Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 55864 385907 385805 2026-08-03T15:30:15Z Profev 36331 + 385907 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietat === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba la <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb exponent un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet s'en diu definició recursiva. ==== Propietats ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="368px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>\left(a^n \right)^m=a^{n \cdot m}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> i inductivament la notació és <math>a^{-(n+1)}=a^{-n}\cdot \frac{1}{a}</math> ;Propietats: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="272px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| <math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| <math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| <math>\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\frac{1}{a^{m-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" colspan="2"| <math>a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |} ==== Exemples ==== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ==== Exercicis ==== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>Es pot escriure com <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> però compta amb <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r</math> perquè afirma que l'arrel genera aquest valor exclusiu i de fet les potències tenen més d'una solució no exclusiva. Exemple: :És correcte que <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És fals que <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i per tant no pot fer això mai de la vida <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref> '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> '''Exemple''': Donada l'equació <math>x^5=3,</math> si, per hipòtesi, '''una''' solució és una potència com <math>3^n</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució és <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> ==== Propietats ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix i <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix i <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #77d;"|Existeix i <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ==== Exemples ==== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |} ==== Exercicis ==== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="200px"|b) <math>\sqrt[8]{\;(-2)^4\;}</math> |width="200px"|c) <math>\sqrt[6]{\;-3\;}^{\;2}</math> |} == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] ikslotgusyrr0tut9jw3r08nz3iup4p 0 55877 385908 385801 2026-08-04T03:10:56Z Satya Rambana 55705 Perbaikan penulisan persamaan deret aritmetika 385908 wikitext text/x-wiki Barisan aritmetika merupakan serangkaian angka yang mengalami penambahan atau pengurangan dengan selisih yang sama.<ref>Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:438. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/438/mode/2up (July 28, 2026). </ref> Rangkaian angka tersebut dapat mengalami penambahan secara berulang, seperti 2, 5, 8, 11, 14 di mana dapat diketahui bahwa selisih antara angka selanjutnya dengan angka sebelumnya adalah tetap sebesar 3. Rangkaian angka tersebut dapat pula mengalami pengurangan secara berulang, seperti 11, 9, 7, 5, 3 di mana terjadi pengurangan tetap sebesar 2. == Persamaan Suku Barisan Aritmetika == Berdasarkan contoh sebelumnya, kita akan menurunkan rumus barisan aritmetika. