계량 부호수

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미분기하학에서 계량 텐서 혹은 보다 일반적으로 비퇴화 대칭 겹선형형식(2차 형식으로 볼 수 있음)의 부호수(signature)는 계량의 양수 및 음수 고유값들의 개수(중복도를 고려함)를 말한다. 즉, 이에 대응되는 실계수 대칭행렬을 대각화한 뒤, 대각항들의 계수들 중에 양수인 것들과 음수인 것들의 개수를 센 것이다. 예를 들어 고유값들이 -1, 2, 3, 6일 경우, 이를 양수가 셋, 음수가 하나라는 뜻에서 (3,1)로 쓰기도 하고, 더 구체적으로 (-,+,+,+)로 표기하기도 한다.

양수 고유값의 개수 p와 음수 고유값의 개수 q가 둘 다 0이 아니면 이 부호수가 부정부호(indefinite)라고 한다. 리만 계량은 양의 정부호 (p,0)인 계량이며, 로렌츠 계량은 (p,1) 혹은 (1,q) 부호수를 갖는 계량이다. 특이행렬의 경우 0을 고유값으로 가질 수 있으므로 이를 포함해 (i + ,i ,i0)로도 쓴다.

[편집] 성질

[편집] 스펙트럼 정리

스펙트럼 정리에 따라, 실계수 n차 대칭행렬은 언제나 대각화 가능하며, 중복도를 고려하면 정확히 n개의 고유값을 갖는다.

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