비유클리드 기하
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비유클리드 기하란, 유클리드의 여러 공리들, 특히 "한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 하나이다" 라는 공리가 성립하지 않는 공간을 말한다. 이 분야는 거의 동시에 여러 사람이 개척을 했는데, 대표적으로 가우스,리만 등이 있다. 리만은 "구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 없다" 라고 말했으며,(타원 기하학) 가우스는 반대로 "의구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다" 라고 말했다.(쌍곡 기하학)