Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 53879 386093 385332 2026-08-23T07:25:54Z ~2026-45950-66 55848 Created page with "''イ・ワンヨンと親日派'': [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|FAQ]].''" 386093 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> == ウィキバーシティとは何ですか? == ウィキバーシティは[[w:ja:ウィキメディア財団|ウィキメディア財団]]の[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|プロジェクト]]です。無料の学習教材やアクティビティの作成と利用のための拠点です。[[w:ja:フリーコンテント|無料]]の教育リソースと学術プロジェクトをホストしています。また、他のウィキメディアプロジェクトと連携し、コンテンツ開発を支援することも目指しています。 <div class="mw-translate-fuzzy"> すでに多くのプロジェクトがこのベータ・ウィキバーシティから「卒業」し、それぞれ[[Wikiversity:Separate projects|個別のプロジェクト]]を持つようになっています。ベータ・ウィキバーシティでは現在[[:category:CA|カタルーニャ語]]、[[:category:SK|スロバキア語]]、[[:category:SYL|シレット語]]、[[:category:VI|ベトナム語]]や[[States of Wikiversities|その他数多くの言語]]で、ウィキバーシティ・プロジェクトの各々の言語版を孵化させようと活動しています。 </div> <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> == ウィキバーシティ・ベータとは何ですか? == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> ''イ・ワンヨンと親日派'': [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|FAQ]].'' <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <span id="Have_your_say"></span> <div class="mw-translate-fuzzy"> == 個別の（独立した）プロジェクト == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] o16n59tj2zsv3m00g7gly46mgjgdstp 10 55724 386088 384686 2026-08-22T20:15:01Z נתנאל שטרן 48150 386088 wikitext text/x-wiki <!-- כותרת ראשית וברוכים הבאים --> <div style="background-f9f9f9; border: 1px solid #aaaaaa; padding: 15px; text-align: center; margin-bottom: 20px; border-radius: 8px; box-shadow: 0 2px 4px rgba(0,0,0,0.05);"> <span style="font-size: 28px; font-weight: bold; color: #202122;">ברוכים הבאים לוויקיברסיטה העברית!</span><br /> <span style="font-size: 16px; color: #54595d;">קהילת למידה חופשית, פתוחה ושיתופית. כאן תוכלו ללמוד, לחקור, ליצור חומרי לימוד ולשתף ידע.</span> </div> --- <!-- חלוקה לשתי עמודות: תוכן מרכזי ומידע קהילתי --> <div style="display: flex; gap: 20px; flex-wrap: wrap; direction: rtl;"> <!-- עמודה ימנית: פקולטות ותחומי לימוד --> <div style="flex: 2; min-width: 300px;"> <div style="background: #eaf3ff; border: 1px solid #a2c4ff; padding: 10px; font-size: 18px; font-weight: bold; border-radius: 4px; margin-bottom: 10px; color: #000;"> ניווט לפי פקולטות ומחלקות </div> {| width="100%" cellspacing="5" cellpadding="5" |- | width="50%" valign="top" | === [[מדעי המחשב והטכנולוגיה]] === * [[מבני נתונים ואלגוריתמים]] * [[מערכות הפעלה וארכיטקטורה]] * [[בינה מלאכותית ולמידת מכונה]] * [[אבטחת מידע וסייבר]] === [[מדעים מדויקים]] === * [[מתמטיקה דיסקרטית]] * [[אלגברה ליניארית]] * [[פיזיקה קלאסית ומודרנית]] | width="50%" valign="top" | === [[מדעי הרפואה והחיים]] === * [[אינפורמטיקה רפואית]] * [[ביולוגיה חישובית]] * [[נוירולוגיה ומדעי המוח]] === [[מדעי הרוח והחברה]] === * [[בלשנות וניתוח טקסט]] * [[כלכלה וניהול]] * [[סוציולוגיה]] |} <div style="background: #f5fafd; border: 1px solid #b8d7e7; padding: 10px; font-size: 18px; font-weight: bold; border-radius: 4px; margin-top: 20px; margin-bottom: 10px; color: #000;"> [[קובץ:Microscope-icon.svg|24px|ביניים]] מרחב המחקר והפרויקטים </div> * '''[[פרויקטים מחקריים]]:''' מקום לניהול מחקרים עצמאיים ושיתופיים, פיתוח פלטפורמות קוד פתוח וניתוח נתונים. * '''[[קבוצות לימוד]]:''' הצטרפו או הקימו קבוצות למידה לקורסים אקדמיים או תחומי עניין ספציפיים. * '''[[משאבי למידה]]:''' מערכי שיעור, הרצאות מוקלטות, תרגילים ומדריכים מעשיים. </div> <!-- עמודה שמאלית: מידע ללומד החדש ותרומה למיזם --> <div style="flex: 1; min-width: 250px;"> <div style="background: #f0fdf4; border: 1px solid #bbf7d0; padding: 10px; font-size: 18px; font-weight: bold; border-radius: 4px; margin-bottom: 10px; color: #166534;"> כיצד להתחיל? </div> <div style="padding: 5px; font-size: 14px; line-height: 1.6;"> וויקיברסיטה היא פלטפורמה דינמית. בניגוד לוויקיפדיה, כאן הדגש הוא על '''תהליך הלמידה והמחקר''', ולא רק על ערכים אנציקלופדיים. * '''חדשים כאן?''' עיינו ב[[עזרה:מדריך לסטודנט|מדריך לסטודנט ולחוקר]]. * '''רוצים לתרום?''' אתם מוזמנים ליצור קורס חדש, להוסיף תרגילים או לשתף סיכומי הרצאות. * '''פיתוח קוד חופשי:''' שילוב של קוד, תבניות מתמטיות מורכבות ומחקר יישומי. </div> <div style="background: #fff7ed; border: 1px solid #fed7aa; padding: 10px; font-size: 18px; font-weight: bold; border-radius: 4px; margin-top: 20px; margin-bottom: 10px; color: #9a3412;"> חדשות ועדכונים </div> <div style="padding: 5px; font-size: 13px;"> {{/חדשות}} <!-- תבנית משנה להזנת עדכונים שוטפים --> * החל תכנון ממשק הלמידה האינטראקטיבי. * דרושים כותבים למחלקות המדעים המדויקים ומדעי המחשב. </div> </div> </div> --- <!-- חלק תחתון: מיזמי אחות --> <div style="margin-top: 30px; text-align: center; font-size: 14px; color: #54595d; border-top: 1px solid #eaecf0; padding-top: 15px;"> וויקיברסיטה היא מיזם של [[קרן ויקימדיה]]. מיזמי אחות נוספים: [[וויקיפדיה]] | [[וויקיספר]] | [[וויקיטקסט]] | [[וויקיציטוט]] | [[ויקישיתוף]] </div> kuxrjfcldv4e5ex03va11kkshvrjz3g 0 55730 386089 384705 2026-08-22T20:17:16Z נתנאל שטרן 48150 386089 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {{קורס | שם_הקורס = אבטחת מידע וסייבר | תיאור_תמונה = עקרונות יסוד בהצפנה והגנה על מערכות מידע | פקולטה = מדעי המחשב והטכנולוגיה | רמה = אקדמית (שנה ב' / ג') | קדם = מבני נתונים ואלגוריתמים, מערכות הפעלה וארכיטקטורה | סטטוס = פעיל }} == תיאור הקורס == קורס זה מעניק רקע תיאורטי ויישומי מעמיק בעולמות אבטחת המידע, מחקר פגיעות (Vulnerability Research) והגנת סייבר. במהלך הקורס נלמד על ארכיטקטורת מערכות הפעלה, חולשות ברמת קוד ואפליקציות רשת, עקרונות קריפטוגרפיים, וטכניקות מתקדמות לניתוח פורנזי וזיהוי איומים. --- == תקינה ובקרי אבטחה (מיבוא אקדמי אוטומטי) == ''חלק זה מפורסר אוטומטית מתוך מאגר הפרסומים הרשמי של המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה (NIST):'' {{ייבוא אקדמי | raw_json = { "title": "NIST Special Publication 