Въведение в италианския език/Спрягане на глаголи/Съм

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="en">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikiversity</sitename>
    <dbname>betawikiversity</dbname>
    <base>https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.22</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Special</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Talk</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">User</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">User talk</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikiversity</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Wikiversity talk</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">File</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">File talk</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki talk</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Template</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Template talk</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Help</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Help talk</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Category</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Category talk</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Module</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Module talk</namespace>
      <namespace key="1198" case="first-letter">Translations</namespace>
      <namespace key="1199" case="first-letter">Translations talk</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Въведение в италианския език/Спрягане на глаголи/Съм</title>
    <ns>0</ns>
    <id>3019</id>
    <revision>
      <id>386318</id>
      <parentid>380683</parentid>
      <timestamp>2026-10-01T14:34:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Romaine</username>
        <id>2688</id>
      </contributor>
      <comment>[[Special:LintErrors|Fixing Lint errors]]</comment>
      <origin>386318</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8362" sha1="sejwfznib5c1mqave8unqm3fw92ca4r" xml:space="preserve">=={{center|1=Изявително наклонение (индикатив)}}==

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;br&gt;'''Presente'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало несвършено'''&lt;br&gt;'''Imperfetto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Бъдеще време'''&lt;br&gt;'''Futuro'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало просто'''&lt;br&gt;'''Passato remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sono&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ero&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarò&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fui&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eri&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarai&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fosti&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;è&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;era&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarà&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fu&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eravamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saremo&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fummo&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siete&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eravate&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarete&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;foste&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sono&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;erano&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saranno&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;furono&lt;/div&gt;
|}


{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало сложно'''&lt;br&gt;'''Passato Prossimo'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Prossimo'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Бъдеще предварително'''&lt;br&gt;'''Futuro Anteriore'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sono stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ero stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarò stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fui stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sei stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eri stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarai stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fosti stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;è stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;era stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarà stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fu stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siamo stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eravamo stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saremo stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fummo stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siete stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eravate stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarete stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;foste stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sono stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;erano stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saranno stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;furono stati&lt;/div&gt;
|}

=={{center|1=Конюнктив}}==


{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;br&gt;'''Presente'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало несвършено'''&lt;br&gt;'''Imperfetto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало просто'''&lt;br&gt;'''Passato remoto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossi&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossi stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossi&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossi stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fosse&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia stato&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fosse stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossimo&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siamo stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossimo stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siate&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;foste&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siate stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;foste stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siano&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossero&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siano stati&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;fossero stati&lt;/div&gt;
|}

== Условно наклонение ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarei&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarei stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saresti&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saresti stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarebbe&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarebbe stato&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saremmo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;saremmo stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sareste&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sareste stati&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarebbero&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sarebbero stati&lt;/div&gt;
|}

== Повелително наклонение ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;br /&gt;&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; |  
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sii&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sia&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siamo&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siate&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;siano&lt;/div&gt;
|}


== Минало причастие ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#F6FFB2&quot; width=&quot;23%&quot; |
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;stato&lt;/div&gt;
|}


== Инфинитив ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;essere&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;essere stato&lt;/div&gt;
|}
=={{center|1=Деепричастие}}==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;50%&quot; bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;50%&quot; bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;50%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;essendo&lt;/div&gt;
| width=&quot;50%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;essendo stato&lt;/div&gt;
|}

[[Category:BG]]
[[Category:Въведение в италианския език]]</text>
      <sha1>sejwfznib5c1mqave8unqm3fw92ca4r</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Въведение в италианския език/Спрягане на глаголи/Имам</title>
    <ns>0</ns>
    <id>3020</id>
    <revision>
      <id>386317</id>
      <parentid>380675</parentid>
      <timestamp>2026-10-01T14:33:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Romaine</username>
        <id>2688</id>
      </contributor>
      <comment>[[Special:LintErrors|Fixing Lint errors]]</comment>
      <origin>386317</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8430" sha1="6ire46ce6z7gyarb045wnvv4m00qk25" xml:space="preserve">=={{center|1=Изявително наклонение (индикатив)}}==

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;br&gt;'''Presente'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало несвършено'''&lt;br&gt;'''Imperfetto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Бъдеще време'''&lt;br&gt;'''Futuro'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало просто'''&lt;br&gt;'''Passato remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ho&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevo&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrò&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbi&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hai&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevi&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrai&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avesti&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ha&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveva&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrà&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbe&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avremo&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avemmo&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avete&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevate&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrete&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveste&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hanno&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevano&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avranno&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbero&lt;/div&gt;
|}


{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало сложно'''&lt;br&gt;'''Passato Prossimo'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Prossimo'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Бъдеще предварително'''&lt;br&gt;'''Futuro Anteriore'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ho avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevo avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrò avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbi avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hai avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevi avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrai avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avesti avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ha avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveva avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrà avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbe avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiamo avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevamo avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avremo avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avemmo avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avete avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevate avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrete avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveste avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hanno avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avevano avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avranno avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ebbero avuto&lt;/div&gt;
|}

=={{center|1=Конюнктив}}==

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;br&gt;'''Presente'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало несвършено'''&lt;br&gt;'''Imperfetto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало просто'''&lt;br&gt;'''Passato remoto'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало предварително'''&lt;br&gt;'''Trapassato Remoto'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessi&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessi avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessi&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aversi avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avesse&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avesse avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiamo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessimo&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiamo avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessimo avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiate&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveste&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiate avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;aveste avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiano&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessero&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiano avuto&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avessero avuto&lt;/div&gt;
|}

== Условно наклонение ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrei&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrei avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avresti&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avresti avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrebbe&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrebbe avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avremmo&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avremmo avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avreste&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avreste avuto&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrebbero&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avrebbero avuto&lt;/div&gt;
|}

== Повелително наклонение ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;br /&gt;&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; |  
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbi&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbia&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiamo&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiate&lt;/div&gt;
|-----
| bgcolor=&quot;#FFCFB2&quot; width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;abbiano&lt;/div&gt;
|}


== Минало причастие ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#F6FFB2&quot; width=&quot;23%&quot; |
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avuto&lt;/div&gt;
|}

== Инфинитив ==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| bgcolor=&quot;#CCEBFF&quot; width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| bgcolor=&quot;#FFE9BB&quot; width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avere&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avere avuto&lt;/div&gt;
|}

=={{center|1=Деепричастие}}==
{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;50%&quot; bgcolor=&quot;#E6CCF2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Сегашно време'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;50%&quot; bgcolor=&quot;#BCE9A7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Минало време'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;50%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avendo&lt;/div&gt;
| width=&quot;50%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;avendo avuto&lt;/div&gt;
|}

[[Category:BG]]
[[Category:Въведение в италианския език]]</text>
      <sha1>6ire46ce6z7gyarb045wnvv4m00qk25</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Exercicis Límits 01</title>
    <ns>0</ns>
    <id>48377</id>
    <revision>
      <id>386320</id>
      <parentid>386315</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T07:49:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <comment>/* Resum parcial per la prova */ +</comment>
      <origin>386320</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17795" sha1="sd2wep77houuxylhxytcyjij90g1kqh" xml:space="preserve">[[File:Taylor del sen x v01.png|1000px]]
Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions.

Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment.

* Symbolab.

=== Resum de límits ===

Donada la funció &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; i un valors &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; direm que:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L&lt;/math&gt;

és el límit de la funció &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; quan la seva &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'apropa contínuament al valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i en direm &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;

[[File:Límite básico m1.svg|400px]]

Notes:

*El valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; no cal que sigui del domini sinó que almenys la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es pugui apropar indefinidament.

*Si la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'acost amb valors &lt;math&gt;x&lt;a&lt;/math&gt; direm que és el límit lateral:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = L_1&lt;/math&gt;

*Si la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'acost amb valors &lt;math&gt;a&lt;x&lt;/math&gt; direm que és el límit lateral:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = L_2&lt;/math&gt;

*Un límit sobre &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; existeix, si i només si, &lt;math&gt;L_1=L_2&lt;/math&gt;

*Si el valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; està dins del domini, &lt;math&gt;a\in Dom(f),&lt;/math&gt; llavors si la funció és '''contínua''' en '''a''' segur que:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)&lt;/math&gt;

=== Límits amb funcions elementals ===

Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini.

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Curiositats&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|width=&quot;350&quot;|1) &lt;math&gt;f(x)=x^r&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #ddf; background:#fff&quot;|
Cas &lt;math&gt;0&lt;r&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = +\infty&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;r&lt;0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0^+} x^r = +\infty&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;1\leqslant r&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = +\infty, r\,\, parell&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = -\infty, r\,\, imparell&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;r=\frac{1}{q}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;1\leqslant q&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = No\;existeix,\; q\,\, parell&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = -\infty,\; q\,\, imparell&lt;/math&gt;
|}

=== Operacions de límits com a aplicació ===

Si &lt;math&gt;\lim_{x\to a}{f(x)}=L_f&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\lim_{x\to a}{g(x)}=L_g&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}+\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f+L_g&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(b\cdot f(x)\right)}=b\cdot\lim_{x\to a}{f(x)}=b\cdot L_f, b\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\cdot\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f\cdot L_g&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{L_f}{L_g}&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\left(L_f\right)^{L_g}&lt;/math&gt;

==== Operacions amb límits de funcions ====

Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara.

{|class=&quot;wikitable center&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_f=&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;a\ne 0&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_g=&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;L_f+L_g&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a+b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;L_f\cdot L_g&lt;/math&gt;
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a\cdot b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;\frac{L_f}{L_g}&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|}

{|class=&quot;wikitable center&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_f=&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0^+&lt;/math&gt;
|colspan=3 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;a&lt;1&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;
|colspan=3 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;1&lt;a&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_g=&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;{L_f}^{L_g}&lt;/math&gt;
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a^b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a^b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|}

==== Límits amb propietats bàsiques ====

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |1) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=x.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} x= 0,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que &lt;math&gt;f(0)=0.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow r} x= r,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és r per substitució ja que &lt;math&gt;f(r)=r.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty,&lt;/math&gt; pràcticament per definició de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty,&lt;/math&gt; pràcticament per definició de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |2) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=3,&lt;/math&gt; anomenada funció '''constant'''.
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} 3= 3,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que &lt;math&gt;f(0)=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow r} 3= 3,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que &lt;math&gt;f(r)=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} 3=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} 3=3.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |3) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=x^2-1.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 2} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 2}\left( x^2-1\right)= 2^2-1.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x^2-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x\cdot x-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow -\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(-\infty)\cdot(-\infty)-1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty-1=+\infty.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x^2-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x\cdot x-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(+\infty)\cdot(+\infty)-1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty-1=+\infty.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |4) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=5\cdot\sqrt{x}.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 4} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 4} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{4}=5\cdot2=10.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{0}=5\cdot0=0.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right),&lt;/math&gt; no és possible que &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; prengui valors negatius, ja que &lt;math&gt;Dom(f)=[0,+\infty)&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty}(5)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5\cdot(+\infty)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty.&lt;/math&gt;
|}

===== Exercicis =====

1) Càlcul de operacions entre límits.

:a) &lt;math&gt;+\infty\cdot(-4)=&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;+\infty\cdot(-\infty)=&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=&lt;/math&gt;

=== Exercicis variats ===

1) Determina el domini, la continuïtat, els tipus de discontinuïtat i les asímptotes verticals de les funcions donades.

Feu servir el GeoGebra clàssic per dibuixar les asímptotes verticals; deixeu constància dels eixos i els valors de x on hi ha asímptotes verticals.

:a) &lt;math&gt;f(x)=\frac{3}{5x-2}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{\left(\sqrt{2}x-\sqrt{6}\right)(2x+1)}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;f(x)=\frac{(x+1)(x+1)(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+1)(x-1)(x-1)}&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^2}{3x^2-4x+1}&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;f(x)=\frac{e^x}{x+1}&lt;/math&gt;

:f) &lt;math&gt;f(x)=\frac{x}{e^x-1}&lt;/math&gt;

:g) &lt;math&gt;f(x)=\frac{(x^2-4)(x-2)}{(x-2)^3}&lt;/math&gt;

:h) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{\ln(|x|)}&lt;/math&gt;

:i) &lt;math&gt;f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2}\right)&lt;/math&gt;

=== Resum parcial per la prova ===

Exercicis per conèixer el 60% de la prova.

1) Determina el domini de cada funció

:a) &lt;math&gt;\;f(x)=3+\frac{2}{x+4}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt{2x-3}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt{7-3x}&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;\;f(x)=\frac{1}{\ln(x)}&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt[5]{x}&lt;/math&gt;

2) Determina els límits demanats del gràfic donat:

[[File:Gráfica para límites v01.svg|700px]]

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -9^{+}} f(x)=&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -1^{-}} f(x)=&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=&lt;/math&gt;
:e) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 8^{-}} f(x)=&lt;/math&gt;
:f) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=&lt;/math&gt;

3) Construeix el gràfic de la funció a ma alçada segons els límits demanats

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=+\infty&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -3^{+}} f(x)=1&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 1^{+}} f(x)=-2&lt;/math&gt;
:e) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=+\infty&lt;/math&gt;
:f) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0&lt;/math&gt;

4) Calcula els límits de les funcions indicant quin mètode heu fet servir (distinció de graus, simplificació, factorització)

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ 3-x^4+3x^5 }{7x-1000 x^4}=&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x-3)(x+3)^2}{x^2-9}=&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{ x^3+7 }{ 7-13x^3 }=&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ 4x^2-2x+x^5 }{ x^6+1 }=&lt;/math&gt;

5) Raona ordenadament explicant quin teorema feu servir:

:a) Una funció f(x) contínua entre &lt;math&gt;[-4,7]&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;f(-4)&lt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(7)&lt;0\;&lt;/math&gt; i per un valor '''a''' del interval sense determinar sabem que &lt;math&gt;\;f(a)&gt;0:&lt;/math&gt;

::* Demostra que té mínim i és negatiu, té màxim i és positiu, i té dos zeros.

