Vektor
Izvor: Wikipedija
Vektor je pojam iz matematike, grane linearna algebra, koji je uveden ponajprvo da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju orijentaciju i smjer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari.
Vektorske veličine su veličine određene dvama ili više parametrima. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje orijentacijom, smjerom i intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom), a predstavlja strjelicom orijentiranom duž pravca, duljine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadanom pravcu. Poopćeni vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor se u n-dimenzionalnom prostoru opisuje sa n parametara.
Fizikalno se tumačenje vektora obično svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, obujam.
Fizikalne veličine čija vektorska vrijednost ovisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najjednostavnijem slučaju 3×3. Tenzorskim se veličinama opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini - npr. kod nekubičnih kristala. Tenzorske su veličine toplinska vodljivost, električna vodljivost, koeficijent difuzije, indeks loma itd.
Sadržaj |
[uredi] Definicija
Vektor može biti definiran uređenim parom tačaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:
, a
Vektor se može predstaviti i polaznom točkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
Ako ovdje ||AB|| zamijenimo sa l koji može biti bilo koji broj iz R, definirali smo pravac koji prolazi kroz točku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je l samo nenegativno ili samo nepozitivno, definiran je polupravac, s početkom u točki A.
Ukoliko je l neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je s prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB', tada vrijedi:
[uredi] Nul-vektor
Nul-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Označuje se kao nula s naznakom za vektor.
[uredi] Jedinični vektor
Jedinični je vektor vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki se ne-nul vektor a može odrediti odgovarajući jedinični vektor v iste orijentacije i smjera.
Ovaj se postupak zove normiranje vektora.
[uredi] Operacije nad vektorima
Nad vektorima se, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:
, i = 1,...,n
je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definiran pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torci koordinate vektora. Na primjer, a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga koordinata vektora itd.
Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definiraju nad vektorima istih dimenzija.
[uredi] Intenzitet vektora
Intenzitet se vektora se u euklidskoj geometriji definira kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.
[uredi] Množenje vektora skalarom
Množenje vektora nekim skalarom
je definirano kao množenje svake koordinate vektora tim skalarom. Ova je operacija komutativna.
=
= :
[uredi] Zbrajanje vektora
Uzmimo dva vektora :
Njihovo se zbrajanje u principu definira kao zbrajanje komponenti sa istim indeksima.
,
, gde je
Pri ćemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:
Pri čemu .
[uredi] Skalarno množenje vektora
Slično zbrajanju, skalarno se množenje vektora definira kao broj umnoška svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj se zbroj i umnožak preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na zbrajanje je ta što je rezultat skalarnog produkta dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi umnožak k izgledao ovako:
,
, gdje je i = 1,...,n
Ovde treba primjetiti da je skalarni produkt vektora također jednak
,
pri čemu je o kut između a i b.
Ovo zapravo znači i:
To jest da su dva vektora okomiti ako im je skalarni produkt jednak nuli.
[uredi] Vektorski produkt
Još jedan tip umnoška karakterističan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski produkt. Definira se na sljedeći način:
Jer su ,
i :
vektori kanonske baze E3.
Kod vektorskog je produkta bitno primjetiti sljedeće osobine:
, tj. vektorski produkt dva vektora je okomit na njih same.
, gdje je :ω kut između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski produkt nije komutativan.
, gdje je
. Tj. vektorski produkt se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.
[uredi] Mješoviti produkt
Mješoviti produkt vektora je ternarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa
A po definiciji je:
:
Što znači da je vrijednost mješovitog produkta tri vektora jednaka volumenu paralelepipeda kojeg oni oblikuju. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog produkta:
- [x,y,z] = − [y,x,z]
- [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
- [αx,y,z] = α[x,y,z]
- [x + t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]