대수적 수체
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수학에서 대수적 수체(algebraic number field), 줄여서 수체(number field)는 유리수체 Q의 유한 확장을 말한다. 즉, 수체는 Q를 포함하는 체로서 이를 Q 상의 벡터공간으로 보았을 때의 차원이 유한한 것이다. 수체는 대수적 수론의 주요 연구 주제이다.
[편집] 정칙 표현
F가 Q상의 n차 확장체라 하자. 다른 말로 하면 F는 Q상의 n차원 벡터공간 구조를 가진 체이다. 따라서 v1, ..., vn이 F의 기저일 때, F의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 x를 곱하는 연산을 유리계수 정사각행렬 X = [aij]로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 정칙 표현(regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유다항식 등의 불변량은 x가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.
X의 고유다항식 xn + c1xn − 1 + ... + cn은 x를 0으로 갖는 일계수 다항식(monic polynomial)이다. X의 대각합은 -c1이며, 이는 x에만 의존하므로 이를 x의 함수 T(x)로 쓰고 그 값을 'x의 대각합'이라 부른다. X의 행렬식은 (−1)ncn이며, 이 역시 x에만 의존하므로 이를 N(x)로 쓰고 'x의 노름'이라 한다. a가 Q의 원소이고 x, y가 F의 원소일 때, 대각합과 노름은 다음의 성질들을 만족한다.
- T(x + y) = T(x) + T(y)
- T(a) = aT(x)
- N(xy) = N(x)N(y)
- N(ax) = anN(x)
[편집] 대수적 정수
체의 원소 x를 나타내는 행렬 X의 고유다항식이 정수 계수일 경우, x를 대수적 정수라고 한다. 이때 행렬 X는 정행렬(integral matrix) X'과 닮음이며, 대수적 정수들로 구성된 F의 기저를 선택해 모든 대수적 정수가 정행렬로 표현되도록 할 수 있다. (이와 같은 기저를 정기저(integral basis)라 한다.) 정사각 정행렬들(따라서 대수적 정수들)은 환을 이루며, 각 대수적 정수는 체 F의 원소이므로 이 환에는 영인자가 없다. 따라서 이들의 집합은 정역이 되고, 이를 OF로 쓰고 'F의 정수환'이라 한다. 이때 F는 OF의 분수체가 된다.
OF는 F 안에서 정수적으로 닫혀 있다. 이는 뇌더 환이며, 그 안의 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 이와 같은 환을 데데킨트 환 (혹은 데데킨트 정역)이라 하는데, 실제로 대수적 수체의 정수환은 데데킨트 정역의 대표적인 예이다.