Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.6 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 37924 384647 373544 2026-06-11T09:39:02Z Profev 36331 /* Les semirectes */ +requadre 384647 wikitext text/x-wiki [[File:Latex real numbers square.svg|thumb|120px|Símbol de tots els nombres reals]] '''Els intervals''' són molt útils per agrupar en conjunts i analitzar els nombres en la recta real. La seva importància recau a l'hora de construir funcions amb la precisió deguda. [[File:Real Number Line.PNG|center]] Per estudiar els intervals es fa una introducció curta i acurada de les semirectes que són elements utilitzats per determinar més tard els intervals i altres productes amb més rigor. == Lògica d'intervals == En aquesta secció veurem com es treballen les condicions matemàtiques sobre la '''recta real'''. Concretament identificarem formes d'ajuntar condicions, escriure-les, descriure-les i representar-les matemàticament. === Les semirectes === A les matemàtiques quan utilitzem les següents expressions com a condicions, suposicions o hipòtesis: {|cellspacing="6" cellpadding="6" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure lectura" data-collapsetext="Oculta lectura" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<big><big><big><math>a<b,\;\;a>b,\;\;a\leqslant b,\;\;a\geqslant b</math></big></big></big> |- |colspan="2"| <math>a<b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit que '''b''', o inversament '''b''' és més gran que '''a'''. <math>a>b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran que '''b''', o inversament '''b''' és més petit que '''a'''. <math>a\leqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més gran o igual que '''a'''. '''Nota''': dir "més petit o igual" vol dir que és cert tan si és més petit com si és més gran. <math>a\geqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més petit o igual que '''a'''. |} {|align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" |width="130px"|<math>a<x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a\leqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a>x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} |- |width="130px"|<math>a\geqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} |} Veiem exemples quan un dels dos és un nombre, l'altre una variable i detallem analíticament el seu significat dins la recta real. ==== Exemples ==== ;1.- Condició <math>x>10</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valors '''més gran''' que 10. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>10</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: S'assenyala en blau sobre la recta real els valors més grans que deu, però s'indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el deu, ja que el deu no pot ser més gran que deu i per tant no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(10,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre 10 i infinit positiu, amb el '''deu i l'infinit exclòs''' pels parèntesis. El seu nom és '''semirecta oberta'''. ;2.- Condició <math>x\leqslant -3.</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valor '''més petit o igual''' que -3. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-3</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que -3, i indica amb una rodona plena que el -3 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,-3]</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i -3, amb el -3 inclòs amb la clau ''']'''. El seu nom és '''semirecta tancada'''. ;3.- Condició <math>x\geqslant-1.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor '''més gran o igual''' que -1. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més grans que -1, i indica amb una rodona plena que el -1 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=[-1,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre -1 i infinit positiu, amb el -1 inclòs amb la clau '''['''. El seu nom és semirecta tancada. ;4.- Condició <math>x<7.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor més petit que 7. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>7</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que 7, i indica amb una rodona buida que el 7 no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,7)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i 7, amb el 7 exclòs amb el parèntesi ''')'''. El seu nom és semirecta oberta. ==== Exercicis ==== S'ha de representar i escriure la seva notació corresponent a cada apartat: 1) <math>x\leqslant 0.