Wikiversity
betawikiversity
https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page
MediaWiki 1.47.0-wmf.16
first-letter
Media
Special
Talk
User
User talk
Wikiversity
Wikiversity talk
File
File talk
MediaWiki
MediaWiki talk
Template
Template talk
Help
Help talk
Category
Category talk
TimedText
TimedText talk
Module
Module talk
Translations
Translations talk
Event
Event talk
Fintice (pomenovanie)
0
49596
386099
385250
2026-08-24T13:17:58Z
Dušan Kreheľ
45022
+ k 2 významom pridané.
386099
wikitext
text/x-wiki
== Varianty názvu obce ==
Keďže prvá písomná zmienka obce Fintice (Slovensko) je z roku 1272,<ref>{{cite journal
| last1 = Boleš
| first1 = Konštantín Daniel
| date = 2016
| title = DAROVACIA LISTINA KRÁĽA ŠTEFANA V. NA MAJETOK FYNTHA
| url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-1_2016.pdf
| journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ
| volume = 5
| issue = 1
| pages = 115
| issn = 1338-9572
| access-date =
}}</ref> čo je väčší časový odstup voči súčastnosti, tak sa skúmajú nasledujúce tvary obce Fintice:
* Fyntha,
* Finta,
* Fincice,<ref>{{cite journal
| author = Michal Lacko, S.J.
| title = Miestopis Slovenska za posledných sto roko
| journal = Most
| url = https://archive.org/details/most.1964.v11n03-04/page/174/mode/2up?q=fintice
| issn =
| publisher = Slovenský ústav
| place = Cleveland, Ohio, U.S.A.
| volume = 11
| issue = 3-4
| date = 1964
}}</ref>
* [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finťice</span>],
* [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finčiče</span>],
* Suncia,<ref name="dmi"/>
* Fruncta,<ref name="dmi"/>
* Finzi (nemecká výslovnosť [Finci]),
* Fincice,
tak aj slovo:
* [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">fin</span>].
== Etymológia ==
Názov obce je najskôr odvodené od vlastného podstatného mena Finta.
V stredovekej latinčine, odkiaľ pochádza najstaršia písomná zmienka obce, sa pri pomenovaní obce podľa osoby zapísoval<ref>[[:w:sk:Medieval Latin|Medieval Latin]].</ref> jej názov v neohýbanom tvare. Teda slovo Fintice je zložené z dvoch časti <i>Finti</i> + <i>-ce</i>:
* <i>Fint</i>:
** tvary:
*** slovanizovaný: [Finťi],
*** neslovanizovaný: [Finti],
* <i>-ice</i>:
** spodstatnené prídavné meno obsahujúce suffix stredovekej písanej latinčiny <i>-icē</i> (na základe analýzy slov ''finticē'' a ''becē'' jedného dokumentu<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/ita-bnc-in2-00001627-001/page/n51/mode/2up?q=sintice
| title = Legenda aurea sanctorum, sive Lombardica historia
| last = Jacobus
| first = de Voragine
| date = 1497
}}</ref>), čo je skrátené pre <i>-icae</i> (možný súvis alebo odvedenie od ''-itiae'')<ref>[[:wiktionary:en:-itiae#Latin|-itiae]] (po anglicky).</ref> a označuje genitív jednotného čísla alebo nominatív plurálu:<ref>[[:wiktionary:en:-icus#Latin|-icus]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:-icae#Latin|-icia]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:belong|belong]] (po anglicky).</ref>
*** Asociácia prípadne k čomu: <table class="wikitable" style="text-align:center"><tr><th></th><th>Latinčina</th><th>Slovenčina</th></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''rieka'' (slovenčina)</td><td>m<ref>[[:wiktionary:en:rivus#Latin|villa]] (po anglicky).</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''villa'' (latinčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:villa#Latin|rivus]] (po anglicky).</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''dedina'' (slovenčina)</td><td>m / n / m<ref>[[:wiktionary:en:village#English|village]] (po anglicky).</ref></td><td>f</td></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''terra'' (latinčina),<br> ''zem'' (slovenčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:terra#Latin|terra]] (po anglicky).</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''mesto'' (slovenčina)</td><td>n<ref>[[:wiktionary:en:oppidum#Latin|oppidum]] (po anglicky).</ref></td><td>n</td></tr></table>
** praktický medzinárodný zápis (a zároveň neutrálny pre domácich a cudzincov<ref>{{cite journal
| last1 = Boleš
| first1 = Konštantín Daniel
| date = 2019
| title = POČIATKY A VÝVOJ HRADNÉHO PANSTVA ŠEBEŠ
| url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-2_2019.pdf
| journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ
| volume = 8
| issue = 2
| pages = 118
| issn = 1338-9572
}}</ref>), a ktorý je podobný/ekvivalentný v slovenčine <i>-icke</i> (napr. fintické zvony).
** niekto odvádza že od potoka.
Pôvodný všeobecnejší význam [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/kʷey-|*kʷey-]] sa asi neskôr špecifikoval a od neho sa „oddelil“ [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|*pent-]]. Toto rozdelenie je zrejme v aj slovenčine, kde máme pre ''*pent-'' slová ako ''tiecť'', ''vytekať'', ''funí'', a pre ''*kʷey-'' slová ''čin(iť)'', ''činka''.
U predkov slova ''<b style="color:brown">f</b>in<b style="color:brown">t</b>a'' mohlo dosť k nasledujúcim zmenám:
* zmenené <b style="color:brown">f</b> na:
** [''v''] (napr. '''v'''ynúť, '''v'''ynájsť),
** [''č''] (napr. rumunské '''''c'''inta'' [''činta'']),
** [''c''] (napr. '''c'''icať),
** [''p'']:
*** chorvátske '''p'''ičiti (slovensky ''piť''),
*** latinského ''fingo''<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky).</ref> a ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky).</ref>
** [''r''] (napr. rinčať),
** [''k'']:
*** anglické '''''k'''ind'' – ''dieťa'' (možno súvisí s „dieťa piští/piščí, kričí“).
*** slovenské kýchať,
* zmenené <b style="color:brown">t</b> na:
** [č/ć] – napr. slová ''či(či)'''č'''kať'', ''čačkať'',
** [t/ť] – napr. slovo ''fin'''t'''a'', ''fin'''t'''iť'' [''fin'''ť'''iť''],
** [d] – napr. nemecké slovo ''fin'''d'''en'',
** [g]:
***gronský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''kopec''),
***inuktitutský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''malý kopček''),<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky).</ref>
***anglický ''pen'''g'''uin'' (slovensky tučniak),<ref>[[:wiktionary:en:penguin|penguin]] (po anglicky).</ref>
** [dž] – nárečovo slovensky a potom ukrajinsky, južnoslovansky ''findža'' a podobné perzsky,
** [z] – sardinsky ''finza''.
* zmenené <b style="color:brown">č</b> na:
** [š] v staromaďarčine (obec Šišov),<ref name="ks2008-2-sk">Rudolf Krajčovič: Z lexiky stredovekej slovenčiny s výkladmi názvov obcí a miest; Kultúra slova, č. 2, 2008, ISSN 0023-5202.</ref>
Pôvodný význam ''*kʷey-'' možno vznikol z vody alebo dymu alebo bol nimi ovplyvnený.<br>Voda:
*pramení,
*tečie/prúdi,
**zvíja sa (t. j. [[:w:sk:Meander (riečny)|meandruje]]),
*pení sa,
* zaplavuje,
**teda aj „kreslí“, keď klesá hladina vody,
* rozdeľuje,
* a „dáva život“ (dáva pitie, organizmy, materiál na tehly, …).
== Ako vlastné podstatné meno ==
* 9. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Fintas</span>, Grecko,<ref>[[:w:sk:Fintas|Fintas]].</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky).</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky).</ref>
* 7. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Phintas</span> (podľa Androkleide),<ref>[[:w:de:Phintas_(Androkleide)|Phintas (Androkleide)]] (po nemecky).</ref>
* 6. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Fintias</span>, grécky maliar,<ref>[[:w:sk:Fintias (maliar)|Phintas (Androkleide)]].</ref>
* ? – 279 pred Kr., Phidias z Agrigenta, založil mesto Φιντίας (Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko),<ref name="Φιντίας">[[:w:el:Φιντίας_του_Αγκριτζέντο|Φιντίας_του_Αγκριτζέντο]] (po grécky).</ref>
* 3. storočie, Finn McColl, Írsko,<ref>[https://thewildgeese.irish/profiles/blogs/the-legend-fionn-mac-cunhaill The Heroic Legend of Fionn mac Cumhaill].</ref>
* 526 – 603, <span style="color:brown">Fintan z Clonenagh</span>, Írsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky).</ref>
* ? – 635, <span style="color:brown">Fintán z Taghmon</span>, Severné Írsko<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky).</ref><ref>[[:w:Fintán of Taghmon|Fintán of Taghmon]] (po anglicky).</ref>
* 803/804 – 878, <span style="color:brown">Fintan z Rheinau</span>, Írsko/Švajčiarsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Rheinau|Fintan of Rheinau]] (po anglicky).</ref>
* 1332, <span style="color:brown">Phinta, kňaz svätej Anny</span>, Comuna Sântana de Mureș, Mureș (Rumunsko),
* 1332, <span style="color:brown">Monch et Fyntha</span>, Črnomir, Chorvátsko,<ref name="C1908">{{cite web |url=https://archive.org/details/codex-diplomaticus-vi-1908./Codex%20diplomaticus%20X%201912
|title=Diplomatički zbornik Kraljevine Hrvatske, Dalmacije i Slavonije Codex Diplomaticus I- XVIII Latin, Croatian
|access-date = 2026-04-17
}}</ref>
* 1341, Fyntha et Nicolaus,<ref name="C1908"/>
* 1367, Finčevec, Chorvátsko, ''Paulus filius Fynech'',<ref>{{cite web |url=https://hrcak.srce.hr/file/33305
|title=GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJA
|last=Balog
|first=Zdenko
|access-date = 2023-12-08
}}</ref>
* 1367, <span style="color:brown">Paulus filius Finech</span>; súvis so Finčevec, Chorvátsko.<ref name="Finech">ZDENKO BALOG: GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJAč; Cris, god. VI., br. 1/2004., str. 59-72.</ref><ref>[[:w:en:Finčevec|Finčevec]] (po anglicky).</ref>
Rod (zrejme):<ref>{{cite web |url=https://mi.abtk.hu/images/gyujtemenyek/regeszta-mutatok/masodik-sorozat/fiok_144._a-i-10._szemely_erzsebet_-_f.pdf
|title=fiok 144. a-i-10 F
|last=Székely
|first=Erzsébet
}}</ref>
* <b style="color:#592A59">Fynta, Dávid syn, Scelench castrum, 1282-10-08</b> – Zeleneč, okres Trnava, Slovensko;<ref>{{cite web
| url = https://blog.sme.sk/dzurjanin/cestovanie/miesto-stareho-novy-ale-socialisticky-31-januar-2009
| title = Miesto starého nový, ale socialistický (31. január 2009
| last = Dzurjanin
| first = Zdenko
| date = 2009-02-05
| website = sme.sk
| publisher = Petit Press, a.s.
}}</ref><ref>[[:w:sk:Zeleneč|Zeleneč]].</ref>
* <b style="color:#592A59">Finta, Alber, 1328</b> – dnes Albeř, Čechy (žeby?);
*<b style="color:#592A59">Finta; Finta fia, Sarfeu (Vas m), cca 382-06-06</b> – dnes Blatné, Senec, Slovensko;<ref>{{cite web
| url = https://pdfweb.truni.sk/download?monografie/belakova-hydronymia-2014.pdf
| title = HYDRONYMIA SEVERNEJ ČASTI POVODIA MALÉHO DUNAJA
| last = Beláková
| first = Mária
| date = 2014
| place = Trnava
}}</ref><ref>[[:w:sk:Blatné|Blatné]].</ref>
*<b style="color:#592A59">Finta Diozisius, Szentmiklós vára, 1276</b> – Mikleuš, Chorvátsko;<ref>[[:w:hu:Szentmiklós (Horvátország)|Szentmiklós (Horvátország)]] (po maďarsky).</ref>
*<b style="color:#592A59">Finta Peter, comes, Mosolány, 1330-04-29</b> – Mocsolya, Rumunsko,<ref>{{cite web
| url = https://www.arcanum.com/en/online-kiadvanyok/Tunderkert-tunderkert-1/szilagy-varmegye-monographiaja-5E50/iv-kotet-89C9/mocsolya-8B6C/
| title = Mocsolya.
| website = arcanum.com
}}</ref><ref>[[:w:hu:Mocsolya|Mocsolya]] (po maďarsky).</ref>
*<b style="color:#592A59">Fintai Ilona,Finta leánya; Sarfeu (Vas m); 1382-06-06</b>,
*<b style="color:#592A59">Fyntha-i Miklós; Feketehygh vára, Fyntha birtok, Sáros megye; 1272-11-16</b><ref group="Pozn.">Maď. „''Feketehygh''“ = slov. „''Čierný les''“ ([https://mdh.unideb.hu/korai_telepules.php?adatlap=01-27-5&km=Aba%C3%BAj Zdroj informácie]).</ref><ref group="Pozn.">Možno je zdroj [https://archives.hungaricana.hu/en/charters/26670/ DIPLOMATIKAI LEVÉLTÁR (Q szekció) • Családi levéltárak (P szekcióból) • Dessewffy család, grófi (Q 62) • 74669 ].</ref>
=== Pra-meno *Finta ===
Je románskeho pôvodu vyskytujúce sa vo tvaroch (na základe analýzy z 13. a 14. storočia):
*Fyn,
*Fynta/Phynta/Phinta.<ref name="prafinta">{{cite web
| url = https://www.researchgate.net/profile/Maria-Novakova-6/publication/302928937_The_personal_names_in_Slovakia_in_the_13th_century/links/573376c508ae9f741b261454/The-personal-names-in-Slovakia-in-the-13th-century.pdf
| title = Najstaršie uhorské osobné mená a pomenovacia prax na Slovensku v 13.-14. storočí.
| last = Nováková
| first = Mária
| date = 2010-06-30
| publisher = Filozofická fakulta Trnavskej univerzity v Trnave, Katedra histórie
| access-date = 2023-12-08
| quote =
}}</ref>
Tiež:
* Finzi (zrejme rod).<ref name="finzi"/>
Ak význam Fintha má pôvod v románskych jazykov, potom ho môžeme významovo (podľa 13./14. storočia storočia) vysvetliť ako ''šikovný''/''zručný''. Románsky pôvod môže súvisieť s románskym obyvateľstvom vo vtedajšom Uhorsku, ktorý bol ovplyvnený križiackymi výpravami a rádmi templárov a johanitov. Rád johanitov dostal v listine z r. 1247 poverenie<ref>{{cite web
| url = https://www.academia.edu/6430925/Rom%C3%A1nske_obyvate%C4%BEstvo_v_%C5%A1trukt%C3%BArach_Uhorsk%C3%A9ho_kr%C3%A1%C4%BEovstva_slovak_
| title = Románske obyvateľstvo v štruktúrach Uhorského kráľovstva
| last = Bučko
| first = Peter
}}</ref> stražiť 5 uhorských hradov a ktorý pôsobili aj v blízkosti Fintíc (Medzany,<ref>{{cite web
| url = https://myslovakia.sk/sk/medziansky-hradok
| title = Medziansky hrádok
}}</ref> Hanušovciach nad Topľou a Medzianky<ref>{{cite web
| url = https://www.legendarium.info/vylet/hrad-medzianky
| title = Hrad Medzianky
}}</ref>).
