Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 11374 1090144 813674 2026-08-28T20:25:16Z Aschroet 37331 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Gebaberg meiniger huette.jpg]] → [[File:Gebaberg Meininger Hütte.jpg]] 1090144 wikitext text/x-wiki {{Vorlage:Navigation Reihe Buch|Outdoor-Aktivitäten|Outdoor-Aktivitäten|Wandern|Wandern|Wandern/ Wanderführer|Wanderführer}} = Wegbeschreibung = Die Anreise erfolgt mit dem Auto oder mit dem Zug über Fulda nach Gersfeld, wo man durch den Schlosspark oder rechts daran vorbei auf ausgeschilderte Wanderwege stößt. <!-- [[Bild:rrw_gersfeld1.jpg|thumb|Am Bahnhof Gersfeld]] [[Bild:rrw_gersfeld2.jpg|thumb|Im Schlosspark Gersfeld]] [[Bild:rrw_wasserkuppe1.jpg|thumb|Auf dem Weg von Gersfeld zur Wasserkuppe]] --> ==0 km: Wasserkuppe (950m NN)== [[Bild:Rhoen Wasserkuppe.jpg|thumb|Die Wasserkuppe]] Die Wanderung beginnt auf der herrlichen Wasserkuppe, dem höchsten Berg der Rhön. Hier herrscht reges Touristentreiben, aber auch als Eldorado für Segelflieger und Paraglider ist die Wasserkuppe bekannt. Empfehlenswert ist eine Übernachtung vor dem Beginn der Wanderung, so dass man am Abend davor einen der herrlichen Sonnenuntergänge erleben kann. ''siehe auch:'' * [[w:Wasserkuppe|Wikipedia]] * Reiseinfos zur [http://www.wikivoyage.org/de/Wasserkuppe Wasserkuppe auf Wikivoyage] <!-- [[Bild:rrw_wasserkuppe2.jpg|thumb|Das Fliegerdenkmal auf der Wasserkuppe]] [[Bild:rrw_wasserkuppe3.jpg|thumb|Die Hochfläche auf der Wasserkuppe]] [[Bild:rrw_wasserkuppe4.jpg|thumb|Das Fliegerdenkmal im Gegenlicht]] [[Bild:rrw_wasserkuppe5.jpg|thumb|Das Fliegerdenkmal von vorne]] [[Bild:rrw_wasserkuppe6.jpg|thumb|ein Meer aus Basaltsteinen]] [[Bild:rrw_wasserkuppe7.jpg|thumb|Das Fliegerdenkmal im Gegenlicht]] [[Bild:rrw_wasserkuppe9.jpg|thumb|Rückblick zur Wasserkuppe vom Parkplatz an der Fuldaquelle]] --> Am Beginn der Wanderung kann man sich etwas unterhalb des Gipfels (am Parkplatz) in der Tourist-Information informieren. An der Straße Richtung Gersfeld entlang und über einen Parkplatz wandert man das kurze Stück zur Fuldaquelle. == 1 km: Fuldaquelle == An dieser eingefassten Quelle kann man sich das erste Mal erfrischen. ''siehe auch:'' [[w:Fulda (Fluss)|Wikipedia]] <!-- [[Bild:rrw_fuldaquelle1.jpg|thumb|Die Fuldaquelle]] --> Rechts hinunter geht es durch einen finsteren Wald, dann links herum hinauf zu den unscheinbaren "Fuchssteinen". <br /> Später wandert man an einem Waldrand entlang und in einen Buchenwald hinein, dessen knorrige Bäume ihr Leben lang mit dem Rhöner Wetter gekämpft haben. <br /> Nach der Überquerung der B 284 geht es leicht bergan und dann rechts herum am Rand des Roten Moores entlang. <br /> Bald zeigt ein Wegweiser nach links auf den Moorpfad, der sehr empfehlenswert ist, denn er ist eine wahre Bereicherung und die Wegstrecke wird durch den Abstecher nicht verlängert. == 5 km: Moorpfad Rotes Moor == Zuerst gelangt man zu einem Aussichtsturm aus Holz, der einen schönen Blick über das Rote Moor und hinüber zum schon sehr nahen Heidelstein bietet. Dann verläuft der Weg über Bohlen durch den verwaldeten Teil des Moores, in dem es viele Moor-typische Pflanzen zu bestaunen gibt. Am Ende des Moorpfades befindet sich eine Schutzhütte des Naturparks Rhön, in der Schautafeln zu vielen Ökosystemen angebracht sind. Dahinter hält man sich links und nimmt den Weg über den Damm des einzigartigen Moorweihers. <!-- [[Bild:rrw_rotesmoor1.jpg|thumb|Moorpfad durch das Rote Moor]] [[Bild:rrw_rotesmoor2.jpg|thumb|Moorweiher Rotes Moor]] --> Nach der Überquerung der B 278 folgt ein Aufstieg durch Fichtenwald hinauf zu den Matten der Rhön. == 7 km: Heidelstein (926m NN) == [[Bild:heidelstein1.jpg|thumb|left|Der Sendemast auf dem Heidelstein]] Hier läuft man zunächst in Richtung des ca. 200m hohen Stahlrohrmastes des Sendeturms für Fernseh- und Radioprogramme sowie Mobilfunkdienste. Dabei bietet sich nach rechts ein toller Blick zum 2 Meter höheren Kreuzberg. Am eingezäunten Gelände des Sendeturms geht es links vorbei und die asphaltierte Zufahrtsstraße entlang bis zum Wegweiser, der uns nach rechts zum Ehrenmal des Rhönklubs weist. Alljährlich versammeln sich hier am dritten Septembersonntag Tausende Mitglieder des Rhönklubs, um ihrer verstorbenen Wanderkameraden zu gedenken. Der Abstieg erfolgt durch die freie Landschaft mit Blick bis in die Thüringische Rhön hinunter zur Verkehrsstraße, dem sogenannten "Franzosenweg". Diesen überquert man und wandert durch die Schornhecke hinauf zum Stirnberg. == 12 km: Stirnberg (906m NN) == [[Bild:stirnberg1.jpg|thumb|Blick vom Stirnberg zurück zur Wasserkuppe]] Dieser Berg ist einer der wenigen Berge der Rhön, die über 900 Meter hinausragen, aber der Rhön-Rennsteig-Weg führt nur bis auf 899 Meter. Von der einseitig freien Kuppe hat man einen weiten Blick ins Ulstertal, zurück zum Heidelstein und zur Wasserkuppe. <!-- [[Bild:rrw_stirnberg2.jpg|thumb|Blick vom Stirnberg Richtung Frankenheim]] --> Der Abstieg über die freie Fläche bietet einen Blick nach Frankenheim und zu einem Steinbruch bei Thaiden. Durch den Wald erreicht man die Straße Wüstensachsen - Fladungen, der man nach rechts folgt. Ein Pfad führt direkt neben der Straße zum Parkplatz und Kiosk am Schwarzen Moor. == 15 km: Schwarzes Moor == [[Bild:Schwarzesmoor2.jpg|thumb|Im Schwarzen Moor]] Als Abstecher ist die Rundwanderung durch das Schwarze Moor (ca. 1h) sehr zu empfehlen. Hier bietet sich die erste Übernachtungsgelegenheit in der Nähe des Weges, die Sennhütte.<br /> Andernfalls folgt man einem asphaltierten Weg in Richtung der Landesgrenze, die einst zwei deutsche Staaten voneinander trennte. Als Orientierungspunkt ist der ehemalige Grenzbeobachtungsturm, zu dem ein alter Plattenweg führt, nicht zu übersehen. Dort befinden sich sowohl eine Informationstafel als auch ein Mahnmal zum Gedenken an die Wiedervereinigung Deutschlands. <br /> Der Pfad biegt nun zwei mal kurz hintereinander nach rechts ab und führt direkt in die höchstgelegene Rhöngemeinde Frankenheim. == 18 km: Frankenheim == [[Bild:frankenheim_kirche.jpg|thumb|Die neugotische Kirche in Frankenheim]] Hier lädt zum Beispiel die neugotische Kirche, die täglich für Besucher geöffnet ist, zum Verweilen ein. ''siehe auch:'' [[w:Frankenheim/Rhön|Wikipedia]] An der Kirche links herum wieder zurück zur Straße und von dort einen Feldweg entlang führt die Markierung zum Fuße des Ellenbogens, wo links auf einer Wiese eine schöne alte Buche steht. An dieser Kreuzung bietet sich die Gelegenheit, links herum einen Abstecher zur urigen Einkehrmöglichkeit "Thüringer Rhönhaus" zu machen. <!-- [[Bild:rrw_ellenbogen1.jpg|thumb|Alte Buche auf der Wiese vor dem Ellenbogen]] [[Bild:rrw_ellenbogen2.jpg|thumb|Das Thüringer Rhönhaus]] --> Nachdem man dem Rhön-Rennsteig-Weg weiter zum Eisenacher Haus gefolgt ist, sollte man den Ausblick vom Gipfel des 814m hohen Berges genießen. ''siehe auch:'' [[w:Ellenbogen (Rhön)|Artikel in der Wikipedia]] [[Image:Rrw blick leichelberg.jpg|thumb|Blick zum Leichelberg]] Der Weg verläuft nun zuerst durch Buchenwald und offenbart später vom Plateau des Grasenberges aus herrliche Ausblicke zur Alten Mark, zum Leichelberg, zu Diesburg und Geba, ....<br /> <!-- [[Bild:rrw_wegneb1.jpg|thumb|Bilck zur Alten Mark]] --> Nachdem man die im Tal liegende B285 überquert und die Sitzgruppe hinter sich gelassen hat, folgt ein kleiner Anstieg auf die Ausläufer der Alten Mark. Links herum einer jungen Allee folgend kommt man zu einer leicht zugigen Sitzgruppe, von der man einen schönen Ausblick auf die umliegenden Gemeinden hat. Links an dem kleinen Wäldchen vorbei und dann rechts hinauf geht der Weg zum Modellflugplatz und von dort durch den Buchenwald am Fuße des Leichelberges. == 32 km: Aschenhausen == [[Bild:Aschenhausen_jewish_grave_yard.jpg|thumb|left|Der jüdische Friedhof]] [[Bild:Aschenhausen_church.jpg|thumb|100px|Die evangelische Dorfkirche]] Am Ortsrand von Aschenhausen sieht man gegenüber schon die Diesburg, doch der Weg geht zuerst links herum. An der nächsten Kreuzung zweigt links ein Weg zum im Wald versteckten Jüdischen Friedhof ab. (Vorsicht, Jungbulle! :-O)<br />Der RR-Markierung folgend läuft man rechts herum durch dieses kleine Rhön-Dorf, auch an der schönen evangelischen Kirche von 1602 vorbei. Weiter geht der Weg zur Synagoge, die man sich von der Dorf-Bewohnerin Ingrid Eichhorn aufschließen lassen kann. ''siehe auch:'' [[w:Aschenhausen|Artikel in der Wikipedia]] Am Ortsende geht der Weg hinauf zur Diesburg und an dieser links vorbei.<br /> Wieder auf einer Freifläche, der romantischen Hohen Löhr, findet der Weg seine Fortsetzung zum Rhönfrieden / Rhönblick, der eine tolle Rundumsicht bietet. <!-- [[Bild:rrw_hoheloehr1.jpg|thumb|An der Hohen Löhr]] [[Bild:rrw_hoheloehr2.jpg|thumb|An der Hohen Löhr]] [[Bild:rrw_hoheloehr3.jpg|thumb|Zwischen Hoher Löhr und Rhönfrieden]] --> == 37 km: Geba == {| ||[[Bild:geba_ort_kirche.jpg|thumb|160px|Die achteckige Kirche]] ||[[Bild:geba_ort_kirche_innen.jpg|thumb|340px|In der Kirche]] |} In der Rhöngemeinde Geba stößt man nach der ersten Abzweigung nach rechts auf die restaurierte achteckige Kirche, an der der Weg wieder links herum verläuft. Nachdem man kurz darauf nochmals nach links auf die Straße abgebogen ist, geht es schon wieder schräg links herum der Tropfen-Markierung folgend über einen kleinen Pfad zum Julius-Greif-Gedenkstein. Dort stößt man wieder auf die Zufahrtsstraße zur Geba, die man auch schon von Geba-Ort hätte laufen können. {| ||[[Bild:gebaberg_gesamt.jpg|thumb|200px|Die Hohe Geba]] ||[[Bild:Gebaberg Meininger Hütte.jpg|thumb|Die Meininger Hütte]] |} Auf dem Gipfel der 751m hohen Geba erlebt man die Rhön wahrhaftig als "Land der offenen Fernen". Der imposante Blick zum Dolmar, dem "Bruder der Geba" und zu all den anderen Gipfeln in Rhön und Thüringer Wald entschädigt für den Aufstieg. Hier oben kann man sich den "Rhöngarten" und ein Museum, das an die Anwesenheit der Russen erinnert, ansehen und in der "Meininger Hütte" bzw. in der neuen Gaststätte gegenüber Schutz suchen und selbstgemachte Wurst und Schnaps probieren. Der Wirt ist laut eigener Aussage immer in einem von den beiden Objekten zu finden. ''siehe auch:'' [[w:Gebaberg|Artikel in der Wikipedia]] Der Weg zweigt nun rechts hinter der neuen Gaststätte ab, und wendet sich nach einem kurzen Stück wieder nach links, wo es jetzt immer geradeaus hinab nach Stepfershausen geht.<br /> Das letzte Stück bis zum Ort verläuft durch eine Art Hohlweg, die sogenannte ''Kniebreche'', dann stößt der Weg auf die Stepfershäuser Hauptstraße, wo man nach rechts abbiegt. == 40,5 km: Stepfershausen == 1998 wurde der Ort, der außer seinen 13 Brunnen, dem historischen Ortskern mit zahlreichen Fachwerkhäusern und der neu sanierten Kirche noch die Ausstellung "Maltenne", die sich in einer ehemaligen Scheune befindet, zu bieten hat, im Landeswettbewerb "Schönstes Dorf" ausgezeichnet. ''siehe auch:'' [[w:Stepfershausen|Artikel in der Wikipedia]] Auf der Straße nach Solz geht man links herunter und biegt am Ortsende nach rechts von ihr ab. Kurz bevor man auf die Landstraße Stepfershausen-Rippershausen stößt, biegt man nach links auf einen Feldweg ab. Nun verläuft der Weg am Rande des Solzbaches, führt an zwei Sitzgruppen vorbei, und erreicht schließlich wieder freies Feld mit Blick auf [[w:Rippershausen|Rippershausen]] und zum [[w:Schloss Landsberg|Landsberg]]. <!-- [[Bild:rrw_wegsr1.jpg|thumb|Kurz vor Rippershausen]] --> Nachdem man die Straße überquert hat, führt ein Feldweg über die Hochfläche nach Walldorf, wobei man den Rückblick auf Rippershausen und zur Geba genießen sollte. == 48,5km: Walldorf == [[Bild:walldorf_werra_kirche.jpg|thumb|Kirchenburg Walldorf]] Gleich am Ortseingang von Walldorf findet man in einem Garten rechts am Weg ein höchst interessantes Möbelstück - eine bemooste Bank.<br /> Danach führt der Weg durch die Straßen und Gassen zur Kirchenburg mit ihrer bewegten Geschichte. <!-- [[Bild:rrw_walldorf1.jpg|thumb|Bemooste Bank am Ortseingang Walldorf]] [[Bild:rrw_walldorf2.jpg|thumb|Kirchenburg Walldorf]] --> ''siehe auch:'' [[w:Walldorf (Werra)|Artikel in der Wikipedia]] Man geht nun links neben der Kirche einen Fußgängerpfad hinunter und folgt der Straße über die Werra und die Bahngleise. Auf der gegenüberliegenden Seite der B19 geht es einen alten Plattenweg hinauf zum Breuberg, wo eine Bank einen schönen Blick zum Dolmar bietet. Danach führt ein Wiesenweg hinunter in die kleinste Dolmargemeine Utendorf. == 54 km: Utendorf == [[Bild:utendorf_kirche.jpg|thumb|Kirche in Utendorf]] Dort gibt es einen Bäcker, der noch in einem Steinofen leckeren Zwiebelkuchen und Brot bäckt. In 27m Höhe über dem Dorf thront die Kirche. ''siehe auch:'' [[w:Utendorf|Artikel in der Wikipedia]] Der Weg folgt erst der Straße nach [[:w:Meiningen|Meiningen]], das wegen seines Theaters, verschiedener Museen und Galerien, der Götz-Höhle (Deutschlands größter begehbarer Kluft- und Spalthöhle), eines beheizten Freibades, Parks und Kirchen einen Besuch wert ist. Unterhalb des Utendorfer Gasthauses zweigt man jedoch auf einen Wiesenweg ab, der parallel zur Straße verläuft. Nach ca. 800 Metern geht es nach links zu den ''Armlöchern'', die als Hungerquellen eine geologische Besonderheit darstellen - nur wenn es vorher lange geregnet hat, sind sie voll Wasser. Dann geht es erst durch dichten Wald, doch die Landschaft wird bald freier und man hat den Dolmar als nächstes Ziel wieder vor sich. Doch zuerst kommt man an der seit 1991 etablierten Flugschule mit der Fliegerkneipe ''Quax'' vorbei. Außerdem bietet sich jetzt die Möglichkeit, einen Abstecher in das unterhalb liegende Kühndorf zu machen, das mit der Johanniterburg aus dem 13. Jh., einer Heimatstube und dem wohl einmaligen Friedhofsmuseum wohl einiges zu bieten hat. Außerdem befindet sich dort neben der Kirche die Dolmar-Tourist-Information, die auch zum RR-Weg weitere Informationen bereithält.<br /> Der Rhön-Rennsteig-Weg selber geht von der Flugschule weiter aufwärts und stößt bald auf einen alten gepflasterten Weg, dem man nach links folgt und von dem man dann nach einer Weile wieder nach rechts abbiegt. <!-- <table> <tr> <td> [[Bild:rrw_dolmar10.jpg|thumb|Am Weg von der Flugschule zum Dolmar]]</td> <td> [[Bild:rrw_dolmar11.jpg|thumb|Am Weg von der Flugschule zum Dolmar]]</td> </tr> <tr> <td> [[Bild:rrw_dolmar1.jpg|thumb|Am Weg von Kühndorf zum Dolmar]]</td> <td> [[Bild:rrw_dolmar2.jpg|thumb|Am Weg von Kühndorf zum Dolmar]]</td> </tr> <tr> <td> [[Bild:rrw_dolmar3.jpg|thumb|Am Weg von Kühndorf zum Dolmar]]</td> <td> [[Bild:rrw_dolmar4.jpg|thumb|Am Weg von Kühndorf zum Dolmar]]</td> </tr> <tr> <td colspan="2">[[Bild:rrw_dolmar12.jpg|thumb|Panorama am Weg von Kühndorf zum Dolmar]]</td> </tr> </table> --> == 58 km: Dolmar == Auf dem Gipfel der 739,6m hohen durch Rhönvulkanismus entstandenen Basaltkuppe des Dolmars bietet sich eine Einkehr im Berggasthof Charlottenhaus an. Auf jeden Fall sollte man den Ausblick vom 13 Meter hohen Turm des Charlottenhauses, vom Panoramaweg einige Meter unterhalb des Gipfels und vom südöstlichen Aussichtspunkt genießen, die Blicke zu Gleichbergen, Kreuzberg, Heidelstein, Wasserkuppe, Hutsberg- und Neuberg, Geba, dem Umpfen, dem ''Monte Kali'', zum Inselsberg, nach Christes, zum Ruppberg, zum Ringberg und vielen weiteren Punkten in Rhön und Thüringer Wald und noch weiter weg bieten. {| ||[[Bild:Dolmar_charlottenhaus.jpg|thumb|Charlottenhaus auf dem Dolmar]] ||[[Bild:Dolmar_birke.jpg|thumb|Eine vielfotografierte Birke am Nordhang]] |} ''siehe auch:'' [[w:Dolmar|Artikel in der Wikipedia]] mit vielen geschichtlichen Informationen etc. Vorbei am Biotop ''Kalter Brunnen'' folgt nun der Abstieg durch einen Wald, in dem es im Frühjahr viel [[w:Bärlauch|Bärlauch]] (den wilden Verwandten des Knoblauchs) gibt, zur ''Drosselleite'', wo eine Schutzhütte steht. Nun geht es bergab auf 483m ü. NN auf eine schöne weite Wiesenlandschaft. Man folgt dem Rhön-Rennsteig-Weg wieder aufwärts zum Hinteren Thalkopf, wo sich schon wieder eine geräumige Schutzhütte befindet. Kurz danach zweigt der Weg vom geschotterten Hauptweg ab (auf dem man natürlich auch nach Christes kommt) und steigt über Wiesen nach Christes hinunter, dort trifft er an der Bushaltestelle auf die Straße. == 63 km: Christes == [[Bild:christes_kirche.jpg|thumb|Die Kirche in Christes]] ''siehe auch:'' [[w:Christes|Artikel in der Wikipedia]] Auch an der Stelle befindet sich der historische Ortsbrunnen ''Christusborn'' und die dreischiffige spätgotische Basilika von 1443. Ebenfalls einen Besuch wert ist das Damwildgehege, das über die Straße nach Schmalkalden erreichbar ist. Der RR-Weg folgt nun erst der Straße nach Schwarza und biegt dann links von ihr ab, um das Tal zu durchqueren und am Hang auf den Weg vom Christeser Sportplatz zu treffen. In einem kleinen Seitental steigt der Weg hinauf zum Kleinen Dolmar. Der Wald gibt den Weg erst nach einer ganzen Weile wieder frei, dann führt er durch eine Ansammlung von Gärten zur Wuhlheide. == 68 km: Wuhlheide == Dieses Ausflugslokal wird vom [http://www.rtv-viernau.de RTV Viernau] betrieben. Rechts von der nicht immer geöffneten Baude führt der Weg, der ab jetzt immer mit dem Rennsteig-Dolmar-Weg <!--(Markierung: rotes Kreuz bzw. grünes Quadrat auf weißem Grund ) --> übereinstimmt, über den 1986 angelegten und 1995 erneuerten Naturlehrpfad herunter zur Hellfurtsbrücke. Diese nutzt man zum Überqueren der Schönau und dann geht es (den zweiten Weg von rechts) hinauf zur sehr schön gelegenen Bank am ''Ebertshäuser Weg'' und der Schutzhütte am Paßberg. <!-- [[Bild:rrw_ebertshaeuserweg1.jpg|thumb|Am Ebertshäuser Weg]] --> Nun bleibt man erst auf dem Schotter-Weg und zweigt dann auf einen ansteigenden Weg ab, der zuerst zu einem Hundesportplatz führt, dann geht es auf der Zufahrtstraße an der Gartenanlage entlang und schließlich auf einem unscheinbaren Waldweg zum Rotebühl, was nichts weiter ist als ein Berggipfel mitten im Wald ohne eine Bank. Nun geht es wieder leicht bergab und man überquert die Straße Benshausen-Viernau. Rechts von der Straße nach Bermbach geht der Rhön-Rennsteig-Weg fast ständig bergauf (vorbei an der Tischwiese mit einer Sitzgruppe am unteren Rand und einer Schutzhütte mit 2 Bänken im oberen Bereich). Der Weg geht nun vorbei am Dreiherrenstein, der vor gut 200 Jahren die Grenzen zwischen Hessen, Sachsen-Coburg-Gotha und Preußen auswies. Ein paar hundert Meter weiter bietet sich ein Abstecher zum 300m entfernten ''Buchenbrunnen'' an, der auf einer kleinen Wiese sehr schön gelegen ist und auch eine Möglichkeit zum Abstieg nach [[:w:Zella-Mehlis|Zella-Mehlis]] (Gesenkschmiede, Thüringer Meeresaquarium, Bürgerhaus, Stadtmuseum, ...) bietet.<br /> Nach dem nächsten Wegweiser erreicht man die Schutzhütte am Braukopf, von wo man schon den Gipfel des Ruppberges leuchten sieht. Kurz nach der Hütte zweigt man am besten nach links ab, denn die ca. 1,2km Umweg auf den Gipfel des 866m hohen Zella-Mehliser Hausberges lohnen sich auf jeden Fall. An Wochenenden im Sommer hat man die Möglichkeit, sich Verpflegung in der Berghütte zu kaufen, der herrliche Rundblick zu Schneekopf, Adlersberg, auf Zella-Mehlis und Suhl, zum Schwarzen Kopf, zu den Gleichbergen, zurück zum Dolmar und zur Geba, Kreuzberg, Heidelstein und Wasserkuppe; dem Großen Herrmannsberg, dem Hohen Stein und zum Gebrannten Stein (mit dem Heinrichsbacher Stein am Fuße) ist aber immer kostenlos verfügbar, falls kein Nebel oder Wolken die Sicht versperren. Weiter geht man leicht abwärts zum Parkplatz Ruppberg, wo am Wochenende auch ein Bus nach Oberschönau bzw. Zella-Mehlis fährt. <gallery> Bild:ruppberg_gesamt.jpg|Blick auf Ruppberghütte und Hauptgipfel Bild:ruppberg weg.jpg|Weg zum Ruppberg im Winter Bild:ruppberg gipfel bank.jpg|Bank auf dem Gipfel mit Blick auf [[w:Zella-Mehlis | Zella-Mehlis]] und [[w:Suhl | Suhl]]-Nord Bild:ruppberg huette.jpg|Hütte des Ruppbergvereins Bild:ruppberg gipfel schneewehe.jpg|Schneewehe auf dem Ruppberggipfel im Feb. 2005 </gallery> ''siehe auch:'' [[w:Ruppberg|Artikel in der Wikipedia]] == 80,5 km: Parkplatz am Ruppberg == Von hier führt der Weg zu den 2 Schutzhütten am Fuße des 897m hohen Gebrannten Steins. Ein Abstecher zum Gipfel lohnt sich hier auf jeden Fall, denn der schmale Pfad links durch den Wald ist nicht steil und der Ausblick besonders vom hinteren der vielen Steine ist ähnlich berauschend wie der vom Ruppberg, man sieht sogar noch den Kickelhahn bei Ilmenau. ''siehe auch:'' [[w:Gebrannter Stein|Artikel in der Wikipedia]] mit Fotos == 84,5 km: Veilchenbrunnen == Wieder auf dem Rhön-Rennsteig-Weg geht es abwärts zum Veilchenbrunnen, einer eingefassten Quelle. Der RR-Weg führt aber nicht am Brunnen hoch zum sehenswerten Schützenberg-Moor, sondern vor der Quelle rechts hinunter zur Gaststätte ''Veilchenbrunnen'' und links daran vorbei durch wechselnd offenes Gelände mit Blick zum Rennsteiggarten und dichtem Wald. == 87,5 km: Rondell == Dann stößt er am Rondell auf die Straße Suhl-Gotha, wo auf 826m Höhe ein Obelisk steht, der an den Bau dieser Straße erinnert. <br /> Gleich in der Nähe (dem Rennsteig Richtung Schmücke folgend) befindet sich der Rennsteiggarten, ein Botanischer Garten, der auf 7 Hektar über 4000 Pflanzenarten der Gebirgsflora vorstellt. Unser Weg verläuft nun links parallel der Straße und führt nach Oberhof, dem Ziel der gesamten Wanderung. == 89 km: Oberhof == Dieser berühmte Wintersportort, der als staatlich anerkannter Erholungsort auch im Sommer seine Reize hat, lädt zu einem Aufenthalt ein. Wer noch laufen kann, erkundet die vielen schönen Gipfel im Herzen des Thüringer Waldes. ''siehe auch:'' [[w:Oberhof (Thüringen)|Artikel in der Wikipedia]] = Allgemeines = == Empfohlenes Kartenmaterial == <table> <tr><th>Karte</th><th>Verlag</th><th>enthaltener Abschnitt</th><th>Maßstab</th></tr> <tr><td>Wanderkarte 68: Naturpark Rhön</td><td>Fritsch-Verlag Hof/Saale</td><td>Wasserkuppe - Frankenheim</td><td>1:50000</td></tr> <tr><td>Rhön - Urlaub ist schön</td><td>Tourismusgemeinschaft "Th. Rhön e.V."</td><td>Schwarzes Moor - Wuhlheide</td><td>1:50000</td></tr> <tr><td>Wanderkarte - Der Dolmar und Meiningen</td><td>grünes Herz </td><td>Walldorf - Rotebühl</td><td>1:30000</td></tr> <tr><td>Wanderkarte - Oberhof und Zella-Mehlis</td><td>grünes Herz </td><td>Rotebühl - Oberhof</td><td>1:30000</td></tr> <tr><td>Broschüre Rhön-Rennsteig-Weg</td><td>Dolmar-Tourist-Info</td><td>Wasserkuppe - Oberhof</td></tr> <tr><td>GPS Karte Team_Greggi</td><td>[http://www.gpsies.com/map.do?fileId=vqyexjvuhkwopfwl www.gpsies.com]</td><td>gesamt</td></tr></table> == Übernachtungsmöglichkeiten == <table width="95%"> <tr> <th>bei km</th> <th>Entf. von RR</th> <th>Standort</th> <th>Name</th> <th>Abholung mögl.</th> <th>Anzahl Betten</th> <th>Telefon</th> <th>Fax</th> <th>email</th> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0km</td> <td>Wasserkuppe</td> <td>Hotel Dt. Flieger</td> <td>&nbsp;</td> <td><b>??</b></td> <td>06654/7007</td> <td>7580</td> <td></td> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0km</td> <td>Ostheim</td> <td>Landhotel Thüringer Hof</td> <td>&nbsp;</td> <td><b>60</b></td> <td>09777 357760</td> <td>09777 35776199</td> <th>info@landhotel-thueringer-hof.de<br />www.landhotel-thueringer-hof.de</th> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0km</td> <td>Wasserkuppe</td> <td>Rhöngeiststube</td> <td>&nbsp;</td> <td>13</td> <td>06654/321</td> <td>919045</td> <td></td> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0km</td> <td>Wasserkuppe</td> <td>Peterchen's Mondfahrt</td> <td>&nbsp;</td> <td><b>??</b></td> <td>06654/381</td> <td>919056</td> <td></td> </tr> <tr> <td>15</td> <td>0,4km</td> <td>Schwarzes Moor</td> <td>Sennhütte</td> <td>&nbsp;</td> <td>64</td> <td>09778/91010</td> <td>9101100</td> <td></td> </tr> <tr> <td>16</td> <td>ca. 3km</td> <td>Birx</td> <td>Pension Dreiländereck</td> <td>&nbsp;</td> <td>27</td> <td>036946/31455</td> <td>31055</td> <td></td> </tr> <tr> <td>21,5</td> <td>0,2km</td> <td>am Ellenbogen</td> <td>Thüringer Rhönhaus</td> <td>&nbsp;</td> <td>8</td> <td>036946/32060</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>22</td> <td>0km</td> <td>Ellenbogen</td> <td>Eisenacher Haus</td> <td>&nbsp;</td> <td>100</td> <td>036946/3600</td> <td>36060</td> <td></td> </tr> <tr> <td>27</td> <td>ca. 3km</td> <td>Kaltensundheim</td> <td>Zur Guten Quelle</td> <td>*</td> <td>20</td> <td>036946/3850</td> <td>38538</td> <td></td> </tr> <tr> <td>37</td> <td>ca. 0,6km</td> <td>Geba</td> <td>Berggasthof Neidhartskopf</td> <td>&nbsp;</td> <td>10</td> <td>036943/65456</td> <td>65620</td> <td></td> </tr> <tr> <td>39</td> <td>ca. 1,5km</td> <td>Träbes</td> <td>Träbeser Bauernstube</td> <td>&nbsp;</td> <td>10</td> <td>036943/63362</td> <td>63404</td> <td></td> </tr> <tr> <td>48,5</td> <td>0,1km</td> <td>Walldorf</td> <td>Sandsteinhöhle</td> <td>&nbsp;</td> <td>11</td> <td>03693/89910</td> <td>8910163</td> <td></td> </tr> <tr> <td>48,5</td> <td>ca. 2km</td> <td>Landsberg</td> <td>Schloss</td> <td>&nbsp;</td> <td>?</td> <td>03693/44090</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>58</td> <td>0km</td> <td>Dolmar</td> <td>Berggasthf. Charlottenhaus</td> <td>&nbsp;</td> <td>12+16</td> <td>03693/507710</td> <td>507744</td> <td></td> </tr> <tr> <td>59</td> <td>3km</td> <td>Metzels</td> <td>Pension Metzels</td> <td>&nbsp;</td> <td>8</td> <td>03693/890671</td> <td></td> <td>www.pension-metzels.de</td> </tr> <tr> <td>58</td> <td>9km</td> <td>Dillstädt</td> <td>Distelhof</td> <td>*</td> <td>46</td> <td>036846/60547</td> <td>61332</td> <td></td> </tr> <tr> <td>58</td> <td>7,5km</td> <td>Rohr</td> <td>Zum Kloster</td> <td>*</td> <td>50</td> <td>036844/44890</td> <td>448922</td> <td></td> </tr> <tr> <td>68</td> <td>1,5km</td> <td>Viernau</td> <td>Zum Justin</td> <td>&nbsp;</td> <td>6</td> <td>036847/42117</td> <td>52457</td> <td></td> </tr> <tr> <td>68</td> <td>1,5km</td> <td>Viernau</td> <td>Zur Alten Schmiede</td> <td>&nbsp;</td> <td>16</td> <td>036847/40396</td> <td>32601</td> <td></td> </tr> <tr> <td>68</td> <td>ca. 6km</td> <td>Steinbach-Hallenberg</td> <td>Döll's Hotel</td> <td>*</td> <td>25</td> <td>036847/42270</td> <td>42121</td> <td></td> </tr> <tr> <td>80,5</td> <td>ca. 3km</td> <td>Zella-Mehlis</td> <td>Mehl'ser Stübchen</td> <td>*</td> <td>8</td> <td>03682/483851</td> <td>46377</td> <td></td> </tr> <tr> <td>89</td> <td>0,6km</td> <td>Oberhof</td> <td>Zum Gründle</td> <td>*</td> <td>62</td> <td>036842/21012</td> <td>21013</td> <td></td> </tr> </table> == Ansprechpartner == <table width="95%"> <tr> <th>Name/Ort</th> <th>Telefon</th> <th>Fax</th> <th>Anschrift</th> </tr> <tr> <td>[http://Www.rhoenklub.de Geschäftsstelle des Rhönklubs]</td> <td>0661/73488</td> <td>79794</td> <td>Peterstor 7, 36037 Fulda</td> <tr> <tr> <td>[http://www.rhoen.de Rhön GmbH]</td> <td>06654/91834-0</td> <td>06654 91334-20</td> <td>Sitz Gersfeld</td> </tr> <tr> <td>Tourist-Information Gersfeld</td> <td>06654/1780</td> <td>1788</td> <td>&nbsp;</td> </tr> <tr> <td>Tourist-Information Poppenhausen</td> <td>06658/960013</td> <td>960022</td> <td>36163 Poppenhausen (Wasserkuppe)</td> </tr> <tr> <td>[http://www.biosphaerenreservat-rhoen.de/partner/verein_tgthrh.html Tourismusgemeinschaft Thüringer Rhön e.V.]</td> <td>036966/81220</td> <td>7349</td> <td>Schloßhof 4,<br /> 36452 Kaltennordheim</td> </tr> <tr> <td>Gemeindeverwaltung Frankenheim</td> <td>036946/31610</td> <td>31611</td> <td>Am Friedhof 5,<br /> 98634 Frankenheim b Meiningen</td> </tr> <tr> <td>[http://www.hohe-geba.de Fremdenverkehrsverein Geba e.V.]</td> <td>036943/60777</td> <td>60228</td> <td>Sitz Helmershausen</td> </tr> <tr> <td>Gemeindeverwaltung Stepfershausen</td> <td>036943/63264</td> <td>63264</td> <td>Im Gäschen 161, <br />98617 Stepfershausen</td> </tr> <tr> <td>[http://www.dolmar-tourist.de Dolmar-Tourist-Information]</td> <td>036844/40299</td> <td>40989</td> <td>Christeser Str. 29, <br />98547 Kühndorf bei Meiningen</td> </tr> <tr> <td>Tourist-Information [http://www.meiningen.de Meiningen]</td> <td>03693/44650</td> <td>446544</td> <td>&nbsp;</td> </tr> <tr> <td>Verwaltungsgemeinschaft "Haselgrund"</td> <td>036847/45041</td> <td>45010</td> <td>Forststr. 16, 98547 Viernau</td> </tr> <tr> <td>Gästeinformation Oberschönau</td> <td>036847/30425</td> <td>30425</td> <td>98587 Oberschönau, Thür</td> </tr> <tr> <td>Touristinformation/Heimathof Steinbach-Hallenberg</td> <td>036847/41065</td> <td>41066</td> <td>Hauptstr. 45, <br />98587 Steinbach-Hallenberg</td> </tr> <tr> <td>Fremdenverkehrsamt (Bürgerhaus) Zella-Mehlis</td> <td>03682/482840</td> <td>487143</td> <td>Louis-Anschütz-Str. 28, <br />98544 Zella-Mehlis</td> </tr> <tr> <td>[http://www.thueringer-wald.com|Tourismusverband Thüringer Wald e.V.]</td> <td>03681/39450</td> <td>394511</td> <td>August-Bebel-Str. 16,<br /> 98527 Suhl</td> </tr> <tr> <td>[http://www.suhl-tourismus.de Tourist Information Suhl]</td> <td>03681/788405</td> <td>&nbsp;</td> <td>Friedrich-König-Str. 7<br /> 98527 Suhl</td> </tr> <tr> <td>Oberhof-Information</td> <td>036842/2690</td> <td>26920</td> <td>98559 Oberhof</td> </tr> <tr> <td>Ostheim & Hotelinformation</td> <td>Tel: 09777 / 357760</td> <td>Fax: 09777 / 35776199</td> <td>97645 Ostheim</td> </tr> </table> rwp6c83z419m6a49vb03b1861q7eawv 0 37866 1090149 1079850 2026-08-29T07:41:23Z Mjchael 2222 /* Strophe btw. 2. Thema */ 1090149 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{:Liederbuch/ Vorlage:Querverweis|Gitarre: Melodiepicking - Greensleeves|Melodiepicking ~|Gitarre: Notenlesen - Greensleeves|Notenlesen: ~ Groundet|Gitarre: Liedbeispiel 10b|Folkdiplom: Liedbeispiel für E}}</noinclude> == Greensleeves (trad.) == Arrangement: [[Benutzer: Mjchael|Mjchael]] Das Stück ist in mehrere Teile aufgeteilt. Orientiere dich an den Akkorden. Finde heraus, welche Töne zum darüberstehenden Akkord gehören und welche du ergänzen musst, indem du einen Finger hinzufügst, tauscht oder wegnimmst. Im Balladendiplom hast du das ja schon praktisch bei den sus4, add9, j7-Akkorden etc. gemacht. Sofern es nicht anders angegeben ist, werden die Akkorde mit vier Fingern gleichzeitig gezupft. Der Melodieton ist hier immer der oberste Ton. Der Daumen kann auch mal über zwei Töne streichen. Du kannst auch ein schnelles [[Gitarre:_Einführung_ins_Zupfen#Begriffsklärung|Arpeggio]] spielen. Das ganze Stück hat viele Wiederholungen. Mit ein wenig Zupferfahrung wirst du staunen, wie schnell du es lernen kann. == Strophe == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { \set Staff.midiInstrument = \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue \partial 4 s4 <a, e a>2. <c \parenthesize e g c'> <g, b, d g> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Stück beginnt mit einem Auftakt. * Zum A-Moll kommt der Ton D mit dem kleinen Finger (4). Du spielst kurzfristig einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Asus4]] * Der Mittelfinger (2) vom C-Akkord bewegt sich zum F#. Er verweilt daher kürzer auf dem Ton E als angegeben. Hier geht man einen Kompromiss zwischen exakter Notation und leichter Lesbarkeit ein. *Warum die Noten hier eingefärbt werden, erkläre ich dir beim Refrain. * Der Melodieton D ist ebenfalls ein Akkordton von G-Dur. G-Dur wird also mal mit D und mal mit leerer B-Saite (deutsch H) gespielt. Das sind zwei verschiedene Voicings von G. * Beim strengen Zupfmuster hast du eigentlich nicht genug Finger, um alle angegebenen Töne zu zupfen. Der Daume kann aber auch über mehrere Saiten streichen. Es würden auch 4 Töne reichen. Du hast also die Wahl. * Für den Ton A spielst du kurz mal einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Esus4]]. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8-1 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2 a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Beim A-Moll werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Durch den Austausch des Mittelfingers durch den Zeigefinger (1) spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache j7-Akkorde|Amj7]]. * Auch beim E werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Den letzten Ton greifst du am besten mit dem Ringfinger. Er ist der Auftakt zum Am. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. <c \parenthesize e g c'>\arpeggio <g, b, d g>\arpeggio <e, b, e>\arpeggio } myMidiBass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. \grace { c16 e g c'}<c e g c'>2. \grace { g,16 b, d g d' }<g, b, d g>2. \grace { e,16 b, e g }<e, b, e>2. } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats << \Diskant \\ \myMidiBass >> } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das erste Thema wird wiederholt. * Als Begleitvorschlag kannst du ein Arpeggio ausführen. Statt die Akkordtöne gleichzeitig zu zupfen, ziehst du die Töne in schneller Folge von oben nach unten ab. Der Bewehungsablauf gleicht dem [[Gitarre: Zupfen im Vierviertel-Takt|pima-Zupfmuster]], allerdings wesentlich schneller. * Das Arpeggio ist eine Verzierungen und nicht zwingend festgeschrieben. Es ist, wie gesagt, ein Vorschlag und es bleibt dem Geschmack und Können des Interpretens überlassen, ob und wie er es ausführen will. * Die voll ausgeschriebene Notation der Arpeggios im ersten Takt sieht recht wild aus, so dass man sich lieber mit Wellenlinien begnügt. <span class="noprint"> *Weiter unten wird das Arpeggio beim Midi überzeugender wiedergegeben. Dies liegt an den begrenzten Fähigkeiten des hier verwenden Lilypond-Pluggin im Gegensatz zu Powertab mit dem die PDF erstellt wurde. </span> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Durch das Anheben des Zeigefingers spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache add9-Akkorde|Asus2]]. *Den kleinen Finger in den 4. Bund zum Ton F# zu bekommen, ist die schwerste Übung an dem ganzen Stück. Wenn dich das F# nur ein einziges Mal in einem Stück überfällt, so ist es eine ziemliche Herausforderung dieses zügig im richtigen Tempo zu meistern. * Es bietet sich an, den Lauf mehrfach zu üben. {{Todo|Übung mit F# und G# schreiben|Mjchael|Melodiepicking}} == Exkurs Tonleitern == In einigen Noten findet man den dorischen Modus wie eine natürliche Molltonart notiert. Allerdings wird die Sexte der Molltonart konsequent erhöt. ; natürliches A-Moll * Die 3b ist die kleine Mollterz. Sie kennzeichnet die Molltonart. Bei Akkorden wird die kleine Mollterz mit "m" wiedergegeben. * Molltonleitern haben eine kleine Sexte (6b). * Molltonleitern haben eine kleine Septime (7) * Eigentümlicherweise wird die kleine Septime bei Akkorden nicht als 7b bezeichnet, sondern nur als 7. * Die große Septime erhält dagegen bei Akkorden ein ∆ oder maj7 oder kurz j7. