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Exercicis derivades 01
0
45036
386393
386361
2026-10-14T08:46:41Z
Profev
36331
/* Exercicis */ +
386393
wikitext
text/x-wiki
Exercicis de derivades destinat a batxillerat.
* [[Taula derivades-batx|Taula de derivades de funcions del 1 fins al 6, i totes les operacions]]
Per treballar autònomament es pot fer servir aquestes dues eines:[[File:Symbolab logo.png|100px|right]][[File:PhotoMath Logo.png|100px|right]]
*La [https://es.symbolab.com/ web de Symbolab] que treballa amb notació LaTeX:
:Per enganxar una fórmula s'ha de activar editar i buscar al fórmula, seleccionar-la i enganxar-la a la web Symbolab, no seleccioneu les dues capsules seguents <nowiki><math></math></nowiki> pròpies de "wikipedia", només lo que està dins d'elles.
:: <nowiki><math>\left(frac{1}{x}+x^3-4x^2+5\right)'</math></nowiki>
*També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha Wolfram Alpha] que fa el mateix.
*També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Photomath Photomath] que permet amb una càmera resoldre problemes enunciats físicament que es puguin veure.
== Bàsic ==
;Exemple:
Derivada segons la taula de [[Taula_derivades-batx| derivades]] P1, P2, P2.1 i P3.
1) <math>f(x)=\frac{\sqrt{3}\log_2 7^2}{ 2^{172}+2^{\frac{5}{3}} }-e^{\sqrt{5}}</math> aplicant P1 és zero, ja que no té cap x en absolut.
2) <math>f(x)= x^3</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^3)'=3\cdot x^{3-1}=3x^2</math>
3) <math>f(x)= \sqrt[3]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[3]{x})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math>
4) <math>f(x)= \sqrt[5]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[5]{x})'=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5-1}}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}</math>
5) <math>f(x)= x^5</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^5)'=5\cdot x^{5-1}=5x^4</math>
6) <math>f(x)= x^{\frac{5}{2}}</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=(x^{\frac{5}{2}})'=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}=\frac{5}{2}x^\frac{2}{2}</math>
=== Linealitat de la derivada ===
:<math>\left(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\right)'</math> <math>=a\cdot f\,'(x)+b\cdot g\,'(x),</math> on <math>a\in\mathbb{R}\,i\,b\in\mathbb{R}</math>
=== Multiplicació de funcions ===
A partir d'ara per aplicar els mètodes omplireu el requadre fg que teniu a la dreta.
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\left(f(x)\cdot g(x)\right)'</math> <math>=f\,'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g\,'(x)</math>
;Exemples:
=== Divisió de funcions ===
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'</math> <math>=\frac{f\,'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\,'(x)}{g(x)^2}</math>
;Exemples:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|1) <math>h(x)=\frac{x-3}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|width=180px|<math>f(x)=x-3</math>
|width=120px|<math>f\,'(x)=1</math>
|-
|<math>g(x)=x^2</math>||<math>g\,'(x)=2x</math>
|}
<math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'</math> <math>=\frac{1\cdot\left(x^2\right)-(x-3)\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}</math> <math>=\frac{x^2-(x-3)\cdot 2x}{x^4}</math> <math>=\frac{x-(x-3)\cdot 2}{x^3}</math> <math>=\frac{x-2x+6}{x^3}</math> <math>=\frac{-x+6}{x^3}</math>
També podem fer aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'</math> <math>=\left(\frac{x}{x^2}-\frac{3}{x^2}\right)'</math> <math>=\left(\frac{1}{x}\right)'-\left(\frac{3}{x^2}\right)'</math> <math>=-\frac{1}{x^2}+2\cdot\frac{3}{x^3}</math> <math>=-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}</math> <math>=\frac{-x+6}{x^3}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|2) <math>h(x)=\frac{x^4-1}{x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|width=180px|<math>f(x)=x^4-1</math>
|width=120px|<math>f\,'(x)=4x^3</math>
|-
|<math>g(x)=x</math>||<math>g\,'(x)=1</math>
|}
<math>h'(x)=\left(\frac{x^4-1}{x}\right)'</math> <math>=\frac{\left(4x^3\right)\cdot x-\left(x^4-1\right)\cdot 1}{x^2}</math> <math>=\frac{4x^4-x^4+1}{x^2}</math> <math>=\frac{3x^4+1}{x^2}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|3) <math>h(x)=\frac{\sqrt{x}+x}{x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)\cdot x-\left(\sqrt{x}+x\right)\cdot 1}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2}-1\right)\sqrt{x}+x-x}{x^2}=</math> <math>\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=</math> <math>-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|4) <math>h(x)=\frac{x\sqrt{x}}{x^3}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{1\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2x}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}\cdot 2}{x^3}=</math> <math>-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^3}</math>
Compareu aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(x^{1+\frac{1}{2}-3}\right)'=</math> <math>\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)'=</math> <math>-\tfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|5) <math>h(x)=\frac{3+x}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{3+x}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{(3+x)'\cdot x^2-(3+x)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=</math> <math>\frac{1\cdot x^2-(3+x)\cdot2x}{x^4}=</math> <math>\frac{x-(3+x)\cdot2}{x^3}=</math> <math>\frac{x-6-2x}{x^3}=</math> <math>\frac{-x-6}{x^3}</math>
