WKB 근사
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물리학에서, WKBJ 근사법 또는 WKB 근사법은 양자역학에서 파동함수를 지수함수로 계산하는 반고전(semiclassical)계산법 중 가장 잘알려진 방법이다. 이름에 붙은 알파벳은 이 계산법을 개발한 학자인 Wentzel, Kramers, Brillouin, Jeffreys의 이름에서 온 것이다.
1926년에 물리학자인 벤첼, Kramers, Brillouin의 앞글자를 따서 명명됐다. 그 이전인 1923년에 수학자인 헤롤드 제프리스가 선형 방정식과 슈뢰딩거 방정식과 같은 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법을 개발했다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 2년 후에 나왔고, 벤첼, Kramers, Brillouin은 초기의 제프리스의 업적에 대해 알지 못했다. 이런 이유로 초기 양자역학 교과서에는 이 이론이 이들의 이름의 앞글자의 여러 조합인 WBK, BWK, WKBJ, BWKJ 등으로 쓰고 있다.
[편집] 유도
1차원, 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다:
이것을 다음과 같이 다시 쓰면:
파동함수를 Φ(작용에 관련한)의 함수인 지수함수라고 하면:
Φ를 대입한 방정식은 다음과 같다:
여기서 Φ'은 Φ의 x에 대한 미분이다. 여기서 Φ'을 실함수 A와 B를 도입하여 실수부와 허수부로 나눈다:
따라서 파동함수의 진폭은 eA(x)이고 위상은 B(x)이다. 따라서 슈뢰딩거 방정식은 다음을 만족한다:
그리고 Φ의 방정식인 미분방정식의 우항이 실수이기 때문에:
다음으로 이 방정식을 풀기 위한 반고전 근사법을 취해보자.이를 위해 각 함수를 의 수열로 전개한다.
수열의 첫번째 항은 다음을 만족한다.
만약 진폭이 위상에 비해 느리게 변한다면, A0(x) = 0이되고,
이된다.
이 방정식은 고전역학, 즉 전체 에너지가 포텐셜 에너지보다 클 경우에만 타당하다. 다음 차수의 항들은 위의 방법을 반복하여 구하면, 결국 방정식은
만약 위상이 진폭에 비해 느리게 변한다면, B0(x) = 0이고,
이다. 이 방정식은 포텐셜 에너지가 전체 에너지보다 클 경우(터널링이 일어나는 경우)에만 타당하다. 다음 차수의 항들을 위의 방법을 반복하여 구하면, 결국 방정식은
분모는 E = V(x)인 고전적 회귀점(classical turning point)에서 0이 되므로 해는 발산한다. 따라서, 포텐셜 언덕과 포텐셜 우물에서 멀리 떨어진 곳에서만 타당하다. 포텐셜 언덕에서 멀리 떨어진 경우, 입자는 위상에 따라 진동하는 자유파(free wave)처럼 행동하고, 포텐셜 언덕 아래에서는, 입자의 진폭은 지수적으로 변한다.
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