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g" "a" } } </score> ;harmonisches A-Moll * Der Am-Tonleiter wird ein künstler Leitton zugefügt. * G# kommt natürlicherweise als Mollterz vom E-Dur-Akkord vor. E ist die Dominante der Molltonart. Bis du dich an diese Molldoninante gewöhnt hast, stelle sie dir wie eine Zwischendominante in der natürlichen Am-Tonleiter vor. * Die Molldoninante bzw. der Leitton hat harmonische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g#" "a" } } </score> ; melodisches A-Moll * Um den übermäßigen Sprung vom F zum Gis zu glätten, weil er als unpassend empfunden wird, erhöht man auch die Sexte. * Dieses hat sinnigerweise melodische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g#" "a" } } </score> ; A-dorisch mit unschöner Erhöhung * In der dorischen Kirchentonleiter oder moderner ausgedrückt im dorischen Modus wird die Sexte um einen halben Ton erhöht. * Wird man das erste Mal mit den erhöhten Noten konfrontiert, so macht man sie für Schüler gerne auffällig mit Erhöhungszeichen sichtbar. * Du musst nun aber jede Note überprüfen, ob es eine Variante des oben beschriebenen melodischen oder harmonischen Moll handelt, oder ob wie hier der dorische Modus vorliegt. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> ; A-dorisch korrekt notiert * Korrekt notiert, werden nur so viele Vorzeichen, wie unbedingt nötig innerhalb des Notensystems verwendet. * Ein Kreuz am Anfang des Notensystem legt auf den ersten Blick die Tonart G-Dur nahe, und wir verwenden auch hauptsächlich das Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter bzw. deren Akkorde. * Der offensichtliche Start und Zielakkord ist jedoch Am, was der zweiten Stufe der G-Dur-Tonleiter entspricht. * Vereinfacht gesagt, wenn sich alles um die Subdominantenparallele<ref>Die [[Gitarre: Mollparallelen|Subdominantenparallele]] wurde im Folkdiplom vorgestellt.</ref> der zugrunde liegenden Dur-Tonleiter dreht, dann handelt es sich um den dorischen Modus. * Stelle dir mal kurz Flötenspieler mit einer irischen Tin Whistle, auch Penny Whistle oder Pocket Whistle vor. Entweder nimmt er sich eine Flöte für C-Dur bzw. A-Moll, und er muss die Noten mit Doppelgriffen oder halb geöffneten Löchern spielen, oder er nimmt sich eine Flöte die eigendlich für Stücke in G bzw. Em gedacht sind, und spielt A-Dorisch. In beiden Fällen nutzt er die Flöte auf andere Art und Weise, bzw. in einem anderen Modus. * Lieder, bei dem man die Instrumente mit einem anderen Modus als Dur und Moll spielt, haben sich bei uns vorwiegend in alten Kirchenliedern bewahrt, weswegen wir von Kirchentonarten sprechen. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble \key a \dorian a4 b c d e \tweak color #green fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> == Strophe btw. 2. Thema == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Der Refrain beginnt ohne Auftakt. * Nur die ersten beiden Takte beim C ändern sich. Der Rest bleibt gleich. * C mit einem zusätzlichen F# im zweiten Takt ist kurzfristig ein Cadd11#. Eine Oktave tiefer wäre es eine übermäßige Quarte (4#) die typisch für die Subdominante ist. C ist die Subdominante der Tonart G. Wir bedienen uns also von Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2. % a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) beim G# kann man nicht umgehen. Der Ton weicht eindeutig von der dorischen Tonleiter oder vom natürlichen Moll ab. Die Erhöhung ist typisch für harmonisches oder melodisches A-Moll. (G# ist die Durterz der Molldoninante E-Dur bzw. ein künstlich hinzugefügter Leitton, der weder im natürlichen Moll noch im dorischen Modus vorkommt.) * In der irisch-schottischen Folklore wechselt man gerne mal den Modus. Mal von einem zum nächsten Stück, mal beim Wechsel zwischen Strophe und Refrain oder auch manchmal unvermittelt mitten drin. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) bei dem F# ist unnötig. Man kann es durch die richtigen Vorzeichen umgehen. * Mit dem F# im Notensystem fragt man sich, ob hier melodisches oder harmonisches Moll vorliegt. Dabei bedient man sich bloß an dem Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> Im melodischen A-Moll erwarten wir beim der Dominante E ein F# mit Vorzeichen. Im dorischen Modus entfällt es, weil die Sexte ja schon am Anfang des Notensystem erhöht wurde. * Ansonsten nichts neues. == Abschließend == * Wenn das Stück eindeutig A dorisch wäre, dann sollte man es am Anfang des Notensystem mit einem Kreuz als Vorzeichen versehen. * Wenn das Stück eindeutig A-Moll wäre, dann sollte man es ohne Vorzeichen spielen. * Greensleeves schwimmt jedoch zwischen den Modi, was in der irischen, schottischen und bretonischen Volklore gar nicht mal so ungewöhnlich ist. * In der folgenden Tabulatur wird das Stück als A-Moll gedeitet, bei denen es bei einzelnen Takten zu modal Interchanges kommt. * Allerdings treten modal Interchanges in der Regel nur vereinzelt auf, und nicht wie hier regelmäßig. * Hundertprozentig eindeutig werden wir die Tonart hier also nicht festlegen können. Bei vielen anderen Liedern ist es viel einfacher. * [[Datei:Guitar greensleeves.mid]] {{PDF-Version|Guitar greensleeves.pdf|hier das PDF zu "Greensleeves" mit Noten und Tabulatur herunterladen}} [[Datei:Guitar greensleeves.pdf]] ;Tipp: Spiele dieses Stück mal direkt über dem Schallloch der Gitarre, dann zupfe es mal genau über dem 12 Bund, und wieder ein anderes mal zupft es ganz dicht am Steg. So kannst du ohne große Umstände den Klang des Stückes erheblich verändern. ==ein wenig Harmonielehre== Das Stück wird in dieser Fassung hier dorisch gespielt. Das F (die kleine Sexte von A) wird dabei um einen Halbton erhöht und wird zum F# (große Sexte von A). Man könnte dieses Stück auch im melodischen Moll spielen, wobei nur beim Akkord E-Dur das G zum G# erhöht wird und der Ton F nur zum F# erhöht wird, um den Sprung vom F zum G# zu glätten (melodisches Moll) überall sonst würde man ein F spielen. Dazu müsstest du bei der hohen E-Saite in der Tabulatur anstelle der (2) eine (1) einsetzen. Jedoch ginge mit einem F anstelle eines F# dem Stück ein wenig an Spannung verloren. Probiere mal aus, welche Variante dir besser gefällt. Greensleeves kannst du im Laufe der Zeit immer weiter ausbauen und mit weiteren Zupfmustern und Spielvarianten ausschmücken. * [http://www.youtube.com/watch?v=3AYgm-kGIfQ Video: Greensleeves klassisch und Fingerstyle] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Lieder auf Englisch|Greensleeves]] 6gm2s46pjrr9nlkj8rjmrfn2hwvnjsn 1090159 1090149 2026-08-29T11:40:41Z Mjchael 2222 /* Exkurs Tonleitern */ 1090159 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{:Liederbuch/ Vorlage:Querverweis|Gitarre: Melodiepicking - Greensleeves|Melodiepicking ~|Gitarre: Notenlesen - Greensleeves|Notenlesen: ~ Groundet|Gitarre: Liedbeispiel 10b|Folkdiplom: Liedbeispiel für E}}</noinclude> == Greensleeves (trad.) == Arrangement: [[Benutzer: Mjchael|Mjchael]] Das Stück ist in mehrere Teile aufgeteilt. Orientiere dich an den Akkorden. Finde heraus, welche Töne zum darüberstehenden Akkord gehören und welche du ergänzen musst, indem du einen Finger hinzufügst, tauscht oder wegnimmst. Im Balladendiplom hast du das ja schon praktisch bei den sus4, add9, j7-Akkorden etc. gemacht. Sofern es nicht anders angegeben ist, werden die Akkorde mit vier Fingern gleichzeitig gezupft. Der Melodieton ist hier immer der oberste Ton. Der Daumen kann auch mal über zwei Töne streichen. Du kannst auch ein schnelles [[Gitarre:_Einführung_ins_Zupfen#Begriffsklärung|Arpeggio]] spielen. Das ganze Stück hat viele Wiederholungen. Mit ein wenig Zupferfahrung wirst du staunen, wie schnell du es lernen kann. == Strophe == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { \set Staff.midiInstrument = \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue \partial 4 s4 <a, e a>2. <c \parenthesize e g c'> <g, b, d g> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Stück beginnt mit einem Auftakt. * Zum A-Moll kommt der Ton D mit dem kleinen Finger (4). Du spielst kurzfristig einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Asus4]] * Der Mittelfinger (2) vom C-Akkord bewegt sich zum F#. Er verweilt daher kürzer auf dem Ton E als angegeben. Hier geht man einen Kompromiss zwischen exakter Notation und leichter Lesbarkeit ein. *Warum die Noten hier eingefärbt werden, erkläre ich dir beim Refrain. * Der Melodieton D ist ebenfalls ein Akkordton von G-Dur. G-Dur wird also mal mit D und mal mit leerer B-Saite (deutsch H) gespielt. Das sind zwei verschiedene Voicings von G. * Beim strengen Zupfmuster hast du eigentlich nicht genug Finger, um alle angegebenen Töne zu zupfen. Der Daume kann aber auch über mehrere Saiten streichen. Es würden auch 4 Töne reichen. Du hast also die Wahl. * Für den Ton A spielst du kurz mal einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Esus4]]. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8-1 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2 a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Beim A-Moll werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Durch den Austausch des Mittelfingers durch den Zeigefinger (1) spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache j7-Akkorde|Amj7]]. * Auch beim E werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Den letzten Ton greifst du am besten mit dem Ringfinger. Er ist der Auftakt zum Am. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. <c \parenthesize e g c'>\arpeggio <g, b, d g>\arpeggio <e, b, e>\arpeggio } myMidiBass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. \grace { c16 e g c'}<c e g c'>2. \grace { g,16 b, d g d' }<g, b, d g>2. \grace { e,16 b, e g }<e, b, e>2. } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats << \Diskant \\ \myMidiBass >> } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das erste Thema wird wiederholt. * Als Begleitvorschlag kannst du ein Arpeggio ausführen. Statt die Akkordtöne gleichzeitig zu zupfen, ziehst du die Töne in schneller Folge von oben nach unten ab. Der Bewehungsablauf gleicht dem [[Gitarre: Zupfen im Vierviertel-Takt|pima-Zupfmuster]], allerdings wesentlich schneller. * Das Arpeggio ist eine Verzierungen und nicht zwingend festgeschrieben. Es ist, wie gesagt, ein Vorschlag und es bleibt dem Geschmack und Können des Interpretens überlassen, ob und wie er es ausführen will. * Die voll ausgeschriebene Notation der Arpeggios im ersten Takt sieht recht wild aus, so dass man sich lieber mit Wellenlinien begnügt. <span class="noprint"> *Weiter unten wird das Arpeggio beim Midi überzeugender wiedergegeben. Dies liegt an den begrenzten Fähigkeiten des hier verwenden Lilypond-Pluggin im Gegensatz zu Powertab mit dem die PDF erstellt wurde. </span> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Durch das Anheben des Zeigefingers spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache add9-Akkorde|Asus2]]. *Den kleinen Finger in den 4. Bund zum Ton F# zu bekommen, ist die schwerste Übung an dem ganzen Stück. Wenn dich das F# nur ein einziges Mal in einem Stück überfällt, so ist es eine ziemliche Herausforderung dieses zügig im richtigen Tempo zu meistern. * Es bietet sich an, den Lauf mehrfach zu üben. {{Todo|Übung mit F# und G# schreiben|Mjchael|Melodiepicking}} == Exkurs Tonleitern == <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 5.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 5) (fret-count . 4) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" black ) (place-fret 1 1 "F" saddlebrown ) (place-fret 1 2 "F#" purple ) (place-fret 1 3 "G" darkorange1 ) (place-fret 2 0 "B" black) (place-fret 2 1 "C" saddlebrown ) (place-fret 2 3 "D" red3 ) (place-fret 3 0 "G" black ) (place-fret 3 1 "G#" purple ) (place-fret 3 2 "A" red3 ) (place-fret 4 0 "D" black ) (place-fret 4 2 "E" red3 ) (place-fret 4 3 "F" red3 ) (place-fret 4 4 "F#" purple ) (place-fret 5 0 "A" black ) (place-fret 5 1 "Bb" purple ) (place-fret 5 2 "B" saddlebrown ) (place-fret 5 3 "C" red3 ) (place-fret 6 0 "E" black ) (place-fret 6 1 "F" darkorange1 ) (place-fret 6 3 "G" red3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> In einigen Liederbüchern wird Greensleeves wie eine natürliche Molltonart notiert. Allerdings wird die Sexte der Molltonart konsequent erhöt. ; natürliches A-Moll * Die 3b ist die kleine Mollterz. Sie kennzeichnet die Molltonart. Bei Akkorden wird die kleine Mollterz mit "m" wiedergegeben. * Molltonleitern haben eine kleine Sexte (6b). * Molltonleitern haben eine kleine Septime (7) * Eigentümlicherweise wird die kleine Septime bei Akkorden nicht als 7b bezeichnet, sondern nur als 7. * Die große Septime erhält dagegen bei Akkorden ein ∆ oder maj7 oder kurz j7. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g" "a" } } </score> ;harmonisches A-Moll * Der Am-Tonleiter wird ein künstler Leitton zugefügt. * G# kommt natürlicherweise als Mollterz vom E-Dur-Akkord vor. E ist die Dominante der Molltonart. Bis du dich an diese Molldoninante gewöhnt hast, stelle sie dir wie eine Zwischendominante in der natürlichen Am-Tonleiter vor. * Die Molldoninante bzw. der Leitton hat harmonische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g#" "a" } } </score> ; melodisches A-Moll * Um den übermäßigen Sprung vom F zum Gis zu glätten, weil er als unpassend empfunden wird, erhöht man auch die Sexte. * Dieses hat sinnigerweise melodische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g#" "a" } } </score> ; A-dorisch mit unschöner Erhöhung * In der dorischen Kirchentonleiter oder moderner ausgedrückt im dorischen Modus wird die Sexte um einen halben Ton erhöht. * Wird man das erste Mal mit den erhöhten Noten konfrontiert, so macht man sie für Schüler gerne auffällig mit Erhöhungszeichen sichtbar. * Du musst nun aber jede Note überprüfen, ob es eine Variante des oben beschriebenen melodischen oder harmonischen Moll handelt, oder ob wie hier der dorische Modus vorliegt. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> ; A-dorisch korrekt notiert * Korrekt notiert, werden nur so viele Vorzeichen, wie unbedingt nötig innerhalb des Notensystems verwendet. * Ein Kreuz am Anfang des Notensystem legt auf den ersten Blick die Tonart G-Dur nahe, und wir verwenden auch hauptsächlich das Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter bzw. deren Akkorde. * Der offensichtliche Start und Zielakkord ist jedoch Am, was der zweiten Stufe der G-Dur-Tonleiter entspricht. * Vereinfacht gesagt, wenn sich alles um die Subdominantenparallele<ref>Die [[Gitarre: Mollparallelen|Subdominantenparallele]] wurde im Folkdiplom vorgestellt.</ref> der zugrunde liegenden Dur-Tonleiter dreht, dann handelt es sich um den dorischen Modus. * Stelle dir mal kurz Flötenspieler mit einer irischen Tin Whistle, auch Penny Whistle oder Pocket Whistle vor. Entweder nimmt er sich eine Flöte für C-Dur bzw. A-Moll, und er muss die Noten mit Doppelgriffen oder halb geöffneten Löchern spielen, oder er nimmt sich eine Flöte die eigendlich für Stücke in G bzw. Em gedacht sind, und spielt A-Dorisch. In beiden Fällen nutzt er die Flöte auf andere Art und Weise, bzw. in einem anderen Modus. * Lieder, bei dem man die Instrumente mit einem anderen Modus als Dur und Moll spielt, haben sich bei uns vorwiegend in alten Kirchenliedern bewahrt, weswegen wir von Kirchentonarten sprechen. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble \key a \dorian a4 b c d e \tweak color #green fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> == Strophe btw. 2. Thema == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Der Refrain beginnt ohne Auftakt. * Nur die ersten beiden Takte beim C ändern sich. Der Rest bleibt gleich. * C mit einem zusätzlichen F# im zweiten Takt ist kurzfristig ein Cadd11#. Eine Oktave tiefer wäre es eine übermäßige Quarte (4#) die typisch für die Subdominante ist. C ist die Subdominante der Tonart G. Wir bedienen uns also von Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2. % a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) beim G# kann man nicht umgehen. Der Ton weicht eindeutig von der dorischen Tonleiter oder vom natürlichen Moll ab. Die Erhöhung ist typisch für harmonisches oder melodisches A-Moll. (G# ist die Durterz der Molldoninante E-Dur bzw. ein künstlich hinzugefügter Leitton, der weder im natürlichen Moll noch im dorischen Modus vorkommt.) * In der irisch-schottischen Folklore wechselt man gerne mal den Modus. Mal von einem zum nächsten Stück, mal beim Wechsel zwischen Strophe und Refrain oder auch manchmal unvermittelt mitten drin. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) bei dem F# ist unnötig. Man kann es durch die richtigen Vorzeichen umgehen. * Mit dem F# im Notensystem fragt man sich, ob hier melodisches oder harmonisches Moll vorliegt. Dabei bedient man sich bloß an dem Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> Im melodischen A-Moll erwarten wir beim der Dominante E ein F# mit Vorzeichen. Im dorischen Modus entfällt es, weil die Sexte ja schon am Anfang des Notensystem erhöht wurde. * Ansonsten nichts neues. == Abschließend == * Wenn das Stück eindeutig A dorisch wäre, dann sollte man es am Anfang des Notensystem mit einem Kreuz als Vorzeichen versehen. * Wenn das Stück eindeutig A-Moll wäre, dann sollte man es ohne Vorzeichen spielen. * Greensleeves schwimmt jedoch zwischen den Modi, was in der irischen, schottischen und bretonischen Volklore gar nicht mal so ungewöhnlich ist. * In der folgenden Tabulatur wird das Stück als A-Moll gedeitet, bei denen es bei einzelnen Takten zu modal Interchanges kommt. * Allerdings treten modal Interchanges in der Regel nur vereinzelt auf, und nicht wie hier regelmäßig. * Hundertprozentig eindeutig werden wir die Tonart hier also nicht festlegen können. Bei vielen anderen Liedern ist es viel einfacher. * [[Datei:Guitar greensleeves.mid]] {{PDF-Version|Guitar greensleeves.pdf|hier das PDF zu "Greensleeves" mit Noten und Tabulatur herunterladen}} [[Datei:Guitar greensleeves.pdf]] ;Tipp: Spiele dieses Stück mal direkt über dem Schallloch der Gitarre, dann zupfe es mal genau über dem 12 Bund, und wieder ein anderes mal zupft es ganz dicht am Steg. So kannst du ohne große Umstände den Klang des Stückes erheblich verändern. ==ein wenig Harmonielehre== Das Stück wird in dieser Fassung hier dorisch gespielt. Das F (die kleine Sexte von A) wird dabei um einen Halbton erhöht und wird zum F# (große Sexte von A). Man könnte dieses Stück auch im melodischen Moll spielen, wobei nur beim Akkord E-Dur das G zum G# erhöht wird und der Ton F nur zum F# erhöht wird, um den Sprung vom F zum G# zu glätten (melodisches Moll) überall sonst würde man ein F spielen. Dazu müsstest du bei der hohen E-Saite in der Tabulatur anstelle der (2) eine (1) einsetzen. Jedoch ginge mit einem F anstelle eines F# dem Stück ein wenig an Spannung verloren. Probiere mal aus, welche Variante dir besser gefällt. Greensleeves kannst du im Laufe der Zeit immer weiter ausbauen und mit weiteren Zupfmustern und Spielvarianten ausschmücken. * [http://www.youtube.com/watch?v=3AYgm-kGIfQ Video: Greensleeves klassisch und Fingerstyle] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Lieder auf Englisch|Greensleeves]] 68im86lzb44qtfxuzitmb2olmcw4r1s 1090160 1090159 2026-08-29T11:41:49Z Mjchael 2222 /* Exkurs Tonleitern */ 1090160 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{:Liederbuch/ Vorlage:Querverweis|Gitarre: Melodiepicking - Greensleeves|Melodiepicking ~|Gitarre: Notenlesen - Greensleeves|Notenlesen: ~ Groundet|Gitarre: Liedbeispiel 10b|Folkdiplom: Liedbeispiel für E}}</noinclude> == Greensleeves (trad.) == Arrangement: [[Benutzer: Mjchael|Mjchael]] Das Stück ist in mehrere Teile aufgeteilt. Orientiere dich an den Akkorden. Finde heraus, welche Töne zum darüberstehenden Akkord gehören und welche du ergänzen musst, indem du einen Finger hinzufügst, tauscht oder wegnimmst. Im Balladendiplom hast du das ja schon praktisch bei den sus4, add9, j7-Akkorden etc. gemacht. Sofern es nicht anders angegeben ist, werden die Akkorde mit vier Fingern gleichzeitig gezupft. Der Melodieton ist hier immer der oberste Ton. Der Daumen kann auch mal über zwei Töne streichen. Du kannst auch ein schnelles [[Gitarre:_Einführung_ins_Zupfen#Begriffsklärung|Arpeggio]] spielen. Das ganze Stück hat viele Wiederholungen. Mit ein wenig Zupferfahrung wirst du staunen, wie schnell du es lernen kann. == Strophe == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { \set Staff.midiInstrument = \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue \partial 4 s4 <a, e a>2. <c \parenthesize e g c'> <g, b, d g> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Stück beginnt mit einem Auftakt. * Zum A-Moll kommt der Ton D mit dem kleinen Finger (4). Du spielst kurzfristig einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Asus4]] * Der Mittelfinger (2) vom C-Akkord bewegt sich zum F#. Er verweilt daher kürzer auf dem Ton E als angegeben. Hier geht man einen Kompromiss zwischen exakter Notation und leichter Lesbarkeit ein. *Warum die Noten hier eingefärbt werden, erkläre ich dir beim Refrain. * Der Melodieton D ist ebenfalls ein Akkordton von G-Dur. G-Dur wird also mal mit D und mal mit leerer B-Saite (deutsch H) gespielt. Das sind zwei verschiedene Voicings von G. * Beim strengen Zupfmuster hast du eigentlich nicht genug Finger, um alle angegebenen Töne zu zupfen. Der Daume kann aber auch über mehrere Saiten streichen. Es würden auch 4 Töne reichen. Du hast also die Wahl. * Für den Ton A spielst du kurz mal einen [[Gitarre: C4 - D4 - E4 - A4|Esus4]]. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8-1 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2 a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Beim A-Moll werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Durch den Austausch des Mittelfingers durch den Zeigefinger (1) spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache j7-Akkorde|Amj7]]. * Auch beim E werden fast nur Akkordtöne gespielt. * Den letzten Ton greifst du am besten mit dem Ringfinger. Er ist der Auftakt zum Am. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 1" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 d'4-4 | e'2 \tweak color #green fis'8-2 e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. <c \parenthesize e g c'>\arpeggio <g, b, d g>\arpeggio <e, b, e>\arpeggio } myMidiBass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 \grace { a,16 e a c' }<a, e a>2. \grace { c16 e g c'}<c e g c'>2. \grace { g,16 b, d g d' }<g, b, d g>2. \grace { e,16 b, e g }<e, b, e>2. } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats << \Diskant \\ \myMidiBass >> } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das erste Thema wird wiederholt. * Als Begleitvorschlag kannst du ein Arpeggio ausführen. Statt die Akkordtöne gleichzeitig zu zupfen, ziehst du die Töne in schneller Folge von oben nach unten ab. Der Bewehungsablauf gleicht dem [[Gitarre: Zupfen im Vierviertel-Takt|pima-Zupfmuster]], allerdings wesentlich schneller. * Das Arpeggio ist eine Verzierungen und nicht zwingend festgeschrieben. Es ist, wie gesagt, ein Vorschlag und es bleibt dem Geschmack und Können des Interpretens überlassen, ob und wie er es ausführen will. * Die voll ausgeschriebene Notation der Arpeggios im ersten Takt sieht recht wild aus, so dass man sich lieber mit Wellenlinien begnügt. <span class="noprint"> *Weiter unten wird das Arpeggio beim Midi überzeugender wiedergegeben. Dies liegt an den begrenzten Fähigkeiten des hier verwenden Lilypond-Pluggin im Gegensatz zu Powertab mit dem die PDF erstellt wurde. </span> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Durch das Anheben des Zeigefingers spielst du kurzfristig ein [[Gitarre: einfache add9-Akkorde|Asus2]]. *Den kleinen Finger in den 4. Bund zum Ton F# zu bekommen, ist die schwerste Übung an dem ganzen Stück. Wenn dich das F# nur ein einziges Mal in einem Stück überfällt, so ist es eine ziemliche Herausforderung dieses zügig im richtigen Tempo zu meistern. * Es bietet sich an, den Lauf mehrfach zu üben. {{Todo|Übung mit F# und G# schreiben|Mjchael|Melodiepicking}} == Exkurs Tonleitern == <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 5.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 5) (fret-count . 4) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" black ) (place-fret 1 1 "F" saddlebrown ) (place-fret 1 2 "F#" purple ) (place-fret 1 3 "G" darkorange1 ) (place-fret 2 0 "B" black) (place-fret 2 1 "C" saddlebrown ) (place-fret 2 3 "D" red3 ) (place-fret 3 0 "G" black ) (place-fret 3 1 "G#" purple ) (place-fret 3 2 "A" red3 ) (place-fret 3 3 "Bb" purple ) (place-fret 4 0 "D" black ) (place-fret 4 2 "E" red3 ) (place-fret 4 3 "F" red3 ) (place-fret 4 4 "F#" purple ) (place-fret 5 0 "A" black ) (place-fret 5 2 "B" saddlebrown ) (place-fret 5 3 "C" red3 ) (place-fret 6 0 "E" black ) (place-fret 6 1 "F" darkorange1 ) (place-fret 6 3 "G" red3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> In einigen Liederbüchern wird Greensleeves wie eine natürliche Molltonart notiert. Allerdings wird die Sexte der Molltonart konsequent erhöt. ; natürliches A-Moll * Die 3b ist die kleine Mollterz. Sie kennzeichnet die Molltonart. Bei Akkorden wird die kleine Mollterz mit "m" wiedergegeben. * Molltonleitern haben eine kleine Sexte (6b). * Molltonleitern haben eine kleine Septime (7) * Eigentümlicherweise wird die kleine Septime bei Akkorden nicht als 7b bezeichnet, sondern nur als 7. * Die große Septime erhält dagegen bei Akkorden ein ∆ oder maj7 oder kurz j7. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g" "a" } } </score> ;harmonisches A-Moll * Der Am-Tonleiter wird ein künstler Leitton zugefügt. * G# kommt natürlicherweise als Mollterz vom E-Dur-Akkord vor. E ist die Dominante der Molltonart. Bis du dich an diese Molldoninante gewöhnt hast, stelle sie dir wie eine Zwischendominante in der natürlichen Am-Tonleiter vor. * Die Molldoninante bzw. der Leitton hat harmonische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e f \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6b" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g#" "a" } } </score> ; melodisches A-Moll * Um den übermäßigen Sprung vom F zum Gis zu glätten, weil er als unpassend empfunden wird, erhöht man auch die Sexte. * Dieses hat sinnigerweise melodische Gründe. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis \tweak color #red gis a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "j7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g#" "a" } } </score> ; A-dorisch mit unschöner Erhöhung * In der dorischen Kirchentonleiter oder moderner ausgedrückt im dorischen Modus wird die Sexte um einen halben Ton erhöht. * Wird man das erste Mal mit den erhöhten Noten konfrontiert, so macht man sie für Schüler gerne auffällig mit Erhöhungszeichen sichtbar. * Du musst nun aber jede Note überprüfen, ob es eine Variante des oben beschriebenen melodischen oder harmonischen Moll handelt, oder ob wie hier der dorische Modus vorliegt. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble a4 b c d e \tweak color #red fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> ; A-dorisch korrekt notiert * Korrekt notiert, werden nur so viele Vorzeichen, wie unbedingt nötig innerhalb des Notensystems verwendet. * Ein Kreuz am Anfang des Notensystem legt auf den ersten Blick die Tonart G-Dur nahe, und wir verwenden auch hauptsächlich das Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter bzw. deren Akkorde. * Der offensichtliche Start und Zielakkord ist jedoch Am, was der zweiten Stufe der G-Dur-Tonleiter entspricht. * Vereinfacht gesagt, wenn sich alles um die Subdominantenparallele<ref>Die [[Gitarre: Mollparallelen|Subdominantenparallele]] wurde im Folkdiplom vorgestellt.</ref> der zugrunde liegenden Dur-Tonleiter dreht, dann handelt es sich um den dorischen Modus. * Stelle dir mal kurz Flötenspieler mit einer irischen Tin Whistle, auch Penny Whistle oder Pocket Whistle vor. Entweder nimmt er sich eine Flöte für C-Dur bzw. A-Moll, und er muss die Noten mit Doppelgriffen oder halb geöffneten Löchern spielen, oder er nimmt sich eine Flöte die eigendlich für Stücke in G bzw. Em gedacht sind, und spielt A-Dorisch. In beiden Fällen nutzt er die Flöte auf andere Art und Weise, bzw. in einem anderen Modus. * Lieder, bei dem man die Instrumente mit einem anderen Modus als Dur und Moll spielt, haben sich bei uns vorwiegend in alten Kirchenliedern bewahrt, weswegen wir von Kirchentonarten sprechen. <score sound="1"> { \relative c' { \clef treble \key a \dorian a4 b c d e \tweak color #green fis g a } \addlyrics { "1" "2" "3b" "4" "5" "6" "7" "1" } \addlyrics { "a" "b" "c" "d" "e" "f#" "g" "a" } } </score> == Strophe btw. 2. Thema == <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Der Refrain beginnt ohne Auftakt. * Nur die ersten beiden Takte beim C ändern sich. Der Rest bleibt gleich. * C mit einem zusätzlichen F# im zweiten Takt ist kurzfristig ein Cadd11#. Eine Oktave tiefer wäre es eine übermäßige Quarte (4#) die typisch für die Subdominante ist. C ist die Subdominante der Tonart G. Wir bedienen uns also von Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung 1. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | a:m | e | e } Diskant = { % \partial 4 a4 c'2 a4 | a2 \tweak color #blue gis8 a | b2 \tweak color #green gis4 |<b, e>2. % a4-3 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <a, e> <e, b, e \tweak color #green gis> e, } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) beim G# kann man nicht umgehen. Der Ton weicht eindeutig von der dorischen Tonleiter oder vom natürlichen Moll ab. Die Erhöhung ist typisch für harmonisches oder melodisches A-Moll. (G# ist die Durterz der Molldoninante E-Dur bzw. ein künstlich hinzugefügter Leitton, der weder im natürlichen Moll noch im dorischen Modus vorkommt.) * In der irisch-schottischen Folklore wechselt man gerne mal den Modus. Mal von einem zum nächsten Stück, mal beim Wechsel zwischen Strophe und Refrain oder auch manchmal unvermittelt mitten drin. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = "Wiederholung Thema 2" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | c2. c | g e:m } Diskant = { % \partial 4 a4 g'2. | g'4 \tweak color #red fis' e' | d'2-4 b4 |g2 a8-2 b-0 } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <c e g c'>2. <c \parenthesize e g > <g, b, d> <e, b, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> * Das Kreuz (#) bei dem F# ist unnötig. Man kann es durch die richtigen Vorzeichen umgehen. * Mit dem F# im Notensystem fragt man sich, ob hier melodisches oder harmonisches Moll vorliegt. Dabei bedient man sich bloß an dem Tonmaterial der G-Dur-Tonleiter. * Ansonsten nichts neues. <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title = " 2. Antwort" % arranger = "ccbysa Wikibooks (Mjchael)" % copyright = "ccbysa de.wikibooks.org/wiki/Gitarre" } myKey = { \clef "treble_8" \time 3/4 \tempo 4 = 120 \key a \dorian \set Score.tempoHideNote = ##t \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" } Akkorde = \chordmode { \set chordChanges = ##t % \partial 4 s4 | a2.:m | e | a:m | a:m } Diskant = { % \partial 4 a4 c'4 b a | \tweak color #green gis \tweak color #blue fis \tweak color #green gis | a2 4 | 2. } Bass = { % \override NoteHead #'color = #blue % \partial 4 s4 <a, e a>2. <e, b, e> <a, e> <a, e> } Gitarre = << \Diskant \\ \Bass >> \score { << \new ChordNames { \Akkorde } \new Voice { \myKey \Gitarre } \new TabStaff { \Gitarre } >> \layout { } } \score { << \new Voice { \myKey \unfoldRepeats \Gitarre } >> \midi { } } \paper { indent=0\mm line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> Im melodischen A-Moll erwarten wir beim der Dominante E ein F# mit Vorzeichen. Im dorischen Modus entfällt es, weil die Sexte ja schon am Anfang des Notensystem erhöht wurde. * Ansonsten nichts neues. == Abschließend == * Wenn das Stück eindeutig A dorisch wäre, dann sollte man es am Anfang des Notensystem mit einem Kreuz als Vorzeichen versehen. * Wenn das Stück eindeutig A-Moll wäre, dann sollte man es ohne Vorzeichen spielen. * Greensleeves schwimmt jedoch zwischen den Modi, was in der irischen, schottischen und bretonischen Volklore gar nicht mal so ungewöhnlich ist. * In der folgenden Tabulatur wird das Stück als A-Moll gedeitet, bei denen es bei einzelnen Takten zu modal Interchanges kommt. * Allerdings treten modal Interchanges in der Regel nur vereinzelt auf, und nicht wie hier regelmäßig. * Hundertprozentig eindeutig werden wir die Tonart hier also nicht festlegen können. Bei vielen anderen Liedern ist es viel einfacher. * [[Datei:Guitar greensleeves.mid]] {{PDF-Version|Guitar greensleeves.pdf|hier das PDF zu "Greensleeves" mit Noten und Tabulatur herunterladen}} [[Datei:Guitar greensleeves.pdf]] ;Tipp: Spiele dieses Stück mal direkt über dem Schallloch der Gitarre, dann zupfe es mal genau über dem 12 Bund, und wieder ein anderes mal zupft es ganz dicht am Steg. So kannst du ohne große Umstände den Klang des Stückes erheblich verändern. ==ein wenig Harmonielehre== Das Stück wird in dieser Fassung hier dorisch gespielt. Das F (die kleine Sexte von A) wird dabei um einen Halbton erhöht und wird zum F# (große Sexte von A). Man könnte dieses Stück auch im melodischen Moll spielen, wobei nur beim Akkord E-Dur das G zum G# erhöht wird und der Ton F nur zum F# erhöht wird, um den Sprung vom F zum G# zu glätten (melodisches Moll) überall sonst würde man ein F spielen. Dazu müsstest du bei der hohen E-Saite in der Tabulatur anstelle der (2) eine (1) einsetzen. Jedoch ginge mit einem F anstelle eines F# dem Stück ein wenig an Spannung verloren. Probiere mal aus, welche Variante dir besser gefällt. Greensleeves kannst du im Laufe der Zeit immer weiter ausbauen und mit weiteren Zupfmustern und Spielvarianten ausschmücken. * [http://www.youtube.com/watch?v=3AYgm-kGIfQ Video: Greensleeves klassisch und Fingerstyle] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Tabulatur|Greensleeves]] [[Kategorie:Liederbuch/ Lieder auf Englisch|Greensleeves]] lt8ww37pln90nrgg50unbcfmnkyz2wg 10 59316 1090137 994012 2026-08-28T13:16:51Z Joshinils 114567 [[w:Benutzer:Joshinils/Dunkelmodus/Bearbeitungskommentar|DunkelModusOptimierung]] 1090137 wikitext text/x-wiki <onlyinclude><includeonly>{{HTMLTag| |html-tag={{{html-tag|div}}} |float-objekte-beachten={{{float-objekte-beachten|ja}}} |clear={{{clear|}}} |inline={{{inline|nein}}} |nomobile={{{nomobile|}}} |noprint={{{noprint|}}} |id={{{id|}}} |class={{{class|}}} |mf-id={{{mf-id|}}} |css= /* margin-top und margin-bottom wie aktuell bei p-Tags setzen */ margin-top: 0.5em; margin-bottom: 0.5em; /* Definieren des CSS für die 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2026-08-28T12:17:10Z Joshinils 114567 fix copy-paste beispiel, einmal onlyinclude um alles, damit alles includiert wird, inklusive dem inneren onlyinclude im beispiel selbst 1090135 wikitext text/x-wiki <onlyinclude> == Beschreibung == Diese Vorlage dient dazu, eine Box einzubinden. Der Parameter <code>inhalt</code> gibt den Inhalt der Box an und muss immer angegeben werden. Mit dem optionalen Parameter <code>icon</code> kann ein Icon angegeben werden, welches neben der Box angezeigt wird. Dabei dient der optionale Parameter <code>icon-size</code> dazu, die Breite des Icons zu bestimmen (der Defaultwert ist <code>24px</code>). {{Codebeispiel |code=<nowiki>{{Box |icon=Qsicon Achtung.svg |icon-size=30px |inhalt={{Blindtext}} }}</nowiki>}} == Verwendung dieser Vorlage als Basis für andere Vorlagen == Um diese Vorlage als Basis für andere Box-Vorlagen zu verwenden, kannst du folgenden Code verwenden: <syntaxhighlight lang="wikitext" copy> <onlyinclude>{{Box |style=<dein Style> |icon=<Name des Icons> |icon-size=<Breite des Icons in Pixel> |inhalt= … Dein Inhalt … }}</onlyinclude> <noinclude>{{Dokumentation}}</noinclude> </syntaxhighlight> == Die Parameter == === Der Parameter <code>style</code> === Mit Hilfe des <code>style</code> Parameters kann das Design der Box gesteuert werden. Folgende Designstile sind vordefiniert: {| class="wikitable" style="width: 100%; background-color: white;" |- ! Wert für <code>style</code> !! Ergebnis |- | Info || {{Box|style=Info|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Hinweis || {{Box|style=Hinweis|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Fehlermeldung || {{Box|style=Fehlermeldung|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Systemnachricht || {{Box|style=Systemnachricht|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Rahmen || {{Box|style=grauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Rahmen || {{Box|style=blauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Kasten || {{Box|style=blauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Kasten || {{Box|style=grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | dezenter grauer Kasten || {{Box|style=dezenter grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | keine Wert für <code>style</code> || {{Box|style=|inhalt={{Blindtext}}}} |} Es können einfach auch weitere Styles definiert werden. Wenn du für deine Arbeit weitere Styles brauchst, dann melde dich bitte bei [[Benutzer:Stephan Kulla]]. === Der Parameter <code>icon-noprint</code> === Da in der Wikibook-Druckversion von Pediapress CSS-Anweisungen ignoriert werden, ist für das Icon <code>class="noprint"</code> gesetzt. Man muss <code>icon-noprint</code> explizit auf „nein“ setzen (also <code>icon-noprint=nein</code>), wenn man die Icons in der Druckversion angezeigt haben möchte. === Der Parameter <code>icon-vertical-align</code> === Für das Icon ist <code>vertical-align</code> auf <code>middle</code> gesetzt. Mit <code>icon-vertical-align</code> kann dieser Wert verändert werden. === Der Parameter <code>inhalt-vertical-align</code> === Für den Inhalt (zweite Spalte) ist <code>vertical-align</code> auf <code>middle</code> gesetzt. Mit <code>inhalt-vertical-align</code> kann dieser Wert verändert werden. == Weitere Parameter == Diese Vorlage basiert auf [[Vorlage:Mehrspaltenlayout]] und damit auf [[Vorlage:Kasten]]. Folgende Parameter von [[Vorlage:Kasten]] können mitverwendet werden: * <code>position</code> * <code>width</code> * <code>max-width</code> * <code>min-width</code> * <code>außenabstand</code> Von der [[Vorlage:HTMLTag]] können folgende Parameter verwendet werden: * <code>nomobile</code> * <code>noprint</code> * <code>id</code> * <code>clear</code> * <code>html-tag</code> * <code>css</code> * <code>float-objekte-beachten</code> {{TemplateData |beschreibung=Diese Vorlage bindet eine Box ein. |parameter= "inhalt": {"label": "Inhalt", "type": "content", "required": true, "description": "Inhalt der Box.", "example": "Diese Vorlage funktioniert derzeit nicht."}, "icon": {"label": "Icon-Dateiname", "description": "Dateiname des Icons, welches in der Box angezeigt werden soll.", "required": true, "type": "wiki-file-name", "example": "Achtung.svg"}, "icon-size": {"label": "Icon-Breite", "description": "Breite des Icons.", "type": "line", "default": "24px", "example": "10em"}, "icon-vertical-align": {"label": "Icon-Verticalalign", "description": "Wert für den Parameter von der CSS-Eigenschaft „vertical-align“ für das Icon.", "default":"middle", "type": "line", "example": "left"}, "inhalt-vertical-align": {"label": "Inhalt-Verticalalign", "description": "Wert für den Parameter von der CSS-Eigenschaft „vertical-align“ für den Inhalt.", "default":"middle", "type": "line", "example": "right"}, "icon-noprint": {"label": "Icon-Noprint", "description": "Setze diesen Wert auf „nein“, wenn das Icon in der Druckversion erscheinen soll.", "default":"ja", "type": "line", "example": "nein"}, "icon-link": {"label": "Icon-Link", "description": "Wenn ein Wert gesetzt ist, wird das Bild zu ihm verlinkt", "type": "line", "example": "Hauptseite"}, "style": {"label": "Style", "description": "Das Design des Kastens.", "type": "line", "suggested": true, "example": "Hinweis"}, "position": {"label": "Position", "description": "Die Positionierung und Ausrichtung des Kastens.", "type": "line", "default": "ganze Breite", "example": "mittig"}, "width": {"label": "Breite", "description": "Die Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "100ch"}, "max-width": {"label": "Maximale Breite", "description": "Die maximale Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "500px"}, "min-width": {"label": "Minimale Breite", "description": "Die minimale Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "20em"}, "außenabstand": {"label": "Außenabstand", "description": "Außenabstand bei mittig zentrierten Kästen.", "type": "line" }, "clear": { "label": "Clear", "description": "Wert der CSS-Eigenschaft „clear“.", "type": "line", "example": "left"}, "html-tag": {"label": "Kasten-Tag-Name", "description": "Name des HTML-Tag-Namens für den Kasten", "type": "line", "default": "div", "example": "span"}, "float-objekte-beachten": {"label": "Float-Objekte beachten?", "description": "Sollen andere gefloatete Objekte für die Breitenbestimmung berücksichtigt werden? 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Der Parameter <code>inhalt</code> gibt den Inhalt der Box an und muss immer angegeben werden. Mit dem optionalen Parameter <code>icon</code> kann ein Icon angegeben werden, welches neben der Box angezeigt wird. Dabei dient der optionale Parameter <code>icon-size</code> dazu, die Breite des Icons zu bestimmen (der Defaultwert ist <code>24px</code>). {{Codebeispiel |code=<nowiki>{{Box |icon=Qsicon Achtung.svg |icon-size=30px |inhalt={{Blindtext}} }}</nowiki>}} == Verwendung dieser Vorlage als Basis für andere Vorlagen == Um diese Vorlage als Basis für andere Box-Vorlagen zu verwenden, kannst du folgenden Code verwenden: <syntaxhighlight lang="wikitext" copy> <onlyinclude>{{Box |style=<dein Style> |icon=<Name des Icons> |icon-size=<Breite des Icons in Pixel> |inhalt= … Dein Inhalt … }}</onlyinclude> <noinclude>{{Dokumentation}}</noinclude> </syntaxhighlight> == Die Parameter == === Der Parameter <code>style</code> === Mit Hilfe des <code>style</code> Parameters kann das Design der Box gesteuert werden. Folgende Designstile sind vordefiniert: {| class="wikitable" style="width: 100%;" |- ! Wert für <code>style</code> !! Ergebnis |- | Info || {{Box|style=Info|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Hinweis || {{Box|style=Hinweis|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Fehlermeldung || {{Box|style=Fehlermeldung|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Systemnachricht || {{Box|style=Systemnachricht|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Rahmen || {{Box|style=grauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Rahmen || {{Box|style=blauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Kasten || {{Box|style=blauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Kasten || {{Box|style=grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | dezenter grauer Kasten || {{Box|style=dezenter grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | keine Wert für <code>style</code> || {{Box|style=|inhalt={{Blindtext}}}} |} Es können einfach auch weitere Styles definiert werden. Wenn du für deine Arbeit weitere Styles brauchst, dann melde dich bitte bei [[Benutzer:Stephan Kulla]]. === Der Parameter <code>icon-noprint</code> === Da in der Wikibook-Druckversion von Pediapress CSS-Anweisungen ignoriert werden, ist für das Icon <code>class="noprint"</code> gesetzt. Man muss <code>icon-noprint</code> explizit auf „nein“ setzen (also <code>icon-noprint=nein</code>), wenn man die Icons in der Druckversion angezeigt haben möchte. === Der Parameter <code>icon-vertical-align</code> === Für das Icon ist <code>vertical-align</code> auf <code>middle</code> gesetzt. Mit <code>icon-vertical-align</code> kann dieser Wert verändert werden. === Der Parameter <code>inhalt-vertical-align</code> === Für den Inhalt (zweite Spalte) ist <code>vertical-align</code> auf <code>middle</code> gesetzt. Mit <code>inhalt-vertical-align</code> kann dieser Wert verändert werden. == Weitere Parameter == Diese Vorlage basiert auf [[Vorlage:Mehrspaltenlayout]] und damit auf [[Vorlage:Kasten]]. Folgende Parameter von [[Vorlage:Kasten]] können mitverwendet werden: * <code>position</code> * <code>width</code> * <code>max-width</code> * <code>min-width</code> * <code>außenabstand</code> Von der [[Vorlage:HTMLTag]] können folgende Parameter verwendet werden: * <code>nomobile</code> * <code>noprint</code> * <code>id</code> * <code>clear</code> * <code>html-tag</code> * <code>css</code> * <code>float-objekte-beachten</code> {{TemplateData |beschreibung=Diese Vorlage bindet eine Box ein. |parameter= "inhalt": {"label": "Inhalt", "type": "content", "required": true, "description": "Inhalt der Box.", "example": "Diese Vorlage funktioniert derzeit nicht."}, "icon": {"label": "Icon-Dateiname", "description": "Dateiname des Icons, welches in der Box angezeigt werden soll.", "required": true, "type": "wiki-file-name", "example": "Achtung.svg"}, "icon-size": {"label": "Icon-Breite", "description": "Breite des Icons.", "type": "line", "default": "24px", "example": "10em"}, "icon-vertical-align": {"label": "Icon-Verticalalign", "description": "Wert für den Parameter von der CSS-Eigenschaft „vertical-align“ für das Icon.", "default":"middle", "type": "line", "example": "left"}, "inhalt-vertical-align": {"label": "Inhalt-Verticalalign", "description": "Wert für den Parameter von der CSS-Eigenschaft „vertical-align“ für den Inhalt.", "default":"middle", "type": "line", "example": "right"}, "icon-noprint": {"label": "Icon-Noprint", "description": "Setze diesen Wert auf „nein“, wenn das Icon in der Druckversion erscheinen soll.", "default":"ja", "type": "line", "example": "nein"}, "icon-link": {"label": "Icon-Link", "description": "Wenn ein Wert gesetzt ist, wird das Bild zu ihm verlinkt", "type": "line", "example": "Hauptseite"}, "style": {"label": "Style", "description": "Das Design des Kastens.", "type": "line", "suggested": true, "example": "Hinweis"}, "position": {"label": "Position", "description": "Die Positionierung und Ausrichtung des Kastens.", "type": "line", "default": "ganze Breite", "example": "mittig"}, "width": {"label": "Breite", "description": "Die Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "100ch"}, "max-width": {"label": "Maximale Breite", "description": "Die maximale Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "500px"}, "min-width": {"label": "Minimale Breite", "description": "Die minimale Breite des Kastens.", "type": "line", "example": "20em"}, "außenabstand": {"label": "Außenabstand", "description": "Außenabstand bei mittig zentrierten Kästen.", "type": "line" }, "clear": { "label": "Clear", "description": "Wert der CSS-Eigenschaft „clear“.", "type": "line", "example": "left"}, "html-tag": {"label": "Kasten-Tag-Name", "description": "Name des HTML-Tag-Namens für den Kasten", "type": "line", "default": "div", "example": "span"}, "float-objekte-beachten": {"label": "Float-Objekte beachten?", "description": "Sollen andere gefloatete Objekte für die Breitenbestimmung berücksichtigt werden? Wenn nein, setze einen leeren Wert!", "type": "line", "default": "ja", "example": ""}, "css": {"label": "Weiteres CSS", "description": "Weiteres CSS für den Kasten", "type": "line", "example": "border-style:solid;border-width:1px;"}, "id": {"label": "ID", "description": "Setzt das HTML-Attribut id des HTML-Elements.", "type": "line" }, "nomobile": {"label": "No-Mobile?", "description": "Setze diesen Parameter auf „ja“, wenn der Inhalt auf mobilen Seiten versteckt werden soll.", "type": "line", "example": "ja"}, "noprint": {"label": "No-Print?", "description": "Setze diesen Parameter auf „ja“, wenn der Inhalt in der Druckversion der Seite versteckt werden soll.", "type": "line", "example": "ja"} }} </onlyinclude> gbtkoioconk8bhyi2gk8x9wtt2odg43 10 92712 1090136 866558 2026-08-28T12:21:17Z Joshinils 114567 [[w:Benutzer:Joshinils/Dunkelmodus/Bearbeitungskommentar|DunkelModusOptimierung]] 1090136 wikitext text/x-wiki == Verwendung == Diese Vorlage bindet einen Kasten mit vordefiniertem Design auf einer Seite ein. Diese Vorlage kann beispielsweise überall da benutzt werden, wo man mit Hilfe von speziellen <code><nowiki><div></nowiki></code>-Tags das Design einer Seite ändern möchte. {{Codebeispiel|code= <nowiki>{{Kasten |style=Info |inhalt={{Blindtext}} }}</nowiki>}} == Die Parameter == === Der <code>inhalt</code>-Parameter === Der Inhalt eines Kastens wird über den Parameter <code>inhalt</code> oder <code>1</code> gesetzt. Die beiden Aufrufe <pre>{{Kasten|inhalt=Text}}</pre> und <pre>{{Kasten|Text}}</pre> sind also gleichbedeutend. === Der <code>style</code>-Parameter === Mit Hilfe des Parameters <code>style</code> kann das Design eines Kastens gesteuert werden. Folgende Designstile sind vordefiniert: {| class="wikitable" style="width: 100%;" |- ! Wert für <code>style</code> !! Ergebnis |- | Info || {{Kasten|style=Info|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Hinweis || {{Kasten|style=Hinweis|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Fehlermeldung || {{Kasten|style=Fehlermeldung|inhalt={{Blindtext}}}} |- | Systemnachricht || {{Kasten|style=Systemnachricht|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Rahmen || {{Kasten|style=grauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Rahmen || {{Kasten|style=blauer Rahmen|inhalt={{Blindtext}}}} |- | blauer Kasten || {{Kasten|style=blauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | grauer Kasten || {{Kasten|style=grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | dezenter grauer Kasten || {{Kasten|style=dezenter grauer Kasten|inhalt={{Blindtext}}}} |- | keine Wert für <code>style</code> || {{Kasten|style=|inhalt={{Blindtext}}}} |} Es können einfach auch weitere Styles definiert werden. Wenn du für deine Arbeit weitere Styles brauchst, dann melde dich bitte bei [[Benutzer:Stephan Kulla]]. === Der Parameter <code>position</code> === Durch den Parameter <code>position</code> wird die Ausrichtung, Positionierung und Breite der Box gesteuert. Folgende Werte sind möglich: {| class="wikitable" style="width: 100%;" |- ! Wert für <code>position</code> !! Ergebnis |- | ganze Breite || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=ganze Breite|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | float rechts || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=float rechts|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | float links || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=float links|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | links || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=links|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | rechts || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=rechts|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | mittig || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=mittig|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |- | keine Angabe eines Wertes für <code>position</code> || {{Kasten|style=blauer Rahmen|position=|inhalt=Der Kasten}} {{Blindtext}} |} ==== Die Breite des Kastens ==== Die Breite des Kasten wird über die 3 Parameter <code>max-width</code>, <code>min-width</code> und <code>width</code> gesteuert. Diese Parameter haben folgende Bedeutungen {| class="wikitable" ! Parameter !! Bedeutung !! Link auf entsprechende CSS-Eigenschaft |- | <code>max-width</code> || Definiert die maximale Breite des Kastens. || [http://www.w3.org/TR/CSS2/visudet.html#propdef-max-width max-width] |- | <code>min-width</code> || Definiert die minimale Breite des Kastens. || [http://www.w3.org/TR/CSS2/visudet.html#propdef-min-width min-width] |- | <code>width</code> || Setzt die Breite des Kastens explizit. || [http://www.w3.org/TR/CSS2/visudet.html#the-width-property width] |} Für alle Parameter können Werte wie beispielsweise <code>50%</code> oder <code>20em</code> eingetragen werden, die auch für die entsprechenden CSS-Eigenschaften verwendet werden können. Je nachdem, was für <code>position</code> eingetragen ist, haben die Parameter eine unterschiedliche Bedeutung: {| class="wikitable" |- ! Wert für <code>position</code> !! Bedeutung der Parameter <code>max-width</code>, <code>min-width</code> und <code>width</code> |- | <code>ganze Breite</code> oder keine Angabe des Parameters <code>position</code> || Der Kasten nimmt stets 100% der verfügbaren Breite ein. <code>max-width</code>, <code>min-width</code> und <code>width</code> werden ignoriert. |- | <code>float rechts</code> oder <code>float links</code> || Ist <code>width</code> gesetzt, so hat der Kasten stets die von <code>width</code> definierte Breite. Ist <code>width</code> undefiniert, so definiert <code>max-width</code> die maximal mögliche und <code>min-width</code> die minimal mögliche Breite. Wenn <code>width</code> nicht definiert ist, ist der Kasten auch nie Breiter als es notwendig ist. |- | <code>links</code> oder <code>rechts</code> || Der Kasten hat stets die Breite von <code>width</code>. <code>max-width</code> und <code>min-width</code> werden ignoriert. |- | <code>mittig</code> || Der Kasten hat stets die Breite von <code>width</code>. Ist <code>außenabstand</code> gesetzt, so definiert dieser Parameter die Kastenbreite (siehe nächsten Abschnitt) und <code>width</code> wird ignoriert. <code>max-width</code> und <code>min-width</code> werden stets ignoriert. |} Es gelten folgende Standardwerte: {| class="wikitable" |- ! Wert für <code>position</code> !! Standardwerte für <code>max-width</code> !! Standardwert für <code>min-width</code> !! Standardwert für <code>width</code> |- | <code>ganze Breite</code> oder keine Angabe des Parameters <code>position</code> || wird ignoriert || 15em || wird ignoriert |- | <code>float rechts</code> oder <code>float links</code> || 25% || 15em || nicht gesetzt |- | <code>links</code> oder <code>rechts</code> || wird ignoriert || 15em || 33% |- | <code>mittig</code> || wird ignoriert || 15em || 50% |} ==== Der Parameter <code>außenabstand</code> bei mittig positionierten Kästen ==== Eine Besonderheit gibt es, wenn <code>position</code> auf <code>mittig</code> gestellt ist. Hier gibt es nämlich zwei Möglichkeiten die Breite eines Kastens zu definieren. Einmal kann die Breite über die obig erklärten Parameter gesetzt werden, zum anderen kann die Breite des Kastens dadurch definiert werden, dass der Außenabstand vom Kasten zum linken Rand bzw. vom Kasten zum rechten Rand gesetzt wird. Dadurch ergibt sich bei einem mittig gesetzten Kasten automatisch seine Breite. Hierzu dient der Parameter <code>außenabstand</code>. Dieser gibt bei einem mittig gesetzten Kasten den Abstand zu den Außenrändern an. Es können alle Werte gesetzt werden, die für die CSS-Eigenschaften [http://www.w3.org/TR/CSS2/box.html#propdef-margin-left margin-left] bzw. [http://www.w3.org/TR/CSS2/box.html#propdef-margin-right margin-right] erlaubt sind (Der Wert für <code>außenabstand</code> wird direkt für <code>margin-left</code> bzw. <code>margin-right</code> verwendet). {{Codebeispiel|code=<nowiki>{{Kasten |style=blauer Rahmen |außenabstand=50px |position=mittig |inhalt={{Blindtext}} }}</nowiki>}} Beachte, dass wenn <code>außenabstand</code> gesetzt ist, die Paramter <code>width</code>, <code>max-width</code> und <code>min-width</code> keine Anwendung finden, weil die Breite des Kastens bereits über den Außenabstand gesteuert wird. === Weitere Parameter === Diese Vorlage basiert auf [[Vorlage:HTMLTag]]. Folgende Parameter der [[Vorlage:HTMLTag]] können auch benutzt werden: * <code>html-tag</code> * <code>inline</code> (Der Standardwert für diese Vorlage ist <code>inline=nein</code>) * <code>clear</code> * <code>float-objekte-beachten</code> * <code>css</code> * <code>class</code> * <code>nomobile</code> * <code>noprint</code> * <code>id</code> * <code>mf-id</code> == Gründe für diese Vorlage == Nach Möglichkeit sollte kein HTML auf Wikibooks-Seiten direkt enthalten sein, da dies zum einen den Quelltext kompliziert und schlechter lesbar macht und weil zum anderen das HTML mit dem dazugehörigen CSS nur von Experten bearbeitet werden kann. Der Quelltext für eine Vorlageneinbindung ist im Gegensatz dazu einfacher zu verstehen. Außerdem lässt sich so das Design von Wikibooks zentral über Vorlagen steuern. {{TemplateData |beschreibung=Vorlage, um einen Kasten mit spezifischen Inhalt einzubinden. |parameter= "inhalt": { "label": "Inhalt", "description": "Der Inhalt des Kastens.", "type": "content", "required": true, "aliases": ["1"] }, "style": { "label": "Style", "description": "Das Design des Kastens.", "type": "line", "suggested": true }, "position": { "label": "Position", "description": "Die Positionierung und Ausrichtung des Kastens.", "type": "line", "default": "ganze Breite" }, "width": { "label": "Breite", "description": "Die Breite des Kastens.", "type": "line" }, "max-width": { "label": "Maximale Breite", "description": "Die maximale Breite des Kastens.", "type": "line" }, "min-width": { "label": "Minimale Breite", "description": "Die minimale Breite des Kastens.", "type": "line", "default": "15em" }, "außenabstand": { "label": "Außenabstand", "description": "Außenabstand bei mittig zentrierten Kästen.", "type": "line" }, "clear": { "label": "Clear", "description": "Wert der CSS-Eigenschaft „clear“.", "type": "line" }, "inline": { "label": "Inline?", "description": "Setze diesen Parameter auf „ja“, wenn der Inhalt nur Inline-Text ist.", "type": "line", "default": "nein" }, "nomobile": { "label": "No-Mobile?", "description": "Setze diesen Parameter auf „ja“, wenn der Inhalt auf mobilen Seiten versteckt werden soll.", "type": "line" }, "noprint": { "label": "No-Print?", "description": "Setze diesen Parameter auf „ja“, wenn der Inhalt in der Druckversion der Seite versteckt werden soll.", "type": "line" }, "mf-id": { "label": "Mf-ID", "description": "MF-ID (siehe Vorlagendokumentation)", "type": "line" }, "html-tag": { "label": "Kasten-Tag-Name", "description": "Name des HTML Tag Namens für den Kasten", "type": "line", "default": "div" }, "id": { "label": "ID", "description": "Setzt das HTML-Attribut id des Kastens.", "type": "line" }, "float-objekte-beachten": { "label": "Float-Objekte beachten?", "description": "Sollen anderene gefloatete Objekte für die Breitenbestimmung berücksichtigt werden?", "type": "line", "default": "ja" }, "css": { "label": "Weiteres CSS", "description": "Weiteres CSS für den Kasten", "type": "line" } }} ktfvgw07qcn3l8218oe2g47ducoo6ei 0 93696 1090141 785808 2026-08-28T13:43:25Z Joshinils 114567 manuelle tabelle durch vorlageneinbindung ersetzen 1090141 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{AutoNavigation}}__TOC__</noinclude> Ein weltweit anerkanntes Regelwerk gibt es -&nbsp;ebenso wie einen internationalen Dachverband&nbsp;- im Go nicht. Die Unterschiede zwischen den großen Verbänden<ref>Japan, China, Korea, USA, Europa</ref> beeinflussen jedoch den Spielablauf und das Ergebnis<ref>meint Sieger und Verlierer, nicht die Punktzahl</ref> nur selten. Dieses Buch bezieht sich auf die anwendbaren japanischen Regeln, die R. Jasiek formuliert hat<ref>s. [[Go/ Anhang/ Japanische Regeln#Anwendbare Japanische Regeln|Anhang]]<noinclude>. Das Original findet man unter http://home.snafu.de/jasiek/atj.html</noinclude></ref>, da der Großteil der verfügbaren Go-Literatur japanischen Ursprungs ist oder sich auf japanische Regeln bezieht. Die offiziellen japanischen Regeln von 1989<ref>s. [[Go/ Anhang/ Japanische Regeln#Offizielle Japanische Regeln 1989|Anhang]]<noinclude>. Das Original findet man unter http://www.cs.cmu.edu/~wjh/go/rules/Japanese.html</noinclude></ref> sind nicht anwendbar, wie einfache Beispiele<ref>http://home.snafu.de/jasiek/j1989c.html</ref> belegen. Ein Nachteil der japanischen Regeln ist das manchmal komplizierte Ende einer Partie. Zudem kann ein Spieler Punkte verlieren, wenn er sein [[Go/ Grundbegriffe/ Gebiet und Einfluss|Gebiet]] unnötig absichert. Daher sei Anfängern die Verwendung der [[Go/ Einführung/ Go-Varianten#Vereinfachte Regeln|vereinfachten Regeln]]<includeonly>(s. Go-Varianten)</includeonly> oder der vereinfachten Ing-Regeln<noinclude><ref>http://home.snafu.de/jasiek/siming.html</ref></noinclude>, wie sie bei europäischen Turnieren verwendet wird, empfohlen. == Grundregeln == Um einen verschwurbelten Regeltext zu vermeiden, müssen zwei Definitionen vorweg geschickt werden: * '''Gitterpunkt:''' Ein Gitterpunkt ist der Schnittpunkt von mindestens zwei Linien. * '''Freiheit:''' Eine Freiheit ist ein leerer Gitterpunkt, der in gerader Linie mit einem Stein verbunden ist. Entweder direkt neben dem Stein oder indirekt über Steine der gleichen Farbe<includeonly> (s. Freiheiten und Atari)</includeonly>.<noinclude> Illustriert ist das [[Go/ Grundbegriffe/ Freiheiten und Atari#Freiheit|hier]].</noinclude> {| class="toptextcells" cellpadding="3" |'''1.&nbsp;Regel:''' |Die Spieler setzen abwechselnd einen Stein ihrer Farbe auf einen freien Gitterpunkt oder passen (''"Alternanz"''). |- |'''2.&nbsp;Regel:''' |Jeder Zug besteht aus dem Setzen eines eigenen Steins '''und''' dem nachfolgenden Entfernen von gegnerischen Steinen, die keine Freiheit mehr besitzen. |- |'''3.&nbsp;Regel:''' |Ein Zug ist verboten, wenn * der gesetzte Stein keine Freiheiten hätte (''"Selbstmordregel"''). * er den unmittelbar vorangegangen Zug des Gegners zurücknimmt (''"Ko-Regel"''). |- |'''4.&nbsp;Regel:''' |Das Spiel endet, wenn beide Spieler nacheinander passen und danach den Status der vorhandenen Steine festgelegt haben. |} === Selbstmordregel === {| class="float-right" | {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | | | w|ucb| b | | b| w| b| w | | | b| w| w | | | | | | | | | | |20|u=u|r=r|Selbstmord}} | {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | |bT| w|ucb| b | | b| w| b| w | | | b| w| w | | | | | | | | | | |20|u=u|r=r|Kein Selbstmord}} |} Als Selbstmord bezeichnet man einen Zug, in dessen Folge der gesetzte Stein und damit auch alle mit ihm verbundenen Steine keine Freiheit mehr besitzt. Als Resultat müssen die eigenen Steine vom Brett entfernt werden, wenn nicht der Fall eintritt, dass durch den Zug mindestens ein gegnerischer Stein ebenfalls seine letzte Freiheit verliert. Das japanische Regelwerk verbietet Selbstmord. Ebenso die chinesischen, koreanischen und US-amerikanischen Regeln. Andere Regelwerke wie z.B. die Ing-Regeln oder die neuseeländischen Regeln erlauben Selbstmord. Allerdings ist Selbstmord im Spiel selbst nur in wenigen Situationen gewinnbringend, so dass der praktische Unterschied gering ist. === Ko-Regel === <gallery style="text-align:center" class="float-left" mode="packed"> Ko Dia 1.jpg|Ko-Stellung Ko Dia 2.jpg|Zug 1 Ko Dia 3.jpg|Zug 2 </gallery> <div style="clear: both;"></div> In den japanischen Regeln ausdrücklich erwähnt ist die sogenannte Ko-Stellung. Schwarz kann mit Zug 1 den markierten weißen Stein fangen. Mit Zug 2 könnte Weiß den schwarzen Stein zurückschlagen, was in der Summe wieder die ursprüngliche Ko-Stellung herstellt. Daher ist der gezeigte Zug 2 verboten. Weiß kann nach Schwarz 1 frühestens im übernächsten Zug seinen Stein wieder auf das markierte Feld setzen. Wird die gesamte Stellung auf dem Brett durch einen erlaubten Zug wiederhergestellt, endet die Partie ohne Ergebnis, wenn beide Spieler zustimmen (offizieller Japanischer Regeltext). Die anwendbaren japanischen Regeln legen folgendes fest. Ein Spiel endet unentschieden, wenn ein Zug in der gleichen Stellung endet wie ein vorangegangener Zug und in der Zwischenzeit eine gerade Anzahl von Steinen entfernt wurde. Dieser Fall<ref>auf eine ausführliche Diskussion dieser Fälle wird hier verzichtet. Regel-interessierte finden auf http://home.snafu.de/jasiek/j2003.html und http://home.snafu.de/jasiek/j2003inf.html eine logisch konsistente Definition.</ref> tritt sehr selten ein und kann guten Gewissens vernachlässigt werden. Die Frage ist, ob man es als Hobbyspieler ohne Computerunterstützung überhaupt bemerkt, wenn dies eintritt. == Spielende == Der einfachste Fall ist, wenn ein Spieler vorzeitig aufgibt - es gilt als unhöflich, ein deutlich verlorenes Spiel weiterspielen zu wollen. Ansonsten folgt ein mitunter steiniger (← welch tolles Wortspiel) Weg bis der Gewinner gekürt werden kann. Die japanischen Regeln haben die sogenannte '''Gebietsbewertung''' zur Grundlage, bei der nur freie Gitterpunkte innerhalb des eigenen Gebiets und die gefangenen Steine Punkte geben. Sie wurde eingeführt, um am Ende des Spiels ein langweiliges Zusetzen des Gebiets zu vermeiden. Die folgende Prozedur ist eine Schritt für Schritt Anleitung, um ein nach japanischen Regeln korrektes Ergebnis zu ermitteln. Die Partie wird gestoppt, wenn beide Spieler direkt hintereinander passen. Danach besetzen die Spieler alle leeren Gitterpunkte, die sie als [[Go/ Grundbegriffe/ Leben und Tod#Seki|neutral]] ''(jap. Dame &#39364;&#30446;)'' betrachten und leere Gitterpunkte, die für die Sicherung des eigenen Gebiets nötig sind ''(jap. Teire &#25163;&#20837;&#12428;)''. Es sei empfohlen, dies im Rahmen der Alternanz vor dem ersten Passen zu erledigen. === Festlegung des Status === Die jetzt erreichte Stellung ist die Endstellung. Diese Stellung wird am Ende gepunktet. Aber soweit sind wir noch nicht. Es folgt eine Phase der konzentrierter Anspannung oder eine muntere Diskussion, in der beide Spieler den Status der vielen Steinchen (<noinclude>[[Go/ Grundbegriffe/ Leben und Tod|Lebt er noch oder ist er schon tot?]]</noinclude><includeonly>s. Leben und Tod</includeonly>) und freien Pünktchen (<noinclude>[[Go/ Grundbegriffe/ Gebiet und Einfluss|meins oder deins?]]</noinclude><includeonly>s. Gebiet</includeonly>) auf dem Feld festlegen. Dabei kann man auch -&nbsp;gegenseitiges Einverständnis und eine saubere Notation vorausgesetzt&nbsp;- auf dem Brett rumfummeln, Steine verrücken oder einen Kaffee trinken. <div class="tright"> {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | | | | b| | b| b| b| b|b | b| | b| | | b| b| b| | | | | | | |18|u=u|r=r|Dia 1}} |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | | | | b| | b| b| b| b|b | b| | | | | b| b| b| b|b | | | | | |18|u=u|r=r|Dia 2}} |} </div> Als lebend gelten schlussendlich Steinketten, die in der Endstellung bereits zwei Augen mit genau einem Augenpunkt hatten ''(Dia 1)'' und Steinketten, die durch jede alternierende Zugfolge (Passzüge sind dabei erlaubt) in eine solche Form umgewandelt werden könnten ''(Dia 2)''. "Jede alternierende Zugfolge" ist eine theoretische Angabe. In der Praxis werden bei unklarem Status einer Steinkette so viele Zugfolgen gespielt, bis die Spieler für sich festlegen, ob die Umwandlung möglich ist oder nicht. Damit ist nicht ausgeschlossen, dass die Festlegung falsch ist. Es ist eben nicht immer ein 9-Dan anwesend. An dieser Stelle sei betont, dass die Analyse auf die Endstellung angewendet wird. Ergibt sich bei der Analyse eine Zugfolge, mit der eine Steinkette hätten leben können, bleibt diese unberücksichtigt, wenn die Kette in der Endstellung tot war.<ref>Unberührt bleibt das Recht, in einer solchen Situation eine Wiederaufnahme zu fordern, wobei der Autor dieser Zeilen nicht weiß, ob dies als unhöflich gilt.