정규부분군
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추상대수학을 비롯한 수학의 여러 분야에서, 정규부분군(normal subgroup)은 부분군의 일종이다. 군을 정규부분군으로 나눠서 인자군을 만들 수 있다.
정규부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.
[편집] 정의
군 G의 임의의 원소 g와 부분군 N의 임의의 원소 n에 대해 gng-1가 여전히 N의 원소이면 N을 G의 정규부분군이라 한다. 즉, 이는 N이 내부자기동형사상(inner automorphism)에 대해 불변함을 말한다.이를 기호로는 다음과 같이 쓴다:
다음 조건들은 G의 부분군 N이 정규부분군이라는 것과 동치이다:
- G의 임의의 원소 g에 대해 gNg-1 ⊆ N.
- G의 임의의 원소 g에 대해 gNg-1 = N.
- G 안에서 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류가 일치함.
- G의 임의의 원소 g에 대해 gN = Ng.
- N를 G의 공액류(conjugacy class)들의 합집합으로 나타낼 수 있음.
- G상에 N을 핵(kernel)으로 갖는 준동형사상이 존재함.
여기에서 각 조건의 대수적 의미를 생각하지 않고 논리적인 의미만을 볼 경우, 조건 (1)은 조건 (2)보다 약하고, 조건 (3)은 조건 (4)보다 약함을 알 수 있다. 이런 이유에서 N이 G의 정규부분군임을 증명할 때는 주로 조건 (1)과 (3)을 사용하고, N이 정규부분군임을 아는 상태에서 추가적인 결과를 증명할 때는 주로 조건 (2)와 조건 (4)를 사용한다.
[편집] 참고자료
- I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.
- David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. xiv+658 pp. ISBN 0-13-004771-6