Template:Summary page

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="en">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikiversity</sitename>
    <dbname>betawikiversity</dbname>
    <base>https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.12</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Special</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Talk</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">User</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">User talk</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikiversity</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Wikiversity talk</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">File</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">File talk</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki talk</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Template</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Template talk</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Help</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Help talk</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Category</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Category talk</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Module</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Module talk</namespace>
      <namespace key="1198" case="first-letter">Translations</namespace>
      <namespace key="1199" case="first-letter">Translations talk</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Template:Summary page</title>
    <ns>10</ns>
    <id>1713</id>
    <revision>
      <id>385559</id>
      <parentid>190789</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T08:00:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <origin>385559</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5462" sha1="71upee8r53y7d4qzejgjr8j10xke19l" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;{{multilingual}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;div style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; width:80%&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;multilingual&quot; style=&quot;background-color:#f7f8ff; text-align:justify; padding:5px; border:1px solid #8888aa; border-right-width:2px; border-bottom-width:2px; margin-bottom:2em&quot; &gt;
[[File:File-Sumup.svg|90px|left|talk page]]

{{ls|ar|تحوي هذه الصفحة خلاصة بالنقاشات التي أجريت بلغات مختلفة. لمناقشة هذا الموضوع بلغتك, إذهب إلى [[{{TALKPAGENAME}}|صفحة نقاش]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Ar|تعلم المزيد]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|bg|Тази страница съдържа кратко изложение на обсъжданията, извършващи се на няколко езика. За да се изкажете по тази тема на родния си език, отидете на [[{{TALKPAGENAME}}|страница за обсъждане]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Bg|Научете повече]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|de|Diese Seite enthält Zusammenfassungen von Diskussionen, die in verschiedenen Sprachen geführt wurden. Eine Möglichkeit zur Teilnahme an der Diskussion in Deiner eigenen Sprache besteht auf der [[{{TALKPAGENAME}}|Diskussionsseite]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/De|Mehr dazu]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|el|Αυτή η σελίδα περιέχει τις περιλήψεις των συζητήσεων που έχουν πραγματοποιηθεί σε διάφορες γλώσσες. Για να συζητήσετε για αυτό το θέμα στη γλώσσα σας, πηγαίνετε στη [[{{TALKPAGENAME}}|σελίδα συζήτησής]]
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/El|μάθε περισσότερα]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|en|This page contains summaries of discussions which have taken place in various languages. To discuss about this subject in your language, go to the [[{{TALKPAGENAME}}|talk page]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/En|learn more]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|fr|Cette page contient les résumés des discussions ayant eu lieu dans différentes langues. Pour participer à la discussion dans votre langue, consultez la [[{{TALKPAGENAME}}|page de discussion]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Fr|plus d'infos]])&lt;/small&gt;.}}


{{ls|it|questa pagina contiene un riassunto delle discussioni che ci sono state nelle differenti lingue. Per partecipare alla discussione nella vostra lingua consultare la [[{{TALKPAGENAME}}|pagina di discussione ]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/It|per info]])&lt;/small&gt;.}}


{{ls|ja|このページは、様々な言語で行われた議論の要約を含んでいます。あなたの言語で、この事柄についてを議論をするには、[[{{TALKPAGENAME}}|ノートページ]]でお願いします。&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Ja|もっと詳しく]])&lt;/small&gt;}}

{{ls|nl|Deze pagina bevat samenvattingen van de discussies die hebben plaatsgevonden in verschillende talen. Om mee te discussiëren in uw eigen taal moet u naar de [[{{TALKPAGENAME}}|Overlegpagina]] gaan
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Nl|Meer informatie]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|no|Dette siden inneholder sammendrag av diskusjoner som har funnet sted på forskjellige språk. For å diskutere dette emnet på ditt språk, gå til [[{{TALKPAGENAME}}|diskusjonssiden]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/No|les mer]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|ksh|Op dä Sigk hee senn koote Zesammefassonge fun dä Shtemme uss_ennem Klaaf, wo de Lück mieh wi ëjn Shprooch schwaade. Medmache kannß_De en Dinge Sprooch op dä [[{{TALKPAGENAME}}|Klaaf_Sigk]]
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism|Mieh hee_drövver …]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|pl|Na tej stronie znajdziesz podsumowanie dyskusji, która toczy się w kilku językach. Aby wyrazić swoją opinię na ten temat w swoim języku, przejdź do [[{{TALKPAGENAME}}|strony dyskusji]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Pl|Dowiedz się więcej]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|pt|Esta página contem sumários de discussões feitas em diversos idiomas. Para discutir sobre este assunto em sua língua, vá até a [[{{TALKPAGENAME}}|página de discussão]]
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism|mais informações]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|ru|Эта страница содержит краткое изложение обсуждения, которое ведется на нескольких языках. Чтобы высказаться на эту тему на своем языке, пройдите на [[{{TALKPAGENAME}}|страницу обсуждения]] &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/En|Узнать больше]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|sv| Denna sida innehåller sammanfattningar av diskussioner som förts på flera olika språk. Diskussioner på svenska sker på [[{{TALKPAGENAME}}|diskussionssidan]]. &lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Sv|Läs mer om språksamordning]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|es|Ésta página contiene resúmenes de discusiones, los cuales se han hecho en diferentes idiomas. Para discutir sobre éste tema en su idioma, vaya a:  [[{{TALKPAGENAME}}|página de discusión]]
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Es|más información]])&lt;/small&gt;.}}

{{ls|zh|此頁有在各種語言上進行的討論的總結.  若您想用您的語言討論此主題, 請進[[{{TALKPAGENAME}}|討論頁]].
&lt;small&gt;([[Wikiversity:Multilingualism/Zh|多語言系統]])&lt;/small&gt;}}
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>71upee8r53y7d4qzejgjr8j10xke19l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversity:Multilingualism/pl</title>
    <ns>4</ns>
    <id>41744</id>
    <revision>
      <id>385561</id>
      <parentid>379908</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T08:03:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.&quot;</comment>
      <origin>385561</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6889" sha1="eulrwykr56oawds4xure8zp986nnzoz" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;

Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Existing system ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Multilingualism is often a one-way concept: first there is a source page in English language, then people translate it to make it understandable to non-English-readers. The main drawback of this system is non-English-writers cannot take part in discussion, all they can do is passively read what is translated.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
As the issues discussed on Beta concern Wikiversities in all languages, it is necessary that participants from all projects can give their opinions.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Proposed system ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''Discussion about this proposal is welcome on the talk page.''
&lt;/div&gt;

&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion1.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''1''' - Participants starting a new discussion write a short summary of what it is about and add a link on the coordination mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion2.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''2''' - Translators translate the summary to other languages, and add the links on the coordination page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion3.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''3''' - On each language talk page, people discuss, give opinions and ask questions. They write a short paragraph summing this up and write it on their language subpage with a new ID number. On the coordination mother page, they add the ID number and the link to their summary.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion4.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''4''' - Translators regularly check the coordination page and reflect the new summary on their page (with the same ID). They add links from the mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion5.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''5''' - Discussion goes on. Each new summary is given a new unique ID number which identifies it on the coordination page and on all language subpages.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Guidelines to make this system work ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''The shorter, the better.''' Conciseness is the key to efficient multilingual discussions. Long paragraphs will probably not be translated, nor will they be reflected on other language pages. That means the possible ideas / criticisms / questions will not get any attention.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Announce :''' when a discussion starts, it should be announced on [[Wikiversity:Announcements]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Paragraph numbering:''' Paragraphs should be numbered to be easily identified: first summary is #1, new summaries follow. This means participants have to check the other pages before adding a paragraph on their page to make sure their page is up-to-date and to avoid number conflicts.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Benefits of this system ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Everybody can join and take part in the discussion.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Participants are required to be brief and to focus on key topics.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Consensus is likely to occur between all participants, whatever their language is.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Drawbacks ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* This system relies on the number of translators and their efficiency.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;Translation&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Tłumaczenie ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you are proficient in more than one language, add yourself to the translators list at '''[[Wikiversity:Translation]]'''.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;See_also&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==Zobacz też==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[Wikiversity:Language select]]
&lt;/div&gt;

&lt;!--== Internal Links ==
* [[Meta:Babel templates|Language skill templates]] (Babel templates): you can indicate your linguistic skills on your user page.

* Interlanguage links on [[Meta:Interlanguage links|Meta]] and [[w:en:Wikipedia:Interlanguage links|en:Wikipedia]], [[Talk:Interwiki bot]] (updater of links) 
* Summary of the various-language Wikipedias:  '''[[Wikipedia language overviews]]''' (needs contribution!) | [[Complete list of Wikimedia projects]]

* Multilingual coordination: [[Interlingual coordination]]([[Interlingual_coordination#Links_relevant_to_coordination|links]]) | [[w:en:Wikipedia:Multilingual coordination|en:Multiling Coordination]] (issues and list of WPs), [[w:en:Wikipedia:Local Embassy|Local Embassies]] for helping visitors get used to your local WP
* Multilingual style: [[Thoughts_on_Multilingualism]] (essay by Jmabel (ca. 12/2003) on  naming objects, pages, people originally from other langs). 
* [[Meta:Conventions for multilingualism]]

* Translation: [[w:en:Wikipedia:Translation into English|...into English]] - fab project (by Jmabel) to request/fill transl requests (also [[de:Wikipedia:Übersetzungen|...into German]], [[fr:Wikipédia:Traductions en cours|...into French]], [[ja:Wikipedia:翻訳依頼]], [[ro:Wikipedia:Articole de tradus|...into Romanian]], [[zh-cn:Wikipedia:待翻译文章|...into Simplified Chinese]], and [[zh:Wikipedia:待翻譯文章|...into Traditional Chinese]]), and [[w:en:Wikipedia:Pages needing translation into English|en:Pages needing translation]] - garbled pages on en: needing to be salvaged.
** Tools: [[w:en:Wikipedia:Language recognition chart|Lang recognition chart]] for identifying unfamiliar charactersets.
** Translation Group in [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity Wikiversity]: &amp;nbsp;[http://wikibooks.org/wiki/Wikiversidad:Área_de_Traducción Español] | [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity%3ATranslation_practice_course English]--&gt;

[[Category:Wikiversity:Multilingualism{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>eulrwykr56oawds4xure8zp986nnzoz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385563</id>
      <parentid>385561</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Istniejący system ==&quot;</comment>
      <origin>385563</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6871" sha1="dufa42r1nvafqk3h6h2zjrm39xm0by0" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;

Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.

&lt;span id=&quot;Existing_system&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Istniejący system ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Multilingualism is often a one-way concept: first there is a source page in English language, then people translate it to make it understandable to non-English-readers. The main drawback of this system is non-English-writers cannot take part in discussion, all they can do is passively read what is translated.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
As the issues discussed on Beta concern Wikiversities in all languages, it is necessary that participants from all projects can give their opinions.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Proposed system ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''Discussion about this proposal is welcome on the talk page.''
&lt;/div&gt;

&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion1.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''1''' - Participants starting a new discussion write a short summary of what it is about and add a link on the coordination mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion2.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''2''' - Translators translate the summary to other languages, and add the links on the coordination page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion3.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''3''' - On each language talk page, people discuss, give opinions and ask questions. They write a short paragraph summing this up and write it on their language subpage with a new ID number. On the coordination mother page, they add the ID number and the link to their summary.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion4.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''4''' - Translators regularly check the coordination page and reflect the new summary on their page (with the same ID). They add links from the mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion5.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''5''' - Discussion goes on. Each new summary is given a new unique ID number which identifies it on the coordination page and on all language subpages.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Guidelines to make this system work ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''The shorter, the better.''' Conciseness is the key to efficient multilingual discussions. Long paragraphs will probably not be translated, nor will they be reflected on other language pages. That means the possible ideas / criticisms / questions will not get any attention.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Announce :''' when a discussion starts, it should be announced on [[Wikiversity:Announcements]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Paragraph numbering:''' Paragraphs should be numbered to be easily identified: first summary is #1, new summaries follow. This means participants have to check the other pages before adding a paragraph on their page to make sure their page is up-to-date and to avoid number conflicts.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Benefits of this system ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Everybody can join and take part in the discussion.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Participants are required to be brief and to focus on key topics.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Consensus is likely to occur between all participants, whatever their language is.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Drawbacks ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* This system relies on the number of translators and their efficiency.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;Translation&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Tłumaczenie ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you are proficient in more than one language, add yourself to the translators list at '''[[Wikiversity:Translation]]'''.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;See_also&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==Zobacz też==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[Wikiversity:Language select]]
&lt;/div&gt;

&lt;!--== Internal Links ==
* [[Meta:Babel templates|Language skill templates]] (Babel templates): you can indicate your linguistic skills on your user page.

* Interlanguage links on [[Meta:Interlanguage links|Meta]] and [[w:en:Wikipedia:Interlanguage links|en:Wikipedia]], [[Talk:Interwiki bot]] (updater of links) 
* Summary of the various-language Wikipedias:  '''[[Wikipedia language overviews]]''' (needs contribution!) | [[Complete list of Wikimedia projects]]

* Multilingual coordination: [[Interlingual coordination]]([[Interlingual_coordination#Links_relevant_to_coordination|links]]) | [[w:en:Wikipedia:Multilingual coordination|en:Multiling Coordination]] (issues and list of WPs), [[w:en:Wikipedia:Local Embassy|Local Embassies]] for helping visitors get used to your local WP
* Multilingual style: [[Thoughts_on_Multilingualism]] (essay by Jmabel (ca. 12/2003) on  naming objects, pages, people originally from other langs). 
* [[Meta:Conventions for multilingualism]]

* Translation: [[w:en:Wikipedia:Translation into English|...into English]] - fab project (by Jmabel) to request/fill transl requests (also [[de:Wikipedia:Übersetzungen|...into German]], [[fr:Wikipédia:Traductions en cours|...into French]], [[ja:Wikipedia:翻訳依頼]], [[ro:Wikipedia:Articole de tradus|...into Romanian]], [[zh-cn:Wikipedia:待翻译文章|...into Simplified Chinese]], and [[zh:Wikipedia:待翻譯文章|...into Traditional Chinese]]), and [[w:en:Wikipedia:Pages needing translation into English|en:Pages needing translation]] - garbled pages on en: needing to be salvaged.
** Tools: [[w:en:Wikipedia:Language recognition chart|Lang recognition chart]] for identifying unfamiliar charactersets.
** Translation Group in [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity Wikiversity]: &amp;nbsp;[http://wikibooks.org/wiki/Wikiversidad:Área_de_Traducción Español] | [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity%3ATranslation_practice_course English]--&gt;

[[Category:Wikiversity:Multilingualism{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>dufa42r1nvafqk3h6h2zjrm39xm0by0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385565</id>
      <parentid>385563</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wielojęzyczność jest często koncepcją jednokierunkową: najpierw powstaje strona źródłowa w języku angielskim, a następnie tłumaczona jest ona, aby była zrozumiała dla czytelników nieznających języka angielskiego. Główną wadą tego systemu jest to, że osoby nieznające języka angielskiego nie mogą brać udziału w dyskusji, mogą jedynie biernie czytać to, co zostało przetłumaczone.&quot;</comment>
      <origin>385565</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6915" sha1="4i9e21it9a54sq12cc266bro3jglyjt" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;

Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.

&lt;span id=&quot;Existing_system&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Istniejący system ==

Wielojęzyczność jest często koncepcją jednokierunkową: najpierw powstaje strona źródłowa w języku angielskim, a następnie tłumaczona jest ona, aby była zrozumiała dla czytelników nieznających języka angielskiego. Główną wadą tego systemu jest to, że osoby nieznające języka angielskiego nie mogą brać udziału w dyskusji, mogą jedynie biernie czytać to, co zostało przetłumaczone.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
As the issues discussed on Beta concern Wikiversities in all languages, it is necessary that participants from all projects can give their opinions.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Proposed system ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''Discussion about this proposal is welcome on the talk page.''
&lt;/div&gt;

&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion1.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''1''' - Participants starting a new discussion write a short summary of what it is about and add a link on the coordination mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion2.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''2''' - Translators translate the summary to other languages, and add the links on the coordination page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion3.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''3''' - On each language talk page, people discuss, give opinions and ask questions. They write a short paragraph summing this up and write it on their language subpage with a new ID number. On the coordination mother page, they add the ID number and the link to their summary.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion4.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''4''' - Translators regularly check the coordination page and reflect the new summary on their page (with the same ID). They add links from the mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion5.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''5''' - Discussion goes on. Each new summary is given a new unique ID number which identifies it on the coordination page and on all language subpages.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Guidelines to make this system work ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''The shorter, the better.''' Conciseness is the key to efficient multilingual discussions. Long paragraphs will probably not be translated, nor will they be reflected on other language pages. That means the possible ideas / criticisms / questions will not get any attention.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Announce :''' when a discussion starts, it should be announced on [[Wikiversity:Announcements]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Paragraph numbering:''' Paragraphs should be numbered to be easily identified: first summary is #1, new summaries follow. This means participants have to check the other pages before adding a paragraph on their page to make sure their page is up-to-date and to avoid number conflicts.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Benefits of this system ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Everybody can join and take part in the discussion.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Participants are required to be brief and to focus on key topics.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Consensus is likely to occur between all participants, whatever their language is.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Drawbacks ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* This system relies on the number of translators and their efficiency.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;Translation&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Tłumaczenie ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you are proficient in more than one language, add yourself to the translators list at '''[[Wikiversity:Translation]]'''.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;See_also&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==Zobacz też==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[Wikiversity:Language select]]
&lt;/div&gt;

&lt;!--== Internal Links ==
* [[Meta:Babel templates|Language skill templates]] (Babel templates): you can indicate your linguistic skills on your user page.

* Interlanguage links on [[Meta:Interlanguage links|Meta]] and [[w:en:Wikipedia:Interlanguage links|en:Wikipedia]], [[Talk:Interwiki bot]] (updater of links) 
* Summary of the various-language Wikipedias:  '''[[Wikipedia language overviews]]''' (needs contribution!) | [[Complete list of Wikimedia projects]]

* Multilingual coordination: [[Interlingual coordination]]([[Interlingual_coordination#Links_relevant_to_coordination|links]]) | [[w:en:Wikipedia:Multilingual coordination|en:Multiling Coordination]] (issues and list of WPs), [[w:en:Wikipedia:Local Embassy|Local Embassies]] for helping visitors get used to your local WP
* Multilingual style: [[Thoughts_on_Multilingualism]] (essay by Jmabel (ca. 12/2003) on  naming objects, pages, people originally from other langs). 
* [[Meta:Conventions for multilingualism]]

* Translation: [[w:en:Wikipedia:Translation into English|...into English]] - fab project (by Jmabel) to request/fill transl requests (also [[de:Wikipedia:Übersetzungen|...into German]], [[fr:Wikipédia:Traductions en cours|...into French]], [[ja:Wikipedia:翻訳依頼]], [[ro:Wikipedia:Articole de tradus|...into Romanian]], [[zh-cn:Wikipedia:待翻译文章|...into Simplified Chinese]], and [[zh:Wikipedia:待翻譯文章|...into Traditional Chinese]]), and [[w:en:Wikipedia:Pages needing translation into English|en:Pages needing translation]] - garbled pages on en: needing to be salvaged.
** Tools: [[w:en:Wikipedia:Language recognition chart|Lang recognition chart]] for identifying unfamiliar charactersets.
** Translation Group in [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity Wikiversity]: &amp;nbsp;[http://wikibooks.org/wiki/Wikiversidad:Área_de_Traducción Español] | [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity%3ATranslation_practice_course English]--&gt;

[[Category:Wikiversity:Multilingualism{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>4i9e21it9a54sq12cc266bro3jglyjt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385567</id>
      <parentid>385565</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Ponieważ kwestie omawiane na forum Beta dotyczą Wikiwersytetów we wszystkich językach, konieczne jest, aby uczestnicy ze wszystkich projektów mogli wyrazić swoje opinie.&quot;</comment>
      <origin>385567</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6886" sha1="1odg7d1vz5rtuww3ho2tv6vo9t8dgur" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;

Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.

&lt;span id=&quot;Existing_system&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Istniejący system ==

Wielojęzyczność jest często koncepcją jednokierunkową: najpierw powstaje strona źródłowa w języku angielskim, a następnie tłumaczona jest ona, aby była zrozumiała dla czytelników nieznających języka angielskiego. Główną wadą tego systemu jest to, że osoby nieznające języka angielskiego nie mogą brać udziału w dyskusji, mogą jedynie biernie czytać to, co zostało przetłumaczone.

Ponieważ kwestie omawiane na forum Beta dotyczą Wikiwersytetów we wszystkich językach, konieczne jest, aby uczestnicy ze wszystkich projektów mogli wyrazić swoje opinie.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Proposed system ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''Discussion about this proposal is welcome on the talk page.''
&lt;/div&gt;

&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion1.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''1''' - Participants starting a new discussion write a short summary of what it is about and add a link on the coordination mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion2.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''2''' - Translators translate the summary to other languages, and add the links on the coordination page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion3.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''3''' - On each language talk page, people discuss, give opinions and ask questions. They write a short paragraph summing this up and write it on their language subpage with a new ID number. On the coordination mother page, they add the ID number and the link to their summary.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;width:49%;display:block;float:right;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion4.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''4''' - Translators regularly check the coordination page and reflect the new summary on their page (with the same ID). They add links from the mother page.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div&gt;
&lt;div style=&quot;width:50%;display:block;float:left;align:center;&quot;&gt; 
[[File:Discussion5.svg|400px|center|thumb|&lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;'''5''' - Discussion goes on. Each new summary is given a new unique ID number which identifies it on the coordination page and on all language subpages.&lt;/span&gt;]]
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Guidelines to make this system work ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''The shorter, the better.''' Conciseness is the key to efficient multilingual discussions. Long paragraphs will probably not be translated, nor will they be reflected on other language pages. That means the possible ideas / criticisms / questions will not get any attention.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Announce :''' when a discussion starts, it should be announced on [[Wikiversity:Announcements]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''Paragraph numbering:''' Paragraphs should be numbered to be easily identified: first summary is #1, new summaries follow. This means participants have to check the other pages before adding a paragraph on their page to make sure their page is up-to-date and to avoid number conflicts.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Benefits of this system ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Everybody can join and take part in the discussion.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Participants are required to be brief and to focus on key topics.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Consensus is likely to occur between all participants, whatever their language is.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Drawbacks ===
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* This system relies on the number of translators and their efficiency.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;Translation&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Tłumaczenie ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you are proficient in more than one language, add yourself to the translators list at '''[[Wikiversity:Translation]]'''.
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;See_also&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==Zobacz też==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[Wikiversity:Language select]]
&lt;/div&gt;

&lt;!--== Internal Links ==
* [[Meta:Babel templates|Language skill templates]] (Babel templates): you can indicate your linguistic skills on your user page.

