Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 47468 384310 384277 2026-05-22T16:40:23Z Profev 36331 /* Mètode per aïllar */ + 384310 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar incògnites com la x i com es combinen entre ells. Les equacions són fonamental a les matemàtiques modernes i la seva utilització comença a segon d'ESO aproximadament. [[File:Balanza MPA.jpg|400px|right]] == Igualtats i equacions == Una '''igualtat'''<ref>No s'ha de confondre aquesta definició amb el nom del símbol igual, '''='''. Dir que tot el que porta el símbol d'igualtat és una igualtat confon el concepte d'equació no indica igualtat sinó que pregunta o proposa si hi ha igualtat o no, i de quina forma es produeix aquesta igualtat.</ref> és l'afirmació que dues coses són iguals; és saber que el valor a banda i banda del símbol d'igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan ha quedat clar que són iguals i no fa falta una comprovació. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions, excloent-ne d'altres, segons l'àrea de què es parla: àlgebra, aritmètica, lògica, anàlisi, geometria, etc. A continuació es deixen exemples d'alguns textos que fan servir d'altres noms similars: una igualtat, una identitat algèbrica i una equivalència aritmètica, respectivament, destacant que visualment són símbols diferents.<ref>S'han de respectar els apunts que es donen utilitzant el seu lèxic, ja que, de vegades, no és gratuït.</ref> {| |width="200"| *<math>x=2\; kg</math> |width="200"| *<math>x^2=x\cdot x</math> |width="200"| *<math>\frac{3}{15}=\frac{1}{5}</math> |} Una '''equació''' és una proposta de relació entre dues expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així, una equació estableix condicions entre dues expressions. Didàcticament i habitualment, les equacions es presenten com a simples preguntes. {| |width="200"| *<math>2\cdot x-3 = 5</math> |width="200"| *<math>x = 2\cdot a</math> |width="200"| *<math>x^2=x^3</math> |} La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors. La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix la igualtat proposada. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors una equació es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de '''x''' l'únic que cal fer és aïllar la '''x''' seguint petites receptes d'aïllament. === Mètode per aïllar === {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Què vol dir aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra cantó no pot haver-hi cap x. Exemple de x correctament aïllada: :<math>x=\frac{\;\;\frac{\sqrt{3}-1}{2}-4\;\;}{5-2^2}</math> Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent purament càlculs. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Podem aïllar una y? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Quin procediment farem per aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Cada operació té un procediment o mètode algebraic per '''desfer-la''' que per simplificar-lo en direm '''moviments''', només farem els més importants i són per recordar-los '''sempre!'''. |} ==== Moviments per sumes i restes ==== [[File:Chess in Dupont.jpg|150px|right]] {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x+a=y</math> <math>x=y-a</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x-a=y</math> <math>x=y+a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a+x=y</math> <math>x=-a+y</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>-a+x=y</math> <math>x=+a+y</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Explicació de casos" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|'''Nota''': La x també es pot moure si és necessari. |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x+a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x+a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+a\color{red}-a\color{black}=y\color{red}-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y-a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''+a''' que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''-a''': <math>x=y-a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x-a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x-a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x-a\color{red}+a\color{black}=y\color{red}+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y+a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''-a''' que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''+a''': <math>x=y+a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>a+x=y</math> ::<math>a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}-a\color{black}+a+x=\color{red}-a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=-a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=-a+y.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>-a+x=y</math> ::<math>-a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}+a\color{black}-a+x=\color{red}+a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=a+y.</math> |} Exemples: {|width="100%" |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;2+x=14</math> |- |colspan="2"|A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. ::+ x = + 14 - 2 Operant surt: :: x = 12 Ja hem acabat. |} |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x-3=14</math> |- |colspan="2"|A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. ::+ x = + 14 + 3 Operant surt: :: x = 17 Ja hem acabat. |} |- |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;-4+x=0</math> |- |colspan="2"|A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. ::+ x = + 0 + 4 Operant surt: :: x = 4 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;x+1=1</math> |- |colspan="2"|A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. ::+ x = + 1 - 1 Operant surt: :: x = 0 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;3+x-2=7</math> |- |colspan="2"|A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::+ x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: :: x = 6 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;x-3+x=x+10</math> |- |colspan="2"|A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors *El -3 passa a l'altre cantó com a +3. *El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. ::+ x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: :: x = 13 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;3x-2=2x+5</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. *El -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::3x-2x=5+2 Operant surt: :: x = 7 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>8)\;4-x+2+2x=10</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. *El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. ::x=10-4-2 