</math> 2) <math>x\geqslant -2.</math> 3) <math>x<4.</math> 4) <math>x>-3.</math> === Operacions === Les condicions bàsicament es poden combinar o agrupar de dos formes, o bé buscant coincidències o unint possibilitats. Ens interessa analitzar les conseqüències d'aquestes dues combinacions, per això utilitzarem dos operadors: :::<big><big><big><big><math>I=A\cap B,\;\;I=A\cup B</math></big></big></big></big> Mentre llegiu alguns exemples fixeu-vos en la propietat commutativa d'aquestes operacions, <math>I=A\cap B=B\cap A</math> i <math>I=A\cup B=B\cup A</math>: *Feu atenció, es '''pinta''' la part interior d'aquest "recipient" de nombres, és un contenidor on les vores s'han d'especificar bé si estan dintre o fora. *També hi ha "recipients" de nombres que no tenen que estar enganxats físicament. {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |- |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |} ==== Intersecció ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] Per fer una intersecció d'una condició A i amb una condició B només s'ha de indicar quins nombres compleixen les dues condicions '''a la vegada'''. Veiem exemples dels diferents producte de les possibles combinacions que es poden fer: ===== Exemples ===== 1.- Suposem que <math>x<3</math> i també afegim que <math>x>1,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues condicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} Condicions: <math>A=(-\infty,\,3)</math> i <math>B=(1,\,+\infty)</math> Operació intersecció: <math>I=</math> <math>A\cap B=</math> <math>(-\infty,\,3)\cap (1,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(1,\,3)</math> :Descripció de I: És literalment el conjunt de tots els valors entre l'1 i el 3, sense incloure aquests dos nombres. Són només els valors continguts dins de A i B '''a la vegada'''. El seu nom és '''interval obert'''. 2.- Suposem que <math>x\leqslant 1</math> i que <math>x>-2</math>: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-2</math> |align="center"|<math>1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} Operació: <math>(-\infty,\,1]\cap(-2,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(-2,\,1]</math> El seu nom és '''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' o '''interval semiobert'''. [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|120px]] 3.- Suposem que <math>x\leqslant 0</math> i que <math>x<-5,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-5</math> |align="center"|<math>0</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} En aquest cas el que succeeix és que una intersecció d'un interval dintre d'un altre acaba guanyant el que sembla més petit. Condicions: <math>A=(-\infty,\,0]</math> i <math>B=(-\infty,\,-5)</math> Operacions: <math>(-\infty,\,0]\cap(-\infty,\,-5)</math> Notació del resultat: <math>I=(-\infty,\,-5)</math> :Descripció de I: són tots els valors que estan dins dels dos conjunts a la vegada però resulta que B està totalment dins de A per tant el resultat és B, és a dir I=B. [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|240px]] 4.- Suposem que <math>x\leqslant -1</math> i que <math>x>3,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} Les condicions inicials són contradictòries, per tant, no tenen cap coincidència i ens queda un conjunt sense nombres, és a dir, un conjunt buit i que evidentment no hem de pintar res. Operació: <math>(-\infty,\,-1]\cap(3,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{\emptyset\}=\emptyset</math> El seu nom és '''conjunt buit'''. 5.- Suposem que <math>x\leqslant 9</math> i que <math>x\geqslant 9,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament, és a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>9</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|250px]] |} La única coincidència es el 9, que és un punt fronterer, i per tant es l'únic element que compleix les dues condicions. Operació: <math>(-\infty,\,9]\cap[9,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{9\}</math> El seu nom és '''punt''' o conjunt d'un sol element. ==== Unió ==== [[File:UniónAB.svg|right|160px]] Per fer una unió de una condició A amb una condició B només s'ha de '''indicar''' que els diferents objectes estan junts encara que hi hagi '''forats''', després només arreglem els trams superposats quan apareguin com a un de sol. Es proposa anar directament a la notació matemàtica per anar més ràpid. ===== Exemples ===== 1.