라그랑주 역학

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라그랑주 역학조제프 루이 라그랑주고전역학을 새롭게 공식화하여 1788년에 발표한 이론이다. 라그랑주 역학에서는 (라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값으로 정의되는) 작용을 최소화하는 경로를 찾아내는 방법으로 물체의 궤적을 구할 수 있다. 고전역학에서 라그랑지안은 운동에너지에서 위치에너지를 뺀 것이다.

이 방법을 사용하면 많은 물리 문제가 훨씬 간단해진다. 예를 들어 고리에 매달려서 돌아가는 구슬을 생각해 보자. 뉴턴 역학을 이용해 구슬의 움직임을 구하려면 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘들을 고려하기 위한 복잡한 방정식들을 다뤄야 한다. 하지만 라그랑주 역학에서는 구슬이 고리에 매달린 채로 움직일 수 있는 모든 경로들 중에서 작용을 최소화하는 것을 선택하기만 하면 된다. 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘을 고려할 필요가 없기에 방정식의 수가 줄어드는 것이다. 라그랑주 역학의 가장 큰 장점 중 하나는 계산에 벡터량이 등장하지 않는다는 것으로, 이로서 문제의 난이도가 상당히 내려간다.

[편집] 라그랑주 방정식

라그랑주 역학의 운동방정식을 '라그랑주 방정식' 혹은 '오일러-라그랑주 방정식'이라고 한다. 아래에서는 뉴턴의 운동 법칙들로부터 라그랑주 방정식을 유도하는 과정을 간략히 다룬다. 이 글에서 다루는 것과 같은 상황에서는 위치에너지를 U가 아닌 V로 표시하고 운동에너지는 K가 아닌 T로 표시한다는 것에 주의해야 한다. 보다 엄밀하고 일반적인 경우를 다루는 유도 과정에 대해서는 참고 문헌을 볼 것.

질량이 m이고 위치 벡터가 \bold{r}이며 \bold{F}의 영향을 받는 입자를 생각해 보자. 이때 위치에너지 함수를 V (\bold{r},t)로 나타내면 \bold{F} = - \bold{\nabla} V.가 된다. (여기에서 (\bold{\nabla}는 기울기연산자이다.) \bold{F}\bold{r}의 3계 이상 고계 미분과 관계가 없으며, 따라서 뉴턴의 제2법칙을 3개의 2계 상미분방정식들로 이루어진다. 따라서 입자의 움직임은 6개의 독립변수(혹은 '자유도')에 의해 완전히 결정된다. 이와 같은 독립변수의 간단한 예로 \bold{r}의 세 데카르트 좌표 및 그 시간에 대한 미분들(\{ \bold{r}_j, \dot{\bold{r}}_j | j = 1, 2, 3\})를 선택할 수 있다. (즉, 위치 (x,y,z)와 속도 (vx,vy,vz)이다.)

입자의 임의의 변위 \delta \bold{r}에 대해, 여기에 적용된 힘은 W = \bold{F} \cdot \delta \bold{r}이다. 여기에서 뉴턴의 제2법칙에 따라 \bold{F} \cdot \delta \bold{r}  =  m\ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r}를 얻는다. 일은 스칼라양이므로 이를 일반화 좌표와 일반화 속도를 이용해서 다시 쓸 수 있다. 좌변의 경우,


  \begin{matrix}
    \bold{F} \cdot \bold{\delta} \bold{r}
      & = & - \bold{\nabla} V \cdot \displaystyle\sum_i {\partial \bold{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i \\
  \end{matrix}

이며, 우변의 경우, 좌표 변환을 하면

m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r} = m \sum_{i,j} \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \delta q_j = m \sum_j \left[ \sum_i \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right] \delta q_j

가 된다. 이제 t에 대한 부분적분을 이용해서

m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right)  - \dot{r_i} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}\left(   {\partial r_i \over \partial q_j} \right)      \right] \right] \delta q_j

를 얻을 수 있고, 여기에서 {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial q_i}{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial \dot{q_i}}이므로

m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial \dot{r_i} \over \partial \dot{q_j}} \right)  - \dot{r_i}   {\partial \dot{r_i} \over \partial q_j}       \right] \right] \delta q_j

가 성립한다. 다음으로 미분의 순서를 바꾸면

m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2 \right)   \right] \right] \delta q_j

가 되고, 마지막으로 덧셈을 수행하는 순서를 바꾸면

m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r} = \sum_j \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2 \right) \right] \delta q_j

이 되는데, 이는 입자의 운동에너지 \frac{1}{2}m\dot{\bold{r}}\cdot\dot{\bold{r}}를 T로 놓으면


  m \ddot{\bold{r}} \cdot \delta \bold{r}
= \sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial T \over \partial \dot{q_i}}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

와 같다. 따라서 일의 방정식은


\sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0.

인데, 이는 임의의 일반화 변위 δqi에 대해 성립해야 하므로 각 δqi에 대해


\left[ {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

가 성립한다. 또한 V가 r와 t에만 의존하는 함수인데 r이 일반화 변수들과 t에 대한 함수이므로 V는 일반화 속도에 독립적이다:


{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{V}\over \partial{\dot{q_i}}} = 0.

이를 위의 방정식에 적용하고 L = T - V를 대입(여기에서 L이 바로 "라그랑지안"이다)하여, 드디어 각 일반화 좌표 qi에 대한 라그랑주 방정식을 얻는다:


{\partial{L}\over \partial q_i} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot{q_i}}}.

qi = ri일 경우, 즉 일반화 좌표들이 단순히 데카르트 좌표인 경우, 위의 라그랑주 방정식이 뉴턴의 제2법칙과 일치한다는 것을 간단히 확인할 수 있다.

[편집] 함께 보기

  • 제한된 삼체문제
  • 해밀턴 역학
  • 함수미분
  • 정준좌표계
  • 일반화 좌표계