Operant surt: ::x=4 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>9)\;x+5+x-4=5+x-3</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. ::x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: ::x=1 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>10)\;x-5+x-2=7-x+2x</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. ::x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: ::x=14 Ja hem acabat. |} |} ===== Exercicis ===== Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució. {| |width="200"| *<math>5+x=8</math> |width="200"| *<math>x-5=13</math> |width="200"| *<math>-3+x=7</math> |width="200"| *<math>2+x-1=5</math> |- |width="200"| *<math>-3+x+2=-8</math> |width="200"| *<math>-2+x-2=-7</math> |width="200"| *<math>x+5+x=x+8</math> |width="200"| *<math>0+x-3+2x=2x+6</math> |} ==== Moviments per multiplicacions i divisions ==== {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x\cdot a=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=y\cdot a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a\cdot x=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"| <math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=a\cdot y</math> |} '''Nota''': * Aquest moviments no fan canviar mai el signe. * No envieu a dividir '''expressions''' sense garantia que són suposadament diferent de zero. Exemples: {| |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;3\cdot x=16</math> |- |colspan="2"|A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+16}{+3}</math> és a dir <math>x =\frac{16}{3}.</math> |} |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x\cdot 10=0</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+0}{+10}</math> Operant surt <math>x =0.</math> |} |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="300px" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;\frac{x}{37}=1</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+1\cdot (+37)</math> Operant surt <math>x =37</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;\frac{x}{-2}=5</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+5 \cdot (-2)</math> Operant surt <math>x =-10</math> |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;\frac{x\cdot 2}{3}=10</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x 2 =+10 \cdot 3</math> ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+10 \cdot 3}{+2}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;\frac{x}{4}=\frac{3}{4}</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció <math>+\frac{3}{4}</math> o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+\frac{3}{4} \cdot 4</math> o millor escrit <math>+ x =+\frac{3 \cdot 4}{4}</math> Operant surt <math>x =3</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;8\cdot x = 8\cdot 15</math> |- |colspan="2"|A +8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+8 \cdot 15}{+8}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |} === Solucions d'una equació === En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre. ==== Una solució ==== Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure resolució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3x+2=8</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Resolent tenim: ::<math>3\cdot x = 8 - 2</math> ::<math>3\cdot x = 6</math> ::<math>x =\frac{6}{3}</math> Per tant <math>x =2</math> |} Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les proves" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Proves amb diferents valors de l'equació <math>3x+2=8.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: ::<math>3\cdot (2)+2=8</math> operant tenim <math>6+2=8</math> i finalment <math>8=8</math> i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: ::<math>3\cdot (0)+2=8</math> operant tenim <math>0+2=8</math> i finalment <math>2=8</math> i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: ::<math>3\cdot (4)+2=8</math> operant tenim <math>12+2=8</math> i finalment <math>14=8</math> i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: ::<math>3\cdot (-3)+2=8</math> operant tenim <math>-9+2=8</math> i finalment <math>-7=8</math> i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics. |} ==== Cap solució ==== No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com: :<math>3x+2=x+1+2x</math> ==== Tot valor és solució ==== Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com: :<math>x+5=3+x+2</math> ==== Equació de segon grau ==== Les equacions de segon grau són de la forma: :<math>ax^2+bx+c=0</math> Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero. La fórmula de resolució és la següent: :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Exemples detallats: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>3x^2+2x-5=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=3'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=-5'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}=\frac{-2 \pm 8}{6}</math> <math>=\begin{cases} \frac{-2 + 8}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\ \frac{-2 - 8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=-\frac{5}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>5x^2-6x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=5'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=-6'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{+6 \pm \sqrt{36-20}}{10}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6 \pm 4}{10}</math> <math>=\begin{cases} \frac{6 + 4}{10}=\frac{10}{10}=1\\ \\ \frac{6 - 4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=\frac{1}{5}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>x^2+x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=1'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}</math> Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) <math>x^2+2x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-1 \pm 0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}</math> Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és <math>x=-\frac{1}{2}.</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] 8nnq4buxljmu2t893imker5nimx62qr 384312 384310 2026-05-23T11:05:19Z Profev 36331 /* Mètode per aïllar */ + estètica. 384312 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar incògnites com la x i com es combinen entre ells. Les equacions són fonamental a les matemàtiques modernes i la seva utilització comença a segon d'ESO aproximadament. [[File:Balanza MPA.jpg|400px|right]] == Igualtats i equacions == Una '''igualtat'''<ref>No s'ha de confondre aquesta definició amb el nom del símbol igual, '''='''. Dir que tot el que porta el símbol d'igualtat és una igualtat confon el concepte d'equació no indica igualtat sinó que pregunta o proposa si hi ha igualtat o no, i de quina forma es produeix aquesta igualtat.