세타함수

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수학에서 세타함수(theta function)는 다변수 복소함수의 일종이다. 아벨 대수다양체 및 모듈라이 공간 및 2차 형식의 연구에 중요하게 쓰이며, 솔리톤 이론에도 응용되었다. 그라스만 대수에 대해 일반화할 경우 양자장론, 특히 끈 이론과 D-막 등에도 연관된다. 세타 함수의 대표적인 예는 타원함수론에 나타난다.

[편집] 야코비 세타함수

야코비 세타함수(카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 땄음)는 z와 τ를 변수로 갖는 2변수 복소함수로, z는 임의의 복소수가 될 수 있지만 τ는 상반평면으로 제한되어 언제나 양의 허수부를 갖는다. 이는 다음과 같이 정의된다:


\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z)
= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z).

τ를 고정시키면 이는 z에 대해 1을 주기로 갖는 전해석함수의 푸리에 급수가 된다. 이로서 야코비 세타함수는 다음의 항등식을 만족시킨다:

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau).