Jedinična matrica
Izvor: Wikipedija
Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.
Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:
,
gdje je:
Alternativni zapisi su:
- Eij = δij
- E = (δij)
[uredi] Osobine
[uredi] Množenje
Jedna od bitnih osobina jedinične matrice En nekog prostora Kn × n jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:
Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom Kn × n komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore Kn × m, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.
Iz ove osobine također slijedi i:
- AA − 1 = A − 1A = E
Primjer:
[uredi] Determinanta i inverz
Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.
- | E | = 1
- E = E − 1
Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:
- EE − 1 = E, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice
- E − 1EE − 1 = E − 1E, množenje slijeva sa E-1
, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E
, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe
- E − 1 = E, kraj dokaza