</ref> és l'afirmació que dues coses són iguals; és saber que el valor a banda i banda del símbol d'igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan ha quedat clar que són iguals i no fa falta una comprovació. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions, excloent-ne d'altres, segons l'àrea de què es parla: àlgebra, aritmètica, lògica, anàlisi, geometria, etc. A continuació es deixen exemples d'alguns textos que fan servir d'altres noms similars: una igualtat, una identitat algèbrica i una equivalència aritmètica, respectivament, destacant que visualment són símbols diferents.<ref>S'han de respectar els apunts que es donen utilitzant el seu lèxic, ja que, de vegades, no és gratuït.</ref> {| |width="200"| *<math>x=2\; kg</math> |width="200"| *<math>x^2=x\cdot x</math> |width="200"| *<math>\frac{3}{15}=\frac{1}{5}</math> |} Una '''equació''' és una proposta de relació entre dues expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així, una equació estableix condicions entre dues expressions. Didàcticament i habitualment, les equacions es presenten com a simples preguntes. {| |width="200"| *<math>2\cdot x-3 = 5</math> |width="200"| *<math>x = 2\cdot a</math> |width="200"| *<math>x^2=x^3</math> |} La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors. La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix la igualtat proposada. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors una equació es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de '''x''' l'únic que cal fer és aïllar la '''x''' seguint petites receptes d'aïllament. === Mètode per aïllar === {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Què vol dir aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra banda no pot haver-hi cap x. Exemple de x correctament aïllada: :<math>x=\frac{\;\;\frac{\sqrt{3}-1}{2}-4\;\;}{5-2^2}</math> Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent únicament càlculs aritmètics. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Podem aïllar una y? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Quin procediment farem per aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Cada operació té un procediment o mètode algebraic per '''desfer-la''' que per simplificar-lo en direm '''moviments''', només farem els més importants i són per recordar-los '''sempre!'''. |} ==== Moviments per sumes i restes ==== [[File:Chess in Dupont.jpg|150px|right]] {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x+a=y</math> <math>x=y-a</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x-a=y</math> <math>x=y+a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a+x=y</math> <math>x=-a+y</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>-a+x=y</math> <math>x=+a+y</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #fdb; background:#fff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Explicació cas per cas" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|'''Nota''': La x també es pot moure si és necessari. |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x+a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x+a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+a\color{red}-a\color{black}=y\color{red}-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y-a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''+a''' que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''-a''': <math>x=y-a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x-a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x-a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x-a\color{red}+a\color{black}=y\color{red}+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y+a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''-a''' que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''+a''': <math>x=y+a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>a+x=y</math> ::<math>a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}-a\color{black}+a+x=\color{red}-a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=-a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=-a+y.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>-a+x=y</math> ::<math>-a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}+a\color{black}-a+x=\color{red}+a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=a+y.</math> |} Exemples: {|width="100%" |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;2+x=14</math> |- |colspan="2"|A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. ::+ x = + 14 - 2 Operant surt: :: x = 12 Ja hem acabat. |} |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x-3=14</math> |- |colspan="2"|A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. ::+ x = + 14 + 3 Operant surt: :: x = 17 Ja hem acabat. |} |- |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;-4+x=0</math> |- |colspan="2"|A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. ::+ x = + 0 + 4 Operant surt: :: x = 4 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;x+1=1</math> |- |colspan="2"|A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. ::+ x = + 1 - 1 Operant surt: :: x = 0 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;3+x-2=7</math> |- |colspan="2"|A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::+ x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: :: x = 6 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;x-3+x=x+10</math> |- |colspan="2"|A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors *El -3 passa a l'altre cantó com a +3. *El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. ::+ x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: :: x = 13 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;3x-2=2x+5</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. *El -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::3x-2x=5+2 Operant surt: :: x = 7 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>8)\;4-x+2+2x=10</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. *El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. ::x=10-4-2 Operant surt: ::x=4 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>9)\;x+5+x-4=5+x-3</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. ::x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: ::x=1 