„Meno Finta malo v stredovekých zápisoch rôzne podoby (Pfynta, Ffynta, Phinta, Finta…), pričom
podľa viacerých autorov bolo slovanského pôvodu.“<ref>{{cite web
|url=https://www.academia.edu/45643150/FINTA_Z_RODU_ABA_VOJVODA_A_PALAT%C3%8DN
|title=FINTA Z RODU ABA -VOJVODA A PALATÍN
|last=Blanár
|first=Dominik
}}</ref>
== Miesta ==
* Fintice, okres Prešov, Slovensko,
* Fincovce – dnes Pavlovce, Slovensko,<ref name="Vynohradiv">CHYTIL, Alois. Chytilův místopis Československé republiky. V Praze: Alois Chytil, 1930. Dostupné tiež z: https://dikda.snk.sk/uuid/uuid:1127bbd3-869e-4169-b1ae-92a45b00ba92.</ref>
* Finthen – dedina, od r. 1969 sučasť Mainz, Nemecko,<ref>{{cite web
| url = https://www.mainz.de/leben-und-arbeit/stadtteile/finthen/finthen.php
| title = Willkommen im Stadtteil Finthen
| publisher = Landeshauptstadt Mainz
| access-date = 2025-01-19
}}</ref>
* Φιντίας / Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko,<ref name="Φιντίας"/>
* Fintorica, miesto, Šišov, Slovensko
* Finta, dvor, Vynohradiv, Ukrajina,<ref name="Vynohradiv"/>
* Finta, chotár, Neverice, Slovensko,<ref name="Vynohradiv"/>
* Fîntînița, Moldavsko,
* …,
* zoznamy:
** [[:w:pl:Fântânele|Fântânele]] (plwiki).
== Možné významy ==
* súvisiace s '''vtákmi''':
** '''''vrabec''''':
*** z praindoeuropančiny ''*(s)ping-'' (''malý vták, vrabec''),<ref>[[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finkô|Reconstruction:Proto-Germanic/finkô]] (po anglicky).</ref>
** '''''pinka''''':
*** z praindoeuropančiny ''*(s)pingos'' (''pinka''),<ref>[[:wiktionary:en:finch#English|finch#English]] (po anglicky).</ref>
** '''''ďateľ''''':
*** zo starej angličtiny ''fina'' (''ďateľ'') + suffix -ta,<ref>[[:wiktionary:en:fina#Old_English|fina]].</ref><ref>[[:wiktionary:en:woodpecker#English|woodpecker]].</ref>
* súvisiace s '''vodou''':
** '''ryba''':
*** Alóza finta (Alosa fallax) – lebo je ''Finta'' (maďarsky, ukrajinsky a rusky) a ''Finte'' (nemecky),<ref>{{cite web
| url = https://www.mpsr.sk/resources/documents/2028.xlsx
| title = 2028.xlsx
}}</ref>
*** U nás by alóza finta nemala žiť,<ref>{{cite web
| url = https://www.srz-ds.sk/atlas-ryb
| title = Atlas rýb
| website = www.srz-ds.sk
}}</ref><ref>{{cite web
| url = https://fishbase.mnhn.fr/summary/SpeciesSummary.php?id=5355&lang=english
| title = Alosa fallax (Lacepède, 1803), Twaite shad
}}</ref> takže by sa mohlo prípadne jednať o '''''alóza neškvrnitá''''' (''Alosa immaculata'', ''Alosa pontica''),<ref>{{cite web
| url = https://fish-commercial-names.ec.europa.eu/fish-names/commercial-designations_sk?ms=SK
| title = Slovensko - Obchodné označenia
| access-date = 2023-10-18
}}</ref>
*** škotsky ''finnack'', ''finnoc'', ''finner'' – „biely pstruh“,<ref>{{cite web
| url = https://books.google.sk/books?id=vxkAAAAAYAAJ&pg=PT169&dq=finner&lr=&ei=r6kZSvaCNobYMYSO-KIJ&redir_esc=y#v=onepage&q=finner&f=false
| title = An Etymological Dictionary of the Scottish Language: In which the Words are Explained in Their Different Senses, Authorized by the Names of the Writers by Whom They are Used, Or the Titles of the Works in which They Occur, and Deduced from Their Originals
| last = Jamieson
| first = John
| date = 1818
}}</ref>
*** súvis s rybolovom? (?),
** '''plutva''':
*** stará angličtina ''finn'',<ref name="etymonline-fin">{{cite web
| url = https://www.etymonline.com/word/fin
| title = Origin and history of fin
| website = etymonline.com
}}</ref>
*** pragermančina ''*finno'',<ref name="etymonline-fin"/>
*** prazapadná nemčina ''finnā'', ''finnu'', ''finā'', ''finu'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finnā|Proto-West_Germanic/finnā]] (po anglicky).</ref>
** '''prameň''', '''tiecť''', '''vytekať''', '''prúdiť''':
*** z prazápadnej nemčiny ''finþan'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|Proto-West Germanic/finþan]] (po anglicky).</ref>
*** z praindoeurópskeho ''pent-'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|Proto-Indo-European/pent-]] (po anglicky).</ref>
*** z latinského fons<ref>[[:wiktionary:fons#Latin|fons#Latin]] (po anglicky).</ref> → fontana,<ref>[[:wiktionary:fontana#Latin|fontana#Latin]] (po anglicky).</ref>
*** Z latinského fio<ref>[[:wiktionary:en:fio#Latin|fio#Latin]] (po anglicky).</ref> → na rumunské ființă,<ref>[[:wiktionary:en:ființă#Romanian|ființă#Romanian]] (po anglicky).</ref>
*** gótsky [[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽]] (po anglicky),
*** dedina Finthen, dnes súčasť Mainz (pramene a rimské akvadukty);<ref>[[:w:de:Mainz-Finthen|Mainz-Finthen]] (po nemecky).</ref>
*** rumunsky fântână – prameň, „vodná“ stena;<ref>[[:wiktionary:en:fântână#Romanian|fântână#Romanian]] (po anglicky).</ref>
*** podobné so slovenským slovom ''fontána'',
**'''močiare''', '''bažina''':
*** stará horná nemčina ''fenni'',<ref name="ancestry-fenn">{{cite web
| url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fenn
| title = Fenn Surname Meaning
| author = Ancestry
}}</ref>
*** stredodolná nemčina a starofrízština ''fenne'',<ref name="ancestry-fenn"/>
*** možno narážka na terén a ''lužné lúky a lesy'' (okolo rieky Sekčov a západne od centra obce),<ref>{{cite web
| url = https://www.staremapy.sk/?zoom=14&lat=49.05064262694256&lng=21.28843477764502&map=VM2
| title = Voj. mapovanie 2 - mapa rok 1839
| access-date = 2023-10-18
}}</ref><ref>[[:w:sk:Fintice#Záplavy|Fintice#Záplavy]].</ref>
***Fintau, Nemecko<ref>[[:w:de:Fintau|Fintau]] (po nemecky).</ref> – rieka, ktorá sa do močiarov vlieva;
***Fintel (hist. aj Wintla), Nemecko – bažinový terén,<ref>[[:w:de:Fintel|Fintel]] (po nemecky).</ref><ref>{{cite web
| url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fintel
| title = Fintel Surname Meaning
| author = Ancestry
}}</ref>
*** Fintavägen, Svédsko; značková cesta („pristupová cesta“) – a la „prameň“ prichádzajúcich áut do sídliska;<ref>{{cite web
| url = https://www.openstreetmap.org/way/1071987913
| title = Cesta: Fintavägen (1071987913)
| access-date = 2023-10-18
}}</ref>
*** Fintlandsmoor, Nemecko – močiar, rašelinisko;<ref>[[:w:de:Fintlandsmoor|Fintlandsmoor]] (po nemecky).</ref>
** '''cikať''':
*** slovensky ''čičať'' – „cikať“,<ref>Milan Majdán: O slovenských priezviskách; Kultúra slova, ročník 40, č. 2, 2006.</ref>
** '''člapkať sa''':
*** slovensky ''čičrať'' – „babrať sa v niečom, čľapkať sa vo vode, v riedkom blate“,<ref name="ks2008-2-sk"/>
*** slovensky ''čičer'' – „bahnom zanesená časť terénu, hlavne ciest, po ktorých sa bolo treba plavočiť, čabrať sa a pod.“,<ref name="ks2008-2-sk"/>
** '''plač''':
*** slovinsky ''finčica'' – ženský „hanblivý“/prúderný plač;<ref name="sl-1891">{{cite web
| url = https://archive.org/details/slovenskonemkisl01pletuoft/page/200/mode/2up?view=theater
| title = Slovensko-nemki slovar. Uredil M. Pleternik
| last = Pleternik
| first = Makso
| date = 1891
}}</ref><ref>[[:wiktionary:en:weiblich#German|weiblich#German]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:Scham|Scham]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:shame|shame]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:bashfulness|bashfulness]] (po anglicky).</ref>
'''„k cieľu“''', '''„pri cieli“''':
* kampidská sardínčina ''finza(s)'',<ref>https://hemerotecadigital.uanl.mx/items/browse?advanced%5B0%5D%5Belement_id%5D=39&advanced%5B0%5D%5Btype%5D=is+exactly&advanced%5B0%5D%5Bterms%5D=Men%C3%A9ndez+Pidal%2C+Ram%C3%B3n%2C+1869-1968%2C+Director&output=omeka-xml.</ref><ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/bub_gb_KTtwV0X6jo8C/page/28/mode/2up?q=finza
| title = Etymologisches Wörterbuch der romanischen Sprachen von
| last = Friedrich
| first = Diez
| date = 1870
}}</ref>
*'''cesta''':
** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/>
*'''nájsť''':
** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/>
** z prazápadnej nemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref name="finþan">[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|*finþan]] (po anglicky).</ref>
** z pranemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finþaną|*finþaną]] (po anglicky).</ref>
** bavorsky ''fint'' znamená významovo ''nájsť'',<ref>[[:w:de:Bairisch|Bairisch]] (po nemecky).</ref>
** gótsky ''fintha'' znamená ''nájsť'',<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/sitzungsberichte1882knig/page/38/mode/2up?q=finde
| title = Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften in Prag
| author = Königlich-böhmische Gesellschaft der Wissenschaften (Prague, Hungary)
| date = 1883
}}</ref><ref>{{cite web
| url = https://germanic.ge/en/got/word/fin%C3%BEan/
| title = finþan
| author = Chrestomathy of Gothic and Anglo-Saxon
}}</ref>
** zo starej írčiny „objaviť“, „odkryť“, „zistiť“, „vedieť“,<ref>[[:wiktionary:en:rofinnadar#Old_Irish|rofinnadar#Old_Irish]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:discover|discover]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:find_out|find_out]] (po anglicky).</ref>
'''päť''':
* zo stredno-hornej nemčiny ''vünf'',<ref name="mhn-vinf">[[:wiktionary:vinf#Mòcheno|vinf#Mòcheno]] (po anglicky).</ref>
* v jazyku Mòcheno (v Taliansku) ''vinf'' značí päť,<ref name="mhn-vinf"/><ref>[[:w:Mòcheno language|Mòcheno language]] (po anglický).</ref>
'''podvodník''':
* slovinsky ''finka'' – prasa, svina (pri hre),<ref name="sl-1891"/>
'''trik''':
* súčastné europské jazyky (napr. v športe),
'''výmysel''':
* zo staršej slovenčiny,<ref>{{cite web
| url = https://slovnik.juls.savba.sk/bernolak-hq/fi/Finta.png
| title = Finta.png
}}</ref><ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/bub_gb_baZZAAAAcAAJ/page/4368/mode/2up
| title = Slowár slowenskí česko-latinsko-ňemecko-uherskí = seu, Lexicon slavicum bohemico-latino-germanico-ungaricum
| last = Bernolák
| first = Anton
| date = 1825
| publisher = Budae, typis et sumtibus Typogr. Reg. univers. hungaricae
}}</ref>
'''skrytý''':
* v berberskom jazyku názov oázy ''Fint'' znamená ''skryté'',<ref>{{cite web
| url = https://www.sudmaroc-hotel-terrassedesdelices.com/l-oasis-de-fint-1/
| title = L'Oasis de Fint
| date = 2023-10-18
}}</ref>
'''„strážisko“''':
* latinské ''finita'' ako tvar slova ''finitus'' – '''hraničná''',<ref>[[:wiktionary:en:finita#Latin|finita#Latin]] (po anglický).</ref><ref>[[:wiktionary:en:finitus#Latin|finitus#Latin]] (po anglický).</ref>
* zo starej angličtiny ''finta'' – '''hraničné územie''', '''družina'''/'''posádka''', '''sledovať''';<ref name="sa-1">[[:wiktionary:en:finta#Old_English|finta#Old_English]] (po anglicky).</ref><ref name="sa-2">[[:wiktionary:en:tail#Etymology_1|tail#Etymology_1]] (po anglický).</ref><ref>[[:wiktionary:en:tailing#Noun|tailing#Noun]] (po anglický).</ref>
* španielsky ''finca'' – „nehnuteľnosť“, „farma“, „hacienda“,<ref>[[:wiktionary:en:finca#Spanish|finca#Spanish]] (po anglický).</ref>
'''(o)zdobiť''', „'''pačiť sa'''“:
* zo slovenského:
** spisovného ''fintiť sa'',
** z nárečových ''findiť sa'', ''frnťiť sa'' znamenajúc „parádiť sa“,<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/kralik_2015
| title = Stručný etymologický slovník slovenčiny
| last = Králik
| first = Ľubor
| date = 2015
| publisher =
}}, heslo ''fintiť''.</ref>
* možno odvodené z latinského ''fingo'',<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky).</ref>
* možno odvodené z latinského ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky).</ref>
* dalmatský ''fin'' – „vlasy“,<ref>[[:wiktionary:en:fin#Dalmatian|fin#Dalmatian]] (po anglicky).</ref>
* grécky [https://lexikolefkadas.gr/finta-i/ φίντα] (''fínta'', stredný rod),
* ozdobná šálka, viď položku ''šálka'',
* '''horenos'''<ref name="prafinta"/> – „namyslený človek, nafúkanec“,<ref>Krátky slovník slovenského jazyka. Red. J. Kačala – M. Pisárčiková – M. Považaj. 4. dopl. a upr. vyd. Bratislava: Veda 2003. 985 s. ISBN 80-224-0750-X (autorský kolektív: J. Doruľa, J. Kačala, M. Marsinová, I. Masár, Š. Michalus, Š. Peciar, M. Pisárčiková, M. Považaj, V. Slivková, E. Smiešková, E. Tibenská, M. Urbančok) – heslo ''horenos''.</ref>
* dánsky ''finde'' – „mať určitý pocit potešenia alebo (menej často) nelibosti“,<ref>{{cite web
| url = https://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=finde
| title = finde
| author = Det Danske Sprog- og Litteraturselskab
}}</ref>
* '''biely''', '''svetlovlasý''':
** zo strednej angličtiny ''Fin(n)''; skrátene poangličené ''Fionn'', skratené ''Finn'', z pôvodného gálskeho ''Ó Finn'' – ''Fionn potomok'',<ref>{{cite web
| url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/finn
| title = Finn Surname Meaning
| author = Ancestry
}}</ref>
'''uskutočňovať''', '''stať sa''', '''byť''':
* latinsky ''fiō'',<ref>[[:wiktionary:fio#Latin|fio#Latin]] (po anglicky).</ref>
* (prenesene) latinsky ''fin'' – „rámeno“,<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/bim_eighteenth-century_a-classical-dictionary-o_grose-francis-f-a-s_1785/page/n81/mode/2up
| title = A classical dictionary of the vulgar tongue.