800-53: Security and Privacy Controls for Information Systems", "author": "Joint Task Force", "abstract": "מסמך זה מספק קטלוג מקיף של בקרי אבטחה ופרטיות עבור מערכות מידע וארגונים. הבקרים נועדו להגן על פעילות הארגון ונכסיו מפני מגוון איומים, כולל מתקפות סייבר, טעויות אנוש וכשלי מערכת, תוך הגדרת סטנדרט אחיד לניהול סיכונים.", "tags": ["NIST", "Risk Management", "Security Controls", "Compliance"], "url": "https://csrc.nist.gov/publications/detail/sp/800-53/rev-5/final" } }} --- == מבנה השיעורים והרצאות == === פרק א': חולשות קוד ואפליקציות רשת (Web & Application Security) === * '''שיעור 1:''' מבוא לעולם התקיפה וההגנה – מודל ה-CIA, וקטורי תקיפה וניהול סיכונים. * '''שיעור 2:''' הזרקות קוד מבוססות שרת (Server-Side Injections) – העמקה במנגנוני Remote Code Execution (RCE) ו-Server-Side Template Injection (SSTI). * '''שיעור 3:''' אבטחת פלטפורמות ומערכות ניהול תוכן (CMS) – ניתוח ארכיטקטורת האבטחה של מערכות נפוצות ודרכי הקשחה. === פרק ב': אבטחת מערכות הפעלה וקוד נמוך (Low-Level & OS Internals) === * '''שיעור 4:''' Windows & Linux Internals – ניהול זיכרון, תהליכים, והרשאות מערכת. * '''שיעור 5:''' ניתוח בינארי ופורנזיקה – סריקה וניתוח של קבצי הרצה (PE/ELF), איתור הזרקות DLL (DLL Injections), וניתוח פרוילוגים של פונקציות במכונה. --- == תקצירי מחקר יישומיים (פירסור Lua ממאגרי מחקר) == ''לפניכם תקציר המחקר המקורי והמכונן בנושא הזרקות תבנית (SSTI), כפי שפורסם על ידי חוקרי האבטחה של PortSwigger:'' {{ייבוא אקדמי | raw_json = { "title": "Server-Side Template Injection", "authors": ["James Kettle"], "abstract": "יישומי אינטרנט רבים משתמשים במערכות תבניות (Template Engines) כדי לייצר תגובות HTML דינמיות. מחקר זה מפרט כיצד תבניות המיושמות בצורה לא מאובטחת יכולות להיות מנוצלות כדי להריץ קוד שרירותי (RCE) על השרת. המאמר סוקר מתודולוגיות לאיתור, זיהוי וניצול של חולשות אלו במנועים נפוצים כמו FreeMarker, Velocity, ו-Jinja2.", "tags": ["SSTI", "RCE", "Web Security", "PortSwigger"], "url": "https://portswigger.net/research/server-side-template-injection" } }} --- == תרגילים בשירות הקהילה == {{תרגיל | מספר = 1.1 | כותרת = זיהוי חולשות SSTI | שאלה = נתון קטע הקוד הבא ב-Python המשתמש במנוע התבניות Jinja2: <syntaxhighlight lang="python"> @app.route("/greet") def greet(): name = request.args.get('name', 'Guest') template = f"<h1>Hello {name}!</h1>" return render_template_string(template) </syntaxhighlight> הסבירו מדוע קוד זה פגיע ל-SSTI, וכיצד תוקף יכול לנצל זאת להרצת קוד מרחוק (RCE). | פתרון = הקוד פגיע כיוון שהוא משתמש ב-f-string כדי לשרשר את קלט המשתמש ישירות לתוך מחרוזת התבנית המועברת ל-<code>render_template_string</code>, במקום להעביר את המשתנה כפרמטר בטוח למנוע התבניות. תוקף יכול להזין בשדה name ביטוי כגון <code><nowiki>{{7*7}}</nowiki></code> והשרת ירנדר אותו ל-49. כדי להשיג RCE, התוקף יכול להשתמש בגישה ל-MRO (Method Resolution Order) דרך אובייקטים מובנים כדי להגיע למודול <code>os</code> ולהריץ פקודות מערכת, למשל: <code><nowiki>{{ ''.