삼각 치환 적분

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

미적분학

기본 정리 | 함수 | 함수의 극한 | 연속 | 다항식의 미적분 | 중간값 정리 | 벡터 미적분학 | 텐서 미적분학

미분법

미분표 | 곱셈 법칙 | 몫의 규칙 | 연쇄법칙 | 음함수 미분법 | 테일러 정리 | Related rates

적분법

리만 합 | 적분표 | 치환 적분법 | 부분 적분법 | 삼각 치환 적분법 | 회전체 | Integration by disks | Integration by cylindrical shells | 이상적분 | 적분의 종류

삼각 치환 적분은 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법으로 식을 직접 적분하기 힘들 때 유용하다.

주로 x2a2 꼴에는 x = asinθx = acosθ로 치환하며 x2 + a2꼴에는 x = atanθ꼴 등으로 치환한다.

정적분도 같은방법으로 하면 되는데, 이때는 적분구간에 주의해야 한다.

[편집]

[편집] x2a2이 들어간 식을 적분할 때

[편집] x2 + a2이 들어간 식을 적분할 때

\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx

를 구할때,

x = atanθ

로 치환하면,

dx = asec2θdθ
x2 + a2 = a2tanθ + a2 = a2sec2θ

이므로,

\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx = \int_{}^{} {{{1}\over{a^2\sec^2\theta}} \cdot a\sec^2\theta d\theta}=\int_{}^{}{1\over a}d\theta={\theta\over a}={1\over a}\arctan {x\over a}

가 된다.

다른 언어