6) Troba les constants, a, b i c, necessàries per a que la funció sigui sempre contínua dins el seu apartat.

:a) &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
-2-x &amp; \text{ si } x\leqslant-1 \\
a+x &amp; \text{ si } -1&lt; x\leqslant 0\\
bx-2 &amp; \text{ si } 0&lt; x&lt; 4\\
c &amp; \text{ si } 4\leqslant x
\end{cases}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
2 &amp; \text{ si } x\leqslant-1 \\
b-2x &amp; \text{ si } -1&lt; x\leqslant 0\\
3+cx &amp; \text{ si } 0&lt; x&lt; 4\\
2c &amp; \text{ si } 4\leqslant x
\end{cases}&lt;/math&gt;

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>sd2wep77houuxylhxytcyjij90g1kqh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386325</id>
      <parentid>386320</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:34:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Resum parcial per la prova */</comment>
      <origin>386325</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17796" sha1="oxec2gax6s1ipwaefsg3dcbxygwzapv" xml:space="preserve">[[File:Taylor del sen x v01.png|1000px]]
Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions.

Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment.

* Symbolab.

=== Resum de límits ===

Donada la funció &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; i un valors &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; direm que:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L&lt;/math&gt;

és el límit de la funció &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; quan la seva &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'apropa contínuament al valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i en direm &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;

[[File:Límite básico m1.svg|400px]]

Notes:

*El valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; no cal que sigui del domini sinó que almenys la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; es pugui apropar indefinidament.

*Si la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'acost amb valors &lt;math&gt;x&lt;a&lt;/math&gt; direm que és el límit lateral:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = L_1&lt;/math&gt;

*Si la &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; s'acost amb valors &lt;math&gt;a&lt;x&lt;/math&gt; direm que és el límit lateral:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = L_2&lt;/math&gt;

*Un límit sobre &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; existeix, si i només si, &lt;math&gt;L_1=L_2&lt;/math&gt;

*Si el valor &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; està dins del domini, &lt;math&gt;a\in Dom(f),&lt;/math&gt; llavors si la funció és '''contínua''' en '''a''' segur que:

::&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)&lt;/math&gt;

=== Límits amb funcions elementals ===

Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini.

{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff&quot; width=&quot;100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Curiositats&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|width=&quot;350&quot;|1) &lt;math&gt;f(x)=x^r&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #ddf; background:#fff&quot;|
Cas &lt;math&gt;0&lt;r&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = +\infty&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;r&lt;0&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0^+} x^r = +\infty&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;1\leqslant r&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;r\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = +\infty, r\,\, parell&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = -\infty, r\,\, imparell&lt;/math&gt;

Cas &lt;math&gt;r=\frac{1}{q}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;1\leqslant q&lt;/math&gt; es té:

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = No\;existeix,\; q\,\, parell&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = -\infty,\; q\,\, imparell&lt;/math&gt;
|}

=== Operacions de límits com a aplicació ===

Si &lt;math&gt;\lim_{x\to a}{f(x)}=L_f&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\lim_{x\to a}{g(x)}=L_g&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}+\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f+L_g&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(b\cdot f(x)\right)}=b\cdot\lim_{x\to a}{f(x)}=b\cdot L_f, b\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\cdot\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f\cdot L_g&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{L_f}{L_g}&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\lim_{x\to a}{\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\left(L_f\right)^{L_g}&lt;/math&gt;

==== Operacions amb límits de funcions ====

Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara.

{|class=&quot;wikitable center&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_f=&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;a\ne 0&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|colspan=4 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_g=&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b\ne 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;L_f+L_g&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a+b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;L_f\cdot L_g&lt;/math&gt;
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a\cdot b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;\frac{L_f}{L_g}&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;\pm\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
|}

{|class=&quot;wikitable center&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_f=&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0^+&lt;/math&gt;
|colspan=3 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;a&lt;1&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;
|colspan=3 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;1&lt;a&lt;/math&gt;
|colspan=5 style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#9bf;&quot;|&lt;math&gt;L_g=&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;-\infty&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;b&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;0&lt;b&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #000;background:#cdf;&quot;|&lt;math&gt;{L_f}^{L_g}&lt;/math&gt;
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a^b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;a^b&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;
|bgcolor=&quot;#f00&quot;|
||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;||&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;
|}

==== Límits amb propietats bàsiques ====

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |1) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=x.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} x= 0,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que &lt;math&gt;f(0)=0.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow r} x= r,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és r per substitució ja que &lt;math&gt;f(r)=r.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty,&lt;/math&gt; pràcticament per definició de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty,&lt;/math&gt; pràcticament per definició de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |2) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=3,&lt;/math&gt; anomenada funció '''constant'''.
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} 3= 3,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que &lt;math&gt;f(0)=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow r} 3= 3,&lt;/math&gt; també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que &lt;math&gt;f(r)=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} 3=3.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} 3=3.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |3) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=x^2-1.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 2} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 2}\left( x^2-1\right)= 2^2-1.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x^2-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x\cdot x-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow -\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(-\infty)\cdot(-\infty)-1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty-1=+\infty.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x^2-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x\cdot x-1\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=(+\infty)\cdot(+\infty)-1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty-1=+\infty.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; width=&quot;100%&quot; 
|-
|colspan=&quot;3&quot; bgcolor=&quot;#eef&quot; |4) Càlcul de límits si &lt;math&gt;f(x)=5\cdot\sqrt{x}.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;a)\lim_{x\rightarrow 4} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 4} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{4}=5\cdot2=10.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;b)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow 0} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{0}=5\cdot0=0.&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right),&lt;/math&gt; no és possible que &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; prengui valors negatius, ja que &lt;math&gt;Dom(f)=[0,+\infty)&lt;/math&gt;
|-
|width=&quot;5&quot;|
|valign=&quot;top&quot; align=&quot;left&quot; width=&quot;100&quot;|&lt;math&gt;d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)&lt;/math&gt;
|class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;|&lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\lim_{x\rightarrow +\infty}(5)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5\cdot(+\infty)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=+\infty.&lt;/math&gt;
|}

===== Exercicis =====

1) Càlcul de operacions entre límits.

:a) &lt;math&gt;+\infty\cdot(-4)=&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;+\infty\cdot(-\infty)=&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=&lt;/math&gt;

=== Exercicis variats ===

1) Determina el domini, la continuïtat, els tipus de discontinuïtat i les asímptotes verticals de les funcions donades.

Feu servir el GeoGebra clàssic per dibuixar les asímptotes verticals; deixeu constància dels eixos i els valors de x on hi ha asímptotes verticals.

:a) &lt;math&gt;f(x)=\frac{3}{5x-2}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{\left(\sqrt{2}x-\sqrt{6}\right)(2x+1)}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;f(x)=\frac{(x+1)(x+1)(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+1)(x-1)(x-1)}&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^2}{3x^2-4x+1}&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;f(x)=\frac{e^x}{x+1}&lt;/math&gt;

:f) &lt;math&gt;f(x)=\frac{x}{e^x-1}&lt;/math&gt;

:g) &lt;math&gt;f(x)=\frac{(x^2-4)(x-2)}{(x-2)^3}&lt;/math&gt;

:h) &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{\ln(|x|)}&lt;/math&gt;

:i) &lt;math&gt;f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2}\right)&lt;/math&gt;

=== Resum parcial per la prova ===

Exercicis per conèixer el 60% de la prova.

1) Determina el domini de cada funció

:a) &lt;math&gt;\;f(x)=3+\frac{2}{x+4}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt{2x-3}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt{7-3x}&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;\;f(x)=\frac{1}{\ln(x)}&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\;f(x)=\sqrt[5]{x}&lt;/math&gt;

2) Determina els límits demanats del gràfic donat:

[[File:Gráfica para límites v01.svg|700px]]

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -9^{+}} f(x)=&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -1^{-}} f(x)=&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=&lt;/math&gt;
:e) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 8^{-}} f(x)=&lt;/math&gt;
:f) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=&lt;/math&gt;

3) Construeix el gràfic de la funció a ma alçada segons els límits demanats

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=+\infty&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -3^{+}} f(x)=1&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 1^{+}} f(x)=-2&lt;/math&gt;
:e) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=+\infty&lt;/math&gt;
:f) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0&lt;/math&gt;

4) Calcula els límits de les funcions indicant quin mètode heu fet servir (distinció de graus, simplificació, factorització)

:a) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ 3-x^4+3x^5 }{7x-1000 x^4}=&lt;/math&gt;
:b) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x-3)(x+3)^2}{x^2-9}=&lt;/math&gt;
:c) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{ x^3+7 }{ 7-13x^3 }=&lt;/math&gt;
:d) &lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ 4x^2-2x+x^5 }{ x^6+1 }=&lt;/math&gt;

5) Raona ordenadament explicant quin teorema feu servir:

:a) Una funció f(x) contínua entre &lt;math&gt;[-4,7]&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;f(-4)&lt;0,\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(7)&lt;0\;&lt;/math&gt; i per un valor '''a''' del interval sense determinar sabem que &lt;math&gt;\;f(a)&gt;0:&lt;/math&gt;

::* Demostra que té mínim i és negatiu, té màxim i és positiu, i té dos zeros.

6) Troba les constants, a, b i c, necessàries per a que la funció sigui sempre contínua dins el seu apartat.

:a) &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
-2-x &amp; \text{ si } x\leqslant-1 \\
a+x &amp; \text{ si } -1&lt; x\leqslant 0\\
b+x-2 &amp; \text{ si } 0&lt; x&lt; 4\\
c &amp; \text{ si } 4\leqslant x
\end{cases}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}
2 &amp; \text{ si } x\leqslant-1 \\
b-2x &amp; \text{ si } -1&lt; x\leqslant 0\\
3+cx &amp; \text{ si } 0&lt; x&lt; 4\\
2c &amp; \text{ si } 4\leqslant x
\end{cases}&lt;/math&gt;

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>oxec2gax6s1ipwaefsg3dcbxygwzapv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>El cos dels nombres reals Bat</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55864</id>
    <revision>
      <id>386319</id>
      <parentid>386310</parentid>
      <timestamp>2026-10-01T22:40:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Profev</username>
        <id>36331</id>
      </contributor>
      <comment>/* Exercicis resum */ +</comment>
      <origin>386319</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="78002" sha1="nzokle72hduh3f1mm13cjki8vdd5jq7" xml:space="preserve">{|align=&quot;right&quot;
|&lt;span style=&quot;font-size:800%&quot;&gt;&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;
|}
Secció on es treballen els '''nombres reals''' amb una profunditat orientada al batxillerat.

== Introducció ==

'''Definició:''' Un '''conjunt''' &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:
::&lt;math&gt;A=\Big\{\;3,\;\tfrac{4}{7}, \;\sqrt{2}\; \Big\}.&lt;/math&gt;

:Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença &lt;math&gt;\in&lt;/math&gt; i escriurem:

:::&lt;math&gt;3\in A,\;\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\tfrac{4}{7}\in A\;\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;\;\sqrt{2}\in A&lt;/math&gt;

:Per escriure que dos conjunts &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem &lt;math&gt;A=B.&lt;/math&gt;

:Per detallar que un conjunt &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; conté tots els elements d'un altre conjunt &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; però no són iguals escriurem &lt;math&gt;A\supset B&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;B\subset A&lt;/math&gt;

Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.

== Els nombres real ==

Els nombres reals, &lt;math&gt;\mathbb{R},&lt;/math&gt; és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.

:&lt;math&gt;\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}&lt;/math&gt;

De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.

