오일러의 공식
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.
오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 다음이 성립한다.
여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1이 되는 허수단위, sin, cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.
에
를 대입하여,
이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.
목차 |
[편집] 역사
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 처음 증명하였고, 1748년 오일러에 의해 재발견되고 대중적으로 알려졌다.
[편집] 증명
[편집] 테일러 급수를 이용한 방법
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.
이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면
가 된다.
[편집] cis 함수
cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.
이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.