이차상호법칙
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이차상호법칙(二次相互法則, law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수 와
가 서로에 대하여 이차 나머지인지 그렇지 않은지가 대칭적인 성질을 띠고 있다는 정리이다.
두 홀수 와
가 서로 다른 소수일 때, 이차 합동식
에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.
와
모두 4로 나눈 나머지가 3일 때 두 합동식 가운데 하나만 해가 존재하고
- 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.
이 성질은 오일러와 르장드르에 의해 추측되었으나 최초의 증명은 가우스에 의해 주어졌다. 가우스는 이 법칙에 대하여
- 정수론은 과학의 여왕인 수학이 쓰고 있는 왕관이며, 이차상호법칙은 이 왕관의 빛나는 보석이다
라는 말을 남겼다. 그는 평생에 걸쳐 8가지 다른 증명을 제시하였다.
목차 |
[편집] 예제
[편집] p=3, q=7인 경우
해 없음
[편집] p=3, q=5인 경우
해 없음
해 없음
[편집] p=5, q=11인 경우
[편집] p=5, q=13인 경우
해 없음
해 없음
[편집] p=13, q=17인 경우
[편집] 르장드르 기호를 이용한 표현
서로 다른 두 홀수 소수 와
에 대하여 르장드르 기호
는
가
에 대한 이차 나머지일 때 1, 그렇지 않을 때 − 1로 정의된다.
르장드르 기호를 이용하면 이차상호법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
우변은 와
를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 − 1이 된다.
위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 과
이 서로소일 때,
이 성립한다.
[편집] 응용
일반적으로 어떤 수가 이차 나머지인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
예를 들어, 다음 합동식
이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 의 값을 구하면 된다.
르장드르 기호의 성질에 의해,
이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해
이고
이다. 따라서
이므로, 57은 127에 대한 이차 나머지가 아니다.