작은 군의 목록
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이 글은 수학의 한 분야인 군론에 나타나는 유한군들 중에서 위수가 작은 것들을 동형류에 따라 분류한 것이다. 특정한 유한군 G가 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 G의 위수를 알아낸 뒤 아래에서 해당 위수에 속하는 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.
[편집] 용어 및 표기법
- Zn: 위수 n의 순환군. 책에 따라서는 Cn나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
- Dihn: 위수 2n의 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다.
- Sn: n차 대칭군. n개의 대상들의 치환들로 이루어진 n!개의 원소들을 포함하고 있다.
- An: n차 교대군. n개의 대상들의 짝치환들로 이루어진 n!/2개의 원소들을 포함하고 있다.
- Dicn: 위수 4n의 이중순환군.
G × H는 군 G와 H의 직적을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직적한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 G H는 반직적을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직적을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.
두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 갯수를 괄호 안에 표시한다.
[편집] 아벨군
유한 아벨군은 전부 순환군 아니면 그 직적이므로 간단히 분류할 수 있다. 아벨군 문서를 참고할 것.
위수 | 군 | 부분군 | 성질 | 마디 그래프 |
---|---|---|---|---|
1 | 자명군 = Z1 = S1 = A2 | - | 여러 가지 성질들이 자명하게 성립한다 | |
2 | Z2 = S2 = Dih1 | - | 단순군 | |
3 | Z3 = A3 | - | 단순군 | |
4 | Z4 | Z2 | ||
클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2 | Z2 (3) | 가장 작은 비순환군 | ||
5 | Z5 | - | 단순군 | |
6 | Z6 = Z3 × Z2 | Z3 , Z2 | ||
7 | Z7 | - | 단순군 | |
8 | Z8 | Z4 , Z2 | ||
Z4 ×Z2 | Z22, Z4 (2), Z2 (3) | |||
Z23 | Z22 (7) , Z2 (7) | 항등원을 제외한 나머지 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군은 직선에 대응된다 | ||
9 | Z9 | Z3 | ||
Z32 | Z3 (4) | |||
10 | Z10 = Z5 × Z2 | Z5 , Z2 | ||
11 | Z11 | - | 단순군 | |
12 | Z12 = Z4 × Z3 | Z6 , Z4 , Z3 , Z2 | ||
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 | Z6 (2), Z3, Z2 (3) | |||
13 | Z13 | - | 단순군 | |
14 | Z14 = Z7 × Z2 | Z7 , Z2 | ||
15 | Z15 = Z5 × Z3 | Z5 , Z3 | ||
16 | Z16 | Z8 , Z4 , Z2 | ||
Z24 | Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) | |||
Z4 × Z22 | Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) | |||
Z8 × Z2 | Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 | |||
Z42 | Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) |