라그랑주 역학
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라그랑주 역학은 조제프 루이 라그랑주가 고전역학을 새롭게 공식화하여 1788년에 발표한 이론이다. 라그랑주 역학에서는 (라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값으로 정의되는) 작용을 최소화하는 경로를 찾아내는 방법으로 물체의 궤적을 구할 수 있다. 고전역학에서 라그랑지안은 운동에너지에서 위치에너지를 뺀 것이다.
이 방법을 사용하면 많은 물리 문제가 훨씬 간단해진다. 예를 들어 고리에 매달려서 돌아가는 구슬을 생각해 보자. 뉴턴 역학을 이용해 구슬의 움직임을 구하려면 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘들을 고려하기 위한 복잡한 방정식들을 다뤄야 한다. 하지만 라그랑주 역학에서는 구슬이 고리에 매달린 채로 움직일 수 있는 모든 경로들 중에서 작용을 최소화하는 것을 선택하기만 하면 된다. 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘을 고려할 필요가 없기에 방정식의 수가 줄어드는 것이다. 라그랑주 역학의 가장 큰 장점 중 하나는 계산에 벡터량이 등장하지 않는다는 것으로, 이로서 문제의 난이도가 상당히 내려간다.
[편집] 라그랑주 방정식
라그랑주 역학의 운동방정식을 '라그랑주 방정식' 혹은 '오일러-라그랑주 방정식'이라고 한다. 아래에서는 뉴턴의 운동 법칙들로부터 라그랑주 방정식을 유도하는 과정을 간략히 다룬다. 이 글에서 다루는 것과 같은 상황에서는 위치에너지를 U가 아닌 V로 표시하고 운동에너지는 K가 아닌 T로 표시한다는 것에 주의해야 한다. 보다 엄밀하고 일반적인 경우를 다루는 유도 과정에 대해서는 참고 문헌을 볼 것.
질량이 m이고 위치 벡터가 이며 힘
의 영향을 받는 입자를 생각해 보자. 이때 위치에너지 함수를
로 나타내면
가 된다. (여기에서 (
는 기울기연산자이다.)
는
의 3계 이상 고계 미분과 관계가 없으며, 따라서 뉴턴의 제2법칙을 3개의 2계 상미분방정식들로 이루어진다. 따라서 입자의 움직임은 6개의 독립변수(혹은 '자유도')에 의해 완전히 결정된다. 이와 같은 독립변수의 간단한 예로
의 세 데카르트 좌표 및 그 시간에 대한 미분들(
)를 선택할 수 있다. (즉, 위치 (x,y,z)와 속도 (vx,vy,vz)이다.)
입자의 임의의 변위 에 대해, 여기에 적용된 힘은
이다. 여기에서 뉴턴의 제2법칙에 따라
를 얻는다. 일은 스칼라양이므로 이를 일반화 좌표와 일반화 속도를 이용해서 다시 쓸 수 있다. 좌변의 경우,
이며, 우변의 경우, 좌표 변환을 하면
가 된다. 이제 t에 대한 부분적분을 이용해서
를 얻을 수 있고, 여기에서 및
이므로
가 성립한다. 다음으로 미분의 순서를 바꾸면
가 되고, 마지막으로 덧셈을 수행하는 순서를 바꾸면
이 되는데, 이는 입자의 운동에너지 를 T로 놓으면
와 같다. 따라서 일의 방정식은
인데, 이는 임의의 일반화 변위 δqi에 대해 성립해야 하므로 각 δqi에 대해
가 성립한다. 또한 V가 r와 t에만 의존하는 함수인데 r이 일반화 변수들과 t에 대한 함수이므로 V는 일반화 속도에 독립적이다:
이를 위의 방정식에 적용하고 L = T - V를 대입(여기에서 L이 바로 "라그랑지안"이다)하여, 드디어 각 일반화 좌표 qi에 대한 라그랑주 방정식을 얻는다:
qi = ri일 경우, 즉 일반화 좌표들이 단순히 데카르트 좌표인 경우, 위의 라그랑주 방정식이 뉴턴의 제2법칙과 일치한다는 것을 간단히 확인할 수 있다.
[편집] 함께 보기
- 제한된 삼체문제
- 해밀턴 역학
- 함수미분
- 정준좌표계
- 일반화 좌표계