:&lt;math&gt;\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}&lt;/math&gt;

=== Propietats 1 ===

'''Propietat:''' Els nombres reals són un '''cos''' si:

1) Té la operació binària suma on donats &lt;math&gt;a,b,c\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors:
:a) La operació suma és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;(a+b)\in\mathbb{R}.&lt;/math&gt;
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a,\; b&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;(a+b)+c=a+(b+c).&lt;/math&gt;
::'''Notació''': escriurem simplement &lt;math&gt;a+b+c.&lt;/math&gt;
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;a+b=b+a.&lt;/math&gt;
:d) Té un únic element '''neutre''' &lt;math&gt;e\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; per a la suma, és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;a+e=a.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es diu zero i s'escriu com &lt;math&gt;e=0.&lt;/math&gt;
:e) Cada element té un únic element '''invers''' per la suma, és a dir que:
::Si &lt;math&gt;a\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors existeix un únic &lt;math&gt;b\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a+b=0.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es diu el negatiu i s'escriu com &lt;math&gt;b=-a.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es pot escriure &lt;math&gt;a+(-a)=a-a.&lt;/math&gt;

2) Té la operació binària multiplicació on donats &lt;math&gt;a,b,c\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors:
:a) La operació multiplicació és '''interna''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;(a\cdot b)\in\mathbb{R}.&lt;/math&gt;
:b) Té la propietat '''associativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a,\; b&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).&lt;/math&gt;
::'''Notació''': escriurem simplement &lt;math&gt;\;a\cdot b\cdot c\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;a\; b\; c.&lt;/math&gt;
:c) Té la propietat '''commutativa''', és a dir que:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;a\cdot b=b\cdot a.&lt;/math&gt;
:d) Té un únic element '''neutre''' &lt;math&gt;u\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; per a la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;a\cdot u=a.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es diu unitat i s'escriu com &lt;math&gt;u=1.&lt;/math&gt;
:e) Cada element, diferent de zero, té un únic element '''invers''' per la multiplicació, és a dir:
::Per a qualsevol &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; compleix que existeix un únic &lt;math&gt;b\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; tal que &lt;math&gt;a\cdot b=1.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es diu invers multiplicatiu i s'escriu com &lt;math&gt;b=a^{-1}=\frac{1}{a}.&lt;/math&gt;
::'''Notació''': es pot escriure &lt;math&gt;a\cdot c^{-1}=a\cdot\frac{1}{c}=\frac{a}{c}.&lt;/math&gt;

3) Té la propietat '''distributiva''' respecte la suma on donats &lt;math&gt;a,b,c\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors:
:Es compleix que &lt;math&gt;a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.&lt;/math&gt;

4) Té una relació d'ordre, &lt;math&gt;\;\le\;&lt;/math&gt;, on donats &lt;math&gt;a,b,c\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors:
:a) Té una relació d'ordre '''total''', és a dir, sempre &lt;math&gt;\;a\le b\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;b\le a.&lt;/math&gt;
:b) Té la propietat '''reflexiva''', és a dir, sempre podem afirmar que &lt;math&gt;a\le a.&lt;/math&gt;
:c) Té la propietat '''antisimètrica''', és a dir, si &lt;math&gt;\;a\le b\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;b\le a\;&lt;/math&gt; es compleix que &lt;math&gt;a=b.&lt;/math&gt;
:d) Té la propietat '''transitiva''', és a dir, si &lt;math&gt;\;a\le b\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;b\le c\;&lt;/math&gt; es compleix que &lt;math&gt;\;a\le c.&lt;/math&gt;

5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats &lt;math&gt;a,b,c\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; llavors:
:a) Si &lt;math&gt;\;a\le b\;&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;\;a+c\le b+c.&lt;/math&gt;
:b) Si &lt;math&gt;\;0\le a\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;0\le b\;&lt;/math&gt; compleix que &lt;math&gt;\;0\le a\cdot b.&lt;/math&gt;

==== Exercicis ====

1) Troba només una &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;200px&quot;|a) &lt;math&gt;\tfrac{2}{5}+ x=0&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|b) &lt;math&gt;\tfrac{7}{3}- x=1&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|c) &lt;math&gt;3\cdot x=1&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|d) &lt;math&gt;x\cdot\tfrac{2}{5}=1&lt;/math&gt;
|-
|||e) &lt;math&gt;x\cdot\tfrac{3}{2}=0&lt;/math&gt;
|f) &lt;math&gt;\tfrac{5}{x}=1&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;\frac{x}{\;\tfrac{5}{3}\;}=1&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\frac{\;\tfrac{2}{9}\;}{\tfrac{2}{9}}=x&lt;/math&gt;
|-
|||i) &lt;math&gt;\tfrac{3}{5}\le x&lt;/math&gt;
|j) &lt;math&gt;\tfrac{x}{3}+\pi\le \tfrac{4}{3}+\pi&lt;/math&gt;
|k) &lt;math&gt;x\le\tfrac{2}{7}&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\tfrac{2}{7}\le x&lt;/math&gt;
|l) &lt;math&gt;\tfrac{6}{9}\le x&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x\le \tfrac{8}{9}&lt;/math&gt;
|}

=== Potències ===

{|class=&quot;floatright&quot; width=&quot;149px&quot; style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;  cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;a\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{a\;b}{c}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}&lt;/math&gt;
|}

'''Definició:''' Una '''potència''' amb base &lt;math&gt;a\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:

&lt;math&gt;\begin{array}{|c l|}
\hline
a^1 =&amp; a \\
\color{grey} a^2 =&amp; \color{grey} a\cdot a \\
\color{grey} a^3 =&amp; \color{grey} a^2\cdot a= a\,\cdot\,a\,\cdot\,a\\
\vdots &amp;  \\
\color{grey} a^n =&amp; \color{grey} \underbrace{a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a}_{n\; vegades} \\
a^{n+1}=&amp; a^n\;\cdot\;a\\
\vdots &amp;  \\
\hline
\end{array}&lt;/math&gt;

La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva.

;Sintaxi

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure més&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència.
|-
|Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment.

{|style=&quot;border: 1px solid #00f;&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;350px&quot;|&lt;math&gt;((a)^n) \rightarrow (a)^n\rightarrow a^n&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;350px&quot;|&lt;math&gt;(-(a)^n) \rightarrow -(a)^n\rightarrow -a^n&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;background:#fdd&quot; colspan=&quot;2&quot;|&lt;math&gt;((-a)^n) \rightarrow (-a)^n&lt;/math&gt; no es pot perdre el signe.
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;e+((a)^n) \rightarrow e+(a)^n\rightarrow e+a^n&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;e-((a)^n) \rightarrow e-(a)^n\rightarrow e-a^n&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;e\cdot ((a)^n) \rightarrow e\cdot a^n&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;e\div ((a)^n) \rightarrow e\div a^n&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;background:#fdd&quot; colspan=&quot;2&quot;|&lt;math&gt;e(-((a)^n)) \rightarrow e(-(a)^n)\rightarrow e(-a^n)&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;background:#fdd&quot; colspan=&quot;2&quot;|&lt;math&gt;e\div(-((a)^n)) \rightarrow e\div(-(a)^n)\rightarrow e\div(-a^n)&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;background:#fdd&quot;|&lt;math&gt;\left(\left(a^n\right)^m\right)\rightarrow\left(a^n\right)^m&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;a^{\left(n^m\right)} \rightarrow a^{n^m}&lt;/math&gt;
|}

Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los.
|}

;Tipografia

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 0px solid #fff; background:#fff;width:100%;&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure més&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència.
|-
|
*Calculadora segons les tecles: 
::{|style=&quot;border: 0px solid #000;&quot; cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|7
|width=&quot;10px&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|^
|width=&quot;10px&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|5
|width=&quot;10px&quot;|
|és equivalent a &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;
|}

::{|style=&quot;border: 0px solid #000;&quot; cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|7
|width=&quot;10px&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|&lt;span style=&quot;font-size:90%&quot;&gt;&lt;math&gt;x^y&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;
|width=&quot;10px&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #000;&quot;|5
|width=&quot;10px&quot;|
|és equivalent a &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;
|}

*Programació segons el llenguatge:
::C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a &lt;math&gt;n=7^5.&lt;/math&gt;
::JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a &lt;math&gt;n=7^5.&lt;/math&gt;

:*Notació científica per a C, C++, JS i Python:
::i=3.2e23; és equivalent a i=&lt;math&gt;3,2\cdot 10^{23}.&lt;/math&gt;
::i=3.2E23; és equivalent a i=&lt;math&gt;3,2\cdot 10^{23}.&lt;/math&gt;

*Latex per escriure documents d'alt nivell dins de:
::LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a &lt;math&gt;3,2^{-13}.&lt;/math&gt;
::Wikipedia: &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;3,2^{-13}&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt; és equivalent a &lt;math&gt;3,2^{-13}.&lt;/math&gt;
|}

==== Propietats 2 ====

{|style=&quot;border: 1px solid #00f;&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot; width=&quot;660px&quot; bgcolor=&quot;#f9f9ff&quot;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;250px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;a^n \cdot a^m=a^{n+m}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt;a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times  \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}&lt;/math&gt;
|}
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;400px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;\left(a^m \right)^n=a^{m \cdot n}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt;(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times &amp; \cdots &amp; \times a \times \\ \vdots &amp; &amp; \vdots \\ a \times &amp; \cdots &amp; \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt;(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n&lt;/math&gt;
|}
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;220px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;(-a)^n=\begin{cases} a^n &amp; \text{ si n parell } \\
-a^n &amp; \text{ si n imparell } \end{cases}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
(-a)^1 = &amp; -a \\
(-a)^2 = &amp; (-a)\times (-a) = a^2\\
(-a)^3 = &amp; \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\
\vdots &amp; \\
(-a)^n = &amp; \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ parell }} = a^n\\
(-a)^n = &amp; \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ per tant és } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ imparell }}) = -(a^n),
\end{array}&lt;/math&gt;
|}
|}

'''Notació''' per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:

&lt;math&gt;\begin{array}{|c l|}
\hline
a^{-1}= &amp; \frac{1}{a} \\
\hline
\end{array}\;&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;\;a\neq 0&lt;/math&gt;

==== Propietats 3 ====

{|style=&quot;border: 1px solid #00f;&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot; bgcolor=&quot;#f9f9ff&quot; width=&quot;600px&quot;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;250px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;a^{-n}=\frac{1}{a^n}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Aplicant la notació a &lt;math&gt;a^n:&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{n}}&lt;/math&gt;
|}
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;250px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;a^n=\frac{1}{a^{-n}}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|Idem:

&lt;math&gt;a^{n}=\left(a^{-n}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;95px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt; \left(\frac{a}{b}\right)^n&lt;/math&gt;&lt;math&gt;=\left( a \cdot b^{-1} \right)^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= a^n \cdot b^{-n}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac{a^n}{b^n} &lt;/math&gt;

O de forma estesa:

&lt;math&gt; \left(\frac{a}{b}\right)^n&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} &lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \frac{a^n}{b^n}&lt;/math&gt;
|}
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;160px&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|&lt;math&gt;\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|&lt;math&gt;\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= a^{m+(-n)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= a^{m-n}&lt;/math&gt;
De forma estesa donant peu a tres casos:
&lt;math&gt; =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} &lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\begin{cases}\begin{matrix}
\frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} &amp; \text{Si } m&gt;n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1&amp; \text{Si } m=n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}&amp; \text{Si } m&lt;n
\end{matrix}\end{cases}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;\,a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;\left(\tfrac{1}{b}\right)^{-1}=b\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-1}=\tfrac{b}{a}&lt;/math&gt;
|}

===== Exemples =====

1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma &lt;math&gt;\Big(\;\;...\;\;\Big)^s:&lt;/math&gt;
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i test&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\frac{ (a^6)^2\cdot \left( \frac{a^3}{a^5}\right)^3 }{ b^{11}\cdot b^{-5} }\;=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Es seleccionen elements que es poden agrupar com:

:&lt;math&gt;\;(a^6)^2=a^{6\cdot 2}=a^{12}\;\;,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\;\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}\;\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\;b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6&lt;/math&gt;

L'expressió inicial queda simplificada com &lt;math&gt;\frac{ a^{12}\;\cdot \;(\;a^{-2}\;)^3 }{ b^6 }&lt;/math&gt;

Agrupem tot el numerador &lt;math&gt;a^{12}\cdot (a^{-2})^3 =a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6\;:&lt;/math&gt;

L'expressió inicial queda ara com &lt;math&gt;\frac{ a^6 }{ b^6 }&lt;/math&gt; i agrupant potències queda &lt;math&gt;\left(\;\frac{a}{b}\;\right)^6&lt;/math&gt;

Per tant queda com a una sola potència.

'''Test'''

La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un '''sondeig''' amb nombres primers, com &lt;math&gt;a=3&lt;/math&gt; i el &lt;math&gt;b=5,&lt;/math&gt; i a cop de calculadora es fa el sondeig:

:&lt;math&gt;\frac{ (3^6)^2\cdot \left( \frac{3^3}{3^5}\right)^3 }{ 5^{11}\cdot 5^{-5} }=\frac{ 729^2\cdot \left( \frac{27}{243}\right)^3 }{ 15\;625 }=\frac{729}{15\;625}=\left(\frac{3}{5}\right)^6&lt;/math&gt;

S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i test&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|b) &lt;math&gt;\frac{ a^6\cdot b^6 }{ (a\cdot b)^6 +\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2} \right)^6 }\;=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Es seleccionen elements que es poden agrupar com:

:&lt;math&gt;a^6\cdot b^6=(a\cdot b)^6\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3\;b^3}{b^2\;a^2}=a^{3-2}\;b^{3-2}=a\cdot b&lt;/math&gt;

L'expressió inicial queda tot de cop com &lt;math&gt;\frac{ (a\cdot b)^6 }{ (a\cdot b)^6 +(a\cdot b)^6 }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ (a\cdot b)^6 }{2 (a\cdot b)^6  }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ \cancel{(a\cdot b)^6} }{2 \cancel{(a\cdot b)^6}  }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

'''Nota:''' és important que &lt;math&gt;\frac{ \cancel{c} }{ \cancel{c} }=\frac{1}{1}=1&lt;/math&gt; només es pot fer si &lt;math&gt;c\neq 0.&lt;/math&gt;

'''Test'''

S'agafa doncs &lt;math&gt;a=3&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b=5&lt;/math&gt; per fer '''un''' sondeig a veure que surt:

&lt;math&gt;\frac{ 3^6\cdot 5^6 }{ (3\cdot 5)^6 +\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2} \right)^6 }=\frac{11\;390\;625}{22\;781\;250}=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

S'ha fet així almenys un sondeig.
|}
|}

2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma &lt;math&gt;\frac{\Big(\;\;...\;\;\Big)}{\Big(\;\;...\;\;\Big)}:&lt;/math&gt;
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\frac{r\cdot\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2} }{ \frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;} }\;=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, &lt;math&gt;\frac{1}{\;\;\frac{a}{b}\;\;}=\frac{b}{a},&lt;/math&gt; i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, &lt;math&gt;\frac{\;\;\frac{1}{a}\;\;}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.&lt;/math&gt;

Una altra alternativa és utilitzar la fórmula &lt;math&gt;\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\;d}{b\;c}&lt;/math&gt; segament.

