대수적으로 닫힌 체

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수학에서, F가 대수적으로 닫혀있다는 것은, F 계수의 모든 1차 이상 1변수 다항식이 F 안에서 을 가지는 경우를 말한다.

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실수체는 대수적으로 닫혀있지 않다. 예를 들어, 다항방정식

3x2 + 1 = 0

은 계수인 3과 1이 둘 다 실수임에도 불구하고 실근을 갖지 않기 때문이다. 같은 논리로 유리수체도 대수적으로 닫혀있지 않음을 보일 수 있다. 또한, F가 원소 a1, a2, …, an으로 이루어진 유한체일 때, 다항식

(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\,

는 F 안에서 근(값이 0이 되는 점)을 갖지 않으며, 따라서 F는 대수적으로 닫혀있지 않다. 그 반면 복소수체는 대수적으로 닫혀있다는 것이 대수학의 기본정리의 결과이다. 또한, 대수적 수를 전부 모아 만든 체(주의: 대수적 수체와 구분할 것)도 대수적으로 닫혀있다.

[편집] 참고자료