :(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).

[uredi] Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora
Zbrajanje vektora
Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora a, b \in K^n\,:

\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)
\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)

Njihovo se zbrajanje u principu definira kao zbrajanje komponenti sa istim indeksima.

+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},
c_i = a_i + b_i\,, gde je i=1,...,n\,

Pri ćemu će vektor c biti iz prostora K^n\,. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

Pri čemu -\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n).

[uredi] Skalarno množenje vektora

Slično zbrajanju, skalarno se množenje vektora definira kao broj umnoška svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj se zbroj i umnožak preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na zbrajanje je ta što je rezultat skalarnog produkta dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi umnožak k izgledao ovako:

\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K
k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, k \in K
k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}, gdje je i = 1,...,n

Ovde treba primjetiti da je skalarni produkt vektora također jednak

k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a|\cdot|b| \cdot \cos \omega,

pri čemu je o kut između a i b.

Ovo zapravo znači i:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}

To jest da su dva vektora okomiti ako im je skalarni produkt jednak nuli.

[uredi] Vektorski produkt

Još jedan tip umnoška karakterističan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski produkt. Definira se na sljedeći način:

\times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3\,

\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =
\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Jer su \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) i :\overrightarrow{k}=(0,0,1) vektori kanonske baze E3.

Kod vektorskog je produkta bitno primjetiti sljedeće osobine:

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, tj. vektorski produkt dva vektora je okomit na njih same.
|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega, gdje je :ω kut između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =  - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}), tj. vektorski produkt nije komutativan.
(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}), gdje je \alpha \in E. Tj. vektorski produkt se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

[uredi] Mješoviti produkt

Mješoviti produkt vektora je ternarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]

A po definiciji je:

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix},  :\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3

Što znači da je vrijednost mješovitog produkta tri vektora jednaka volumenu paralelepipeda kojeg oni oblikuju. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog produkta:

  • [x,y,z] = − [y,x,z]
  • [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
  • x,y,z] = α[x,y,z]
  • [x + t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

[uredi] Vidjeti također