Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 37924 386270 385148 2026-09-20T09:45:51Z Profev 36331 /* Les semirectes */ 386270 wikitext text/x-wiki [[File:Latex real numbers square.svg|thumb|120px|Símbol de tots els nombres reals]] '''Els intervals''' són molt útils per agrupar en conjunts i analitzar els nombres en la recta real. La seva importància recau a l'hora de construir funcions amb la precisió deguda. [[File:Real Number Line.PNG|center]] Per estudiar els intervals es fa una introducció curta i acurada de les semirectes que són elements utilitzats per determinar més tard els intervals i altres productes amb més rigor. == Lògica d'intervals == En aquesta secció veurem com es treballen les condicions matemàtiques sobre la '''recta real'''. Concretament identificarem formes d'ajuntar condicions, escriure-les, descriure-les i representar-les matemàticament. === Les semirectes === A les matemàtiques quan utilitzem les següents expressions com a condicions, suposicions o hipòtesis: {|cellspacing="6" cellpadding="6" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure lectura" data-collapsetext="Oculta lectura" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<big><big><big><math>a<b,\;\;a>b,\;\;a\leqslant b,\;\;a\geqslant b</math></big></big></big> |- |colspan="2"| <math>a<b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit que '''b''', o inversament '''b''' és més gran que '''a'''. <math>a>b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran que '''b''', o inversament '''b''' és més petit que '''a'''. <math>a\leqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més gran o igual que '''a'''. '''Nota''': dir "més petit o igual" vol dir que és cert tan si és més petit com si és igual. <math>a\geqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més petit o igual que '''a'''. |} {|align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" |width="130px"|<math>a<x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a\leqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>a</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |width="130px"|<math>a>x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} |- |width="130px"|<math>a\geqslant x\;\Rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} |} Veiem exemples quan un dels dos és un nombre, l'altre una variable i detallem analíticament el seu significat dins la recta real. ==== Exemples ==== ;1.- Condició <math>x>10</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valors '''més gran''' que 10. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>10</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: S'assenyala en blau sobre la recta real els valors més grans que deu, però s'indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el deu, ja que el deu no pot ser més gran que deu i per tant no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(10,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre 10 i infinit positiu, amb el '''deu i l'infinit exclòs''' pels parèntesis. El seu nom és '''semirecta oberta'''. ;2.- Condició <math>x\leqslant -3.</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valor '''més petit o igual''' que -3. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-3</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que -3, i indica amb una rodona plena que el -3 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,-3]</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i -3, amb el -3 inclòs amb la clau ''']'''. El seu nom és '''semirecta tancada'''. ;3.- Condició <math>x\geqslant-1.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor '''més gran o igual''' que -1. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més grans que -1, i indica amb una rodona plena que el -1 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=[-1,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre -1 i infinit positiu, amb el -1 inclòs amb la clau '''['''. El seu nom és semirecta tancada. ;4.- Condició <math>x<7.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor més petit que 7. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>7</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que 7, i indica amb una rodona buida que el 7 no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,7)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i 7, amb el 7 exclòs amb el parèntesi ''')'''. El seu nom és semirecta oberta. ==== Exercicis ==== 1) S'ha de representar i escriure la notació corresponent a cada apartat: {| |width="200px"|a) <math>x\leqslant 0.</math> |width="200px"|b) <math>x\geqslant -2.</math> |width="200px"|c) <math>x<4.</math> |width="200px"|d) <math>x>-3.</math> |- |e) <math>\sqrt{2}>x</math> |f) <math>\tfrac{5}{7}\leqslant x</math> |g) <math>3'75 >x</math> |h) <math>\pi\geqslant x</math> |} 2) S'ha de deduir la condició i escriure la notació corresponent a cada apartat: {| |valign="top" width="30px"|a) |width="400px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>100</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} |valign="top" width="40px"|b)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>\tfrac{1}{10}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |valign="top"|c)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-0'5</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} |valign="top"|d)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>\sqrt{5}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |} === Operacions === Les condicions bàsicament es poden combinar o agrupar de dos formes, o bé buscant coincidències o unint possibilitats. Ens interessa analitzar les conseqüències d'aquestes dues combinacions, per això utilitzarem dos operadors <math>\cap</math> i <math>\cup</math>: :::<big><big><big><big><math>C=A\cap B,\;\;D=A\cup B</math></big></big></big></big> El resultats d'aquestes operacions són nous elements anomenats genèricament '''conjunts''' i conceptualment són com simples recipients de valors sobre la recta real. Mentre llegiu els exemples fixeu-vos en la propietat commutativa d'aquestes operacions, <math>A\cap B=B\cap A</math> i <math>A\cup B=B\cup A</math>: *Observeu bé com '''pinta''' la part interior d'aquest conjunt de nombres, on valors puntuals són delimitadors i s'han d'especificar bé si estan dins o fora d'aquest "recipient". *També hi ha conjunts de nombres que no han que estar enganxats físicament per formar part del mateix conjunt. {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |- |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |} ==== Intersecció ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] Per fer una intersecció d'una condició A i amb una condició B només s'ha de indicar quins nombres compleixen les dues condicions '''a la vegada'''. Veiem exemples dels diferents producte de les possibles combinacions que es poden fer: ===== Exemples ===== 1.- Suposem que <math>x<3</math> i també afegim que <math>x>1,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues condicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} Condicions: <math>A=(-\infty,\,3)</math> i <math>B=(1,\,+\infty)</math> Operació intersecció: <math>I=</math> <math>A\cap B=</math> <math>(-\infty,\,3)\cap (1,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(1,\,3)</math> :Descripció de I: És literalment el conjunt de tots els valors entre l'1 i el 3, sense incloure aquests dos nombres. Són només els valors continguts dins de A i B '''a la vegada'''. El seu nom és '''interval obert'''. 