Compareu aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{3}{x^2}+\frac{x}{x^2}\right)'=</math> <math>\left(\frac{3}{x^2}\right)'+\left(\frac{1}{x}\right)'=</math> <math>-\frac{6}{x^3}-\frac{1}{x^2}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|6) <math>h(x)=\frac{1}{x^8+x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{1}{x^8+x}\right)'</math> <math>=\frac{(1)'(x^8+x)-1\left(x^8+x\right)'}{(x^8+x)^2}</math> <math>=\frac{0(x^8+x)-1\left(8\cdot x^7+1\right)}{(x^8+x)^2}</math> <math>=-\frac{8x^7+1}{(x^8+x)^2}</math>
També es pot fer servir l'esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa"
|-
|width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=\frac{1}{x}</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #faa"|<math>g(x)=x^8+x</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>g'(x)=8x^7+1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'</math> <math>=f'\big(g(x)\big)g'(x)</math> <math>=-\frac{1}{(x^8+x)^2}\cdot\left(8 x^7+1\right)</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|7) <math>h(x)=\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}\right)'</math> <math>=\frac{\left(x^2+\ln x\right)'\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\left(\sqrt[4]{x}\right)'}{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{\sqrt{x}}.</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|8) <math>h(x)=\frac{x^2-xe^x}{e^x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2-xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\frac{\left(\color{Red}{x^2-xe^x}\right)'e^x-(x^2-xe^x)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa"
|-
|width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=x^2-x\cdot e^x</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=2x-\left(\left(x\right)'e^x+(x)\left(e^x\right)'\right)</math> <math>=2x-(1\cdot e^x+x\cdot e^x)</math> <math>=2x-e^x-xe^x</math>
|}
<math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)e^x-(x^2-xe^x)e^x}{\left(e^x\right)^2}</math>
Reduint <math>e^x</math> a numerador i denominador tenim:
<math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)-(x^2-xe^x)}{\left(e^x\right)}</math> <math>=\frac{2x-e^x-xe^x-x^2+xe^x}{e^x}</math> <math>=\frac{2x-e^x-x^2}{e^x}</math>
----
Una forma diferent seria convertir-ho en una resta de la forma:
<math>h'(x)=\left(\frac{x^2}{e^x}-\frac{xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}-x\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}\right)'-1</math> <math>=\frac{\left(x^2\right)'e^x-(x^2)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x\cdot e^x-(x^2)\cdot e^x}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x-x^2}{e^x}-1</math>
Que finalment és el mateix que el que havia quedat abans, comproveu-lo.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|9) <math>h(x)=\frac{x^2\ln x+\ln x}{(x-1)\ln x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|10) <math>h(x)=\frac{2-\sqrt{2}+\pi}{1+x^2+x^3}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
|}
|}
=== Composició de funcions ===
Exercicis per aplicar la composició de funcions directament conegut com '''regla de la cadena'''.
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f\,'\big(g(x)\big)\cdot g\,'(x)</math>
;Exemples:
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|1) <math>h(x)=e^{x^2+1}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant els parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=e^{(x)}</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=e^{(x)}</math>
|-
|<math>g(x)=x^2+1</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^2+1\right)'=2x</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=e^{x^2+1}\cdot 2x</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|2) <math>h(x)=(3x^2-4)^2</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant els parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=(x)^2</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=2(x)</math>
|-
|<math>g(x)=3x^2-4</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(3x^2-4\right)'=6x</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=2(3x^2-4)\cdot 6x=12x(3x^2-4)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|3) <math>h(x)=\frac{1}{x^3-x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=\frac{1}{(x)}</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=-\frac{1}{(x)^2}</math>
|-
|<math>g(x)=x^3-x</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^3-x\right)'=3x^2-1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=-\frac{1}{(x^3-x)^2}\cdot (3x^2-1)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|4) <math>h(x)=\ln(x^4+x)</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=\ln(x)</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=\frac{1}{(x)}</math>
|-
|<math>g(x)=x^4+x</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^4+x\right)'=4x^3+1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=-\frac{1}{(x^4+x)}\cdot (4x^3+1)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|5) <math>h(x)=\sqrt[3]{x+2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|6) <math>h(x)= \sqrt[5]{e^x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|7) <math>h(x)=\ln(\sqrt{x})</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|8) <math>h(x)=\frac{1}{(x+1)^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|9) <math>h(x)=\sqrt{\ln x+1}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució *" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|10) <math>h(x)=(3x^2-5x)^3</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|
|-
|width=200px|<math>f(x)=(x)^3</math>
|<math>f'(x)=3(x)^2</math>
|-
|<math>g(x)=3x^2-5x</math>
|<math>g'(x)=3\cdot 2\cdot x-5=6x-5</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=3(3x^2-5x)^2 (6x-5)</math>
[https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68 Tutorial]
|}
=== Autoservei d'exercicis ===
A continuació es donen dues taules per servir-nos els nostres propis exercicis que volem practicar, recordant que hi ha eines online per resoldre'ls.
