Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 10663 1089938 1089084 2026-08-22T09:10:08Z Hardy42 1911 /* Lucas-Pseudoprimzahlen und Lehmer-Pseudoprimzahlen */ --> Pseudoprimzahlen mit Bezug zu quadratischen Gleichungen 1089938 wikitext text/x-wiki {{Regal|ort=Mathematik}} {{Buchsuche}} ==Einleitung== *[[Pseudoprimzahlen: Vorwort|Vorwort]] *[[Pseudoprimzahlen: Was sind Pseudoprimzahlen|Was sind Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Schnellübersicht|Schnellübersicht]] *[[Pseudoprimzahlen: Kongruenz und Restklassen|Kongruenz und Restklassen]] == Fermatsche Pseudoprimzahlen == *[[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen|Fermatsche Pseudoprimzahlen]] **[[Pseudoprimzahlen: Ein erstes Intermezzo|Ein erstes Intermezzo]] *[[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen| Eulersche Pseudoprimzahlen]] **[[Pseudoprimzahlen: Spielarten der Eulerschen Pseudoprimzahl|Spielarten der Eulerschen Pseudoprimzahl]] *[[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Absolute Fermatsche Pseudoprimzahlen| Absolute Fermatsche Pseudoprimzahlen]] **[[Pseudoprimzahlen: Absolute Fermatsche Pseudoprimzahlen#Carmichael-Zahlen|Carmichael-Zahlen]] ***[[Pseudoprimzahlen: Absolute Fermatsche Pseudoprimzahlen#Absolute eulersche Pseudoprimzahlen|Absolute eulersche Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Hierachie der fermatschen Pseudoprimzahlen|Hierachie der fermatschen Pseudoprimzahlen]] ===Exoten === *[[Pseudoprimzahlen: Die konstruierte Pseudoprimzahl|Die konstruierte Pseudoprimzahl]] *[[Pseudoprimzahlen: Pseudoprimzahlen nach Lehmer|Pseudoprimzahlen nach Lehmer]] *[[Pseudoprimzahlen: Pseudoprimzahlen zur Basis a nach Michele Cipolla|Pseudoprimzahlen zur Basis a nach Michele Cipolla]] *[[Pseudoprimzahlen: (6m+1)(12m+1)|(6m+1)&middot;(12m+1)]] *[[Pseudoprimzahlen: Zeisel-Zahlen|Zeisel-Zahlen]] == Pseudoprimzahlen mit Bezug zu quadratischen Gleichungen == *'''[[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht]]''' *[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Fibonacci-Pseudoprimzahlen| Fibonacci-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen|Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Pell-Pseudoprimzahlen| Pell-Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen zweiter Art| Lucas-Pseudoprimzahlen zweiter Art]] *[[Pseudoprimzahlen: Lehmer-Pseudoprimzahlen| Lehmer-Pseudoprimzahlen]] == Weitere Pseudoprimzahlen == *[[Pseudoprimzahlen: Perrinsche Pseudoprimzahlen| Perrinsche Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Catalan-Pseudoprimzahlen| Catalan-Pseudoprimzahlen]] ==Programmieren von Pseudoprimzahlprogrammen== *[[Pseudoprimzahlen: Programme#Carmichael-Zahl|Carmichael-Zahl]] *[[Pseudoprimzahlen: Programme#Modulare Arithmetik|Modulare Arithmetik]] *[[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|Binäres Potenzieren]] *[[Pseudoprimzahlen: Programme#Liste zusammengesetzter Zahlen|Liste zusammengesetzter Zahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Programme#Fermatsche Pseudoprimzahlen|Fermatsche Pseudoprimzahlen]] <!-- **[[Nichtfermatsche Pseudoprimzahlen]] --> ==Weiteres== *[[Pseudoprimzahlen: Potenzen und Modulo|Potenzen und Modulo]] *[[Pseudoprimzahlen: Der kleine Fermatsche Satz|Der kleine Fermatsche Satz: aⁿ-a und a^n-1-1]] *[[Pseudoprimzahlen: Qualitative Unterschiede|Qualitative Unterschiede]] *[[Pseudoprimzahlen: Spielereien|Spielereien]] *[[Pseudoprimzahlen: Offene Fragen|Offene Fragen bezüglich der Pseudoprimzahlen]] ==Anhänge== *[[Pseudoprimzahlen: Geschichte|Geschichte]] *[[Pseudoprimzahlen: Mathematiker|Mathematiker]] *[[Pseudoprimzahlen: Tabellen|Tabellen]] *[[Pseudoprimzahlen: Formelsammlung|Formelsammlung]] *[[Pseudoprimzahlen: Irrtümer|Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen]] *[[Pseudoprimzahlen: Glossar|Glossar]] *[[Pseudoprimzahlen: Quellen|Quellen]] *[[Pseudoprimzahlen: Meta|.]] == Zusammenfassung des Projekts == {{Vorlage:StatusBuch|6}} * '''Zielgruppe:''' Jeder der sich für Primzahlen, Primzahltests und Pseudoprimzahlen interessiert. * '''Projektumfang:''' **Was sind Pseudoprimzahlen? **Welche Arten von Pseudoprimzahlen gibt es? **Wie lassen sich die verschiedenen Arten von Pseudoprimzahlen einteilen? * '''Lernziele:''' **Man soll Interesse an dem Gebiet Pseudoprimzahlen bekommen. **Es soll dem Leser Vergnügen bereiten. * '''Policies:''' **Innerhalb der Kapitel sollen keine Interwikilinks, oder Links in andere Wikibook-Bücher eingetragen werden. **Für Quellen gibt es die Seite [[Pseudoprimzahlen:_Quellen]]. Sollte es sich nicht umgehen lassen, dass eine Quellenangabe in das Kapitel eingetragen werden muß, dann wird sie möglichst unauffällig an das Zeilenende geschrieben. [[Kategorie: Buch]] j7ser3og3y4ixwz8b9ogpxup8oze28c 0 10700 1089939 1089078 2026-08-22T09:19:54Z Hardy42 1911 /* Liste zusammengesetzter Zahlen */ 1089939 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} == Modulare Arithmetik == Da man es bei der Berechnung von fermatschen Pseudoprimzahlen häufig mit großen Potenzen großer Zahlen zu tun bekommt, hat man ein kleines Problem. Zum Beispiel für den Nachweis, dass 341 eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 ist, muss man die Zahl <math>2^{340}\ </math> berechnen. Diese Zahl heißt ausgeschrieben: :2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115776 Das ist für ein Programm wie MuPad wahrscheinlich kein Problem, für die meisten herkömmlichen Programmiersprachen aber sehr wohl. Durch eine Kombination von Multiplikation und Modulo kann man aber auch wesentlich größere Potenzen kleinhalten.<br> Da bei Rechenoperationen Modulo <math>n</math> nur Zahlen bis <math>\ n - 1\ </math> auftreten, ist das Ergebnis einer Multiplikation vor der Modulooperation immer kleiner als <math>n^2</math>. Beispiel: <math>5^6 = 15625</math>. Letztendlich interessiert uns ja aber nicht <math>5^6 = 15625\ </math>, sondern vielmehr <math>5^6 \operatorname{mod} n</math> mit sagen wir mal <math>n = 7</math>. Das ist <math>5^6 \operatorname{mod} 7 = 1\ </math>. Nun lässt sich <math>5^6 \operatorname{mod} 7\ </math> auch so berechnen: :<math>(((((((((5 * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7 </math> Nach der Modulo-Operation ist der Wert immer kleiner als 7. <syntaxhighlight lang="bnf"> // Programm in Pseudocode zur Veranschaulichung: funktion powermod(Basis, Exponent, N) Produkt = 1 k = 0 while k < Exponent Produkt = (Produkt * Basis) mod N k = k + 1 return Produkt </syntaxhighlight> == Binäres Potenzieren == Für Primzahltests nach dem kleinen fermatschen Satz müssen große Potenzen berechnet werden; dabei wäre es extrem zeitaufwendig, x^k durch k&nbsp;-&nbsp;1 Multiplikationen zu berechnen. Ein effiziente Berechnung ist durch binäre Exponentiation möglich: Gegeben seien die Basis x und der Exponent k. {|class="wikitable" |+ Berechnungsschritte: |- | colspan=3 | setze P = 1 (Produkt) und b = x |- | colspan=3 | wiederhole folgende Schritte solange k > 0 ist: |- | || wenn k ungerade ist, multipliziere P mit b → P und vermindere k um 1 → k || P = P * b k = k - 1 |- | || quadriere b → b || b = b * b |- | || halbiere k → k || k = k / 2 |- | colspan=3 | Ergebnis: P = x^k, wenn k = 0 ist |} Bei Berechnung Modulo <math>n</math> wird das Ergebnis jeder Multiplikation mod <math>n</math> reduziert, wie im vorherigen Absatz beschrieben. {|class="wikitable" |+ In Pseudocode: ! ohne Modulo || Modulo N |- |<syntaxhighlight lang="bnf" line> function Potenz(x, k) { Produkt = 1 Faktor = x Exponent = k while Exponent > 0 { if Exponent mod 2 == 1 // wenn der Exponent ungerade ist: { Produkt = Produkt * Faktor Exponent = Exponent - 1 } Exponent = Exponent / 2 Faktor = Faktor * Faktor } return Produkt } </syntaxhighlight> || <syntaxhighlight lang="bnf"> function Potenz(x, k, N) { Produkt = 1 Faktor = x Exponent = k while Exponent > 0 { if Exponent mod 2 == 1 // wenn der Exponent ungerade ist: { Produkt = (Produkt * Faktor) mod N Exponent = Exponent - 1 } Exponent = Exponent / 2 Faktor = (Faktor * Faktor) mod N } return Produkt } </syntaxhighlight> |} Statt <code>mod 2</code> kann in Zeile 9 auch das (schnellere) bitweise Und mit 1 verwendet werden, also <code>Exponent = Exponent & 1</code>. Die Division durch 2 in Zeile 15 kann durch Schieben um ein Bit nach rechts ersetzt werden: <code>Exponent = Exponent >> 1</code>. Insgesamt sind mit dieser Methode nur maximal 2 Multiplikationen pro Bit des Exponenten notwendig, also <math>2 \cdot \lceil log_2k \rceil</math>. == Liste zusammengesetzter Zahlen == Um Primzahltests zu prüfen bzw. Pseudoprimzahlen zu finden, wäre eine Funktion, die eine Liste (ungerader) zusammengesetzter Zahlen erstellt, nützlich. Sie spart zum einen die Überprüfung aller Zahlen, die den Test bestehen, mit einem im untersuchten Zahlenbereich sicheren Primzahltest, um Pseudoprimzahlen von Primzahlen zu unterscheiden, und zum anderen werden Primzahlen von vornherein nicht getestet. Mit einem Algorithmus, der wie das Sieb des Eratosthenes funktioniert, lässt sich ein solches Hilfsmittel realisieren: * Erstelle eine leere Menge für das Ergebnis * Für alle ungeraden n von 3 bis Obergrenze: ** wenn n nicht in der Menge enthalten ist: *** nimm alle ungeraden Vielfachen von <math>n</math> ab <math>n^2</math> bis zur Obergrenze, also <math>(n^2 + 2k \cdot n)</math>, in die Menge auf * Sortiere die Elemente der Menge aufsteigend === Implementierung in Python === <syntaxhighlight lang="python"> def odd_composites(lim): result = set() for n in range(3, lim, 2): if n not in result: for m in range(n*n, lim, 2*n): result.add(m) return sorted(result) </syntaxhighlight> Die Funktion lässt sich leicht so erweitern, dass auch gerade Zahlen zurückgegeben werden; diese sind aber für Primzahltests weniger interessant. == Carmichael-Zahlen == Ein Programm, das eine Liste von Carmichael-Zahlen ausgibt, ist geradezu trivial. Dass dem so ist, verdanken wir dem Kriterium von Korselt. Dieses Theorem besagt, dass eine Carmichel-Zahl <math>c\ </math>eine quadratfreie, aus mindestens drei Primfaktoren bestehende, natürliche Zahl der Form <math>c = p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n\ </math> ist, so dass für jedes <math>p_i\ </math> gilt, dass <math>p_i - 1\ </math> die Zahl <math>c - 1\ </math> teilt. Daraus folgt, dass man sich um den kleinen Fermatschen Satz <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> nicht im geringsten zu kümmern braucht. Neben Korselts Kriterium gibt es auch noch Formeln zum Erzeugen spezieller Carmichael-Zahlen. Auch bei diesen Beispielen braucht man sich um den kleinen Fermatschen Satz nicht zu kümmern. <!-- === Erster Ansatz (naiver Ansatz) === --> === zweiter Ansatz === Das folgende Programm benutzt drei ineinander verschachtelte Schleifen, durch die sichergestellt wird, dass drei zueinander teilerfremde Primzahlen ausgewählt werden. Aus diesen drei Primzahlen wird ein Produkt gebildet, das die zu testende Zahl darstellt. An dieser Zahl wird nun Korselts Kriterium getestet, was einfach ist, da dem Programm die Primteiler der zu testenden Zahl bekannt sind. Ist Korselt Kriterium erfüllt, dann handelt es sich bei der Zahl um eine Carmichael-Zahl, und die Zahl wird, samt Primzahlfaktoren als Carmichael-Zahl ausgegeben. Details: Die Variable p.0 enthält die Anzahl der unterschiedlichen Primzahlen. In p.1 bis p.(p.0) sind die einzelnen Primzahlen abgelegt. p.1 = 3 p.2 = 5 p.3 = 7 p.4 = 11 p.4 = 13 p.5 = 17 p.6 = 19 p.7 = 23 p.8 = 29 p.9 = 31 p.10 = 37 . . . p.549 = 4001 p.550 = 4003 p.551 = 4007 p.552 = 4013 p.553 = 4019 p.554 = 4021 p.555 = 4027 p.556 = 4049 p.557 = 4051 p.558 = 4057 i=558 do a=1 to (i-2) do b=a+1 to (i-1) do c=b+1 to i t = 0 z=p.a*p.b*p.c ax=p.a-1 bx=p.b-1 cx=p.c-1 zax=(z/p.a)-1 zbx=(z/p.b)-1 zcx=(z/p.c)-1 pz=(zax // ax) + (zbx // bx) + (zcx // cx) if (pz = 0) then t = 1 if (t = 1) then do say z||"="||p.a||"*"||p.b||"*"||p.c lineout("rcrmn___.txt",z||" = "||p.a||"*"||p.b||"*"||p.c) end t=0 end end end Das Programm kann man modifizieren, indem man die Anzahl der Primzahlen erhöht. Für Carmichael-Zahlen mit mehr als drei Primfaktoren muss man die Anzahl der Schleifen erhöhen, und die Prüfroutinen erweitern. === Carmichael-Zahlen nach Chernick === Die Carmichel-Zahlen nach Chernick sind nur ein kleiner Ausschnitt aus den Carmichael-Zahlen. Sie lassen sich durch folgende Formel generieren: <math>M_3(n) = (6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\ </math>. Es gibt dabei allerdings eine Einschränkung: * Jeder der drei Faktoren <math>(6n+1)\ </math>, <math>(12n+1)\ </math> und <math>(18n+1)\ </math> muss eine Primzahl sein. Halt, hier gibt es eine Ausnahme: Wenn ein einziger der drei Faktoren selbst eine Carmichael-Zahl ist, so ist <math>M_3(n)\ </math> trotzdem eine Carmichael-Zahl. Da alle Carmichael-Zahlen quadratfrei sind, ist dann auch jeder der drei Faktoren <math>(6n+1)</math>, <math>(12n+1)\ </math> und <math>(18n+1)\ </math> quadratfrei - auch wenn einer davon eine Carmichael-Zahl ist. Da die drei Faktoren paarweise teilerfremd sind, ist auch der Ausdruck <math>M_3(n) = (6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\ </math>quadratfrei. Alle gültigen <math>n\ </math> für Carmichael-Zahlen nach Chernick enden im Dezimalsystem mit einer 0, einer 1 einer 5 oder einer 6. l.1 = 0 l.2 = 1 l.3 = 5 l.4 = 6 do i = 0 to 1000 do j = 1 to 4 n=i+l.j m=(6*n+1)*(12*n+1)*(18*n+1) if((primzahl(6*n+1)=true) && (primzahl(12*n+1)=true) && (primzahl(18*n+1)=true)) then do say m||"="||(6*n+1)||"*"||(12*n+1)||"*"||(18*n+1) lineout("rcrmn___.txt",m||" = "||(6*n+1)||"*"||(12*n+1)||"*"||(18*n+1)) end end end Das Programm lässt sich entsprechend der Formeln für Carmichael-Zahlen nach Chernick, mit mehr als drei Primzahlfaktoren, nach der entsprechenden Formel erweitern. == Absolute Eulersche Pseudoprimzahlen == Das Programm, mit dem oben Carmichael-Zahlen erzeugt werden, kann man mit einer kleinen Modifikation dazu bringen, absolute eulersche Pseudoprimzahlen zu erzeugen: zax=(z-1)/2 pz=(zax // ax) + (zax // bx) + (zax // cx) :statt zax=(z/p.a)-1 zbx=(z/p.b)-1 zcx=(z/p.c)-1 pz=(zax // ax) + (zbx // bx) + (zcx // cx) Das hierbei alle absoluten eulerschen Pseudoprimzahlen ausgegeben werden, ist eine andere Frage. Aber die Zahlen, die ausgegeben werden, sind absolute Eulersche Pseudoprimzahlen. == Fermatsche Pseudoprimzahlen == Bei Primzahlen ist im Gegensatz zu fermatschen Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen die Kongruenz <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> für '''alle''' Basen <math>a\ </math> mit <math> 2 \le a < n</math> erfüllt. Carmichael-Zahlen unterscheiden sich von anderen fermatschen Pseudoprimzahlen dadurch, dass der Anteil der Primbasen <math>a\ </math> mit <math> 2 \le a < n</math>, für die <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> ist, größer als 97% ist. Der Einfachheit halber benutzt man als Basen <math>a\ </math> nur die Primzahlen, die kleiner als die zu testende Zahl <math>n\ </math> sind. Das Programm testet also zu jeder Primbasis <math>a\ </math>, ob eine Zahl <math>n\ </math> die Bedingung <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> erfüllt. Erfüllt sie sie, wird die Variable tm1 = 1 gesetzt und gleichzeitig die Zählvariable tm3 um eins erhöht. Erfüllt die Zahl <math>n\ </math> die Bedingung nicht, wird die Variable tm2 = 2 gesetzt. Nach Ablauf der Tests wird die Variable gtm = tm1 + tm2 gesetzt. Aus gtm und dtm lässt sich ablesen, ob es sich bei der Zahl <math>n\ </math> um eine Primzahl, eine fermatsche Pseudoprimzahl oder eine Carmichael-Zahl handelt. {| border=1 |gtm ||dtm ||Art der Zahl |- |1 || - ||Primzahl |- |3 ||tm3 < dtm ||fermatsche Pseudoprimzahl |- |3 ||tm3 >= dtm ||Carmichael-Zahl |} /* Ein Programm zur Ermittlung von Primzahlen, Pseudoprimzahlen */ /* und Carmichaelzahlen */ /* Ein langsames Programm */ #include <stdio.h> int primfeld[400000]; int tst[400000]; unsigned long modup(unsigned long base, unsigned long y) { unsigned long exponent, product = 1; exponent = y-1; while (exponent) { /* wenn Exponent gerade ist, Basis quadrieren und Exponent halbieren bis der Exponent ungerade ist: */ while (exponent & 1 == 0) { exponent >>= 1; base = (base * base) % y; } /* Exponent ungerade (immer nach obiger Schleife): Produkt *= Basis ... %= y, Exponent dekrementieren: */ product = (product * base) % y; exponent--; } return(product); } int main() { unsigned long index, index2, anzp=1, m, dtm; int tm1, tm2, tm3, gtm; FILE *prim; FILE *pspr; FILE *cnbr; prim = fopen("prim.dat","w"); pspr = fopen("pspr.dat","w"); cnbr = fopen("cnbr.dat","w"); primfeld[1] = 2; for(index=3;index<=4000000;index++) { tm1 = 0; tm2 = 0; tm3 = 0; /* faktor$ = "" */ for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); tst[index2] = m; if (m == 1) { tm1 = 1; tm3++; } if ( m != 1) { tm2 = 2; } } gtm = tm1 + tm2; if (gtm == 1) { anzp++; primfeld[anzp] = index; fprintf(prim,"%d \n",index); } if (gtm == 3) { dtm=anzp/2; if (tm3 < dtm) { fprintf(pspr,"%d: ",index); for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); if (m == 1) { fprintf(pspr,"%d, ",primfeld[index2]); } } fprintf(pspr,"\n",0); } if (tm3 >= dtm) { fprintf(pspr,"%d: ",index); for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); if (m != 1) { fprintf(cnbr,"N%d, ",primfeld[index2]); } } fprintf(cnbr,"\n",0); } } } fclose(prim); fclose(pspr); fclose(cnbr); return 0; } Nachteil des Programms: Es wird schnell sehr langsam. Außerdem ist es für einige Pseudoprimzahlen blind. So gibt es keine Primzahlen <math>p < 39</math>, zu denen die 39 pseudoprim ist. 1servfmksdd0c5uw7z9sp5lji5jb4t1 0 33742 1089932 1086264 2026-08-21T23:47:23Z ~2026-45748-40 116765 /* Motor */ 1089932 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]] | MODELLREIHE = D | MODELL = D 17 | BILD = Fahr D17 17PS 1951.JPG | BILDBESCHREIBUNG = Fahr D17 (Baujahr 1951) | BAUWEISE = rahmenlose Blockbauweise | PRODUKTIONSBEGINN = 1951 | PRODUKTIONSENDE = 1953 | STÜCKZAHL = 5.658 | EIGENGEWICHT = 1.275 | LÄNGE = 2.570 | BREITE = 1.562 | HÖHE = 1.743 | RADSTAND = 1.640 | BODENFREIHEIT = 403 | SPURWEITE = 1.250 und 1.500 | SPURWEITE VORNE = | SPURWEITE HINTEN = | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 2.325 | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 2.600 | BEREIFUNG VORNE = 5.00 x 16 ASF | BEREIFUNG HINTEN = 8 x 24 AS | LEISTUNG KW = 12,5 | LEISTUNG PS = 17 | NENNDREHZAHL = 1.800 | ZYLINDER = 2 | HUBRAUM = 1.304 | DREHMOMENTANSTIEG = | KRAFTSTOFF = Diesel | KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung | ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb | GETRIEBE = 5V/1R | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 20 | KATEGORIESORTIERUNG = Fahr D 17 }} Der [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]]-Standardschlepper '''D 17''' wurde von 1951 bis 1953 über 5000 mal gefertigt. Mit der Typenbezeichnung [[Traktorenlexikon: Fahr D 17 H|D 17 H]] gibt es ihn auch in einer Hochrad-Version. Zum [[Traktorenlexikon: Fahr D 15|D 15]] ist er fast baugleich. Der D 17 gilt als Universal-Arbeitsmaschine mit großer Einsatz-Basis. Außer einem günstigen Leistungsgewicht, einer großen Bodenfreiheit, einfacher Bedienung, übersichtlicher Bauweise und guter Fahreigenschaften hat er auch Anbaumöglichkeiten für Mähwerk, Getreidemäh-Handablage, eine Reihe von Schädlingsbekämpfungsgeräten, Milch-Melkgerät, Weinberg-Seilwinde, Spillwinde, Riementrieb und Reifenfüllpumpe. Weiterhin besteht die Einbaumöglichkeit eines hydraulischen Krafthebers zum Ausheben und Einsetzen von Bodenbearbeitungs- und Erntebergungsgeräten. ==Motor== * Güldner, Typ: 2 D 15, stehender, wassergekühlter Viertakt-Zweizylinder-Reihen-Dieselmotor mit Wälzkammerverfahren, hängenden Ventilen, zahnradgetriebener Nockenwelle, Natter- oder Güldner-Einspritzpumpe, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, Fünfring-Kolben, auswechselbare Zylinderlaufbuchsen, Bosch-Zapfen-Düse, Ölbadluftfilter, rollengelagerte Kurbelwelle, Bosch-Düsen-Halter und Wasserumlaufkühlung mit Lamellenkühler. * 85 mm Bohrung und 115 mm Hub * Verdichtungsverhältnis = 19:1 * Max. Drehmoment = 7,5 mkg bei 1.750 U/min. * Leerlaufdrehzahl = 750 U/min. * Max. Einspritzdruck = 160 atü * Güldner-Einspritzpumpe, Typ: GMD 275 * Bosch-Zapfen-Düse, Typ: DN 8 S 2 * Bosch-Düsen-Halter, Typ: KB 40 SAV 645 J 2 * Bosch-Kraftstofffilter, Typ: FJ/AZ 5/3 * Bosch-Reinigung, Typ: FA 5 P 29 Die Güldner-Einspritzpumpe hat Regulierventile. Die Güldner-Pumpe arbeitet mit unverändertem Hub, das heißt: es wird stets die gleiche Kraftstoffmenge angesaugt. Durch den Saughub des Pumpenzylinders wird das Saugventil geöffnet, und der einströmende Brennstoff füllt den Druckraum. Nach Beendigung des Saughubes schließt sich das federbelastete Saugventil wieder und wird durch den Druckhub noch fester auf seinen Sitz gepresst, wodurch es absolut dicht wird. In der Anlassstellung der Brennstoffpumpe, d. h. wenn die Reguliernadel die Absteuerbohrungen ganz verschließt, wird der Brennstoff durch das Druckventil über die Leitung und die auf 150 atü eingestellten Brennstoffdüsen in die Wirbelkammer einqespritzt. In dieser Stellung ist die Fördermenge ungefähr um 30 Prozent höher als bei der größten Betriebsfüllung. Im Betrieb wird je nach Belastung des Motors, beeinflußt vom Regler, das Regulierventil mehr oder weniger geöffnet. Beim Druckhub des Pumpenkolbens wird ein Teil der angesaugten Kraftstoffmenge an den geöffneten Reguliernadeln vorbei in den Regulierraum und von da zurück in den Saugraum abgesteuert, d. h. die Fördermenge für den Motor wird um die abgesteuerte Brennstoffmenge geringer. Bei abgestelltem Motor sind die Regulierventile vollständig offen, so dass eine Kraftstoff-Förderung zur Einspritzdüse (Typ ''DN 8 S 2'') nicht erfolgen kann. Der Fliehkraftregler besorgt die Mengenregelung, die für die jeweilige Motorbelastung nötig ist. Mit steigender Motordrehzahl gehen die beiden Reglergewichte, durch die Fliehkraft beeinflusst, auseinander und verschieben die Reglermuffe nach vorn in Richtung Wasserpumpe. Dadurch wird der Kugelkopf der Regulierwelle ebenfalls nach vorn geschoben und damit auch die Regulierstange. Die Regulierventile werden somit gezwungen, eine Linksbewegung auszuführen, was ein Abheben der Reguliernadeln vom Regulierventilsitz zur Folge hat. Ein Teil der geförderten Brennstoffmenge wird an der Reguliernadel vorbei abgesteuert. Die nunmehr geringere Einspritzmenge bewirkt ein Absinken der Motordrehzahl. Die an der Regulierstange angebrachte Zugfeder zieht in diesem Moment die Regulierwelle in Richtung Getriebe zurück und überträgt die Bewegung auf die Reguliernadeln, welche die Füllmenge wieder größer werden lassen. Die Reglerfedern, die der Fliehkraft der Reglergewichte entgegenwirken, werden durch einen Winkeldruckhebel gespannt. Unter der Wirkung von Fliehkraft und Federdruck stellt sich, je nach Belastung des Motors, die erforderliche Brennstoff-Füllmenge ein. Durch das vom Fahrer betätigte Drehzahlgestänge wird die Spannung der Reglerfedern verändert und die Drehzahl des Motors verstellt. ==Kupplung== * Pedal betätigte, trockene Fichtel & Sachs-Einscheibenkupplung, Typ: K 12 Z ==Getriebe== * Im Ölbad laufendes ZP-Schubradgetriebe, Typ: A-8 C * 5 Vorwärts- und 1 Rückwärtsgang * Flanschgehäuse mit Lagerung für die Antriebswelle. Getriebegehäusekasten mit im vorderen Teil eingebautem Wechselgetriebe. Im hinteren Teil des Getriebegehäuses sind eingebaut: Differential mit Tellerrad, Zapfwelle mit Einrückung. Linkes und rechtes Achsrohr mit linkem und rechtem Hinterachsvorgelege 2 Steckachsen mit Z Bremstrommeln und die dazu gehörigen Lagerungen. Im rechten Achsrohr ist die Differential-Sperrmuffe. ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== * 1. Gang: 3,0 km/h * 2. Gang: 5,4 km/h * 3. Gang: 7,8 km/h * 4. Gang: 11,9 km/h * 5. Gang: 19,8 km/h * Rückwärtsgang: 2,2 km/h ==Zapfwelle== * Kupplungsabhängige Getriebezapfwelle * Stummel = 29 x 34,9 x 8,7 mm * Drehzahl = 540 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional Riemenscheibe mit 200 mm Durchmesser und 140 mm Breite * Drehzahl = 1.500 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional mit keilriemenbetriebenen Mähantrieb ==Bremsen== * Pedal betätigte Duplex-Innenbackenbremse auf die Hinterräder wirkend, als Einzelradbremse ausgebildet * Mechanisch betätigte Feststellbremse auf Hinterräder wirkend ==Achsen== * Gefederte Fahr-Pendelachse mit Volleinschlagsteuerung Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * ZF-Hinterachse als Portalachse ausgeführt Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * Pedal betätigte Differentialsperre * Vorderachslast = 490 kg Zul. Vorderachslast = 750 kg * Hinterachslast = 785 kg Zul. Hinterachslast = 1.150 kg ==Lenkung== * ZF-Lenkung, Typ: EL 10 mit Einzelradlenkung * Je Seite ein Lenkstockhebel, der über die Lenkschubstangen und die Lenkhebel direkt auf die Vorderräder wirken. ==Hydrauliksystem und Kraftheber== * Serienmäßiger Geräteanbau an starrer Anhängeschiene * Optional mit hydraulischem Fahr-Bucher-Kraftheber * Betriebsdruck = 220 atü * Max. Hubkraft = 690 kg * Zusätzlich auf Wunsch mit Dreipunktkupplung ==Steuergeräte== ==Elektrische Ausrüstung== Den Schlepper gab es mit einer 12-Volt-Licht- und Anlasseranlage. Er konnte jedoch auch ohne elektrische Anlage geordert werden. Die Zündung erfolgte dann von Hand mittels einer von vorne in die auf dem Vorderende der Kurbelwelle aufsitzenden Andrehklaue gesteckten Handkurbel und Glimmpapierchen. * 12 Volt-Einrichtung * Batterie, 12 V-84 Ah * Bosch-Anlasser, Typ: EJD 1.8/12 L 39 * Bosch-Lichtmaschine, Typ: LJ/REE 75/12/1800 CR 1 * Beru-Glühkerze, Typ: 304 G * Bosch-Glühüberwacher, Typ: SWJ 27 L 5 Z oder Beru-KOR 17 * Bosch-Glühwiderstand, Typ: SWJ 10 L 18 Z oder Beru-WU 35/3 ==Maße und Abmessungen == * Länge = 2.570 mm * Breite = 1.562 mm * Höhe über Lenkrad = 1.230 m * Radstand = 1.640 mm * Bodenfreiheit = 403 mm * Eigengewicht = 1.275 kg * Zul. Gesamtgewicht = 1.900 kg ==Bereifung== Standardbereifung: * Vorne = 5.00-16 ASF * Hinten = 8-24 AS ==Füllmengen== * Kraftstofftank: 25 l Diesel * Motoröl: 4,5 l Motoröl * Ölbadluftfilter: 0,5 l Motoröl * Hydrauliksystem: 8 l Motoröl * Schaltgetriebe: 9 l Getriebeöl * Lenkgetriebe: 0,25 l Getriebeöl * Riementrieb: 1 l Getriebeöl * Kühlung: 13 l Wasser ==Verbrauch== * Durchschnittsverbrauch = 1,4 l/h ==Kabine== * Fahrerstand mit gefederter Sitzmulde, Dreispeichen-Lenkrad und linkem Beifahrersitz * Optional mit Verdeck und rechtem Beifahrersitz ==Sonderausrüstung== * Riemenscheibe mit Antrieb * Mähantrieb * Fahr-Mähwerk * Hydraulischer Kraftheber * Seilwinde * Druckluftanlage * Dreipunktkupplung * Frontlader ==Literatur== * Bericht zum D 17 in der Fahr-Schlepperpost, Ausgabe 3/1996 * Bedienungsanleitung und Ersatzteilliste zum Fahr D 17 * Alle Traktoren von Fahr und Güldner (Walter Sack) Seite 40 * Fahr-Dieselschlepper-Prospekte von 1938 bis 1961 (Kurt Häfner/Rainer Bank) Seite 34 * OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 6/2026, Seite 32 ff. ==Weblinks== * [http://www.fahr-schlepper-freunde.de www.fahr-schlepper-freunde.de] {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} iorehjbid1id8qydiq7jgzpfghirvfb 1089933 1089932 2026-08-21T23:52:31Z ~2026-45748-40 116765 /* Geschwindigkeiten vor- und rückwärts */ 1089933 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]] | MODELLREIHE = D | MODELL = D 17 | BILD = Fahr D17 17PS 1951.JPG | BILDBESCHREIBUNG = Fahr D17 (Baujahr 1951) | BAUWEISE = rahmenlose Blockbauweise | PRODUKTIONSBEGINN = 1951 | PRODUKTIONSENDE = 1953 | STÜCKZAHL = 5.658 | EIGENGEWICHT = 1.275 | LÄNGE = 2.570 | BREITE = 1.562 | HÖHE = 1.743 | RADSTAND = 1.640 | BODENFREIHEIT = 403 | SPURWEITE = 1.250 und 1.500 | SPURWEITE VORNE = | SPURWEITE HINTEN = | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 2.325 | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 2.600 | BEREIFUNG VORNE = 5.00 x 16 ASF | BEREIFUNG HINTEN = 8 x 24 AS | LEISTUNG KW = 12,5 | LEISTUNG PS = 17 | NENNDREHZAHL = 1.800 | ZYLINDER = 2 | HUBRAUM = 1.304 | DREHMOMENTANSTIEG = | KRAFTSTOFF = Diesel | KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung | ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb | GETRIEBE = 5V/1R | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 20 | KATEGORIESORTIERUNG = Fahr D 17 }} Der [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]]-Standardschlepper '''D 17''' wurde von 1951 bis 1953 über 5000 mal gefertigt. Mit der Typenbezeichnung [[Traktorenlexikon: Fahr D 17 H|D 17 H]] gibt es ihn auch in einer Hochrad-Version. Zum [[Traktorenlexikon: Fahr D 15|D 15]] ist er fast baugleich. Der D 17 gilt als Universal-Arbeitsmaschine mit großer Einsatz-Basis. Außer einem günstigen Leistungsgewicht, einer großen Bodenfreiheit, einfacher Bedienung, übersichtlicher Bauweise und guter Fahreigenschaften hat er auch Anbaumöglichkeiten für Mähwerk, Getreidemäh-Handablage, eine Reihe von Schädlingsbekämpfungsgeräten, Milch-Melkgerät, Weinberg-Seilwinde, Spillwinde, Riementrieb und Reifenfüllpumpe. Weiterhin besteht die Einbaumöglichkeit eines hydraulischen Krafthebers zum Ausheben und Einsetzen von Bodenbearbeitungs- und Erntebergungsgeräten. ==Motor== * Güldner, Typ: 2 D 15, stehender, wassergekühlter Viertakt-Zweizylinder-Reihen-Dieselmotor mit Wälzkammerverfahren, hängenden Ventilen, zahnradgetriebener Nockenwelle, Natter- oder Güldner-Einspritzpumpe, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, Fünfring-Kolben, auswechselbare Zylinderlaufbuchsen, Bosch-Zapfen-Düse, Ölbadluftfilter, rollengelagerte Kurbelwelle, Bosch-Düsen-Halter und Wasserumlaufkühlung mit Lamellenkühler. * 85 mm Bohrung und 115 mm Hub * Verdichtungsverhältnis = 19:1 * Max. Drehmoment = 7,5 mkg bei 1.750 U/min. * Leerlaufdrehzahl = 750 U/min. * Max. Einspritzdruck = 160 atü * Güldner-Einspritzpumpe, Typ: GMD 275 * Bosch-Zapfen-Düse, Typ: DN 8 S 2 * Bosch-Düsen-Halter, Typ: KB 40 SAV 645 J 2 * Bosch-Kraftstofffilter, Typ: FJ/AZ 5/3 * Bosch-Reinigung, Typ: FA 5 P 29 Die Güldner-Einspritzpumpe hat Regulierventile. Die Güldner-Pumpe arbeitet mit unverändertem Hub, das heißt: es wird stets die gleiche Kraftstoffmenge angesaugt. Durch den Saughub des Pumpenzylinders wird das Saugventil geöffnet, und der einströmende Brennstoff füllt den Druckraum. Nach Beendigung des Saughubes schließt sich das federbelastete Saugventil wieder und wird durch den Druckhub noch fester auf seinen Sitz gepresst, wodurch es absolut dicht wird. In der Anlassstellung der Brennstoffpumpe, d. h. wenn die Reguliernadel die Absteuerbohrungen ganz verschließt, wird der Brennstoff durch das Druckventil über die Leitung und die auf 150 atü eingestellten Brennstoffdüsen in die Wirbelkammer einqespritzt. In dieser Stellung ist die Fördermenge ungefähr um 30 Prozent höher als bei der größten Betriebsfüllung. Im Betrieb wird je nach Belastung des Motors, beeinflußt vom Regler, das Regulierventil mehr oder weniger geöffnet. Beim Druckhub des Pumpenkolbens wird ein Teil der angesaugten Kraftstoffmenge an den geöffneten Reguliernadeln vorbei in den Regulierraum und von da zurück in den Saugraum abgesteuert, d. h. die Fördermenge für den Motor wird um die abgesteuerte Brennstoffmenge geringer. Bei abgestelltem Motor sind die Regulierventile vollständig offen, so dass eine Kraftstoff-Förderung zur Einspritzdüse (Typ ''DN 8 S 2'') nicht erfolgen kann. Der Fliehkraftregler besorgt die Mengenregelung, die für die jeweilige Motorbelastung nötig ist. Mit steigender Motordrehzahl gehen die beiden Reglergewichte, durch die Fliehkraft beeinflusst, auseinander und verschieben die Reglermuffe nach vorn in Richtung Wasserpumpe. Dadurch wird der Kugelkopf der Regulierwelle ebenfalls nach vorn geschoben und damit auch die Regulierstange. Die Regulierventile werden somit gezwungen, eine Linksbewegung auszuführen, was ein Abheben der Reguliernadeln vom Regulierventilsitz zur Folge hat. Ein Teil der geförderten Brennstoffmenge wird an der Reguliernadel vorbei abgesteuert. Die nunmehr geringere Einspritzmenge bewirkt ein Absinken der Motordrehzahl. Die an der Regulierstange angebrachte Zugfeder zieht in diesem Moment die Regulierwelle in Richtung Getriebe zurück und überträgt die Bewegung auf die Reguliernadeln, welche die Füllmenge wieder größer werden lassen. Die Reglerfedern, die der Fliehkraft der Reglergewichte entgegenwirken, werden durch einen Winkeldruckhebel gespannt. Unter der Wirkung von Fliehkraft und Federdruck stellt sich, je nach Belastung des Motors, die erforderliche Brennstoff-Füllmenge ein. Durch das vom Fahrer betätigte Drehzahlgestänge wird die Spannung der Reglerfedern verändert und die Drehzahl des Motors verstellt. ==Kupplung== * Pedal betätigte, trockene Fichtel & Sachs-Einscheibenkupplung, Typ: K 12 Z ==Getriebe== * Im Ölbad laufendes ZP-Schubradgetriebe, Typ: A-8 C * 5 Vorwärts- und 1 Rückwärtsgang * Flanschgehäuse mit Lagerung für die Antriebswelle. Getriebegehäusekasten mit im vorderen Teil eingebautem Wechselgetriebe. Im hinteren Teil des Getriebegehäuses sind eingebaut: Differential mit Tellerrad, Zapfwelle mit Einrückung. Linkes und rechtes Achsrohr mit linkem und rechtem Hinterachsvorgelege 2 Steckachsen mit Z Bremstrommeln und die dazu gehörigen Lagerungen. Im rechten Achsrohr ist die Differential-Sperrmuffe. ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== * 1. Gang: 2,9 km/h * 2. Gang: 5,4 km/h * 3. Gang: 7,8 km/h * 4. Gang: 11,8 km/h * 5. Gang: 19,6 km/h * Rückwärtsgang: 2,15 km/h ==Zapfwelle== * Kupplungsabhängige Getriebezapfwelle * Stummel = 29 x 34,9 x 8,7 mm * Drehzahl = 540 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional Riemenscheibe mit 200 mm Durchmesser und 140 mm Breite * Drehzahl = 1.500 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional mit keilriemenbetriebenen Mähantrieb ==Bremsen== * Pedal betätigte Duplex-Innenbackenbremse auf die Hinterräder wirkend, als Einzelradbremse ausgebildet * Mechanisch betätigte Feststellbremse auf Hinterräder wirkend ==Achsen== * Gefederte Fahr-Pendelachse mit Volleinschlagsteuerung Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * ZF-Hinterachse als Portalachse ausgeführt Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * Pedal betätigte Differentialsperre * Vorderachslast = 490 kg Zul. Vorderachslast = 750 kg * Hinterachslast = 785 kg Zul. Hinterachslast = 1.150 kg ==Lenkung== * ZF-Lenkung, Typ: EL 10 mit Einzelradlenkung * Je Seite ein Lenkstockhebel, der über die Lenkschubstangen und die Lenkhebel direkt auf die Vorderräder wirken. ==Hydrauliksystem und Kraftheber== * Serienmäßiger Geräteanbau an starrer Anhängeschiene * Optional mit hydraulischem Fahr-Bucher-Kraftheber * Betriebsdruck = 220 atü * Max. Hubkraft = 690 kg * Zusätzlich auf Wunsch mit Dreipunktkupplung ==Steuergeräte== ==Elektrische Ausrüstung== Den Schlepper gab es mit einer 12-Volt-Licht- und Anlasseranlage. Er konnte jedoch auch ohne elektrische Anlage geordert werden. Die Zündung erfolgte dann von Hand mittels einer von vorne in die auf dem Vorderende der Kurbelwelle aufsitzenden Andrehklaue gesteckten Handkurbel und Glimmpapierchen. * 12 Volt-Einrichtung * Batterie, 12 V-84 Ah * Bosch-Anlasser, Typ: EJD 1.8/12 L 39 * Bosch-Lichtmaschine, Typ: LJ/REE 75/12/1800 CR 1 * Beru-Glühkerze, Typ: 304 G * Bosch-Glühüberwacher, Typ: SWJ 27 L 5 Z oder Beru-KOR 17 * Bosch-Glühwiderstand, Typ: SWJ 10 L 18 Z oder Beru-WU 35/3 ==Maße und Abmessungen == * Länge = 2.570 mm * Breite = 1.562 mm * Höhe über Lenkrad = 1.230 m * Radstand = 1.640 mm * Bodenfreiheit = 403 mm * Eigengewicht = 1.275 kg * Zul. Gesamtgewicht = 1.900 kg ==Bereifung== Standardbereifung: * Vorne = 5.00-16 ASF * Hinten = 8-24 AS ==Füllmengen== * Kraftstofftank: 25 l Diesel * Motoröl: 4,5 l Motoröl * Ölbadluftfilter: 0,5 l Motoröl * Hydrauliksystem: 8 l Motoröl * Schaltgetriebe: 9 l Getriebeöl * Lenkgetriebe: 0,25 l Getriebeöl * Riementrieb: 1 l Getriebeöl * Kühlung: 13 l Wasser ==Verbrauch== * Durchschnittsverbrauch = 1,4 l/h ==Kabine== * Fahrerstand mit gefederter Sitzmulde, Dreispeichen-Lenkrad und linkem Beifahrersitz * Optional mit Verdeck und rechtem Beifahrersitz ==Sonderausrüstung== * Riemenscheibe mit Antrieb * Mähantrieb * Fahr-Mähwerk * Hydraulischer Kraftheber * Seilwinde * Druckluftanlage * Dreipunktkupplung * Frontlader ==Literatur== * Bericht zum D 17 in der Fahr-Schlepperpost, Ausgabe 3/1996 * Bedienungsanleitung und Ersatzteilliste zum Fahr D 17 * Alle Traktoren von Fahr und Güldner (Walter Sack) Seite 40 * Fahr-Dieselschlepper-Prospekte von 1938 bis 1961 (Kurt Häfner/Rainer Bank) Seite 34 * OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 6/2026, Seite 32 ff. ==Weblinks== * [http://www.fahr-schlepper-freunde.de www.fahr-schlepper-freunde.de] {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} f6dnrq9mj46jzars1gqmuo173ql0b4n 1089934 1089933 2026-08-22T00:16:48Z ~2026-45748-40 116765 /* Motor */ 1089934 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]] | MODELLREIHE = D | MODELL = D 17 | BILD = Fahr D17 17PS 1951.JPG | BILDBESCHREIBUNG = Fahr D17 (Baujahr 1951) | BAUWEISE = rahmenlose Blockbauweise | PRODUKTIONSBEGINN = 1951 | PRODUKTIONSENDE = 1953 | STÜCKZAHL = 5.658 | EIGENGEWICHT = 1.275 | LÄNGE = 2.570 | BREITE = 1.562 | HÖHE = 1.743 | RADSTAND = 1.640 | BODENFREIHEIT = 403 | SPURWEITE = 1.250 und 1.500 | SPURWEITE VORNE = | SPURWEITE HINTEN = | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 2.325 | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 2.600 | BEREIFUNG VORNE = 5.00 x 16 ASF | BEREIFUNG HINTEN = 8 x 24 AS | LEISTUNG KW = 12,5 | LEISTUNG PS = 17 | NENNDREHZAHL = 1.800 | ZYLINDER = 2 | HUBRAUM = 1.304 | DREHMOMENTANSTIEG = | KRAFTSTOFF = Diesel | KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung | ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb | GETRIEBE = 5V/1R | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 20 | KATEGORIESORTIERUNG = Fahr D 17 }} Der [[Traktorenlexikon: Fahr|Fahr]]-Standardschlepper '''D 17''' wurde von 1951 bis 1953 über 5000 mal gefertigt. 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Weiterhin besteht die Einbaumöglichkeit eines hydraulischen Krafthebers zum Ausheben und Einsetzen von Bodenbearbeitungs- und Erntebergungsgeräten. ==Motor== * Güldner, Typ: 2 D 15, stehender, wassergekühlter Viertakt-Zweizylinder-Reihen-Dieselmotor mit Wälzkammerverfahren, hängenden Ventilen, zahnradgetriebener Nockenwelle, Natter- oder Güldner-Einspritzpumpe, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, Fünfring-Kolben, auswechselbare Zylinderlaufbuchsen, Bosch-Zapfen-Düse, Ölbadluftfilter, rollengelagerte Kurbelwelle, Bosch-Düsen-Halter und Wasserumlaufkühlung mit Lamellenkühler. * 85 mm Bohrung und 115 mm Hub * Verdichtungsverhältnis = 19:1 * Max. Drehmoment = 7,5 mkg bei 1.750 U/min. * Leerlaufdrehzahl = 750 U/min. * Max. Einspritzdruck = 160 atü * Natter-Einspritzpumpe - oder: * Güldner-Einspritzpumpe, Typ: GMD 275 * Bosch-Zapfen-Düse, Typ: DN 8 S 2 * Bosch-Düsen-Halter, Typ: KB 40 SAV 645 J 2 * Bosch-Kraftstofffilter, Typ: FJ/AZ 5/3 * Bosch-Reinigung, Typ: FA 5 P 29 Die Güldner-Einspritzpumpe hat Regulierventile. Die Güldner-Pumpe arbeitet mit unverändertem Hub, das heißt: es wird stets die gleiche Kraftstoffmenge angesaugt. Durch den Saughub des Pumpenzylinders wird das Saugventil geöffnet, und der einströmende Brennstoff füllt den Druckraum. Nach Beendigung des Saughubes schließt sich das federbelastete Saugventil wieder und wird durch den Druckhub noch fester auf seinen Sitz gepresst, wodurch es absolut dicht wird. In der Anlassstellung der Brennstoffpumpe, d. h. wenn die Reguliernadel die Absteuerbohrungen ganz verschließt, wird der Brennstoff durch das Druckventil über die Leitung und die auf 150 atü eingestellten Brennstoffdüsen in die Wirbelkammer einqespritzt. In dieser Stellung ist die Fördermenge ungefähr um 30 Prozent höher als bei der größten Betriebsfüllung. Im Betrieb wird je nach Belastung des Motors, beeinflußt vom Regler, das Regulierventil mehr oder weniger geöffnet. Beim Druckhub des Pumpenkolbens wird ein Teil der angesaugten Kraftstoffmenge an den geöffneten Reguliernadeln vorbei in den Regulierraum und von da zurück in den Saugraum abgesteuert, d. h. die Fördermenge für den Motor wird um die abgesteuerte Brennstoffmenge geringer. Bei abgestelltem Motor sind die Regulierventile vollständig offen, so dass eine Kraftstoff-Förderung zur Einspritzdüse (Typ ''DN 8 S 2'') nicht erfolgen kann. Der Fliehkraftregler besorgt die Mengenregelung, die für die jeweilige Motorbelastung nötig ist. Mit steigender Motordrehzahl gehen die beiden Reglergewichte, durch die Fliehkraft beeinflusst, auseinander und verschieben die Reglermuffe nach vorn in Richtung Wasserpumpe. Dadurch wird der Kugelkopf der Regulierwelle ebenfalls nach vorn geschoben und damit auch die Regulierstange. Die Regulierventile werden somit gezwungen, eine Linksbewegung auszuführen, was ein Abheben der Reguliernadeln vom Regulierventilsitz zur Folge hat. Ein Teil der geförderten Brennstoffmenge wird an der Reguliernadel vorbei abgesteuert. Die nunmehr geringere Einspritzmenge bewirkt ein Absinken der Motordrehzahl. Die an der Regulierstange angebrachte Zugfeder zieht in diesem Moment die Regulierwelle in Richtung Getriebe zurück und überträgt die Bewegung auf die Reguliernadeln, welche die Füllmenge wieder größer werden lassen. Die Reglerfedern, die der Fliehkraft der Reglergewichte entgegenwirken, werden durch einen Winkeldruckhebel gespannt. Unter der Wirkung von Fliehkraft und Federdruck stellt sich, je nach Belastung des Motors, die erforderliche Brennstoff-Füllmenge ein. Durch das vom Fahrer betätigte Drehzahlgestänge wird die Spannung der Reglerfedern verändert und die Drehzahl des Motors verstellt. ==Kupplung== * Pedal betätigte, trockene Fichtel & Sachs-Einscheibenkupplung, Typ: K 12 Z ==Getriebe== * Im Ölbad laufendes ZP-Schubradgetriebe, Typ: A-8 C * 5 Vorwärts- und 1 Rückwärtsgang * Flanschgehäuse mit Lagerung für die Antriebswelle. Getriebegehäusekasten mit im vorderen Teil eingebautem Wechselgetriebe. Im hinteren Teil des Getriebegehäuses sind eingebaut: Differential mit Tellerrad, Zapfwelle mit Einrückung. Linkes und rechtes Achsrohr mit linkem und rechtem Hinterachsvorgelege 2 Steckachsen mit Z Bremstrommeln und die dazu gehörigen Lagerungen. Im rechten Achsrohr ist die Differential-Sperrmuffe. ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== * 1. Gang: 2,9 km/h * 2. Gang: 5,4 km/h * 3. Gang: 7,8 km/h * 4. Gang: 11,8 km/h * 5. Gang: 19,6 km/h * Rückwärtsgang: 2,15 km/h ==Zapfwelle== * Kupplungsabhängige Getriebezapfwelle * Stummel = 29 x 34,9 x 8,7 mm * Drehzahl = 540 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional Riemenscheibe mit 200 mm Durchmesser und 140 mm Breite * Drehzahl = 1.500 U/min. * Übertragbare Leistung = 16 PS * Optional mit keilriemenbetriebenen Mähantrieb ==Bremsen== * Pedal betätigte Duplex-Innenbackenbremse auf die Hinterräder wirkend, als Einzelradbremse ausgebildet * Mechanisch betätigte Feststellbremse auf Hinterräder wirkend ==Achsen== * Gefederte Fahr-Pendelachse mit Volleinschlagsteuerung Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * ZF-Hinterachse als Portalachse ausgeführt Zwei Spurweiten mittels Radumschlag = 1.250 und 1.500 mm * Pedal betätigte Differentialsperre * Vorderachslast = 490 kg Zul. Vorderachslast = 750 kg * Hinterachslast = 785 kg Zul. Hinterachslast = 1.150 kg ==Lenkung== * ZF-Lenkung, Typ: EL 10 mit Einzelradlenkung * Je Seite ein Lenkstockhebel, der über die Lenkschubstangen und die Lenkhebel direkt auf die Vorderräder wirken. ==Hydrauliksystem und Kraftheber== * Serienmäßiger Geräteanbau an starrer Anhängeschiene * Optional mit hydraulischem Fahr-Bucher-Kraftheber * Betriebsdruck = 220 atü * Max. Hubkraft = 690 kg * Zusätzlich auf Wunsch mit Dreipunktkupplung ==Steuergeräte== ==Elektrische Ausrüstung== Den Schlepper gab es mit einer 12-Volt-Licht- und Anlasseranlage. Er konnte jedoch auch ohne elektrische Anlage geordert werden. Die Zündung erfolgte dann von Hand mittels einer von vorne in die auf dem Vorderende der Kurbelwelle aufsitzenden Andrehklaue gesteckten Handkurbel und Glimmpapierchen. * 12 Volt-Einrichtung * Batterie, 12 V-84 Ah * Bosch-Anlasser, Typ: EJD 1.8/12 L 39 * Bosch-Lichtmaschine, Typ: LJ/REE 75/12/1800 CR 1 * Beru-Glühkerze, Typ: 304 G * Bosch-Glühüberwacher, Typ: SWJ 27 L 5 Z oder Beru-KOR 17 * Bosch-Glühwiderstand, Typ: SWJ 10 L 18 Z oder Beru-WU 35/3 ==Maße und Abmessungen == * Länge = 2.570 mm * Breite = 1.562 mm * Höhe über Lenkrad = 1.230 m * Radstand = 1.640 mm * Bodenfreiheit = 403 mm * Eigengewicht = 1.275 kg * Zul. Gesamtgewicht = 1.900 kg ==Bereifung== Standardbereifung: * Vorne = 5.00-16 ASF * Hinten = 8-24 AS ==Füllmengen== * Kraftstofftank: 25 l Diesel * Motoröl: 4,5 l Motoröl * Ölbadluftfilter: 0,5 l Motoröl * Hydrauliksystem: 8 l Motoröl * Schaltgetriebe: 9 l Getriebeöl * Lenkgetriebe: 0,25 l Getriebeöl * Riementrieb: 1 l Getriebeöl * Kühlung: 13 l Wasser ==Verbrauch== * Durchschnittsverbrauch = 1,4 l/h ==Kabine== * Fahrerstand mit gefederter Sitzmulde, Dreispeichen-Lenkrad und linkem Beifahrersitz * Optional mit Verdeck und rechtem Beifahrersitz ==Sonderausrüstung== * Riemenscheibe mit Antrieb * Mähantrieb * Fahr-Mähwerk * Hydraulischer Kraftheber * Seilwinde * Druckluftanlage * Dreipunktkupplung * Frontlader ==Literatur== * Bericht zum D 17 in der Fahr-Schlepperpost, Ausgabe 3/1996 * Bedienungsanleitung und Ersatzteilliste zum Fahr D 17 * Alle Traktoren von Fahr und Güldner (Walter Sack) Seite 40 * Fahr-Dieselschlepper-Prospekte von 1938 bis 1961 (Kurt Häfner/Rainer Bank) Seite 34 * OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 6/2026, Seite 32 ff. ==Weblinks== * [http://www.fahr-schlepper-freunde.de www.fahr-schlepper-freunde.de] {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fahr |HERSTELLER= Fahr}} rzi53ezfw5270metojgdtpuv8t50x32 0 51292 1089926 1089867 2026-08-21T16:15:39Z Picculo 116740 /* Astat */ Beleg korrigiert 1089926 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{TOC}}</noinclude> Hier sind alphabetisch alle Elemente aufgezählt, zusammen mit einer kurzen Beschreibung, die kein eigenes Kapitel erhalten haben. == A == ===Actinium=== [[Datei:Uraninite-48277.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Actinium wurde in Pechblende nachgewiesen.]] [[Datei:Stamps_of_Germany_(BRD)_1964,_MiNr_441.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Actinium wird in Kernreaktoren erzeugt.]] Das Wort Actinium kommt von dem griechischen Wort für Strahl ("aktis"). Es strahlt so stark, dass man im Dunkel ein blaues Leuchten sehen kann. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte eines radioaktiven Isotops zerfallen ist. Je kürzer die Halbwertszeit, desto stärker strahlt er. langlebigste Radium-Isotop ²²⁶Ra hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren, das langlebigste Actinium-Isotop ²²⁷Ac hat eine Halbwertszeit von 22 Jahren. Diese Zeit ist lang genug, um kleinere Mengen des Stoffes herzustellen. Das gewonnene Actinium strahlt sehr stark. (Isotope, die nur eine Halbwertszeit von einer Sekunde besitzen, können nicht in größeren Mengen hergestellt werden.) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Americium=== [[Datei:Americium_microscope.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Americium]] [[Datei:Americio-alarma.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Der Rauchmelder enthält Americium.]] Americium wird in Kernkraftwerken hergestellt. (Bisher wenige Kilogramm.) Es ist ein radioaktives und spaltbares Element. Das langlebigste Americium-Isotop ²⁴³Am hat eine Halbwertszeit von 7370 Jahren. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Astat=== [[Datei:Mendeleev Photographische Gesellschaft 3.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Im Periodensystem von Dmitri Mendelejew wurde dieses Element eingezeichnet.]] [[Datei:Bismuth-20700.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Wenn man Bismut (Bild) mit Heliumkernen beschießt entsteht Astat.]] Astat wurde im Jahr 1940 von Dale Corson, Kenneth MacKenzie und Emilio Gino Segrè in der Universität von Kalifornien künstlich hergestellt. 1943 entdeckten Berta Karlik und Traude Bernert sein natürliches Vorkommen. Griechisch bedeutet ἀστατέω = „unbeständig sein“. Astat entsteht beim radioaktiven Zerfall von Uran. Astat ist ebenfalls radioaktiv und kann in relevanten Mengen gefährlich werden. Seine Farbe wird teils als schwarz, teils als metallisch beschrieben. Astat ist das seltenste Element auf der Erde. In der gesamten Erdkruste befinden sich nach unterschiedlichen Schätzungen zwischen 0,07 und 25 Gramm Astat. Es ist deshalb so selten, weil es in wenigen Stunden zerfällt. Das macht es wertvoll für die Nuklearmedizin, unter anderem zur Behandlung bösartiger Tumore, vor allem der Schilddrüse. Astat wird bei Bedarf durch den Beschuss von Bistum mit Alphateilchen hergestellt. Schon nach wenigen Stunden ist es aus dem Körper verschwunden. Astat ist ein silbergraues Metall.<ref>Georg Schwedt: Allgemeine Chemie - ein Leselehrbuch. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 9783662542446. S. 87.</ref> <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} == B == ===Barium=== [[Datei:2006_Fireworks_1.JPG|miniatur|hochkant=0.7|left|Bariumfeuerwerk]] [[Datei:Fluorescent_minerals_hg.jpg|miniatur|hochkant=1.5|right|Einige Mineralien fluoreszieren.]] Aus dem Mineral Schwerspat wurde das Element Barium (vom griechischen Wort für schwer) gewonnen. Bariumhaltige Mineralien wurden 1602 von einem italienischen Schuhmacher entdeckt. Dieser Schuhmacher mit dem Namen Vincenzo Casciarolo untersuchte neben seiner Arbeit die Natur. Er entdeckte, dass einige Steine leuchten, wenn man sie für einige Zeit in die Sonne gelegt hatte. Wasserlösliche Bariumverbindungn sind in kleinen Mengen lebenswichtig, in größeren Mengen giftig. Bariumnitrat wird für grünes Feuerwerk verwendet und Bariumcarbonat als Rattengift. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Berkelium=== [[Datei:Berkelium_metal.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|1,7 Mikrogramm Berkelium]] [[Datei:Berkeley_glade_afternoon.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Universität von Kalifornien, Berkeley]] Berkelium wird in Kernreaktoren hergestellt. Es ist ein radioaktives Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Bismut=== [[Datei:Wismut_Kristall_und_1cm3_Wuerfel.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Bismut]] [[File:Paracelsus-03.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Philippus Theophrastus Aureolus Bombastus von Hohenheim, auch Paracelsus genannt.]] Bismut (früher auch Wismuth genannt) wurde von Paracelsus (1493-1541) und kurz darauf von Georgius Agricola (1494-1555) beschrieben. Einige Bismutverbindungen wurden und werden in der Medizin verwendet: Gegen den Erreger von Magengeschwüren, gegen Mundgeruch und als Wundpulver und Hautsalbe gegen Entzündungen, zur Blutstillung und anderem. Mit Hilfe von Bismut kann man eine Legierung herstellen, die bei 70°C schmilzt (Woodsches Metall). Es wird in Sprinklern zum Feuerlöschen verwendet. Aus diesem Metall kann man auch einen Teelöffel herstellen, der in einer Tasse mit heißen Tee schmilzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery> ===Bohrium=== [[Datei:Electron_shell_107_bohrium.png|miniatur|hochkant=0.6|left|Bohrsches Atommodell von Bohrium]] [[Datei:Niels_Bohr.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Niels Bohr]] Dieses künstliche Element wurden nach Niels Bohr benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Brom=== [[Datei:Brom_amp.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Brom]] [[Datei:Bastille 2007-05-06 anti Sarkozy 487645695 abe4befd12 o.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Tränengas]] Brom bedeutet soviel wie "Gestank" (griechisch). Brom ist ein flüssiges, oranges Nichtmetall, bei dem bei Zimmertemperatur ätzende Dämpfe aufsteigen. Im Meerwasser befinden sich erhebliche Mengen an (harmlosem) Bromsalz. Diese Salze werden als Pflanzendünger verwendet. Fotoplatten werden mit Silberbromid beschichtet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-pollu.svg|Umwelt </gallery>{{clear}} == C == ===Cadmium=== [[Datei:NiCd_various.jpg|thumb|left|250px|Batterien enthalten Cadmium (Cd)]] [[Datei:Minolta_View_Meter_9.jpg|thumb|right|250px|Der Belichtungsmesser enthält Cadmium.]] Das Wort Cadmium ist ein altes Wort für Zinkerz, dass in Mittelalter und Altertum teilweise verwendet wurde. Es wurde 1817 unabhängig voneinander von Friedrich Stromeyer und Carl Samuel Hermann aus unterschiedlichen Zinkerzen hergestellt. Verwendet wird es für Solarzellen, Halbleiter, für Nickel-Cadmium-Akkus und auch zum Bau von Regelstäben in Kernkraftwerken. Cadmium und Cadmiumverbindungen sind hochgiftig. Deshalb sind in der EU viele Anwendungen verboten. In Japan hatten ab 1950 Zink-Bergwerke ihr Abwasser in Flüsse geleitet, mit denen Reisfelder gewässert wurden. Die Reisbauern erkrankten. Es traten bei ihnen starke Schmerzen auf. Nierenversagen und Knochenerweichung führte häufig zum Tode. Wegen der starken Schmerzen wurde sie „Aua-Aua-Krankheit“ (Japanisch "Itai-Itai-Krankheit") genannt. <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-pollu.svg|Umwelt Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery>{{clear}} ===Californium=== [[Datei:Californium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Californium]] [[Datei:CfShield.JPG|miniatur|hochkant=0.6|right| In diesem 50t schweren Behälter wird 1g Californium transportiert.]] Californium ist ein radioaktives Element, das in Kernreaktoren entsteht. Das Californium-Isotop ²⁵²Cf sendet beim Zerfall Neutronen aus. Diese Neutronen werden benutzt bei Krebsbehandlungen, für Materialuntersuchungen in der Industrie, bei der Suche nach Erdöl, in Kernreaktoren und für den Bau von Atombomben. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Caesium=== [[Datei:Cesium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Caesium wird unter Luftabschluss gelagert.]] [[Datei:Atomic_Clock-Louis_Essen.jpg|miniatur|hochkant=1.5|right|Caesium gibt den Takt der Atomuhr an.]] Caesium hat besondere Eigenschaften: * Es ist das reaktivste Metall. Es brennt explosionsartig, wenn es mit Luft in Berührung kommt. * Es ist das weichste Metall. * Es ist das schwerste stabile Alkalimetall. * Es ist eines der wenigen goldfarbenden Metalle. * Es hat, nach Quecksilber, den zweitniedrigsten Schmelzpunkt aller Metalle. * Es ist das "pünktlichste" ;-) Element. Caesium wird in Atomuhren eingesetzt. Die Sekunde wird mit Caesiumuhren bestimmt. Caesium wurde 1861 von Robert Wilhelm Bunsen und Gustav Robert Kirchhoff anhand seiner blauen Spektrallinien in Quellwasser entdeckt. Sie benannten das Element nach dem lateinischen Wort für himmelblau ("caesius"). Carl Setterberg hat 1881 erstmals reines Caesium hergestellt. Caesium wird für Ionenantriebe von Raketen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend </gallery>{{clear}} ===Cer=== [[Datei:CE2k2g.jpg|miniatur|hochkant=0.7|left|Cer]] [[Datei:Feuerzeug_Funken.jpg|miniatur|hochkant=0.7|right|Funkenregen]] Dieses Element wurde 1803 parallel von verschiedenen Wissenschaftlern entdeckt. ( Jöns Jacob Berzelius, Wilhelm von Hisinger, Martin Heinrich Klaproth). Carl Gustav Mosander hat 1825 erstmalig reines Cer hergestellt. Das Wort Cer stammt, wie der kurz zuvor entdeckte Planet Ceres, von der römischen Göttin für Ackerbau und Fruchtbarkeit Ceres. Cer erzeugt bei Reibung leicht Funken, die kleinere Cerkrümel entzünden können. Es wird deshalb für Feuerzeuge und auch im Film zur Herstellung eines eindrucksvollen Funkenregens eingesetzt. Eisenlegierungen, die Cer enthalten sind sehr dehnbar. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} === Copernicium === [[Datei:De_Revolutionibus_manuscript_p9b.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Seite aus Kopernikus’ Manuskript über „Die Erde kreist um die Sonne“.]] [[Datei:Copernicus-Boissard.gif|miniatur|hochkant=0.6|right|Nikolaus Kopernikus (1473–1543]] Dieses nach Nikolaus Kopernikus benannte Element wurde künstlich hergestellt und erforscht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Curium=== [[Datei:Cm-Fluoreszenz.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Curium, genauer Cm(III)-Ionen, fluoreszieren (leuchten orange).]] [[Datei:Pierre_and_Marie_Curie.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Pierre und Marie Curie]] Curium ist ein künstliches Element, das in Kernreaktoren hergestellt wird. Es ist radioaktiv und spaltfähig. Dieses Element wurde nach Pierre und Marie Curie benannt. Den beiden Wissenschaftler sind viele Erkenntnisse zum Aufbau unserer Materie zu verdanken. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == D == ===Darmstadtium=== [[Datei:Isotopes_and_half-life.svg|miniatur|hochkant=0.5|left|Nuklidkarte mit farblich gekennzeichneter Größenordnung der Halbwertszeit]] [[Datei:Peter_Stehlik_2010.04.05_012.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Kongresszentrum darmstadtium]] Darmstadtium ist ein künstliches Element, dass 1994 in Darmstadt hergestellt wurde. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Dubnium=== [[Datei:257Db_decay_scheme.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Zerfallsschema von Dubnium]] [[Datei:Dubna.house_of_scientiests.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Das Haus der Wissenschaftler in Dubna]] Dubnium / Db wird künstlich erzeugt, indem man Atomkerne zusammenschießt. Es gibt mehrere Möglichkeiten Dubnium herzustellen: :<math>\mathrm{{}^{243}_{\ 95}Am + {}^{22}_{10}Ne \rightarrow 5\, {}^1_0n + {}^{260}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{243}_{\ 95}Am + {}^{22}_{10}Ne \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 98}Cf + {}^{15}_{\ 7}N \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{260}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{250}_{\ 98}Cf + {}^{15}_{\ 7}N \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 97}Bk + {}^{16}_{\ 8}O \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 97}Bk + {}^{18}_{\ 8}O \rightarrow 5\, {}^1_0n + {}^{262}_{105}Db}</math> <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Dysprosium=== [[Datei:Dysprosium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Dysprosium]] [[Datei:SIMSDY.JPG|miniatur|hochkant=1.3|right|Spektrum von Dysprosium]] Dieses Element benannte man nach dem griechischen Wort für schwer zugänglich (dysprósitos). Das hat folgende Ursache: Dysprosium gehört zu den Seltenen Erden. Die Seltenen Erden reagieren chemisch sehr ähnlich. In der Natur findet man sie meistens miteinander vermischt. Es ist schwer, sie zu trennen. Der Entdecker dieses Elements, Paul-Émile Lecoq de Boisbaudran fand Dysprosium im Jahre 1886 mit Hilfe der Spektralanalyse. Aber er fing nur das Licht auf, das dieses Element aussendet, rein gewinnen konnte er es nicht. Erst 1906 gelang es Georges Urbain das Element zu gewinnen. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == E == ===Einsteinium=== [[Datei:Einsteinium_triiodide_by_transmitted_light.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Einsteiniumiodid sendet Licht aus.]] [[Datei:Einstein1921_by_F_Schmutzer_2.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Albert Einstein, 1921]] Einsteinium entsteht in Kernkraftwerken und bei der Explosion von Wasserstoffbomben. Dieses Element wurde nach Albert Einstein benannt, dem Entwickler der Relativitätstheorie. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Erbium=== [[Datei:Erbium.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Erbium]] [[Datei:ErOPulver.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Erbiumoxid]] Erbiumoxid wird, wie auch einige andere Seltene Erden, zum Färben von Glas und Keramik verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Europium=== [[Datei:Eu-Block.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Europium]] [[Datei:050euro-uv.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Im UV-Licht leuchtet der Euroschein.]] Passenderweise wird Europium als Fälschungsschutz in Euro-Banknoten verwendet. Im UV-Licht fluoresziert es. Europium wurde auch in Bildschirmen und Quecksilberdampf-Lampen eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == F == ===Fermium=== [[Datei:Ivy_Mike_-_mushroom_cloud.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Spuren von Fermium befinden sich in der Wolke der 1952 gezündeten Wasserstoffbombe.]] [[Datei:Elutionskurven_Fm_Es_Cf_Bk_Cm_Am.png|miniatur|hochkant=0.8|right|Chromatographischer Nachweis von Fermium.]] Fermium ist radioaktiv und seine Isotope besitzen eine kurze Halbwertszeit (maximal 100 Tage). Fermium wurde bei der Explosion von Atombomben, in Kernkraftwerken und im Labor erzeugt. Aus kleinen Atomen kann man durch Hinzufügen von Teilchen (Neutronen) größere Atome herstellen. Dieser Vorgang vollzieht sich in der Natur in Sternen und vor allem bei Sternexplosionen (->Supernova). So sind aus den kleinen Wasserstoffatomen die anderen Elemente entstanden. Im Labor kann man diesen Vorgang nachvollziehen. Bis zum Element Fermium können die Atome Neutronen aufnehmen und größer werden. Die schwereren Elemente zerfallen beim Hinzufügen von Neutronen sofort. Noch schwerere Elemente kann man nur herstellen, indem man zwei Atomkerne aufeinander schießt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Flerovium=== [[File:RUSMARKA-1660.jpg|thumb|Russische Briefmarke]] Nur wenige Atome Flerovium wurden hergestellt. Es wurde nach Georgi Nikolajewitsch Fljorow benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Francium=== [[Datei:Uraninite-39029.jpg|miniatur|hochkant=0.4|left|Uranit enthält Spuren von Francium]] [[Datei:Electron shell 087 Francium.svg|miniatur|hochkant=0.8|right|Elektronenschalen von Francium]] Francium hat ein Elektron auf der Außenschale und ist deshalb ein Alkalimetall. Seine Eigenschaften kann man deshalb vorhersagen, aber kaum überprüfen, da es nur winzige Mengen dieses Elementes gibt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == G == ===Gadolinium=== [[Datei:Gadolinium.jpg|thumb|left|hochkant=0.7|Gadolinium]] [[Datei:Lepersonnite-(Gd)-Studtite-Curite-201137.jpg|thumb|right|hochkant=0.9|Lepersonnit bildet gelbe Kristalle.]] Gadolinium ist ein seltenes Element. Das Mineral Lepersonnit-(Gd) enthält dieses Element. Dieses Mineral hat eine komplexe chemische Zusammensetzung: Ca(Gd,Dy)₂(UO₂)₂₄(SiO₄)₄(CO₃)₈(OH)₂₄ · 48 H₂O. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Gallium=== [[Datei:Gallium_crystals.jpg|thumb|left|hochkant=0.9|Gallium.]] [[Datei:Blue LED and Reflection.jpg|thumb|right|hochkant=0.9|LEDs (Leuchtdioden) enthalten Gallium.]] Gallium ist ein seltenes, silberweißes Metall. Pro Jahr werden ca. 100&#8239;t davon produziert. Es wird für die Produktion von Leuchtdioden und Solarzellen verwendet. Paul Émile Lecoq de Boisbaudran hat 1875 dieses Element erstmalig hergestellt. Bei der Namensgebung schlug er zwei Fliegen mit einer Klappe: er benannte den Stoff sowohl nach seinem Land wie auch nach sich selbst: sowohl "Frankreich" (Gallien) als auch "Lecoq" (Hahn) heißen auf Latein "Gallus". <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-exclam.svg| Achtung </gallery>{{clear}} ===Germanium=== [[Datei:Winkler preparate 1886 1904.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Von Winkler hergestelltes Germanium]] [[Datei:Germanium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Germanium]] Das Halbmetall Germanium wird für den Bau von Transistoren verwendet. 1886 stellte der deutsche Chemiker Clemens Winkler Germanium an der Bergakademie in Freiberg her. Er benannte es nach dem lateinischen Namen seines Heimatlandes. Achtung: Germaniumpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == H == ===Hafnium=== [[Datei:Hafnium_ebeam_remelted.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Hafnium]] [[Datei:SS-571-Nautilus-trials.gif|miniatur|hochkant=0.9|right|Nautilus, das erste Atom-U-Boot]] Hafnium verbrennt mit sehr hellem Licht und wird in speziellen Blitzlampen verwendet. Hafniumelektroden werden zum Schweißen verwendet. Einige Hafniumverbindungen sind sehr hart. Hafnium wird in größeren Mengen in Steuerstäben der Kernreaktoren für Atom-U-Boote verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Hassium=== [[Datei:2008-Z6-Targetkammer_GSI-Darmstadt.JPG|miniatur|hochkant=0.8|left|Targetkammer]] [[Datei:Model of GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Model of GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung]] Hassium ist ein künstlich hergestelltes Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Holmium=== [[Datei:Holmium_1.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Holmium]] [[Datei:KL_Bubble_Memory_MemTech.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Magnetblasenspeicher]] Holmium wird für Hochleistungsmagnete, in Lasern und für Steuerstäbe in Brutreaktoren verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == I == ===Indium=== [[Datei:Indium_wire.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Indiumdraht.]] [[Datei:Uvled_highres_macro.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right| Leuchtdiode enthält Indium]] Indium sendet Licht mit einer blauen, indigofarbenen Spektrallinie aus. Es wurde 1863 von Ferdinand Reich und Theodor Richter entdeckt. Da wenig Indiumlagerstätten bekannt sind und viel Indium verbraucht wird, ist es das Metall, das möglicherweise als erstes nicht mehr in ausreichender Menge vorhanden sein wird. Es wird in Flugzeugen, Kernkraftwerken und Transistoren eingesetzt. Das Metall brennt nicht, das Pulver ist brennbar. Indium kann bei Embryos Wachstumsstörungen hervorrufen. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Iridium=== [[Datei:Iridium pellet.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Iridium]] [[Datei:Various_dinosaurs.png|miniatur|hochkant=1.2|right|Skelette von Dinosauriern]] Iridium ist schwer und befindet sich deshalb im Erdkern und in einigen Meteoriten. Am Ende der Kreidezeit sind die Dinosaurier und viele andere Lebewesen ausgestorben. Die Ablagerungen der Sedimentschicht, die das Ende der Kreidezeit markiert, enthält viel Iridium. Ein Hinweis auf einen gewaltigen Meteoriteneinschlag. Der Einschlagskrater befindet sich in Mexiko. Iridium hat seinen Namen vom griechischen Wort für Regenbogen (Iris). Es wird in Legierungen verwendet, die besonders hart sein müssen, wie beispielsweise die Kugel vom Kugelschreiber. Es wird auch für Zündkerzen, Schmuck, als Katalysator und für UV-Beschichtungen von Sonnenbrillen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery> == K == ===Krypton=== [[Datei:Krypton_discharge_tube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Lampe enthält Krypton]] [[Datei:Geiger_counter.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Der Geigerzähler enthält Krypton]] Krypton (Ordnungszahl 26) gehört zu den seltensten Elementen und konnte nur unter großem Aufwand in winzigen Mengen gewonnen werden. Die Entdecker Ramsay und Travers nannten es daher nach dem griechischen Wort kryptós, was „verborgen“ bedeutet. Krypton wird in Halogenlampen verwendet. Obwohl Krypton ein Edelgas ist, kann es Verbindungen eingehen (Kryptondifluorid). Das für Superman gefährliche Kryptonit wird aus einem ausgedachten Element namens Kryptonium (Ordnungszahl 126) hergestellt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-bottle.svg| Gasflasche </gallery>{{clear}} == L == ===Lanthan=== [[Datei:Lanthan_1.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Lanthan]] [[Datei:Cereisenstein.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Diese Zündsteine enthalten Lanthan]] Lanthan (griech. λανθάνειν, lanthanein, „verborgen sein“) wurde 1839 vom schwedischen Chemiker Carl Gustav Mosander entdeckt. Er züchtete 1839 Kristalle aus Cernitrat. Zu seiner Überraschung bildeten sich noch eine andere Kristallform. Im Cernitrat war offensichtlich ein anderes Element versteckt. Mosander nannte es nach dem griechischen Wort für "versteckt" Lanthan. Es wird in Gläsern und in Zündsteinen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Lawrencium=== [[Datei:Cyclotron_at_CSI.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Zyclotron]] [[Datei:LawrenceCyclotronMagnet.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Magnet für ein Zyclotron]] Lawrencium, benannt nach dem Erfinder des Zyclotrons wird hergestellt, indem man Atomkerne in einem Zyclotron zusammenprallen lässt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Livermorium=== Nur wenige Atome Livermorium wurden hergestellt. Das Element wurde nach dem Lawrence Berkeley National Laboratory (LLNL) in Kalifornien, USA benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Lutetium=== [[Datei:Lutetium_sublimed_dendritic_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Lutetium]] [[Datei:Hexagonal_dichteste_Kugelpackung.png|miniatur|hochkant=0.6|right|Kristallstruktur von Lutetium]] Lutetium ist schwer zu gewinnen und damit teuer. Es wird nicht großtechnisch sondern meist nur für wissenschaftliche Experimente eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == M == ===Meitnerium=== [[Datei:Nova Laserdisk inside A315 amplifier.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|PHELIX-Laser]] [[Datei:Lise_Meitner_(1878-1968),_lecturing_at_Catholic_University,_Washington,_D.C.,_1946.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Lise Meitner 1946]] Meitnerium ist ein künstlich hergestelltes Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Mendelevium=== [[Datei:Berkeley_60-inch_cyclotron.