Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 55864 386286 386283 2026-09-22T07:34:37Z Profev 36331 /* Intersecció */ 386286 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ====== Reptes ====== 1) Racionalitza :<math>\frac{1}{\;\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}\;}</math> ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> '''Definició''': Una semirecta a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor <math>a\in\mathbb{R}</math> donat. Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} S'utilitza '''(''' o ''')''' per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza '''[''' o ''']''' per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit. ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. ;Exemples: {|width="850px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="400px"|Condició: <math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;\tfrac{\sqrt{2}}{3},\;+\infty\;\right)</math> |- |height="6"| |- |width="380px"|Condició: <math>-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-\pi}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-\pi\;\right]</math> |} ==== Operacions ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] ===== Intersecció ===== La '''intersecció''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cap B</math> o <math>B\cap A,</math> és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions '''a la vegada''', sense efectes de l'ordre. '''Definició''': Un '''interval''' a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors <math>a,b\in\mathbb{R}</math> donats. La intersecció de semirectes pot donar intervals: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<3\;</math> i <math>\;x>1</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;3\;\right)\cap\left(\;1,\;+\infty\;\right)=\left(\;1,\;3\;\right)</math> Es diu interval obert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant 1\;</math> i <math>\;x>-2</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right)=\left(\;-2,\;1\;\right]</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x< -3\;</math> i <math>\;x\geqslant -5</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |align="center"|<math>{}_{-3}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-3\;\right)\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right)=\left[\;-5,\;-3\;\right)</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant \tfrac{1}{7}\;</math> i <math>\;x\geqslant 0</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{0}</math> |align="center"|<math>{}_{\tfrac{1}{7}}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;\tfrac{1}{7}\;\right]\cap\left[\;0,\;+\infty\;\right)=\left[\;0,\;\tfrac{1}{7}\;\right]</math> Es diu interval tancat. |} [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|130px]] La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<1\;</math> i <math>\;x\leqslant 6</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_6</math> |- |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;6\;\right]=\left(\;-\infty,\;1\;\right)</math> |- |height="6"| |- |Condicions: <math>x<0\;</math> i <math>\;x\leqslant -4</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-4}</math> |align="center"|<math>{}_{0}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;0\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;-4\;\right]=\left(\;-\infty,\;-4\;\right]</math> |} [[File:IntersecciónABpunto.svg|right|255px]] La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x\geqslant -5\;</math> i <math>\;x\leqslant -5</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|170px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-5\;\right]\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right]=\left\{\;-4\;\right\}</math> Que es pot dir valor o punt de <math>\mathbb{R}.</math> |} [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|260px]] La intersecció de semirectes pot no donar cap punt: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<10\;</math> i <math>\;x>20</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{10}</math> |align="center"|<math>{}_{20}</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;10\;\right)\cap\left(\;20,\;+\infty\;\right)=\{\;\;\}</math> =∅. Es diu conjunt buit. |} ===== Unió ===== Una '''unió''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cup B</math> o <math>B\cup A,</math> és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre. Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts. La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts. {|width="1200px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="300px" valign="top"|Condicions: <math>x>1\;</math> o <math>\;(\;x\leqslant 0 \;i\;x>-2\;)</math> |valign="top" width="470px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_0</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>C=\left(\;-2,\;0\;\right]\cup\left(\;1,\;+\infty\;\right]</math> |- |height="6"| |- |} ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] pt4dqt3d6gqv19mek29vw990a0l6o2n 386287 386286 2026-09-22T08:53:18Z Profev 36331 /* Unió */ + 386287 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ====== Reptes ====== 1) Racionalitza :<math>\frac{1}{\;\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}\;}</math> ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> '''Definició''': Una semirecta a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor <math>a\in\mathbb{R}</math> donat. Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} S'utilitza '''(''' o ''')''' per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza '''[''' o ''']''' per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit. ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. ;Exemples: {|width="850px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="400px"|Condició: <math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;\tfrac{\sqrt{2}}{3},\;+\infty\;\right)</math> |- |height="6"| |- |width="380px"|Condició: <math>-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-\pi}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-\pi\;\right]</math> |} ==== Operacions ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] ===== Intersecció ===== La '''intersecció''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cap B</math> o <math>B\cap A,</math> és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions '''a la vegada''', sense efectes de l'ordre. '''Definició''': Un '''interval''' a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors <math>a,b\in\mathbb{R}</math> donats. La intersecció de semirectes pot donar intervals: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<3\;</math> i <math>\;x>1</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;3\;\right)\cap\left(\;1,\;+\infty\;\right)=\left(\;1,\;3\;\right)</math> Es diu interval obert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant 1\;</math> i <math>\;x>-2</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right)=\left(\;-2,\;1\;\right]</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x< -3\;</math> i <math>\;x\geqslant -5</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |align="center"|<math>{}_{-3}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-3\;\right)\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right)=\left[\;-5,\;-3\;\right)</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant \tfrac{1}{7}\;</math> i <math>\;x\geqslant 0</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{0}</math> |align="center"|<math>{}_{\tfrac{1}{7}}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;\tfrac{1}{7}\;\right]\cap\left[\;0,\;+\infty\;\right)=\left[\;0,\;\tfrac{1}{7}\;\right]</math> Es diu interval tancat. |} [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|130px]] La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<1\;</math> i <math>\;x\leqslant 6</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_6</math> |- |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;6\;\right]=\left(\;-\infty,\;1\;\right)</math> |- |height="6"| |- |Condicions: <math>x<0\;</math> i <math>\;x\leqslant -4</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-4}</math> |align="center"|<math>{}_{0}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;0\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;-4\;\right]=\left(\;-\infty,\;-4\;\right]</math> |} [[File:IntersecciónABpunto.svg|right|255px]] La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x\geqslant -5\;</math> i <math>\;x\leqslant -5</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|170px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-5\;\right]\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right]=\left\{\;-4\;\right\}</math> Que es pot dir valor o punt de <math>\mathbb{R}.