ფუნქციონალური ანალიზი

ვიკიპედიიდან

ფუნქციონალური ანალიზიმათემატიკის და უფრო ვიწროდ მათემატიკური ანალიზის ნაწილი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციების სივრცეებს. ისტორიულად წარმოიშვა დიფერენციალური და ინტეგრალური განტოლებების და გარდაქმნების (ტრანსფორმაციების), როგორიცაა ფურიეს გარდაქმნა, შესწავლიდან.

ყველაზე ზოგადი ობიექტები რომლებიც ფუნქციონალურ ანალიზში განიხილება არის ტოპოლოგიური ვექტორული სივრცეები. ერთერთი ძირითადი ცნებაა ნორმირებული ვექტორული სივრცე, და განსაკუთრებით ბანახის სივრცე. ბანახის სივრცის მნიშვნელოვანი შემთხვევაა ჰილბერტის სივრცე, რა შემთხვევაშიც ნორმა სკალარული ნამრავლის საშუალებით განისაზღვრება.

ბანახის სივრცის კონკრეტული მაგალითებია Lp სივრცეები. Lp–ს ელემენტებია ისეთი ლებეგის აზრით ზომადი ფუნქციები რომელთა მოდულის p-ურ ხარისხს გააჩნია სასრული ინტეგრალი.

ფუნქციონალური ანალიზიში ესევე მნიშვნელოვანია ჰილბერტის და ბანახის სივრცეებზე განმარტებული უწყვეტი წრფივი ოპერატორების გამოკვლევა. ამათ ბუნებრივად მივყავართ C*-ალგებრების და სხვა სტრუქტურების განმარტებამდე, რომლებიც თავის მხრივ ფუნქციონალურ ანალიზის მნიშვნელოვან საგანს წარმოადგენენ.

ფუნქციონალური ანალიზი სწავლობს ნორმით აღჭურვილ ვექტორულ სივრცეებს. თეორიის განვითარება დაიწყო 20 საუკუნის დასაწყისიდან, დიდი წვლილი მიუძღვით აღმოსავლეთ-ევროპელ მათემატიკოსებს.

ამჟამად ფუნქციონალური ანალიზის ორი ძირითადი მიმართულებაის კლასიფიკაცია შეიძლება როგორც: ოპერატორის თეორია (რომელიც განიხილავს ოპერატორს დამოუკიდებლად) და ოპერატორთა ალგებრის თეორია (რომელიც ოპერატორს განიხილავს სათანადო ალგებრის კონტექსტში). ამ უკანასკნელი მიმართულების აქტიური სფეროა ეწ C*-ალგებრათა შესწავლა და კლასიფიკაცია.

ფუნქციონალური ანალიზის კლასიკური შედეგებია: ღია, დახურული და შებრუნებული (open mapping, closed graph) "ფუნქციების" თეორემები; რისის წარმომადგენლობის თეორემები წრიფივი ფუნქციონალებისათვის; ამოზნექილი სივრცეებში კრაინისა და მილმანის თეორემა; ბანაჰ შტაინჰაუზის თეორემა; ფრედჰოლმის თეორია; ფუნქციონალური დიფერენციალური აღრიცხვა (functional calculus); გელფანდ - ნაიმარკის თეორია; ლომონოსოვის ლემა.

ფუნქციონალური ანალიზის კვლევა ძირითადად მიმდინარეობს ბანაჰის სივრცეებში, ხშირად უფრო სპეციალიზირებულად - ჰილბერტის სივრცეებში. კვლევის საგანია თავად ეს სივრცეები, წრფივი შეოსაზღვრული (bounded) ოპერატორები მათზე და მათი ორეული სივრცეები (dual spaces). კიდევ უფრო საგანგებო შედეგები მიღებულია C*-ალგებრაში. კლასიკური სივრცეები ხშირად განიხილება სხვადასხვა ტოპოლოგიით. სახალისოდ დათვლილია, რომ ჰილბერტის სივრცე განხილულია 17 სხვადასხვა ტოპოლოგიით, ამათგან უფრო მნიშვნელოვანია: თავდაპირველი (ნორმა), სუსტი, სუსტი*, მაკეის, სუსტი ოპერატორი, ძლიერი ოპერატორი ტოპოლოგიები.

გარდა ზემოხსენებული კლასიკური ფუნქციონალური თეორიისა 20 საუკუნის მეორე ნახევარში განვითარდა არაწრფივი ფუნქციონალური ანალიზი.

უკანასკნელ ხანებში ფუნქციონალური ანალიზის ერთ ერთ ყველაზე აქტიური სფეროა ეწ თავისუფალი ალბათობის თეორია, რომელიც შეისწავლის შემოუსაზღვრელ (unbounded) წრფივ ოპერატორებს. თავისუფალი ალბათობის კვლევას საფუძველი ფონ ნაიმანმა ჩაუყარა.

ფუნქციონალური ანალიზის შედეგება გამოიყენება მათემატიკის, ფიზიკის მრავალ სფეროში, განსაკუთრებით ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებებსა და ალბათობის თეორიაში.

[რედაქტირება] მნიშვნელოვანი თეორემები

ფუნქციონალური ანალიზის ფუნდამენტური თეორემებია:

  • ჰანი–ბანახის თეორემა
  • ღია ასახვის თეორემა
  • სპექტრალური თეორემები

[რედაქტირება] იხილეთ ასევე

  • ორადული სივრცე
  • საკუთრივი მნიშვნელობა
  • სპექტრი (მათემატიკა)
  • სტოუნ–ვაიერშტრასის თეორემა
  • შეუღლებული ოპერატორები


მათემატიკის მთავარი დარგები
ალგებრა | უმაღლესი ალგებრა | წრფივი ალგებრა | ანალიზი | ფუნქციონალური ანალიზი | კომპლექსური ანალიზი | რიცხვითი ანალიზი | დიფერენციალური განტოლებები | რიცხვთა თეორია | დისკრეტული მათემატიკა | სიმრავლეთა თეორია | ლოგიკა | კატეგორიათა თეორია | გეომეტრია | ალგებრული გეომეტრია | ტოპოლოგია | ალგებრული ტოპოლოგია | დიფერენციალური ტოპოლოგია | ალბათობის თეორია | სტატისტიკა