__class__.__mro__[1].__subclasses__()[...].__init__.__globals__['sys'].modules['os'].popen('whoami').read() }}</nowiki></code>. }} == מחולל בחינות ומבחני הסמכה דינמיים == {{#invoke:מחולל_תרגילים|run_and_generate}} --- {{ניווט קורס | קורס = אבטחת מידע וסייבר | דף_ראשי = אבטחת מידע וסייבר | הקודם = | הבא = אבטחת מידע וסייבר/שיעור 1: מבוא ואיומי רשת }} 76lp8g1a1et74brmr3duq9b25n8uzft 0 55864 386087 386086 2026-08-22T18:38:10Z Profev 36331 + 386087 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietat === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. Els exponents són més forts que els signes, les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió. {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- | |- |Es pot veure la idea per simplificar els parèntesis de forma redundant i gradual. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *LaTeX per escriure documents d'alt nivell: ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ==== Propietats ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ;Propietats: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma extendida: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma extendida aparecen tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" colspan="2"| <math>a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> '''Exemple''': Donada l'equació <math>x^5=3,</math> si, per hipòtesi, '''una''' solució és una potència com <math>3^n</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució és <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> ==== Propietats ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |} ==== Propietats ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }=a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}} =\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;2^3\;}\;\sqrt[119]{\;2^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( 5^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |j) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |k) <math></math> |l) <math></math> |- |||m) <math></math> |n) <math></math> |o) <math></math> |p) <math></math> |} == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 8h6xrrrfmc4kx8c0u93eugdpwsxwujj 0 56089 386090 2026-08-22T20:26:06Z נתנאל שטרן 48150 Created page with "{{קורס אבטחת מידע וסייבר}} __TOC__ == מבוא == ברוכים הבאים לשיעור הראשון בקורס '''אבטחת מידע וסייבר'''. שיעור זה מניח את היסודות להבנת עולם הסייבר — מה הוא, מדוע הוא חשוב, ואילו איומים קיימים ברשתות המחשבים המודרניות. == מה היא אבטחת מידע? == '''אבטחת מידע''' (Information Security) היא..." 386090 wikitext text/x-wiki {{קורס אבטחת מידע וסייבר}} __TOC__ == מבוא == ברוכים הבאים לשיעור הראשון בקורס '''אבטחת מידע וסייבר'''. שיעור זה מניח את היסודות להבנת עולם הסייבר — מה הוא, מדוע הוא חשוב, ואילו איומים קיימים ברשתות המחשבים המודרניות. == מה היא אבטחת מידע? == '''אבטחת מידע''' (Information