Wikiversity
betawikiversity
https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page
MediaWiki 1.47.0-wmf.13
first-letter
Media
Special
Talk
User
User talk
Wikiversity
Wikiversity talk
File
File talk
MediaWiki
MediaWiki talk
Template
Template talk
Help
Help talk
Category
Category talk
TimedText
TimedText talk
Module
Module talk
Translations
Translations talk
Event
Event talk
Hlavná stránka
0
22115
385803
385194
2026-07-31T13:57:21Z
KormiSK
55368
ani len hlavna stranka nie je poriadne prelozena?
385803
wikitext
text/x-wiki
__NOTOC__
{{Main page}}
== Čo je Wikiversity? ==
Wikiversity je projekt [[w:sk:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. Je to centrum pre tvorbu a využitie voľných študijných materiálov a aktivít. Hostí [[w:sk:Slobodný obsah|slobodné]] vzdelávacie zdroje a vedecké projekty. Tiež sa snaží o interakciu s ostatnými projektami Wikimédie a podporuje ich vývoj obsahu. Zatiaľ sa do [[Wikiversity:separate projects|samostatných projektov]] vyvinuli iba nasledujúce jazykové varianty: [[:en:Wikiversity:Main Page|angličtina]], [[:de:Hauptseite|nemčina]], [[:es:Portada|španielčina]], [[:fr:Accueil|francúzština]], [[:it:Pagina principale|taliančina]], [[:el:Kύρια Σελίδα|gréčtina]], [[:ja:メインページ|japončina]], [[:ko:대문|korejčina]], [[:pt:Página principal|portugalčina]], [[:cs:Wikiverzita:Hlavní strana|čeština]], [[:fi:Etusivu|fínčina]], [[:ru:Заглавная страница|ruština]] a [[:zh:Wikiversity:首页|čínština]]. Stav schválených a potencionálne možných môžeš vidieť na [[States of Wikiversities]].
Ako jeden z malá projektov Nadácie Wikimédie má Wikiversity povolený vlastný výskum.
== Čo je Wikiversity Beta? ==
Wikiversity Beta (vo wiki odkazoch ako ''betawikiversity'') je [[Wikiversity:multilingual|viacjazyčným]] miestom pre koordináciu projektov Wikiversity v rôznych jazykoch, k ďalšiemu zlepšeniu našej [[Wikiversity:Mission|misie]], a k [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|schváleniu návrhov projektu Wikiversity]]. Táto webová stránka hosťuje diskusie o [[Wikiversity:Policies|pravidlách]] Wikiversity pre [[Wikiversity:research guidelines|usmernenia výskumu]].
Wikiversity Beta tiež slúži ako [[:category:wikiversity incubator|inkubátor]] pre Wikiversity v [[:category:pages by language|jazykoch]], ktoré doteraz nezískali svoje vlastné stránky.
K „získaniu novej wikiversity stránky“ (myslené napr. ako sk.wikiversity.org) je potrebné mať troch aktívnych účastníkov na projekte. Potom môžete [[m:Requests for new languages#Wikiversity|žiadať]] (v meta), aby mohla byť zriadená nová jazyková doména. Medzitým pridajte hlavnú stránku vášho projektu na [[Template:Main page]].
== Vytvorenie článku ==
Ak vytvoríš nový článok alebo niečo iné, tak nezabudni článok pridať do kategórie <span style="background: #ecebeb;padding: 0.1rem;"><nowiki>[[Category:SK]]</nowiki></span> (t. j. uvedieš to na konci článku).
== Pozri aj ==
* [[Vitajte]].
* [[:Category:SK|'''Zoznam slovenských článkov''']].
* [[:Category:User_sk|Zoznam slovenských používateľov na Wikiversite]].
* [[m:Requests_for_new_languages/Wikiversity_Slovak|Požiadavky na nové jazykové mutácie - slovenská Wikiverzita]]
[[Category:SK]]
32spkfugtvfzdfmn5grsd4dg3bfzy5a
El cos dels nombres reals Bat
0
55864
385804
385798
2026-07-31T17:10:14Z
Profev
36331
+
385804
wikitext
text/x-wiki
{|align="right"
|<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span>
|}
Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat.
== Introducció ==
'''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:
::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math>
:Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem:
:::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math>
:Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math>
:Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math>
Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.
== Els nombres real ==
Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.
:<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math>
De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.
:<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math>
=== Propietat ===
'''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si:
1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació suma és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math>
::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math>
:e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que:
::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math>
::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math>
2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math>
::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math>
:e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math>
::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math>
3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math>
4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math>
:b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math>
:c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math>
:d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math>
5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math>
:b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math>
==== Exercicis ====
1) Troba la <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:
{|
|width="5px"|
|width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math>
|width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math>
|width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math>
|width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math>
|-
|||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math>
|f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math>
|g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math>
|h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math>
|-
|||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math>
|j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math>
|k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math>
|l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math>
|}
=== Potències ===
{|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f"
|style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math>
|}
'''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^1 =& a \\
\color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\
\color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\
\vdots & \\
\color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\
a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\
\vdots & \\
\hline
\end{array}</math>
La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb exponent un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet s'en diu definició recursiva.
