উইকিবই bnwikibooks https://bn.wikibooks.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%A7%E0%A6%BE%E0%A6%A8_%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A4%E0%A6%BE MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter মিডিয়া বিশেষ আলাপ ব্যবহারকারী ব্যবহারকারী আলাপ উইকিবই উইকিবই আলোচনা চিত্র চিত্র আলোচনা মিডিয়াউইকি মিডিয়াউইকি আলোচনা টেমপ্লেট টেমপ্লেট আলোচনা সাহায্য সাহায্য আলোচনা বিষয়শ্রেণী বিষয়শ্রেণী আলোচনা উইকিশৈশব উইকিশৈশব আলাপ বিষয় বিষয় আলাপ রন্ধনপ্রণালী রন্ধনপ্রণালী আলোচনা TimedText TimedText talk মডিউল মডিউল আলাপ ইভেন্ট ইভেন্ট আলোচনা 3 16849 106938 106900 2026-07-15T18:43:29Z Rysertio 8472 /* সতর্কতা:গণহারে Ai ব্যবহার করে পাতা তৈরি */ উত্তর 106938 wikitext text/x-wiki == বাংলা উইকিবইয়ে স্বাগত == {{স্বাগত/২য় সংস্করণ}} ১৮:৪০, ২৪ অক্টোবর ২০২২ (ইউটিসি) == সতর্কতা:গণহারে Ai ব্যবহার করে পাতা তৈরি == প্রিয় @[[ব্যবহারকারী:Rysertio|Rysertio]], Ai দিয়ে গণহারে পাতা তৈরি করবেন না। আপনাকে ১ম মাত্রার সতর্কতা প্রদান করা হলো। এবং আপনার তৈরি নিবন্ধ সমূহে অপসারণ ট্যাগ যোগ করা হলো। ধন্যবাদ [[ব্যবহারকারী:R1F4T|R1F4T]] ([[ব্যবহারকারী আলাপ:R1F4T|আলাপ]]) ১৪:৫৩, ৮ জুলাই ২০২৬ (ইউটিসি) :ভবিষ্যতে এধরনের কাজ থেকে বিরত থাকব, আশা করি আমার ভুলটিকে ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন। [[ব্যবহারকারী:Rysertio|Rysertio]] ([[ব্যবহারকারী আলাপ:Rysertio|আলাপ]]) ১৮:৪৩, ১৫ জুলাই ২০২৬ (ইউটিসি) hbb2lalul8gnrdv9aepcu67b436rlkt 0 33559 106929 2026-07-15T13:07:45Z Rysertio 8472 সূচিপত্র 106929 wikitext text/x-wiki পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ঘাতের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ঘাতের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ঘাতের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ঘাতের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] 6u67lpsf0npyh22i6djs5jl7k3gwru4 106931 106929 2026-07-15T14:05:22Z Rysertio 8472 106931 wikitext text/x-wiki পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] 6z9e4l1w9j9eqxzg72rxypcmud6a4ws 106934 106931 2026-07-15T17:56:03Z Rysertio 8472 106934 wikitext text/x-wiki পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। ব্যবকলনীয় সমীকরণ পড়ার জন্য অবশ্যই ক্যালকুলাস জানতে হবে, ব্যবকলন/অন্তরীকরণ এবং সমাকলন না বুঝে থাকলে [[ক্যালকুলাস]] বইটি দেখে আসার অনুরোধ থাকবে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] 53tc9e9d6xbii6n14tudeftvh6rviwz 106940 106934 2026-07-15T19:51:21Z Rysertio 8472 106940 wikitext text/x-wiki {{prerequisite|ক্যালকুলাস}} পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। ব্যবকলনীয় সমীকরণ পড়ার জন্য অবশ্যই ক্যালকুলাস জানতে হবে, ব্যবকলন/অন্তরীকরণ এবং সমাকলন না বুঝে থাকলে [[ক্যালকুলাস]] বইটি দেখে আসার অনুরোধ থাকবে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] 0docl6u4yugmufxldovze427l6tcf3z 106941 106940 2026-07-15T19:54:55Z Rysertio 8472 106941 wikitext text/x-wiki {{prerequisite|ক্যালকুলাস}} পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। ব্যবকলনীয় সমীকরণ পড়ার জন্য অবশ্যই ক্যালকুলাস জানতে হবে, ব্যবকলন/অন্তরীকরণ এবং সমাকলন না বুঝে থাকলে [[ক্যালকুলাস]] বইটি দেখে আসার অনুরোধ থাকবে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] বইটিকে আরও গুছিয়ে তুলতে [[/অপ্রকাশিত সূচিপত্র|সাহায্য করুন]]। f1hrrdh3j7wac0ladmqyvfp70h8ppof 106957 106941 2026-07-15T23:26:29Z Rysertio 8472 106957 wikitext text/x-wiki {{prerequisite|ক্যালকুলাস}} পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। ব্যবকলনীয় সমীকরণ পড়ার জন্য অবশ্যই ক্যালকুলাস জানতে হবে, ব্যবকলন/অন্তরীকরণ এবং সমাকলন না বুঝে থাকলে [[ক্যালকুলাস]] বইটি দেখে আসার অনুরোধ থাকবে। [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা|ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনা]]<br> [[/প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]] <br> [[/উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের ব্যবহার|ব্যবকলনীয় সমীকরণের ব্যবহার]] বইটিকে আরও গুছিয়ে তুলতে [[/অপ্রকাশিত সূচিপত্র|সাহায্য করুন]]। 15ig63cagvmpxzphnip3kombnsi4zqy 0 33560 106930 2026-07-15T14:04:00Z Rysertio 8472 "কোন ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনার(বইয়ের শব্দ শনাক্তকরণ) জন্য আমাদের পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। # সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ কিনা? # ১নং প্রশ্ন হ্যাঁ হলে, সেটি আংশিক না সা..." দিয়ে পাতা তৈরি 106930 wikitext text/x-wiki কোন ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনার(বইয়ের শব্দ শনাক্তকরণ) জন্য আমাদের পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। # সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ কিনা? # ১নং প্রশ্ন হ্যাঁ হলে, সেটি আংশিক না সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ # সমীকরণটি কোন ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ? # সমীকরণটির ঘাত কত? # সমীকরণটি রৈখিক কিনা? এবার একে একে প্রশ্নগুলোর উত্তর করা যাক। ===== সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ কিনা? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে সংজ্ঞা অনুযায়ী অন্তরীকরণ অপারেটর(<math display="inline">\frac{d}{dx}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial}{\partial x}</math>) থাকবে। এজন্য সমীকরণে অন্তরীকরণ অপারেটর থাকলে সেটা ব্যবকলনীয় সমীকরণে। যদিও মাঝে মাঝে ইন্টিগ্রেশনের চিহ্ন দেওয়া থাকতে পারে। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^2y}{dx^2} + \tfrac{dy}{dx} - 6y = 0</math> ; <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> ; <math>\tfrac{\partial u}{\partial t} = \tfrac{1}{2} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> ; <math>\tfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \tfrac{3}{4} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> ===== আংশিক না সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকলে সেটা সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ আর <math display="inline">\frac{\partial}{\partial x}</math> থাকলে সেটা আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^2y}{dx^2} + \tfrac{dy}{dx} - 6y = 0</math> একটি সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ। <math>\tfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \tfrac{3}{4} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> একটি আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ। ===== সমীকরণটি কোন ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে থাকা সর্বোচ্চ ক্রমের অন্তরজের ক্রম, অর্থাৎ <math display="inline">\frac{d^n}{dx^n}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial^n}{\partial x^n}</math>গুলোর মধ্যে n এর সর্বোচ্চ মান হচ্ছে ব্যবকলনীয় সমীকরণের ক্রম। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> এর ক্রম 3 ===== সমীকরণটির ঘাত কত? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে থাকা সর্বোচ্চ ক্রমের অন্তরজের ঘাত, অর্থাৎ <math display="inline">\frac{d^n}{dx^n}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial^n}{\partial x^n}</math>গুলোর মধ্যে যার n এর সর্বোচ্চ সেটার মাত্রা বা ঘাত। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> এর ঘাত 1 ezggspkfo8l99anrqz01cno2e8ckmw9 106935 106930 2026-07-15T18:04:43Z Rysertio 8472 106935 wikitext text/x-wiki কোন ব্যবকলনীয় সমীকরণ চেনার(বইয়ের শব্দ শনাক্তকরণ) জন্য আমাদের পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। # সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ কিনা? # ১নং প্রশ্ন হ্যাঁ হলে, সেটি আংশিক না সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ # সমীকরণটি কোন ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ? # সমীকরণটির ঘাত কত? # সমীকরণটি রৈখিক কিনা? এবার একে একে প্রশ্নগুলোর উত্তর করা যাক। ===== সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ কিনা? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে সংজ্ঞা অনুযায়ী অন্তরীকরণ অপারেটর(<math display="inline">\frac{d}{dx}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial}{\partial x}</math>) থাকবে। এজন্য সমীকরণে অন্তরীকরণ অপারেটর থাকলে সেটা ব্যবকলনীয় সমীকরণে। যদিও মাঝে মাঝে ইন্টিগ্রেশনের চিহ্ন দেওয়া থাকতে পারে। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^2y}{dx^2} + \tfrac{dy}{dx} - 6y = 0</math> ; <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> ; <math>\tfrac{\partial u}{\partial t} = \tfrac{1}{2} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> ; <math>\tfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \tfrac{3}{4} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> ===== আংশিক না সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকলে সেটা সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ আর <math display="inline">\frac{\partial}{\partial x}</math> থাকলে সেটা আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^2y}{dx^2} + \tfrac{dy}{dx} - 6y = 0</math> একটি সাধারণ ব্যবকলনীয় সমীকরণ। <math>\tfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \tfrac{3}{4} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> একটি আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ। ===== সমীকরণটি কোন ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে থাকা সর্বোচ্চ ক্রমের অন্তরজের ক্রম, অর্থাৎ <math display="inline">\frac{d^n}{dx^n}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial^n}{\partial x^n}</math>গুলোর মধ্যে n এর সর্বোচ্চ মান হচ্ছে ব্যবকলনীয় সমীকরণের ক্রম। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> এর ক্রম 3 ===== সমীকরণটির ঘাত কত? ===== ব্যবকলনীয় সমীকরণে থাকা সর্বোচ্চ ক্রমের অন্তরজের ঘাত, অর্থাৎ <math display="inline">\frac{d^n}{dx^n}</math> বা <math display="inline">\frac{\partial^n}{\partial x^n}</math>গুলোর মধ্যে যার n এর সর্বোচ্চ সেটার মাত্রা বা ঘাত। উদাহরণ: <math>\tfrac{d^3y}{dx^3} + \tfrac{1}{2} \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2 - 5y = \sin(x)</math> এর ঘাত 1 ===== সমীকরণটি রৈখিক কিনা ===== <math display="inline">a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)</math> আকারে লেখা যায় এরকম সমীকরণগুলো রৈখিক। এখানে <math display="inline">y^2, y^3, \left(\frac{dy}{dx}\right)^2,\sin(y), e^y, \ln\left(\frac{dy}{dx}\right), y \frac{dy}{dx}</math> ইত্যাদি থাকা যাবেনা। সোজা কথায় y বা নির্ভরশীল চলকের কোন কাপঝাপ থাকা যাবেনা। 1g90q27kdan80g8mat2n6c7l8xr27mn 0 33561 106932 2026-07-15T17:25:09Z Rysertio 8472 "===== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ===== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ===== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ===== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</ma..." দিয়ে পাতা তৈরি 106932 wikitext text/x-wiki ===== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ===== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ===== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ===== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> ===== বার্নোলি সমীকরণ ===== <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> ===== সমমাত্রিক সমীকরণ ===== <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারের সমীকরণকে সমমাত্রিক সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} - y = x\sqrt{x^2 + y^2}</math>. ===== রৈখিক সমীকরণ ===== <math display="inline">a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. c6kncnez9gf0mvf7l3qxrlieqjvy3fy 106936 106932 2026-07-15T18:28:22Z Rysertio 8472 106936 wikitext text/x-wiki ===== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ===== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ===== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ===== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> ===== বার্নোলি সমীকরণ ===== <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> ===== সমমাত্রিক সমীকরণ ===== <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারের সমীকরণকে সমমাত্রিক সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} - y = x\sqrt{x^2 + y^2}</math>. ===== রৈখিক সমীকরণ ===== <math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। তারপর অন্তরীকরণের গুনের সূত্রে ফেলে <math display="inline">y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q(x) \cdot (\text{I.F.}) dx + C</math> আকারে নিয়ে সমাকলনটা সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. qbnvky8ncp56c021yb6uerfbi8o0xa2 106960 106936 2026-07-15T23:32:20Z Rysertio 8472 106960 wikitext text/x-wiki প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণে একবার অন্তরীকরণ করা হয়ে থাকে(কেবল <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকে), এগুলো সমাধান করা অপেক্ষাকৃত সহজ। এগুলো সমাধানে কিছু বীজগণিতিক প্রতিস্থাপন আর সমাকলন করার দরকার হয়। ==== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ==== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ==== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ==== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> ==== বার্নোলি সমীকরণ ==== <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> ==== সমমাত্রিক সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারের সমীকরণকে সমমাত্রিক সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} - y = x\sqrt{x^2 + y^2}</math>. ==== রৈখিক সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। তারপর অন্তরীকরণের গুনের সূত্রে ফেলে <math display="inline">y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q(x) \cdot (\text{I.F.}) dx + C</math> আকারে নিয়ে সমাকলনটা সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. 23fkk0r18ibplermqp3w3w05fa9iovq 106966 106960 2026-07-16T01:41:28Z Rysertio 8472 106966 wikitext text/x-wiki প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণে একবার অন্তরীকরণ করা হয়ে থাকে(কেবল <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকে), এগুলো সমাধান করা অপেক্ষাকৃত সহজ। এগুলো সমাধানে কিছু বীজগণিতিক প্রতিস্থাপন আর সমাকলন করার দরকার হয়। ==== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ==== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ==== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ==== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। সমাধান: <math display="block">\int_{y \text{ ধ্রুবক}} M \, dx + \int_{ N \text{ এর } x \text{ মুক্ত পদ}} N \, dy = c</math> উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> ==== বার্নোলি সমীকরণ ==== <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> ==== সমমাত্রিক সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারের সমীকরণকে সমমাত্রিক সমীকরণ বলে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} - y = x\sqrt{x^2 + y^2}</math>. ==== রৈখিক সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। তারপর অন্তরীকরণের গুনের সূত্রে ফেলে <math display="inline">y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q(x) \cdot (\text{I.F.}) dx + C</math> আকারে নিয়ে সমাকলনটা সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. 78pyf187rro74qwjbxv5fsajr146jh6 106967 106966 2026-07-16T01:59:13Z Rysertio 8472 106967 wikitext text/x-wiki প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণে একবার অন্তরীকরণ করা হয়ে থাকে(কেবল <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকে), এগুলো সমাধান করা অপেক্ষাকৃত সহজ। এগুলো সমাধানে কিছু বীজগণিতিক প্রতিস্থাপন আর সমাকলন করার দরকার হয়। ==== পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ ==== এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> ==== প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ ==== <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। সমাধান: <math display="block">\int_{y \text{ constant}} M \, dx + \int_{ x \text{ free terms}} N \, dy = c</math> উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> ==== বার্নোলি সমীকরণ ==== <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। এর সমাধানে নিম্নোক্ত পদ্ধতির অবলম্বন করতে হয়: yⁿ দ্বারা ভাগ করতে হবে: <math display="inline">y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)</math><br> v = y^1-n ধরে v ও <math display="inline">\tfrac{dy}{dx}</math> কে প্রতিস্থাপন।