{|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3"
|-
|colspan="6" style="background:#ddf" align="center"|'''Funcions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math>'''
|-
|colspan="2" rowspan="2"|
|colspan="4" align="center" style="background:#def"|<math>f(x)</math>
|-
|<math>P(x)</math>||<math>\sqrt[n]{x}</math>||<math>a^x</math>||<math>\log_a{x}</math>
|-
|rowspan="4" style="background:#def"|<math>g(x)</math>
|<math>P(x)</math>
|align="center"|1,1
|align="center"|1,2
|align="center"|1,3
|align="center"|1,4
|-
|<math>\sqrt[n]{x}</math>
|align="center"|2,1
|align="center"|2,2
|align="center"|2,3
|align="center"|2,4
|-
|<math>a^x</math>
|align="center"|3,1
|align="center"|3,2
|align="center"|3,3
|align="center"|3,4
|-
|<math>\log_a{x}</math>
|align="center"|4,1
|align="center"|4,2
|align="center"|4,3
|align="center"|4,4
|}
Desprès de decidir les funcions corresponents a '''f''' i '''g''' heu de escollir una de les operacions següents i derivar-la per practicar totes les possibles derivades existents, de fet es poden ajuntar '''moltes''' funcions i després derivar-les, però millor a poc a poc.
{|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3"
|-
|1.||<math>f(x)+g(x)</math>
|-
|2.||<math>f(x)\cdot g(x)</math>
|-
|3.||<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>
|-
|4.||<math>f\circ g (x)=f\big(g(x)\big)</math>
|}
'''Exemple:'''
1.- A la primera taula agafen el requadre 2,3 per tant pot ser <math>f(x)=\sqrt[3]{x}</math> i <math>g(x)=e^x.</math>
Per tant si a la segona taula escollim el número 3, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és:
:<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)=\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)'.</math>
2.- A la primera taula agafen el requadre 3,4 per tant pot ser <math>f(x)=2^x</math> i <math>g(x)=\log_5 x.</math>
Per tant si a la segona taula escollim el número 4, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és:
:<math>\frac{d}{dx}\left(2^{\log_5 x}\right)=\left(2^{\log_5 x}\right)'.</math>
==== Composicions de funcions successives ====
=== Derivada de la funció potencial-exponencial ===
Es vol calcular la derivada d'una funció del tipus:
:<math>h(x)=f(x)^{g(x)}</math>, on <math>f(x)>0</math> per a qualsevol x.
Solució:
Primer de tot cal recordar que <math>e^{\ln(x)}=x</math> amb domini <math>(0,\infty)</math> i, per tant escau a <math>f(x)</math>.<ref>Cal recordar també que <math>\ln\left(e^{(x)}\right)=x</math> que té com a domini tots els reals.</ref>
Aplicant això tenim <math>h(x)=f(x)^{g(x)}=e^{\ln\left( f(x)^{g(x)} \right)}</math> i aplicant propietat del logaritme queda una funció còmodament derivable però no trivial:
<math>h(x)=e^{g(x)\cdot \ln\big( f(x) \big)}</math>
Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f_1(x)=e^x</math>
|width=20px|
|<math>f_1'(x)=e^x</math>
|-
|<math>g_1(x)=g(x)\cdot \ln\big( f(x) \big)</math>
|width=20px|
|<math>g_1'(x)=g'(x)\cdot \ln f(x) + g(x)\cdot\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)</math>
|}
<math>\Big(f_1\big(g_1(x)\big)\Big)'=f_1'\big(g_1(x)\big)g_1'(x)=e^{g(x) \ln f(x) }\left(g'(x)\cdot \ln f(x) +\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)</math>
Resumidament: <math>h'(x)=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\cdot \ln f(x) +\tfrac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)</math>
=== Exercicis ===
1) S'ha de derivar amb molta cura deixant indicat quina fórmula de la taula feu servir en cada pas i s'ha de simplificar raonablement.
:a) <math>\left( \frac{\;\;2-\sqrt{5\;}\;\;}{e^{1+\sqrt{3\;}}} \right)'=</math>
:b) <math>\left( 4^{x} \right)'=</math>
:c) <math>\left( x^5-2x^4+x^6-3x^2+\sqrt{2} \right)'=</math>
:d) <math>\left( \frac{7x^2-x^6-1}{x-1} \right)'=</math>
:e) <math>\left( \ln (2) - \pi\; x +x^{100} -\sqrt[4]{3^3} \right)'=</math>
2) Deriveu amb la fórmula adequada o raonable, podeu simplificar abans de derivar quan es pugui.
:a) <math>\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\right)'=</math>
:b) <math>\left(\frac{e^x}{e^{2x}+1}\right)'=</math>
:c) <math>\Big(\ln\big(\cos(x)\big)\Big)'=</math>
:d) <math>\Big(\arcsin\big(\cos (x) \big)\Big)'=</math>
== Notes i referències ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
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Manchiu
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