거리공간

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집합 X의 임의의 원소 x, y, z에 대해 함수 d: X × X → R이 다음 조건을 만족할 때 d(x,y)를 x와 y사이의 거리(metric)이라 한다.

위와 같이 거리 d가 정의된 집합 X를 거리공간(metric space)라 하고, (X, d)로 나타내며, 또는 간단히 거리공간 X로 쓴다.

[편집] 거리공간의 예

  • 실수 R에서, 거리가 절대치를 이용해여, d(x,y) = | xy | 로 정의되었을 때, (R, d)는 거리공간이다.
  • Rn 에서, 거리를 d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }로 정의하면, (Rn, d)는 거리공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다.
  • Rn 에서 d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|} 을 거리로 정의하면, (Rn, d0) 는 거리공간이다.

이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 위상적으로 보면 위 예의 두가지 거리는 동일하다.

[편집] 관련 항목