Security) היא תחום העוסק בהגנה על מידע מפני גישה בלתי מורשית, שימוש לרעה, חשיפה, שיבוש, שינוי או השמדה. המטרה היא להבטיח שלושה עקרונות יסוד, המכונים '''משולש ה-CIA''': ; סודיות (Confidentiality) : הבטחה שמידע נגיש רק לגורמים המורשים לכך. לדוגמה, רשומות רפואיות אינן זמינות לכל אחד. ; שלמות (Integrity) : הבטחה שהמידע מדויק ולא שונה ללא אישור. לדוגמה, עסקה בנקאית חייבת להיות מדויקת. ; זמינות (Availability) : הבטחה שהמידע והמערכות נגישים למשתמשים המורשים בעת הצורך. לדוגמה, אתר קניות חייב לפעול בשעות השיא. == מה היא אבטחת סייבר? == '''אבטחת סייבר''' (Cybersecurity) היא ענף של אבטחת מידע המתמקד בהגנה על מערכות מחשב, רשתות ותוכנות מפני התקפות דיגיטליות. בעוד אבטחת מידע עוסקת בכל סוגי המידע (כולל פיזי), אבטחת סייבר מתמקדת ספציפית במרחב הדיגיטלי. === תחומי אבטחת הסייבר === * אבטחת רשתות (Network Security) * אבטחת יישומים (Application Security) * אבטחת מידע (Information Security) * אבטחת ענן (Cloud Security) * אבטחת נקודות קצה (Endpoint Security) * זיהוי ותגובה לאירועים (Incident Response) == נוף האיומים == העולם הדיגיטלי מלא באיומים המשתנים ומתפתחים ללא הרף. להלן סקירה של סוגי האיומים העיקריים: === 1. תוכנות זדוניות (Malware) === '''תוכנה זדונית''' היא כל תוכנה שנועדה לגרום נזק למערכות מחשב. {| class="wikitable" ! סוג !! תיאור !! דוגמה |- | וירוס (Virus) || תוכנה שמשכפלת את עצמה ומדביקה קבצים אחרים || ILOVEYOU (2000) |- | תולעת (Worm) || תוכנה שמתפשטת ברשת ללא התערבות משתמש || WannaCry (2017) |- | סוס טרויאני (Trojan) || תוכנה שמסתווה כתוכנה לגיטימית || Zeus Banking Trojan |- | תוכנת כופר (Ransomware) || מצפינה קבצים ודורשת כופר || NotPetya (2017) |- | תוכנת ריגול (Spyware) || אוספת מידע ללא ידיעת המשתמש || FinFisher |- | Adware || מציגה פרסומות לא רצויות || Superfish |} === 2. התקפות פישינג (Phishing) === '''פישינג''' הוא ניסיון להונות משתמשים לחשוף מידע רגיש (סיסמאות, פרטי אשראי וכדומה) על ידי התחזות לגורם לגיטימי. '''סוגי פישינג:''' * '''Spear Phishing''' — פישינג ממוקד נגד אדם או ארגון ספציפי * '''Whaling''' — פישינג המכוון להנהלה בכירה * '''Vishing''' — פישינג קולי (דרך שיחות טלפון) * '''Smishing''' — פישינג דרך הודעות SMS '''כיצד לזהות פישינג?''' # כתובת שולח חשודה או מוטה מעט (לדוגמה: support@paypa1.com) # לחץ לפעולה מיידית ("חשבונך יוחסם תוך 24 שעות!") # קישורים לאתרים שונים מהמצוין בטקסט # שגיאות כתיב ודקדוק # בקשה למידע אישי רגיש === 3. התקפות מניעת שירות (DoS / DDoS) === '''התקפת מניעת שירות''' (Denial of Service) מטרתה להפוך שירות או מערכת לבלתי זמינים על ידי הצפתם בתנועת רשת מוגזמת. * '''DoS''' — התקפה ממחשב יחיד * '''DDoS''' (Distributed Denial of Service) — התקפה מרובת מקורות (בוט-נט) '''דוגמה:''' בשנת 2016, רשת ה-Mirai botnet השתמשה במכשירי IoT (מצלמות, נתבים) כדי לבצע אחת מגדולות התקפות ה-DDoS בהיסטוריה, שהשביתה אתרים כמו Twitter, Netflix ו-Reddit. === 4. התקפות Man-in-the-Middle (MitM) === בהתקפה זו, התוקף מיירט ומשנה תקשורת בין שני צדדים מבלי שידעו על כך. '''שלבי ההתקפה:''' # '''יירוט''' — התוקף