양자역학의 수학적 공식화

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이 글에서 다루는 양자역학의 수학적 기초양자역학을 수학적으로 엄밀하게 형식화한 것이다. 이는 무한차원 힐베르트 공간과 선형 작용소 등의 추상적 구조를 사용한다는 점에서 1900년 이전에 개발된 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 양자역학과 함께 발전해 온 순수수학의 분야인 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지운동량 등의 물리적 관측량은 더이상 위상공간 상의 함수의 값이 아닌 선형 작용소의 고유값으로 다루어진다.

브라-켓 표기법을 이용해 기술한 양자역학의 가설은 다음과 같다.

  1. 양자 역학계의 상태는 가분(separable) 복소 힐베르트 공간의 단위벡터로 표시한다. 그 벡터를 상태벡터(state vector)라고 한다.
  2. 관측가능량(observable)은 그 힐베르트 공간의 선형 에르미트연산자로 표시한다.
  3. 계가 상태 |ψ>이 있을 때, 관측가능량(observable) A의 측정으로, 고유값 a가 측정될 확률은
    |<a|ψ>|2
    이다. 식에서 |a>는 고유값 a에 해당하는 고유벡터를 나타낸다. 측정 후의 상태는 |a>가 된다.
  4. 해밀토니안이라 불리는, 계의 에너지에 대응하는 특별한 관측가능량(observable) H가 있다. 상태벡터의 시간전개는 슈뢰딩거 방정식으로 주어진다.
    i (h/2π) d/dt |ψ(t)> = H |ψ(t)>

이 수학적 틀에서 하이젠베르크불확정성원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

[\hat{A},\hat{B}]=\hat{C}
[\hat{q},\hat{p}]=i\hbar

또, 연속적이거나 이산적인 관측가능량 모두를 넣어도 좋고, 연속의 경우에는 힐베르트 공간은 함수의 제곱이 적분가능한 파동함수의 공간이다.

\langle{}\psi\mid\psi\rangle=
\sum_{a} \mid\langle{}a\mid{}\psi\rangle\mid^2+
\int{}dx\mid\langle{}x\mid{}\psi\rangle\mid^2


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