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,8)</math> i <math>B=[9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Resultat: '''casualment''' queda igual per que no es pot '''arreglar més''': <math>I=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=8}}</th><th>{{center|1=9}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat segueix sent dues semirectes. 2.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,-2)</math> i <math>B=(-2,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Resultat: veiem que és gairebé tota la recta real, '''excepte''' el -2, no es pot arreglar més: <math>I=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=-2}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat també son dues semirectes, però, vegeu que són tots els nombres reals sense un punt, el -2, es a dir, l'indicat amb una rodona buida. 3.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,10)</math> i <math>B=(-9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,10)\cup (-9,\,\infty)=\mathbb{R}</math> Resultat: veiem que en ajuntar les dues semirectes no deixen cap forat, per tant el resultat es tots els nombres entre <math>-\infty</math> i <math>\infty</math> es a dir <math>\mathbb{R}.</math> Representació i descripció: s'hauria de pintar tota la recta sense forats. :::<math>-\infty\;\;\;</math>[[File:SemiRectaFut2.svg|300px]]<math>\;\;\;+\infty</math> 4.- Unió dels objectes A i B:<math>A=(0,\,2)\cup (4,\,6)</math> i <math>B=[1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Operació: <math>I=(0,\,2)\cup (4,\,6)\cup [1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Resultat: <math>I=(0,\,3]\cup (4,\,7]</math> Representació: només hem de pintar A i B, i veure que dona aquest resultat. :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=0}}</th><th>{{center|1=3}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=7}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> ==== Exercicis ==== #Busquem un valor que és major que deu i menor que catorze, o major que quinze i menor que setze. Representeu els valors acuradament. #Escriu la notació dels intervals representats a continuació: <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=-11}}</th><th>{{center|1=-10}}</th><th>{{center|1=-4}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=5}}</th><th>{{center|1=6}}</th><th>{{center|1=7}}</th><th>{{center|1=11}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th></tr></table> === Resum lèxic === Noms apareguts sense matisar si és obert o tancat però que hem de conèixer: *'''Element''' (quan parlem de l'element més simples i indivisibles d'un conjunt) :*'''Punt''' (quan ens referim a un únic nombre real com a element de la recta real, ...) *'''Conjunt''' (quan agrupem elements amb una finalitat definida) :*'''Recta''' (quan ens referim a tota la recta real com a conjunt de nombres) :*'''Semirecta''' (tots els punts de la recta que es troben a un mateix cantó d'un punt donat prèviament) :*'''Interval''' (tots els nombres de la recta delimitada per altres dos punts) *'''Buit''' (que no hi ha res, cap element, cap nombre real,...) == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] n4guvx5drbzik9sti3tp2oc1r413bc3 384648 384647 2026-06-11T10:19:55Z Profev 36331 /* Operacions */ 384648 wikitext text/x-wiki [[File:Latex real numbers square.svg|thumb|120px|Símbol de tots els nombres reals]] '''Els intervals''' són molt útils per agrupar en conjunts i analitzar els nombres en la recta real. La seva importància recau a l'hora de construir funcions amb la precisió deguda. [[File:Real Number Line.PNG|center]] Per estudiar els intervals es fa una introducció curta i acurada de les semirectes que són elements utilitzats per determinar més tard els intervals i altres productes amb més rigor. == Lògica d'intervals == En aquesta secció veurem com es treballen les condicions matemàtiques sobre la '''recta real'''. Concretament identificarem formes d'ajuntar condicions, escriure-les, descriure-les i representar-les matemàticament. === Les semirectes === A les matemàtiques quan utilitzem les següents expressions com a condicions, suposicions o hipòtesis: {|cellspacing="6" cellpadding="6" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure lectura" data-collapsetext="Oculta