2.- Suposem que <math>x\leqslant 1</math> i que <math>x>-2</math>: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-2</math> |align="center"|<math>1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} Operació: <math>(-\infty,\,1]\cap(-2,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(-2,\,1]</math> El seu nom és '''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' o '''interval semiobert'''. [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|120px]] 3.- Suposem que <math>x\leqslant 0</math> i que <math>x<-5,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-5</math> |align="center"|<math>0</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} En aquest cas el que succeeix és que una intersecció d'un interval dintre d'un altre acaba guanyant el que sembla més petit. Condicions: <math>A=(-\infty,\,0]</math> i <math>B=(-\infty,\,-5)</math> Operacions: <math>(-\infty,\,0]\cap(-\infty,\,-5)</math> Notació del resultat: <math>I=(-\infty,\,-5)</math> :Descripció de I: són tots els valors que estan dins dels dos conjunts a la vegada però resulta que B està totalment dins de A per tant el resultat és B, és a dir I=B. [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|240px]] 4.- Suposem que <math>x\leqslant -1</math> i que <math>x>3,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} Les condicions inicials són contradictòries, per tant, no tenen cap coincidència i ens queda un conjunt sense nombres, és a dir, un conjunt buit i que evidentment no hem de pintar res. Operació: <math>(-\infty,\,-1]\cap(3,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{\emptyset\}=\emptyset</math> El seu nom és '''conjunt buit'''. 5.- Suposem que <math>x\leqslant 9</math> i que <math>x\geqslant 9,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament, és a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>9</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|250px]] |} La única coincidència es el 9, que és un punt fronterer, i per tant es l'únic element que compleix les dues condicions. Operació: <math>(-\infty,\,9]\cap[9,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{9\}</math> El seu nom és '''punt''' o conjunt d'un sol element. ==== Unió ==== [[File:UniónAB.svg|right|160px]] Per fer una unió de una condició A amb una condició B només s'ha de '''indicar''' que els diferents objectes estan junts encara que hi hagi '''forats''', després només arreglem els trams superposats quan apareguin com a un de sol. Es proposa anar directament a la notació matemàtica per anar més ràpid. ===== Exemples ===== 1.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,8)</math> i <math>B=[9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Resultat: '''casualment''' queda igual per que no es pot '''arreglar més''': <math>I=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=8}}</th><th>{{center|1=9}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat segueix sent dues semirectes. 2.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,-2)</math> i <math>B=(-2,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Resultat: veiem que és gairebé tota la recta real, '''excepte''' el -2, no es pot arreglar més: <math>I=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=-2}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat també son dues semirectes, però, vegeu que són tots els nombres reals sense un punt, el -2, es a dir, l'indicat amb una rodona buida. 3.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,10)</math> i <math>B=(-9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,10)\cup (-9,\,\infty)=\mathbb{R}</math> Resultat: veiem que en ajuntar les dues semirectes no deixen cap forat, per tant el resultat es tots els nombres entre <math>-\infty</math> i <math>\infty</math> es a dir <math>\mathbb{R}.