연속 함수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

연속 함수는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.

목차

[편집] 정의

[편집] 하이네의 정의

다음은 에두아르트 하이네의 정의이다.

실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 f:X\sub\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}가 주어져 있다고 하자. a\in X이고, {xn}가 a로 수렴하는 X의 임의의 수열이라 하자. 즉, \lim_{n \to \infty} x_n = a이다. 이 때, 만일 \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)를 만족할 때, f는 a\in X에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 a\in X에 대하여 위 조건이 만족된다면, f는 X전체에서 연속함수가 된다.

[편집] 엡실론-델타

극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 f는 c에서 연속이다.

임의의 작은 수 ε>0에 대해, 모든 c−δ<x<c+δ에 속하는 x에 대해 f(c)−ε<f(x)<f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.

다시 말해, 실수 집합의 부분집합 A와 B에 대해, f: A→B가 c∈A에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε>0에 대해 x∈B이고 |x-c|<δ이면 항상 |f(x)-f(c)|<δ를 만족하는 δ>0가 존재한다는 것이다.

엡실론-델타 정의는 오귀스탱 루이 코시가 처음으로 생각해 냈다.

[편집] 위상공간의 연속함수

이 부분의 본문은 연속함수 (위상수학)입니다.

위의 정의는 위상수학들 사이의 함수에 대해 적용되도록 일반화할 수 있다. f: X → Y가 위상공간 X에서 위상공간 Y로의 함수라 하자. 이때 임의의 열린 집합 V \subseteq Y에 대해 그 역상 f^{-1}(V)\subseteq X도 열린 집합일 경우 f를 연속함수라 한다.

[편집] 함께 보기

  • 반연속성
  • 불연속점의 분류
  • 고른 연속성
  • 절대연속성
  • 동등연속성
  • 리프쉬츠 연속성
  • 스코트 연속성
  • 정규함수
  • 유계선형작용소
  • 연속 펑터
  • 연속 확률과정