ממצב עצמו בין הקורבן לשרת # '''פענוח''' — קריאת המידע המועבר # '''שינוי''' — אפשרות לשנות את המידע לפני שהגיע ליעד '''שיטות נפוצות:''' * ARP Spoofing * DNS Spoofing * SSL Stripping * Wi-Fi Eavesdropping (רשתות Wi-Fi ציבוריות לא מאובטחות) === 5. הנדסה חברתית (Social Engineering) === '''הנדסה חברתית''' היא אמנות מניפולציה על בני אדם כדי שיבצעו פעולות או יחשפו מידע סודי. לעיתים קרובות, הגורם האנושי הוא החוליה החלשה ביותר בשרשרת האבטחה. '''טכניקות נפוצות:''' * '''Pretexting''' — יצירת תרחיש בדוי כדי לחלץ מידע * '''Baiting''' — הצעת פיתיון (כגון כונן USB נגוע) * '''Quid Pro Quo''' — הצעת שירות בתמורה למידע * '''Tailgating''' — כניסה פיזית לאזור מוגן בעקבות עובד מורשה === 6. ניצול חולשות (Exploitation) === '''חולשת אבטחה''' (Vulnerability) היא פגיעות בתוכנה, חומרה או תהליכים שמתוקף יכול לנצלה. '''מחזור חיי הפגיעות:''' # גילוי הפגיעות (על ידי חוקרים או האקרים) # '''Zero-Day''' — ניצול הפגיעות לפני שהיצרן יודע עליה # פרסום הפגיעות (CVE — Common Vulnerabilities and Exposures) # שחרור עדכון אבטחה (Patch) # יישום העדכון על ידי המשתמשים == נוף האיומים העכשווי == === קבוצות APT === '''APT''' (Advanced Persistent Threat) הן קבוצות תקיפה מתוחכמות, לרוב בגיבוי מדינה, שמבצעות מתקפות ממושכות וממוקדות נגד מטרות בעלות ערך גבוה. דוגמאות: APT28 (רוסיה), APT41 (סין), Lazarus Group (צפון קוריאה). === תעשיית הסייבר הפלילי === הסייבר הפלילי הפך לתעשייה מאורגנת הכוללת: * '''Ransomware-as-a-Service (RaaS)''' — שירות כופר לפי מנוי * שווקי Dark Web לקנייה ומכירה של מידע גנוב * שכירת תשתיות תקיפה == סיכום == בשיעור זה למדנו: * מה הם אבטחת מידע ואבטחת סייבר ומהו ההבדל ביניהן * עקרונות משולש ה-CIA (סודיות, שלמות, זמינות) * סוגי האיומים הנפוצים: תוכנות זדוניות, פישינג, DDoS, MitM, הנדסה חברתית וניצול חולשות בשיעור הבא נעמיק בנושא '''אבטחת רשתות''' — פרוטוקולים, חומות אש ומערכות זיהוי חדירה. == שאלות לחשיבה == # מהי לדעתכם החוליה החלשה ביותר בשרשרת האבטחה — הטכנולוגיה או בני האדם? נמקו. # חשבו על שלוש דרכים שבהן ניתן לשפר את אבטחת המידע האישית שלכם כבר היום. # בדקו: האם סיסמת המייל שלכם עמידה מספיק? מה הופך סיסמה לחזקה? == משאבים נוספים == * [https://www.cisa.gov CISA — הסוכנות האמריקאית לאבטחת סייבר] * [https://www.cert.gov.il CERT לאומי — ישראל] * [https://owasp.org OWASP — פרויקט אבטחת אפליקציות Web] * [https://nvd.nist.gov NVD — מאגר חולשות לאומי (NIST)] * [https://www.exploit-db.com Exploit-DB — מאגר ניצולים ידועים] == ראו גם == * [[אבטחת מידע וסייבר/שיעור 2: אבטחת רשתות|שיעור 2: אבטחת רשתות]] * [[אבטחת מידע וסייבר|דף הקורס הראשי]] [[קטגוריה:אבטחת מידע]] [[קטגוריה:סייבר]] [[קטגוריה:קורסים בעברית]] 2jx2599foyw1cyvr43ctbgur57iugq9 386091 386090 2026-08-22T20:26:31Z נתנאל שטרן 48150 386091 wikitext text/x-wiki __TOC__ == מבוא == ברוכים הבאים לשיעור הראשון בקורס '''אבטחת מידע וסייבר'''. שיעור זה מניח את היסודות להבנת עולם הסייבר — מה הוא, מדוע הוא חשוב, ואילו איומים קיימים ברשתות המחשבים המודרניות. == מה היא אבטחת מידע? == '''אבטחת