기수
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수학에서 기수(cardinal)는 수의 일종으로 집합의 크기를 나타내기 위해 사용된다. 여기에서 크기는 간단히 말해 포함된 원소의 수를 뜻하며, 집합론의 용어로는 농도라고 한다. 유한집합의 농도는 자연수로 나타낼 수 있으나, 무한집합의 농도를 나타내기 위해서는 보다 일반적인 기수의 개념이 필요하다. 무한집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 농도를 가질 수도 있다. 그러나, 모든 무한집합이 같은 농도를 갖는 것은 아니며, 실제로는 무한집합들 사이에도 그 크기에 다양한 구분이 있다.
기수는 등으로 진행된다. 즉, 가장 작은 기수들은 0과 자연수들이며, 그 뒤에는 알레프 수들이 따른다. 임의의 서수가 알레프 수의 첨수(index)가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 서수 만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 서수들의 모임의 부분모임이다. 선택공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한기수가 있을 수도 있다.
[편집] 정의
선택공리를 가정할 경우, 집합 X의 농도는 X와 α 사이에 일대일대응이 존재하는 가장 작은 서수 α로 정의하며, 이와 같이 특정한 집합의 농도가 되는 서수를 기수라 한다. 선택공리를 가정하지 않는 경우에는 정렬순서정리를 사용할 수 없으므로 다른 정의를 만들 필요가 있다. 가장 오래된 정의는 X의 농도를 그와 일대일대응이 존재하는 모든 집합들의 집합으로 잡는 것인데, 이것은 ZFC를 비롯한 여러 공리적 집합론 체계에서는 집합이 되기에 지나치게 크다는 문제점이 있다. (유형론이나 새기초 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다.) 이를 피하기 위해 대너 스코트(Dana Scott)가 개발한 방법으로, 집합 X의 농도를 이와 같은 계수를 갖는 모든 집합들의 집합으로 정의할 수 있다.
[편집] 함께 읽기
- 큰 기수
- 서수
- 칸토어의 역설