시그마-대수

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수학에서 집합 X 상의 σ-대수(혹은 시그마-대수)는 X의 부분집합들을 모은 것으로, 여집합가산 합집합 연산에 대해 닫혀 있는 것을 말한다. 예를 들어, X = {a, b, c, d}일 때, Σ = {\varnothing, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}는 X 상의 σ-대수이다. σ-대수는 측도를 정의하는 데에 사용된다. 또한 해석학확률론에서도 중요하게 다뤄진다.

[편집] 정의

집합 X의 멱집합의, 공집합이 아닌 부분집합 Σ 가 다음 조건을 만족하면 시그마-대수라 한다.

  1. E가 Σ에 속하면, E의 여집합 X-E도 Σ에 속한다.
  2. Σ의 가산 합집합이 Σ에 속한다.

위 정의로부터, Σ는 X와 공집합을 갖는다는 것을 금방 유도할 수 있다. 또, 드모르간의 법칙으로부터 가산 교집합 또한 Σ에 속한다는 것도 알 수 있다.

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X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음과 같은 것들이 X의 시그마-대수가 된다.

  • X와 공집합만 포함하는 것.
  • X의 멱집합 전체.
  • X의 부분집합 중, 가산이거나 그 여집합이 가산이 부분집합 모두. (X가 무한집합이고 가산이 아닐 때, X의 멱집합과 달라진다.)

[편집] 함께 보기

  • 측도가능 함수