연쇄 법칙

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연쇄 법칙은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}

연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분이라 한다.

[편집] 다변수 함수

벡터 함수 \vec r(x)과 다변수 함수 f을 합성한 함수의 도함수는 f의 기울기(그래디언트)와 \vec r의 도함수의 스칼라 곱으로 나타낼 수 있다.

\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}

더 일반적으로, 벡터를 벡터로 보내는 두 함수를 합성한 함수의 도함수는 두 함수의 야코비 행렬 사이의 곱으로 나타낼 수 있다.

\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}