Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 8 4900 386243 373390 2026-09-14T19:56:53Z Neriah 47572 [[phab:T298199]] 386243 wikitext text/x-wiki ==General== * BiDiEditing|BiDiEditing.js * ShortLink|ShortLink.js == browsing-gadgets == * HideFundraisingNotice[type=styles]|HideFundraisingNotice.css * popups|popups.js|popups.css * EnhancedTalk[type=styles]|EnhancedTalk.css * Round Corners[type=styles]|Round Corners.css * purge[dependencies=mediawiki.util]|purge.js * contribsrange[dependencies=mediawiki.util]|contribsrange.js * HotCat|HotCat.js == appearance == * ProjectSpecificLogos[default]|ProjectSpecificLogos.js * edittop[dependencies=mediawiki.util]|edittop.js * UTCLiveClock|UTCLiveClock.js 547oi42vpb1ttiphyj6dtiofknbsam8 0 37260 386240 385179 2026-09-14T16:23:04Z Fadams 13365 386240 wikitext text/x-wiki ==Общо== Селскостопанските животни са важна част от фермата. Хранят се със специфичен фураж. Животните могат да бъдат облечени или голи. Дрехите за животни могат да бъдат получени от платения ред на пропуска. Някои дрехи се получават безплатно. Съществуват сезонно облекло. Шапките биват: *розова шапка за рожден ден *зелена вълнена шапка *розова каубойска шапка *императорска шапка *кафява алпийска шапка *заешки уши *шапка с въртолет *парти шапка за рожден ден *бежова каубойска шапка *зелена алпийска шапка *шапка с пухена топка *кафява каубойска шапка *червена вълнена шапка *червена елфска шапка *синя императорска шапка *бейзболна шапка *зелен цилиндър *шапка с чадърче *пътническа шапка с пухена топка *звездовидна шапка от балон *кокошкообразна шапка от балон *моряшка шапка с пухена топка *коркова твърда шапка *шапка за катарама *шапка-прилеп *шапка с ръце *зелена елфска шапка *полицейска шапка *дъгоцветна корона *шлем с крила *канотие с перо *шапка-пиле *колоездачна каска *шапка за рожден ден с пухена топка *рибарска шапка *шапка-рак *зелено канотие *коннишка шапка *викингски шлем *зимна шапка-снежен човек *зимна шапка-ушанка *празнична шапка за рожден ден *разноцветна шапка за рожден ден *диадема със сърчица *шапка с детелина *морковена шапка *шапка на вълшебника *цветна шапка *модна перука *сламена шапка *лавров венец *сива алпийска шапка *диадема с прилепи *шапка с пуйка *парадна шапка *диадема със снежинки *шапка с изкуствена кожа *шапка с цветя *диадема с пеперуди *шапка-жаба *диадема за Деня на земята *цветна диадема *хипарска шапка *цветен венец *кожена каубойска шапка *слонска шапка *градинска шапка *мексиканска шапка *станиолова шапчица *зимен венец *плетена шапка *шапка за сауна *диадема с кутийка сърчице *шапка за Международен ден на жената *шапка-черупка *цилиндър с цвят *шапка в стил кънтри *шапка от Дивия запад *перука на пудел *дантелена шапка ==Кокошки (''Gallus gallus domesticus'')== Отключват се още в началото на играта. Дават яйца. Има целогодишна ограда в раздел за украшения. ==Крави (''Bos primigenius taurus'')== Отключват се в шесто ниво. Дават мляко. Има целогодишна ограда в раздел за украшения. ==Прасета (''Sus scrofa domestica'')== Отключват се в десето ниво. Дават бекон. ==Овце (''Ovis orientalis aries'')== Отключват се в шестнадесето ниво. Дават вълна. ==Агнета (''Ovis orientalis aries'')== Отключват се в двадесет и пето ниво. Дават агнешки ребърца. ==Кози (''Capra aegagrus hircus'')== Отключват се в тридесет и второ ниво. Дават козе мляко. [[Category:Хей Дей]] [[Category:BG]] ed2gucquq9kzuegv34y6cb83yseiljv 0 40170 386242 385181 2026-09-14T16:28:30Z Fadams 13365 /* Видове магазини */ 386242 wikitext text/x-wiki Има достъп с камион до долината, когато е залепен плакатът на таблото и върви сезонът. Отключва се двадесет и пето ниво. ==Дневни задачи== Дневните задачи се извършва само в територията на долината. На един ден са поставени четири задачи. Дневните задачи биват: *събиране на няколко жетона със специфичен цвят; *завършване на няколко поръчки в долина; *каране през спирки или при сградите; *помощ в дружествена поръчка; *завъртане на колелото за набавяне на гориво *неколкократно доставяне *посещение на някои сгради от един вид *ремонт на закъсали камиони (остаряла) *събиране на кокошки или прибиране на животните. С няколко завършени задачи има късметлийски набавки. Една късметлийска набавка има три рунда. Всеки рунд има награди и поне една бомба. Ако не се докосне бомбата ще бъдат спечели награди. Ако се получи бомба, всички награди ще се изгубят. За продължаване на рунда се използват диаманти. ==Презареждане на камиона== Всеки ден дава безплатно гориво. За набавяне на гориво, трябва да се завърти колелото. Трябва да се завършват най-малко три слънчеви действия за деня, за да се отключи едно завъртане на колелото. Повтарят се след завършването им. След току-що се отключи завъртането продължават да се събират слънцата. Следващото завъртане струва диаманти. Слънчевите действия биват: *посаждане на земеделски култури; *хранене на животни; *завършване на поръчки