</math> |} [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|260px]] La intersecció de semirectes pot no donar cap punt: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<10\;</math> i <math>\;x>20</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{10}</math> |align="center"|<math>{}_{20}</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;10\;\right)\cap\left(\;20,\;+\infty\;\right)=\{\;\;\}</math> =∅. Es diu conjunt buit. |} ===== Unió ===== Una '''unió''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cup B</math> o <math>B\cup A,</math> és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre. Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts. La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts. {|width="1250px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="300px" valign="top"|Condicions: <math>x>1\;</math> 𝓸 <math>\;(\;x\leqslant 0 \;i\;x>-2\;)</math> |valign="top" width="480px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_0</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>C=</math> <math>\;\;=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\big(\; \left(\;-\infty,\;0\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right] \;\big)</math> <math>\;\;=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\left(\;-2,\;0\;\right]</math> |} La unió de dos conjunts pot donar tot <math>\mathbb{R}</math> {|width="1150px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="300px" valign="top"|Condicions: <math>x>-1\;</math> 𝓸 <math>\;x\leqslant 1</math> |valign="top" width="320px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-1}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>C=</math> <math>\;\;=\left(\;-1,\;+\infty\;\right)\cup\left(\;-\infty,\;1\;\right]=\mathbb{R}</math> |} ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 8upy04k2n2k4wo54b39vuayacw1bl0p 386288 386287 2026-09-22T09:06:29Z Profev 36331 /* Unió */ 386288 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ====== Reptes ====== 1) Racionalitza :<math>\frac{1}{\;\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}\;}</math> ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> '''Definició''': Una semirecta a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor <math>a\in\mathbb{R}</math> donat. Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} S'utilitza '''(''' o ''')''' per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza '''[''' o ''']''' per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit. ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. ;Exemples: {|width="850px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="400px"|Condició: <math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;\tfrac{\sqrt{2}}{3},\;+\infty\;\right)</math> |- |height="6"| |- |width="380px"|Condició: <math>-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-\pi}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-\pi\;\right]</math> |} ==== Operacions ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] ===== Intersecció ===== La '''intersecció''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cap B</math> o <math>B\cap A,</math> és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions '''a la vegada''', sense efectes de l'ordre. '''Definició''': Un '''interval''' a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors <math>a,b\in\mathbb{R}</math> donats. La intersecció de semirectes pot donar intervals: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<3\;</math> i <math>\;x>1</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;3\;\right)\cap\left(\;1,\;+\infty\;\right)=\left(\;1,\;3\;\right)</math> Es diu interval obert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant 1\;</math> i <math>\;x>-2</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right)=\left(\;-2,\;1\;\right]</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x< -3\;</math> i <math>\;x\geqslant -5</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |align="center"|<math>{}_{-3}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-3\;\right)\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right)=\left[\;-5,\;-3\;\right)</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant \tfrac{1}{7}\;</math> i <math>\;x\geqslant 0</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{0}</math> |align="center"|<math>{}_{\tfrac{1}{7}}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;\tfrac{1}{7}\;\right]\cap\left[\;0,\;+\infty\;\right)=\left[\;0,\;\tfrac{1}{7}\;\right]</math> Es diu interval tancat. |} [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|130px]] La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<1\;</math> i <math>\;x\leqslant 6</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_6</math> |- |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;6\;\right]=\left(\;-\infty,\;1\;\right)</math> |- |height="6"| |- |Condicions: <math>x<0\;</math> i <math>\;x\leqslant -4</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-4}</math> |align="center"|<math>{}_{0}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;0\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;-4\;\right]=\left(\;-\infty,\;-4\;\right]</math> |} [[File:IntersecciónABpunto.svg|right|255px]] La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x\geqslant -5\;</math> i <math>\;x\leqslant -5</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|170px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-5\;\right]\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right]=\left\{\;-4\;\right\}</math> Que es pot dir valor o punt de <math>\mathbb{R}.</math> |} [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|260px]] La intersecció de semirectes pot no donar cap punt: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<10\;</math> i <math>\;x>20</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{10}</math> |align="center"|<math>{}_{20}</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;10\;\right)\cap\left(\;20,\;+\infty\;\right)=\{\;\;\}</math> =∅. Es diu conjunt buit. |} ===== Unió ===== Una '''unió''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cup B</math> o <math>B\cup A,</math> és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre. Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts. La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts. {|width="900px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="300px" valign="top"|Condicions: <math>x>1\;</math> 𝓸 <math>\;(\;x\leqslant 0 \;i\;x>-2\;)</math> |valign="top" width="480px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_0</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |- |valign="top" colspan=2|Notació: <math>C</math> <math>=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\big(\; \left(\;-\infty,\;0\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right] \;\big)</math> <math>=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\left(\;-2,\;0\;\right]</math> |} La unió de dos conjunts pot donar tot <math>\mathbb{R}</math> {|width="900px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="230px" valign="top"|Condicions: <math>x>-1\;</math> 𝓸 <math>\;x\leqslant 1</math> |valign="top" width="320px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-1}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>C=</math> <math>\;\;=\left(\;-1,\;+\infty\;\right)\cup\left(\;-\infty,\;1\;\right]=\mathbb{R}</math> |} ===== Exercicis ===== ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] dt2mfpaaxhjs108jp3h7t3q32kkwor2 386289 386288 2026-09-22T09:28:16Z Profev 36331 /* Exercicis */ +Trasllats de 4t ESO 386289 wikitext text/x-wiki {|align="right" |<span style="font-size:800%"><math>\mathbb{R}</math></span> |} Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat. == Introducció == '''Definició:''' Un '''conjunt''' <math>A</math> és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple: ::<math>A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.</math> :Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença <math>\in</math> i escriurem: :::<math>3\in A,\;\;</math> <math>\tfrac{4}{7}\in A\;\;</math> 𝓸 <math>\;\;\sqrt{2}\in A</math> :Per escriure que dos conjunts <math>A</math> i <math>B</math> són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem <math>A=B.</math> :Per detallar que un conjunt <math>A</math> conté tots els elements d'un altre conjunt <math>B</math> però no són iguals escriurem <math>A\supset B</math> 𝓸 <math>B\subset A</math> Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta. == Els nombres real == Els nombres reals, <math>\mathbb{R},</math> és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara. :<math>\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}</math> De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals. :<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}</math> === Propietats 1 === '''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si: 1) Té la operació binària suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació suma és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a+b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a+b)+c=a+(b+c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>a+b+c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a+b=b+a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>e\in\mathbb{R}</math> per a la suma, és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a\in\mathbb{R}</math> compleix que <math>a+e=a.</math> ::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com <math>e=0.</math> :e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que: ::Si <math>a\in\mathbb{R}</math> llavors existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a+b=0.</math> ::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com <math>b=-a.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a+(-a)=a-a.</math> 2) Té la operació binària multiplicació on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>(a\cdot b)\in\mathbb{R}.</math> :b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a,\; b</math> i <math>c</math> compleix que <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).</math> ::'''Notació''': escriurem simplement <math>\;a\cdot b\cdot c\;</math> 𝓸 <math>\;a\; b\; c.</math> :c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que: ::Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> compleix que <math>a\cdot b=b\cdot a.</math> :d) Té un únic element '''neutre''' <math>u\in\mathbb{R}</math> per a la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que <math>a\cdot u=a.</math> ::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com <math>u=1.</math> :e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir: ::Per a qualsevol <math>a</math> compleix que existeix un únic <math>b\in\mathbb{R}</math> tal que <math>a\cdot b=1.</math> ::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com <math>b=a^{-1}=\frac{1}{a}.</math> ::'''Notació''': es pot escriure <math>a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.</math> 3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :Es compleix que <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.</math> 4) Té una relació d'ordre, <math>\;\le\;</math>, on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre <math>\;a\le b\;</math> 𝓸 <math>\;b\le a.</math> :b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que <math>a\le a.</math> :c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le a\;</math> es compleix que <math>a=b.</math> :d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si <math>\;a\le b\;</math> i <math>\;b\le c\;</math> es compleix que <math>\;a\le c.</math> 5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats <math>a,b,c\in\mathbb{R}</math> llavors: :a) Si <math>\;a\le b\;</math> compleix que <math>\;a+c\le b+c.</math> :b) Si <math>\;0\le a\;</math> i <math>\;0\le b\;</math> compleix que <math>\;0\le a\cdot b.</math> ==== Exercicis ==== 1) Troba només una <math>x</math> en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora: {| |width="5px"| |width="200px"|a) <math>\tfrac{2}{5}+ x=0</math> |width="200px"|b) <math>\tfrac{7}{3}- x=1</math> |width="200px"|c) <math>3\cdot x=1</math> |width="200px"|d) <math>x\cdot\tfrac{2}{5}=1</math> |- |||e) <math>x\cdot\tfrac{3}{2}=0</math> |f) <math>\tfrac{5}{x}=1</math> |g) <math>\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1</math> |h) <math>\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x</math> |- |||i) <math>\tfrac{3}{5}\le x</math> |j) <math>\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi</math> |k) <math>x\le\tfrac{2}{7}</math> i <math>\tfrac{2}{7}\le x</math> |l) <math>\tfrac{6}{9}\le x</math> i <math>x\le \tfrac{8}{9}</math> |} === Potències === {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} '''Definició:''' Una '''potència''' amb base <math>a\in\mathbb{R}</math> i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ \color{grey} a^2 =& \color{grey} a\cdot a \\ \color{grey} a^3 =& \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\ \vdots & \\ \color{grey} a^n =& \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\ a^{n+1}=& a^n\;\cdot\;a\\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme <math>a,</math> ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva. ;Sintaxi {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència. |- |Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="350px"|<math>(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>((-a)^n) \rightarrow (-a)^n</math> no es pot perdre el signe. |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd" colspan="2"|<math>e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)</math> |- |style="border: 1px solid #00f;background:#fdd"|<math>\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}</math> |} Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los. |} ;Tipografia {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Ocultar" |- |En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència. |- | *Calculadora segons les tecles: ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|^ |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} ::{|style="border: 0px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;"|7 |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|<span style="font-size:90%"><math>x^y</math></span> |width="10px"| |style="border: 1px solid #000;"|5 |width="10px"| |és equivalent a <math>7^5</math> |} *Programació segons el llenguatge: ::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a <math>n=7^5.