lectura" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<big><big><big><math>a<b,\;\;a>b,\;\;a\leqslant b,\;\;a\geqslant b</math></big></big></big> |- |colspan="2"| <math>a<b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit que '''b''', o inversament '''b''' és més gran que '''a'''. <math>a>b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran que '''b''', o inversament '''b''' és més petit que '''a'''. <math>a\leqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més gran o igual que '''a'''. '''Nota''': dir "més petit o igual" vol dir que és cert tan si és més petit com si és més gran. <math>a\geqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més petit o igual que '''a'''. |} {|align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" |width="130px"|<math>a<x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a\leqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a>x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} |- |width="130px"|<math>a\geqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} |} Veiem exemples quan un dels dos és un nombre, l'altre una variable i detallem analíticament el seu significat dins la recta real. ==== Exemples ==== ;1.- Condició <math>x>10</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valors '''més gran''' que 10. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>10</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: S'assenyala en blau sobre la recta real els valors més grans que deu, però s'indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el deu, ja que el deu no pot ser més gran que deu i per tant no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(10,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre 10 i infinit positiu, amb el '''deu i l'infinit exclòs''' pels parèntesis. El seu nom és '''semirecta oberta'''. ;2.- Condició <math>x\leqslant -3.</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valor '''més petit o igual''' que -3. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-3</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que -3, i indica amb una rodona plena que el -3 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,-3]</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i -3, amb el -3 inclòs amb la clau ''']'''. El seu nom és '''semirecta tancada'''. ;3.- Condició <math>x\geqslant-1.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor '''més gran o igual''' que -1. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més grans que -1, i indica amb una rodona plena que el -1 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=[-1,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre -1 i infinit positiu, amb el -1 inclòs amb la clau '''['''. El seu nom és semirecta tancada. ;4.- Condició <math>x<7.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor més petit que 7. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>7</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que 7, i indica amb una rodona buida que el 7 no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,7)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i 7, amb el 7 exclòs amb el parèntesi ''')'''. El seu nom és semirecta oberta. ==== Exercicis ==== S'ha de representar i escriure la seva notació corresponent a cada apartat: 1) <math>x\leqslant 0.</math> 2) <math>x\geqslant -2.</math> 3) <math>x<4.</math> 4) <math>x>-3.</math> === Operacions === Les condicions bàsicament es poden combinar o agrupar de dos formes, o bé buscant coincidències o unint possibilitats. Ens interessa analitzar les conseqüències d'aquestes dues combinacions, per això utilitzarem dos operadors <math>\cap</math> i <math>\cup</math>: :::<big><big><big><big><math>C=A\cap B,\;\;D=A\cup B</math></big></big></big></big> El resultats d'aquestes operacions són nous elements anomenats genèricament '''conjunts''' i conceptualment són com simples recipients de valors sobre la recta real. Mentre llegiu els exemples fixeu-vos en la propietat commutativa d'aquestes operacions, <math>A\cap B=B\cap A</math> i <math>A\cup B=B\cup A</math>: *Observeu bé com '''pinta''' la part interior d'aquest conjunt de nombres, on valors puntuals són delimitadors i s'han d'especificar bé si estan dins o fora d'aquest "recipient". *També hi ha conjunts de nombres que no han que estar enganxats físicament per formar part del mateix conjunt. {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |- |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |} ==== Intersecció ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] Per fer una intersecció d'una condició A i amb una condició B només s'ha de indicar quins nombres compleixen les dues condicions '''a la vegada'''. Veiem exemples dels diferents producte de les possibles combinacions que es poden fer: ===== Exemples ===== 1.