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. <math display="block"> 2, 5, 8, 11, 14</math> === Mendefinisikan Suku === Angka pertama kita simbolkan sebagai a₁ bernilai 2. Angka kedua kita simbolkan sebagai a₂ bernilai 5. Angka ketiga kita simbolkan sebagai a₃ bernilai 8. Angka keempat kita simbolkan sebagai a₄ bernilai 11. Angka kelima kita simbolkan sebagai a₅ bernilai 14. Angka dan simbol ini kemudian kita sebut sebagai suku, di mana a_n disebut sebagai suku ke-n. === Mendefinisikan Beda === Selisih dari 5 dan 2 adalah 3. Selisih dari 8 dan 5 adalah 3. Selisih dari 11 dan 8 adalah 3. Selisih dari 14 dan 11 adalah 3. Selisih-selisih ini kemudian kita sebut sebagai beda dan disimbolkan sebagai b, sehingga diperoleh b = 3. === Penjabaran Persamaan === Berdasarkan pendefinisian di atas, maka kita memperoleh nilai suku pertama sampai suku kelima dan nilai b = 3. Kemudian kita jabarkan satu per satu masing-masing suku sebagai berikut. Untuk suku pertama adalah sebagai berikut. <math display="block">a_1 = 2</math> Untuk suku kedua adalah sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} a_2 &= 5\\ a_2 &= 2 + 3 \\ a_2 &= a_1 + b \end{aligned} </math> Untuk suku ketiga adalah sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} a_3 &= 8 \\ a_3 &= 2 + 3 + 3 \\ a_3 &= a_1 + b + b \\ a_3 &= a_1 + 2b \end{aligned} </math> Untuk suku keempat adalah sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} a_4 &= 11\\ a_4 &= 2 + 3 + 3 + 3 \\ a_4 &= a_1 + b + b + b\\ a_4 &= a_1 + 3b \end{aligned} </math> Untuk suku kelima adalah sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} a_5 &= 14\\ a_5 &= 2 + 3 + 3 + 3 + 3\\ a_5 &= a_1 + b + b + b + b\\ a_5 &= a_1 + 4b \end{aligned} </math> Sehingga, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa suku ke-n akan memiliki persamaan sebagai berikut. <math display="block">a_n = a_1 + (n-1) b</math> == Persamaan Jumlah Barisan Aritmetika == Kita lihat kembali pada barisan yang sebelumnya kita pergunakan yaitu 2, 5, 8, 11, 14. Kita pergunakan persamaan suku barisan aritmetika yang sebelumnya telah kita peroleh yaitu <math display="inline">a_n = a_1 + (n-1) b</math>. Kita kemudian memberikan label bahwa jumlah barisan aritmatika sejumlah n adalah S_n. Bagaimana cara kita bisa memperoleh persamaan S_n? === Penjumlahan === Kita sudah menyatakan masing-masing persamaan suku ke-n untuk 2, 5, 8, 11, 14 di atas. Kemudian kita akan menjumlahkannya, dikarenakan barisan tersebut mengandung nilai sebanyak 5 angka, maka kita simbolkan sebagai S₅. S_n merupakan penjumlahan atas kelima suku di atas, di mana dapat kita nyatakan dalam dua bentuk sebagai berikut. Bentuk pertama adalah menjumlahkan dari suku pertama ke suku kelima. <math display="block"> \begin{aligned} S_5 &= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\\ S_5 &= a_1 + (a_1 + b) + (a_1 + 2b) + (a_1 + 3b) + (a_1 + 4b) \end{aligned} </math> Bentuk kedua adalah menjumlahkan dari suku kelima ke suku pertama. <math display="block"> \begin{aligned} S_5 &= a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1\\ S_5 &= (a_1 + 4b) + (a_1 + 3b) + (a_1 + 2b) + (a_1 + b) + a_1 \end{aligned} </math> Kedua bentuk S₅ di atas kita jumlahkan, aturan penjumlahan adalah apabila dua nilai yang sama dijumlahkan maka sama artinya dengan dua kali nilai tersebut (2a = a + a) sehingga bentuk penjumlahannya adalah sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} 2S_5 &= S_5 + S_5 \\ 2S_5 &= [a_1 + (a_1 + b) + (a_1 + 2b) + (a_1 + 3b) + (a_1 + 4b)] + [(a_1 + 4b) + (a_1 + 3b) + (a_1 + 2b) + (a_1 + b) + a_1]\\ 2S_5 &= (2a_1 + 4b) + (2a_1 + 4b) + (2a_1 + 4b) + (2a_1 + 4b) + (2a_1 + 4b)\\ 2S_5 &= 5(2a_1 + 4b) \end{aligned} </math> Bagi kedua ruas persamaan dengan 2, sehingga kemudian kita dapati nilai dari S₅ adalah berikut. <math display="block">S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4b)</math> Kemudian kita coba untuk melakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan tersebut, mengingat kembali bahwa nilai a₁ = 2 dan nilai b = 3. <math display="block"> \begin{aligned} S_5 &= \frac{5}{2}(2 \times 2 + 4 \times 3)\\ S_5 &= \frac{5}{2}(4 + 12)\\ S_5 &= \frac{5}{2}\times 16\\ S_5 &= \frac{80}{2}\\ S_5 &= 40 \end{aligned} </math> Silahkan anda coba hitung dengan menggunakan kalkulator, anda pasti akan memperoleh nilai sebesar 40 ketika menjumlahkan barisan 2, 5, 8, 11, 14. Penjabaran di atas menghasilkan rumus dari jumlah 5 suku yaitu <math display="inline">S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4b)</math>. Kita dapat membuat persamaan umum, kita ingat kembali bahwa n = 5 yang menyatakan banyaknya angka dalam barisan. Sehingga persamaan umum jumlah barisan aritmatika diperoleh sebagai berikut. <math display="block">S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)b)</math> Jumlah dari suku-suku pada barisan aritmetika (S_n) dikenal sebagai deret aritmetika. Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan suku-suku pada barisan aritmetika. == Penguatan Konsep == Sebagai upaya agar memperkuat pemahaman anda tentang suku dan jumlah barisan aritmetika, kerjakan latihan soal berikut sesuai dengan ajaran yang diberikan dengan jelas dan lengkap! # Selesaikan perumusan persamaan suku barisan aritmetika dan persamaan jumlah barisan aritmetika jika diketahui sebuah barisan 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15. == Persoalan == Berikut adalah persoalan - persoalan sederhana untuk pengaplikasian ilmu barisan aritmetika dalam matematika keuangan untuk kondisi tetap. # Tono adalah pelajar SMA yang rajin menabung. Dia menyisihkan uang saku sekolahnya sebesar Rp3.000 dalam bentuk uang kertas dan uang koin selama hari sekolah dan hari libur. Tono memasukkan uang tersebut ke dalam celengan plastik ayam berwarna oranye. Tono menabung dengan tujuan untuk bisa membeli mesin cetak dengan spesifikasi mampu mencetak kertas sampai ukuran F4. Jika harga mesin cetak adalah Rp1.238.500 (dianggap tidak mengalami perubahan harga karena inflasi, penurunan nilai, dan lainnya) dan Tono mulai menabung dari Rp189.000 pada tanggal 22 Agustus 2025, pada tanggal berapa uang tabungan Tono terkumpul sejumlah minimal harga mesin cetak tersebut? Berapakah nilai tabungan Tono pada saat malam tahun baru 2026? # Jika mesin yang diincar oleh Tono mengalami penyusutan harga sebesar Rp2.000 setiap tanggal 1 pada tiap bulan sepanjang tahun 2025 dan mengalami kenaikan harga sebesar Rp500 setiap tanggal 15 pada tiap bulan sampai Juli 2026 serta mengalami penyusutan sebesar Rp1000 setiap tanggal 20 pada tiap bulan setelah pemberhentian produksi yang diumumkan oleh pabrikannya pada 28 Juli 2026, tentukan kapan Tono bisa membeli mesin cetak tersebut? == Referensi Terkutip == <references /> == Referensi Pengembangan == # Bagian penjabaran persamaan suku barisan aritmetika dan penjabaran persamaan jumlah barisan aritmetika dikembangkan dengan penyesuaian untuk tujuan yang lebih pedagogis dari karya oleh S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm:28-29. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 28, 2026). [[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]] bokhas06phzbrcmtvte9e9tuqphz7rn 0 55895 385910 385802 2026-08-04T04:50:54Z Satya Rambana 55705 Menambahkan persamaan deret geometri untuk rasio kurang dari satu 385910 wikitext text/x-wiki Barisan geometri merupakan barisan yang setiap suku setelah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu, konstanta tertentu tersebut disebut sebagai rasio dan.<ref>Wentworth, George, and David Eugene Smith. [c1909]. Complete Arithmetic. Boston, New York [etc.] : Ginn and company. hlm:440. https://archive.org/details/completearithmet00wentiala/page/440/mode/2up (July 29, 2026). </ref> Contohnya kita punya barisan geometri 4, 20, 100, 500, 2500. == Rasio == Nilai rasio (kita simbolkan dengan r) berdasarkan definisi dapat kita peroleh dengan membagi nilai selanjutnya dengan nilai sebelumnya sebagai berikut. [[File:Pembagian rasio.svg]] Sehingga kita peroleh nilai rasio (r) untuk barisan tersebut adalah sebesar 5. == Persamaan Suku Barisan Geometri == Barisan sebelumnya yaitu 4, 20, 100, 500, 2500 memiliki rasio (r) sebesar 5. Sehingga kemudian kita menjabarkan tiap-tiap sukunya. Apabila kita menyatakan a_n adalah suku ke-n, maka suku-suku dari barisan tersebut adalah sebagai berikut. # Suku pertama dari barisan geometri adalah a₁ = 4. # Suku kedua dari barisan geometri adalah a₂ = 20 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku kedua barisan geometri.svg]] # Suku ketiga dari barisan geometri adalah a₃ = 100 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut.[[File:Suku ketiga barisan geometri.svg]] # Suku keempat dari barisan geometri adalah a₄ = 500 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku keempat barisan geometri.svg]] # Suku kelima dari barisan geometri adalah a₅ = 2500 atau dapat pula dinyatakan sebagai berikut. [[File:Suku kelima barisan geometri.svg]] Berdasarkan pola yang terlihat dalam pernyataan persamaan dari tiap suku barisan tersebut dapat kita simpulkan persamaan suku barisan geometri adalah sebagai berikut. <math display="block">a_n = a_1 \times r^{(n-1)}</math> == Persamaan Jumlah Barisan Geometri == Jumlah barisan geometri kita nyatakan dalam bentuk s_n, di mana n adalah banyaknya suku dalam barisan tersebut. Sehingga persamaan jumlah untuk barisan geometri 4, 20, 100, 500, 2500 ditentukan sebagai berikut. === Jumlah Kelima Suku Barisan Geometri === Jumlah kelima suku barisan geometri tersebut adalah sebagai berikut. [[File:Jumlah lima suku barisan geometri.svg]] Jumlah kelima suku barisan geometri dikali dengan rasionya adalah sebagai berikut. [[File:Rasio dikali jumlah pada masing-masing suku barisan geometri.svg]] Untuk menentukan persamaan jumlah kelima suku barisan geometri, maka jumlah kelima suku barisan geometri dikali dengan rasionya (r × s₅) dikurangi dengan jumlah kelima suku barisan geometri (s₅), sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut. [[File:Persamaan jumlah lima suku barisan geometri.svg]] Diketahui a₁ = 4 dan r = 5, nilai tersebut dimasukkan ke dalam persamaan s₅ sehingga diperoleh jumlah dari barisan geometri 4, 20, 100, 500, 2500 adalah 3124. Ada pula persamaan jumlah suku barisan geometri bentuk lain untuk kondisi dimana <math display="inline">r < 1</math> di mana untuk memperolehnya dilakukan pengurangan jumlah kelima suku barisan geometri (<math display="inline">s_5</math>) terhadap jumlah kelima suku barisan geometri dikali dengan rasionya <math display="inline">(r \times s_5)</math>. Sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut. <math display="block"> \begin{aligned} s_5 - (r \times s_5) &= [(a_1) + (a_1 \times r) + (a_1 \times r^2) + (a_1 + r^3) + (a_1 + r^4)]-[(a_1 \times r) + (a_1 \times r^2) + (a_1 + r^3) + (a_1 + r^4) + (a_1 + r^5)]\\ s_5 - (r \times s_5) &= a_1 - (a_1 \times r^5)\\ s_5 \times (1 - r) &= a_1 \times (1 - r^5)\\ s_5 &= \frac{a_1 \times (1 - r^5)}{(1-r)} \end{aligned} </math> Bentuk ini berlaku untuk barisan dengan rasio kurang dari 1. Contohnya adalah barisan geometri berikut. <math display="block"> 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}</math> Di mana rasionya adalah sebesar <math display="inline">\frac{1}{2}</math>. === Persamaan Umum Jumlah Barisan Geometri === Berdasarkan persamaan jumlah lima suku barisan geometri dan definisi bahwa jumlah barisan geometri kita nyatakan dalam bentuk s_n, di mana n adalah banyaknya suku dalam barisan tersebut. Maka, persamaan umum jumlah barisan geometri dinyatakan sebagai berikut. [[File:Persamaan Umum Jumlah Barisan Geometri.svg]] Jumlah dari suku-suku dalam barisan geometri (s_n) dikenal sebagai deret geometri. Deret geometri adalah hasil penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Persamaan ini berlaku dengan ketentuan bahwa <math display="inline">r > 1</math>. Untuk <math display="inline">r < 1</math>, maka digunakan persamaan berikut. <math display="block">s_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{(1-r)}</math> == Contoh Soal == Kusuma ingin hidup dengan kebebasan finansial supaya bisa mengejar hidup yang diimpikannya tanpa memikirkan harus bekerja seumur hidup dari jam 8 pagi sampai jam 4 sore ditambah lembur tanpa dibayar pakai uang. Upah minimum provinsi tempat Kusuma tinggal adalah sebesar Rp3.578.000 per bulan. Jika Kusuma berinvestasi pada suatu instrumen dengan imbal hasil tetap 0,5% per bulan, tentukan: # Berapa modal awal investasi yang dibutuhkan oleh Kusuma agar imbal hasil senilai upah minimum provinsi yang tercantum? # Jika ternyata setelah menyetor modal awal, Kusuma masih bekerja karena diminta jangan mengundurkan diri dulu dari pekerjaannya selama 18 bulan karena perusahaan masih perlu waktu mencari penggantinya sehingga Kusuma tidak mengambil imbal hasil per bulan. Berapakah nilai investasi Kusuma setelah durasi tersebut? == Referensi Terkutip == <references /> == Referensi Pengembangan == # Bagian penjabaran persamaan suku barisan geometri dan penjabaran persamaan jumlah barisan geometri dikembangkan dengan penyesuaian dari karya S R Knight. 