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|In diesem Zyclotron wurde Mendelevium hergestellt.]] [[Datei:Zyklotron Prinzipskizze02.svg|miniatur|hochkant=0.8|right|Diese Zeichnung zeigt die Funktionsweise eines Zyclotrons.]] Mendelevium, benannt nach Dmitri Iwanowitsch Mendelejew, wird hergestellt, indem man Atomkerne zusammenprallen lässt. Dafür wird Einsteinium²⁵³Es in einem Zyklotron mit beschleunigten Heliumkernen⁴He beschossen. Dabei entsteht Mendelevium²⁵⁶Md und ein Neutron. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Molybdän=== [[Datei:Molybdenum_crystaline_fragment_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Molybdän]] [[Datei:MoCo-prokaryotes.svg|miniatur|hochkant=1.1|right|Dieser Biokatalysator enthält Molybdän.]] Molybdän wurde nach dem griechischen Namen von Blei benannt. Molybdän verträgt hohe Temperaturen und wird für Stahllegierungen verwendet. Es wird in der Erdölindustrie als Katalysator verwendet. Auch viele Lebewesen benutzen Molybdän in Bio-Katalysatoren. So stellen einige Bakterien aus Luftstickstoff Dünger her. Dazu benötigen sie Molybdän (Formel Mo). (s. Bild) Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Moscovium=== [[File:RedSquare2019.jpg|thumb|Moskau]] Nur wenige Atome Moscovium wurden hergestellt.Das Element wurde nach der Stadt Moskau benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == N == ===Neodym=== [[Datei:Neodym_1.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Neodym]] [[Datei:NdCl3 hood.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Neodym-Verbindung]] Neodym – der „Neue Zwilling“ – ist einer von mehreren chemisch einander ähnlichen Stoffen. Neodym kann, wie seine Zwillinge für Magnete verwendet werden. Neodympulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Neptunium=== [[Datei:Np_sphere.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Neptunium (glänzend) in Schalen aus Uran (schwarz angelaufen).]] [[Datei:PIA02224-browse.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Bild von Voyager 2 vom Planeten Neptun.]] Neptunium entsteht in Kernreaktoren und kann als Brennmaterial in Kernreaktoren und auch zum Bau von Atombomben verwendet werden. Es gibt ungefähr 20 verschiedene Neptunium-Isotope. Das langlebigste Isotop ist ²³⁷Np mit einer Halbwertszeit von 2,144 Mio. Jahren. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Nihonium=== [[File:Kosuke Morita and Hiroshi Matsumoto cropped Hideto Enyo Kosuke Morita Koji Morimoto and Hiroshi Matsumoto 20161201.jpg|thumb|Kosuke Morita und Hiroshi Matsumoto]] Wenige Atome Nihonium wurden künstlich hergestellt. Nihon bedeutet auf japanisch "Japan" (Japan). Nach der Entdeckung bekam das Element zunächst den systematischen Namen Ununtrium (chemisches Symbol Uut), eine Bildung aus lateinisch unum für ‚eins‘ und lateinisch tria für ‚drei‘, entsprechend der Ordnungszahl 113. Es wurde auch als Eka-Thallium bezeichnet, zusammengesetzt aus Sanskrit eka für ‚eins‘ und Thallium, mit Bezug auf seine Einordnung im Periodensystem ‚eine Stelle unterhalb des Thalliums‘. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Niob=== [[Datei:25_Euro_Österreich_2012_Bionik_a.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Die Mitte enthält Niob.]] [[Datei:Apollo_CSM_lunar_orbit.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Die Düse enthält Niob.]] Die Elemente Niob und Tantal kommen in Erzen immer zusammen vor. Dieses Element wurde nach Niobe, der Tochter des Tantalus, benannt. Dieses Element wurde unabhängig von zwei Chemikern untersucht und unterschiedlich benannt: Charles Hatchett (1801) Heinrich Rose (1844). Für die Benennung der Elemente ist die IUPAC zuständig. Erst 1950 einigt man sich auf den Namen Niob. Niob dient als Stahllegierung und wird in Schmuck und Münzen eingesetzt. Niob brennt nicht, aber Niobpulver ist brennbar. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Nobelium=== [[Datei:27-inch_cyclotron.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Nobelium wird in einem Zyklotron erzeugt.]] [[Datei:AlfredNobel_adjusted.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Alfred Nobel]] Vom Element Nobelium wurden bisher nur wenige tausend Atome hergestellt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == O == ===Oganesson=== [[File:Yuri Oganesyan.png|thumb|Yuri Oganesyan]] Von dem Element Oganesson wurden nur wenige Atome hergestellt. Es wurde nach Juri Zolakowitsch Oganesjan benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Osmium=== [[Datei:Osmium_cluster.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Osmium]] [[Datei:Prosthetic Cardiac Ball Valves.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Künstliche Herzklappen]] Osmium ist haltbar, hart und Hitzebeständig, aber auch recht teuer. Einige künstliche Herzklappen enthalten eine Osmiumlegierung. Früher wurde es wie auch Wolfram in Glühbirnen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == P == ===Palladium=== [[Datei:Palladium 1-noReflection.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Palladium]] [[Datei:Pot_catalytique_vue_de_la_structure.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right| Autokatalysator]] Palladium erhielt seinen Namen nach dem kurz zuvor entdeckten Asteroiden Pallas, der wiederum nach der griechischen Göttin Pallas Athene benannt worden war. William Hyde Wollaston, der Namensgeber, hatte im Jahre 1803 das Element aus Platinerz extrahiert. Palladium wird als Katalysator eingesetzt. So zerstört es im Auspuff des Autos giftige Gase. Gute Weißgold-Legierungen enthalten neben Gold das Palladium. Man verwendet Weißgold für Münzen, Zahnkronen und Schmuck. Erstaunlicherweise hat das feste Metall Palladium im Inneren Hohlräume. Wasserstoffgas kann deshalb durch heiße Palladiumbleche wie durch ein Sieb durchströmen und so von anderen Gasen getrennt werden. Legt man ein Palladiumstück in eine Druckgasflasche und füllt sie mit Wasserstoff, so saugt sich das Palladium mit dem Wasserstoff voll, wie ein Schwamm. Ein Liter Palladiumlösungen kann dreitausend Liter Wasserstoff speichern. (Tank für Wasserstoffautos.) Palladiumstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Polonium=== [[Datei:Pitchblende_schlema-alberoda.JPG|miniatur|hochkant=0.8|left|Das Mineral Pechblende enthält Polonium.]] [[Datei:Physicist Studying Alpha Rays GPN-2000-000381.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Polonium in einer Nebelkammer. Die radioaktive Strahlung erzeugt Nebelspuren.]] Radioaktive Elemente verwandeln sich in andere, leichtere Elemente. Dabei senden sie Strahlung aus. In einigen Bergwerken atmen Bergleute das radioaktive Gas Radon ein. Radon verwandelt sich beim Zerfall in das Metall Polonium. Polonium kann Lungenkrebs auslösen. In den Atombomben die Hiroshima und Nagasaki zerstört haben, wurde es als Neutronenquelle verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Praseodym=== [[Datei:Praseodymium(III)-chloride-heptahydrate.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Praseodym - Verbindung]] [[Datei:Praseodym_1.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Praseodym]] "Lauchgrüner Zwilling" heißt die Übersetzung des Namens dieses Elements. Wenn man die abgebildete Praseodym-Verbindung betrachtet wird die Bezeichnung lauchgrün (griechisch: prásinos) klar. Aber was hat es mit dem Wort Zwilling (griechisch: didymos) auf sich? Im Jahre 1874 erkannte Per Teodor Cleve, dass es sich bei dem von Carl Gustav Mosander gewonnenen Stoff um zwei verschiedene Stoffe handelte, die einander fast wie Zwillinge gleichen. Praseodym wird zum Bau von starken Magneten verwendet. Praseodympulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Promethium=== [[Datei:Heracles freeing Prometheus, relief from the Temple of Aphrodite at Aphrodisias.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Prometheus brachte den Menschen das Feuer der Götter. Als Strafe wurde er angekettet aber, wie hier dargestellt, von Herakles befreit.]] [[Datei:A-Bomb Dome close-up.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Bild der Hiroshimakuppel.]] Promethium entsteht durch den radioaktiven Zerfall anderer Elemente wie Uran. Auf der ganzen Erde gibt es, fein verteilt, ca. 570g Promethium. (Die Menge wurde nicht etwa gefunden, sondern lediglich rechnerisch bestimmt.) In Kernkraftwerken wurde in den letzten Jahrzehnten soviel Promethium hergestellt, dass man chemische Experimente damit durchführen konnte. Promethium ist ein silbriges Schwermetall, das ähnlich reagiert wie Neodym. Einige Erbauer der Atombombe sahen sich selber in der Rolle des Prometheus: Sie brachten der Menschheit das nukleare Feuer. (Nachzulesen bei Richard P. Feynman.) Die Entdecker dieses Elementes hatten dagegen eine andere Intention: Sie benannten das Element als Warnung vor dem nuklearen Wettrüsten nach Prometheus. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Protacinium=== [[Datei:Uraninite-179869.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Uranit]] [[Datei:Otto_Hahn_und_Lise_Meitner.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Otto Hahn und Lise Meitner, 1913]] Im Mineral Uranit zerfällt das Element Uran und es entsteht kurzzeitig das Element Protacinium (^234''m''Pa) das rasch (Halbwertszeit: 1,17 Minuten) in Actinium zerfällt. Dieses Isotop wurde wurde 1913 von Kasimir Fajans und Oswald Helmuth Göhring entdeckt. Ein langlebiges Isotop des Elements Protacinium (²³¹Pa) wurde 1918 von Otto Hahn und Lise Meitner entdeckt. (Halbwertszeit: 32.760 Jahre) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == R == ===Radium=== [[Datei:Uraninite-225146.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Uranit enthält Radium.]] [[Datei:Radium-palp.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Im Jahre 1925 gab es radiumhaltige Kosmetika]] Radium kommt vom lateinischen Wort für Strahl ("radius"). Das Element Radium zerfällt und sendet dabei Alphastrahlen (Heliumatomkerne), Betastrahlen (Elektronen) und Gammastrahlen (Röntgenlicht) aus. Alle Elemente die solche Strahlen aussenden werden als radioaktiv bezeichnet. Radium wurde zunächst als Medikament und in Kosmetika eingesetzt. Es dauerte etliche Jahre, bis die Gefährlichkeit der radioaktiven Strahlung erkannt wurde und fast dreißig Jahre, bis Radium nicht mehr dafür verwendet wurde. Radium wurde von Henri Becquerel entdeckt und von Marie und Pierre Curie genau untersucht. (Sie starben an den Folgen der Strahlung.) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Rhenium=== [[Datei:Rhenium_single_crystal_bar_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Rhenium]] [[File:TurbineBlades.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Turbinenschaufeln]] Rhenium, nach dem lateinischen Wort für den Fluss Rhein (rhenus), wird Legierungen zugesetzt um sie zu verbessern. Turbinenschaufeln können sich durch die hohen Kräfte verformen (Fachbegriff: "kriechen") oder sogar brechen (Fachbegriff: "ermüden"). Themoelemente werden aus einer Legierung aus Platin und Rhenium hergestellt. Mit ihnen kann man hohe Temperaturen (bis 2200°C) messen. Es wird auch für Heizdrähte und Glühlampen verwendet. Rheniummetall brennt nicht, aber Rheniumpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Rhodium=== [[Datei:Rhodium_powder_pressed_melted.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Rhodiumpulver ist brennbar.]] [[Datei:White-gold--rhodium-plated.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right| Weißgoldring mit Rhodiumbeschichtung]] In Platinerzen befinden sich häufig chemisch ähnliche Elemente. 1803 hat William Hyde Wollaston aus Platinerz Rhodium extrahiert. Es wird als Katalysator und als Beschichtung von Schmuck verwendet. Eine dünne Schicht aus Rhodium verhindert, dass Metalle schwarz anlaufen und es glänzt silbrig. Man kann Rhodium auch zur Herstellung von Spiegeln verwenden. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Roentgenium=== [[Datei:Part_of_UNILAC_GSI.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Originalteil des 120 Meter langen UNILAC]] [[Datei:Wilhelm_Conrad_Röntgen-cropped.JPG|miniatur|hochkant=0.6|right|Wilhelm Conrad Röntgen]] Roentgenium ist ein künstlich hergestelltes Element. Es wurde nach Wilhelm Conrad Röntgen benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Rubidium=== [[Datei:Rubidium amp.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Rubidium wird unter Sauerstoffabschluss gelagert.]] [[Datei:Kirchhoff Bunsen Roscoe.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Kirchhoff Bunsen Roscoe 1862 (von links)]] Alle Atome senden ein für sie typisches Licht aus. Rubidium sendet ein violett-rotes Licht aus. Anhand dieses Lichtes haben 1861 Robert Wilhelm Bunsen und Gustav Kirchhoff Rubidium entdeckt. Bunsen hat daraufhin aus 44200 l Quellwasser 9 g Rubidiumsalz extrahiert. (Das lateinische Wort für rot lautet "rubidus". Auch der Edelstein Rubin hat daher seinen Namen.) Rubidium wird für wenige Anwendungen wie beispielsweise für einige Vakuumröhren verwendet. An der Luft fängt Rubidium an zu brennen, wenn man es mit Wasser löscht gibt es eine Explosion. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend </gallery>{{clear}} ===Ruthenium=== [[Datei:Ruthenium_a_half_bar.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Ruthenium]] [[Datei:3_Resistors.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Diese Widerstände enthalten Ruthenium.]] Ruthenium wurde vom Entdecker des Elements, Karl Ernst Claus, nach dem lateinischen Namen für Russland (ruthenia) benannt. Winzige Mengen dieses Stoffes verbessern die Qualität von Stahllegierungen und schützt sie vor dem Verrosten. Ruthenium wird auch zur Herstellung von Festplatten und als Katalysator verwendet. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Rutherfordium=== [[Datei:Electron_shell_104_rutherfordium.png|miniatur|hochkant=0.5|left|Atommodell von Rutherfordium]] Rutherfordium ist ein künstlich hergestelltes Element, das eine kurze Halbwertszeit besitzt. Es wurde nach Ernest Rutherford benannt, der mit einem einfachen Atommodell einen Anstoß zur Entwicklung weiterer Atommodelle gegeben hat. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == S == ===Samarium=== [[Datei:Samarium_1.jpg|miniatur|hochkant=0.7|left|Samarium]] [[Datei:Festplatte.JPG|miniatur|hochkant=0.7|right|Samarium-Cobald-Magnete werden in Festplattenlaufwerken verwendet.]] Samarium wird aus dem Mineral Samarskit gewonnen. Dieses Mineral wurde 1847 nach dem Bergbauingenieur benannt, der es entdeckt hatte. Elemente wurden in der Vergangenheit häufig nach griechischen und römischen Gottheiten benannt. Dieses Element war das erste, das nach einem Menschen benannt wurde. Das Mineral Samarskit enthält Uran und wurde deshalb in beträchtlichen Mengen gefördert. Das Nebenprodukt Samarium wird in Lasern, Magneten und als Katalysator verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Scandium=== [[Image:Scandium sublimed dendritic and 1cm3 cube.jpg|thumb|left|300px|Scandium.]] [[Datei:Schlaegel_und_Eisen_nach_DIN_21800.svg|thumb|right|150px|Schlägel und Eisen]] Das Element Scandium wurde entdeckt, weil im Periodensystem von Mendelejew ein Element angezeigt wurde, das man bisher nicht kannte. Lars Fredrik Nilson suchte gezielt danach und fand es 1879. Es wird in Quecksilberdampflampen verwendet. Achtung: Scandiumpulver brennt leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Seaborgium=== [[Datei:ElementeAlchemisten.svg|miniatur|hochkant=0.6|left|Elementsymbole der Alchemisten]] [[Datei:Seaborg in lab.jpeg|miniatur|hochkant=0.6|right|Glenn T. Seaborg]] Dieses künstlich hergestellte Element wurde nach Glenn T. Seaborg benannt. Seaborg ist es 1980 gelungen Goldatome herzustellen. Dieses Ziel verfolgten schon die Alchimisten. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Selen=== [[Datei:Selen_1.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Selen (schwarz, grau, rot]] [[Datei:Selen-Gleichrichter.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right| Selen-Gleichrichter]] Selen ist ein Halbmetall und kommt in drei Formen (Modifikationen) vor: Es gibt silbergraues metallisches Seien, schwarzes nichtmetallisches Selen und rotes nichtmetallisches Selen. Es wurde wurde 1817 von Jöns Jakob Berzelius entdeckt. Das Wort "Selen" kommt vom griechischen Namen des Mondes "Selene". Es wird für den Bau von Halbleitern und für Belichtungsmesser verwendet. In geringen Spuren ist Selen lebenswichtig, in größeren Mengen akut giftig. Selen kann auch erhebliche Organschädigungen (Leber, Herz) hervorrufen. <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery>{{clear}} ===Strontium=== [[Datei:Strontium destilled crystals.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Strontium in Glasampulle]] [[Datei:Firework by alchimista.JPG|miniatur|hochkant=1.1|right|Strontium färbt Flammen rot.]] Ein strontiumhaltiges Mineral wurde 1790 von Adair Crawford in Strontian (Schottland) entdeckt und untersucht. Strontiumsalz wird in der Aluminiumindustrie und zu Herstellung von Feuerwerkskörpern verwendet. Teilweise ist es in entzündungshemmender Zahnpasta zu finden. Strontium wird auch in einigen Vakuumröhren benutzt. Pro Jahr werden ca. 500 000 t Strontiumsalz gefördert. Strontiumbrände können weder mit Wasser noch mit Kohlendioxid gelöscht werden. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == T == ===Tantal=== [[Datei:Tantalum_single_crystal_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Tantal]] [[Datei:Tantal-Elko-Bauformen.jpg|miniatur|hochkant=1.4|right|Tantal-Kondensatoren]] Tantal reagiert kaum, es ist weitgehend chemisch inert. Tantaloxid reagiert weder mit Wasser noch mit Säuren. Man könnte im übertragenen Sinne sagen, Tantaloxid ist nicht in der Lage, seinen Durst zu löschen. In der griechischen Mythologie konnte der böse Tantalos als Strafe für seine Untaten seine Durst nicht löschen. Nach ihm wurde deshalb dieses Element benannt. Tantalpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Technetium=== [[Datei:UraniumUSGOV.jpg|miniatur|hochkant=1.3|left|Uranerz enthält Technetium.]] [[Datei:Brennelement-Kernkraftwerk.jpg|miniatur|hochkant=0.7|right|Im Brennelement entsteht Technetium.]] Dieses Element wurde 1925 in Mineralien entdeckt. Technetium ist das erste (1937) künstlich hergestellte Element und erhielt seinen Namen nach dem griechischen Wort für künstlich (τεχνητός / technētós). In Kernkraftwerken bildet sich Technetium als radioaktiver Abfall. Bis heute haben sich ca. 80 t Technetium angesammelt. Einige seiner Isotope besitzen eine Halbwertszeit von ca. 200 000 Jahren. In geringen Mengen wird es in der Nuklearmedizin eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Tellur=== [[Datei:Tellur_Typmaterial.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Tellur]] [[Datei:Nalleja.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Einige Sprengkapseln enthalten Tellur.]] Tellur kommt vom lateinischen Wort "tellus" was Erde bedeutet. Es wurde 1782 von Franz Joseph Müller von Reichenstein hergestellt. Es wird als Zusatz zu Legierungen und das Oxid als Glas verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig </gallery>{{clear}} ===Tenness=== [[File:Seal of Tennessee.svg|thumb|Seal of Tennessee]] Vom Element Tenness wurden nur wenige Atome hergestellt. Es wurde nach Tennessee, USA benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Terbium=== [[Datei:Terbium.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Terbium]] [[Datei:MonaziteUSGOV.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Terbium wird aus Monazitesand gewonnen.]] Terbium wird in Magneten und zum dotieren von Halbleitern verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Thallium=== [[Datei:Thallium pieces in ampoule.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Thallium reagiert leicht mit der Luft und korrodiert.]] [[Datei:Warnung-Rattenköder.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Warnung vor Rattengift an einem Zaun.]] Thallium wird für Linsen in Fotokopierern und Fotozellen benutzt. Thallium ist hochgiftig. Möglicher Verlauf einer Vergiftung beim Menschen: 2.-3. Tag: Abwechselnd Durchfall und Verstopfung. 2.Woche: Haarausfall 2.-3. Woche: Sehstörungen, übermäßig starke Schmerzwahrnehmung, Herzrhythmusstörungen, Muskelschwäche (kann zum Tode führen) Nach der Vergiftung bleibt häufig eine dauerhafte Gesundheitsschädigung zurück: Gestörte Reflexe, Muskelschwund. Auch chronische Vergiftungen mit kleinen Mengen bergen eine erhebliche Gesundheitsgefahr! Früher wurde eine Thalliumverbindung als Rattengift verwendet, da es erst verzögert wirkt und die Ratten nicht erkennen, dass die Köder vergiftet sind. (Junge Ratten müssen als "Vorkoster" etwas essen. Wenn sie erkranken, frisst keine andere Ratte davon.) <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery> ===Thorium=== [[Datei:Monazite_-_Rostadheia,_Iveland,_Norvegia_01.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Monazite enthält Thorium.]] [[Datei:Jöns_Jakob_Berzelius.jpeg|miniatur|hochkant=0.6|right|Jöns Jakob Berzelius]] Elemente können im Atomkern eine unterschiedliche Anzahl von Neutronen besitzen. Man bezeichnet sie als Isotope. Chemisch gesehen reagieren sie gleich, aber sie besitzen eine unterschiedliche Lebensdauer. (Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis die Hälfte des vorhandenen Stoffes zerfallen ist.) Isotope mit einer sehr, sehr langen Halbwertszeit unterscheiden sich für den Chemiker nicht von normalen, stabilen Elementen. Man findet Erze, kann sie extrahieren und mit ihnen experimentieren. Thorium wurde im Jahre 1829 von Jöns Jakob Berzelius entdeckt. Es ist ein radioaktives Element. Sein langlebigstes Isotop ²³²Th hat eine Halbwertszeit von 14.050.000.000 Jahren. Wegen der langen Halbwertszeit findet man es auch in der Erde und wegen der langen Halbwertszeit strahlt dieses Thorium-Isotop nur sehr wenig (kleine Dosisleistung). Deshalb hat man die Gefährlichkeit von Thorium falsch eingeschätzt. Auch die Schädlichkeit der radioaktiven Strahlung wurde zunächst nicht erkannt und dann dauerte es noch etliche Jahre, bis die radioaktiven Stoffe nicht mehr in alltäglichen Waren verwendet wurden. Thorium wurde in Glühstrümpfen, Schweißelektroden, Glühelektroden verwendet. Linsen aus Thoriumglas besitzen besondere optische Eigenschaften. Thoriumdioxid wurde sogar als Röntgenkontrastmittel verwendet: Den Patienten wurde vor der Röntgenaufnahme das Kontrastmittel, das ca. 5g Thorium enthielt, in die Adern gespritzt. Viele Patienten erkrankten nach 30-35 Jahren an Krebs. (Das Thorium wird im Körper eingelagert. Es dauert 22 Jahre, bis die Hälfte des eingelagerten Thoriums den Körper verlassen hat: biologische Halbwertszeit.) Thorium eignet sich auch für die Verwendung in Kernkraftwerken. Im Kernkraftwerk wird das Thorium-Isotop ²³²Th mit Neutronen ¹n bestrahlt und verwandelt sich in das Thorium-Isotop ²³³Th. (Rechnung: 232+1=233). Dieses hochradioaktive Thorium-Isotop hat eine Halbwertszeit von 22 Minuten und zerfällt in zwei Schritten zu spaltbaren Uran. Kernkraftwerke die Thorium verwenden erzeugen viel Atommüll und erleichtern den Bau von Atombomben (Fachbegriff: Proliferation). Es ist aber auch möglich mit Hilfe von Thorium atombombenfähiges Plutonium zu vernichten (Stichwort: MOX-Brennelement). <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Thulium=== [[Datei:Thulium_sublimed_dendritic_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Thulium]] [[Datei:Direct-reading_dosimeter.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Dosimeter]] Thulium ist nach der Insel Thule benannt worden. Diese Insel wurde in der Antike weit im Norden entdeckt und später mit vielen Mythen versehen. Thulium wird in Dosimetern zum Messen von radioaktiver Strahlung verwendet. Es findet auch in Szintillatoren und Lasern Verwendung. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == X == ===Xenon=== [[Datei:Xenon_discharge_tube.jpg|thumb|left|200px|Xenonlampe]] [[Datei:Ion Engine Test Firing - GPN-2000-000482.jpg|thumb|right|200px|Ionenantrieb mit Xenon.]] Xenon kann in Lampen als Füllgas verwendet werden, um die Lebensdauer der Wolfrahmdrähte zu erhöhen, und ebenso die Lichtausbeute. Es gibt auch eine Anwendung bei Scheinwerfern, die im Gegensatz zu Glühlampen eine höhere Lichtausbeute bei geringerem Energiebedarf haben. Xenon wird in Excimerlasern verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-bottle.svg| Gasflasche </gallery>{{clear}} ===Ytterbium=== [[Datei:Ytterbium-3.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Ytterbium]] [[Datei:Galissard_de_Marignac.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Galissard de Marignac entdeckte 1878 Ytterbium.]] Ytterbium wird in Spezialstahl, Lasern und Magneten verwendet. Die besten Dauermagnete enthalten Ytterbium. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == Y == ===Yttrium=== [[Datei:Yttrium sublimed dendritic and 1cm3 cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Yttrium]] [[Datei:Gadolinitas.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Yttriummineral]] Im Jahre 1794 wurde in Schweden von Johan Gadolin in der Grube Ytterby ein Erz gefunden, aus dem Yttrium extrahiert wurde. Im Jahre 1824 gewann Friedrich Wöhler daraus das Element Yttrium. Yttrium gehört zu den Seltenen Erden (die gar nicht so selten sind). Man verwendet es für Magnete, Brennstoffzellen und Zündkerzen. Yttriumpulver kann sich in der Lunge ablagern und sie schädigen. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg| Achtung </gallery>{{clear}} == Z == ===Zirconium=== [[Datei:Zirconium crystal bar and 1cm3 cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Zirconium]] [[Datei:Zircon-49506.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Zircon]] Der Edelstein Zirkon kann durch Beimengungen anderer Elemente viele Farben haben: Farblos, Rot, Gelb, Grün, Blau, Braun oder Schwarz. Dieser Edelstein wird seit dem Altertum verwendet. Er kann leicht mit dem Diamanten verwechselt werden und wird von Betrügern teilweise als "echter" Diamant verkauft. Fachleute können ihn leicht unterscheiden, da der Zirkon bei Weitem nicht so hart ist wie der Diamant. Zirconium wird für Stahllegierungen und in Kernkraftwerken eingesetzt. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} <noinclude>{{Navigation Thema| zurücklink= Wikijunior Die Elemente/_Elemente/_Schwefel | hochlink=Wikijunior Die Elemente/_Titelseite| vorlink= Wikijunior Die Elemente/_Elemente/_Silber}}</noinclude> 3ldxpapt5xdvkzqmwq052daqhn2m026 1089928 1089926 2026-08-21T16:42:47Z Hardy42 1911 /* Astat */ :-) 1089928 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{TOC}}</noinclude> Hier sind alphabetisch alle Elemente aufgezählt, zusammen mit einer kurzen Beschreibung, die kein eigenes Kapitel erhalten haben. == A == ===Actinium=== [[Datei:Uraninite-48277.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Actinium wurde in Pechblende nachgewiesen.]] [[Datei:Stamps_of_Germany_(BRD)_1964,_MiNr_441.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Actinium wird in Kernreaktoren erzeugt.]] Das Wort Actinium kommt von dem griechischen Wort für Strahl ("aktis"). Es strahlt so stark, dass man im Dunkel ein blaues Leuchten sehen kann. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte eines radioaktiven Isotops zerfallen ist. Je kürzer die Halbwertszeit, desto stärker strahlt er. langlebigste Radium-Isotop ²²⁶Ra hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren, das langlebigste Actinium-Isotop ²²⁷Ac hat eine Halbwertszeit von 22 Jahren. Diese Zeit ist lang genug, um kleinere Mengen des Stoffes herzustellen. Das gewonnene Actinium strahlt sehr stark. (Isotope, die nur eine Halbwertszeit von einer Sekunde besitzen, können nicht in größeren Mengen hergestellt werden.) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Americium=== [[Datei:Americium_microscope.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Americium]] [[Datei:Americio-alarma.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Der Rauchmelder enthält Americium.]] Americium wird in Kernkraftwerken hergestellt. (Bisher wenige Kilogramm.) Es ist ein radioaktives und spaltbares Element. Das langlebigste Americium-Isotop ²⁴³Am hat eine Halbwertszeit von 7370 Jahren. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Astat=== [[Datei:Mendeleev Photographische Gesellschaft 3.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Im Periodensystem von Dmitri Mendelejew wurde dieses Element eingezeichnet.]] [[Datei:Bismuth-20700.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Wenn man Bismut (Bild) mit Heliumkernen beschießt entsteht Astat.]] Astat wurde im Jahr 1940 von Dale Corson, Kenneth MacKenzie und Emilio Gino Segrè in der Universität von Kalifornien künstlich hergestellt. 1943 entdeckten Berta Karlik und Traude Bernert sein natürliches Vorkommen. Griechisch bedeutet ἀστατέω = „unbeständig sein“. Astat entsteht beim radioaktiven Zerfall von Uran. Astat ist ebenfalls radioaktiv und kann in relevanten Mengen gefährlich werden. Seine Farbe wird teils als schwarz, teils als metallisch beschrieben. Astat ist das seltenste Element auf der Erde. In der gesamten Erdkruste befinden sich nach unterschiedlichen Schätzungen zwischen 0,07 und 25 Gramm Astat. Es ist deshalb so selten, weil es in wenigen Stunden zerfällt. Das macht es wertvoll für die Nuklearmedizin, unter anderem zur Behandlung bösartiger Tumore, vor allem der Schilddrüse. Astat wird bei Bedarf durch den Beschuss von Bismut mit Alphateilchen hergestellt. Schon nach wenigen Stunden ist es aus dem Körper verschwunden. Astat ist ein silbergraues Metall.<ref>Georg Schwedt: Allgemeine Chemie - ein Leselehrbuch. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 9783662542446. S. 87.</ref> <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} == B == ===Barium=== [[Datei:2006_Fireworks_1.JPG|miniatur|hochkant=0.7|left|Bariumfeuerwerk]] [[Datei:Fluorescent_minerals_hg.jpg|miniatur|hochkant=1.5|right|Einige Mineralien fluoreszieren.]] Aus dem Mineral Schwerspat wurde das Element Barium (vom griechischen Wort für schwer) gewonnen. Bariumhaltige Mineralien wurden 1602 von einem italienischen Schuhmacher entdeckt. Dieser Schuhmacher mit dem Namen Vincenzo Casciarolo untersuchte neben seiner Arbeit die Natur. Er entdeckte, dass einige Steine leuchten, wenn man sie für einige Zeit in die Sonne gelegt hatte. Wasserlösliche Bariumverbindungn sind in kleinen Mengen lebenswichtig, in größeren Mengen giftig. Bariumnitrat wird für grünes Feuerwerk verwendet und Bariumcarbonat als Rattengift. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Berkelium=== [[Datei:Berkelium_metal.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|1,7 Mikrogramm Berkelium]] [[Datei:Berkeley_glade_afternoon.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Universität von Kalifornien, Berkeley]] Berkelium wird in Kernreaktoren hergestellt. Es ist ein radioaktives Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Bismut=== [[Datei:Wismut_Kristall_und_1cm3_Wuerfel.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Bismut]] [[File:Paracelsus-03.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Philippus Theophrastus Aureolus Bombastus von Hohenheim, auch Paracelsus genannt.]] Bismut (früher auch Wismuth genannt) wurde von Paracelsus (1493-1541) und kurz darauf von Georgius Agricola (1494-1555) beschrieben. Einige Bismutverbindungen wurden und werden in der Medizin verwendet: Gegen den Erreger von Magengeschwüren, gegen Mundgeruch und als Wundpulver und Hautsalbe gegen Entzündungen, zur Blutstillung und anderem. Mit Hilfe von Bismut kann man eine Legierung herstellen, die bei 70°C schmilzt (Woodsches Metall). Es wird in Sprinklern zum Feuerlöschen verwendet. Aus diesem Metall kann man auch einen Teelöffel herstellen, der in einer Tasse mit heißen Tee schmilzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery> ===Bohrium=== [[Datei:Electron_shell_107_bohrium.png|miniatur|hochkant=0.6|left|Bohrsches Atommodell von Bohrium]] [[Datei:Niels_Bohr.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Niels Bohr]] Dieses künstliche Element wurden nach Niels Bohr benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Brom=== [[Datei:Brom_amp.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Brom]] [[Datei:Bastille 2007-05-06 anti Sarkozy 487645695 abe4befd12 o.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Tränengas]] Brom bedeutet soviel wie "Gestank" (griechisch). Brom ist ein flüssiges, oranges Nichtmetall, bei dem bei Zimmertemperatur ätzende Dämpfe aufsteigen. Im Meerwasser befinden sich erhebliche Mengen an (harmlosem) Bromsalz. Diese Salze werden als Pflanzendünger verwendet. Fotoplatten werden mit Silberbromid beschichtet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-pollu.svg|Umwelt </gallery>{{clear}} == C == ===Cadmium=== [[Datei:NiCd_various.jpg|thumb|left|250px|Batterien enthalten Cadmium (Cd)]] [[Datei:Minolta_View_Meter_9.jpg|thumb|right|250px|Der Belichtungsmesser enthält Cadmium.]] Das Wort Cadmium ist ein altes Wort für Zinkerz, dass in Mittelalter und Altertum teilweise verwendet wurde. Es wurde 1817 unabhängig voneinander von Friedrich Stromeyer und Carl Samuel Hermann aus unterschiedlichen Zinkerzen hergestellt. Verwendet wird es für Solarzellen, Halbleiter, für Nickel-Cadmium-Akkus und auch zum Bau von Regelstäben in Kernkraftwerken. Cadmium und Cadmiumverbindungen sind hochgiftig. Deshalb sind in der EU viele Anwendungen verboten. In Japan hatten ab 1950 Zink-Bergwerke ihr Abwasser in Flüsse geleitet, mit denen Reisfelder gewässert wurden. Die Reisbauern erkrankten. Es traten bei ihnen starke Schmerzen auf. Nierenversagen und Knochenerweichung führte häufig zum Tode. Wegen der starken Schmerzen wurde sie „Aua-Aua-Krankheit“ (Japanisch "Itai-Itai-Krankheit") genannt. <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-pollu.svg|Umwelt Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery>{{clear}} ===Californium=== [[Datei:Californium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Californium]] [[Datei:CfShield.JPG|miniatur|hochkant=0.6|right| In diesem 50t schweren Behälter wird 1g Californium transportiert.]] Californium ist ein radioaktives Element, das in Kernreaktoren entsteht. Das Californium-Isotop ²⁵²Cf sendet beim Zerfall Neutronen aus. Diese Neutronen werden benutzt bei Krebsbehandlungen, für Materialuntersuchungen in der Industrie, bei der Suche nach Erdöl, in Kernreaktoren und für den Bau von Atombomben. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Caesium=== [[Datei:Cesium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Caesium wird unter Luftabschluss gelagert.]] [[Datei:Atomic_Clock-Louis_Essen.jpg|miniatur|hochkant=1.5|right|Caesium gibt den Takt der Atomuhr an.]] Caesium hat besondere Eigenschaften: * Es ist das reaktivste Metall. Es brennt explosionsartig, wenn es mit Luft in Berührung kommt. * Es ist das weichste Metall. * Es ist das schwerste stabile Alkalimetall. * Es ist eines der wenigen goldfarbenden Metalle. * Es hat, nach Quecksilber, den zweitniedrigsten Schmelzpunkt aller Metalle. * Es ist das "pünktlichste" ;-) Element. Caesium wird in Atomuhren eingesetzt. Die Sekunde wird mit Caesiumuhren bestimmt. Caesium wurde 1861 von Robert Wilhelm Bunsen und Gustav Robert Kirchhoff anhand seiner blauen Spektrallinien in Quellwasser entdeckt. Sie benannten das Element nach dem lateinischen Wort für himmelblau ("caesius"). Carl Setterberg hat 1881 erstmals reines Caesium hergestellt. Caesium wird für Ionenantriebe von Raketen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend </gallery>{{clear}} ===Cer=== [[Datei:CE2k2g.jpg|miniatur|hochkant=0.7|left|Cer]] [[Datei:Feuerzeug_Funken.jpg|miniatur|hochkant=0.7|right|Funkenregen]] Dieses Element wurde 1803 parallel von verschiedenen Wissenschaftlern entdeckt. ( Jöns Jacob Berzelius, Wilhelm von Hisinger, Martin Heinrich Klaproth). Carl Gustav Mosander hat 1825 erstmalig reines Cer hergestellt. Das Wort Cer stammt, wie der kurz zuvor entdeckte Planet Ceres, von der römischen Göttin für Ackerbau und Fruchtbarkeit Ceres. Cer erzeugt bei Reibung leicht Funken, die kleinere Cerkrümel entzünden können. Es wird deshalb für Feuerzeuge und auch im Film zur Herstellung eines eindrucksvollen Funkenregens eingesetzt. Eisenlegierungen, die Cer enthalten sind sehr dehnbar. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} === Copernicium === [[Datei:De_Revolutionibus_manuscript_p9b.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Seite aus Kopernikus’ Manuskript über „Die Erde kreist um die Sonne“.]] [[Datei:Copernicus-Boissard.gif|miniatur|hochkant=0.6|right|Nikolaus Kopernikus (1473–1543]] Dieses nach Nikolaus Kopernikus benannte Element wurde künstlich hergestellt und erforscht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Curium=== [[Datei:Cm-Fluoreszenz.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Curium, genauer Cm(III)-Ionen, fluoreszieren (leuchten orange).]] [[Datei:Pierre_and_Marie_Curie.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Pierre und Marie Curie]] Curium ist ein künstliches Element, das in Kernreaktoren hergestellt wird. Es ist radioaktiv und spaltfähig. Dieses Element wurde nach Pierre und Marie Curie benannt. Den beiden Wissenschaftler sind viele Erkenntnisse zum Aufbau unserer Materie zu verdanken. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == D == ===Darmstadtium=== [[Datei:Isotopes_and_half-life.svg|miniatur|hochkant=0.5|left|Nuklidkarte mit farblich gekennzeichneter Größenordnung der Halbwertszeit]] [[Datei:Peter_Stehlik_2010.04.05_012.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Kongresszentrum darmstadtium]] Darmstadtium ist ein künstliches Element, dass 1994 in Darmstadt hergestellt wurde. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Dubnium=== [[Datei:257Db_decay_scheme.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Zerfallsschema von Dubnium]] [[Datei:Dubna.house_of_scientiests.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Das Haus der Wissenschaftler in Dubna]] Dubnium / Db wird künstlich erzeugt, indem man Atomkerne zusammenschießt. Es gibt mehrere Möglichkeiten Dubnium herzustellen: :<math>\mathrm{{}^{243}_{\ 95}Am + {}^{22}_{10}Ne \rightarrow 5\, {}^1_0n + {}^{260}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{243}_{\ 95}Am + {}^{22}_{10}Ne \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 98}Cf + {}^{15}_{\ 7}N \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{260}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{250}_{\ 98}Cf + {}^{15}_{\ 7}N \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 97}Bk + {}^{16}_{\ 8}O \rightarrow 4\, {}^1_0n + {}^{261}_{105}Db}</math> :<math>\mathrm{{}^{249}_{\ 97}Bk + {}^{18}_{\ 8}O \rightarrow 5\, {}^1_0n + {}^{262}_{105}Db}</math> <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Dysprosium=== [[Datei:Dysprosium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Dysprosium]] [[Datei:SIMSDY.JPG|miniatur|hochkant=1.3|right|Spektrum von Dysprosium]] Dieses Element benannte man nach dem griechischen Wort für schwer zugänglich (dysprósitos). Das hat folgende Ursache: Dysprosium gehört zu den Seltenen Erden. Die Seltenen Erden reagieren chemisch sehr ähnlich. In der Natur findet man sie meistens miteinander vermischt. Es ist schwer, sie zu trennen. Der Entdecker dieses Elements, Paul-Émile Lecoq de Boisbaudran fand Dysprosium im Jahre 1886 mit Hilfe der Spektralanalyse. Aber er fing nur das Licht auf, das dieses Element aussendet, rein gewinnen konnte er es nicht. Erst 1906 gelang es Georges Urbain das Element zu gewinnen. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == E == ===Einsteinium=== [[Datei:Einsteinium_triiodide_by_transmitted_light.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Einsteiniumiodid sendet Licht aus.]] [[Datei:Einstein1921_by_F_Schmutzer_2.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Albert Einstein, 1921]] Einsteinium entsteht in Kernkraftwerken und bei der Explosion von Wasserstoffbomben. Dieses Element wurde nach Albert Einstein benannt, dem Entwickler der Relativitätstheorie. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Erbium=== [[Datei:Erbium.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Erbium]] [[Datei:ErOPulver.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Erbiumoxid]] Erbiumoxid wird, wie auch einige andere Seltene Erden, zum Färben von Glas und Keramik verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Europium=== [[Datei:Eu-Block.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Europium]] [[Datei:050euro-uv.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Im UV-Licht leuchtet der Euroschein.]] Passenderweise wird Europium als Fälschungsschutz in Euro-Banknoten verwendet. Im UV-Licht fluoresziert es. Europium wurde auch in Bildschirmen und Quecksilberdampf-Lampen eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == F == ===Fermium=== [[Datei:Ivy_Mike_-_mushroom_cloud.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Spuren von Fermium befinden sich in der Wolke der 1952 gezündeten Wasserstoffbombe.]] [[Datei:Elutionskurven_Fm_Es_Cf_Bk_Cm_Am.png|miniatur|hochkant=0.8|right|Chromatographischer Nachweis von Fermium.]] Fermium ist radioaktiv und seine Isotope besitzen eine kurze Halbwertszeit (maximal 100 Tage). Fermium wurde bei der Explosion von Atombomben, in Kernkraftwerken und im Labor erzeugt. Aus kleinen Atomen kann man durch Hinzufügen von Teilchen (Neutronen) größere Atome herstellen. Dieser Vorgang vollzieht sich in der Natur in Sternen und vor allem bei Sternexplosionen (->Supernova). So sind aus den kleinen Wasserstoffatomen die anderen Elemente entstanden. Im Labor kann man diesen Vorgang nachvollziehen. Bis zum Element Fermium können die Atome Neutronen aufnehmen und größer werden. Die schwereren Elemente zerfallen beim Hinzufügen von Neutronen sofort. Noch schwerere Elemente kann man nur herstellen, indem man zwei Atomkerne aufeinander schießt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Flerovium=== [[File:RUSMARKA-1660.jpg|thumb|Russische Briefmarke]] Nur wenige Atome Flerovium wurden hergestellt. Es wurde nach Georgi Nikolajewitsch Fljorow benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Francium=== [[Datei:Uraninite-39029.jpg|miniatur|hochkant=0.4|left|Uranit enthält Spuren von Francium]] [[Datei:Electron shell 087 Francium.svg|miniatur|hochkant=0.8|right|Elektronenschalen von Francium]] Francium hat ein Elektron auf der Außenschale und ist deshalb ein Alkalimetall. Seine Eigenschaften kann man deshalb vorhersagen, aber kaum überprüfen, da es nur winzige Mengen dieses Elementes gibt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == G == ===Gadolinium=== [[Datei:Gadolinium.jpg|thumb|left|hochkant=0.7|Gadolinium]] [[Datei:Lepersonnite-(Gd)-Studtite-Curite-201137.jpg|thumb|right|hochkant=0.9|Lepersonnit bildet gelbe Kristalle.]] Gadolinium ist ein seltenes Element. Das Mineral Lepersonnit-(Gd) enthält dieses Element. Dieses Mineral hat eine komplexe chemische Zusammensetzung: Ca(Gd,Dy)₂(UO₂)₂₄(SiO₄)₄(CO₃)₈(OH)₂₄ · 48 H₂O. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Gallium=== [[Datei:Gallium_crystals.jpg|thumb|left|hochkant=0.9|Gallium.]] [[Datei:Blue LED and Reflection.jpg|thumb|right|hochkant=0.9|LEDs (Leuchtdioden) enthalten Gallium.]] Gallium ist ein seltenes, silberweißes Metall. Pro Jahr werden ca. 100&#8239;t davon produziert. Es wird für die Produktion von Leuchtdioden und Solarzellen verwendet. Paul Émile Lecoq de Boisbaudran hat 1875 dieses Element erstmalig hergestellt. Bei der Namensgebung schlug er zwei Fliegen mit einer Klappe: er benannte den Stoff sowohl nach seinem Land wie auch nach sich selbst: sowohl "Frankreich" (Gallien) als auch "Lecoq" (Hahn) heißen auf Latein "Gallus". <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-exclam.svg| Achtung </gallery>{{clear}} ===Germanium=== [[Datei:Winkler preparate 1886 1904.png|miniatur|hochkant=0.8|left|Von Winkler hergestelltes Germanium]] [[Datei:Germanium.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Germanium]] Das Halbmetall Germanium wird für den Bau von Transistoren verwendet. 1886 stellte der deutsche Chemiker Clemens Winkler Germanium an der Bergakademie in Freiberg her. Er benannte es nach dem lateinischen Namen seines Heimatlandes. Achtung: Germaniumpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == H == ===Hafnium=== [[Datei:Hafnium_ebeam_remelted.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Hafnium]] [[Datei:SS-571-Nautilus-trials.gif|miniatur|hochkant=0.9|right|Nautilus, das erste Atom-U-Boot]] Hafnium verbrennt mit sehr hellem Licht und wird in speziellen Blitzlampen verwendet. Hafniumelektroden werden zum Schweißen verwendet. Einige Hafniumverbindungen sind sehr hart. Hafnium wird in größeren Mengen in Steuerstäben der Kernreaktoren für Atom-U-Boote verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Hassium=== [[Datei:2008-Z6-Targetkammer_GSI-Darmstadt.JPG|miniatur|hochkant=0.8|left|Targetkammer]] [[Datei:Model of GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Model of GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung]] Hassium ist ein künstlich hergestelltes Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Holmium=== [[Datei:Holmium_1.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Holmium]] [[Datei:KL_Bubble_Memory_MemTech.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Magnetblasenspeicher]] Holmium wird für Hochleistungsmagnete, in Lasern und für Steuerstäbe in Brutreaktoren verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == I == ===Indium=== [[Datei:Indium_wire.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Indiumdraht.]] [[Datei:Uvled_highres_macro.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right| Leuchtdiode enthält Indium]] Indium sendet Licht mit einer blauen, indigofarbenen Spektrallinie aus. Es wurde 1863 von Ferdinand Reich und Theodor Richter entdeckt. Da wenig Indiumlagerstätten bekannt sind und viel Indium verbraucht wird, ist es das Metall, das möglicherweise als erstes nicht mehr in ausreichender Menge vorhanden sein wird. Es wird in Flugzeugen, Kernkraftwerken und Transistoren eingesetzt. Das Metall brennt nicht, das Pulver ist brennbar. Indium kann bei Embryos Wachstumsstörungen hervorrufen. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Iridium=== [[Datei:Iridium pellet.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Iridium]] [[Datei:Various_dinosaurs.png|miniatur|hochkant=1.2|right|Skelette von Dinosauriern]] Iridium ist schwer und befindet sich deshalb im Erdkern und in einigen Meteoriten. Am Ende der Kreidezeit sind die Dinosaurier und viele andere Lebewesen ausgestorben. Die Ablagerungen der Sedimentschicht, die das Ende der Kreidezeit markiert, enthält viel Iridium. Ein Hinweis auf einen gewaltigen Meteoriteneinschlag. Der Einschlagskrater befindet sich in Mexiko. Iridium hat seinen Namen vom griechischen Wort für Regenbogen (Iris). Es wird in Legierungen verwendet, die besonders hart sein müssen, wie beispielsweise die Kugel vom Kugelschreiber. Es wird auch für Zündkerzen, Schmuck, als Katalysator und für UV-Beschichtungen von Sonnenbrillen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery> == K == ===Krypton=== [[Datei:Krypton_discharge_tube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Lampe enthält Krypton]] [[Datei:Geiger_counter.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Der Geigerzähler enthält Krypton]] Krypton (Ordnungszahl 26) gehört zu den seltensten Elementen und konnte nur unter großem Aufwand in winzigen Mengen gewonnen werden. Die Entdecker Ramsay und Travers nannten es daher nach dem griechischen Wort kryptós, was „verborgen“ bedeutet. Krypton wird in Halogenlampen verwendet. Obwohl Krypton ein Edelgas ist, kann es Verbindungen eingehen (Kryptondifluorid). Das für Superman gefährliche Kryptonit wird aus einem ausgedachten Element namens Kryptonium (Ordnungszahl 126) hergestellt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-bottle.svg| Gasflasche </gallery>{{clear}} == L == ===Lanthan=== [[Datei:Lanthan_1.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Lanthan]] [[Datei:Cereisenstein.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Diese Zündsteine enthalten Lanthan]] Lanthan (griech. λανθάνειν, lanthanein, „verborgen sein“) wurde 1839 vom schwedischen Chemiker Carl Gustav Mosander entdeckt. Er züchtete 1839 Kristalle aus Cernitrat. Zu seiner Überraschung bildeten sich noch eine andere Kristallform. Im Cernitrat war offensichtlich ein anderes Element versteckt. Mosander nannte es nach dem griechischen Wort für "versteckt" Lanthan. Es wird in Gläsern und in Zündsteinen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Lawrencium=== [[Datei:Cyclotron_at_CSI.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Zyclotron]] [[Datei:LawrenceCyclotronMagnet.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Magnet für ein Zyclotron]] Lawrencium, benannt nach dem Erfinder des Zyclotrons wird hergestellt, indem man Atomkerne in einem Zyclotron zusammenprallen lässt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Livermorium=== Nur wenige Atome Livermorium wurden hergestellt. Das Element wurde nach dem Lawrence Berkeley National Laboratory (LLNL) in Kalifornien, USA benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Lutetium=== [[Datei:Lutetium_sublimed_dendritic_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Lutetium]] [[Datei:Hexagonal_dichteste_Kugelpackung.png|miniatur|hochkant=0.6|right|Kristallstruktur von Lutetium]] Lutetium ist schwer zu gewinnen und damit teuer. Es wird nicht großtechnisch sondern meist nur für wissenschaftliche Experimente eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == M == ===Meitnerium=== [[Datei:Nova Laserdisk inside A315 amplifier.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|PHELIX-Laser]] [[Datei:Lise_Meitner_(1878-1968),_lecturing_at_Catholic_University,_Washington,_D.C.,_1946.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Lise Meitner 1946]] Meitnerium ist ein künstlich hergestelltes Element. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Mendelevium=== [[Datei:Berkeley_60-inch_cyclotron.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|In diesem Zyclotron wurde Mendelevium hergestellt.]] [[Datei:Zyklotron Prinzipskizze02.svg|miniatur|hochkant=0.8|right|Diese Zeichnung zeigt die Funktionsweise eines Zyclotrons.]] Mendelevium, benannt nach Dmitri Iwanowitsch Mendelejew, wird hergestellt, indem man Atomkerne zusammenprallen lässt. Dafür wird Einsteinium²⁵³Es in einem Zyklotron mit beschleunigten Heliumkernen⁴He beschossen. Dabei entsteht Mendelevium²⁵⁶Md und ein Neutron. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Molybdän=== [[Datei:Molybdenum_crystaline_fragment_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Molybdän]] [[Datei:MoCo-prokaryotes.svg|miniatur|hochkant=1.1|right|Dieser Biokatalysator enthält Molybdän.]] Molybdän wurde nach dem griechischen Namen von Blei benannt. Molybdän verträgt hohe Temperaturen und wird für Stahllegierungen verwendet. Es wird in der Erdölindustrie als Katalysator verwendet. Auch viele Lebewesen benutzen Molybdän in Bio-Katalysatoren. So stellen einige Bakterien aus Luftstickstoff Dünger her. Dazu benötigen sie Molybdän (Formel Mo). (s. Bild) Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Moscovium=== [[File:RedSquare2019.jpg|thumb|Moskau]] Nur wenige Atome Moscovium wurden hergestellt.Das Element wurde nach der Stadt Moskau benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == N == ===Neodym=== [[Datei:Neodym_1.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Neodym]] [[Datei:NdCl3 hood.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Neodym-Verbindung]] Neodym – der „Neue Zwilling“ – ist einer von mehreren chemisch einander ähnlichen Stoffen. Neodym kann, wie seine Zwillinge für Magnete verwendet werden. Neodympulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Neptunium=== [[Datei:Np_sphere.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Neptunium (glänzend) in Schalen aus Uran (schwarz angelaufen).]] [[Datei:PIA02224-browse.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Bild von Voyager 2 vom Planeten Neptun.]] Neptunium entsteht in Kernreaktoren und kann als Brennmaterial in Kernreaktoren und auch zum Bau von Atombomben verwendet werden. Es gibt ungefähr 20 verschiedene Neptunium-Isotope. Das langlebigste Isotop ist ²³⁷Np mit einer Halbwertszeit von 2,144 Mio. Jahren. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Nihonium=== [[File:Kosuke Morita and Hiroshi Matsumoto cropped Hideto Enyo Kosuke Morita Koji Morimoto and Hiroshi Matsumoto 20161201.jpg|thumb|Kosuke Morita und Hiroshi Matsumoto]] Wenige Atome Nihonium wurden künstlich hergestellt. Nihon bedeutet auf japanisch "Japan" (Japan). Nach der Entdeckung bekam das Element zunächst den systematischen Namen Ununtrium (chemisches Symbol Uut), eine Bildung aus lateinisch unum für ‚eins‘ und lateinisch tria für ‚drei‘, entsprechend der Ordnungszahl 113. Es wurde auch als Eka-Thallium bezeichnet, zusammengesetzt aus Sanskrit eka für ‚eins‘ und Thallium, mit Bezug auf seine Einordnung im Periodensystem ‚eine Stelle unterhalb des Thalliums‘. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Niob=== [[Datei:25_Euro_Österreich_2012_Bionik_a.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Die Mitte enthält Niob.]] [[Datei:Apollo_CSM_lunar_orbit.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Die Düse enthält Niob.]] Die Elemente Niob und Tantal kommen in Erzen immer zusammen vor. Dieses Element wurde nach Niobe, der Tochter des Tantalus, benannt. Dieses Element wurde unabhängig von zwei Chemikern untersucht und unterschiedlich benannt: Charles Hatchett (1801) Heinrich Rose (1844). Für die Benennung der Elemente ist die IUPAC zuständig. Erst 1950 einigt man sich auf den Namen Niob. Niob dient als Stahllegierung und wird in Schmuck und Münzen eingesetzt. Niob brennt nicht, aber Niobpulver ist brennbar. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Nobelium=== [[Datei:27-inch_cyclotron.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Nobelium wird in einem Zyklotron erzeugt.]] [[Datei:AlfredNobel_adjusted.jpg|miniatur|hochkant=0.5|right|Alfred Nobel]] Vom Element Nobelium wurden bisher nur wenige tausend Atome hergestellt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == O == ===Oganesson=== [[File:Yuri Oganesyan.png|thumb|Yuri Oganesyan]] Von dem Element Oganesson wurden nur wenige Atome hergestellt. Es wurde nach Juri Zolakowitsch Oganesjan benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Osmium=== [[Datei:Osmium_cluster.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Osmium]] [[Datei:Prosthetic Cardiac Ball Valves.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Künstliche Herzklappen]] Osmium ist haltbar, hart und Hitzebeständig, aber auch recht teuer. Einige künstliche Herzklappen enthalten eine Osmiumlegierung. Früher wurde es wie auch Wolfram in Glühbirnen verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == P == ===Palladium=== [[Datei:Palladium 1-noReflection.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Palladium]] [[Datei:Pot_catalytique_vue_de_la_structure.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right| Autokatalysator]] Palladium erhielt seinen Namen nach dem kurz zuvor entdeckten Asteroiden Pallas, der wiederum nach der griechischen Göttin Pallas Athene benannt worden war. William Hyde Wollaston, der Namensgeber, hatte im Jahre 1803 das Element aus Platinerz extrahiert. Palladium wird als Katalysator eingesetzt. So zerstört es im Auspuff des Autos giftige Gase. Gute Weißgold-Legierungen enthalten neben Gold das Palladium. Man verwendet Weißgold für Münzen, Zahnkronen und Schmuck. Erstaunlicherweise hat das feste Metall Palladium im Inneren Hohlräume. Wasserstoffgas kann deshalb durch heiße Palladiumbleche wie durch ein Sieb durchströmen und so von anderen Gasen getrennt werden. Legt man ein Palladiumstück in eine Druckgasflasche und füllt sie mit Wasserstoff, so saugt sich das Palladium mit dem Wasserstoff voll, wie ein Schwamm. Ein Liter Palladiumlösungen kann dreitausend Liter Wasserstoff speichern. (Tank für Wasserstoffautos.) Palladiumstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} ===Polonium=== [[Datei:Pitchblende_schlema-alberoda.JPG|miniatur|hochkant=0.8|left|Das Mineral Pechblende enthält Polonium.]] [[Datei:Physicist Studying Alpha Rays GPN-2000-000381.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Polonium in einer Nebelkammer. Die radioaktive Strahlung erzeugt Nebelspuren.]] Radioaktive Elemente verwandeln sich in andere, leichtere Elemente. Dabei senden sie Strahlung aus. In einigen Bergwerken atmen Bergleute das radioaktive Gas Radon ein. Radon verwandelt sich beim Zerfall in das Metall Polonium. Polonium kann Lungenkrebs auslösen. In den Atombomben die Hiroshima und Nagasaki zerstört haben, wurde es als Neutronenquelle verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Praseodym=== [[Datei:Praseodymium(III)-chloride-heptahydrate.jpg|miniatur|hochkant=0.9|left|Praseodym - Verbindung]] [[Datei:Praseodym_1.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Praseodym]] "Lauchgrüner Zwilling" heißt die Übersetzung des Namens dieses Elements. Wenn man die abgebildete Praseodym-Verbindung betrachtet wird die Bezeichnung lauchgrün (griechisch: prásinos) klar. Aber was hat es mit dem Wort Zwilling (griechisch: didymos) auf sich? Im Jahre 1874 erkannte Per Teodor Cleve, dass es sich bei dem von Carl Gustav Mosander gewonnenen Stoff um zwei verschiedene Stoffe handelte, die einander fast wie Zwillinge gleichen. Praseodym wird zum Bau von starken Magneten verwendet. Praseodympulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Promethium=== [[Datei:Heracles freeing Prometheus, relief from the Temple of Aphrodite at Aphrodisias.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Prometheus brachte den Menschen das Feuer der Götter. Als Strafe wurde er angekettet aber, wie hier dargestellt, von Herakles befreit.]] [[Datei:A-Bomb Dome close-up.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Bild der Hiroshimakuppel.]] Promethium entsteht durch den radioaktiven Zerfall anderer Elemente wie Uran. Auf der ganzen Erde gibt es, fein verteilt, ca. 570g Promethium. (Die Menge wurde nicht etwa gefunden, sondern lediglich rechnerisch bestimmt.) In Kernkraftwerken wurde in den letzten Jahrzehnten soviel Promethium hergestellt, dass man chemische Experimente damit durchführen konnte. Promethium ist ein silbriges Schwermetall, das ähnlich reagiert wie Neodym. Einige Erbauer der Atombombe sahen sich selber in der Rolle des Prometheus: Sie brachten der Menschheit das nukleare Feuer. (Nachzulesen bei Richard P. Feynman.) Die Entdecker dieses Elementes hatten dagegen eine andere Intention: Sie benannten das Element als Warnung vor dem nuklearen Wettrüsten nach Prometheus. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Protacinium=== [[Datei:Uraninite-179869.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Uranit]] [[Datei:Otto_Hahn_und_Lise_Meitner.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Otto Hahn und Lise Meitner, 1913]] Im Mineral Uranit zerfällt das Element Uran und es entsteht kurzzeitig das Element Protacinium (^234''m''Pa) das rasch (Halbwertszeit: 1,17 Minuten) in Actinium zerfällt. Dieses Isotop wurde wurde 1913 von Kasimir Fajans und Oswald Helmuth Göhring entdeckt. Ein langlebiges Isotop des Elements Protacinium (²³¹Pa) wurde 1918 von Otto Hahn und Lise Meitner entdeckt. (Halbwertszeit: 32.760 Jahre) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == R == ===Radium=== [[Datei:Uraninite-225146.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Uranit enthält Radium.]] [[Datei:Radium-palp.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Im Jahre 1925 gab es radiumhaltige Kosmetika]] Radium kommt vom lateinischen Wort für Strahl ("radius"). Das Element Radium zerfällt und sendet dabei Alphastrahlen (Heliumatomkerne), Betastrahlen (Elektronen) und Gammastrahlen (Röntgenlicht) aus. Alle Elemente die solche Strahlen aussenden werden als radioaktiv bezeichnet. Radium wurde zunächst als Medikament und in Kosmetika eingesetzt. Es dauerte etliche Jahre, bis die Gefährlichkeit der radioaktiven Strahlung erkannt wurde und fast dreißig Jahre, bis Radium nicht mehr dafür verwendet wurde. Radium wurde von Henri Becquerel entdeckt und von Marie und Pierre Curie genau untersucht. (Sie starben an den Folgen der Strahlung.) <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Rhenium=== [[Datei:Rhenium_single_crystal_bar_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Rhenium]] [[File:TurbineBlades.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right|Turbinenschaufeln]] Rhenium, nach dem lateinischen Wort für den Fluss Rhein (rhenus), wird Legierungen zugesetzt um sie zu verbessern. Turbinenschaufeln können sich durch die hohen Kräfte verformen (Fachbegriff: "kriechen") oder sogar brechen (Fachbegriff: "ermüden"). Themoelemente werden aus einer Legierung aus Platin und Rhenium hergestellt. Mit ihnen kann man hohe Temperaturen (bis 2200°C) messen. Es wird auch für Heizdrähte und Glühlampen verwendet. Rheniummetall brennt nicht, aber Rheniumpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Rhodium=== [[Datei:Rhodium_powder_pressed_melted.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Rhodiumpulver ist brennbar.]] [[Datei:White-gold--rhodium-plated.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right| Weißgoldring mit Rhodiumbeschichtung]] In Platinerzen befinden sich häufig chemisch ähnliche Elemente. 1803 hat William Hyde Wollaston aus Platinerz Rhodium extrahiert. Es wird als Katalysator und als Beschichtung von Schmuck verwendet. Eine dünne Schicht aus Rhodium verhindert, dass Metalle schwarz anlaufen und es glänzt silbrig. Man kann Rhodium auch zur Herstellung von Spiegeln verwenden. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Roentgenium=== [[Datei:Part_of_UNILAC_GSI.jpg|miniatur|hochkant=0.6|left|Originalteil des 120 Meter langen UNILAC]] [[Datei:Wilhelm_Conrad_Röntgen-cropped.JPG|miniatur|hochkant=0.6|right|Wilhelm Conrad Röntgen]] Roentgenium ist ein künstlich hergestelltes Element. Es wurde nach Wilhelm Conrad Röntgen benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Rubidium=== [[Datei:Rubidium amp.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Rubidium wird unter Sauerstoffabschluss gelagert.]] [[Datei:Kirchhoff Bunsen Roscoe.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Kirchhoff Bunsen Roscoe 1862 (von links)]] Alle Atome senden ein für sie typisches Licht aus. Rubidium sendet ein violett-rotes Licht aus. Anhand dieses Lichtes haben 1861 Robert Wilhelm Bunsen und Gustav Kirchhoff Rubidium entdeckt. Bunsen hat daraufhin aus 44200 l Quellwasser 9 g Rubidiumsalz extrahiert. (Das lateinische Wort für rot lautet "rubidus". Auch der Edelstein Rubin hat daher seinen Namen.) Rubidium wird für wenige Anwendungen wie beispielsweise für einige Vakuumröhren verwendet. An der Luft fängt Rubidium an zu brennen, wenn man es mit Wasser löscht gibt es eine Explosion. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-acid.svg|ätzend </gallery>{{clear}} ===Ruthenium=== [[Datei:Ruthenium_a_half_bar.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Ruthenium]] [[Datei:3_Resistors.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Diese Widerstände enthalten Ruthenium.]] Ruthenium wurde vom Entdecker des Elements, Karl Ernst Claus, nach dem lateinischen Namen für Russland (ruthenia) benannt. Winzige Mengen dieses Stoffes verbessern die Qualität von Stahllegierungen und schützt sie vor dem Verrosten. Ruthenium wird auch zur Herstellung von Festplatten und als Katalysator verwendet. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Rutherfordium=== [[Datei:Electron_shell_104_rutherfordium.png|miniatur|hochkant=0.5|left|Atommodell von Rutherfordium]] Rutherfordium ist ein künstlich hergestelltes Element, das eine kurze Halbwertszeit besitzt. Es wurde nach Ernest Rutherford benannt, der mit einem einfachen Atommodell einen Anstoß zur Entwicklung weiterer Atommodelle gegeben hat. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> == S == ===Samarium=== [[Datei:Samarium_1.jpg|miniatur|hochkant=0.7|left|Samarium]] [[Datei:Festplatte.JPG|miniatur|hochkant=0.7|right|Samarium-Cobald-Magnete werden in Festplattenlaufwerken verwendet.]] Samarium wird aus dem Mineral Samarskit gewonnen. Dieses Mineral wurde 1847 nach dem Bergbauingenieur benannt, der es entdeckt hatte. Elemente wurden in der Vergangenheit häufig nach griechischen und römischen Gottheiten benannt. Dieses Element war das erste, das nach einem Menschen benannt wurde. Das Mineral Samarskit enthält Uran und wurde deshalb in beträchtlichen Mengen gefördert. Das Nebenprodukt Samarium wird in Lasern, Magneten und als Katalysator verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Scandium=== [[Image:Scandium sublimed dendritic and 1cm3 cube.jpg|thumb|left|300px|Scandium.]] [[Datei:Schlaegel_und_Eisen_nach_DIN_21800.svg|thumb|right|150px|Schlägel und Eisen]] Das Element Scandium wurde entdeckt, weil im Periodensystem von Mendelejew ein Element angezeigt wurde, das man bisher nicht kannte. Lars Fredrik Nilson suchte gezielt danach und fand es 1879. Es wird in Quecksilberdampflampen verwendet. Achtung: Scandiumpulver brennt leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Seaborgium=== [[Datei:ElementeAlchemisten.svg|miniatur|hochkant=0.6|left|Elementsymbole der Alchemisten]] [[Datei:Seaborg in lab.jpeg|miniatur|hochkant=0.6|right|Glenn T. Seaborg]] Dieses künstlich hergestellte Element wurde nach Glenn T. Seaborg benannt. Seaborg ist es 1980 gelungen Goldatome herzustellen. Dieses Ziel verfolgten schon die Alchimisten. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Selen=== [[Datei:Selen_1.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Selen (schwarz, grau, rot]] [[Datei:Selen-Gleichrichter.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right| Selen-Gleichrichter]] Selen ist ein Halbmetall und kommt in drei Formen (Modifikationen) vor: Es gibt silbergraues metallisches Seien, schwarzes nichtmetallisches Selen und rotes nichtmetallisches Selen. Es wurde wurde 1817 von Jöns Jakob Berzelius entdeckt. Das Wort "Selen" kommt vom griechischen Namen des Mondes "Selene". Es wird für den Bau von Halbleitern und für Belichtungsmesser verwendet. In geringen Spuren ist Selen lebenswichtig, in größeren Mengen akut giftig. Selen kann auch erhebliche Organschädigungen (Leber, Herz) hervorrufen. <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery>{{clear}} ===Strontium=== [[Datei:Strontium destilled crystals.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Strontium in Glasampulle]] [[Datei:Firework by alchimista.JPG|miniatur|hochkant=1.1|right|Strontium färbt Flammen rot.]] Ein strontiumhaltiges Mineral wurde 1790 von Adair Crawford in Strontian (Schottland) entdeckt und untersucht. Strontiumsalz wird in der Aluminiumindustrie und zu Herstellung von Feuerwerkskörpern verwendet. Teilweise ist es in entzündungshemmender Zahnpasta zu finden. Strontium wird auch in einigen Vakuumröhren benutzt. Pro Jahr werden ca. 500 000 t Strontiumsalz gefördert. Strontiumbrände können weder mit Wasser noch mit Kohlendioxid gelöscht werden. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} == T == ===Tantal=== [[Datei:Tantalum_single_crystal_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Tantal]] [[Datei:Tantal-Elko-Bauformen.jpg|miniatur|hochkant=1.4|right|Tantal-Kondensatoren]] Tantal reagiert kaum, es ist weitgehend chemisch inert. Tantaloxid reagiert weder mit Wasser noch mit Säuren. Man könnte im übertragenen Sinne sagen, Tantaloxid ist nicht in der Lage, seinen Durst zu löschen. In der griechischen Mythologie konnte der böse Tantalos als Strafe für seine Untaten seine Durst nicht löschen. Nach ihm wurde deshalb dieses Element benannt. Tantalpulver brennt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Technetium=== [[Datei:UraniumUSGOV.jpg|miniatur|hochkant=1.3|left|Uranerz enthält Technetium.]] [[Datei:Brennelement-Kernkraftwerk.jpg|miniatur|hochkant=0.7|right|Im Brennelement entsteht Technetium.]] Dieses Element wurde 1925 in Mineralien entdeckt. Technetium ist das erste (1937) künstlich hergestellte Element und erhielt seinen Namen nach dem griechischen Wort für künstlich (τεχνητός / technētós). In Kernkraftwerken bildet sich Technetium als radioaktiver Abfall. Bis heute haben sich ca. 80 t Technetium angesammelt. Einige seiner Isotope besitzen eine Halbwertszeit von ca. 200 000 Jahren. In geringen Mengen wird es in der Nuklearmedizin eingesetzt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Tellur=== [[Datei:Tellur_Typmaterial.jpg|thumb|left|hochkant=0.8|Tellur]] [[Datei:Nalleja.jpg|miniatur|hochkant=0.8|right| Einige Sprengkapseln enthalten Tellur.]] Tellur kommt vom lateinischen Wort "tellus" was Erde bedeutet. Es wurde 1782 von Franz Joseph Müller von Reichenstein hergestellt. Es wird als Zusatz zu Legierungen und das Oxid als Glas verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig </gallery>{{clear}} ===Tenness=== [[File:Seal of Tennessee.svg|thumb|Seal of Tennessee]] Vom Element Tenness wurden nur wenige Atome hergestellt. Es wurde nach Tennessee, USA benannt. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery>{{clear}} ===Terbium=== [[Datei:Terbium.jpg|miniatur|hochkant=0.5|left|Terbium]] [[Datei:MonaziteUSGOV.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Terbium wird aus Monazitesand gewonnen.]] Terbium wird in Magneten und zum dotieren von Halbleitern verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} ===Thallium=== [[Datei:Thallium pieces in ampoule.