- Suposem que <math>x<3</math> i també afegim que <math>x>1,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues condicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} Condicions: <math>A=(-\infty,\,3)</math> i <math>B=(1,\,+\infty)</math> Operació intersecció: <math>I=</math> <math>A\cap B=</math> <math>(-\infty,\,3)\cap (1,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(1,\,3)</math> :Descripció de I: És literalment el conjunt de tots els valors entre l'1 i el 3, sense incloure aquests dos nombres. Són només els valors continguts dins de A i B '''a la vegada'''. El seu nom és '''interval obert'''. 2.- Suposem que <math>x\leqslant 1</math> i que <math>x>-2</math>: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-2</math> |align="center"|<math>1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} Operació: <math>(-\infty,\,1]\cap(-2,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(-2,\,1]</math> El seu nom és '''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' o '''interval semiobert'''. [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|120px]] 3.- Suposem que <math>x\leqslant 0</math> i que <math>x<-5,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-5</math> |align="center"|<math>0</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} En aquest cas el que succeeix és que una intersecció d'un interval dintre d'un altre acaba guanyant el que sembla més petit. Condicions: <math>A=(-\infty,\,0]</math> i <math>B=(-\infty,\,-5)</math> Operacions: <math>(-\infty,\,0]\cap(-\infty,\,-5)</math> Notació del resultat: <math>I=(-\infty,\,-5)</math> :Descripció de I: són tots els valors que estan dins dels dos conjunts a la vegada però resulta que B està totalment dins de A per tant el resultat és B, és a dir I=B. [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|240px]] 4.- Suposem que <math>x\leqslant -1</math> i que <math>x>3,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} Les condicions inicials són contradictòries, per tant, no tenen cap coincidència i ens queda un conjunt sense nombres, és a dir, un conjunt buit i que evidentment no hem de pintar res. Operació: <math>(-\infty,\,-1]\cap(3,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{\emptyset\}=\emptyset</math> El seu nom és '''conjunt buit'''. 5.- Suposem que <math>x\leqslant 9</math> i que <math>x\geqslant 9,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament, és a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>9</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|250px]] |} La única coincidència es el 9, que és un punt fronterer, i per tant es l'únic element que compleix les dues condicions. Operació: <math>(-\infty,\,9]\cap[9,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{9\}</math> El seu nom és '''punt''' o conjunt d'un sol element. ==== Unió ==== [[File:UniónAB.svg|right|160px]] Per fer una unió de una condició A amb una condició B només s'ha de '''indicar''' que els diferents objectes estan junts encara que hi hagi '''forats''', després només arreglem els trams superposats quan apareguin com a un de sol. Es proposa anar directament a la notació matemàtica per anar més ràpid. ===== Exemples ===== 1.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,8)</math> i <math>B=[9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Resultat: '''casualment''' queda igual per que no es pot '''arreglar més''': <math>I=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=8}}</th><th>{{center|1=9}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat segueix sent dues semirectes. 2.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,-2)</math> i <math>B=(-2,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Resultat: veiem que és gairebé tota la recta real, '''excepte''' el -2, no es pot arreglar més: <math>I=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=-2}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat també son dues semirectes, però, vegeu que són tots els nombres reals sense un punt, el -2, es a dir, l'indicat amb una rodona buida. 