Equipoténcia
Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.
Somari |
[Modificar] Proprietats de l'equipoténcia
L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :
- es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)
- es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion
; alora la recipròca f − 1 es una bijeccion
)
- es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion
e una bijeccion
; alora la compausada
es una bijeccion)
Aiçò pròva que dins tot ensemble d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient
pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de
.
Per exemple, se es l'ensemble dei partidas d'un ensemble Ω, l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins
.
Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.
[Modificar] Teorèma de Cantor-Bernstein
Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :
Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions e
, alora E ≈ F.
[Modificar] Exemples e còntra-exemples
- L'ensemble
deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí
, son equipotents : l'aplicacion
es bijectiva
- Cas deis intervals de l'ensemble
dei nombres reaus.
- Sián dos reaus a, b taus que a < b, e leis intervals
,
,
- Leis intervals
e
son equipotents : l'aplicacion
es bijectiva.
- Parierament, leis intervals
e
(o encara
e
...) son equipotents.
- Leis intervals
- Leis intervals
e
son equipotents :
- l'aplicacion
es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
- l'aplicacion
es injectiva
- l'equipoténcia de
e
es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
- l'aplicacion
- Leis intervals
e
son equipotents :
l'aplicaciones bijectiva.
- En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de
quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.
- Sián dos reaus a, b taus que a < b, e leis intervals
- Estent un ensemble Ω , l'ensemble
de sei partidas es equipotent a l'ensemble
dei foncions
.
Per o provar, s'associa en tota partida A de Ω sa foncion caracteristica.
Es definida ansin : per tot element x de Ω , χA(x) = 1 see χA(x) = 0 se
.
L'aplicaciones bijectiva : se f es una foncion
e se se definís
, es clar que A es la soleta partida de Ω tala que χA = f .
- Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble
deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble
dei reaus.
Pus generalament, existís ges d'ensemble Ω que siá equipotent a l'ensemblede sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion
es jamai subrejectiva).
[Modificar] Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits
[Modificar] Ensembles equipotents a un ensemble finit
Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.
[Modificar] Ensembles equipotents a un ensemble infinit
Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).
[Modificar] Vejatz tanben
- bijeccion
- nombre cardinau
- teoria deis ensembles