за камиона; *хващане на няколко риби; *залагане на мрежи и капани за омари и патици; *завършване на дерби задачи. ==Сгради и спирки== Всяка спирка харчи един обем гориво. Сградите се делят на четири вида: къщи, обществени сгради, горивници и зоопаркове. Когато пътувате до желана сграда, пътьом се събират кокошки или се приберат диви животни или се поправят закъсали камиони. В някои случаи дивите животни могат да избягат от камиона. Съществува специален вид сгради - горивница, където камионите са зареждат с гориво. ==Магазин== ===Жетони=== Жетоните са валути с различни цветове и различни форми. Има ограничение в склада. При изпълнение на поръчки част от жетони отиват в касичката. Касичката се отваря в края на сезона. Неизползваните жетони се прехвърлят в касичка като резерв за следващия сезон. ===Видове магазини=== Обикновеният магазин е целовременен. Има секции, който се отключват поетапно. Сезонният магазин се отключва, когато се събират няколко десетки кокошки или се прибират няколко десетки диви животни в зоопаркове. В изпитание в този магазин се предлагат сезонни украшения, парчета от пъзел, разрешителни. Предлагат се диаманти, украшения и ускорители. Поредица „Транспортни средства“: *кола *влак *лодка *самолет *тротинетка *балон Поредица „Животни с роли“ *прасе турист *крава капитан *коза на ролери *кокошка гмуркач *овца на скейтборд *прасе сърфист *кокошка подводен гмуркач *кокошка изследовател *овца скиор Поредица „Обиколи света“ *златен слон *крава с брецел *пустинно куче *прасешка кула *дамска статуя *овца-лос *желязна кула *коза изпълнител *перната статуя *скъпоценна корона *пещерни рисунки *цветни кули *каменна стена *златни стълбове *късметлийска овца *мирна вятърна мелница *фонтан с риба *изрисуван кон *фонтан с катерица *свински колос *каменен храм *златна топка *русал Грег *място на разкопките *пъстроцветен петел *езерце със статуя на трол *коза с панфлейта *пустинен пазар *крава със сирене *глуха камбана *пчелна безметежност *ездач на кучета *пазители на планината *коза вампир *майка родина *еленска колибка *кафе със себе си *фенове на ръгби *народен танц *патици с кошници *моторикша на Грег *вълнени близнаци *дърво с гривни *коза футболистка *улични търговци *ремонт на часовници *ярки килими *овца на скала *алпийски връх *коралов риф *хранене на папагали *гнездо на комина *каменни лемури *пресни сирена *пъстроцветен гоблен *уютна юрта *разноцветни маски *храм на спокойствието *пъстроцветна колибка *бране на малинки *продавач на боб *паметник на жътварите *термален басейн *слънчеви макове *блестящ оратор *дружелюбен дракон *страшен тигър *арка за алпаки *две панди ==Пейзажи== *кокоша долина - изпитателен (нулев), първи, втори, трети, четвърти, пети, седми, девети, единадесети, тринадесети, петнадесети, седемнадесети, деветнадесети сезон и т.н. *зоопарк - шести, осми, десети, дванадесети, четиринадесети, шестнадесети, осемнадесети, двадесети сезон и т.н. ==Времетраене== По принцип сезон на долината трае три седмици. Петдесет и деветият сезон е една седмица по-къс. Сезонът започва в четвъртото число от месеца и свършва в двадесет и петото число от месеца. Изключения правят първите двадесет сезона и петдесет и деветият сезон. [[Category:Хей Дей]] [[Category:BG]] j6ug097t7zv0qxo216603zwk6l4u403 0 48377 386247 375925 2026-09-15T05:55:03Z Profev 36331 /* Resum de límits */ 386247 wikitext text/x-wiki [[File:Taylor del sen x v01.png|1000px]] Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions. Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment. * Symbolab. === Resum de límits === Donada la funció <math>f(x)</math> i un valors <math>a\in \mathbb{R}</math> direm que: :<math>\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L</math> és el límit de la funció <math>f(x)</math> quan la seva <math>x</math> s'apropa contínuament al valor <math>a</math> i en direm <math>L.</math> [[File:Límite básico m1.svg|400px]] Notes: *El valor <math>a</math> no cal que sigui del domini sinó que almenys la <math>x</math> es pugui apropar indefinidament. *Si la <math>x</math> s'acost amb valors <math>x<a</math> direm que és el límit lateral: ::<math>\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = L_1</math> *Si la <math>x</math> s'acost amb valors <math>a<x</math> direm que és el límit lateral: ::<math>\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = L_2</math> *Un límit sobre <math>x\in\mathbb{R}</math> existeix, si i només si, <math>L_1=L_2</math> *Si el valor <math>a</math> està dins del domini, <math>a\in Dom(f),</math> llavors si la funció és '''contínua''' en '''a''' segur que: ::<math>\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)</math> === Límits amb funcions elementals === Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Curiositats" data-collapsetext="Ocultar" |- |width="350"|1) <math>f(x)=x^r</math> |- |style="border: 1px solid #ddf; background:#fff"| Cas <math>0<r</math> on <math>r\in\mathbb{R}</math> es té: :<math>\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = +\infty</math> Cas <math>r<0</math> on <math>r\in\mathbb{R}</math> es té: :<math>\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = 0</math> :<math>\lim_{x\rightarrow 0^+} x^r = +\infty</math> Cas <math>1\leqslant r</math> on <math>r\in\mathbb{N}</math> es té: :<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = +\infty, r\,\, parell</math> :<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = -\infty, r\,\, imparell</math> Cas <math>r=\frac{1}{q}</math> on <math>q\in\mathbb{N}</math> i <math>1\leqslant q</math> es té: :<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = No\;existeix,\; q\,\, parell</math> :<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = -\infty,\; q\,\, imparell</math> |} === Operacions de límits com a aplicació === Si <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=L_f</math> i <math>\lim_{x\to a}{g(x)}=L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}+\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f+L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(b\cdot f(x)\right)}=b\cdot\lim_{x\to a}{f(x)}=b\cdot L_f, b\in\mathbb{R}</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\cdot\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f\cdot L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{L_f}{L_g}</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\left(L_f\right)^{L_g}</math> ==== Operacions amb límits de funcions ==== Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara. {|class="wikitable center" |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_f=</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>a\ne 0</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_g=</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>L_f+L_g</math> |<math>0</math>||<math>b</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>a</math>||<math>a+b</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>-\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>L_f\cdot L_g</math> ||<math>0</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>a\cdot b</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>-\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>\frac{L_f}{L_g}</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\frac{a}{b}</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| |} {|class="wikitable center" |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_f=</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0^+</math> |colspan=3 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<a<1</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>1</math> |colspan=3 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>1<a</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_g=</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>{L_f}^{L_g}</math> ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>+\infty</math>||<math>a^b</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>1</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>a^b</math>||<math>+\infty</math>||<math>0</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |} ==== Límits amb propietats bàsiques ==== {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |1) Càlcul de límits si <math>f(x)=x.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} x= 0,</math> també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que <math>f(0)=0.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow r} x= r,</math> també es pot dir que el límit és r per substitució ja que <math>f(r)=r.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty,</math> pràcticament per definició de <math>x.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty,</math> pràcticament per definició de <math>x.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |2) Càlcul de límits si <math>f(x)=3,</math> anomenada funció '''constant'''. |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} 3= 3,</math> també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que <math>f(0)=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow r} 3= 3,</math> també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que <math>f(r)=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} 3=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} 3=3.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |3) Càlcul de límits si <math>f(x)=x^2-1.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 2} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 2}\left( x^2-1\right)= 2^2-1.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x^2-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x\cdot x-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow -\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)</math> <math>=(-\infty)\cdot(-\infty)-1</math> <math>=+\infty-1=+\infty.