</math> ::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a <math>n=7^5.</math> :*Notació científica per a C, C++, JS i Python: ::i=3.2e23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> ::i=3.2E23; és equivalent a i=<math>3,2\cdot 10^{23}.</math> *Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: ::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> ::Wikipedia: <nowiki><math>3,2^{-13}</math></nowiki> és equivalent a <math>3,2^{-13}.</math> |} ==== Propietats 2 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\begin{array}{ll} (-a)^1 = & -a \\ (-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\ (-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\ \vdots & \\ (-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\ (-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n), \end{array}</math> |} |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}\;</math> on <math>\;a\neq 0</math> ==== Propietats 3 ==== {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="600px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aplicant la notació a <math>a^n:</math> <math>a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Idem: <math>a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math><math>=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n</math> <math>= a^n \cdot b^{-n}</math> <math>= \frac{a^n}{b^n} </math> O de forma estesa: <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n</math> <math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n </math> <math>= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} </math> <math>= \frac{a^n}{b^n}</math> |} |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math> De forma estesa donant peu a tres casos: <math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix} \frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\ \frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n \end{matrix}\end{cases}</math> |} |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;</math> 𝓸 <math>\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,</math> <math>\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;</math> i <math>\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6</math> L'expressió inicial queda simplificada com <math>\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }</math> Agrupem tot el numerador <math>a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:</math> L'expressió inicial queda ara com <math>\frac{ a^6 }{ b^6 }</math> i agrupant potències queda <math>\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6</math> Per tant queda com a una sola potència. '''Test''' La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com <math>a=3</math> i el <math>b=5,</math> i a cop de calculadora es fa el sondeig: :<math>\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i test" data-collapsetext="Ocultar" |b) <math>\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;</math> i <math>\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b</math> L'expressió inicial queda tot de cop com <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6 }=</math> <math>\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6} }=</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Nota:''' és important que <math>\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1</math> només es pot fer si <math>c\neq 0.</math> '''Test''' S'agafa doncs <math>a=3</math> i <math>b=5</math> per fer '''un''' sondeig a veure que surt: <math>\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}</math> S'ha fet així almenys un sondeig. |} |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma <math>\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, <math>\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},</math> i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, <math>\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.</math> Una altra alternativa és utilitzar la fórmula <math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}</math> segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: :<math>\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}</math> :<math>\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}</math> Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més <math>\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.</math> |} |} 3) Simplifica al màxim: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha <math>10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;</math> i <math>\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}</math> Al denominador hi ha <math>6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;</math> i <math>\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}</math> Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: :<math>\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;</math> <math>=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }</math> <math>=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica i expressa coma a una sola potència: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2</math> |width="230px"|b) <math>\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3</math> |width="400px"|c) <math>\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}</math> |} 2) Simplifica i expressa com a una sola fracció: {| |width="5px"| |width="230px"|a) <math>a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}</math> |width="230px"|b) <math>\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }</math> |width="240px"|c) <math>\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}</math> |} === Arrels === Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus <math>x^n=a</math> on <math>x</math> és la incògnita. '''Definició''': L'arrel n-èsima de a, <math>\sqrt[n]{a},</math> és un valor real <math>r</math> i implica o compleix que <math>r^n=a</math> amb <math>2\le n.</math><ref>És correcte que <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> i no <math>r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,</math> per exemple: :És correcta la implicació <math>\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4</math> :És falsa la implicació <math>(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2</math> L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que <math>\sqrt{4}=\pm\;2,</math> això només ho poden fer les equacions del tipus <math>x^2=4</math> que sí generen dos solucions <math>x_1=2\;,\;x_2=-2.</math> En cas d'utilitzar <math>\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a</math> és obligat que estigui acompanyat de <math>a\geqslant 0.</math></ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #000" align="center" |<math>\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a</math> |} '''Notació''': <math>\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Justificació''' <math>\rightarrow</math> |- |Donada l'equació <math>x^5=3,</math> suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com <math>3^n,</math> llavors en substituir-lo a l'equació queda <math>(3^n)^5=3</math> <math>\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1</math> i és cert quan <math>n\cdot 5=1</math> és a dir <math>n=\tfrac{1}{5}</math> llavors la solució sí es una potencia i ha de ser <math>3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Lèxic''' <math>\rightarrow</math> |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |Índex |||||Radical |- |||<math>\searrow</math> |||align="left"|<math>\swarrow</math> |- |||||<span style="font-size:200%"><math>\sqrt[n]{\,a\;}</math></span> |colspan="3"|<span style="font-size:200%"><math>=x</math></span><math>\leftarrow</math> Valor de l'arrel o arrel. |- |||||align="center"|<math>\;\;\uparrow</math> |- |||||colspan="4"|Radicand |} <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math> és l'arrel '''quadrada''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}</math> és l'arrel '''cúbica''' de <math>x.