사원수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
π 파이 ≈ 3.14159 26535 ...
e (상수) ≈ 2.71828 (∉ \mathbb{Q})
무한대

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - B´L - μ -
EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서 사원수 (四元數, quaternion)란 아래 조건을 만족하는 3개의 허수단위 i, j, k와 4개의 실수 x, y, z, w를 이용하여 x + yi + zj + wk 로 표기되는 수를 말한다. (하나의 허수단위와 두 실수로 이루어지는 복소수 a + bi과 연관성이 있다.)

사원수는 윌리엄 해밀턴 경이 발견하였으며, 따라서 해밀턴수라고도 부른다. 또한 사원수 전체를 이루는 집합은 보통 H, 또는 \mathbb{H}로 표기한다.

절대값이 1인 사원수를 단위사원수라고 부르며, 단위사원수를 3차원 공간상의 회전으로 생각하였을 때, 사원수의 곱은 회전합성에 해당한다. (여기서도 복소평면상의 회전과 복소수의 곱의 대응관계를 비교해 볼 수 있다.) 이 때문에 사원수는 컴퓨터 그래픽, 인공위성 자세제어 등에 이용되고 있다.

[편집] 정의

사원수 전체를 이루는 집합 H 에는 실수전체를 이루는 R 위의 {1, i, j, k} 를 기저로 하는 4차원 벡터공간으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.:

  1. 곱은 결합법칙을 만족하며, 합에 대한 분배법칙도 만족한다.
  2. i, j, k 는 각자의 제곱이 -1과 같다.:
    i 2 = j 2 = k2 = -1 。
  3. ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, ijk = jki = kij = -1 。

3번의 조건에서부터 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 그러나 0이외의 원은 곱에 대한 역원을 갖는다. 즉 4원수 전체를 이루는 집합 H비가환군이다. H사원수환이라고 부른다.


사원수 q = x + yi + zj + wk 에 대하여,

 \bar{\mathbf{q}} = x - yi - zj -wk

로 쓰는 사원수 q- 를 사원수 q켤레 혹은 켤레사원수라 부른다. 사원수 q노름 N(q) 또는 절대값 |q| 은 각기

N(\mathbf{q}) = \mathbf{q}\bar{\mathbf{q}} = x^2 + y^2 + z^2 + w^2

또는

|\mathbf{q}| = \sqrt{N(\mathbf{q})} = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}

로 정의된다.