등비수열

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등비수열(等比數列)은 각 항이 그 앞 항과 일정한 비를 가지는 수열이다. 이 일정한 비를 공비(共比)라고 한다.

초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

a, ar, ar^2, ar^3, \cdots

이 수열의 n번째 항은 다음과 같다.

an = arn − 1


목차

[편집]

초항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

초항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

초항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3,-3, 3, -3, 3 ...

[편집] 등비수열의 합

a1부터 an까지 더한 합인 등비급수 Sn은 다음과 같이 구할 수 있다.

S_n = a+ar^1+ar^2+ar^3+ \cdots +ar^{n-1}
= a(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})

여기에서 r의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

S_n = a\frac{(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})(r-1)}{r-1}
= a\frac{r^n-1}{r-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}

[편집] 무한등비급수

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 합으로, 다음과 같이 정리된다.

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n-1} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}

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