Es seleccionen elements que es poden agrupar com:

:&lt;math&gt;\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{r^2}=\color{grey}\frac{\;\;\tfrac{r^3}{s^4}\;\;}{\frac{\;\;r^2\;\;}{1}}\color{black}=\frac{r^3\; 1}{s^4\; r^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\frac{1}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}=\color{grey}\frac{\tfrac{1}{1}}{\;\;\tfrac{r}{s}\;\;}\color{black}=\frac{s\; 1}{r\; 1}=\frac{s}{r}&lt;/math&gt;

Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més &lt;math&gt;\frac{r\cdot\frac{r}{s^4} }{ \frac{s}{r} }=\frac{r^2\;r}{s^4\;s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.&lt;/math&gt;
|}
|}

3) Simplifica al màxim:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\frac{x^2 \;10^{10}\; y^4\;9^{10} }{ 6^{9}\; x^7\; y^2\; 15^{11} }\;=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base:

Al numerador hi ha &lt;math&gt;10^{10}=(2\cdot 5)^{10}=2^{10}\;5^{10}\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;9^{10}=(3\cdot 3)^{10}=3^{10}\;3^{10}=3^{10+10}=3^{20}&lt;/math&gt;

Al denominador hi ha &lt;math&gt;6^{9}=(2\cdot 3)^{9}=2^{9}\;3^{9}\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;15^{11}=(3\cdot 5)^{11}=3^{11}\;5^{11}&lt;/math&gt;

Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius:

:&lt;math&gt;\frac{x^2 \;2^{10}\;5^{10}\; y^4\;3^{20} }{ 2^{9}\;3^{9}\; x^7\; y^2\; 3^{11}\;5^{11} }\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\;\frac{ 2^{10-9}\;y^{4-2}\;3^{20-9-11} }{ x^{7-2}\;5^{11-10} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\;\frac{2\;y^2}{x^5\;5}.&lt;/math&gt;
|}
|}

===== Exercicis =====

1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;230px&quot;|a) &lt;math&gt;(2\;a)^5\left(\frac{2^3}{2^4 a}\right)^2&lt;/math&gt;
|width=&quot;230px&quot;|b) &lt;math&gt;\left(\frac{(a^5 3)^2}{(3^5 a)^2}\right)^3&lt;/math&gt;
|width=&quot;400px&quot;|c) &lt;math&gt;\frac{a^{15}+b^{20}+(-b)^{20}+(-a)^{15}}{2\;a^{10}\;b^{10}}&lt;/math&gt;
|}

2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;230px&quot;|a) &lt;math&gt;a^6\, b^{-3}\, 5^{10}\,15^{-5}&lt;/math&gt;
|width=&quot;230px&quot;|b) &lt;math&gt;\frac{\;\;\frac{(-2^2)^3\,a^4}{(b^2)^5}\;\;}{\frac{2^8}{a^4}\,\frac{b^4}{(a^{-1})^{3}} }&lt;/math&gt;
|width=&quot;240px&quot;|c) &lt;math&gt;\left(\tfrac{3}{2}\right)^5\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6}\left(\tfrac{7}{2}\right)^{-4}&lt;/math&gt;
|}

=== Arrels ===

Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus &lt;math&gt;x^n=a&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; és la incògnita.

'''Definició''': L'arrel n-èsima de a, &lt;math&gt;\sqrt[n]{a},&lt;/math&gt; és un valor real &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; i implica o compleix que &lt;math&gt;r^n=a&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;2\le n.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;És correcte que &lt;math&gt;\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a&lt;/math&gt; i no &lt;math&gt;r^n=a\;\Rightarrow\;\sqrt[n]{a}=r,&lt;/math&gt; per exemple:
:És correcta la implicació &lt;math&gt;\sqrt{4}=2\;\Rightarrow\;2^2=4&lt;/math&gt;

:És falsa la implicació &lt;math&gt;(-2)^2=4\;\Rightarrow\;\sqrt{4}=-2&lt;/math&gt;

L'arrel quadrada és una funció i mai pot dir que &lt;math&gt;\sqrt{4}=\pm\;2,&lt;/math&gt; això només ho poden fer les equacions del tipus &lt;math&gt;x^2=4&lt;/math&gt; que sí generen dos solucions &lt;math&gt;x_1=2\;,\;x_2=-2.&lt;/math&gt;

En cas d'utilitzar &lt;math&gt;\sqrt[n]{a}=r\;\Leftrightarrow\;r^n=a&lt;/math&gt; és obligat que estigui acompanyat de &lt;math&gt;a\geqslant 0.&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 1px solid #000&quot; align=&quot;center&quot;
|&lt;math&gt;\sqrt[n]{a}=r\;\Rightarrow\;r^n=a&lt;/math&gt;
|}

'''Notació''': &lt;math&gt;\sqrt[n]{a}\;=\;a^{\frac{1}{n}}&lt;/math&gt;

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d;width:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|'''Justificació''' &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt;
|-
|Donada l'equació &lt;math&gt;x^5=3,&lt;/math&gt; suposem que per hipòtesi '''una''' solució és una potència com &lt;math&gt;3^n,&lt;/math&gt; llavors en substituir-lo a l'equació queda &lt;math&gt;(3^n)^5=3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1&lt;/math&gt; i és cert quan &lt;math&gt;n\cdot 5=1&lt;/math&gt; és a dir &lt;math&gt;n=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; llavors la solució sí es una potencia i ha de ser &lt;math&gt;3^n=3^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d;width:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|'''Lèxic''' &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt;
|-
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|Índex
|||||Radical
|-
|||&lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;
|||align=&quot;left&quot;|&lt;math&gt;\swarrow&lt;/math&gt;
|-
|||||&lt;span style=&quot;font-size:200%&quot;&gt;&lt;math&gt;\sqrt[n]{\,a\;}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;
|colspan=&quot;3&quot;|&lt;span style=&quot;font-size:200%&quot;&gt;&lt;math&gt;=x&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;math&gt;\leftarrow&lt;/math&gt; Valor de l'arrel o arrel.
|-
|||||align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\;\;\uparrow&lt;/math&gt;
|-
|||||colspan=&quot;4&quot;|Radicand
|}

&lt;math&gt;\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}&lt;/math&gt; és l'arrel '''quadrada''' de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}&lt;/math&gt; és l'arrel '''cúbica''' de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}&lt;/math&gt; és l'arrel '''quarta''' de &lt;math&gt;x.&lt;/math&gt;

i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; '''cinquena''', '''sisena''', ... .
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d;width:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|'''Factorització del radicand''' &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt;
|-
|S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, &lt;math&gt;x,&lt;/math&gt; quants divisor primers, &lt;math&gt;p_i,&lt;/math&gt; té i queda expressat de la següent manera:

:&lt;math&gt;x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}&lt;/math&gt;

Això vol dir que el nombre &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; té &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; divisors.

Exemple: &lt;math&gt;360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5&lt;/math&gt; per tant podem dir que &lt;math&gt;p_1=2\; on\; n_1=3,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;p_2=3\; on\; n_2=2&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;p_3=5\; on\; n_3=1,&lt;/math&gt; llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i &lt;math&gt;r=3.&lt;/math&gt;

L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments.
|}

==== Propietats 4 ====

1) No sempre hi ha arrels:

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;4&quot; style=&quot;border: 1px solid #88e; background:#fff&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #88e; background:#ace&quot; colspan=&quot;3&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\sqrt[n]{\;a\;}=r&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|n parell
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|n imparell
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|&lt;math&gt;a&lt;0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e; background:#fa8&quot;|No existeix &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|Existeix &lt;math&gt;r&lt;0&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|&lt;math&gt;a\ge 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|Existeix &lt;math&gt;r\ge 0&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|Existeix &lt;math&gt;r\ge 0&lt;/math&gt;
|}

'''Nota''': Si &lt;math&gt;-b&lt;0&lt;/math&gt; i '''n''' imparell podem reescriure l'arrel &lt;math&gt;\sqrt[n]{\;-b\;}=-\sqrt[n]{\;b\;}&lt;/math&gt;

2) Queda definit que &lt;math&gt;\sqrt[n]{\;a\;}^{\;m} =\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;\frac{m}{n}&lt;/math&gt; es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial '''n''' parell independentment de es si simplifica amb '''m'''.

3) No sempre es pot equiparar la notació ja que '''m''' parell dins l'arrel es carrega el signe.

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;4&quot; style=&quot;border: 1px solid #88e; background:#fff&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #88e; background:#ace&quot; colspan=&quot;3&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\sqrt[n]{a^{\phantom{1} m}}=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|n parell
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|n imparell
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|m parell
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;|a|^{\tfrac{m}{n}}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;|a|^{\tfrac{m}{n}}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot;|m imparell
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a^{\tfrac{m}{n}}{}_{a\ge 0}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px solid #88e;&quot; align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a^{\tfrac{m}{n}}&lt;/math&gt;
|}

===== Exemples =====

1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\sqrt[6]{\;64\;}=2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''
Com que &lt;math&gt;64&gt;0&lt;/math&gt; llavors es pot fer el càlcul
:&lt;math&gt;\sqrt[6]{\;64\;}=\sqrt[6]{\;2^6\;}=2^{\tfrac{6}{6}}=2.&lt;/math&gt;

'''Prova'''

El requeriment de la definició és que &lt;math&gt;2^6=64&lt;/math&gt; i confirma el càlcul.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;\sqrt[3]{\;-125\;}=-5&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''
Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa.
:&lt;math&gt;\sqrt[3]{\;-125\;}=-\sqrt[3]{\;125\;}=-\sqrt[3]{\;5^3\;}=-5^{\tfrac{3}{3}}=-5.&lt;/math&gt;

'''Prova'''

El requeriment de la definició és que &lt;math&gt;(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125&lt;/math&gt; i confirma el càlcul.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|c) &lt;math&gt;\sqrt[4]{\;-32\;}&lt;/math&gt; no existeix.
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''
Com que quatre és parell i &lt;math&gt;-32&lt;0&lt;/math&gt; llavors l'arrel no existeix.

No fa falta prova.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|d) &lt;math&gt;\sqrt[8]{(-3)^8}=3&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''
Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i &lt;math&gt;(-3)^8&gt;0&lt;/math&gt; llavors l'arrel existeix i dona positiu.
:&lt;math&gt;\sqrt[8]{(-3)^8}=\sqrt[8]{(3)^8}=3^{\tfrac{8}{8}}=3^1=3.&lt;/math&gt;

'''Prova'''

El requeriment de la definició és que &lt;math&gt;(-3)^8=(3)^8&lt;/math&gt; i confirma el càlcul.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Resolució i prova&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|e) &lt;math&gt;\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=-5&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Resolució'''

El signe escapa a la potència setena quedant:

:&lt;math&gt;\sqrt[7]{\;(-5)^7\;}=\sqrt[7]{-5^7\;}&lt;/math&gt;

Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel:

:&lt;math&gt;\sqrt[7]{-5^7\;}=-\sqrt[7]{5^7\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=-5^{\frac{7}{7}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=-5^1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=-5.&lt;/math&gt;
|}
|}

===== Exercicis =====

1) Confirma que existeix i calcula:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;180px&quot;|a) &lt;math&gt;\sqrt[4]{\;2^{\;8}\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|b) &lt;math&gt;\sqrt[8]{\,(-4)^4\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|c) &lt;math&gt;\sqrt[6]{-3\;}^{\;2}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|d) &lt;math&gt;\sqrt[3]{-1\;000\;000}&lt;/math&gt;
|-
|||e) &lt;math&gt;\sqrt[6]{\;6^{12}\;}&lt;/math&gt;
|f) &lt;math&gt;\sqrt[172]{-1^2}&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;\sqrt[30]{0^7}&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\sqrt[2]{-1}^{\;20}&lt;/math&gt;
|-
|||i) &lt;math&gt;\sqrt[137]{\,2^{137}}&lt;/math&gt;
|j) &lt;math&gt;\sqrt[571]{\,x\,}^{\,571}&lt;/math&gt;
|k) &lt;math&gt;\sqrt[n]{\,2603^{n}\,}&lt;/math&gt;
|l) &lt;math&gt;\sqrt[x]{\,y\,}^{\;x}&lt;/math&gt;
|}

==== Propietats 5 ====

Considerant &lt;math&gt;a\geq 0\,&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\,b&gt; 0&lt;/math&gt; surt la taula:

{|style=&quot;border: 1px solid #00f;&quot; cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot; width=&quot;660px&quot; bgcolor=&quot;#f9f9ff&quot;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;250px&quot;|&lt;math&gt;a^{\frac{m}{n} }\cdot a^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot; width=&quot;400px&quot;|&lt;math&gt;\left(a^{\frac{m}{n} }\right)^{\frac{p}{q} }=a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq} }&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;a^{\frac{m}{n} } \cdot b^{\frac{m}{n} }=\left(a \cdot b \right)^{\frac{m}{n} }&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;\;1^{\frac{m}{n} }=1\;\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\;a^{-\frac{m}{n} }=\frac{1}{a^{\frac{m}{n} }}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ a^{\frac{p}{q} } }=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}&lt;/math&gt;
|style=&quot;border: 1px  solid #00f;&quot;|&lt;math&gt;\frac{a^{\frac{m}{n} } }{ b^{\frac{m}{n} } }=\left(\frac{ a }{ b }\right)^{\frac{m}{n}}&lt;/math&gt;
|}

