부분 적분

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미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 이 방법은 미분곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.

[편집] 법칙

두 미분가능한 연속 함수 f(x)와 g(x)에 대해서, 적분 구간이 a에서 b까지 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본 공리로 증명할 수 있다.

 f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx

무한적분의 경우에는 다음과 같다.

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

\int u\,dv = u v - \int v\,du

여기서, u = f(x), v = g(x)이고, du = f′(x) dx, dv = g′(x) dx이다.

[편집] 예제

다음 식을 적분한다.

\int x\cos (x) \,dx

이 때, u = x, du = dx, dv = cos(x) dx, v = sin(x)와 같이 가정하면

\int x\cos (x) \,dx = \int u \,dv
= uv - \int v \,du

가 되어,

\int x\cos (x) \,dx = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx
\int x\cos (x) \,dx = x\sin (x) + \cos (x) + C

와 같이 적분을 풀 수 있다.

이 때, C는 적분 상수이다.

다음은 특이한 경우이다.

\int e^{x} \cos (x) \,dx

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

u = cos(x), du = -sin(x)dx
dv = exdx, v = ex

이 때,

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

u = sin(x); du = cos(x)dx
v = ex; dv = exdx

그러면,

\int e^{x} \sin (x) \,dx = e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

이므로, 함께 적으면,

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) )

이고, 2로 나눠

\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2}

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, ∫ ln(x) dx 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int \ln (x) \cdot 1 \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln (x) - \int 1 \,dx
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}
\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

두 번째 예는 ∫ arctan(x) dx이다. 여기서 arctan 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int 1 \cdot \arctan (x) \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx
\int \arctan (x) \,dx = x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

임을 확인 할 수 있다.

[편집] ILATE 법칙

부분적분을 할 때는 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 udv에 각각 대입할 지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 ILATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 u에 대입한다.

I : 역 삼각함수 (Inverse trigonometric) L : 로그 함수 (Logarithmic) A : 수치 함수 (Algebraic) T : 삼각 함수 (Trigonometric) E : 지수 함수 (Exponential)

u를 대입한 후 남은 함수는 dv에 대입한다. 이 우선순위를 쉽게 외우기 위해 ILATE라는 머릿글자를 이용하는 것이 편리하다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일 수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.