시그마-대수
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수학에서 집합 X 상의 σ-대수(혹은 시그마-대수)는 X의 부분집합들을 모은 것으로, 여집합 및 가산 합집합 연산에 대해 닫혀 있는 것을 말한다. 예를 들어, X = {a, b, c, d}일 때, Σ = {, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}는 X 상의 σ-대수이다. σ-대수는 측도를 정의하는 데에 사용된다. 또한 해석학과 확률론에서도 중요하게 다뤄진다.
[편집] 정의
집합 X의 멱집합의, 공집합이 아닌 부분집합 Σ 가 다음 조건을 만족하면 시그마-대수라 한다.
- E가 Σ에 속하면, E의 여집합 X-E도 Σ에 속한다.
- Σ의 가산 합집합이 Σ에 속한다.
위 정의로부터, Σ는 X와 공집합을 갖는다는 것을 금방 유도할 수 있다. 또, 드모르간의 법칙으로부터 가산 교집합 또한 Σ에 속한다는 것도 알 수 있다.
[편집] 예
X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음과 같은 것들이 X의 시그마-대수가 된다.
- X와 공집합만 포함하는 것.
- X의 멱집합 전체.
- X의 부분집합 중, 가산이거나 그 여집합이 가산이 부분집합 모두. (X가 무한집합이고 가산이 아닐 때, X의 멱집합과 달라진다.)
[편집] 함께 보기
- 측도가능 함수