* Interlanguage links on [[Meta:Interlanguage links|Meta]] and [[w:en:Wikipedia:Interlanguage links|en:Wikipedia]], [[Talk:Interwiki bot]] (updater of links) 
* Summary of the various-language Wikipedias:  '''[[Wikipedia language overviews]]''' (needs contribution!) | [[Complete list of Wikimedia projects]]

* Multilingual coordination: [[Interlingual coordination]]([[Interlingual_coordination#Links_relevant_to_coordination|links]]) | [[w:en:Wikipedia:Multilingual coordination|en:Multiling Coordination]] (issues and list of WPs), [[w:en:Wikipedia:Local Embassy|Local Embassies]] for helping visitors get used to your local WP
* Multilingual style: [[Thoughts_on_Multilingualism]] (essay by Jmabel (ca. 12/2003) on  naming objects, pages, people originally from other langs). 
* [[Meta:Conventions for multilingualism]]

* Translation: [[w:en:Wikipedia:Translation into English|...into English]] - fab project (by Jmabel) to request/fill transl requests (also [[de:Wikipedia:Übersetzungen|...into German]], [[fr:Wikipédia:Traductions en cours|...into French]], [[ja:Wikipedia:翻訳依頼]], [[ro:Wikipedia:Articole de tradus|...into Romanian]], [[zh-cn:Wikipedia:待翻译文章|...into Simplified Chinese]], and [[zh:Wikipedia:待翻譯文章|...into Traditional Chinese]]), and [[w:en:Wikipedia:Pages needing translation into English|en:Pages needing translation]] - garbled pages on en: needing to be salvaged.
** Tools: [[w:en:Wikipedia:Language recognition chart|Lang recognition chart]] for identifying unfamiliar charactersets.
** Translation Group in [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity Wikiversity]: &amp;nbsp;[http://wikibooks.org/wiki/Wikiversidad:Área_de_Traducción Español] | [http://wikibooks.org/wiki/Wikiversity%3ATranslation_practice_course English]--&gt;

[[Category:Wikiversity:Multilingualism{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>1odg7d1vz5rtuww3ho2tv6vo9t8dgur</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Portal:Інститут чорних дір/Семінари</title>
    <ns>0</ns>
    <id>49243</id>
    <revision>
      <id>385517</id>
      <parentid>385424</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T13:34:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Galaxy Accelerator</username>
        <id>31236</id>
      </contributor>
      <origin>385517</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8269" sha1="dvmd8hh45rt3e1zawwzx81k30ulko93" xml:space="preserve">=== План семінару 21 липня 2026 року ===
# Програма гамовської конференції.
# NGC3998.
# Символ Нептуна.
# Подвійні наднові.

=== План семінару 14 липня 2026 року ===
# Конкурс наукових тем.
# Квантова свідомість.
# Енергія обертання чорних дір.
# Графіки у європейський фізичний журнал.

== Минулі семінари ==

=== План семінару 14 липня 2026 року ===
# Aerosols and hydrocarbons in the atmosphere of a white dwarf planet.
# Огляд препринтів за червень.
# Нова діаграма активності галактик.
# Стійкість голих сингулярностей.

== 2025 ==

=== План семінару 15 липня 2025 року ===
# Гамовська конференція.
# Препринт про збурення у ЗТВ з скалярним полем.
# Семінар з f(R)-гравітації.
# Орбіти навколо чорних дір.

=== План семінару 10 червня 2025 року ===
# Resolution of the neutron lifetime puzzle.
# Полярні збурення у ЗТВ з скалярним полем.
# Інфляція у f(R)-гравітації.
# Проблеми ШІ з каскадною нотацією.


=== План семінару 13 травня 2025 року ===
# Реєстрація на конференцію &quot;Астрономія та фізика космосу&quot;.
# Статті за квітень.
# Коваріантна похідна.
# Виведення метрики Керра.

=== План семінару 29 квітня 2025 року ===
# Абстракт доповіді про сингулярності.
# Підготовка школярів з теоретичної астрофізики.
# Релятивістська теорія Владимирова.
# Електронний мікроскоп.

=== План семінару 22 квітня 2025 року ===
# Текст статті про сингулярності.
# План модернізації комп'ютерів до 2040.
# Релятивістська теорія гравітації.
# Символи Кристофеля.

== 2024 ==

=== План семінару 20 серпня 2024 року ===
# Гамовська конференція.
# Dip learning.
# Сингулярності зі скалярним полем.
# Написання книг у Chat GPT.

=== План семінару 5 березня 2024 року ===
# Колаборація з росіянами.
# Модернізація комп'ютера Умбріель.
# Новини астрофізики за лютий.
# Нові скрипти ХММ.

=== План семінару 30 січня 2024 року ===
# Планування публікацій на 2025 рік.
# Рецензія статті у Astronomy and Astrophysics.
# Полярні квазінормальні моди чорних дір.
# Перспективи використання MMODA.

== 2023 ==

=== План семінару 5 грудня 2023 року ===
# Сервер у лабораторії 425.
# Реєстрація на асамблею МАС до 1 березня.
# Перспективи теми МОН на КАО.
# Нові статті з рентгенівської астрономії.

=== План семінару 7 листопада 2023 року ===
# Нова стаття для гранту GFD.
# Реєстрація на асамблею МАС.
# Подвійний вік Всесвіту.
# Покупка кольорового принтера.

=== План семінару 17 жовтня 2023 року ===
# Результати поїздки у Львів 12-15 жовтня.
# Доповідь Євгена Сагая про NGC1275.
# Стаття в Astronomy and Astrophysics про SDSS.
# Адміністрування комп'ютера Нереїда.

=== План семінару 26 вересня 2023 року ===
# Поїздка у Львів 12-15 жовтня.
# Підсумки вступу в аспірантуру ФФ.
# Плани публікацій на 2024 рік.
# Комп'ютери з теми НФФД.

=== План семінару 29 серпня 2023 року ===
# Секційні доповіді Гамовської конференції.
# Новини клуба &quot;Астрополіс&quot;.
# Огляд україномовної літератури з астрономії.
# Методи досліджень великомасштабної структури.

=== План семінару 15, 22 серпня 2023 року ===
# Гамовська конференція.
# Лекції з теорії відносності.
# Огляд літератури.
# Густина нейтронних зір.

=== План семінару 8 серпня 2023 року ===
# Astro-ph news.
# Ліквідація VIRGO.UA.
# Набір аспірантів до КНУ.
# Конференція у Львові.

=== План семінару 1 серпня 2023 року ===
# Підготовка до конференції в Одесі. Надсилання статей до 30 вересня.
# Jiangsu Qingfei Talent Technology.
# Хід написання програми з моделювання аксіонів.
# Наукові публікації та тези конференцій за 2023 рік,

=== План семінару 20 червня 2023 року ===
# Швець Антон. Бакалаврська робота &quot;Розв'язки рівнянь Максвелла у сферичній системі координат&quot;.
# Prospects of detecting soft X-ray emission from typical WHIM filaments around massive clusters and the Coma cluster soft excess.
# Фізика високих енергій на гратці.
# Планківська відстань.

=== План семінару 13 червня 2023 року ===
# Швидкі блакитні наднові.
# Пакет SAS на комп'ютері Титанія.
# Алгоритм двовимірної апроксимації філаментів.
# Методи об'єднання рентгенівських спектрів.

=== План семінару 6 червня 2023 року ===
# Новини астрофізики.
# Тема Федорової.
# Іспит з позагалактичної астрономії.
# Статті про SDSS i Mrk 273.

=== План семінару 30 травня 2023 року ===
# Апроксимація міжгалактичних філаментів графами.
# Аксіонна зоря.
# VPN, VNC, SSH і вимикання світла.
# Робота у Китаї.

=== План семінару 23 травня 2023 року ===
# Публікація статті про мережу філаментів у Astrophysical Journal.
# Недостача рентгенівських галактик з низькою металічністю у SDSS.
# Проблема означення Великого Вибуху.
# Конференція &quot;Астрономія та фізика космосу&quot;.

=== План семінару 16 травня 2023 року ===
# Відповідь на рецензію MNRAS на статтю про рентгенівські галактики SDSS.
# Обговорення перенаправлення статті про Маркаряна 273 з Physics до Astronomische Nachrihten.
# Визначення журналу для публікації статті про графітовий всесвіт.
# Перспективи написання роботи на МАН про емерджентну гравітацію.
# Репетиція захисту дипломної Гугніна. 
# Встановлення програмного забезпечення ХММ на комп'ютер Титанія.

[[Category:Портал:Інститут чорних дір]]
[[Category:UK]]</text>
      <sha1>dvmd8hh45rt3e1zawwzx81k30ulko93</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Equacions Bat</title>
    <ns>0</ns>
    <id>51070</id>
    <revision>
      <id>385515</id>
      <parentid>378007</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T13:18:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <comment>+reformant</comment>
      <origin>385515</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18904" sha1="m19nqfdhizqts16tgbdym0iqm0gqa71" xml:space="preserve">En aquesta secció es treballen les equacions d'una sola incògnita amb diferents tipus d'ordre i diferents equacions.

Orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

= Introducció =
[[File:Función ejemplo 01.svg|right]]
Es resoldran equacions del tipus:

:&lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt;

I les solucions són de la forma:

:&lt;math&gt;x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots&lt;/math&gt;

Però també hi ha equacions que no tenen cap solució.

Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb el gràfic de la funció.

== Equacions polinòmiques ==

=== Equacions lineals ===
[[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]]
Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma:

:&lt;math&gt;ax+b=0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;a,b\in\mathbb{R}.&lt;/math&gt;

De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus &lt;math&gt;x=k.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; No són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.&lt;/ref&gt;

==== Exemples comparatius ====

1) &lt;math&gt;f(x)=3x-2&lt;/math&gt; és una recta no horitzontal  i, per tant, com a funció &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; el seu gràfic creua l'eix &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; al punt solució &lt;math&gt;x=\tfrac{2}{3}.&lt;/math&gt;

:¿Quan es creua el gràfic amb l'eix &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;? només s'ha de fer que &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; i, a partir de &lt;math&gt;y=3\cdot(0)-2,&lt;/math&gt; s'obté que &lt;math&gt;y=-2.&lt;/math&gt; També es pot dir que la solució és el punt &lt;math&gt;(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).&lt;/math&gt;

2) &lt;math&gt;f(x)=5&lt;/math&gt; és una recta horitzontal i, per tant, com a funció &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; el seu gràfic no creua l'eix &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;

3) &lt;math&gt;x=5&lt;/math&gt; com a equació és una recta vertical 

=== Equacions no lineals ===

Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar en la forma:

:&lt;math&gt;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0&lt;/math&gt;

On els coeficients &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; de cada terme són constants reals.

El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.&lt;ref&gt;De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.&lt;/ref&gt;

== Equacions racionals ==

Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma:

:&lt;math&gt;\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;P(x)\;i\;Q(x)&lt;/math&gt; són polinomis.

El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica.

== Equacions irracionals ==

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; width=&quot;400px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot;
|'''Propietats'''
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; height=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;
|-
|Si la hipòtesi és que &lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; vol dir que només busquem solucions de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; ja que &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; sempre és positiva per culpa del quadrat.

*no hi ha cap problema en fer la arrel de &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; doncs l'arrel té el domini a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; que és on estan totes les possibles solucions.

*Hi ha la possibilitat que &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; per alguna &lt;math&gt;x,&lt;/math&gt; per això es considera la possibilitat que l'arrel &lt;math&gt;\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; sigui negativa.

Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí.

Per provar que &lt;math&gt;f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; cal observar:

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva.

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\leqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa.

Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament.

;Observació:

Si s'escriu &lt;math&gt;f^2(x)&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;(f(x))^2&lt;/math&gt; i si s'escriu &lt;math&gt;fx^2&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt; Ara cal evitar &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa &lt;math&gt;f^2(x),&lt;/math&gt; ja que es fàcil de confondre amb &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt;
|}
|-
|
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|-
|Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel:

:&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}&lt;/math&gt;

I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; llavors &lt;math&gt;\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;
|-
|S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0.&lt;/math&gt;

En cas de que l'equació sigui &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;

Llavors només cal prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)=0.&lt;/math&gt; Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps.

La implicació oposada és falsa, jo puc trobar &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(x)=g(x),&lt;/math&gt; però amb &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)&lt;0&lt;/math&gt; que queda exclosa com a solució amb l'expressió &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.&lt;/math&gt;

Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió:

&lt;math&gt;\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;

Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda:

&lt;math&gt;\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|}
|}

Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.&lt;ref&gt;Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?.

:Si volem '''x''' dintre d'una arrel: &lt;math&gt;\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1&lt;/math&gt;

:Si volem que les solucions siguin arrels &lt;math&gt;1+x=\sqrt{2}+1&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

Són del tipus:

:&lt;math&gt;\sqrt{x+1}=x&lt;/math&gt;

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; width=&quot;550px&quot;|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]]
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot;|&lt;math&gt;\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x&lt;/math&gt; si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel.
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot;|&lt;math&gt;\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x&lt;/math&gt; si '''n''' és imparell és cert a &lt;math&gt;\mathbb{R}.&lt;/math&gt;
|}

;Exemples a estudiar:

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|1) &lt;math&gt;\sqrt{x^2+1}=2x&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1=3x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

'''Prova'''

Cas &lt;math&gt;x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|2) &lt;math&gt;\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 &lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-2=0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x=2\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

::&lt;math&gt;\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;1-2=-1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-1=-1\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

'''Raonament'''

Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;4=x+2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x=2\;&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|3) &lt;math&gt;\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} &lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

Cas &lt;math&gt;x_1=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1+2=3\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3=3\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2=-\frac{25}{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;&lt;/math&gt; no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|4) &lt;math&gt;\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

:&lt;math&gt;\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4=4x^4+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3=4x^4\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

En aquest cas fem la comprovació amb &lt;math&gt;x = \pm 0,930\,605&lt;/math&gt; i surt:&lt;ref&gt;Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.&lt;/ref&gt;

Cas &lt;math&gt;x_1 = 0,930605\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2 = -0,930605\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892&lt;/math&gt; sí és correcte.
|}
|}

== Equacions exponencials ==

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|'''Propietats'''
|-
|&lt;math&gt;a^0 =1\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;a^1 =a\;&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a}
_{\sharp a=n}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^n\cdot a^m=a^{n+m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(a^n)^m=a^{n\cdot m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}&lt;/math&gt;
|}

Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials.

;Notació

La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com:

:&lt;math&gt;a^x =y&lt;/math&gt; on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de &lt;math&gt;(0,+\infty)&lt;/math&gt;

;Propietat

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;70%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Demostració&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|&lt;math&gt;a^n=a^m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow n=m&lt;/math&gt; per '''a''' pertanyent a &lt;math&gt;(0,1)\cup (1,+\infty)&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|S'ha simplificat el que en realitat es demostra és:

:&lt;math&gt;a^{f(x)}=a^{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;a\in (0,1)\cup (1,+\infty)&lt;/math&gt;

Només fa falta veure que si dos valors &lt;math&gt;m\neq n&lt;/math&gt; llavors &lt;math&gt;m+\varepsilon =n&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;\varepsilon &gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\Rightarrow a^{m+\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a^m\cdot a^{\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt;

Però &lt;math&gt;a^\varepsilon\neq 1&lt;/math&gt;, de fet &lt;math&gt;a^\varepsilon = 1 \Leftrightarrow a=1 \lor \varepsilon =0,&lt;/math&gt; per tant

:&lt;math&gt;a^m\cdot a^{\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a^m \neq a^n&lt;/math&gt;

El camí invers es fa construint un valors &lt;math&gt;\delta\neq 1&lt;/math&gt; que &lt;math&gt;a^m \cdot \delta=a^n&lt;/math&gt; i és per tant &lt;math&gt;a^\varepsilon=\delta&lt;/math&gt;

Per tant queda provat que &lt;math&gt;a^n=a^m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow n=m&lt;/math&gt; i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra.
|}

Exemples d'equacions:

1) Troba la solució de:

a) &lt;math&gt;3^x=9&lt;/math&gt;

b) &lt;math&gt;7^{3x}=7^2&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt;2^{1-x}=8&lt;/math&gt;

d) &lt;math&gt;5^{2x}+5^x=2&lt;/math&gt;

== Equacions logarítmiques ==

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|Propietats
|-
|&lt;math&gt;\log_a x = \log_a y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x = y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a a = 1\;&lt;/math&gt; 𝑖 &lt;math&gt;\;\log_a 1 =0&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a x = \frac{\log x}{\log a}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a (x^n) =n \log_a x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}&lt;/math&gt;
|}

Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes.

;Notació

El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com:

:&lt;math&gt;\log_a x=y&lt;/math&gt; on '''x''' és un nombre real a &lt;math&gt;(0,+\infty)&lt;/math&gt;

Recordant que:

:&lt;math&gt;\log x &lt;/math&gt; serà el logaritme en base 10, és a dir &lt;math&gt;\log_{10} x.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\ln x &lt;/math&gt; serà el logaritme en base '''e''', és a dir &lt;math&gt;\log_e x&lt;/math&gt; i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural.

;Definició

:&lt;math&gt;\log_a x=y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=a^y,\;\;&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;x\in (0,+\infty)&lt;/math&gt;

En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de &lt;math&gt;\log x&lt;/math&gt; com a &lt;math&gt;\log_e x,&lt;/math&gt; i també per defecte es pot trobar &lt;math&gt;\log x&lt;/math&gt; com a &lt;math&gt;\log_2 x.&lt;/math&gt;

== Notes i referències ==

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>m19nqfdhizqts16tgbdym0iqm0gqa71</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385547</id>
      <parentid>385515</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T20:45:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <comment>+Rescatant contingut de 4t ESO i adaptant-lo.</comment>
      <origin>385547</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23469" sha1="pzj731h8yav2htd9qzv14bh5xbgeapr" xml:space="preserve">Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

= Introducció =

En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. 

Es veuran equacions d'una sola variable de la forma &lt;math&gt;f(x)=0.&lt;/math&gt; Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; on aquesta variable de més, &lt;math&gt;y,&lt;/math&gt; permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions.

Es veuran equacions de dos variables de la forma &lt;math&gt;f(x,y)=0.&lt;/math&gt; Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables.

== Equacions d'una variable ==
[[File:Función ejemplo 01.svg|right]]
Es resoldran equacions del tipus:

:&lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt;

I les solucions són de la forma:

:&lt;math&gt;x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.&lt;/math&gt;

També hi ha equacions que no tenen cap solució.

Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; i el gràfic de la funció, és a dir &lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Equacions polinòmiques ===

Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma:

:&lt;math&gt;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0&lt;/math&gt;

On els coeficients de cada terme és &lt;math&gt;a_i\in\mathbb{R}.&lt;/math&gt;

El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.&lt;ref&gt;De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.&lt;/ref&gt;

==== Equacions lineals ====
[[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]]
Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma:

:&lt;math&gt;ax+b=0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;a,b\in\mathbb{R}.&lt;/math&gt;

De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus &lt;math&gt;x=k.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&lt;math&gt;x=k&lt;/math&gt; no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.&lt;/ref&gt;

Les equacions com &lt;math&gt;y=ax+b&lt;/math&gt; formen part de les equacions de la forma &lt;math&gt;ax+by+c=0,&lt;/math&gt; que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus &lt;math&gt;f(x,y)=0,&lt;/math&gt; és a dir, té les variables &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;y.&lt;/math&gt;

===== Exemples comparatius =====

1) &lt;math&gt;f(x)=3x-2&lt;/math&gt; és una recta no horitzontal  i, per tant, com a funció &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; el seu gràfic creua l'eix &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; al punt solució &lt;math&gt;x=\tfrac{2}{3}.&lt;/math&gt;

:¿Quan es creua el gràfic amb l'eix &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;? només s'ha de fer que &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; i, a partir de &lt;math&gt;y=3\cdot(0)-2,&lt;/math&gt; s'obté que &lt;math&gt;y=-2.&lt;/math&gt; També es pot dir que la solució és el punt &lt;math&gt;(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).&lt;/math&gt;

2) &lt;math&gt;f(x)=5&lt;/math&gt; és una recta horitzontal i, per tant, com a funció &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt; el seu gràfic no creua l'eix &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;

3) &lt;math&gt;x=5&lt;/math&gt; com a equació és una recta vertical.

==== Equacions de segon grau ====

{|cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Exemple&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus &lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt; on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució &lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|
Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són:

:&lt;math&gt;x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;

Això és degut al signe de &lt;math&gt;\pm&lt;/math&gt; que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa.

'''Exemple i resolució:'''

:&lt;math&gt;x^2+5x-6=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\
x_2=-6. \end{cases}&lt;/math&gt;
|}
|width=&quot;205px&quot; valign=&quot;top&quot; rowspan=&quot;2&quot;|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&amp;nbsp;d.C.]]
|-
|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure més&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|
;Interpretació gràfica

Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals:

:&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització.

;Observació sobre el discriminant &lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;:

Què passa si el discriminant fos positiu: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta}?&lt;/math&gt;

* Té 2 solucions diferents.
* El polinomi factoritza: &lt;math&gt;ax^2+bx+c&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)&lt;/math&gt;
* El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''.
Què passa si el discriminant fos zero: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?&lt;/math&gt;

* Té una solució.
* El polinomi factoritza: &lt;math&gt;ax^2+bx+c&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a\cdot (x-x_1)^2&lt;/math&gt;
* El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''.
Què passa si el discriminant fos negatiu: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?&lt;/math&gt;

* No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos.
* El polinomi per tant no factoritza als nombres reals.
* El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''.

Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''?

* Si a&gt;0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt.
:* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola.
* Si a&lt;0 llavors les branques de la paràbola van cap avall.
:* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola.
: El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles:
:* Mentre més gran és, puja més la paràbola.
:* Mentre més petit és, baixa més la paràbola.
|}
|}

=== Equacions racionals ===

Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma:

:&lt;math&gt;\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;P(x)\;i\;Q(x)&lt;/math&gt; són polinomis.

El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica.

=== Equacions irracionals ===

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; width=&quot;400px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot;
|'''Propietats'''
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; height=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;
|-
|Si la hipòtesi és que &lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; vol dir que només busquem solucions de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; ja que &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; sempre és positiva per culpa del quadrat.

*no hi ha cap problema en fer la arrel de &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; doncs l'arrel té el domini a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; que és on estan totes les possibles solucions.

*Hi ha la possibilitat que &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; per alguna &lt;math&gt;x,&lt;/math&gt; per això es considera la possibilitat que l'arrel &lt;math&gt;\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; sigui negativa.

Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí.

Per provar que &lt;math&gt;f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; cal observar:

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva.

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\leqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa.

Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament.

;Observació:

Si s'escriu &lt;math&gt;f^2(x)&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;(f(x))^2&lt;/math&gt; i si s'escriu &lt;math&gt;fx^2&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt; Ara cal evitar &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa &lt;math&gt;f^2(x),&lt;/math&gt; ja que es fàcil de confondre amb &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt;
|}
|-
|
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|-
|Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel:

:&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}&lt;/math&gt;

I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; llavors &lt;math&gt;\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;
|-
|S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0.&lt;/math&gt;

En cas de que l'equació sigui &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;

Llavors només cal prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)=0.&lt;/math&gt; Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps.

La implicació oposada és falsa, jo puc trobar &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(x)=g(x),&lt;/math&gt; però amb &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)&lt;0&lt;/math&gt; que queda exclosa com a solució amb l'expressió &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.&lt;/math&gt;

Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió:

&lt;math&gt;\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;

Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda:

&lt;math&gt;\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|}
|}

Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.&lt;ref&gt;Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?.

