읽고 말하기 수열

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

읽고 말하기 수열은 다음과 같이 시작하는 수열이다. 대한민국에서는 소설 개미에서 소개되면서 유명해졌기 때문에, 개미 수열이란 이름으로 잘 알려져 있다.

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ...

이 수열은 앞의 수를 연속된 같은 수의 개수로 묶어서 읽는 방식으로 만들어진다.

  • 1을 "1개의 1"로 읽는다: 11
  • 11을 "2개의 1"로 읽는다: 21
  • 21을 "1개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 1211
  • 1211을 "1개의 1과, 1개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 111221
  • 111221을 "3개의 1과, 2개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 312211
  • 312211을 "1개의 3과, 1개의 1과, 2개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 13112221

반복 길이 부호화 알고리즘에서 이와 비슷한 원리를 이용한다.

[편집] 성질

  • 수열은 무한히 길어진다. 초기값을 1이 아닌 다른 정수로 시작해서 똑같은 알고리즘을 적용하여 만들어도 마찬가지로 무한하게 길어진다. 단 한가지 예외는 22로 시작한 수열이다. 이 수열은 22, 22, 22, ...로 길이가 더이상 늘어나지 않는다.
  • 수열에서 1, 2, 3이 아닌 수는 등장하지 않는다. 이 성질은 초기값 자체이 그 외의 숫자가 들어가거나, 초기값에 연속으로 3개 이상의 똑같은 숫자가 들어가지 않는 이상 유효하다.
  • Li를 수열의 i번째 수열의 길이라고 하면,
\frac{L_{i+1}}{L_{i}} \rightarrow \lambda
여기서 \lambda = 1.303577269\ldots 차수가 71인 대수적 수콘웨이 상수라고 부른다. 존 호튼 콘웨이가 이것을 증명했으며, 초기값이 22가 아닌 수열에 대해 같은 값으로 수렴한다.

콘웨이 상수는 다음 다항식의 유일한 양의 실수해이다.

x71x69 − 2x68x67 + 2x66 + 2x65 + x64x63x62x61x60x59 +
2x58 + 5x57 + 3x56 − 2x55 − 10x54 − 3x53 − 2x52 + 6x51 + 6x50 + x49 + 9x48 − 3x47
7x46 − 8x45 − 8x44 + 10x43 + 6x42 + 8x41 − 5x40 − 12x39 + 7x38 − 7x37 + 7x36 + x35
3x34 + 10x33 + x32 − 6x31 − 2x30 − 10x29 − 3x28 + 2x27 + 9x26 − 3x25 + 14x24 − 8x23
7x21 + 9x20 + 3x19 − 4x18 − 10x17 − 7x16 + 12x15 + 7x14 + 2x13 − 12x12 − 4x11
2x10 + 5x9 + x7 − 7x6 + 7x5 − 4x4 + 12x3 − 6x2 + 3x − 6 = 0