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>10)\;x-5+x-2=7-x+2x</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. ::x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: ::x=14 Ja hem acabat. |} |} ===== Exercicis ===== Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució. {| |width="200"| *<math>5+x=8</math> |width="200"| *<math>x-5=13</math> |width="200"| *<math>-3+x=7</math> |width="200"| *<math>2+x-1=5</math> |- |width="200"| *<math>-3+x+2=-8</math> |width="200"| *<math>-2+x-2=-7</math> |width="200"| *<math>x+5+x=x+8</math> |width="200"| *<math>0+x-3+2x=2x+6</math> |} ==== Moviments per multiplicacions i divisions ==== {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x\cdot a=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=y\cdot a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a\cdot x=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"| <math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=a\cdot y</math> |} '''Nota''': * Aquest moviments no fan canviar mai el signe. * No envieu a dividir '''expressions''' sense garantia que són suposadament diferent de zero. Exemples: {|style="border: 0px solid #77d; background:#fff" cellspacing="3" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>1)\;3\cdot x=16</math> |- |colspan="2"|A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+16}{+3}</math> és a dir <math>x =\frac{16}{3}.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>2)\;x\cdot 10=0</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+0}{+10}</math> Operant surt <math>x =0.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>3)\;\frac{x}{37}=1</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+1\cdot (+37)</math> Operant surt <math>x =37</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>4)\;\frac{x}{-2}=5</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+5 \cdot (-2)</math> Operant surt <math>x =-10</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>5)\;\frac{x\cdot 2}{3}=10</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x 2 =+10 \cdot 3</math> ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+10 \cdot 3}{+2}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>6)\;\frac{x}{4}=\frac{3}{4}</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció <math>+\frac{3}{4}</math> o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+\frac{3}{4} \cdot 4</math> o millor escrit <math>+ x =+\frac{3 \cdot 4}{4}</math> Operant surt <math>x =3</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>7)\;8\cdot x = 8\cdot 15</math> |- |colspan="2"|A +8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+8 \cdot 15}{+8}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |} === Solucions d'una equació === En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre. ==== Una solució ==== Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure resolució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3x+2=8</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Resolent tenim: ::<math>3\cdot x = 8 - 2</math> ::<math>3\cdot x = 6</math> ::<math>x =\frac{6}{3}</math> Per tant <math>x =2</math> |} Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les proves" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Proves amb diferents valors de l'equació <math>3x+2=8.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: ::<math>3\cdot (2)+2=8</math> operant tenim <math>6+2=8</math> i finalment <math>8=8</math> i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: ::<math>3\cdot (0)+2=8</math> operant tenim <math>0+2=8</math> i finalment <math>2=8</math> i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: ::<math>3\cdot (4)+2=8</math> operant tenim <math>12+2=8</math> i finalment <math>14=8</math> i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: ::<math>3\cdot (-3)+2=8</math> operant tenim <math>-9+2=8</math> i finalment <math>-7=8</math> i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics. |} ==== Cap solució ==== No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com: :<math>3x+2=x+1+2x</math> ==== Tot valor és solució ==== Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com: :<math>x+5=3+x+2</math> ==== Equació de segon grau ==== Les equacions de segon grau són de la forma: :<math>ax^2+bx+c=0</math> Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero. La fórmula de resolució és la següent: :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Exemples detallats: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>3x^2+2x-5=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=3'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=-5'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}=\frac{-2 \pm 8}{6}</math> <math>=\begin{cases} \frac{-2 + 8}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\ \frac{-2 - 8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=-\frac{5}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>5x^2-6x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=5'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=-6'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{+6 \pm \sqrt{36-20}}{10}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6 \pm 4}{10}</math> <math>=\begin{cases} \frac{6 + 4}{10}=\frac{10}{10}=1\\ \\ \frac{6 - 4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=\frac{1}{5}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>x^2+x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=1'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}</math> Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) <math>x^2+2x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-1 \pm 0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}</math> Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és <math>x=-\frac{1}{2}.</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] f93z23ae4u03igve9ldn6ccovufu3jz 384313 384312 2026-05-23T11:28:28Z Profev 36331 /* Moviments per multiplicacions i divisions */ + 384313 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar incògnites com la x i com es combinen entre ells. Les equacions són fonamental a les matemàtiques modernes i la seva utilització comença a segon d'ESO aproximadament. [[File:Balanza MPA.jpg|400px|right]] == Igualtats i equacions == Una '''igualtat'''<ref>No s'ha de confondre aquesta definició amb el nom del símbol igual, '''='''. Dir que tot el que porta el símbol d'igualtat és una igualtat confon el concepte d'equació no indica igualtat sinó que pregunta o proposa si hi ha igualtat o no, i de quina forma es produeix aquesta igualtat.