마르코프 부등식
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확률론에서 마르코프 부등식은 확률 변수의 함수가 어떤 양수 상수 이상일 확률에 대한 상계를 제시하는 부등식이다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. (그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다)
마르코프 부등식은 다른 비슷한 부등식들과 함께 확률과 기대값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.
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[편집] 설명
측도 이론 관점에서 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (X,Σ,μ)가 측도 공간이고 f는 잴 수 있는 확장된 실수값 함수이고 t > 0이면,
특히, 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다. X가 확률 변수이고 a > 0일 때
[편집] 증명
측도 공간이 확률 공간인 경우가 간단하고 이해하기 쉬우므로 먼저 설명한다.
[편집] 특수한 경우: 확률론을 이용한 증명
어떤 사건 E에 대해서, IE를 E의 정의 확률 변수라 하자. 즉, E가 일어나면 IE = 1이고 일어나지 않으면 IE = 0이다. 따라서 사건 |X| ≥ a가 일어나면 I(|X| ≥ a) = 1이고, 사건 if |X| < a가 일어나면 I(|X| ≥ a) = 0이다. 그러면 a > 0인 a가 주어질 때,
이고,
이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
이고, 다음 식을 얻는다.
그리고 a > 0이므로, 양변을 a로 나눌 수 있다.
[편집] 일반적인 경우: 측도 이론을 이용한 증명
가측 집합 A에 대해서 1A를 A의 정의 함수라 하자. 다시 말해서 x ∈ A일 때 1A(x) = 1이고, 다른 경우에는 0이다. At가 At = {x ∈ X| |f(x)| ≥ t}로 정의되면,
따라서,
이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,
따라서 다음 식을 얻고,
t > 0이므로 양변을 t로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.