:Si volem '''x''' dintre d'una arrel: &lt;math&gt;\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1&lt;/math&gt;

:Si volem que les solucions siguin arrels &lt;math&gt;1+x=\sqrt{2}+1&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

Són del tipus:

:&lt;math&gt;\sqrt{x+1}=x&lt;/math&gt;

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; width=&quot;550px&quot;|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]]
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot;|&lt;math&gt;\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x&lt;/math&gt; si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel.
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot;|&lt;math&gt;\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x&lt;/math&gt; si '''n''' és imparell és cert a &lt;math&gt;\mathbb{R}.&lt;/math&gt;
|}

;Exemples a estudiar:

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|1) &lt;math&gt;\sqrt{x^2+1}=2x&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1=3x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

'''Prova'''

Cas &lt;math&gt;x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;&lt;/math&gt; no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|2) &lt;math&gt;\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 &lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-2=0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x=2\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

::&lt;math&gt;\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;1-2=-1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-1=-1\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

'''Raonament'''

Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;4=x+2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow\;x=2\;&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|3) &lt;math&gt;\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} &lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

&lt;math&gt;\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

Cas &lt;math&gt;x_1=1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;1+2=3\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3=3\;&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2=-\frac{25}{3}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;&lt;/math&gt; no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|4) &lt;math&gt;\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Fem el quadrat a banda i banda:

:&lt;math&gt;\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;4=4x^4+1\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;3=4x^4\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;&lt;/math&gt;

'''Prova'''

En aquest cas fem la comprovació amb &lt;math&gt;x = \pm 0,930\,605&lt;/math&gt; i surt:&lt;ref&gt;Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.&lt;/ref&gt;

Cas &lt;math&gt;x_1 = 0,930605\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892&lt;/math&gt; sí és correcte.

Cas &lt;math&gt;x_2 = -0,930605\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892&lt;/math&gt; sí és correcte.
|}
|}

== Equacions exponencials ==

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|'''Propietats'''
|-
|&lt;math&gt;a^0 =1\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;a^1 =a\;&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a}
_{\sharp a=n}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;a^n\cdot a^m=a^{n+m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(a^n)^m=a^{n\cdot m}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}&lt;/math&gt;
|}

Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials.

;Notació

La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com:

:&lt;math&gt;a^x =y&lt;/math&gt; on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de &lt;math&gt;(0,+\infty)&lt;/math&gt;

;Propietat

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;70%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Demostració&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|&lt;math&gt;a^n=a^m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow n=m&lt;/math&gt; per '''a''' pertanyent a &lt;math&gt;(0,1)\cup (1,+\infty)&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|S'ha simplificat el que en realitat es demostra és:

:&lt;math&gt;a^{f(x)}=a^{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;a\in (0,1)\cup (1,+\infty)&lt;/math&gt;

Només fa falta veure que si dos valors &lt;math&gt;m\neq n&lt;/math&gt; llavors &lt;math&gt;m+\varepsilon =n&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;\varepsilon &gt;0.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\Rightarrow a^{m+\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a^m\cdot a^{\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt;

Però &lt;math&gt;a^\varepsilon\neq 1&lt;/math&gt;, de fet &lt;math&gt;a^\varepsilon = 1 \Leftrightarrow a=1 \lor \varepsilon =0,&lt;/math&gt; per tant

:&lt;math&gt;a^m\cdot a^{\varepsilon}=a^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a^m \neq a^n&lt;/math&gt;

El camí invers es fa construint un valors &lt;math&gt;\delta\neq 1&lt;/math&gt; que &lt;math&gt;a^m \cdot \delta=a^n&lt;/math&gt; i és per tant &lt;math&gt;a^\varepsilon=\delta&lt;/math&gt;

Per tant queda provat que &lt;math&gt;a^n=a^m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow n=m&lt;/math&gt; i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra.
|}

Exemples d'equacions:

1) Troba la solució de:

a) &lt;math&gt;3^x=9&lt;/math&gt;

b) &lt;math&gt;7^{3x}=7^2&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt;2^{1-x}=8&lt;/math&gt;

d) &lt;math&gt;5^{2x}+5^x=2&lt;/math&gt;

== Equacions logarítmiques ==

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|Propietats
|-
|&lt;math&gt;\log_a x = \log_a y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x = y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a a = 1\;&lt;/math&gt; 𝑖 &lt;math&gt;\;\log_a 1 =0&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a x = \frac{\log x}{\log a}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a (x^n) =n \log_a x&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}&lt;/math&gt;
|}

Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes.

;Notació

El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com:

:&lt;math&gt;\log_a x=y&lt;/math&gt; on '''x''' és un nombre real a &lt;math&gt;(0,+\infty)&lt;/math&gt;

Recordant que:

:&lt;math&gt;\log x &lt;/math&gt; serà el logaritme en base 10, és a dir &lt;math&gt;\log_{10} x.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\ln x &lt;/math&gt; serà el logaritme en base '''e''', és a dir &lt;math&gt;\log_e x&lt;/math&gt; i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural.

;Definició

:&lt;math&gt;\log_a x=y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=a^y,\;\;&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;x\in (0,+\infty)&lt;/math&gt;

En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de &lt;math&gt;\log x&lt;/math&gt; com a &lt;math&gt;\log_e x,&lt;/math&gt; i també per defecte es pot trobar &lt;math&gt;\log x&lt;/math&gt; com a &lt;math&gt;\log_2 x.&lt;/math&gt;

== Notes i referències ==

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>pzj731h8yav2htd9qzv14bh5xbgeapr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Equacions IV</title>
    <ns>0</ns>
    <id>52425</id>
    <revision>
      <id>385558</id>
      <parentid>384235</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T07:17:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <comment>/* Equacions lineals */ +simplificant.</comment>
      <origin>385558</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28373" sha1="pbncwf6qh2mph32hkwbnaxlwpb55ugf" xml:space="preserve">[[File:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|150px|L'''Aritmètica'' de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions al segle III&amp;nbsp;a.C.]]
Aquesta secció continua amb les equacions de primer grau i segon grau, ampliant la introducció al mètode de Ruffini.

S'integrarà la representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió, com a connexió entre conceptes.

L'ordre històric va ser diferent, doncs es va produir de forma abstracta, de vegades casual, i es va aplicar a successos molt concrets. S'inclouen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb què es produeixen els avenços, sobretot quan es duen a terme estudis partint de zero.

S'ha procurat un llenguatge planer i accessible, amb redundàncies deliberades, per posar èmfasi en certes característiques i interpretacions.

== Equacions de primer grau ==

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Exemples&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|Les '''equacions de primer grau''' són equacions que un cop simplificades són del tipus &lt;math&gt;ax+b=0&lt;/math&gt; on almenys '''a''' sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial:

:&lt;math&gt;ax+b=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow ax=-b&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-b}{a}&lt;/math&gt;

Per tant es pot dir que sempre té solució i és única.
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Exemples amb resolució:'''

1) &lt;math&gt;3x+9=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow 3x=-9&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-9}{3}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=-3.&lt;/math&gt;

2) &lt;math&gt;3 + 2x-1=-5+x+4&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x+3=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=-3.&lt;/math&gt;
|}

== Equacions lineals ==

{|cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Exemples&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|Les [[Exercicis d'equacions lineals IV|'''equacions lineals''']] sobre 2 incògnites d'on poden sortir '''les funcions afins''', són equacions que en simplificar-les són del tipus &lt;math&gt;ax+by=c&lt;/math&gt; on almenys '''a''' o '''b''' siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus &lt;math&gt;y=dx+e&lt;/math&gt; sempre que el valors de '''b''' no sigui zero, &lt;math&gt;b\ne 0,&lt;/math&gt; en cas contrari és una recta vertical.
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre '''x''' i '''y''', i això es pot representar al pla cartesià.[[File:GráficaEjercicio.svg|right|200px]]

Representació de les equacions

a) &lt;math&gt;x+y=0.&lt;/math&gt;

b) &lt;math&gt;4x+7y=5&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt;x-y=2&lt;/math&gt;

d) &lt;math&gt;3x=2y&lt;/math&gt;

e) &lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

f) &lt;math&gt;3x+y=0&lt;/math&gt;

g) &lt;math&gt;y=-1&lt;/math&gt;
|}
|width=&quot;205px&quot; rowspan=&quot;2&quot;|[[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|200px|thumb|'''René Descartes''' va introduir la geometria analítica al voltant de l'any 1630&amp;nbsp;d.C.]]
|-
|
;Exercicis per representar

1) Els clavells costen 2&amp;nbsp;€ la unitat, les roses 3&amp;nbsp;€ la unitat i jo tinc 23&amp;nbsp;€.
:a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l.
:b) Puc gastar tot en clavells?
:c) Puc gastar tot en roses?

2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 3 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 5 unitats.
:a)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 5 capses independentment del contingut? Representa'l.
:b)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 39 unitats independentment de si són cargols o platines? Representa'l.
|}

== Equacions de segon grau ==

{|cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Exemple resolt&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus &lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt; on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució &lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|
S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són:

:&lt;math&gt;x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;

Això és degut al signe de &lt;math&gt;\pm&lt;/math&gt; que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa.

'''Exemple i resolució:'''

:&lt;math&gt;x^2+5x-6=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\
x_2=-6. \end{cases}&lt;/math&gt;
|}
|width=&quot;205px&quot; rowspan=&quot;2&quot;|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&amp;nbsp;d.C.]]
|-
|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure més&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|
;Interpretació gràfica

Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals:

:&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització.

;Observació sobre el discriminant &lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;:

Què passa si el discriminant fos positiu: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta}?&lt;/math&gt;

* Té 2 solucions diferents.
* El polinomi factoritza: &lt;math&gt;ax^2+bx+c&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)&lt;/math&gt;
* El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''.
Què passa si el discriminant fos zero: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?&lt;/math&gt;

* Té una solució.
* El polinomi factoritza: &lt;math&gt;ax^2+bx+c&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a\cdot (x-x_1)^2&lt;/math&gt;
* El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''.
Què passa si el discriminant fos negatiu: &lt;math&gt;\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?&lt;/math&gt;

* No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos.
* El polinomi per tant no factoritza als nombres reals.
* El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''.

Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''?

* Si a&gt;0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt.
:* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola.
* Si a&lt;0 llavors les branques de la paràbola van cap avall.
:* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola.
: El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles:
:* Mentre més gran és, puja més la paràbola.
:* Mentre més petit és, baixa més la paràbola.
|}
|}

== Equacions polinòmiques ==

Per resoldre equacions polinòmiques es pot fer servir [[Factorització_de_polinomis_IV|'''Ruffini''']], no és un mètode útil per resoldre equacions però es donen equacions arreglades per ser resoltes amb facilitat.

Teniu exercicis de resolució d'equacions amb Ruffini [[Factorització_de_polinomis_IV#Exercicis|al tema de Ruffini 1 i 2.]]

Només cal entendre que resoldre una equació és factoritzar-la i dir quins són els valors pels quals la factorització és zero.

Exercicis:

1) Resol fent Ruffini successivament.

:a) &lt;math&gt;x^3+5x^2-13x+7=0&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;x^5+3x^4+2x^3-2x^2-3x-1=0&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;x^3-2x^2-9x+18=0&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;x^3-19x+30=0&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;x^3-9x^2+27x-27=0&lt;/math&gt;

:f) &lt;math&gt;x^3-14x^2+49x-36=0&lt;/math&gt;

:g) &lt;math&gt;x^2+x-1=0&lt;/math&gt;

Solucions:a) 1 i -7, b) 1 i -1, c)3, -3 i 2, d)3, 2 i -5, e)3, f)1, 9 i 4 g)&lt;math&gt;\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&lt;/math&gt;

== Equacions biquadràtiques ==

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i exemple resolt&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|Les '''equacions biquadràtiques''' són equacions que en simplificar-les són del tipus &lt;math&gt;ax^4+bx^2+c=0.&lt;/math&gt; 
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolucions equivalents'''

'''1a''' resolució utilitzant canvi de variable: &lt;math&gt;z=x^2&lt;/math&gt; d'on &lt;math&gt;z^2=x^4&lt;/math&gt; i per tant l'equació biquadràtica es converteix en &lt;math&gt;az^2+bz+c=0&lt;/math&gt; que és una equació de segon grau i per tant té les solucions:

:&lt;math&gt;z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.&lt;/math&gt;

d'on hem de resoldre &lt;math&gt;z=x^2&lt;/math&gt; que dona &lt;math&gt;x=\pm\sqrt{z}&lt;/math&gt;

'''2a''' resolució utilitzant la solució genèrica: &lt;math&gt;x=\pm_1\sqrt{\frac{-b\pm_2\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}&lt;/math&gt;

;Exemple de cada resolució:

'''1a''' resolució de l'equació amb el canvi &lt;math&gt;z=x^2&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;z^2=x^4&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;x^4-5x^2+4=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow z^2-5z+4=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \begin{cases}z_1=1 \\
z_2=4 \end{cases}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\
x_2=-1\\
x_3=\;\;\;2\\
x_4=-2. \end{cases}&lt;/math&gt;

'''2a''' resolució de l'equació &lt;math&gt;x^4-5x^2+4=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_2\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_23}{2}}\Rightarrow\begin{cases}
\pm\sqrt{1}
\Rightarrow\begin{cases}
\;\;\;1\\
-1\end{cases}
\\
\pm\sqrt{4}
\Rightarrow\begin{cases}
\;\;\;2\\
-2 \end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\
x_2=-1\\
x_3=\;\;\;2\\
x_4=-2. \end{cases}&lt;/math&gt;
|}

== Equacions en general ==

Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques:

:&lt;math&gt;f(x)=g(x)&lt;/math&gt;

Aquestes expressions &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen.

Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de '''x''' coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; i un altre anomenat &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;

[[File:Ecuación v001.svg|center]]

'''Teatralització''': Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ?

=== Equacions amb fraccions algèbriques ===

Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades:

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|1) &lt;math&gt;2x=-\frac{1}{x+1}+2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|
;Resolució

:&lt;math&gt;\frac{2x\cdot (x+1)}{x+1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2\cdot (x+1)}{x+1}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2x\cdot (x+1)=-1+2\cdot (x+1)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x\ne -1&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;2x^2+2x=-1+2x+2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow 2x^2=1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|2) &lt;math&gt;x+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|
;Resolució

:&lt;math&gt;\frac{x\cdot (x-2)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-\frac{2\cdot (x-2)}{x-2}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;x\cdot (x-2)+2=-x-2\cdot (x-2)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x\ne 2&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;x^2-2x+2=-x-2x+4&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x^2+x-2=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x_1=1, x_2=-2&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|3) &lt;math&gt;x^2-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|
;Resolució

:&lt;math&gt;\frac{x^2\cdot (x+1)}{x+1}-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;x^2\cdot (x+1)-5x^2=5x&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x\ne -1&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;x^3+x^2-5x^2=5x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x(x^2-4x-5)=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x_1=0, x_2=5, x_3=\cancel{-1}&lt;/math&gt;

El -1 no és solució perquè en substituir-lo dona divisió entre zero.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució explicada&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|4) &lt;math&gt;\frac{x^2}{x+2}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple &lt;math&gt;mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),&lt;/math&gt; com que els únics factors són &lt;math&gt;(x+3)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;(x+2)&lt;/math&gt; llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1.

*&lt;math&gt;mcm=(x+2)(x+3)&lt;/math&gt; que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador:

:&lt;math&gt;\frac{(x+3)x^2}{(x+3)(x+2)}=\frac{1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}&lt;/math&gt;

{|bgcolor=&quot;#dfd&quot;
|[[File:Achtung.png|50px]]
|Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de '''x''' on és zero aquest denominador, és a dir &lt;math&gt;(x+3)(x+2)=0,&lt;/math&gt; que té els zeros '''x=-3''' i '''x=-2''' que són valors '''prohibits com a solució''' a la equació original.
|}

:&lt;math&gt;(x+3)x^2=1\cdot (x+2)+1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x^3+3x^2=x+2+1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow x^3+3x^2-x-3=0&lt;/math&gt;

on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la '''solució són els valors &lt;math&gt;x_1 = -1&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x_2 = 1&lt;/math&gt;'''.

{|width=&quot;100%&quot;
|
{|bgcolor=&quot;#dfd&quot;
|Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució.
|}
|align=&quot;right&quot;| &lt;math&gt;\Box&lt;/math&gt;
|}

'''Comprovació amb eines tecnològiques'''

Amb el [https://www.geogebra.org/calculator|'''GeoGebra'''] podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents:

*&lt;math&gt;f(x)=\frac{x^2}{x+2}&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;g(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}&lt;/math&gt;

Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada '''x''' dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts &lt;math&gt;x_1 = -1&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x_2 = 1&lt;/math&gt;.
|}

5) &lt;math&gt;\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}+1=\frac{4}{x-3}&lt;/math&gt;

6) &lt;math&gt;\frac{x^3}{x+10}+\frac{9}{(x+1)(x+10)}=\frac{x^2}{x+1}&lt;/math&gt;

Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar:

a) &lt;math&gt;\frac{x}{x+1}=\frac{20}{x^2-1}&lt;/math&gt;

b) &lt;math&gt;\frac{x^3-3x-2}{x^3+3x^2-4}=0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt;\frac{x^3}{x^3+3x^2+2x}=\frac{4}{x+1}+\frac{1-4x}{x^2+3x+2}&lt;/math&gt;

==== Representació de fraccions algèbriques ====

Secció per representar les fraccions algèbriques especialment per trobar zeros d'aquestes. A partir de qualsevol equació de les anteriors es pot obtenir fàcilment fraccions del tipus:

:&lt;math&gt;\frac{P(x)}{Q(x)}=0&lt;/math&gt;

Agrupant tots els termes a un cantó de la igualtat, ajuntar-los en una sola fracció i reduir el resultat. Mai enviar a dividir gratuïtament expressions perquè surt car.

Ara busquem quan és '''zero, positiva o negativa''' aquestes fraccions algèbriques com a funcions sense importar el valor concret, per tant donem els quatre exemples principals en el que es basa tot i algunes curiositats:

;Exemples:

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot;
|valign=&quot;top&quot;|1) &lt;math&gt;f(x)=(x+1)&lt;/math&gt;

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot;|-1||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|x+1
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|- - - - - -
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|0
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos001.svg|170px]]
|valign=&quot;top&quot;|2) &lt;math&gt;f(x)=(2-x)&lt;/math&gt;

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot;|2||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|2-x
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|0
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|- - - - - -
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos002.svg|170px]]
|valign=&quot;top&quot;|3) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{(1-x)}&lt;/math&gt;

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot; align=&quot;center&quot;|1||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|&lt;math&gt;\tfrac{1}{1-x}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|- - - - - -
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos003.svg|170px]]
|valign=&quot;top&quot;|4) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{(x+2)}&lt;/math&gt;

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot; align=&quot;center&quot;|-2||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|&lt;math&gt;\tfrac{1}{x+2}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|- - - - - -
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos004.svg|170px]]
|-
|valign=&quot;top&quot;|5) &lt;math&gt;f(x)=(x+3)^n&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; i parell

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot; align=&quot;center&quot;|-3||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|&lt;math&gt;(x+3)^n&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos005.svg|170px]]
|valign=&quot;top&quot;|6) &lt;math&gt;f(x)=(x+3)^n&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; i imparell

'''Taula''' de signes

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|||||style=&quot;border: 2px solid #aaf&quot; align=&quot;center&quot;|-3||
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|&lt;math&gt;(x+3)^n&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|- - - - - -
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000&quot;|++++++
|}

'''Esquema''' de representació de la funció

[[File:Representación de sigonos006.svg|170px]]
|}

=== Equacions irracionals ===

{|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot; align=&quot;right&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; width=&quot;400px&quot;|'''Propietats'''
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; height=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;
|-
|Si la hipòtesi és que &lt;math&gt;f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; vol dir que només busquem solucions de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; ja que &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; sempre és positiva per culpa del quadrat.

*no hi ha cap problema en fer la arrel de &lt;math&gt;g(x)&lt;/math&gt; doncs l'arrel té el domini a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; que és on estan totes les possibles solucions.

*Hi ha la possibilitat que &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; per alguna &lt;math&gt;x,&lt;/math&gt; per això es considera la possibilitat que l'arrel &lt;math&gt;\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; sigui negativa.

Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí.

Per provar que &lt;math&gt;f(x)=\pm\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)^2=g(x)&lt;/math&gt; cal observar:

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva.

*Si tenim el cas &lt;math&gt;f(x)=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; són valors reals on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\leqslant 0,&lt;/math&gt; aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa.

Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament.

;Observació:

Si s'escriu &lt;math&gt;f^2(x)&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;(f(x))^2&lt;/math&gt; i si s'escriu &lt;math&gt;fx^2&lt;/math&gt; vol dir que és &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt; Ara cal evitar &lt;math&gt;f(x)^2&lt;/math&gt; que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa &lt;math&gt;f^2(x),&lt;/math&gt; ja que es fàcil de confondre amb &lt;math&gt;f(x^2).&lt;/math&gt;
|}
|-
|
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|-
|Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel:

:&lt;math&gt;f(x)^2=g(x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}&lt;/math&gt;

I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a &lt;math&gt;[0,\infty)&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; llavors &lt;math&gt;\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;
|-
|S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;g(x)\geqslant 0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;f(x)\geqslant 0.&lt;/math&gt;

En cas de que l'equació sigui &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}&lt;/math&gt;

Llavors només cal prendre les solucions d'&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; com a un valor real on &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)=0.&lt;/math&gt; Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps.

La implicació oposada és falsa, jo puc trobar &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;f(x)=g(x),&lt;/math&gt; però amb &lt;math&gt;f(x)&lt;0&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;g(x)&lt;0&lt;/math&gt; que queda exclosa com a solució amb l'expressió &lt;math&gt;\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.&lt;/math&gt;

Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió:

&lt;math&gt;\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=g(x)&lt;/math&gt;

Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda:

&lt;math&gt;\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a-b&lt;/math&gt;
|}
|-
||
{|width=&quot;100%&quot; style=&quot;border: 1px solid #bbf&quot; cellpadding=&quot;3&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;*&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a+2\sqrt{a\cdot b}+b&lt;/math&gt;
|}
|}

Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi.