<br> <math display="inline">\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)</math> যোগাশ্রয়ী সমীকরণটির সমাধান করা উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> ==== সমমাত্রিক সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারের সমীকরণকে সমমাত্রিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> আকারে নিয়ে y = vx দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে সমীকরণটি পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ হয়ে যাবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} - y = x\sqrt{x^2 + y^2}</math>. ==== যোগাশ্রয়ী সমীকরণ ==== <math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে যোগাশ্রয়ী বা রৈখিক সমীকরণ বলে। এক্ষেত্রে সমাকলনীয় গুনক বা ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। তারপর অন্তরীকরণের গুনের সূত্রে ফেলে <math display="inline">y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q(x) \cdot (\text{I.F.}) dx + C</math> আকারে নিয়ে সমাকলনটা সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. t3t7kas1nkx3phgrtvjek8uk3dzlaal 0 33562 106933 2026-07-15T17:51:35Z Rysertio 8472 "উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। =====..." দিয়ে পাতা তৈরি 106933 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ===== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ===== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। ===== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ===== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ===== ক্রম হ্রাস করা ===== ===== অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি ===== ===== প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি ===== rjhh9ljqvufc9tpgcol24e7jj0jwc52 106939 106933 2026-07-15T19:40:24Z Rysertio 8472 /* ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ */ 106939 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ===== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ===== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ===== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ===== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ===== ক্রম হ্রাস করা ===== ===== অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি ===== ===== প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি ===== 5kq2qsug2zce099enr6277e5rkzao2e 106958 106939 2026-07-15T23:28:13Z Rysertio 8472 106958 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ===== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ===== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ===== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ===== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ===== ক্রম হ্রাস করা ===== ===== অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি ===== ===== প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি ===== ===== কোশি অইলার সমীকরণ ===== 53gi4pua0vjhz95bt3qqbvwwojn4bvo 106961 106958 2026-07-15T23:51:08Z Rysertio 8472 /* অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি */ 106961 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ===== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ===== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ===== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ===== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ===== ক্রম হ্রাস করা ===== ===== অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি ===== g(x) যদি xⁿ [n≥0], e^2x, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y_p+y_c এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y_c নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y_p এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y_pকে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y_p |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ===== প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি ===== ===== কোশি অইলার সমীকরণ ===== jqgcalupzgrm055zz11c18jlqsbepe3 106962 106961 2026-07-15T23:54:24Z Rysertio 8472 106962 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ===== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ===== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ===== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ===== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ===== ক্রম হ্রাস করা ===== ===== অনির্ণীত সহগ পদ্ধতি ===== g(x) যদি xⁿ [n≥0], e^2x, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ণীত সহগ পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y_p+y_c এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y_c নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y_p এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y_pকে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y_p |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ===== প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি ===== ===== কোশি অইলার সমীকরণ ===== j1atasd91kmkh6gf0y7cz6j71xz53vp 106964 106962 2026-07-16T01:18:12Z Rysertio 8472 106964 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ==== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ==== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ==== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ==== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ==== ক্রম হ্রাস করা ==== ==== অনির্ণীত সহগ পদ্ধতি ==== g(x) যদি xⁿ [n≥0], e^2x, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ণীত সহগ পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y_p+y_c এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y_c নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y_p এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y_pকে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y_p |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি অসমমাত্রিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান নির্নয় করার জন্য একটি সার্বজনীন পদ্ধতি যা g(x) এর যেকোনো ফাংশনের জন্য কাজ করে। ধরি, y_c = c₁y₁ + c₂y₂ <br> এখন ধ্রুবক c₁ ও c₂-কে পরিবর্তনশীল চলক u₁(x) ও u₂(x) দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে। <math display="block">y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)</math> এরপর Wronskian (W) ব্যবহার করে নিচের সূত্রের সাহায্যে u₁(x) ও u₂ নির্ণয় করতে হবে। <math display="block">u_1 = \int \frac{-y_2 g(x)}{W} dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 g(x)}{W} dx</math> ==== কশি অইলার সমীকরণ ==== কশি অইলার সমীকরণ অনেকটাই ধ্রুবক সহগ সমীকরণের মতো। এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n x^n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1) + a_{n-1} m(m-1)\dots(m-n+2) + \dots + a_1 m + a_0 = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে বের করব। g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। bkw9c4lagyhs7rw6lu7osh4umig7ps1 106965 106964 2026-07-16T01:30:47Z Rysertio 8472 106965 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ==== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ==== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \dots + c_k x^{k-1}) e^{m_1 x}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = e^{a x} [c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = e^{\alpha a} \left[ (c_1 + c_2 x + c_3 x^2) \cos(\beta x) + (c_4 + c_5 x + c_6 x^2) \sin(\beta x) \right]</math> g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ==== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ==== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ==== ক্রম হ্রাস