Netzwerktechnik

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    <title>Netzwerktechnik</title>
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== Zusammenfassung des Projekts ==
{{Vorlage:StatusBuch|2}} 
* '''Buchpatenschaft / Ansprechperson:''' Bin interessiert: [[Benutzer:Biegemann|Wolfgang Biegemann]].
* '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Ja, sehr gerne.

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== Grundbegriffe ==
=== Computernetze ===
Werden mehrere Computer so miteinander verbunden, dass sie Daten austauschen können, nennt man das ein Computernetz (engl.: Network). Die Computer sind dann „vernetzt“. Die Verbindung kann mit Kupferdraht, mit Glasfaserkabeln, über Funk oder auf anderem Weg realisiert werden. Die „Verteilerkästen“, an denen die Netzwerkkabel von den Computern sternförmig zusammenlaufen, nennt man Hub oder Switch. 

Computernetze haben meist einen oder mehrere zentrale Computer, die man als Server bezeichnet. Das Wort „Server“ bedeutet „Diener“. Die Server verwalten die gemeinsamen Ressourcen (Speicherplatz, gemeinsame Drucker). Diejenigen Server, welche die Datenströme von einem Netz ins andere lenken, nennt man „Router“. Einen Computer, welcher die Dienste eines Servers in Anspruch nimmt, nennt man „Client“. Wenn Sie „eine Verbindung ins Internet aufbauen“, bildet Ihr PC zusammen mit dem Server des Providers (siehe {{w|Internetdienstanbieter}}) ein zeitweiliges Netz für die Dauer der Verbindung.

Wenn man zwei oder mehrere Computernetze miteinander verbindet, entsteht ein sogenanntes „Intranet“. Beispiel: Große Konzerne haben in jeder Niederlassung ein Computernetz. Die Computernetze der Niederlassungen werden untereinander durch „Standleitungen“ (das sind dauerhaft gemietete Telekommunikationsleitungen) zum firmeneigenen Internet verbunden (das sogenannte Intranet). 

Ein ganz bestimmter Dienst, der ursprünglich nur ein paar Computer in den USA verbunden hat, ist gewachsen und zum WWW, dem [[w:World Wide Web|World Wide Web]], geworden. Das WWW unterscheidet sich von anderen Netzen durch
* weltweite Ausdehnung,
* öffentlichen Zugang,
* Verwendung der TCP/IP-Protokollfamilie.

== Definition Netzwerk ==
Als Netzwerk bezeichnet man ein System aus mehreren miteinander verbunden Computern, Terminals oder Peripheriegeräten. Das wesentliche an einem Netzwerk ist das Zusammenschalten und somit die gemeinsame Nutzung von Peripheriegeräten wie zum Beispiel einem Laserdrucker oder auch die gemeinsame Nutzung von Datenbeständen, zum Beispiel einer Firmendatenbank.

== Unterschied Peer-to-Peer und Client-Server Architektur ==
=== Peer-to-Peer ===
P2P (Peer to Peer) bezeichnet ein Netzwerk, in dem alle Rechner direkt miteinander verbunden sind, z.&amp;#8239;B. über Hub, Switch, Nullmodem, Crossover usw. Alle PC besitzen die gleichen Rechte und sind im Prinzip sowohl Server als auch Client. Bei Netzwerkpartys werden P2P-Netze aufgebaut oder in kleineren Firmennetzen.

Das heißt, 
Vorteile:
* gleiche Rechte für alle Benutzer
* geringer Verwaltungsaufwand (jedoch nur bei überschaubarer Netzwerkgröße)

Nachteile:
* Rechtemissbrauch
* unsicher (Zugriff auf andere Benutzer)
* begrenzter Zugriff auf andere Clients (max. 10)
* großer Verwaltungsaufwand (bei größeren Netzen)

Ergänzung:
Die Definition für P2P ist so nicht ganz korrekt. Ein P2P Netzwerk, ist ein Netzwerk, welches ausschließlich aus Direktverbindungen und Freigaben besteht. 
Ein gutes Beispiel sind die ersten, privaten Netzwerke. Diese bestanden aus direkten Verbindungen zwischen Computern und Computern. Als Netzwerkkarten dienten dabei die parallele (LPT) oder serielle (COM) Schnittstelle. Drucker oder sonstige Peripheriegeräte wurden an einem Computer angeschlossen und über Freigaben für andere Nutzer, freigegeben. Beispiele wären dafür das Kirschbaumnetzwerk oder LANTASIC. 
Im Laufe der technischen Entwicklungen, bekam der Begriff P2P neue und erweiterte Bedeutungen.
In der Industrie wurden P2P Netzwerke bekannt, durch die Einführung von Tokenring-Systemen.
Der wesentliche Unterschied zu heutigen Netzwerken bzw., der Begrifflichkeit P2P ist: Die Systeme waren direkt miteinander Verbunden und aufeinander Angewiesen. Sobald ein Computer abgeschaltet wurde, funktionierte das gesamte Netzwerk nicht mehr, im Gegensatz zu Heute, wo ein einzelner Serverausfall, in der Regel, keinerlei Bedeutung hat.