</math> Representació i descripció: s'hauria de pintar tota la recta sense forats. :::<math>-\infty\;\;\;</math>[[File:SemiRectaFut2.svg|300px]]<math>\;\;\;+\infty</math> 4.- Unió dels objectes A i B:<math>A=(0,\,2)\cup (4,\,6)</math> i <math>B=[1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Operació: <math>I=(0,\,2)\cup (4,\,6)\cup [1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Resultat: <math>I=(0,\,3]\cup (4,\,7]</math> Representació: només hem de pintar A i B, i veure que dona aquest resultat. :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=0}}</th><th>{{center|1=3}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=7}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> ==== Exercicis ==== #Busquem un valor que és major que deu i menor que catorze, o major que quinze i menor que setze. Representeu els valors acuradament. #Escriu la notació dels intervals representats a continuació: <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=-11}}</th><th>{{center|1=-10}}</th><th>{{center|1=-4}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=5}}</th><th>{{center|1=6}}</th><th>{{center|1=7}}</th><th>{{center|1=11}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th></tr></table> === Resum lèxic === Noms apareguts sense matisar si és obert o tancat però que hem de conèixer: *'''Element''' (quan parlem de l'element més simples i indivisibles d'un conjunt) :*'''Punt''' (quan ens referim a un únic nombre real com a element de la recta real, ...) *'''Conjunt''' (quan agrupem elements amb una finalitat definida) :*'''Recta''' (quan ens referim a tota la recta real com a conjunt de nombres) :*'''Semirecta''' (tots els punts de la recta que es troben a un mateix cantó d'un punt donat prèviament) :*'''Interval''' (tots els nombres de la recta delimitada per altres dos punts) *'''Buit''' (que no hi ha res, cap element, cap nombre real,...) == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] pkg7neq99scq4m3c9dh2otkruyt6vxl 0 52424 386273 384760 2026-09-20T11:21:28Z Dušan Kreheľ 45022 /* Význam */ detailnejšie význam 386273 wikitext text/x-wiki == Miesta == *Malý Slavkov, Slovensko; *Nižný Slavkov, Slovensko; *Slavkovce, Slovensko; *Vyšný Slavkov, Slovensko; *Veľký Slavkov, Slovensko; *Horní Slavkov, Česko; *Ostrov, Karlové Vary, Češko, ** pôvodné ''Zlaukowerde'', prekl. ''Slavkov stáva<ť sa>'';<ref>{{cite web | title=HISTORIE MĚSTA | url=https://ostrov.cz/default/default/8913_historie-mesta | access-date =2025-05-15 }}</ref> *Slavkov, Benešov, Česko; *Slavkov, Olomouc, Česko; *Slavkov, Opava, Česko; *Slavkov pod Hostýnem, Kroměříž, Česko; *Slavkov u Brna, Česko; *Slavkov, Uherské Hradiště, Česko; *Slavkovica, Srbsko; *Slavkovići, Bosna a Hercegovina; *Sllakofci (alb., srb. Slavkovce), Srbsko-Kosovo; *Sławka Mała, Poľsko; *Sławka Wielka, Poľsko; *Sławki Górne, Pomeranian, Poľsko; *Sławki, Poľsko; *Sławków, Łódź, Poľsko; *Sławkowo, Działdowo, Poľsko; *Sławkowo, Kętrzyn, Poľsko; *Sławkowo, Kuyavian-Pomeranian, Poľsko; *Sławkowo, Maków, Poľsko; *Sławkowo, Mława, Poľsko; *Sławkowo, West Pomeranian, Poľsko; *Sławków, Poľsko; *Slaŭkava, Bielorusko; *Slaŭkavičy, Bielorusko; *Šļaukas, Litva; *Abádszalók, Maďarsko; *Nemesszalók, Maďarsko; *Szalóka, Ukrajina; *Slavky, Ukrajina; *Slavkino, Rusko, [[:wikidata:Q19815509|Q19815509]]; *Slavkino, Rusko, [[:wikidata:Q18801049|Q18801049]]. == „Iné“ názvy (možno) == *Slavec, Slovensko (hist. aj ako Szalócz);<ref>{{Cite web|url=https://www.slavec.sk/obec/historia/|title=História}}</ref> *Slavoška, Slovensko; *Slavošovce, Slovensko; *Slavče, České Budějovice, Česko; *Slavice (dnes súčasť