</ref> <div class="tright"> {| class="toptextcells" | {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | | b| | b| |18|u=u|l=l|r=r}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | b| b| b| w|w | w| w| b| w| | | w| b| w|w | | w| b| b|b | | w| w| w|w|18|l=l|r=r|Dia 3}} |} | {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | | b|w2| b|b1|18|u=u|l=l|r=r}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | b| b| b| w|w | w| w| b| w| | | w| b| w|w | | w| b| b|b | | w| w| w|w|18|l=l|r=r|Dia 4}} |} | {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | | b| |b3|b5|18|u=u|l=l|r=r}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | b| b| b| w|w | w| w| b| w| | | w| b| w|w | | w| b| b|b | | w| w| w|w|18|l=l|r=r|Dia 5}} |} |} </div> Die japanischen Regeln erfordern, dass für jeden Stein respektive jede Steinkette festgelegt wird, ob er lebt. Es gibt aber (seltene) Stellungen, in denen eine allgemein gültige Festlegung nach offiziellen japanischen Regeln nicht möglich ist. Die anwendbaren japanischen Regeln umgehen diese Klippe, indem sie während der Zugfolge bei der Analyse einer Steinkette folgendes verbieten: Ein Zug ist verboten, wenn die Brettstellung vor und nach dem Zug dieselbe ist wie vor und nach einem früheren Zug in der Analysesequenz. ''Dia 3'' zeigt ein Beispiel für eine solche Stellung. Die gezeigte Zugfolge (Weiß 4 ist ein pass) könnte ewig fortgesetzt werden. Nach den anwendbaren Regeln ist aber Schwarz 5 verboten und die Stellung wird als Seki ohne Punkte gewertet. Jetzt ist das Ziel nahe. Als Gebiet gelten nun alle leeren Gitterpunkte, die mit mindestens einer lebenden Steinketten von nur einem Spieler verbunden sind. Gegnerische Steine in eigenem Gebiet werden entfernt und gesellen sich zu den übrigen Gefangenen. Zu jedem Zeitpunkt bis zur Verkündung des Ergebnisses kann ein Spieler die Wiederaufnahme fordern. Dabei wird das Spiel fortgesetzt, als hätte das zweimalige Passen nicht stattgefunden. Die Stellung und die Zahl der Gefangenen muss dabei exakt stimmen. === Auswertungsmethode === Um die Punktebestimmung zu beschleunigen und Abzählfehler zu verringern, wird eine Auffüll-Methode verwendet. Punkte gibt es nur für leere Gebietspunkte und Gefangene. Anstatt nun alle Gitterpunkte und danach alle Gefangenen zu zählen, werden zunächst alle Gefangenen in das Gebiet des Gegners gesetzt. Die abschließende Punktedifferenz ist in beiden Fällen gleich. Dabei füllt man vorzugsweise Kleinstgebiete, um das Endbild übersichtlicher zu gestalten. Der letzte Schritt ist die Umformung der Gebiete in schöne Rechtecke. Als Orientierung bieten sich die Hoshi-Punkte an. Dabei müssen die Grenzen der Gebiete nicht unbedingt ausschließlich von einer Farbe bleiben, solange klar bleibt, wem das Gebiet gehört. === Auswertungsbeispiel === Exemplarisch sei die Auswertung einer knappen Partie zwischen Hashimoto Utaro (Schwarz) und Go Seigen (Weiß) aus dem Jahr 1946 vorgeführt. Die Partie wurde ohne [[#Komi|Komi]] gespielt. {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 19x19 algebraisch ||||b|w|w||w||w|w|b||||||| |w||b|b|w||w||w|w|b|||||b|w|b| ||w|b|w|w||w|w|b|b|b|b|b|||b|w|b|b |w|b|b|w|w|w|b|w|w|w|b|w|b|b|b|b|b|w|b ||w|b|w|b|b|b|b|w|w|b|w|b|w|b|w|b|w|w |w|w|w|w|b||||b|w|w|w|w|74|w|c|w|w| |w|b|w|w|b|b|b||b|w|w||w||w|w|w|| |w|b|b|w|w|w|w|b|b|w|b|w|w|w|b|b|b|w| |b|b|b|w||w|b|b||b|b|b|b|w|w|w|b|w| |b||b|w|w|cw|w|w|b|-|||w|b|b|w|b|w|w ||b|w|w|cb|w|cb|b||||b||b||b|b|w|b ||w|b|w|b|b|b|b|||||b|cb|b|b||b|b |b|b|b|w|w|b|w|w|b|b||b|w|w|cb|cw|b|| |w|cb|b|b|b|w|w||w|b|||b|cw|w|w|b|| |w|b||b|w||w|w|w|w|b||cb|b|b|w|b|b|b |cw|w|b|b|w|w|w|b|w|b|||b|w|w|w|w|w|b ||w|cw|b|w|w|b|b|w|b|b|b|w||w|||w|w |w||w|w|b|b|b||b||b|w|w|||||| ||w|cw|b|dcb|||||b|w|w||||||||20|Spielende, Dame und Teire markiert}} |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 19x19 algebraisch ||||bT|w|w||w||w|w|b||||||| |w||bT|bT|w||w||w|w|b|||||b|wT|b| ||w|bT|w|w||w|w|b|b|b|b|b|||b|wT|b|b |w|bT|bT|w|w|w|b|w|w|w|b|w|b|b|b|b|b|w|b ||w|bT|w|b|b|b|b|w|w|b|w|b|w|b|w|b|w|w |w|w|w|w|b||||b|w|w|w|w|w|w|w|w|w| |w|b|w|w|b|b|b||b|w|w||w||w|w|w|| |w|b|b|w|w|w|w|b|b|w|b|w|w|w|b|b|b|w| |b|b|b|w||w|b|b||b|b|b|b|w|w|w|b|w| |b||b|w|w|w|w|w|b|-|||wT|b|b|w|b|w|w ||b|w|w|b|w|b|b||||b||b||b|b|w|b ||wT|b|w|b|b|b|b|||||b|b|b|b||b|b |b|b|b|w|w|b|w|w|b|b||b|w|w|b|w|b|| |w|b|b|b|b|w|w||w|b|||b|w|w|w|b|| |w|b||b|w||w|w|w|w|b||b|b|b|w|b|b|b |w|w|b|b|w|w|w|b|w|b|||b|w|w|w|w|w|b ||w|w|b|w|w|b|b|w|b|b|b|w||w|||w|w |w||w|w|b|b|b||b||b|w|w|||||| ||w|w|b|b|||||b|w|w||||||| |20|Endstellung, Gefangene sind markiert}} |} <div class="tright"> {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | | | | b| w|18|u=u|l=l}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | w| | b| b| w | |wT| b| w| w | w| b| b| w| w | | w| b| w| b | w| w| w| w| b|18|l=l|Dia 1}} |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | | | | b| w|18|u=u|l=l}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | w|b1| b| b| w |w2|wT| b| w| w | w| b| b| w| w | | w| b| w| b | w| w| w| w| b|18|l=l|Dia 1a}} |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x1 | |b1| | b| w|18|u=u|l=l}} {{:Go: Vorlage: Spielfeld 5x5 | w|w2| b| b| w | |wT| b| w| w | w| b| b| w| w | | w| b| w| b | w| w| w| w| b|18|l=l|Dia 1b}} |}</div> Nach Weiß 274 einigen sich die Spieler auf das Ende der Partie. Weiß kann das rot markierte Ko verbinden, da er mehr Ko-Drohungen besitzt. Als nächstes füllen die Spieler die neutralen Gitterpunkte auf und setzen die Teire-Steine, um ihr Gebiet zu sichern (weiße und schwarze Markierungen). Die nun folgende Bestimmung des Status der Steinketten lässt sich schlecht veranschaulichen, aber es leben alle längeren Ketten bis auf die schwarze Kette links oben. Umgekehrt leben hier die weißen Steine ''(Dia 1)''. Schwarz kann mit keinem Zug verhindern dass Weiß den markierten Stein verbindet und ein Auge bildet (das nötige zweite Auge sieht man in der Gesamtstellung). {| |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 19x19 |||||w|w||w||w|w|b||||||| |w||||w||w||w|w|b|||||b||b| ||w||w|w||w|w|b|b|b|b|b|||b||b|b |w|||w|w|w|b|w|w|w|b|w|b|b|b|b|b|w|b ||w||w|b|b|b|b|w|w|b|w|b|w|b|w|b|w|w |w|w|w|w|b|bT|bT|bT|b|w|w|w|w|w|w|w|w|w|wS |w|b|w|w|b|b|b|bT|b|w|w|wS|w|wS|w|w|w|wS| |w|b|b|w|w|w|w|b|b|w|b|w|w|w|b|b|b|w| |b|b|b|w|wS|w|b|b||b|b|b|b|w|w|w|b|w| |b|bT|b|w|w|w|w|w|b|-||||b|b|w|b|w|w |bT|b|w|w|b|w|b|b||||b||b||b|b|w|b |bT|bT|b|w|b|b|b|b|||||b|b|b|b|bT|b|b |b|b|b|w|w|b|w|w|b|b||b|w|w|b|w|b|bT|bT |w|b|b|b|b|w|w|wS|w|b|||b|w|w|w|b|bT|bT |w|b|bT|b|w|wS|w|w|w|w|b||b|b|b|w|b|b|b |w|w|b|b|w|w|w|b|w|b|||b|w|w|w|w|w|b |wS|w|w|b|w|w|b|b|w|b|b|b|w||w|||w|w |w|wS|w|w|b|b|b|bT|b|bT|b|w|w|||||| |wS|w|w|b|b|bT|bT|bT|bT|b|w|w||||||| |18|Gefangenenbefreiung}} |{{:Go: Vorlage: Spielfeld 19x19 |ulcw|ucw|ucw|ucw|ucw|ucw|w|w|w|w|w|b|b|ucb|ucb|ucb|ucb|ucb|urcb |lcw|cw|cw|cw|cw|cw|w|w|w|w|b|b|b|cb|cb|cb|cb|cb|rcb |lcw|cw|cw|cw|cw|cw|w|w|b|b|b|b|b|cb|cb|cb|cb|cb|rcb |w|w|w|w|w|w|b|w|w|w|b|w|b|b|b|b|b|w|b |w|w|w|w|b|b|b|b|w|w|b|w|b|w|b|w|b|w|w |w|w|w|w|b|b|b|b|b|w|w|w|w|w|w|w|w|w|w |w|b|w|w|b|b|b|b|b|w|w|w|w|w|w|w|w|w|rcw |w|b|b|w|w|w|w|b|b|w|b|w|w|w|b|b|b|w|rcw |b|b|b|w|w|w|b|b|b|b|b|b|b|w|w|w|b|w|rcw |b|b|b|w|w|w|w|w|cb|cb|cb|cb|b|b|b|w|b|w|w |b|b|w|w|b|w|b|b|cb|cb|cb|cb|b|b|b|b|b|w|b |b|b|b|w|b|b|b|b|cb|cb|cb|cb|b|b|b|b|b|b|b |b|b|b|w|w|b|w|w|b|b|cb|cb|w|w|b|w|b|b|b |w|b|b|b|b|w|w|w|w|b|cb|cb|b|w|w|w|b|b|b |w|b|b|b|w|w|w|w|w|w|cb|cb|b|b|b|w|b|b|b |w|w|b|b|w|w|w|b|w|b|b|b|b|w|w|w|w|w|b |w|w|w|b|w|w|b|b|w|b|b|b|w|cw|cw|cw|cw|cw|rcw |w|w|w|w|b|b|b|b|b|b|b|w|w|cw|cw|w|w|cw|rcw |w|w|w|b|b|b|b|b|b|b|w|w|w|dcw|dcw|dcw|dcw|dcw|drcw |18|Weiß gewinnt mit einem Punkt}} |} Der nächste Schritt ist die Entfernung der gefangenen Steine in der erreichten Endstellung. Schwarz hatte zusammen mit den Gefangenen während des Spiels 10 Steine des Gegners, Weiß hatte insgesamt 20. Diese Steine werden nun in die Freiheit entlassen, also in ihr eigenes Gebiet gesetzt. Ist zu wenig Gebiet vorhanden, bleiben sie Gefangene und zählen selbstverständlich weiterhin einen Punkt (Exekutionen mit dem Hammer widersprechen der Etikette). Abschließend werden die Gebiete durch rumschieben verschönert und die Punktezahl bestimmt. == Zusatzregeln == Die Zusatzregeln werden bei Einzelspielen oder Mehrspiele-Vergleichen vor Beginn zwischen den beiden Kontrahenten vereinbart. Bei Turnieren sind sie in den entsprechenden Turnierregeln festgelegt. Im Prinzip können beliebige Vereinbarungen getroffen werden. Hier folgen nur die Gebräuchlichen. === Komi === {| class="wikitable" class="zebra" class="toptextcells" class="wikitable float-right" | colspan="2"| '''Komi-Entwicklung''' |- | 2: || 1935 |- | 2.5: || 1935 |- | 3: || 1852 (in einem Turnier 1907) |- | 3.5: || 1929 (im Oteai) |- | 4: || 1931 |- | 4.5: || 1934 |- | 5: || 1890 (1932 in Turnieren) |- | 5.5: || 1955 |- | 6: || 1978 (Taiwanesische Mingren) |- | 6.5: || ab 1984 in Japan 1997 in Korea (Tong Yang) |} Als Komi (jap. &#12467;&#12511;) bezeichnet man die Zusatzpunkte die Weiß erhält, um den Nachteil des zweiten Zugs zu kompensieren. Bis in die 30er Jahre des 20. Jahrhunderts störte sich niemand daran, dass Schwarz signifikant häufiger gewinnt<ref>eine Analyse von 2870 Partien bis zum Jahr 1930 ergibt eine Siegquote für Schwarz von 0,59</ref>. Seitdem wird über die Höhe eines fairen Komi diskutiert, da ein theoretisch korrekter Wert nicht ermittelt werden kann. Die Hilfskrücke ist die Statistik. Die Summe aller entschiedenen Spiele wird ins Verhältnis zu schwarzen Siegen gesetzt. Die Gewinnquote sollte dabei um 0,5 liegen. Der Wert für das Komi stieg im Laufe der Jahre immer wieder, weil die Gewinnquote deutlich über 0,5 blieb. Heute liegt der übliche Wert auf 19x19 Feldern, wenn nach japanischen Regeln gespielt wird, bei 6,5 Punkten. Bei Regelwerken, die chinesisch zählen, liegt der Komi bei 7,5. Das letzte Wort ist hier wahrscheinlich noch nicht gesprochen. Der halbe Punkt extra sorgt dafür, dass es kein Unentschieden (jap. Jigo &#12472;&#12468;&#65288;&#25345;&#30849;&#65289;) nach Punkten geben kann. Die Methode, das Komi vor Spielbeginn zu verhandeln ("Du bekommst Schwarz, wenn ich 8 Punkte Komi bekomme"), ist unüblich. === Vorgabesteine === Vorgabesteine werden vor Beginn der Alternanz gelegt und sollen unterschiedliche Spielstärken ausgleichen. Praktisch ausgedrückt setzt Schwarz bei seinem ersten Zug nicht nur einen Stein, sondern zusätzlich noch die Vorgabesteine. Ob die Vorgabesteine beliebig verteilt werden dürfen oder nur auf den Hoshi-Punkten ist Teil der Vereinbarung. Das Komi für Weiß beträgt dann nur noch 0,5 Punkte. Mehr zu diesem Thema im [[Go/ Taktische Konzepte/ Handicap-Go|Kapitel Handicap-Go]]. Kritisch ist die Frage, ob es sich bei Spielen mit Vorgabesteinen nicht schon um eine Go-Variante handelt. Da der Spielcharakter mindesten zu Beginn deutlich beeinflusst wird, kann man sie mit ja beantworten. === Zeitnahme === Auch hier gibt es keine verbindliche Regelung, sondern nur Vorlieben. Hobbyspieler verzichten oft ganz auf eine Zeitregelung, was für Ungeduldige nicht zu empfehlen ist. Mögliche Zeiteinschränkung können eine Gesamtzeit zum Nachdenken festlegen (z.B. 75 min) oder es wird eine Zeit (z.B. 5 min) für eine gewisse Anzahl Steine (z.B. 20) festgelegt. Beide Varianten haben den Vorteil, dass man für sie nur zwei einfache Stoppuhren benötigt. Bei Turnieren finden sich sehr unterschiedliche Festlegungen, die teilweise eine Kombination aus Gesamtzeit und Intervallzeit sind oder wie bei der "japanischen Zeitnahme" noch konstruierter sind. Zu bedenken ist, dass jede Zeitnahme im Allgemeinen den besseren Spieler bevorzugt. Ein Ausgleich der Spielstärke durch unterschiedliche Zeitkonten ist für die Erhaltung des Spielcharakters als die Verwendung von Vorgabesteinen. == Nigiri == '''Nigiri''' (jap.握り) ist ein beim eingesetztes Verfahren, vor der Partie zu bestimmen, wer mit Schwarz und wer mit Weiß spielt. === Zweck === Das Nigiri dient dazu, auf eine bestimmte Weise festzulegen, wer die schwarzen Steine führt und somit nach den Regeln die Partie beginnt. Seit Einführung des Komi zum Ausgleich des Anzugsvorteils ist dies kein eindeutiger Vorteil mehr, aber da die Höhe eines theoretisch gerechten Komi nicht sicher bekannt ist, und manche Menschen je nach ihrem persönlichen Spielstil Schwarz oder Weiß bevorzugen, ist die Entscheidung auch nicht völlig irrelevant. Wenn von den Beteiligten bekannt ist, dass sie das Spiel unterschiedlich gut beherrschen, so erübrigt sich Nigiri wie auch Komi; die stärkere Seite bekommt Weiß und die schwächere Schwarz (je nach Größe des Unterschiedes gegebenenfalls mit Vorgabesteinen. Das Nigiri durchzuführen, zeigt also auch eine gegenseitige Anerkennung der Gleichrangigkeit im Go-Spiel. Bei Amateurturnieren wird im Allgemeinen kein Nigiri angewandt, sondern es werden die Farben im Zuge der Auslosung der Begegnungen von der Turnierleitung bestimmt. Bei Kämpfen, die aus mehreren Partien zwischen den gleichen Kontrahenten bestehen, werden die Farben in der Regel von Partie zu Partie gewechselt; die Zuteilung für die erste Partie kann dabei durch Nigiri erfolgen. === Ablauf === Das Prinzip besteht darin, zu raten, ob eine verdeckte Menge von Go-Steinen in der Hand des Gegenübers aus einer geraden oder ungeraden Anzahl besteht. Nach dem traditionellen japanischen Vorgehen greift der ältere Spieler in die Dose mit den weißen Steinen und lässt die Hand mit einer unbestimmten Anzahl ergriffener Steine über dem Go-Brett geschlossen, bis der andere nach eigenem Ermessen ein oder zwei schwarze Steine auf das Brett gelegt hat. Nun werden die weißen Steine auf das Brett gelegt und zu Paaren geordnet, um zu sehen, ob dabei einer übrig bleibt. Wenn die Geradzahligkeit der schwarzen und der weißen Steine übereinstimmt, bekommt der Spieler, der geraten hat, Schwarz. ==Etikette== Beim Go spielen ist es natürlich nicht nur wichtig, sich zu verbessern oder zu gewinnen; sondern viel mehr, Spaß am Go zu haben. Wie bei vielen anderen Gelegenheiten, zu denen Menschen in großer Zahl finden, hat sich daraus eine Etikette, ein "wie-verhält-man-sich-richtig", gebildet. Da man Go immer noch selten gegen einen Computer spielt, sollte man bedenken, dass man selbst im Internet immer gegen Menschen spielt. Wird jemand unhöflich, leidet das ganze Klima darunter - am meisten aber derjenige, der dann geschnitten wird. Hier erstmal eine kleine Sammlung an wichtigen und weniger wichtigen Verhaltensregeln: * Es gelten natürlich die üblichen Höflichkeiten auch, sowohl im Netz als auch bei Spielen auf einem Brett: kein Beschimpfen, Rumpöbeln, Verhöhnen oder ähnliches; keine überlaute Unterhaltung in einem Spielsaal oder fluten in einem Chat. Ernsthaftes Go kann einiges an Anspannung mit sich bringen, aber diese sollte man nicht an seinem Mitspielern auslassen. Stattdessen lieber einmal kurz rausgehen und tief durchatmen. * Wenn man eine Pause vom Spielbrett macht, sagt man seinem Mitspieler, wie lange man voraussichtlich weg ist. * Sieg oder Niederlage liegen oft nahe beieinander - manchmal nur einen Stein. Weiß man schon vor Spielende, dass man hoffnungslos verloren hat, gibt man auf. Vor allem im Internet ist das leider ein Problem, da es immer wieder einige Spezis gibt, die einfach verschwinden anstatt aufzugeben. Dieses Verhalten wird als ''Escaping'' bezeichnet. Nach denen wartet man sich dann die Beine in den Bauch - einmal. * Man begrüßt sich kurz und wünscht sich vor einer Partie Glück; nach einer Partie bedankt man sich für das Spiel - auch im Internet! * Wenn keine Zeitbegrenzung vorgegeben ist, sollte man sich trotzdem in einem vernünftigen Rahmen bewegen. Wieviel Zeit man sich lassen kann ergibt sich dann aus der Gelegenheit. Als Daumenmaß sollte man im Durchschnitt mindestens zwei bis vier Züge die Minute machen können. Höhere Grade brauchen oft mehr Zeit zum Nachdenken als niedere. * Gegen höhere Grade zu spielen finden viele Go-Spieler interessanter als gegen niedere; wenn dies aber alle machen würden, würde niemand mehr zum Spielen kommen, da eine gleiche Spielstärke sehr selten ist. Also: im gleichen Maße höhere wie niedere Grade spielen. Das gilt genauso für Tutorien: wer etwas beigebracht bekommen möchte, sollte auch beibringen. * Gewinnen ist schön, aber schöner ist ein ausgeglichenes Spiel. Wer sich zu schwach einstuft (und dafür Vorgabesteine bekommt), gewinnt häufig - aber keine Sympathie. Man hat dann den richtigen Grad, wenn man 50% seiner Spiele gewinnt. <noinclude>== Fußnoten ==</noinclude> <references /> <noinclude>{{AutoNavigation}}</noinclude> 0nqt1q1hf3axw1pl8uetyx68uf4k0si 0 100107 1090142 1090100 2026-08-28T14:15:51Z Hardy42 1911 2 Versionen von [[Special:Diff/1090099|1090099]] bis [[Special:Diff/1090100|1090100]] rückgängig gemacht 1090142 wikitext text/x-wiki {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} In diesem Artikel betrachten wir den ''Faktorraum'' <math>V/U</math> eines <math>K</math>-Vektorraums <math>V</math> bezüglich eines Untervektorraums <math>U</math>. Der Faktorraum <math>V/U</math> ist ein Vektorraum, in dem wir wie in <math>V</math> bis auf Abweichungen in <math>U</math> rechnen können. Der Faktorraum <math>V/U</math> wird auch häufig ''Quotientenraum'' genannt. == Einführung == ===Rechnen mit Lösungen eines linearen Gleichungssystems=== Wir betrachten die Matrix {{Formel|<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}.</math>}} Wir wollen nun versuchen, für verschiedene Vektoren <math>b \in \R^2</math> das lineare Gleichungssystem <math>Ax = b</math> zu lösen. Für <math>b_1 = (3,-7)^T</math> erhalten wir beispielsweise <math>x_1 = (1,2,-4)^T</math> als eine Lösung und für <math>b_2 = (1,2)^T</math> beispielsweise <math>x_2 = (2,0,3)^T</math> als eine Lösung. Das heißt, es gilt <math>Ax_1 = b_1</math> und <math>Ax_2 = b_2</math>. Wir suchen nun eine Lösung für <math>Ax = b_1+b_2</math>. Dafür müssen wir das Gleichungssystem nicht erneut lösen, sondern können unsere bisherigen Lösungen verwenden, indem wir sie addieren. Dann haben wir <math>A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2</math>, also ist <math>x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T</math> ist eine Lösung von <math>Ax = b_1+b_2</math>. Lösungen für das obige Gleichungssystem sind nicht eindeutig: Das Gleichungssystem <math>Ax = b_1</math> wird auch von <math>x_1' = (2,1,-4)^T</math> gelöst und <math>Ax = b_2</math> auch von <math>x_2' = (-1,3,3)^T</math>. Die Lösungen <math>x_1</math> und <math>x_1'</math> sowie <math>x_2</math> und <math>x_2'</math> unterscheiden sich voneinander: Es gilt <math>x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T</math> und <math>x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T</math>. Die Unterschiede <math>(-1,1,0)^T</math> und <math>(3,-3,0)^T</math> sind beide Lösungen des (homogenen) Gleichungssystems <math>Ax = 0</math>. Das heißt, sie liegen im Kern von <math>A</math>. Das gilt auch im Allgemeinen: Sind <math>x</math> und <math>x'</math> zwei verschiedene Lösungen von <math>Ax = b</math>, so unterscheiden sie sich nur um ein Element im Kern von <math>A</math>, denn <math>A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0</math>. Den Kern von <math>A</math> bezeichnen wir im Folgenden mit <math>U</math>. Wir können diese allgemeine Regel auf die beiden Lösungen <math>x_1+x_2</math> und <math>x_1'+x_2'</math> von <math>Ax = b_1 + b_2</math> anwenden. Damit sehen wir, dass die Differenz <math>(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')</math> in <math>U</math> liegt. Bei Skalaren <math>\lambda\in \R</math> können wir genauso vorgehen: Wir haben eine Lösung <math>x_1</math> von <math>Ax = b_1</math> und wollen <math>Ax = \lambda b_1</math> lösen, ohne neu zu rechnen. Wieder können wir eine Lösung erhalten, indem wir unsere bereits bestimmte Lösung <math>x_1</math> benutzen. Es gilt <math>A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1</math>, also ist <math>\lambda x_1</math> eine Lösung. Für die zweite Lösung <math>x_1'</math> funktioniert das auch: <math>x = \lambda x_1'</math> ist eine Lösung von <math>Ax=\lambda b</math>. Wieder ist der Unterschied zwischen <math>\lambda x_1</math> und <math>\lambda x_1'</math> in <math>U</math>. Wir können also mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen, um neue Lösungen zu finden. Dabei sind uns Unterschiede in <math>\ker(A)=U</math> bei den Rechenergebnissen egal. Man sagt auch, die Vektoren sind ''modulo <math>U</math>'' gleich, wenn sie sich nur um etwas in <math>U</math> unterscheiden. Zum Beispiel sind die Lösungen <math>x_1+x_2</math> und <math>x_1'+x_2'</math> des Gleichungssystems <math>Ax=b_1+b_2</math> modulo <math>U</math> gleich. Beim Rechnen mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen wir also modulo <math>U</math>. Neben dem Fachbegriff ist „modulo“ ein schönes Synonym von „bis auf“ oder „bis auf etwas in“. Also sind zwei Vektoren <math>v</math> und <math>v'</math> modulo <math>U</math> gleich, wenn sie bis auf etwas in <math>U</math> gleich sind, d.h. wenn es ein <math>u\in U</math> gibt, so dass <math>v=v'+u</math>. Das ist äquivalent dazu, dass die Differenz <math>v-v'</math> in <math>U</math> liegt: Gilt <math>v-v'\in U</math>, dann ist <math>v=v'+u</math> mit <math>u=v-v'\in U</math>. Umgekehrt ist <math>v-v'=u\in U</math>, wenn <math>v=v'+u</math> für ein <math>u\in U</math>. === Konstruktion des Faktorraums === In dem Beispiel haben wir in einem Vektorraum <math>V</math> gerechnet, die Ergebnisse aber nur bis auf Unterschiede in einem Unterraum <math>U</math> betrachtet. Wir haben Vektoren <math>v</math> und <math>v'</math> in <math>V</math> mit <math>v-v'\in U</math> als gleich angesehen. Um das Rechnen bis auf etwas in <math>U</math> zu formalisieren, identifizieren wir Vektoren, welche gleich modulo <math>U</math> sind. Dafür konstruieren wir eine [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äquivalenzrelation|Äquivalenzrelation]] <math>\sim</math> und bilden <math>V/\sim</math>. Wir definieren {{Formel|<math>v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.</math>}} Diese Relation haben wir schon einmal gesehen, es ist die Relation mit der wir die Menge der [[Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|Nebenklassen eines Unterraums]] definiert haben. Dort haben wir gesehen, dass <math>\sim</math> eine Äquivalenzrelation ist. Die Menge der Äquivalenzklassen haben wir mit <math>V/U</math> bezeichnet. Nun wollen wir mit diesen Vektoren modulo <math>U</math> rechnen, das heißt, wir wollen eine Vektorraumstruktur auf <math>V/U</math> definieren. Dafür definieren wir die Addition <math>\boxplus</math> und skalare Multiplikation <math>\boxdot</math> auf <math>V/U</math>. Für <math>v+U, w+U \in V/U</math> und <math>\lambda \in K</math> definieren wir {{Formel|<math>\begin{align} (v+U) \boxplus (w + U) &:= (v+w) + U\\ \lambda \boxdot (v+U) & := (\lambda \cdot v) + U \end{align}</math>}} Die Vektorraumoperationen haben wir hierbei auf [[Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation#Anker:Äquivalenzklasse|Repräsentanten]] definiert. Das heißt, wir haben uns aus den involvierten Nebenklassen jeweils ein Element gesucht und mit Hilfe von diesen <math>\boxplus</math> und <math>\boxdot</math> definiert. Im Allgemeinen haben Nebenklassen jedoch verschiedene Repräsentanten. Es ist aber noch nicht klar, ob die Definitionen von <math>\boxplus</math> und <math>\boxdot</math> von der Wahl der Repräsentanten unabhängig sind. Andernfalls wäre die Definition nicht sinnvoll: Zum Beispiel könnte dann <math>v,w,v',w'\in V</math> mit <math>v+U=v'+U</math> und <math>w+U=w'+U</math> sein, aber <math>(v+w)+U\neq (v'+w')+U</math>. Das heißt, wir müssen zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Diesen Beweis führen wir weiter unten. Die Eigenschaft, dass die Definition nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, nennt man Wohldefiniertheit, weil wir zeigen müssen, dass die Definition, die wir hingeschrieben haben, auch ein eindeutiges mathematisches Objekt liefert. Das tun wir [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|weiter unten]]. Wir müssen auch noch zeigen, dass <math>V/U</math> mit dieser Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist. Auch das werden wir weiter [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|unten sehen]]. == Definition == Im vorherigen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie ein Vektorraum <math>V/U</math> aussehen kann, dessen Vektorraumstruktur dem Rechnen modulo <math>U</math> entspricht. Die Elemente von <math>V/U</math> sind die Nebenklassen <math>v+U</math>. Die Vektorraumstruktur wollen wir über die Repräsentanten definieren. Achtung: Wir müssen noch die ''Wohldefiniertheit'' beweisen, d.h. dass das Ergebnis der Addition bzw. skalaren Multiplikation nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Das machen wir in [[#Anker:Wohldefiniertheit|diesem Abschnitt]]. Um die Addition und Skalarmultiplikation auf <math>V/U</math> von der auf <math>V</math> zu unterscheiden, bezeichnen wir die Operationen auf <math>V/U</math> in diesem Artikel mit „<math>\boxplus</math>“ und „<math>\boxdot</math>“. Andere Artikel und Quellen verwenden meist „<math>+</math>“ und „<math>\cdot</math>“ für die Vektorraumoperationen. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition |titel=Faktorraum bzw. Quotientenraum |definition= Sei <math>V</math> ein <math>K</math>-Vektorraum und <math>U \subseteq V</math> ein Untervektorraum von <math>V</math> und {{Formel|<math>V/U = \{v + U\mid v \in V\}</math>}} die Menge der [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] von <math>U</math> in <math>V</math>. Weiter seien <math>v,w \in V</math>. Wir definieren die ''Addition'' in <math>V/U</math> durch: {{Formel|<math>\begin{align} &\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\ &(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. \end{align}</math>}} Analog definieren wir die ''skalare Multiplikation'' auf <math>V/U</math> als: {{Formel|<math>\begin{align} &\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\ &\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. \end{align}</math>}} }} === Erklärung zur Definition === Wir haben die Addition und Skalarmultiplikation auf dem Faktorraum <math>V/U</math> definiert. Aber was genau bedeuten die Formeln <math>(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U</math> und <math>\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U</math>? Um die Addition <math>\boxplus</math> in <math>V/U</math> zu definieren, brauchen wir zwei Vektoren aus <math>V/U</math>. Vektoren in <math>V/U</math> sind Nebenklassen, haben also die Form <math>v+U</math> und <math>w+U</math> mit <math>v,w\in V</math>. Die Addition dieser Vektoren <math>(v+U)\boxplus (w+U)</math> können wir berechnen, indem wir erst <math>v</math> und <math>w</math> in <math>V</math> zu <math>v+w</math> addieren und anschließend die zugehörige Nebenklasse <math>(v+w)+U</math> bilden: {{Formel|<math>{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{Nebenklasse}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{Nebenklasse}}}}_{\text{Addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{Addition in } V} } +U}_{\text{Nebenklasse}}} </math>}} Die skalare Multiplikation funktioniert ähnlich: Für ein Skalar <math>\lambda\in K</math> und eine Nebenklasse <math>v+U</math> mit <math>v\in V</math> wollen wir <math>\lambda\boxdot (v+U)</math> definieren. Dafür berechnen wir erst das Skalarprodukt <math>\lambda\cdot v</math> in <math>V</math> und bilden danach die Nebenklasse dieses Vektors <math>(\lambda\cdot v)+U</math>: {{Formel|<math> {\color{OliveGreen}\underbrace{ \lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{Nebenklasse}}}}_{\text{Skalare Multiplikation in } V/U }} = {\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{Skalare Multiplikation in }V} }+U}_{\text{Nebenklasse}} } </math>}} Wir berechnen also erst die Addition bzw. skalare Multiplikation der Repräsentanten in <math>V</math> und bilden anschließend die Nebenklasse. Man sagt: Die Vektorraumstruktur auf <math>V/U</math> ist die von <math>V</math> „induzierte“ Vektorraumstruktur. === Wohldefiniertheit der Operationen im Faktorraum {{Anker|Wohldefiniertheit}} === Wir wollen prüfen, ob die Operationen von <math>\boxplus</math> und <math>\boxdot</math> von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz |titel=Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum |satz=Sei <math>V</math> ein <math>K</math>-Vektorraum und <math>U\subseteq V</math> ein Untervektorraum. Dann sind die Addition in und skalare Multiplikation auf <math>V/U</math> wohldefiniert. |beweis= Für die Wohldefiniertheit müssen wir Folgendes zeigen: Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten derselben Nebenklasse einsetzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Mathematisch bedeutet dies, dass wir Folgendes zeigen müssen: * Für <math>\boxplus</math>: Seien <math>v,v', w,w'\in V</math>. Sind <math>v + U = v' + U</math> und <math>w + U = w' + U</math>, so ist <math>(v + w) + U = (v' + w') + U</math>. * Für <math>\boxdot</math>: Seien <math>v,v'\in V</math> und <math>\lambda\in K</math>. Sind <math>v + U = v' + U</math>, so ist <math>(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U</math>. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Wohldefiniertheit der Addition |beweisschritt= Per Definition von [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] müssen wir zeigen, dass <math>(v+w) - (v' + w') \in U</math> gilt. Wegen <math>(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')</math> ist dies äquivalent dazu, dass <math>(v-v') + (w-w') \in U</math>. Nun repräsentieren <math>v</math> und <math>v'</math> bzw. <math>w</math> und <math>w'</math> die jeweils gleiche Nebenklasse modulo <math>U</math>. Also ist <math>v-v', w-w' \in U</math>. Da <math>U</math> ein Untervektorraum von <math>V</math> ist, folgt <math>(v-v') + (w-w') \in U</math>. Also ist die Definition von <math>\boxplus</math> unabhängig von der Wahl der Repräsentanten. }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation |beweisschritt=Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation <math>\boxdot</math> sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass <math>\lambda\cdot v - \lambda\cdot v' = \lambda\cdot (v-v') \in U</math> gilt. Da <math>v</math> und <math>v'</math> die gleiche Nebenklasse modulo <math>U</math> repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen <math>v-v' \in U</math>. Weil <math>U</math> ein Untervektorraum ist, gilt folglich <math>\lambda\cdot(v-v') \in U</math>. Also ist die skalare Multiplikation unabhängig von der Wahl des Repräsentanten. }} }} ===Beweis der Vektorraumaxiome=== Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein <math>K</math>-Vektorraum ist, indem wir die Axiome für <math>V/U</math> auf die für <math>V</math> geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen <math>K</math>-Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe |titel=Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum |aufgabe=Sei <math>V</math> ein <math>K</math>-Vektorraum und <math>U \subseteq V</math> ein Untervektorraum, dann ist <math>V/U</math> mit den oben definierten Verknüpfungen ein <math>K</math>-Vektorraum |lösung= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch [[w:abelsche Gruppe|abelsche Gruppe]] genannt) |beweisschritt= Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien <math>v,w,z \in V</math>. '''1. Assoziativität:''' Wir führen zurück auf die Assoziativität in <math>V</math> {{Formel|<math>\begin{align} (v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em] &= (v+(w+z))+U \\[0.3em] &\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Assoziativität im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em] &= ((v+w)+z)+U \\[0.3em] &= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em] &= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U) \end{align}</math>}} '''2. Kommutativität''' Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in <math>V</math> {{Formel|<math>\begin{align} (v+U) \boxplus (w+U) &=(v+w)+U \\[0.3em] &\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kommutativität im Vektorraum }V \right.} \\[0.3em] &= (w+v)+U \\[0.3em] &= (w+U) \boxplus (v+U) \end{align}</math>}} '''3. Existenz des neutralen Elements''' Da wir Verschiebungen von <math>U</math> betrachten, sollte <math>U</math> (als Nebenklasse <math>0+U</math>), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von <math>0</math> in <math>V</math>: {{Formel|<math>(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U</math>}} '''4. Existenz inverser Elemente''' Wir betrachten die Nebenklasse <math>v+U</math>. Für das zu <math>v+U</math> inverse Element <math>v'+U</math> muss gelten: {{Formel|<math>(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.</math>}} Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element <math>0+U</math>. Wir führen das Inverse von <math>v+U</math> auch wieder zurück auf Inverse in <math>V</math>. Sei <math>v</math> ein Repräsentant von <math>v+U</math>, <math>(-v)</math> sein Inverses in <math>V</math>. Dann gilt: {{Formel|<math>(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.</math>}} Das zu <math>v+U</math> inverse Element ist also <math>-v+U</math>. }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Distributivgesetze |beweisschritt= '''1. Skalares Distributivgesetz''' Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt: {{Formel|<math>\begin{align} (\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em] &\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Distributivgesetz im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em] &= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em] &= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em] &= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U) \end{align}</math>}} '''2. Vektorielles Distributivgesetz''' Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (d.h. im Faktorraum Nebenklassen) gilt: {{Formel|<math>\begin{align} \lambda \boxdot (v+U \boxplus w+U) &= \lambda \boxdot (v+w)+U \\[0.3em] &= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em] &\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Distributivgesetz im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em] &= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em] &= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em] &= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U) \end{align}</math>}} }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Eigenschaften der Skalarmultiplikation |beweisschritt= Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in <math>V</math>. Dazu seien <math>\lambda, \mu \in K</math> und <math>v, w \in V</math>. Dann gelten folgende Axiome: '''1. Assoziativgesetz für Skalare''' Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da {{Formel|<math>\begin{align} (\lambda \cdot \mu) \boxdot (v+U) &= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\ &\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz im Vektorraum } V \right.