করা ==== ==== অনির্ণীত সহগ পদ্ধতি ==== g(x) যদি xⁿ [n≥0], e^2x, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ণীত সহগ পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y_p+y_c এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y_c নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y_p এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y_pকে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y_p |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি অসমমাত্রিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান নির্নয় করার জন্য একটি সার্বজনীন পদ্ধতি যা g(x) এর যেকোনো ফাংশনের জন্য কাজ করে। ধরি, y_c = c₁y₁ + c₂y₂ <br> এখন ধ্রুবক c₁ ও c₂-কে পরিবর্তনশীল চলক u₁(x) ও u₂(x) দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে। <math display="block">y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)</math> এরপর Wronskian (W) ব্যবহার করে নিচের সূত্রের সাহায্যে u₁(x) ও u₂ নির্ণয় করতে হবে। <math display="block">u_1 = \int \frac{-y_2 g(x)}{W} dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 g(x)}{W} dx</math> ==== কশি অইলার সমীকরণ ==== কশি অইলার সমীকরণ অনেকটাই ধ্রুবক সহগ সমীকরণের মতো। এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n x^n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1) + a_{n-1} m(m-1)\dots(m-n+2) + \dots + a_1 m + a_0 = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে দিয়ে <math display="inline">y_c = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} + \dots + c_n x^{m_n}</math> বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2 + \dots + c_k (\ln x)^{k-1}) x^{m_1}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} [c_1 \cos(\beta \ln x) + c_2 \sin(\beta \ln x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} \left[ (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2) \cos(\beta \ln x) + (c_4 + c_5 \ln x + c_6 (\ln x)^2) \sin(\beta \ln x) \right]</math> y_c হচ্ছে সমাধান। k9ew7t0c92imzffeneqr8yocu495077 106970 106965 2026-07-16T02:46:07Z Rysertio 8472 /* ক্রম হ্রাস করা */ 106970 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ==== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ==== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce^mx রূপে y_c=C₀e^m₀x+C₁e^m₁x+...+C_ne^m_nx বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \dots + c_k x^{k-1}) e^{m_1 x}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = e^{a x} [c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = e^{\alpha a} \left[ (c_1 + c_2 x + c_3 x^2) \cos(\beta x) + (c_4 + c_5 x + c_6 x^2) \sin(\beta x) \right]</math> g(x)=0 হলে y_c হচ্ছে সমাধান। ==== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ==== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ==== ক্রম হ্রাস করা ==== <math>y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0</math> সমীকরণটির একটি সমাধান y₁(x) জানা, <br> ধরি অজানা সমাধান: y(x) = u(x)y₁(x) u' = v প্রতিস্থাপন <math display="block">y_1 v' + (2y_1' + P y_1)v = 0 \implies v' + \left( \frac{2y_1'}{y_1} + P \right)v = 0</math> <math display="block">\implies v(x) = u'(x) = \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2}\implies u(x) = \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2} dx</math> সমাধান <math display="inline">y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2} dx</math> '''y অনুপস্থিত থাকলে, অর্থাৎ F(x, y`, y``) = 0'''<br> প্রতিস্থাপন: y' = p এবং <math display="inline">y'' = \frac{dp}{dx}</math><br> হ্রাসকৃত সমীকরণ: <math display="inline">F\left(x, p, \frac{dp}{dx}\right) = 0</math> '''x অনুপস্থিত থাকলে, অর্থাৎ F(y, y`, y``) = 0'''<br> প্রতিস্থাপন: y' = p এবং <math display="inline">y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}</math><br> হ্রাসকৃত সমীকরণ: <math display="inline">F\left(y, p, p\frac{dp}{dy}\right) = 0</math> ==== অনির্ণীত সহগ পদ্ধতি ==== g(x) যদি x<sup>n</sup> [n≥0], e<sup>2x</sup>, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ণীত সহগ পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y<sub>p</sub>+y<sub>c</sub> এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y<sub>c</sub> নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y<sub>p</sub> এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y<sub>p</sub>কে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y<sub>p</sub> |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি অসমমাত্রিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান নির্নয় করার জন্য একটি সার্বজনীন পদ্ধতি যা g(x) এর যেকোনো ফাংশনের জন্য কাজ করে। ধরি, y<sub>c</sub> = c<sub>1</sub>y<sub>1</sub> + c<sub>2</sub>y<sub>2</sub> <br> এখন ধ্রুবক c<sub>1</sub> ও c<sub>2</sub>-কে পরিবর্তনশীল চলক u<sub>1</sub>(x) ও u<sub>2</sub>(x) দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে। <math display="block">y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)</math> এরপর Wronskian (W) ব্যবহার করে নিচের সূত্রের সাহায্যে u<sub>1</sub>(x) ও u<sub>2</sub> নির্ণয় করতে হবে। <math display="block">u_1 = \int \frac{-y_2 g(x)}{W} dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 g(x)}{W} dx</math> ==== কশি অইলার সমীকরণ ==== কশি অইলার সমীকরণ অনেকটাই ধ্রুবক সহগ সমীকরণের মতো। এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n x^n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1) + a_{n-1} m(m-1)\dots(m-n+2) + \dots + a_1 m + a_0 = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে দিয়ে <math display="inline">y_c = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} + \dots + c_n x^{m_n}</math> বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2 + \dots + c_k (\ln x)^{k-1}) x^{m_1}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} [c_1 \cos(\beta \ln x) + c_2 \sin(\beta \ln x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} \left[ (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2) \cos(\beta \ln x) + (c_4 + c_5 \ln x + c_6 (\ln x)^2) \sin(\beta \ln x) \right]</math> y<sub>c</sub> হচ্ছে সমাধান। 86621q8v42xebpq6d70vubyfycd5813 106971 106970 2026-07-16T10:52:25Z Rysertio 8472 106971 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। ==== ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী সমীকরণ ==== এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \dots = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে Ce<sup>mx</sup> রূপে y<sub>c</sub>=C<sub>0</sub>e<sup>m<sub>0</sub>x</sup>+C<sub>1</sub>e<sup>m<sub>1</sub>x</sup>+...+C<sub>n</sub>e<sup>m<sub>n</sub>x</sup> বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \dots + c_k x^{k-1}) e^{m_1 x}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = e^{a x} [c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = e^{\alpha a} \left[ (c_1 + c_2 x + c_3 x^2) \cos(\beta x) + (c_4 + c_5 x + c_6 x^2) \sin(\beta x) \right]</math> g(x)=0 হলে y<sub>c</sub> হচ্ছে সমাধান। ==== রস্কিয়ান নির্ণায়ক ==== কতগুলো ফাংশন পরস্পরের উপর নির্ভরশীল কিনা, সেটা নির্নয় করা হয় রস্কিয়ান নির্ণায়ক দিয়ে। <math display="block">W(y_1, y_2, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}</math> যদি <math display="inline">W \neq 0</math> হয়, তবে ফাংশনগুলো পরস্পরের উপর অনির্ভরশীল।