Leges motus quanticae

E Vicipaedia

Latinitas huius paginae inspicienda est. Vide {{latinitas}}.
Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni 1927 super electrones et photones.
Quintus Congressus Internationalis Solvaii anni 1927 super electrones et photones.

Leges motus quanticae sunt axiomata quae basem mechanicae quanticae fundant. Leges vectorem quanticum definiunt et describunt quomodo ipse ob vires externas impressas mutetur. Inter leges quanticas principales sunt tres: lex superpositionis, lex Born, et lex Schrodinger.

Index

[recensere] Lex superpositionis

Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.
Maximus Born qui significatio vectoris quantici comperit.

Lex superpositionis vectorem quanticum, rem principalem theoriae quanticae, definit. Omni actioni "A" possibili particulae adamussim unum vector quanticum |\psi_A\rangle conexum, lex superpositionis abstractiter definit vectorem quanticum generalem:

|\psi\rangle =\sum_{A} a(A) |\psi_{A} \rangle

ubi summa est super totos eventus vel actiones experimentales "A" disiiunctas possibiles atque a(A) sunt parametra numerica vectori quantico |\psi\rangle specialia.

[recensere] Lex Born

Lex Born describit quomodo vector quanticum |\psi\rangle actionem particulae definit quando ipsa instructus dimensionis offendit. Lex probabilitatem  P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right) dat ut vectorem particularem |\psi_B\rangle evenit post interactionem. Lex ascripta est:

 P\left(\psi \rightarrow \psi_B\right)=\left| \langle \psi_B| \psi\rangle \right|^2

ubi \langle \psi_B |\psi\rangle est productum interius inter vectorem finalem | \psi_B \rangle et vectorem initialem | \psi\rangle .

[recensere] Lex Schrodinger

Ervin Schrodinger qui lex Schrodinger mechanicamque undulatoriam statuit.
Ervin Schrodinger qui lex Schrodinger mechanicamque undulatoriam statuit.

Instructu dimensionis absente lex Schrodinger describit quomodo vector quanticum |\psi(t)\rangle per tempus se mutat ob externas vires impressas. In notatione bra-ket Diracis, lex Schrodinger ascripta est:


\mathrm{i}\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \hat H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle

ubi i numerus imaginarius est, t tempus, \frac{d}{dt} derivativus respecto t, \hbar constans Planckis a divisa, |\psi(t)\rangle vector quanticum, et  \hat H(t) operator Hamiltonianus. Forma vectoris quantici operatorisque Hamiltoniani ab contextu determinatur.

[recensere] Formae operatoris Hamiltoniani

Generaliter obtinemus forma operator Hamiltoniani quantici ex forma functionis Hamiltoniani classica [1] substituendo pro motu \vec \mathbf p et positione \vec \mathbf x operatores

 \hat \vec \mathbf p = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle ~\frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial \vec x}~ \langle \vec x|

et

 \hat \vec \mathbf x = \int d^3\vec{x}~ |\vec x \rangle  ~\vec \mathbf x ~\langle \vec x|

ubi  |\vec x \rangle est vector quanticum particulae cuius positio definite est \vec \mathbf x .

[recensere] Circumstantia non-relativistica

In atomis levibus [2] effecti relativistici generaliter neglegendi sunt quia velocitates electronium sunt minor quam decum velocitatis luminis. In hac circumstantia Hamiltonianus non-relativisticus obtinetur (pro una particula):

{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle \left\lbrace \frac{1}{2m}\left( 
\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \vec{x}} - e \vec \mathbf A \right) ^{2}\Psi (\vec{x},t) + U (\vec{x}) \right\rbrace \langle \vec{x}|

ubi unitatibus MKSA \vec \mathbf A est potentiale magneticum vectorale et U est energia potentialis particulae. Casu bosonis turbinis 0, U est simpliciter

Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob turbinem electronis quantificandam.
Wolfgangus Pauli qui matrices introduxit ad energiam magneticam ob turbinem electronis quantificandam.
 U (\vec{x}) = -e\varphi

ubi \varphi est potentiale electricum particulae. Casu electronis quae fermion turbinis ½ est, habemus

 U (\vec{x}) = -e\varphi - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \hat{\sigma_j} B_j(\mathbf{x})

ubi \vec \mathbf B = \nabla \times \vec \mathbf A est campus magneticus et matrices \hat{\sigma_j} Pauli, quae particulae turbinis ½ correspondent, sunt


\hat{\sigma_1} = \hat{\sigma_x} = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\hat{\sigma_2} = \hat{\sigma_y} =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\hat{\sigma_3} = \hat{\sigma_z} =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
.

[recensere] Circumstantia quasi-relativistica Fermionium

In atomis gravibus et in generale, operator Hamiltonianus relativisticus a Paulus Dirac derivatus describit particulae elementariae fermionicae sicut electrones: [3]

{\hat H} = \int d^3\vec{x}~ |\vec{x}\rangle  \left \lbrace \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[\frac {\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e\varphi(\mathbf{x}, t) \right \rbrace \langle \vec{x}|
Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.
Paulus Dirac qui notationem bra-ket comminiscit et mechanicam quanticam maxime ingreditur cum sua aequatione electroni.

ubi unitatibus MKSA \vec \mathbf A est potentiale magneticum vectorale,  \varphi potentiale electricum, et operatores αμ sunt qui satisfaciunt regulas anticommutativas:

\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} =  \alpha_\mu \alpha_\nu  + \alpha_\nu \alpha_\mu =2\delta_{\mu \nu} \cdot I \,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3.

Non possumus has regulas satisfacere si α sunt numeri simplices, sed possumus si α sunt matrices 4×4 modi vel n×n cum n \ge 4. Electio accomoda harum α est:

\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},

quas appellamus Diraci matrices. Hic formalismus asciscit nos unam solam particulam describere, quod autem verum est solum quando v \lesssim 0.9 c. Proprior lucis velocitate, ubi non est possibile solam unam particulam habere, formalismus theoriae camporum quanticae est necessarius.

[recensere] Circumstantia quasi-relativistica Bosonium

[recensere] Descriptio lucis et campi electromagnetici

[recensere] Theoria camporum quantica

[recensere] Pictura theoriae quanticae

  • Pictura Schrodinger
  • Pictura Heisenberg
  • Pictura Dirac

[recensere] Notae

  1. Ubi vocabulum 'classica' significat 'praeter mechanicam quanticam'.
  2. Exceptiones sunt Uranium et alia elementa graves.
  3. P.A.M. Dirac "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A117 pag. 610 ; P.A.M. Dirac "A Theory of Electrons and Protons", Proc. R. Soc. A126 pag. 360; P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930; Vide etiam pagina Anglice en:Dirac equation.

[recensere] Fontes

  • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1930, ISBN 0-19-852011-5.
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-124405-1.
  • Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, 1985. ISBN 978-0691024172 —Liber celeber de physica quantica campoque quantico, pro peritis novitiisque.