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Thallium reagiert leicht mit der Luft und korrodiert.]] [[Datei:Warnung-Rattenköder.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Warnung vor Rattengift an einem Zaun.]] Thallium wird für Linsen in Fotokopierern und Fotozellen benutzt. Thallium ist hochgiftig. Möglicher Verlauf einer Vergiftung beim Menschen: 2.-3. Tag: Abwechselnd Durchfall und Verstopfung. 2.Woche: Haarausfall 2.-3. Woche: Sehstörungen, übermäßig starke Schmerzwahrnehmung, Herzrhythmusstörungen, Muskelschwäche (kann zum Tode führen) Nach der Vergiftung bleibt häufig eine dauerhafte Gesundheitsschädigung zurück: Gestörte Reflexe, Muskelschwund. Auch chronische Vergiftungen mit kleinen Mengen bergen eine erhebliche Gesundheitsgefahr! Früher wurde eine Thalliumverbindung als Rattengift verwendet, da es erst verzögert wirkt und die Ratten nicht erkennen, dass die Köder vergiftet sind. (Junge Ratten müssen als "Vorkoster" etwas essen. Wenn sie erkranken, frisst keine andere Ratte davon.) <gallery widths="80px" heights="80px"> Image: GHS-pictogram-skull.svg|akut giftig Image: GHS-pictogram-silhouette.svg|Gesundheitsgefahr </gallery> ===Thorium=== [[Datei:Monazite_-_Rostadheia,_Iveland,_Norvegia_01.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Monazite enthält Thorium.]] [[Datei:Jöns_Jakob_Berzelius.jpeg|miniatur|hochkant=0.6|right|Jöns Jakob Berzelius]] Elemente können im Atomkern eine unterschiedliche Anzahl von Neutronen besitzen. Man bezeichnet sie als Isotope. Chemisch gesehen reagieren sie gleich, aber sie besitzen eine unterschiedliche Lebensdauer. (Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis die Hälfte des vorhandenen Stoffes zerfallen ist.) Isotope mit einer sehr, sehr langen Halbwertszeit unterscheiden sich für den Chemiker nicht von normalen, stabilen Elementen. Man findet Erze, kann sie extrahieren und mit ihnen experimentieren. Thorium wurde im Jahre 1829 von Jöns Jakob Berzelius entdeckt. Es ist ein radioaktives Element. Sein langlebigstes Isotop ²³²Th hat eine Halbwertszeit von 14.050.000.000 Jahren. Wegen der langen Halbwertszeit findet man es auch in der Erde und wegen der langen Halbwertszeit strahlt dieses Thorium-Isotop nur sehr wenig (kleine Dosisleistung). Deshalb hat man die Gefährlichkeit von Thorium falsch eingeschätzt. Auch die Schädlichkeit der radioaktiven Strahlung wurde zunächst nicht erkannt und dann dauerte es noch etliche Jahre, bis die radioaktiven Stoffe nicht mehr in alltäglichen Waren verwendet wurden. Thorium wurde in Glühstrümpfen, Schweißelektroden, Glühelektroden verwendet. Linsen aus Thoriumglas besitzen besondere optische Eigenschaften. Thoriumdioxid wurde sogar als Röntgenkontrastmittel verwendet: Den Patienten wurde vor der Röntgenaufnahme das Kontrastmittel, das ca. 5g Thorium enthielt, in die Adern gespritzt. Viele Patienten erkrankten nach 30-35 Jahren an Krebs. (Das Thorium wird im Körper eingelagert. Es dauert 22 Jahre, bis die Hälfte des eingelagerten Thoriums den Körper verlassen hat: biologische Halbwertszeit.) Thorium eignet sich auch für die Verwendung in Kernkraftwerken. Im Kernkraftwerk wird das Thorium-Isotop ²³²Th mit Neutronen ¹n bestrahlt und verwandelt sich in das Thorium-Isotop ²³³Th. (Rechnung: 232+1=233). Dieses hochradioaktive Thorium-Isotop hat eine Halbwertszeit von 22 Minuten und zerfällt in zwei Schritten zu spaltbaren Uran. Kernkraftwerke die Thorium verwenden erzeugen viel Atommüll und erleichtern den Bau von Atombomben (Fachbegriff: Proliferation). Es ist aber auch möglich mit Hilfe von Thorium atombombenfähiges Plutonium zu vernichten (Stichwort: MOX-Brennelement). <gallery widths="70px" heights="70px"> Image:Radiation warning symbol.svg|radioaktiv </gallery> ===Thulium=== [[Datei:Thulium_sublimed_dendritic_and_1cm3_cube.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Thulium]] [[Datei:Direct-reading_dosimeter.jpg|miniatur|hochkant=0.9|right|Dosimeter]] Thulium ist nach der Insel Thule benannt worden. Diese Insel wurde in der Antike weit im Norden entdeckt und später mit vielen Mythen versehen. Thulium wird in Dosimetern zum Messen von radioaktiver Strahlung verwendet. Es findet auch in Szintillatoren und Lasern Verwendung. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == X == ===Xenon=== [[Datei:Xenon_discharge_tube.jpg|thumb|left|200px|Xenonlampe]] [[Datei:Ion Engine Test Firing - GPN-2000-000482.jpg|thumb|right|200px|Ionenantrieb mit Xenon.]] Xenon kann in Lampen als Füllgas verwendet werden, um die Lebensdauer der Wolfrahmdrähte zu erhöhen, und ebenso die Lichtausbeute. Es gibt auch eine Anwendung bei Scheinwerfern, die im Gegensatz zu Glühlampen eine höhere Lichtausbeute bei geringerem Energiebedarf haben. Xenon wird in Excimerlasern verwendet. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-bottle.svg| Gasflasche </gallery>{{clear}} ===Ytterbium=== [[Datei:Ytterbium-3.jpg|miniatur|hochkant=0.8|left|Ytterbium]] [[Datei:Galissard_de_Marignac.jpg|miniatur|hochkant=0.6|right|Galissard de Marignac entdeckte 1878 Ytterbium.]] Ytterbium wird in Spezialstahl, Lasern und Magneten verwendet. Die besten Dauermagnete enthalten Ytterbium. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg|Achtung </gallery>{{clear}} == Y == ===Yttrium=== [[Datei:Yttrium sublimed dendritic and 1cm3 cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Yttrium]] [[Datei:Gadolinitas.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Yttriummineral]] Im Jahre 1794 wurde in Schweden von Johan Gadolin in der Grube Ytterby ein Erz gefunden, aus dem Yttrium extrahiert wurde. Im Jahre 1824 gewann Friedrich Wöhler daraus das Element Yttrium. Yttrium gehört zu den Seltenen Erden (die gar nicht so selten sind). Man verwendet es für Magnete, Brennstoffzellen und Zündkerzen. Yttriumpulver kann sich in der Lunge ablagern und sie schädigen. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar Image: GHS-pictogram-exclam.svg| Achtung </gallery>{{clear}} == Z == ===Zirconium=== [[Datei:Zirconium crystal bar and 1cm3 cube.jpg|miniatur|hochkant=1.1|left|Zirconium]] [[Datei:Zircon-49506.jpg|miniatur|hochkant=1.1|right|Zircon]] Der Edelstein Zirkon kann durch Beimengungen anderer Elemente viele Farben haben: Farblos, Rot, Gelb, Grün, Blau, Braun oder Schwarz. Dieser Edelstein wird seit dem Altertum verwendet. Er kann leicht mit dem Diamanten verwechselt werden und wird von Betrügern teilweise als "echter" Diamant verkauft. Fachleute können ihn leicht unterscheiden, da der Zirkon bei Weitem nicht so hart ist wie der Diamant. Zirconium wird für Stahllegierungen und in Kernkraftwerken eingesetzt. Metallstücke brennen nicht, Pulver brennt dagegen leicht. <gallery widths="70px" heights="70px"> Image: GHS-pictogram-flamme.svg|entzündbar </gallery>{{clear}} <noinclude>{{Navigation Thema| zurücklink= Wikijunior Die Elemente/_Elemente/_Schwefel | hochlink=Wikijunior Die Elemente/_Titelseite| vorlink= Wikijunior Die Elemente/_Elemente/_Silber}}</noinclude> t74fydk7q28n6ou0g5wa8250ghifzjl 0 63493 1089935 1060036 2026-08-22T06:10:21Z Mjchael 2222 /* Hänsel und Gretel (einfach) */ Stil 1089935 wikitext text/x-wiki == Hänsel und Gretel (einfach) == Das Lied hat nur 5 Töne G A H C D. Als Begleitung werden nur 2 Akkorde gebraucht. D-Dur wird fast immer mit F# im Bass gespielt, schlicht, damit man für die Begleitung noch ein paar Töne im Bass hat. Der Ton F# wurde von der hohen E-Saite auf die tiefe verlagert. Hebst du den kleinen Finger an, erhälst du ein D6 mit F# im Bass. Da H (engl. B) nur einen vorübergehenden Melodieton ist, gibt man die Sexte (6) üblicherweise nicht an. Kommt der Zeigefinger auf den Ton C, erhalten wir ganz analog einen D7 mit F# im Bass. <score> << \new ChordNames { \chordmode { d1 d:/fis d:7/fis d:6/fis }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < a, d a-1 d'-3 fis'-2 > % D < fis,-2 a, d a-3 d'-4 > % D/F# < fis,-2 a, d a-3 c'-1 > % D7/F# < fis,-2 a, d a-3 b > % D6/F# } >> </score> In der ersten Version ist die Melodie wie aus dem Liederbuch. [[Datei:Picking_Haensel_und_Gretel_einfach.pdf]] {{Audio|Picking_Haensel_und_Gretel_einfach.mid| hier das "Picking_Haensel_und_Gretel_einfach" anhören}} {{PDF-Version|Picking_Haensel_und_Gretel_einfach.pdf|hier das PDF zum "Picking_Haensel_und_Gretel_einfach" mit Noten und Tabulatur herunterladen}} == Hänsel und Gretel (synkopiert) == Wir verkürzen wieder die erste Note des Taktes um eine achtel ihres wertes, und verlängeen die letzte Note des Taktes um diesen wert. Dadurch wird die Melodie synkopiert. Rechne in anderen Stücken aber auch mit rythmischen Abweichungen. [[Datei:Picking_Haensel_und_Gretel_synkopiert.pdf]] {{Audio|Picking_Haensel_und_Gretel_synkopiert.mid| hier das "Picking_Haensel_und_Gretel_synkopiert" anhören}} {{PDF-Version|Picking_Haensel_und_Gretel_synkopiert.pdf|hier das PDF zum "Picking_Haensel_und_Gretel_synkopiert" mit Noten und Tabulatur herunterladen}} ;verwendete Akkorde bzw. Akkordfragmente <pre>G-Dur E ||---|---|---| ||---|---|---| H ||-C-|---|-D-| ||-Z-|---|-K-| G ||---|-A-|---| ||---|-M-|---| D ||---|---|---| ||---|---|---| A ||---|---|---| ||---|---|---| E ||---|---|-G-| ||---|---|-R-| D/F# (D-Dur mit F# im Bass) bzw. D7/F# E ||---|---|---| ||---|---|---| H ||-C-|---|---| ||-Z-|---|---| G ||---|-A-|---| ||---|-R-|---| D ||---|---|---| ||---|---|---| A ||---|---|---| ||---|---|---| E ||---|-F#|---| ||---|-M-|---|</pre> [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Hänsel und Gretel]] 30dhfwjsjg9lmsw88zb67a5r8rawlsv 0 117622 1089921 1089918 2026-08-21T14:44:32Z Hardy42 1911 /* Kongruenzen */ 1089921 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und ganz zum Schluss das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 3\ </math> starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} jgyjq0hntdkjm8157xq17rqvvdd6xkl 1089922 1089921 2026-08-21T14:58:19Z Hardy42 1911 /* Starke Lucas-Pseudoprimzahlen */ Korrektur 1089922 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und ganz zum Schluss das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 2\ </math>(also wenn <math>n - \delta(n) </math> nicht durch 4 teilbar ist) starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} 423d2508bhwivfczl3daxkleg5qxmqy 1089923 1089922 2026-08-21T15:34:53Z Hardy42 1911 /* Starke Lucas-Pseudoprimzahlen */ Unterschied zu (nicht starken) Lucas-Pseudoprimzahlen 1089923 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und ganz zum Schluss das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt, dass <math>\ U_{d \cdot 2^t} \equiv 0 \pmod {n} </math> für alle <math>\ t > r </math> ist. Wenn jedoch <math>\ U_k \cdot V_k\ \equiv 0 \pmod n</math> ist, und keiner der beiden Faktoren <math>(U_k,V_k) \equiv 0 \pmod {n} \ </math> ist, hat <math>n</math> mit beiden je einen gemeinsamen Teiler und kann keine Primzahl sein, ist aber Lucas-Pseudoprimzahl, jedoch keine starke. In diesem Fall sind <math>\gcd (n, U_k)</math> und <math>\gcd (n, V_k)</math> Teiler von <math>n</math> (nicht unbedingt Primteiler). Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 2\ </math>(also wenn <math>n - \delta(n) </math> nicht durch 4 teilbar ist) starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} 8ykemu8ov2nio9iyidlwg70s3v7eja9 1089924 1089923 2026-08-21T15:39:46Z Hardy42 1911 /* Lucas-Folgen */ 1089924 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bzw. <math>U_k</math> und <math>V_k</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und ganz zum Schluss das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt, dass <math>\ U_{d \cdot 2^t} \equiv 0 \pmod {n} </math> für alle <math>\ t > r </math> ist. Wenn jedoch <math>\ U_k \cdot V_k\ \equiv 0 \pmod n</math> ist, und keiner der beiden Faktoren <math>(U_k,V_k) \equiv 0 \pmod {n} \ </math> ist, hat <math>n</math> mit beiden je einen gemeinsamen Teiler und kann keine Primzahl sein, ist aber Lucas-Pseudoprimzahl, jedoch keine starke. In diesem Fall sind <math>\gcd (n, U_k)</math> und <math>\gcd (n, V_k)</math> Teiler von <math>n</math> (nicht unbedingt Primteiler). Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 2\ </math>(also wenn <math>n - \delta(n) </math> nicht durch 4 teilbar ist) starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} 4x0izf44kybwgc32usckdgzw3rith68 1089927 1089924 2026-08-21T16:36:23Z Hardy42 1911 /* Lucas-Folgen */ Bezug zur quadratischen Gleichung 1089927 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bzw. <math>U_k</math> und <math>V_k</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> === Bezug zur quadratischen Gleichung === Die charakteristische Gleichung der Lucas-Folgen <math>U_k(P,Q)</math> and <math>V_k(P,Q)</math> ist * <math>x^2 - Px + Q=0 \,</math>. Sie hat die Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und die Wurzeln (Lösungen) * <math>a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad\text{and}\quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2 \,</math>. Daher ist: * <math>a + b = P\, ,</math> * <math>a b = \frac{1}{4}(P^2 - D) = Q\, ,</math> * <math>a - b = \sqrt{D}\, </math>. Die Folgeglieder lassen sich mit den Wurzeln <math>a</math> und <math>b</math> wie folgt ausdrücken: * <math>U_k = \frac{a^k-b^k}{a-b} \,</math> * <math>V_k = a^k+b^k \,</math> Diese Beziehungen sind allerdings für Primzahltests nur bedingt geeignet, weil <math>a, b, a^k</math> und <math>b^k</math> im Gegensatz zu <math>U_k</math> und <math>V_k</math> nicht ganzzahlig sind. === Beziehungen zwischen den Folgegliedern === Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient mit Ganzzahl-Arithmetik berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt, dass <math>\ U_{d \cdot 2^t} \equiv 0 \pmod {n} </math> für alle <math>\ t > r </math> ist. Wenn jedoch <math>\ U_k \cdot V_k\ \equiv 0 \pmod n</math> ist, und keiner der beiden Faktoren <math>(U_k,V_k) \equiv 0 \pmod {n} \ </math> ist, hat <math>n</math> mit beiden je einen gemeinsamen Teiler und kann keine Primzahl sein, ist aber Lucas-Pseudoprimzahl, jedoch keine starke. In diesem Fall sind <math>\gcd (n, U_k)</math> und <math>\gcd (n, V_k)</math> Teiler von <math>n</math> (nicht unbedingt Primteiler). Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 2\ </math>(also wenn <math>n - \delta(n) </math> nicht durch 4 teilbar ist) starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} 4hq9pm0ud2li9ds58j2c5ygfr3g60sk 1089941 1089927 2026-08-22T11:20:22Z Hardy42 1911 /* Starke Lucas-Pseudoprimzahlen */ 1089941 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der allgemeinen Lucas-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden.<ref name="enwiki">{{w|en:Lucas pseudoprime|Lucas pseudoprimes}}</ref> == Lucas-Folgen == Die Glieder der Lucasfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(P,Q)</math> und <math>V_k(P,Q)</math> bzw. <math>U_k</math> und <math>V_k</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = P</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>: ** <math>U_k = P \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2}</math> ** <math>V_k = P \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2}</math> === Bezug zur quadratischen Gleichung === Die charakteristische Gleichung der Lucas-Folgen <math>U_k(P,Q)</math> and <math>V_k(P,Q)</math> ist * <math>x^2 - Px + Q=0 \,</math>. Sie hat die Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und die Wurzeln (Lösungen) * <math>a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad\text{and}\quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2 \,</math>. Daher ist: * <math>a + b = P\, ,</math> * <math>a b = \frac{1}{4}(P^2 - D) = Q\, ,</math> * <math>a - b = \sqrt{D}\, </math>. Die Folgeglieder lassen sich mit den Wurzeln <math>a</math> und <math>b</math> wie folgt ausdrücken: * <math>U_k = \frac{a^k-b^k}{a-b} \,</math> * <math>V_k = a^k+b^k \,</math> Diese Beziehungen sind allerdings für Primzahltests nur bedingt geeignet, weil <math>a, b, a^k</math> und <math>b^k</math> im Gegensatz zu <math>U_k</math> und <math>V_k</math> nicht ganzzahlig sind. === Beziehungen zwischen den Folgegliedern === Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient mit Ganzzahl-Arithmetik berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[Pseudoprimzahlen: Programme#Binäres Potenzieren|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>):<ref>{{w|en:Lucas_sequence#Other_relations|Lucas sequence: Other relations}}</ref> <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & P^2 - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & (a) \\ V_{2k} & = & V_k^2 - 2Q^k & (b) \\ X_{m+k} \text{ aus } X_m \text{ und } X_k \text{: } \quad \\ U_{m+k} & = & \frac{U_m V_k+U_k V_m}{2} & (c) \\ V_{m+k} & = & \frac{V_m V_k+D \cdot U_m U_k}{2} & (d) \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{k+1} & = & \frac{P\cdot U_{k}+V_{k}}{2} & (e)\\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+P \cdot V_{k}}{2} & (f) \end{array} </math> Zu <math>(c) \dots (f)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden und das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>Q</math> teilerfremde Primzahl <math>n\ </math>gelten folgende Kongruenzen: # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s, 2 \nmid d </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2Q^\tfrac{1-\delta(n)}{2} = \begin{cases} 2Q, & \text{wenn }\delta(n) = -1\\ 2, & \text{wenn }\delta(n) = \ 1 \end{cases}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> # <math>V_{n} \equiv P</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. Wenn <math>gcd(2DPQ, n) = 1</math> ist, d.&nbsp;h. <math>n</math> ungerade und teilerfremd zu <math>D, P</math> und <math>Q</math> ist, folgen aus beliebigen zwei der genannten Kongruenzen die anderen beiden (bei Kongruenz 1 ohne die starke Kongruenzbedingung).<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> == Lucas-Pseudoprimzahlen == Baillie und Wagstaff definieren Lucas-Pseudoprimzahlen wie folgt:<ref name="lpsp"> http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf </ref> Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>P > 0\ </math> und <math>Q \ </math>, * die entsprechenden Lucasfolgen <math>U_k (P, Q)</math> und <math>V_k(P, Q)</math>, * <math>D = P^2-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>Q</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahl, wenn diese Kongruenz erfüllt ist. Kongruenz [[#Gl1|(1)]] ist eine der beiden Kongruenzen, die für [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllt sein müssen. Daher ist jede Frobenius-Pseudoprimzahl auch eine Lucas-Pseudoprimzahl. === Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine Euler-Lucas-Pseudoprimzahl, wenn <math>\gcd(n,Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{Q}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="lpsp"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen auch Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lucas-Pseudoprimzahlen === Mit der Zerlegung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt, dass <math>\ U_{d \cdot 2^t} \equiv 0 \pmod {n} </math> für alle <math>\ t > r </math> ist. Wenn jedoch <math>\ U_k \cdot V_k\ \equiv 0 \pmod n</math> ist, und keiner der beiden Faktoren <math>(U_k,V_k) \equiv 0 \pmod {n} \ </math> ist, hat <math>n</math> mit beiden je einen gemeinsamen Teiler und kann keine Primzahl sein, ist aber Lucas-Pseudoprimzahl, jedoch keine starke. In diesem Fall sind <math>\gcd (n, U_k)</math> und <math>\gcd (n, V_k)</math> Teiler von <math>n</math> (nicht unbedingt Primteiler). Starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen<ref name="lpsp"></ref> und Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. Umgekehrt ist jede Euler-Lucas-Pseudoprimzahl der Form <math>\ n - \delta(n) = 4\cdot k + 2\ </math>(also wenn <math>n - \delta(n) </math> nicht durch 4 teilbar ist) starke Lucas-Pseudoprimzahl, da in diesen Fällen <math>s = 1</math> ist, und damit die Kriterien für Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen denen für starke Lucas-Pseudoprimzahlen entsprechen. ==== Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen==== sind starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametersatz <math>(P,Q)</math>, wobei ''Q'' = 1 ist, die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl15|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} \text{ und } V_d \equiv \pm 2 \pmod {n} </math>|}} oder {{Formel2|Gl16|<math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math>|}} erfüllen.<ref name="enwiki"></ref> Extrastarke Lucas-Pseudoprimzahlen sind auch starke Lucas-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern <math>(P,Q)</math>. Aus <math>\ V_d \equiv \pm 2 \pmod {n}\ </math> folgt <math>\ V_{2d} = V_d^2 - 2Q \equiv 2 \pmod {n}\ </math> und <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n}</math>.<br> Aus <math>\ V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} \ </math> für ein<math>\ r < s-1</math> folgt <math>\ V_{d\cdot2^{r+1}} = V^2_{d\cdot2^{r}} - 2Q \equiv -2 \pmod {n}\ </math> und daraus <math>\ V_{d\cdot2^s} = V_{n+1} \equiv 2 \pmod {n} </math>.<br> Daher erfüllen alle extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen auch [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]. Von <math>n</math> abhängige Parameterauswahl:<br>Es wird das kleinste <math>P \ge 3 </math> gewählt, mit dem <math>\left(\tfrac Dn\right) = -1</math> ist; dabei ist <math>D = P^2 - 4 </math>, weil <math>Q = 1\ </math> ist. Die ersten extrastarken Lucas-Pseudoprimzahlen sind dann 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059, 72389, 73919, 75077.<ref name="statistics"></ref> <br> Es sind keine Überschneidungen mit starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bekannt. === Absolute Lucas-Pseudoprimzahlen === Eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante D ist eine zusammengesetzte ganze Zahl <math>n</math>, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit allen Parameterpaaren (P, Q) mit der selben Diskriminante <math>D = P^2 - 4Q</math> und <math>gcd(n, DQ) = 1</math> erfüllt. Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> ist genau dann eine absolute Lucas-Pseudoprimzahl, wenn sie quadratfrei ist und für all ihre Primteiler (<math>p</math>) <math>p - \left(\tfrac Dp\right) \Big| \ n - \left(\tfrac Dn\right)</math> (Williams' Kriterium) gilt. Beispiel: <math> 323 = 17 \cdot 19 </math> ist absolute Lucas-Pseudoprimzahl zur Diskriminante <math>D=5</math>; * <math>17 - \left(\tfrac {5}{17}\right) = 18</math>, * <math>19 - \left(\tfrac {5}{19}\right) = 18</math>, * <math>323 - \left(\tfrac {5}{323}\right) = 324</math>, * <math>18</math> teilt <math>324</math>. Parameterpaare mit <math>D = P^2 - 4Q = 5</math> sind zum Beispiel <math>(P, Q) = (1, -1), (3, 1), (5, 5)</math>. == Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen == Ein Lucas-Primzahltest ist am nützlichsten, wenn <math>D</math> so gewählt wird, dass der Wert des Jacobi-Symbols <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math> ist. John Selfridge hat dafür folgendes Parameterauswahlverfahren empfohlen:<br> Gewählt wird das erste <math>D</math> aus <math>\ D = (2 \cdot k + 1) \cdot (-1)^k = 5, -7, 9, ...\ </math>mit <math>k > 1</math>, das die Bedingung :<math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> erfüllt, was voraussetzt, dass <math>n</math> und <math>D</math> teilerfremd sind. <br> Nachdem <math>D</math> auf diese Weise bestimmt wurde, werden die Parameter <math>P=1</math> und <math>Q=(1-D)/4\ </math> gesetzt. Mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math> ist <math>n - \delta(n) = n + 1</math> und <math>U_{n - \delta(n)} = U_{n + 1}</math>. Für jede Primzahl n gilt dann [[#Kongruenzen|Kongruenz 1]] mit <math>\delta(n) = -1</math>: {{Formel2|Gl2|<math> U_{n+1} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|2}} Zusammengesetzte Zahlen, für die diese Kongruenz erfüllt ist, sind '''Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen'''.<br> Die ersten sind 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877. '''Anmerkungen:''' Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=0</math> ist, haben <math>n</math> und <math>D</math> einen gemeinsamen Teiler, und <math>n</math> ist zusammengesetzt, wenn nicht <math>n = D = prim\ </math> ist. Da das beschriebene Auswahlverfahren für Primzahltests vorgesehen ist, wird in solchen Fällen der Test abgebrochen. Deshalb gibt es auch keine durch 5 teilbaren Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen. Es wird nicht mit <math>D = -3\ </math> begonnen, weil dann <math>P = Q = 1</math> und Kongruenz [[#Gl1|(1)]] mit allen ungeraden Zahlen erfüllt wäre. Wenn <math>n</math> eine Quadratzahl ist, gibt es kein <math>D</math>, mit dem obengenannte Bedingung erfüllt ist; dies sollte also vorher oder während des Auswahlverfahrens geprüft werden. Im Umkehrschluss bedeutet das auch, dass <math>n</math> keine Quadratzahl ist, wenn ein <math>D</math> gefunden wurde, das diese Bedingung erfüllt. <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) \ne -1</math>, wenn <math>D</math> eine Quadratzahl ist, daher erfüllen Quadratzahlen die Bedingung nicht. Alle Beträge von <math>D</math>, die größer als 15 sind, sind Primzahlen. <math>|D|</math> kann beliebig groß werden, z.&nbsp;B. größer als 100, wenn <math>n</math> das Produkt aller Primzahlen unter 100 plus 1 ist; im Mittel führen aber weniger als 2 Versuche, ein geeignetes <math>D</math> zu finden, zum Ziel.<ref name="lpsp"></ref> === Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen === '''Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze Zahlen, für die eine der Bedingungen {{Formel2|Gl3|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math> mit <math>\ n+1 = d\cdot2^s\ </math> und <math>d\ </math> ungerade|3}} oder {{Formel2|Gl4| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|4}} erfüllt ist.<br> Die ersten starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519.<br> Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen gehören zu den wichtigsten Pseudoprimzahlen, weil der Selfridge-Lucas-Primzahltest Teil des Baillie-PSW-Primzahltests ist. === Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen === [[#Gl2|Kongruenz 1]] ist eine der beiden Kongruenzbedingungen, die [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen| Frobenius-Pseudoprimzahlen]] erfüllen. Bei Auswahl der Parameter <math>(P, Q)</math> wie oben, also mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right)=-1</math>, ist die zweite ([[#Kongruenzen|Kongruenz 2]]) {{Formel2|Gl5|<math> V_{n+1} \equiv 2 Q \pmod {n}</math>. |5}} Weniger als ein Viertel der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit gleichen Parametern erfüllt auch [[#Gl5|diese Kongruenz]]. Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 5777, 10877, 75077, 100127, 113573. === Eigenschaften === ==== Überschneidung mit starken Pseudoprimzahlen ==== Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen sind selten auch [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen| Starke Pseudoprimzahlen]]; unter 10¹⁵ gibt es nur zwei starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen, die auch starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis unter 128 sind: 5777 (=76²&nbsp;+&nbsp;1) zur Basis 76 und 104107121 zur Basis 104. Von den ersten 10 sind 4 zu keiner Basis zwischen 1 und n&nbsp;-&nbsp;1 stark pseudoprim, die anderen 6 zu maximal 48 Basen (18971). Von den 474971 starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen unter 10¹⁵ sind nur 154993 starke Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a</math> mit <math>a \ne 1\ und\ a \ne n-1</math>; das ist ein Anteil von ca. 33%, während der Anteil starker Pseudoprimzahlen an den ungeraden zusammengesetzten Zahlen im selben Bereich bei ca. 45% liegt.<br> Es wurde nachgewiesen, dass es unter 2⁶⁴ keine zusammengesetzen Zahlen gibt, die sowohl Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen als auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind. Auch über dieser Grenze wurde noch keine solche Zahl gefunden. Allerdings gibt es Parameter, mit denen starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2 gleichzeitig starke Lucas-Pseudoprimzahlen sind, zum Beispiel ist 8321 starke Pseudoprimzahl zur Basis 2 und starke Lucas-Pseudoprimzahl mit den Parametern <math>P = 92, Q = 143</math>, <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1 </math> und erfüllt auch Kongruenz 2. ==== Teiler ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form {| |- |<math>\ q = (2\cdot k \cdot x + 1) \cdot (2 \cdot m \cdot x - 1)\ </math> mit <math>\ x \in \N</math>, |- | <math>\ \gcd(k, m) = 1\ </math>und |- | <math>\ 0 < k \ll q,\ 0 < m \ll q\ </math> |} ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein. ==== Häufigkeit ==== Lucas-Pseudoprimzahlen sind viel seltener als Primzahlen, wie folgende Tabelle zeigt. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen im Vergleich<br> zu Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen |- ! !! !! colspan=2 | Fermat !! colspan=4 | Selfridge-Lucas !! !! |- ! Obergrenze x !! Primzahlen<ref>{{w|Primzahlsatz#Zahlenbeispiele|Primzahlsatz}}</ref>!! psp(2) !! spsp(2)<ref name="statistics">{{:Pseudoprimzahlen: Vorlage:Statistics}}</ref> !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]]<ref name="statistics"></ref> !! [[#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] !! [[#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|vpsp]]<ref name="Strengthening_BPSW"></ref> !! lpsp &<br> psp(2) !! slpsp: [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] |- | 10⁹ || 50.847.534 || 5.597 || 1.282 || 5.485 || 1.415 || 304 || 1 || 0 || 4,1&middot;10^-6 |- | 10¹² || 37.607.912.018 || 101.629 || 22.407 || 116.928 || 25.542 || 5.339 || 3 || 0 || 2,3&middot;10^-7 |- | 10¹⁵ || 29.844.570.422.669 || 1.801.533 || 419.489 || 2.402.549 || 474.971 || 101.788 || 5 || 0 || 1,2&middot;10^-8 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. ==== Restklassen ==== Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse -1 modulo kleiner Zahlen <math>(m)</math> als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen bis 10¹⁵ auf Restklassen modulo <math>m</math> an ein paar Beispielen. {|class="wikitable" style="text-align:right;" ! !! colspan="8" | Anzahl starker Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen in Restklasse |- ! m !! style="text-align:center"| 0 !! style="text-align:center"| 1 !! style="text-align:center"| 2 !! style="text-align:center"| 3 !! style="text-align:center"| 4 !! style="text-align:center"| 5 !! style="text-align:center"| 6 !! style="text-align:center"| 7 |- | 3 || 656 || 78914 || '''395401''' |- | 5 || 0 || 81600 || 65141 || 36647 || '''291583''' |- | 7 || 15 || 55752 || 75056 || 33871 || 54977 || 41234 || '''214066''' |- | 8 || 0 || 74329 || 0 || 136178 || 0 || 73660 || 0 || '''190804''' |} == Lucas-V-Pseudoprimzahlen == Wenn Selfridges Methode <math>D = 5</math> (und damit <math>Q = -1</math>) ergibt, können die Parameter so geändert werden, dass <math>P = Q = 5</math> ist; dabei bleibt <math>D</math> unverändert<ref name="Strengthening_BPSW">https://arxiv.org/abs/2006.14425 Robert Baillie; Andrew Fiori; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 2021). "Strengthening the Baillie-PSW Primality Test". Mathematics of Computation. 90 (330): 1931–1955.</ref>. Für <math>D \ne 5</math> bleiben <math>P</math> und <math>Q</math> unverändert. Zusammengesetzte Zahlen, die mit diesem modifizierten Parameterauswahlverfahren [[#Gl5|Kongruenz 2]] erfüllen, werden Lucas-V-Pseudoprimzahlen (''vpsp'') genannt. Diese sind sehr selten: bis 10¹⁵ gibt es nur 5: 913, 150267335403, 430558874533, 14760229232131 und 936916995253453; keine davon erfüllt auch [[#Gl2|Kongruenz 1]] oder ist starke Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis unter 3,9⋅10¹⁰. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Falsche Zeugen bei Fermat- und Miller-Rabin-Test ! !! colspan=2 | &nbsp;Fermat-Test, falsche Zeugen&nbsp; !! colspan=2 | &nbsp;Miller-Rabin-Test, falsche Zeugen&nbsp; |- ! style="text-align:right;" |n !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster !! style="text-align:right;" |Anzahl !! style="text-align:right;" |kleinster |- | 913 || 2 || 331 || 0 || - |- | 150267335403 || 30 || 6203146387 || 0 || - |- | 430558874533 || 142 || 1078176182 || 52 || 39764030759 |- | 14760229232131 || 34 || 310097526008 || 16 || 969257047267 |- | 936916995253453 || 46 || 1349585374882 || 4 || 62837152221620 |} Keine der Fermatschen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2⁶⁴ ist auch Lucas-V-Pseudoprimzahl mit der obengenannten Parameterauswahl. == Pell-Pseudoprimzahlen == Mit den Parametern <math>\ P = 2,\ Q = -1\ </math> ist <math>\ U_n</math> die Pell-Folge. <br> Für Pell-Pseudoprimzahlen gibt es drei alternative Definitionen, jeweils mit obengenannten Parametern:<br> Pell-Pseudoprimzahlen sind {| |style="vertical-align:top;"|a)|| zusammengesetze Zahlen mit denen Kongruenz [[#Gl1|(1)]] erfüllt ist. <br> Damit sind Pell-Pseudoprimzahlen also (Baillie-Wagstaff-) Lucas-Pseudoprimzahlen mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419.