==== Propietats ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="368px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>\left(a^n \right)^m=a^{n \cdot m}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\
-a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math>
|}
'''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^{-1}= & \frac{1}{a} \\
\hline
\end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math>
i inductivament la notació és <math>a^{-(n+1)}=a^{-n}\cdot \frac{1}{a}</math>
;Propietats:
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="272px"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
<math>\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\frac{1}{a^{m-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" colspan="2"|
<math>a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math>
|}
==== Exemples ====
1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math>
L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math>
Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math>
L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math>
Per tant queda com a una sola potència.
'''Test'''
La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig:
:<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math>
L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math>
'''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math>
'''Test'''
S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt:
<math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math>
Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament.
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math>
:<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math>
Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math>
|}
|}
3) Simplifica al màxim:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base:
Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math>
Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math>
Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius:
:<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math>
|}
|}
==== Exercicis ====
1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math>
|width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math>
|width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math>
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math>
|width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math>
|width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math>
|}
=== Arrels ===
Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita.
'''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> si implica que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>Es pot escriure com <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> però compta amb <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r</math> perquè s'afirma que l'arrel genera aquest valor exclusiu i de fet les potències tenen més d'una solució no exclusiva.
Exemple:
:És correcte que <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math>
:És fals que <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math>
L'arrel quadrada és una funció i per tant no pot fer això mai de la vida <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math>
No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref>
'''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math>
'''Exemple''':
Donada l'equació <math>x^5=3,</math> si, per hipòtesi, la solució és una potència com <math>3^n</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> <math>\Rightarrow 3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}</math> és solució.
==== Propietats ====
No sempre hi ha arrels:
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>n\;parell</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>n\;imparell</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math>
|style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix
|style="border: 1px solid #77d;"|Existeix
|}
==== Exemples ====
==== Exercicis ====
== Notes ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
7izam9dy7vmneawlgwxzvvacwv1si07
385805
385804
2026-07-31T18:16:40Z
Profev
36331
+
385805
wikitext
text/x-wiki
{|align="right"
|<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span>
|}
Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat.
== Introducció ==
'''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:
::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math>
:Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem:
:::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math>
:Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math>
:Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math>
Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.
== Els nombres real ==
Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.
:<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math>
De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.
:<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math>
=== Propietat ===
'''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si:
1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació suma és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math>
::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math>
:e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que:
::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math>
::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math>
2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math>
::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math>
:e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math>
::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math>
3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math>
4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math>
:b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math>
:c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math>
:d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math>
5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math>
:b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math>
==== Exercicis ====
1) Troba la <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:
{|
|width="5px"|
|width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math>
|width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math>
|width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math>
|width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math>
|-
|||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math>
|f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math>
|g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math>
|h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math>
|-
|||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math>
|j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math>
|k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math>
|l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math>
|}
=== Potències ===
{|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f"
|style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math>
|}
'''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^1 =& a \\
\color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\
\color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\
\vdots & \\
\color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\
a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\
\vdots & \\
\hline
\end{array}</math>
La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb exponent un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet s'en diu definició recursiva.
==== Propietats ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="368px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>\left(a^n \right)^m=a^{n \cdot m}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\
-a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math>
|}
'''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^{-1}= & \frac{1}{a} \\
\hline
\end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math>
i inductivament la notació és <math>a^{-(n+1)}=a^{-n}\cdot \frac{1}{a}</math>
;Propietats:
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="272px"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
<math>\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\frac{1}{a^{m-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;" colspan="2"|
<math>a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math>
|}
==== Exemples ====
1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math>
L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math>
Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math>
L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math>
Per tant queda com a una sola potència.
'''Test'''
La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig:
:<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math>
L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math>
'''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math>
'''Test'''
S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt:
<math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math>
Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament.
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math>
:<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math>
Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math>
|}
|}
3) Simplifica al màxim:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base:
Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math>
Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math>
Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius:
:<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math>
|}
|}
==== Exercicis ====
1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math>
|width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math>
|width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math>
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math>
|width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math>
|width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math>
|}
=== Arrels ===
Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita.
'''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> si implica que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>Es pot escriure com <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> però compta amb <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r</math> perquè s'afirma que l'arrel genera aquest valor exclusiu i de fet les potències tenen més d'una solució no exclusiva.
Exemple:
:És correcte que <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math>
:És fals que <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math>
L'arrel quadrada és una funció i per tant no pot fer això mai de la vida <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math>
No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref>
'''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math>
'''Exemple''':
Donada l'equació <math>x^5=3,</math> si, per hipòtesi, '''una''' solució és una potència com <math>3^n</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> <math>\Rightarrow 3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math>
==== Propietats ====
1) No sempre hi ha arrels:
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math>
|style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix
|style="border: 1px solid #77d;"|Existeix
|}
2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell.
3) No sempre es pot equiparar la notació
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m parell
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m imparell
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}\;\;i\;\;a\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #77d;"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math>
|}
==== Exemples ====
1) Determina el valor de cada expressió:
==== Exercicis ====
1) Confirma que existeix i calcula:
{|
|width="5px"|
|width="200px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math>
|width="200px"|b) <math>\sqrt[8]{\;(-2)^4\;}</math>
|width="200px"|c) <math>\sqrt[6]{\;-3\;}^{\;2}</math>
|}
== Notes ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
hfibqz796iupktwot90l3yspcnpi36p