아이디얼류군
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
수학에서, 대수적 수체에 대해 정의되는 아이디얼류군(ideal class group), 줄여서 유군(class group)은 그 수체의 정수환에서 유일 인수분해가 실패하는 정도를 측정하는 유한 아벨군이다.
[편집] 정의 및 성질
R이 정역일 때, R의 0이 아닌 아이디얼들 사이에 다음과 같이 이항관계를 정의하자: R의 원소 a,b가 존재해서 (a)I = (b)J이면 I ~ J. (여기에서 (a)는 a로 생성되는 주 아이디얼을 뜻한다.) 이것이 동치관계임은 간단히 보일 수 있으며, 이 관계의 동치류를 R의 '아이디얼류'라 한다. 아이디얼 I의 아이디얼류를 [I]로 쓰고, [I][J] = [IJ]로 정의하면 이는 잘 정의된 가환 곱셈이 된다. 아이디얼 I에 대해 아이디얼 J가 존재해서 IJ가 주 아이디얼이면 [J]가 [I]의 역원이라 한다. 일반적으로 아이디얼류의 역원은 존재하지 않을 수 있으며, 따라서 환의 아이디얼류들의 집합은 모노이드를 이루지만, 아이디얼류의 역원은 존재하지 않을 수 있으므로 일반적으로 군이라 할 수는 없다.
그러나 R이 대수적 수체의 대수적 정수환이거나, 보다 일반적으로 데데킨트 정역인 경우에는 아이디얼류들의 집합은 아벨군이 되며, 이를 R의 아이디얼류군이라 한다. 유군이 자명군(원소가 하나 뿐인 군)일 필요충분조건은 R이 주 아이디얼 정역(PID)이라는 것이며, 따라서 유군은 R이 PID로부터 얼마나 멀리 떨어져있는지를 측정한다. (참고로, 데데킨트 정역에 대해서는 PID와 UFD(유일 인수분해 정역)가 동치이다.)
[편집] 함께 보기
- 유수 공식
- 아이디얼
- 주 아이디얼 정역
- 대수적 K-이론
- 갈루아 이론
- 페르마의 마지막 정리
- 피카드 군: 대수기하학에 나타나는 유군의 일반화