<br> Die ersten [[#Gl1.1a|starken]] Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern sind 169, 961, 1121, 3827, 6441, 6601, 7801, 8119. |- |style="vertical-align:top;"|b) || zusammengesetze Zahlen mit denen <math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right) \pmod {n}</math> erfüllt ist. <br>Dies entspricht der obengenannten [[#Kongruenzen|Kongruenz&nbsp;3]]:<math> \ U_n \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right) = \left(\tfrac{8}{n}\right) \pmod {n}</math>. <br>Auf Grund der Multiplikativität des Jacobi-Symbols gilt mit <math>D = 8: \ \left(\tfrac{8}{n}\right) = \left(\tfrac{2^3}{n}\right) = \left(\tfrac{2}{n}\right)^3 = \left(\tfrac{2}{n}\right) \cdot \left(\tfrac{2}{n}\right)^2 = \left(\tfrac{2}{n}\right)</math>. <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215. |- |style="vertical-align:top;" |c) || ungerade zusammengesetze Zahlen mit denen <math>V_n(P,Q) \equiv P \pmod{n}</math> erfüllt ist. Pell-Pseudoprimzahlen nach dieser Definition sind damit [[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen| Dickson-Pseudoprimzahlen]] mit den Parametern P&nbsp;=&nbsp;2 und Q&nbsp;=&nbsp;-1 (D&nbsp;=&nbsp;8). <br> Die ersten Pseudoprimzahlen sind dann 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119. |} Da zur effizienten Berechnung von <math>U_n</math> für große <math>n</math> auch <math>V_n</math> berechnet werden muss, können mit wenig Mehraufwand beide Bedingungen aus b) und c) geprüft werden. Die ersten Pseudoprimzahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind 169, 385, 961, 1121, 3827, 6265, 6441, 6601, 7801, 8119, 10945, 13067, 15841, 18241, 19097. === Häufigkeit === {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Pell-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! colspan="4" | !! colspan="5" |gleichzeitig Pell & |- ! Obergrenze x !! Pell (b)<ref name="statistics"></ref> !! [[#Anker:FZ|f(x)^(I)]] !! Pell (b&c)!! PsP(2) !! sPsP(2) !! [[#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[#Starke Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³&nbsp; || 4 || 0.025 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴&nbsp; || 18 || 0.011 || 10 || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵&nbsp; || 63 || 0.013 || 41 || 6 || 2 || 3 || 0 || 0 |- | 10⁶&nbsp; || 200 || 0.011 || 119 || 14 || 2 || 9 || 2 || 0 |- | 10⁷&nbsp; || 603 || 0.008 || 369 || 35 || 7 || 28 || 11 || 3 |- | 10⁸&nbsp; || 1722 || 0.007 || 1058 || 82 || 16 || 61 || 20 || 6 |- | 10⁹&nbsp; || 4851 || 0.006 || 2973 || 247 || 50 || 184 || 52 || 16 |- | 10¹⁰ || 12946 || 0.006 || 8064 || 666 || 139 || 485 || 126 || 46 |- | 10¹¹ || 34265 || 0.006 || 21504 || 1638 || 328 || 1191 || 310 || 116 |- | 10¹² || 89714 || 0.006 || 57083 || 4118 || 867 || 2916 || 777 || 287 |- | 10¹³ || 233541 || 0.006 || 149940 || 10404 || 2210 || 7272 || 2024 || 783 |} == Quellen == <references/> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} es9u80kkk9ugbjtvfrz9mwcgrmy5kd0 0 117854 1089940 1089375 2026-08-22T11:10:37Z Hardy42 1911 umsortiert: die mit festen Parametern nach unten 1089940 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} {| class=wikitable !Name || P || Q || j || Kriterien (mod n) |- |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-Pseudoprimzahlen|Lucas (Baillie-Wagstaff-)]] || variabel|| variabel|| || <math>U_{n-j} \equiv 0 </math> |- | ~, stark || variabel|| variabel|| || <math>U_{d} \equiv 0</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s</math> |- | ~, extrastark || variabel || 1 || || <math>U_{d} \equiv 0</math> und <math>V_{d} \equiv \pm 2</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math> |- | ~, extrastark || n-abhängig|| 1 || -1 || <math>U_{d} \equiv 0</math> und <math>V_{d} \equiv \pm 2</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s-1</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Selfridge-Lucas-Pseudoprimzahlen|Selfridge-Lucas]] || 1 || n-abhängig|| -1 || <math>U_{n+1} \equiv 0</math> |- | ~, stark || 1 || n-abhängig|| -1 || <math>U_{d} \equiv 0</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Selfridge-Frobenius-Pseudoprimzahlen|Selfridge-Frobenius]] || 1 || n-abhängig|| -1 || <math>U_{d} \equiv 0</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s</math><br> und <br><math>V_{n+1} \equiv 2Q</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-V-Pseudoprimzahlen|Lucas-V]] || n-abhängig: 1 oder 5 || n-abhängig, <math>|Q|\ne 1</math> || -1 || <math>V_{n+1} \equiv 2Q</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen|Frobenius]] || variabel|| variabel|| || <math>U_{n-j} \equiv 0</math> und <math>V_{n-j} \equiv 2Q^{(1-j)/2}</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen zweiter Art| Lucas-Pseudoprimzahl zweiter Art]] || variabel || variabel || || <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen|Dickson]] || variabel|| variabel|| || <math>V_{n} \equiv P</math> und <math>gcd(n, 2QD) = 1</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen#Dickson-Pseudoprimzahlen|Dickson-Pseudoprimzahl zweiter Art]] || variabel|| variabel|| || <math>V_{n-j} \equiv 2Q^{(1-j)/2}</math> und <math>gcd(n, 2QD) = 1</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Fibonacci-Pseudoprimzahlen|Fibonacci]] || 1 || -1 || || <math>U_{n-j} \equiv 0 </math> |- | ~, stark || 1|| -1|| || <math>U_{d} \equiv 0</math> oder<br> <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0</math> für ein <math> 0 \le r < s</math> |- |[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen|Bruckman-Lucas]] || 1 || -1 || || <math>V_{n} \equiv P</math> |-<!-- |[[Pseudoprimzahlen: Bruckman-Lucas-Pseudoprimzahlen|~, verallgemeinert]] || variabel || variabel || || <math>V_{n} \equiv P</math> |- --> |[[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Pell-Pseudoprimzahlen|Pell]] (a) || 2 || -1 || || <math>U_{n-j} \equiv 0 </math> |- |Pell (b) || 2 || -1 || || <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{2}{n}\right)</math> |- |Pell (c) || 2 || -1 || || <math>V_{n} \equiv P</math> und <math>gcd(n, 2) = 1</math> |- |} <math>\quad j = \left(\tfrac{D}{n}\right),</math> <math>\quad n - j = d \cdot 2^{s}\ \text{mit}\ d\ \text{ungerade}</math> {{Navigation Text| |links= [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen| Lucas-Pseudoprimzahlen]] |mitte= [[Pseudoprimzahlen: Auf Lucas-Folgen basierende Pseudoprimzahlen|Übersicht: Lucas-Pseudoprimzahlen]] |rechts= }} 3fj0ojev7jx3atieh3hwap3qrv3rbvu 0 117893 1089936 1031227 2026-08-22T09:06:25Z Hardy42 1911 /* Lehmer-Folgen */ Bezug zur quadratischen Gleichung 1089936 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lehmer-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der Lehmer-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden. == Lehmer-Folgen == Die Glieder der Lehmerfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(L,Q)</math> und <math>V_k(L,Q)</math> bzw. <math>U_k</math> und <math>V_k</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = 1</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>:<ref name="Rotkiewicz">[https://www.ams.org/mcom/1982-39-159/S0025-5718-1982-0658229-0/S0025-5718-1982-0658229-0.pdf On Euler Lehmer Pseudoprimes and Strong Lehmer Pseudoprimes ... A. Rotkiewicz]</ref> ** <math>U_k = \begin{cases} L \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2} & \text{für ungerade }k\\ U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2} & \text{für gerade }k \end{cases}</math> ** <math>V_k = \begin{cases} V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2} & \text{für ungerade }k\\ L \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2} & \text{für gerade }k \end{cases}</math> === Bezug zur quadratischen Gleichung === Die charakteristische Gleichung der Lehmer-Folgen <math>U_k(P,Q)</math> and <math>V_k(P,Q)</math> ist * <math>x^2 - \sqrt L \cdot x + Q=0 \,</math>. Sie hat die Diskriminante <math>D = L - 4Q</math> und die Wurzeln (Lösungen) * <math>a = \frac{\sqrt L +\sqrt{D}}2\quad\text{and}\quad b = \frac{\sqrt L -\sqrt{D}}2 \,</math>. Daher ist: * <math>a + b = \sqrt L\, ,</math> * <math>a b = \frac{1}{4}(L - D) = Q\, ,</math> * <math>a - b = \sqrt{D}\, </math>. Die Folgeglieder lassen sich mit den Wurzeln <math>a</math> und <math>b</math> wie folgt ausdrücken: * <math>U_k = \frac{a^k-b^k}{a-b} \,</math> * <math>V_k = a^k+b^k \,</math> Diese Beziehungen sind allerdings für Primzahltests nur bedingt geeignet, weil <math>a, b, a^k</math> und <math>b^k</math> im Gegensatz zu <math>U_k</math> und <math>V_k</math> nicht ganzzahlig sind. === Beziehungen zwischen den Folgegliedern === Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient mit Ganzzahl-Arithmetik berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[w:Binäre Exponentiation|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>): <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & L - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & \ & (a) \\ V_{2k} & = & \begin{cases} V_k^2 - 2Q^k & \text{für gerade }k & (b) \\ L V_k^2 - 2Q^k & \text{für ungerade }k & (c) \end{cases} & \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+ V_{k}}{2} & \text{für gerade }k & (d) \\ U_{k+1} & = & \frac{U_{k}+ V_{k}}{2} & \text{für gerade }k & (e) \\ U_{k+1} & = & 2 \cdot Q U_{k}+V_{k+1} & \text{für gerade }k & (f) \end{array} </math> Zu <math>(d) \dots (e)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>LQ</math> teilerfremde Primzahl gelten folgende Kongruenzen:<ref name="Loveless"></ref> # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{LD}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2\left(\tfrac{L}{n}\right)Q^{(1-\delta(n))/2}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{x}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. == Lehmer-Pseudoprimzahlen == Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>L\ </math>und <math>Q \ </math>mit <math>\gcd(L, Q) = 1</math>, * die entsprechenden Lehmerfolgen <math>U_k (L, Q)</math> und <math>V_k(L, Q)</math>, * <math>D = L-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D \cdot L}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>L Q D</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt '''Lehmer-Pseudoprimzahl''', wenn diese Kongruenz erfüllt ist. === Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine '''Euler-Lehmer-Pseudoprimzahl''', wenn <math>\gcd(n, Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{QL}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{QL}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="Rotkiewicz"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen auch Lehmer-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind '''starke Lehmer-Pseudoprimzahlen''' zusammengesetze Zahlen mit <math>\gcd(n, 2 Q D) = 1\ </math>, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen und Lehmer-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Kongruenz 2 === Für jede zu LQ teilerfremde ungerade Primzahl <math>n</math> gilt auch {{Formel2| Gl2 |<math> V_{n-\delta}(L,Q) \equiv 2 \left(\tfrac Ln\right) Q^{(1-\delta)/2} \pmod{n}</math>.<ref name="Loveless">[https://rex.libraries.wsu.edu/esploro/outputs/doctoral/Extensions-in-the-theory-of-Lucas/99900876641201842 Extensions in the theory of Lucas and Lehmer pseudoprimes - Washington State University, Andrew David Loveless]</ref>|2}} Pseudoprimzahlen, die diese Kongruenz erfüllen, sind seltener als solche, die [[#Gl1|Kongruenz 1]] erfüllen. Bis auf den Faktor <math>\left(\tfrac Ln\right) = \pm 1</math> entspricht diese Kongruenz [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen#Gl3|Bedingung 3]] für Frobenius-Pseudoprimzahlen. Pseudoprimzahlen, die sowohl Kongruenz 1 als auch Kongruenz 2 erfüllen, sind sehr selten. === Kongruenz 3 === Wie [[#Kongruenzen|oben]] angegeben, gilt für jede zu LQ teilerfremde ungerade Primzahl <math>n</math> auch {{Formel2| Gl3 |<math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math>.<ref name="Loveless"></ref>|3}} Pseudoprimzahlen, die diese Kongruenz erfüllen, sind seltener als solche, die [[#Gl1|Kongruenz 1]] erfüllen. Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = 0\ </math>ist, haben <math>D</math> und <math>n</math> einen gemeinsamen Teiler; daher ist es zweckmäßig, Primzahltests auf Basis dieser Kongruenz abzubrechen, wenn das der Fall ist. Es gilt somit die zusätzliche Bedingung {{Formel2|Gl3.1|<math>\gcd(2DLQ, n)=1</math>.|}} === Lehmer-Pseudoprimzahlen mit n-abhängiger Parameterauswahl === Für Primzahltests haben sich experimentell Parameter mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> und <math>|Q| > 1\ </math> als besonders geeignet erwiesen, weil die Häufigkeit der Pseudoprimzahlen und die Überschneidung mit [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen|Fermatschen Pseudoprimzahlen]] damit gering sind. Dabei wird das kleinste D aus der Folge <math>D = 3, 7, 11, ... = 4k + 3\ </math> mit <math>k \ge 0</math> und mit diesem das kleinste L aus der Folge <math>L = D + 4 \cdot Q </math> mit <math>Q > 1\ </math>, so gewählt, dass die genannten Bedingungen erfüllt sind. Die Suche wird abgebrochen, wenn der Wert des Jacobi-Symbols Null ist, weil <math>n</math> und <math>D</math> bzw. <math>L</math> dann einen gemeinsamen Teiler haben; wenn <math>n > D</math> bzw. <math>n > L</math> ist, was beim Test großer Zahlen gegeben ist, muss <math>n</math> dann zusammengesetzt sein.<ref name="Loveless"></ref> Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 377, 559, 1199, 1829, 2507, 2561, 2771, 3827, 4819, 4879, 5719, 5777, 7067, 7739, 9179; sieben davon sind starke Lehmer-Pseudoprimzahlen: 377, 559, 1199, 2507, 5719, 5777, 7067. Die ersten Pseudoprimzahlen, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 108371, 42155801, 170067677. Die ersten Pseudoprimzahlen, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 3]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 298574053, 1257360391, 3163076351, 4335829291. Da die Bedingung <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> größeren Einfluss als <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1\ </math> hat, kann auch <math>L</math> vorgegeben werden und das erste <math>D = L - 4Q\ </math> mit <math>Q > 1</math>, das diese Bedingung erfüllt, gesucht werden. Mit <math>L = -1</math> gibt es dabei besonders wenige starke Lehmer-Pseudoprimzahlen. Die ersten Pseudoprimzahlen mit dieser Parameterauswahl sind 527, 799, 1127, 1159, 1763, 2407, 2929, 3599, 4991, 5339, 5429, 6479, 6901, 8473; vier davon sind starke Lehmer-Pseudoprimzahlen: 799, 1127, 2407, 5429. Die ersten Pseudoprimzahlen, die mit dieser Parameterauswahl [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 1121, 94669, 8788015. Die ersten Pseudoprimzahlen, die mit dieser Parameterauswahl [[#Kongruenzen|Kongruenz 3]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 264607, 592165, 2048801, 35626501, 37941077, 292524365, 502430627. ==== Häufigkeit ==== {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lehmer-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! || colspan="6" | <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> !! colspan="4" |gleichzeitig Lehmer- & |- ! Obergrenze x !! Lehmer !![[#Anker:FZ|f(x)^(I)]]!! [[#Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen|slehpsp]] !! [[#Kongruenz 2|leh2psp]] !! leh1&2psp !! [[#Kongruenz 3|leh3psp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen| psp(2)]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Starke Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³ || 2 || 2,0&middot;10^-2 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁴ || 15 || 3,7&middot;10^-3 || 7 || 0 || 0 || 0 || 0 || 5 || 1 || 1 |- | 10⁵ || 64 || 1,1&middot;10^-3 || 28 || 0 || 0 || 0 || 0 || 15 || 4 || 3 |- | 10⁶ || 205 || 3,5&middot;10^-4 || 72 || 1 || 0 || 0 || 0 || 40 || 9 || 3 |- | 10⁷ || 625 || 1,2&middot;10^-4 || 240 || 1 || 0 || 0 || 0 || 118 || 27 || 14 |- | 10⁸ || 1666 || 4,5&middot;10^-5 || 569 || 2 || 0 || 0 || 0 || 284 || 71 || 38 |- | 10⁹ || 4506 || 1,7&middot;10^-5 || 1477 || 3 || 0 || 1 || 0 || 792 || 215 || 123 |- | 10¹⁰ || 11876 || 6,4&middot;10^-6 || 3747 || 3 || 0 || 4 || 0 || 2037 || 555 || 326 |- | 10¹⁵ || || || || || || || 0 || 244330 || 71990 || 41365 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lehmer(-1,*)-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! || colspan="6" | <math>L = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> !! colspan="4" |gleichzeitig Lehmer(-1,*)- & |- ! Obergrenze x !! Lehmer(-1,*) !![[#Anker:FZ|f(x)^(I)]]!! [[#Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen|slehpsp]] !! [[#Kongruenz 2|leh2psp]] !! leh1&2psp !! [[#Kongruenz 3|leh3psp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen| psp(2)]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Starke Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³ || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴ || 14 || 1,9&middot;10^-3 || 4 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵ || 62 || 9,7&middot;10^-4 || 13 || 2 || 0 || 0 || 0 || 12 || 5 || 1 |- | 10⁶ || 183 || 5,6&middot;10^-4 || 39 || 2 || 0 || 2 || 0 || 35 || 12 || 3 |- | 10⁷ || 530 || 2,0&middot;10^-4 || 129 || 3 || 0 || 3 || 0 || 102 || 35 || 7 |- | 10⁸ || 1528 || 6,8&middot;10^-5 || 356 || 3 || 0 || 5 || 0 || 255 || 77 || 14 |- | 10⁹ || 4146 || 2,5&middot;10^-5 || 879 || 3 || 0 || 7 || 0 || 664 || 184 || 35 |- | 10¹⁰ || 10982 || 9,5&middot;10^-6 || 2351 || 3 || 0 || 10 || 0 || 1774 || 487 || 109 |- | 10¹⁵ || || || || || || || 0 || 208971 || 63654 || 15565 |} == Quellen == <references/> 38k6tjjr4c2ot2bc7lavqy42sysi97x 1089937 1089936 2026-08-22T09:08:35Z Hardy42 1911 /* Bezug zur quadratischen Gleichung */ 1089937 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} '''Lehmer-Pseudoprimzahlen''' sind zusammengesetze natürliche Zahlen, die bestimmte Kriterien bezüglich der Lehmer-Folgen erfüllen, die von allen ungeraden Primzahlen erfüllt werden. == Lehmer-Folgen == Die Glieder der Lehmerfolgen werden im Folgenden mit <math>U_k(L,Q)</math> und <math>V_k(L,Q)</math> bzw. <math>U_k</math> und <math>V_k</math> bezeichnet.<br> Sie sind wie folgt definiert: * Anfangswerte: ** <math>U_0 = 0,\quad U_1 = 1</math> ** <math>V_0 = 2,\quad V_1 = 1</math> * Rekursionsformeln für <math>k > 1</math>:<ref name="Rotkiewicz">[https://www.ams.org/mcom/1982-39-159/S0025-5718-1982-0658229-0/S0025-5718-1982-0658229-0.pdf On Euler Lehmer Pseudoprimes and Strong Lehmer Pseudoprimes ... A. Rotkiewicz]</ref> ** <math>U_k = \begin{cases} L \cdot U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2} & \text{für ungerade }k\\ U_{k-1}-Q \cdot U_{k-2} & \text{für gerade }k \end{cases}</math> ** <math>V_k = \begin{cases} V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2} & \text{für ungerade }k\\ L \cdot V_{k-1}-Q \cdot V_{k-2} & \text{für gerade }k \end{cases}</math> === Bezug zur quadratischen Gleichung === Die charakteristische Gleichung der Lehmer-Folgen <math>U_k(L,Q)</math> und <math>V_k(L,Q)</math> ist * <math>x^2 - \sqrt L \cdot x + Q=0 \,</math>. Sie hat die Diskriminante <math>D = L - 4Q</math> und die Wurzeln (Lösungen) * <math>a = \frac{\sqrt L +\sqrt{D}}2\quad\text{and}\quad b = \frac{\sqrt L -\sqrt{D}}2 \,</math>. Daher ist: * <math>a + b = \sqrt L\, ,</math> * <math>a b = \frac{1}{4}(L - D) = Q\, ,</math> * <math>a - b = \sqrt{D}\, </math>. Die Folgeglieder lassen sich mit den Wurzeln <math>a</math> und <math>b</math> wie folgt ausdrücken: * <math>U_k = \frac{a^k-b^k}{a-b} \,</math> * <math>V_k = a^k+b^k \,</math> Diese Beziehungen sind allerdings für Primzahltests nur bedingt geeignet, weil <math>a, b, a^k</math> und <math>b^k</math> im Gegensatz zu <math>U_k</math> und <math>V_k</math> nicht ganzzahlig sind. === Beziehungen zwischen den Folgegliedern === Durch Beziehungen zwischen den Folgegliedern lassen sich diese auch für hohe Indizes, wie das z.B. für Primzahltests notwendig ist, effizient mit Ganzzahl-Arithmetik berechnen. Die Berechnung erfolgt dabei analog zum [[w:Binäre Exponentiation|binären Potenzieren]]. Die wichtigsten Beziehungen (<math>X_k</math> steht dabei für <math>U_k</math> bzw. <math>V_k</math>): <math> \begin{array}{rclr} \text{Diskriminante:} \quad\quad \\ D & = & L - 4Q \\ \text{Berechnung} \quad\quad \\ X_{2k} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ U_{2k} & = & U_k V_k & \ & (a) \\ V_{2k} & = & \begin{cases} V_k^2 - 2Q^k & \text{für gerade }k & (b) \\ L V_k^2 - 2Q^k & \text{für ungerade }k & (c) \end{cases} & \\ X_{k+1} \text{ aus } X_k \text{: } \quad \\ V_{k+1} & = & \frac{D\cdot U_{k}+ V_{k}}{2} & \text{für gerade }k & (d) \\ U_{k+1} & = & \frac{U_{k}+ V_{k}}{2} & \text{für gerade }k & (e) \\ U_{k+1} & = & 2 \cdot Q U_{k}+V_{k+1} & \text{für gerade }k & (f) \end{array} </math> Zu <math>(d) \dots (e)</math>: Der Zähler ist immer gerade. Bei Berechnung Modulo <math>n</math> können die Zwischenergebnisse Modulo <math>2n</math> berechnet werden das Endergebnis Modulo <math>n</math>. == Kongruenzen == Für jede ungerade, zu <math>LQ</math> teilerfremde Primzahl gelten folgende Kongruenzen:<ref name="Loveless"></ref> # <math>U_{n-\delta(n)} \equiv 0\ </math> mit <math>\ \delta(n) = \left(\tfrac{LD}{n}\right)</math> #* stark, mit <math> n-\delta(n) = d \cdot 2^s </math>: #** <math>U_{d} \equiv 0\ </math> oder #** <math>V_{d \cdot 2^r} \equiv 0\ </math> für ein <math>\ 0 \le r < s</math> # <math>V_{n-\delta(n)} \equiv 2\left(\tfrac{L}{n}\right)Q^{(1-\delta(n))/2}</math> # <math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math> Dabei ist <math>\left(\tfrac{x}{n}\right)</math> das [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbol]]. == Lehmer-Pseudoprimzahlen == Gegeben seien * die ganzzahligen Parameter <math>L\ </math>und <math>Q \ </math>mit <math>\gcd(L, Q) = 1</math>, * die entsprechenden Lehmerfolgen <math>U_k (L, Q)</math> und <math>V_k(L, Q)</math>, * <math>D = L-4Q</math>, * <math>n</math> eine positive ganze Zahl und * <math>\delta(n) = \left(\tfrac{D \cdot L}{n}\right)</math> der Wert des [[w:Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]. Mit jeder zu <math>L Q D</math> teilerfremden ungeraden Primzahl <math>n</math> ist folgende Kongruenz erfüllt: {{Formel2|Gl1|<math> U_{n - \delta(n)} \equiv 0 \pmod {n}. </math>|1}} Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt '''Lehmer-Pseudoprimzahl''', wenn diese Kongruenz erfüllt ist. === Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen === Eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist eine '''Euler-Lehmer-Pseudoprimzahl''', wenn <math>\gcd(n, Q D) = 1\ </math> und {{Formel2|Gl1.a|<math>U_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{QL}{n}\right) = 1\ </math> oder}} {{Formel2|Gl1.b|<math>V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>, wenn <math>\left(\tfrac{QL}{n}\right) = -1\ </math> ist.<ref name="Rotkiewicz"></ref>}} Mit der Abhängigkeit der Kriterien vom Wert des Jacobi-Symbols besteht eine Analogie zu [[Pseudoprimzahlen: Eulersche Pseudoprimzahlen#Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen| Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen]] und ohne diese Abhängigkeit zu Eulerschen Pseudoprimzahlen. Aus <math>\ U_{2k} = U_k \cdot V_k\ </math> folgt {{Formel2| |<math>U_{n-\delta} = U_{\frac{n-\delta}{2}} \cdot V_{\frac{n-\delta}{2}} \equiv 0 \pmod n</math>.}} Daher sind Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen auch Lehmer-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen === Mit der Faktorisierung von <math>n - \delta(n)</math> in <math>n - \delta(n)=d\cdot2^s</math> mit <math>d</math> ungerade sind '''starke Lehmer-Pseudoprimzahlen''' zusammengesetze Zahlen mit <math>\gcd(n, 2 Q D) = 1\ </math>, für die eine der Kongruenzen {{Formel2|Gl1.1a|<math> U_d \equiv 0 \pmod {n} </math>|1.1a}} oder {{Formel2|Gl1.1b| <math> V_{d \cdot 2^r} \equiv 0 \pmod {n} </math> für ein <math>\ 0 \le r < s\ </math>|1.1b}} erfüllt ist. Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen sind auch Euler-Lehmer-Pseudoprimzahlen und Lehmer-Pseudoprimzahlen mit den gleichen Parametern. === Kongruenz 2 === Für jede zu LQ teilerfremde ungerade Primzahl <math>n</math> gilt auch {{Formel2| Gl2 |<math> V_{n-\delta}(L,Q) \equiv 2 \left(\tfrac Ln\right) Q^{(1-\delta)/2} \pmod{n}</math>.<ref name="Loveless">[https://rex.libraries.wsu.edu/esploro/outputs/doctoral/Extensions-in-the-theory-of-Lucas/99900876641201842 Extensions in the theory of Lucas and Lehmer pseudoprimes - Washington State University, Andrew David Loveless]</ref>|2}} Pseudoprimzahlen, die diese Kongruenz erfüllen, sind seltener als solche, die [[#Gl1|Kongruenz 1]] erfüllen. Bis auf den Faktor <math>\left(\tfrac Ln\right) = \pm 1</math> entspricht diese Kongruenz [[Pseudoprimzahlen: Frobenius-Pseudoprimzahlen#Gl3|Bedingung 3]] für Frobenius-Pseudoprimzahlen. Pseudoprimzahlen, die sowohl Kongruenz 1 als auch Kongruenz 2 erfüllen, sind sehr selten. === Kongruenz 3 === Wie [[#Kongruenzen|oben]] angegeben, gilt für jede zu LQ teilerfremde ungerade Primzahl <math>n</math> auch {{Formel2| Gl3 |<math>U_{n} \equiv \left(\tfrac{D}{n}\right)</math>.<ref name="Loveless"></ref>|3}} Pseudoprimzahlen, die diese Kongruenz erfüllen, sind seltener als solche, die [[#Gl1|Kongruenz 1]] erfüllen. Wenn <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = 0\ </math>ist, haben <math>D</math> und <math>n</math> einen gemeinsamen Teiler; daher ist es zweckmäßig, Primzahltests auf Basis dieser Kongruenz abzubrechen, wenn das der Fall ist. Es gilt somit die zusätzliche Bedingung {{Formel2|Gl3.1|<math>\gcd(2DLQ, n)=1</math>.|}} === Lehmer-Pseudoprimzahlen mit n-abhängiger Parameterauswahl === Für Primzahltests haben sich experimentell Parameter mit <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> und <math>|Q| > 1\ </math> als besonders geeignet erwiesen, weil die Häufigkeit der Pseudoprimzahlen und die Überschneidung mit [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen|Fermatschen Pseudoprimzahlen]] damit gering sind. Dabei wird das kleinste D aus der Folge <math>D = 3, 7, 11, ... = 4k + 3\ </math> mit <math>k \ge 0</math> und mit diesem das kleinste L aus der Folge <math>L = D + 4 \cdot Q </math> mit <math>Q > 1\ </math>, so gewählt, dass die genannten Bedingungen erfüllt sind. Die Suche wird abgebrochen, wenn der Wert des Jacobi-Symbols Null ist, weil <math>n</math> und <math>D</math> bzw. <math>L</math> dann einen gemeinsamen Teiler haben; wenn <math>n > D</math> bzw. <math>n > L</math> ist, was beim Test großer Zahlen gegeben ist, muss <math>n</math> dann zusammengesetzt sein.<ref name="Loveless"></ref> Die ersten derartigen Pseudoprimzahlen sind 377, 559, 1199, 1829, 2507, 2561, 2771, 3827, 4819, 4879, 5719, 5777, 7067, 7739, 9179; sieben davon sind starke Lehmer-Pseudoprimzahlen: 377, 559, 1199, 2507, 5719, 5777, 7067. Die ersten Pseudoprimzahlen, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 108371, 42155801, 170067677. Die ersten Pseudoprimzahlen, die [[#Kongruenzen|Kongruenz 3]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 298574053, 1257360391, 3163076351, 4335829291. Da die Bedingung <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> größeren Einfluss als <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1\ </math> hat, kann auch <math>L</math> vorgegeben werden und das erste <math>D = L - 4Q\ </math> mit <math>Q > 1</math>, das diese Bedingung erfüllt, gesucht werden. Mit <math>L = -1</math> gibt es dabei besonders wenige starke Lehmer-Pseudoprimzahlen. Die ersten Pseudoprimzahlen mit dieser Parameterauswahl sind 527, 799, 1127, 1159, 1763, 2407, 2929, 3599, 4991, 5339, 5429, 6479, 6901, 8473; vier davon sind starke Lehmer-Pseudoprimzahlen: 799, 1127, 2407, 5429. Die ersten Pseudoprimzahlen, die mit dieser Parameterauswahl [[#Kongruenzen|Kongruenz 2]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 1121, 94669, 8788015. Die ersten Pseudoprimzahlen, die mit dieser Parameterauswahl [[#Kongruenzen|Kongruenz 3]] (nicht aber 1) erfüllen, sind 264607, 592165, 2048801, 35626501, 37941077, 292524365, 502430627. ==== Häufigkeit ==== {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lehmer-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! || colspan="6" | <math>\left(\tfrac{D}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> !! colspan="4" |gleichzeitig Lehmer- & |- ! Obergrenze x !! Lehmer !![[#Anker:FZ|f(x)^(I)]]!! [[#Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen|slehpsp]] !! [[#Kongruenz 2|leh2psp]] !! leh1&2psp !! [[#Kongruenz 3|leh3psp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen| psp(2)]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Starke Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³ || 2 || 2,0&middot;10^-2 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁴ || 15 || 3,7&middot;10^-3 || 7 || 0 || 0 || 0 || 0 || 5 || 1 || 1 |- | 10⁵ || 64 || 1,1&middot;10^-3 || 28 || 0 || 0 || 0 || 0 || 15 || 4 || 3 |- | 10⁶ || 205 || 3,5&middot;10^-4 || 72 || 1 || 0 || 0 || 0 || 40 || 9 || 3 |- | 10⁷ || 625 || 1,2&middot;10^-4 || 240 || 1 || 0 || 0 || 0 || 118 || 27 || 14 |- | 10⁸ || 1666 || 4,5&middot;10^-5 || 569 || 2 || 0 || 0 || 0 || 284 || 71 || 38 |- | 10⁹ || 4506 || 1,7&middot;10^-5 || 1477 || 3 || 0 || 1 || 0 || 792 || 215 || 123 |- | 10¹⁰ || 11876 || 6,4&middot;10^-6 || 3747 || 3 || 0 || 4 || 0 || 2037 || 555 || 326 |- | 10¹⁵ || || || || || || || 0 || 244330 || 71990 || 41365 |} ^(I){{Anker|FZ}}Mittlerer Anteil [[Pseudoprimzahlen: Starke Pseudoprimzahlen#Anzahl der Basen|falscher Zeugen]] beim Miller-Rabin-Test. {| class="wikitable" style="text-align:right;" |+ Anzahl der Lehmer(-1,*)-Pseudoprimzahlen und Überschneidung<br> mit fermatschen und Lucas-Pseudoprimzahlen |- ! || colspan="6" | <math>L = -1</math>, <math>\left(\tfrac{LD}{n}\right) = -1\ </math> !! colspan="4" |gleichzeitig Lehmer(-1,*)- & |- ! Obergrenze x !! Lehmer(-1,*) !![[#Anker:FZ|f(x)^(I)]]!! [[#Starke Lehmer-Pseudoprimzahlen|slehpsp]] !! [[#Kongruenz 2|leh2psp]] !! leh1&2psp !! [[#Kongruenz 3|leh3psp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Fermatsche Pseudoprimzahlen| psp(2)]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|lpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Starke Lucas-Selfridge-Pseudoprimzahlen|slpsp]] !! [[Pseudoprimzahlen: Lucas-Pseudoprimzahlen#Zusätzliche Kongruenzbedingung|vlpsp(1,&nbsp;-1)]] |- | 10³ || 2 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |- | 10⁴ || 14 || 1,9&middot;10^-3 || 4 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |- | 10⁵ || 62 || 9,7&middot;10^-4 || 13 || 2 || 0 || 0 || 0 || 12 || 5 || 1 |- | 10⁶ || 183 || 5,6&middot;10^-4 || 39 || 2 || 0 || 2 || 0 || 35 || 12 || 3 |- | 10⁷ || 530 || 2,0&middot;10^-4 || 129 || 3 || 0 || 3 || 0 || 102 || 35 || 7 |- | 10⁸ || 1528 || 6,8&middot;10^-5 || 356 || 3 || 0 || 5 || 0 || 255 || 77 || 14 |- | 10⁹ || 4146 || 2,5&middot;10^-5 || 879 || 3 || 0 || 7 || 0 || 664 || 184 || 35 |- | 10¹⁰ || 10982 || 9,5&middot;10^-6 || 2351 || 3 || 0 || 10 || 0 || 1774 || 487 || 109 |- | 10¹⁵ || || || || || || || 0 || 208971 || 63654 || 15565 |} == Quellen == <references/> 9axsn0ag0y59hzi70qere9pc7rb5ecj 1 121706 1089925 1080867 2026-08-21T15:50:57Z Intruder 1513 /* Hinweis zur Maxima-Version 5.48.1: Darstellung von 3-D-Flächen unter MS Windows 11 */ Antwort 1089925 wikitext text/x-wiki == Hinweis zur Maxima-Version 5.48.1: Darstellung von 3-D-Flächen unter MS Windows 11 == Ich habe ein paar Beispiele mit der neuen Maxima-Version 5.48.1 getestet. Das erste Beispiel unter [[Ing_Mathematik:_Computeralgebrasysteme_am_Beispiel_von_Maxima#Flächen]] f:explicit(sin(x)+3*cos(y), x, 0, 10, y, 0, 10); draw3d(surface_hide=true, f); funktioniert mit Maxima 5.48.1 (MS Windows 11) bei mir nicht richtig. Es sieht aus, als ob mit weißer Farbe auf weißem Hintergrund gezeichnet wird (man sieht außer den Koordinatenachsen nicht viel). Mit der Version 5.47 funktioniert es aber. Auch unter Linux (OpenSUSE Leap 15.6) funktioniert es mit der Version 5.48.1. Ev. ist das ein Bug von Maxima 5.48.1 unter MS Windows 11? Abwarten und Tee trinken!? Mal schauen was die nächsten Maxima-Versionen bringen. [[Benutzer:Intruder|Intruder]] 14:20, 7. Aug. 2025 (CEST) :Funktioniert bei mir auch unter Maxima 5.49.0 nicht richtig. [[Benutzer:Intruder|Intruder]] 09:29, 8. Feb. 2026 (CET) :Mit Maxima 5.50.0 funktioniert es wieder! [[Benutzer:Intruder|Intruder]] 17:50, 21. Aug. 2026 (CEST) gmd46cimekwokxk42odmn4ymqz8ysur 0 121899 1089929 1089737 2026-08-21T18:02:22Z ~2026-44479-37 116723 1089929 wikitext text/x-wiki {{Navigation hoch| hochtext=Inhaltsverzeichnis: Ungarisch: Thematischer Grundwortschatz| hochlink=Ungarisch#Thematischer Grundwortschatz}} ;Lehnwörter aus slawischen Sprachen im Ungarischen :jövevényszó - Lehnwort :Diese Liste wurde nur unter didaktischen Aspekten erstellt, um Sprachschülern zu helfen, die eine slawische Sprache sprechen. :Unter streng wissenschaftllichen Gesichtspunkten sind einige Wörter dabei, die aus nichtslawischen Sprachen stammen und nur über die slawischen Sprachen als Vermittler ins Ungarische gelangten. Auch sind einige Wörter dabei, bei denen kein ethymologischer Zusammenhang besteht, die aber dem entsprechenden Wort in den slawischen Sprachen sehr ähnlich klingen. :Die Sprachgeschichte solcher etymologisch verwandten Wörter ist oft umstritten und nicht eindeutig geklärt. :tükörszó - "Spiegelwort" (Lehnwort) :tükör - Spiegel :tükörforditás - Spiegelübersetzung ::(Beispiele englisch-deutsch: to make a difference - einen Unterschied machen [gemeint ist: etwas bewirken]; he was declared dead - er wurde für tot erklärt [das ist falsch, denn gemeint ist etwas anderes: sein Tot wurde festgestellt]) :Auf Spiegelübersetzungen soll hier aber nicht eingegangen werden, sondern nur auf einzelne Wörter. :tükörszó - Das ist ein Wort oder Ausdruck, der durch die wörtliche Übersetzung eines fremden Wortes oder Ausdrucks entstanden ist. :Bildungsregeln/Lautgesetze bei der Assimilation von fremden Wörtern in die ungarische Sprache: Der Fachmann spricht von '''Auflösung der Konsonantengruppe im Anlaut''', denn das Ungarische kennt ursprünglich keine Wörter, die mit zwei oder mehr Konsonanten beginnen. Diese Auflösung der Konsonantengruppen wurde auch bei Lehnwörtern angewendet. :Auch in der deutschen Sprache kommen wir bei "eingewanderten" Wörtern gelegentlich an die Toleranzgrenze unserer Zungenmuskulatur, wenn zu viele Konsonanten hintereinander stehen: :Die Aussprache von "springt" geht uns leicht über die Zunge. :Schwerer wird es schon bei "Aleksandr" (die russ. Variante von Alexander), "Dmitr", "Brno" (Stadt: Brünn), Dnepr (Fluss) oder gar "Srpska crkva" (Serbisch: Српска црква = Serbiche Kirche); :Die Ungarische Sprache hat eine noch viel stärkere "Aversion" gegen Konsonantenhäufungen und löst sie durch Einschub oder Voranstellung eines Vokals meist auf. :Bei erst kürzlich übernommenen Wörtern unterbleibt diese Auflösung der Konsonantenhäufung aber oft. :Häufige Lautregel: Wenn das ursprüngliche slawische Wort mit zwei Konsonanten hintereinanderstehenden beginnt, dann wird für das ungarische Lehnwort zwischen diese ein Vokal eingeschoben oder (seltener) davorgestellt: :Beispiele: :slawisch: '''sm'''et -> ungarisch: '''sz'''e'''m'''ét - Müll :slawisch: '''kl'''ucs -> ungarisch: '''k'''u'''l'''cs - Schlüssel :slawisch: '''kl'''ietka -> ungarisch: '''k'''a'''l'''itka - Käfig :slawisch: '''sk'''ola -> ungarisch: i'''sk'''ola - Schule :slawisch: '''dv'''or -> ungarisch: u'''dv'''ar - Hof # ablak - Fenster (Altkirchenslawisch: oblokъ [oblok]) # apáca - Nonne (Bedeutungsverschiebung; ursprünglisch Lateinisch: abbas - Abt; abbātissa - Äbtissin; später: Kirchenslawisch: apaticа - Äbtissin, Nonne; Polnisch: opatka - Äbtissin; Kroatisch/Serbisch: opatija - Kloster, Abtei) # asztal - Stuhl (Kroatisch: стол [stol], Slowenisch: stol, Russisch: стол [stol]) # bab - Bohne (Bulgarisch/Russisch: боб [bob]) # baj - Problem, Schwierigkeit, Not, Leiden; Krankheit (Serbokroatisch: boj - Kampf ???) # Balaton - der Balaton (urslawisch *bolto = sumpfig, morastig; Russisch: болото [boloto] = Sumpf, Morast; Bulgarisch: блато [blato] = Sumpf; Serbisch/Kroatisch: blato = Schlamm, Morast; Tschechisch: bláto = Schlamm, Matsch; Slowakisch: blato = Schlamm, Morast; Polnisch: błoto = Schlamm, Morast; auch sumpfiges Gelände) - ("bolatin" - das Wort steht in der Gründungsurkunde für das Kloster Tihany, am Balaton, von 1055, der ältesten erhaltenen vollständigen Urkunde Ungarns. Die Urkunde enthält die ältesten Schriftzeugnisse in ungarischer Sprache und in einer finno-ugrischen Sprache überhaupt.) # barack - Pfirsisch („őszibarack” = Herbst-Pfirsich; „sárgabarack” = gelbe