</math> <math>\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}</math> és l'arrel '''quarta''' de <math>x.</math> i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... . |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Factorització del radicand''' <math>\rightarrow</math> |- |S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, <math>x,</math> quants divisor primers, <math>p_i,</math> té i queda expressat de la següent manera: :<math>x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}</math> Això vol dir que el nombre <math>x</math> té <math>r</math> divisors. Exemple: <math>360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> per tant podem dir que <math>p_1=2\; on\; n_1=3,</math> <math>p_2=3\; on\; n_2=2</math> i <math>p_3=5\; on\; n_3=1,</math> llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i <math>r=3.</math> L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments. |} ==== Propietats 4 ==== 1) No sempre hi ha arrels: {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{\;a\;}=r</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a<0</math> |style="border: 1px solid #88e; background:#fa8"|No existeix <math>r</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r<0</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|<math>a\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |style="border: 1px solid #88e;"|Existeix <math>r\ge 0</math> |} '''Nota''': Si <math>-b<0</math> i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel <math>\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}</math> 2) Queda definit que <math>\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}</math> on <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''. 3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe. {|cellspacing="0" cellpadding="4" style="border: 1px solid #88e; background:#fff" |style="border: 1px solid #88e; background:#ace" colspan="3" align="center"|<math>\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"| |style="border: 1px solid #88e;"|n parell |style="border: 1px solid #88e;"|n imparell |- |style="border: 1px solid #88e;"|m parell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>|a|^{\tfrac{m}{n}}</math> |- |style="border: 1px solid #88e;"|m imparell |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}</math> |style="border: 1px solid #88e;" align="center"|<math>a^{\tfrac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[6]{\;64\;}=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que <math>64>0</math> llavors es pot fer el càlcul :<math>\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>2^6=64</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. :<math>\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[4]{\;-32\;}</math> no existeix. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que quatre és parell i <math>-32<0</math> llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\sqrt[8]{(-3)^8}=3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i <math>(-3)^8>0</math> llavors l'arrel existeix i dona positiu. :<math>\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.</math> '''Prova''' El requeriment de la definició és que <math>(-3)^8=(3)^8</math> i confirma el càlcul. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' El signe escapa a la potència setena quedant: :<math>\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}</math> Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: :<math>\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}</math> <math>=-5^{\frac{7}{7}}</math> <math>=-5^1</math> <math>=-5.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Confirma que existeix i calcula: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{-1\;000\;000}</math> |- |||e) <math>\sqrt[6]{\;6^{12}\;}</math> |f) <math>\sqrt[172]{-1^2}</math> |g) <math>\sqrt[30]{0^7}</math> |h) <math>\sqrt[2]{-1}^{\;20}</math> |- |||i) <math>\sqrt[137]{\,2^{137}}</math> |j) <math>\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}</math> |k) <math>\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}</math> |l) <math>\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}</math> |} ==== Propietats 5 ==== Considerant <math>a\geq 0\,</math> i <math>\,b> 0</math> surt la taula: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="660px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="250px"|<math>a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="400px"|<math>\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;</math> i <math>\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}</math> |style="border: 1px solid #00f;"|<math>\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}</math> |} ===== Exemples ===== 1) Simplificacions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Es converteix a notació de potències per unificar-les <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> Apliquem propietat 1 simplificant: <math>3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}</math> <math>=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}</math> <math>=3^{\frac{23}{30}}</math> Com a arrels queda: <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}</math> <math>=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}</math> '''Curiositat''' Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú <math>r=r_1r_2..</math> es a dir: <math>\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}</math> Ara cal que <math>s=xv+yu</math> sigui factoritzable per estètica amb <math>x>1</math> i <math>y>1</math> Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme <math>s=s_1s_2...</math> i tot seguit prenen per exemple <math>r=s_2</math> una suma de fraccions pot ser <math>\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències :<math>\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2</math> Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: :<math>\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}</math> Ara tornem a aplicar la propietat :<math>=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000</math> '''Curiositat''' <math>\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?</math> en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) <math>\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> 2) <math>\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7</math> casualment amb una mica d'ull: :<math>=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |d) <math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Mateixa base per tant apliquem propietat 5 :<math>\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}</math> <math>=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }</math> <math>=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }</math> <math>=5^{\frac{4}{6} }</math> <math>=5^{\frac{2}{3} }</math> <math>=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |e) <math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' Apliquem propietat 6 :<math>\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }</math> <math>=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }</math> <math>=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}</math> <math>=2^{\frac{13}{7}}</math> <math>=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.