군의 작용

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수학에서는 대상의 대칭성을 대칭군으로 나타낸다. 이를 형식적으로는 군의 작용(group action)이라는 개념으로 설명하는데, 의 각 원소가 특정한 집합의 전단사함수(혹은 "대칭성")로서 "작용"하는 것이다.

[편집] 정의

G가 이고 X가 집합이라 하자. 이때 G×X에서 X로 가는 함수를 생각하여 (g,x)의 상을 g·x로 적자. 이때 다음의 두 조건

  1. 임의의 G의 원소 g,h와 X의 원소 x에 대해 (gh)·x = g·(h·x)
  2. 임의의 X의 원소 x에 대해, G의 항등원을 e로 표시하면 e·x = x

이 만족될 경우 이 함수를 G의 X에 대한 좌작용이라 하고, X를 좌 G-집합이라 하며, G가 X에 왼쪽에서 작용한다고 말한다. 마찬가지로 X×G에서 X로 가는 함수에 대해 x·(g·h) = (x·g)·h와 x·e = x가 언제나 성립할 경우 이 함수를 G의 X에 대한 우작용이라고 하며 다른 용어들도 같은 방법으로 정의한다. 좌작용과 우작용 중 어느 쪽을 기본으로 해서 이론을 전개하든 결과에는 근본적으로 차이가 없으므로, 이제부터 작용이라고 하면 좌작용을 말하는 것으로 하자.

위의 정의로부터, g가 임의의 G의 원소일 때 X의 원소 x를 g·x로 보내는 함수는 X에서 X로의 전단사함수임을 알 수 있다. 따라서 작용이라는 것을 G에서 치환군 SX로의 군 준동형사상으로 정의해도 된다.

[편집] 작용의 종류

G가 X에 작용할 때,

  • X의 임의의 원소 x,y에 대해 G의 원소 g가 존재해서 g·x = y가 성립하면 이를 추이작용(transitive action)이라 한다.
    • 여기에 더해, 이와 같은 g가 유일하다면 이를 정추이작용(sharply transitive action)이라 한다.
  • X의 임의의 서로 다른 원소들 x1, ..., xn과 임의의 서로 다른 원소들 y1, ..., yn에 대해 G의 원소 g가 존재해서 각 1 ≤ k ≤ n에 대해 g·xk = yk이면 이를 n-추이작용이라 한다.
    • 위와 마찬가지로, 이와 같은 g가 유일하다면 이를 n-정추이작용이라 한다.
  • G의 임의의 서로 다른 두 원소 g,h에 대해 X의 원소 x가 존재해서 g·x ≠ h·x이면 이를 충실한 작용(faithful action) 혹은 효과적 작용(effective action)이라 한다. 이는 G의 임의의 단위원이 아닌 원소 g에 대해 X의 원소 x가 존재해서 g·x ≠ x라는 것과 동치인 조건이다.
  • G의 임의의 서로 다른 두 원소 g,h와 X의 임의의 원소 x에 대해 g·x ≠ h·x이면 이를 자유작용(free action) 혹은 반정칙작용(semiregular action)이라 한다. 이는 G의 임의의 단위원이 아닌 원소 g와 X의 임의의 원소 x에 대해 g·x ≠ x라는 것과 동치인 조건이다.
  • 이 작용이 추이작용이며 동시에 자유작용이면 이를 정칙작용(regular action)이라 한다. 이는 위에서 정의한 정추이작용 조건과 동치이다.