1890. Higher Algebra. hlm:37-39. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.216580 (July 29, 2026). [[Category:ID]] [[Category:Matematika (ID)]] c0605j7bjris78fwpwa8tocfyqibgq7 0 56030 385909 2026-08-04T03:20:00Z Satya Rambana 55705 Menambahkan pengantar dan notasi sigma untuk deret aritmetika 385909 wikitext text/x-wiki Pada materi sebelumnya kita telah membahas deret aritmetika dan deret geometri. Pertanyaan yang akan memulai materi limit ini adalah tentang kemanakah deret itu akan berhenti dan apakah deret itu bisa kita hitung jumlahnya atau tidak. Hal ini penting karena dalam konsep keuangan limit berperan untuk menghitung kemampuan dari aspek keuangan, misalnya dana abadi dan bunga majemuk kontinu. == Notasi Sigma == === Notasi Sigma untuk Deret Aritmetika === Suatu deret aritmetika akan terus mengalami penjumlahan ataupun pengurangan secara terus menerus sehingga jumlahnya akan sama dengan tak hingga jika nilai bedanya adalah positif atau sama dengan negatif tak hingga jika nilai bedanya adalah negatif, kecuali jika ditetapkan suatu batasan tertentu maka dapat diketahui jumlahnya. Secara sederhana, batasan ini dapat dituliskan sebagai berikut. Diketahui suatu deret aritmetika, yaitu <math display="block">3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 111 </math> nilai beda suku berikutnya dengan suku selanjutnya adalah 3, suku pertamanya (<math display="inline">a_1</math>) adalah 3. Sehingga, dalam bentuk notasi sigma dengan didasarkan pada rumus suku barisan aritmetika yaitu <math display="block">a_n = a_1 + (n-1) b</math> akan diperoleh notasi sigma sebagai berikut. <math display="block">\Sigma^{p}_{n=1} a_n = \Sigma^{p}_{n=1} (a_1 + (n-1) b)</math> Notasi sigma ini berguna dalam meringkas penjumlahan yang panjang. luzt97i7tffyw2lqupmijd4yatsazyg 385911 385909 2026-08-04T05:10:49Z Satya Rambana 55705 Memperbaiki penulisan deret aritmetika konvergen 385911 wikitext text/x-wiki Pada materi sebelumnya kita telah membahas deret aritmetika dan deret geometri. Pertanyaan yang akan memulai materi limit ini adalah tentang kemanakah deret itu akan berhenti dan apakah deret itu bisa kita hitung jumlahnya atau tidak. Hal ini penting karena dalam konsep keuangan limit berperan untuk menghitung kemampuan dari aspek keuangan, misalnya dana abadi dan bunga majemuk kontinu. == Deret Konvergen == === Deret Aritmetika === Suatu deret aritmetika akan terus mengalami penjumlahan ataupun pengurangan secara terus menerus sehingga jumlahnya akan menuju positif tak hingga (<math display="inline">+ \infty</math>) jika nilai bedanya adalah positif <math display="inline">(b > 0)</math> atau menuju negatif tak hingga (<math display="inline">- \infty</math>) jika nilai bedanya adalah negatif <math display="inline">(b < 0)</math>, kecuali jika ditetapkan suatu batasan tertentu maka dapat diketahui jumlahnya. Secara sederhana, batasan ini dapat dituliskan sebagai berikut. Diketahui suatu deret aritmetika, yaitu <math display="block">3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 111 </math> nilai beda suku berikutnya dengan suku selanjutnya adalah 3, suku pertamanya (<math display="inline">a_1</math>) adalah 3. Sedangkan deret aritmetika secara sederhana untuk kondisi di mana mengalami penjumlahan secara terus menerus tanpa batas akhir adalah sebagai berikut. <math display="block">4 + 8 + 12 + 16 + 20 + ...</math> Penjumlahan tanpa akhir akan menghasilkan nilai <math display="inline">S_n</math> menuju positif tak hingga (<math display="inline">+ \infty</math>). oqw4r3bdfljjf8yixcugmkb8d84dig0