Třebíč), Česko; *Slovenia, Slovinsko; *Slavče, Slovinsko; *Zaloka, Slovinsko; *Zaloke, Slovinsko; *Załakowo, Poľsko; *Slough, Anglicko, UK; *Slaugham, Anglicko, UK; *Liman (predtým Zolocari), Ukrajina; *Zalokot, Ukrajina; *Zolochiv, Ukrajina; *Zolochivka, Demydivka, Ukrajina; *Zolochivka, Ternopil, Ukrajina; *Zolochivske, Berezivka, Ukrajina; *Zolochivske, Ukrajina, Q4193707; *Zolochivske, Ukrajina, Q4193708; *Slaughter, Louisiana, USA; == Rieka == *[https://www.openstreetmap.org/way/688412690 Slauka], Írsko. *[https://www.openstreetmap.org/relation/3511068 Slavka], Ukrajina. == Rod == * po maďarsky ''Szalók'' (maďarský zápis), * slovanský ''Slavko''/''Sławko''. == Pôvod == Pôvod je najskôr slovanský. == Maďarský ekvivalent == Pôvod nie je najskôr rýdzo maďarsky,<ref>Vladimír Šmilauer : Vodopis starého Slovenska / Hydrography old Slovakia, 1932, Praha</ref> nakoľko nie je v dedičnom strome (etymológia) splnená maďarská spojitosť s praindoeurópčinou cez praindoirančinu.<ref>[https://www.wseas.org/multimedia/journals/information/2019/a185109-941.pdf A Comparative Analysis of Hungarian Folk Songs and Sanskrit Literature Using Motif Similarity Matrices], Peter Z. Revesz, 2019 (po anglický)</ref><ref name="ślóka">[[:wikt:en:%E0%A4%B6%E0%A5%8D%E0%A4%B2%E0%A5%8B%E0%A4%95#Sanskrit|श्लोक]] (po anglický)</ref><ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Indo-European/ḱlew-|Reconstruction:Proto-Indo-European/ḱlew-]] (po anglický)</ref> Slovanský ekvivalent je Zalok/Zolok. Pri vývoji z praindoeurópčiny do praindoirančiny došlo k zmene *o na *a, t. j. Z'''''a'''lok''⇒''Z'''o'''lok'', a preto teda sa stretávame v histórií<ref>GREGA, Ľubomír a Kňažský seminár sv. Františka Xaverského (Badín, Slovensko). Na začiatku bola cesta: monografia obce a farnosti Nižný Slavkov : [z príležitosti 800. výročia prvej písomnej zmienky 1214-2014]. Prešov: Pavol Šidelský - Akcent Print, 2014, p. [10]. {{ISBN| 9788089295548}} (viaz.). Dostupné tiež z: https://dikda.snk.sk/uuid/uuid:c8df84b5-d73c-47c0-b935-4c8d28b29fe3</ref><ref>https://www.buyflags.eu/sk/nizny-slavkov</ref><ref>https://www.buyflags.eu/sk/velky-slavkov</ref><ref>https://www.buyflags.eu/sk/maly-slavkov</ref><ref>https://www.buyflags.eu/sk/slavkovce</ref><ref>https://www.buyflags.eu/sk/slavec</ref><ref>https://hu.wikipedia.org/wiki/Szal%C3%B3c</ref> s obidvomi tvarmi. Po analýze týchto slová vychádza (časť) maďarčiny z vetvy:<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Iren-Hegedus/publication/298750373_On_the_position_of_Nuristani_within_Indo-Iranian|title=On the position of Nuristani within Indo-Iranian|author=Irén Hegedűs|author2=Vaclav Blazek}}</ref> * Praindoeurópčina: ** Proto-Nuristani: *** Kati-Aškun (cca. 660 – 1200). == Význam == *'''sláva''', '''chválospev''': **zo sanskritu <span dir="ltr">श्लोक</span>/ślóka – ''sláva'', ''chválospev'',<ref name="ślóka"/> **praslovančina *slava,<ref name="slava"/> **prabaltoslovančina *ślṓˀwāˀ,<ref name="slava">[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Slavic/slava|Reconstruction:Proto-Slavic/slava]]</ref> **súvis so slovenským (a podobnými slovanskými) ''slávik'' (môže ''ako vtáčí koncert''). *'''Kladné vlastnosti''': **nemecké schlau (šikovný, inteligentný, bystrý; ''sl'' zmenené na ''schl'' ''[šl]''),<ref>https://en.wiktionary.org/wiki/schlau#German</ref> **(prenesené) hornolužická srbčina ''zelenk'', - [[:w:sk:Zimozeleň menšia|zimozeleň menšia]] (vždy zelená rastlina).<ref>[[:wikt:en:zelenk|zelenk]] (po anglický)</ref><ref>https://hsb.wikipedia.org/w/index.php?title=Zelenk&redirect=no</ref> ** '''pekný''':<ref>Vladimír Šmilauer: VODOPIS STARÉHO SLOVENSKA, PRAHA A BRATISLAVA, 1932, NÁKLADEM UČENÉ SPOLEČNOSTI ŠAFAŘÍKOVY V BRATISLAVĚ</ref> *** tatársky ''sziliu'', *** turecký ''szuluk''. *'''ospalý''': * stará horná nemčina ''slaf''.