| author = Grose, Francis, F. A. S.
| date = 1785
}}</ref>
* rumunsky ''fi'' – byť,<ref>[[:wiktionary:fi#Romanian|fi#Romanian]] (po anglicky).</ref>
* rumunsky ''ființă'' [fiinca] – „bytosť“, „stvorenie“,<ref>[[:wiktionary:ființă#Romanian|ființă#Romanian]] (po anglicky).</ref>
* rumunsky ''ființa'' [fiinca] – „existovať“,<ref>[[:wiktionary:ființa#Romanian|ființa#Romanian]] (po anglicky).</ref>
* pre skupinu slov (do kt. patrí aj slovo finta) so spoločným významom ''pohyh'' (podľa Egy),<ref>Renáta Németh: [https://edit.elte.hu/xmlui/bitstream/handle/10831/46184/Kd_10941.pdf?sequence=1 A XIX. Századi nyelvbölcselet és a magyiar nyelv szótárának etimológiai elve]. 2007.</ref>
'''páska''':
* portugalsky ''cinta'' (výslovnosť [finta]),<ref>[[:wiktionary:cinta#Spanish|cinta#Spanish]] (po anglicky).</ref>
'''dobrý'''/'''fajný''', '''šikovný''':
* stará francúzština a stredná angličtina ''fin(e)'' – „výborný príjemný čestný dokonalý“,<ref name="ancestry-fine">{{cite web
| url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fine
| title = Fine Surname Meaning
| author = Ancestry
}}</ref>
* latinsky ''finis'' – „dokonalý vynikajúci“,<ref name="ancestry-fine"/>
* z jidiš ''Finzi'',<ref name="finzi">{{cite web
| url = https://www.jewishencyclopedia.com/articles/6124-finzi
| title = FINZI
| author = JewishEncyclopedia.com
| date = 1989
}}</ref>
* stará francúzština ''fin'' – „fajný, delikatný“<ref>[[:wikt:en:fin#Old_French|fin#Old_French]] (po anglicky).</ref>
* južnoslovanský ''fin'',<ref>[[:wikt:en:fin#Serbo-Croatian|fin#Serbo-Croatian]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wikt:en:fin#Slovene|fin#Slovene]] (po anglicky).</ref>
* v slovenčine:
** „Pekne si to vyfintil.“ – „Pekne si sa s tým »pohral«.“ („Super, popipľal si sa s tým, že výsledok je výborný / excelentý / nad očakávanie / dôsledne spravený.“),
'''šikovný''', '''vážený''', '''brondzový''':
* slovensky ''čič'' – „vážený muž obyč. v úctivom oslovení“,<ref name="ks2008-2-sk"/>
* južnoslovanký ''čiča'', ''čičo'' –''starší človek, strýko'',<ref name="ks2008-2-sk"/>
* stará gotčina ''𐍆𐌹𐌽'' (''fin'') – [[:w:en:nomina sacra|nomina sacra]] ''lord'' (vo význame ''pán'', ''vládca'' alebo ''majster''),<ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽#Gothic]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic|𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:lord#English|lord#English]] (po anglicky).</ref>
* stará francúzština ''fin'':<ref>https://www.jeantosti.com/noms/f2.html.</ref>
** pôvodne: „jemný, nežný, dokonalý alebo krehký“,
** 14. storočie: ''šikovný'';
** 15. storočí: ''malý'',''malicherný'';<ref group="Pozn.">Možno došlo k negácií alebo k ironizovaniu významu.</ref><ref>[[:wiktionary:en:petit|petit]] (po anglicky).</ref>
* egyptsky Pa-neḥas – „ten bronzovej farby“,<ref>[[:w:en:Phinehas|Phinehas]] (po anglicky).</ref>
* z hebrejského ''פִּינְחָס''/''Pinchas'',<ref>[[:w:en:פינחס|פינחס]] (po hebrejsky).</ref>
* španielsky ''pinco'' – „schopný preniknúťs veľkou intenzitou“,<ref>[[:wikt:en:finco#Portuguese|finco#Portuguese]] (po anglicky).</ref>
* „vedieť dotiahnuť (niečo) do konca“:
** zo starej angličtiny '''finta''' znamenajúc:<ref name="sa-1"/>
*** „tail“ – slovenský „chvost“,<ref name="sa-2"/> „časť“ (niečoho),
*** „sequence“ – slovenský „sekvencia“,
*** „result“ – slovenský „výsledok“,
* *int znamenajúc nemecky ''richtung'',<ref>Nyelv Magyar: [Magyar nyelv : közérdekű havi folyóirat a művelt közönség számára / Magyar Nyelvtudományi Társaság ; szerk. Szily Kálmán]. 1907.</ref>
'''rozseknúť''', '''rozštiepiť''':
* slovensky ''čičať'' – „robiť hluk, údermi vyrubovaním lesnej dreviny, zosekávaním haluzia z kmeňov“,<ref name="ks2008-2-sk"/>
* latinské ''findo'',
* praindoeurópske ''*bʰinédti'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/bʰinédti|Proto-Indo-European/bʰinédti]] (po anglicky).</ref>
'''drevorubač''':
* ako ''fin''+''čičať'' = muž/majster + rubač – človek, ktorý vie nielen rubať drevo ale aj s ním pracovať (tvorba vozov, domom; teda „tokárčiť“),
* porovnaj slovensky ''čičman'' – „drevorubač, ktorý rúbaním, sekaním, prípad. otesávaním kmeňov stromov šíri hluk“,<ref name="ks2008-2-sk"/><ref name="Pozn.">V minulosti (napr. vo Vyšnom Slavkove) sa drevo nesťahovalo traktormi, teda silnými strojmi, takže ku zníženiu odporu pri sťahovaní dreva z lesa bolo nutné strom vyčistiť od kôry.</ref>
'''„vzácne“ drevo''':
* praindoeurópske ''*finьtъ'' – tujový:<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/etymologicky-slovnik-jazyka-staroslovenskeho/ESJS_3/page/170/mode/2up
| title = Etymologický slovník jazyka staroslověnského
| author = E. Havlová, A. Erhart, I. Janyšková
| date = 1989
}}</ref>
** zaznamenané iba v súvistlosti s drevom,
** možný nedoslovný význam ako „vzácne“ drevo,
** možno narážka na stromy<ref>{{cite web
| url = https://www.fintice.sk/o-obci-fintice.html
| title = O obci Fintice
| author = Obecný úrad Fintice
}}</ref> ako ''javor horský'' a ''lipa malolistá'' v katastri obce,
'''súvis s peniazmi''':
* starofrancúzske ''fin'' „peniaze“,<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/kralik_2015
| title = Stručný etymologický slovník slovenčiny
| last = Králik
| first = Ľubor
| date = 2015
| publisher =
}}, heslo ''financ''.</ref>
* „finta“ – španielský starodávna daň („finītus“ ⇒ „fintito“ <súvis so „finito“ – „nastaviť limity“>),<ref>{{cite web
| url = https://books.google.sk/books?id=gYtvAwAAQBAJ&pg=PA716&lpg=PA716&dq=family+finta&source=bl&ots=D0_xpvopM0&sig=ACfU3U1xPOG4gFw5UGpVI2Y4cq86bRP13w&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwjdvfGj8aKEAxUWi_0HHdodA384PBDoAXoECAkQAQ#v=onepage&q=family%20finta&f=false
| title = A Comprehensive Etymological Dictionary of the Spanish Language with Families of Words based on Indo-European Roots
| last = Roberts
| first = Edward Arthur
| date = 2014
}}</ref>
* podobné so:
** srbsko-chorvatsky ''funta''/''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:funta#Serbo-Croatian|funta#Serbo-Croatian]].</ref><ref>[[:wiktionary:фунта#Serbo-Croatian|фунта#Serbo-Croatian]].</ref><ref>{{cite web |url=https://ensk.dict.cc/?s=currency |title=dict.cc | currency | English-Slovak Dictionary |website=dict.cc |publisher=Paul Hemetsberger}}</ref>
** macedonsky ''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунта#Macedonian|фунта#Macedonian]] (po anglicky).</ref>
** rusky ''фунт'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунт#Russian|фунт#Russian]] (po anglicky).</ref>
** ukrainsky ''фунт'' – libra alebo jednotka váhy, množstva,<ref>[[:wiktionary:фунт#Ukrainian|фунт#Ukrainian]] (po anglicky).</ref>
** jidiš ''פֿונט''/''funt'' – jednotka hmotnosti, pôvodovne označenie pre ruskú mieru (po anglicky),<ref>[[:wiktionary:פֿונט#Yiddish|פֿונט#Yiddish]].</ref>
** armenský ''ֆունտ''/''funt'' – libra alebo jednotka váhy,<ref>[[:wiktionary:ֆունտ#Armenian|ֆունտ#Armenian]] (po anglicky).</ref>
**
'''krivý''', '''ohnutý'''
* z maďarského slova ''finta'',<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/magyaroklevlsz00szamuoft/page/124/mode/2up?q=FINTA
| title = Magyar oklevél-szótár, régi oklevelekben és egyéb iratokban elöforduló magyar szók gyüjteménye. Legnagyobb részüket gyüjtötte Szamota István. A Magyar Tudományos Akadémia megbízásából szótárrá szerk. Zolnai Gyula
| last = Szamota
| first = István
| last2 = Zolnai
| first2 = Gyula
| date = 1210
| publisher = Budapest V. Hornyánszky
}}</ref><ref>[[:wiktionary:en:curvus|curvus]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:bent#English|bent#English]] (po anglicky).</ref><ref name="hu-1886">{{cite web
| url = https://archive.org/details/englishhungarian02bizo/page/156/mode/2up
| title = English-Hungarian dictionary
| last = Bizonfy
| first = Ferencz
| date = 1886
}}</ref>
* zo starej angličtiny ''finta'',<ref name="sa-1"/><ref name="sa-2"/>
* tiež aj Finteușu Mare, Maramureș; Rumunsko,<ref>[[:w:ro:Finteușu_Mare,_Maramureș|Finteușu_Mare, Maramureș]] (po rumunsky).</ref>
'''skalnatý''':
* z maďarského slova ''finta'',<ref name="hu-1886"/>
*'''lovec, zberač''':<ref name="fini"/>
** stará nemčina ''*fenthan'' – „hľadať pešo“,<ref name="fini">Maixner, Miroslav. [https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY]. 2011.</ref>
** pragermančina [[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finnaz|finnaz]] (''chodiť pešo''),<ref name="Finn">[[:wiktionary:en:Finn|Finn]] (po anglicky).</ref>
** stredoveká angličtina ''fen'', ''fint(e)'', ''fient'' – a) lovec, zberač, b) trus, hnoj.<ref>[https://quod.lib.umich.edu/m/middle-english-dictionary/dictionary/MED15578/track?counter=1&search_id=4655363 fen n.(2)] (po anglicky).</ref>
** stará horná nemčina ''vende'',<ref>[[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (ethnonym)]] (po anglicky).</ref>
** stará norčina [[:wiktionary:en:finnr|finnr]] (''lovec, zberač''),<ref name="Finn"/>
* „… ,scricfinni‘ sú vašniví lovcí/zberači, …“,<ref group="Pozn.">Prvá časť slova ''scric'' znamená ''lyžovať''. (Referencia: https://snl.no/finner_-_samer).</ref><ref>{{cite web
| url = https://snl.no/skridfinner
| title = skridfinner
| author = Store norske leksikon
}} (po nórsky).</ref>
'''nôž''':
* poľsky ''finka'' – puzdrový nôž, <ref>[[:wiktionary:finka#Polish|finka#Polish]] (po anglicky).</ref><ref>[[:w:Sheath_knife|Sheath knife]] (po anglicky).</ref>
'''diabol''','''démon''', '''hrozný človek''':<ref>[[:wikt:en:fend#Middle_English|fend#Middle_English]] (po anglicky).</ref>
* stredná angličtina ''fend'',
'''klam''', '''lesť''':<ref>Historický slovník slovenského jazyka. A – J. Red. M. Majtán et al. 1. vyd. Bratislava: Veda 1991. 535 s. ISBN 80-224-0228-1 (spoluautori V. Blanár, E. Jóna, I. Kotulič, E. Krasnovská, R. Kuchar, M. Majtán, M. Majtánová, Š. Peciar, B. Ricziová, J. Skladaná) – heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=finta&s=exact&c=v785&cs=&d=hssj# finta].</ref>
* zo slovenského slova ''finta'',
'''pasca''':
* grécky [https://www.slang.gr/lemma/13317-finta φίντα] (''fínta''),
''botanické významy:''
* '''absint''' (nápoj) alebo '''[[:w:sk:Palina pravá|Palina pravá]]''' (''Artemisia absinthium''),<ref>{{cite web
| url = https://books.google.sk/books?id=JrbKqL-w5tAC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=fyntha+latin&source=bl&ots=R7y5pNmEuz&sig=ACfU3U1YM7F4RYhFTGT1otBPF74flt9RBA&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwiljNjg2YKAAxUX7qQKHS8mD-s4ChDoAXoECB4QAw#v=onepage&q=fyntha&f=false
| title = Dizionario italiano, latino e francese in cui si contiene, non solamente un compendio del dizionario della Crusca, ma ancora tutto cio, che v'ha di piu rimmarchevole ne' migliori lessicografi, etimologisti, e glossarii,... raccolto dall' abbate Annibale Antonini. Nuova edizione. Riveduta, corretta, e notabilmente accresciuta. Tomo primo, Zväzok 1
| last = Antonini
| first = Annibale
| date = 1770
}}</ref><ref>[[:wiktionary:assenzio|assenzio]] (po anglicky).</ref><ref>[[:w:Absinthe|Absinthe]] (po anglicky).</ref>
* ''Suncia''<ref name="dmi">{{cite web
| url = https://www.knihydominikani.sk/hlavna_nemethy_24?fpcmeno=zahradne
| title = Historický schematizmus slov. farností
| website = www.dominikani.sk
| access-date = 2023-10-18
}}</ref> – v stredovekej latinčine '''''[[:w:sk:Valeriána_lekárska|Valeriána lekárska]]''''' (''Valeriana officinalis''),<ref>Ferrari V., 2016 - [https://bibliotecadigitale.provincia.cremona.it/monografie/download/monografia_11.pdf Lessico botanico popolare della provincia di Cremona: dialettale, etimologico],
“Monografie di Pianura”, n. 11, Provincia di Cremona, Cremona.</ref>
'''uzdraviť:'''
* ''„zmeniť predpokladaný ortieľ smrti“'' – teda ''vyliečiť sa'',
* Cethern mac Fintain (Írska mytológia),<ref>[[:w:Cethern_mac_Fintain|Cethern mac Fintain]] (po anglicky).</ref>
'''skok''', '''skákanie''':
* maďarsky ''finz'' a príbuzne slová,<ref>{{cite web
| url = http://misc.bibl.u-szeged.hu/25180/1/015_020_001-175.pdf
| title = A' SZÓELEMZÉS' ÉS SZÓÉRTELMEZÉS ALAP-ELVEI.
