위상공간 (물리학)

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열린 집합의 개념이 주어진 공간으로서의 위상공간에 대해서는 위상공간 (수학) 문서에서 다룬다. 위상공간 문서도 참고할 것.
동력학계의 위상공간.
동력학계의 위상공간.

수학물리학 등에서 위상공간(phase space)은 시스템이 가질 수 있는 모든 상태들로 이루어진 공간을 말한다. 고전역학에서 위상공간은 대체로 위치와 운동량 변수가 가질 수 있는 모든 값들로 이루어져 있다.

한 개의 입자(질점)의 상태는 위치와 운동량(또는 속도)로 정해지므로, 6차원 공간인 위상공간의 한 점(상태점)에 대응하며, 시간이 경과함에 따라 그 상태점은 한 개의 궤적을 그린다. 그리고 N개의 입자로 이루어진 계의 상태는 위상공간의 N개의 점의 분포에 대응하며, 시간이 경과함에 따른 그 분포가 변화하게 된다.

N개의 입자계의 경우에는 위에서 언급한 분포 표현이 아니라, N개 입자의 각각의 위치와 운동량(또는 속도)의 각 성분에 하나씩의 좌표를 할당하여 6N차원의 공간을 생각하며, 입자계의 상태를 이 6N차원공간의 한 점(상태점)에 대응시킬 수도 있다. 이 6N차원공간도 위상공간이라 말할 수 있다. 그리고 시간의 경과에 따라 이 상태점은 6N차원 위상공간에서 하나의 궤적을 그리게 된다.

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1차원 조화진동자 : 1차원을 움직이는 입자 하나는 2차원 위상공간에서 표현할 수 있다. 그 위의 점은 x를 위치, p를 운동량으로 놓아서, (x, p)로 나타낼 수 있다.

해밀토니안은 용수철 상수가 k일 때

 H = {1 \over {2m} } {p}^2 + {1 \over 2} k x^2

로 쓸 수 있으므로, 에너지가 일정한 조건에서 진동하는 경우 위상공간에서의 1차원 조화진동자가 그리는 자취는 타원이 된다.

양자역학에서는 불확정성의 원리에 의해 위치와 운동량을 동시에 결정할 수 없다. 따라서 양자의 상태는 위상공간의 점이 아닌 측정치의 확률분포에 대응하는 파동함수로 표현하게 된다.


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