거듭제곱

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거듭제곱이항 연산자로, 한 숫자를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an 또는 a^n으로 표기하며, 이때 a, n지수라고 한다.

목차

[편집] 정의

자연수 n에 대해, 거듭제곱 an은 다음과 같이 정의된다.

{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

  • a^1 = a\,
  • a^n \times a^m = a^{n+m}
  • (a^n)^m = a^{n \times m}

다음과 같은 정의도 가능하다.

a^1 = a\,
a^{n+1} = a \times a^n

[편집] 성질

  • (a^b)^c = (a^c)^b = a^{bc}\,
  • {a^b}{a^c} = a^{b+c}\,
  • {a^c}{b^c} = (ab)^c\,

[편집] 다른 정의

거듭제곱은 숫자를 여러 번 곱하는 정의 말고도 여러가지 방법으로 정의할 수 있고, 이때 정의에 따라 an에서 n의 범위를 자연수보다 더 큰 범위로 생각할 수 있다.

[편집] 정수

n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.

a^n = \frac{1}{a^{-n}}

그리고 이 경우에도 a^n \times a^m = a^{n+m}이 성립하려면 a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)}이 성립해야 하고, 따라서 a0는 다음과 같이 정의한다.

a^0 = 1\,

[편집] 유리수

유리수 q에 대해 q = \frac{n}{m}라고 하면, (a^q)^m = \left({a^\frac{n}{m}}\right)^m = a^n이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.

a^\frac{n}{m} = \sqrt[m]{a^n}

[편집] 실수

실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.

또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{x}{n} \right) ^n

일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.

a^x = e^{x \ln a}\,

[편집] 복소수

x가 실수일 때, 허수단위 i를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.

e^{ix} = \cos x + i \sin x\,

이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 e^{i\pi} = -1\,가 성립한다.

이에 따라서, 복소수 z = a + bi일때 ez는 다음과 같이 구할 수 있다.

e^z = e^{a+bi} = e^a e^{bi} = e^a(\cos b + i \sin b)\,