| author = Fábián István
| date = 1853
| access-date = 2025-01-22
}}</ref>
'''zabávači/šašovia:'''
* maď. ''fintorog'', ''fintur'', ''fintor'' – slov. grimasa,<ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:fintor#Hungarian|fintor#Hungarian]] (po anglicky).</ref><ref>Szentpétery Imre: Az Árpádházi királyok okleveleinek kritikai jegyzéke II. kötet 2-3. füzet 1272–1290 (Magyar Országos Levéltár kiadványai, II. Forráskiadványok 9. Budapest, 1961 – heslo [https://library.hungaricana.hu/en/view/MolDigiLib_MOLkiadv2_09/?pg=460&layout=s Fintor], po maďarsky).</ref><ref>[[:w:hu:Magyar duda|Magyar duda]] (po maďarsky).</ref><ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky).</ref>
* ''Fruncta'' – stará francúzština ''frunce'' = ''fronce'' (''mračiť sa'', ''chmúriť sa'') + suffix ''-ta'',<ref name="dmi"/><ref>[[:wiktionary:en:frunce#Old_French|frunce#Old_French]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:fronce#Old_French|fronce#Old_French]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:froncer#French|froncer#French]] (po anglicky).</ref><ref>[[:wiktionary:en:scowl|scowl]] (po anglicky).</ref><ref>Synonymický slovník slovenčiny. Red. M. Pisárčiková. 3. nezm. vyd. Bratislava: Veda 2004. 998 s. ISBN 80-224-0801-8 (kolektív autorov: A. Anettová, I. Hrubaničová, Š. Michalus, E. Pícha, M. Pisárčiková, M. Považaj, E. Tibenská) – heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=kaboni%C5%A5&s=exact&c=4777&cs=&d=sss# kaboniť].</ref>
'''ako „urážka“/„žart“''' (?):
* v poľštine: „zadymení papier držaní pod nosom“,<ref>{{cite web
| url = https://archive.org/details/acompletedictio00rykagoog/page/54/mode/2up?view=theater
| title = A complete dictionary English and Polish and Polish and English
| last = Rykaczewski
| first = Erazm
| date = 1849
}}</ref>
'''šálka'''/'''hrnček''':<ref>[[:wiktionary:tr:fincan#Türkçe|finka]] (po tatársky).</ref>
* perský <span lang="fa">پنگان</span> (pingān),<ref name="sh_findžan"/>
* arabský <span lang="ar"> فِنْجَان</span> (finjān),<ref name="sh_findžan"/>
* srbsko-chorvátsky ''findžan'',<ref name="sh_findžan">[[:wiktionary:en:findžan#Serbo-Croatian|findžan]] (po anglicky).</ref>
* ukrajinsky ''фінджа''/''findža'',<ref>[[:wiktionary:фінджа#Ukrainian|фінджа]] (po anglicky).</ref>
* slovenské nárečia ''findža''.<ref>{{cite web
| url = https://narecie.sk/find%C5%BEa
| title = Slovo findža
}}</ref>
'''Fín''':
* [[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (etnonymum)]] (po anglicky).
== Poznámky ==
<References group="Pozn."/>
== Pozri tiež ==
* [http://nhe.ktfke.sk/archiv/notitiae-12017/ Notitiae 1/2017] (príspevok ''DEDINA – VILLA BELCELLA A ÚZEMIE ZA ZÁSEKMI – ULTRA INDAGINES'').
* Marek, Miloš. „[https://www.academia.edu/45576365/The_Protection_of_the_Northern_Borders_of_the_Kingdom_of_Hungary_Slovakia_with_Poland_in_the_Middle_Ages_Ochrana_uhorsko_slovensko_po%C4%BEsk%C3%A9ho_pohrani%C4%8Dia_v_stredoveku The Protection of the Northern Borders of the Kingdom of Hungary (Slovakia) with Poland in the Middle Ages. - Ochrana Uhorsko (Slovensko) - Poľského Pohraničia v Stredoveku.]“ RES GESTAE. CZASOPISMO HISTORYCZNE, 2020.
* [https://www.academia.edu/6430925/Rom%C3%A1nske_obyvate%C4%BEstvo_v_%C5%A1trukt%C3%BArach_Uhorsk%C3%A9ho_kr%C3%A1%C4%BEovstva_slovak_ Bučko, Peter. Románske Obyvateľstvo v Štruktúrach Uhorského Kráľovstva (Slovak)].
* {{cite web
|url=https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf
|title=KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY
|last=Maixner
|first=Miroslav
}}
* {{cite web
|url=https://www.academia.edu/45643150/FINTA_Z_RODU_ABA_VOJVODA_A_PALAT%C3%8DN
|title=FINTA Z RODU ABA -VOJVODA A PALATÍN
|last=Blanár
|first=Dominik
}}
== Referencie ==
<References/>
[[Category:SK/Etymológia]]
[[Category:SK/Fintice]]
[[Category:SK/Pomenovanie]]
93l6m7q2y3r8hh8ksgs5bn4amd7tmp2
အွောန်ႏသိမ်ꩻရွမ်ခါꩻ အချက်ဖုံႏ
0
51981
386101
376397
2026-08-24T23:03:26Z
Kuhn Htun Lwin
52119
/* ပြွူႏဖြွိုရေꩻကဏ္ဍ (၅)မျိုꩻ */
386101
wikitext
text/x-wiki
အရန်းယိုနဝ်ꩻတဲ့ ကပါသော့ꩻဒါႏအချက်ဖုံႏယို စုရွမ်စုခြွဉ်းဗူႏဗူႏဗာႏ ကထွုမ်းသေꩻခါꩻအချက်ဖုံႏသွူ။ဒေတာသတင်ꩻအချက်အဗာႏဖုံႏယို ကလꩻလွဉ်နဝ်ꩻစားဖုံႏနဝ်ꩻ နီဖုံႏယိုကအဝ်ႏမာꩻသုတေသနထာꩻမာꩻရဲန်ႏအတောႏအတွင်ꩻကိုသွူ။ဒေတာဖုံႏယိုနဝ်ꩻ အထွာနွောင်ꩻဒျာႏ လိတ်ဖြုံႏနေးတဲ့သင်၊ဂဏန်ꩻနံပါတ်စားဖုံႏ၊တွမ်ႏပွုံႏနေးတဲ့အဝ်ႏ၊ဗီဒီယို တားလဲ့ ဆွမ်ꩻခါꩻနေးအငဝ်းစားဖုံႏသွူ။ကထွုမ်ႏထွားဒါႏသတင်ꩻအချက်ဖုံႏယို ဖေႏကတိဉ်ႏခြꩻနဝ်ꩻ နီလိုႏယူႏခါꩻဗာႏအကျောင်ꩻခရာႏ ထူႏသွုံꩻဗာႏတခြိုꩻနေးမုဲင်ꩻစားဖုံႏတွမ်ႏအနယ်ꩻနေးမုဲင်ꩻစားကရိုꩻဒါႏ ထူႏနေးတွမ်ႏစေးလာႏမတ်တန်ꩻနဲ့၊မာꩻနေးငဝ်းရီငဝ်းဖြေႏနဲ့၊လယ်ႏထွုမ်ႏထောင်ထွားနေးစားတွမ်ႏ အစွိုꩻအဗူႏဖုံႏနဲ့စစွဉ်ႏနဝ်ꩻစားဖုံႏသွူ။ဆင်ႏပြေႏရာꩻတွမ်ႏနီကထဲ့မဲန်ႏရာꩻအပွုံႏစံႏဖုံႏယို နီစုခြွဉ်းရွမ်နွောင်ꩻဒျာႏ ဖေႏကထွာလွဉ်အချက်အဗာႏဖုံႏနဝ်ꩻသွူ။သုတေသနတဗာႏယိုထွာဒျာႏလိုꩻအဖြာꩻပေါင်ꩻအာနေးစားနဝ်ꩻ ထွာဒျာႏအစွိုꩻအဗူႏ မွေးတားလဲ့ လိုꩻအာစွိုꩻဖုံႏယို ရေႏရွယ်ႏလွေꩻသုတေသနထွူတဲင် နီအထျꩻယိုတဲ့ ထွုမ်ႏခါꩻဗာႏလိုꩻဖုံႏကရီဒါႏငေါဝ်းရီဖုံႏယို ကအီႏဖြေႏချာအီဝွေꩻသီးတာႏနဝ်ꩻသွူ။
===စဲစ်ဆေꩻပြန်ႏခွိုန်ချာယင်းသတင်ꩻ===
အရန်းယိုနောဝ်ꩻတဲ့ ကပါသော့ꩻဒါႏနောဝ်ꩻ စဲစ်ဆေꩻပြန်ႏခွိုန်ယင်းသတင်ꩻအချက်အဗာႏဖုံႏတွမ်ႏလိတ်အချွုတ်အပွုံႏဖုံႏသွူ။အဆုဲင်ꩻသွတ်ꩻအရန်းယိုနဝ်ꩻ နီချွုတ်ပေႏချာကထွုမ်ႏလꩻကစုခြွဉ်းလꩻဒါႏအဓိကအချက်သုတေသနဖုံႏသွူ။နီသက်သေႏခံႏဖေႏကအဝ်ႏတဲင် အချက်အဗာႏပွုံႏစံႏတွမ်ႏစဲစ်ဆေꩻခတ်ကယ်ꩻမုဖုံႏ၊ထွို့ꩻတဲမ်းလွေꩻလိတ်အချွုတ်ထွူတဲင် အစွဲးအကမ်းထွာအီကထွုမ်ႏခါꩻသုတေသနဖုံႏသွူ။