<ref>[[:wikt:en:slaf#Old_High_German|slaf#Old_High_German]] (po anglický)</ref> *'''Šlahnúť''' (pohyb): **zastarané anglicky ''slaving'' – ''odštiepok'', ''odlomok'';<ref> Murray, James Augustus Henry, Sir, 1837-1915; Burchfield, R. W; Philological Society (Great Britain), [https://archive.org/details/oxfordenglishdic09murr/page/n999/mode/2up?q=slavk The Oxford English dictionary; being a corrected re-issue with an introduction, supplement, and bibliography of A new English dictionary on historical principles] (po anglický)</ref><ref>[[:wikt:en:Special:Permalink/83816584|slip]], podstatné meno, význam č. 18 a 19 (po anglický)</ref> **slovenské ''šlahnúť'' (bičom). *'''Hrdlo''', '''úzky''': **praslovančina *solvьjь:<ref>[[:wikt:en:slávik#Slovak|slávik]] (po anglický)</ref><ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Slavic/solvьjь|Reconstruction:Proto-Slavic/solvьjь]] (po anglický),</ref> ***slovenské ''slávik'' (vták), ***v gotlandčine ''släuk'',<ref name="släuk">[[:wikt:en:släuk#Gutnish|släuk]] (po anglický),</ref> ***stará nórčina ''slauk'' požierať,<ref name="släuk"/> ***slovenské ''lávka'' (most), ***slovenské ''lavica'' (na sedenie), ***nemecké ''Schlauch'' – ''hadica'', ''rúra'',<ref>[[:wikt:en:Schlauch#German|Schlauch]] (po anglický)</ref> *** anglické, holandské, nórske a švédske ''slank'' – ''úzky''.<ref>[[:wikt:en:slank|slank]] (po anglický)</ref><ref>Vladimír Šmilauer : [https://www.academia.edu/21529154/Vladim%C3%ADr_%C5%A0milauer_Vodopis_star%C3%A9ho_Slovenska_Hydrography_old_Slovakia Vodopis starého Slovenska / Hydrography old Slovakia]</ref> *'''Divočina''': ** jazyky Kati, Aškun „džungľa“, **maďarské ''zolok'' (sloveso, „Ellene mondok, ellene zolok“, preklad: „Protirečí mi“, voľne doslova preložené: „proti mne hovorí, proti mne divoko“, r. 1590),<ref>[https://archive.org/details/jbc.bj.uj.edu.pl.NDIGSTDR048642/page/1288/mode/2up Ambrosii Calepini Dictionarivm Vndecim Lingvarvm], Sebastian Henricpetri, 1590-04-25, strana 1288</ref><ref>[https://webstersdictionary1828.com/Dictionary/cry Cry] (po anglický)</ref><ref>[https://www.mojabiblia.sk/svatepismo/32/kniha-proroka-jonasa-kapitola-1/ Kniha proroka Jonáša], Biblia - Sväté písmo, (KAT - Katolícky preklad),</ref> **fínsky ''salo'' divočina,<ref name="salo">[[:wikt:fi:salo|salo]] (po fínsky),</ref> **možný súvis praslovanským *zъlo (zlo), **slovenské ''zlavírovať''/''zlákať'' (naviesť, prípadne aj na divokú cestu / do neznáma), ** slovenský sála (t. j. väčšia miesnosť na tanec); *„'''veľký zalesnený ostrov'''“:<ref name="salo"/> **zastarané fínsky ''salo'',<ref name="salo"/><ref>[https://www.arcanum.com/hu/online-kiadvanyok/Turul-turul-1883-1950-1/1901-C2B2/1901-4-C909/a-szalok-nemzetseg-szines-czimerkeppel-C90D/ A SZALÓK NEMZETSÉG. Színes czímerképpel.], VARJÚ ELEMÉR. (po maďarský)</ref> *'''jedlá morská riasa''':<ref>Murray, James Augustus Henry, Sir, 1837-1915; Burchfield, R. W; Philological Society (Great Britain), [https://archive.org/details/oxfordenglishdic09murr/page/n995/mode/2up?q=slawk The Oxford English dictionary; being a corrected re-issue with an introduction, supplement, and bibliography of A new English dictionary on historical principles] (po anglický)</ref><ref>{{cite web |url=https://www.oed.com/dictionary/slawk_n?tl=true |title=slawk (noun) – Oxford English Dictionary |access-date = 2025-02-02 }}</ref> ** angličtina, severské dialekty a Škandinávia: ''Slawk'', *'''dojiť''': **litovské ''slaukt''.