</ref> és l'afirmació que dues coses són iguals; és saber que el valor a banda i banda del símbol d'igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan ha quedat clar que són iguals i no fa falta una comprovació. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions, excloent-ne d'altres, segons l'àrea de què es parla: àlgebra, aritmètica, lògica, anàlisi, geometria, etc. A continuació es deixen exemples d'alguns textos que fan servir d'altres noms similars: una igualtat, una identitat algèbrica i una equivalència aritmètica, respectivament, destacant que visualment són símbols diferents.<ref>S'han de respectar els apunts que es donen utilitzant el seu lèxic, ja que, de vegades, no és gratuït.</ref> {| |width="200"| *<math>x=2\; kg</math> |width="200"| *<math>x^2=x\cdot x</math> |width="200"| *<math>\frac{3}{15}=\frac{1}{5}</math> |} Una '''equació''' és una proposta de relació entre dues expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així, una equació estableix condicions entre dues expressions. Didàcticament i habitualment, les equacions es presenten com a simples preguntes. {| |width="200"| *<math>2\cdot x-3 = 5</math> |width="200"| *<math>x = 2\cdot a</math> |width="200"| *<math>x^2=x^3</math> |} La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors. La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix la igualtat proposada. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors una equació es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de '''x''' l'únic que cal fer és aïllar la '''x''' seguint petites receptes d'aïllament. === Mètode per aïllar === {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Què vol dir aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra banda no pot haver-hi cap x. Exemple de x correctament aïllada: :<math>x=\frac{\;\;\frac{\sqrt{3}-1}{2}-4\;\;}{5-2^2}</math> Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent únicament càlculs aritmètics. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Podem aïllar una y? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Quin procediment farem per aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Cada operació té un procediment o mètode algebraic per '''desfer-la''' que per simplificar-lo en direm '''moviments''', només farem els més importants i són per recordar-los '''sempre!'''. |} ==== Moviments per sumes i restes ==== [[File:Chess in Dupont.jpg|150px|right]] {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x+a=y</math> <math>x=y-a</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x-a=y</math> <math>x=y+a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a+x=y</math> <math>x=-a+y</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>-a+x=y</math> <math>x=+a+y</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #fdb; background:#fff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Explicació cas per cas" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|'''Nota''': La x també es pot moure si és necessari. |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x+a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x+a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+a\color{red}-a\color{black}=y\color{red}-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y-a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''+a''' que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''-a''': <math>x=y-a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x-a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x-a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x-a\color{red}+a\color{black}=y\color{red}+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y+a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''-a''' que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''+a''': <math>x=y+a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>a+x=y</math> ::<math>a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}-a\color{black}+a+x=\color{red}-a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=-a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=-a+y.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>-a+x=y</math> ::<math>-a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}+a\color{black}-a+x=\color{red}+a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=a+y.</math> |} Exemples: {|width="100%" |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;2+x=14</math> |- |colspan="2"|A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. ::+ x = + 14 - 2 Operant surt: :: x = 12 Ja hem acabat. |} |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x-3=14</math> |- |colspan="2"|A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. ::+ x = + 14 + 3 Operant surt: :: x = 17 Ja hem acabat. |} |- |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;-4+x=0</math> |- |colspan="2"|A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. ::+ x = + 0 + 4 Operant surt: :: x = 4 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;x+1=1</math> |- |colspan="2"|A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. ::+ x = + 1 - 1 Operant surt: :: x = 0 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;3+x-2=7</math> |- |colspan="2"|A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::+ x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: :: x = 6 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;x-3+x=x+10</math> |- |colspan="2"|A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors *El -3 passa a l'altre cantó com a +3. *El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. ::+ x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: :: x = 13 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;3x-2=2x+5</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. *El -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::3x-2x=5+2 Operant surt: :: x = 7 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>8)\;4-x+2+2x=10</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. *El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. ::x=10-4-2 Operant surt: ::x=4 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>9)\;x+5+x-4=5+x-3</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. ::x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: ::x=1 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>10)\;x-5+x-2=7-x+2x</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. ::x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: ::x=14 Ja hem acabat. |} |} ===== Exercicis ===== Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució. {| |width="200"| *<math>5+x=8</math> |width="200"| *<math>x-5=13</math> |width="200"| *<math>-3+x=7</math> |width="200"| *<math>2+x-1=5</math> |- |width="200"| *<math>-3+x+2=-8</math> |width="200"| *<math>-2+x-2=-7</math> |width="200"| *<math>x+5+x=x+8</math> |width="200"| *<math>0+x-3+2x=2x+6</math> |} ==== Moviments per multiplicacions i divisions ==== {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x\cdot a=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=y\cdot a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a\cdot x=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"| <math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=a\cdot y</math> |} '''Nota''': * Aquest moviments no fan canviar mai el signe, només el traslladen. * No envieu a dividir '''expressions''' sense garantia que són suposadament diferent de zero. Exemples: {|style="border: 0px solid #77d; background:#fff" cellspacing="3" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>1)\;3\cdot x=16</math> |- |colspan="2"|A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+16}{+3}</math> és a dir <math>x =\frac{16}{3}.