아이디얼
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수학의 환론에서 아이디얼(ideal)은 환의 (아래에 설명된) 특정한 조건을 만족하는 부분집합을 말한다. 많은 경우 일반적인 환의 아이디얼들은 정수환의 정수들이 만족하는 좋은 성질들을 물려받으며, 따라서 아이디얼의 개념은 정수론을 보다 일반적인 환에 대해 확장하기 위한 것으로 볼 수 있다.
환론에서는 소수의 개념을 확장한 소 아이디얼을 다루며, 서로소인 수의 개념을 확장해 서로소인 아이디얼을 정의하고, 이렇게 확장된 의미에서 중국인의 나머지 정리를 증명할 수 있다. 수론에서 중요한 개념인 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼에 대해 산술의 기본정리 까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)
군론에서 군을 정규부분군으로 나눠 몫군을 만드는 것과 마찬가지로, 환론에서는 환을 아이디얼로 나눠 몫환을 만들 수 있다.
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[편집] 정의
R이 환이고, (R, +)가 그 환이 가진 덧셈군 구조이며, I가 R의 부분집합으로서 (I, +)가 (R, +)의 부분군이라 하자. 이때
- I가 R의 우아이디얼(right ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 xr이 I의 원소인 경우를 말한다.
- I가 R의 좌아이디얼(left ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 rx가 I의 원소인 경우를 말한다.
즉, 우아이디얼의 원소는 우측에 곱셈을 해도 여전히 그 우아이디얼을 벗어나지 않으며, 좌아이디얼의 원소는 좌측에 곱셈을 해도 그 좌아이디얼을 벗어나지 않는다. 예를 들어, 임의의 R의 원소 p에 대해 pR은 우아이디얼이고 Rp는 좌아이디얼이다. 이들은 각각 p에 의해 생성되는 주 우아이디얼(principal right ideal) 및 주 좌아이디얼이라고 불린다.
R의 좌아이디얼은 반환(opposite ring) Ro의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. 양측 아이디얼(two-sided ideal)은 좌아이디얼인 동시에 우아이디얼인 부분집합을 말하며, 많은 경우 수식어가 없이 그냥 아이디얼이라고 하면 양측 아이디얼을 말한다. R이 가환환일 때는 좌아이디얼과 우아이디얼 및 양측 아이디얼은 전부 같은 개념이 되며, 따라서 수식어 없이 '아이디얼'이라는 표현만을 사용한다.
R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 진 아이디얼(proper ideal)이라고 한다.
[편집] 아이디얼의 종류
- 주의: 여기에서 모든 환은 가환인 것으로 한다. 비가환인 경우는 해당 문서에서 자세히 다룬다.
- 극대 아이디얼: I가 진 아이디얼일 때, I보다 큰 (즉, I를 포함하면서 I와 같지 않은) 진 아이디얼이 존재하지 않을 경우 이를 극대 아이디얼이라 한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 체가 된다.
- 소 아이디얼: I가 진 아이디얼일 때, R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소일 경우, 이를 소 아이디얼이라 한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.
[편집] 성질
- 아이디얼이 환 전체가 아닐 필요충분조건은 1을 포함하지 않는다는 것이다.
- 진 아이디얼들은 부분집합 포함관계에 따라 부분 순서가 주어지며, 여기에 초른의 보조정리를 적용하면 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함되어 있음을 보일 수 있다.
- 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 공집합이 아니다.
- 환 R은 자기 자신 상의 좌 가군으로 볼 수 있으며, 이때 R의 좌 아이디얼들은 R의 부분가군이다. 마찬가지로 R의 우 아이디얼들은 R을 우 가군으로 본 것의 부분가군이며, 양측 아이디얼들은 R을 bimodule로 본 것의 부분가군이다. R이 가환이라면 이 3가지 경우를 구별할 필요가 없다.
[편집] 함께 보기
- 중국인의 나머지 정리