영인자
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추상대수학에서 환의 0이 아닌 원소 a가 좌 영인자(left zero divisor)라는 것은 ab = 0을 만족하는 0이 아닌 원소 b가 존재하는 경우를 말한다. 마찬가지로 ba = 0을 만족하는 0이 아닌 원소 b가 존재하는 경우 a를 우 영인자(right zero divisor)라고 하며, 좌 영인자인 동시에 우 영인자인 원소를 간단히 영인자(zero divisor)라고 한다. (가환환에서는 이 세 개념을 구분할 필요가 없다.) 0이 아니며 좌 영인자도 우 영인자도 아닌 원소를 정칙원소(regular element)라고 한다.
[편집] 예
- 정수환 Z에는 영인자가 없는 반면, Z × Z에서는 (0,1) × (1,0) = (0,0)이므로 (0,1)과 (1,0)은 영인자이다.
- 3 곱하기 4는 법 6에 대해 0과 합동이므로, 몫환 Z/6Z에서 4의 잉여류인 4 + 6Z는 영인자이다.
- 정수 계수 2행 2열의 행렬
가 영인자임은 다음의 계산을 통해 알 수 있다:
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[편집] 성질
영인자는 결코 가역원이 될 수 없다. a가 가역원이고 ab = 0이면 0 = a-10 = a^-1ab = b이기 때문이다.
0이나 1이 아닌 임의의 멱등원은 영인자이다. a가 그러한 원소이면 a2 = a일 때 a(a - 1) = (a - 1)a = 0이기 때문이다. 0이 아닌 멱영원은 당연히 영인자이다.
0과 1이 같지 않고 영인자가 존재하지 않는 가환환을 정역이라 한다.
몫환 Z/nZ에 영인자가 존재할 필요충분조건은 n이 합성수인 것이다. n이 소수일 때 이 환은 체가 되는데, 이는 정역보다 강한 조건이다.