===== Exemples =====

1) Simplificacions:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

Es converteix a notació de potències per unificar-les

&lt;math&gt;\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}&lt;/math&gt;

Apliquem propietat 1 simplificant:

&lt;math&gt;3^{\frac{7}{15}}3^{\frac{3}{10}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{23}{30}}&lt;/math&gt;

Com a arrels queda: &lt;math&gt;\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^3\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[30]{\;3^{23}\;}&lt;/math&gt;

'''Curiositat'''

Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú &lt;math&gt;r=r_1r_2..&lt;/math&gt; es a dir:

&lt;math&gt;\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}\left(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}\right)=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}&lt;/math&gt;

Ara cal que &lt;math&gt;s=xv+yu&lt;/math&gt; sigui factoritzable per estètica amb &lt;math&gt;x&gt;1&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;y&gt;1&lt;/math&gt;

Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents '''s''' fins que factoritzi en més d'un terme &lt;math&gt;s=s_1s_2...&lt;/math&gt; i tot seguit prenen per exemple &lt;math&gt;r=s_2&lt;/math&gt; una suma de fraccions pot ser &lt;math&gt;\frac{x}{s_2u}+\frac{y}{s_2v}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències

:&lt;math&gt;\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{\;2^7\;}}\right)^{30}=\left(2^{\frac{7}{15}}\right)^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2&lt;/math&gt;

Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|c) &lt;math&gt;\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels:

:&lt;math&gt;\sqrt{\;6^3\;}\sqrt{\;15^3\;}\sqrt{\;10^3\;}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15)^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}&lt;/math&gt;

Ara tornem a aplicar la propietat

:&lt;math&gt;=(6\cdot 15\cdot 10)^{\frac{3}{2}}=(900)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\;900\;}^3=30^3=27\,000&lt;/math&gt;

'''Curiositat'''

&lt;math&gt;\sqrt[5]{\;7^2\;}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?&lt;/math&gt;

en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda:

1) &lt;math&gt;\left(7^2\right)^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}7^{\frac{1}{5}}=(7^5)^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7&lt;/math&gt;

2) &lt;math&gt;\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7&lt;/math&gt;

casualment amb una mica d'ull:

:&lt;math&gt;=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\left(\sqrt[5]{7}\right)^5=7^{\frac{5}{5}}=7&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|d) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

Mateixa base per tant apliquem propietat 5

:&lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;5^3\;} }{\left(\sqrt[6]{5}\right)^5}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{5^{\frac{3}{2}} }{5^{\frac{5}{6}} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5^{\frac{4}{6} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5^{\frac{2}{3} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[3]{\;5\;}^{\,2}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|e) &lt;math&gt;\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

Apliquem propietat 6

:&lt;math&gt;\frac{\sqrt[7]{64^{13}\;} }{\left(\sqrt[7]{32}\right)^{\,13} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{64^{\frac{13}{7}} }{32^{\frac{13}{7}} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\left(\frac{64 }{32 }\right)^{\frac{13}{7}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^{\frac{13}{7}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[7]{\,2\,}^{\,13}.&lt;/math&gt;
|}

|}

===== Exercicis =====

1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;180px&quot;|a) &lt;math&gt;\sqrt[15]{\;3^7\;}\sqrt[10]{\;3^7\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|b) &lt;math&gt;\sqrt[28]{\;7^5\;}\sqrt[21]{\;7^5\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|c) &lt;math&gt;\sqrt[85]{\;x^3\;}\;\sqrt[119]{\;x^6\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|d) &lt;math&gt;\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}\sqrt[3]{4\,}^{\,2}&lt;/math&gt;
|-
|||e) &lt;math&gt;\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{7}} }&lt;/math&gt;
|f) &lt;math&gt;\left( 5^{\frac{9}{10}} \right)^{\frac{4}{15}}&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;\left( y^{0,5} \right)^{0,2}&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\sqrt{\frac{1}{ \sqrt[3]{\sqrt{3}\,}^{\,2}\, }}^{\,-3}&lt;/math&gt;
|-
|||i) &lt;math&gt;\sqrt[7]{4}^{\,5}\sqrt[7]{9}^{\,5}&lt;/math&gt;
|j) &lt;math&gt;\sqrt[5]{2}^{\,2}\sqrt[5]{3^2}&lt;/math&gt;
|k) &lt;math&gt;\sqrt[15]{u^{5} }\;v^{\frac{1}{3}}&lt;/math&gt;
|l) &lt;math&gt;\sqrt{6^{3\,}}\sqrt[6]{24}^{\,9}&lt;/math&gt;
|-
|||m) &lt;math&gt;\frac{\sqrt[11]{\,9\,}^{\,3} }{\sqrt[11]{\,9^{\,2}\,} }&lt;/math&gt;
|n) &lt;math&gt;\left(\frac{ \sqrt{13} }{ \sqrt[3]{13} }\right)^6&lt;/math&gt;
|o) &lt;math&gt;\frac{ r^{\frac{7}{2}} }{ r^{2,5} }&lt;/math&gt;
|p) &lt;math&gt;\frac{ \sqrt[5]{2^4} }{\;\frac{ \sqrt[15]{2^3} }{ \sqrt[10]{2^5} }\;}&lt;/math&gt;
|-
|||q) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\,12\,}^{\,3} }{\sqrt{\,3\,}^{\,3} }&lt;/math&gt;
|r) &lt;math&gt;\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{\sqrt{ 27 }} }&lt;/math&gt;
|s) &lt;math&gt;\frac{ \sqrt[5]{8\,x} }{ (2\,x)^{0,2} }&lt;/math&gt;
|t) &lt;math&gt;\frac{ \;\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}\; }{ \sqrt{6} }&lt;/math&gt;
|}

==== Simplificació i racionalització ====

En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs.

===== Extracció de factors del radicant =====

'''Idea lenta''': Volem extreure part de la potència dins l'arrel &lt;math&gt;\sqrt[13]{\,3^{27}\,},&lt;/math&gt; llavors fem grups de 13 dins del 27 així &lt;math&gt;27=13+13+1,&lt;/math&gt; llavors fem:

:&lt;math&gt;\sqrt[13]{\,3^{27}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13+13+1}\,}=\sqrt[13]{\,3^{13}\,3^{13}\,3^1\,}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^{13}\,}\,\sqrt[13]{\,3^1\,}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3\cdot 3\sqrt[13]{3}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=9\sqrt[13]{3}.&lt;/math&gt;

'''Mètode general''': Donada l'arrel &lt;math&gt;\sqrt[n]{\,a^{m}\,},&lt;/math&gt; sempre amb &lt;math&gt;n&lt;m,&lt;/math&gt; se li ha de demanar ¿quants grups de '''n''' hi ha a '''m'''? i això es fa així: &lt;math&gt;\begin{matrix} m\\ r \end{matrix}\frac{\big|\,n}{q}&lt;/math&gt; llavors la divisió entera ens diu que hi ha '''q''' grups de '''n''' dins de '''m''' i que han sobrat &lt;math&gt;0&lt;r&lt;n&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;\sqrt[n]{\,a^{m}\,},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=a^q\;\sqrt[n]{\,a^{r}\,}.&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;n&gt;r&lt;/math&gt; garanteix que hem finalitzat.

====== Exemples ======

1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\sqrt[11]{\;5^{64}\;}=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Divisió entera'''

&lt;math&gt;64\div 11 = 5&lt;/math&gt; amb reste 9, per tant:

&lt;math&gt;\sqrt[11]{\;5^{64}\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=5^5\;\sqrt[11]{\;5^9\;}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;\sqrt[20]{\;3^{88}\;}=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

&lt;math&gt;\sqrt[20]{\;3^{88}\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{88}{20}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{\frac{22}{5}}&lt;/math&gt;

'''Divisió entera'''

&lt;math&gt;22\div 5=4&lt;/math&gt; amb reste 2, llavors &lt;math&gt;3^{\frac{22}{5}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^{4+\tfrac{2}{5}},&lt;/math&gt; finalment:

:&lt;math&gt;\sqrt[20]{\;3^{88}\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=3^4\;\sqrt[5]{\;3^2\;}&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|c) &lt;math&gt;\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Simplificació'''

&lt;math&gt;\sqrt[14]{\;2^{40}\;}\sqrt[7]{\;2\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{\;2\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}&lt;/math&gt;

Camí llarg però ideal:

'''Divisió entera'''

&lt;math&gt;20\div 7=2&lt;/math&gt; amb reste 6, llavors &lt;math&gt;2^{\frac{20}{7}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^{2+\tfrac{6}{7}},&lt;/math&gt; finalment:

:&lt;math&gt;2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{\;2\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^2\;\sqrt[7]{\;2^6\;}\sqrt[7]{\;2\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^2\;\sqrt[7]{\;2^7\;}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^2\cdot 2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=2^3.&lt;/math&gt;
|}
|}

===== Racionalització simple =====

A un denominador amb una arrel de la forma &lt;math&gt;\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}&lt;/math&gt; amb &lt;math&gt;n&gt;d&lt;/math&gt;, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma &lt;math&gt;\sqrt[n]{\;c^e\;},&lt;/math&gt; i sabem que &lt;math&gt;d+e=n\Leftrightarrow e=n-d.&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;\frac{a}{b\;\sqrt[n]{\;c^d\;}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{a\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}{b\cdot\sqrt[n]{\;c^d\;}\cdot\color{red}{\sqrt[n]{\;c^e\;}}\color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{a\;\sqrt[n]{\;c^e\;}}{b\cdot c}&lt;/math&gt;

Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples:

====== Exemples ======

1) Es demana racionalitzar les següents expressions:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Racionalització simple'''

:&lt;math&gt;\frac{1}{ \sqrt{\;2\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;}\color{black} }{ \sqrt{\;2\;}\cdot\color{red}\sqrt{\;2\;} \color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\sqrt{\;2\;} }{2}&lt;/math&gt;

Perquè &lt;math&gt;\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1&lt;/math&gt; o també evidentment &lt;math&gt;\sqrt{2}^2=2&lt;/math&gt;

I la solució &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;2\;}}{2}&lt;/math&gt; ja no te cap arrel al denominador.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Racionalització simple'''

:&lt;math&gt;\frac{1}{ \sqrt[5]{\;7^4\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;}\color{black} }{ \sqrt[5]{\;7^4\;}\cdot\color{red}\sqrt[5]{\;7\;} \color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}&lt;/math&gt;

Perquè &lt;math&gt;\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1&lt;/math&gt; o també evidentment &lt;math&gt;\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7&lt;/math&gt;

I la solució &lt;math&gt;\frac{\sqrt[5]{\;7\;} }{7}&lt;/math&gt; ja no te cap arrel al denominador.
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|c) &lt;math&gt;\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Racionalització simple'''

:&lt;math&gt;\frac{\sqrt[4]{6}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{ \sqrt[4]{\;2\;}\sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;}\color{black} }{ \sqrt[4]{\;3\;}\cdot\color{red}\sqrt[4]{\;3^3\;} \color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\;\sqrt[4]{\;3^4\;} }{\sqrt[4]{\;3^4\;}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[4]{\;2\;}&lt;/math&gt;

Perquè &lt;math&gt;\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1&lt;/math&gt; o també &lt;math&gt;\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3&lt;/math&gt;

I la solució &lt;math&gt;\sqrt[4]{\;2\;}&lt;/math&gt; ja no te ni denominador.

¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert:

&lt;math&gt;\frac{\sqrt[4]{\;6\;}}{ \sqrt[4]{\;3\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\sqrt[4]{\;2\;}\cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }{ \cancel{\sqrt[4]{\;3\;}} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt[4]{\;2\;}&lt;/math&gt;

Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan.
|}
|}

===== Racionalització amb binomi =====

{|class=&quot;floatright&quot; width=&quot;149px&quot; style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;  cellpadding=&quot;3&quot; cellspacing=&quot;0&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;(a+b)^2=a^2+2ab+b^2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;(a+b)(a-b)=a^2-b^2&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;(a+b)^n=a^n+\dots+{n \choose i}a^{n-i}b^i+\dots+b^n&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #08f&quot;|&lt;math&gt;\begin{array}{lc}n=0&amp;1\\
n=1&amp;1\;\;1\\
n=2&amp;1\;\;\;2\;\;\;1\\
n=3&amp;1\;\;\;3\;\;\;3\;\;\;1\\
n=4&amp;1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1\\
n=5&amp;1\;\;\;5\;\;10\;\;10\;\;\;5\;\;\;1\\
n=6&amp;\;\;1\;\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;\;1\;\;\\
n=7&amp;\;\;1\;\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;\;1\;\; \end{array}&lt;/math&gt;
|}

A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma &lt;math&gt;\frac{a}{b\;\sqrt{\;c\;}+r\;\sqrt{\;s\;}}&lt;/math&gt; només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant '''un únic''' signe.

