르장드르 기호

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르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 이차 나머지인지 아닌지를 나타내는 함수로서 수론에서 매우 중요한 개념이다. 이 이름은 프랑스 수학자 아드리앵 마리 르장드르의 이름을 따서 지어졌다.

[편집] 정의

홀수 소수 p와 정수 a에 대하여, 르장드르 기호

\left(\frac{a}{p}\right)

는 다음과 같이 정의된다.

르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

[편집] 성질

르장드르 기호는 유용한 성질을 많이 가지고 있다.

  1. 
\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
(르장드르 기호는 완전 곱셈 함수가 된다.)
  2. a \equiv b \pmod{p}이면 
\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  3. 
\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod p
  4. 
\left(\frac{1}{p}\right) = 1
(1은 모든 소수에 대하여 이차 나머지이다.)
  5. 
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\pmod{4} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\pmod{4}  \end{cases}
  6. 
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}  \end{cases}
  7. 
\left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\-1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12}  \end{cases}
  8. 
\left(\frac{5}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\-1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5  \end{cases}
  9. 홀수인 두 소수 pq에 대하여
\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ \frac{(p-1)(q-1)}{2} }
(이차상호법칙)

[편집] 르장드르 기호의 확장

르장드르 기호 \left(\frac{a}{p}\right)에서 p를 소수가 아닌 홀수까지 확장한 야코비 기호와 짝수까지 더 확장한 크로네커 기호가 있다.