슈뢰딩거 방정식
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슈뢰딩거 방정식 ( - 方程式, 영어 : Schrödinger equation)은 양자역학의 주어진 상태가 시간에 대해 변화하는 것을 기술한다. 오스트리아의 물리학자 에어빈 슈뢰딩거가 발견한 양자역학을 기술하는 한 방법인 파동역학의 기본 방정식이다.
해밀토니안 연산자 는 해당 고전역학계의 해밀토니안을 양자화함으로 얻을 수 있다.
는 디락(Dirac)의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이 대신 파동 함수 ψ를 써도 된다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라)
[편집] 역사적 배경과 발견
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전효과를 설명하기 위해 광자의 에너지 E와 진동수 f 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를
로 나타내었다. 1924년 루이 드브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hf는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
위 식들을 각진동수 와 파동수
및
를 이용해 표현하면,
-
및
이 된다. (여기에서 p와 k 밑에 그어진 줄은 이 둘이 공간 벡터로 나타내졌음을 뜻한다.)
1925년, 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다:
그리고 그는
이므로
이며, 마찬가지로
이므로
이고, 따라서
및 각 방향의 부분들을 더하면
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
-
(단순히 총 에너지를 운동에너지와 위치에너지의 합으로 나타낸 것이다)
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다:
[편집] 디락 방정식의 근사식
슈뢰딩거 방정식은 디락 방정식의 비상대론적인 극한으로 얻을 수 있다. 즉 빛의 속도에 비해 아주 작은 속도로 운동하는 물질에 대한 근사식이다.
[편집] 참고문헌
- E. Schrödinger, Physcal Review 28 1049 (1926)
- 월터 무어 저, 전대호 옮김, 슈뢰딩거의 삶, 사이언스북스