যদি W = 0 হয়, তবে ফাংশনগুলো নির্ভরশীল। ==== ক্রম হ্রাস করা ==== <math>y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0</math> সমীকরণটির একটি সমাধান y<sub>1</sub>(x) জানা, <br> ধরি অজানা সমাধান: y(x) = u(x)y<sub>1</sub>(x) u' = v প্রতিস্থাপন <math display="block">y_1 v' + (2y_1' + P y_1)v = 0 \implies v' + \left( \frac{2y_1'}{y_1} + P \right)v = 0</math> <math display="block">\implies v(x) = u'(x) = \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2}\implies u(x) = \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2} dx</math> সমাধান <math display="inline">y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{(y_1(x))^2} dx</math> '''y অনুপস্থিত থাকলে, অর্থাৎ F(x, y`, y``) = 0'''<br> প্রতিস্থাপন: y' = p এবং <math display="inline">y'' = \frac{dp}{dx}</math><br> হ্রাসকৃত সমীকরণ: <math display="inline">F\left(x, p, \frac{dp}{dx}\right) = 0</math> '''x অনুপস্থিত থাকলে, অর্থাৎ F(y, y`, y``) = 0'''<br> প্রতিস্থাপন: y' = p এবং <math display="inline">y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}</math><br> হ্রাসকৃত সমীকরণ: <math display="inline">F\left(y, p, p\frac{dp}{dy}\right) = 0</math> ==== অনির্ণীত সহগ পদ্ধতি ==== g(x) যদি xⁿ [n≥0], e^2x, sin(x), cos(x) ফাংশন বা তাঁর সমাবেশ হয়, অনির্ণীত সহগ পদ্ধতিতে সহজে ব্যবকলনীয় সমীকরণটির সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে সমাধান y=y_p+y_c এজন্য, g(x)=0 ধরে ধ্রুব সহগের পদ্ধতিতে y_c নির্ণয় করতে হবে। এরপর g(x) অনুযায়ী y_p এর একটি মান ধরতে হবে। এজন্য নিচের টেবিলটি ব্যবহার করব। তারপর y_pকে পুর্ববর্তী সমীকরণে বসিয়ে সহগগুলির মান নির্নয় করব। {| class="wikitable" ! align=left| g(x) !! align=left| y_p |- |<math>k e^{a x}\!</math> ||<math>C e^{a x}\!</math> |- |<math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>|| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math> |- |<math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math> || <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math> |- |<math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math> || <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math> || <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math> |- |<math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math> || <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math> |} ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি ==== পরামিতি পরিবর্তন পদ্ধতি অসমমাত্রিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের বিশেষ সমাধান নির্নয় করার জন্য একটি সার্বজনীন পদ্ধতি যা g(x) এর যেকোনো ফাংশনের জন্য কাজ করে। ধরি, y_c = c₁y₁ + c₂y₂ <br> এখন ধ্রুবক c₁ ও c₂-কে পরিবর্তনশীল চলক u₁(x) ও u₂(x) দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে। <math display="block">y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)</math> এরপর Wronskian (W) ব্যবহার করে নিচের সূত্রের সাহায্যে u₁(x) ও u₂ নির্ণয় করতে হবে। <math display="block">u_1 = \int \frac{-y_2 g(x)}{W} dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 g(x)}{W} dx</math> ==== কশি অইলার সমীকরণ ==== কশি অইলার সমীকরণ অনেকটাই ধ্রুবক সহগবিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী সমীকরণের মতো। এগুলো দেখতে নিচের মতো হবে: <math display="block">a_n x^n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)</math> এক্ষেত্রে <math display="inline">a_n m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1) + a_{n-1} m(m-1)\dots(m-n+2) + \dots + a_1 m + a_0 = 0</math> সমীকরণটি তৈরি করে m-এর মান বের করতে হবে। এই সমীকরণটিকে সহযোগী সমীকরণ বলে। এখান থেকে m এর যে মানগুলো পাবো, সেগুলোকে দিয়ে <math display="inline">y_c = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} + \dots + c_n x^{m_n}</math> বের করব। যদি বাস্তব মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2 + \dots + c_k (\ln x)^{k-1}) x^{m_1}</math>। যদি জটিল মূল থাকে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} [c_1 \cos(\beta \ln x) + c_2 \sin(\beta \ln x)]</math>; জটিল মূলের পুনরাবৃত্তি ঘটে: <math display="inline">y_c = x^{\alpha} \left[ (c_1 + c_2 \ln x + c_3 (\ln x)^2) \cos(\beta \ln x) + (c_4 + c_5 \ln x + c_6 (\ln x)^2) \sin(\beta \ln x) \right]</math> y_c হচ্ছে সমাধান। n6kn6mkgj6rfquliq33y0j024g5zotg 1 33563 106937 2026-07-15T18:31:01Z Rysertio 8472 /* বাকি অংশগুলোর কাজ */ নতুন অনুচ্ছেদ 106937 wikitext text/x-wiki == বাকি অংশগুলোর কাজ == উদাহরণগুলোর সমাধান আর উচ্চতর ক্রমের অনেক কাজ বাকি আছে। [[ব্যবহারকারী:Rysertio|Rysertio]] ([[ব্যবহারকারী আলাপ:Rysertio|আলাপ]]) ১৮:৩১, ১৫ জুলাই ২০২৬ (ইউটিসি) opwmwro45mr6g84pqxkhua3zweb7jyi 0 33564 106942 2026-07-15T20:21:37Z Rysertio 8472 "[[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ|ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান|ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান]]<br> /প্রথম-ক্র..." দিয়ে পাতা তৈরি 106942 wikitext text/x-wiki [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ|ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান|ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান]]<br> [[/প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ|পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/প্রতিস্থাপন পদ্ধতি|প্রতিস্থাপন পদ্ধতি]]<br> [[/বার্নোলি সমীকরণ|বার্নোলি সমীকরণ]]<br> [[/রিকাটি সমীকরণ|রিকাটি সমীকরণ]]<br> [[/লম্ব ও তির্যক গতিপথ|লম্ব ও তির্যক গতিপথ]]<br> [[/উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ|উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ]]<br> [[/x বা y ছাড়া সমীকরণ|x বা y ছাড়া সমীকরণ]]<br> [[/x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ|x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ]]<br> [[/দ'আলেমবের্তের সমীকরণ|দ'আলেমবের্তের সমীকরণ]]<br> [[/ক্লেয়ারো সমীকরণ|ক্লেয়ারো সমীকরণ]]<br> [[/লেজেন্ড্রে রূপান্তর|লেজেন্ড্রে রূপান্তর]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন|ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন]] [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/ধ্রুব সহগ|ধ্রুব সহগ]]<br> [[/ক্রম হ্রাস করা|ক্রম হ্রাস করা]]<br> [[/ধারা সমাধান|ধারা সমাধান]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণ|অতিজ্যামিতিক সমীকরণ]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান|অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান]]<br> [[/লেজেন্ড্রে সমীকরণ|লেজেন্ড্রে সমীকরণ]]<br> [[/বেসেল সমীকরণ|বেসেল সমীকরণ]]<br> [[/ম্যাথিউ সমীকরণ|ম্যাথিউ সমীকরণ]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান|অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান]]<br> [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ]] [[/উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/সাধারণ রৈখিক সমীকরণ|সাধারণ রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান|রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান]]<br> [[/সমীকরণ পদ্ধতি|সমীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি|অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি]]<br> [[/প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি|প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি]]<br> [[/কোশি অইলার সমীকরণ|কোশি অইলার সমীকরণ]] [[/ল্যাপলেস রূপান্তর|ল্যাপলেস রূপান্তর]]<br> [[/বেসেল ফাংশন|বেসেল ফাংশন]]<br> [[/অইলার রূপান্তর| অইলার রূপান্তর]]<br> [[/মেলিন রূপান্তর|মেলিন রূপান্তর]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক ধারা|অতিজ্যামিতিক ধারা]]<br> [[/দ্বৈত সমাকলন|দ্বৈত সমাকলন]]<br> [[/স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব|স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব]]<br> [[/রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা|রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা|অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/গ্রিন ফাংশন|গ্রিন ফাংশন]] [[/সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা|সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা]]<br> [[/পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য|পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য]]<br> [[/পিয়ানোর উপপাদ্য|পিয়ানোর উপপাদ্য]]<br> [[/বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন|বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন]]<br> [[/ব্যবধির উপর সমাধানের বৈশ্বিক অনন্যতা|ব্যবধির উপর সমাধানের বৈশ্বিক