Aprikose) (Serbisch: бресква [breska], Tschechisch/slowakisch: broskev, Kroatisch: breskva, Polnisch: broskiew, Bulgarisch: праскова [praskova] ) # bárány - Lamm (Russisch: барань [baran']) (Bedeutungsverschiebung: Hammel, Widder, Schafbock - Bulgarisch: баран [baran], Polnisch: baran) # barát (1) - Freund (Bedeutungsverschiebung: Bruder - Slowakisch/Kroatisch: brat, Russisch/Bulgarisch: брат [brat], Serbisch: брате [brate]) # barát (2) - Mönch (Klosterbruder, Bruder) (Russisch: брат [brat] = Bruder; Polnisch: brat, Tschechisch: bratr, Bulgarisch: брат [brat]) # barázda - Furche (Bulgarisch: бразда, ???) # bika - Bulle/Stier (Bosnisch: bik, Russisch: бык [byk], Slowenisch: bik) # bivaly - Büffel (Bulgarisch: бивол [bivol]; Russisch: буйвол [bujvol]; Polnisch: bawół, Serbokroatisch: bivol, Tschechisch: buvol, Slowakisch: byvol; zwar slawisch vermittel, aber ursprünglich aus dem Vulgär-Latein: buvalus/bubalus; das wiederum aus dem Alt-Griechischen: βούβαλος [boúbalos]) # bodnár - Fassbinder, Böttcher (Russisch: бондарь [bondarʹ], Polnisch: bednarz, Slowakisch: bednár, Tschechisch: bednář) (das ungarisch "kádár" ist aber das gebräuchlichere Wort dafür) # bolha - Floh (Russisch: блоха [blocha], Bulgarisch: бълхата [bălcha]) # borona - Egge (Russisch: борона [borona], Bulgarisch: брана [brana], Tschechisch/Slowakisch: brány; Polnisch. brona) # borotva - Rasierapparat, (borotvál - rasieren), ("borotva-" - "Rasier-") - (Bedeutungsverschiebung - Bart: Slowakisch/Slowenisch: brada, Bosnisch/Serbisch/Bulgarisch: брада [brada]) # cár - Zar (Kroatisch: car, Bulgarisch/Serbisch: цар [car], Russisch: царь [carʹ]) # cékla - Rote Bete (Kroatisch: cikla, Slowakisch: cvikla, Serbisch: цвекла [cvekla], Bulgarisch: цвекло [cveklo]) # cserép - Dachziegel (Russisch: черепица [čerepica]) # cseresznye - Kirsche (Süßkirsche) (Slowakisch: čerešňa, Bulgarisch: череша [čereša], Polnisch: czereśnia, Russisch: черешня [čerešnja]) # csésze - Tasse (Russisch: чашка [časchka], Bulgarisch: чаша [čascha]) # csoda - Wunder (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: чудо [čudo], Kroatisch: čudo, Polnisch: cud) # csorba - saure Fleischsuppe (Bulgarisch: чорба [čorba], Kroatisch: čorba; ursprünglisch osmansich-türkisch: çorba - Suppe) # csuka - Hecht (Serbisch: штука [štuka], Kroatisch: štuka, Bulgarisch: щука [štuka], Slowakisch: šťuka, Russisch: щука [ščuka]) # csütörtök - Donnerstag (Kroatisch: četvrtak, Slowakisch: štvrtok, Tschechisch: čtvrtek, Russisch: четверг [četverg], Bulgarisch: четвъртък [četvărtăk], Serbisch: четвртак [četvrtak]) # derék - tapfer, tüchtig, Taille, Lende (ur-slawisch *dobra / *dobrina = „gut, tüchtig, gut gebaut“; *dobrina = „Güte, gute Beschaffenheit, körperliche Tüchtigkeit“; im Altungarischen verschoben zu: „gut gebaut, kräftig, kernige Körpermitte“; schließlich konkretisiert zum Körperteil „Taille/Lende“; „derék ember“ = „ein tüchtiger, ordentlicher Mensch“; Die Bedeutung ist also eine alte Übertragung: „der gute (kräftige) Körperbereich“ → „kräftiger Mensch“ → „Taille“) („dobrina → derék“: Die Entwicklung ist alt und typisch für frühe ungarisch-slawische Kontakte: Anfangskonsonant d- bleibt. Der slawische Stammvokal „o“ wird zu ungarischem „e“. Das Suffix „-ina“ fällt weg / verschmilzt → ungarische Kürzung. „dobr- → der“ - Assimilation und Vokalangleichung. Endung „-ék“ ist eine altungarische Anpassung, typisch bei Substantivierungen.) # dinnye - Melone (Kroatisch: dinja, Serbisch: диња [dinja], Russisch: дыня [dynja]) # drága - teuer (Russisch: дорогой [dorogoy], Slowenisch: drág, Tschechisch/Slowakisch: drahý) # dumál - quatschen, labern, schwafeln (Bulgarisch ??? # ebéd - Mittagessen (Tschechisch: oběd, Russisch: обед [obed], Polnisch: obiad, Bulgarisch: обяд [objad]) # ecet - Essig (Slowakisch: ocot, Tschechisch: ocet, Bulgarisch: оцет [ocet] - Italienisch: aceto, - lateinische Wurzeln) # egres - Stachelbeere (Slowakisch: egreš, Tschechisch: angrešt) # elgázol - umfahren, überfahren, durchwaten (Bulgarisch: газя; Kroatisch ???) # deszka - Brett (Slowakisch: doska, Russisch: доска [doska], Bulgarisch: дъска [dăska]) # galamb - Taube (Bulgarisch: гълъб [gălăb], Serbisch: голуб [golub], Russisch: голубь [golubʹ], Serbokroatisch: голуб [golub], Slowakisch: holub) # gát - Damm, Deich, Sperrwerk (Bedeutungsverschiebung: Russisch: гать [gatʹ] - Bohlenweg im Sumpf, Damm; Polnisch: gaty - Spundwand, Damm; Kroatisch/Serbisch: gat - Kai, Anlegeplatz, Damm) # gereblye - Rechen (Kroatisch: grabulja, Slowenisch: grablje, Russisch/Ukrainisch: грабли [grabli], Bulgarisch: гребло [greblo]) # gilista - Wurm (Bulgarisch: глист [glist], Polnisch: glista, Tschechisch/Slowakisch: hlíst - in slawischen Sprachen nur für parasitäre Würmer) # gomba - Pilz (Bulgarisch: гъба [găba], Slowakisch: huba; Bedeutungserweiterung: Pilz/Schwamm) # hála - Dank, Dankbarkeit, Erkenntlichkeit (Tschechisch/Slowakisch: chvála - Lob; Polnisch: chwała – Ruhm, Lob, Ehre; Russisch: хвала [chvalá] – Lobpreisung; Kroatisch: hvala – Danke; Slowenisch: hvala – Danke; Bulgarisch: хвала [chvala] – Lob, Dank - gehoben, kirchlich / literarisch) # hiba - Fehler, Schuld, mangel, Defekt (Tschechisch: chyba - Fehler, Irrtum, Mangel; Slowakisch: chyba - Fehler, Mangel; Polnisch: chyba - wohl, wahrscheinlich, außer - Bedeutungsverschiebung; urslawisch: *xyba - Mangel, Fehler, Abweichung) # horkol - schnarchen (Tschechisch: chrápat, Slowakisch: chrápanie, Russisch: храпеть [chrapetʹ], Serbisch: хркати [hrkati], Kroatisch: hrkanje, Bulgarisch: ??, # iga - Joch (Russich/Bulgarisch: иго [igo]) # ikra - Kaviar (Russisch/Serbisch: икра [ikra], Kroatisch/Slowakisch: ikra) # iskola - Schule (Kroatisch/Tschechisch: škola, Russisch: школа [škola] - ursprünglich lateinische Wurzel: schola) # kalitka - Käfig (Slowakisch: klietka, Slowenisch: kletka, Russisch/Bulgarisch: клетка [kletka]) # kapa - Hacke (??, # kapál - hacken (Boden) (Kroatisch: kopati, Slowakisch: kopať, Tschechisch: kopat, Bulgarisch: копая [kopaja], Russisch: ??, # kapor - Dill (Kroatisch: kopar, Slowakisch: kôpor, Bulgarisch: копър [kopăr]) # káposzta - Kohl (Russisch: капуста [kapusta], Slowakisch/Polnisch: kapusta, Kroatisch: kupus, Serbisch: купус [kupus]) # karfiol - Blumenkohl (Kroatisch/Slowakisch: karfiol, Bulgarisch/Serbisch: карфиол [karfiol], Polnisch: kalafior) # kása - Brei (Russisch/Bulgarisch: каша [kaša], Tschechisch: kaše) # kasza - Sense (Slowenisch/Slowakisch/Tschechisch/Bosnisch/Polnisch: kosa, Russisch/Bulgarisch: коса [kosa]) # kazán - Kessel (Russisch/Bulgarisch/Serbisch: казан [kazan], Kroatisch: kazan, ursprünglisch aus dem Türkischen übernommen, Türkisch: kazan) # kémény - Schornstein (Bulgarisch: комин [komin], Russisch: камин [kamin], Tschechisch/Slowakisch: komín) (Das deutsche Wort „Kamin“ kommt zwar aus dem Lateinischen caminus, aber das ungarische kémény ist älter als der deutsche Einfluss.) # kereszt - Kreuz (Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: kríž, Russisch: крест [krest], Bulgarisch: кръст [krăst]) # keresztény - Christ (Bulgarisch: християнин [christijanin], Kroatisch: kršćanin, Tschechisch: křesťan, Russisch: кристиан [kristian]) # király - König (Bulgarisch: крал [kral] , Kroatisch/Slowenisch: kralj, Serbisch: краљ [kralj], Russisch: король [korolʹ], Tschechisch/Slowakisch: kráľ, Polnisch: król) # kocsma - Kneipe (Bulgarisch: кръчма [krăčma], Serbisch: крчма [krčma], Slowakisch/Tschechisch: krčma) # kolbász - Wurst (Tschechisch: klobása, Serbokroatisch: кобасица [kobasica], Russisch: колбаса [kolbasa]) # komló - Hopfen (Altslawisch chomъlъ [chom#l'] = Hopfen; Polnisch: chmiel = Hopfen; Lautverschiebung ch → k: kmiel und ein "o" eingefügt um die Konsonantenhäufung aufzulösen; → komiel →komló; Russisch: хмель [chmelʹ], Tschechisch/Slowakisch: chmel, Bulgarisch: хмел [chmel]) # konyha - Küche (Russisch/Bulgarisch: кухня [kuchnja], Polnisch: kuchnia, Tschechisch: kuchyně, Slowakisch: kuchyňa, Kroatisch: kuhinja) # kosár - Korb (Bosnisch: koš, Kroatisch: koš oder košara, Tschechisch: košík) # kovács - Schmied (Kroatisch: kovač, Slowakisch: kováč, Bulgarisch/Serbisch: ковач [kovač]) # kukorica - Mais (Kroatisch: kukuruz, Russisch: кукуруза [kukuruza], Slowenisch: koruza, Tschechisch: kukuřice) # kulcs - Schlüssel (Kroatisch/Bosnisch: ključ, Russisch/Bulgarisch: ключ [ključ], Serbisch: кључ [ključ]) # kurva - Hure, Prostituierte (Bulgarisch/Serbisch/Ukrainisch: курва [kurva], Polnisch: kurwa, Tschechisch/slowakisch: kurva) # kutya - Hund (Serbisch/Bulgarisch: куче [kuče], Kroatisch: kuja = Hündin, Ukrainisch: kucsu, Osmaisch: kuçukuçu) - onematopoetisch/lautmalerisch - streng genommen kein slawisches Lehnwort, da im Ungarischen unabhängig vom Slawischen entstanden # lapát - Schaufel (Kroatisch/Slowakisch: lopata, Serbisch/Bulgarisch/Russisch: лопата [lopata], Polnisch: łopata) # len - Flachs, Lein (Serbisch: лан [lan], Polnisch/Tschechisch: len, Slowakisch: ľan, Kroatisch: lan, Russisch/Bulgarisch: лен [len]) # mák - Mohn (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: мак [mak], Kroatisch: mak, Slowakisch: mak) # málna - Himbeere (Kroatisch/Slowenisch/Slowakisch: malina, Bulgarisch/Serbisch: малина [malina]) # malom - Mühle (Tschechisch: mlýn, Kroatisch: mlin, Polnisch: młyn, Serbisch: млин [mlin], Bulgarisch: мелница [melniza], Russisch: мельница [mel'niza]) # mecset - Moschee (Russisch: мечеть [mečetʹ], Slowakisch: mešita) # medve - Bär (Kroatisch: medvjed, Tschechisch: medvěd, Slowakisch: medveď, Russisch: медведь [medvedʹ]) # mér - messen (Russisch: мерить [meritʹ], Bulgarisch: меря [merja], Kroatisch: mjera, tschechisch: změřit) # mészáros - Fleischer (Kroatisch: mesar, Bulgarisch/Serbisch: месар [mesar], Slowakisch: mäsiar) # mocsár - Sumpf (Slowakisch: močiar) # munka - Arbeit (Bedeutungsverschiebung: - Altslawischen mǫka - Mühe, Plage, Qual, schwere Arbeit; heute: Russisch: мука [muka] - Qual, Leiden; Polnisch: męka - Qual, Plage; Tschechisch/Slowakisch: muka - Qual, schwere Mühsal; Bulgarisch: мъка [măka] = Leid, Mühsal) (heute Ungarisch: nicht mehr nur „Mühsal“, sondern allgemein „Arbeit“) # néma - stumm (Serbokroatisch: нем [nem], Bulgarisch: ням [njam], Russisch: немой [nemo], Slowakisch: nemý) # német - deutsch (Slowakisch: nemecký, Kroatisch: njemački, Russisch: немецкий [nemeckij]) # ólom - Blei (Polnisch: Ołów, Bulgarisch: олово [olovo]) # orosz - russisch, Russe (Slowakisch: ruský, Kroatisch: ruski, Bulgarisch: руски [ruski]) # pad - Sitzbank (Bedeutungsverschiebung: Russisch/Bulgarisch: под [pod] - unter) (siehe auch: padló) # padlizsán - Aubergine (Bosnisch: patlidžan, Kroatisch: patlidžan, Russisch: баклажан [baklažan], Bulgarisch: патладжан [patladžan] - ursprünglich arabisch/türkisch) # padló - Fußboden (Bedeutungsverschiebung: - Altslawisch: podъ = Unterlage, Basis, Boden; - Fußboden: Polnisch: podłoga; Tschechisch: podlaha; Bulgarisch: под[pod]) (siehe auch: pad) # páfrány - Farn (Bulgarisch/Serbisch: папрат [paprat], Kroatisch: paprat, Slowakisch: papraď, Russisch: папоротник [paporotnik], Polnisch: paproć) # pálca - Stock, Stab (Slowakisch: palica, Russisch: палка [palka]) # palota - Palast, großer Saal; Russisch: палата [palata] Saal, Kammer, Pavillon; Tschechisch: palác - Palast; Bulgarisch: палата [palata] - Palast, Residenz: Ursprung: lateinisch palātium - der Palatin (einer der sieben Hügel Roms, Sitz des Kaiserpalastes) → von dort „kaiserliche Residenz“. Über byzantinisch-griechisch palation → slawisch palata) # pamut - Baumwolle (Kroatisch/Bulgarisch: pamuk - aus dem Türkischen: pamuk) # pap - Pfarrer, Priester (Bulgarisch/Serbisch: поп [pop], Kroatisch: pop; : Kirchenslawisch: попъ [popŭ], eine volkssprachliche Verkürzung von попъ отецъ [pop otec] - Vater Priester; - ursprünglich altgriechisch: παπᾶς [papás] - Vater, Pfarrer) # paprika - paprika (urgemeinslawisch = die rekonstruierte gemeinsame Vorstufe aller slawischen Sprachen - ca. 1.–7. Jh. n. Chr.: paprъ - Pfeffer; heute: Pfeffer - Polnisch: pieprz, Tschechisch: pepř, Russisch: пе́рец [perec], Bulgarisch: пипе́р [piper]; - Das heutige paprika ist nicht „Pfeffer selbst“, sondern eine frühneuzeitliche südslawische Neubildung zu papr- + -ika = „kleiner Pfeffer“; übertragen auf die neue Chilifrucht aus Amerika. Ab ca. 1500–1550 kam Chili/Paprika über Spanien und Portugal nach Europa - → Italien → Balkan → Osmanisches Reich → Ungarn; Die Osmanischer Kulturraum übernimmt das Wort als Fremdwort; Ungarisch übernahm paprika im 17. Jahrhundert. Im 18.–19. Jh. wird es in Ungarn zum Nationalgewürz. - Das slawische Wort paprika ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf slawischer Grundlage.) - ??? Das alte slawische Wort bezeichnete Pfeffer. Das heutige Wort „Paprika“ ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf dieser alten Pfeffer-Wurzel und wurde erst nach der Einführung der amerikanischen Capsicum-Frucht auf Chili/Paprika übertragen. ??? # pára - Dampf (Kroatisch: para, Tschechisch: pára, Russisch пар [par], Serbisch/Bulgarisch: пара [para]) # pásztor - Hirte (ursprünglich lateinisch: Hirte; Kroatisch: pastir, Russisch: пасти [pasti], Serbisch: пастир [pastir], Polnisch: pasterz # patak - Bach (Tschechisch/Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: potok; /Serbisch: поток [potok]; Russich (Bedeutungsverschiebung: Strom, Fluss, Strömung): поток [potok]) # patko - Hufeisen (Kroatisch: potkovica, Slowakisch: podkova, Russisch/Bulgarisch: подкова [podkova]) # pelenka - Windel (Kroatisch: pelena, Tschechisch: plenka, Russisch: пелёнка [pelënka], Bulgarisch: пелена [pelena] # pecsenye - der Braten (Serbokroatisch: печење [pečenje], Bosnisch: pečenje, Tschechisch: pečeně) # pék - Bäcker (Slowenisch: pék, Kroatisch: pekar, Russisch: пекарь [pekarʹ], Serbisch/Bulgarisch: пекар [pekar]) # péntek - Freitag (Kroatisch: petak, Serbisch: петак [petak], Slowakisch: piatok, Bulgarisch: петък [petăk], Russisch: пятница [pjatniza]) # pince - Keller (Bedeutungsverschiebung: pivnica - Bierkeller, Bierkeller, Gaststube; abgeleitet von pivo = Bier) (Kroatisch: pivnica; Slowakisch: pivnica, Bulgarisch: пивница [pivniza]) (Im Ungarischen wurde aus pivnica → pince - durch Kürzung und Lautanpassung; mit der Bedeutung: allgemein Keller, Lagerraum). # pisztráng - Forelle (Bulgarisch: пъстърва [păstărva], Kroatisch: pastrva, Serbisch: пастрмка [pastrmka], Slowakisch: [pstruh], Polnisch: pstrąg) # polc - Regal (Bulgarisch/Serbisch: полица [polica], Russisch: полка [polka], Tschechisch: police, Kroatisch/Slowakisch: polica) # poloska - Wanze; (auch: Abhörwanz) (Tschechisch: ploštice, Slowakisch: ploštica, Polnisch: pluskwa) # pulyka - Pute (Bulgarisch: пуйка [pujka]; aus dem osmanisch-türkisch: pulub; evtl. Vermittlung über das Südslawische ins Ungarische) # puska - Gewehr (Bulgarisch/Serbisch: пушка [puška], Kroatisch: puška, Slowakisch/Tschechisch: puška) # puszta - verödet, leer (verödert: Bulgarisch/Serbisch: пуст [pust], Polnisch: opuszczony, Kroatisch: pustoš, Tschechisch/Slowakisch: pustý ; - - - ; leer: Russisch: пустой [pustoj], Polnisch: pusty) # rab - Gefangener (Bedeutungsverschiebung: Sklave - Kroatisch: rob, Russisch: раб [rab], Bulgarisch: роб [rob]) (ungarisch: rabszolga - Sklave [wörtlich: Gefangener-Diener]) # rák - Krebs (Kroatisch/Slowakisch/Tschechisch: rak, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: рак [rak], # répa - Rübe (Serbisch/Russisch: репа [repa], Tschechisch: řepa) # rizs - Reis (Serbisch: рижа [riža], Kroatisch: riža, Slowakisch: ryža, Russisch: рис [ris]) # raj - Schwarm (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch: roj, Slowakisch: rojiť, Serbisch: рој [roj], Russisch: рой [roj], Bulgarisch: рой [roj], Ponisch: rój) # rozs - Roggen (Bulgarisch: ръж [răž], Kroatisch: raž, Serbisch: раж [raž], Russisch: рожь [rož']) # rozsda - Rost (bulgarisch: ръжда [răžda], Polnisch: rdza, Slowakisch: hrdza) # sapka - Mütze (Russisch/Bulgarisch: шапка [šapka]) # sátor - Zelt (Russisch: шатёр [šatër], Serbisch: шатор [šator] - urspünglich wohl arabisch/türkisch) # sonka - Schinken (Tschechisch: šunka, Serbisch/Bulgarisch: шунка [šunka]) # szabad - frei (Slowenisch: svoboden, Kroatisch: slobodan, Russisch: свободный [svobodnyj], Bulgarisch: свободен [svoboden]) # szalma - Stroh (Kroatisch: sloma, Bulgarisch: слама [slama], Russisch: солома [soloma]) # szán/szánkó - Schlitten (Polnisch: sanki, Russisch: санки [sanki], Slowakisch: sane, Kroatisch: saonice, Slowakisch: sánky) # szalonna - Speck (Slowakisch: slanina, Kroatisch: slanina, Bulgarisch. сланина [slanina], # szappan - Seife (Kroatisch/Bosnisch/bulgarisch: sapun - ursprünglich französisch: savon) # szemét - Müll (Tschechisch: smetí, Bulgarisch: смет [smet]) # széna - Heu (Slowakisch: seno, Kroatisch: sijeno, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: сено [seno]) # szerda - Mittwoch (Bulgarisch: сряда [srjada], Russisch/Serbisch: среда [sreda], Kroatisch: srijeda, Slowakisch: streda, Slowenisch: sreda) # szikla - Fels (Slowakisch: skala, Russisch/Bulgarisch: скала [skala] # szikra - Funke (Slowakisch/Kroatisch: iskra, Russisch/Serbisch/Bulgarisch: искра [iskra]) # szilva - Pflaume, Zwetschge (Bulgarisch/Russisch: слива [sliva], Kroatisch: šljiva, Slowakisch: slivka, Sebisch: шљива [šliva]) # szita - Sieb (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch/Slowakisch: sito, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: сито [sito]) # szoknya - Rock (Kroatisch: suknja, Serbisch: сукња [suknja], Tschechisch: sukně, Slowakisch: sukňa; Polnisch (Kleid): suknia; Bulgarisch (Bedeutungsverschiebung: Wolltuch): сукно [sukno]) # szolga - Diener (Polnisch: sługa, Kroatisch: sluga, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: слуга [sluga], Slowakisch: sluha) # szomszéd - Nachbar (Bulgarisch: съсед [săsed], Kroatisch: susjed, Polnisch: sąsiad, Russisch: сосед [sosed], Slowakisch: sused) # szuka - Hündin (Russisch: сука [suka]) # tábor - Lager (Tschechisch: tábor, Bulgarisch: табор [tabor]) # takács - Weber (Bulgarisch: тъкач [tăkač], Russich/Serbisch: ткач [tkač], Kroatisch: tkalac, Tschechisch: tkadlec, Polnisch: tkacz) # takácsműhely - Weberei (wörtlich: Web-Werkstatt; nur der erste Wortteil "takács" ist slawisch; für andere Begriff mit "weben, Gewebe, Webstuhl" wird das rein urungarisches Wort "sző" verwendet) # tészta - Teig (Kroatisch: tijesto, Bulgarisch/Serbisch/Russisch: тесто [testo], Slowakisch: cesto) # tiszta - sauber (Kroatisch: čist, Slowakisch: čisté, Russisch: чистый [čisty], Serbisch/Bulgarisch: чист [čist]) # túró - Hüttenkäse (Quark) (Tschechisch/Slowakisch: tvaroh, Kroatisch: tvorog, Russisch: творог [tvorog]) # uborka - Gurke (Slowakisch: uhorka, Tschechisch: okurka) # udvar - Hof (Russisch/Bulgarisch: двор [dvor], Kroatisch: dvorište, Serbisch: двориште [dvorište], Slowakisch: dvore, Tschechisch: dvůr) # unoka - Enkel (Serbisch: унук [unuk], Kroatisch: unuk, Bulgarisch: внук [vnuk], Tschechisch/Slowakisch: vnuk, Polnisch: wnuk) # uzsonna - Zwischenmahlzeit, Vesper, Nachmittagskaffee (Russich: ужин [užin]) # vacsora - Abendessen (Slowakisch/Kroatisch: večera, Serbisch: вечера [večera], Bulgarisch: вечеря [večerja]) # veréb - Spatz (Bulgarisch: врабче [vrabče], Kroatisch: vrabac, Polnisch: wróbel, Russisch: воробей [vorobej], Tschechisch/Slowakisch: vrabec) # vidra - Otter (Kroatisch/Slowenisch: vidra, Russisch: выдра [vydra], Tschechisch: vydra) # vihar - Sturm (Tschechisch: vichřice, Slowakisch: víchrica, Polnisch: wicher; - - - ;Bedeutungsverschiebung: Wirbelwind: Kroatisch: vihor - Wirbel: Russisch: вихрь [vichrʹ]; Bulgarisch: вихър [vichăr] = Wirbelwind) # villa - Gabel (Bulgarisch: вилица [vilica], Kroatisch: vilica, Slowakisch: idlička) # zálog - Pfand, Unterpfand (Tschechisch: záloha, Kroatisch: zalog, Bulgarisch/Serbisch: залог [zalog]) # zsába - stechender Schmerz, Nervenschmerz, Neuralgie (oft als Zusammensetzung: idegzsába - Nervenschmerz, Neuralgie; derékzsába - Hexenschuss, Lumbago; arczsába - Gesichtsneuralgie, Trigeminusneuralgie; ágyékzsába - Lendenschmerz; Bedeutungsverschiebung: Kröte, Frosch - in den slawischen Sprachen: Serbisch/Bulgarisch: жаба [žaba]; Ponisch: żaba; Tschechisch/Slowakisch: žába; Kroatisch žaba) # zseb - Tasche (Kleidung) (Bulgarisch: джоб [džob], Kroatisch: džep, Serbisch: џеп [džep] - ursprünglich wohl Türkisch: cep) # zsidó - Jude (Kroatisch: židovska, Slowakisch: žid) # zsír - Fett (Russisch: жир [žir]) i2k5otrd0twlbin7ehcc3h9icihvo96 1089930 1089929 2026-08-21T18:09:34Z ~2026-44479-37 116723 1089930 wikitext text/x-wiki {{Navigation hoch| hochtext=Inhaltsverzeichnis: Ungarisch: Thematischer Grundwortschatz| hochlink=Ungarisch#Thematischer Grundwortschatz}} ;Lehnwörter aus slawischen Sprachen im Ungarischen :jövevényszó - Lehnwort :Diese Liste wurde nur unter didaktischen Aspekten erstellt, um Sprachschülern zu helfen, die eine slawische Sprache sprechen. :Unter streng wissenschaftllichen Gesichtspunkten sind einige Wörter dabei, die aus nichtslawischen Sprachen stammen und nur über die slawischen Sprachen als Vermittler ins Ungarische gelangten. Auch sind einige Wörter dabei, bei denen kein ethymologischer Zusammenhang besteht, die aber dem entsprechenden Wort in den slawischen Sprachen sehr ähnlich klingen. :Die Sprachgeschichte solcher etymologisch verwandten Wörter ist oft umstritten und nicht eindeutig geklärt. :tükörszó - "Spiegelwort" (Lehnwort) :tükör - Spiegel :tükörforditás - Spiegelübersetzung ::(Beispiele englisch-deutsch: to make a difference - einen Unterschied machen [gemeint ist: etwas bewirken]; he was declared dead - er wurde für tot erklärt [das ist falsch, denn gemeint ist etwas anderes: sein Tot wurde festgestellt]) :Auf Spiegelübersetzungen soll hier aber nicht eingegangen werden, sondern nur auf einzelne Wörter. :tükörszó - Das ist ein Wort oder Ausdruck, der durch die wörtliche Übersetzung eines fremden Wortes oder Ausdrucks entstanden ist. :Bildungsregeln/Lautgesetze bei der Assimilation von fremden Wörtern in die ungarische Sprache: Der Fachmann spricht von '''Auflösung der Konsonantengruppe im Anlaut''', denn das Ungarische kennt ursprünglich keine Wörter, die mit zwei oder mehr Konsonanten beginnen. Diese Auflösung der Konsonantengruppen wurde auch bei Lehnwörtern angewendet. :Auch in der deutschen Sprache kommen wir bei "eingewanderten" Wörtern gelegentlich an die Toleranzgrenze unserer Zungenmuskulatur, wenn zu viele Konsonanten hintereinander stehen: :Die Aussprache von "springt" geht uns leicht über die Zunge. :Schwerer wird es schon bei "Aleksandr" (die russ. Variante von Alexander), "Dmitr", "Brno" (Stadt: Brünn), "Dnepr" (Fluss) oder gar "Srpska crkva" (Serbisch: Српска црква = Serbische Kirche). Auch die folgenden slowakischen Wörter sind diesbezüglich interessant: "vlk" - Wolf, "prst" - Finger, "krv" - Blut. :Die Ungarische Sprache hat eine noch viel stärkere "Aversion" gegen Konsonantenhäufungen und löst sie durch Einschub oder Voranstellung eines Vokals meist auf. :Bei erst kürzlich übernommenen Wörtern unterbleibt diese Auflösung der Konsonantenhäufung aber oft. :Häufige Lautregel: Wenn das ursprüngliche slawische Wort mit zwei Konsonanten hintereinanderstehenden beginnt, dann wird für das ungarische Lehnwort zwischen diese ein Vokal eingeschoben oder (seltener) davorgestellt: :Beispiele: :slawisch: '''sm'''et -> ungarisch: '''sz'''e'''m'''ét - Müll :slawisch: '''kl'''ucs -> ungarisch: '''k'''u'''l'''cs - Schlüssel :slawisch: '''kl'''ietka -> ungarisch: '''k'''a'''l'''itka - Käfig :slawisch: '''sk'''ola -> ungarisch: i'''sk'''ola - Schule :slawisch: '''dv'''or -> ungarisch: u'''dv'''ar - Hof # ablak - Fenster (Altkirchenslawisch: oblokъ [oblok]) # apáca - Nonne (Bedeutungsverschiebung; ursprünglisch Lateinisch: abbas - Abt; abbātissa - Äbtissin; später: Kirchenslawisch: apaticа - Äbtissin, Nonne; Polnisch: opatka - Äbtissin; Kroatisch/Serbisch: opatija - Kloster, Abtei) # asztal - Stuhl (Kroatisch: стол [stol], Slowenisch: stol, Russisch: стол [stol]) # bab - Bohne (Bulgarisch/Russisch: боб [bob]) # baj - Problem, Schwierigkeit, Not, Leiden; Krankheit (Serbokroatisch: boj - Kampf ???) # Balaton - der Balaton (urslawisch *bolto = sumpfig, morastig; Russisch: болото [boloto] = Sumpf, Morast; Bulgarisch: блато [blato] = Sumpf; Serbisch/Kroatisch: blato = Schlamm, Morast; Tschechisch: bláto = Schlamm, Matsch; Slowakisch: blato = Schlamm, Morast; Polnisch: błoto = Schlamm, Morast; auch sumpfiges Gelände) - ("bolatin" - das Wort steht in der Gründungsurkunde für das Kloster Tihany, am Balaton, von 1055, der ältesten erhaltenen vollständigen Urkunde Ungarns. Die Urkunde enthält die ältesten Schriftzeugnisse in ungarischer Sprache und in einer finno-ugrischen Sprache überhaupt.) # barack - Pfirsisch („őszibarack” = Herbst-Pfirsich; „sárgabarack” = gelbe Aprikose) (Serbisch: бресква [breska], Tschechisch/slowakisch: broskev, Kroatisch: breskva, Polnisch: broskiew, Bulgarisch: праскова [praskova] ) # bárány - Lamm (Russisch: барань [baran']) (Bedeutungsverschiebung: Hammel, Widder, Schafbock - Bulgarisch: баран [baran], Polnisch: baran) # barát (1) - Freund (Bedeutungsverschiebung: Bruder - Slowakisch/Kroatisch: brat, Russisch/Bulgarisch: брат [brat], Serbisch: брате [brate]) # barát (2) - Mönch (Klosterbruder, Bruder) (Russisch: брат [brat] = Bruder; Polnisch: brat, Tschechisch: bratr, Bulgarisch: брат [brat]) # barázda - Furche (Bulgarisch: бразда, ???) # bika - Bulle/Stier (Bosnisch: bik, Russisch: бык [byk], Slowenisch: bik) # bivaly - Büffel (Bulgarisch: бивол [bivol]; Russisch: буйвол [bujvol]; Polnisch: bawół, Serbokroatisch: bivol, Tschechisch: buvol, Slowakisch: byvol; zwar slawisch vermittel, aber ursprünglich aus dem Vulgär-Latein: buvalus/bubalus; das wiederum aus dem Alt-Griechischen: βούβαλος [boúbalos]) # bodnár - Fassbinder, Böttcher (Russisch: бондарь [bondarʹ], Polnisch: bednarz, Slowakisch: bednár, Tschechisch: bednář) (das ungarisch "kádár" ist aber das gebräuchlichere Wort dafür) # bolha - Floh (Russisch: блоха [blocha], Bulgarisch: бълхата [bălcha]) # borona - Egge (Russisch: борона [borona], Bulgarisch: брана [brana], Tschechisch/Slowakisch: brány; Polnisch. brona) # borotva - Rasierapparat, (borotvál - rasieren), ("borotva-" - "Rasier-") - (Bedeutungsverschiebung - Bart: Slowakisch/Slowenisch: brada, Bosnisch/Serbisch/Bulgarisch: брада [brada]) # cár - Zar (Kroatisch: car, Bulgarisch/Serbisch: цар [car], Russisch: царь [carʹ]) # cékla - Rote Bete (Kroatisch: cikla, Slowakisch: cvikla, Serbisch: цвекла [cvekla], Bulgarisch: цвекло [cveklo]) # cserép - Dachziegel (Russisch: черепица [čerepica]) # cseresznye - Kirsche (Süßkirsche) (Slowakisch: čerešňa, Bulgarisch: череша [čereša], Polnisch: czereśnia, Russisch: черешня [čerešnja]) # csésze - Tasse (Russisch: чашка [časchka], Bulgarisch: чаша [čascha]) # csoda - Wunder (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: чудо [čudo], Kroatisch: čudo, Polnisch: cud) # csorba - saure Fleischsuppe (Bulgarisch: чорба [čorba], Kroatisch: čorba; ursprünglisch osmansich-türkisch: çorba - Suppe) # csuka - Hecht (Serbisch: штука [štuka], Kroatisch: štuka, Bulgarisch: щука [štuka], Slowakisch: šťuka, Russisch: щука [ščuka]) # csütörtök - Donnerstag (Kroatisch: četvrtak, Slowakisch: štvrtok, Tschechisch: čtvrtek, Russisch: четверг [četverg], Bulgarisch: четвъртък [četvărtăk], Serbisch: четвртак [četvrtak]) # derék - tapfer, tüchtig, Taille, Lende (ur-slawisch *dobra / *dobrina = „gut, tüchtig, gut gebaut“; *dobrina = „Güte, gute Beschaffenheit, körperliche Tüchtigkeit“; im Altungarischen verschoben zu: „gut gebaut, kräftig, kernige Körpermitte“; schließlich konkretisiert zum Körperteil „Taille/Lende“; „derék ember“ = „ein tüchtiger, ordentlicher Mensch“; Die Bedeutung ist also eine alte Übertragung: „der gute (kräftige) Körperbereich“ → „kräftiger Mensch“ → „Taille“) („dobrina → derék“: Die Entwicklung ist alt und typisch für frühe ungarisch-slawische Kontakte: Anfangskonsonant d- bleibt. Der slawische Stammvokal „o“ wird zu ungarischem „e“. Das Suffix „-ina“ fällt weg / verschmilzt → ungarische Kürzung. „dobr- → der“ - Assimilation und Vokalangleichung. Endung „-ék“ ist eine altungarische Anpassung, typisch bei Substantivierungen.) # dinnye - Melone (Kroatisch: dinja, Serbisch: диња [dinja], Russisch: дыня [dynja]) # drága - teuer (Russisch: дорогой [dorogoy], Slowenisch: drág, Tschechisch/Slowakisch: drahý) # dumál - quatschen, labern, schwafeln (Bulgarisch ??? # ebéd - Mittagessen (Tschechisch: oběd, Russisch: обед [obed], Polnisch: obiad, Bulgarisch: обяд [objad]) # ecet - Essig (Slowakisch: ocot, Tschechisch: ocet, Bulgarisch: оцет [ocet] - Italienisch: aceto, - lateinische Wurzeln) # egres - Stachelbeere (Slowakisch: egreš, Tschechisch: angrešt) # elgázol - umfahren, überfahren, durchwaten (Bulgarisch: газя; Kroatisch ???) # deszka - Brett (Slowakisch: doska, Russisch: доска [doska], Bulgarisch: дъска [dăska]) # galamb - Taube (Bulgarisch: гълъб [gălăb], Serbisch: голуб [golub], Russisch: голубь [golubʹ], Serbokroatisch: голуб [golub], Slowakisch: holub) # gát - Damm, Deich, Sperrwerk (Bedeutungsverschiebung: Russisch: гать [gatʹ] - Bohlenweg im Sumpf, Damm; Polnisch: gaty - Spundwand, Damm; Kroatisch/Serbisch: gat - Kai, Anlegeplatz, Damm) # gereblye - Rechen (Kroatisch: grabulja, Slowenisch: grablje, Russisch/Ukrainisch: грабли [grabli], Bulgarisch: гребло [greblo]) # gilista - Wurm (Bulgarisch: глист [glist], Polnisch: glista, Tschechisch/Slowakisch: hlíst - in slawischen Sprachen nur für parasitäre Würmer) # gomba - Pilz (Bulgarisch: гъба [găba], Slowakisch: huba; Bedeutungserweiterung: Pilz/Schwamm) # hála - Dank, Dankbarkeit, Erkenntlichkeit (Tschechisch/Slowakisch: chvála - Lob; Polnisch: chwała – Ruhm, Lob, Ehre; Russisch: хвала [chvalá] – Lobpreisung; Kroatisch: hvala – Danke; Slowenisch: hvala – Danke; Bulgarisch: хвала [chvala] – Lob, Dank - gehoben, kirchlich / literarisch) # hiba - Fehler, Schuld, mangel, Defekt (Tschechisch: chyba - Fehler, Irrtum, Mangel; Slowakisch: chyba - Fehler, Mangel; Polnisch: chyba - wohl, wahrscheinlich, außer - Bedeutungsverschiebung; urslawisch: *xyba - Mangel, Fehler, Abweichung) # horkol - schnarchen (Tschechisch: chrápat, Slowakisch: chrápanie, Russisch: храпеть [chrapetʹ], Serbisch: хркати [hrkati], Kroatisch: hrkanje, Bulgarisch: ??, # iga - Joch (Russich/Bulgarisch: иго [igo]) # ikra - Kaviar (Russisch/Serbisch: икра [ikra], Kroatisch/Slowakisch: ikra) # iskola - Schule (Kroatisch/Tschechisch: škola, Russisch: школа [škola] - ursprünglich lateinische Wurzel: schola) # kalitka - Käfig (Slowakisch: klietka, Slowenisch: kletka, Russisch/Bulgarisch: клетка [kletka]) # kapa - Hacke (??, # kapál - hacken (Boden) (Kroatisch: kopati, Slowakisch: kopať, Tschechisch: kopat, Bulgarisch: копая [kopaja], Russisch: ??, # kapor - Dill (Kroatisch: kopar, Slowakisch: kôpor, Bulgarisch: копър [kopăr]) # káposzta - Kohl (Russisch: капуста [kapusta], Slowakisch/Polnisch: kapusta, Kroatisch: kupus, Serbisch: купус [kupus]) # karfiol - Blumenkohl (Kroatisch/Slowakisch: karfiol, Bulgarisch/Serbisch: карфиол [karfiol], Polnisch: kalafior) # kása - Brei (Russisch/Bulgarisch: каша [kaša], Tschechisch: kaše) # kasza - Sense (Slowenisch/Slowakisch/Tschechisch/Bosnisch/Polnisch: kosa, Russisch/Bulgarisch: коса [kosa]) # kazán - Kessel (Russisch/Bulgarisch/Serbisch: казан [kazan], Kroatisch: kazan, ursprünglisch aus dem Türkischen übernommen, Türkisch: kazan) # kémény - Schornstein (Bulgarisch: комин [komin], Russisch: камин [kamin], Tschechisch/Slowakisch: komín) (Das deutsche Wort „Kamin“ kommt zwar aus dem Lateinischen caminus, aber das ungarische kémény ist älter als der deutsche Einfluss.) # kereszt - Kreuz (Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: kríž, Russisch: крест [krest], Bulgarisch: кръст [krăst]) # keresztény - Christ (Bulgarisch: християнин [christijanin], Kroatisch: kršćanin, Tschechisch: křesťan, Russisch: кристиан [kristian]) # király - König (Bulgarisch: крал [kral] , Kroatisch/Slowenisch: kralj, Serbisch: краљ [kralj], Russisch: король [korolʹ], Tschechisch/Slowakisch: kráľ, Polnisch: król) # kocsma - Kneipe (Bulgarisch: кръчма [krăčma], Serbisch: крчма [krčma], Slowakisch/Tschechisch: krčma) # kolbász - Wurst (Tschechisch: klobása, Serbokroatisch: кобасица [kobasica], Russisch: колбаса [kolbasa]) # komló - Hopfen (Altslawisch chomъlъ [chom#l'] = Hopfen; Polnisch: chmiel = Hopfen; Lautverschiebung ch → k: kmiel und ein "o" eingefügt um die Konsonantenhäufung aufzulösen; → komiel →komló; Russisch: хмель [chmelʹ], Tschechisch/Slowakisch: chmel, Bulgarisch: хмел [chmel]) # konyha - Küche (Russisch/Bulgarisch: кухня [kuchnja], Polnisch: kuchnia, Tschechisch: kuchyně, Slowakisch: kuchyňa, Kroatisch: kuhinja) # kosár - Korb (Bosnisch: koš, Kroatisch: koš oder košara, Tschechisch: košík) # kovács - Schmied (Kroatisch: kovač, Slowakisch: kováč, Bulgarisch/Serbisch: ковач [kovač]) # kukorica - Mais (Kroatisch: kukuruz, Russisch: кукуруза [kukuruza], Slowenisch: koruza, Tschechisch: kukuřice) # kulcs - Schlüssel (Kroatisch/Bosnisch: ključ, Russisch/Bulgarisch: ключ [ključ], Serbisch: кључ [ključ]) # kurva - Hure, Prostituierte (Bulgarisch/Serbisch/Ukrainisch: курва [kurva], Polnisch: kurwa, Tschechisch/slowakisch: kurva) # kutya - Hund (Serbisch/Bulgarisch: куче [kuče], Kroatisch: kuja = Hündin, Ukrainisch: kucsu, Osmaisch: kuçukuçu) - onematopoetisch/lautmalerisch - streng genommen kein slawisches Lehnwort, da im Ungarischen unabhängig vom Slawischen entstanden # lapát - Schaufel (Kroatisch/Slowakisch: lopata, Serbisch/Bulgarisch/Russisch: лопата [lopata], Polnisch: łopata) # len - Flachs, Lein (Serbisch: лан [lan], Polnisch/Tschechisch: len, Slowakisch: ľan, Kroatisch: lan, Russisch/Bulgarisch: лен [len]) # mák - Mohn (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: мак [mak], Kroatisch: mak, Slowakisch: mak) # málna - Himbeere (Kroatisch/Slowenisch/Slowakisch: malina, Bulgarisch/Serbisch: малина [malina]) # malom - Mühle (Tschechisch: mlýn, Kroatisch: mlin, Polnisch: młyn, Serbisch: млин [mlin], Bulgarisch: мелница [melniza], Russisch: мельница [mel'niza]) # mecset - Moschee (Russisch: мечеть [mečetʹ], Slowakisch: mešita) # medve - Bär (Kroatisch: medvjed, Tschechisch: medvěd, Slowakisch: medveď, Russisch: медведь [medvedʹ]) # mér - messen (Russisch: мерить [meritʹ], Bulgarisch: меря [merja], Kroatisch: mjera, tschechisch: změřit) # mészáros - Fleischer (Kroatisch: mesar, Bulgarisch/Serbisch: месар [mesar], Slowakisch: mäsiar) # mocsár - Sumpf (Slowakisch: močiar) # munka - Arbeit (Bedeutungsverschiebung: - Altslawischen mǫka - Mühe, Plage, Qual, schwere Arbeit; heute: Russisch: мука [muka] - Qual, Leiden; Polnisch: męka - Qual, Plage; Tschechisch/Slowakisch: muka - Qual, schwere Mühsal; Bulgarisch: мъка [măka] = Leid, Mühsal) (heute Ungarisch: nicht mehr nur „Mühsal“, sondern allgemein „Arbeit“) # néma - stumm (Serbokroatisch: нем [nem], Bulgarisch: ням [njam], Russisch: немой [nemo], Slowakisch: nemý) # német - deutsch (Slowakisch: nemecký, Kroatisch: njemački, Russisch: немецкий [nemeckij]) # ólom - Blei (Polnisch: Ołów, Bulgarisch: олово [olovo]) # orosz - russisch, Russe (Slowakisch: ruský, Kroatisch: ruski, Bulgarisch: руски [ruski]) # pad - Sitzbank (Bedeutungsverschiebung: Russisch/Bulgarisch: под [pod] - unter) (siehe auch: padló) # padlizsán - Aubergine (Bosnisch: patlidžan, Kroatisch: patlidžan, Russisch: баклажан [baklažan], Bulgarisch: патладжан [patladžan] - ursprünglich arabisch/türkisch) # padló - Fußboden (Bedeutungsverschiebung: - Altslawisch: podъ = Unterlage, Basis, Boden; - Fußboden: Polnisch: podłoga; Tschechisch: podlaha; Bulgarisch: под[pod]) (siehe auch: pad) # páfrány - Farn (Bulgarisch/Serbisch: папрат [paprat], Kroatisch: paprat, Slowakisch: papraď, Russisch: папоротник [paporotnik], Polnisch: paproć) # pálca - Stock, Stab (Slowakisch: palica, Russisch: палка [palka]) # palota - Palast, großer Saal; Russisch: палата [palata] Saal, Kammer, Pavillon; Tschechisch: palác - Palast; Bulgarisch: палата [palata] - Palast, Residenz: Ursprung: lateinisch palātium - der Palatin (einer der sieben Hügel Roms, Sitz des Kaiserpalastes) → von dort „kaiserliche Residenz“. Über byzantinisch-griechisch palation → slawisch palata) # pamut - Baumwolle (Kroatisch/Bulgarisch: pamuk - aus dem Türkischen: pamuk) # pap - Pfarrer, Priester (Bulgarisch/Serbisch: поп [pop], Kroatisch: pop; : Kirchenslawisch: попъ [popŭ], eine volkssprachliche Verkürzung von попъ отецъ [pop otec] - Vater Priester; - ursprünglich altgriechisch: παπᾶς [papás] - Vater, Pfarrer) # paprika - paprika (urgemeinslawisch = die rekonstruierte gemeinsame Vorstufe aller slawischen Sprachen - ca. 1.