1) Exemples elementals:

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;3=\sqrt{x^2-7}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|No hi ha &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; fora de l'arrel, per tant només fa falta aïllar

:&lt;math&gt;(3)^2=\left(\sqrt{x^2-7}\right)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 9=x^2-7&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 16=x^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=\pm\sqrt{ 16^{\phantom{1}} }=\pm 4&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;3=\sqrt{9}&lt;/math&gt; és correcte,

Cas 1: &lt;math&gt;3=\sqrt{9}&lt;/math&gt; és correcte.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;x=\sqrt{x}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Elevem al quadrat a cada costat

:&lt;math&gt;(x)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x^2=x&lt;/math&gt;

Resolem amb factor comú:

:&lt;math&gt;x^2-x=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x(x-1)=0&lt;/math&gt;

Llavors o bé &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; o bé &lt;math&gt;x=1.&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;0=\sqrt{0}&lt;/math&gt; és correcte,

Cas 1: &lt;math&gt;1=\sqrt{1}&lt;/math&gt; és correcte.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|c) &lt;math&gt;x=\sqrt{x+1\;}\;+1&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Deixem sola l'arrel i elevem al quadrat

:&lt;math&gt;(x-1)^2=\left(\sqrt{x+1\;}\right)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x^2-2x+1=x+1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x^2-3x=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x(x-3)=0&lt;/math&gt;

Llavors o bé &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; o bé &lt;math&gt;x=3.&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;0=2&lt;/math&gt; No és correcte,

Cas 3: &lt;math&gt;3=3&lt;/math&gt; és correcte.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|d) &lt;math&gt;\sqrt{x}=x^2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Elevem al quadrat

:&lt;math&gt;(\sqrt{x})^2=(x^2)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=x^4&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 0=x^4-x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 0=x(x^3-1)&lt;/math&gt; 

llavors o bé &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; o bé &lt;math&gt;x^3-1=0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=\sqrt[3]{1^{\phantom{1}} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=1&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;0=0&lt;/math&gt; és correcte,

Cas 1: &lt;math&gt;1=1&lt;/math&gt; és correcte.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|e) &lt;math&gt;\sqrt{2x}=4-x&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Elevem al quadrat
:&lt;math&gt;(\sqrt{2x})^2=(4-x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 2x=16-8x+x^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 0=x^2-10x+16&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=5\pm 3&lt;/math&gt;

llavors o bé &lt;math&gt;x=8&lt;/math&gt; o bé &lt;math&gt;x=2.&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;4=-4&lt;/math&gt; no és correcte,

Cas 1: &lt;math&gt;2=2&lt;/math&gt; és correcte.
|}

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;50%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Amaga&quot;
|-
|f) &lt;math&gt;\sqrt{x}=x^2-2x&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Elevem al quadrat
:&lt;math&gt;(\sqrt{x})^2=(x^2-2x)^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow x=x^4-4x^3+4x^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 0=x^4-4x^3+4x^2-x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 0=x(x^3-4x^2+4x-1)&lt;/math&gt;

Per Ruffini surt que &lt;math&gt;x^3-4x^2+4x-1=(x-1)(x^2-3x+1)&lt;/math&gt;

Amb una equació de 2n grau surt que &lt;math&gt;x^2-3x+1=\left( x-\tfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\tfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)&lt;/math&gt;

llavors té les solucions: &lt;math&gt;x=0,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x=\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x=\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}.&lt;/math&gt;

;Comprovació:

Cas 0: &lt;math&gt;0=0&lt;/math&gt; és correcte,

Cas 1: &lt;math&gt;1=-1&lt;/math&gt; no és correcte.

Cas &lt;math&gt;\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}&lt;/math&gt;: no és correcte.

Cas &lt;math&gt;\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}&lt;/math&gt;: és correcte.
|}

2) Exemples amb 2 arrels:

a) &lt;math&gt;\sqrt{x}=\sqrt{2x-1}&lt;/math&gt;

b) &lt;math&gt;1+\sqrt{x}=\sqrt{2x-2}&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt;1=\sqrt{x}-\sqrt{5-x}&lt;/math&gt;

d) &lt;math&gt;\sqrt{5-x^2}=\sqrt{x^2-3}&lt;/math&gt;

e) &lt;math&gt;2\sqrt{5-x^2}=\sqrt{8-x^2}&lt;/math&gt;

== Vegis també ==
[[Escola secundària]]
*[[Matemàtiques 4 ESO]]

== Notes i referències ==

[[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>pbncwf6qh2mph32hkwbnaxlwpb55ugf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>User:Satya Rambana</title>
    <ns>2</ns>
    <id>55839</id>
    <revision>
      <id>385557</id>
      <parentid>385512</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T04:55:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan materi yang sedang ditulis dan kontribusi dalam jumlah bita</comment>
      <origin>385557</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2267" sha1="oz6msbmf1nn4mawej3lg0gjd562u1sd" xml:space="preserve">{{#babel:id|en-3}}

Saya bernama pena yakni Satya Rambana. Saya memiliki latar belakang di bidang Matematika dan Fisika. Kehadiran saya adalah untuk menyajikan tulisan-tulisan di Wikiversitas bahasa Indonesia sebagai upaya untuk meningkatkan wawasan ilmu sains dan teknologi yang belum banyak memiliki bacaan terbuka untuk bisa dibaca dan dipelajari oleh para pelajar di Indonesia dengan bahasa Indonesia. Sejauh ini memang banyak buku-buku ajar bahasa Inggris yang dapat diakses secara terbuka, tetapi tidak seluruh orang punya kemampuan memahaminya karena batas bahasa yang ada dan legalitas aksesnya. Sehingga saya berharap kita bersama bisa membuat bacaan yang layak dan mudah dipahami oleh para generasi pelajar serta juga meningkatkan semangat keterbukaan ilmu pengetahuan agar ilmu pengetahuan tidak menjadi tertutup, baik tertutup karena kendala akses biaya ataupun akses bahasa.

=== Prinsip Belajar ===
''Jangan pernah memperlakukan kurikulum sebagai standar belajar maksimal, tetapi jadikanlah kurikulum sebagai standar belajar minimal. Bagaimana cara kita melampaui standar kurikulum adalah dengan melihat batas konsep yang diajarkan dari kurikulum tersebut untuk kemudian kita pelajari secara mandiri dengan referensi-referensi yang jauh lebih sulit di atas kurikulum tersebut.''

== Risalah Pengajaran ==
Saya sedang menulis untuk risalah pengajaran sebagai berikut. 
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Risalah Pengajaran
|-
! Judul !! Deskripsi !! Tautan
|-
| Matematika Keuangan || Mengandung topik penerapan ilmu matematika untuk keuangan seperti bunga, diskonto, anuitas, nilai uang terhadap waktu, dan lainnya. Rencana penambahan teks dilakukan setiap hari. || https://beta.wikiversity.org/wiki/Matematika_Keuangan
|-
| Matematika Visual || Mengandung topik penyampaian ilmu matematika dengan visualisasi geometri, seperti aritmetika dengan geometri, aljabar geometri, dan lainnya. Rencana penambahan teks tiap seminggu sekali. || https://beta.wikiversity.org/wiki/Matematika_Visual
|}

== Jumlah Kontribusi ==
Akun dibuat pada 13 Juli 2026, telah melakukan perubahan sebagai berikut. 
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Total Kontribusi
|-
! Suntingan !! Total bita
|-
| 27 || 21.840
|}
''Data terhitung sampai 28 Juli 2026, diperbarui setiap tanggal 1 tiap bulannya.''</text>
      <sha1>oz6msbmf1nn4mawej3lg0gjd562u1sd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55870</id>
    <revision>
      <id>385518</id>
      <parentid>385508</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T14:19:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Merubah ketentuan referensi</comment>
      <origin>385518</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5543" sha1="gcywa9vwsebvwgtbsznlk11ubq9v6qk" xml:space="preserve">Matematika Keuangan adalah risalah pengajaran yang memberikan wawasan terhadap cabang matematika terkait dengan keuangan. Tujuan dari risalah ini adalah untuk menghadirkan bacaan berbahasa Indonesia yang dapat diakses secara bebas dan dipelajari oleh seluruh kalangan agar dapat mengelola keuangan sesuai dengan ilmu-ilmu matematika yang telah ada.

== Pengantar ==
Uang adalah pondasi kehidupan kita hari ini. Hidup memang tidak selalu tentang uang, tetapi tanpa uang hidup terasa sulit dan berat. Uang telah menjadi alat tukar yang mudah untuk dibawa dan disimpan saat ini. Pengelolaan uang tentu ada sangkut pautnya dengan matematika, selain dari pengendalian diri sendiri atas memilah mana kebutuhan dan mana keinginan. Risalah matematika keuangan ini diharapkan mampu memberikan wawasan tentang pengelolaan uang sehingga meningkatkan kehati-hatian dalam mengambil keputusan keuangan.

== Daftar Isi ==
Berikut adalah halaman-halaman yang menyertai risalah matematika keuangan.
# [[/Prasyarat untuk Matematika Keuangan |'''Bab 1 - Prasyarat Matematika Keuangan''']] Berisi penjelasan atas konsep dasar matematika yang digunakan dalam keuangan, mulai dari aritmatika hingga kalkulus.
# [[/Bunga |'''Bab 2 - Bunga''']] Berisi atas penjelasan bunga tunggal, bunga majemuk, diskonto, dan sebagainya.

== Panduan untuk Pembelajar ==
* Bacalah secara perlahan dan jangan terburu-buru melompati paragraf penjelas maupun daftar isi untuk mencari kesimpulan.
* Risalah ini disusun secara runtut agar dapat dibaca dan dipahami secara bertahap, sehingga bab pertama adalah prasyarat agar dapat memahami bab berikutnya.
* Ulangi setiap proses perhitungan dengan cermat untuk memperkuat pemahaman.
* Pelajari daftar referensi sumber terbuka yang diberikan untuk memperkuat pemahaman Anda setelah menyelesaikan bab-bab dari risalah pembelajaran ini yang telah Anda pahami.

== Segmentasi Pembaca ==
Risalah pembelajaran ini ditujukan untuk khalayak umum dan pembelajar mandiri dengan prasyarat telah terbiasa dengan operasi aritmatika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian). 

== Panduan Penulisan ==
Panduan penulisan diterapkan pada risalah ini agar menjaga keotentikan antara mana teks yang diambil dari sumber lain dan mana teks yang merupakan pengembangan penulis sendiri.

Risalah ini ditulis dengan mengedepankan perbedaan antara kalimat yang diambil dari suatu sumber dengan kalimat penjelas. Kalimat penjelas tidak mengandung sitasi apapun dan merupakan penjelasan atau tafsiran sendiri dari penulis. Kalimat penjelas yang kemudian dijelaskan sendiri oleh penulis dapat diletakkan sebelum atau sesudah kalimat yang dikutip pada satu paragraf yang sama dan dapat diikuti dengan paragraf-paragraf penjelas. 

=== Referensi Terkutip ===
Penulisan risalah pengajaran memisahkan kalimat yang dikutip (baik kalimat tersebut telah di parafrase ataupun diterjemahkan) dengan kalimat penjelas. Kalimat yang dikutip dari sumber terkait akan ditandai di akhir kalimat dengan sitasi numerik dan kemudian di akhir dari setiap halaman risalah akan disertai referensi seperti berikut. 
----
Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.&lt;ref&gt;Euclid, Thomas Little Heath, and J. L. (Johan Ludvig) Heiberg. 1908. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge, The University Press. hlm:172. https://archive.org/details/thirteenbookseu02heibgoog/page/n172/mode/2up (July 27, 2026).
&lt;/ref&gt; 

==== Referensi Terkutip ====
----
&lt;references /&gt;
----

=== Referensi Inspirasi ===
Referensi inspirasi adalah referensi di mana ide dari suatu referensi dianggap kurang menjelaskan untuk diberikan ke awam sehingga tidak dikutip secara langsung, seperti penurunan atau penjabaran persamaan. Sehingga kemudian penulis membuat versi yang lebih jelas dari bentuk dasar atau definisi awal. Penulisan referensi inspirasi diletakkan di bawah dari posisi referensi terkutip dengan disertai keterangan pembuka. Contohnya adalah sebagai berikut.
----
==== Referensi Inspirasi ====
# Bagian penjabaran rumus suku barisan aritmetika dan penjabaran rumus jumlah barisan aritmetika terinspirasi dengan penyesuaian dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).
----
Referensi inspirasi diadakan untuk tujuan menghormati pemikiran dari penulis buku terkait bahwa ide-idenya memberikan petunjuk, tetapi masih perlu dilakukan penyesuaian agar bisa lebih jelas dan dipahami oleh orang awam.

== Aturan Penulisan Referensi==
Aturan penulisan referensi yang digunakan untuk referensi adalah ''APSA Style Manual Revised 2018 Edition'' dengan penyesuaian sebelum tautan ditambahkan nomor halaman. Halaman yang dicantumkan adalah halaman pada tampilan pembaca dokumen dari Internet Archive, bukan halaman fisik yang ada di buku terkait.

== Aturan Sumber Referensi ==
Referensi yang digunakan harus dapat diakses secara penuh tiap halamannya dengan legal. Referensi-referensi yang diperbolehkan adalah hanya buku-buku yang ada di Internet Archive, dimana buku tersebut harus dapat dibaca dan diunduh tanpa memerlukan akun. 

== Daftar Referensi ==
Referensi-referensi yang digunakan oleh seluruh bagian risalah ini adalah sebagai berikut. 
# Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. http://archive.org/details/completearithmet00wentiala (July 28, 2026).
# S R Knight. 1890. Higher Algebra. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>gcywa9vwsebvwgtbsznlk11ubq9v6qk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385550</id>
      <parentid>385518</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T23:48:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Memperbaiki daftar isi</comment>
      <origin>385550</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5536" sha1="6ap4ljs1ggkn933rt0o64d6ayipml19" xml:space="preserve">Matematika Keuangan adalah risalah pengajaran yang memberikan wawasan terhadap cabang matematika terkait dengan keuangan. Tujuan dari risalah ini adalah untuk menghadirkan bacaan berbahasa Indonesia yang dapat diakses secara bebas dan dipelajari oleh seluruh kalangan agar dapat mengelola keuangan sesuai dengan ilmu-ilmu matematika yang telah ada.

== Pengantar ==
Uang adalah pondasi kehidupan kita hari ini. Hidup memang tidak selalu tentang uang, tetapi tanpa uang hidup terasa sulit dan berat. Uang telah menjadi alat tukar yang mudah untuk dibawa dan disimpan saat ini. Pengelolaan uang tentu ada sangkut pautnya dengan matematika, selain dari pengendalian diri sendiri atas memilah mana kebutuhan dan mana keinginan. Risalah matematika keuangan ini diharapkan mampu memberikan wawasan tentang pengelolaan uang sehingga meningkatkan kehati-hatian dalam mengambil keputusan keuangan.

== Daftar Isi ==
Berikut adalah halaman-halaman yang menyertai risalah matematika keuangan.
# [[/Prasyarat untuk Matematika Keuangan |'''Bab 1 - Pengantar Matematika''']] Berisi penjelasan atas konsep dasar matematika yang digunakan dalam keuangan, mulai dari aritmatika hingga kalkulus.
# [[/Bunga |'''Bab 2 - Bunga''']] Berisi atas penjelasan bunga tunggal, bunga majemuk, diskonto, dan sebagainya.

== Panduan untuk Pembelajar ==
* Bacalah secara perlahan dan jangan terburu-buru melompati paragraf penjelas maupun daftar isi untuk mencari kesimpulan.
* Risalah ini disusun secara runtut agar dapat dibaca dan dipahami secara bertahap, sehingga bab pertama adalah prasyarat agar dapat memahami bab berikutnya.
* Ulangi setiap proses perhitungan dengan cermat untuk memperkuat pemahaman.
* Pelajari daftar referensi sumber terbuka yang diberikan untuk memperkuat pemahaman Anda setelah menyelesaikan bab-bab dari risalah pembelajaran ini yang telah Anda pahami.

== Segmentasi Pembaca ==
Risalah pembelajaran ini ditujukan untuk khalayak umum dan pembelajar mandiri dengan prasyarat telah terbiasa dengan operasi aritmatika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian). 

== Panduan Penulisan ==
Panduan penulisan diterapkan pada risalah ini agar menjaga keotentikan antara mana teks yang diambil dari sumber lain dan mana teks yang merupakan pengembangan penulis sendiri.

Risalah ini ditulis dengan mengedepankan perbedaan antara kalimat yang diambil dari suatu sumber dengan kalimat penjelas. Kalimat penjelas tidak mengandung sitasi apapun dan merupakan penjelasan atau tafsiran sendiri dari penulis. Kalimat penjelas yang kemudian dijelaskan sendiri oleh penulis dapat diletakkan sebelum atau sesudah kalimat yang dikutip pada satu paragraf yang sama dan dapat diikuti dengan paragraf-paragraf penjelas. 

=== Referensi Terkutip ===
Penulisan risalah pengajaran memisahkan kalimat yang dikutip (baik kalimat tersebut telah di parafrase ataupun diterjemahkan) dengan kalimat penjelas. Kalimat yang dikutip dari sumber terkait akan ditandai di akhir kalimat dengan sitasi numerik dan kemudian di akhir dari setiap halaman risalah akan disertai referensi seperti berikut. 
----
Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.&lt;ref&gt;Euclid, Thomas Little Heath, and J. L. (Johan Ludvig) Heiberg. 1908. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge, The University Press. hlm:172. https://archive.org/details/thirteenbookseu02heibgoog/page/n172/mode/2up (July 27, 2026).
&lt;/ref&gt; 

==== Referensi Terkutip ====
----
&lt;references /&gt;
----

=== Referensi Inspirasi ===
Referensi inspirasi adalah referensi di mana ide dari suatu referensi dianggap kurang menjelaskan untuk diberikan ke awam sehingga tidak dikutip secara langsung, seperti penurunan atau penjabaran persamaan. Sehingga kemudian penulis membuat versi yang lebih jelas dari bentuk dasar atau definisi awal. Penulisan referensi inspirasi diletakkan di bawah dari posisi referensi terkutip dengan disertai keterangan pembuka. Contohnya adalah sebagai berikut.
----
==== Referensi Inspirasi ====
# Bagian penjabaran rumus suku barisan aritmetika dan penjabaran rumus jumlah barisan aritmetika terinspirasi dengan penyesuaian dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).
----
Referensi inspirasi diadakan untuk tujuan menghormati pemikiran dari penulis buku terkait bahwa ide-idenya memberikan petunjuk, tetapi masih perlu dilakukan penyesuaian agar bisa lebih jelas dan dipahami oleh orang awam.

== Aturan Penulisan Referensi==
Aturan penulisan referensi yang digunakan untuk referensi adalah ''APSA Style Manual Revised 2018 Edition'' dengan penyesuaian sebelum tautan ditambahkan nomor halaman. Halaman yang dicantumkan adalah halaman pada tampilan pembaca dokumen dari Internet Archive, bukan halaman fisik yang ada di buku terkait.

== Aturan Sumber Referensi ==
Referensi yang digunakan harus dapat diakses secara penuh tiap halamannya dengan legal. Referensi-referensi yang diperbolehkan adalah hanya buku-buku yang ada di Internet Archive, dimana buku tersebut harus dapat dibaca dan diunduh tanpa memerlukan akun. 

== Daftar Referensi ==
Referensi-referensi yang digunakan oleh seluruh bagian risalah ini adalah sebagai berikut. 
# Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala (July 28, 2026).
# S R Knight. 1890. Higher Algebra. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>6ap4ljs1ggkn933rt0o64d6ayipml19</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385554</id>
      <parentid>385550</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T00:00:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Perbaikan penulisan referensi</comment>
      <origin>385554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5590" sha1="bn2er0fv9im0z87zfruyqdeqrng9zqr" xml:space="preserve">Matematika Keuangan adalah risalah pengajaran yang memberikan wawasan terhadap cabang matematika terkait dengan keuangan. Tujuan dari risalah ini adalah untuk menghadirkan bacaan berbahasa Indonesia yang dapat diakses secara bebas dan dipelajari oleh seluruh kalangan agar dapat mengelola keuangan sesuai dengan ilmu-ilmu matematika yang telah ada.

== Pengantar ==
Uang adalah pondasi kehidupan kita hari ini. Hidup memang tidak selalu tentang uang, tetapi tanpa uang hidup terasa sulit dan berat. Uang telah menjadi alat tukar yang mudah untuk dibawa dan disimpan saat ini. Pengelolaan uang tentu ada sangkut pautnya dengan matematika, selain dari pengendalian diri sendiri atas memilah mana kebutuhan dan mana keinginan. Risalah matematika keuangan ini diharapkan mampu memberikan wawasan tentang pengelolaan uang sehingga meningkatkan kehati-hatian dalam mengambil keputusan keuangan.

== Daftar Isi ==
Berikut adalah halaman-halaman yang menyertai risalah matematika keuangan.
# [[/Prasyarat untuk Matematika Keuangan |'''Bab 1 - Pengantar Matematika''']] Berisi penjelasan atas konsep dasar matematika yang digunakan dalam keuangan, mulai dari aritmatika hingga kalkulus.
# [[/Bunga |'''Bab 2 - Bunga''']] Berisi atas penjelasan bunga tunggal, bunga majemuk, diskonto, dan sebagainya.

== Panduan untuk Pembelajar ==
* Bacalah secara perlahan dan jangan terburu-buru melompati paragraf penjelas maupun daftar isi untuk mencari kesimpulan.
* Risalah ini disusun secara runtut agar dapat dibaca dan dipahami secara bertahap, sehingga bab pertama adalah prasyarat agar dapat memahami bab berikutnya.
* Ulangi setiap proses perhitungan dengan cermat untuk memperkuat pemahaman.
* Pelajari daftar referensi sumber terbuka yang diberikan untuk memperkuat pemahaman Anda setelah menyelesaikan bab-bab dari risalah pembelajaran ini yang telah Anda pahami.

== Segmentasi Pembaca ==
Risalah pembelajaran ini ditujukan untuk khalayak umum dan pembelajar mandiri dengan prasyarat telah terbiasa dengan operasi aritmatika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian). 

== Panduan Penulisan ==
Panduan penulisan diterapkan pada risalah ini agar menjaga keotentikan antara mana teks yang diambil dari sumber lain dan mana teks yang merupakan pengembangan penulis sendiri.

Risalah ini ditulis dengan mengedepankan perbedaan antara kalimat yang diambil dari suatu sumber dengan kalimat penjelas. Kalimat penjelas tidak mengandung sitasi apapun dan merupakan penjelasan atau tafsiran sendiri dari penulis. Kalimat penjelas yang kemudian dijelaskan sendiri oleh penulis dapat diletakkan sebelum atau sesudah kalimat yang dikutip pada satu paragraf yang sama dan dapat diikuti dengan paragraf-paragraf penjelas. 

=== Referensi Terkutip ===
Penulisan risalah pengajaran memisahkan kalimat yang dikutip (baik kalimat tersebut telah di parafrase ataupun diterjemahkan) dengan kalimat penjelas. Kalimat yang dikutip dari sumber terkait akan ditandai di akhir kalimat dengan sitasi numerik dan kemudian di akhir dari setiap halaman risalah akan disertai referensi seperti berikut. 
----
Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.&lt;ref&gt;Euclid, Thomas Little Heath, and J. L. (Johan Ludvig) Heiberg. 1908. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge, The University Press. hlm:172. https://archive.org/details/thirteenbookseu02heibgoog/page/n172/mode/2up (July 27, 2026).
&lt;/ref&gt; 

'''Referensi Terkutip'''
----
&lt;references /&gt;
----

=== Referensi Pengembangan ===
Referensi pengembangan adalah referensi di mana ide dari suatu referensi dianggap kurang menjelaskan untuk diberikan ke awam sehingga tidak dikutip secara langsung, seperti penurunan atau penjabaran persamaan. Sehingga kemudian penulis membuat versi yang lebih jelas dan mudah dari bentuk dasar atau definisi awal. Penulisan referensi pengembangan diletakkan di bawah posisi referensi terkutip dengan disertai keterangan pembuka. Contohnya adalah sebagai berikut.
----
'''Referensi Pengembangan'''
# Bagian penjabaran rumus suku barisan aritmetika dan penjabaran rumus jumlah barisan aritmetika dikembangkan dengan penyesuaian untuk tujuan pedagogis dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).
----
Referensi pengembangana diadakan untuk tujuan menghormati pemikiran dari penulis buku terkait bahwa penyampaian dalam tulisannya memberikan petunjuk, tetapi masih perlu dilakukan penyesuaian agar bisa lebih jelas dan dipahami oleh orang awam.

