Cantorov skup

Izvor: Wikipedija

Cantorov skup je skup odvojenih točaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je fraktal topološke dimenzije 0 (nula). Predstavio ga je njemački matematičar Georg Cantor 1883. godine.


Sadržaj

[uredi] Konstrukcija

Uzmimo segment pravca u intervalu [0,1] te izuzmimo srednju trećinu bez krajnjih točaka (dakle, interval <1/3,2/3>). Sa svakim od preostala dva segmenta učinimo isto i nastavimo postupak s ostatkom. Točke koje ostanu nakon beskonačnog broja iteracija čine Cantorov skup. Zanimljivo je da je Cantorov skup ono što ostane od prvobitne crte Kochove krivulje.

prvih šest iteracija Cantorovog skupa (zajedno s nultom)
prvih šest iteracija Cantorovog skupa (zajedno s nultom)








[uredi] Sadržaj Cantorovog skupa

Cantorov je skup sve što ostane nakon oduzimanja srednjih trećina, pa zbroj duljina svih segmenata možemo dobiti tako da zbrojimo duljine svih izuzetih segmenata i oduzmemo ga od duljine početne dužine. U prvoj smo iteraciji oduzeli 1/3 ukupne duljine, u drugoj još 2/9 itd. Zbroj tog geometrijskog niza je:

 \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots =  \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}} = 1.

Drugim riječima, izgleda da smo sve izbacili. Isti smo rezultat mogli dobiti i drugačije, zbrojimo li sve što smo ostavili:

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots = \left ( \frac{2}{3} \right )^{\infty} {\to} 0.

No, zaključiti da je Cantorov skup prazan nije ispravno. Dokaz tome je činjenica da smo uvijek ostavili krajnje točke skupa koji smo izbacivali. Dakle, ono što je ostalo su odvojene točke.


[uredi] Višedimenzionalni Cantorovi skupovi

Cantorova prašina
Cantorova prašina
Cantorov oblak
Cantorov oblak

Višedimenzionalni analogoni Cantorovom skupu obično se nazivaju Cantorova prašina. Postupak za dvodimenzionalni analogon je sličan: jedinični se kvadrat podijeli na 9 jednakih kvadrata od kojih se izbaci pet kvadrata koji ne sadrže vrh početnog kvadrata (izbace se kvadrati u obliku znaka +). Postupak se ponovi s ostala četiri kvadrata i tako beskonačno puta.

Trodimenzionalni se analogon naziva i Cantorov oblak. Kreće se od kocke koja se podijeli na 27 jednakih kocaka. Izostavi se 19 od njih koje ne sadrže vrhove kocke, odnosno ostavi se 8 kocaka koje sadrže dijelove triju stranica početne kocke. Postupak se ponovi s preostalim kockama.



[uredi] Vidi još