Likning

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Denne artikkelen er om likningar i matematikken.

Ei likning er eit matematisk uttrykk med ein eller fleire ukjende variablar. Ofte vert "x", "y" og "z" brukt som nemningar på variablane. Å løysa ei likning vil seia å finna desse ukjente variablane, gjerne under visse andre føresetnadar. Tilleggsføresetnadane kan til dømes vera at variablane skal vera reelle tal eller at dei skal oppfylla bestemte tilleggslikningar.

Døme:
Likning med ein ukjend
2x + 6 = 4x - 6
Likning med to ukjende
y = 6x + 8
y = 7x
Andregradslikning
6x2 + 7x - 90 = 0

Innhaldsliste

[endre] Å løysa likningar

Formelt kan ei likning skrivast som f(x) = g(x), der x står for ein vektor av variablar. Å løysa ei likning vil seia å finna alle moglege eksplisitte uttrykk for vektoren x. Ein standardteknikk for å få dette til er å finna ein funksjon h slik at x = h(f(x)) = h(g(x), der uttrykket til høgre er uavhengig av variablane. Som oftast vert denne funksjonen funne i løpet av fleire trinn. Ofte må me også dela oppgåva opp i fleire segment ved å nytta såkalla multifunksjonar.

[endre] Likning med ein ukjend

Tenk på likninga som ei vekt. For at likninga skal vera i balanse, må begge sidene vera like. Dette gjer du ved å gjera det same med begge sidene. Viss det står + 6, så legg du til -6 på begge sider for å flytta til andre sida.

2x + 6 = 4x - 6
Likninga
2x + 6 - 4x - 6 = 4x - 6 - 4x - 6
Samla ledda med x på venstre sida og dei reine tala på høgre sida
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6
Løysinga

Det går an å gjera det enklare:

2x + 6 = 4x - 6
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6

[endre] Likningar med to ukjende

For å løysa likningar av dette slaget, må du ha eit "likningssett", altså to definisjonar av verdien til den andre ukjende.

y = 2x + 18
y = 3x - 9

Det finst tre typiske måtar å løysa likningssettet på.

[endre] Grafisk løysing

Du kan teikna eit koordinatsystem og teikna inn funksjonane y = 2x + 18 og y = 3x - 9. Der linene møtest, finn du x og y som koordinata til skjæringspunktet. Men dette er til dels unøyaktig fordi skjæringspunktet blir funne på augemål.

[endre] Innsetjingsmetoden

Tilpass likningane slik at ein av dei ukjende er åleine på den eine sida i minst ei av likningane, sett denne verdien inn i den andre likninga, og løys resultatet som ei likning med ein ukjend:

y = 2x + 18
y = 3x - 9

2x + 18 = 3x - 9
2x - 3x = -9 - 18
-x / -1 = -27 / -1
x = 27

Så set du inn verdien 27 for x, og finn ut kor mykje y er.

y = 2x + 18
y = 2 * 27 + 18
y = 54 + 18
y = 72

Eller:

y = 3x - 9
y = 3 * 27 - 9
y = 81 - 9
y = 72

[endre] Addisjonsmetoden

Tilpass likningane slik at faktoren foran den eine ukjende er motsett (t.d. 3 og -3) i dei to likningane, addér likningane, og løys resultatet som ei likning med ein ukjend:

y = 2x + 18 | * -1,5
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-1,5y = -3x - 27
+ y = 3x - 9
-----------------------------

Sjå korleis 3x forsvinn:

-0.5y * -2 = -36 * -2
y = 72

Så snur du likningssettet:

y = 2x + 18
2x + 18 = 72
2x = 72 - 18
2x = 54
2x / 2 = 54 / 2
x = 27

Eller:

y = 3x - 9
3x - 9 = 72
3x = 72 + 9
3x = 81
3x / 3 = 81 / 3
x = 27

[endre] Andregradslikningar

Andregradslikningar er likningar der eit av ledda er i andre potens.

ax2 + bx + c = 0

Den generelle formelen for å løysa andregradslikningar er

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Teiknet ± tyder pluss eller minus.

Døme:

- 14x2 + 9x + 1000 = 0

\begin{matrix}
x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot -14 \cdot 1000}}{2 \cdot -14} \\
x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 56000}}{-28} \\
\end{matrix}

x er to forskjellige tal.


\begin{matrix}
x & = & \frac{-9 + 236,814}{-28} \\
x & = & -8,136 \\
\end{matrix}

Teiknet v(ikkje v, men eit teikn som liknar mykje) tyder eller.


\begin{matrix}
x & = & \frac{-9 - 236,814}{-28} \\
x & = & 8,779
\end{matrix}