}\\ &= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\ &=\lambda \boxdot ((\mu v)+U)\\ &=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U)) \end{align}</math>}} gilt. '''2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation''' Wir wollen nachweisen, dass <math>1 \in K</math> auch für <math>\boxdot</math> das neutrale Element ist. Das heißt es muss <math>1 \boxdot (v+U)=v+U</math> gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in <math>V</math> erhalten wir: Wegen <math>1\cdot v = v</math> ist {{Formel|<math>1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U</math>}} Also ist <math>1 \in K</math> das neutrale Element der skalaren Multiplikation und <math>V/U</math> ein <math>K</math>-Vektorraum. }}}} == Beispiele == === Satellitenbilder === {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel |titel=Satellitenbilder |beispiel= [[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline von New York]] [[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellitenbild von New York]] Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York. Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir Informationen aus drei Dimensionen in zwei Dimensionen projizieren. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes. Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Faktorraum des <math>\R^3</math> modulo der <math>x_3</math>-Achse vorstellen. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen, werden dabei miteinander identifiziert und jede solche Äquivalenzklasse entspricht einem Bildpunkt auf dem Satellitenbild. }} === Beispiel im endlichen Vektorraum === Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel |titel=Quotientenraum in <math>(\Z / 3\Z)^2</math> |beispiel= Im [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|Vektorraum-Artikel]] haben wir gesehen, wie wir uns <math>(\Z/5\Z)^2</math> als Gitterpunkte auf einem [[w:Torus|Torus]] vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns <math>(\Z/3\Z)^2</math> ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen: Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt: [[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]] [[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]] Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt. Damit erhalten wir <math>(\Z / 3\Z)^2</math> folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild: [[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus]] Der von <math>(1, 1)^T</math> erzeugte Unterraum <math>U \subseteq (\Z / 3\Z)^2</math>, entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke. [[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]] Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um <math>+(1,0)^T</math> von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um <math>-(1,0)^T</math> von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus: [[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]] Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten: # Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist <math>{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}</math>. # Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel <math>{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}</math>. # Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist <math>{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}</math>. Wenn wir die Nebenklassen von <math>(\Z / 3\Z)^2/U</math> bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in <math>(\Z / 3\Z)^2/U</math> entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum <math>(\Z / 3\Z)^2/U</math> vollständig beschrieben. }} == Zusammenhang Faktorraum und Komplement == Im Faktorraum <math>V/U</math> rechnen wir mit Vektoren in <math>V</math> bis auf Abweichungen in <math>U</math>. Anteile in <math>U</math> werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Komplement|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums <math>U\subseteq V</math> ist ein Unterraum <math>W\subseteq V</math>, sodass <math>U\oplus W=V</math> gilt. Hierbei bezeichnet <math>U\oplus W</math> die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe|innere direkte Summe]] von <math>U</math> und <math>W</math> in <math>V</math>, d.h. <math>U\oplus W=U+W</math> und <math>U\cap W=\{0\}</math>. Ein Vektor <math>v\in V</math> lässt sich dann eindeutig schreiben als <math>v=u+w</math>, wobei <math>u\in U</math> und <math>w\in W</math>. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Komplement#Anker:Komplemente_Nicht-Eindeutigkeit|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume <math>W,W'\subseteq V</math> geben, mit <math>U\oplus W=V=U\oplus W'</math>. Beim Faktorraum "vergessen" wir den Anteil von <math>v</math>, der in <math>U</math> liegt, indem wir <math>v</math> auf die Nebenklasse <math>v+U</math> abbilden: {{Formel|<math>V\to V/U, \quad v\mapsto v+U</math>}} Ist <math>W</math> ein Komplement von <math>U</math> und <math>v=u+w</math> für eindeutige <math>u\in U</math> und <math>w\in W</math>, dann können wir analog den <math>U</math>-Teil vergessen, indem wir <math>v</math> auf den <math>W</math>-Teil <math>w</math> abbilden: {{Formel|<math>V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w</math>}} Anscheinend ähneln sich <math>V/U</math> und ein Komplement <math>W</math>. Können wir die beiden Vektorräume <math>V/U</math> und <math>W</math> identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz |titel=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum |satz=Sei <math>W</math> ein Komplement von <math>U</math> in <math>V</math>. Dann ist die Projektion <math>f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U</math> ein linearer Isomorphismus zwischen <math>W</math> und dem Quotientenraum <math>V/U</math>. |beweis= Wir wollen zeigen, dass <math>f</math> linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Linearität von <math>f</math> |beweisschritt= Da <math>W \subseteq V</math> ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist <math>f</math> mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für <math>\lambda \in K</math> und <math>v, w \in W</math> {{Formel|<math>f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)</math>}} sowie {{Formel|<math>f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).</math>}} }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Surjektivität von <math>f</math> |beweisschritt= Sei <math>v + U \in V/U</math>. Da <math>W</math> ein Komplement zu <math>U</math> ist, finden wir <math>u \in U</math> und <math>w \in W</math> mit <math>v = u+w</math>. Dann gilt {{formel|<math>f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,</math>}} wobei wir in <math>(*)</math> benutzt haben, dass <math>(w+u)-w=u\in U</math> und somit <math>w+U=(w+u)+U</math> gilt. Also ist <math>f</math> surjektiv. }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=Injektivität von <math>f</math> |beweisschritt= Wir zeigen <math>\ker(f)=\{0\}</math>. Sei dafür <math>w\in\ker(f)</math>, d.h. <math>w\in W</math> mit <math>f(w)=0+U</math>. Also gilt <math>w+U=f(w)=0+U</math>. Damit ist <math>w=w-0\in U</math>. Da <math>U</math> ein Komplement von <math>W</math> ist, gilt <math>U\cap W=\{0\}</math>. Da <math>w\in U</math> und <math>w\in W</math>, folgt <math>w\in U\cap W=\{0\}</math> und somit <math>w=0</math>. }} }} Wir haben gesehen, dass <math>V/U</math> isomorph zu jedem beliebigen Komplement von <math>U</math> ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten <math>U\oplus V/U=V</math>. Doch Achtung: Weil <math>V/U</math> kein Untervektorraum von <math>V</math> ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit <math>U</math> bilden. Wir können aber stattdessen die ''äußere'' direkte Summe von <math>U</math> und <math>V/U</math> betrachten: {{Formel|<math>U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}</math>}} Dies kann zwar nicht gleich <math>V</math> sein, aber isomorph zu <math>V</math>. Das werden wir nun zeigen. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz |titel=<math>U\oplus V/U\cong V</math> |satz=Sei <math>U</math> ein Untervektorraum eines <math>K</math>-Vektorraums <math>V</math>. Dann gilt <math>U\oplus V/U\cong V</math>. |beweis= Sei <math>W</math> ein Komplement von <math>U</math>, d.h. <math>U\cap W=\{0\}</math> und <math>U+W=V</math>. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung {{Formel|<math>f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U</math>}} ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass {{Formel|<math>g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)</math>}} ein Isomorphismus ist, wobei hier <math>U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}</math> die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet. {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=<math>g</math> ist linear |beweisschritt= Es gilt <math>g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))</math> für alle <math>(u,w)\in U\oplus W</math>. Damit folgt direkt, dass <math>g</math> linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf <math>U\oplus W</math> komponentenweise definiert sind und <math>\operatorname{id}_U</math> und <math>f</math> linear sind. }} {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt |ziel=<math>g</math> ist bijektiv |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus <math>g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))</math> für alle <math>(u,w)\in U\oplus W</math>, da die Identität <math>\operatorname{id}_U</math> und <math>f</math> bijektiv sind. }} Wir haben also <math>U\oplus V/U\cong U\oplus W</math>. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume <math>U</math> und <math>W</math> isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt <math>V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U</math>, wobei mit <math>U\oplus_I W</math> die innere direkte Summe von <math>U</math> und <math>W</math> gemeint ist. {{todo|"diesem Satz" zum passenden Satz verlinken}} }} == Aufgaben == {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe |titel=Die Projektion ist linear |aufgabe=Sei <math>V</math> ein <math>K</math>-Vektorraum und <math>U\subseteq V</math> ein Unterraum. Zeige, dass die kanonische Projektion {{Formel|<math>\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U</math>}} linear ist. |lösung= Seien <math>v,w\in V</math> und <math>\lambda\in K</math> beliebig. Wir schreiben wieder <math>\boxplus</math> und <math>\boxdot</math> für die Vektorraumstruktur auf <math>V/U</math>. Es gilt {{Formel|<math>\begin{align} & \pi(\lambda v+w) \\[0.3em] & {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\pi \right.} \\[0.3em] = & (\lambda v+w)+U \\[0.3em] & {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\boxplus \right.} \\[0.3em] = & ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em] & {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\boxdot \right.} \\[0.3em] = & (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em] & {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\pi \right.} \\[0.3em] = & (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w). \end{align}</math>}} Also ist <math>\pi</math> linear. }} {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}} 2gc2xlj6t4c6hao8822go4qo7s6xr6z 0 109787 1090143 1090022 2026-08-28T16:52:24Z Intruder 1513 /* ezsurf */ 1090143 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm MATLAB. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://www.gnu.org/software/octave/ www.gnu.org/software/octave/] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm YaST). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in doppelte Anführungszeichen ("") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nicht näher vertieft. Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe auch * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist aber etwas für fortgeschrittene Anwender und wird hier nicht behandelt. Wen es trotzdem interessiert, der sei auf die [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation] verwiesen. = Octave GUI = Das GUI-Programm von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen, wie z.B. Eclipse oder Code::Blocks. Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} dee60z9g8hvhrdrwlidwaqbnmkfa1tr 1090151 1090143 2026-08-29T08:11:16Z Intruder 1513 /* Octave installieren */ toten Link aktualisiert 1090151 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm MATLAB. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm YaST). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in doppelte Anführungszeichen ("") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nicht näher vertieft. Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe auch * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist aber etwas für fortgeschrittene Anwender und wird hier nicht behandelt. Wen es trotzdem interessiert, der sei auf die [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation] verwiesen. = Octave GUI = Das GUI-Programm von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen, wie z.B. Eclipse oder Code::Blocks. Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} s6mq2pjz9r8xgq8h3j0ribz3e0ln3la 0 114806 1090153 1086685 2026-08-29T08:43:24Z Bautsch 35687 /* Siebente Station */ semitische Sprachen 1090153 wikitext text/x-wiki [[Datei:Magura cave 03.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Eingang zur Magura-Höhle.]] [[Datei:Magura E6.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Im Inneren der Magura-Höhle.]] Dieses Kapitel zeigt Parallelen zwischen den Malereien in der '''Magura-Höhle''' in Bulgarien und schriftlich überlieferten Schöpfungsmythen auf. Ferner werden einige Darstellungen in archäoastronomischer Hinsicht untersucht, und es wird gezeigt, welche Elemente in Verbindung mit einer frühzeitlichen Kalenderführung stehen können. == Hypothesen == Die entsprechenden Untersuchungen verfolgen zwei Haupthypothesen: # Die älteren sieben ersten Szenen der '''Höhlenmalerei in der Magura-Höhle''' stehen im Zusammenhang mit einem Schöpfungsmythos. # Die sieben sequenziell dargestellten Szenen zeigen eine zusammenhängende Schöpfungsgeschichte (von rechts nach links): ## Den Lichtbringer. ## Den Himmelsstier in den heutigen Sternbildern Stier, Widder und Walfisch. ## Sieben Gestalten, die den sieben Wandelgestirnen entsprechen. ## Die Trennung von Himmel und Erde mit der Schöpfung von Lebewesen. ## Die besondere Stellung der Menschen in der Schöpfung. ## Die Erschaffung des Wassers. ## Die Vollendung der Schöpfung. Unabhängig von diesen unbeweisbaren Hypothesen, wird in diesem Beitrag gezeigt, dass die genannten Szenen vor Jahrtausenden als Stationen und Gedächtnisstütze für die Erzählung eines Schöpfungsmythos sowie zu dessen Illustration gedient haben können. Die Darstellungen in den Höhlenmalereien der Magura-Höhle sind demzufolge Indizien dafür, dass neolithischen Nutzer der Höhle einen Schöpfungsmythos kannten und tradierten, der zahlreiche Ähnlichkeiten zu anderen, schriftlich überlieferten Schöpfungsmythen aufweist. <gallery caption="Die ersten sieben Stationen in der Magura-Höhle" widths=240 heights=240> Lichtbringer.Magura.1.Station.png|Erste Station. Stiersymbol.Magura.png|Zweite Station. Siebengestalt.Magura.Korridor.png|Dritte Station. Magura.4.Station.Himmel.Erde.png|Vierte Station mit Details eines Ausschnitts. Paerchen.Magura-Hoehle.png|Fünfte Station. Magura.6.Station.Wasser.png|Sechste Station. Sieben.Symbole.Magura-Hoehle.png|Siebente Station. </gallery> == Einführung == '''Schöpfungsmythen''' und '''Kalender''' existieren in vielen alten Kulturen. Sie beantworten häufig einige Fragen zum Woher des Menschen und zu seiner Umwelt und können '''religiöse Traditionen''' begründen, wie das Feiern von Festen sowie das hiermit verbundene Führen von Kalendern. Über Jahrtausende wurden die Mythen mündlich tradiert, und bevor sie aufgeschrieben werden konnten, nachdem die '''Schrift''' erfunden wurde, können sie auch schon '''bildlich''' festgehalten worden sein. Dies kann als bildliche Ergänzung zu den gesprochenen oder gesungenen Erzählungen gedient haben (heute würde der Begriff „multimedial“ verwendet), kann aber auch als Gedächtnisstütze verwendet worden sein, damit wichtige Details nicht versehentlich ausgelassen oder in der falschen Reihenfolge wiedergegeben wurden. Es gibt viele Beispiele dafür, wie sich aus ikonographischen Bildern Schriftzeichen herausgebildet haben. In der alteuropäischen '''Vinča-Kultur''', in deren Gebiet auch die Magura-Höhle lag, wurden bereits im Neolithikum prähistorische Zeichen verwendet („Donauschrift“). Für die nördliche Hemisphäre der Erde kann folgendes festgestellt werden: Die '''Schriftrichtung''' von rechts nach links entspricht dem langfristigen Lauf der Sonne und des Mondes entlang der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|'''Ekliptik''']] in Bezug auf den Fixsternhimmel. Dieser Lauf kann am einfachsten beim Mond erkannt werden, da er sich innerhalb eines siderischen '''Monats''' (27,322&nbsp;Tage) einmal komplett durch den Fixsternhimmel bewegt. Die alten Inder und die Beduinen haben diese in sich geschlossene und sich ewig wiederholende Strecke vor langer Zeit in 27&nbsp;beziehungsweise 28&nbsp;Mondhäuser eingeteilt. Die Schriftrichtung von links nach rechts entspricht dem täglichen Lauf aller Gestirne in Bezug zum Horizont vom Aufgang im Osten über die Kulmination auf dem Meridian im Süden zum Untergang im Westen. Es gibt zahlreiche Hinweise darauf, dass sich bereits unsere Urahnen auf das am Himmel zu beobachtende Geschehen bezogen haben, den sie noch völlig ohne '''Lichtverschmutzung''' wahrnehmen konnten. Insofern scheint es unerlässlich, '''archäoastronomische''' Aspekte bei der Interpretation der alten Darstellungen zu berücksichtigen. Es gibt keine Anhaltspunkte dafür, dass die Menschen im Altertum weniger verständig waren als in der Neuzeit, sie hatten allerdings weniger Wissen angesammelt als das, über das wir heute verfügen können. Der ewige Lauf der '''Sterne''', der '''Planeten''', des '''Mondes''' und der '''Sonne''' kann bei hinreichend langer Beobachtung zwar zunehmend genau beschrieben, jedoch nicht ohne weiteres erklärt werden. Für die damals unerklärlichen Vorgänge und Zusammenhänge am Himmel, insbesondere am Nachthimmel, wurden demzufolge mythische Geschichten erfunden, die danach immer weiter ausgesponnen und verbreitet wurden. Viele Religionen beziehen sich auf diese als göttlich bezeichneten Vorgänge unter anderem, um Kalender und die Termine von bestimmten Festtagen festzulegen. In der '''Magura-Höhle''' gibt es insgesamt über eintausend bildliche Darstellungen aus verschiedenen prähistorischen Epochen.<ref>Kiril Lyubchov Kirilov: [https://magnaaura.wordpress.com/2016/06/23/the-complete-catalog-of-all-magura-cave-paintings-creation-use-and-perspectives/ The complete catalog of all Magura cave paintings – creation, use and perspectives.], magnaaura.wordpress.com, 23. Juni 2016</ref> Die Datierung scheint problematisch zu sein, die alten Höhlenmalereien sollen spätestens 2600 Jahre vor Christi Geburt entstanden sein, die ältesten jedoch noch früher.<ref name="time-span" /> In diesem Kontext ist es erwähnenswert, dass der südliche Stern '''Phakt''' (α Columbae) im Sternbild Taube (Columba) bedingt durch die Präzession der Erdachse vor gut 4000 Jahren zum ersten Mal vom Gipfel des Magura-Berges beobachtet werden konnte, was von damaligen Beobachtern sicherlich als spektakuläre Sensation wahrgenommen wurde: → Siehe auch [[Quadriviale_Kuriositäten/_Die_Stele_vom_Rocher_des_Doms#Phakt|Kapitel '''Die Stele vom Rocher des Doms''', Abschnitt '''Phakt''']]. Dieses Wikibook beschäftigt sich vor allem mit den sieben älteren Darstellungen, die beginnend von Eingang der Höhle eine Bildergeschichte erzählen zu scheinen, und greift auch einige der tiefer in der Höhle befindlichen Darstellungen auf. == Beschreibung == <mapframe latitude="43.728437" longitude="22.582998" zoom="13" text="Die Lage des Magura-Komplexes südlich des Rabischa-Sees und nordwestlich des Ortes Rabischa (Рабиша)." width="300" height="302" /> Die Magura-Höhle liegt ungefähr zwei Kilometer nordwestlich der bulgarischen Stadt Rabischa ganz im Nordwesten des Landes.<ref>Andrea Arcà: [http://www.rupestre.net/tracce/?p=8048 Magura Cave paintings, Bulgarian rock art]</ref> Die höchste Erhebung des Bergs liegt 461 Meter über dem Meeresspiegel und zirka 170 Meter über dem Wasserspiegel des unmittelbar nördlich gelegenen Rabischa-Sees. Dieser See hat in West-Ost-Richtung eine Ausdehnung von knapp zweieinhalb Kilometer und in Nord-Süd-Richtung von gut anderthalb Kilometer. Nach Osten hin erstreckt sich auf über 20 Kilometer eine zur Donau hin leicht abfallende Ebene, so dass der Horizont im Quadranten zwischen Norden und Osten völlig unverdeckt und bei hinreichend klarer Atmosphäre alle dort aufgehenden Gestirne äußerst spektakulär zu sehen sind. Die Donau bildet hier die Staatsgrenze zu Rumänien. in gut 400 Kilometern Entfernung liegt in dieser Richtung das Schwarze Meer. Vom Magura-Gipfel aus von links nach rechts gesehen liegt zwischen dem Azimut von 335&nbsp;Bogengrad in Richtung Nordnordwest bis zum Azimut von 120&nbsp;Bogengrad in Richtung Ostsüdost der geographische Horizont überall unterhalb des geometrischen Horizonts, es sind also sogar negative Höhen am Himmel beobachtbar. Insbesondere die freie Sicht nach Osten macht den Magura-Berg zu einem ausgezeichneten Observatorium für aufgehende Himmelsobjekte, das auch schon von den Neolithikern benutzt werden konnte. Die Nordrichtung wird durch die Transsilvanischen Alpen (Südkarpaten) markiert, deren Gipfel wegen der Entfernung von über 160 Kilometern ebenfalls unterhalb des geometrischen Horizonts liegen. Im Süden befinden sich die westlichen Ausläufer des Balkangebirges mit seinen beiden Höhenzügen ''Veneza'' und ''Vedernik'', der 38&nbsp;Kilometer entfernte, mit 2169&nbsp;Metern Höhe höchste serbische Berg Midschur ist in südlicher Richtung zu sehen. Die Grenze von Serbien verläuft in westlicher Richtung 15 Kilometer entfernt in den Bergen. <gallery caption="Bulgarien" widths=300 heights=300 perrow=2> Bulgaria_in_Europe_(-rivers_-mini_map).svg|Lage von Bulgarien in Europa. Relief_Map_of_Bulgaria.Magura.png|Reliefkarte von Bulgarien mit der Lage von Magura<br/>({{Koordinate Text|43_43_45_N_22_34_57_E_type:mountain_region:BG|43° 43,755′ Nord, 22° 34,957′ Ost}}). </gallery> Die Magura-Höhle ist eine vor zirka 15 Millionen Jahren durch Lösung von Kalkgestein gebildete Karsthöhle mit einer Lufttemperatur von 12 Grad Celsius. Sie verfügt eine Gesamtlänge von zweieinhalb Kilometer, ist heute mit einer elektrischen Beleuchtung versehen und kann allerdings nur in Teilen und im Rahmen einer Führung ganzjährig besichtigt werden. Die Höhle befindet sich im östlichen Zipfel der vor rund 7000&nbsp;Jahren von der Vinča-Kultur geprägten Region, in der mit Keramik gearbeitet wurde. Aus dieser Zeit sind auch prähistorische Zeichen, die Vinča-Symbole, bekannt, die offenbar religiösen Zwecken gedient hatten. Die Höhlenmalereien scheinen aus mehreren Epochen zu stammen, die bis in die Bronzezeit reichen. Die Künstler der ältesten Höhlenmalereien haben vor ungefähr 5500 Jahren mit Fledermaus-Guano gearbeitet, das aus den Exkrementen der Tiere hergestellt wird.<ref>Enrico Sassoni, Elisa Franzoni, Milyana Stefanova, Zdravko Kamenarov, Paolo Scopece, Emanuele Verga Falzacappa: ''Comparative Study Between Ammonium Phosphate and Ethyl Silicate Towards Conservation of Prehistoric Paintings in the Magura Cave (Bulgaria)'', in: ''Coatings'', 10, 250, 9. März 2020</ref> Es gibt in der Hauptgalerie insgesamt sechs verschieden große Hallen und drei weitere seitlich abgehende Galerien. Am Eingang der Höhle befindet sich mit der über 100 Meter langen und bis zu 58 breiten sowie bis zu 28 Meter hohen ''Triumph-Halle'' (auch ''Bogen-Halle'') die größte Halle des Komplexes. Die Magura-Höhle wurde schon in der Altsteinzeit von Menschen genutzt. Eine indoeuropäische Völkergruppe der Thraker hat sie in der Bronzezeit für mehrere Jahrhunderte bewohnt. Die ''Triumph-Halle'' wurde von zahlreichen Menschen bewohnt. Auch später wurde die Höhle genutzt, da sich keramische Artefakte aus der Eisenzeit finden ließen.<ref name="showcaves" /> 1984 wurde die Höhle in die Tentativliste des UNESCO-Welterbes aufgenommen.<ref>[https://whc.unesco.org/en/tentativelists/45/ The Magoura cave with drawings from the bronze age], World Heritage Convention, UNESCO</ref> Seit 2009 gibt es im Eingangsbereich eine Ausstellung mit den Höhlenmalereien.<ref name="showcaves">[https://showcaves.com/english/bg/showcaves/Magura.html Peštera Magura - Rabiša - Magura Cave], showcaves.com</ref> Ähnliche Malereien und weitere mit Darstellungen der Sonne und von Mondsicheln gibt es in der Bailovo-Höhle in der Nähe von Sofia.<ref>Alexey Dimitrov Stoev, Penka Vlaykova Muglova (Stoeva): [http://rock-cut.thracians.org/en/s_m_bajlovo.php Archaeoastronomical Investigations of the Prehistoric Anthropogenic Influences on the Karst Near the Village of Bailovo, Sofia District]</ref> == Schöpfungsmythos== [[Datei:Anaximander world map-de.svg|mini|rechts|hochkant=2|Rekonstruktion des '''Mittelpunkts der Welt''' nach dem vorsokratischen griechischen Philosophen '''Anaximander'''. Beim georgischen Strom '''Rioni''' (griechisch: Φάσις = '''Phasis''') gab es im Altertum ausgedehnte Sümpfe, die nach Norden eine natürliche Barriere für Menschen darstellten. Bereits '''Hesiod''' erwähnt den Strom in seinem Werk „Theogonie“, in dem die Entstehung der griechischen Götter und der Welt beschrieben wird.]] Die Hochkulturen der Steinzeit lebten nicht nur südlich, sondern auch westlich des Schwarzen Meeres. Die Permafrostgrenze lag während der letzten Kaltzeit immer nördlich dieser Region, und die Landbrücke zwischen dem Marmarameer und dem Schwarzen Meer konnte begangen werden. Das Schwarze Meer wurde über zahlreiche Flüsse mit Süßwasser gespeist. Die gesamte Küstenregion war daher gut mit Trinkwasser und Meerestieren versorgt und stellte somit einen gut geeigneten Lebensraum für die damaligen Bewohner dar. Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Menschen aller angrenzenden Regionen bereits damals auf dem Landweg Handelswaren, Geschichten und Information sowie Wissen ausgetauscht haben, und dass dies in den Artefakten, Traditionen und Mythen der verschiedenen Völker gemeinsame Spuren hinterlassen hat. Es wäre also nicht überraschend, wenn sich bei der Entwicklung der Gesellschaften in allen Richtungen von den Ufern des Schwarzen Meeres zahlreiche Gemeinsamkeiten und Parallelitäten ergeben hätten. Durch die zunehmende Erwärmung der Erde und die dabei abschmelzenden Gletscher stiegen die Wasserspiegel der Ozeane und der Binnenmeere allmählich um über einhundert Meter an, und an den flachen Küstenregionen des Schwarzen Meeres verdrängte das Wasser das Ufer um mehrere hundert Kilometer ins Landesinnere. Die Landbrücke zwischen dem Marmarameer und dem Schwarzen Meer brach irgendwann vor 7500 bis 9500 Jahren auf, und das Mittelmeer und das Schwarze Meer egalisierten ihre Meeresspiegel. Die Menschen mussten fortan Boote benutzen, um zwischen den nicht mehr auf dem Landweg zu erreichenden westlichen und südlichen Küstenregionen des Schwarzen Meeres zu reisen. Die ersten sieben Stationen mit Höhlenmalereien in der Magura-Höhle stammen offenbar aus einer früheren Periode der Malereien in der Magura-Höhle.<ref name="time-span">Kiril Lyubchov Kirilov: [https://magnaaura.wordpress.com/2016/06/25/consecutive-animal-species-and-appearance-of-previously-unseen-conceptions-determine-a-large-time-span-for-the-creation-of-magura-cave-paintings-continuation-of-the-paintings-style-and-meani/ Consecutive animal species and appearance of previously unseen conceptions determine two stages of creation of Magura cave paintings. Continuation of the painting’s style and meaning over a large time span], magnaaura.wordpress.com, 25. Juni 2016</ref> Sie lassen viele Elemente eines Schöpfungsmythos erkennen, wie zum Beispiel einen Lichtbringer, die Sieben, Himmel und Erde, Lebewesen, Mann und Frau oder Wasser.<ref name="Magura" /> In weiteren Darstellungen ist offenbar ein Kalender und sind Elemente einer Sintflut zu erkennen. Insgesamt ergeben sich bei den Malereien in der Magura-Höhle nicht nur erstaunliche Bezüge zur '''Genesis''' (''Bereschit'' der jüdischen Tora beziehungsweise ''Erstes Buch Mose'' des christlichen Alten Testaments), sondern auch zum sumerischen '''Atraḫasis-Epos''' beziehungsweise '''Gilgamesch-Epos''', in denen von einem '''Himmelsstier''' und ebenfalls von einer '''Sintflut''' die Rede ist. Die Sintfluterzählung gilt als eine Ergänzung der Schöpfungserzählung. Der sumerische '''Urozean''' beziehungsweise das kosmische Wasser wurde ''Abzu'' („Uranfänglicher“) genannt. Der babylonische Schöpfungs-Mythos ''Enuma elisch'' erzählt auf '''sieben''' Tontafeln zum Beispiel von den Attributen der '''sieben Winde''' und von einer Sturm'''flut''' sowie von der '''Schaffung der Sternbilder''' durch die erstmals im dritten Jahrtausend vor Christus erwähnte sumerische Gottheit '''Marduk'''. Sehr ähnliche Motive tauchen auch in alten chinesischen, mündlich überlieferten Volksmärchen auf, wie in den Erzählungen „Die Menschwerdung der fünf Alten“ und von der Schöpfergöttin des Menschengeschlechtes „Nü Wa“.<ref>[[s:Die Menschwerdung der fünf Alten|Die Menschwerdung der fünf Alten]], Wikisource</ref><ref>[[s:Nü Wa|Nü Wa]], Wikisource</ref> In der Magura-Höhle gibt es neben den hier vorgestellten Ausschnitten fast eintausend weitere Zeichnungen.<ref>Kiril Lyubchov Kirilov: [https://magnaaura.wordpress.com/2016/06/21/the-complete-map-of-all-magura-cave-paintings-creation-use-and-perspectives/ The complete map of all Magura cave paintings – creation, use and perspectives.], magnaaura.wordpress.com, 21. Juni 2016</ref> Es ist daher denkbar, dass diese einen längeren „Magura-Epos“ erzählen, der über die Berichte von der Schöpfung der Welt und der Sintflut deutlich hinausgeht. Die folgenden sieben Abschnitte behandeln die ersten sieben und offenbar ältesten Stationen in der Magura-Höhle.<ref name="time-span" /> Die entsprechenden Höhlenmalereien werden hierin als ein Bericht von der Schöpfung der Welt interpretiert. Hier findet sich eine kurze einfache Nacherzählung des im Folgenden ausführlicher beschriebenen Schöpfungsmythos: :'''[[Die Höhlenmalerei in der Magura-Höhle/ Nacherzählung|→ Nacherzählung des Schöpfungsmythos aus der Magura-Höhle]]''' === Erste Station === '''Trennung von Licht und Finsternis''' :''Sie geht Morgen für Morgen, für jeden wahrnehmbar, im Osten auf.'' <gallery widths=300 heights=300 caption="Der Lichtbringer" perrow=3> Magura_cave_05.jpg|Sonnenähnliches Symbol zu Beginn der Höhlenmalereien. Lichtbringer.Magura.1.Station.png|Skizze der Höhlenmalerei. BringerOfLight.Lake.jpg|Anblick einer über einem See betrachteten, dicht über dem Horizont stehenden Sonne. </gallery> Das erste Zeichen erinnert an einen mythischen '''Lichtbringer''', wie er in der aufgehenden '''Sonne''' gesehen werden kann, die sich auf einer Wasseroberfläche spiegelt. Der Leuchteffekt auf der Wasseroberfläche wird ''Glitzerpfad'' (englisch: „glitter path“) genannt.<ref>Richard Fleet: [http://www.dewbow.co.uk/glows/gltpath2.html Sea Glitter Path], Optical Effects in Air, Water and Ice, 2004-2008</ref> Durch Brechungseffekte in der Atmosphäre (astronomische Refraktion) erscheint die Sonne in vertikaler Richtung etwas gestaucht. Durch die Rayleigh-Streuung wird das kurzwellige blaue Licht der Sonne seitlich abgelenkt, so dass vor allem die langwelligen rötlichen nicht gestreuten Anteile den Beobachter auf direktem Weg erreichen. →&nbsp;Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Streuung|Wikibook „Digitale bildgebende Verfahren“, Kapitel „Beleuchtung“, Abschnitt „Streuung“]]'''. [[Datei:Mondhaeuser.dunkler.Trichter.der.Thuraya.png|rechts|mini|hochkant=2|Westlich des Goldenen Tors der Ekliptik (links im Bild zwischen Aldebaran und den Plejaden) liegt der astronomische Urozean in den zusammenhängenden Wassersternbildern Walfisch (Cetus), Fische (Pisces, sumerisch Aruru), Wassermann (Aquarius, sumerisch GU.LA) und Steinbock (Capricornus, babylonisch Ziegenfisch, sumerisch SUHUR.MAŠ). Aus diesem dunklen Urozean (dem sumerischen Süßwasserozean Abzu) heraus treten die sieben Wandelgestirne in Richtung Osten durch das Goldene Tor der Ekliptik.]] Zur Tag-und-Nacht-Gleiche erfolgt der Sonnenaufgang genau im Osten und kann dann gut vom westlichen Zipfel des Rabischa-Sees am Fuße des Magura-Berges beobachtet werden, da dieser nach Osten hin seine größte Ausdehnung hat und sich dahinter eine sehr weite zur Donau und zum Schwarzen Meer hin abfallende Tiefebene erstreckt. Vom westlichen Ufer eines Ozeans oder eines großen Gewässers, dessen gegenüberliegendes Ufer wegen der Krümmung der Erdoberfläche nicht gesehen werden kann, wie am Schwarzen Meer, kann die aufgehende Sonne am Horizont sogar vollständig mit ihrem Spiegelbild verschmelzen. Hierzu die ersten fünf Verse der Schöpfungsgeschichte aus dem Alten Testament nach der Einheitsübersetzung:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1 Genesis 1, Vers 1 bis 5], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 1 Im Anfang erschuf Gott Himmel und Erde.<br/> 2 Die Erde war wüst und wirr und Finsternis lag über der Urflut und '''Gottes Geist schwebte über dem Wasser'''.<br/> 3 Gott sprach: Es werde Licht. Und es wurde Licht.