레비-치비타 기호

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수학텐서 미적분학에서 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)는 다음과 같이 정의된다.

\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3)\\
0  & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{matrix}
\right.

이 기호는 이탈리아 수학자 툴리오 레비-치비타를 따라 이름지어졌다. 레비-치비타 기호는 수학과 물리학의 다양한 분야에서 사용된다. 예를 들어, 선형대수학에서 두 3차원 벡터외적은 이 기호를 사용해 다음과 같이 쓸 수 있다.


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

혹은, 더 간단히 쓰면:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

위 표기는 아인슈타인 노테이션을 사용하면 훨씬 더 간단해진다.


레비-치비타 기호는 다음과 같이 고차원으로 일반화 될 수 있다.

\epsilon_{ijkl\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{if }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ is an even permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{if }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ is an odd permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
0  & \mbox{if any two labels are the same}
\end{matrix}
\right.


이와 연관된 기호로 크로네커 델타 기호가 있다.