오일러의 공식

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z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.
z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 삼각함수지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 다음이 성립한다.

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1이 되는 허수단위, sin, cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

x\,\!\pi\,\!를 대입하여, e^{i \pi} + 1 = 0 \,\! 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

목차

[편집] 역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 처음 증명하였고, 1748년 오일러에 의해 재발견되고 대중적으로 알려졌다.

[편집] 증명

[편집] 테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

    \begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos (z) + i\sin (z) \end{align}

가 된다.

[편집] cis 함수

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\;\sin \theta

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.