<br/> 4 Gott sah, dass das Licht gut war. Und Gott schied das Licht von der Finsternis.<br/> 5 Und Gott nannte das Licht Tag und die Finsternis nannte er Nacht. Es wurde Abend und es wurde Morgen: erster Tag.<br/> </blockquote> Auch das sumerische Urwasser ''Abzu'' bezieht sich auf den Sonnenaufgang. Unter den altägyptischen Gottheiten wurde '''Re''' als die Sonnengottheit verehrt, die durch das Wirken ihrer Kraft auf der Erde das Leben ermöglichte. Der mittelalterliche '''Liber Quare''' („Das Buch Warum“)<ref>Liber Quare / Das Buch Warum, Zur Liturgie im 11./12. Jahrhundert, Einleitung, Übersetzungen und Anmerkungen von Lorenz Weinrich, Zusatz 54, mit Bezug auf Psalm 145,3 und Lukas 1,78+79. Verlag Brepols&Publishers, 2020, ISBN 978-2-503-58686-1</ref> erklärt zur Frage, warum gen Osten gewandt gebet wird, damit dass Gott zwar überall und unerforschlich groß ist<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm145%2C3 Psalm 145, Vers 3], Einheitsübersetzung, 2016</ref>, er aber nach dem ersten Kapitel des Evangeliums nach Lukas derjenige ist, der als Glanz des ewigen Lichts die Finsternis erleuchtet hat:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Lukas1%2C78-79 Lukas 1, Vers 78 und 79], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 78 Durch die barmherzige Liebe unseres Gottes wird uns besuchen das aufstrahlende Licht aus der Höhe,<br/> 79 um allen zu leuchten, die in Finsternis sitzen und im Schatten des Todes, und unsre Schritte zu lenken auf den Weg des Friedens. </blockquote> Für die nordamerikanischen Indianervölker der '''Haida''' und der '''Tsimshian''' in Britisch-Kolumbien ist ein großer dunkler '''Rabe''' der Lichtbringer. Bevor das Licht in die Welt gebracht worden war, war sie nichts anderes als eine gigantische '''Urflut'''. Der Rabe wurde in der Dunkelheit geboren, war der Macher und Wandler aller Dinge sowie ein wunderbar singender Magier und Heiler. Der Rabe gilt in diesen Schöpfungsmythen als Bringer der Sterne, des Mondes und der Sonne, aber auch des Trinkwassers und des Feuers.<ref>Jarich Oosten, Frédéric Laugrand: [https://www.researchgate.net/publication/231897320_The_bringer_of_light_The_raven_in_Inuit_tradition The bringer of light: the raven in Inuit tradition], Polar Record 42 (222), 187–204, United Kingdom, Juli 2006</ref> Diese Geschichte kann auf zweierlei Art und Weise astronomisch gedeutet werden: # Der Rabe als im Osten am Ende der Nacht als Sonne über einer großen Wasserfläche aufgehendes Geschöpf. # Alle sieben mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirne wandern entlang der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|'''Ekliptiklinie''']] aus dem dunklen [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|'''Trichter der Thuraya''']] durch das [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldene Tor der Ekliptik''']]. Wird die Himmelsregion beim Goldenen Tor der Ekliptik mit den beiden sehr auffälligen Sternhaufen der Hyaden und der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|'''Plejaden''']] in diesem Sinne interpretiert, fällt es nicht schwer, in dieser Konstellation einen Raben zu erkennen. Im nächsten Abschnitt wird diese Region in einer weiteren Interpretation dem Himmelsstier zugeordnet. <gallery caption="Der Rabe als Lichtbringer" widths=600 heights=300 mode=packed> TheRaven.BringerOfLight.P1117152.jpg|Der Rabe als Lichtbringer der Ureinwohner der nordamerikanischen Westküste. Links der Stern Tabit aus dem Sternbild Orion. In der Mitte das V mit dem offenen Sternhaufen der Hyaden und dem Roten Riesen Aldebaran sowie rechts der offene Sternhaufen der Plejaden (Siebengestirn) im Sternbild Stier (Taurus). Raven.P1022937.png|Interpretation der Konstellation zwischen dem Stern Tabit (links) und dem Sternhaufen der Plejaden (rechts) als Rabe, wobei der Kopf des Raben dem Sternhaufen der Hyaden entspricht. Die beiden Augen sind die Sterne Aldebaran (links) und Ain (rechts) und die Schnabelspritze wird durch den Stern Prima Hyadum (γ&nbsp;Tauri) gebildet. Die Ekliptiklinie ist rot gepunktet dargestellt, und die sieben Wandelgestirne wandern aus dem großen dunklen Trichter unterhalb des Raben auf dieser Linie nach oben. Raven.BringerOfLight.P1044250.jpg|Der '''Rabe''', der Lichtbringer, bei einem Totem im Stanley-Park in Vancouver. </gallery> <div style="clear:both"></div> === Zweite Station === '''Schöpfung des Himmelsgewölbes''' :''Aufmerksame und ausdauernde Beobachter sehen sie ewig durch dieses Tor ins Licht ziehen.'' [[Datei:Taureau.Gavrinis.png|mini|rechts|hochkant=2|Steinzeitliches Stierornament mit langen Hörnern auf einem zirka 6000 Jahre alten Menhir in einem Dolmen aus Gavrinis und Table des Marchands am Golf von Morbihan in der südlichen Bretagne. Unter den Hörnern ist ein Zeichen zu sehen, das eine auffällige Ähnlichkeit zu Zeichen aus der Magura-Höhle aber auch zu anderen mit Rindern in Verbindung stehenden Zeichen aus dem Altertum aufweist (siehe unten).]] Stiere scheinen seit jeher eine besondere Bedeutung für die Menschen gehabt zu haben und wurden schon vor rund 40000 Jahren in der El-Castillo-Höhle im spanischen Kantabrien und in der Kalksteinhöhle von Lubang Jeriji Saléh auf Borneo in Indonesien gemalt. Es gibt zahlreiche weitere Beispiele: Der Auerochse in der Chauvet-Höhe an der südfranzösischen Ardèche soll zirka 31000 Jahre alt sein. Angehörige der Magdalénien-Kultur haben vor rund 16000 Jahren die Stier-Malereien in der Höhle von Lascaux in der französischen Dordogne sowie vor etwa 13000 Jahren den Wisent in der Höhle von Niaux in den französischen Pyrenäen und das Steppenbison in der Höhle von Altamira in Nordspanien (Kantabrien) gemalt. In der Schweiz wurden an verschiedenen archäologischen Ausgrabungsstätten mehrere sogenannte "Mondhörner" mit Lochreihen aus der späten Bronzezeit gefunden, die sehr an die Form eines Stierkopfes erinnern.<ref>[https://www.ag.ch/de/bks/kultur/archaeologie_denkmalpflege/archaeologie/archaeologische_sammlung/funde_und_fundgeschichten/funde_fundgeschichten/detailseiten_117704.jsp Fund ohne Funktion? Das rätselhafte Boswiler Mondhorn], Departement Bildung, Kultur und Sport, Abteilung Kultur, Kantonsarchäologie Aargau, Archäologische Sammlung</ref> Auch in den Dolmen in Locmariaquer im Département Morbihan sowie auf der vorgelagerten Insel Gavrinis im im Golf von Morbihan in der südlichen Bretagne in Frankreich gibt es lebensgroße Darstellungen von Stieren mit langen Hörnern, die mindestens 6000&nbsp;Jahre alt sind.<ref>Charles-Tanguy Le Roux, Jean-Paul Gisserot, Philippe Laplace: ''Gavrinis'', Editions Jean-Paul Gisserot, 1995, ISBN 9782877471459</ref><ref>Charles-Tanguy Le Roux: ''A propos des fouilles de Gavrinis (Morbihan) : nouvelles données sur l'art mégalithique armoricain'', Bulletin de la Société préhistorique française, 81-8, 1984, Seiten 240 bis 245</ref><ref>Éric Gaumé: ''Cornes d'aurochs (supplique pour le réexamen d'une gravure néolithique de bovidé dans l'île morbihannaise de Gavrinis, Bretagne)'', Bulletin de la Société préhistorique française, 104-1, März 2007, Seiten 81 bis 88</ref><ref>Jean-Pierre Mohen: ''Le menhir au taureau brisé de Gavrinis (Morbihan)'', in: ''Pierres vives de la préhistoire: Dolmens et menhirs'', Odile Jacob, 2009, Seiten 133 ff, ISBN 9782738123077</ref> Das zweite Zeichen aus Magura hat eine große Ähnlichkeit mit dem '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|Himmelsstier]]'''.<ref>Andrea Arcà: [http://www.rupestre.net/tracce/wp-content/gallery/magura/16maguracave.jpg Magura Cave, a unique (?) horned figure, a schematic bovid (AA)]</ref> Nach oben hin könnten zwei lange Hörner dargestellt sein, der Körper ist nach unten geöffnet und zeigt in der Mitte etwas wie einen '''Fußabdruck''' von jemandem, der in diesen Stier hineintritt. Die Darstellung weist die gleiche Orientierung auf wie der Asterismus Himmelsstier am westlichen Abendhimmel, durch den alle sieben mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirne (die '''Sonne''', der '''Mond''' sowie die fünf Planeten '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter''' und '''Saturn''') aus einem sternarmen, und somit in der Nacht besonders dunklen Himmelssegment des [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|'''Trichters der Thuraya''']] durch das [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldene Tor der Ekliptik''']] ins Licht der helleren Objekte entlang der Ekliptik '''hineintreten'''. Dabei werden diese sieben Wesen aus dem Himmelsstier heraus geboren und ziehen anschließend ihre Bahnen im Licht der Sterne entlang der Ekliptik. Dieser Asterismus umfasst Teile der heutigen Sternbilder '''Stier''' (Taurus), '''Widder''' (Aries) und '''Walfisch''' (Cetus) beziehungsweise Teile der entsprechenden beduinischen Sternbilder „Lamm“ (arabisch: al-hamal, beim Stern '''Hamal''' (α Arietis)) mit dem „Bäuchlein“ des Lammes (arabisch: al-buṭayn, beim Stern Nair al Butain beziehungsweise '''Bharani''' (41 Arietis)) und den „vielen Kleinen“ im „fetten Schwanz“ des Lammes (arabisch: al-thurayya, der offene Sternhaufen der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|'''Plejaden''']] beziehungsweise das '''Siebengestirn''' (M45)) sowie dem „Nachfolgender“ (arabisch: al-dabarān, der Rote Riese '''Aldebaran''' (α Tauri)) und der „amputierten Hand“ (arabisch: al-kaf al-jadhma, der Stern Kaffaljidhma beziehungsweise Kaffaljidh (γ Ceti)) mit dem Stern '''Menkar''' (α Ceti) am Trichter der Thuraya. Das Siebengestirn ist das auffälligste Himmelsobjekt in diesem Asterismus, befindet sich auf dem Rücken des Himmelsstieres und könnte als der Urquell der sieben Wandelgestirne angesehen werden (siehe hierzu auch: [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Überlieferungen|Plejaden / Überlieferungen]]). <gallery caption="Der Himmelsstier" widths=300 heights=300 perrow=3> Stiersymbol.Magura.png|Stiersymbol mit Fußabdruck auf der zweiten Abbildung in der Höhle von Magura.<ref>[http://www.rupestre.net/tracce/wp-content/gallery/magura/16maguracave.jpg Magura cave photogallery number 16], TRACCE, Online Rock Art Bulletin, Nummer 33, 19. November 2014</ref> An der Stelle des Fußabdrucks treten die sieben Wandelgestirne aus dem dunklen Urozean mit den zahlreichen zusammenhängenden Wassersternbildern kommend auf festen Boden. Vollmond.Stiersymbol.P1079912.png|Astronomische Aufnahme des Vollmonds im Sternbild Stier (Taurus) mit eingeblendetem Himmelsstier-Asterismus. Die Ekliptiklinie kreuzt in etwa die Mittelpunkte der drei gedachten Verbindungslinien Menkar-Sheratan, Aldebaran-Plejaden und Tien Kuan-Elnath. Vollmond.Trichter.Thuraya.P1079912.jpg|Astronomische Aufnahme mit dem Vollmond in der Himmelsregion der heutigen Sternbilder Stier (links oben), Walfisch (unten) und Widder (rechts). Die Ekliptik verläuft vom '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|Trichter der Thuraya]]''' rechts unten durch das Goldene Tor der Ekliptik in der Bildmitte nach links oben durch die Mitte zwischen den Spitzen der Stierhörner. </gallery> [[Datei:250_Himmelsstier.Mondhaeuser.Ekliptik.png|rechts|mini|hochkant=2|Darstellung des Himmelsstiers in den fünf ersten [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Mondhäuser|'''Mondhäusern''']] des arabischen '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Manazil_al-Qamar|Manazil al-Qamar]]''' mit den hellsten ekliptiknahen Sternen. Die rote Linie markiert die Lage der Ekliptik und unten sind die dazugehörigen ekliptikalen Längen zum Frühlingspunkt der Epoche J0000.0 und rechts die ekliptikalen Breiten aufgetragen.]] Der '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Frühlingspunkt|Frühlingspunkt]]''' wanderte wegen der Präzession der Erdachse in den letzten Jahrtausenden vom Sternbild Zwillinge (Gemini) über den Stier (Taurus) und den Widder (Aries) bis in die Fische (Pisces), wo er sich heute befindet. Er markiert den Punkt auf der Ekliptik, an welchem die Sonne und der Neumond zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr aufgehen. Gleichzeitig markiert er den Punkt, an welchem der Vollmond zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst untergeht. Vor 4500 Jahren befand der Frühlingspunkt sich im Kopf des Sternbilds Stier (Taurus), direkt im [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenen Tor der Ekliptik''']] zwischen dem Stern '''Ain''' im offenen Sternhaufen der '''Hyaden''' und dem offenen Sternhaufen der '''Plejaden'''. Die Schaffung des Himmelsgewölbes wird im Alten Testament in den Versen 14 und 15 zu Beginn des vierten Schöpfungstags beschrieben.<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1,14-15 Genesis 1, Vers 14 bis 15], Einheitsübersetzung, 2016</ref> Es gibt einen deutlichen Hinweis auf die Kalenderfunktion der Lichter am Himmel: <blockquote> 14 Dann sprach Gott: '''Lichter''' sollen am '''Himmelsgewölbe''' sein, um Tag und Nacht zu scheiden. Sie sollen als '''Zeichen für Festzeiten, für Tage und Jahre''' dienen.<br/> 15 Sie sollen Lichter am Himmelsgewölbe sein, um über die Erde hin zu leuchten. Und so geschah es.<br/> </blockquote> Die beiden Sterne '''Aldebaran''' und '''Ain''' stehen für die Augen des Stieres, und es ist interessant darauf hinzuweisen, dass Aldebaran und Ain nicht nur die astronomischen Namen α&nbsp;Tauri (alpha Tauri) und ε&nbsp;Tauri (epsilon Tauri) haben, sondern dass sie auch mit dem ersten Buchstaben '''Aleph''' [[Datei:PhoenicianA-01.svg|30px]] und dem Buchstaben '''Ain''' [[Datei:PhoenicianO-01.svg|30px]] des bereits im zweiten vorchristlichen Jahrtausend verwendeten phönizischen Alphabets in Zusammenhang gebracht werden können.<ref name="ErnstVonBunsen">Ernst von Bunsen: ''Die Plejaden und der Thierkreis oder: Das Geheimnis der Symbole'', Verlag von Mitscher und Röstell, Berlin, 1879</ref> Im später eingeführten hebräischen Alphabet entsprechen diese dem ersten Buchstaben ''Aleph'' und dem Buchstaben ''Ajin'' (zu Deutsch "Auge"). Diese Buchstaben tauchen auch im eng verwandten paläohebräischen Alphabet als ''Aleph'' und ''Ayin'' auf. Ferner ist bemerkenswert, dass die Sonne während eines tropischen Jahres vom Anfang bei Aldebaran (lateinisch: "A" / griechisch: "Alpha") auf der Ekliptik bis zum Ende bei Ain (lateinisch: "O" / griechisch: "Omikron") zieht, genau dort wo sich vor 4500 Jahren der Frühlingspunkt befand. Im Christentum ist das "A und O" (das Alpha und das Omega) in der ''Offenbarung des Johannes'' bezeugt:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Offenbarung22%2C13 Offenbarung des Johannes, Kapitel 22, Vers 13], bibleserver.com, Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> Ich bin das Alpha und das Omega, der Erste und der Letzte, der Anfang und das Ende. </blockquote> Das chinesische Schriftzeichen 牛 für Rind beziehungsweise für Ochse hat die folgende etymologische Entwicklung durchgemacht: <gallery caption"Etymologie des Schinesischen Schriftzeichens 牛 für Rind widths=160 heights=160 mode=packed> 牛-oracle.svg|Orakelknocheninschrift (Shang-Dynastie, 16.&nbsp;Jahrhundert bis 11.&nbsp;Jahrhundert vor Christus) 牛-bronze.svg|Bronzeinschrift (Shang-Dynastie, 18.&nbsp;Jahrhundert bis 11.&nbsp;Jahrhundert vor Christus) 牛-silk.svg|Bambus-, Holz und Seidenschrift (Zeit der Streitenden Reiche, 475 bis 221 vor Christus) 牛-seal.svg|Kleine Siegelschrift (Qin-Dynastie, um 220 vor Christus) 牛-bigseal.svg|Große Siegelschrift (Ming-Dynastie, 1368 bis 1644) 093_-_niu2_-_cow.svg|Modernes Mandarin </gallery> <div style="clear:both"></div> === Dritte Station === '''Schöpfung der Himmelskörper''' :''Die in immerwährender Bewegung am Himmel seienden Sieben.'' :''Wir sind die Wir-sind-da.'' <gallery widths=300 heights=300 caption="Siebengestalt" perrow=1> Siebengestalt.Magura.Korridor.png|'''Sieben''' zum Himmel strebende Gestalten bei der dritten Station der Höhlenmalereien. </gallery> Dieser Figur schließt sich an der dritten Wand des Höhlengangs die Darstellung einer mythisch anmutenden Gruppe mit einer '''Siebengestalt''' an, die für die sieben aus dem Himmelsstier kommenden Wandelgestirne stehen könnten. Sie können als die aus dem Himmelsstier geborenen Himmelsstierkinder aufgefasst werden (vergleiche oben bei der zweiten Station „sibunstirri“ und „septemtriones“), nämlich die '''Sonne''', der '''Mond''' sowie die fünf Planeten '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter''' und '''Saturn''': {| class="wikitable sortable" |+ Die sieben Wandelgestirne |- ! Name !! Wochentag !! Scheinbare Helligkeit || Siderische Umlaufzeit<br/>in Jahren |- | Mond || Montag || -13^m || 0,075 |- | Planet Merkur || Mittwoch || -2^m || 0,21 |- | Planet Venus || Freitag || -5^m || 0,62 |- | Sonne || Sonntag || -27^m || '''1,0''' |- | Planet Mars || Dienstag || -3^m || 1,9 |- | Planet Jupiter || Donnerstag || -3^m || 12 |- | Planet Saturn || Samstag || -0,5^m || 29,5 |} '''→ Siehe hierzu auch:''' * '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Kalenderführung#Die_Siebentagewoche|Wikibook-Abschnitt „Die Siebentagewoche“]]''' * '''[[Quadriviale Kuriositäten‎/ Zahlen#Zur_Sieben|Wikibook „Quadriviale Kuriositäten‎“, Kapitel „Zahlen“, Abschnitt „Zur Sieben“]]''' [[Datei:Die.Plejaden.P1044869.jpg|rechts|mini|hochkant=2|Der offene Sternhaufen der '''Plejaden''' (das Siebengestirn) wie er im Südwesten über dem Horizont ausgerichtet zu sehen ist mit seinen sieben hellsten Sternen Atlas, Pleione, Alkione, Merope, Maia, Electra, und Taygeta (von links nach rechts).]] Vielleicht ist auch das '''Siebengestirn''' (der offene Sternhaufen der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|'''Plejaden''']]), das Bestandteil des Himmelsstiers ist, mit diesen sieben Wesen gemeint. Diese Plejaden wurden in der griechischen Antike mit den gleichnamigen Nymphen gleichgesetzt. Bei den Höhlenmalereien tauchen insgesamt sehr viele solcher luftgeisterartigen Figuren mit zum Himmel erhobenen Armen auf.<ref name="Magura">Kiril Lyubchov Kirilov: [https://magnaaura.wordpress.com/2017/06/29/the-origin-of-civilizations-according-to-the-prehistoric-paintings-of-magura-cave/ The origin of civilizations according to the prehistoric paintings of Magura cave], magnaaura.wordpress.com, 29. Juni 2017</ref> [[Datei:Orion.P1024912.jpg|rechts|mini|hochkant=2|Das Sternbild Orion mit den drei Gürtelsternen Alnitak (ζ&nbsp;Orionis), Alnilam (ε&nbsp;Orionis) und Mintaka (δ&nbsp;Orionis, von links nach rechts) sowie den vier Ecksternen Beteigeuze (α&nbsp;Orionis, links oben), Bellatrix (γ&nbsp;Orionis, rechts oben), Saiph (κ&nbsp;Orionis, links unten) und Rigel (β&nbsp;Orionis, rechts unten). ]] Einige Figuren der Höhlenmalereien ähneln deutlich dem heutigen Sternbild '''Orion''' mit seinen drei Gürtelsternen. Die hellsten sieben Sterne dieses bereits in der Antike genannten Sternbilds sind: {| class="wikitable sortable" cellpadding="2" cellspacing="1" |+ Die sieben Hauptsterne des Sternbilds Orion |- ! title="Astronomische Bezeichnung"|Astronomische<br/>Bezeichnung ! title="Eigenname"|Eigenname ! title="Lage"|Lage ! title="Scheinbare Helligkeit"|Scheinbare<br/>Helligkeit |- | α Orionis | Beteigeuze | links oben | 0,0 bis 1,5^m |- | β Orionis | Rigel | rechts unten | 0,0^m |- | γ Orionis | Bellatrix | rechts oben | 1,5^m |- | ε Orionis | Alnilam | mittlerer Gürtelstern | 1,5^m |- | ζ Orionis | Alnitak | linker Gürtelstern | 1,5^m |- | κ Orionis | Saiph | links unten | 2,0^m |- | δ Orionis | Mintaka | rechter Gürtelstern | 2,5^m |} Nach der Schaffung des Himmelsgewölbes wird im Alten Testament in den Versen 16 bis 19 die Schaffung von '''Sonne''' (Herrscherin des Tages), '''Mond''' (Herrscher der Nacht) und '''Sternen''' erwähnt.<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1,16-19 Genesis 1, Vers 16 bis 19], Einheitsübersetzung, 2016</ref> Die fünf mit bloßem Auge sichtbaren und gegenüber dem Fixsternhimmel ebenfalls wandelnden '''Planeten''' Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn wurden offensichtlich zu den Sternen gezählt: <blockquote> 16 Gott machte '''die beiden großen Lichter''', das große zur Herrschaft über den Tag, das kleine zur Herrschaft über die Nacht, und die '''Sterne'''.<br/> 17 Gott setzte sie an das '''Himmelsgewölbe''', damit sie über die Erde leuchten,<br/> 18 über Tag und Nacht herrschen und das Licht von der Finsternis scheiden. Gott sah, dass es gut war.<br/> 19 Es wurde Abend und es wurde Morgen: vierter Tag.<br/> </blockquote> <div style="clear:both"></div> === Vierte Station === '''Trennung von Himmel und Erde / Schöpfung der Lebewesen''' :''Hier die ewig Himmlischen, dort die vergänglich Irdischen.'' <gallery widths=600 heights=300 caption="Himmel und Erde" perrow=2> Magura_cave_019.jpg|Die erste größere Szene mit himmlischen Gestalten (oben) und irdischen Gestalten (unten) bei der vierten Station der Höhlenmalereien. Magura.4.Station.Himmel.Erde.png|Ausschnitt mit einigen Details. </gallery> Die vierte Station ist horizontal zweigeteilt und greift im oberen Teil („'''Himmel'''“) die figürlichen Darstellungen der sieben himmlischen Gestalten mit erhobenen Händen auf. Der untere Teil zeigt Menschen sowie Landtiere und Vögel („'''Erde'''“), jedoch keine Fische. In der ersten größeren Zusammenstellung von gezeichneten Figuren sind in der oberen Hälfte also mehrere Himmelsgestalten zu erkennen, wohingegen darunter eine irdische Szene mit Menschen und Tieren („'''Lebewesen'''“) zu sehen ist. Die beiden Teile sind auf der Felsoberfläche durch eine lange horizontale Kante getrennt. Mit dieser Darstellung wird das Motiv „Im Anfang erschuf Gott '''Himmel und Erde'''“ vom allerersten Vers der Schöpfungsgeschichte im Alten Testament aufgegriffen. Sie beschreibt am fünften und sechsten Tag das Geschehen auf der Erde danach folgendermaßen:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1,20-25 Genesis 1, Verse 20 bis 25], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 20 Dann sprach Gott: Das Wasser wimmle von Schwärmen lebendiger Wesen und Vögel sollen über der Erde am Himmelsgewölbe fliegen.<br/> 21 Und Gott erschuf die großen Wassertiere und alle Lebewesen, die sich fortbewegen nach ihrer Art, von denen das Wasser wimmelt, und alle gefiederten '''Vögel''' nach ihrer Art. Gott sah, dass es gut war.<br/> 22 Gott segnete sie und sprach: Seid fruchtbar und mehrt euch! Füllt das Wasser im Meer und die Vögel sollen sich auf Erden vermehren.<br/> 23 Es wurde Abend und es wurde Morgen: fünfter Tag.<br/> 24 Dann sprach Gott: Die '''Erde''' bringe '''Lebewesen aller Art''' hervor, von Vieh, von Kriechtieren und von Wildtieren der Erde nach ihrer Art. Und so geschah es.<br/> 25 Gott machte die Wildtiere der Erde nach ihrer Art, das Vieh nach seiner Art und alle Kriechtiere auf dem Erdboden nach ihrer Art. Gott sah, dass es gut war.<br/> </blockquote> In den '''zehn Geboten''' des jüdischen '''Tanach''' wird folgendes geboten:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/2.Mose20%2C4 Exodus 20,4], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 4 Du sollst dir kein Kultbild machen und keine Gestalt von irgendetwas am '''Himmel''' droben, auf der '''Erde''' unten oder im Wasser unter der Erde. </blockquote> In den '''Psalmen''' gibt es zahlreiche Bezüge zu '''Himmel und Erde''', wie zum Beispiel die folgenden: '''Psalm 8''' "Die Herrlichkeit des Schöpfers – die Würde des Menschen":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm8,2 Psalm 8, Vers 2], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 2 HERR, unser Herr, / wie gewaltig ist dein Name auf der ganzen '''Erde''', der du deine Hoheit gebreitet hast über den '''Himmel'''. </blockquote> '''Psalm 50''' "Der rechte Gottesdienst":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm50,1-5 Psalm 50, Verse 1 bis 5], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 1 Ein Psalm Asafs. Gott, ja Gott, der HERR, hat gesprochen, / er rief die '''Erde''' vom Aufgang der Sonne bis zu ihrem Untergang.<br/> 2 Vom Zion her, der Krone der Schönheit, ging Gott auf in strahlendem Glanz.<br/> 3 Unser Gott möge kommen und nicht schweigen; Feuer frisst vor ihm her; um ihn stürmt es gewaltig.<br/> 4 Dem '''Himmel''' droben und der '''Erde''' ruft er zu, um sein Volk zu richten:<br/> 5 Versammelt mir all meine Frommen, die den Bund mit mir schließen beim Opfer!<br/> 6 Da taten die '''Himmel''' seine Gerechtigkeit kund; weil Gott selbst der Richter ist. </blockquote> '''Psalm 57''' "Geborgenheit im Schutze Gottes":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm57,6+12 Psalm 57, Verse 6 und 12], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 6 Erhebe dich über den '''Himmel''', Gott! Deine Herrlichkeit sei über der ganzen '''Erde'''!<br/> 12 Erhebe dich über den '''Himmel''', Gott! Deine Herrlichkeit sei über der ganzen '''Erde'''! </blockquote> '''Psalm 85''' "Bitte um Frieden und Gerechtigkeit":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm85,12 Psalm 85, Vers 12], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 12 Treue sprosst aus der '''Erde''' hervor; Gerechtigkeit blickt vom '''Himmel''' hernieder. </blockquote> '''Psalm 89''' "Verheißung an David und Klage über die Verwerfung seines Hauses":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm89,12 Psalm 89, Vers 12], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 12 Dein ist der '''Himmel''', dein auch die '''Erde'''; den Erdkreis und was ihn erfüllt hast du gegründet. </blockquote> '''Psalm 103''' "Loblied auf den barmherzigen und gerechten Gott":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm103,11+19 Psalm 103, Verse 11 und 19], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 11 Denn so hoch der '''Himmel''' über der '''Erde''' ist, so mächtig ist seine Huld über denen, die ihn fürchten.<br/> 19 Der HERR hat seinen Thron errichtet im '''Himmel''', seine königliche Macht beherrscht das All. </blockquote> '''Psalm 106''' "Sündenbekenntnis Israels angesichts seiner Geschichte":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm106,20 Psalm 106, Vers 20], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 20 Denn herabgeschaut hat der HERR aus heiliger Höhe, vom '''Himmel''' hat er auf die '''Erde''' geblickt. </blockquote> '''Psalm 108''' "Gott, Geborgenheit und Schutz seines Volkes":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm108,6 Psalm 108, Vers 6], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 6 Erhebe dich über den '''Himmel''', Gott! Deine Herrlichkeit sei über der ganzen '''Erde'''! </blockquote> '''Psalm 113''' "Loblied auf Gottes Hoheit und Liebe zu den Geringen":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm113,5-6 Psalm 113, Verse 5 und 6], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 5 Wer ist wie der HERR, unser Gott, der wohnt in der Höhe,<br/> 6 der hinabschaut in die Tiefe, auf '''Himmel und Erde'''? </blockquote> '''Psalm 121''' "Der Hüter Israels":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm121,2 Psalm 121, Vers 2], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 2 Meine Hilfe kommt vom HERRN, der '''Himmel und Erde''' erschaffen hat. </blockquote> '''Psalm 124''' "Israels Dank für die Befreiung":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm124,8 Psalm 124, Vers 8], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 8 Unsere Hilfe ist im Namen des HERRN, der '''Himmel und Erde''' gemacht hat. </blockquote> '''Psalm 134''' "Nächtliches Loblied im Tempel":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm134,3 Psalm 134, Vers 3], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 3 Es segne dich der HERR vom Zion her, er, der '''Himmel und Erde''' erschaffen hat. </blockquote> '''Psalm 146''' "Preislied auf Gott, den Helfer der Armen":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm146,6 Psalm 146, Vers 6], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 6 Er ist es, der '''Himmel und Erde''' erschafft, / das Meer und alles, was in ihm ist. Er hält die Treue auf ewig. </blockquote> '''Psalm 148''' "Lobpreis auf den Herrn, den König des Kosmos":<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Psalm148,13 Psalm 148, Vers 13], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 13 Loben sollen sie den Namen des HERRN,/ denn sein Name allein ist erhaben, seine Hoheit strahlt über '''Erde und Himmel'''. </blockquote> Im Christentum wird die Zweiteilung zwischen '''Himmel und Erde''' im '''Gebet des Herrn''' aus dem sechsten Kapitel des '''Matthäusevangeliums''' thematisiert:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Matth%C3%A4us6%2C9-10 Matthäus 6, Verse 9 uns 10], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 9 So sollt ihr beten: Unser Vater im '''Himmel''', geheiligt werde dein Name,<br/> 10 dein Reich komme, dein Wille geschehe, wie im '''Himmel''', so auf der '''Erde'''. </blockquote> Der '''Apostel Paulus''' greift dieses Bild im 15.&nbsp;Kapitel seines '''ersten Briefes an die Korinther''' auf:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Korinther15%2C47-49 1. Korinther 15,47 bis 49], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 47 Der erste Mensch stammt von der '''Erde''' und ist '''Erde'''; der zweite Mensch stammt vom '''Himmel'''.<br/> 48 Wie der von der '''Erde irdisch''' war, so sind es auch seine Nachfahren. Und wie der vom '''Himmel himmlisch''' ist, so sind es auch seine Nachfahren.<br/> 49 Wie wir nach dem Bild des '''Irdischen''' gestaltet wurden, so werden wir auch nach dem Bild des '''Himmlischen''' gestaltet werden. </blockquote> <div style="clear:both"></div> === Fünfte Station === '''Menschenschöpfung''' :''Die fortwährende Voraussetzung für die Schaffung neuen menschlichen Lebens.'' <gallery widths=300 heights=300 caption="Menschenpaare / Tanz" perrow=3> Paerchen.Magura-Hoehle.png|Mann und Frau an der fünften Stelle der Höhlenmalereien. Les Sylphides 3.jpg|Ein Pas de deux beim klassischen Ballett 1982 mit Francesco Elio Bruno bei der Aufführung von ''Les Sylphides''. Anna_Pavlova_in_Les_Sylphides_1909.jpg|Die Ballett-Tänzerin Anna Pavlova 1909 bei der Aufführung von ''Les Sylphides''. </gallery> Die fünfte Station zeigt zwei Figuren, die wie eine '''Frau''' und ein '''Mann''' aussehen und gleichzeitig Ähnlichkeit mit den himmlischen Wesen von den Stationen drei und vier haben. Die Darstellung erinnert an einen Paartanz mit nach oben gestreckten Armen (in fünfter Position). Die häufig genau auf diese Weise dargestellten Sylphen beziehungsweise Sylphiden sind nach dem in der ersten Hälfte der 15.&nbsp;Jahrhunderts tätigen Naturphilosophen '''Paracelsus''' mythische Luftgeister und gelten als ein Beispiel für die Spiritualisierung von Materie. Die Schöpfungsgeschichte im Alten Testament beschreibt am sechsten Tag die Schaffung des Menschen:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1,26-31 Genesis 1, Verse 26 bis 31], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 26 Dann sprach Gott: Lasst uns '''Menschen''' machen '''als unser Bild, uns ähnlich'''! Sie sollen walten über die Fische des Meeres, über die Vögel des Himmels, über das Vieh, über die ganze Erde und über alle Kriechtiere, die auf der Erde kriechen.<br/> 27 Gott erschuf den Menschen als sein Bild, als Bild Gottes erschuf er ihn. '''Männlich und weiblich''' erschuf er sie.<br/> 28 Gott segnete sie und Gott sprach zu ihnen: Seid fruchtbar und mehrt euch, füllt die Erde und unterwerft sie und waltet über die Fische des Meeres, über die Vögel des Himmels und über alle Tiere, die auf der Erde kriechen!<br/> 29 Dann sprach Gott: Siehe, ich gebe euch alles Gewächs, das Samen bildet auf der ganzen Erde, und alle Bäume, die Früchte tragen mit Samen darin. Euch sollen sie zur Nahrung dienen.<br/> 30 Allen Tieren der Erde, allen Vögeln des Himmels und allem, was auf der Erde kriecht, das Lebensatem in sich hat, gebe ich alles grüne Gewächs zur Nahrung. Und so geschah es.<br/> 31 Gott sah alles an, was er gemacht hatte: Und siehe, es war sehr gut. Es wurde Abend und es wurde Morgen: der sechste Tag.<br/> </blockquote> <div style="clear:both"></div> === Sechste Station === '''Erschaffung des Wassers''' :''Im Wasser ist himmlische Kraft, durch das Wasser ist irdisches Leben.'' <gallery widths=300 heights=300 caption="Wasserwellen" perrow=2> Magura_cave_07.jpg|Zickzacklinien an der sechsten Station der Höhlenmalereien. Magura.6.Station.Wasser.png|Skizze der Höhlenmalerei mit den Zickzacklinien. </gallery> Die horizontal ausgerichteten Zickzacklinien im sechsten Teil erinnern an '''Wasserwellen'''. Die Urflut bestand aus Wasser. Wasser ist eine wesentliche Lebensgrundlage für Pflanzen, Tiere und Menschen. In Schöpfungsmythen wird häufiger erwähnt, dass das ursprüngliche Wasser in das Wasser am Himmel und das Wasser in den Flüssen, Seen und Meeren aufgeteilt wird. Die Zickzacklinien der Höhlenmalereien von Magura tauchen sowohl in den oberen als auch in den unteren Bereichen der Darstellungen auf. Die Schöpfungsgeschichte im Alten Testament beschreibt die Urflut und das Wasser bereits vor der Schaffung des Menschen:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose1,6-13 Genesis 1, Verse 6 bis 13], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 6 Dann sprach Gott: Es werde ein Gewölbe mitten im '''Wasser''' und scheide Wasser von Wasser.<br/> 7 Gott machte das Gewölbe und schied das Wasser unterhalb des Gewölbes vom Wasser oberhalb des Gewölbes. Und so geschah es.<br/> 8 Und Gott nannte das Gewölbe '''Himmel'''. Es wurde Abend und es wurde Morgen: zweiter Tag.<br/> 9 Dann sprach Gott: Es sammle sich das Wasser unterhalb des Himmels an einem Ort und das Trockene werde sichtbar. Und so geschah es.<br/> 10 Und Gott nannte das Trockene Land und die Ansammlung des Wassers nannte er '''Meer'''. Gott sah, dass es gut war.<br/> 11 Dann sprach Gott: Die Erde lasse junges Grün sprießen, Gewächs, das Samen bildet, Fruchtbäume, die nach ihrer Art Früchte tragen mit Samen darin auf der Erde. Und so geschah es.<br/> 12 Die Erde brachte junges Grün hervor, Gewächs, das Samen nach seiner Art bildet, und Bäume, die Früchte tragen mit Samen darin nach ihrer Art. Gott sah, dass es gut war.