Aequationes Maxwellianae in vacuo

E Vicipaedia

Aequationes Maxwellianae in vacuo sunt basis pro theoria lucis electromagnetica in quo velocitas lucis

c = 299792458m / s

in vacuo esse praecinitur.

Index

[recensere] Forma aequationes Maxwellinae in vacuo

In vacuo densitas oneris electrici ρ = 0 et densitas currentis electricae \vec \mathbf{J} = 0 . Quo modo aequationes Maxwellianae forma vectorali (unitatibus MKSA) scriptae sunt:

(1)    \nabla \cdot \vec \mathbf{E} = 0

(2)    \nabla \cdot \vec \mathbf{B} = 0

(3)    \nabla \times \vec \mathbf{E} = -\frac{\partial\vec \mathbf{B}} {\partial t}

(4)    \nabla \times \vec\mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec \mathbf{E}} {\partial t}

ubi \vec \mathbf{B} est campus magneticus et \vec \mathbf{E} campus electricus.

[recensere] Solutio aequationium Maxwellianarum in vacuo

Notum est has aequationes habere solutionem quae undas describit velocitatem motus (sive celeritatem) c habentes, sicut a Maxwell patefactus est anno 1865.

[recensere] Solutio campo electrico

Maxwell sequentes, cum aequatio (3) supra incohamus et computamus

\nabla \times \nabla \times \vec \mathbf{E} = -\nabla \times \frac{\partial\vec \mathbf{B}} {\partial t}

quod simplificamus usando aequationes (1) et (4) et identitatem vectorialis

\nabla \times \nabla \times \vec \mathbf{E} = \nabla (\nabla \cdot \vec \mathbf{E})-\nabla^2 \vec \mathbf{E}

Sic faciendo, obtinemus aequatio differentialis undulatoria

(5)     \nabla ^2 \vec\mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec \mathbf{E}} {\partial t^2}

quae solvere possumus cum aequatione undae sinusoidis

\vec\mathbf{E} = \hat \sigma E_o sin\left( \vec k \cdot \vec x-\omega t  \right)

ubi

\vec x est positio,

t est tempus,

ω est frequentia angulosa undae,

\vec k = \frac {2 \pi} {\lambda} \hat k est vector undulatorium quod directionem propagationis undae \hat k et magnitudinem longitudinis undulatoriae λ coniunctim dat,

\hat \sigma est directio polarizationis undae (quae directione \hat k transversa est).

Velocitas undae electrica manifestum est

c = \frac{\omega}{|\vec k|} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 299\, 792\, 458 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}

[recensere] Solutio campo magnetico

Similiter, aequatione (4) supra incohante obtinamus

(6)     \nabla ^2 \vec\mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec \mathbf{B}} {\partial t^2}

quod solvamus cum

\vec\mathbf{B} = \vec \tau B_o sin\left( \vec k \cdot \vec x-\omega t  \right)

ubi

B_o = \frac {E_o} {c} est frequentia angulosa undae,

\vec x, t, c,\omega, et \vec k  sunt ut supra, et

\vec \tau = \hat k \times \hat \sigma est directio undulatoria campi magnetici, quae ex aequationibus (3) vel (4) deducimus.

[recensere] Nota Historica

Haec praeclarissima velocitas c congruit celeritate luminis in vacuo ab experimentis inventa. Omnes alia proprietas undulatoria lucis quoque solutionibus supra congruentes, ex quibus Maxwell deduxit lucem esse ex magneticis electricisque campis propagantibus factam.

[recensere] Fontes

  • John David Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley, New York, 1998).
  • David Griffiths, Introduction to Elementary Particle Physics, John Wiley & Sons, Inc. 1987 ISBN 0-471-60386-4