</math> |} |} ===== Exercicis ===== 1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}</math> |width="180px"|d) <math>\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}</math> |- |||e) <math>\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }</math> |f) <math>\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}</math> |g) <math>\left( y^{0,5} \right)^{0,2}</math> |h) <math>\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}</math> |- |||i) <math>\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}</math> |j) <math>\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}</math> |k) <math>\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}</math> |l) <math>\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}</math> |- |||m) <math>\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }</math> |n) <math>\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6</math> |o) <math>\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }</math> |p) <math>\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}</math> |- |||q) <math>\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }</math> |r) <math>\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }</math> |s) <math>\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }</math> |t) <math>\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }</math> |} ==== Simplificació i racionalització ==== En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs. ===== Extracció de factors del radicant ===== '''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel <math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,},</math> llavors fem grups de 13 dins del 27 així <math>27=13+13+1,</math> llavors fem: :<math>\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}</math> <math>=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}</math> <math>=3\cdot 3\sqrt[13]{3}</math> <math>=9\sqrt[13]{3}.</math> '''Mètode general''': Donada l'arrel <math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> sempre amb <math>n<m,</math> se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: <math>\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}</math> llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat <math>0<r<n</math>: :<math>\sqrt[n]{\,a^{m}\,},</math> <math>=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.</math> i <math>n>r</math> garanteix que hem finalitzat. ====== Exemples ====== 1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Divisió entera''' <math>64\div 11 = 5</math> amb reste 9, per tant: <math>\sqrt[11]{\;5^{64}\;}</math> <math>=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^{\frac{88}{20}}</math> <math>=3^{\frac{22}{5}}</math> '''Divisió entera''' <math>22\div 5=4</math> amb reste 2, llavors <math>3^{\frac{22}{5}}</math> <math>=3^{4+\tfrac{2}{5}},</math> finalment: :<math>\sqrt[20]{\;3^{88}\;}</math> <math>=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Simplificació''' <math>\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> Camí llarg però ideal: '''Divisió entera''' <math>20\div 7=2</math> amb reste 6, llavors <math>2^{\frac{20}{7}}</math> <math>=2^{2+\tfrac{6}{7}},</math> finalment: :<math>2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}</math> <math>=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}</math> <math>=2^2\cdot 2</math> <math>=2^3.</math> |} |} ===== Racionalització simple ===== A un denominador amb una arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> amb <math>n>d</math>, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma <math>\sqrt[n]{\;c^e\;},</math> i sabem que <math>d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.</math> :<math>\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}</math> <math>=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}</math> <math>=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}</math> Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples: ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}</math> Perquè <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt{2}^2=2</math> I la solució <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> Perquè <math>\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1</math> o també evidentment <math>\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7</math> I la solució <math>\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}</math> ja no te cap arrel al denominador. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |c) <math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Perquè <math>\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1</math> o també <math>\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3</math> I la solució <math>\sqrt[4]{\;2\;}</math> ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: <math>\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }</math> <math>=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }</math> <math>=\sqrt[4]{\;2\;}</math> Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan. |} |} ===== Racionalització amb binomi ===== {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\begin{array}{lc}n=0&1\\ n=1&1\;\;1\\ n=2&1\;\;\;2\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\ n=6&\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\ n=7&\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}</math> |} A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma <math>\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}</math> només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe. '''Exemples''' de caprici però directes: *<math>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> 𝓸 <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}</math> *<math>\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}</math> <math>=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math> ====== Exemples ====== 1) Es demana racionalitzar les següents expressions: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }</math> <math>=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}</math> <math>=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)</math> <math>=\sqrt{\;2\;}-1</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Simplificació" data-collapsetext="Ocultar" |- |b) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Racionalització simple''' :<math>\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}</math> <math>=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}</math> <math>=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}</math> També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar <math>\sqrt{\;2\;}</math> del segon binomi al primer millorant molt poc: <math>\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> <math>=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}</math> |} |} ====== Exercicis ====== 1) Simplifica i redueix al màxim, considerant <math>a,b,c,d,x>0</math>: {| |width="5px"| |width="180px"|a) <math>\sqrt[5]{\;a^{127}\;}</math> |width="180px"|b) <math>\sqrt{a^4b^5c^6d^7}</math> |width="180px"|c) <math>\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}</math> |width="300px"|d) <math>\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }</math> |- || |e) <math>\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}</math> |f) <math>\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}</math> |g) <math>\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}</math> |h) <math>\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}</math> |- || |i) <math>\frac{1}{2\sqrt{2}+3}</math> |j) <math>\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}</math> |k) <math>\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}</math> |l) <math>\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}</math> |} ====== Reptes ====== 1) Racionalitza :<math>\frac{1}{\;\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}\;}</math> ==== Connexions ==== ;Recordatori de geometria elemental {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Semblança''' <math>\rightarrow</math> |- |[[File:Correspondencia de triángulos.svg]] Es diu que dos triangles corresponents, <math>ABC\;</math> i <math>\;A'B'C',</math> són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents: :i) A la vegada <math>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.