==ဒင်ႏပျꩻဖြယ်ချာ အချက်အဗာႏ==
အရန်းယင်းယိုနောဝ်ꩻတဲ့ ဖြယ်ချာယင်းကလွဉ်သုတေသနလꩻလဒ် တွမ်ႏနီလိုꩻသီးသꩻဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻတွမ်ႏနမ်းဆဲင်ႏရာꩻ အတဲက်အဆဲင်ႏဖုံႏသွူ။အရန်းယိုအတောႏတွင်ꩻကို နီတဲမ်းဒင်ႏဗာႏလိတ်တရာꩻခံႏသုတေသနတဗာႏထွူတဲင် ဒင်ႏပျꩻဖြယ်နယ်ချာဗာႏ တားလဲ့ မော့ꩻခွဲးဒေါ့ရီဗာႏအစွိုꩻအဗူႏဖုံႏတဲင် ဖန်းဖြယ်နယ်ဗာႏလꩻလဒ်နီသုတေသနဖုံႏသွူ။ကိဉ်းအာအာအရေꩻကီꩻသွတ်ꩻနောဝ်ꩻ နီသွဉ်းသီးရေႏရွယ်ႏချက်သုတေသနယို ဖေႏကဒို့ꩻတခြို့ꩻလွေꩻနီလိုꩻသီးဖုံႏ၊အစွိုꩻအဗူႏဖုံႏ တားလဲ့ အစိုႏရသီးဖုံႏနောဝ်ꩻသွူ။
==သုတေသနငေါဝ်းရီဖုံႏ==
သုတေသနငေါဝ်းရီဖုံႏကဖောႏပျနယ်နောဝ်ꩻ နီအီႏမာꩻသုတေသနနေးမုဲင်ꩻစားကရိုꩻနောဝ်ꩻ အသေႏချာႏသွတ်ꩻဖေႏကသေနာႏကျိုꩻစာꩻလွဗာႏသွူ။သုတေသနသားတဖြာꩻအဖြေႏဖုံႏယို သုတေသနငေါဝ်းရီစုရွမ်ခြွဉ်းထွူတဲင် စဲစ်ဆေꩻချာဗာႏသွူ။သုတေသနငေါဝ်းရီယို အွဉ်ႏနယ်စုခြွဉ်းဖေႏဒေတာဖုံတဲင် ရေႏရွယ်ႏလွေꩻသုတေသနတွမ်ႏပြောင်ꩻလုဲင်ႏမုတအဝ်ႏတားငေါဝ်းရီဖုံႏသွူ။နီကမာꩻသုတေသနအခိန်ႏဖုံႏယို လယ်ႏထွုမ်ႏလွူꩻဗာႏအကျောင်ꩻခရာႏဖုံႏထွူတဲင် တွမ်ႏခမ်းသားလိုꩻသီးကလွောက်ꩻရာꩻငဝ်းရီတွမ်ႏငေါဝ်းဖြေႏဖုံႏယို ထေထန်ႏနယ်လွေꩻဗာႏသွူ။လိုꩻလင်သꩻဖေႏကပါကဝင်ႏစာႏတဲ့ ကျံႏစယ်ႏရီဖေႏဗာႏတဲင် နီဖဲ့ꩻနီခဝ်အကျိုꩻဖေႏကအဝ်ႏအာနောဝ်ꩻ ကျိုꩻစာꩻခွုမ်စံႏမာꩻလွေꩻဗာႏသွူ။
==သုတေသနငေါဝ်းရီယံလက္ခဏာႏသွံမျိုꩻ==
နံပါတ်တစ်နောဝ်ꩻ သျင်ꩻစဲင်းဗာႏသွူ။မာꩻငေါဝ်းရီသျင်ꩻစဲင်းတဗာႏယို တမုဲင်ꩻဖုံႏ တွမ်ႏ နီသုတေသနတမုဲင်ꩻဖုံႏယို မာꩻသေငါꩻထင်ႏသျာꩻဖေႏဗာႏသွူ။
နံပါတ်နီနောဝ်ꩻ ထာꩻထီႏတွမ်ႏထာꩻရေႏရွယ်ႏချက် ဖောႏနယ်လွေꩻဗာႏသွူ။မဉ်ႏရီသွူအကျောင်ꩻခရာႏတဗာႏငေါဝ်းရီယို ကရီလွဉ်သားသူꩻ၊ကဖြေႏချာသားသူꩻနောဝ်ꩻ စုခြွဉ်းရွမ်ခါꩻဗာႏအချက်ဖုံႏတွမ်ႏမာꩻဗာႏဒေတာဖုံႏသွူ။ငေါဝ်းရီငေါဝ်းဖြေႏတဲ့လုဲင်းငါႏခရာႏတလိုႏတဝ်းတဲင် ကရီခံႏဗာႏဒုံသားတဲ့ဖေႏကဖြေႏယိုꩻအတာႏတဲ့နဝ်ꩻ၊နီကရီငေါဝ်းရီယိုတဲ့ ဖေႏသေဝွေꩻသီးထွူတဲင် နီထာꩻရေႏရွယ်ႏချက်ယိုတဲ့ဖောႏနယ်ဒေါ့ꩻနယ်ဗာႏဝွေꩻသီးသွူ။ထာꩻမာꩻခွင်ႏကိုယို ထာꩻမာꩻမုဲင်ꩻတရိုꩻတဝ်းတဲင် အရီအဝ်ႏဗာႏလွဉ်းလွဉ်း၊ရေႏရွယ်ႏချက်တဲ့အဝ်ႏဗာႏလွဉ်းလွဉ်းသွူ။
နံပါတ်သွံနောဝ်ꩻ သုတေသနယိုကမဲန်ရိုꩻနောဝ်ꩻတဲ့ နီကမာꩻသုတေသနယို အထွာနွောင်ꩻဗာႏသွူ။ကမာꩻသုတေသနသားအလင် ကတူႏစဲန်ႏအဝ်ႏလဲန်းတဲ့ တမာꩻထွာတဝ်းနဝ်ꩻ အဝ်ဒျာႏသွူ။ပွိုးတမုဲင်ꩻနဲးတဲင် အခိန်ႏတွမ်ႏခင်ႏလမ်ႏဒေႏသဖုံႏ၊အနီꩻအရင်ꩻဖုံႏတလွံးကိုမ်ႏတဝ်းလို့ဝင်ꩻသွူ။အလင်ဖုံႏမဥ်ႏအဝ်ႏထွာနွောင်ꩻလဲ့ ကအီႏလꩻဗာႏအချက်အဗာႏဖုံႏတဲ့ သမ်းယပ်တန်သွူ။
နုဲင်းဆꩻကီယိုနောဝ်ꩻ ရုဲင်ꩻတသွိုးလိတ်လုဲင်ꩻသားတဲ့နောဝ်ꩻ၊ခွုမ်စံႏစွိုးခွိုꩻထာꩻမာꩻတဲ့နဝ်ꩻ ခွဲးကျုံႏဗာႏလွဉ်းလွဉ်းသွူ။
==စနစ်တဗာႏအခေႏခံႏသဖော်ꩻတရာꩻ==
ထာꩻမာꩻတဗာႏယို စီႏမံႏအွဉ်ႏထွော့ခွုမ်စံႏလွေꩻနဝ်ꩻ တွမ်ႏစနစ်သဖော်ꩻတရာꩻတဲင် ထီႏဗာႏခွုမ်စံႏမာꩻနဝ်ꩻစားသွူ။ကွပ်နဝ်ꩻမ ကအီႏခွုမ်စံႏထာꩻမာꩻဖုံႏယို စနစ်တဗာႏဗာႏအကွို့ꩻအခဝ်မုဲင်ꩻတရိုꩻတဝ်း လိုꩻမုပြွူႏဖြွိုရေꩻထာꩻမာꩻအကို ကခွုမ်စံႏမာꩻဒါႏသား လိုႏသေနာႏငါႏသွူ။
==စနစ်အဓိပ္ပာယ်ႏ==
စနစ်ကရိုꩻယိုနဝ်ꩻ အွဉ်ႏထွော့မာꩻသေꩻခါꩻရီးဒါႏအစီႏစဲန်ႏ တားလဲ့ ဖေႏကလꩻရေႏရွယ်ႏချက်အရန်းရန်းအတာႏ တဗာႏတွမ်ႏတဗာႏအလွေꩻအသဲင်ꩻ ထိန်ꩻတီလွေꩻချာငါလို့ဝင်ꩻ ဆꩻငါတွမ်ႏဆꩻချာ အစဲန်ႏတွိုင်ꩻ ကတပန်ႏရုဲင်ꩻတသွိုးဒါႏ ထွို့ꩻဗူႏခါꩻတကွို့ꩻတခဝ်နဝ်ꩻသွူ။
==စနစ်တဗာႏအခန်ꩻကဏ္ဍ==
အခန်ꩻသွံခန်ꩻကထွို့ꩻဗူႏခါꩻဒါႏ အစီႏစဲန်ႏဖုံႏယိုနဝ်ꩻ ဟဲ့ꩻဒျာႏစနစ်သွူ။သဘာႏဝအသောင်အရင်ꩻ ဖေႏကသေစဲင်းအတာႏ ကအဝ်ႏဆွုပ်ချာငါဖေႏဒါႏ အဗွိုန်နုဲင်းခံႏအတွိုင်နဝ်ꩻစားသွူ။စနစ်သွံဗာႏနောဝ်ꩻ(၁)အနီꩻအရင်ꩻ(၂)ထွာႏစဲန်ႏ(၃)ယိုခါလꩻလဒ်ဖုံႏသွူ။
==ခမ်းသားပြွူႏဖြွိုရေꩻထွာႏစဲန်ႏ==
ပွိုင်းဝွို့တွမ်ႏပြွူႏဖြွိုရေꩻဖုံႏယို နေင်ႏပေါင်ꩻညအာလွဉ်လဲဉ်း ပညာႏသျင်ႏသီး အဝ်ႏတဲမ်းဖောႏထန်ႏရောင်ဝင်ꩻသွူ။ကထွာစဲန်ႏတဖူꩻရဲန်ႏနဝ်ꩻ အဝ်ႏနေးဒျာႏပိဉ်ရန်းရန်း နေးသွူ။
(၁)ပြွူႏဖြွိုရေꩻပထမအရန်း
(၂)ခမ်းသားအရေꩻအရန်းတွမ်ႏခမ်းထီအရေꩻအရန်း
(၃)ခမ်းသားဆꩻလသားအရန်းယိုစားသွူ။
==ခမ်းသားပြွူႏဖြွိုရေꩻအခေႏခံႏသဖော်ꩻတရာꩻ==
အခေႏခံႏလွေꩻတွမ်ႏနုဲင်းအချက်ဆꩻလꩻယိုဖုံႏသွူ။
၁။ရပ်ရာႏဒုံကိုကအဝ်ႏဒါႏ ရပ်မွိုးရပ်ဖာသီးအတာႏ ပြွူႏဖြွိုရေꩻကိစ္စစစရာႏရာႏ ရေႏရွယ်ႏနုဲင်းနဝ်ꩻစားသွူ။
၂။ရပ်သားဒုံသားကားကအဝ်ႏတမွေးတဝ်းတဲင် အစွိုꩻအဗူႏခေါခေါရေႏရွယ်ႏနဝ်ꩻစားလဲ့ ထွာနွောင်ꩻဒါႏသွူ။
၃။ပညာႏရေꩻ၊ခြွိုင်းသန်ꩻရေꩻ၊လိုꩻမုရေꩻစစွဉ်ႏ အရေꩻဖုံႏယို မာꩻရီးဖေႏဗာႏခမ်းသားမွိုးအတာႏဖုံႏသွူ။
==ပြွူႏဖြွိုရေꩻကရိုꩻနဝ်ꩻတမုဲင်ꩻ==
ပြွူႏဖြွိုရေꩻတယ်ႏဆꩻလꩻအကျောင်ꩻတဲ့နဝ်ꩻ၊တခွိုꩻလိုမ်းတာႏတဲ့နဝ်ꩻ ပြွူႏဖြွိုရေꩻကိစ္စသဖော်ꩻတရာꩻယို မဉ်ႏယူႏစွေးဗာႏနဝ်ꩻ အီႏထွာလွဉ်နုဲင်းမုဲင်ꩻကရိုꩻ အကျောင်ꩻခရာႏဖုံႏတွမ်ႏ ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုဗာႏ နုဲင်းမုဲင်ꩻကရိုꩻဒါႏ အကျောင်ꩻခရာႏဖုံႏယိုနဝ်ꩻ ခွုမ်စံႏမာꩻလွေꩻဖေႏသားနဝ်ꩻ ထွာပြွူႏဖြွိုရေꩻဖုံႏသွူ။ဥပမာႏ ရပ်ကိုဒုံကိုကလိုႏအပ်ဒါႏ ကူꩻစွိုးကူꩻမျိုꩻမုဲင်ꩻတရိုꩻတဝ်း တွမ်ႏအစွိုꩻအလင် နွို့ခွုမ်မာꩻကို အဝ်ႏတဝ်းပါတဝ်းတဲင် ဒုံသားချင်ႏချင်ႏထေင်းထမ်ႏမာꩻချာရောင်။
တွမ်ႏစနစ်နေးတဲင် လိုꩻအာတာႏဝွန်ႏတဲ့နဝ်ꩻ၊အမျာꩻတဖြာꩻတဲ့နဝ်ꩻ တာႏဝွန်ႏထူႏတာႏဝွန်ႏခံႏအဝ်ႏဗာႏသွူ။
==ခမ်းသားပြွူႏဖြွိုရေꩻအဓိကအချက်==
ခမ်းသားသီးစွုမ်ႏနီꩻ အသက်မွံဗန်အီအတာႏ ကလိုႏဒါႏဖဝရေꩻ အံႏအွꩻရေꩻ၊ကွဉ်ကꩻရေꩻ၊အုံအဝ်ႏရေꩻတွမ်ႏသဘာႏဝအသောင်အရင်ꩻအရေꩻဖုံႏ အနာႏဂါတ်ရေꩻအတာႏ ခမ်းသားသီးနမ်းပဲင်ႏအွဉ်ႏထွော့ဆွုံꩻဖျတ်ချာသွူ။
ခမ်းသားသီး မာꩻပဲင်ႏခွင်ꩻ၊လꩻပဲင်ႏခွင်ꩻဖုံႏယို သေနာႏရောင်ထွူတဲင် ခမ်းသားသီးတာႏဝွန်ႏဖုံႏယို ကေႏလယ်ႏခွုမ်စံႏလွေꩻဖေႏ။
ကားကအဝ်ႏကဆဲင်ႏရာꩻဒါႏ အကျိုꩻကထွာလွဉ်ဖုံႏယို ခံးစာꩻငီႏငီႏတွာတွာဗာႏ။
အစွိုꩻအကိုထာꩻထီႏထာꩻယူႏတပီတဝ်းလို့ဝင်ꩻ အဝ်ႏစွဉ်ႏရိုꩻလဲ့ သေနာႏမုတွမ်ႏဖြွမ်းဗူႏမုယို အွဉ်ႏဗာႏအထျꩻသွူ။
==အခေႏခမ်းခမ်းသားသီးနမ်းခြောင်တင်==
ခမ်းသားသီးကလိုႏဒါႏ ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုရေꩻအတာႏ ခမ်းကိုခမ်းထန်ႏကလွဉ်စွဲးကမ်းဒါႏအစွိုꩻအဗူႏဖုံႏတွမ်ႏအစိုႏရအစွိုꩻအဗူႏဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏယို ထူႏခွင်ꩻလꩻခွင်ꩻအဝ်ႏဗာႏသွူ။အစွိုꩻအဗူႏမုဲင်ꩻတရိုꩻတဝ်း အီႏစွဲးကမ်းကိုတသေႏသေႏနီ တမွေးတဝ်းတဲင် နမ်းတွမ်ႏနမ်းအာႏကွိုꩻချာဗာႏတဲ့ အဝ်ႏဒျာႏသွူ။ကလိုႏဒါႏအချက်ဖုံႏ (၁)သေနာႏထီႏသေဗာႏ၊(၂)ကတိတာႏဝွန်ႏခံႏအဝ်ႏဗာႏ၊(၃)နမ်းပဲင်ႏပါနွို့သော့ꩻတဲင် ခွုမ်စံႏကိုလွေꩻဗာႏသွူ။
==ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုမု==
ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုမုကရိုꩻနဝ်ꩻ တွမ်ႏထာꩻထီႏထာꩻယူႏအစွိုးစွိုးအဖဲ့ꩻဖဲ့ꩻတဲင် ဗွောင်ရောင်အဓိပ္ပာယ်ႏနဝ်ꩻတွိုႏဟန်ႏသနီꩻ အဝ်ႏတနွိုင်ဒွိုန်းကဝင်ꩻသွူ။တိဥ်ႏကျသေႏချာႏအဓိပ္ပာယ်ႏတအဝ်ႏတဝ်းရိုꩻလဲ့ အဝ်ႏလက်ခံႏရောင်နုဲင်းအချက်ဆလꩻယိုဖုံႏသွူ။
(၁)ပွုံႏမဲန်ႏရွဉ်လို့ယို အနွို့အာလွဉ်လွိုသမ်းယင်း။
(၂)ဆင်ꩻရယ်ꩻကေန်ꩻခြေားမုဆေ့ꩻလွဉ်။
(၃)ထာꩻတရာꩻတဝ်းယိုလဲ့ ကင်ꩻညာꩻထိုꩻ။
(၄)အဗာႏဆာယိုꩻဝင်ꩻလဲ့ လွစ်ထိုꩻညာꩻ။
(၅)အခေႏခံႏလိုႏအပ်မုတဲ့ ဗွေစွုမ်ႏလွဉ်။
(၆)သဘာႏဝသယံဇာတဖုံႏယို ထိန်ꩻတီလွေꩻနွောင်ꩻအတာႏဆွာꩻတာႏ။
(၇)ဖဝအသက်မွံဗန်ရေꩻ ဟဝ်အာလွဉ်။
==လိုꩻမုပြွူႏဖြွိုရေꩻအဓိပျဿနာႏ==
ကမ္ဘာႏလောင်းကအဝ်ႏဒါႏခမ်းထီဖုံႏကိဉ်းအာ စငါအဝ်ႏပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုတွင်ꩻသားနဝ်ꩻ ပညာႏသျင်ႏသီးကထောင်ထွားအဓိကပျဿနာႏထီႏမော့ꩻဗာႏ အကျောင်ꩻခရာႏအဝ်ႏ (၃)ချက်သွူ။
(၁) ကေန်ꩻခြေားဆင်ꩻရယ်ꩻပျဿနာႏ
(၂)ထာꩻတရာꩻငီႏဗွိုန်တဝ်း ပျဿနာႏ
(၃)ထဲ့ꩻသော့ꩻအန္တရာယ်ႏနယ်ႏကိုဖုံႏသွူ။
ကွပ်နဝ်ꩻမ ကအီႏဖြေႏသျင်ꩻဖေႏ ပျဿနာႏယိုတာႏလဲ့ ဝွေꩻသီးအဝ်ႏထွို့ꩻဗူႏခါꩻ အစွိုꩻအဗူႏအဝ်ႏသွူ။
==အစိုႏရအစွိုꩻအဗူႏ==
ခမ်းထီတွိုင်ꩻတဲ့ အစိုႏရအစွိုꩻအဗူႏအဝ်ႏဒျာႏသွူ။အစိုႏရအစွိုꩻအဗူႏနဝ်ꩻ ခမ်းသားသီးအတာႏ အဝ်ႏထူႏတာႏဝွန်ႏဖေႏ ပညာႏရေꩻ၊ခြွိုင်းသန်ꩻရေꩻ၊လိုꩻမုရေꩻ၊စီꩻပွာꩻရေꩻ၊စစွဉ်ႏအရေꩻကိစ္စအစွိုးစွိုးအဖဲ့ꩻဖဲ့ꩻဖုံႏနဝ်ꩻသွူ။
==NGOအစွိုꩻ==
အစွိုꩻယိုနဝ်ꩻ ကဆဲင်ႏရာꩻအစွိုꩻအဗူႏ အစိုႏရစူဆꩻလꩻတမွေးတဝ်းတဲင် အစွိုꩻအဗူႏခေါခေါ တခြင်ခြင် ခွုမ်စံႏမာꩻလွေꩻဖေႏခမ်းထီအတာႏ ထာꩻမာꩻဖုံႏယင် တွမ်ႏအစွိုꩻအဗူႏတန်သား ကထွာဒါႏ ကုမ္မဏီႏဖုံႏ၊ခမ်းသားသီးခြွိုင်းသန်ꩻရေꩻ၊ပညာႏရေꩻ၊စီꩻပွာꩻရေꩻ ဖေႏကလꩻအမျတ်အလွိုအတာႏ မာꩻဖေႏအစွိုꩻအဗူႏနဝ်ꩻစားမွေးတဝ်းသွူ။
==ကုလသမဂ္ဂအစွိုꩻအဗူႏနမ်းခြောင်တင်==
ကုလသမဂ္ဂနမ်းခြောင်တင်နဝ်ꩻ ယူနီဆက်ကထွာဒါႏ ကမ္ဘာႏခြွိုင်းသန်ꩻရေꩻအစွိုꩻ၊ကုလသမဂ္ဂပြွူႏဖြွိုရေꩻအစီႏအစဲန်ႏ၊အစွိုꩻကပါသော့ꩻဒါႏခမ်းထီဖုံႏ ရွဉ်ႏရန်ႏပွုံႏတွမ်ႏအနယ်ꩻပညာႏဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏယိုလဲ့ အဝ်ႏစွဲးကမ်းကူႏညီႏကိုဖေႏသွူ။
==အစိုႏရအချင်ꩻချင်ꩻကထွို့ꩻဗူႏခါꩻဒါႏအစွိုꩻအဗူႏ==
အစွိုꩻအဗူႏယိုနဝ်ꩻ တွမ်ႏကမ္ဘာႏဒေႏသတန်သီးထွို့ꩻဗူႏခါꩻဒျာႏသွူ။တကမ္ဘာႏလိုမ်းဆဲင်ႏရာꩻအစွိုꩻအဗူႏဖုံႏတဲ့အဝ်ႏဟဲ့ꩻဒျာႏတဲင် ဝွေꩻသီးယိုနဝ်ꩻ NGO အစွိုꩻအဗူႏတဲ့တမွေးတဝ်းသွူ။
==ခမ်းသားမွိုးဖာခွုမ်စံႏကိုမာꩻလွေꩻ==
နုဲင်းယိုခါမျန်ႏမာႏခမ်းယို ခမ်းကိုခမ်းထန်ႏအစွိုꩻအဗူႏဖုံႏ အဝ်ႏကူႏညီႏစွဲးကမ်းကိုရောင်ဒျာႏရိုꩻလဲ့ နီလိုꩻသီးသꩻထာꩻလိုႏယို အကွို့ꩻထိုꩻသမ်းတအဝ်ႏတားတဲင် အကျောင်ꩻခရာႏအစွိုးစွိုးတဲင် ခမ်းသားသီးအဝ်ႏမော့ꩻကထာꩻဒုက္ခဖုံႏနဝ်ꩻမꩻ ထာꩻမာꩻတဖူꩻစဲန်ႏယို ခမ်းသားသီးခွုမ်စံႏမာꩻလွေꩻကိုမꩻ အဗွေတဗာႏမွေးတဝ်းရိုꩻလဲ့ အရန်းတဗာႏတာႏတဲ့ အဝ်ႏဗွေနွောင်ꩻဒျာႏသွူ။
==ကွန်ပျူတာ==
ကထွူထိုꩻလဲဉ်းနေင်ႏပေါင်ꩻဆေ့ꩻဆေ့ꩻအကို ကွန်ပျူတာယို လိုꩻတခွုမ်နွောင်ꩻတဝ်းတဖြာꩻဖြာꩻကရိုꩻနဝ်ꩻ အီႏယွုမ်းဗာႏယို ခုဲင်ႏငါႏသွူ။နီလိုꩻသီးဖဝအုံအဝ်ႏလွေꩻနုဲင်းမုဲင်ꩻကရိုꩻနဝ်ꩻလဲ့ အံႏအောႏငါႏသွူ။အခိန်ႏနဝ်ꩻတဲ့ အဝ်ႏကွို့ꩻဒျာ ပေပါစေးလာႏလွုမ်ꩻတဲင် တွမ်ႏစူယိုစစရာႏရာႏတတဲမ်းနွောင်ꩻတဝ်းဒွိုန်းသွူ။ကွန်ပျူတာတပါတဝ်းတွော့ꩻ မာꩻနွောင်ꩻစွဥ်ႏထာꩻဖုံႏယိုနဝ်ꩻ အံႏဖြာႏလဲင်ꩻတလို့တဝ်းဒွုမ်သွူ။ခေတ်ဟန်ႏသနီꩻတဲ့ ကွန်ပျူတာယို ထွာအထျꩻတဲင် တသီႏယွုံနဲ့၊ရယ်ꩻစခန်ꩻနဲ့၊တလီꩻကွင်ႏလောင်းနဲ့ယိုစားနဝ်ꩻ ကွန်ပျူတာပါတဝ်း ထာꩻမာꩻတထွာတဝ်းသွူ။ကွပ်နဝ်ꩻမ ကွန်ပျူတာယို မာꩻနွောင်ꩻထာꩻမာꩻတဲ့ထွူယိုꩻမွေးထာꩻတဖဲ့ꩻ၊လွူးနမ်းမွီႏသက်တာႏလဲ့ အဆင်ႏပြေႏအီငါႏသွူ။
==ခမ်းသားစီႏမံႏဖန်းဖြယ်ရေꩻအကျောင်ꩻခရာႏ(၄)ဗာႏ==
(၁) အစိုႏရသီးခွုမ်စံႏဆောင်ႏရွက်လွေꩻ၊
(၂) အစိုႏရသီးထာꩻမာꩻခွင်ႏကို ထွို့ꩻဗူႏလွေꩻပွုံႏစံႏ
(၃) နွို့ခွုမ်မာꩻငီꩻသော့ꩻတွမ်ႏအစွိုꩻမာꩻသွိုဝင်ꩻထာꩻမာꩻဖေႏကလꩻ စီႏမံႏဖန်းဖြယ်လွေꩻ၊
(၄) အီႏမာꩻဗာႏ စီႏမံႏဖန်းဖြယ်ရေꩻယို ထူႏတာႏဝွန်ႏသား၊တာႏဝွန်ႏခံႏသား ဖုံႏသွူ။
==အစိုႏရခွုမ်မာꩻချက်==
အစိုႏရသီးခွုမ်မာꩻချက်ဖုံႏနဝ်ꩻ ကအွဉ်ႏထွော့ခါꩻဒါႏ ရေႏရွယ်ႏချက်ဖုံႏ၊ရေႏမိုႏချက်ဖုံႏ၊ဌာႏနဆဲင်ႏရာꩻအလွောက်ꩻ၊ရွုမ်ꩻကိုဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻ စီႏမံႏဖန်းဖြယ်မု၊ထာꩻမာꩻအစီႏအစဲန်ႏတွမ်ႏအစိုႏရထာꩻမာꩻဆဲင်ႏရာꩻ မာꩻပဲင်ႏခွင်ꩻအလွောက်ꩻ ဖောႏအနမ်းအခြုံ ထေင်းထမ်ႏမာꩻလွေꩻဗာႏသွူ။
==အစိုႏရထာꩻမာꩻသားထွို့ꩻဗူႏပွုံႏစံႏ==
အစိုႏရထာꩻမာꩻအလꩻ ကတယ်ႏဆို့ꩻလွေꩻမူဖုံႏယို ကျိုꩻဆောင်ႏခွုမ်မာꩻအီထာꩻမာꩻ ဖေႏကလွဥ်ရွဥ်အစွဲးအကမ်းအနယ်ꩻတဖူꩻ၊အစွိုꩻအဗူႏအကို သွုံꩻလွေꩻနေးတွမ်ႏဖန်းဖြယ်လို့ဝင်ꩻ ထာꩻမာꩻသွူ။လိုꩻတဲ့ဖေႏကသေအာတဖဲ့ꩻ၊ထာꩻမာꩻတဲ့အကျိုꩻဖေႏကအာတဖဲ့ꩻ ထာꩻမာꩻထွို့ꩻပွုံႏထွို့ꩻနယ်ꩻဖုံႏယို အစိုႏရအနေႏ လိုႏထွို့ꩻဗူႏလွေꩻဖေႏငါႏသွူ။
==နွို့ခွုမ်စံႏငီꩻတွမ်ႏအစွို့ꩻအဗူႏဖေႏကအဝ်ႏ စီႏမံႏဖန်းဖြယ်ပွုံႏ==
စီႏမံႏဖန်းဖြယ်ရေꩻဆဲင်ႏရာꩻ ထူႏတာႏဝွန်ႏလွေꩻဗာႏ၊
အွဉ်ငါသားဖေႏဗာႏအခွင်ꩻ၊
ယီးနယ်ဖေႏဗာႏ၊
ပက်စွို့ꩻကျိုꩻဆောင်ႏဖေႏဗာႏ၊
ဖန်းဗာႏလို့ဝင်ꩻတာႏဝွန်ႏ၊
ဒင်ႏနယ်ချာဗာႏ အစွိုꩻအဗူႏထာꩻမာꩻရဲဉ်ႏဖုံႏ၊သတင်ꩻမီဒီယာဖုံႏ၊အစွိုꩻအဗူႏကမာꩻဒါႏ ရေႏမိုးချက်စစွဥ်ႏ အစွိုꩻအဗူႏဆဲင်ႏရာꩻ ထာꩻမာꩻဖုံႏသွူ။
==ထူႏတာႏဝွန်ႏသား၊တာႏဝွန်ႏခံႏသားယို ခွုမ်စံႏဗာႏနုဲင်းမုဲင်ꩻ==
အစွိုꩻအဗူႏအကို ကအွဉ်ႏထွော့ခါꩻဒါႏစီꩻကန်ꩻမူဖုံႏယို အယံသွတ်ꩻယံထွာထာꩻမာꩻဖုံႏ၊ထာꩻမာꩻစဲဉ်ႏဖေႏကပေါႏလွဉ်၊ထူႏတာႏဝွန်ႏခံႏသား ဖေႏကထိန်ꩻတီလွေꩻရွုမ်ꩻအကိုဖဲ့ꩻတဲ့နဝ်ꩻ ပါတွမ်ႏစီႏမံႏဖန်းဖြယ်ဥပဒေသားဖုံႏ ထူႏတာႏဝွန်ႏကဏ္ဍပငါပရာꩻအလွောက်ꩻတဲင် မာꩻထင်ႏထိုတသွောင်းအီ ထာꩻမာꩻစဲဉ်ႏဖုံႏသွူ။
==အရွီးအခိုႏတွမ်ႏအဗွေႏ==
အရွီးအခိုႏတွမ်ႏအဗွေႏကရိုꩻယိုနဝ်ꩻ ထွာဒျာႏ ခမ်းသားတွမ်ႏထာꩻမာꩻအဗွေႏသားဖုံႏသွူ။ခမ်းသားထေကွန်ႏဖုံႏယို ဖေႏကလꩻလွေꩻအတာႏ ကျိုꩻဆောင်ႏဖေႏဗာႏတွမ်ႏစီႏမံႏဖန်းဖြယ် ဥပဒေႏအနယ်ꩻတဖူꩻအတွိုင်တဲင် အထူႏလꩻထူႏငါးဒါႏတဲ့နဝ်ꩻ၊ကဖေႏဒါႏအခွဉ်ႏတဲ့နဝ်ꩻ ဖေႏကငီႏတရျားအတာႏ အရွီးအခိုႏတွမ်ႏအဗွေႏယို ထွာအထျꩻနဝ်ꩻသွူ။
==ပြွူႏဖြွိုရေꩻကဏ္ဍ (၅)မျိုꩻ==
(၁) ပညာႏရေꩻဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏ၊
(၂) ခြွိုင်းသန်ꩻရေꩻဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏ၊
(၃) လိုꩻမုပြွူႏဖြိုရေꩻဖုံႏ၊
(၄) စီꩻပွာꩻရေꩻဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏ၊
(၅) စာရိတ္တမဏ္ဍိုင်ဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏယိုနဝ်ꩻသွူ။
==တွမ်ႏအခိန်ႏတတွောင်းချင်ႏ ဖောႏထန်ႏမာꩻလွေꩻအနမ်းအခြုံ==