=== Client-Server ===
In einem Netzwerk mit einer Client-Server Architektur greifen alle Rechner (Clients) auf bestimmte, von Servern zur Verfügung gestellte Dienste zu. Wie zum Beispiel eine zentrale Netzwerkanmeldung. Im Gegensatz zu einem Peer-to-Peer-Netz, müssen so nur bestimmte Rechner (die Server) immer laufen und auf Client-Anfragen warten, um einen reibungslosen Betrieb zu gewährleisten. Jedoch ist der Nachteil bei dieser Architektur, dass sich zum Beispiel im Falle eines Ausfalls des Anmeldeservers alle von ihm abhängigen Clients nicht mehr am Netzwerk anmelden können!

Andererseits trifft der gleiche Nachteil auch auf ein P2P-Netz zu: Wenn der PC ausfällt, der die benötigten Daten enthält (oder der Benutzer mal eben nach einer Installation neu startet), kann man auch nicht weiterarbeiten. Und wenn die benötigten Daten auf mehrere PC verteilt sind, ist störungsfreies Arbeiten nur möglich, wenn '''jeder''' PC eingeschaltet und funktionsfähig ist.

Vorteile der Client/Server Architektur:
* mehr als 10 PC und auch mehrere Server möglich
* erhöhte Sicherheit - hierarchische Strukturierung der Rechte/Rollen
* zentrale bzw. zentralisierte Verwaltung und Wartung
* hohe Anzahl von Diensten über das Netzwerk verfügbar
* zahlreiche Möglichkeiten, die Zuverlässigkeit zu erhöhen (Spiegelung, Backup-Server u.&amp;#8239;a.)

Nachteile:
* Komplexität
* Installationskosten (im Betrieb dann geringer)
* Wartung
* Ausfallrisiko (beim Server)

== Abgrenzung LAN, WLAN, PAN, WPAN, BAN, MAN, WAN, GAN ==

=== LAN – Local Area Network ===
Unter einem LAN versteht man ein Computernetzwerk innerhalb eines räumlich begrenzten Bereiches. LANs sind als feste Installation kabelgebunden und intern bei Firmen zu finden. Zunehmend werden sie auch in privaten Haushalten aufgebaut. Verwendet keine öffentlichen Leitungen.

=== WLAN – Wireless Local Area Network ===
WLAN bezeichnet eine kabellose Methode ein Netzwerk aufzubauen. Das kann zum Beispiel durch Bluetooth (oder HomeRF oder HiperLAN) erreicht werden. Im allgemeinen Sprachgebrauch steht WLAN für ein kabelloses, internes Funknetzwerk, dessen Netzwerkstandard IEEE 802.11 lautet. Die Daten werden im 2,4&amp;#8239;GHz bzw. 5&amp;#8239;GHz Frequenzband übertragen, was einer Wellenlänge von 12,5&amp;#8239;cm bzw. 6&amp;#8239;cm entspricht. Handelsübliche Endgeräte übertragen die Daten mit einer Reichweite von ca. 30–100 Meter. Diese Reichweite wird allerdings nur bei direkter Sichtverbindung auf dem freien Feld erreicht. Trifft das Signal auf ein Hindernis, z.&amp;#8239;B. auf eine Wand oder dem Fussboden, wird die Verbindung schwieriger. In diesem Fall kann der Anschluss einer externen Antenne auch bessere Ergebnisse liefern. Trotzdem sind Stahlbetonwände und Leichtbauwände, die auf Metallrahmen aufgeschraubt sind, voraussichtlich undurchdringlich. Auch der menschliche Körper kann die Verbindung unterbrechen. 

Die Datenrate liegt zwischen 1&amp;#8239;Mbit/s und 54&amp;#8239;Mbit/s. Der Standard für die 541&amp;#8239;Mbit/s, IEEE 802.11n, wurde im Januar 2006 verabschiedet. 

WLANs sollten unbedingt verschlüsselt sein, um ein Abhören des Netzwerkverkehrs zu vermeiden. WEP-Verschlüsselungen bieten allerdings nur unzureichenden Schutz, sind aber immer noch geringfügig besser, als alle Daten im Klartext zu übertragen. WPA-Verschlüsselung ist deutlich aufwändiger zu knacken. Den höchsten Schutz bietet derzeit die WPA2-Verschlüsselung. Keine der zur Zeit gängigen WLAN-Zugriffsmethoden bietet hundertprozentigen Schutz, daher ist die Verschlüsselung auf einer höheren Ebene z.&amp;#8239;B. in Form eines VPNs angeraten. &lt;!-- http://www.heise.de/security/meldung/Sicherheitsluecke-in-WPA2-entdeckt-1044869.html --&gt;

=== PAN – Personal Area Network ===

Personal Area Network bezeichnet ein Netzwerk, welches von Kleingeräten wie etwa Handys oder PDAs aufgebaut und abgebaut werden kann. Die Verbindung wird kabelgebunden über USB u.&amp;#8239;ä. aufgebaut. In der Regel ist die Reichweite sehr kurz, wodurch Personal Area Networks die kleinste Art von Netzwerk bilden.

