Pi
Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
- Sjå òg bokstaven pi

Den matematiske konstanten pi (π) er eit irrasjonalt tal definert som omkrinsen til ein sirkel dividert med diameteren til sirkelen. Tilnærma verdi er 3,14159. Når diameteren til ein sirkel er 1, er omkrinsen lik pi. Pi er også kjent som Arkimedes' konstant og Ludolphs tal.
Talet er transcendent, og følgjeleg irrasjonalt. Pi har ein tendens til å dukka opp i mange fleire uttrykk, truleg som ein konsekvens av at sirkelen er tett assosiert med metrikken til dei komplekse tala; den algebraiske lukkinga av dei reelle tala.
Innhaldsliste |
[endre] Definisjon
I Euklidisk geometri vert det nytta to definisjonar av pi. Den eine er sirkelens omkrins dividert med sirkelens diameter. Når diameteren er lik 1, er omkrinsen lik pi. Den andre definisjonen er arealet av ein sirkel dividert med sirkelens radius opphøgd i annen.
[endre] Numerisk verdi
Den numeriske verdien av pis første 50 desimalar er:
- 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
Sjå Linkane nedanfor for fleire desimalar.
Sjølv om ein har kalkulert fleire milliardar desimalar av π, krev praktisk vitskap og ingeniørkunst sjeldan meir enn 10 desimalar. Viss ein reknar ut jordomkrinsen med 10 desimalar, vil svaret avvike med under 0,2 mm. Den nøyaktige verdien av π har uendeleg mange desimalar. Desimalane vil heller ikkje gjenta seg sjølv i sekvensar. Difor er π eit irrasjonalt tal, eller rettare sagt transcendent.
[endre] Kalkulering av π
π kan bli funne ved å teikne ein stor sirkel, og måle diameteren og omkrinsen, i og med at omkrisen alltid er lik π ganger diameteren.
π kan også bli kalkulert ved å bruke reine matematiske metoder. Dei fleste formlane som blir nytta inneheld mange matematiske eigeskaper, men er vanskeleg å skjøne utan ein bakgrunn i trigonometri og matematisk analyse. Nokon av dei er derimot ganske enkle, som til dømes Leibniz formell for pi.
Sjølv om den formelen er enkel å skrive og kalkulere, er det ikkje med ein gong klart kvifor han gjer π. Ein meir intuitiv måte å gjere det på er å teikne ein imaginer sirkel med radius «r» sentrert ved origon. Då vil kva som helst punkt (x,y) viss distanse er «d» frå origon og er mindre enn «r» vil innsiden av sirkelen være gitt ved pytagoras' setning.
Ved å finne ein samling punkter innanfor sirkelen gjer det mogleg for sirkelens areal å bli tilnærma. Siden arealet «A» av ein sirkes er lik π ganger radius opphøgd i annen, kan π bli kalkulert som:
[endre] Historie
Første gongen symbolet π vart brukt for den matematiske konstanten, var i William Jones si bok A New Introduction to Mathematics, gjeve ut i 1706, men symbolet vart først populært etter at Leonhard Euler tok det i bruk nokre år seinare.
Den omtrentlege verdien av π har vore kjend sidan antikken. Så tidleg som i det 19. hundreåret før vår tidsrekning nytta babylonske matematikarar tilnærminga π=25/8, ei tilnærming som gjev eit avvik på omlag 0,5%.
Den egyptiske skrivaren Ahmes skreiv den eldste kjende teksten som gjev ei tilnærming av π. Han siterer ein tekst frå mellomriket, der han bruker tilnærminga 256/81, eller 3,160.
1. Kongebok 7:23 i Bibelen gjev uttrykk for at π=3.
Arkimedes fant ut at π låg ein plass mellom 223/71 og 22/7. Snittet av desse to tala er omlag 3,19.
I år 263 rekna den kinesiske matematikaren Liu Hui π til å vera 3,141014 og foreslo 3,14 som ei god tilnærming.
I det 5. hundreåret gav den indiske matematikaren og astronomen Aryabhata tilnærminga π = 62832⁄20000 = 3.1416. Han medgav også at dette berre var ei tilnærming.
I det 5. hundreåret rekna også den kinesiske matematikaren og astronomen Zu Chongzhi π til å vera mellom 3,1415926 og 3,1415927 og gav to tilnærmingar, 355/113 og 22/7.
I det 14. hundråret rekna den indiske matematikaren og astronomen Madhava frå Sangamagrama ut verdien til π med heile 13 desimalar.
Den persiske astronomen Ghyath ad-din Jamshid Kashani (1350–1439) klarte å rekna ut dei første 9 desimalane på 60-talsystemet, noko som tilsvarer 16 desimalar: 2π = 6.2831853071795865
Seinast i år 1610 hadde den tyske matematikaren Ludolph van Ceulen gjort seg ferdig med å rekna ut dei første 35 desimalane i π. Det blir sagt at han var så stolt over dette at han fekk dei rissa inn i gravsteinen sin.
I 1789 betra den slovenske matematikaren Jurij Vega den engelske matematikaren John Machins formel frå 1706 og rekna ut dei første 140 desimalplassane av π, der dei første 126 var korrekte, og heldt den verdsrekorden fram til 1841, då Wiliam Rutherford rekna ut 208 desimaler, der 152 var korrekte.