</math> :ii) Un parell de les igualtats <math>\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},</math> <math>\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;</math> i <math>\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.</math> :iii) A la vegada <math>\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'</math> '''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació <math>\;a<b<c\;</math> i <math>\;a'<b'<c'.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d;width:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Triangles notables''' <math>\rightarrow</math> |- |Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles <math>45^\circ,\;45^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]] |} Semblances dels triangles <math>60^\circ,\;30^\circ,90^\circ</math> {| align="center" |- valign="top" ! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]] |width="20"| ! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]] |} |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.svg|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} ===== Exercicis ===== 1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas: {| |width="5px"| |a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets <math>\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m</math> i <math>\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.</math> |- |||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de <math>\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.</math> |} 2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat: {| |width="5px"| |a) Un rectangle amb costats <math>\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm</math> i <math>\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.</math> |- |||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura <math>\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m</math> i altura <math>\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.</math> |- |||c) Un quadrat de amb diagonal <math>\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.</math> |} === Intervals === Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals. La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.<ref>A <math>\mathbb{R}</math> queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.</ref> '''Definició''': Una semirecta a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor <math>a\in\mathbb{R}</math> donat. Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles <math>x</math> relatives a la constant <math>a\in\mathbb{R}</math>: {|align="center" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="6" | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a<x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaA.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="center"|<math>a</math> |<math>a\leqslant x</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |[[File:SemiRectaAC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a>x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaB.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |- |height="6"| |- | {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- | |align="right"|<math>a\geqslant x</math> |align="center"|<math>a</math> |- |<math>-\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|200px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|200px]] |} |} S'utilitza '''(''' o ''')''' per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza '''[''' o ''']''' per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit. ;Notació i nominació d'una semirecta: :<math>a<x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)</math> i es diu semirecta tancada. :<math>a>x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)</math> i es diu semirecta oberta. :<math>a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]</math> i es diu semirecta tancada. Afegir més precisió al nom és redundant. ;Exemples: {|width="850px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="400px"|Condició: <math>\frac{\sqrt{2}}{3}<x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;\tfrac{\sqrt{2}}{3},\;+\infty\;\right)</math> |- |height="6"| |- |width="380px"|Condició: <math>-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;</math> Representació: |width="153px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-\pi}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |<math>\;\rightarrow\;</math> Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-\pi\;\right]</math> |} ==== Operacions ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] ===== Intersecció ===== La '''intersecció''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cap B</math> o <math>B\cap A,</math> és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions '''a la vegada''', sense efectes de l'ordre. '''Definició''': Un '''interval''' a <math>\mathbb{R}</math> és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors <math>a,b\in\mathbb{R}</math> donats. La intersecció de semirectes pot donar intervals: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<3\;</math> i <math>\;x>1</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;3\;\right)\cap\left(\;1,\;+\infty\;\right)=\left(\;1,\;3\;\right)</math> Es diu interval obert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant 1\;</math> i <math>\;x>-2</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right)=\left(\;-2,\;1\;\right]</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x< -3\;</math> i <math>\;x\geqslant -5</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |align="center"|<math>{}_{-3}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-3\;\right)\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right)=\left[\;-5,\;-3\;\right)</math> Es diu interval semiobert. |- |height="6"| |- |valign="top"|Condicions: <math>x\leqslant \tfrac{1}{7}\;</math> i <math>\;x\geqslant 0</math> |valign="top" width="310px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{0}</math> |align="center"|<math>{}_{\tfrac{1}{7}}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;\tfrac{1}{7}\;\right]\cap\left[\;0,\;+\infty\;\right)=\left[\;0,\;\tfrac{1}{7}\;\right]</math> Es diu interval tancat. |} [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|130px]] La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<1\;</math> i <math>\;x\leqslant 6</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_1</math> |align="center"|<math>{}_6</math> |- |[[File:SemiRectaB.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;1\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;6\;\right]=\left(\;-\infty,\;1\;\right)</math> |- |height="6"| |- |Condicions: <math>x<0\;</math> i <math>\;x\leqslant -4</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-4}</math> |align="center"|<math>{}_{0}</math> |- |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;0\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;-4\;\right]=\left(\;-\infty,\;-4\;\right]</math> |} [[File:IntersecciónABpunto.svg|right|255px]] La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x\geqslant -5\;</math> i <math>\;x\leqslant -5</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-5}</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|170px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;-5\;\right]\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right]=\left\{\;-4\;\right\}</math> Que es pot dir valor o punt de <math>\mathbb{R}.