'''Exemples''' de caprici però directes:

*&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\color{black}}&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{red}\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\color{black}}&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=-\;\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}&lt;/math&gt; 

====== Exemples ======

1) Es demana racionalitzar les següents expressions:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%&quot;
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|a) &lt;math&gt;\frac{1}{1+\sqrt{\;2\;} }=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Racionalització simple'''

:&lt;math&gt;\frac{1}{ 1+\sqrt{\;2\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1\cdot\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black} }{\left(1+\sqrt{\;2\;}\right)\color{red}\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)\color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{1-\sqrt{\;2\;} }{1-2}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=-\left(1-\sqrt{\;2\;}\right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\sqrt{\;2\;}-1&lt;/math&gt;
|}
|-
|style=&quot;border: 1px solid #77d;width:50%&quot; valign=&quot;top&quot;|
{|cellspacing=&quot;3&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Simplificació&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|b) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }=&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fff&quot;|'''Racionalització simple'''

:&lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;2\;}+1}{-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;} }&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black} }{\left(-\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{red}\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right)\color{black}}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\sqrt{\;2\cdot 6\;}+\sqrt{\;2\cdot 10\;}+1\cdot\sqrt{\;6\;}+1\cdot\sqrt{\;10\;}}{10-6}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{2\sqrt{\;3\;}+2\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}}{4}&lt;/math&gt;

També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar &lt;math&gt;\sqrt{\;2\;}&lt;/math&gt; del segon binomi al primer millorant molt poc:

&lt;math&gt;\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\left(\sqrt{\;6\;}+\sqrt{\;10\;}\right) }{4}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}+1\right)\cdot\sqrt{\;2\;}\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\left(\sqrt{\;2\;}\cdot\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;2\;}\cdot 1\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\frac{\left(2+\sqrt{\;2\;}\right)\cdot\left(\sqrt{\;3\;}+\sqrt{\;5\;}\right) }{4}&lt;/math&gt;
|}
|}

====== Exercicis ======

1) Simplifica i redueix al màxim, considerant &lt;math&gt;a,b,c,d,x&gt;0&lt;/math&gt;:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|width=&quot;180px&quot;|a) &lt;math&gt;\sqrt[5]{\;a^{127}\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|b) &lt;math&gt;\sqrt{a^4b^5c^6d^7}&lt;/math&gt;
|width=&quot;180px&quot;|c) &lt;math&gt;\sqrt{\;x^5\sqrt[3]{\;a^{26}\;}\;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;300px&quot;|d) &lt;math&gt;\sqrt{ \sqrt[3]{\;a^2\;}\;\;b\; }\;\sqrt[3]{ a^2\sqrt{\;b^3\;} }&lt;/math&gt;
|-
||
|e) &lt;math&gt;\frac{1}{\;\sqrt[4]{\;2^3\;}\;}&lt;/math&gt;
|f) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;a^7\;}+1}{\sqrt{\;a^9\;b^7\;}}&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;\frac{2-\sqrt[3]{\;7\;}}{\sqrt[3]{\;7^2\;}}&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;a\;}}{\sqrt[30]{\;a^{27}}}&lt;/math&gt;
|-
||
|i) &lt;math&gt;\frac{1}{2\sqrt{2}+3}&lt;/math&gt;
|j) &lt;math&gt;\frac{2}{3\sqrt{\;5\;}-\sqrt{\;6\;}}&lt;/math&gt;
|k) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;2\;}}{-\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;7\;}}&lt;/math&gt;
|l) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;2\;} - \sqrt{\;3\;}}{\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;3\;}}&lt;/math&gt;
|}

====== Reptes ======

1) Racionalitza

:&lt;math&gt;\frac{1}{\;\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}\;}&lt;/math&gt;

==== Connexions ====

;Recordatori de geometria elemental

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d;width:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|'''Semblança''' &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt;
|-
|[[File:Correspondencia de triángulos.svg]]

Es diu que dos triangles corresponents, &lt;math&gt;ABC\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;A'B'C',&lt;/math&gt; són '''semblants''' si compleixen una de les condicions equivalents següents:

:i) A la vegada &lt;math&gt;\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.&lt;/math&gt;

:ii) Un parell de les igualtats &lt;math&gt;\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\frac{c}{b}=\frac{c'}{b'}.&lt;/math&gt;

:iii) A la vegada &lt;math&gt;\alpha=\alpha',\;\beta=\beta'\; i\;\gamma=\gamma'&lt;/math&gt;

'''Nota''': Si un no es vol perdre amb '''correspondència''', s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació &lt;math&gt;\;a&lt;b&lt;c\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;a'&lt;b'&lt;c'.&lt;/math&gt;
|}

{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d;width:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Veure&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|'''Triangles notables''' &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt;
|-
|Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents:

Semblances dels triangles &lt;math&gt;45^\circ,\;45^\circ,90^\circ&lt;/math&gt;

{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
! [[File:Triangulo Notable 001.svg|170px]]
|width=&quot;20&quot;|
! [[File:Triangulo Notable 002.svg|200px]]
|width=&quot;20&quot;|
! [[File:Triangulo Notable 003.svg|180px]]
|}

Semblances dels triangles &lt;math&gt;60^\circ,\;30^\circ,90^\circ&lt;/math&gt;

{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
! [[File:Triangulo Notable 004.svg|165px]]
|width=&quot;20&quot;|
! [[File:Triangulo Notable 005.svg|170px]]
|width=&quot;20&quot;|
! [[File:Triangulo Notable 006.svg|180px]]
|}

|}

===== Exemples =====

{|cellspacing=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;1&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|1.- Demostreu que els triangles següents són semblants
[[File:Semejanza 001.svg|600px]]
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6&quot;|
Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor:

:&lt;math&gt;\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }&lt;/math&gt;

Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa:

*&lt;math&gt;\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{\sqrt{5}}{20}.&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{\sqrt{5}}{20}.&lt;/math&gt;

Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants.
|}

{|cellspacing=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;1&quot; style=&quot;border: 0px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%&quot; class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; data-expandtext=&quot;Solució&quot; data-collapsetext=&quot;Ocultar&quot;
|-
|2.- S'ha de calcular l'àrea del rectangle donat
[[File:Áreas de rectángulos 001.svg|300px]]
|-
|style=&quot;border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6&quot;|Fem la multiplicació directa recordant que &lt;math&gt;(a+b)(a-b)=a^2-b^2.&lt;/math&gt;
|}

===== Exercicis =====

1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets &lt;math&gt;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}-3\;}\;m&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\sqrt{\sqrt[3]{\;36\;}+3}\;m.&lt;/math&gt;
|-
|||b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;6\;}}{\;\sqrt{\;10\;}\;}\;cm.&lt;/math&gt;
|}

2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat:
{|
|width=&quot;5px&quot;|
|a) Un rectangle amb costats &lt;math&gt;\sqrt[3]{3\left(\sqrt{\;5\;}+\sqrt{\;2\;}\right)}\;cm&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;\sqrt[3]{\sqrt{\;45\;}-3\sqrt{\;2\;}}\;cm.&lt;/math&gt;
|-
|||b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura &lt;math&gt;\sqrt{\;2\;}+\sqrt{\;8\;}\;m&lt;/math&gt; i altura &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;27\;}-\sqrt{\;3\;}}{\sqrt{6\;}}\;m.&lt;/math&gt;
|-
|||c) Un quadrat de amb diagonal &lt;math&gt;\frac{\sqrt{\;8\;}}{\sqrt[5]{\;16\;}}\;km.&lt;/math&gt;
|}

=== Intervals ===

Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals.

La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.&lt;ref&gt;A &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; queda senzill, però al pla cartesià(2D) o apareixen nous objectes que són temes per a la Topologia i l'Anàlisi Real.&lt;/ref&gt;

'''Definició''': Una semirecta a &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor &lt;math&gt;a\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; donat.

Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; relatives a la constant &lt;math&gt;a\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;:

{|align=&quot;center&quot; style=&quot;border: 1px solid #77d; background:#fff&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;6&quot;
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;a&lt;x&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaVc.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaA.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]]
|&lt;math&gt;\;\;+\infty&lt;/math&gt;
|}
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;a\leqslant x&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaVc.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaAC.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]]
|&lt;math&gt;\;\;+\infty&lt;/math&gt;
|}
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|
|align=&quot;right&quot;|&lt;math&gt;a&gt;x&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;-\infty\;\;&lt;/math&gt;
|[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaB.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaVc.svg|200px]]
|}
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|
|align=&quot;right&quot;|&lt;math&gt;a\geqslant x&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;-\infty\;\;&lt;/math&gt;
|[[File:SemiRectaFut2.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaBC.svg|200px]]
|[[File:SemiRectaVc.svg|200px]]
|}
|}

S'utilitza '''(''' o ''')''' per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza '''[''' o ''']''' per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit.

;Notació i nominació d'una semirecta:

:&lt;math&gt;a&lt;x\;\Rightarrow\;(\;a\;,\;-\infty\;)&lt;/math&gt; i es diu semirecta oberta.

:&lt;math&gt;a\leqslant x\;\Rightarrow\;[\;a\;,\;-\infty\;)&lt;/math&gt; i es diu semirecta tancada.

:&lt;math&gt;a&gt;x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;)&lt;/math&gt; i es diu semirecta oberta.

:&lt;math&gt;a\geqslant x\;\Rightarrow\;(\;-\infty\;,\;a\;]&lt;/math&gt; i es diu semirecta tancada.

Afegir més precisió al nom és redundant.

;Exemples:
{|width=&quot;850px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;400px&quot;|Condició: &lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}}{3}&lt;x\;\rightarrow\;&lt;/math&gt; Representació:
|width=&quot;153px&quot;|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_\tfrac{\sqrt{2}}{3}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|}
|&lt;math&gt;\;\rightarrow\;&lt;/math&gt; Notació: &lt;math&gt;\left(\;\tfrac{\sqrt{2}}{3},\;+\infty\;\right)&lt;/math&gt;
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|width=&quot;380px&quot;|Condició: &lt;math&gt;-\pi\geqslant x\;\rightarrow\;&lt;/math&gt; Representació:
|width=&quot;153px&quot;|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-\pi}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|}
|&lt;math&gt;\;\rightarrow\;&lt;/math&gt; Notació: &lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;-\pi\;\right]&lt;/math&gt;
|}

==== Operacions ====
[[File:intersecciónAB.svg|right|180px]]
===== Intersecció =====

La '''intersecció''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com &lt;math&gt;A\cap B&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;B\cap A,&lt;/math&gt; és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions '''a la vegada''', sense efectes de l'ordre.

'''Definició''': Un '''interval''' a &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors &lt;math&gt;a,b\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; donats.

La intersecció de semirectes pot donar intervals:

{|width=&quot;950px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;220px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&lt;3\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x&gt;1&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_1&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_3&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaB.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;3\;\right)\cap\left(\;1,\;+\infty\;\right)=\left(\;1,\;3\;\right)&lt;/math&gt;

Es diu interval obert.
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x\leqslant 1\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x&gt;-2&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;310px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-2}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_1&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;1\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right)=\left(\;-2,\;1\;\right]&lt;/math&gt;

Es diu interval semiobert.
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&lt; -3\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x\geqslant -5&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;310px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-5}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-3}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaAC.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaB.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;-3\;\right)\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right)=\left[\;-5,\;-3\;\right)&lt;/math&gt;

Es diu interval semiobert.
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x\leqslant \tfrac{1}{7}\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x\geqslant 0&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;310px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{0}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{\tfrac{1}{7}}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaAC.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;\tfrac{1}{7}\;\right]\cap\left[\;0,\;+\infty\;\right)=\left[\;0,\;\tfrac{1}{7}\;\right]&lt;/math&gt;

Es diu interval tancat.
|}

[[File:IntersecciónABincluida.svg|right|130px]]
La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta:

{|width=&quot;950px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;220px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&lt;1\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x\leqslant 6&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_1&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_6&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaB.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaVc.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;1\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;6\;\right]=\left(\;-\infty,\;1\;\right)&lt;/math&gt;
|-
|height=&quot;6&quot;|
|-
|Condicions: 
&lt;math&gt;x&lt;0\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x\leqslant -4&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-4}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{0}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaVc.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;0\;\right)\cap\left(\;-\infty,\;-4\;\right]=\left(\;-\infty,\;-4\;\right]&lt;/math&gt;
|}

[[File:IntersecciónABpunto.svg|right|255px]]
La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats:

{|width=&quot;950px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;220px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x\geqslant -5\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x\leqslant -5&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-5}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaDot.svg|170px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;-5\;\right]\cap\left[\;-5,\;+\infty\;\right]=\left\{\;-4\;\right\}&lt;/math&gt;

Que es pot dir valor o punt de &lt;math&gt;\mathbb{R}.&lt;/math&gt;
|}

[[File:IntersecciónABvacia.svg|right|260px]]
La intersecció de semirectes pot no donar cap punt:

{|width=&quot;950px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;220px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&lt;10\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x&gt;20&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{10}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{20}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaVc.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaVc.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació:
&lt;math&gt;\left(\;-\infty,\;10\;\right)\cap\left(\;20,\;+\infty\;\right)=\{\;\;\}&lt;/math&gt; =∅.

Es diu conjunt buit.
|}

===== Unió =====

Una '''unió''' d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com &lt;math&gt;A\cup B&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;B\cup A,&lt;/math&gt; és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre.

Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts.

La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts.

{|width=&quot;900px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;300px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&gt;1\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;(\;x\leqslant 0 \;i\;x&gt;-2\;)&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;480px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-2}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_0&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_1&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|}
|-
|valign=&quot;top&quot; colspan=2|Notació:

&lt;math&gt;C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\big(\; \left(\;-\infty,\;0\;\right]\cap\left(\;-2,\;+\infty\;\right] \;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;=\left(\;1,\;+\infty\;\right]\cup\left(\;-2,\;0\;\right]&lt;/math&gt;
|}

La unió de dos conjunts pot donar tot &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

{|width=&quot;900px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;230px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
&lt;math&gt;x&gt;-1\;&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;\;x\leqslant 1&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;320px&quot;|Representació:
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_{-1}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;{}_1&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaFut2.svg|150px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|Notació: &lt;math&gt;C=&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\;\;=\left(\;-1,\;+\infty\;\right)\cup\left(\;-\infty,\;1\;\right]=\mathbb{R}&lt;/math&gt;
|}

===== Exercicis =====

Ara ja podem barrejar la '''intersecció''' amb la '''unió''' que dona tot tipus de conjunts numèrics. Per fer aquestes operacions podem fer servir colors o textures.