অনন্যতা]]<br> [[/সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন|সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন]]<br> [[/প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি|প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ|রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ]]<br> [[/প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি|প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি]]<br> [[/জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য|জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ|অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ]]<br> [[/অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর|অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর]]<br> [[/অপরিবর্তনশীল ফাংশন|অপরিবর্তনশীল ফাংশন]] [[/শব্দকোষ|শব্দকোষ]]<br> [[/কিছু সমীকরণের তালিকা|কিছু সমীকরণের তালিকা]]<br> [[/পথনির্দেশিকা|পথনির্দেশিকা]] q3ztcuddtxny07rhzibhy5rc20t30i3 106943 106942 2026-07-15T20:24:19Z Rysertio 8472 106943 wikitext text/x-wiki [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ|ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান|ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান]]<br> [[/প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ|পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/প্রতিস্থাপন পদ্ধতি|প্রতিস্থাপন পদ্ধতি]]<br> [[/বার্নোলি সমীকরণ|বার্নোলি সমীকরণ]]<br> [[/রিকাটি সমীকরণ|রিকাটি সমীকরণ]]<br> [[/লম্ব ও তির্যক গতিপথ|লম্ব ও তির্যক গতিপথ]]<br> [[/উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ|উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ]]<br> [[/x বা y ছাড়া সমীকরণ|x বা y ছাড়া সমীকরণ]]<br> [[/x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ|x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ]]<br> [[/দ'আলেমবের্তের সমীকরণ|দ'আলেমবের্তের সমীকরণ]]<br> [[/ক্লেয়ারো সমীকরণ|ক্লেয়ারো সমীকরণ]]<br> [[/লেজেন্ড্রে রূপান্তর|লেজেন্ড্রে রূপান্তর]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন|ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন]] [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/ধ্রুব সহগ|ধ্রুব সহগ]]<br> [[/ক্রম হ্রাস করা|ক্রম হ্রাস করা]]<br> [[/ধারা সমাধান|ধারা সমাধান]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণ|অতিজ্যামিতিক সমীকরণ]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান|অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান]]<br> [[/লেজেন্ড্রে সমীকরণ|লেজেন্ড্রে সমীকরণ]]<br> [[/বেসেল সমীকরণ|বেসেল সমীকরণ]]<br> [[/ম্যাথিউ সমীকরণ|ম্যাথিউ সমীকরণ]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান|অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান]]<br> [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ]] [[/উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/সাধারণ রৈখিক সমীকরণ|সাধারণ রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান|রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান]]<br> [[/সমীকরণ পদ্ধতি|সমীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি|অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি]]<br> [[/প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি|প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি]]<br> [[/কোশি অইলার সমীকরণ|কোশি অইলার সমীকরণ]] [[/ল্যাপলেস রূপান্তর|ল্যাপলেস রূপান্তর]]<br> [[/বেসেল ফাংশন|বেসেল ফাংশন]]<br> [[/অইলার রূপান্তর| অইলার রূপান্তর]]<br> [[/মেলিন রূপান্তর|মেলিন রূপান্তর]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক ধারা|অতিজ্যামিতিক ধারা]]<br> [[/দ্বৈত সমাকলন|দ্বৈত সমাকলন]]<br> [[/স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব|স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব]]<br> [[/রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা|রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা|অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/গ্রিন ফাংশন|গ্রিন ফাংশন]] [[/সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা|সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা]]<br> [[/পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য|পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য]]<br> [[/পিয়ানোর উপপাদ্য|পিয়ানোর উপপাদ্য]]<br> [[/বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন|বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন]]<br> [[/ব্যবধির উপর সমাধানের অনন্যতা|ব্যবধির উপর সমাধানের অনন্যতা]]<br> [[/সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন|সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন]]<br> [[/প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি|প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ|রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ]]<br> [[/প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি|প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি]]<br> [[/জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য|জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ|অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ]]<br> [[/অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর|অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর]]<br> [[/অপরিবর্তনশীল ফাংশন|অপরিবর্তনশীল ফাংশন]] [[/শব্দকোষ|শব্দকোষ]]<br> [[/কিছু সমীকরণের তালিকা|কিছু সমীকরণের তালিকা]]<br> [[/পথনির্দেশিকা|পথনির্দেশিকা]] 4f9khebwr00fy247k308vwrqzglchfm 106951 106943 2026-07-15T20:39:56Z Rysertio 8472 106951 wikitext text/x-wiki [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ|ক্যালকুলাসের প্রাথমিক বিষয়সমূহ]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান|ব্যবকলনীয় সমীকরণের গঠন ও সমাধান]]<br> [[/প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রথম-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ|পৃথকীকরণযোগ্য সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ|প্রকৃত ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/প্রতিস্থাপন পদ্ধতি|প্রতিস্থাপন পদ্ধতি]]<br> [[/বার্নোলি সমীকরণ|বার্নোলি সমীকরণ]]<br> [[/রিকাটি সমীকরণ|রিকাটি সমীকরণ]]<br> [[/লম্ব ও তির্যক গতিপথ|লম্ব ও তির্যক গতিপথ]]<br> [[/উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ|উচ্চতর মাত্রার সমীকরণ]]<br> [[/x বা y ছাড়া সমীকরণ|x বা y ছাড়া সমীকরণ]]<br> [[/x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ|x এবং y-এর সাপেক্ষে সমমাত্রিক সমীকরণ]]<br> [[/দ'আলেমবের্তের সমীকরণ|দ'আলেমবের্তের সমীকরণ]]<br> [[/ক্লেয়ারো সমীকরণ|ক্লেয়ারো সমীকরণ]]<br> [[/লেজেন্ড্রে রূপান্তর|লেজেন্ড্রে রূপান্তর]]<br> [[/ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন|ব্যবকলনীয় সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন]] [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/ধ্রুব সহগ|ধ্রুব সহগ]]<br> [[/ক্রম হ্রাস করা|ক্রম হ্রাস করা]]<br> [[/ধারা সমাধান|ধারা সমাধান]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণ|অতিজ্যামিতিক সমীকরণ]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান|অতিজ্যামিতিক সমীকরণের ফ্রবিনিয়াস সমাধান]]<br> [[/লেজেন্ড্রে সমীকরণ|লেজেন্ড্রে সমীকরণ]]<br> [[/বেসেল সমীকরণ|বেসেল সমীকরণ]]<br> [[/ম্যাথিউ সমীকরণ|ম্যাথিউ সমীকরণ]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান|অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সমাধান]]<br> [[/দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ|দ্বিতীয়-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণের প্রয়োগ]] [[/উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ|উচ্চতর-ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ]]<br> [[/উচ্চতর-ক্রমের রৈখিক সমীকরণ|রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/সাধারণ রৈখিক সমীকরণ|সাধারণ রৈখিক সমীকরণ]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান|রৈখিক সমীকরণের অসীম ধারা সমাধান]]<br> [[/সমীকরণ পদ্ধতি|সমীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি|অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি]]<br> [[/প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি|প্যারামিটার পরিবর্তনের পদ্ধতি]]<br> [[/কোশি অইলার সমীকরণ|কোশি অইলার সমীকরণ]] [[/ল্যাপলেস রূপান্তর|ল্যাপলেস