3.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,10)</math> i <math>B=(-9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,10)\cup (-9,\,\infty)=\mathbb{R}</math> Resultat: veiem que en ajuntar les dues semirectes no deixen cap forat, per tant el resultat es tots els nombres entre <math>-\infty</math> i <math>\infty</math> es a dir <math>\mathbb{R}.</math> Representació i descripció: s'hauria de pintar tota la recta sense forats. :::<math>-\infty\;\;\;</math>[[File:SemiRectaFut2.svg|300px]]<math>\;\;\;+\infty</math> 4.- Unió dels objectes A i B:<math>A=(0,\,2)\cup (4,\,6)</math> i <math>B=[1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Operació: <math>I=(0,\,2)\cup (4,\,6)\cup [1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Resultat: <math>I=(0,\,3]\cup (4,\,7]</math> Representació: només hem de pintar A i B, i veure que dona aquest resultat. :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=0}}</th><th>{{center|1=3}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=7}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> ==== Exercicis ==== #Busquem un valor que és major que deu i menor que catorze, o major que quinze i menor que setze. Representeu els valors acuradament. #Escriu la notació dels intervals representats a continuació: <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=-11}}</th><th>{{center|1=-10}}</th><th>{{center|1=-4}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=5}}</th><th>{{center|1=6}}</th><th>{{center|1=7}}</th><th>{{center|1=11}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th></tr></table> === Resum lèxic === Noms apareguts sense matisar si és obert o tancat però que hem de conèixer: *'''Element''' (quan parlem de l'element més simples i indivisibles d'un conjunt) :*'''Punt''' (quan ens referim a un únic nombre real com a element de la recta real, ...) *'''Conjunt''' (quan agrupem elements amb una finalitat definida) :*'''Recta''' (quan ens referim a tota la recta real com a conjunt de nombres) :*'''Semirecta''' (tots els punts de la recta que es troben a un mateix cantó d'un punt donat prèviament) :*'''Interval''' (tots els nombres de la recta delimitada per altres dos punts) *'''Buit''' (que no hi ha res, cap element, cap nombre real,...) == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] pjr886jw5mw6cm91ls7ovdngu1hdo1a 0 55715 384639 2026-06-10T13:22:26Z OwlyKnight 53456 Created page with "[[File:Example.jpg|Contoh gambar pemanis atau ''cover'' kelas, bisa juga membuat infobox (belum dibuat)|thumb]] '''Gambar teknik''' adalah ... (''deskripsi singkat tentang kelas ini''). Sebelum melanjutkan kelas ini, disarankan untuk mempelajari beberapa kelas berikut: * [[Kelas 1]] * [[Kelas 2]], dsb == Capaian pembelajaran == Setelah menyelesaikan kelas ini, diharapkan pengguna dapat: * memahami dasar dari gambar teknik; * membuat gambar teknik sesuai standar yang ses..." 384639 wikitext text/x-wiki [[File:Example.jpg|Contoh gambar pemanis atau ''cover'' kelas, bisa juga membuat infobox (belum dibuat)|thumb]] '''Gambar teknik''' adalah ... (''deskripsi singkat tentang kelas ini''). Sebelum melanjutkan kelas ini, disarankan untuk mempelajari beberapa kelas berikut: * [[Kelas 1]] * [[Kelas 2]], dsb == Capaian pembelajaran == Setelah menyelesaikan kelas ini, diharapkan pengguna dapat: * memahami dasar dari gambar teknik; * membuat gambar teknik sesuai standar yang sesuai; * membuat desain 3D menggunakan perangkat lunak desain berbantu komputer; dan * melakukan analisis metode elemen hingga dasar. == Buku referensi == Untuk membantu pembelajaran, kelas ini menggunakan buku-buku berikut sebagai referensi materi: # Kontributor Wikibuku. ''[[:b:id:Gambar teknik|Gambar teknik]]''. Dirilis dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. # ''Buku eksternal, jika bisa yang dapat diakses secara bebas'' == Saran alur pembelajaran == Untuk kelancaran pembelajaran, berikut adalah saran alur pembelajaran yang dapat digunakan sebagai panduan pembelajaran. {|class="wikitable" ! No. !! Materi !! Referensi materi !! Latihan |- | 1 || [[/Pengenalan/]] || Wikibuku, bab 1 || |- | 2 || [[/Pemodelan 3D/]] || Wikibuku, bab 2 || [[/Pemodelan 3D/Latihan/|Latihan pemodelan 3D]] |- | colspan=4 | dst... |} == Penutup == Sumber daya pembelajaran terbuka ini disediakan dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. Diskusi tentang masalah yang ditemui saat menggunakan sumber pembelajaran