1) S'ha de representar i escriure la notació corresponent a cada apartat:

{|
|width=&quot;200px&quot;|a) &lt;math&gt;x\leqslant 0.&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|b) &lt;math&gt;x\geqslant -2.&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|c) &lt;math&gt;x&lt;4.&lt;/math&gt;
|width=&quot;200px&quot;|d) &lt;math&gt;x&gt;-3.&lt;/math&gt;
|-
|e) &lt;math&gt;\sqrt{2}&gt;x&lt;/math&gt;
|f) &lt;math&gt;\tfrac{5}{7}\leqslant x&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;3'75&lt;x&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\pi\geqslant x&lt;/math&gt;
|}

2) S'ha de deduir la condició i escriure la notació corresponent a cada apartat:

{|
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;30px&quot;|a)
|width=&quot;400px&quot;|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|||align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;100&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;+\infty\;\;&lt;/math&gt;
|[[File:SemiRectaB.svg|250px]]
|}
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;40px&quot;|b)||
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\tfrac{1}{10}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|250px]]
|&lt;math&gt;\;\;+\infty&lt;/math&gt;
|}
|-
|valign=&quot;top&quot;|c)||
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|||align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;-0'5&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;+\infty\;\;&lt;/math&gt;
|[[File:SemiRectaBC.svg|250px]]
|}
|valign=&quot;top&quot;|d)||
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\sqrt{5}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaAC.svg|250px]]
|&lt;math&gt;\;\;+\infty&lt;/math&gt;
|}
|}

;Exercicis d'intersecció de dos condicions

3) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions:

:a) &lt;math&gt;s&lt;6&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;s&gt;0&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;s\geqslant 6&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;s\leqslant 8&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;s\geqslant -23&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;s&lt;-20&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;s\leqslant 23&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;s&gt;2&lt;/math&gt;

4) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas:

:a) &lt;math&gt;(-100,\,8)&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;(-3,\,12]&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;[2,\,100)&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;[-5,\,-4]&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\{5\}&lt;/math&gt;

:f) &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;

5) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat:

:a) Una interval obert.

:b) Una interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta.

:c) Una interval tancat per l'esquerra i obert per la dreta.

:d) Una interval tancat.

:e) Un punt.

:f) El buit.

6) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat:

:a) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-0,1&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;0,1&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaA.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:b) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-10^{23}&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-10^{22}&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaB.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:c) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:d) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;12&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaDot.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

;Exercicis d'unió de dos condicions

7) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions:

:a) &lt;math&gt;s&lt;-6&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;s&gt;0&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;s\geqslant 6&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;s\leqslant 8&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;s\geqslant -23&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;s&gt;-20&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;s\leqslant 23&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;s&lt;2&lt;/math&gt;

8) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas:

:a) &lt;math&gt;(-\infty,\,8)\cup(9,\,+\infty)&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;(-\infty,\,2]\cup(3,\,+\infty)&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;(-\infty,\,-3'4)\cup[0,\,+\infty)&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;(-\infty,\,8]\cup[-8,\,+\infty)&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

9) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat:

:a) Dues semirectes obertes.

:b) Una semirecta oberta amb una semirecta tancada.

:c) Tots els nombres

:d) Una interval tancat.

:e) Un punt.

:f) El buit.

10) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat:

:a) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-3,2\cdot 10^9&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-3,2\cdot 10^8&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaB.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:b) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-1,001&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;-1,0001&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaA.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:c) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;0&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;\sqrt{5}&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

:d) &lt;table border=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;{{center|&lt;math&gt;13&lt;/math&gt;}}&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;th&gt;[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;

;Treball de unió i intersecció

11) Escriu la notació i la seva representació de les condicions donades:

:a) &lt;math&gt;x&lt;3&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;x&lt;6&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x&lt;5&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;x&lt;8&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;

:d) ( &lt;math&gt;x&lt;2&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; ) 𝓸 &lt;math&gt;x&lt;1&lt;/math&gt;

12) Crea amb nombres reals concrets amb les condicions, la notació i la seva representació de cada conjunt demanat verbalment:
::&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; és un interval '''obert''', &lt;math&gt;[a,b)&lt;/math&gt; 𝓸 &lt;math&gt;(a,b]&lt;/math&gt; són intervals '''semioberts''' i &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; és un interval '''tancat'''.

:a) Conjunt format per dos intervals oberts.

:b) Conjunt format per una semirecta tancada i un interval tancat.

:c) Conjunt format per dues semirectes obertes.

:d) Conjunt format per un interval semiobert i un interval tancat.

:e) Conjunt format per un interval semiobert i un punt aïllat.

;Exercici de raonament

13) Representa acuradament el nombre &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; amb l'interval de l'error absolut si aquest és de &lt;math&gt;10^{-2}.&lt;/math&gt; Procureu que l'interval sigui més llarg que un centímetre.

14) Hem fet una compra d'una beguda d'un litre, però hi ha una petita inscripció que ens diu l'error absolut sumat o restat:

:&lt;math&gt;1\pm 0,05&lt;/math&gt;

Representa les dues possibilitats acuradament amb un interval de longitud major que un centímetre.

==== Connexions ====

===== Aproximació =====

=== Exercicis resum ===

Amb calculadora considerant totes les constants &lt;math&gt;a,b,c,d&gt;0&lt;/math&gt;:

1) Canvia i expressa com a potències els radicals, i com radicals les potències segons el cas, simplificant seguidament amb un pas separat:

{|cellspacing=&quot;8&quot;
|-
|valign=&quot;top&quot;|Directes CCSS:

{|cellspacing=&quot;5&quot;
|width=&quot;200&quot;|a) &lt;math&gt;a^{\tfrac{24}{36}}&lt;/math&gt;
|width=&quot;220&quot;|f) &lt;math&gt;x^{\tfrac{21}{15}}&lt;/math&gt;
|-
|b) &lt;math&gt;b^{\tfrac{1+4}{35}}&lt;/math&gt;
|g) &lt;math&gt;0^{\tfrac{20\;\sqrt{2}}{\pi}}&lt;/math&gt;
|-
|c) &lt;math&gt;\sqrt[12]{\;a\;}^{\;36\;}&lt;/math&gt;
|h) &lt;math&gt;\sqrt[28]{\;(b-c)^{7}\;}^{\;4}&lt;/math&gt;
|-
|d) &lt;math&gt;\sqrt[14]{\;b^{70}\;}&lt;/math&gt;
|i) &lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt[3]{\;a\;}^{\;-2}}&lt;/math&gt;
|-
|e) &lt;math&gt;1\phantom{\big)}^{ \frac{\;\sqrt{5}\;}{1-\sqrt{\;2\;}} }&lt;/math&gt;
|j) &lt;math&gt;\sqrt[15\cdot 4]{\;a^{6\cdot 10}\;}&lt;/math&gt;
|}

|valign=&quot;top&quot;|Bàsics CT:

{|cellspacing=&quot;5&quot;
|width=&quot;200&quot;|k) &lt;math&gt;\sqrt[n\cdot r]{\; 2^{n\cdot 2} \;}&lt;/math&gt;
|width=&quot;200&quot;|p) &lt;math&gt;\sqrt[7]{\frac{a}{a^{-5}} }&lt;/math&gt;
|-
|l) &lt;math&gt;\sqrt[n]{\; 7^{n\cdot n} \;}&lt;/math&gt;
|q) &lt;math&gt;\left(\frac{1}{\sqrt[4]{\;a\;}}\right)^{-16}&lt;/math&gt;
|-
|m) &lt;math&gt;\sqrt[20\;a]{\; 2 \;}^{\;50\;a}&lt;/math&gt;
|r) &lt;math&gt;&lt;/math&gt;
|-
|n) &lt;math&gt;\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}&lt;/math&gt;
|-
|o) &lt;math&gt;c^{-\frac{256}{16} }&lt;/math&gt;
|}

|}

2) Simplifica i agrupa al màxim les expressions donades deixant cada els passos necessaris:

::Agrupar és deixar tot com una sola arrel o una sola potència. Exemple &lt;math&gt;\sqrt{a}^2\sqrt{b}^2\sqrt{3}^2&lt;/math&gt; agrupat és &lt;math&gt;\sqrt{\;a\; b\; 3\;}^2&lt;/math&gt;

Directes CCSS:

:a) &lt;math&gt;a^{\tfrac{2}{5}}\cdot a^{\tfrac{3}{2}}=&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;\frac{ b^{\tfrac{1}{3}} }{ b^{\tfrac{3}{4}} }=&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;a^{\tfrac{2}{7}} b^{\tfrac{2}{7}}=&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;\frac{ b^{\tfrac{5}{3}} }{ a^{\tfrac{5}{3}} }=&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\left(a^{\frac{15}{14}}\right)^{\frac{7}{10}}=&lt;/math&gt;

Bàsics CT:

:f) &lt;math&gt;\frac{ \sqrt[7]{\;a\;}^4 \sqrt[5]{\;b^2\;} }{ \sqrt[6]{\;b^5\;}\sqrt[3]{\;a^2\;} }=&lt;/math&gt;

:g) &lt;math&gt;\frac{ \sqrt[6]{\;b a^{5}\;} \sqrt[6]{\;a b^4\;} }{ \sqrt[6]{\;b^3\;}\sqrt[6]{\;a^3\;} }=&lt;/math&gt;

3) Extreure valors del radicant deixant clar els passos fets:

Directes CCSS

:a) &lt;math&gt;\sqrt[12121]{\;a^{24242} \;}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;\sqrt[7]{\; a^{\;2312} \;}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\sqrt[2]{\;a^{25}\;b^{26}\;c^{27}\;}&lt;/math&gt;

Bàsics CT

:d) &lt;math&gt;\sqrt[5]{\; \frac{\;a^{431}\;}{b^{141}} \;}&lt;/math&gt;

:e) &lt;math&gt;\sqrt[3\;a]{\; b^{\;3463\;a} \;}&lt;/math&gt;

:f) &lt;math&gt;\sqrt[3\;a]{\;\frac{b^{\;17\;a}}{c^{\;31\;a}}\;}&lt;/math&gt;

4) Racionalitza i simplifica tant com es pugui deixant els passos necessaris:

:a) &lt;math&gt;\frac{\sqrt[5]{15\;a}}{\sqrt[5]{\;a^3\;}}&lt;/math&gt;

:b) &lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt[31]{a^25 b^19}}&lt;/math&gt;

:c) &lt;math&gt;\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}&lt;/math&gt;

:d) &lt;math&gt;\frac{4\;a-c}{2\sqrt{a}-\sqrt{3\;c}}&lt;/math&gt;

5) Escriu tots els passos per a calcular l'àrea d'un triangle rectangle que ja sabem que és &lt;math&gt;\frac{1}{4}\;cm^2&lt;/math&gt; si un catet mesura &lt;math&gt;\frac{\sqrt[3]{2^2} }{-1+\sqrt{5}}\;cm&lt;/math&gt; i l'altre catet mesura &lt;math&gt;\frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{5}}\;cm.&lt;/math&gt;

6) Omple la taula segons el que falta a cada pas; condició, notació o representació

{|width=&quot;950px&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|width=&quot;280px&quot; valign=&quot;top&quot;|Condicions: 
:a) &lt;math&gt;\;x&lt;3\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x&gt;1&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;350px&quot;|Representació:

^`|valign=&quot;top&quot;|Notació:

|-
|height=&quot;6&quot;|
:b)
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\tfrac{5}{6}&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\tfrac{6}{7}&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaA.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaBC.svg|150px]]
|}
|
|-
|height=&quot;6&quot;|
:c)
|
|&lt;math&gt;\left[\;-7,\;15\;\right)&lt;/math&gt;
|-
|height=&quot;6&quot;|
:d) &lt;math&gt;\;x&lt;23\;&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;\;x&gt;23,1&lt;/math&gt;
|valign=&quot;top&quot; width=&quot;330px&quot;|
|valign=&quot;top&quot;|
|-
|height=&quot;6&quot;|
:e)
|
{|cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;
|align=&quot;center&quot;|&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;
|-
|[[File:SemiRectaB.svg|150px]]
|[[File:SemiRectaAC.svg|150px]]
|}
|
|-
|height=&quot;6&quot;|
:f)
|
|&lt;math&gt;\left[\;1,\;+\infty\;\right)&lt;/math&gt;
|}

