라플라스 연산자

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라플라스 연산자, 라플라시안(Laplacian)은 피에르시몽 라플라스의 이름을 따온 미분 연산자로, 기호로는 Δ로 표기한다.

[편집] 정의

유클리드 공간에서의 정의는 다음과 같다.

\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla

이것은 다음의 식과 동치이다.

\Delta = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}

예를 들어, 3차원 유클리드 공간에서의 라플라시안은 다음과 같다.

\Delta = 
\frac{\partial^2} {\partial x^2}  +
\frac{\partial^2} {\partial y^2}  +
\frac{\partial^2} {\partial z^2}

라플라시안은 비유클리드 공간에서도 일반적으로 정의될 수 있다. 예를 들어, 민코프스키 공간에서의 라플라시안은 다음과 같다.

\square = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } -
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

[편집] 좌표계 변환

원통 좌표계에서는 다음과 같다.

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

구면 좌표계에서는 다음과 같다.

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.

이 식들은 x,y,zr,θ,z 또는 r,θ,φ 사이의 등식을 사용하면 얻을 수 있다.