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x^2-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x\cdot x-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)</math> <math>=(+\infty)\cdot(+\infty)-1</math> <math>=+\infty-1=+\infty.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |4) Càlcul de límits si <math>f(x)=5\cdot\sqrt{x}.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 4} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 4} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{4}=5\cdot2=10.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{0}=5\cdot0=0.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right),</math> no és possible que <math>x</math> prengui valors negatius, ja que <math>Dom(f)=[0,+\infty)</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty}(5)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x}\right)</math> <math>=5\cdot(+\infty)</math> <math>=+\infty.</math> |} ===== Exercicis ===== 1) Càlcul de operacions entre límits. :a) <math>+\infty\cdot(-4)=</math> [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] guddu49nnevl7im4xyzirzt58yl0aj5 0 51860 386241 385792 2026-09-14T16:26:49Z Fadams 13365 /* Списък */ 386241 wikitext text/x-wiki Колекционерството е начин за събиране на украшения. ==Колекции== Колекциите са група от украшения по тема, достъпно в определен период от време. Ако всички украшения навреме са събрани, ще се спечели награда. Има награди, които се печелят в праговете. ==Списък== *рокендрол рожден ден (юни 2024) - единадесет украшения *надпис Хей Дей (юни 2024) - шест украшения *летен базар (юли 2024) - десет украшения *басейн (юли 2024) - десет украшения *летни шампиони (август 2024) - дванадесет украшения *летни игри (август 2024) - шест украшения *аквариум (август 2024) - пет украшения *уютна есен (септември 2024) - дванадесет украшения *посрещане на есента (септември 2024) - седем украшения *Октоберфест (септември 2024) - осем украшения *призрачен пейзаж (октомври 2024) - десет украшения *Хелоуин (октомври 2024) - тринадесет украшения *зимата идва (ноември 2024) - девет украшения *вечеря в Деня на благодарността (ноември 2024) - шест украшения *пир в Деня на благодарността (ноември 2024) - девет украшения *зимни празници (декември 2024) - девет украшения *празнично веселие (декември 2024) - шест украшения *празнична атмосфера (декември 2024) - девет украшения *зимни забави (януари 2025) - шест украшения *съзерцание и хармония (януари 2025) - шест украшения *Година на змията (януари 2025) - шест украшения *Милион червени рози (февруари 2025) - шест украшения *сладки сърца (февруари 2025) - девет украшения *голям карнавал (февруари 2025) - шест украшения *пролетно настроение (март 2025) - девет украшения *пролетни цветя (март 2025) - девет украшения *търсене на шоколадови яйца (април 2025) - дванадесет украшения *Ден на Земята (април 2025) - девет украшения *златна седмица (април 2025) - девет украшения *ква-ква (април 2025) - дванадесет украшения *пищно цъфтене (май 2025) - дванадесет украшения *плет Хей Дей (май 2025) - шест украшения *пчелно събитие (май 2025) - шест украшения *тринадесет рожден ден (юни 2025) - тринадесет украшения *хипарско парти (юни 2025) - четиринадесет украшения *поход с Грег (юни 2025) - девет украшения *уестърн (юли 2025) - девет украшения *почивка в Дивия запад (юли 2025) - шест украшения *тропическо настроение (юли 2025) - шест украшения *грижа за животни (август 2025) - дванадесет украшения *лятно веселие (август 2025) - девет украшения *събиране на реколта (август 2025) - девет украшения *селски живот (септември 2025) - девет украшения *беритба на ябълките (септември 2025) - шест украшения *призрачен Хелоуин (октомври 2025) - дванадесет украшения *пакост или лакомство (октомври 2025) - шест украшения *страшни признаци (октомври 2025) - шест украшения *Хелоуин с призраци (октомври 2025) - специална колекция - единадесет признака *Ден на мъртвите (октомври-ноември 2025) - шест украшения *към Луната (ноември 2025) - дванадесет украшения *огнище и жътва (ноември 2025) - шест украшения *празничен сезон (декември 2025) - дванадесет украшения *в леда (декември 2025) - девет украшения *празничен лай (декември 2025) - специална колекция - десет кучета (пет хъскита и пет маламута) *ново начало (януари 2026) - дванадесет украшения *заснежени дървета (януари 2026) - девет украшения *снежна безметежност (януари 2026) - шест украшения *във въздуха витае любовта (февруари 2026) - дванадесет украшения *сила на любовта (февруари 2026) - девет украшения *Година на коня (февруари 2026) - шест украшения *лунна нощ в пустиня (февруари 2026) - девет украшения *жени в историята (март 2026) - девет украшения *фестивал на боите (март 2026)- шест украшения *символи (март 2026) - шест украшения *пролетни букви (март 2026) - шест украшения *шоколадови зайци (април 2026) - девет украшения *мила охота за