== Notes ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]</text>
      <sha1>nzokle72hduh3f1mm13cjki8vdd5jq7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/Page display title/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56152</id>
    <revision>
      <id>386321</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:32:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;الصفحة الرئيسية&quot;</comment>
      <origin>386321</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29" sha1="du3d8d0t1ogfs7ens4xwdxzyxd6uf5w" xml:space="preserve">الصفحة الرئيسية</text>
      <sha1>du3d8d0t1ogfs7ens4xwdxzyxd6uf5w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Main Page/acm</title>
    <ns>0</ns>
    <id>56153</id>
    <revision>
      <id>386322</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:32:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;الصفحة الرئيسية&quot;</comment>
      <origin>386322</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3841" sha1="s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386324</id>
      <parentid>386322</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:32:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==&quot;</comment>
      <origin>386324</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3844" sha1="16opjfchpcpbv8588ym84lu52letylt" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>16opjfchpcpbv8588ym84lu52letylt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386327</id>
      <parentid>386324</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:36:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ...&quot;</comment>
      <origin>386327</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3906" sha1="kajdwbeekxk7uf4gsqsxh9zy650u0d7" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>kajdwbeekxk7uf4gsqsxh9zy650u0d7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386329</id>
      <parentid>386327</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:40:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، :Category:SYL|ا...&quot;</comment>
      <origin>386329</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4066" sha1="1ox9yys6hih9io3caeuqmm792ygntpe" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== What is Wikiversity Beta? ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>1ox9yys6hih9io3caeuqmm792ygntpe</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386331</id>
      <parentid>386329</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:41:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==&quot;</comment>
      <origin>386331</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4099" sha1="dym87cof565j7ul2v8dq9ab15d72j4a" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>dym87cof565j7ul2v8dq9ab15d72j4a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386333</id>
      <parentid>386331</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:43:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].  ويضيف هذا الموقع ال...&quot;</comment>
      <origin>386333</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4235" sha1="m4vz9mei9pfdukoi35aceb82cfz6mxg" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>m4vz9mei9pfdukoi35aceb82cfz6mxg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386335</id>
      <parentid>386333</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:44:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.&quot;</comment>
      <origin>386335</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4277" sha1="25ryammlhq8fyegx3sjalo1ytzq6c2i" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
'''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>25ryammlhq8fyegx3sjalo1ytzq6c2i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386337</id>
      <parentid>386335</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:47:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.  وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].&quot;</comment>
      <origin>386337</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4361" sha1="iqtirzr97jdaxhrnau7hpqtu60m7q7x" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].''
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>iqtirzr97jdaxhrnau7hpqtu60m7q7x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386339</id>
      <parentid>386337</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:47:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''&quot;</comment>
      <origin>386339</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4315" sha1="rcr2ftci7c8239sabphel5fb1elihmi" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Works in progress ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>rcr2ftci7c8239sabphel5fb1elihmi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386341</id>
      <parentid>386339</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:48:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==&quot;</comment>
      <origin>386341</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4340" sha1="5p5zkib5rxtdiryo35ywkdwn5km97p5" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages.
** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]].
** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place.
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>5p5zkib5rxtdiryo35ywkdwn5km97p5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386343</id>
      <parentid>386341</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:50:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.   ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟   ** Special:MyLangu...&quot;</comment>
      <origin>386343</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4482" sha1="9q1vdiyfjzxnanb0v88zlrixvvwmf8o" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Have your say ==
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>9q1vdiyfjzxnanb0v88zlrixvvwmf8o</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386345</id>
      <parentid>386343</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:50:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شوفنه رأيك ==&quot;</comment>
      <origin>386345</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4465" sha1="pw4nugho7pv8o2hu1rawmfs5vv6kwt8" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.

&lt;span id=&quot;Have_your_say&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شوفنه رأيك ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
* Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]]
* For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]]
* [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list].
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>pw4nugho7pv8o2hu1rawmfs5vv6kwt8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386347</id>
      <parentid>386345</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:52:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]] * لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]] * [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من http://list...&quot;</comment>
      <origin>386347</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4581" sha1="0a5uag8lnl55cyt03p89gsuyeb1y24j" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.

&lt;span id=&quot;Have_your_say&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شوفنه رأيك ==

* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]]
* لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]]
* [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/|القائمه البريديه لويكي الجامعه]].

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Separate projects ==
{{Wikiversity:Separate projects}}
&lt;/div&gt;

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>0a5uag8lnl55cyt03p89gsuyeb1y24j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386349</id>
      <parentid>386347</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:53:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع المستقله == {{Wikiversity:Separate projects}}&quot;</comment>
      <origin>386349</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4541" sha1="lhj904a66ixootj0vsbk5aaeryvr701" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.

&lt;span id=&quot;Have_your_say&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شوفنه رأيك ==

* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]]
* لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]]
* [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/|القائمه البريديه لويكي الجامعه]].

== المشاريع المستقله ==
{{Wikiversity:Separate projects}}

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
== Sister projects ==
{{Sisterprojects}}
&lt;/div&gt;


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>lhj904a66ixootj0vsbk5aaeryvr701</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>386351</id>
      <parentid>386349</parentid>
      <timestamp>2026-10-02T11:54:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع الشقيقه == {{Sisterprojects}}&quot;</comment>
      <origin>386351</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4501" sha1="clcqm6d1txbsc5awdqhl7lplnpoq506" xml:space="preserve">&lt;languages /&gt;

{{:Main Page/Top}}
{{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==

ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.

هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.

&lt;span id=&quot;What_is_Wikiversity_Beta?&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].

ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.

'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].

''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''

&lt;span id=&quot;Works_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==

* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.

&lt;span id=&quot;Have_your_say&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== شوفنه رأيك ==

* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]]
* لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]]
* [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/|القائمه البريديه لويكي الجامعه]].

== المشاريع المستقله ==
{{Wikiversity:Separate projects}}

== المشاريع الشقيقه ==
{{Sisterprojects}}


{{Main page interwikis}}
[[Category:Main Page{{#translation:}}]]</text>
      <sha1>clcqm6d1txbsc5awdqhl7lplnpoq506</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/1/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56154</id>
    <revision>
      <id>386323</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:32:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==&quot;</comment>
      <origin>386323</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45" sha1="4rvn8zj9k1eqafi88092ljp9my2o0bq" xml:space="preserve">== شنو هيه ويكي الجامعة؟ ==</text>
      <sha1>4rvn8zj9k1eqafi88092ljp9my2o0bq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/2/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56155</id>
    <revision>
      <id>386326</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:36:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ...&quot;</comment>
      <origin>386326</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="500" sha1="njshv03lgvklibyc7f0v7un8m6bxr85" xml:space="preserve">ويكي الجامعة هوه [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|مشروع]] تابع لـ[[w:Wikimedia Foundation|مؤسسة ويكيميديا]]. هوه مكان لإنشاء واستخدام المواد والأنشطة التعليميه الحره. نضيف [[w:Free content|موارد تعليميه حره]] ومشاريع أكاديميه، ونهدف همين لـ التعاون ويا مشاريع ويكيميديا الثانيه والدعم لـ تطوير محتواها.</text>
      <sha1>njshv03lgvklibyc7f0v7un8m6bxr85</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/3/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56156</id>
    <revision>
      <id>386328</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:40:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، :Category:SYL|ا...&quot;</comment>
      <origin>386328</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="616" sha1="ldybakfbhbo3haajt3jhluh40cbu1u8" xml:space="preserve">هواي مشاريع تخرّجت من ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) وصار إلها هسه [[Wikiversity:Separate projects|مشاريع منفصلة]] خاصه بيها. وبويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)، المساهمين هسه يشتغلون على نسخ ويكي الجامعه التجريبيه بلغات مثل [[:Category:CA|الكاتالونية]]، [[:Category:SK|السلوفاكية]]، [[:Category:SYL|السلهتية]]، [[:Category:VI|الفيتنامية]]، و[[States of Wikiversities|لغات هوايه ثانيه]] قيد التجربه.</text>
      <sha1>ldybakfbhbo3haajt3jhluh40cbu1u8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/4/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56157</id>
    <revision>
      <id>386330</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:41:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==&quot;</comment>
      <origin>386330</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="75" sha1="2ecwart1mxiecs1y8n3dtnfmfl83vfx" xml:space="preserve">== شنو هيه ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا)؟ ==</text>
      <sha1>2ecwart1mxiecs1y8n3dtnfmfl83vfx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/5/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56158</id>
    <revision>
      <id>386332</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:43:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].  ويضيف هذا الموقع ال...&quot;</comment>
      <origin>386332</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="686" sha1="b6qga32hyqzy8buv3q3tq4ck3hyhhdb" xml:space="preserve">ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) هيه مركز [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|متعدد اللغات]] لتنسيق مشاريع ويكي الجامعه بمختلف اللغات، حتى نواصل تحقيق [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|رسالتنا]] مثل ما مذكور بـ [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|مقترح مشروع ويكي الجامعه]].

ويضيف هذا الموقع النقاشات المتعلقه [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|بسياسات ويكي الجامعه]] الخاصه بـ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصلية]].</text>
      <sha1>b6qga32hyqzy8buv3q3tq4ck3hyhhdb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/6/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56159</id>
    <revision>
      <id>386334</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:44:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.&quot;</comment>
      <origin>386334</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="235" sha1="bdmaeylihu9fpnknguv8iz9s4dpxhbj" xml:space="preserve">ويكي الجامعه التجريبيه (بيتا) تستعمل همين كـ[[:Category:Wikiversity incubator|حاضنه]] لنسخ ويكي الجامعه اللي لحد الآن ما صار إلها مواقع خاصة بيها.</text>
      <sha1>bdmaeylihu9fpnknguv8iz9s4dpxhbj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/7/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56160</id>
    <revision>
      <id>386336</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:47:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.  وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].&quot;</comment>
      <origin>386336</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="426" sha1="bu0uzgywpxgd59kn633gu6ezv1ygydq" xml:space="preserve">'''حتى يصير عندك موقع جديد لويكي الجامعه'''، لازم يكون بالمشروع ثلاث مساهمين نشطين. بعدها تگدر [[m:Requests for new languages#Wikiversity|تقدّم طلب]] (في [[m:|ميتا]]) لصنع نطاق لغة جديد للمشروع.

وبالوقت الحالي، رجاءً ضيف الصفحة الرئيسيه لمشروعك لـ [[Template:Main page]].</text>
      <sha1>bu0uzgywpxgd59kn633gu6ezv1ygydq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/8/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56161</id>
    <revision>
      <id>386338</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:47:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''&quot;</comment>
      <origin>386338</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="83" sha1="o5hc5a5ojmjh3vm7zgjww4wyc9wshzo" xml:space="preserve">''شوف همين: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|الأسئله الشايعه]].''</text>
      <sha1>o5hc5a5ojmjh3vm7zgjww4wyc9wshzo</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/9/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56162</id>
    <revision>
      <id>386340</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:48:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==&quot;</comment>
      <origin>386340</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="67" sha1="hpt92adqv0s3rn65rytbp0qc4k3fj67" xml:space="preserve">== المشاريع اللي جاي يشتغل عليها هسه ==</text>
      <sha1>hpt92adqv0s3rn65rytbp0qc4k3fj67</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/10/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56163</id>
    <revision>
      <id>386342</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:49:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.   ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟   ** Special:MyLangu...&quot;</comment>
      <origin>386342</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="710" sha1="8gg97ed93c4m04rdpv4io3qneekxy4a" xml:space="preserve">* تطوير [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|السياسات والإرشادات]] الخاصه بينا وترجمتها، حتى تنطبق على مشاريع ويكي الجامعه بكل اللغات.
  ** هل المفروض تسمح ويكي الجامعه بكل أنواع [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|البحوث]]، بما فيها [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|البحوث الأصليه]]؟
  ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|إرشادات البحث]] — شنو القواعد اللي نحتاجها حتى نضمن إن الأنشطه البحثيه الأكاديميه تكون بمستوى عالي من الجوده.</text>
      <sha1>8gg97ed93c4m04rdpv4io3qneekxy4a</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/11/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56164</id>
    <revision>
      <id>386344</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:50:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== شوفنه رأيك ==&quot;</comment>
      <origin>386344</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25" sha1="q6gsmny38ybtgbij7twgoqbkkfdh8kk" xml:space="preserve">== شوفنه رأيك ==</text>
      <sha1>q6gsmny38ybtgbij7twgoqbkkfdh8kk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/12/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56165</id>
    <revision>
      <id>386346</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:52:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]] * لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]] * [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من http://list...&quot;</comment>
      <origin>386346</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="576" sha1="djbd8lgoyoiqjtu4nleq9p6l6q92mjp" xml:space="preserve">* للملاحظات والآراء عله ويكي الجامعه: [[Wikiversity:Feedback]]
* لطلبات المساعده من المشرفين: [[Wikiversity:Request custodian action]].
* للتعليقات والاقتراحات والمقترحات العامه الخاصه بالموقع: [[Wikiversity:Babel]]
* [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html|المواضيع الجديده]] من [[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/|القائمه البريديه لويكي الجامعه]].</text>
      <sha1>djbd8lgoyoiqjtu4nleq9p6l6q92mjp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/13/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56166</id>
    <revision>
      <id>386348</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:53:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع المستقله == {{Wikiversity:Separate projects}}&quot;</comment>
      <origin>386348</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="73" sha1="gxlup6mx5rnnfx04dv2cngsygcehl5e" xml:space="preserve">== المشاريع المستقله ==
{{Wikiversity:Separate projects}}</text>
      <sha1>gxlup6mx5rnnfx04dv2cngsygcehl5e</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Translations:Main Page/14/acm</title>
    <ns>1198</ns>
    <id>56167</id>
    <revision>
      <id>386350</id>
      <timestamp>2026-10-02T11:54:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lawi Basra</username>
        <id>55953</id>
      </contributor>
      <comment>Created page with &quot;== المشاريع الشقيقه == {{Sisterprojects}}&quot;</comment>
      <origin>386350</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="56" sha1="t714rc8ov9t46iacnih8xt0cp6j35o6" xml:space="preserve">== المشاريع الشقيقه ==
{{Sisterprojects}}</text>
      <sha1>t714rc8ov9t46iacnih8xt0cp6j35o6</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>