대수학의 기본 정리

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 모든 n차 복소 다항식은 중근까지 세어 n개의 근을 갖는다는 정리이다.

수학적으로 쓰면, 모든 계수 ai복소수인 다항식

p(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0

이 주어질 때, (서로 다를 필요는 없는) 복소수 z_1, \cdots, z_n이 존재하여

p(z) = (z-z_1)(z-z_2)\dotsb(z-z_n)

으로 쓸 수 있다.

이 정리는 복소수체실수체와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.

수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 달랑베르(d'Alembert)와 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 가우스(Carl Friedrich Gauss)였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 증명은 순전히 대수적인 방법으로도 가능하지만, 복소해석학에 바탕을 둔 증명이 간단하다.