맥스웰 방정식

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맥스웰 방정식은 전기장과 자기장의 관계를 기술하는 4개의 방정식으로 제임스 맥스웰이 처음 정리하였다. 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장을 통합하여, 빛이 전자기적 현상임을 밝혔고, 더 나아가 알베르트 아인슈타인의 유명한 상대성 이론의 토대가 되었다. 맥스웰 방정식의 간촐한 벡터 방정식 형태는 맥스웰이 처음 사용한 것이 아니라, 1884년 올리버 헤비사이드가 재 정리한 것이다. 이런 식의 형태는 물리적 대칭성을 더욱 직관적으로 드러낸다.

목차

[편집] 요약

굵은글씨로 쓰인 모든 변수는 벡터양을 나타낸다.

[편집] 일반적인 경우

이름 미분 적분
가우스의 법칙: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} =  \int_V \rho \cdot dV
자기에서의 가우스의 법칙
(자기홀극이 존재하지 않음):
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
패러데이의 유도법칙: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
암페어의 법칙
(with Maxwell's extension):
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}


아래는 각 기호들의 의미와 SI단위를 나타낸 표이다.

기호 의미 SI 단위
\mathbf{E} 전기장 볼트 / 미터
\mathbf{H} 자기장/자계강도 암페어 / 미터
\mathbf{D} 전기변위장 쿨롱 / 미터2
\mathbf{B} 자속밀도
(자기유도가 이 의미로 쓰이기도 함).
테슬러, 혹은
weber / 미터2
\ \rho \ 자유전자전하밀도,
(재료에 묶여있는 쌍극자전하 제외)
쿨롱 / 미터3
\mathbf{J} 자유전류밀도,
(편파 혹은 자화전류 제외)
암페어 / 미터2
d\mathbf{A} 미소량을 가지고 곡면S에 수직인
곡면적 A의미분벡터요소
미터2
 dV \  곡면 S에 둘러싸인 부피 V의 미분요소 미터3
 d \mathbf{l} 곡면 S의 외곽의 접선길이의 미분벡터요소(?)
differential vector element of path length tangential to contour C enclosing surface S
미터

그리고 \nabla \cdot발산 연산자(SI 단위: 1 / 미터), \nabla \times는 수렴 연산자(SI 단위: 1 / 미터)이다.

여기서는 SI 단위로 주어졌지만, 다른 단위계에서도 맥스웰 방정식은 변하지 않거나, 약간의 상수 변화만이 있을 뿐이다.

일반적으로 가장 널리 쓰이는 단위계는 SI 단위계로 전자공학과 대부분의 실용적 물리학에 사용된다. 그리고 플랑크 단위계(자연단위계라고도 한다)가 이론물리학과 양자역학, 우주론에서 쓰인다. 특수한 경우 CGS단위계가 쓰이기도 한다.

두번째 방정식은 단자극이 없다는 말과 같다. 전기장자기장이 대전된 입자에 미치는 힘은 로렌츠 힘에 따라 다음과 같이 주어진다.

\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),

 q \ 는 입자의 전하량이고  \mathbf{v} \ 는 입자의 속력이다. cgs단위계일 때는 약간 다르게 표현된다.

[편집] 방정식

[편집] 전기장과 전하밀도

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho

식에서 ρ는 전하 밀도(단위 C/m3), 그리고, \mathbf{D}는 electric displacement field (단위 C/m2)이고, 이 양은 전기장 \mathbf{E}와 관계있다.

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

여기서 다시 \mathbf{E}는 전기장(단위는 V/m), ρ는 전하밀도, ε0 (약 8.854 pF/m)은 진공의 유전율이다.

위 식과 동등한 적분형은:

\int_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_\mbox{enclosed}}{\epsilon_0}

이며, 여기서 d\mathbf{A} 는 곡면 A의 미분 면적이며, 그 지점의 접평면의 바깥쪽을 향하는 법선방향의 벡터이다. Qenclosed는 폐곡면으로 둘러쎃인 공간 안쪽의 알짜전하량이다.

적분형 식은 곡면이 공간을 완전히 감싼 경우 전체 곡면에 대한 적분을 적용하여야 성립한다. 곡면의 모양과 크기는 관계가 없으며, 이 적분형 식은 가우스 법칙으로 알려져 있다.