</math> |} [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|260px]] La intersecció de semirectes pot no donar cap punt: {|width="950px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="220px" valign="top"|Condicions: <math>x<10\;</math> i <math>\;x>20</math> |valign="top" width="330px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{10}</math> |align="center"|<math>{}_{20}</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>\left(\;-\infty,\;10\;\right)\cap\left(\;20,\;+\infty\;\right)=\{\;\;\}</math> =∅. Es diu conjunt buit. |} ===== Unió ===== Una '''unió''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com <math>A\cup B</math> o <math>B\cup A,</math> és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre. Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts. La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts. {|width="900px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="300px" valign="top"|Condicions: <math>x>1\;</math> 𝓸 <math>\;(\;x\leqslant 0 \;i\;x>-2\;)</math> |valign="top" width="480px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-2}</math> |align="center"|<math>{}_0</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|150px]] |[[File:SemiRectaA.svg|150px]] |} |- |valign="top" colspan=2|Notació: <math>C</math> <math>=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\big(\; \left(\;-\infty,\;0\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right] \;\big)</math> <math>=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\left(\;-2,\;0\;\right]</math> |} La unió de dos conjunts pot donar tot <math>\mathbb{R}</math> {|width="900px" cellspacing="0" cellpadding="0" |width="230px" valign="top"|Condicions: <math>x>-1\;</math> 𝓸 <math>\;x\leqslant 1</math> |valign="top" width="320px"|Representació: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>{}_{-1}</math> |align="center"|<math>{}_1</math> |- |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]] |} |valign="top"|Notació: <math>C=</math> <math>\;\;=\left(\;-1,\;+\infty\;\right)\cup\left(\;-\infty,\;1\;\right]=\mathbb{R}</math> |} ===== Exercicis ===== Ara ja podem barrejar la '''intersecció''' amb la '''unió''' que dona tot tipus de conjunts numèrics. Per fer aquestes operacions podem fer servir colors o textures. 1) S'ha de representar i escriure la notació corresponent a cada apartat: {| |width="200px"|a) <math>x\leqslant 0.</math> |width="200px"|b) <math>x\geqslant -2.</math> |width="200px"|c) <math>x<4.</math> |width="200px"|d) <math>x>-3.</math> |- |e) <math>\sqrt{2}>x</math> |f) <math>\tfrac{5}{7}\leqslant x</math> |g) <math>3'75<x</math> |h) <math>\pi\geqslant x</math> |} 2) S'ha de deduir la condició i escriure la notació corresponent a cada apartat: {| |valign="top" width="30px"|a) |width="400px"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>100</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} |valign="top" width="40px"|b)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>\tfrac{1}{10}</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |- |valign="top"|c)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-0'5</math> |- |<math>+\infty\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} |valign="top"|d)|| {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>\sqrt{5}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;+\infty</math> |} |} ;Exercicis d'intersecció de dos condicions 3) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions: :a) <math>s<6</math> i <math>s>0</math> :b) <math>s\geqslant 6</math> i <math>s\leqslant 8</math> :c) <math>s\geqslant -23</math> i <math>s<-20</math> :d) <math>s\leqslant 23</math> i <math>s>2</math> 4) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas: :a) <math>(-100,\,8)</math> :b) <math>(-3,\,12]</math> :c) <math>[2,\,100)</math> :d) <math>[-5,\,-4]</math> :e) <math>\{5\}</math> :f) <math>\emptyset</math> 5) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat: :a) Una interval obert. :b) Una interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta. :c) Una interval tancat per l'esquerra i obert per la dreta. :d) Una interval tancat. :e) Un punt. :f) El buit. 6) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat: :a) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-0,1</math>}}</th><th>{{center|<math>0,1</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> :b) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-10^{23}</math>}}</th><th>{{center|<math>-10^{22}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th></tr></table> :c) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-\pi</math>}}</th><th>{{center|<math>\sqrt{2}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> :d) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>12</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaDot.svg|160px]]</th></tr></table> ;Exercicis d'unió de dos condicions 7) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions: :a) <math>s<-6</math> o <math>s>0</math> :b) <math>s\geqslant 6</math> o <math>s\leqslant 8</math> :c) <math>s\geqslant -23</math> o <math>s>-20</math> :d) <math>s\leqslant 23</math> o <math>s<2</math> 8) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas: :a) <math>(-\infty,\,8)\cup(9,\,+\infty)</math> :b) <math>(-\infty,\,2]\cup(3,\,+\infty)</math> :c) <math>(-\infty,\,-3'4)\cup[0,\,+\infty)</math> :d) <math>(-\infty,\,8]\cup[-8,\,+\infty)</math> :e) <math>\mathbb{R}</math> 9) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat: :a) Dues semirectes obertes. :b) Una semirecta oberta amb una semirecta tancada. :c) Tots els nombres :d) Una interval tancat. :e) Un punt. :f) El buit. 10) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat: :a) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-3,2\cdot 10^9</math>}}</th><th>{{center|<math>-3,2\cdot 10^8</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th></tr></table> :b) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-1,001</math>}}</th><th>{{center|<math>-1,0001</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th></tr></table> :c) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>0</math>}}</th><th>{{center|<math>\sqrt{5}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th></tr></table> :d) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>13</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th></tr></table> ;Exercici de raonament 11) Representa acuradament el nombre <math>\pi</math> amb l'interval de l'error absolut si aquest és de <math>10^{-2}.</math> Procureu que l'interval sigui més llarg que un centímetre. 12) Hem fet una compra d'una beguda d'un litre, però hi ha una petita inscripció que ens diu l'error absolut sumat o restat: :<math>1\pm 0,05</math> Representa les dues possibilitats acuradament amb un interval de longitud major que un centímetre. ==== Connexions ==== ===== Aproximació ===== == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 1pmr5mmnn5g9x7w1a6nxrcngitebp1g 1198 56148 386284 2026-09-21T13:15:56Z ~2026-50927-49 55915 Created page with "Can hi have ushaka ilembe" 386284 wikitext text/x-wiki Can hi have ushaka ilembe awpbganx365nz1z5qvq44cdjwfqbs7e 0 56149 386285 2026-09-21T13:15:57Z ~2026-50927-49 55915 Created page with "Can hi have ushaka ilembe" 386285 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <span id="Have_your_say"></span> Can hi have ushaka ilembe <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] tjix3w9ho5bunple5ebd9q09nuo447v