яйца (април 2026) - дванадесет украшения *нашествие на пиленца (април 2026) - специална колекция - седем пиленца *нашествие на големи пиленца (април 2026) - десет украшения *спокоен ручей (април 2026) - дванадесет украшения *Ден на земята (април 2026) - девет украшения *мечти под глицинията (май 2026) - шест украшения *златен фестивал (май 2026) - шест украшения *гладни агнета (май 2026) - шест украшения *мирни пасища (май 2026) - девет украшения *разноцветни дървета (май 2026) - девет украшения *кънтри фестивал (юни 2026) - дванадесет украшения *поход за природата (юни 2026) - девет украшения *Гората на Грийн Гейм Джем (юни 2026) - девет украшения *вълнести алпаки (юни 2026) - шест украшения *уютен химн (юни 2026) - тринадесет украшения *Див запад - дванадесет украшения *разширение на плажа - дванадесет украшения *мини-голф - девет украшения *лятно настроение - девет украшения *грижа за животни - дванадесет украшения *панди - шест украшения *дестинации - дванадесет украшения *фермерско оборудване - дванадесет украшения *отново в училище - девет украшения *фермерски пазар - дванадесет украшения *уютна реколта - шест украшения *шептяща гора - дванадесет украшения [[Category:Хей Дей]] [[Category:BG]] ata8oi2mvkae7qqyqqkkvcbcv7tak1w 2 51942 386245 365587 2026-09-14T22:12:39Z Mfield 55147 Mfield moved page [[User:Wheatley2]] to [[User:Madéquis]]: Automatically moved page while renaming the user "[[Special:CentralAuth/Wheatley2|Wheatley2]]" to "[[Special:CentralAuth/Madéquis|Madéquis]]" 365587 wikitext text/x-wiki Heyo. I'm Wheatley2, a editor mostly active on the English Wikipedia. [[w:user:wheatley2|Check me out there]] to see more about me. {{userboxtop|Facts about me }} {{User Arizona}} {{userboxbottom}} {{#babel:en|es-0|la-1|it-1}} 5bdgp81fd4q86nzsxrjafk3yakykq0j 0 55864 386249 386239 2026-09-15T09:09:11Z Profev 36331 /* Arrels */ + 386249 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma extendida: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma extendida aparecen tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> si es dona que <math>\frac{d}{n}+\frac{e}{n}\in\mathbb{Z}</math> trobar '''e''' seria seria ideal per eliminar l'arrel; com <math>d\div n=q</math> amb residu <math>r</math> llavors podem afirmar que <math>\frac{d}{n}+\frac{e}{n}=q+\frac{r}{n}+\frac{e}{n},</math> perfecte ja se que <math>r+e=n\Leftrightarrow e=n-r.</math> Es pot veure que fins i tot s'ha extret factors del radicand amb aquesta divisió. :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c^{\;q+1}\;}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}+r\;\sqrt[n]{\;s^t\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant un signe. Exemples rars o de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}(\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})\cdot\color{red}(\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}(-\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})\cdot\color{red}(-\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}(\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})\cdot\color{red}(\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}(-\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})\cdot\color{red}(-\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}(\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}{(-\sqrt{2}+\sqrt{5})\cdot\color{red}(\sqrt{2}+\sqrt{5})\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}(-\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}{(-\sqrt{2}+\sqrt{5})\cdot\color{red}(-\sqrt{2}-\sqrt{5})\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== ==== Connexions ==== ====== Exercicis ====== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math></math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math></math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math></math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math></math> |} == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] bs4wkcwh8h8a53z4gmasu8cpmivjnx2 3 56142 386244 2026-09-14T20:08:16Z ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ 51302 Welcome! 386244 wikitext text/x-wiki {{Welcome}}--[[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ]] ^{<small>/hasɔn raza/</small>} [[User talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|(talk)]] 20:07, 14 September 2026 (UTC) efhtt45w15xx0vw7iun4tusa60004pv 2 56143 386246 2026-09-14T22:12:39Z Mfield 55147 Mfield moved page [[User:Wheatley2]] to [[User:Madéquis]]: Automatically moved page while renaming the user "[[Special:CentralAuth/Wheatley2|Wheatley2]]" to "[[Special:CentralAuth/Madéquis|Madéquis]]" 386246 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User:Madéquis]] hvxfnzwgrn3wttgnu1vyrk7f5dkdcor 0 56144 386248 2026-09-15T09:03:28Z ~2026-49706-25 55899 Created page with "Tiyatro" 386248 wikitext text/x-wiki Tiyatro 0kqv048ko9hnvcuk11fgxik874vwi9f