מידע''' (Information Security) היא תחום העוסק בהגנה על מידע מפני גישה בלתי מורשית, שימוש לרעה, חשיפה, שיבוש, שינוי או השמדה. המטרה היא להבטיח שלושה עקרונות יסוד, המכונים '''משולש ה-CIA''': ; סודיות (Confidentiality) : הבטחה שמידע נגיש רק לגורמים המורשים לכך. לדוגמה, רשומות רפואיות אינן זמינות לכל אחד. ; שלמות (Integrity) : הבטחה שהמידע מדויק ולא שונה ללא אישור. לדוגמה, עסקה בנקאית חייבת להיות מדויקת. ; זמינות (Availability) : הבטחה שהמידע והמערכות נגישים למשתמשים המורשים בעת הצורך. לדוגמה, אתר קניות חייב לפעול בשעות השיא. == מה היא אבטחת סייבר? == '''אבטחת סייבר''' (Cybersecurity) היא ענף של אבטחת מידע המתמקד בהגנה על מערכות מחשב, רשתות ותוכנות מפני התקפות דיגיטליות. בעוד אבטחת מידע עוסקת בכל סוגי המידע (כולל פיזי), אבטחת סייבר מתמקדת ספציפית במרחב הדיגיטלי. === תחומי אבטחת הסייבר === * אבטחת רשתות (Network Security) * אבטחת יישומים (Application Security) * אבטחת מידע (Information Security) * אבטחת ענן (Cloud Security) * אבטחת נקודות קצה (Endpoint Security) * זיהוי ותגובה לאירועים (Incident Response) == נוף האיומים == העולם הדיגיטלי מלא באיומים המשתנים ומתפתחים ללא הרף. להלן סקירה של סוגי האיומים העיקריים: === 1. תוכנות זדוניות (Malware) === '''תוכנה זדונית''' היא כל תוכנה שנועדה לגרום נזק למערכות מחשב. {| class="wikitable" ! סוג !! תיאור !! דוגמה |- | וירוס (Virus) || תוכנה שמשכפלת את עצמה ומדביקה קבצים אחרים || ILOVEYOU (2000) |- | תולעת (Worm) || תוכנה שמתפשטת ברשת ללא התערבות משתמש || WannaCry (2017) |- | סוס טרויאני (Trojan) || תוכנה שמסתווה כתוכנה לגיטימית || Zeus Banking Trojan |- | תוכנת כופר (Ransomware) || מצפינה קבצים ודורשת כופר || NotPetya (2017) |- | תוכנת ריגול (Spyware) || אוספת מידע ללא ידיעת המשתמש || FinFisher |- | Adware || מציגה פרסומות לא רצויות || Superfish |} === 2. התקפות פישינג (Phishing) === '''פישינג''' הוא ניסיון להונות משתמשים לחשוף מידע רגיש (סיסמאות, פרטי אשראי וכדומה) על ידי התחזות לגורם לגיטימי. '''סוגי פישינג:''' * '''Spear Phishing''' — פישינג ממוקד נגד אדם או ארגון ספציפי * '''Whaling''' — פישינג המכוון להנהלה בכירה * '''Vishing''' — פישינג קולי (דרך שיחות טלפון) * '''Smishing''' — פישינג דרך הודעות SMS '''כיצד לזהות פישינג?''' # כתובת שולח חשודה או מוטה מעט (לדוגמה: support@paypa1.com) # לחץ לפעולה מיידית ("חשבונך יוחסם תוך 24 שעות!") # קישורים לאתרים שונים מהמצוין בטקסט # שגיאות כתיב ודקדוק # בקשה למידע אישי רגיש === 3. התקפות מניעת שירות (DoS / DDoS) === '''התקפת מניעת שירות''' (Denial of Service) מטרתה להפוך שירות או מערכת לבלתי זמינים על ידי הצפתם בתנועת רשת מוגזמת. * '''DoS''' — התקפה ממחשב יחיד * '''DDoS''' (Distributed Denial of Service) — התקפה מרובת מקורות (בוט-נט) '''דוגמה:''' בשנת 2016, רשת ה-Mirai botnet השתמשה במכשירי IoT (מצלמות, נתבים) כדי לבצע אחת מגדולות התקפות ה-DDoS בהיסטוריה, שהשביתה אתרים כמו Twitter, Netflix ו-Reddit. === 4. התקפות Man-in-the-Middle (MitM) === בהתקפה זו, התוקף מיירט ומשנה תקשורת בין שני צדדים מבלי שידעו על כך. '''שלבי ההתקפה:''' # '''יירוט''' — התוקף