রূপান্তর]]<br> [[/বেসেল ফাংশন|বেসেল ফাংশন]]<br> [[/অইলার রূপান্তর| অইলার রূপান্তর]]<br> [[/মেলিন রূপান্তর|মেলিন রূপান্তর]]<br> [[/অতিজ্যামিতিক ধারা|অতিজ্যামিতিক ধারা]]<br> [[/দ্বৈত সমাকলন|দ্বৈত সমাকলন]]<br> [[/স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব|স্টর্ম-লিওভিল তত্ত্ব]]<br> [[/রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা|রৈখিক অন্তরকলন সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা|অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা]]<br> [[/গ্রিন ফাংশন|গ্রিন ফাংশন]] [[/সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা|সমাধানের অস্তিত্ব ও অনন্যতা]]<br> [[/পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য|পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য]]<br> [[/পিয়ানোর উপপাদ্য|পিয়ানোর উপপাদ্য]]<br> [[/বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন|বিস্ফোরণ এবং সীমানায় গমন]]<br> [[/ব্যবধির উপর সমাধানের অনন্যতা|ব্যবধির উপর সমাধানের অনন্যতা]]<br> [[/সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন|সমাধানের সর্বোচ্চ ডোমেন]]<br> [[/প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি|প্রমাণের ধারাবাহিক আসন্নীকরণ পদ্ধতি]]<br> [[/রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ|রৈখিক সমীকরণে প্রয়োগ]]<br> [[/প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি|প্রমাণের কোশি-লিপশিটজ পদ্ধতি]]<br> [[/জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য|জটিল সংখ্যার অস্তিত্ব উপপাদ্য]]<br> [[/অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ|অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর গ্রুপ]]<br> [[/অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর|অসীম ক্ষুদ্র রূপান্তর]]<br> [[/অপরিবর্তনশীল ফাংশন|অপরিবর্তনশীল ফাংশন]] [[/শব্দকোষ|শব্দকোষ]]<br> [[/কিছু সমীকরণের তালিকা|কিছু সমীকরণের তালিকা]]<br> [[/পথনির্দেশিকা|পথনির্দেশিকা]] q0ae6x08dju9a88qr9evs5s8y685uzw 0 33565 106944 2026-07-15T20:26:41Z Rysertio 8472 "পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিক..." দিয়ে পাতা তৈরি 106944 wikitext text/x-wiki পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে অনেক কিছু ব্যাখ্যা করা হয় ব্যবকলনীয় সমীকরণ দিয়ে। পরীক্ষায় পাশ করা ছাড়াও যেগুলো বস্তুর গতিপথ, পরিবর্তনশীল তড়িৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ, রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি, জনসংখ্যা বৃদ্ধি পরিমপে কাজে লাগে। ব্যবকলনীয় সমীকরণ পড়ার জন্য অবশ্যই ক্যালকুলাস জানতে হবে, ব্যবকলন/অন্তরীকরণ এবং সমাকলন না বুঝে থাকলে [[ক্যালকুলাস]] বইটি দেখে আসার অনুরোধ থাকবে। o7b9gt6fbawdue6rmz915gstbolzflp 0 33566 106945 2026-07-15T20:29:55Z Rysertio 8472 "উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব।" দিয়ে পাতা তৈরি 106945 wikitext text/x-wiki উচ্চতর ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি একটু অন্যরকম লাগবে, কারণ এখানে খুব কমক্ষেত্রেই আমরা সরাসরি সমাকলন বা কোন বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে পারব। b2njlon9g3kqs5cl4woo4e9hy1n3qe8 0 33567 106946 2026-07-15T20:34:52Z Rysertio 8472 "প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণে একবার অন্তরীকরণ করা হয়ে থাকে(কেবল <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকে), এগুলো সমাধান করা অপেক্ষাকৃত সহজ। এগুলো সমাধানে কিছু বীজগণিতিক প্রতিস্থাপন আর স..." দিয়ে পাতা তৈরি 106946 wikitext text/x-wiki প্রথম ক্রমের ব্যবকলনীয় সমীকরণে একবার অন্তরীকরণ করা হয়ে থাকে(কেবল <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> থাকে), এগুলো সমাধান করা অপেক্ষাকৃত সহজ। এগুলো সমাধানে কিছু বীজগণিতিক প্রতিস্থাপন আর সমাকলন করার দরকার হয়। 4qwql8n53ijzcx928m2fd4ln1ffjx6q 0 33568 106947 2026-07-15T20:35:54Z Rysertio 8472 "=== সমাধান === এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math>" দিয়ে পাতা তৈরি 106947 wikitext text/x-wiki === সমাধান === এক্ষেত্রে সমীকরণটিকে <math>g(x)dx=h(y)dy</math> আকারে নিয়ে সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন করব। উদাহরণ: <math>(xy + 2x + y + 2)dx + (x^2 + 2x)dy = 0</math> 9f43y5bnkia1rdl1zvmq53n73wd57cn 0 33569 106948 2026-07-15T20:36:52Z Rysertio 8472 "<math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। === সমাধান === এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। ত..." দিয়ে পাতা তৈরি 106948 wikitext text/x-wiki <math display="inline">\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)</math> আকারের সমীকরণকে রৈখিক সমীকরণ বলে। === সমাধান === এক্ষেত্রে ইন্টিগ্রাটিং ফ্যাক্টর <math display="inline">\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}</math> বের করে সেটা দিয়ে উভয়পক্ষকে গুন করতে হবে। তারপর অন্তরীকরণের গুনের সূত্রে ফেলে <math display="inline">y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q(x) \cdot (\text{I.F.}) dx + C</math> আকারে নিয়ে সমাকলনটা সমাধান করতে হবে। উদাহরণ: <math>x\tfrac{dy}{dx} + 2y = x\log x</math>. hypxqf3y5nsqr0z5536e5rj0x4k93je 0 33570 106949 2026-07-15T20:37:52Z Rysertio 8472 "<math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। === সমাধান === উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math>" দিয়ে পাতা তৈরি 106949 wikitext text/x-wiki <math>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0</math> আকারের একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণ প্রকৃত হতে হলে, <math display="inline">\tfrac{\partial M}{\partial y} = \tfrac{\partial N}{\partial x}</math> হতে হবে। === সমাধান === উদাহরণ: <math>(y^2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0</math> b03em6lvvciiibb13knc3qbbdmmktv2 0 33571 106950 2026-07-15T20:38:46Z Rysertio 8472 "<math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। === সমাধান === উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math>" দিয়ে পাতা তৈরি 106950 wikitext text/x-wiki <math display="inline">\tfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad [n \neq 0, 1]</math> আকারের সমীকরণকে বার্নোলি সমীকরণ বলে। === সমাধান === উদাহরণ: <math>\tfrac{dy}{dx} + y = xy^3</math> fslsbrqbagszfg1eyrv2og7seelpcuc 1 33572 106952 2026-07-15T21:10:48Z Rysertio 8472 "অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করতে চাচ্ছি।" দিয়ে পাতা তৈরি 106952 wikitext text/x-wiki অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করতে চাচ্ছি। 16vn49qh7o3m35mlby6zxbrtboj9phu 106953 106952 2026-07-15T21:12:07Z Rysertio 8472 /* অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করা */ নতুন অনুচ্ছেদ 106953 wikitext text/x-wiki অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করতে চাচ্ছি। == অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করা == অ্যালগোরিদম বইটি পুনরায় তৈরি করতে চাচ্ছিলাম। এব্যাপারে সকলের মতামত চাই। [[ব্যবহারকারী:Rysertio|Rysertio]] ([[ব্যবহারকারী আলাপ:Rysertio|আলাপ]]) ২১:১২, ১৫ জুলাই ২০২৬ (ইউটিসি) n8n4ur2f2ho39lkmglahalup00i0dvz 0 33573 106954 2026-07-15T22:18:37Z Rysertio 8472 "কম্পিউটারে দ্রুততার সাথে গাণিতিক সূত্রগুলির কাছাকাছি মান নির্ণয় করার পদ্ধতিকে সাংখ্যিক বিশ্লেষণ বলে। এই বইটিতে যতটা সম্ভব সহজ ভাষায় সাংখ্যিক বিশ্লেষণ বোঝানোর চেষ্ট..." দিয়ে পাতা তৈরি 106954 wikitext text/x-wiki কম্পিউটারে দ্রুততার সাথে গাণিতিক সূত্রগুলির কাছাকাছি মান নির্ণয় করার পদ্ধতিকে সাংখ্যিক বিশ্লেষণ বলে। এই বইটিতে যতটা সম্ভব সহজ ভাষায় সাংখ্যিক বিশ্লেষণ বোঝানোর চেষ্টা করব। [[/ভূমিকা |ভূমিকা ]]<br> [[/নিউটনিয় দ্বিখন্ডন পদ্ধতি|নিউটনিয় দ্বিখন্ডন পদ্ধতি]]<br> [[/ফলস পজিশন পদ্ধতি|ফলস পজিশন পদ্ধতি]]<br> [[/পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি|পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি]]<br> [[/নিউটন-রাফসন পদ্ধতি|নিউটন-রাফসন পদ্ধতি]] [[/সম্মুখবর্তী পার্থক্য অন্তর্বেশন|সম্মুখবর্তী পার্থক্য অন্তর্বেশন]]<br> [[/পশ্চাৎবর্তী পার্থক্য অন্তর্বেশন|পশ্চাৎবর্তী পার্থক্য অন্তর্বেশন]]<br> [[/ল্যাগ্রাঞ্জ অন্তর্বেশন|ল্যাগ্রাঞ্জ অন্তর্বেশন]] [[/অইলার পদ্ধতি |অইলার পদ্ধতি ]]<br> [[/রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি|রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি]] [[/ফুরিয়ে রূপান্তর|ফুরিয়ে রূপান্তর]]<br> [[/z রূপান্তর|z রূপান্তর]] [[/সসীম পার্থক্য পদ্ধতি|সসীম পার্থক্য পদ্ধতি]]<br> [[/সসীম উপাদান পদ্ধতি|সসীম উপাদান পদ্ধতি ]]<br> [[/রৈখিক বীজগণিত নির্নয়|রৈখিক বীজগাণিতিক রাশির মান নির্নয়]] jibvhivpwydg6851a0apoim43muhlcm 0 33574 106955 2026-07-15T22:40:07Z Rysertio 8472 "বাস্তব সংখ্যার ক্যালকুলাসে যে ইন্টিগ্রেশন করতে কয়েক পৃষ্ঠা লেগে যায়, জটিল বিশ্লেষণ দিয়ে সেটা কয়েক লাইনে করা যায়। জটিল বিশ্লেষণ ক্যালকুলাসকে ব্যবহারোপযোগী করে তোল..." দিয়ে পাতা তৈরি 106955 wikitext text/x-wiki বাস্তব সংখ্যার ক্যালকুলাসে যে ইন্টিগ্রেশন করতে কয়েক পৃষ্ঠা লেগে যায়, জটিল বিশ্লেষণ দিয়ে সেটা কয়েক লাইনে করা যায়। জটিল বিশ্লেষণ ক্যালকুলাসকে ব্যবহারোপযোগী করে তোলে। [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/জটিল সংখ্যা |জটিল সংখ্যা ]]<br> [[/কশি-রেইম্যান সমীকরণ|কশি-রেইম্যান সমীকরণ]]<br> [[/কশির সমাকলনের সূত্র|কশির সমাকলনের সূত্র]]<br> [[/রেসিডিউ উপপাদ্য|রেসিডিউ উপপাদ্য]]<br> [[/ফুরিয়ে রূপান্তর|ফুরিয়ে রূপান্তর]]<br> [[/ল্যাপ্লাস রূপান্তর|ল্যাপ্লাস রূপান্তর]]<br> ju494e6h1avzr51ssx41muxlj8o6r9x 106963 106955 2026-07-16T00:57:21Z Rysertio 8472 106963 wikitext text/x-wiki বাস্তব সংখ্যার ক্যালকুলাসে যে ইন্টিগ্রেশন করতে কয়েক পৃষ্ঠা লেগে যায়, জটিল বিশ্লেষণ দিয়ে সেটা কয়েক লাইনে করা যায়। জটিল বিশ্লেষণ ক্যালকুলাসকে ব্যবহারোপযোগী করে তোলে। [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/জটিল সংখ্যা |জটিল সংখ্যা ]]<br> [[/কশি-রেইম্যান সমীকরণ|কশি-রেইম্যান সমীকরণ]]<br> [[/কশির সমাকলনের সূত্র|কশির সমাকলনের সূত্র]]<br> [[/অবশেষ উপপাদ্য|অবশেষ উপপাদ্য]]<br> [[/ফুরিয়ে রূপান্তর|ফুরিয়ে রূপান্তর]]<br> [[/ল্যাপ্লাস রূপান্তর|ল্যাপ্লাস রূপান্তর]]<br> a9ewdy6yxbluq6p8f9mydwzvpx7ezzm 0 33575 106956 2026-07-15T23:16:22Z Rysertio 8472 "[[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/রিলেশনাল ডাটাবেজের ধারনা|রিলেশনাল ডাটাবেজের ধারনা]]<br> [[/SQL এর ধারনা|SQL এর ধারনা]]<br> [[/ER মডেল|ER মডেল]]<br> [[/ডাটা স্বাভাবিকিকরন|ডাটা স্বাভাবিকিকরন]]<br> /বিগডাটা|বিগড..." দিয়ে পাতা তৈরি 106956 wikitext text/x-wiki [[/ভূমিকা|ভূমিকা]]<br> [[/রিলেশনাল ডাটাবেজের ধারনা|রিলেশনাল ডাটাবেজের ধারনা]]<br> [[/SQL এর ধারনা|SQL এর ধারনা]]<br> [[/ER মডেল|ER মডেল]]<br> [[/ডাটা স্বাভাবিকিকরন|ডাটা স্বাভাবিকিকরন]]<br> [[/বিগডাটা|বিগডাটা]]<br> [[/ডাটা অ্যানালিটিক্স|ডাটা অ্যানালিটিক্স]]<br> [[/ডাটা সংরক্ষণ ব্যবস্থা|ডাটা সংরক্ষণ ব্যবস্থা]]<br> [[/ইনডেক্সিং|ইনডেক্সিং]]<br> [[/কুয়েরি প্রক্রিয়া|কুয়েরি প্রক্রিয়া]]<br> [[/ট্রানজেকশন|ট্রানজেকশন]]<br> [[/কনকারেন্সি নিয়ন্ত্রণ|কনকারেন্সি নিয়ন্ত্রণ]]<br> [[/পুনরুদ্ধার ব্যবস্থা|পুনরুদ্ধার ব্যবস্থা]]<br> [[/ডাটাবেজ সিস্টেমের গঠন|ডাটাবেজ সিস্টেমের গঠন]]<br> 09a9gy93jtqphi0g5nvl8e1s7pvruhz 0 33576 106959 2026-07-15T23:29:59Z Rysertio 8472 "==== লম্ব ও তির্যক গতিপথ ==== ==== পরিবর্তনশীল তড়িৎ ==== ==== তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ ==== ==== রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি ==== ==== জনসংখ্যা বৃদ্ধি ====" দিয়ে পাতা তৈরি 106959 wikitext text/x-wiki ==== লম্ব ও তির্যক গতিপথ ==== ==== পরিবর্তনশীল তড়িৎ ==== ==== তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ ==== ==== রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি ==== ==== জনসংখ্যা বৃদ্ধি ==== rm27yvta8al55schblwde45j7l2a30k 106968 106959 2026-07-16T02:23:50Z Rysertio 8472 106968 wikitext text/x-wiki ==== লম্ব ও তির্যক গতিপথ ==== লম্ব গতিপথ (Orthogonal): <math display="inline">\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{f(x,y)}</math><br> তির্যক গতিপথ (Oblique - α কোণে): <math display="inline">\frac{dy}{dx} = \frac{f(x,y) + \tan\alpha}{1 - f(x,y)\tan\alpha}</math> ==== পরিবর্তনশীল তড়িৎ ==== <math display="inline">L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)</math> বা <math display="inline">L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{i}{C} = \frac{dE}{dt}</math> ==== তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ ==== <math display="inline">\frac{dN}{dt} = -\lambda N</math> ==== রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি ==== প্রথম ক্রমের বিক্রিয়া <math display="inline">\frac{dx}{dt} = k(a - x)</math><br> দ্বিতীয় ক্রমের বিক্রিয়া <math display="inline">\frac{dx}{dt} = k(a - x)^2</math> ==== জনসংখ্যা বৃদ্ধি ==== ম্যালথুসিয়ান মডেল <math display="inline">\frac{dP}{dt} = rP</math><br> লজিস্টিক মডেল <math display="inline">\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)</math> tpbe9waikusk0lgjjft0vnnh5v6u9ex 106969 106968 2026-07-16T02:24:31Z Rysertio 8472 106969 wikitext text/x-wiki ==== লম্ব ও তির্যক গতিপথ ==== লম্ব গতিপথ <math display="inline">\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{f(x,y)}</math><br> তির্যক গতিপথ (α কোণে): <math display="inline">\frac{dy}{dx} = \frac{f(x,y) + \tan\alpha}{1 - f(x,y)\tan\alpha}</math> ==== পরিবর্তনশীল তড়িৎ ==== <math display="inline">L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)</math> বা <math display="inline">L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{i}{C} = \frac{dE}{dt}</math> ==== তেজস্ক্রিয় পদার্থের বিকিরণ ==== <math display="inline">\frac{dN}{dt} = -\lambda N</math> ==== রাসায়নিক বিক্রিয়ার গতি ==== প্রথম ক্রমের বিক্রিয়া <math display="inline">\frac{dx}{dt} = k(a - x)</math><br> দ্বিতীয় ক্রমের বিক্রিয়া <math display="inline">\frac{dx}{dt} = k(a - x)^2</math> ==== জনসংখ্যা বৃদ্ধি ==== ম্যালথুসিয়ান মডেল <math display="inline">\frac{dP}{dt} = rP</math><br> লজিস্টিক মডেল <math display="inline">\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)</math> dzspwdakch2myxgyna83rgasu6d0l9m 0 33577 106972 2026-07-16T11:23:27Z Rysertio 8472 "এই বইতে বাংলা ভাষাতে অ্যালগরিদম বোঝানো হবে, এবং যতটা সম্ভব পারিভাষিক শব্দ ব্যবহার করার চেষ্টা করা হবে। [[/অ্যালগরিদমের জটিলতা |অ্যালগরিদমের জটিলতা ]]<br> [[/সর্ট|সর্ট]]<br> /মার্..." দিয়ে পাতা তৈরি 106972 wikitext text/x-wiki এই বইতে বাংলা ভাষাতে অ্যালগরিদম বোঝানো হবে, এবং যতটা সম্ভব পারিভাষিক শব্দ ব্যবহার করার চেষ্টা করা হবে। [[/অ্যালগরিদমের জটিলতা |অ্যালগরিদমের জটিলতা ]]<br> [[/সর্ট|সর্ট]]<br> [[/মার্জ সর্ট|মার্জ সর্ট]]<br> [[/টপোলজিকাল সর্ট|টপোলজিকাল সর্ট]]<br> [[/গ্রিডি অ্যালগরিদম|গ্রিডি অ্যালগরিদম]]<br> [[/ডাইনামিক প্রোগ্রামিং|ডাইনামিক প্রোগ্রামিং]]<br> [[/বিস্তৃতি-দ্বারা অনুসন্ধান|বিস্তৃতি-দ্বারা অনুসন্ধান]]<br> [[/গভীরতা-দ্বারা অনুসন্ধান |গভীরতা-দ্বারা অনুসন্ধান ]]<br> [[/ডায়াস্ট্রা অ্যালগরিদম|ডায়াস্ট্রা অ্যালগরিদম]]<br> [[/বেলম্যান-ফোর্ড অ্যালগরিদম|বেলম্যান-ফোর্ড অ্যালগরিদম]]<br> [[/প্রিম ও ক্রুশকালের অ্যালগরিদম|প্রিম ও ক্রুশকালের অ্যালগরিদম]]<br> [[/দ্বি-অনুসন্ধান ট্রি|দ্বি-অনুসন্ধান ট্রি]]<br> [[/নুথ-মরিস-পার্ট অ্যালগরিদম|নুথ-মরিস-পার্ট অ্যালগরিদম]] k0xvm85k1s5xtp360xai4amghwmcrql 0 33578 106973 2026-07-16T11:48:51Z Rysertio 8472 "এই বইটিতে খুবই সংক্ষিপ্ত আকারে কম্পিউটারের গঠনশৈলী ব্যাখ্যা করা হবে। তবে ভবিষ্যতে বইটির বিষয়বস্তকে বর্ধিত করার ইচ্ছা আছে। [[/ইনপুট-আউটপুট মডিউল|ইনপুট/আউটপুট মডিউল]]<br> /I..." দিয়ে পাতা তৈরি 106973 wikitext text/x-wiki এই বইটিতে খুবই সংক্ষিপ্ত আকারে কম্পিউটারের গঠনশৈলী ব্যাখ্যা করা হবে। তবে ভবিষ্যতে বইটির বিষয়বস্তকে বর্ধিত করার ইচ্ছা আছে। [[/ইনপুট-আউটপুট মডিউল|ইনপুট/আউটপুট মডিউল]]<br> [[/IO অপারেশনের কৌশল|ইনপুট/আউটপুট অপারেশনের কৌশল]]<br> [[/অপারেটিং সিস্টেম ও মেমরি ব্যবস্থাপনা|অপারেটিং সিস্টেম ও মেমরি ব্যবস্থাপনা]]<br> [[/প্রসেসর সংগঠন এবং নির্দেশনা পাঠানো|প্রসেসর সংগঠন এবং নির্দেশনা পাঠানো]] siyv0x7i9xjnqr3ofkv0mfdlip1dtcm 0 33579 106974 2026-07-16T11:52:04Z Rysertio 8472 "== প্রোগ্রামড I/O == == ইন্টারাপ্ট-চালিত I/O == == সরাসরি মেমরি অ্যাক্সেস ==" দিয়ে পাতা তৈরি 106974 wikitext text/x-wiki == প্রোগ্রামড I/O == == ইন্টারাপ্ট-চালিত I/O == == সরাসরি মেমরি অ্যাক্সেস == g3b2fj7mjarx9jjnewrvs1g31obdus3