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>2)\;x\cdot 10=0</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+0}{+10}</math> Operant surt <math>x =0.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>3)\;\frac{x}{37}=1</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+1\cdot (+37)</math> Operant surt <math>x =37</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>4)\;\frac{x}{-2}=5</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+5 \cdot (-2)</math> Operant surt <math>x =-10</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>5)\;\frac{x\cdot 2}{3}=10</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x 2 =+10 \cdot 3</math> ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+10 \cdot 3}{+2}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>6)\;\frac{x}{4}=\frac{3}{4}</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció <math>+\frac{3}{4}</math> o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+\frac{3}{4} \cdot 4</math> o millor escrit <math>+ x =+\frac{3 \cdot 4}{4}</math> Operant surt <math>x =3</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>7)\;8\cdot x = 8\cdot 15</math> |- |colspan="2"|+8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+8 \cdot 15}{+8}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>8)\;-5\cdot x = 20</math> |- |colspan="2"|-5 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el -5 passa a dividir a +20 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+20}{-5}</math> Operant surt <math>x =-4</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>8)\; x\cdot(-21) = -\frac{1}{3}</math> |- |colspan="2"|A x multiplica -21, si volem deixar sola la x llavors el -21 passa a dividir a +1, és a dir a multiplicar +3, sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =-\;\frac{1}{\;-21\cdot (+3)}</math> Operant surt <math>x =\frac{1}{63}</math> |} |} === Solucions d'una equació === En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre. ==== Una solució ==== Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure resolució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3x+2=8</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Resolent tenim: ::<math>3\cdot x = 8 - 2</math> ::<math>3\cdot x = 6</math> ::<math>x =\frac{6}{3}</math> Per tant <math>x =2</math> |} Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les proves" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Proves amb diferents valors de l'equació <math>3x+2=8.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: ::<math>3\cdot (2)+2=8</math> operant tenim <math>6+2=8</math> i finalment <math>8=8</math> i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: ::<math>3\cdot (0)+2=8</math> operant tenim <math>0+2=8</math> i finalment <math>2=8</math> i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: ::<math>3\cdot (4)+2=8</math> operant tenim <math>12+2=8</math> i finalment <math>14=8</math> i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: ::<math>3\cdot (-3)+2=8</math> operant tenim <math>-9+2=8</math> i finalment <math>-7=8</math> i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics. |} ==== Cap solució ==== No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com: :<math>3x+2=x+1+2x</math> ==== Tot valor és solució ==== Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com: :<math>x+5=3+x+2</math> ==== Equació de segon grau ==== Les equacions de segon grau són de la forma: :<math>ax^2+bx+c=0</math> Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero. La fórmula de resolució és la següent: :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Exemples detallats: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>3x^2+2x-5=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=3'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=-5'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}=\frac{-2 \pm 8}{6}</math> <math>=\begin{cases} \frac{-2 + 8}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\ \frac{-2 - 8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=-\frac{5}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>5x^2-6x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=5'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=-6'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{+6 \pm \sqrt{36-20}}{10}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6 \pm 4}{10}</math> <math>=\begin{cases} \frac{6 + 4}{10}=\frac{10}{10}=1\\ \\ \frac{6 - 4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=\frac{1}{5}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>x^2+x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=1'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}</math> Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) <math>x^2+2x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-1 \pm 0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}</math> Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és <math>x=-\frac{1}{2}.</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] 0vka1nvgs4dfne0plubaiph2o3iuwcw 384314 384313 2026-05-23T11:30:34Z Profev 36331 /* Moviments per multiplicacions i divisions */ +falta sector... 384314 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar incògnites com la x i com es combinen entre ells. Les equacions són fonamental a les matemàtiques modernes i la seva utilització comença a segon d'ESO aproximadament. [[File:Balanza MPA.jpg|400px|right]] == Igualtats i equacions == Una '''igualtat'''<ref>No s'ha de confondre aquesta definició amb el nom del símbol igual, '''='''. Dir que tot el que porta el símbol d'igualtat és una igualtat confon el concepte d'equació no indica igualtat sinó que pregunta o proposa si hi ha igualtat o no, i de quina forma es produeix aquesta igualtat.