ממצב עצמו בין הקורבן לשרת # '''פענוח''' — קריאת המידע המועבר # '''שינוי''' — אפשרות לשנות את המידע לפני שהגיע ליעד '''שיטות נפוצות:''' * ARP Spoofing * DNS Spoofing * SSL Stripping * Wi-Fi Eavesdropping (רשתות Wi-Fi ציבוריות לא מאובטחות) === 5. הנדסה חברתית (Social Engineering) === '''הנדסה חברתית''' היא אמנות מניפולציה על בני אדם כדי שיבצעו פעולות או יחשפו מידע סודי. לעיתים קרובות, הגורם האנושי הוא החוליה החלשה ביותר בשרשרת האבטחה. '''טכניקות נפוצות:''' * '''Pretexting''' — יצירת תרחיש בדוי כדי לחלץ מידע * '''Baiting''' — הצעת פיתיון (כגון כונן USB נגוע) * '''Quid Pro Quo''' — הצעת שירות בתמורה למידע * '''Tailgating''' — כניסה פיזית לאזור מוגן בעקבות עובד מורשה === 6. ניצול חולשות (Exploitation) === '''חולשת אבטחה''' (Vulnerability) היא פגיעות בתוכנה, חומרה או תהליכים שמתוקף יכול לנצלה. '''מחזור חיי הפגיעות:''' # גילוי הפגיעות (על ידי חוקרים או האקרים) # '''Zero-Day''' — ניצול הפגיעות לפני שהיצרן יודע עליה # פרסום הפגיעות (CVE — Common Vulnerabilities and Exposures) # שחרור עדכון אבטחה (Patch) # יישום העדכון על ידי המשתמשים == נוף האיומים העכשווי == === קבוצות APT === '''APT''' (Advanced Persistent Threat) הן קבוצות תקיפה מתוחכמות, לרוב בגיבוי מדינה, שמבצעות מתקפות ממושכות וממוקדות נגד מטרות בעלות ערך גבוה. דוגמאות: APT28 (רוסיה), APT41 (סין), Lazarus Group (צפון קוריאה). === תעשיית הסייבר הפלילי === הסייבר הפלילי הפך לתעשייה מאורגנת הכוללת: * '''Ransomware-as-a-Service (RaaS)''' — שירות כופר לפי מנוי * שווקי Dark Web לקנייה ומכירה של מידע גנוב * שכירת תשתיות תקיפה == סיכום == בשיעור זה למדנו: * מה הם אבטחת מידע ואבטחת סייבר ומהו ההבדל ביניהן * עקרונות משולש ה-CIA (סודיות, שלמות, זמינות) * סוגי האיומים הנפוצים: תוכנות זדוניות, פישינג, DDoS, MitM, הנדסה חברתית וניצול חולשות בשיעור הבא נעמיק בנושא '''אבטחת רשתות''' — פרוטוקולים, חומות אש ומערכות זיהוי חדירה. == שאלות לחשיבה == # מהי לדעתכם החוליה החלשה ביותר בשרשרת האבטחה — הטכנולוגיה או בני האדם? נמקו. # חשבו על שלוש דרכים שבהן ניתן לשפר את אבטחת המידע האישית שלכם כבר היום. # בדקו: האם סיסמת המייל שלכם עמידה מספיק? מה הופך סיסמה לחזקה? == משאבים נוספים == * [https://www.cisa.gov CISA — הסוכנות האמריקאית לאבטחת סייבר] * [https://www.cert.gov.il CERT לאומי — ישראל] * [https://owasp.org OWASP — פרויקט אבטחת אפליקציות Web] * [https://nvd.nist.gov NVD — מאגר חולשות לאומי (NIST)] * [https://www.exploit-db.com Exploit-DB — מאגר ניצולים ידועים] == ראו גם == * [[אבטחת מידע וסייבר/שיעור 2: אבטחת רשתות|שיעור 2: אבטחת רשתות]] * [[אבטחת מידע וסייבר|דף הקורס הראשי]] [[קטגוריה:אבטחת מידע]] [[קטגוריה:סייבר]] [[קטגוריה:קורסים בעברית]] 6epu5ysnsgi1kag1lkce0ohw51gtlj6 1198 56090 386092 2026-08-23T07:25:54Z ~2026-45950-66 55848 Created page with "''イ・ワンヨンと親日派'': [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|FAQ]].''" 386092 wikitext text/x-wiki ''イ・ワンヨンと親日派'': [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|FAQ]].'' tj9gv0te1d4br0wmkmrwhlz8nfk3ilo