–7. Jh. n. Chr.: paprъ - Pfeffer; heute: Pfeffer - Polnisch: pieprz, Tschechisch: pepř, Russisch: пе́рец [perec], Bulgarisch: пипе́р [piper]; - Das heutige paprika ist nicht „Pfeffer selbst“, sondern eine frühneuzeitliche südslawische Neubildung zu papr- + -ika = „kleiner Pfeffer“; übertragen auf die neue Chilifrucht aus Amerika. Ab ca. 1500–1550 kam Chili/Paprika über Spanien und Portugal nach Europa - → Italien → Balkan → Osmanisches Reich → Ungarn; Die Osmanischer Kulturraum übernimmt das Wort als Fremdwort; Ungarisch übernahm paprika im 17. Jahrhundert. Im 18.–19. Jh. wird es in Ungarn zum Nationalgewürz. - Das slawische Wort paprika ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf slawischer Grundlage.) - ??? Das alte slawische Wort bezeichnete Pfeffer. Das heutige Wort „Paprika“ ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf dieser alten Pfeffer-Wurzel und wurde erst nach der Einführung der amerikanischen Capsicum-Frucht auf Chili/Paprika übertragen. ??? # pára - Dampf (Kroatisch: para, Tschechisch: pára, Russisch пар [par], Serbisch/Bulgarisch: пара [para]) # pásztor - Hirte (ursprünglich lateinisch: Hirte; Kroatisch: pastir, Russisch: пасти [pasti], Serbisch: пастир [pastir], Polnisch: pasterz # patak - Bach (Tschechisch/Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: potok; /Serbisch: поток [potok]; Russich (Bedeutungsverschiebung: Strom, Fluss, Strömung): поток [potok]) # patko - Hufeisen (Kroatisch: potkovica, Slowakisch: podkova, Russisch/Bulgarisch: подкова [podkova]) # pelenka - Windel (Kroatisch: pelena, Tschechisch: plenka, Russisch: пелёнка [pelënka], Bulgarisch: пелена [pelena] # pecsenye - der Braten (Serbokroatisch: печење [pečenje], Bosnisch: pečenje, Tschechisch: pečeně) # pék - Bäcker (Slowenisch: pék, Kroatisch: pekar, Russisch: пекарь [pekarʹ], Serbisch/Bulgarisch: пекар [pekar]) # péntek - Freitag (Kroatisch: petak, Serbisch: петак [petak], Slowakisch: piatok, Bulgarisch: петък [petăk], Russisch: пятница [pjatniza]) # pince - Keller (Bedeutungsverschiebung: pivnica - Bierkeller, Bierkeller, Gaststube; abgeleitet von pivo = Bier) (Kroatisch: pivnica; Slowakisch: pivnica, Bulgarisch: пивница [pivniza]) (Im Ungarischen wurde aus pivnica → pince - durch Kürzung und Lautanpassung; mit der Bedeutung: allgemein Keller, Lagerraum). # pisztráng - Forelle (Bulgarisch: пъстърва [păstărva], Kroatisch: pastrva, Serbisch: пастрмка [pastrmka], Slowakisch: [pstruh], Polnisch: pstrąg) # polc - Regal (Bulgarisch/Serbisch: полица [polica], Russisch: полка [polka], Tschechisch: police, Kroatisch/Slowakisch: polica) # poloska - Wanze; (auch: Abhörwanz) (Tschechisch: ploštice, Slowakisch: ploštica, Polnisch: pluskwa) # pulyka - Pute (Bulgarisch: пуйка [pujka]; aus dem osmanisch-türkisch: pulub; evtl. Vermittlung über das Südslawische ins Ungarische) # puska - Gewehr (Bulgarisch/Serbisch: пушка [puška], Kroatisch: puška, Slowakisch/Tschechisch: puška) # puszta - verödet, leer (verödert: Bulgarisch/Serbisch: пуст [pust], Polnisch: opuszczony, Kroatisch: pustoš, Tschechisch/Slowakisch: pustý ; - - - ; leer: Russisch: пустой [pustoj], Polnisch: pusty) # rab - Gefangener (Bedeutungsverschiebung: Sklave - Kroatisch: rob, Russisch: раб [rab], Bulgarisch: роб [rob]) (ungarisch: rabszolga - Sklave [wörtlich: Gefangener-Diener]) # rák - Krebs (Kroatisch/Slowakisch/Tschechisch: rak, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: рак [rak], # répa - Rübe (Serbisch/Russisch: репа [repa], Tschechisch: řepa) # rizs - Reis (Serbisch: рижа [riža], Kroatisch: riža, Slowakisch: ryža, Russisch: рис [ris]) # raj - Schwarm (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch: roj, Slowakisch: rojiť, Serbisch: рој [roj], Russisch: рой [roj], Bulgarisch: рой [roj], Ponisch: rój) # rozs - Roggen (Bulgarisch: ръж [răž], Kroatisch: raž, Serbisch: раж [raž], Russisch: рожь [rož']) # rozsda - Rost (bulgarisch: ръжда [răžda], Polnisch: rdza, Slowakisch: hrdza) # sapka - Mütze (Russisch/Bulgarisch: шапка [šapka]) # sátor - Zelt (Russisch: шатёр [šatër], Serbisch: шатор [šator] - urspünglich wohl arabisch/türkisch) # sonka - Schinken (Tschechisch: šunka, Serbisch/Bulgarisch: шунка [šunka]) # szabad - frei (Slowenisch: svoboden, Kroatisch: slobodan, Russisch: свободный [svobodnyj], Bulgarisch: свободен [svoboden]) # szalma - Stroh (Kroatisch: sloma, Bulgarisch: слама [slama], Russisch: солома [soloma]) # szán/szánkó - Schlitten (Polnisch: sanki, Russisch: санки [sanki], Slowakisch: sane, Kroatisch: saonice, Slowakisch: sánky) # szalonna - Speck (Slowakisch: slanina, Kroatisch: slanina, Bulgarisch. сланина [slanina], # szappan - Seife (Kroatisch/Bosnisch/bulgarisch: sapun - ursprünglich französisch: savon) # szemét - Müll (Tschechisch: smetí, Bulgarisch: смет [smet]) # széna - Heu (Slowakisch: seno, Kroatisch: sijeno, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: сено [seno]) # szerda - Mittwoch (Bulgarisch: сряда [srjada], Russisch/Serbisch: среда [sreda], Kroatisch: srijeda, Slowakisch: streda, Slowenisch: sreda) # szikla - Fels (Slowakisch: skala, Russisch/Bulgarisch: скала [skala] # szikra - Funke (Slowakisch/Kroatisch: iskra, Russisch/Serbisch/Bulgarisch: искра [iskra]) # szilva - Pflaume, Zwetschge (Bulgarisch/Russisch: слива [sliva], Kroatisch: šljiva, Slowakisch: slivka, Sebisch: шљива [šliva]) # szita - Sieb (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch/Slowakisch: sito, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: сито [sito]) # szoknya - Rock (Kroatisch: suknja, Serbisch: сукња [suknja], Tschechisch: sukně, Slowakisch: sukňa; Polnisch (Kleid): suknia; Bulgarisch (Bedeutungsverschiebung: Wolltuch): сукно [sukno]) # szolga - Diener (Polnisch: sługa, Kroatisch: sluga, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: слуга [sluga], Slowakisch: sluha) # szomszéd - Nachbar (Bulgarisch: съсед [săsed], Kroatisch: susjed, Polnisch: sąsiad, Russisch: сосед [sosed], Slowakisch: sused) # szuka - Hündin (Russisch: сука [suka]) # tábor - Lager (Tschechisch: tábor, Bulgarisch: табор [tabor]) # takács - Weber (Bulgarisch: тъкач [tăkač], Russich/Serbisch: ткач [tkač], Kroatisch: tkalac, Tschechisch: tkadlec, Polnisch: tkacz) # takácsműhely - Weberei (wörtlich: Web-Werkstatt; nur der erste Wortteil "takács" ist slawisch; für andere Begriff mit "weben, Gewebe, Webstuhl" wird das rein urungarisches Wort "sző" verwendet) # tészta - Teig (Kroatisch: tijesto, Bulgarisch/Serbisch/Russisch: тесто [testo], Slowakisch: cesto) # tiszta - sauber (Kroatisch: čist, Slowakisch: čisté, Russisch: чистый [čisty], Serbisch/Bulgarisch: чист [čist]) # túró - Hüttenkäse (Quark) (Tschechisch/Slowakisch: tvaroh, Kroatisch: tvorog, Russisch: творог [tvorog]) # uborka - Gurke (Slowakisch: uhorka, Tschechisch: okurka) # udvar - Hof (Russisch/Bulgarisch: двор [dvor], Kroatisch: dvorište, Serbisch: двориште [dvorište], Slowakisch: dvore, Tschechisch: dvůr) # unoka - Enkel (Serbisch: унук [unuk], Kroatisch: unuk, Bulgarisch: внук [vnuk], Tschechisch/Slowakisch: vnuk, Polnisch: wnuk) # uzsonna - Zwischenmahlzeit, Vesper, Nachmittagskaffee (Russich: ужин [užin]) # vacsora - Abendessen (Slowakisch/Kroatisch: večera, Serbisch: вечера [večera], Bulgarisch: вечеря [večerja]) # veréb - Spatz (Bulgarisch: врабче [vrabče], Kroatisch: vrabac, Polnisch: wróbel, Russisch: воробей [vorobej], Tschechisch/Slowakisch: vrabec) # vidra - Otter (Kroatisch/Slowenisch: vidra, Russisch: выдра [vydra], Tschechisch: vydra) # vihar - Sturm (Tschechisch: vichřice, Slowakisch: víchrica, Polnisch: wicher; - - - ;Bedeutungsverschiebung: Wirbelwind: Kroatisch: vihor - Wirbel: Russisch: вихрь [vichrʹ]; Bulgarisch: вихър [vichăr] = Wirbelwind) # villa - Gabel (Bulgarisch: вилица [vilica], Kroatisch: vilica, Slowakisch: idlička) # zálog - Pfand, Unterpfand (Tschechisch: záloha, Kroatisch: zalog, Bulgarisch/Serbisch: залог [zalog]) # zsába - stechender Schmerz, Nervenschmerz, Neuralgie (oft als Zusammensetzung: idegzsába - Nervenschmerz, Neuralgie; derékzsába - Hexenschuss, Lumbago; arczsába - Gesichtsneuralgie, Trigeminusneuralgie; ágyékzsába - Lendenschmerz; Bedeutungsverschiebung: Kröte, Frosch - in den slawischen Sprachen: Serbisch/Bulgarisch: жаба [žaba]; Ponisch: żaba; Tschechisch/Slowakisch: žába; Kroatisch žaba) # zseb - Tasche (Kleidung) (Bulgarisch: джоб [džob], Kroatisch: džep, Serbisch: џеп [džep] - ursprünglich wohl Türkisch: cep) # zsidó - Jude (Kroatisch: židovska, Slowakisch: žid) # zsír - Fett (Russisch: жир [žir]) d7y3xhil2vcmq1yjglrmohzvf17170d 1089931 1089930 2026-08-21T18:15:23Z ~2026-44479-37 116723 1089931 wikitext text/x-wiki {{Navigation hoch| hochtext=Inhaltsverzeichnis: Ungarisch: Thematischer Grundwortschatz| hochlink=Ungarisch#Thematischer Grundwortschatz}} ;Lehnwörter aus slawischen Sprachen im Ungarischen :jövevényszó - Lehnwort :Diese Liste wurde nur unter didaktischen Aspekten erstellt, um Sprachschülern zu helfen, die eine slawische Sprache sprechen. :Unter streng wissenschaftllichen Gesichtspunkten sind einige Wörter dabei, die aus nichtslawischen Sprachen stammen und nur über die slawischen Sprachen als Vermittler ins Ungarische gelangten. Auch sind einige Wörter dabei, bei denen kein ethymologischer Zusammenhang besteht, die aber dem entsprechenden Wort in den slawischen Sprachen sehr ähnlich klingen. :Die Sprachgeschichte solcher etymologisch verwandten Wörter ist oft umstritten und nicht eindeutig geklärt. :tükörszó - "Spiegelwort" (Lehnwort) :tükör - Spiegel :tükörforditás - Spiegelübersetzung ::(Beispiele englisch-deutsch: to make a difference - einen Unterschied machen [gemeint ist: etwas bewirken]; he was declared dead - er wurde für tot erklärt [das ist falsch, denn gemeint ist etwas anderes: sein Tot wurde festgestellt]) :Auf Spiegelübersetzungen soll hier aber nicht eingegangen werden, sondern nur auf einzelne Wörter. :tükörszó - Das ist ein Wort oder Ausdruck, der durch die wörtliche Übersetzung eines fremden Wortes oder Ausdrucks entstanden ist. :Bildungsregeln/Lautgesetze bei der Assimilation von fremden Wörtern in die ungarische Sprache: Der Fachmann spricht von '''Auflösung der Konsonantengruppe im Anlaut''', denn das Ungarische kennt ursprünglich keine Wörter, die mit zwei oder mehr Konsonanten beginnen. Diese Auflösung der Konsonantengruppen wurde auch bei Lehnwörtern angewendet. :Auch in der deutschen Sprache kommen wir bei "eingewanderten" Wörtern gelegentlich an die Toleranzgrenze unserer Zungenmuskulatur, wenn zu viele Konsonanten hintereinander stehen: :Die Aussprache von "springt" geht uns leicht über die Zunge. :Schwerer wird es schon bei "Aleksandr" (die russ. Variante von Alexander), "Dmitr", "Brno" (Stadt: Brünn), "Dnepr" (Fluss) oder gar "Srpska crkva" (Serbisch: Српска црква = Serbische Kirche). Auch die folgenden slowakischen Wörter sind diesbezüglich interessant: "vlk" - Wolf, "prst" - Finger, "krv" - Blut. :Die Ungarische Sprache hat eine noch viel stärkere "Aversion" gegen Konsonantenhäufungen und löst sie durch Einschub oder Voranstellung eines Vokals meist auf. :Bei erst kürzlich übernommenen Wörtern unterbleibt diese Auflösung der Konsonantenhäufung aber oft. :Häufige Lautregel: Wenn das ursprüngliche (hier: slawische) Wort mit zwei direkt aufeinanderfolgenden Konsonanten beginnt, dann wird für das ungarische Lehnwort zwischen diese ein Vokal eingeschoben oder (seltener) davorgestellt: :Beispiele: :slawisch: '''sm'''et -> ungarisch: '''sz'''e'''m'''ét - Müll :slawisch: '''kl'''ucs -> ungarisch: '''k'''u'''l'''cs - Schlüssel :slawisch: '''kl'''ietka -> ungarisch: '''k'''a'''l'''itka - Käfig :slawisch: '''sk'''ola -> ungarisch: i'''sk'''ola - Schule :slawisch: '''dv'''or -> ungarisch: u'''dv'''ar - Hof (da je ungarischer Silbe genau ein Vokal notwendig ist, wird die Konsonantenhäufung so ebenfalls auf zwei Silben aufgeteilt. # ablak - Fenster (Altkirchenslawisch: oblokъ [oblok]) # apáca - Nonne (Bedeutungsverschiebung; ursprünglisch Lateinisch: abbas - Abt; abbātissa - Äbtissin; später: Kirchenslawisch: apaticа - Äbtissin, Nonne; Polnisch: opatka - Äbtissin; Kroatisch/Serbisch: opatija - Kloster, Abtei) # asztal - Stuhl (Kroatisch: стол [stol], Slowenisch: stol, Russisch: стол [stol]) # bab - Bohne (Bulgarisch/Russisch: боб [bob]) # baj - Problem, Schwierigkeit, Not, Leiden; Krankheit (Serbokroatisch: boj - Kampf ???) # Balaton - der Balaton (urslawisch *bolto = sumpfig, morastig; Russisch: болото [boloto] = Sumpf, Morast; Bulgarisch: блато [blato] = Sumpf; Serbisch/Kroatisch: blato = Schlamm, Morast; Tschechisch: bláto = Schlamm, Matsch; Slowakisch: blato = Schlamm, Morast; Polnisch: błoto = Schlamm, Morast; auch sumpfiges Gelände) - ("bolatin" - das Wort steht in der Gründungsurkunde für das Kloster Tihany, am Balaton, von 1055, der ältesten erhaltenen vollständigen Urkunde Ungarns. Die Urkunde enthält die ältesten Schriftzeugnisse in ungarischer Sprache und in einer finno-ugrischen Sprache überhaupt.) # barack - Pfirsisch („őszibarack” = Herbst-Pfirsich; „sárgabarack” = gelbe Aprikose) (Serbisch: бресква [breska], Tschechisch/slowakisch: broskev, Kroatisch: breskva, Polnisch: broskiew, Bulgarisch: праскова [praskova] ) # bárány - Lamm (Russisch: барань [baran']) (Bedeutungsverschiebung: Hammel, Widder, Schafbock - Bulgarisch: баран [baran], Polnisch: baran) # barát (1) - Freund (Bedeutungsverschiebung: Bruder - Slowakisch/Kroatisch: brat, Russisch/Bulgarisch: брат [brat], Serbisch: брате [brate]) # barát (2) - Mönch (Klosterbruder, Bruder) (Russisch: брат [brat] = Bruder; Polnisch: brat, Tschechisch: bratr, Bulgarisch: брат [brat]) # barázda - Furche (Bulgarisch: бразда, ???) # bika - Bulle/Stier (Bosnisch: bik, Russisch: бык [byk], Slowenisch: bik) # bivaly - Büffel (Bulgarisch: бивол [bivol]; Russisch: буйвол [bujvol]; Polnisch: bawół, Serbokroatisch: bivol, Tschechisch: buvol, Slowakisch: byvol; zwar slawisch vermittel, aber ursprünglich aus dem Vulgär-Latein: buvalus/bubalus; das wiederum aus dem Alt-Griechischen: βούβαλος [boúbalos]) # bodnár - Fassbinder, Böttcher (Russisch: бондарь [bondarʹ], Polnisch: bednarz, Slowakisch: bednár, Tschechisch: bednář) (das ungarisch "kádár" ist aber das gebräuchlichere Wort dafür) # bolha - Floh (Russisch: блоха [blocha], Bulgarisch: бълхата [bălcha]) # borona - Egge (Russisch: борона [borona], Bulgarisch: брана [brana], Tschechisch/Slowakisch: brány; Polnisch. brona) # borotva - Rasierapparat, (borotvál - rasieren), ("borotva-" - "Rasier-") - (Bedeutungsverschiebung - Bart: Slowakisch/Slowenisch: brada, Bosnisch/Serbisch/Bulgarisch: брада [brada]) # cár - Zar (Kroatisch: car, Bulgarisch/Serbisch: цар [car], Russisch: царь [carʹ]) # cékla - Rote Bete (Kroatisch: cikla, Slowakisch: cvikla, Serbisch: цвекла [cvekla], Bulgarisch: цвекло [cveklo]) # cserép - Dachziegel (Russisch: черепица [čerepica]) # cseresznye - Kirsche (Süßkirsche) (Slowakisch: čerešňa, Bulgarisch: череша [čereša], Polnisch: czereśnia, Russisch: черешня [čerešnja]) # csésze - Tasse (Russisch: чашка [časchka], Bulgarisch: чаша [čascha]) # csoda - Wunder (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: чудо [čudo], Kroatisch: čudo, Polnisch: cud) # csorba - saure Fleischsuppe (Bulgarisch: чорба [čorba], Kroatisch: čorba; ursprünglisch osmansich-türkisch: çorba - Suppe) # csuka - Hecht (Serbisch: штука [štuka], Kroatisch: štuka, Bulgarisch: щука [štuka], Slowakisch: šťuka, Russisch: щука [ščuka]) # csütörtök - Donnerstag (Kroatisch: četvrtak, Slowakisch: štvrtok, Tschechisch: čtvrtek, Russisch: четверг [četverg], Bulgarisch: четвъртък [četvărtăk], Serbisch: четвртак [četvrtak]) # derék - tapfer, tüchtig, Taille, Lende (ur-slawisch *dobra / *dobrina = „gut, tüchtig, gut gebaut“; *dobrina = „Güte, gute Beschaffenheit, körperliche Tüchtigkeit“; im Altungarischen verschoben zu: „gut gebaut, kräftig, kernige Körpermitte“; schließlich konkretisiert zum Körperteil „Taille/Lende“; „derék ember“ = „ein tüchtiger, ordentlicher Mensch“; Die Bedeutung ist also eine alte Übertragung: „der gute (kräftige) Körperbereich“ → „kräftiger Mensch“ → „Taille“) („dobrina → derék“: Die Entwicklung ist alt und typisch für frühe ungarisch-slawische Kontakte: Anfangskonsonant d- bleibt. Der slawische Stammvokal „o“ wird zu ungarischem „e“. Das Suffix „-ina“ fällt weg / verschmilzt → ungarische Kürzung. „dobr- → der“ - Assimilation und Vokalangleichung. Endung „-ék“ ist eine altungarische Anpassung, typisch bei Substantivierungen.) # dinnye - Melone (Kroatisch: dinja, Serbisch: диња [dinja], Russisch: дыня [dynja]) # drága - teuer (Russisch: дорогой [dorogoy], Slowenisch: drág, Tschechisch/Slowakisch: drahý) # dumál - quatschen, labern, schwafeln (Bulgarisch ??? # ebéd - Mittagessen (Tschechisch: oběd, Russisch: обед [obed], Polnisch: obiad, Bulgarisch: обяд [objad]) # ecet - Essig (Slowakisch: ocot, Tschechisch: ocet, Bulgarisch: оцет [ocet] - Italienisch: aceto, - lateinische Wurzeln) # egres - Stachelbeere (Slowakisch: egreš, Tschechisch: angrešt) # elgázol - umfahren, überfahren, durchwaten (Bulgarisch: газя; Kroatisch ???) # deszka - Brett (Slowakisch: doska, Russisch: доска [doska], Bulgarisch: дъска [dăska]) # galamb - Taube (Bulgarisch: гълъб [gălăb], Serbisch: голуб [golub], Russisch: голубь [golubʹ], Serbokroatisch: голуб [golub], Slowakisch: holub) # gát - Damm, Deich, Sperrwerk (Bedeutungsverschiebung: Russisch: гать [gatʹ] - Bohlenweg im Sumpf, Damm; Polnisch: gaty - Spundwand, Damm; Kroatisch/Serbisch: gat - Kai, Anlegeplatz, Damm) # gereblye - Rechen (Kroatisch: grabulja, Slowenisch: grablje, Russisch/Ukrainisch: грабли [grabli], Bulgarisch: гребло [greblo]) # gilista - Wurm (Bulgarisch: глист [glist], Polnisch: glista, Tschechisch/Slowakisch: hlíst - in slawischen Sprachen nur für parasitäre Würmer) # gomba - Pilz (Bulgarisch: гъба [găba], Slowakisch: huba; Bedeutungserweiterung: Pilz/Schwamm) # hála - Dank, Dankbarkeit, Erkenntlichkeit (Tschechisch/Slowakisch: chvála - Lob; Polnisch: chwała – Ruhm, Lob, Ehre; Russisch: хвала [chvalá] – Lobpreisung; Kroatisch: hvala – Danke; Slowenisch: hvala – Danke; Bulgarisch: хвала [chvala] – Lob, Dank - gehoben, kirchlich / literarisch) # hiba - Fehler, Schuld, mangel, Defekt (Tschechisch: chyba - Fehler, Irrtum, Mangel; Slowakisch: chyba - Fehler, Mangel; Polnisch: chyba - wohl, wahrscheinlich, außer - Bedeutungsverschiebung; urslawisch: *xyba - Mangel, Fehler, Abweichung) # horkol - schnarchen (Tschechisch: chrápat, Slowakisch: chrápanie, Russisch: храпеть [chrapetʹ], Serbisch: хркати [hrkati], Kroatisch: hrkanje, Bulgarisch: ??, # iga - Joch (Russich/Bulgarisch: иго [igo]) # ikra - Kaviar (Russisch/Serbisch: икра [ikra], Kroatisch/Slowakisch: ikra) # iskola - Schule (Kroatisch/Tschechisch: škola, Russisch: школа [škola] - ursprünglich lateinische Wurzel: schola) # kalitka - Käfig (Slowakisch: klietka, Slowenisch: kletka, Russisch/Bulgarisch: клетка [kletka]) # kapa - Hacke (??, # kapál - hacken (Boden) (Kroatisch: kopati, Slowakisch: kopať, Tschechisch: kopat, Bulgarisch: копая [kopaja], Russisch: ??, # kapor - Dill (Kroatisch: kopar, Slowakisch: kôpor, Bulgarisch: копър [kopăr]) # káposzta - Kohl (Russisch: капуста [kapusta], Slowakisch/Polnisch: kapusta, Kroatisch: kupus, Serbisch: купус [kupus]) # karfiol - Blumenkohl (Kroatisch/Slowakisch: karfiol, Bulgarisch/Serbisch: карфиол [karfiol], Polnisch: kalafior) # kása - Brei (Russisch/Bulgarisch: каша [kaša], Tschechisch: kaše) # kasza - Sense (Slowenisch/Slowakisch/Tschechisch/Bosnisch/Polnisch: kosa, Russisch/Bulgarisch: коса [kosa]) # kazán - Kessel (Russisch/Bulgarisch/Serbisch: казан [kazan], Kroatisch: kazan, ursprünglisch aus dem Türkischen übernommen, Türkisch: kazan) # kémény - Schornstein (Bulgarisch: комин [komin], Russisch: камин [kamin], Tschechisch/Slowakisch: komín) (Das deutsche Wort „Kamin“ kommt zwar aus dem Lateinischen caminus, aber das ungarische kémény ist älter als der deutsche Einfluss.) # kereszt - Kreuz (Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: kríž, Russisch: крест [krest], Bulgarisch: кръст [krăst]) # keresztény - Christ (Bulgarisch: християнин [christijanin], Kroatisch: kršćanin, Tschechisch: křesťan, Russisch: кристиан [kristian]) # király - König (Bulgarisch: крал [kral] , Kroatisch/Slowenisch: kralj, Serbisch: краљ [kralj], Russisch: король [korolʹ], Tschechisch/Slowakisch: kráľ, Polnisch: król) # kocsma - Kneipe (Bulgarisch: кръчма [krăčma], Serbisch: крчма [krčma], Slowakisch/Tschechisch: krčma) # kolbász - Wurst (Tschechisch: klobása, Serbokroatisch: кобасица [kobasica], Russisch: колбаса [kolbasa]) # komló - Hopfen (Altslawisch chomъlъ [chom#l'] = Hopfen; Polnisch: chmiel = Hopfen; Lautverschiebung ch → k: kmiel und ein "o" eingefügt um die Konsonantenhäufung aufzulösen; → komiel →komló; Russisch: хмель [chmelʹ], Tschechisch/Slowakisch: chmel, Bulgarisch: хмел [chmel]) # konyha - Küche (Russisch/Bulgarisch: кухня [kuchnja], Polnisch: kuchnia, Tschechisch: kuchyně, Slowakisch: kuchyňa, Kroatisch: kuhinja) # kosár - Korb (Bosnisch: koš, Kroatisch: koš oder košara, Tschechisch: košík) # kovács - Schmied (Kroatisch: kovač, Slowakisch: kováč, Bulgarisch/Serbisch: ковач [kovač]) # kukorica - Mais (Kroatisch: kukuruz, Russisch: кукуруза [kukuruza], Slowenisch: koruza, Tschechisch: kukuřice) # kulcs - Schlüssel (Kroatisch/Bosnisch: ključ, Russisch/Bulgarisch: ключ [ključ], Serbisch: кључ [ključ]) # kurva - Hure, Prostituierte (Bulgarisch/Serbisch/Ukrainisch: курва [kurva], Polnisch: kurwa, Tschechisch/slowakisch: kurva) # kutya - Hund (Serbisch/Bulgarisch: куче [kuče], Kroatisch: kuja = Hündin, Ukrainisch: kucsu, Osmaisch: kuçukuçu) - onematopoetisch/lautmalerisch - streng genommen kein slawisches Lehnwort, da im Ungarischen unabhängig vom Slawischen entstanden # lapát - Schaufel (Kroatisch/Slowakisch: lopata, Serbisch/Bulgarisch/Russisch: лопата [lopata], Polnisch: łopata) # len - Flachs, Lein (Serbisch: лан [lan], Polnisch/Tschechisch: len, Slowakisch: ľan, Kroatisch: lan, Russisch/Bulgarisch: лен [len]) # mák - Mohn (Bulgarisch/Russisch/Serbisch: мак [mak], Kroatisch: mak, Slowakisch: mak) # málna - Himbeere (Kroatisch/Slowenisch/Slowakisch: malina, Bulgarisch/Serbisch: малина [malina]) # malom - Mühle (Tschechisch: mlýn, Kroatisch: mlin, Polnisch: młyn, Serbisch: млин [mlin], Bulgarisch: мелница [melniza], Russisch: мельница [mel'niza]) # mecset - Moschee (Russisch: мечеть [mečetʹ], Slowakisch: mešita) # medve - Bär (Kroatisch: medvjed, Tschechisch: medvěd, Slowakisch: medveď, Russisch: медведь [medvedʹ]) # mér - messen (Russisch: мерить [meritʹ], Bulgarisch: меря [merja], Kroatisch: mjera, tschechisch: změřit) # mészáros - Fleischer (Kroatisch: mesar, Bulgarisch/Serbisch: месар [mesar], Slowakisch: mäsiar) # mocsár - Sumpf (Slowakisch: močiar) # munka - Arbeit (Bedeutungsverschiebung: - Altslawischen mǫka - Mühe, Plage, Qual, schwere Arbeit; heute: Russisch: мука [muka] - Qual, Leiden; Polnisch: męka - Qual, Plage; Tschechisch/Slowakisch: muka - Qual, schwere Mühsal; Bulgarisch: мъка [măka] = Leid, Mühsal) (heute Ungarisch: nicht mehr nur „Mühsal“, sondern allgemein „Arbeit“) # néma - stumm (Serbokroatisch: нем [nem], Bulgarisch: ням [njam], Russisch: немой [nemo], Slowakisch: nemý) # német - deutsch (Slowakisch: nemecký, Kroatisch: njemački, Russisch: немецкий [nemeckij]) # ólom - Blei (Polnisch: Ołów, Bulgarisch: олово [olovo]) # orosz - russisch, Russe (Slowakisch: ruský, Kroatisch: ruski, Bulgarisch: руски [ruski]) # pad - Sitzbank (Bedeutungsverschiebung: Russisch/Bulgarisch: под [pod] - unter) (siehe auch: padló) # padlizsán - Aubergine (Bosnisch: patlidžan, Kroatisch: patlidžan, Russisch: баклажан [baklažan], Bulgarisch: патладжан [patladžan] - ursprünglich arabisch/türkisch) # padló - Fußboden (Bedeutungsverschiebung: - Altslawisch: podъ = Unterlage, Basis, Boden; - Fußboden: Polnisch: podłoga; Tschechisch: podlaha; Bulgarisch: под[pod]) (siehe auch: pad) # páfrány - Farn (Bulgarisch/Serbisch: папрат [paprat], Kroatisch: paprat, Slowakisch: papraď, Russisch: папоротник [paporotnik], Polnisch: paproć) # pálca - Stock, Stab (Slowakisch: palica, Russisch: палка [palka]) # palota - Palast, großer Saal; Russisch: палата [palata] Saal, Kammer, Pavillon; Tschechisch: palác - Palast; Bulgarisch: палата [palata] - Palast, Residenz: Ursprung: lateinisch palātium - der Palatin (einer der sieben Hügel Roms, Sitz des Kaiserpalastes) → von dort „kaiserliche Residenz“. Über byzantinisch-griechisch palation → slawisch palata) # pamut - Baumwolle (Kroatisch/Bulgarisch: pamuk - aus dem Türkischen: pamuk) # pap - Pfarrer, Priester (Bulgarisch/Serbisch: поп [pop], Kroatisch: pop; : Kirchenslawisch: попъ [popŭ], eine volkssprachliche Verkürzung von попъ отецъ [pop otec] - Vater Priester; - ursprünglich altgriechisch: παπᾶς [papás] - Vater, Pfarrer) # paprika - paprika (urgemeinslawisch = die rekonstruierte gemeinsame Vorstufe aller slawischen Sprachen - ca. 1.–7. Jh. n. Chr.: paprъ - Pfeffer; heute: Pfeffer - Polnisch: pieprz, Tschechisch: pepř, Russisch: пе́рец [perec], Bulgarisch: пипе́р [piper]; - Das heutige paprika ist nicht „Pfeffer selbst“, sondern eine frühneuzeitliche südslawische Neubildung zu papr- + -ika = „kleiner Pfeffer“; übertragen auf die neue Chilifrucht aus Amerika. Ab ca. 1500–1550 kam Chili/Paprika über Spanien und Portugal nach Europa - → Italien → Balkan → Osmanisches Reich → Ungarn; Die Osmanischer Kulturraum übernimmt das Wort als Fremdwort; Ungarisch übernahm paprika im 17. Jahrhundert. Im 18.–19. Jh. wird es in Ungarn zum Nationalgewürz. - Das slawische Wort paprika ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf slawischer Grundlage.) - ??? Das alte slawische Wort bezeichnete Pfeffer. Das heutige Wort „Paprika“ ist eine frühneuzeitliche Neubildung auf dieser alten Pfeffer-Wurzel und wurde erst nach der Einführung der amerikanischen Capsicum-Frucht auf Chili/Paprika übertragen. ??? # pára - Dampf (Kroatisch: para, Tschechisch: pára, Russisch пар [par], Serbisch/Bulgarisch: пара [para]) # pásztor - Hirte (ursprünglich lateinisch: Hirte; Kroatisch: pastir, Russisch: пасти [pasti], Serbisch: пастир [pastir], Polnisch: pasterz # patak - Bach (Tschechisch/Slowakisch/Slowenisch/Kroatisch: potok; /Serbisch: поток [potok]; Russich (Bedeutungsverschiebung: Strom, Fluss, Strömung): поток [potok]) # patko - Hufeisen (Kroatisch: potkovica, Slowakisch: podkova, Russisch/Bulgarisch: подкова [podkova]) # pelenka - Windel (Kroatisch: pelena, Tschechisch: plenka, Russisch: пелёнка [pelënka], Bulgarisch: пелена [pelena] # pecsenye - der Braten (Serbokroatisch: печење [pečenje], Bosnisch: pečenje, Tschechisch: pečeně) # pék - Bäcker (Slowenisch: pék, Kroatisch: pekar, Russisch: пекарь [pekarʹ], Serbisch/Bulgarisch: пекар [pekar]) # péntek - Freitag (Kroatisch: petak, Serbisch: петак [petak], Slowakisch: piatok, Bulgarisch: петък [petăk], Russisch: пятница [pjatniza]) # pince - Keller (Bedeutungsverschiebung: pivnica - Bierkeller, Bierkeller, Gaststube; abgeleitet von pivo = Bier) (Kroatisch: pivnica; Slowakisch: pivnica, Bulgarisch: пивница [pivniza]) (Im Ungarischen wurde aus pivnica → pince - durch Kürzung und Lautanpassung; mit der Bedeutung: allgemein Keller, Lagerraum). # pisztráng - Forelle (Bulgarisch: пъстърва [păstărva], Kroatisch: pastrva, Serbisch: пастрмка [pastrmka], Slowakisch: [pstruh], Polnisch: pstrąg) # polc - Regal (Bulgarisch/Serbisch: полица [polica], Russisch: полка [polka], Tschechisch: police, Kroatisch/Slowakisch: polica) # poloska - Wanze; (auch: Abhörwanz) (Tschechisch: ploštice, Slowakisch: ploštica, Polnisch: pluskwa) # pulyka - Pute (Bulgarisch: пуйка [pujka]; aus dem osmanisch-türkisch: pulub; evtl. Vermittlung über das Südslawische ins Ungarische) # puska - Gewehr (Bulgarisch/Serbisch: пушка [puška], Kroatisch: puška, Slowakisch/Tschechisch: puška) # puszta - verödet, leer (verödert: Bulgarisch/Serbisch: пуст [pust], Polnisch: opuszczony, Kroatisch: pustoš, Tschechisch/Slowakisch: pustý ; - - - ; leer: Russisch: пустой [pustoj], Polnisch: pusty) # rab - Gefangener (Bedeutungsverschiebung: Sklave - Kroatisch: rob, Russisch: раб [rab], Bulgarisch: роб [rob]) (ungarisch: rabszolga - Sklave [wörtlich: Gefangener-Diener]) # rák - Krebs (Kroatisch/Slowakisch/Tschechisch: rak, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: рак [rak], # répa - Rübe (Serbisch/Russisch: репа [repa], Tschechisch: řepa) # rizs - Reis (Serbisch: рижа [riža], Kroatisch: riža, Slowakisch: ryža, Russisch: рис [ris]) # raj - Schwarm (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch: roj, Slowakisch: rojiť, Serbisch: рој [roj], Russisch: рой [roj], Bulgarisch: рой [roj], Ponisch: rój) # rozs - Roggen (Bulgarisch: ръж [răž], Kroatisch: raž, Serbisch: раж [raž], Russisch: рожь [rož']) # rozsda - Rost (bulgarisch: ръжда [răžda], Polnisch: rdza, Slowakisch: hrdza) # sapka - Mütze (Russisch/Bulgarisch: шапка [šapka]) # sátor - Zelt (Russisch: шатёр [šatër], Serbisch: шатор [šator] - urspünglich wohl arabisch/türkisch) # sonka - Schinken (Tschechisch: šunka, Serbisch/Bulgarisch: шунка [šunka]) # szabad - frei (Slowenisch: svoboden, Kroatisch: slobodan, Russisch: свободный [svobodnyj], Bulgarisch: свободен [svoboden]) # szalma - Stroh (Kroatisch: sloma, Bulgarisch: слама [slama], Russisch: солома [soloma]) # szán/szánkó - Schlitten (Polnisch: sanki, Russisch: санки [sanki], Slowakisch: sane, Kroatisch: saonice, Slowakisch: sánky) # szalonna - Speck (Slowakisch: slanina, Kroatisch: slanina, Bulgarisch. сланина [slanina], # szappan - Seife (Kroatisch/Bosnisch/bulgarisch: sapun - ursprünglich französisch: savon) # szemét - Müll (Tschechisch: smetí, Bulgarisch: смет [smet]) # széna - Heu (Slowakisch: seno, Kroatisch: sijeno, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: сено [seno]) # szerda - Mittwoch (Bulgarisch: сряда [srjada], Russisch/Serbisch: среда [sreda], Kroatisch: srijeda, Slowakisch: streda, Slowenisch: sreda) # szikla - Fels (Slowakisch: skala, Russisch/Bulgarisch: скала [skala] # szikra - Funke (Slowakisch/Kroatisch: iskra, Russisch/Serbisch/Bulgarisch: искра [iskra]) # szilva - Pflaume, Zwetschge (Bulgarisch/Russisch: слива [sliva], Kroatisch: šljiva, Slowakisch: slivka, Sebisch: шљива [šliva]) # szita - Sieb (Kroatisch/Slowenisch/Tschechisch/Slowakisch: sito, Bulgarisch/Russisch/Serbisch: сито [sito]) # szoknya - Rock (Kroatisch: suknja, Serbisch: сукња [suknja], Tschechisch: sukně, Slowakisch: sukňa; Polnisch (Kleid): suknia; Bulgarisch (Bedeutungsverschiebung: Wolltuch): сукно [sukno]) # szolga - Diener (Polnisch: sługa, Kroatisch: sluga, Russisch/Bulgarisch/Serbisch: слуга [sluga], Slowakisch: sluha) # szomszéd - Nachbar (Bulgarisch: съсед [săsed], Kroatisch: susjed, Polnisch: sąsiad, Russisch: сосед [sosed], Slowakisch: sused) # szuka - Hündin (Russisch: сука [suka]) # tábor - Lager (Tschechisch: tábor, Bulgarisch: табор [tabor]) # takács - Weber (Bulgarisch: тъкач [tăkač], Russich/Serbisch: ткач [tkač], Kroatisch: tkalac, Tschechisch: tkadlec, Polnisch: tkacz) # takácsműhely - Weberei (wörtlich: Web-Werkstatt; nur der erste Wortteil "takács" ist slawisch; für andere Begriff mit "weben, Gewebe, Webstuhl" wird das rein urungarisches Wort "sző" verwendet) # tészta - Teig (Kroatisch: tijesto, Bulgarisch/Serbisch/Russisch: тесто [testo], Slowakisch: cesto) # tiszta - sauber (Kroatisch: čist, Slowakisch: čisté, Russisch: чистый [čisty], Serbisch/Bulgarisch: чист [čist]) # túró - Hüttenkäse (Quark) (Tschechisch/Slowakisch: tvaroh, Kroatisch: tvorog, Russisch: творог [tvorog]) # uborka - Gurke (Slowakisch: uhorka, Tschechisch: okurka) # udvar - Hof (Russisch/Bulgarisch: двор [dvor], Kroatisch: dvorište, Serbisch: двориште [dvorište], Slowakisch: dvore, Tschechisch: dvůr) # unoka - Enkel (Serbisch: унук [unuk], Kroatisch: unuk, Bulgarisch: внук [vnuk], Tschechisch/Slowakisch: vnuk, Polnisch: wnuk) # uzsonna - Zwischenmahlzeit, Vesper, Nachmittagskaffee (Russich: ужин [užin]) # vacsora - Abendessen (Slowakisch/Kroatisch: večera, Serbisch: вечера [večera], Bulgarisch: вечеря [večerja]) # veréb - Spatz (Bulgarisch: врабче [vrabče], Kroatisch: vrabac, Polnisch: wróbel, Russisch: воробей [vorobej], Tschechisch/Slowakisch: vrabec) # vidra - Otter (Kroatisch/Slowenisch: vidra, Russisch: выдра [vydra], Tschechisch: vydra) # vihar - Sturm (Tschechisch: vichřice, Slowakisch: víchrica, Polnisch: wicher; - - - ;Bedeutungsverschiebung: Wirbelwind: Kroatisch: vihor - Wirbel: Russisch: вихрь [vichrʹ]; Bulgarisch: вихър [vichăr] = Wirbelwind) # villa - Gabel (Bulgarisch: вилица [vilica], Kroatisch: vilica, Slowakisch: idlička) # zálog - Pfand, Unterpfand (Tschechisch: záloha, Kroatisch: zalog, Bulgarisch/Serbisch: залог [zalog]) # zsába - stechender Schmerz, Nervenschmerz, Neuralgie (oft als Zusammensetzung: idegzsába - Nervenschmerz, Neuralgie; derékzsába - Hexenschuss, Lumbago; arczsába - Gesichtsneuralgie, Trigeminusneuralgie; ágyékzsába - Lendenschmerz; Bedeutungsverschiebung: Kröte, Frosch - in den slawischen Sprachen: Serbisch/Bulgarisch: жаба [žaba]; Ponisch: żaba; Tschechisch/Slowakisch: žába; Kroatisch žaba) # zseb - Tasche (Kleidung) (Bulgarisch: джоб [džob], Kroatisch: džep, Serbisch: џеп [džep] - ursprünglich wohl Türkisch: cep) # zsidó - Jude (Kroatisch: židovska, Slowakisch: žid) # zsír - Fett (Russisch: жир [žir]) 8d08ocfyy7ssp1rkk16gvi27qlv45zr