나비에-스토크스 방정식

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나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)은 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 클로드 루이 나비에와 조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였으며, NS방정식으로도 불린다.

나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 컨벤션을 사용해 쓴 것이다.

\frac{ \partial u_i }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial u_i }{ \partial x_j }
 = 
f_i -\frac{ 1 }{ \rho } \frac{ \partial p }{ \partial x_i } + \nu \frac{ \partial^2 u_i }{ \partial x_j \partial x_j }

식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의

u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성계수 이다.

위식을 벡터를 이용하여,


\frac{ \partial \boldsymbol{u} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{u} \cdot \nabla )\boldsymbol{u}
 = 
\boldsymbol{f} -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \triangle \boldsymbol{u}

로 쓸 수도 있다.

방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.