<ref name="slaukt">[[:wikt:en:slaukt#Latvian|slaukt]] (po anglický)</ref> *'''„Kĺzať''', '''ťahať''', '''utierať“''':<ref name="slaukt"/> **stará litovčina ''slaukt'',<ref name="slaukt"/> **litovské ''sliaũkti'' - plaziť sa; šmýkať sa; odhodiť, zošmyknúť sa; utrieť; pomaly tiecť;<ref name="slaukt"/> **súvis so slovenským slivka. *'''Obyvateľ v / zo [[:w:sk:Slavónsko|Slavónska]]''': ** odvodzovanie zo Slavónsko/''Slavonija'' (súvislosť ''Slav''/''Slovan''),<ref>[[:wikt:en:Slav#English|Slav]] (po anglický)</ref><ref>[[:w:sk:Slavónsko|Slavónsko]]</ref><ref>[[:w:en:Slavonia|Slavonia]] (po anglický)</ref> *** podobne ako ekvivalentné ''Poľka'' – obyvateľka Poľska; **** viď. ''Poľania'' (historické pomenovanie) → ''Poľsko'',<ref>[[:w:sk:Poľsko|Poľsko]]</ref> * ako skrátená forma mien: ** '''Slavomír''', <ref>[[:w:sk:Slavomír_(prvé_meno)|Slavomír (prvé meno)]]</ref><ref>[[:w:sk:Slavomír|Slavomír]]</ref> ** '''Bohuslav'''.<ref>{{cite web |url=https://www.slavkov.cz/o-slavkove/historie-mesta/ |title=Historie města |access-date = 2026-06-21 }}</ref> == Pozri aj == * [https://www.arcanum.com/hu/online-kiadvanyok/Turul-turul-1883-1950-1/1901-C2B2/1901-4-C909/a-szalok-nemzetseg-szines-czimerkeppel-C90D/ SZALÓK NEMZETSÉG. Színes czímerképpel.] (arcanum.com, po maďarsky). * [[:w:hu:Szalók nemzetség|Szalók nemzetség]] (po maďarsky). * [[:w:en:Szalók (genus)|Szalók (genus)]] (po anglicky). * [[:wikibooks:hu:Címerhatározó/Szalók nemzetség címere|Címerhatározó/Szalók nemzetség címere]] (hu.wikibooks.org, po maďarsky). * Ţarko B. Veljković: [https://scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/1821-0686/2019/1821-06861901039V.pdf „SKLAVKO“ ILI SLAVOČ, UŽICA ILI UŽICE?] (chorvátsky) * GYULA, KRISTÓ; FERENC, MAKK; LÁSZLÓ, SZEGFŰ; [https://core.ac.uk/download/pdf/229394735.pdf ADATOK „KORAI" HELYNEVEINK ISMERETÉHEZ] * [https://www.radixforum.com/vezeteknevek/szaloky/ Vezetéknevek :: Szálókÿ, Szalókÿ, Szalóky, Szalokÿ, Szaloky család] == Referencie == <References/> [[Category:SK/Etymológia]] [[Category:SK/Pomenovanie]] pzk9w4j6s3q3duwahz0xizlnhhls13d 0 55864 386267 386266 2026-09-19T16:16:48Z Profev 36331 + 386267 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] e6c3ha0n0f15499clpztrdumcxb3t8b 386268 386267 2026-09-19T21:17:43Z Profev 36331 /* Connexions */ +futur 386268 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === ==== Definicions ==== ==== Operacions ==== ==== Propietats ==== ===== Exemples ===== ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] cszksiv3rdudtv0broyquvpxscxqkey 386271 386268 2026-09-20T11:02:51Z Profev 36331 /* Intervals */ + 386271 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> ==== Definicions ==== ===== Les semirectes ===== Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. A continuació es veurà com es generen la resta de conjunts. ;exemples: {|width="800px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="380px"| Condició:<math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty\right)</math> |} ==== Operacions ==== ==== Propietats ==== ===== Exemples ===== ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 8g3mwsy45ku60x0gaflt0t6rp7r28z5 386272 386271 2026-09-20T11:12:32Z Profev 36331 /* Definicions */ + 386272 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> ==== Definicions ==== ===== Les semirectes ===== Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. A continuació es veurà com es generen la resta de conjunts. ;exemples: {|width="800px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="380px"|Condició: <math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3},+\infty\right)</math> |- |height="6"| |- |width="380px"|Condició: <math>-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-\pi}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(+\infty,-\pi\right]</math> |} ==== Operacions ==== ==== Propietats ==== ===== Exemples ===== ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] b73tvh4falebonq2lxlglhl23xbbvss