<br/> 13 Es wurde Abend und es wurde Morgen: dritter Tag. </blockquote> [[Datei:Meereswellen.Atlantik.P1180785.jpg|mini|hochkant=4|links|Meereswellen bei leichtem Wind im Sonnenlicht.]] <div style="clear:both"></div> In diesem Kontext fallen zwei Punkte auf, die eine Abweichung zwischen der Reihenfolge der Höhlenmalereien und der biblischen Schöpfungsgeschichte darstellen: * Dieser Block mit dem zweiten und dritten Schöpfungstag erscheint erst nach dem sechsten Schöpfungstag, ansonsten ist die Reihenfolge identisch. * Von allen Versen des ersten Kapitels der Schöpfungsgeschichte im Alten Testament spiegeln sich nur die Verse 11 bis 13, in denen es um die auf das Licht und das Wasser angewiesenen Pflanzen geht, nicht in den bildlichen Darstellungen der ersten sieben Stationen der Magura-Höhle wider. Große Wassermassen stellen später die Menschen während der '''Sintflut''' auf die Probe, die in einer späteren Station offenbar thematisiert wird. Siehe unten: '''[[Die_Höhlenmalerei_in_der_Magura-Höhle#Sintflut|Sintflut]]'''. === Siebente Station === [[Datei:Sieben.Symbole.Magura-Hoehle.png|mini|rechts|hochkant=2|Sieben Symbole bei der siebenten Station der Höhlenmalereien.]] '''Besinnung auf die Zahl Sieben''' :''Die '''Sieben''' steht für eine mystische Vollkommenheit.'' Die '''siebente''' Station befindet sich etwas verborgen hinter einer Wand und zeigt '''sieben unterscheidbare Symbole''' mit Kreisen, Bögen und Kreuzen. In diesem Zusammenhang sei ebenfalls auf sehr deutliche Ähnlichkeiten dieser Symbole aus der Magura-Höhle zu einigen Buchstaben des ältesten bekannten Alphabets in der 4000&nbsp;Jahre alten protosinaitischen Schrift hingewiesen, aus der das phönizische Alphabet und somit noch später auch das aramäische, das hebräische und das griechische Alphabet hervorgegangenen sind: {| class="wikitable" |+ Protosinaitische Schriftzeichen |- ! Name !! Symbol !! Anmerkung !! Ägyptische Hieroglyphe !! Phönizischer Buchstabe !! Griechischer Buchstabe !! Lateinischer Buchstabe |- | alp || [[Datei:Proto-Canaanite letter alp.svg|50x25px|alp]] || Ochse, Stier, '''erstes Zeichen des Alphabets''' || <hiero>F1</hiero> || [[Datei:PhoenicianA-01.svg|25px]] (alf) || <math>\alpha, \Alpha</math> (alpha) || a, A |- | haw || [[Datei:Proto-Canaanite letter haw.svg|50x25px|haw]] || Fenster, Anbeter, Lobpreisung || <hiero>A28</hiero> || [[Datei:PhoenicianE-01.svg|25px]] (hē) || <math>\epsilon, \Epsilon</math> (epsilon) || e, E |- | waw || [[Datei:Proto-Canaanite letter waw.svg|50x25px|waw]] || Haken || <hiero>G43</hiero> || [[Datei:PhoenicianW-01.svg|25px]] (wau) || <math>\upsilon, \Upsilon</math> (ypsilon) || y, Y |- | en || [[Datei:Proto-Canaanite letter en.svg|50x25px|en]] || Auge, '''letztes Zeichen des Alphabets''' in den alten semitischen Sprachen || <hiero>D4</hiero> || [[Datei:PhoenicianO-01.svg|25px]] (ain) || <math>\omicron, \Omicron</math> (omikron) || o, O |- | taw || [[Datei:Proto-Canaanite letter taw.svg|50x25px|taw]] || Markierung, Siegel, '''letztes Zeichen des Alphabets''' || <hiero>Z9</hiero> || [[Datei:Proto-semiticT-01.svg|25px]] (tau) || <math>\tau, \Tau</math> (tau) || t, T |} Nach der Schöpfungsgeschichte im Alten Testament wurde am '''siebenten''' Tag das Werk der Schöpfung vollendet. Dies ist zu Beginn des zweiten Kapitels nachzulesen:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose2 Genesis 2, Vers 1 bis 3], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 1 So wurden Himmel und Erde und ihr ganzes Heer vollendet.<br/> 2 Am '''siebten''' Tag vollendete Gott das Werk, das er gemacht hatte, und er ruhte am '''siebten''' Tag, nachdem er sein ganzes Werk gemacht hatte.<br/> 3 Und Gott segnete den '''siebten''' Tag und heiligte ihn; denn an ihm ruhte Gott, nachdem er das ganze Werk erschaffen hatte.<br/> </blockquote> [[Datei:Wochentagsheptagramm.png|mini|rechts|Die sieben den gegenüber dem Fixsternhimmel beweglichen Himmelskörper und deren Zuordnungen zu den Wochentagen in der Darstellung eines Heptagramms, das mit dem Mond beginnend entgegen dem Uhrzeigersinn und aufsteigend nach den siderischen Umlaufzeiten angeordnet ist. Die Sonne befindet sich oben.]] Die Zahl '''Sieben''' ist eine besondere Zahl, da sie als einzige Zahl der Zahlen von Zwei bis Zehn teilerfremd mit sämtlichen anderen Zahlen ist. Am siebenten Schöpfungstag ist die Weltordnung hergestellt und die mythische Schöpfung vollendet. Die sieben Tage einer '''Woche''' entsprechen einem '''Mondviertel''', die Schöpfungsgeschichte beginnt im Deutschen, im Lateinischen (Vulgata) und im Hebräischen (Bereschit) mit diesen sieben Worten: :''Im Anfang erschuf Gott Himmel und Erde.'' Es gibt sieben mit bloßem Auge sichtbare ewig entlang der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|'''Ekliptik''']] durch den Fixsternhimmel ziehende '''Wandelgestirne'''. Weitere astronomische Objekte mit Bezug zur Zahl Sieben sind die jeweils sieben hellsten Sterne der Asterismen '''Orion''', '''Großer Wagen''', '''Kleiner Wagen''', '''Kopf des Stieres''' oder '''Siebengestirn''' ([[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|'''Plejaden''']]) beziehungsweise die sieben hellsten Objekte des Fixsternhimmels in der Nähe der Ekliptik. '''→ Siehe hierzu auch:''' * '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Kalenderführung#Die_Siebentagewoche|Wikibook-Abschnitt „Die Siebentagewoche“]]''' * '''[[Quadriviale Kuriositäten‎/ Zahlen#Zur_Sieben|Wikibook „Quadriviale Kuriositäten‎“, Kapitel „Zahlen“, Abschnitt „Zur Sieben“]]''' Die sieben Symbole der Höhlenzeichnung bei der siebenten Station erinnern in ihrer Form sowohl an die sieben himmlischen Gestalten der dritten Station als auch teilweise an noch heute gebräuchliche astronomische Symbole. {| class="wikitable" |+ Astronomische Symbole und Planetenmetalle |- ! Name !! Symbol !! Planetenmetall || Wochentag |- | Mond || [[Datei:Moon crescent symbol (tips upward).svg|50x25px|Altlicht im Herbst]] [[Datei:Disc Plain black.svg|40x20px|Neumond]] [[Datei:Moon crescent symbol.svg|50x25px|Zunehmende Mondsichel]] [[Datei:Cercle noir 100%.svg|40x20px|Vollmond]] [[Datei:Moon decrescent symbol.svg|50x25px|Abnehmende Mondsichel]] || Silber || Montag |- | Planet Merkur || [[Datei:Mercury symbol.svg|50x25px|Merkur]] || Quecksilber || Mittwoch |- | Planet Venus || [[Datei:Venus symbol.svg|50x25px|Venus]] || Kupfer || Freitag |- | Sonne || [[Datei:Sun symbol.svg|50x25px|Sonne]] || Gold || Sonntag |- | Planet Mars || [[Datei:Mars symbol.svg|50x25px|Mars]] || Eisen || Dienstag |- | Planet Jupiter || [[Datei:Jupiter symbol.svg|50x25px|Jupiter]] || Zinn || Donnerstag |- | Planet Saturn || [[Datei:Saturn symbol.svg|50x25px|Saturn]] || Blei || Samstag |} {| class="wikitable" |+ Astronomische Symbole von Sternbildern |- ! Name !! Symbol !! Anmerkung |- | Sternbild Wassermann (Aquarius) || [[Datei:Aquarius.svg|50x25px|Wassermann]] || Dunkle, sternenarme Region im Trichter der Thuraya |- | Sternbild Fische (Pisces) || [[Datei:Pisces.svg|50x25px|Fische]] || Heutiger Frühlingspunkt, dunkle, sternenarme Region im Trichter der Thuraya |- | Sternbild Widder (Aries) || [[Datei:Aries.svg|50x25px|Widder]] || Frühlingspunkt vor 2000 Jahren, beduinisches Sternbild ''Lamm'' mit Schwanz in den Plejaden, Bestandteil des Himmelsstieres |- | Sternbild Stier (Taurus) || [[Datei:Taurus.svg|50x25px|Stier]] || Frühlingspunkt vor 4500 Jahren, mit Hörnern und Kopf des Himmelsstieres sowie inklusive der Plejaden, Goldenes Tor der Ekliptik |} Im Himmelssegment dieser vier Lebewesenkreiszeichen (siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|'''Trichter der Thuraya''']]) gibt es gemessen vom Stern Deneb Algedi (δ Capricorni) im Sternbild Steinbock (Capricornus), dem „Schwanz des Ziegenböckchens“, keine ekliptiknahen Sterne mit einer Größenklasse 3,5^m oder heller. Erst im [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenen Tor der Ekliptik''']] im Sternbild Stier (Taurus) übertreffen die Plejaden, die Hyaden sowie Aldebaran diese Helligkeit, und zwar erheblich. Dies bedeutet, dass alle in diesem Quadranten in der Nähe der Ekliptik liegenden Fixsterne in der Helligkeit von mehreren hundert anderen Sternen des Nachthimmels sowie sehr deutlich von den sieben Wandelgestirnen übertroffen werden. Nachdem der Mond das Sternbild Steinbock (Capricornus) verlassen hat, zieht er Monat für Monat sieben Tage lang durch die drei entlang seines Pfades an der Ekliptiklinie dunklen und unauffälligen Sternbilder Wassermann (Aquarius), Fische (Pisces) und Widder (Aries), bevor er ins Licht des Goldenen Tors der Ekliptik im Sternbild Stier (Taurus) tritt. <div style="clear:both"></div> == Sintflut == Die bei der sechsten Station sichtbaren Zickzacklinien werden im weiteren Verlauf der Höhlenmalereien mehrfach aufgegriffen, wo sie eventuell im Zusammenhang mit der Darstellung der '''Sintflut''' stehen könnten. Unmittelbar vor den kalenderartigen Darstellungen (→&nbsp;siehe hierzu auch unten: [[Die_Höhlenmalerei_in_der_Magura-Höhle#Kalender|„Kalender“]]), die im Zusammenhang mit einer Neuordnung der Welt gesehen werden können, gibt es im oberen Bereich der Zeichnung beispielsweise eine kräftige horizontal ausgerichtete Zickzacklinie, die alle Bäume, Felder und Wesen sintflutartig zu überspülen scheint. Unterhalb dieser Flutwelle ist auch eine quadratisch angeordnete Matrix mit '''vierzig Punkten''' dargestellt – die Sintflut soll nach der schriftlichen Überlieferung im Alten Testament '''vierzig Tage''' lang gedauert haben. [[Datei:Sintflut.Magura.png|mini|hochkant=4|zentriert|Darstellung mit verschiedenen Elementen einer Sintflut: Wellen, Bäume, Felder und eine Matrix mit '''vierzig Punkten'''. Oben in der Bildmitte ein himmlisches Wesen, das die Katastrophe verursacht.]] Im sechsten Kapitel der Genesis wird wegen des verdorbenen und gewalttätigen Verhaltens der Menschen eine gravierende Maßnahme angekündigt:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose6%2C11-13 Genesis 6, Verse 11 bis 13], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 11 Die Erde aber war vor Gott verdorben, die Erde war voller Gewalttat.<br/> 12 Gott sah sich die Erde an und siehe, sie war verdorben; denn alle Wesen aus Fleisch auf der Erde lebten verdorben.<br/> 13 Da sprach Gott zu Noach: Ich sehe, das Ende aller Wesen aus Fleisch ist gekommen; denn durch sie ist die Erde voller Gewalttat. Siehe, ich will sie zugleich mit der Erde verderben. </blockquote> Im siebenten Kapitel wird dann erzählt, wie die hierfür verursachte Sintflut vonstattenging:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose7,4-12 Genesis 7, Verse 4 bis 12], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 4 Denn noch '''sieben Tage''' dauert es, dann lasse ich es '''vierzig Tage und vierzig Nächte''' lang auf die Erde regnen und tilge vom Erdboden alle Wesen, die ich gemacht habe.<br/> ...<br/> 10 Als die '''sieben Tage''' vorbei waren, kam das Wasser der Flut über die Erde.<br/> 11 Im sechshundertsten Lebensjahr Noachs, am siebzehnten Tag des zweiten Monats, an diesem Tag brachen alle Quellen der gewaltigen '''Urflut''' auf und die Schleusen des Himmels öffneten sich.<br/> 12 Der Regen ergoss sich '''vierzig Tage und vierzig Nächte''' lang auf die Erde. </blockquote> Der offene Sternhaufen der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|'''Plejaden''']] hatte auf Grund seines ungewöhnlichen und beeindruckenden Anblicks in vielen Kulturen eine besondere Bedeutung. Er wurde auch als '''Kalendergestirn''' verwendet, nach dessen Auf- und Untergängen landwirtschaftliche und seefahrerische Tätigkeiten ausgerichtet wurden, wie es zum Beispiel schon bei den griechischen Dichtern {{w|Hesiod}} um 700 vor Christus<ref>Hesiodos: [https://www.gottwein.de/Grie/hes/ergde.php Werke und Tage (ΕΡΓΑ ΚΑΙ ΗΜΕΡΑΙ)], Egon und Gisela Gottwein, 13. Juni 2019</ref><ref>Hesiod: [https://www.projekt-gutenberg.org/hesiod/hauslehr/hausleh2.html Hauslehren II. (’Έργα καὶ ‛ημέραι)], Projekt Gutenberg.de, übersetzt von Johann Heinrich Voß</ref> oder {{w|Aratos von Soloi}} (*&nbsp;zirka 310 vor Christus; †&nbsp;245 vor Christus) belegt ist. Hesiod erwähnt in seinem Text auch, dass die Plejaden im Frühjahr regelmäßig '''vierzig Tage und Nächte''' lang nicht zu sehen sind, da sie dann vom Licht der vorbeiziehenden Sonne überstrahlt werden. Auch der Begriff '''Quarantäne''' (vom Französischen „quarantaine (de jours)“ = „vierzig Tage“) soll auf diese Weise mit den Plejaden beziehungsweise mit der Dauer der Sintflut zusammenhängen. Am Ende des achten Kapitels der Genesis folgen beim Bericht vom Ende der Sintflut mehrere Hinweise darauf, welche zentrale und elementare Rolle ein '''Kalender''' für die überlebenden Menschen fortan haben wird:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose8%2C22 Genesis 8, Vers 22], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> Niemals, so lange die Erde besteht, werden Aussaat und Ernte, Kälte und Hitze, Sommer und Winter, Tag und Nacht aufhören. </blockquote> <div style="clear:both"></div> == Kalender == === Sonnenkalender === Im hinteren Teil der Höhle gibt es eine komplexe Darstellung mit diversen Attributen, in denen Bezüge zu einem Sonnenkalender festgestellt werden konnten.<ref name="solar">Kiril Lyubchov Kirilov: [https://magnaaura.wordpress.com/2016/10/17/the-solar-lunar-earth-calendar-of-magura-cave-a-very-sophisticated-calendar-created-some-14-000-years-ago-part-1/ The Solar-Lunar-Earth calendar of Magura cave. A very sophisticated calendar created some 14000 years ago. Part 1], magnaaura.wordpress.com, 17. Oktober 2016</ref> [[Datei:Magura_cave_023.jpg|center|mini|hochkant=4|Neolithische Malereien in der Höhle von Magura - im rechten Drittel befindet sich der Sonnenkalender.]] Links oben befindet sich ein sonnähnliches Symbol. Halb links ober befindet sich eine Matrix mit neunzehn Punkten. Der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der Meton-Zyklus|Meton-Zyklus]] hat eine Dauer von neunzehn Sonnenjahren. Im rechten Bereich befindet sich eine weitere Matrix mit 27&nbsp;Punkten. Der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Siderischer_Monat|siderische Mondzyklus]] dauert etwas mehr als 27&nbsp;Tage. [[Datei:Magura_cave_calendar_1528.jpg|mini|center|hochkant=3|Detail mit Elementen eines Sonnenkalenders.<ref name="solar" />]] <div style="clear:both"></div> === Mondkalender === Aber auch bezüglich einer lunaren Kalenderführung gibt es mehrere Hinweise.<ref name="solar" /> Im Folgenden werden noch einige weitere Befunde dargestellt: [[Datei:Magura.Altlicht.Vollmond.png|center|mini|hochkant=4|Erste Hälfte des synodischen Monats in einer Darstellung der Höhlenmalerei von Magura. Rechts ist die schmale, liegende Mondsichel des Altlichts beim Morgenletzt zu sehen. Ein bis zwei Tage später ist Neumond, danach nimmt der Mond wieder zu, und nach insgesamt sechzehn Tagen wird der Vollmond erreicht (links).]][[Datei:Full_moon_on_the_view_from_sea.jpg|mini|links|hochkant=2|Dicht über dem Horizont befindlicher Vollmond mit den Spiegelungen des Glitzerpfads auf einer großen Wasserfläche.]] [[Datei:Altlicht.3.Nov.2021.P1116620.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Über dem südöstlichen Horizont beim Morgenletzt gerade noch sichtbares Altlicht des abnehmenden Mondes 53 Stunden vor Neumond mit der vom Erdschein beleuchteten Nachtseite des Mondes zum Herbstbeginn.]] Insbesondere gibt es eine Darstellung des Altlichts beim Morgenletzt des Mondes mit einer liegenden Mondsichel, an das sich nach links fünfzehn strichförmige Markierungen und eine '''sechzehnte''' kreisförmige Figur mit einer Ausbuchtung nach unten anschließen, die den Vollmond mit darunterliegendem Glitzerpfad symbolisieren könnte. Vom Altlicht des Mondes über Neumond und zunehmenden Mond bis zum Vollmond sind es '''sechzehn''' Tage. <div style="clear:both"></div> Auf der bronzezeitlichen '''Himmelsscheibe von Nebra''' sind drei verschiedene Darstellungen einer kreisförmigen Grundstruktur vorhanden, die nach dem österreichischen Ur- und Frühgeschichtler Paul Gleirscher<ref>Paul Gleirscher: [https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4142096 Zum Bildprogramm der Himmelsscheibe von Nebra: Schiff oder Sichel?], Germania: Anzeiger der Römisch-Germanischen Kommission des Deutschen Archäologischen Instituts, Band 85, Nummer 1, ISSN 0016-8874, Seiten 23-33, 2007</ref> mit den drei Mondphasen des '''Altlichts''', des '''ersten Viertels''' und des '''Vollmonds''' in Zusammenhang gebracht werden können, so wie sie auch in der Sequenz der Höhlenmalerei von Magura dargestellt sein könnten: <gallery caption="Verschiedene möglicherweise auf der Himmelsscheibe von Nebra dargestellte Mondphasen" perrow=2 widths=300 heights=300> Vollmond.P1080516.jpg|Um Mitternacht fast im Zenit stehender Dezember-Vollmond. Zunehmende.Mondsichel.png|Zunehmender Mond drei Tage nach Neumond beim akronychischen Untergang am westlichen Himmel drei Wochen vor der Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst von Berlin aus gesehen. Altlicht.16.9.2020.P1079087.jpg|Altlicht des abnehmenden Mondes (Morgenletzt) beim heliakischen Aufgang am östlichen Himmel der nördlichen Hemisphäre in der Morgendämmerung kurz vor der Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst von Berlin aus gesehen. Nebra_Scheibe_Modell.jpg|Vollständig rekonstruiertes Modell der bronzenen und mit Gold tauschierten Himmelsscheibe von Nebra. </gallery> Auch im altägyptischen Mondkalender, der bereits im Neolithikum in Verwendung war, begann der Monat nicht mit dem unsichtbaren Neumond, sondern bereits mit dem gerade noch sichtbaren Altlicht des Morgenletztes des Mondes.<ref>Joachim Friedrich Quack: [https://core.ac.uk/download/pdf/35120251.pdf Zwischen Sonne und Mond - Zeitrechnung im Alten Ägypten], Seite 38, in: Harry Falk (Herausgeber), ''Vom Herrscher zur Dynastie. Zum Wesen kontinuierlicher Zeitrechnung in Antike und Gegenwart'', Bremen 2002</ref> <div style="clear:both"></div> Im weiter hinten liegenden Abschnitt der Magura-Höhle mit der Darstellung des Sonnenkalenders sind Felder mit 27 oder 28 Punkten zu sehen, die darauf hindeuten, dass die Menschen bereits damals die Länge des '''siderischen Monats''' gezählt und gekannt haben. Nach dieser Zeit steht der Mond erneut im selben Mondhaus (arabisch: „manazil al-qamar“), beziehungsweise bei der gleichen ekliptikalen Länge oder beim selben Stern des Fixsternhimmels. Ferner tauchen bei den Höhlenmalereien Felder mit 19 und mit 25 Punkten auf.<ref>Alexey Stoev, Penka Maglova: [[doi:10.1007/978-1-4614-6141-8_137|Astronomy in the Bulgarian Neolithic]], in: Clive L. N. Ruggles (Herausgeber): ''Handbook of Archaeoastronomy and Ethnoastronomy'', Springer, New York, 7. Juli 2014, ISBN 978-1-4614-6141-8</ref>. Diese könnten wie beim '''Kalenderstein von Mnajdra''' auf den '''Meton-Zyklus''' sowie die Anzahl der Siebentagewochen innerhalb synodischer Perioden beziehungsweise die vollendeten Mondviertel zwischen den Tag-und-Nacht-Gleichen beziehungsweise zwischen den Sonnenwenden hindeuten. <gallery caption="Vorgeschichtliche Mondkalender" mode="packed" widths=360 heights=360> Magura cave 008.jpg|Sonnenkalender unter den Höhlenmalereien in der Magura-Höhle. Magura-Hoehle.Kalender.27.png|Dreifache Punktreihe mit insgesamt '''siebenundzwanzig''' Punkten unter dem Sonnensymbol bei den Elementen des Sonnenkalenders der Höhlenmalereien in der Magura-Höhle. Kalenderstein.Mnajdra.labelled.png|Skizze der Lochreihen auf dem Kalenderstein von Mnajdra. Die Reihe A hat 19 Löcher, und die Reihen D und F haben jeweils 25 Löcher. </gallery> →&nbsp;Siehe hierzu auch: * '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Kapitel „Mondzyklen“, Abschnitt „Der Kalenderstein vom Tempel Mnajdra“]]'''. * '''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Mondhäuser|Kapitel „Konjunktionen“, Abschnitt „Mondhäuser“]]'''. <div style="clear:both"></div> == Schlusswort == Wenn unseren Urahnen die gleiche Kreativität wie uns heute unterstellt werden darf, ist es nicht überraschend, dass auf Basis des damaligen zunächst ausschließlich mündlich tradierten Wissens '''Mond- und Sonnenkalender''' sowie '''Schöpfungsmythen''' entstanden sind. Die künstlerisch begabten Zeitgenossen konnten mit den damals verfügbaren Werkzeugen entsprechende bildliche Darstellungen erzeugen und hinterlassen. Durch die Dokumentation von astronomischen Beobachtungen und Ereignissen beispielsweise in Form von Strichlisten, Tabellen, Listen oder auch Zeichnungen konnte im Laufe der Jahrtausende immer mehr Wissen gesammelt werden, das mit Hilfe menschlicher Kognition ausgewertet und für die Vorhersage zukünftiger Ereignisse verwendet werden konnte. Es ist sicherlich sehr schwierig, diese frühen Dokumente heute zu interpretieren, und noch schwieriger nachgewiesene Korrelationen zu beweisen, aber dennoch ist nicht von der Hand zu weisen, dass es auffällige und bemerkenswerte Parallelen in verschiedenen Traditionen und Darstellungsformen gibt. Es wäre wünschenswert, wenn in der prähistorischen und archäologischen Forschung in stärkerem Maße auch das zweifellos vorhandene und nicht triviale astronomische Wissen der damals Agierenden berücksichtigt werden könnte. Hierzu ist ein gründliches Verständnis der astronomischen Sachverhalte und Zusammenhänge erforderlich, welches eine entsprechende Bildung zur Voraussetzung hat. →&nbsp;Siehe hierzu auch: '''[[Quadriviale_Kuriositäten#Astronomie|Wikibook „Quadriviale Kuriositäten“, Abschnitt „Astronomie“]]'''. == Einzelnachweise == <references></references> [[Kategorie:Studium]] [[Kategorie:Astronomische Kuriositäten]] 97885wyabllzahw944um5zy0nfmn9ng 0 116356 1090150 997718 2026-08-29T07:58:44Z Mathmensch 52726 1090150 wikitext text/x-wiki {{Satz|Potenz des Radikals ist bei Noetherschen Arithmoniden im Ideal|Es sei <math>R</math> ein Noethersches Arithmonid, und es sei <math>I \subset R</math> ein Ideal. Dann gibt es ein <math>n \in \mathbb N</math>, sodass <math>r(I)^n \subseteq I</math> gilt.}} {{Beweis|}} {{Satz|Schnittidealsatz von Krull|Es sei <math>R</math> ein Noethersches, lokales Arithmonid, und es sei <math>m \le R</math> das maximale Ideal. Dann gilt: :<math>\bigcap_{n \in \N} m^n = \{0\}</math>.}} {{Beweis|Es sei <math>a \in R \setminus \{0\}</math> beliebig. Wir wissen, dass <math>m^n \subseteq (a)</math> für ein hinreichend großes <math>n</math> (sagen wir, für alle <math>n \ge N</math>). Falls aber <math>m^n = (a)</math> für alle <math>n \ge N</math> gilt, so ist <math>m(a) = (a)</math> und daher <math>(a) = \{0\}</math> wegen des Satzes von Nakayama, ein Widerspruch. Also gilt :<math>a \notin \bigcap_{n \in \N} m^n</math>. Da <math>a \in R \setminus \{0\}</math> beliebig war, folgt die Behauptung.}} pczruf3rqggrm2fs6y48d35llyle5lb 1090157 1090150 2026-08-29T09:16:01Z Mathmensch 52726 1090157 wikitext text/x-wiki {{Satz|Potenz des Radikals ist bei Noetherschen Arithmoniden im Ideal|Es sei <math>R</math> ein Noethersches Arithmonid, und es sei <math>I \subset R</math> ein Ideal. Dann gibt es ein <math>n \in \mathbb N</math>, sodass <math>r(I)^n \subseteq I</math> gilt.}} {{Beweis|}} {{Satz|Schnittidealsatz von Krull|Es sei <math>R</math> ein Noethersches, lokales Arithmonid, und es sei <math>m \le R</math> das maximale Ideal. Dann gilt: :<math>\bigcap_{n \in \N} m^n = \{0\}</math>.}} 92nwgsh7fmtoezfmweq8xt2ufywm26t 1090158 1090157 2026-08-29T09:21:42Z Mathmensch 52726 1090158 wikitext text/x-wiki {{Satz|Potenz des Radikals ist bei Noetherschen Arithmoniden im Ideal|Es sei <math>R</math> ein Noethersches Arithmonid, und es sei <math>I \subset R</math> ein Ideal. Dann gibt es ein <math>n \in \mathbb N</math>, sodass <math>r(I)^n \subseteq I</math> gilt.}} {{Beweis|}} {{Satz|Schnittidealsatz von Krull|Es sei <math>R</math> ein Noethersches, lokales Arithmonid, und es sei <math>m \le R</math> das maximale Ideal. Dann gilt: :<math>\bigcap_{n \in \N} m^n = \{0\}</math>.}} == Aufgaben == # Es sei <math>R</math> ein Noethersches Arithmonid und <math>a \in R \setminus \{0\}</math>. Beweisen Sie, dass <math>a \notin \bigcap_{n \in \N} \sqrt{(a)}^n</math>. Hinweis: Als Widerspruch Satz von Nakayama, angewandt auf <math>(a)</math>. t5ixs69l35gk8zp18uurw3onjrbz32y 0 117190 1090155 1089885 2026-08-29T09:01:07Z Mathmensch 52726 1090155 wikitext text/x-wiki {{Satz|Supremumsdarstellung nichtlimessenkender, konvexer Zuordnungen|Es sei <math>\varphi: V \to [-\infty, \infty]</math> konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt :<math>\varphi = \sup_{g \le \varphi \atop g \text{ linear}} g</math>.}} {{Beweis|Die Epimenge einer nichtlimessenkenden Zuordnung ist stets vollberandet. Daher kann auf diese Epimenge als Teilmenge des Linearitätsraumes <math>V \times \mathbb R</math> der Halbraumschnittmengensatz angewendet werden. Da eine Epimenge durch Hinzunahme oder Wegnahme von vertikal verlaufenden Halbräumen, welche sie enthalten, nicht verändert wird, folgt die Behauptung.}} {{Satz|Die Bilegendre-Transformation ordnet konvexe, nichtlimessenkende Zuordnungen sich selbst zu|Es sei <math>\varphi: V \to [-\infty, \infty]</math> konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt <math>\varphi^{**} = \varphi</math>.}} Ein analoger Satz gilt für die Fenchel-Transformation und ein konkaves, nichtlimessteigerndes <math>\varphi</math>. {{Beweis|Zunächst gilt :<math>\begin{align} \varphi^{**}(v) & = \sup_{v^* \in V^*} \langle v^*, v \rangle - \varphi^*(v^*) \\ & = \sup_{v^* \in V^*} \left( \langle v^*, v \rangle + \inf_{w \in V} (\varphi(w) - \langle v^*, w \rangle) \right) \le \varphi(v). \end{align}</math> Für die andere Richtung wählen wir im Supremum nach vorhergehendem Satz ein <math>g = v^* + c</math> mit <math>g(v) = v^*(v) + c \ge \varphi(v) - \epsilon</math> für ein beliebiges <math>\epsilon > 0</math> (im Falle <math>\varphi(v) = -\infty</math> ist ja nichts zu zeigen).}} bxnpsc4n06n1nhq8rj1zw0pdj0dxn9x 1090156 1090155 2026-08-29T09:04:33Z Mathmensch 52726 1090156 wikitext text/x-wiki {{Satz|Supremumsdarstellung nichtlimessenkender, konvexer Zuordnungen|Es sei <math>\varphi: V \to [-\infty, \infty]</math> konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt :<math>\varphi = \sup_{g \le \varphi \atop g \text{ linear}} g</math>.}} {{Beweis|Die Epimenge einer nichtlimessenkenden Zuordnung ist stets vollberandet. Daher kann auf diese Epimenge als Teilmenge des Linearitätsraumes <math>V \times \mathbb R</math> der Halbraumschnittmengensatz angewendet werden. Da eine Epimenge durch Hinzunahme oder Wegnahme von vertikal verlaufenden Halbräumen, welche sie enthalten, nicht verändert wird, folgt die Behauptung.}} {{Satz|Die Bilegendre-Transformation ordnet konvexe, nichtlimessenkende Zuordnungen sich selbst zu|Es sei <math>\varphi: V \to [-\infty, \infty]</math> konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt <math>\varphi^{**} = \varphi</math>.}} Ein analoger Satz gilt für die Fenchel-Transformation und ein konkaves, nichtlimessteigerndes <math>\varphi</math>. {{Beweis|Zunächst gilt :<math>\begin{align} \varphi^{**}(v) & = \sup_{v^* \in V^*} \langle v^*, v \rangle - \varphi^*(v^*) \\ & = \sup_{v^* \in V^*} \left( \langle v^*, v \rangle + \inf_{w \in V} (\varphi(w) - \langle v^*, w \rangle) \right) \le \varphi(v). \end{align}</math> Für die andere Richtung wählen wir im Supremum nach vorhergehendem Satz ein <math>g = v^* + c</math> mit <math>g \le \varphi</math> und <math>g(v) = v^*(v) + c \ge \varphi(v) - \epsilon</math> für ein beliebiges <math>\epsilon > 0</math> (im Falle <math>\varphi(v) = -\infty</math> ist ja nichts zu zeigen).}} 9gqf2z1f9tmmne751qm8gzm1t76nhpi 0 117654 1090148 1058524 2026-08-29T07:13:56Z Intruder 1513 /* Zusammenfassung des Projekts */ typo 1090148 wikitext text/x-wiki <!-- {{Regal|Programmierung}} --> {{Infoleiste|Programmierung|Studium|L}} {{Im Buchkatalog}} {{Druckversion}} {{Hinweis PDF|CPlusPlus.pdf|subst:PAGENAME}} == Zusammenfassung des Projekts == {{Vorlage:StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe:''' Studenten der Informatik/Elektrotechnik. Programmierer, die Sachverhalte nachschlagen wollen. <!-- Für welche Leute soll das Buch geschrieben werden? z.B. "Bergsteiger" oder "EDV-Dozenten". --> * '''Lernziele:''' Tiefergehendes Verständnis der Programmiersprache C <!-- Was sollen die Leute aus der Zielgruppe nach dem Lesen des Buches gelernt haben? --> * '''Buchpatenschaft/Ansprechperson:''' [[Benutzer:D. Justen|D. Justen]] <!-- Sollten Anmerkungen und/oder Fragen zum Inhalt oder auch organisatorischer Art zum Buch bestehen, so kann es nützlich sein, einen Hauptautoren / eine Ansprechperson / Kümmerling / Buchpaten zu benennen. Auch kann hier der Kontakt genutzt werden, um nicht gleich bei einer Löschdiskussion - sondern eben weit davor - über den Inhalt zu diskutieren. Da wir Wiki-User an den Lehrbüchern in unserer Freizeit freiwillig arbeiten, kann es mitunter vorkommen, dass ein einzelner Autor eine Zeit lang nicht sofort auf eine Anfrage antwortet. --> * '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Derzeit keine Co-Autoren erwünscht. Fehler/Wünsche/Bessere Erklärung/Änderungen bitte nur auf die Diskussionsseite schreiben, ich füge sie an geeigneter Stelle ein! <!-- Manche Autoren wünschen jede Menge Beteiligung, andere möchten in der Anfangsphase FÜR EINEN BEGRENZTEN ZEITRAUM ungestört schreiben. Stelle bitte zweifelsfrei klar, was DU möchtest, und passe deine gegenwärtige Festlegung an den Buchfortschritt an! Die meisten Wikibookianer werden sich rücksichtsvoll daran halten. Im folgenden drei Formulierungsvorschläge: --> <!-- Schreibt, was ihr wollt, ich freu mich darüber! Kaputtmachen könnt ihr nichts! --> <!-- Inhaltliche Änderungen bitte nur auf die Diskussionsseite schreiben, ich füge sie an geeigneter Stelle ein! --> <!-- Wenn ich erst mal die detaillierte Gliederung fertig habe, könnt ihr euch gern beteiligen! --> <!-- Du kannst auch die Vorlagen {{Bitte Mitarbeit mit Hauptautor vorab abstimmen}} oder {{Hauptautor wünscht Mitarbeit}} verwenden. --> <!-- * '''Richtlinien für Co-Autoren:''' --> <!-- Ein Liste aller Übereinkünfte, an die sich Buchschreiber halten sollten. Etwa Siezen/Duzen, Rechtschreibung, Absprachen, Platzierung der Links etc. --> * '''Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:''' Diese Buch dient als Skript für die Vorlesung 'Programmieren in C'. <!-- Gibt es andere Wikibooks, die sich mit dem gleichen oder einem ähnlichen Thema beschäftigen, und was soll an diesem Buch anders sein? Was soll alles in das Buch rein, was nicht? --> <!-- * '''Themenbeschreibung:''' --> <!-- Kurze Beschreibung der Themen, die behandelt werden sollen, sofern nicht aus dem Inhaltsverzeichnis klar ersichtlich --> <!-- * '''Aufbau des Buches:''' --- --> <!-- Schreibe eine möglichst ausführliche Gliederung, damit potentielle Leser dein Buch auf ihre Beobachtungsliste setzen und Co-Autoren einen Platz für ihren Beitrag planen können. Bedenke: --> * '''Programmierbeispiele:''' Programmieren lernt man am besten durch Programmieren. Um dieses zu ermöglichen sind bei allen Codebeispielen Links zum [https://www.godbolt.org/ Compiler Explorer] vorhanden (mehr dazu im Vorwort) * '''Sonstiges:''' Der Titel dieses Buches lautet 'Programmieren in C/C++. Derzeit liegt jedoch das Augenmerk auf C. C++ Features werden vorrangig dann erwähnt, wenn der C++ Syntax vom C Syntax abweicht. Im späteren sollen noch C++ spezifische Kapitel folgen! * '''Sonstiges:''' Weitere Infos siehe [[Programmieren in C/C++: Vorwort|Vorwort ]] <!-- Hier können noch weitere Anmerkungen zum Buch angebracht werden. Z.B. Lizenzangaben, falls das Buch bereits woanders publiziert wurde. --> <!-- Falls du ein automatisch erstelltes Inhaltsverzeichnis nicht willst, ersetze das nachfolgende TOC durch NOTOC --> <!-- Einklammerung mit noinclude, damit dieses nicht in der Druckversion erscheint --> <noinclude>__NOTOC__</noinclude> <!-- Neue Kapitel [[Programmieren in C/C++: Ausnahmebehandlung]] [[Programmieren in C/C++: Klassen]] noch nicht angelegt [[Programmieren in C/C++: Templates]] noch nicht angelegt --> == [[Programmieren in C/C++: Vorwort|Vorwort]] == == [[Programmieren in C/C++: Einführung/Literatur|Einführung/Literatur]] == == [[Programmieren in C/C++: Toolchain/Entwicklungsumgebung|Toolchain/Entwicklungsumgebung]]== == [[Programmieren in C/C++: Grundlagen|Grundlagen]] == == [[Programmieren in C/C++: Datentypen|Datentypen]] == == [[Programmieren in C/C++: DatentypeSpecifier|Datatype-/Storage Class Specifier]] == == [[Programmieren in C/C++: Zeiger|Zeiger]] == == [[Programmieren in C/C++: Array|Array]] == == [[Programmieren in C/C++: Präprozessor|Präprozessor]]== == [[Programmieren in C/C++: BestPractice|Best Practice]]== <br /> <!--{{Buchkandidat|20230714}}--> [[Kategorie:Buch]] 1emytnkv1ycgh18i3mipu396izwu71u 0 117878 1090146 1090110 2026-08-29T05:38:35Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Zusatz 1090146 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und damit auch das Theorem ANSELMS)</span>, nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit mathematisch-logischer Evidenz —, widerspruchfrei und wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen seine Axiome und Definitionen, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare Bestimmungen des Denkens und des Seins, die allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#FF6000">„wesentlich analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die Koinzidenz, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die Koinzidenz von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang aus Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit ist dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘.]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, bestimmt. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das Theorem des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">„Notwendige Existenz“</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-mit-uns''«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ eine <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es ihn gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist dieser GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, das <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span> für uns immer schon ‚da’ ist und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Wiederspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört zu den ,Transzendentalia’ in GOTT. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{ „aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{ die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{ Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{ „X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{ „X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{ Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{ hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{ Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{ „Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}} \text{ ::} & \text{ All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann } & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}} \text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder } & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}} \text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für ( ↔ )}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}} \text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧ )} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist, } & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist, } & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im } & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion } & \text{F folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang . <span style="color:#00B000"> (Im ersten Beweisgang gibt es keine Definition.)</span> Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A → B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne im Kalkül zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird dann <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(im Sinne von ,Transzendentalia‘)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(das sind die ,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘ allgemein jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, im ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Dialog über die Vorsehung‘</big></span>'', dem Hauptwerk der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''ICH BIN der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>, ''du bist, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist er Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> steht formal-syndaktisch, allgemein für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \; \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A → B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A → B,¬B├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \; \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \; \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \; \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A, B├ A ∧ B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein, GOTT-Sein, ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es auch in GOTT so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ ableiten, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:= G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Die GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik nach GÖDEL. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale Notwendigkeit auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem der Vergessenheit entrissen. Das Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Cues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W)↔(A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist ganz sicher falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A→B, A ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT aufgewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT ,unvergleichlich‘ ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">(aus mir selbst)</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen Existenz jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat er, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist Faktum, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unlogisch ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute noch <span style="color:#FF6000">»''weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">„theologische Weltbild“</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch formallogisch abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, muss er als logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als Theologe in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational und vertrauenswürdig. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche. ---- ---- ;Fußnoten <references /> axntlhzhxb0kbl0qmeo4uky4i17kkqn 1 121966 1090147 1089520 2026-08-29T05:56:36Z Santiago 19191 /* Farbgebung */ 1090147 wikitext text/x-wiki == Zirkelbeweis? == [[Spezial:Permalink/1077179|Das]], also schon die [[Wiktionary:de:Grundannahme|Grundannahme]], daß es (DEN einen) [[w:Gott|Gott]] (hier wohl der [[w:Juden|Juden]] wirklich) <u>gäbe</u>, sieht mir doch sehr nach einem auch sobezeichneten [[w:Zirkelbeweis|Zirkelbeweis]](-Versuch sowie endlosen [[w:Spezial:Permalink/245848029|Teufelskreis]]) aus. Naja, als (ernsthafter) Wissenschaftler würde ich mir diese Grundannahme aller höchstens denken, aus meinem Beweis aber besser rauslassen und stattdessen mit anderen ('''[[Wiktionary:de:echt|echten]]''') '''[[Wiktionary:de:Beweis|Beweisen]]''' (auch unabhängig von [[w:Kurt Gödel|''Gödel''s]] ''[[Wiktionary:de:Logik|Logik]]'') versuchen, meine Grundannahme (wirklich) zu beweisen (und, in diesem Fall hier, solange der Beweis nicht wirklich erbracht ist, besser erstmal beim [[w:fliegendes Spaghettimonster|fliegenden ''Spaghettimonster'']] bleiben :-)&nbsp;). Mit [[w:Wikipedia:Wikiliebe|lieben]] Grüßen. -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-36467-86|&#126;2025-36467-86]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-36467-86|Diskussion]]) 11:02, 26. Nov. 2025 (CET) :Die Wahrscheinlichkeit, dass in den Arbeiten Gödels ein Zirkelschluss nachweisbar ist, geht im Allgemeinen gegen Null. In Einklang mit Anselm und Leibniz, beweist Gödel, „''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''“, dass es logisch korrekt ist, wenn die „''theologische Weltanschauung''“ (der Juden, Christen und Moslems) ,annimmt‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ (nur) einen Gott gibt ''':''' — <math>\Box \; \exists x \; G(x)</math> —, weil es, nachweislich auch formal-syntaktisch, <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ ist ''':''' — <math>\Diamond \; \exists x \; G(x)</math> —, dass es Gott gibt. Damit ist Gödel dem Wunsch Leibniz‘ nach ,mathematischer Evidenz‘ für das Theorem Anselms nachgekommen, das in seiner Bedeutung, nach Leibniz, das „''Privilegium der Gottheit''“ darstellt. Der Zugang zu Gott ist jedoch nicht der ,Beweis‘. (Das Gödel-Kalkül ist kein Beweis für die Existenz Gottes!) Der Zugang zu Gott ist der ,Glaube‘, d.h. eine persönliche Entscheidung für Gott. Mit freundlichem Gruß. --[[Benutzer:Santiago|Santiago]] 17:35, 19. Dez. 2025 (CET) ::„Die Wahrscheinlichkeit, …“? Na das sieht mir so aus, daß (auch) du Gödels ''Logik'' bisher nicht verstanden hast/nicht (in allem/gänzlich) nachvollziehen kannst. Dann von wegen: „ohne sich auf den Glauben […] zu stützen“ daß es den von ihm (''Godel'') vorher ja angenommenen Gott gäbe, nein, gibt(!) … also genau das ist ja (schon, ganz am Anfang) seine Grundannahme, welche er dann versuchte (eben in einem ewigen ''Zirkel''schluß, also im Grunde nur für sich selbst) zu „beweisen“. Und „ohne Widerspruch“ damit ist hier wahrscheinlich nur die (eben sogenannte [[Wiktionary:de:formal|''formal''e]]) Berechnung gemeint, daß diese am Ende auf beiden Seiten der Gleichung eben gleich (=) ist, was aber keine Kunst ist, wenn das Angenommene (hier ein [[Wiktionary:de:Willkür|willkürlich]] ausgedachter Gott) nur ein fester Wert (eben bspw. auch nur die Annahme, daß der Gotteswert G = 1 oder [immer] [[w:Wahrheitswert|wahr]], also) einfach nur ein (eben vorher, willkürlich bestimmter) fester Wert (sowie aber auch eine beliebig, in sich veränderbare [sowie ''[[Wiktionary:de:variabel|variable]]'' Schein]''[[Wiktionary:de:Konstante|Konstante]]'') ist (Gott, als angenommenes „echtes“ Wesen ist ja, in seiner [ebenso nur angenommenen] [[w:Allmacht|Allmacht]], auch in sich veränderlich), welche dann auch einfach bspw. durch die (wahrscheinlich ebenso) endlose Zahl(enreihe) ''Pi'', also durch die auch sobezeichnete [[w:Kreiszahl|'''K'''reiszahl]] ('''K'''), oder auch durch das hier oben schon genannte (fliegende) '''''S'''paghettimonster'' ('''S''', beide Vorgenannten dann eben durch '''K''' = [immer] wahr ODER '''S''' = [ebenso für immer und ewig] wahr, eben durch so einen dann festgelegten [ja auch willkürlich [[Wiktionary:de:Vorbestimmung|vorbestimmten]]] Wert) ersetzt werden könnte. -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-41998-40|&#126;2025-41998-40]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-41998-40|Diskussion]]) 12:30, 21. Dez. 2025 (CET) Kurt Gödel ist gestorben, daher kann er nicht sich selbst gegen den Vorwurf eines Zirkelschlusses in seinen Arbeiten wehren. Nach dem, was aus seiner Biographie bekannt ist, könnte es sein, dass in den Arbeiten seiner letzten Jahre logische Fehler auffindbar sind. Das soll aber seiner psychischen Erkrankung gegen Ende seines Lebens geschuldet sein – berichten seine Biographen. Aber sicher nicht in den Werken, die seinen Ruhm unter den Logikern und Mathematikern begründet haben, sind Zirkelschlüsse nachweisbar. In seiner Arbeit zum sog. ontologischen Gottesbeweis gibt es nachweislich keinen Zirkelschluss. „''Gödels Argumentationskette ist nachweisbar korrekt''“ – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph Benzmüller und Bruno Wolzenlogel-Paleo nun gezeigt. Auch ist er selber überzeugt von der logischen Korrektheit seines ontologischen Beweises: »''Ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig'' [ sic ! ], ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', [ dass es Gott gibt ], ''mit allen bekannten Tatsachen'', [ d.h. mit den Maßstäben einer modernen Logik ], ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker Leibniz versucht''.« Es ist also schon recht ,abenteuerlich‘, Kurt Gödel, dem Ausnahmelogiker des 20. Jahrhunderts, einen Zirkelschluss zu unterstellen. Mit freundlichem Gruß -- [[Benutzer:Santiago|Santiago]] 18:49, 22. Dez. 2025 (CET) :Es wird „wohl“ auch nicht ohne Grund „Teufelskreis“ genannt. Meiner Erfahrung nach sehen (selbst) Betroffene auch nur selten (bis nie) ihre Fehler ein. Auf Gödel selbst wollte ich zudem eh nicht zu sprechen kommen (da mir schon klar war, daß er tot ist), sondern rein sachlich (mit den Mitteln der Vernunft und Wahrheitsfindung) an die Sache rangehen (daher u.a. auch der Verweis auf [[w:Wahrheitswert]]). Bei einem (selbst Gott-)Gläubigen hätte ich das aber eh nicht erwartet, zumal sowas auch bei „Wissenschaftlern“ vorkommt. Naja, von meiner Seite aus ist die Sache hier jedenfalls '''erledigt'''. Du bist da eh zu nah drann und entsprechend voreingenommen. Jede weitere Schleife wird (auch) dich nur noch tiefer, hier nur in Gödels Kaninchenbau hineintreten lassen. -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-42378-53|&#126;2025-42378-53]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-42378-53|Diskussion]]) 19:48, 22. Dez. 2025 (CET) Falls es gelungen ist, Dich zu überzeugen, dass in der Argumentation Gödels zum ontologischen Beweis kein Zirkelschluss vorliegt, dann freut es mich, und unsere Auseinandersetzung hat einen Sinn gehabt. Damit ist die Sache erledigt. Mit freundlichem Gruß -- [[Benutzer:Santiago|Santiago]] 20:13, 22. Dez. 2025 (CET) :Es ist dir nicht gelungen. Da glaube ich eher an das fliegende Spaghettimonster, daß ich in dich schlüssiger. :-D -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-42033-63|&#126;2025-42033-63]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-42033-63|Diskussion]]) 20:40, 22. Dez. 2025 (CET) ::Ich weiß nicht, ob der Satz "Das Gödel-Kalkül ist kein Beweis für die Existenz Gottes!" irgendwie übersehen wurde, ich vermute dies aber schon... Vielmehr, wenn ich die Einleitung gut verstehe, soll dieser Beweis zeigen, dass die Grundannahme "es gibt Gott" zu keinem Widerspruch nach den Grundsätzen der Logik führt, im Gegensatz zur Grundannahme "es gibt keinen Gott". Allerdings besagt so ein Beweis nichts über die Grundannahme "ich kann nicht wissen, ob es Gott gibt" oder die Grundannahme "es ist unsicher, ob es Gott gibt". Vermute ich wieder... Wie ein Widerspruchsbeweis gegen eine Grundannahme funktioniert, wissen wir schon vom Beweis der Irrationalität von Wurzel 2... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 21:44, 22. Dez. 2025 (CET) :::Ja, das wurde (hier oben, <small>von mir</small>) übersehen, nach dem (vorgeblich oder tatsächlich?) [[Wiktionary:de:mathematisch|''mathemat''ischen]] Zeichen''salat'' und der zugehörigen „''Evidenz''“ <small>([[Wiktionary:de:Evidenz|welche]] ich mir jetzt <s>noch nicht</s> auch schon mit „Eindeutigkeit, Gewissheit, Klarheit, Offensichtlichkeit, Sicherheit“ [[Wiktionary:de:Spezial:Permalink/10437411|mutmaßlich richtig<nowiki/>]] übersetzt habe)</small> konnte ich nicht mehr, also rein verstandesmäßig, da sowas schlicht nicht meine [[w:Erstsprache|Erstsprache]] ist. Im Übrigen sollte das <small>(also mein)</small> vorherige<small>(s)</small> Satzende besser: „das ist (oder erscheint mir) in sich schlüssiger.“ heißen (vor allem auch hinsichtlich des [[w:Ockhams Rasiermesser|[wissenschaftlichen] Sparsamkeits[grund]gedanken]]). Außerdem scheinen mir nun die hier ([[Spezial:Permalink/1078426#Weitere Klarstellungen|gegenwärtig]]) [[#Weitere Klarstellungen|folgenden „Klarstellungen“]] (wenigstens im ersten Abschnitt) nun auch wissenschaftlicher (sowie verständlicher, <small>anstelle dem (mir anfänglichen) Glauben(sbekenntis) nacheifernd</small>) zu sein, also mit Aussagen wie, „es ist möglich, daß es einen Gott (sowie ein übermächtiges, allwissendes Wesen) gibt“ und „wir wissen aber nicht, ob dem tatsächlich so ist“ kann ich mich auf jeden Fall abfinden. Allerdings brauche ich dafür auch nicht so eine (nur scheinbar wissenschaftliche) Berechnung, wie hier ([[Spezial:Permalink/1078334|gegenwärtig]]) [[{{VORDERSEITE}}|nebenan]], wo schon in der ersten großen Zwischenüberschrift was von einem „''ontolog''ische[n] Gottesbeweis“ steht (zudem ich mir auch [//Wissen.de/Fremdwort/ontologisch dieses Fremdwort] <small>(← dort dann erstmal zur ''[//Wissen.de/Fremdwort/Ontologie Ontologie]'' usw. usf.)</small> [weiter] übersetzen [lassen] müßte). Naja, womöglich habe ich aber auch da schon, also beim '''''[[w:deutsche Sprache|de]]'''.wikibooks'', irgendwas miß- oder schlicht (grundsätzlich) anders verstanden <small>(als all die [<nowiki/>[[w:de:Wikipedia:unterstelle gute Absichten|mutmaßlich aber wohl meistens unabsichtlichen]]] Fremdwortschwurbler)</small>. Mit lieben Grüßen. -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-42527-61|&#126;2025-42527-61]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-42527-61|Diskussion]]) 12:35, 23. Dez. 2025 (CET) Zur Orientierung: Die Diskussion um Gott läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser Anselm gesagt: „Ich glaube an Gott … (sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden) … aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt, was ich da glaube!“ Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Philosoph Immanuel Kant hat das, was Anselm da aufgeschrieben hat, gelesen, und das dann den „ontologischen Gottesbeweis“ genannt, (obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist), und dieser große Kant hat dann großartig bewiesen, dass das, was Anselm aufgeschrieben hat, falsch ist, und daher „gar kein“ Gottesbeweis ist, (na-ja was sonst ?) Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichlichen Gott mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. (Das ist aber eine andere Geschichte.) Hundert Taler und Gott haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn Kant ,wirklich‘ hundert Taler hat, und Gott auch ,wirklich‘ existiert, (wie Anselm und gläubige Menschen glauben), dann gibt es beide eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit Kant läuft die ganze Diskussion um Gott immer nur als Diskussion um den (von Kant) sogenannten „ontologischen,(kosmologischen, teleologischen etc.) Gottesbeweis“ – obwohl es niemals einen Beweis für Gott geben kann und niemals geben wird. (Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich gesagt.) Beweisen kann man Naturgesetze. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie mit Mehrheitsbeschlüssen dann verändern. Wenn Gott ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz Gottes wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. Gott ist „Person“, für Christgläubige „ein Gott in drei Personen“. Und Gott ist „Geist“. Das besagt, dass er nicht mit materiellen Dingen verwechselt werden darf. Und ganz wesentlich: der Zugang zu Gott läuft nicht über den Beweis sondern immer nur über den Glauben. Wer an Gott glauben will, dem antwortet Gott auf seine Weise – nämlich „geistig“ bzw. „geistlich“. Und der Glaube ist frei. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für Gott gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an Gott zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Gottesbeweis!!! Daher darf man das System des Logiker Gödels nicht als einen Gottesbeweis lesen. Mit freundlichem Gruß -- [[Benutzer:Santiago|Santiago]] 16:25, 23. Dez. 2025 (CET) ==Weitere Klarstellungen== Wenn man das Gödel Argument genau liest, dann ist nur die Annahme: „es ist möglich, dass es Gott gibt“ bewiesen, weil aus der Annahme: „es ist unmöglich, dass es Gott gibt“ ein logischen Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage: „es gibt Gott“ ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Mensch, der aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann: „es gibt Gott wirklich“, wenn er will. Das ist das Argument Anselms, der ein christlicher Amtsträger war, und der von dieser Grundannahme auch ausgeht. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es Gott gibt, daraus zu schließen, dass es Gott auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument Anselms geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit Leibniz, der an Gott geglaubt hat, sagen: „''gesetzt, dass Gott möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''“ Wenn Du den 3. Beweisgang des Gödel-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument Anselms in der Zeile 11 zwar immer noch logisch abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, „x steht für den Gott der Christen“, was bis zur Zeile 10 noch offensichtlich ist, d.h. er ist in seiner Struktur wohl immer noch regulär von der Glaubens-Prämisse: Term :01: abhängig, aber jetzt steht er an zweiter Stelle in der Zeile 11, und damit hat er die Glaubens-Prämisse nicht mehr als notwendige Bedingung, sondern jetzt hat er eine neue und andere Voraussetzung. Der Schwerpunkt des Argument Anselms liegt damit am Begründungs-Teil. Der Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument Anselms ist nicht mehr von dieser Glaubens-Prämisse, abhängig, sondern nur vom Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und von der mathematischen Äquivalenz der positiven Eigenschaften im Axiom-2, im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘ am Schluss, und damit unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und mathematisch evident, kenn er als logischer Begründungs-Teil für den Konsequenz-Teil gelesen werden, und damit die Konsequenz, die Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, bestätigen. Dessen Glaube ist widerspruchsfrei und enthält damit auch keinen Zirkelschluss. Zusammengefasst heißt das konkret: Wenn Du an Gott glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u> Gottes begründet. Wenn Du nicht an Gott glauben willst, dann musst Du nicht an ihn glauben, auch wenn es möglich ist, dass es Gott gibt. Denn der Glaube an Gott muss immer eine freie Entscheidung sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Mit freundlichem Gruß -- [[Benutzer:Santiago|Santiago]] 23:16, 22. Dez. 2025 (CET) == Farbgebung == Gibt es irgendeinen guten Grund warum der Text so bunt formatiert ist? Das macht es m.M.n. echt schwierig das Buch zu lesen. --[[Benutzer:Intruder|Intruder]] 11:56, 18. Jul. 2026 (CEST) :Also ich nehme einfach mal an, nach dem nun wieder ersten (An)Lesen des [[Spezial:Permalink/1089126#Vorwort|(gegenwärtigen) Vorwortes]] <small>(genauer, nur der ersten Sätze; habe früher schonmal versucht, weiterzulesen)</small>, daß die erste Farbe (gegenwärtig ein <span style="color:#FF6000">Rotgelb</span> <small>oder auch noch immer sobezeichnetes ''[[Wiktionary:de:Orange|<span style="background-color:#FF6000; color:yellow;">Orange</span>]]''</small>) das Ursprüngliche (von dem Herrn ''[[w:Kurt Gödel|Gödel]]'' Verfaßte) und die zweite Farbe (wohl eine Art <span style="color:#00B000">Gelbgrün</span>) das vom gegenwärtig( <small>alleinig?</small>)en (Haupt-)Verfasser ist <small>(womit also eigentlich [[Benutzer:Santiago|''Santiago''s]] Anmerkungen gemeint sind)</small>. Aber stimmt schon, eine '''Farb-Erklärung''' (oder auch '''[[w:Spezial:Suche/Farbbeschreibung|-beschreibung]]''' <small>und zudem auch noch sobezeichnete [[w:Spezial:Suche/Farblegende|-''legend''e]]</small>, vom gegenwärtigen Hauptverfasser) wäre mal nicht schlecht, also auch für (die) Außenstehende (Leserschaft) recht hilfreich, <small>welche sich mal ersthaft mit diesem Buch weiterbefassen oder dort wirklich (noch) tiefer ([[w:Zirkelbeweis|end]][[Wiktionary:de:Endlosschleife|los?]] tief) einsteigen möchte</small>. Mit [[w:Wikipedia:Wikiliebe|lieben]] Grüßen. -- [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-40933-26|&#126;2026-40933-26]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-40933-26|Diskussion]]) 11:35, 22. Jul. 2026 (CEST) ::Ja, kann gut sein. Und eine Farblegende wäre wirklich sinnvoll. Weitere auftretende Farben (mit der möglichen Bedeutung): ::* violett ... Überschriften ::* hellviolett ... wahrscheinlich biblischer Text ::* blau ... logische Terme und der Begriff "theologisch" ::* schwarz ... "sonstiger" Text ::* gelb hervorgehoben ... wahrscheinlich irgendetwas Wichtiges. ::Mit freundlichen Grüßen [[Benutzer:Intruder|Intruder]] 17:46, 22. Jul. 2026 (CEST) Vor 56 Jahren hat GÖDEL, abschließend, auf zwei Notiz-Zetteln seinen, den, von ihm so bezeichneten, ,ontologischen Beweis‘ skizziert, und zwar in der, damals modernen, formalen Sprache der ,''Principia Mathematica''‘ von WHITHEAT und RUSSELL, mit ein paar sprachlichen Zusätzen, als Ergebnis seiner mehrjährigen Überlegungen zu diesem Thema. Diese Zettel wurden, von mehreren Bearbeitern danach, in die dann, jeweilig modernere, formal-logische Sprachform, transformiert. Auf diesen Zetteln stehen fünf Axiome und drei Definitionen, zwei Theoreme und ein, nicht als solches bezeichnetes, Korollar; und ein paar <span style="color:#00B000">(syntaktische)</span> Bemerkungen dazu. Sowohl A. FUHRMANN als auch G. J. WIRSCHING, haben heute, für die zwei Theoremen und dem Korollar GÖDELS, jeweils einen nachvollziehbaren Beweis, d.h. mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und -Definitionen, drei logisch-formale Ableitungen aus <span style="color:#00B000">(nicht näher diskutierten)</span> Prämissen vorgelegt, die ich hier als Grundlage meiner Studie verwendet habe. Der Text meiner Arbeit ist sukzessiv, aufeinanderfolgend, nur die Summe aller Antworten, die sich aus den Fragen ergeben haben, die sich stellen, wenn man das GÖDEL-System eingehend studiert. Daher ist für das Lesen meiner Arbeit, immer die fragende Beschäftigung mit dem GÖDEL-Kalkül selbst, Voraussetzung '''!''' Dazu biete ich meine Neu-Kalkülisierung des GÖDEL-Systems im Anhang an, in die alle Erkenntnis aus meinen Beobachtungen am syntaktischen Formal-Text eingeflossen sind, und so, nach und nach, ihre Form, <span style="color:#00B000">(und auch ihre Interpretation, bzw. ,Benennungen‘)</span>, gefunden haben. Das Ziel war, das begründete und begründbare Verstehen des GÖDEL-Systems. Meine Studie zum GÖDEL-Kalkül sagt, mit sehr ,vielen‘ Worten, was die GÖDEL-Zeichen einfach nur ,anzeigen‘. Daher liegt ein Augenmerk meiner Arbeit auch auf der formal-formatierten Struktur der Worte, mit denen ich über die GÖDEL-Zeichen spreche. <span style="color:#00B000">(Zeichen sind immer mehrdeutig interpretierbar '''!''' )</span> Einfache Sachverhalte, über die ich in einem Satz spreche, stehen zwischen ,einfachen‘ Anführungszeichen. Sachverhalte, die in meiner Arbeit einen wichtigeren Stellenwert haben, sind mit einer Farbe gekennzeichnet, und stehen zwischen <span style="color:#FF6000">„doppelten“</span> Anführungszeichen, und sind meistens <span style="color:#FF6000">,rotgelb‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Danke‘ dem anonymen Wortspender '''!''' )</span> gefärbt. Sachverhalte, die von ,Autoritäten‘, schon vor mir, diskutiert worden sind, werden als ganze Zitate, <span style="color:#FF6000">,''rotgelb kursiv''‘</span>, eingerückt, auch ohne Farbe, oder als weiter benutzte Worte aus diesen Zitaten, <span style="color:#FF6000">,''rotgelb kursiv''‘</span> zwischen <span style="color:#FF6000">»</span>Winkel<span style="color:#FF6000">«</span>-Anführungszeichen gestellt, und, wenn nötig, mit einer Quellenangabe versehen. Die <span style="color:#4C58FF">,blauen‘</span> Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare des GÖDEL-Systems werden von mir durch ''kursive'', zwischen <span style="color:#FF6000">»''rotgelbe Winkel-Anführungszeichen''«</span> gestellte Sätze, kontextkonform interpretiert. Da ich, mit A. FUHRMANN, das GÖDEL-System als eine <span style="color:#4C58FF">„axiomatische Theologie“</span> lese, haben sowohl alle Terme und Meta-Terme des Kalküls, als auch die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> und alle <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Fachausdrücke, in der Erklärung, die <span style="color:#4C58FF">,blaue‘</span> Farbe. <span style="color:#00B000">(Der Parser in dem, — sehr nützlichen —, Mathematik-Teil-Programm von Wikibooks stürzt ab, wenn ich alle Terme des GÖDEL-Kalküls <span style="color:#4C58FF">,blau‘</span>-färben wollte.)</span> Zitate aus der Bibel sind <span style="color:#CC66FF">,violett‘</span>, wie schon festgestellt. Längere Zitate, zwischen farbigen Anführungszeichen, sind deswegen nicht gefärbt, weil ich die Zitate mit meinen Anmerkungen und Zusätzen, intern, in <span style="color:#00B000">[ eckigen gelbgrünen ]</span> Klammern gestellt, kommentiere, auch mit Hinzuziehung anderer <span style="color:#FF6000">„Zitate“</span> und <span style="color:#FF6000">„Sachverhalte“</span>. Alle Zusätze im Fließ-Text, alle Erklärungen, Ergänzungen, Klarstellungen, und auch größere, weiterführende, erklärende Exkurse zum Thema, sind <span style="color:#00B000">,gelbgrün‘</span> gefärbt, und stehen immer innerhalb von <span style="color:#00B000">(runden gelbgrünen)</span> Klammern. Nur Exkurse zu Themen, die in einer Diskussion zu weit führen würden, sind in die Fußnoten abgestellt. Für die ,Legende des Kalküls‘ ist es hilfreich, sich vorerst allgemein, über die Inhalte der ,Aussagenlogik‘ und der ,Prädikatenlogik‘ zu informieren. Mit freundlichen Grüßen [[Benutzer:Santiago|Santiago]] 04:56, 29. Jul. 2026 (CEST) 7ksmlwltcf6dpm6u7ggpq3q8znws8od 2 122290 1090123 1081367 2026-08-28T12:05:43Z Joshinils 114567 1090123 wikitext text/x-wiki https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks_Diskussion:Missbrauchsfilter/8 f {{:Benutzer:Joshinils/test/sub}} ko4k8e89ienji1zropmtyyv7898ue5p 1090126 1090123 2026-08-28T12:09:29Z Joshinils 114567 1090126 wikitext text/x-wiki https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks_Diskussion:Missbrauchsfilter/8 f {{:Benutzer:Joshinils/test/sub}} {{:Benutzer:Joshinils/test/sub1}} {{:Benutzer:Joshinils/test/sub2}} {{:Benutzer:Joshinils/test/sub3}} {{:Benutzer:Joshinils/test/sub4}} {{:Benutzer:Joshinils/test/sub5}} efr755hzwtii8h2z6vr5ipayda0olfh 0 123027 1090145 1090107 2026-08-29T01:42:11Z 2ndoptimist 116642 1090145 wikitext text/x-wiki Redaktionelle Bemerkung: Wie kann der Ersthelfer den RD in folgenden Situationen unterstützen. * Struktur, wo sinnvoll: * Was kann der FR tun, bis der RD eintrifft? * Welche Informationen sind für den RD wichtig bei der Übernahme des Patienten * Was ist das Standardvorgehen vom RD * Zu was kann/wird der RD den FD einsetzen? == Wichtiger Hinweis zu diesem Kapitel == Die in diesem Kapitel beschriebenen Abläufe, Verfahren und Medikationen dienen ausschliesslich der Orientierung und Übersicht. Sie stellen keine Handlungsanleitung im medizinischen Sinne dar und ersetzen keine Ausbildungsunterlagen oder Richtlinien. Ebenso ersetzt oder repetiert es nicht den Inhalt von Erste Hilfe Kursen. Ziel dieser Beschreibungen ist es, dir als First Responder den sogenannten „roten Faden“ aufzuzeigen. Du sollest den ungefähren Standardablauf des Rettungsdienstes nachvollziehen können: Was passiert gerade am Patienten? Welche Schritte folgen als Nächstes? Dieses Vorwissen schafft ein gemeinsames Situationsbewusstsein. Wenn du weisst, was der Rettungsdienst oder der Notarzt wahrscheinlich als nächstes tun wird, kannst du: * dich mental auf die nächsten Schritte einstellen, * proaktiv mitdenken und * wichtige Vorarbeiten leisten (z. B. Ausrüstung bereitstellen/holen, Platz schaffen, Transportweg freimachen, ...). So wirst du zu einem optimalen Zuarbeiter für den Rettungsdienst, kannst gut in das Team integriert werden und genau dort eingesetzt werden, wo wertvolle Zeit gespart werden kann. == ABCDE == == Reanimation == == Atemnot == == Herzinfarkt == === Was kannst du als FR tun, bis der RD eintrifft? === Dein Fokus liegt auf der Entlastung des Herzens und der Überwachung des Patienten. * Ruhigstellen: Bringe den Patienten in eine für ihn angenehme Position. Meist ist das eine halbsitzende Position (mit erhöhtem Oberkörper), dies erleichtert die Atmung. * Beruhigen: Ein Herzinfarkt löst massive Panik aus. Bleib selbst ruhig, sprich beruhigend auf den Patienten ein. Erkläre, dass der Rettungsdienst unterwegs ist. * Enge Kleidung öffnen: Löse Krawatte, enge Gürtel oder BH. * AED bereitstellen: Schalte, falls vor Ort, den Defibrillator (AED) ein und klebe die Elektroden an die vorgesehenene Stellen beim Patienten, auch wenn der Patient bei Bewusstsein ist. So bist du bei einer möglichen plötzlichen Herz-Kreislauf-Stillstand (z.B. Kammerflimmern) sofort handlungsbereit. === Welche Informationen sind für den RD bei der Übernahme wichtig? === Nutze das SAMPLE-Schema und achte besonders auf diese Punkte: * Symptome: Wann haben die Beschwerden ''exakt'' begonnen? (Die Zeit ist beim Herzinfarkt das wichtigste Kriterium, um die Überlebensrate und Herzfunktion zu erhalten). * Schmerzcharakteristik: Wo genau schmerzt es? Ist es ein drückender, brennender oder reissender Schmerz? Strahlt der Schmerz aus (typisch: in den linken Arm, den Kiefer, den Oberbauch oder den Rücken)? * Medikamentöse Vorgeschichte: Hat der Patient schon eigene Medikamente (z.B. Nitro) eingenommen? Wenn ja, wie viel und mit welchem Effekt? * Patientenvorgeschichte: Sind Herzprobleme bekannt? Ist er Diabetiker, Raucher oder hat er hohe Blutfettwerte? * Letzte Nahrungsaufnahme: Wann, was und wieviel hat der Patient gegessen/getrunken. * Ereignisse: Gabe es einen bestimmten Auslöser? Grösser Ärger, Stress, körperliche Anstrengung? Einige dieser Punkte können teilweise auch von Angehörigen beantwortet werden. Diese können auch losgeschickt werden um die Medikamente, Arztberichten und den Kontaktinformationen vom Hausarzt zusammenzususchen. === Was ist das Standardvorgehen vom RD? === Das Ziel des Rettungsdienstes ist die schnellstmögliche Diagnostik und Schmerztherapie, um das Herzmuskelgewebe zu retten. * 12-Kanal-EKG: Das EKG gibt einen Aufschluss über die Art der Herzbeschwerden und das Ausmass der Schädigung. * Klinische Beurteilung: Blutdruck, Sauerstoffsättigung und Atemfrequenz werden gemessen. * Venöser Zugang (Braunüle): Es wird ein Zugang gelegt, um Medikamente sicher verabreichen zu können. * Medikation: ** Schmerztherapie (z.B. Morphin oder Fentanyl), da Schmerzen das Herz weiter belasten. ** Nitroglyzerin (als Spray oder Infusion) zur Gefässerweiterung, sofern der Blutdruck hoch genug ist. ** Heparin (Blutverdünner) und weitere Medikamente zur Blutgerinnungshemmung. * Sauerstoff wird nur noch gegeben, wenn die Sättigung (SpO2) unter 94% sinkt. Zu viel Sauerstoff kann bei einem Herzinfarkt schädlich sein. * Entscheidung über Transport: Basierend auf dem EKG entscheidet der Notarzt: Ist es ein ST-Hebungsinfarkt (STEMI)? Dann geht es oft sehr schnell, im Idealfall direkt ins Herzkatheter-Labor (PCI-Zentrum) – bei weiten Distanzen oder schweren Verläufen oft mit der Rega. === Wozu wird der Rettungsdienst dich einsetzen? === * Vorbereitung des Transports: Sobald die Entscheidung für den Transport (Bodentransport oder Helikopter) fällt, hilfst du beim Setup: Tragehilfe zum Rettungswagen, Organisieren von persönlichen Gegenständen für den Spitalaufenthalt (Krankenkassenkarte, Hausmedikamente, ...). * Sicherheit & Orientierung: Falls Helikoptertransport, sichern der Landestelle und Abholen der Helikoptercrew. == Schlaganfall == == Bewusstlosigkeit == == Krampfanfall == == Trauma == == Verbrennungen == == Vergiftungen == == Kindernotfälle == == Psychiatrische Notfälle == == Geburt == b4abt821qyne2fvwx85lx078sr5hmi1 2 123076 1090139 1090118 2026-08-28T13:26:46Z Joshinils 114567 1090139 css text/css /* * Farbdefinitionen für Rahmen und Hintergründe von [[w:Wikipedia:Textbausteine|Textbausteinen]]. * Hier: Standardvorgaben für "dunkle Schrift auf hellem Grund". * Für Hell-auf-dunkel-Skins ([[MediaWiki:Amethyst.css|Amethyst]]) müssen dort entsprechende Definitionen * zusätzlich eingetragen werden! 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