Den engelske amatørmatematikaren William Shanks brukte over 20 år på å rekna ut 707 desimalar av π, men i 1944 fant D. F. Ferguson ut at Shanks hadde gjort ein feil ved den 528. desimalen, og at alle dei etterfølgande desimalane var galne. Innan 1947 hadde Ferguson rekna ut 808 desimaler (ved hjelp av ein mekanisk skrivebordskalkulator).
Seinare utrekingar av pi er utført ved hjelp av datamaskiner. Rådande rekord (2002) har den japanske matematikaren Yasumasa Kanada. Han rekna ut over 1,2 billionar desimalar ved hjelp av ein supercomputer med 64 nodar. Reknestykket tok over 600 timar.
[endre] Tabell over historisk utrekning av Pi
Matematikar | År | Desimalar |
Egypt, Babilon, India | 1900 - 1700 fvt. | 1 |
Arkimedes | ca. 250 fvt. | 3 |
Zu Chongzhi | ca. 480 | 7 |
Jamshid Masud Al-Kashi | ca. 1424 | 16 |
Ludolph van Ceulen | 1596 | 35 |
Jurij Vega | 1794 | 136 |
William Shanks | 1874 | 527 |
Levi B. Smith, John W. Wrench | 1949 | 1 120 |
Daniel Shanks, John W. Wrench | 1961 | 100 265 |
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura | 1982 | 16 777 206 |
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo | 1987 | 134 217 700 |
Chudnovskys | 1989 | 1 011 196 691 |
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1997 | 51 539 600 000 |
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1999 | 206 158 430 000 |
Yasumasa Kanada (ikkje stadfesta) | 2002 | 1 241 100 000 000 |
[endre] Tilnærmingar
Siden π er transedent er det ingen avgrensa definisjoner gitt ved algebraiske tal og funksjoner som kan gje ein eksakt definisjon av π. Formlar for å kalkulere π vil gje uttrykk for at prosessen forsetter i det uendelege. Uansett kor langt ein lar ein slik prosess gå vil ikkje resultatet være nøyaktig π, men jo lengre prossesen held på, jo meir nøyaktig vert resultatet.
Det er difor gitt mange tilnærmingar av π. For mange formål er 3.14, eller 22/7 nærmt nok. Ingeniørar nyttar ofte 3.1416 eller 3.14159 for meir presisjon. Tilnærmingane 22/7 og 355/113 som gir høvevis 3 og 7 riktige tal er dei enklaste tilnærmingane gitt ved brøker. 355/113 (3.14159292) er den beste tilnærminga ein får med tre eller fire tal i tellar og nemnar.
Den tidligaste tilnærminga av π er nesten heil sikkert 3. I tilfeller der det er lite behov for presisjon er det ein akseptabel erstatning.
[endre] Geometriske formlar
Konstanten π er mykje brukt i geometriske formlar, spesielt når det gjeld sirklar og sfærar.
Geometrisk form | Formel |
---|---|
Omkrinsen til ein sirkel med radius r og diameter d | ![]() |
Arealet av ein sirkel med radius r | ![]() |
Arealet av ein ellipse med semiakse a og b | ![]() |
Volumet av ein sfære med radius r og diameter d | ![]() |
Overflata av ein sfære med radius r og diameter d | ![]() |
Volumet av ein sylinder med høgde h og radius r | ![]() |
Overflata av ein sylinder med høgde h og radius r | ![]() |
Volumet av ei kjegle med høgde h og radius r | ![]() |
Overflata av ei kjegle med høgde h og radius r | ![]() |
[endre] Pugging av pi
Det å pugge desimalar av pi er for mange ein lidenskap. Den noverande rekorden er på 100.000 desimaler og er halden av Akira Haraguchi den 3. oktober 2006 [1].
Det vert nytta mange måtar for å pugge pi. Ein måte er å nytta såkalla piems det vil seie dikt (avleia frå eng. poems) der kvart ord har det same talet bokstavar som den tilsvarande desimalen i pi. Eit eksempel på eit piem er: "How I need a drink, alcoholic in nature (alternativt: of course), after the heavy lectures involving quantum mechanics". Legg merke til at det første ordet er laga av 3 bokstavar, det neste av 1, så 4 og så vidare. Eitt slikt piem er Cadaeic Cadenza [2].
Denne metoden vert ineffektiv når det kjem til å pugga store delar av pi. Ein annan metode er å gjera bruk av mønster i tala ved å assosiera visse tal til årstal og liknande.
[endre] Trivialia
14. mars vert ofte kalla pi-dagen ( "the Pi-day") på grunn av den amerikanske skrivemåten 3/14. Det passar også godt at dette er fødselsdagen til Albert Einstein.
[endre] Bakgrunnsstoff
- Desimalar
- Dei 4 fyrste millionane desimaltal i π - Åtvaring! - Filstorleiken er omlag 2 megabyte.
- Søk gjennom dei 200 fyrste millionane desimaltal i π for gjeve talrekker
- Generelt
- The Joy of Pi av David Blatner
- J J O'Connor og E F Robertson: Ei historie om pi. Mac Tutor project
- Bevis på at π er irrasjonalt.
Kategoriar: Tal | Konstantar | Pi