ini dapat dilakukan pada [[Talk:{{PAGENAME}}|Halaman pembicaraan]]. == Pranala luar == ''Templat Pranala menuju artikel Wikipedia, berkas Wikimedia Commons, dan konten proyek-proyek lain yang berhubungan.'' [[Category:ID]] [[Category:Teknik]] [[Category:Teknik mesin]] 5z86t2s0rb7gzokje7ucyvpdc3irbaa 384640 384639 2026-06-10T13:32:49Z OwlyKnight 53456 384640 wikitext text/x-wiki [[File:Example.jpg|Contoh gambar pemanis atau ''cover'' kelas, bisa juga membuat infobox (belum dibuat)|thumb]] '''Gambar teknik''' adalah ... (''deskripsi singkat tentang kelas ini''). Sebelum melanjutkan kelas ini, disarankan untuk mempelajari beberapa kelas berikut: * [[Kelas 1]] * [[Kelas 2]], dsb == Capaian pembelajaran == Setelah menyelesaikan kelas ini, diharapkan pengguna dapat: * memahami dasar dari gambar teknik; * membuat gambar teknik sesuai standar yang sesuai; * membuat desain 3D menggunakan perangkat lunak desain berbantu komputer; dan * melakukan analisis metode elemen hingga dasar. == Buku referensi == Untuk membantu pembelajaran, kelas ini menggunakan buku-buku berikut sebagai referensi materi: # Kontributor Wikibuku. ''[[:b:id:Gambar teknik|Gambar teknik]]''. Dirilis dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. # ''Buku eksternal, jika bisa yang dapat diakses secara bebas'' == Saran alur pembelajaran == Untuk kelancaran pembelajaran, berikut adalah saran alur pembelajaran yang dapat digunakan sebagai panduan pembelajaran. {|class="wikitable" ! No. !! Materi !! Referensi materi !! Latihan |- | 1 || [[/Pengenalan/]] || [[:b:id:Gambar teknik/Bab 1|Wikibuku, bab 1]] || |- | 2 || [[/Pemodelan 3D/]] || [[:b:id:Gambar teknik/Bab 2|Wikibuku, bab 2]] || [[/Pemodelan 3D/Latihan/|Latihan pemodelan 3D]] |- | colspan=4 | dst... |} == Penutup == Sumber daya pembelajaran terbuka ini disediakan dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. Diskusi tentang masalah yang ditemui saat menggunakan sumber pembelajaran ini dapat dilakukan pada [[Talk:{{PAGENAME}}|Halaman pembicaraan]]. == Pranala luar == ''Templat Pranala menuju artikel Wikipedia, berkas Wikimedia Commons, dan konten proyek-proyek lain yang berhubungan.'' [[Category:ID]] [[Category:Teknik]] [[Category:Teknik mesin]] d1v5ntjbv0gd7p9ed8th80bet2zkwsp 10 55716 384641 2026-06-10T14:53:19Z OwlyKnight 53456 Created page with "<div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- --><div>{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]}}}}}}}}}}}}</div><!-- --><div styl..." 384641 wikitext text/x-wiki <div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- --><div>{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]}}}}}}}}}}}}</div><!-- --><div style="flex-grow:4; text-align:center;"><!-- --><span>{{{title|{{{judul|{{ROOTPAGENAME}}}}}}}}</span><!-- --></div><!-- --><div style="flex-grow:1; justify-content: flex-end; display:flex; align-items:center; text-align:right;"><!-- --><div>{{#if:{{{2|{{{selanjutnya|{{{next|}}}}}}}}}|{{{2|{{{selanjutnya|{{{next}}}}}}}}}</div><!-- --><div>&nbsp;→</div><!-- -->|Akhir&nbsp;</div>}} </div><noinclude>[[Category:ID]][[Category:Templat]]</noinclude> geuvglc0zbyz32ux2mr4nb4rsynbvz3 384642 384641 2026-06-10T15:03:40Z OwlyKnight 53456 384642 wikitext text/x-wiki <div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px; clear:both;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- -->{{#if:{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|}}}}}}}}}}}}|{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev}}}}}}}}}}}}</div><!-- -->|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]</div>}}<!-- --><div style="flex-grow:4; text-align:center;"><!-- --><span>{{{title|{{{judul|{{ROOTPAGENAME}}}}}}}}</span><!-- --></div><!-- --><div style="flex-grow:1; justify-content: flex-end; display:flex; align-items:center; text-align:right;"><!-- -->{{#if:{{{2|{{{selanjutnya|{{{next|}}}}}}}}}|{{{2|{{{selanjutnya|{{{next}}}}}}}}}</div><!-- --><div>&nbsp;→</div><!-- -->|Akhir&nbsp;</div>}} </div><noinclude>[[Category:ID]][[Category:Templat]]</noinclude> b3e8wt2a9xsm5m3j1uaq2n1j9qfvatl 384643 384642 2026-06-10T15:04:13Z OwlyKnight 53456 384643 wikitext text/x-wiki <div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px; clear:both;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- -->{{#if:{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|}}}}}}}}}}}}|{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev}}}}}}}}}}}}</div><!