Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 51070 386412 386397 2026-10-17T17:34:32Z Profev 36331 /* Equacions exponencials */ 386412 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> ;Propietat {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^n=a^m</math> <math>\Leftrightarrow n=m</math> per '''a''' pertanyent a <math>(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Versió ampliada de la demostració: :<math>a^{f(x)}=a^{g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> amb <math>a\in (0,1)\cup (1,+\infty)</math> <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>m=n+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^{n+\varepsilon}=a^n</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^n}\cdot a^{\varepsilon}=\cancel{a^n}</math> <math>\Rightarrow a^\varepsilon= 1</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>m=n.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>m=n</math> llavors <math>a^m=a^m</math>. Per tant queda provat que <math>a^n=a^m</math> <math>\Leftrightarrow n=m</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} Exemples d'equacions: 1) Troba la solució de: a) <math>3^x=9</math> b) <math>7^{3x}=7^2</math> c) <math>2^{1-x}=8</math> d) <math>5^{2x}+5^x=2</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 7papgtl9hwt7hgk6rscuvp33ycybx6y 386413 386412 2026-10-17T20:03:36Z Profev 36331 /* Equacions exponencials */ 386413 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> ;Propietat {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} Exemples d'equacions: 1) Troba la solució de: a) <math>3^x=9</math> b) <math>7^{3x}=7^2</math> c) <math>2^{1-x}=8</math> d) <math>5^{2x}+5^x=2</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] nqiu356vycx8vazi7ryuzgznwik5awu 1198 56188 386417 2026-10-18T06:14:03Z ~2026-55801-24 56005 Created page with "ຜີບ້າ" 386417 wikitext text/x-wiki ຜີບ້າ 8zucg6tvht2g074apn7ycry3iirlaq6 0 56189 386418 2026-10-18T06:14:03Z ~2026-55801-24 56005 Created page with "ຜີບ້າ" 386418 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> ຜີບ້າ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] j0i4zyij0whup17n79eycmz1twf1npc