</ref> és l'afirmació que dues coses són iguals; és saber que el valor a banda i banda del símbol d'igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan ha quedat clar que són iguals i no fa falta una comprovació. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions, excloent-ne d'altres, segons l'àrea de què es parla: àlgebra, aritmètica, lògica, anàlisi, geometria, etc. A continuació es deixen exemples d'alguns textos que fan servir d'altres noms similars: una igualtat, una identitat algèbrica i una equivalència aritmètica, respectivament, destacant que visualment són símbols diferents.<ref>S'han de respectar els apunts que es donen utilitzant el seu lèxic, ja que, de vegades, no és gratuït.</ref> {| |width="200"| *<math>x=2\; kg</math> |width="200"| *<math>x^2=x\cdot x</math> |width="200"| *<math>\frac{3}{15}=\frac{1}{5}</math> |} Una '''equació''' és una proposta de relació entre dues expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així, una equació estableix condicions entre dues expressions. Didàcticament i habitualment, les equacions es presenten com a simples preguntes. {| |width="200"| *<math>2\cdot x-3 = 5</math> |width="200"| *<math>x = 2\cdot a</math> |width="200"| *<math>x^2=x^3</math> |} La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors. La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix la igualtat proposada. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors una equació es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de '''x''' l'únic que cal fer és aïllar la '''x''' seguint petites receptes d'aïllament. === Mètode per aïllar === {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Què vol dir aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra banda no pot haver-hi cap x. Exemple de x correctament aïllada: :<math>x=\frac{\;\;\frac{\sqrt{3}-1}{2}-4\;\;}{5-2^2}</math> Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent únicament càlculs aritmètics. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Podem aïllar una y? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resposta" data-collapsetext="Ocultar" |- |Quin procediment farem per aïllar la x? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Cada operació té un procediment o mètode algebraic per '''desfer-la''' que per simplificar-lo en direm '''moviments''', només farem els més importants i són per recordar-los '''sempre!'''. |} ==== Moviments per sumes i restes ==== [[File:Chess in Dupont.jpg|150px|right]] {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x+a=y</math> <math>x=y-a</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x-a=y</math> <math>x=y+a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a+x=y</math> <math>x=-a+y</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>-a+x=y</math> <math>x=+a+y</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #fdb; background:#fff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Explicació cas per cas" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|'''Nota''': La x també es pot moure si és necessari. |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x+a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x+a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+a\color{red}-a\color{black}=y\color{red}-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y-a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''+a''' que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''-a''': <math>x=y-a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x-a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x-a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x-a\color{red}+a\color{black}=y\color{red}+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y+a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''-a''' que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''+a''': <math>x=y+a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>a+x=y</math> ::<math>a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}-a\color{black}+a+x=\color{red}-a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=-a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=-a+y.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>-a+x=y</math> ::<math>-a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}+a\color{black}-a+x=\color{red}+a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=a+y.</math> |} Exemples: {|width="100%" |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;2+x=14</math> |- |colspan="2"|A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. ::+ x = + 14 - 2 Operant surt: :: x = 12 Ja hem acabat. |} |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x-3=14</math> |- |colspan="2"|A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. ::+ x = + 14 + 3 Operant surt: :: x = 17 Ja hem acabat. |} |- |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;-4+x=0</math> |- |colspan="2"|A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. ::+ x = + 0 + 4 Operant surt: :: x = 4 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;x+1=1</math> |- |colspan="2"|A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. ::+ x = + 1 - 1 Operant surt: :: x = 0 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;3+x-2=7</math> |- |colspan="2"|A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::+ x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: :: x = 6 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;x-3+x=x+10</math> |- |colspan="2"|A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors *El -3 passa a l'altre cantó com a +3. *El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. ::+ x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: :: x = 13 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;3x-2=2x+5</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. *El -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::3x-2x=5+2 Operant surt: :: x = 7 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>8)\;4-x+2+2x=10</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. *El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. ::x=10-4-2 Operant surt: ::x=4 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>9)\;x+5+x-4=5+x-3</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. ::x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: ::x=1 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>10)\;x-5+x-2=7-x+2x</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. ::x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: ::x=14 Ja hem acabat. |} |} ===== Exercicis ===== Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució. {| |width="200"| *<math>5+x=8</math> |width="200"| *<math>x-5=13</math> |width="200"| *<math>-3+x=7</math> |width="200"| *<math>2+x-1=5</math> |- |width="200"| *<math>-3+x+2=-8</math> |width="200"| *<math>-2+x-2=-7</math> |width="200"| *<math>x+5+x=x+8</math> |width="200"| *<math>0+x-3+2x=2x+6</math> |} ==== Moviments per multiplicacions i divisions ==== {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x\cdot a=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=y\cdot a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a\cdot x=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"| <math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=a\cdot y</math> |} '''Nota''': * Aquest moviments no fan canviar mai el signe, només el traslladen. * No envieu a dividir '''expressions''' sense garantia que són suposadament diferent de zero. Exemples: {|style="border: 0px solid #77d; background:#fff" cellspacing="3" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>1)\;3\cdot x=16</math> |- |colspan="2"|A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+16}{+3}</math> és a dir <math>x =\frac{16}{3}.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>2)\;x\cdot 10=0</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+0}{+10}</math> Operant surt <math>x =0.</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>3)\;\frac{x}{37}=1</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+1\cdot (+37)</math> Operant surt <math>x =37</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>4)\;\frac{x}{-2}=5</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+5 \cdot (-2)</math> Operant surt <math>x =-10</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>5)\;\frac{x\cdot 2}{3}=10</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x 2 =+10 \cdot 3</math> ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+10 \cdot 3}{+2}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>6)\;\frac{x}{4}=\frac{3}{4}</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció <math>+\frac{3}{4}</math> o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+\frac{3}{4} \cdot 4</math> o millor escrit <math>+ x =+\frac{3 \cdot 4}{4}</math> Operant surt <math>x =3</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>7)\;8\cdot x = 8\cdot 15</math> |- |colspan="2"|+8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+8 \cdot 15}{+8}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>8)\;-5\cdot x = 20</math> |- |colspan="2"|-5 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el -5 passa a dividir a +20 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+20}{-5}</math> Operant surt <math>x =-4</math> |} |style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff; vertical-align: top;"| {|cellspacing="0" cellpadding="3" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>9)\; x\cdot(-21) = -\frac{1}{3}</math> |- |colspan="2"|A x li multiplica -21, si volem deixar sola la x llavors el -21 passa a dividir a +1, és a dir a multiplicar +3, sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =-\;\frac{1}{\;-21\cdot (+3)}</math> Operant surt <math>x =\frac{1}{63}</math> |} |} Exercicis: === Solucions d'una equació === En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre. ==== Una solució ==== Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure resolució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3x+2=8</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Resolent tenim: ::<math>3\cdot x = 8 - 2</math> ::<math>3\cdot x = 6</math> ::<math>x =\frac{6}{3}</math> Per tant <math>x =2</math> |} Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les proves" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Proves amb diferents valors de l'equació <math>3x+2=8.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: ::<math>3\cdot (2)+2=8</math> operant tenim <math>6+2=8</math> i finalment <math>8=8</math> i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: ::<math>3\cdot (0)+2=8</math> operant tenim <math>0+2=8</math> i finalment <math>2=8</math> i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: ::<math>3\cdot (4)+2=8</math> operant tenim <math>12+2=8</math> i finalment <math>14=8</math> i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: ::<math>3\cdot (-3)+2=8</math> operant tenim <math>-9+2=8</math> i finalment <math>-7=8</math> i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics. |} ==== Cap solució ==== No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com: :<math>3x+2=x+1+2x</math> ==== Tot valor és solució ==== Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com: :<math>x+5=3+x+2</math> ==== Equació de segon grau ==== Les equacions de segon grau són de la forma: :<math>ax^2+bx+c=0</math> Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero. La fórmula de resolució és la següent: :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Exemples detallats: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>3x^2+2x-5=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=3'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=-5'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}=\frac{-2 \pm 8}{6}</math> <math>=\begin{cases} \frac{-2 + 8}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\ \frac{-2 - 8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=-\frac{5}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>5x^2-6x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=5'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=-6'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{+6 \pm \sqrt{36-20}}{10}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6 \pm 4}{10}</math> <math>=\begin{cases} \frac{6 + 4}{10}=\frac{10}{10}=1\\ \\ \frac{6 - 4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=\frac{1}{5}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>x^2+x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=1'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}</math> Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) <math>x^2+2x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-1 \pm 0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}</math> Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és <math>x=-\frac{1}{2}.</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] b3wl5ptsrno6akqhnpkv2v0t1cqf6cr 0 55606 384311 2026-05-22T21:02:17Z ~2026-30560-11 55527 Created page with "31=31" 384311 wikitext text/x-wiki 31=31 gocgv18w6q6nw60y1vx25pqlnbe4bt2