단면 이차 모멘트

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단면 이차 모멘트(斷面二次-, Second moment of area) 또는 단면의 관성 모멘트(area moment of of inertia), 또는 간단히 관성 모멘트(moment of inertia)는 또는 처짐에 대한 저항을 예측하는데 사용되는 단면의 성질을 뜻한다. 비틀림에 대한 저항을 나타내는 극 관성 모멘트와 비슷하다.

“단면 이차 모멘트”는 각가속도를 계산하는 데 쓰이는 “관성 모멘트”(회전관성, moment of inertia)와는 다르다. 공학에서는 보통 “단면 이차 모멘트”를 “관성 모멘트”라고 부르며 기호도 I로 같게 사용한다. 어떠한 관성(가속도인지 휨인지)에 대한 것인지는 문맥에서나 단위을 확인하면 된다.

목차

[편집] 정의

I_x = \int y^2 dA
  • Ix - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
  • dA - 면적 요소
  • y - x 축에서부터 면적 요소까지의 수직 거리

[편집] 단위

단면 이차 모멘트는 국제 단위로 네제곱 미터(m4)를 사용한다. 영미 관습 단위계에서는 네제곱 인치(in.4)도 사용된다.

[편집] 예제

  • 직사각형 단면의 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트: I = \frac{bh^3}{12}
여기서, b는 단면의 폭, h는 높이이다.
  • 원형 단면의 도심을 지나는 임의의 지름에 대한 단면 이차 모멘트: I = \frac{\pi d^4}{64}
여기서 d는 단면의 지름이다.

다른 단면에 대해서는 단면 이차 모멘트 목록을 참조하세요.

[편집] 합성 단면의 단면 이차 모멘트

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

I_{xx}= \Sigma\ y^{2}A +I_{local}

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

I_{yy}= \Sigma\ x^{2}A +I_{local}
I_{xy}= \Sigma\ yxA
  • y - x 축으로부터의 거리
  • x - y 축으로부터의 거리
  • A - 해당 부분의 단면적

Ilocal은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

[편집] 평행축 정리

중립축과 평행한 임의의 축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

I_z = I_{CG}+Ad^2\,
  • Iz - z 축에 대한 단면 이차 모멘트
  • ICG - z 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
  • A - 단면의 넓이
  • d - 축 사이의 거리

[편집] 들보의 응력

들보의 오일러-베르누이 들보 방정식은 다음과 같다.

{\sigma}= \frac{M}{I_x} y
  • σ - 휨 응력
  • M - 중립축에서의 모멘트
  • y - 중립축까지의 거리
  • Ix - 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

[편집] 함께 읽기

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