-- -->|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]</div>}}<!-- --><div style="flex-grow:4; text-align:center;"><!-- --><span>{{{title|{{{judul|[[{{ROOTPAGENAME}}]]}}}}}}</span><!-- --></div><!-- --><div style="flex-grow:1; justify-content: flex-end; display:flex; align-items:center; text-align:right;"><!-- -->{{#if:{{{2|{{{selanjutnya|{{{next|}}}}}}}}}|{{{2|{{{selanjutnya|{{{next}}}}}}}}}</div><!-- --><div>&nbsp;→</div><!-- -->|Akhir&nbsp;</div>}} </div><noinclude>[[Category:ID]][[Category:Templat]]</noinclude> hws4q4dgm3i7mwucs6i5ghi02hdlrmi 384644 384643 2026-06-10T15:07:01Z OwlyKnight 53456 384644 wikitext text/x-wiki <div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px; clear:both;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- -->{{#if:{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|}}}}}}}}}}}}|{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev}}}}}}}}}}}}</div><!-- -->|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]</div>}}<!-- --><div style="flex-grow:4; text-align:center;"><!-- --><span>{{{title|{{{judul|[[{{ROOTPAGENAME}}]]}}}}}}</span><!-- --></div><!-- --><div style="flex-grow:1; justify-content: flex-end; display:flex; align-items:center; text-align:right;"><!-- -->{{#if:{{{2|{{{selanjutnya|{{{next|}}}}}}}}}|{{{2|{{{selanjutnya|{{{next}}}}}}}}}</div><!-- --><div>&nbsp;→</div><!-- -->|Akhir&nbsp;</div>}} </div>{{#ifeq:{{NAMESPACENUMBER}}|10||[[Category:{{ROOTPAGENAME}}]]}}<noinclude>[[Category:ID]][[Category:Templat]]</noinclude> ihi33x83rqcdugrdg34gzyen8oem55i 384646 384644 2026-06-10T15:17:23Z OwlyKnight 53456 384646 wikitext text/x-wiki <!-- Terinspirasi dari [[:s:id:Templat:Header/main_block]] --><div style="margin:4px auto 4px auto; padding: 0 3px; display:flex; align-items:center; color:var(--color-base, #000); background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb); border:solid var(--border-color-success, #099979) 1px; clear:both;{{{style}}}"><!-- --><div style="flex-grow:1; display:flex; align-items:center;"><!-- --><div>←&nbsp;</div><!-- -->{{#if:{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev|}}}}}}}}}}}}|{{{1|{{{sebelumnya|{{{previous|{{{prev}}}}}}}}}}}}</div><!-- -->|[[{{ROOTPAGENAME}}|Awal]]</div>}}<!-- --><div style="flex-grow:4; text-align:center;"><!-- --><span>{{{title|{{{judul|[[{{ROOTPAGENAME}}]]}}}}}}</span><!-- --></div><!-- --><div style="flex-grow:1; justify-content: flex-end; display:flex; align-items:center; text-align:right;"><!-- -->{{#if:{{{2|{{{selanjutnya|{{{next|}}}}}}}}}|{{{2|{{{selanjutnya|{{{next}}}}}}}}}</div><!-- --><div>&nbsp;→</div><!-- -->|Akhir&nbsp;</div>}} </div>{{#ifeq:{{NAMESPACENUMBER}}|10||[[Category:{{ROOTPAGENAME}}]]}}<noinclude>[[Category:ID]][[Category:Templat]]</noinclude> cu8qwh1l5jb4trlx280tuvhudg9vjbf 0 55717 384645 2026-06-10T15:07:43Z OwlyKnight 53456 Created page with "''Selayang pandang tentang bab atau materi ini'' == Tujuan pembelajaran == Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pengguna dapat: * tujuan 1; * tujuan 2; * dan seterusnya. == Aktivitas == === Bahan bacaan === Silakan membaca bahan bacaan berikut: # Kontributor Wikibuku. ''[[:b:id:Gambar teknik|Gambar teknik]]''. Dirilis dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. [[:b:id:Gambar teknik/Bab 1|Bab 1]] # ''Sumber buku terbuka lain, jika ada.'' === Aud..." 384645 wikitext text/x-wiki ''Selayang pandang tentang bab atau materi ini'' == Tujuan pembelajaran == Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pengguna dapat: * tujuan 1; * tujuan 2; * dan seterusnya. == Aktivitas == === Bahan bacaan === Silakan membaca bahan bacaan berikut: # Kontributor Wikibuku. ''[[:b:id:Gambar teknik|Gambar teknik]]''. Dirilis dengan lisensi [[creativecommons:by-sa/4.0|CC BY-SA 4.0]]. [[:b:id:Gambar teknik/Bab 1|Bab 1]] # ''Sumber buku terbuka lain, jika ada.'' === Audio-visual === ''Video, audio, atau berkas-bekas lain yang dapat ditaruh di sini, menggunakan layanan Commons (disarankan), YouTube (pastikan lisensinya CC), dan lain sebagainya.'' == Latihan == Untuk mengukur keterampilan setelah mempelajari materi ini, silakan kerjakan latihan berikut. * [[/Latihan 1/]] - tentang XXX. * [[/Latihan 2/]] - tentang YYY. * dst. == Pranala luar == ''Berikan pranala-pranala luar yang dapat menunjang pembelajaran. Misalnya, studi kasus, berita, dan lain sebagainya.'' {{Navigasi kelas||[[/Pemodelan 3D/]]}} [[Category:ID]] 7b14k5cjwutooag31kliq02tsje8nyq