== Aturan Penulisan Referensi==
Aturan penulisan referensi yang digunakan untuk referensi adalah ''APSA Style Manual Revised 2018 Edition'' dengan penyesuaian sebelum tautan ditambahkan nomor halaman. Halaman yang dicantumkan adalah halaman pada tampilan pembaca dokumen dari Internet Archive, bukan halaman fisik yang ada di buku terkait.

== Aturan Sumber Referensi ==
Referensi yang digunakan harus dapat diakses secara penuh tiap halamannya dengan legal. Referensi-referensi yang diperbolehkan adalah hanya buku-buku yang ada di Internet Archive, dimana buku tersebut harus dapat dibaca dan diunduh tanpa memerlukan akun. 

== Daftar Referensi ==
Referensi-referensi yang digunakan oleh seluruh bagian risalah ini adalah sebagai berikut. 
# Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala (July 28, 2026).
# S R Knight. 1890. Higher Algebra. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>bn2er0fv9im0z87zfruyqdeqrng9zqr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan/Pengantar Matematika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55871</id>
    <revision>
      <id>385548</id>
      <parentid>385503</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T23:46:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Satya Rambana moved page [[Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan]] to [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika]]: Mengubah judul menjadi lebih pendek</comment>
      <origin>385503</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="781" sha1="99wci6wt1vtmtundj9wiaxb0ddei60s" xml:space="preserve">Memahami matematika keuangan perlu menguasai kemampuan dasar matematika yang diperlukan. Kemampuan dasar matematika tersebut berguna untuk menopang pemahaman konsep-konsep dalam matematika keuangan. Bagian prasyarat ini berupa konsep matematika murni terkait disertai dengan contoh studi kasusnya dalam matematika keuangan.

== Daftar Isi ==
Konsep-konsep yang menjadi prayarat untuk matematika keuangan adalah sebagai berikut. 
# [[/Barisan Aritmetika |'''Barisan Aritmetika''']] 
# [[/Barisan Geometri |'''Barisan Geometri''']] 
# [[/Limit |'''Limit''']] 
# [[/Deret Aritmetika |'''Deret Aritmetika''']] 
# [[/Deret Geometri |'''Deret Geometri''']] 
# [[/Logaritma |'''Logaritma''']] 
# [[/Penyajian Grafik |'''Penyajian Grafik''']] 

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>99wci6wt1vtmtundj9wiaxb0ddei60s</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Aritmetika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55877</id>
    <revision>
      <id>385514</id>
      <parentid>385513</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T12:37:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika</comment>
      <origin>385514</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5744" sha1="rhuehcjgaqzgldniyd2on9o7mz78m26" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 2. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 
== Referensi ==
&lt;references /&gt;

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>rhuehcjgaqzgldniyd2on9o7mz78m26</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385516</id>
      <parentid>385514</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T13:19:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan latihan soal</comment>
      <origin>385516</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7428" sha1="i6uzy7bnxdsig7n8ooikcnigg73b5xi" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 2. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 

== Penguatan Konsep ==
Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap!
# Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15.

== Persoalan ==
Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. 
# Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026?
# Jika mesin  yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut?

== Referensi ==
&lt;references /&gt;

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>i6uzy7bnxdsig7n8ooikcnigg73b5xi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385519</id>
      <parentid>385516</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T14:21:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan referensi inspirasi</comment>
      <origin>385519</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7762" sha1="nz51ppzi0eerhmkducb82l1hvhma89m" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 3. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 

== Penguatan Konsep ==
Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap!
# Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15.

== Persoalan ==
Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. 
# Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026?
# Jika mesin  yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut?

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Inspirasi ==
==== Referensi Inspirasi ====
# Bagian penjabaran persamaan suku barisan aritmetika dan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika terinspirasi dengan penyesuaian dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>nz51ppzi0eerhmkducb82l1hvhma89m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385520</id>
      <parentid>385519</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T14:22:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Memperbaiki penulisan referensi inspirasi</comment>
      <origin>385520</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7732" sha1="tpfud15aylvz1uflsns80n50et7rt66" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 3. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 

== Penguatan Konsep ==
Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap!
# Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15.

== Persoalan ==
Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. 
# Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026?
# Jika mesin  yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut?

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Inspirasi ==
# Bagian penjabaran persamaan suku barisan aritmetika dan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika terinspirasi dengan penyesuaian dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>tpfud15aylvz1uflsns80n50et7rt66</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385551</id>
      <parentid>385520</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T23:49:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Satya Rambana moved page [[Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan/Barisan Aritmetika]] to [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Aritmetika]]: Memperbaiki judul menjadi lebih ringkas</comment>
      <origin>385520</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7732" sha1="tpfud15aylvz1uflsns80n50et7rt66" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 3. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 

== Penguatan Konsep ==
Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap!
# Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15.

== Persoalan ==
Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. 
# Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026?
# Jika mesin  yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut?

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Inspirasi ==
# Bagian penjabaran persamaan suku barisan aritmetika dan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika terinspirasi dengan penyesuaian dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm: 28-29. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>tpfud15aylvz1uflsns80n50et7rt66</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385553</id>
      <parentid>385551</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T23:56:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Memperbaiki referensi</comment>
      <origin>385553</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7769" sha1="tsr6uahtpbr47mtjs96a18atssinmjt" xml:space="preserve">Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 3. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2.

== Persamaan Suku Barisan Aritmetika ==
Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14

=== Mendefinisikan Suku ===
Angka pertama kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; bernilai 2.
Angka kedua kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; bernilai 5.
Angka ketiga kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; bernilai 8.
Angka keempat kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; bernilai 11.
Angka kelima kita simbolkan sebagai a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; disebut sebagai suku ke-n.

=== Mendefinisikan Beda ===
Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. 

=== Penjabaran Persamaan ===
Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut.

Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 

Untuk suku kedua adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 + 3 = 5 

a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b

Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 = 8 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b 

a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b

Untuk suku keempat adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 = 11 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b 

a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b

Untuk suku kelima adalah sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 = 14 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b  + b + b + b 

a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b

Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut.

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b

== Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika ==
Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;= a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;?

=== Penjumlahan ===
Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;. S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. 

Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)

Kedua bentuk S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (a + a = 2a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; + S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;] + [S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] + [(a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 3b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 2b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + b) + (a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)]

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b) + (2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

2S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; adalah berikut.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2

Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 2 dan nilai b = 3.

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2 (2) + 4 (3))] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(4 + 12)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5 (16)] / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 80 / 2

S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 40

Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14.

Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu S&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = [5(2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + 4b)] / 2. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. 

S&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = [n (2a &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + (n - 1) b)] / 2. 

== Penguatan Konsep ==
Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap!
# Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15.

== Persoalan ==
Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. 
# Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026?
# Jika mesin  yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut?

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==
# Bagian penjabaran persamaan suku barisan aritmetika dan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika dikembangkan dengan penyesuaian untuk tujuan yang lebih pedagogis dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm:28-29. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026).

[[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]]</text>
      <sha1>tsr6uahtpbr47mtjs96a18atssinmjt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>User:Colòtero</title>
    <ns>2</ns>
    <id>55878</id>
    <revision>
      <id>385521</id>
      <timestamp>2026-07-28T18:42:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>/* */</comment>
      <origin>385521</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2140" sha1="a9h2hm9bhvb3x3lcahvg1baair9csru" xml:space="preserve">__NOTOC__ __NOEDITSECTION__
{{Pangwanoh}}
{| style=&quot;margin-top: .8em;&quot;
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-presentation
 | gambar = Wikipedia_progress_icon.svg
 | judul = &lt;!--[[Wikivisitas:Wilujeng Sumping|Pangbagéa]]--&gt;{{Color|#0645AD|Pangbagéa}}
 | eusi = &lt;!--{{Pangbagéa}}--&gt; '''Wikivisitas''' atawa '''Wikiversity''' nyaéta salah sahiji proyék Wikimédia anu ngawadahan buku-buku jeung tulisan-tulisan séjénna anu [[ccorg:licenses/by/4.0/|dilisensikeun sacara bébas]] tur bisa ditembong sarta diédit ku saha baé.

[[b:su:|Wikivisitas basa Sunda]] geus dimimitian ti tengah taun 2005, ngan hanjakal ku seeutikna konten nu aya mangsa éta, ieu proyek [[meta:Proposals for closing projects/Closure of Basa Sunda Wikibooks (2)|diasupkeun]] deui ka [[Wb/su|Incubator]] dina taun 2012. Ku kituna, hayu urang babarengan ngahirupkeun deui ieu proyék ku literasi Sunda sangkan Wikibuku basa Sunda tiasa bijil deui. Dugi ka ayeuna Wikibuku basa Sunda mibanda {{PAGESINCATEGORY:Wb/su}} pustaka anyar.

Anjeun gaduh pataroseun? Mangga seratkeun di [[Wikibuku:Sawala|kaca sawala]].
}}&lt;!--
{{Kurungan
 | id = mf-communication
 | gambar = HSSamarbete.svg
 | judul = [[Wikibuku:Panglawungan|Panglawungan]]
 | eusi = Wilujeng sumping di Wikibuku basa Sunda!{{Panglawungan}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-projets
 | gambar = Text-x-generic_with_pencil-2.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|WikiBuku Séjén Basa}}
 | eusi = {{Wikibookslang}}
}}
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-decouverte
 | gambar = HSIdea.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Koléksi Pustaka}}
 | eusi = {{Koléksi}}
}}
&lt;!--{{Kurungan
 | id = mf-recherche
 | gambar = HSUtvald.svg
 | judul = [[Wikibuku:Pustaka_petingan|Pustaka Petingan]] {{Color|#0645AD|Pustaka Petingan}}
 | eusi = {{Wb/su/Petingan/{{CURRENTMONTHNAME}}}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-facultes
 | gambar = HSBook.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Jieun Pustaka Anyar}}
 | eusi = {{Jieun}}
}}
|}
{{Kurungan
| judul = {{Color|#0645AD|Proyék Sawargi}}
| gambar = Wikimedia-logo-circle.svg
| eusi = {{Proyek sawargi}}
}}
[[Category:Wb/su]]

{{INTERWIKI|Q5296}}</text>
      <sha1>a9h2hm9bhvb3x3lcahvg1baair9csru</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385528</id>
      <parentid>385521</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:05:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Redirected page to [[Tepas]]</comment>
      <origin>385528</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19" sha1="l11803axjzirrc6kxbg64tz5u82sa0q" xml:space="preserve">#redirect [[Tepas]]</text>
      <sha1>l11803axjzirrc6kxbg64tz5u82sa0q</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385535</id>
      <parentid>385528</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:42:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Removed redirect to [[Tepas]]</comment>
      <origin>385535</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19" sha1="mq2eiewf8fvqq7hpene5j7mzx7r64zf" xml:space="preserve">[[Strona główna]]</text>
      <sha1>mq2eiewf8fvqq7hpene5j7mzx7r64zf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/Page display title/su</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55879</id>
    <revision>
      <id>385522</id>
      <timestamp>2026-07-28T18:50:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Tepas&quot;</comment>
      <origin>385522</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5" sha1="cwua6eddin1z6wvgnmnjj9zs90xlf8o" xml:space="preserve">Tepas</text>
      <sha1>cwua6eddin1z6wvgnmnjj9zs90xlf8o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Main Page/su</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55880</id>
    <revision>
      <id>385523</id>
      <timestamp>2026-07-28T18:50:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Tepas&quot;</comment>
      <origin>385523</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3841" sha1="s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385525</id>
      <parentid>385523</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T18:51:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Apa itu Wikivirsitas? ==&quot;</comment>
      <origin>385525</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3826" sha1="kagbl0b3orzic17sz4kwx7br2emwnen" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Apa itu Wikivirsitas? ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>kagbl0b3orzic17sz4kwx7br2emwnen</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385527</id>
      <parentid>385525</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T18:52:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversity nyaéta [[foundationsite:our-work-wikimedia-projects-project]] tina [[w:Wikimedia Foundation]]. Ieu mangrupa puseur pikeun nyiptakeun jeung ngagunakeun bahan jeung kagiatan learning bébas. Urang boga imah sumberdaya atikan jeung proyék ilmiah. Urang ogé boga tujuan pikeun kolaborasi jeung proyék Wikimedia séjén sarta ngarojong ngembangkeun eusi maranéhanana.&quot;</comment>
      <origin>385527</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3767" sha1="atcbala5j5nrvh792hatccyii34y58n" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Apa itu Wikivirsitas? ==

Wikiversity nyaéta [[foundationsite:our-work-wikimedia-projects-project]] tina [[w:Wikimedia Foundation]]. Ieu mangrupa puseur pikeun nyiptakeun jeung ngagunakeun bahan jeung kagiatan learning bébas. Urang boga imah sumberdaya atikan jeung proyék ilmiah. Urang ogé boga tujuan pikeun kolaborasi jeung proyék Wikimedia séjén sarta ngarojong ngembangkeun eusi maranéhanana.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>atcbala5j5nrvh792hatccyii34y58n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/1/su</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55881</id>
    <revision>
      <id>385524</id>
      <timestamp>2026-07-28T18:51:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Apa itu Wikivirsitas? ==&quot;</comment>
      <origin>385524</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27" sha1="f5kkn432ge9v5mi6vwupx8acpc8ex5n" xml:space="preserve">== Apa itu Wikivirsitas? ==</text>
      <sha1>f5kkn432ge9v5mi6vwupx8acpc8ex5n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/2/su</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55882</id>
    <revision>
      <id>385526</id>
      <timestamp>2026-07-28T18:52:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversity nyaéta [[foundationsite:our-work-wikimedia-projects-project]] tina [[w:Wikimedia Foundation]]. Ieu mangrupa puseur pikeun nyiptakeun jeung ngagunakeun bahan jeung kagiatan learning bébas. Urang boga imah sumberdaya atikan jeung proyék ilmiah. Urang ogé boga tujuan pikeun kolaborasi jeung proyék Wikimedia séjén sarta ngarojong ngembangkeun eusi maranéhanana.&quot;</comment>
      <origin>385526</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="379" sha1="9fkd1inyrpy65pn29xnsyagd26yulf1" xml:space="preserve">Wikiversity nyaéta [[foundationsite:our-work-wikimedia-projects-project]] tina [[w:Wikimedia Foundation]]. Ieu mangrupa puseur pikeun nyiptakeun jeung ngagunakeun bahan jeung kagiatan learning bébas. Urang boga imah sumberdaya atikan jeung proyék ilmiah. Urang ogé boga tujuan pikeun kolaborasi jeung proyék Wikimedia séjén sarta ngarojong ngembangkeun eusi maranéhanana.</text>
      <sha1>9fkd1inyrpy65pn29xnsyagd26yulf1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Tepas</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55883</id>
    <revision>
      <id>385529</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:05:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;__NOTOC__ __NOEDITSECTION__ {{Pangwanoh}} {| style=&quot;margin-top: .8em;&quot; | style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; | {{Kurungan  | id = mf-presentation  | gambar = Wikipedia_progress_icon.svg  | judul = &lt;!--[[Wikivisitas:Wilujeng Sumping|Pangbagéa]]--&gt;{{Color|#0645AD|Pangbagéa}}  | eusi = &lt;!--{{Pangbagéa}}--&gt; '''Wikivisitas''' atawa '''Wikiversity''' nyaéta salah sahiji proyék Wikimédia anu ngawadahan buku-buku jeung tulisan-tulisan séjénna anu ccorg:licenses/by...&quot;</comment>
      <origin>385529</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2140" sha1="a9h2hm9bhvb3x3lcahvg1baair9csru" xml:space="preserve">__NOTOC__ __NOEDITSECTION__
{{Pangwanoh}}
{| style=&quot;margin-top: .8em;&quot;
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-presentation
 | gambar = Wikipedia_progress_icon.svg
 | judul = &lt;!--[[Wikivisitas:Wilujeng Sumping|Pangbagéa]]--&gt;{{Color|#0645AD|Pangbagéa}}
 | eusi = &lt;!--{{Pangbagéa}}--&gt; '''Wikivisitas''' atawa '''Wikiversity''' nyaéta salah sahiji proyék Wikimédia anu ngawadahan buku-buku jeung tulisan-tulisan séjénna anu [[ccorg:licenses/by/4.0/|dilisensikeun sacara bébas]] tur bisa ditembong sarta diédit ku saha baé.

[[b:su:|Wikivisitas basa Sunda]] geus dimimitian ti tengah taun 2005, ngan hanjakal ku seeutikna konten nu aya mangsa éta, ieu proyek [[meta:Proposals for closing projects/Closure of Basa Sunda Wikibooks (2)|diasupkeun]] deui ka [[Wb/su|Incubator]] dina taun 2012. Ku kituna, hayu urang babarengan ngahirupkeun deui ieu proyék ku literasi Sunda sangkan Wikibuku basa Sunda tiasa bijil deui. Dugi ka ayeuna Wikibuku basa Sunda mibanda {{PAGESINCATEGORY:Wb/su}} pustaka anyar.

Anjeun gaduh pataroseun? Mangga seratkeun di [[Wikibuku:Sawala|kaca sawala]].
}}&lt;!--
{{Kurungan
 | id = mf-communication
 | gambar = HSSamarbete.svg
 | judul = [[Wikibuku:Panglawungan|Panglawungan]]
 | eusi = Wilujeng sumping di Wikibuku basa Sunda!{{Panglawungan}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-projets
 | gambar = Text-x-generic_with_pencil-2.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|WikiBuku Séjén Basa}}
 | eusi = {{Wikibookslang}}
}}
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-decouverte
 | gambar = HSIdea.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Koléksi Pustaka}}
 | eusi = {{Koléksi}}
}}
&lt;!--{{Kurungan
 | id = mf-recherche
 | gambar = HSUtvald.svg
 | judul = [[Wikibuku:Pustaka_petingan|Pustaka Petingan]] {{Color|#0645AD|Pustaka Petingan}}
 | eusi = {{Wb/su/Petingan/{{CURRENTMONTHNAME}}}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-facultes
 | gambar = HSBook.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Jieun Pustaka Anyar}}
 | eusi = {{Jieun}}
}}
|}
{{Kurungan
| judul = {{Color|#0645AD|Proyék Sawargi}}
| gambar = Wikimedia-logo-circle.svg
| eusi = {{Proyek sawargi}}
}}
[[Category:Wb/su]]

{{INTERWIKI|Q5296}}</text>
      <sha1>a9h2hm9bhvb3x3lcahvg1baair9csru</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385531</id>
      <parentid>385529</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:11:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <origin>385531</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2137" sha1="6s4fakk3h9d31w531lobskg5taorgpf" xml:space="preserve">__NOTOC__ __NOEDITSECTION__
{{Pangwanoh}}
{| style=&quot;margin-top: .8em;&quot;
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-presentation
 | gambar = Wikipedia_progress_icon.svg
 | judul = &lt;!--[[Wikivisitas:Wilujeng Sumping|Pangbagéa]]--&gt;{{Color|#0645AD|Pangbagéa}}
 | eusi = &lt;!--{{Pangbagéa}}--&gt; '''Wikivisitas''' atawa '''Wikiversity''' nyaéta salah sahiji proyék Wikimédia anu ngawadahan buku-buku jeung tulisan-tulisan séjénna anu [[ccorg:licenses/by/4.0/|dilisensikeun sacara bébas]] tur bisa ditembong sarta diédit ku saha baé.

[[b:su:|Wikivisitas basa Sunda]] geus dimimitian ti tengah taun 2005, ngan hanjakal ku seeutikna konten nu aya mangsa éta, ieu proyek [[meta:Proposals for closing projects/Closure of Basa Sunda Wikibooks (2)|diasupkeun]] deui ka [[Wb/su|Incubator]] dina taun 2012. Ku kituna, hayu urang babarengan ngahirupkeun deui ieu proyék ku literasi Sunda sangkan Wikibuku basa Sunda tiasa bijil deui. Dugi ka ayeuna Wikibuku basa Sunda mibanda {{PAGESINCATEGORY:Wb/su}} pustaka anyar.