ချꩻသꩻဆွုံꩻဖျတ်ခွုမ်စမ်ႏမာꩻလွေꩻ ဟဝ်ဟဝ်ဒါႏဒါႏတဲင် ကထွို့ꩻဗူႏခါꩻဒါႏ အစွိုꩻအဗူႏယန္တရားကို ခွုမ်စမ်ႏထေင်းထမ်ႏမာꩻမု၊ထေင်းထမ်ႏကမာꩻလွေꩻဒါႏအတွိုင်ꩻနဝ်ꩻလဲ့ ခံးစာꩻခွင်ꩻအကျိုꩻ တွိုႏသꩻမွိုင်ကွိုင်ထွူတဲင် ကွပ်ပွိုးကေႏလယ်ႏလျင်ႏငါႏမꩻ ယပ်ခုဲင်ႏမုဲင်ꩻတယဝ်း အရဲးအပါႏမုဲင်ꩻတရိုꩻတဝ်း နမ်းတွမ်ႏနမ်းအာႏကွိုꩻ ဖြေႏသျင်ꩻခွုမ်စမ်ႏအောင်ႏအောင်ႏမျင်ႏမျင်ႏလွေꩻနောဝ်ꩻသွူ။
==လွောက်ꩻနာႏတရာꩻဥပဒေႏဒို့ꩻတခြို့ရေꩻ==
တဖြာꩻစီႏလိုꩻယို ကခွုမ်စမ်ႏမာꩻဒါႏ ထာꩻမာꩻဖုံႏယို ဥပဒေႏနယ်ꩻအတွိုင်ꩻ ကအွဥ်ႏထွော့ခွုမ်စမ်ႏလွောက်ꩻနာႏမာꩻလွဥ်ꩻနဝ်ꩻ ဟဲ့ꩻဗာႏဥပဒေႏအသက်မွန် ဒို့ꩻတခြို့လွေꩻနောဝ်ꩻသွူ။တွမ်ႏတရာꩻဥပဒေႏ မွေး၊တမွေးတဝ်းအကျောငါꩻ ဖေႏကသေနွောင်ꩻ နုဲင်ႏငံႏတောႏကထေထန်ႏဒါႏ တရာꩻဥပဒေႏဖုံႏယို လိုꩻတွိုင်ꩻလိုႏသေနာႏဗာႏသွူ။ဖေႏကသေနာႏနောဝ်ꩻစားလဲ့ လိုꩻတွိုင်ꩻလဲ့တာႏဝွန်ႏအောဝ်ႏသွူ။
==နွို့ခွုမ်စမ်ႏမာꩻငီꩻ==
နွို့ပါငီꩻသော့ꩻကရိုꩻနောဝ်ꩻ ဟဝ်မို့ငါႏစီႏမံႏအုတ်ချွုတ်ရေꩻ အဓိကအချက်တဗာႏဒျာႏသွူ။လိုꩻတဖြာꩻစီႏ ထာꩻယူႏထာꩻထီႏဖုံႏ၊ခွုမ်ႏစမ်ႏကျိုꩻဆောင်ႏမုဖုံႏ၊ခွုမ်စမ်ႏမာꩻလွေꩻနဝ်ꩻအတွိုင်ꩻလောင်းကီ အမျာꩻအတာႏအကျိုꩻတရာꩻခံးစာꩻခွင်ꩻလꩻဗာႏ နမ်းတွမ်ႏနမ်းအနီꩻအရငါꩻ၊အနယ်ꩻပညာႏကေႏလယ်ႏမုယို ဖေႏမာꩻခွင်ꩻ၊ဖေႏအခွင်ꩻအရေꩻနဝ်ꩻစားသွူ။အခေႏအနေႏနုဲင်းမုဲင်ꩻတယဝ်း အဆင်ႏရန်းမျိုꩻမုဲင်ꩻတယဝ်း ခမ်းထီ၊ဒုံဆောင်ႏရပ်ရာႏ အမျာꩻအကျိုꩻတာႏ နွောင်ꩻရာꩻကူႏညီႏထေင်းထမ်ႏကိုနောဝ်ꩻ နွို့ပါငီꩻသော့ꩻဗာႏနောဝ်ꩻ တန်ႏဖိုꩻတန်အခရာႏ ယော့ဆုံးငါႏနောဝ်ꩻသွူ။
==မဏ္ဍိုင်(၅)ဗာႏ==
လိုꩻအစွိုꩻအဗူႏတဗာႏတွမ်ႏခမ်းထီတဖြုံႏလိုမ်းယို မဏ္ဍိုင်ငတ်ꩻဗာႏ ပါသော့ꩻသွူ။အနယ်ꩻပညာႏဖဲ့ꩻတဲ့နောဝ်ꩻ၊ဒီမိုကရေစီအနယ်ꩻတဲ့နောဝ်ꩻ အတာႏဆွာꩻခွေါင်ခံႏအီအတာႏ အရေꩻကီꩻသွတ်ꩻတွမ်ႏ အဓိကအကျသွတ်ꩻနောဝ်ꩻ ဥပေဒေႏတဲမ်းထွို့ꩻရေꩻမဏ္ဍိုင်နဝ်ꩻ ထွာအဓိကမဏ္ဍိုင်သွူ။
==ပဥ္စမမဏ္ဍိုင်==
ယိုနောဝ်ꩻ ထွာဒျာႏ ခမ်းသားမွိုးဖာမဏ္ဍိုင်ဒျာႏသွူ။ခမ်းသားတွိုင်ꩻ တွမ်ႏဥပဒေႏအဗွိုန်လွောက်ꩻလို့ဝင်ꩻ အွဥ်ႏတန်ႏဖိုꩻကအဝ်ႏဒါႏ လိတ်လုဲင်ꩻယေန်ႏငဲးမု၊အနုပညာႏတွမ်ႏထွုံꩻစံꩻဓလေ့ဖုံႏယို တခြင်ခြင် ကျိုꩻစာꩻလွူးထန်ႏ ကျိုꩻဆောင်ꩻခွင်ꩻအဝ်ႏဒျာႏသွူ။ကွဲတွော့ꩻ ကျိုꩻဆောင်ႏလွေꩻနဝ်ꩻစားအတွိုင်ꩻဖုံႏ ခမ်းရင်ꩻသားလွောင်ႏဗူႏဖြွမ်းဗူႏမုဖုံႏအတာႏ ဗာႏဆာခွင်ꩻ သျောင်ႏလဲ့ꩻထိုꩻညာꩻဗာႏသွူ။
ခမ်းသားနုဲင်ႏငံႏတွိုင်ꩻ
(က) အမျိုꩻသာꩻယေန်ႏငဲးမု အမွီႏလီꩻဖုံႏယို ထိန်ꩻထွားရဲးကမ်းဗာႏ၊
(ခ) သဘာႏဝသောင်ရင်ꩻဖုံႏလဲ့ ထိန်ꩻထွားရဲးကမ်းဗာႏ၊
(ဂ) လိုꩻအနီꩻအရင်ꩻ ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုတာႏ ဖေႏကထိုတသွောင်းနဝ်ꩻ ကျိုꩻစာꩻဗာႏ၊
(ဃ) လိုꩻအာအမျာꩻပဲင်ႏဆဲင်ႏ တခြိုꩻဥစ္စာႏဖုံႏယို ထိန်ꩻထွားရဲးကမ်းကိစ္စဆဲင်ႏရာꩻ နုဲင်ႏငံႏတောႏကူႏညီႏဖေႏတာႏ တာႏဝွန်ႏအဝ်ႏဗာႏသွူ။
(င) အနယ်ꩻပညာႏအရင်ꩻခံႏ ဖေႏကဖောႏထန်ႏလွေꩻအနမ်းအခြုံနောဝ်ꩻလဲ့ နုဲင်ႏငံႏတောႏ စွဲးကမ်းဖေႏအာႏဗာႏ၊အတာႏဆွာꩻအုပ်ချွုတ်ရေꩻအတာႏ ခမ်းသားတွမ်ႏနုဲင်ႏငံႏတောႏအစိုႏရယို လိုႏအပ်ငါႏခွုမ်မာꩻငီꩻလို့ဝင်ꩻထာꩻမာꩻသွူ။
==ကဟဝ်မို့ငါႏ စီႏမံႏအုပ်ချွုတ်ရေꩻ==
ခမ်းထီမဏ္ဍိုင်ပြွူႏဖြွိုထင်ႏထိုတာႏ ခမ်းသားမွိုးဖါအနယ်ꩻပညာႏထာꩻသေဖုံႏယို လိုႏအပ်ငါႏနေနေသွူ။အုပ်ချွုတ်အခန်ꩻကဏ္ဍကို စီႏမံႏအုပ်ချွုတ်သား ကဟဝ်မို့ငါႏ ထိန်ꩻထွားရေꩻနောဝ်ꩻ နုဲင်ႏငံႏတန်အရန်း သိပ္ပံပညာႏသျင်ႏ ပါကစ္စတန်ခမ်းသား ဒေါက်တာတာရစ်ဟူစိန်နောဝ်ꩻ ဖေႏခါꩻအကျံႏဥာဏ်ႏဟောဝ်အဝ်ႏသွူ။
(က) တွိုင်ႏပင်ႏအုံကိုမ်ဒေါ့ꩻရီလွေꩻ ဆွုံꩻဖျတ်လွေꩻသဖော်ꩻဗွိုန် ခွုမ်စမ်ႏမာꩻ၊
(ခ) တာႏဝွန်ႏတာႏဝွန်ႏခံႏထူႏဗာႏ၊သျင်ꩻလျင်ꩻနယ်ဖေႏဗာႏစာႏရင်ꩻ၊
(ဂ) လိုꩻအမျာꩻ ဖေႏကသေအာတာႏ ထာꩻထီႏသျင်ꩻစဲင်း၊ဖြွောင်ဒေါင်မုအဝ်ႏဗာႏ၊
(ဃ) ညီႏညီႏတရျားရျား ကားကအောဝ်ႏနွို့ပါငီꩻ ခွုမ်စမ်ႏမာꩻကိုဗာႏနောဝ်ꩻမꩻ ကရေႏမိုးဒါႏ ဟဝ်မို့ꩻလွေꩻ စီႏမံႏအုပ်ချွုတ်ရေꩻနောဝ်ꩻ ထွာလꩻဗာႏသွူ။
==စီႏမံႏဖန်းဖြယ် သတင်ꩻအချက်အဗာႏအနယ်ꩻပညာႏ==
သတင်ꩻအချက်အဗာႏ အနယ်ꩻပညာႏဖုံႏယို ခမ်းသားစီႏမံႏဖန်းဖြယ်ရေꩻအလောင်း တွိုႏသမုဖုံႏ တဲက်ထွားလွေꩻဗာႏနောဝ်ꩻ နုဲင်းဆလယိုသွူ။
ကွန်ပျူတာကွန်ယဲက်တွမ်ႏအင်တာနက်၊
အစွိုꩻအဗူႏ လိုꩻပုဂ္ဂိုလ်ႏတဖြာꩻအလောင်း စုရွမ်ခါꩻသတင်ꩻဌာႏနပေႏတဗာႏ၊
လွောက်နာႏလွေꩻဗာႏ သွုံꩻအင်တာနက် ကျင်ꩻဝွတ်ဆဲင်ႏရာꩻဖုံႏ၊
စီႏမံႏဖန်းဖြယ်လွေꩻ သတင်ꩻအချက်အဗာႏ၊
အစွိုꩻအဗူႏအကိုတွမ်ႏအထန်ႏဖဲ့ꩻဆဲင်ႏရာꩻ အစွိုꩻအဗူႏ ဖန်းဖြယ်ချာငါလို့ဝင်ꩻသတင်ꩻဖုံႏ၊
နုဲင်းအချက်ဆꩻကီယိုအတွိုင်ꩻ ခွုမ်စမ်ႏဆောင်ႏရွက်လွေꩻနောဝ်ꩻ
ခမ်းသားရေꩻရာႏစီႏမံႏဖန်းဖြယ်မုယို ထဲ့သင်စရိပ်ဆေ့ꩻထွူတဲင် အထိုသွတ်ꩻလလဒ်ꩻဖေႏကပေါႏထန်ႏကျိုႏဆောင်ႏနွောင်ꩻ။
ရေႏရွယ်ႏချက်အတွိုင်ꩻနောဝ်ꩻလဲ့ တွိုႏသထွူသွတ်ꩻကျိုꩻဆောင်ႏမာꩻနွောင်ꩻ။
ထာꩻမာꩻကားကအဝ်ႏ တွမ်ႏအထီသွီႏဗွေဗွေ ခွုမ်စမ်းမာꩻနွောင်ꩻဗာႏ၊၊
အမျာꩻတဲ့သေ၊ထာꩻထီႏတဲ့သျင်ꩻ ကကျိုꩻစာꩻအတွိုင်ꩻ ထီႏထွꩻသေထွꩻဗာႏ၊၊
ဖန်းဖြယ်သတင်ꩻ၊အနယ်ꩻပညာႏအီလက်စရွန်းနစ်အစွိုꩻအဗူႏ တွိုႏသတွိုႏခြောင်ꩻအီဗာႏနောဝ်ꩻသွူ။
==သွုံꩻပျုသတင်ꩻအချက်အဗာႏအနယ်ꩻပညာႏ==
သွုံꩻလွေꩻသွူအနယ်ꩻပညာႏ သတင်အချက်အဗာႏဖုံႏ ဆꩻလနောဝ်ꩻအတွိုင်ꩻ သတိရောင်ဗာႏနောဝ်ꩻသွူ။
ပထမတနယ်ꩻနောဝ်ꩻ သတင်ꩻအချက်အဗာႏအနယ်ꩻပညာႏနောဝ်ꩻတဲ့ အဝ်ႏတဖူꩻနယ်ꩻတလီးလွုမ်ꩻသွူ။ကာꩻ၊စက်၊ကူꩻလိတ်မိတ္တူတွမ်ႏနဝ်ꩻစား တပီတဝ်းဝင်ꩻသွူ။ဖြေꩻတခြိုꩻဖုံႏယို အီႏသွုံꩻလွေꩻခင်ႏလမ်းမုဲင်ꩻကို ထွုမ်ႏထောင်ထွားနဝ်ꩻစား တမွေးတဝ်းတဲင် ခါးလားကဖြေꩻတခြိုꩻ လိုႏအပ်ဒါႏကလွောက်ꩻဖက်တခြိုꩻဖုံႏယို လွိုက်ရွေꩻဖြေꩻဖေႏဗာႏသွူ။သတင်ꩻအချက်အဗာႏအနယ်ꩻပညာႏယဟန်ႏနောဝ်ꩻ ခွုမ်စမ်ႏကျိုꩻဆောင်ႏလွေꩻ ခဲတံ၊စေးလာႏ၊တွမ်ႏဖုန်းသွုပ်သွယ်ႏလွေꩻ၊ခွဲတေားထေ့ဝင်ꩻ အုံကိုမ်ဒေါ့ရီ၊ထွားလိတ်တွိုက်ကို ထူႏကူꩻနေးသတင်ꩻအချက်အဗာႏအနယ်ꩻတဖူꩻယိုစား သွုံꩻအပ်လိုႏအပ်ကနောဝ်ꩻသွူ။သိပ္ပံအနယ်ꩻပညာႏသျင်ႏနောဝ်ꩻ တွမ်ႏကွန်ပျူတာယို ဒင်ႏခါꩻနေးမတ်တန်ꩻအယံသွတ်ꩻနောဝ်ꩻသွူ။ဒုတိယအချက်နောဝ်ꩻ ခမ်းသားလိုႏအပ်ချက်ဖုံႏယို လိုႏအွဥ်ႏနယ်နွောင်ꩻထွူတဲင် ခမ်းထီတန်အရန်းသား သတင်ꩻအချက်အဗာႏဖုံႏယို တွမ်ႏအမဲန်ႏတရာꩻစွို့ꩻစွို့ꩻဖေႏကထီႏထွꩻဗာႏနောဝ်ꩻ လိုႏတယ်ႏဆို့ꩻဖေႏခါꩻငါႏသွူ။
ကအုံနောင်လိတ်စောင်ႏနောဝ်ꩻ <ref> Research skills : Introductory Skills for Social Researchers, Student's Book မော်ဂန် မက်ခ်ဒေါ်နယ်၊အောင်ဇော်မျိုး </ref>
===အုံနောင်===
[[Reflist ]]
[[Category:BLK]]
[[Category : ထွားဖတ်ခရာႏ]]
d1h4dmsjfgzh2wfbepb4czng728hy82
El cos dels nombres reals Bat
0
55864
386100
386096
2026-08-24T18:20:17Z
Profev
36331
+Detalls
386100
wikitext
text/x-wiki
{|align="right"
|<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span>
|}
Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat.