Anjeun gaduh pataroseun? Mangga seratkeun di [[Wikibuku:Sawala|kaca sawala]].
}}&lt;!--
{{Kurungan
 | id = mf-communication
 | gambar = HSSamarbete.svg
 | judul = [[Wikibuku:Panglawungan|Panglawungan]]
 | eusi = Wilujeng sumping di Wikibuku basa Sunda!{{Panglawungan}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-projets
 | gambar = Text-x-generic_with_pencil-2.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|WikiBuku Séjén Basa}}
 | eusi = {{Wikibookslang}}
}}
| style=&quot;width: 50%; vertical-align: top;&quot; |
{{Kurungan
 | id = mf-decouverte
 | gambar = HSIdea.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Koléksi Pustaka}}
 | eusi = {{Koléksi}}
}}
&lt;!--{{Kurungan
 | id = mf-recherche
 | gambar = HSUtvald.svg
 | judul = [[Wikibuku:Pustaka_petingan|Pustaka Petingan]] {{Color|#0645AD|Pustaka Petingan}}
 | eusi = {{Wb/su/Petingan/{{CURRENTMONTHNAME}}}}
}}--&gt;
{{Kurungan
 | id = mf-facultes
 | gambar = HSBook.svg
 | judul = {{Color|#0645AD|Jieun Pustaka Anyar}}
 | eusi = {{Jieun}}
}}
|}
{{Kurungan
| judul = {{Color|#0645AD|Proyék Sawargi}}
| gambar = Wikimedia-logo-circle.svg
| eusi = {{Proyek sawargi}}
}}
[[Category:SU]]

{{INTERWIKI|Q5296}}</text>
      <sha1>6s4fakk3h9d31w531lobskg5taorgpf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Template:Pangwanoh</title>
    <ns>10</ns>
    <id>55884</id>
    <revision>
      <id>385530</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:10:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;{| width=&quot;100%&quot; style=&quot;background:white; box-shadow:blue 1px 1px 4px; padding:1em;  border-radius: 15px;&quot; |- | width=&quot;300px&quot; align=&quot;center&quot;| | width=&quot;100%&quot; | &lt;div id=&quot;mf-head&quot;&gt; &lt;div style=&quot;text-align: center; margin-top: 0.5em; margin-bottom: .3em; font-size: 1.55em; font-weight:bold;&quot;&gt;Wilujeng sumping di '''[[Wb/su/Wikivisitas:Ngeunaan|Wikivisitas]]!'''&lt;/div&gt; &lt;div align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:0.9em; color:gray; margin:0.2em;&quot;&gt;Pabukon jeung manual haratis nu bisa diro...&quot;</comment>
      <origin>385530</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="761" sha1="tgkah436w86dvyyrcsdkq1a1swfbhmp" xml:space="preserve">{| width=&quot;100%&quot; style=&quot;background:white; box-shadow:blue 1px 1px 4px; padding:1em;  border-radius: 15px;&quot;
|-
| width=&quot;300px&quot; align=&quot;center&quot;|
| width=&quot;100%&quot; |
&lt;div id=&quot;mf-head&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: center; margin-top: 0.5em; margin-bottom: .3em; font-size: 1.55em; font-weight:bold;&quot;&gt;Wilujeng sumping di '''[[Wb/su/Wikivisitas:Ngeunaan|Wikivisitas]]!'''&lt;/div&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:0.9em; color:gray; margin:0.2em;&quot;&gt;Pabukon jeung manual haratis nu bisa diropéa ku saha baé.&lt;br/&gt;Anu vérsi Sunda ieu, kiwari keur ngeureuyeuh [[Special:Statistics|{{PAGESINCATEGORY}}]] pustaka.&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
| width=&quot;300px&quot; align=&quot;center&quot; |
[[File:Wikiversity-logo.svg|150px|Wikivisitas]]
|}
{{Categorybrowsebar}}&lt;/div&gt;
&lt;noinclude&gt;
[[Category:Su]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>tgkah436w86dvyyrcsdkq1a1swfbhmp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385532</id>
      <parentid>385530</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:15:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <origin>385532</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="761" sha1="s5xqzpe33cdxm0rk99vyhmncc7ek8bj" xml:space="preserve">{| width=&quot;100%&quot; style=&quot;background:white; box-shadow:blue 1px 1px 4px; padding:1em;  border-radius: 15px;&quot;
|-
| width=&quot;300px&quot; align=&quot;center&quot;|
| width=&quot;100%&quot; |
&lt;div id=&quot;mf-head&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: center; margin-top: 0.5em; margin-bottom: .3em; font-size: 1.55em; font-weight:bold;&quot;&gt;Wilujeng sumping di '''[[Wb/su/Wikivisitas:Ngeunaan|Wikivisitas]]!'''&lt;/div&gt;
&lt;div align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:0.9em; color:gray; margin:0.2em;&quot;&gt;Pabukon jeung manual haratis nu bisa diropéa ku saha baé.&lt;br/&gt;Anu vérsi Sunda ieu, kiwari keur ngeureuyeuh [[Special:Statistics|{{PAGESINCATEGORY}}]] pustaka.&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
| width=&quot;300px&quot; align=&quot;center&quot; |
[[File:Wikiversity-logo.svg|150px|Wikivisitas]]
|}
{{Categorybrowsebar}}&lt;/div&gt;
&lt;noinclude&gt;
[[Category:SU]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>s5xqzpe33cdxm0rk99vyhmncc7ek8bj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Category:SU</title>
    <ns>14</ns>
    <id>55885</id>
    <revision>
      <id>385533</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:17:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;&lt;center&gt;&lt;big&gt;Category:{{#language:{{PAGENAME}}}}&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;&quot;</comment>
      <origin>385533</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="63" sha1="qndkzkz5rq710zupie5hsyz33epjjoy" xml:space="preserve">&lt;center&gt;&lt;big&gt;Category:{{#language:{{PAGENAME}}}}&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;</text>
      <sha1>qndkzkz5rq710zupie5hsyz33epjjoy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385534</id>
      <parentid>385533</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:21:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <origin>385534</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="357" sha1="5d18jwidw1dhcl9k6napeueqry39s8q" xml:space="preserve">&lt;center&gt;&lt;big&gt;Category:{{#language:{{PAGENAME}}}}&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;

{{ls|1=en|2=This category contains pages in {{language|su}}.}}
{{ls|1=fr|2=Cette catégorie contient les pages en sundanais.}}
{{ls|1=hi|2=इस श्रेणी में सुंडानी के पृष्ठ हैं।}}
{{ls|1=su|2=Kategori ieu ngandung kaca dina Basa Sunda.}}</text>
      <sha1>5d18jwidw1dhcl9k6napeueqry39s8q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Brick and mortar collaboration/Page display title/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55886</id>
    <revision>
      <id>385536</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:49:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Współpraca z cegły i zaprawy&quot;</comment>
      <origin>385536</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31" sha1="qhsz6mewx1zx7urs3hcoy1ttc1sy5pe" xml:space="preserve">Współpraca z cegły i zaprawy</text>
      <sha1>qhsz6mewx1zx7urs3hcoy1ttc1sy5pe</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Brick and mortar collaboration/pl</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55887</id>
    <revision>
      <id>385537</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:49:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Współpraca z cegły i zaprawy&quot;</comment>
      <origin>385537</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8654" sha1="ejw1kpqdmkykyfs5f84sp8fggn2pour" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Here is a crude and incomplete list of Wikiversity collaboration with brick and mortar (non virtual) institutions, e.g. universities, schools, ... (or, if you read it from the opposite direction, brick and mortar institutions using Wikiversity).
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Brick-and-mortar institutions often use Wikiversity as a means of communication, to post lecture notes, or to work on projects as parts of their exploration towards the rapidly developing field of on-line learning.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you cannot read the language, you can always use google [http://translate.google.com/translate_t#auto|en|] translator to get some general ideas and a lot of fun.
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
see also: [[:category:pages by subject]], [[:en:wikiversity:outreach]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Austrian Wikiversity ==
All the courses you can find here:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Hubertl Navigation to all courses]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Beta Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:RO]]
* [[:category:ET]]: [[:Category:IT eetilised, sotsiaalsed ja professionaalsed aspektid]], 
* [[:Category:Computer_science]]
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | List of computer science learning material (mostly laboratory notes)]] from [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara (Romania)]
* [[User:Teemu]]: http://www2.uiah.fi/~tleinone/
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Czech Wikiversity ==
* [[:cs:user:Kychot]] (teaching medical [[:cs:Biofyzika|biophysics]] on the [[wikipedia:Charles University in Prague|Charles University in Prague]])
** [[:cs:MedFyz]] = Preparing course of physics for studium of medicine
** [[:cs:Kategorie:Biofyzikální praktika]] = Biophysical lab for students of medicine – theory and instructions for laboratory tasks
** Preparing slides for lectures: [[:cs:Biosignály (přednáška)]]
** [[:cs:Uživatel:Kychot/PGS lékařská biofyzika]] = Postgradual studium of medical biophysics (Ph.D.)
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== English Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The main page is [[:en:Wikiversity:School and university projects]] (through 2011, with later additions)
* [[:en:University_of_Canberra]]
** [[:en:user:jtneill]]
** [[:en:user:leighblackall]]; see also [http://en.wikiversity.org/wiki/User:Leighblackall/Everything_you_need_to_teach_and_learn_online]
* [[:en:user:countrymike]]
* [[:en:user:cormaggio]]
* [[:en:User:Robert Elliott]] and his film-making course
* [[:en:User:Stevenarntson]]'s class
* [[:en:User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m/HW6|User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m]] and their fellow students
* [[:en:University of Westminster]]
** [[:en:user:leutha]]
* [[:en:Wright State University Lake Campus]]
** [[:en:user:Guy vandegrift]]
* [[w:Ladd Observatory]] at [[w:Brown University]]
** [[:en:User:Mu301]]
* [[:en:Harper College]]
** [[:en:User:Dave Braunschweig]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Finnish Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
All together nine courses / learning projects that are produced by three Finnish (brick and mortar) Universities and one University of Applied Sciences. Examples:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:fi:Suunnittelun tutkimus]] - Course of the [http://www.uta.fi/laitokset/infim/english/index.html Department of Information Studies and Interactive Media] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Julkinen sosiologia]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Mediakasvatus ja uudet lukutaidot]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:New Methods of Assessment]] - Course of the [http://www.utu.fi University of Turku]
* [[:fi:Vapaiden ja avointen oppiresurssien tuottaminen]] - Course of the [http://www.taik.fi Aalto University School of Art and Design]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== French Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''[[:fr:Recherche:Accueil]]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Most departments of this Wikiversity have a dedicated index of their engaged or finished research works — some are of the brick and mortar type.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== German Wikiversity ==
* [[:de:Kategorie:Kurs an einer Universität]]
* [[:de:Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler]]
* [[:de:Projekt:Mathematische Autorengruppe Folklore Osnabrück (MAFO)|Universität Osnabrück/Mathematik]]
* [[:de:Benutzer:Holger_Brenner|Prof. Holger Brenner (Universität Osnabrück)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Hungarian Wikiversity (Magyar Wikiegyetem) ==
* [[Pannon Egyetem|University of Pannonia]] [http://uni-pannon.hu 1] - A first wikiversity editor team established at this university. We will make the hungarian version of the project.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Italian Wikiversity ==
*Istituto comprensivo Valle di Ledro, a school in [[w:Trento|Trento]] province (Trentino, Italy)
*Istituto comprensivo Isera-Rovereto, a school in the [[w:Rovereto|Rovereto]] area (Trentino, Italy)
===Ongoing talks===
*with [[w:Bolzano|Bolzano]] University and with the Ladin Area Education Board (''Soprintendenza scolastica per le località ladine'') regarding a collaboration involving several Wikimedia projects
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Portuguese Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:pt:O Futuro da Informação|O Futuro da Informação]] is a course currently being organized at, and with the support of, one of Brazil's most well known Culture Centers, [http://www.centrocultural.sp.gov.br/ Centro Cultural São Paulo].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Romanian Wikiversity (hosted in Beta Wikiversity) ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
At the [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara] we began a project of presenting some of our laboratory material as a wiki page. In this way students can have fast access to related information directly from the wiki:
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | list of available learning material (mostly laboratory notes)]];
* people involved in this project:
** [[User:Ciprian Dorin Craciun | Ciprian Craciun]];
** [[User:Marc Frincu | Marc Frincu]];
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Spanish Wikiversity ==
I'm working as technician at [http://www.hydrothermalvent.com/php/index.php Marine Biology Department of the University of Vienna], and I look forward to drop content at wikiversity in spanish.
--[[User:Feministo|Feministo]] 21:23, 29 May 2010 (UTC)
== Slovenian Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:sl:Uvod v študij slovenske književnosti E 2010/11|Introduction to the Study of Slovene Literature]]
* [[:sl:Doktorski program Slovenistika|Slovene Studies for the Doctoral Degree]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:Wikivesity: University of Ljubljana, Faculty of Education, Student's Project]]
** [[:sl:Uvod v književnost 2010/11]]
** [[:sl:Mladinska književnost 2010/11|Slovenian children's literature]]
** [[:sl:Slovenian children's literature research]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sylheti Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Courses ===
* [[ꠇꠝ꠆ꠙꠥꠐꠣꠞ]]
* [[ꠙꠣꠁꠕꠘ]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Vietnamese Wikiversity ==
*[[w:vi:Đại học Quốc gia Hà Nội|Đại học Quốc gia Hà Nội]]
*[[w:vi:Đại học Sài Gòn|Đại học Sài Gòn]]
*[[w:vi:Đại học Thái Nguyên|Đại học Thái Nguyên]]
*[[w:vi:Đại học An Giang|Đại học An Giang]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Chinese Wikiversity ==
* [[:zh:Wikiversity:首页|中文维基学院]]
&lt;/div&gt;

[[Category:Wikiversity outreach]]

[[en:Wikiversity:Real world schools]]</text>
      <sha1>ejw1kpqdmkykyfs5f84sp8fggn2pour</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385539</id>
      <parentid>385537</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:50:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity).&quot;</comment>
      <origin>385539</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8604" sha1="euha9kpjnxwnhh3tg917eiv7yicb8pt" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity). 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Brick-and-mortar institutions often use Wikiversity as a means of communication, to post lecture notes, or to work on projects as parts of their exploration towards the rapidly developing field of on-line learning.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you cannot read the language, you can always use google [http://translate.google.com/translate_t#auto|en|] translator to get some general ideas and a lot of fun.
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
see also: [[:category:pages by subject]], [[:en:wikiversity:outreach]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Austrian Wikiversity ==
All the courses you can find here:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Hubertl Navigation to all courses]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Beta Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:RO]]
* [[:category:ET]]: [[:Category:IT eetilised, sotsiaalsed ja professionaalsed aspektid]], 
* [[:Category:Computer_science]]
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | List of computer science learning material (mostly laboratory notes)]] from [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara (Romania)]
* [[User:Teemu]]: http://www2.uiah.fi/~tleinone/
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Czech Wikiversity ==
* [[:cs:user:Kychot]] (teaching medical [[:cs:Biofyzika|biophysics]] on the [[wikipedia:Charles University in Prague|Charles University in Prague]])
** [[:cs:MedFyz]] = Preparing course of physics for studium of medicine
** [[:cs:Kategorie:Biofyzikální praktika]] = Biophysical lab for students of medicine – theory and instructions for laboratory tasks
** Preparing slides for lectures: [[:cs:Biosignály (přednáška)]]
** [[:cs:Uživatel:Kychot/PGS lékařská biofyzika]] = Postgradual studium of medical biophysics (Ph.D.)
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== English Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The main page is [[:en:Wikiversity:School and university projects]] (through 2011, with later additions)
* [[:en:University_of_Canberra]]
** [[:en:user:jtneill]]
** [[:en:user:leighblackall]]; see also [http://en.wikiversity.org/wiki/User:Leighblackall/Everything_you_need_to_teach_and_learn_online]
* [[:en:user:countrymike]]
* [[:en:user:cormaggio]]
* [[:en:User:Robert Elliott]] and his film-making course
* [[:en:User:Stevenarntson]]'s class
* [[:en:User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m/HW6|User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m]] and their fellow students
* [[:en:University of Westminster]]
** [[:en:user:leutha]]
* [[:en:Wright State University Lake Campus]]
** [[:en:user:Guy vandegrift]]
* [[w:Ladd Observatory]] at [[w:Brown University]]
** [[:en:User:Mu301]]
* [[:en:Harper College]]
** [[:en:User:Dave Braunschweig]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Finnish Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
All together nine courses / learning projects that are produced by three Finnish (brick and mortar) Universities and one University of Applied Sciences. Examples:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:fi:Suunnittelun tutkimus]] - Course of the [http://www.uta.fi/laitokset/infim/english/index.html Department of Information Studies and Interactive Media] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Julkinen sosiologia]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Mediakasvatus ja uudet lukutaidot]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:New Methods of Assessment]] - Course of the [http://www.utu.fi University of Turku]
* [[:fi:Vapaiden ja avointen oppiresurssien tuottaminen]] - Course of the [http://www.taik.fi Aalto University School of Art and Design]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== French Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''[[:fr:Recherche:Accueil]]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Most departments of this Wikiversity have a dedicated index of their engaged or finished research works — some are of the brick and mortar type.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== German Wikiversity ==
* [[:de:Kategorie:Kurs an einer Universität]]
* [[:de:Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler]]
* [[:de:Projekt:Mathematische Autorengruppe Folklore Osnabrück (MAFO)|Universität Osnabrück/Mathematik]]
* [[:de:Benutzer:Holger_Brenner|Prof. Holger Brenner (Universität Osnabrück)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Hungarian Wikiversity (Magyar Wikiegyetem) ==
* [[Pannon Egyetem|University of Pannonia]] [http://uni-pannon.hu 1] - A first wikiversity editor team established at this university. We will make the hungarian version of the project.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Italian Wikiversity ==
*Istituto comprensivo Valle di Ledro, a school in [[w:Trento|Trento]] province (Trentino, Italy)
*Istituto comprensivo Isera-Rovereto, a school in the [[w:Rovereto|Rovereto]] area (Trentino, Italy)
===Ongoing talks===
*with [[w:Bolzano|Bolzano]] University and with the Ladin Area Education Board (''Soprintendenza scolastica per le località ladine'') regarding a collaboration involving several Wikimedia projects
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Portuguese Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:pt:O Futuro da Informação|O Futuro da Informação]] is a course currently being organized at, and with the support of, one of Brazil's most well known Culture Centers, [http://www.centrocultural.sp.gov.br/ Centro Cultural São Paulo].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Romanian Wikiversity (hosted in Beta Wikiversity) ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
At the [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara] we began a project of presenting some of our laboratory material as a wiki page. In this way students can have fast access to related information directly from the wiki:
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | list of available learning material (mostly laboratory notes)]];
* people involved in this project:
** [[User:Ciprian Dorin Craciun | Ciprian Craciun]];
** [[User:Marc Frincu | Marc Frincu]];
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Spanish Wikiversity ==
I'm working as technician at [http://www.hydrothermalvent.com/php/index.php Marine Biology Department of the University of Vienna], and I look forward to drop content at wikiversity in spanish.
--[[User:Feministo|Feministo]] 21:23, 29 May 2010 (UTC)
== Slovenian Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:sl:Uvod v študij slovenske književnosti E 2010/11|Introduction to the Study of Slovene Literature]]
* [[:sl:Doktorski program Slovenistika|Slovene Studies for the Doctoral Degree]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:Wikivesity: University of Ljubljana, Faculty of Education, Student's Project]]
** [[:sl:Uvod v književnost 2010/11]]
** [[:sl:Mladinska književnost 2010/11|Slovenian children's literature]]
** [[:sl:Slovenian children's literature research]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sylheti Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Courses ===
* [[ꠇꠝ꠆ꠙꠥꠐꠣꠞ]]
* [[ꠙꠣꠁꠕꠘ]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Vietnamese Wikiversity ==
*[[w:vi:Đại học Quốc gia Hà Nội|Đại học Quốc gia Hà Nội]]
*[[w:vi:Đại học Sài Gòn|Đại học Sài Gòn]]
*[[w:vi:Đại học Thái Nguyên|Đại học Thái Nguyên]]
*[[w:vi:Đại học An Giang|Đại học An Giang]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Chinese Wikiversity ==
* [[:zh:Wikiversity:首页|中文维基学院]]
&lt;/div&gt;

[[Category:Wikiversity outreach]]

[[en:Wikiversity:Real world schools]]</text>
      <sha1>euha9kpjnxwnhh3tg917eiv7yicb8pt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385541</id>
      <parentid>385539</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:51:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.&quot;</comment>
      <origin>385541</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8574" sha1="gttepvphtggzgt2xxu64ayvekglzot6" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity). 

Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
If you cannot read the language, you can always use google [http://translate.google.com/translate_t#auto|en|] translator to get some general ideas and a lot of fun.
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
see also: [[:category:pages by subject]], [[:en:wikiversity:outreach]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Austrian Wikiversity ==
All the courses you can find here:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Hubertl Navigation to all courses]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Beta Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:RO]]
* [[:category:ET]]: [[:Category:IT eetilised, sotsiaalsed ja professionaalsed aspektid]], 
* [[:Category:Computer_science]]
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | List of computer science learning material (mostly laboratory notes)]] from [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara (Romania)]
* [[User:Teemu]]: http://www2.uiah.fi/~tleinone/
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Czech Wikiversity ==
* [[:cs:user:Kychot]] (teaching medical [[:cs:Biofyzika|biophysics]] on the [[wikipedia:Charles University in Prague|Charles University in Prague]])
** [[:cs:MedFyz]] = Preparing course of physics for studium of medicine
** [[:cs:Kategorie:Biofyzikální praktika]] = Biophysical lab for students of medicine – theory and instructions for laboratory tasks
** Preparing slides for lectures: [[:cs:Biosignály (přednáška)]]
** [[:cs:Uživatel:Kychot/PGS lékařská biofyzika]] = Postgradual studium of medical biophysics (Ph.D.)
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== English Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The main page is [[:en:Wikiversity:School and university projects]] (through 2011, with later additions)
* [[:en:University_of_Canberra]]
** [[:en:user:jtneill]]
** [[:en:user:leighblackall]]; see also [http://en.wikiversity.org/wiki/User:Leighblackall/Everything_you_need_to_teach_and_learn_online]
* [[:en:user:countrymike]]
* [[:en:user:cormaggio]]
* [[:en:User:Robert Elliott]] and his film-making course
* [[:en:User:Stevenarntson]]'s class
* [[:en:User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m/HW6|User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m]] and their fellow students
* [[:en:University of Westminster]]
** [[:en:user:leutha]]
* [[:en:Wright State University Lake Campus]]
** [[:en:user:Guy vandegrift]]
* [[w:Ladd Observatory]] at [[w:Brown University]]
** [[:en:User:Mu301]]
* [[:en:Harper College]]
** [[:en:User:Dave Braunschweig]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Finnish Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
All together nine courses / learning projects that are produced by three Finnish (brick and mortar) Universities and one University of Applied Sciences. Examples:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:fi:Suunnittelun tutkimus]] - Course of the [http://www.uta.fi/laitokset/infim/english/index.html Department of Information Studies and Interactive Media] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Julkinen sosiologia]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Mediakasvatus ja uudet lukutaidot]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:New Methods of Assessment]] - Course of the [http://www.utu.fi University of Turku]
* [[:fi:Vapaiden ja avointen oppiresurssien tuottaminen]] - Course of the [http://www.taik.fi Aalto University School of Art and Design]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== French Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''[[:fr:Recherche:Accueil]]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Most departments of this Wikiversity have a dedicated index of their engaged or finished research works — some are of the brick and mortar type.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== German Wikiversity ==
* [[:de:Kategorie:Kurs an einer Universität]]
* [[:de:Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler]]
* [[:de:Projekt:Mathematische Autorengruppe Folklore Osnabrück (MAFO)|Universität Osnabrück/Mathematik]]
* [[:de:Benutzer:Holger_Brenner|Prof. Holger Brenner (Universität Osnabrück)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Hungarian Wikiversity (Magyar Wikiegyetem) ==
* [[Pannon Egyetem|University of Pannonia]] [http://uni-pannon.hu 1] - A first wikiversity editor team established at this university. We will make the hungarian version of the project.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Italian Wikiversity ==
*Istituto comprensivo Valle di Ledro, a school in [[w:Trento|Trento]] province (Trentino, Italy)
*Istituto comprensivo Isera-Rovereto, a school in the [[w:Rovereto|Rovereto]] area (Trentino, Italy)
===Ongoing talks===
*with [[w:Bolzano|Bolzano]] University and with the Ladin Area Education Board (''Soprintendenza scolastica per le località ladine'') regarding a collaboration involving several Wikimedia projects
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Portuguese Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:pt:O Futuro da Informação|O Futuro da Informação]] is a course currently being organized at, and with the support of, one of Brazil's most well known Culture Centers, [http://www.centrocultural.sp.gov.br/ Centro Cultural São Paulo].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Romanian Wikiversity (hosted in Beta Wikiversity) ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
At the [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara] we began a project of presenting some of our laboratory material as a wiki page. In this way students can have fast access to related information directly from the wiki:
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | list of available learning material (mostly laboratory notes)]];
* people involved in this project:
** [[User:Ciprian Dorin Craciun | Ciprian Craciun]];
** [[User:Marc Frincu | Marc Frincu]];
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Spanish Wikiversity ==
I'm working as technician at [http://www.hydrothermalvent.com/php/index.php Marine Biology Department of the University of Vienna], and I look forward to drop content at wikiversity in spanish.
--[[User:Feministo|Feministo]] 21:23, 29 May 2010 (UTC)
== Slovenian Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:sl:Uvod v študij slovenske književnosti E 2010/11|Introduction to the Study of Slovene Literature]]
* [[:sl:Doktorski program Slovenistika|Slovene Studies for the Doctoral Degree]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:Wikivesity: University of Ljubljana, Faculty of Education, Student's Project]]
** [[:sl:Uvod v književnost 2010/11]]
** [[:sl:Mladinska književnost 2010/11|Slovenian children's literature]]
** [[:sl:Slovenian children's literature research]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sylheti Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Courses ===
* [[ꠇꠝ꠆ꠙꠥꠐꠣꠞ]]
* [[ꠙꠣꠁꠕꠘ]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Vietnamese Wikiversity ==
*[[w:vi:Đại học Quốc gia Hà Nội|Đại học Quốc gia Hà Nội]]
*[[w:vi:Đại học Sài Gòn|Đại học Sài Gòn]]
*[[w:vi:Đại học Thái Nguyên|Đại học Thái Nguyên]]
*[[w:vi:Đại học An Giang|Đại học An Giang]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Chinese Wikiversity ==
* [[:zh:Wikiversity:首页|中文维基学院]]
&lt;/div&gt;

[[Category:Wikiversity outreach]]

[[en:Wikiversity:Real world schools]]</text>
      <sha1>gttepvphtggzgt2xxu64ayvekglzot6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385543</id>
      <parentid>385541</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:52:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Jeśli nie możesz czytać języka, zawsze możesz użyć google [http://translate.google.com/translate_t#auto|pl|] tłumacz, aby uzyskać ogólne pomysły i dużo zabawy.&quot;</comment>
      <origin>385543</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8525" sha1="b704dpzaumvnhoaxuz82gunkhwpuaq9" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity). 

Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.

Jeśli nie możesz czytać języka, zawsze możesz użyć google [http://translate.google.com/translate_t#auto|pl|] tłumacz, aby uzyskać ogólne pomysły i dużo zabawy. 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
see also: [[:category:pages by subject]], [[:en:wikiversity:outreach]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Austrian Wikiversity ==
All the courses you can find here:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Hubertl Navigation to all courses]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Beta Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:RO]]
* [[:category:ET]]: [[:Category:IT eetilised, sotsiaalsed ja professionaalsed aspektid]], 
* [[:Category:Computer_science]]
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | List of computer science learning material (mostly laboratory notes)]] from [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara (Romania)]
* [[User:Teemu]]: http://www2.uiah.fi/~tleinone/
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Czech Wikiversity ==
* [[:cs:user:Kychot]] (teaching medical [[:cs:Biofyzika|biophysics]] on the [[wikipedia:Charles University in Prague|Charles University in Prague]])
** [[:cs:MedFyz]] = Preparing course of physics for studium of medicine
** [[:cs:Kategorie:Biofyzikální praktika]] = Biophysical lab for students of medicine – theory and instructions for laboratory tasks
** Preparing slides for lectures: [[:cs:Biosignály (přednáška)]]
** [[:cs:Uživatel:Kychot/PGS lékařská biofyzika]] = Postgradual studium of medical biophysics (Ph.D.)
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== English Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The main page is [[:en:Wikiversity:School and university projects]] (through 2011, with later additions)
* [[:en:University_of_Canberra]]
** [[:en:user:jtneill]]
** [[:en:user:leighblackall]]; see also [http://en.wikiversity.org/wiki/User:Leighblackall/Everything_you_need_to_teach_and_learn_online]
* [[:en:user:countrymike]]
* [[:en:user:cormaggio]]
* [[:en:User:Robert Elliott]] and his film-making course
* [[:en:User:Stevenarntson]]'s class
* [[:en:User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m/HW6|User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m]] and their fellow students
* [[:en:University of Westminster]]
** [[:en:user:leutha]]
* [[:en:Wright State University Lake Campus]]
** [[:en:user:Guy vandegrift]]
* [[w:Ladd Observatory]] at [[w:Brown University]]
** [[:en:User:Mu301]]
* [[:en:Harper College]]
** [[:en:User:Dave Braunschweig]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Finnish Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
All together nine courses / learning projects that are produced by three Finnish (brick and mortar) Universities and one University of Applied Sciences. Examples:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:fi:Suunnittelun tutkimus]] - Course of the [http://www.uta.fi/laitokset/infim/english/index.html Department of Information Studies and Interactive Media] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Julkinen sosiologia]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Mediakasvatus ja uudet lukutaidot]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:New Methods of Assessment]] - Course of the [http://www.utu.fi University of Turku]
* [[:fi:Vapaiden ja avointen oppiresurssien tuottaminen]] - Course of the [http://www.taik.fi Aalto University School of Art and Design]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== French Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''[[:fr:Recherche:Accueil]]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Most departments of this Wikiversity have a dedicated index of their engaged or finished research works — some are of the brick and mortar type.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== German Wikiversity ==
* [[:de:Kategorie:Kurs an einer Universität]]
* [[:de:Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler]]
* [[:de:Projekt:Mathematische Autorengruppe Folklore Osnabrück (MAFO)|Universität Osnabrück/Mathematik]]
* [[:de:Benutzer:Holger_Brenner|Prof. Holger Brenner (Universität Osnabrück)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Hungarian Wikiversity (Magyar Wikiegyetem) ==
* [[Pannon Egyetem|University of Pannonia]] [http://uni-pannon.hu 1] - A first wikiversity editor team established at this university. We will make the hungarian version of the project.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Italian Wikiversity ==
*Istituto comprensivo Valle di Ledro, a school in [[w:Trento|Trento]] province (Trentino, Italy)
*Istituto comprensivo Isera-Rovereto, a school in the [[w:Rovereto|Rovereto]] area (Trentino, Italy)
===Ongoing talks===
*with [[w:Bolzano|Bolzano]] University and with the Ladin Area Education Board (''Soprintendenza scolastica per le località ladine'') regarding a collaboration involving several Wikimedia projects
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Portuguese Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:pt:O Futuro da Informação|O Futuro da Informação]] is a course currently being organized at, and with the support of, one of Brazil's most well known Culture Centers, [http://www.centrocultural.sp.gov.br/ Centro Cultural São Paulo].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Romanian Wikiversity (hosted in Beta Wikiversity) ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
At the [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara] we began a project of presenting some of our laboratory material as a wiki page. In this way students can have fast access to related information directly from the wiki:
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | list of available learning material (mostly laboratory notes)]];
* people involved in this project:
** [[User:Ciprian Dorin Craciun | Ciprian Craciun]];
** [[User:Marc Frincu | Marc Frincu]];
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Spanish Wikiversity ==
I'm working as technician at [http://www.hydrothermalvent.com/php/index.php Marine Biology Department of the University of Vienna], and I look forward to drop content at wikiversity in spanish.
--[[User:Feministo|Feministo]] 21:23, 29 May 2010 (UTC)
== Slovenian Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:sl:Uvod v študij slovenske književnosti E 2010/11|Introduction to the Study of Slovene Literature]]
* [[:sl:Doktorski program Slovenistika|Slovene Studies for the Doctoral Degree]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:Wikivesity: University of Ljubljana, Faculty of Education, Student's Project]]
** [[:sl:Uvod v književnost 2010/11]]
** [[:sl:Mladinska književnost 2010/11|Slovenian children's literature]]
** [[:sl:Slovenian children's literature research]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sylheti Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Courses ===
* [[ꠇꠝ꠆ꠙꠥꠐꠣꠞ]]
* [[ꠙꠣꠁꠕꠘ]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Vietnamese Wikiversity ==
*[[w:vi:Đại học Quốc gia Hà Nội|Đại học Quốc gia Hà Nội]]
*[[w:vi:Đại học Sài Gòn|Đại học Sài Gòn]]
*[[w:vi:Đại học Thái Nguyên|Đại học Thái Nguyên]]
*[[w:vi:Đại học An Giang|Đại học An Giang]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Chinese Wikiversity ==
* [[:zh:Wikiversity:首页|中文维基学院]]
&lt;/div&gt;

[[Category:Wikiversity outreach]]

[[en:Wikiversity:Real world schools]]</text>
      <sha1>b704dpzaumvnhoaxuz82gunkhwpuaq9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385545</id>
      <parentid>385543</parentid>
      <timestamp>2026-07-28T19:59:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Zobacz też: [[:category:PL]], [[:wikiversity:zasięg]]&quot;</comment>
      <origin>385545</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8454" sha1="lpp6gwmp10h32zrjlzr5thbbucz3mwo" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity). 

Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.

Jeśli nie możesz czytać języka, zawsze możesz użyć google [http://translate.google.com/translate_t#auto|pl|] tłumacz, aby uzyskać ogólne pomysły i dużo zabawy. 

Zobacz też: [[:category:PL]], [[:wikiversity:zasięg]]

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Austrian Wikiversity ==
All the courses you can find here:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Hubertl Navigation to all courses]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Beta Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:RO]]
* [[:category:ET]]: [[:Category:IT eetilised, sotsiaalsed ja professionaalsed aspektid]], 
* [[:Category:Computer_science]]
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | List of computer science learning material (mostly laboratory notes)]] from [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara (Romania)]
* [[User:Teemu]]: http://www2.uiah.fi/~tleinone/
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Czech Wikiversity ==
* [[:cs:user:Kychot]] (teaching medical [[:cs:Biofyzika|biophysics]] on the [[wikipedia:Charles University in Prague|Charles University in Prague]])
** [[:cs:MedFyz]] = Preparing course of physics for studium of medicine
** [[:cs:Kategorie:Biofyzikální praktika]] = Biophysical lab for students of medicine – theory and instructions for laboratory tasks
** Preparing slides for lectures: [[:cs:Biosignály (přednáška)]]
** [[:cs:Uživatel:Kychot/PGS lékařská biofyzika]] = Postgradual studium of medical biophysics (Ph.D.)
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== English Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
The main page is [[:en:Wikiversity:School and university projects]] (through 2011, with later additions)
* [[:en:University_of_Canberra]]
** [[:en:user:jtneill]]
** [[:en:user:leighblackall]]; see also [http://en.wikiversity.org/wiki/User:Leighblackall/Everything_you_need_to_teach_and_learn_online]
* [[:en:user:countrymike]]
* [[:en:user:cormaggio]]
* [[:en:User:Robert Elliott]] and his film-making course
* [[:en:User:Stevenarntson]]'s class
* [[:en:User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m/HW6|User:Egm6341.s10.Team4.nimaa&amp;m]] and their fellow students
* [[:en:University of Westminster]]
** [[:en:user:leutha]]
* [[:en:Wright State University Lake Campus]]
** [[:en:user:Guy vandegrift]]
* [[w:Ladd Observatory]] at [[w:Brown University]]
** [[:en:User:Mu301]]
* [[:en:Harper College]]
** [[:en:User:Dave Braunschweig]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Finnish Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
All together nine courses / learning projects that are produced by three Finnish (brick and mortar) Universities and one University of Applied Sciences. Examples:
&lt;/div&gt; 

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:fi:Suunnittelun tutkimus]] - Course of the [http://www.uta.fi/laitokset/infim/english/index.html Department of Information Studies and Interactive Media] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Julkinen sosiologia]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:Mediakasvatus ja uudet lukutaidot]] - Course of the [http://www.uta.fi/tiedekunnat/kasv/english/index.php Faculty of Education] of the [http://www.uta.fi University of Tampere]
* [[:fi:New Methods of Assessment]] - Course of the [http://www.utu.fi University of Turku]
* [[:fi:Vapaiden ja avointen oppiresurssien tuottaminen]] - Course of the [http://www.taik.fi Aalto University School of Art and Design]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== French Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* '''[[:fr:Recherche:Accueil]]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Most departments of this Wikiversity have a dedicated index of their engaged or finished research works — some are of the brick and mortar type.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== German Wikiversity ==
* [[:de:Kategorie:Kurs an einer Universität]]
* [[:de:Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler]]
* [[:de:Projekt:Mathematische Autorengruppe Folklore Osnabrück (MAFO)|Universität Osnabrück/Mathematik]]
* [[:de:Benutzer:Holger_Brenner|Prof. Holger Brenner (Universität Osnabrück)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Hungarian Wikiversity (Magyar Wikiegyetem) ==
* [[Pannon Egyetem|University of Pannonia]] [http://uni-pannon.hu 1] - A first wikiversity editor team established at this university. We will make the hungarian version of the project.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Italian Wikiversity ==
*Istituto comprensivo Valle di Ledro, a school in [[w:Trento|Trento]] province (Trentino, Italy)
*Istituto comprensivo Isera-Rovereto, a school in the [[w:Rovereto|Rovereto]] area (Trentino, Italy)
===Ongoing talks===
*with [[w:Bolzano|Bolzano]] University and with the Ladin Area Education Board (''Soprintendenza scolastica per le località ladine'') regarding a collaboration involving several Wikimedia projects
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Portuguese Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:pt:O Futuro da Informação|O Futuro da Informação]] is a course currently being organized at, and with the support of, one of Brazil's most well known Culture Centers, [http://www.centrocultural.sp.gov.br/ Centro Cultural São Paulo].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Romanian Wikiversity (hosted in Beta Wikiversity) ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
At the [http://www.uvt.ro/en/ West University of Timisoara] we began a project of presenting some of our laboratory material as a wiki page. In this way students can have fast access to related information directly from the wiki:
* [[User:Ciprian Dorin Craciun/Teaching | list of available learning material (mostly laboratory notes)]];
* people involved in this project:
** [[User:Ciprian Dorin Craciun | Ciprian Craciun]];
** [[User:Marc Frincu | Marc Frincu]];
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Spanish Wikiversity ==
I'm working as technician at [http://www.hydrothermalvent.com/php/index.php Marine Biology Department of the University of Vienna], and I look forward to drop content at wikiversity in spanish.
--[[User:Feministo|Feministo]] 21:23, 29 May 2010 (UTC)
== Slovenian Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:sl:Uvod v študij slovenske književnosti E 2010/11|Introduction to the Study of Slovene Literature]]
* [[:sl:Doktorski program Slovenistika|Slovene Studies for the Doctoral Degree]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* [[:category:Wikivesity: University of Ljubljana, Faculty of Education, Student's Project]]
** [[:sl:Uvod v književnost 2010/11]]
** [[:sl:Mladinska književnost 2010/11|Slovenian children's literature]]
** [[:sl:Slovenian children's literature research]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sylheti Wikiversity ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
=== Courses ===
* [[ꠇꠝ꠆ꠙꠥꠐꠣꠞ]]
* [[ꠙꠣꠁꠕꠘ]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Vietnamese Wikiversity ==
*[[w:vi:Đại học Quốc gia Hà Nội|Đại học Quốc gia Hà Nội]]
*[[w:vi:Đại học Sài Gòn|Đại học Sài Gòn]]
*[[w:vi:Đại học Thái Nguyên|Đại học Thái Nguyên]]
*[[w:vi:Đại học An Giang|Đại học An Giang]]
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Chinese Wikiversity ==
* [[:zh:Wikiversity:首页|中文维基学院]]
&lt;/div&gt;

[[Category:Wikiversity outreach]]

[[en:Wikiversity:Real world schools]]</text>
      <sha1>lpp6gwmp10h32zrjlzr5thbbucz3mwo</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Brick and mortar collaboration/1/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55888</id>
    <revision>
      <id>385538</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:50:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity).&quot;</comment>
      <origin>385538</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="251" sha1="bce11e0xmzyb48ebu174tm7tqoglfz1" xml:space="preserve">Oto prymitywna i niekompletna lista współpracy Wikiversity z instytucjami stacjonarnymi (nie wirtualnymi), np. uniwersytetami, szkołami, ... (lub, jeśli czytasz to z przeciwnego kierunku, instytucje z cegły i zaprawy korzystające z Wikiversity).</text>
      <sha1>bce11e0xmzyb48ebu174tm7tqoglfz1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Brick and mortar collaboration/2/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55889</id>
    <revision>
      <id>385540</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:51:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.&quot;</comment>
      <origin>385540</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="240" sha1="00l1qcz5108icqsu8uzl91aplvdsnec" xml:space="preserve">Instytucje stacjonarne często wykorzystują Wikiversity jako środek komunikacji, do publikowania notatek z wykładów lub do pracy nad projektami jako częścią ich eksploracji w kierunku szybko rozwijającej się dziedziny nauki online.</text>
      <sha1>00l1qcz5108icqsu8uzl91aplvdsnec</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Brick and mortar collaboration/3/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55890</id>
    <revision>
      <id>385542</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:52:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Jeśli nie możesz czytać języka, zawsze możesz użyć google [http://translate.google.com/translate_t#auto|pl|] tłumacz, aby uzyskać ogólne pomysły i dużo zabawy.&quot;</comment>
      <origin>385542</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="171" sha1="pmeivzehsluth91kv5emtpoz28a494v" xml:space="preserve">Jeśli nie możesz czytać języka, zawsze możesz użyć google [http://translate.google.com/translate_t#auto|pl|] tłumacz, aby uzyskać ogólne pomysły i dużo zabawy.</text>
      <sha1>pmeivzehsluth91kv5emtpoz28a494v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Brick and mortar collaboration/4/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55891</id>
    <revision>
      <id>385544</id>
      <timestamp>2026-07-28T19:59:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Zobacz też: [[:category:PL]], [[:wikiversity:zasięg]]&quot;</comment>
      <origin>385544</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="55" sha1="menbgnp8qgfl36azi09zm0oaf6xzx97" xml:space="preserve">Zobacz też: [[:category:PL]], [[:wikiversity:zasięg]]</text>
      <sha1>menbgnp8qgfl36azi09zm0oaf6xzx97</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Category:PL</title>
    <ns>14</ns>
    <id>55892</id>
    <revision>
      <id>385546</id>
      <timestamp>2026-07-28T20:05:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;&lt;center&gt;&lt;big&gt;Category:{{#language:pl}}&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;  {{ls|1=pl|2=Ta kategoria zawiera strony w języku polskim.}} {{ls|1=en|2=This category contains pages in {{language|pl}}.}} {{ls|1=fr|2=Cette catégorie contient des pages en polonais.}}  [[Category:Pages by language]]&quot;</comment>
      <origin>385546</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="273" sha1="hhkm56374ybejxs73oylcead33t8j1n" xml:space="preserve">&lt;center&gt;&lt;big&gt;Category:{{#language:pl}}&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;

{{ls|1=pl|2=Ta kategoria zawiera strony w języku polskim.}}
{{ls|1=en|2=This category contains pages in {{language|pl}}.}}
{{ls|1=fr|2=Cette catégorie contient des pages en polonais.}}

[[Category:Pages by language]]</text>
      <sha1>hhkm56374ybejxs73oylcead33t8j1n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55893</id>
    <redirect title="Matematika Keuangan/Pengantar Matematika" />
    <revision>
      <id>385549</id>
      <timestamp>2026-07-28T23:46:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Satya Rambana moved page [[Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan]] to [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika]]: Mengubah judul menjadi lebih pendek</comment>
      <origin>385549</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="54" sha1="jz327ifcu5zgu7uv08b9kd5lj1f7m3d" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika]]</text>
      <sha1>jz327ifcu5zgu7uv08b9kd5lj1f7m3d</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan/Barisan Aritmetika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55894</id>
    <redirect title="Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Aritmetika" />
    <revision>
      <id>385552</id>
      <timestamp>2026-07-28T23:49:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Satya Rambana moved page [[Matematika Keuangan/Prasyarat untuk Matematika Keuangan/Barisan Aritmetika]] to [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Aritmetika]]: Memperbaiki judul menjadi lebih ringkas</comment>
      <origin>385552</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="73" sha1="r18o5vsvnysn0d8wd32ufjyk95a8jt2" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Aritmetika]]</text>
      <sha1>r18o5vsvnysn0d8wd32ufjyk95a8jt2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Matematika Keuangan/Pengantar Matematika/Barisan Geometri</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55895</id>
    <revision>
      <id>385555</id>
      <timestamp>2026-07-29T00:22:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan definisi barisan geometri dan referensi terkait</comment>
      <origin>385555</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="453" sha1="79eccnvq293p1fds7z7cxp8iha40k34" xml:space="preserve">Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; 

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==</text>
      <sha1>79eccnvq293p1fds7z7cxp8iha40k34</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385556</id>
      <parentid>385555</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T00:22:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Memperbaiki halaman referensi</comment>
      <origin>385556</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="453" sha1="pkuu4anffos95pb7whedd5dk12yylct" xml:space="preserve">Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:442. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/442/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; 

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==</text>
      <sha1>pkuu4anffos95pb7whedd5dk12yylct</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385599</id>
      <parentid>385556</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T10:28:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Perbaikan definisi</comment>
      <origin>385599</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="504" sha1="a0nlpete5iiwyi7hqanzdtaa12hea7i" xml:space="preserve">Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu, konstanta tertentu tersebut disebut sebagai rasio.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:440. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/440/mode/2up (July 28, 2026).
&lt;/ref&gt; 

== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==</text>
      <sha1>a0nlpete5iiwyi7hqanzdtaa12hea7i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385600</id>
      <parentid>385599</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T10:42:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan konsep rasio</comment>
      <origin>385600</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="845" sha1="hacw7ix5jomasuqa4xutuowc7f4x9ev" xml:space="preserve">Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu, konstanta tertentu tersebut disebut sebagai rasio dan.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:440. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/440/mode/2up (July 28, 2026). &lt;/ref&gt; Contohnya kita punya barisan geometri 4, 20, 100, 500, 2500. 

== Rasio ==
Nilai rasio (kita simbolkan dengan r) berdasarkan definisi dapat kita peroleh dengan membagi nilai selanjutnya dengan nilai sebelumnya sebagai berikut.
 
[[File:Pembagian rasio.svg]]

Sehingga kita peroleh nilai rasio (r) untuk barisan tersebut adalah sebesar 5. 
== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==</text>
      <sha1>hacw7ix5jomasuqa4xutuowc7f4x9ev</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>385601</id>
      <parentid>385600</parentid>
      <timestamp>2026-07-29T11:10:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Satya Rambana</username>
        <id>55705</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan penjabaran persamaan jumlah barisan geometri</comment>
      <origin>385601</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2015" sha1="8andxuhimekaddgkxi1ko4eqj3nwa6v" xml:space="preserve">Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu, konstanta tertentu tersebut disebut sebagai rasio dan.&lt;ref&gt;Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:440. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/440/mode/2up (July 28, 2026). &lt;/ref&gt; Contohnya kita punya barisan geometri 4, 20, 100, 500, 2500. 

== Rasio ==
Nilai rasio (kita simbolkan dengan r) berdasarkan definisi dapat kita peroleh dengan membagi nilai selanjutnya dengan nilai sebelumnya sebagai berikut.
 
[[File:Pembagian rasio.svg]]

Sehingga kita peroleh nilai rasio (r) untuk barisan tersebut adalah sebesar 5. 

== Persamaan Suku Barisan Geometri ==
Barisan sebelumnya yaitu 4, 20, 100, 500, 2500 memiliki rasio (r) sebesar 5. Sehingga kemudian kita menjabarkan tiap-tiap sukunya. Apabila kita menyatakan a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; adalah suku ke-n, maka suku-suku dari barisan tersebut adalah sebagai berikut. 