== Introducció ==
'''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:
::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math>
:Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem:
:::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math>
:Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math>
:Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math>
Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.
== Els nombres real ==
Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.
:<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math>
De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.
:<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math>
=== Propietats 1 ===
'''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si:
1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació suma és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math>
::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math>
:e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que:
::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math>
::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math>
2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math>
::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math>
:e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math>
::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math>
3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math>
4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math>
:b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math>
:c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math>
:d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math>
5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math>
:b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math>
==== Exercicis ====
1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:
{|
|width="5px"|
|width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math>
|width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math>
|width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math>
|width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math>
|-
|||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math>
|f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math>
|g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math>
|h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math>
|-
|||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math>
|j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math>
|k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math>
|l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math>
|}
=== Potències ===
{|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math>
|}
'''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^1 =& a \\
\color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\
\color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\
\vdots & \\
\color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\
a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\
\vdots & \\
\hline
\end{array}</math>
La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva.
;Sintaxi
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència.
|-
|Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment.
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe.
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math>
|}
Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los.
|}
;Tipografia
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència.
|-
|
*Calculadora segons les tecles:
::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #000;"|7
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|^
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|5
|width="10px"|
|és equivalent a <math>7^5</math>
|}
::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #000;"|7
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span>
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|5
|width="10px"|
|és equivalent a <math>7^5</math>
|}
*Programació segons el llenguatge:
::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math>
::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math>
:*Notació científica per a C, C++, JS i Python:
::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math>
::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math>
*Latex per escriure documents d'alt nivell dins de:
::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math>
::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math>
|}
==== Propietats 2 ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\
-a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll}
(-a)^1 = & -a \\
(-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\
(-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\
\vdots & \\
(-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\
(-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n),
\end{array}</math>
|}
|}
'''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^{-1}= & \frac{1}{a} \\
\hline
\end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math>
==== Propietats 3 ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math>
<math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem:
<math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math>
O de forma extendida:
<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math>
De forma extendida aparecen tres casos:
<math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix}
\frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n
\end{matrix}\end{cases}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math>
L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math>
Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math>
L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math>
Per tant queda com a una sola potència.
'''Test'''
La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig:
:<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math>
L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math>
'''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math>
'''Test'''
S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt:
<math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math>
Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament.
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math>
:<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math>
Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math>
|}
|}
3) Simplifica al màxim:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base:
Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math>
Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math>
Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius:
:<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math>
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math>
|width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math>
|width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math>
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math>
|width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math>
|width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math>
|}
=== Arrels ===
Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita.
'''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple:
:És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math>
:És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math>
L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math>
No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref>
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center"
|<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math>
|}
'''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|'''Justificació''' <math>\rightarrow</math>
|-
|Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math>
|}
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math>
|-
|
{|cellspacing="0" cellpadding="0"
|Índex
|||||Radical
|-
|||<math>\searrow</math>
|||align="left"|<math>\swarrow</math>
|-
|||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span>
|colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel.
|-
|||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math>
|-
|||||colspan="4"|Radicant
|}
<math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math>
<math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math>
<math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math>
i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... .
|}
==== Propietats 4 ====
1) No sempre hi ha arrels:
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math>
|style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math>
|}
'''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math>
2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''.
3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe.
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m parell
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m imparell
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math>
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul
:<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa.
:<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix.
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix.
No fa falta prova.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu.
:<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul.
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Confirma que existeix i calcula:
{|
|width="5px"|
|width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math>
|width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math>
|width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math>
|width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math>
|-
|||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math>
|f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math>
|g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math>
|h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math>
|}
==== Propietats 5 ====
Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula:
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Simplificacions:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Es converteix a notació de potències per unificar-les
<math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math>
Apliquem propietat 1 simplificant:
<math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math>
Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math>
'''Curiositat'''
Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir:
<math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math>
Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math>
Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències
:<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math>
Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels:
:<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math>
Ara tornem a aplicar la propietat
:<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math>
'''Curiositat'''
<math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math>
en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda:
1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
casualment amb una mica d'ull:
:<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Mateixa base per tant apliquem propietat 5
:<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem propietat 6
:<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math>
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas:
{|
|width="5px"|
|width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math>
|width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math>
|width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math>
|width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math>
|-
|||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math>
|f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math>
|g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math>
|h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math>
|-
|||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math>
|j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math>
|k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math>
|l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math>
|-
|||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math>
|n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math>
|o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math>
|p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math>
|-
|||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math>
|r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math>
|s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math>
|t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math>
|}
==== Racionalització ====
En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en
===== Propietats 6 =====
====== Exemples ======
====== Exercicis ======
== Notes ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
dosft3kv1j4j2k235fp85f5793jg1ku
386102
386100
2026-08-25T07:27:07Z
Profev
36331
+
386102
wikitext
text/x-wiki
{|align="right"
|<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span>
|}
Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat.
== Introducció ==
'''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:
::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math>
:Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem:
:::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math>
:Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math>
:Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math>
Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.
== Els nombres real ==
Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.
:<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math>
De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.
:<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math>
=== Propietats 1 ===
'''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si:
1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació suma és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math>
::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math>
:e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que:
::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math>
::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math>
2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math>
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math>
::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math>
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math>
:d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math>
::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math>
:e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math>
::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math>
::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math>
3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math>
4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math>
:b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math>
:c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math>
:d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math>
5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors:
:a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math>
:b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math>
==== Exercicis ====
1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:
{|
|width="5px"|
|width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math>
|width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math>
|width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math>
|width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math>
|-
|||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math>
|f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math>
|g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math>
|h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math>
|-
|||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math>
|j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math>
|k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math>
|l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math>
|}
=== Potències ===
{|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math>
|-
|style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math>
|}
'''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^1 =& a \\
\color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\
\color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\
\vdots & \\
\color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\
a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\
\vdots & \\
\hline
\end{array}</math>
La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva.
;Sintaxi
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència.
|-
|Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment.
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe.
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math>
|}
Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los.
|}
;Tipografia
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència.
|-
|
*Calculadora segons les tecles:
::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #000;"|7
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|^
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|5
|width="10px"|
|és equivalent a <math>7^5</math>
|}
::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|style="border: 1px solid #000;"|7
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span>
|width="10px"|
|style="border: 1px solid #000;"|5
|width="10px"|
|és equivalent a <math>7^5</math>
|}
*Programació segons el llenguatge:
::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math>
::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math>
:*Notació científica per a C, C++, JS i Python:
::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math>
::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math>
*Latex per escriure documents d'alt nivell dins de:
::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math>
::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math>
|}
==== Propietats 2 ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\
-a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll}
(-a)^1 = & -a \\
(-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\
(-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\
\vdots & \\
(-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\
(-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n),
\end{array}</math>
|}
|}
'''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:
<math>\begin{array}{|c l|}
\hline
a^{-1}= & \frac{1}{a} \\
\hline
\end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math>
==== Propietats 3 ====
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math>
<math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem:
<math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="95px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math>
O de forma extendida:
<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math>
|}
|style="border: 1px solid #00f;" width="160px"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math>
De forma extendida aparecen tres casos:
<math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix}
\frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n
\end{matrix}\end{cases}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math>
L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math>
Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math>
L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math>
Per tant queda com a una sola potència.
'''Test'''
La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig:
:<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar"
|b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math>
L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math>
'''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math>
'''Test'''
S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt:
<math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math>
S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math>
Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament.
Es seleccionen elements que es poden agrupar com:
:<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math>
:<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math>
Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math>
|}
|}
3) Simplifica al màxim:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base:
Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math>
Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math>
Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius:
:<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math>
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math>
|width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math>
|width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math>
|}
2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:
{|
|width="5px"|
|width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math>
|width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math>
|width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math>
|}
=== Arrels ===
Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita.
'''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple:
:És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math>
:És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math>
L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math>
No feu cas de <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> molt abundant.</ref>
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center"
|<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math>
|}
'''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|'''Justificació''' <math>\rightarrow</math>
|-
|Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math>
|}
{|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math>
|-
|
{|cellspacing="0" cellpadding="0"
|Índex
|||||Radical
|-
|||<math>\searrow</math>
|||align="left"|<math>\swarrow</math>
|-
|||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span>
|colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel.
|-
|||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math>
|-
|||||colspan="4"|Radicant
|}
<math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math>
<math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math>
<math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math>
i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... .
|}
==== Propietats 4 ====
1) No sempre hi ha arrels:
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math>
|style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math>
|style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math>
|}
'''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math>
2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''.
3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe.
{|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff"
|style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|
|style="border: 1px solid #88e;"|n parell
|style="border: 1px solid #88e;"|n imparell
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m parell
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #88e;"|m imparell
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math>
|style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul
:<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa.
:<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix.
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix.
No fa falta prova.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució'''
Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu.
:<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math>
'''Prova'''
El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul.
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Confirma que existeix i calcula:
{|
|width="5px"|
|width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math>
|width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math>
|width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math>
|width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math>
|-
|||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math>
|f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math>
|g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math>
|h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math>
|-
|||f) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math>
|g) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math>
|h) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math>
|i) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math>
|}
==== Propietats 5 ====
Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula:
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math>
|}
===== Exemples =====
1) Simplificacions:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Es converteix a notació de potències per unificar-les
<math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math>
Apliquem propietat 1 simplificant:
<math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math>
Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math>
'''Curiositat'''
Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir:
<math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math>
Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math>
Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències
:<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math>
Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels:
:<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math>
Ara tornem a aplicar la propietat
:<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math>
'''Curiositat'''
<math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math>
en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda:
1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
casualment amb una mica d'ull:
:<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Mateixa base per tant apliquem propietat 5
:<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació'''
Apliquem propietat 6
:<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math>
|}
|}
===== Exercicis =====
1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas:
{|
|width="5px"|
|width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math>
|width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math>
|width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math>
|width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math>
|-
|||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math>
|f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math>
|g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math>
|h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math>
|-
|||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math>
|j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math>
|k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math>
|l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math>
|-
|||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math>
|n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math>
|o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math>
|p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math>
|-
|||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math>
|r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math>
|s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math>
|t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math>
|}
==== Racionalització ====
En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs.
===== Propietats 6 =====
;1.- Extracció de factors d'un radical
'''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem:
:<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\,3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math>
'''Mètode''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de n hi ha a m? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat '''r''':
:<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math>
{|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff"
|-
|style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math></math>
|style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math></math>
|-
|style="border: 1px solid #00f;"|<math></math>
|style="border: 1px solid #00f;"|<math></math>
|}
====== Exemples ======
====== Exercicis ======
== Notes ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
6f4e13dw3x47ntxy6x330yolmyueewj