# Suku pertama dari barisan geometri adalah a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 4.
# Suku kedua dari barisan geometri adalah a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 20 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku kedua barisan geometri.svg]]
# Suku ketiga dari barisan geometri adalah a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 100 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut.[[File:Suku ketiga barisan geometri.svg]]
# Suku keempat dari barisan geometri adalah a&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 500 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku keempat barisan geometri.svg]]
# Suku kelima dari barisan geometri adalah a&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; = 2500 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku kelima barisan geometri.svg]]

Berdasarkan pola yang terlihat dalam pernyataan persamaan dari tiap suku barisan tersebut dapat kita simpulkan persamaan suku barisan geometri adalah sebagai berikut. 

a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; × r&lt;sup&gt;(n - 1)&lt;/sup&gt;
== Referensi Terkutip ==
&lt;references /&gt;

== Referensi Pengembangan ==</text>
      <sha1>8andxuhimekaddgkxi1ko4eqj3nwa6v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Multilingualism/1/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55896</id>
    <revision>
      <id>385560</id>
      <timestamp>2026-07-29T08:03:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.&quot;</comment>
      <origin>385560</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="254" sha1="355u07cr8ul57bup0a99ahxtwdkccat" xml:space="preserve">Wikiwersytet Beta to globalna platforma, której celem jest koordynacja projektów Wikiversity w kilku językach. Aby móc korzystać z wkładu licznych członków (nie tylko polskich pisarzy), Beta musi stworzyć wydajny, wielojęzyczny system dyskusji.</text>
      <sha1>355u07cr8ul57bup0a99ahxtwdkccat</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Multilingualism/2/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55897</id>
    <revision>
      <id>385562</id>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Istniejący system ==&quot;</comment>
      <origin>385562</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24" sha1="q7d0knze1rfphkjpwn9rlt52w5t0b8p" xml:space="preserve">== Istniejący system ==</text>
      <sha1>q7d0knze1rfphkjpwn9rlt52w5t0b8p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Multilingualism/3/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55898</id>
    <revision>
      <id>385564</id>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wielojęzyczność jest często koncepcją jednokierunkową: najpierw powstaje strona źródłowa w języku angielskim, a następnie tłumaczona jest ona, aby była zrozumiała dla czytelników nieznających języka angielskiego. Główną wadą tego systemu jest to, że osoby nieznające języka angielskiego nie mogą brać udziału w dyskusji, mogą jedynie biernie czytać to, co zostało przetłumaczone.&quot;</comment>
      <origin>385564</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="410" sha1="ivk0x0ul07161q737usblhqvgdn0xwh" xml:space="preserve">Wielojęzyczność jest często koncepcją jednokierunkową: najpierw powstaje strona źródłowa w języku angielskim, a następnie tłumaczona jest ona, aby była zrozumiała dla czytelników nieznających języka angielskiego. Główną wadą tego systemu jest to, że osoby nieznające języka angielskiego nie mogą brać udziału w dyskusji, mogą jedynie biernie czytać to, co zostało przetłumaczone.</text>
      <sha1>ivk0x0ul07161q737usblhqvgdn0xwh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Multilingualism/4/pl</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55899</id>
    <revision>
      <id>385566</id>
      <timestamp>2026-07-29T08:04:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Colòtero</username>
        <id>55757</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Ponieważ kwestie omawiane na forum Beta dotyczą Wikiwersytetów we wszystkich językach, konieczne jest, aby uczestnicy ze wszystkich projektów mogli wyrazić swoje opinie.&quot;</comment>
      <origin>385566</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="175" sha1="bjnqrypr72i0kruna39vspjex78obls" xml:space="preserve">Ponieważ kwestie omawiane na forum Beta dotyczą Wikiwersytetów we wszystkich językach, konieczne jest, aby uczestnicy ze wszystkich projektów mogli wyrazić swoje opinie.</text>
      <sha1>bjnqrypr72i0kruna39vspjex78obls</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/Page display title/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55900</id>
    <revision>
      <id>385568</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:51:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Main page&quot;</comment>
      <origin>385568</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9" sha1="ho4xmkdrabp4sxnlcph12yj4888a2k7" xml:space="preserve">Main page</text>
      <sha1>ho4xmkdrabp4sxnlcph12yj4888a2k7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Main Page/simple</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55901</id>
    <revision>
      <id>385569</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:51:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Main page&quot;</comment>
      <origin>385569</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3057" sha1="pmim7rb4bileymoqf177m51848k547o" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

== What is Wikiversity? ==

Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development.

Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.

== What is Wikiversity Beta? ==

Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].

Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.

'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].

''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''

== Works in progress ==

* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.

== Have your say ==

* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].

== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}

== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>pmim7rb4bileymoqf177m51848k547o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/1/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55902</id>
    <revision>
      <id>385570</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:51:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== What is Wikiversidad? ==&quot;</comment>
      <origin>385570</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27" sha1="s533y221zg1nsncyrdl14s8n9vife1s" xml:space="preserve">== What is Wikiversidad? ==</text>
      <sha1>s533y221zg1nsncyrdl14s8n9vife1s</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/4/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55903</id>
    <revision>
      <id>385571</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:51:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== What is Wikiversidad Beta? ==&quot;</comment>
      <origin>385571</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32" sha1="6lu05lidtm9pkgn40sxzwn4txqiconc" xml:space="preserve">== What is Wikiversidad Beta? ==</text>
      <sha1>6lu05lidtm9pkgn40sxzwn4txqiconc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/1/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55904</id>
    <revision>
      <id>385572</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversity is organised by the [[wikimedia:Man|Wikimedia Foundation]], an organisation without spirit of lucre that receives also a series of others [[w:Wikipedia:Multilingual coordination|multilingual]] and [[w:Wikipedia:Copyrights|free-happy]] projects:&quot;</comment>
      <origin>385572</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="256" sha1="idtt63bfululilpinu8w6uqzoj76sq7" xml:space="preserve">Wikiversity is organised by the [[wikimedia:Man|Wikimedia Foundation]], an organisation without spirit of lucre that receives also a series of others [[w:Wikipedia:Multilingual coordination|multilingual]] and [[w:Wikipedia:Copyrights|free-happy]] projects:</text>
      <sha1>idtt63bfululilpinu8w6uqzoj76sq7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Template:Sisterprojects/simple</title>
    <ns>10</ns>
    <id>55905</id>
    <revision>
      <id>385573</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversity is organised by the [[wikimedia:Man|Wikimedia Foundation]], an organisation without spirit of lucre that receives also a series of others [[w:Wikipedia:Multilingual coordination|multilingual]] and [[w:Wikipedia:Copyrights|free-happy]] projects:&quot;</comment>
      <origin>385573</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1852" sha1="cj6evnjlf6kesqqb62p2sf2cpzux37v" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;languages /&gt;&lt;/noinclude&gt;
&lt;div style=&quot;background-color: #FFFFFF; margin: 0; border: 1px solid #DEDED3; padding: 7px 7px 0px 7px;  border-radius:5px&quot;&gt;
Wikiversity is hosted by the [[wikimedia:Home|Wikimedia Foundation]], a non-profit organization that also hosts a range of other [[wikipedia:Wikipedia:Multilingual coordination|multilingual]] and [[wikipedia:Wikipedia:Copyrights|free-content]] projects:

{|width=&quot;100%&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;4&quot; style=&quot;text-align:left;&quot;
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikipedia-logo.svg|link=wikipedia:|35px|Wikipedia]]
| '''[[wikipedia:|Wikipedia]]'''&lt;br /&gt;The free encyclopedia
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wiktionary-logo-v2.svg|link=wiktionary:|51px|Wiktionary]]
| '''[[wiktionary:|Wiktionary]]'''&lt;br /&gt;Dictionary and thesaurus
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikiquote-logo.svg|link=wikiquote:|40px|Wikiquote]]
| '''[[wikiquote:|Wikiquote]]'''&lt;br /&gt;Collection of quotations
|-
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikinews-logo.svg|link=wikinews:|51px|Wikinews]]
| '''[[wikinews:|Wikinews]]'''&lt;br /&gt;Free-content news
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikispecies-logo.svg|link=wikispecies:|35px|Wikispecies]]
| '''[[wikispecies:|Wikispecies]]'''&lt;br /&gt;Directory of species
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikibooks-logo.svg|link=wikibooks:|35px|Wikibooks]]
| '''[[wikibooks:|Wikibooks]]'''&lt;br /&gt;Free textbooks and manuals
|-
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikisource-logo.svg|link=wikisource:|35px|Wikisource]]
| '''[[wikisource:|Wikisource]]'''&lt;br /&gt;Free-content library
| align=&quot;center&quot; | [[File:Commons-logo.svg|link=commons:|31px|Wikimedia Commons]]
| '''[[commons:|Commons]]'''&lt;br /&gt;Shared media repository
| align=&quot;center&quot; | [[File:Wikimedia Community Logo.svg|link=meta:|35px|Meta-Wiki]]
| '''[[meta:|Meta-Wiki]]'''&lt;br /&gt;Wikimedia project coordination
|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;
[[Category:Main page templates{{#translation:}}]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>cj6evnjlf6kesqqb62p2sf2cpzux37v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/2/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55906</id>
    <revision>
      <id>385574</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[w:ca:Cover|'''Wikipedia''']]The free encyclopedia&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385574</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="55" sha1="hm6rjctgnq68w3h8yeganp6ctej1gbc" xml:space="preserve">[[w:ca:Cover|'''Wikipedia''']]The free encyclopedia&lt;br&gt;</text>
      <sha1>hm6rjctgnq68w3h8yeganp6ctej1gbc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/3/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55907</id>
    <revision>
      <id>385575</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[wikt:ca:Cover|'''Viccionari''']]multilingual Dictionary&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385575</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="61" sha1="0goce87j6xptkjln9mvbp734ui0uq5o" xml:space="preserve">[[wikt:ca:Cover|'''Viccionari''']]multilingual Dictionary&lt;br&gt;</text>
      <sha1>0goce87j6xptkjln9mvbp734ui0uq5o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/4/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55908</id>
    <revision>
      <id>385576</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[q:ca:Cover|'''Viquidites''']]Compilation of dates&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385576</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="55" sha1="rx9y1dctbbyda19nvek71jlnbtpqpcb" xml:space="preserve">[[q:ca:Cover|'''Viquidites''']]Compilation of dates&lt;br&gt;</text>
      <sha1>rx9y1dctbbyda19nvek71jlnbtpqpcb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/5/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55909</id>
    <revision>
      <id>385577</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[n:ca:Cover|'''Viquinotícies''']]free News&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385577</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48" sha1="qko8o8ng5ys8dzebcy1hlx0fr8lson7" xml:space="preserve">[[n:ca:Cover|'''Viquinotícies''']]free News&lt;br&gt;</text>
      <sha1>qko8o8ng5ys8dzebcy1hlx0fr8lson7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/6/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55910</id>
    <revision>
      <id>385578</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[wikispecies:Main Page/ca|'''Viquiespècies''']]Directory of species&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385578</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="73" sha1="dhttmnsk3g8z93w0k7ira8k0vwyuo40" xml:space="preserve">[[wikispecies:Main Page/ca|'''Viquiespècies''']]Directory of species&lt;br&gt;</text>
      <sha1>dhttmnsk3g8z93w0k7ira8k0vwyuo40</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/7/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55911</id>
    <revision>
      <id>385579</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[b:ca:Cover|'''Viquillibres''']]Manual and free textbooks&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385579</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="62" sha1="86g38dex77h99bqpbur6ufwd79rcghm" xml:space="preserve">[[b:ca:Cover|'''Viquillibres''']]Manual and free textbooks&lt;br&gt;</text>
      <sha1>86g38dex77h99bqpbur6ufwd79rcghm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/8/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55912</id>
    <revision>
      <id>385580</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:53:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[s:ca:Principal page|'''Viquitexts''']]The library of free content&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385580</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="71" sha1="f8tf37n2os99s8xah5rkggbcl4dkdfq" xml:space="preserve">[[s:ca:Principal page|'''Viquitexts''']]The library of free content&lt;br&gt;</text>
      <sha1>f8tf37n2os99s8xah5rkggbcl4dkdfq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/9/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55913</id>
    <revision>
      <id>385581</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:54:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;'''[[commons:|Commons]]'''Multimedia deposit&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385581</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48" sha1="tu69yovmgxp1a0g1lrcbk4rubghfc2u" xml:space="preserve">'''[[commons:|Commons]]'''Multimedia deposit&lt;br&gt;</text>
      <sha1>tu69yovmgxp1a0g1lrcbk4rubghfc2u</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Template:Sisterprojects/10/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55914</id>
    <revision>
      <id>385582</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:54:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;[[m:Main Page/ca|'''Meta-Wiki''']]Coordination of the projects Wikimedia&lt;br&gt;&quot;</comment>
      <origin>385582</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="76" sha1="7x1at97pcrxp7pqefikcj0tkzx6sspp" xml:space="preserve">[[m:Main Page/ca|'''Meta-Wiki''']]Coordination of the projects Wikimedia&lt;br&gt;</text>
      <sha1>7x1at97pcrxp7pqefikcj0tkzx6sspp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/Page display title/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55915</id>
    <revision>
      <id>385583</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:55:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversidad:Politics&quot;</comment>
      <origin>385583</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21" sha1="3cysp90197xugsfyah9ix3d9mbhddbg" xml:space="preserve">Wikiversidad:Politics</text>
      <sha1>3cysp90197xugsfyah9ix3d9mbhddbg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversity:Policies/simple</title>
    <ns>4</ns>
    <id>55916</id>
    <revision>
      <id>385584</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:55:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Wikiversidad:Politics&quot;</comment>
      <origin>385584</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4584" sha1="beu7mhqddehpycebdb4va1fwfsrmaq2" xml:space="preserve">&lt;languages/&gt;
The Wikiversity community has been [[:m:Special projects committee/Resolutions#2006-39A|called upon]] to develop guidelines for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]] that will apply to Wikiversity websites in all languages.

==Proposal: Lessen rules about external references==

Einstein would be unable to publish his special relativity on Wikiversity. No doubt it is wrong. Also, Wikiversity was planned to be modeled after real-world universities and now happens to have stricter rules on original research than real-world universities. It is wrong.

The main trouble is: Wikiversity editors require &quot;Arguments pro and con would need to be supported by additional resources. A single perspective is likely not sufficient.&quot; (a quote from [[User:Dave Braunschweig|Dave Braunschweig]] at [[:en:Wikiversity:Help desk|Wikiversity:Help desk]]). I have not found this rule in the official rules, but Dave has the power to delete and this needs to be dealt with. Need to say about this explicitly in the official rules.

Einstein would be unable to publish at Wikiversity because before publication his work surely was not supported by additional resources. Additional resources appear after some time after publication of a new idea, not before it.

So the world completely lacks a media for publishing new ideas (yes, personal opinions) except of private Websites. That's bad.

We need a way to publish new ideas and even personal opinions.

We can introduce the following rule: &quot;A personal opinion published at Wikiversity shall be not easily provable to be false by field experts, neither shall it be an unfounded opinion, but shall provide some arguments (but not necessarily proofs) for the opinion).&quot;

Another problem is that when somebody would publish his personal opinion, it is hard for his to follow [[:en:Wikiversity:NPOV|NPOV]], because he is not himself one of his opponents. So we should explicitly state: &quot;Personal opinions can be published as original research. When publishing somebody's opinion as original research, it is allowed to omit opposing views in the hope that these may be added later.&quot;
--[[User:VictorPorton|VictorPorton]] ([[User talk:VictorPorton|talk]]) 18:18, 21 June 2019 (UTC)
==Special projects committee resolution 2006-39A==

The SPC recommends the creation of a beta 
Wikiversity project, to be hosted at the domain wikiversity.org, as per its [http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikiversity/Modified_project_proposal&amp;oldid=395364#Scope_of_Wikiversity scope], starting in August.  

The project will be dedicated to collecting free multilingual educational resources, and to supporting communities using those resources to teach and learn together.  

The beta stage of the project will run for six months, during which guidelines for further potential uses of the site, including collaborative research, will be developed on the beta wiki.  

These guidelines will be reviewed by the SPC at the end of the beta period. ([http://meta.wikimedia.org/wiki/Special_projects_committee/Resolutions#2006-39A source])

==14 August 2006 instructions from the Board==

([http://lists.wikimedia.org/pipermail/foundation-l/2006-August/022427.html source], by Board member [[m:User:Anthere|Anthere]])

*&quot;..... guidelines should be developed, *in particular* in regard to collaborative research. We would hope that these guidelines are as much as possible developed on the beta site (in particular collaborative research), so that all languages share a common goal and a few common nonnegotiable rules.&quot;

*&quot;At the end of these 6 months [beta] period, the project will be reviewed, in particular so that the issue of collaborative research is qualified, and if possible to define whether the beta stage is over. Reviewal will be done by Spc.&quot;

==See also==
{{policylist}}
*Research policies
**[[Wikiversity:Research guidelines|Research Guidelines]] for Wikiversity
**[[Wikiversity:Scope of research/Policy|Scope of Research]] for Wikiversity
**[[Wikiversity:Review board|Review Board]] - formal peer review for Wikiversity
*Research-related pages
**[[Wikiversity:Research]] - Source documents concerning research within Wikiversity
**[[Wikiversity:Original research|Original research]] - unpublished research into a topic using literature review and/or methods in addition to literature review
**[[Wikiversity:Secondary research|Secondary research]] - research into a topic using the method of literature review

[[Category:Research]]
[[Category:Wikiversity policy development]]

[[en:Wikiversity:Policies]]</text>
      <sha1>beu7mhqddehpycebdb4va1fwfsrmaq2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/1/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55917</id>
    <revision>
      <id>385585</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:56:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;The community of Wikiversidad has been [[$spc|invited to]] develop guidelines for [[$orig|the original investigation]] that will apply  to the websites of Wikiversidad in all the languages.&quot;</comment>
      <origin>385585</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="189" sha1="qtti783vfsuvbffvzk6t2ih9jhklzoc" xml:space="preserve">The community of Wikiversidad has been [[$spc|invited to]] develop guidelines for [[$orig|the original investigation]] that will apply  to the websites of Wikiversidad in all the languages.</text>
      <sha1>qtti783vfsuvbffvzk6t2ih9jhklzoc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/21/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55918</id>
    <revision>
      <id>385586</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:56:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Proposal: Flexibilizar the norms on external references ==&quot;</comment>
      <origin>385586</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="61" sha1="cxv90jkbh4gtn323e0hqvr1pi868llh" xml:space="preserve">== Proposal: Flexibilizar the norms on external references ==</text>
      <sha1>cxv90jkbh4gtn323e0hqvr1pi868llh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/2/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55919</id>
    <revision>
      <id>385587</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:57:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;==Resolution of the committee of special projects 2006-39To==&quot;</comment>
      <origin>385587</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="61" sha1="sp2q4338p6tmcnlkmce8biryqic6afz" xml:space="preserve">==Resolution of the committee of special projects 2006-39To==</text>
      <sha1>sp2q4338p6tmcnlkmce8biryqic6afz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/6/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55920</id>
    <revision>
      <id>385588</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:57:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;These guidelines will be revised by the CPE at the end of the period beta. ([$Animal source])&quot;</comment>
      <origin>385588</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="93" sha1="4xgdsgkbrbd8t1br5izl37kpf0pn745" xml:space="preserve">These guidelines will be revised by the CPE at the end of the period beta. ([$Animal source])</text>
      <sha1>4xgdsgkbrbd8t1br5izl37kpf0pn745</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/7/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55921</id>
    <revision>
      <id>385589</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:57:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== Instructions of the Joint of 14 August 2006 ==&quot;</comment>
      <origin>385589</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="49" sha1="pvuqflvfvthblh0nihzm241zl1lbxve" xml:space="preserve">== Instructions of the Joint of 14 August 2006 ==</text>
      <sha1>pvuqflvfvthblh0nihzm241zl1lbxve</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/8/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55922</id>
    <revision>
      <id>385590</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:57:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;([$ml source], of the member of the Joint $anthere)&quot;</comment>
      <origin>385590</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="51" sha1="odbas56cj40zreglxtyoh50ustguqgy" xml:space="preserve">([$ml source], of the member of the Joint $anthere)</text>
      <sha1>odbas56cj40zreglxtyoh50ustguqgy</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/13/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55923</id>
    <revision>
      <id>385591</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:58:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;* Politics of investigation&quot;</comment>
      <origin>385591</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27" sha1="9f8x7s08n7qfhqw84haph9ih99i9j7e" xml:space="preserve">* Politics of investigation</text>
      <sha1>9f8x7s08n7qfhqw84haph9ih99i9j7e</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/14/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55924</id>
    <revision>
      <id>385592</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:58:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*[[$guide|Guidelines of investigation]] for Wikiversidad&quot;</comment>
      <origin>385592</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="56" sha1="szxjkxh9oseqyyr0am086vyi892pukg" xml:space="preserve">*[[$guide|Guidelines of investigation]] for Wikiversidad</text>
      <sha1>szxjkxh9oseqyyr0am086vyi892pukg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/15/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55925</id>
    <revision>
      <id>385593</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:58:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*[[$scope|Scope of the investigation]] for Wikiversidad&quot;</comment>
      <origin>385593</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="55" sha1="rrm0dccaowus9kqv0kc3xv8bwguwsrm" xml:space="preserve">*[[$scope|Scope of the investigation]] for Wikiversidad</text>
      <sha1>rrm0dccaowus9kqv0kc3xv8bwguwsrm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/16/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55926</id>
    <revision>
      <id>385594</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:58:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*[[$review|Joint of Review]] - formal review for Wikiversidad&quot;</comment>
      <origin>385594</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="61" sha1="f8pzlxhvf8g4dwuj8ax32wshgjivqat" xml:space="preserve">*[[$review|Joint of Review]] - formal review for Wikiversidad</text>
      <sha1>f8pzlxhvf8g4dwuj8ax32wshgjivqat</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/29/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55927</id>
    <revision>
      <id>385595</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:58:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;Pages related to the privacy&quot;</comment>
      <origin>385595</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28" sha1="gxnn9xd78zllyu88vajtvceda5thiy3" xml:space="preserve">Pages related to the privacy</text>
      <sha1>gxnn9xd78zllyu88vajtvceda5thiy3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/17/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55928</id>
    <revision>
      <id>385596</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:59:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*$research - Documents source related with the investigation inside Wikiversidad&quot;</comment>
      <origin>385596</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="80" sha1="p7cxquv4f76efoonwszy0ezdcnyl2l1" xml:space="preserve">*$research - Documents source related with the investigation inside Wikiversidad</text>
      <sha1>p7cxquv4f76efoonwszy0ezdcnyl2l1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/18/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55929</id>
    <revision>
      <id>385597</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:59:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*[[$orig|Original investigation]] - investigation no published on a subject using bibliographic review and/or methods in addition to the review of bibliographic&quot;</comment>
      <origin>385597</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="160" sha1="8lws2606myk54i2qoqzcptok1wtr7sj" xml:space="preserve">*[[$orig|Original investigation]] - investigation no published on a subject using bibliographic review and/or methods in addition to the review of bibliographic</text>
      <sha1>8lws2606myk54i2qoqzcptok1wtr7sj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Wikiversity:Policies/19/simple</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>55930</id>
    <revision>
      <id>385598</id>
      <timestamp>2026-07-29T09:59:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-41915-10</username>
        <id>55760</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;*[[[$sec|Secondary investigation]]] - investigation on a subject using the method of review of bibliographic&quot;</comment>
      <origin>385598</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="108" sha1="m5mynu02vs6wi9t9bbztfw72uzs4w6o" xml:space="preserve">*[[[$sec|Secondary investigation]]] - investigation on a subject using the method of review of bibliographic</text>
      <sha1>m5mynu02vs6wi9t9bbztfw72uzs4w6o</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>