=== WPAN – Wireless Personal Area Network ===

WPAN ist die kabellose Art des PAN. Die Verbindung wird hier durch Bluetooth oder Infrarot aufgebaut.

=== BAN – Body Area Network ===

Unter einem Ban versteht man ein Netzwerk von Sensoren und Aktoren am oder innerhalb des menschlichen Körpers.

=== MAN – Metropolitan Area Network  ===	
Bei der EDV-Abkürzung MAN handelt es sich um ein Hochgeschwindigkeitsnetz, dessen äußere Knoten bis zu 50&amp;#8239;Kilometer auseinander liegen dürfen um als MAN bezeichnet zu werden. Die Übertragungsgeschwindigkeit solcher Stadtbereichsnetze oder kurz MAN liegt bei ca. 200&amp;#8239;MBit/s. Dieses Netzwerk eignet sich neben der Übertragung von Datenbeständen ebenso für die Übertragung von Videokonferenzen. Die MAN-Netzwerke sind durch die Standards IEEE 802.6 ANSI X3T9.5 genormt. Als Basis für ein MAN dient die [[Bild:Wikipedia-logo.png |20px]] [[wikipedia:de:DQDB|DQDB]]-Technologie.

=== WAN – Wide Area Network ===
Bei der Abkürzung WAN handelt es sich um ein Netzwerk, in dem Computer und Peripheriegeräte über große Entfernungen verbunden sind. Typischerweise sind dabei verschiedene lokale Netzwerke, die sich an unterschiedlichen Orten oder sogar in unterschiedlichen Ländern befinden, über Telefonleitungen verbunden. Als Schnittstelle zwischen verschiedenen lokalen Netzwerken dienen Hardware-Komponenten wie Bridges, Router und Gateways, wobei Gateways Netze mit unterschiedlicher Netzwerkarchitektur miteinander verbinden. Die bekanntesten WAN sind UUCP, SMDS und das WWW. WANs mit besonders hoher Übertragungsgeschwindigkeit werden auch als Information Highways oder Datenautobahnen bezeichnet.

=== GAN – Global Area Network ===	
Bei der EDV-Abkürzung GAN handelt es sich um ein weltweites System von miteinander verbundenen Computern. In der Regel ein Netzwerk, das über Satellitenverbindungen zustandekommt.

== Gründe für Netzwerke ==	
Die Vorteile eines Netzwerkes sind zum Beispiel, dass es möglich ist, gemeinsam auf Ressourcen und Daten zuzugreifen, außerdem die Kommunikation untereinander und auch die zentrale Administration.

Nachteile sind zum Beispiel dass sich Würmer usw. übers Netzwerk verbreiten können. Und wenn zum Beispiel der zentrale Anmeldeserver ausfallen sollte dann ist es im ganzen Netzwerk nicht mehr möglich sich anzumelden. Das gleiche gilt für einen Printserver, wenn dieser ausfällt, ist es nicht mehr möglich über den dazugehörigen Drucker zu drucken.

== [[Netzwerktechnik: Topologien|Topologien]] ==
{{w|Netztopologie}}

== [[Netzwerktechnik: Übertragungsmedien|Übertragungsmedien]] ==

* Kupferkabel (Koaxialkabel, Twisted Pair und andere z.&amp;#8239;B. {{w|Patchkabel}})
* Glasfaserkabel
* Funkwellen (kabellos, engl. wireless)

== [[Netzwerktechnik: Kabel|Kabel]] ==
'''Kupfer''' 
* 2-adrig ungeschirmt
* Stromleitungen ungeschirmt
* Koaxial
* paarweise verdrillte Kabel (TP = twisted pair) 
** UTP   (Unshielded Twisted Pair)
** STP   (Shielded Twisted Pair)
** S/STP (Screened Shielded Twisted Pair)
** S/UTP (Screened Unshielded Twisted Pair)
** Kategorien (Leistungsfähigkeit Komponenten)
** Linkklassen (Leistungsfähigkeit Netzwerk)

''' Glasfaser'''
*Glasfaser - gezogene Fäden aus gebranntem Quarzsand (Glas) oder POF - polymere optische Fasern (Kunststoff), werden meist unter dem Begriff Lichtwellenleiter (LWL) bzw. Lichtleitkabel (LLK) zusammengefasst und auch synonym verwendet. I.d.R. sind Glasfasern performanter als die auch häufig verwendeten POF.

*ein oder mehradrige (gemeinsam oder separat gemantelte) Kabeltypen möglich (z.&amp;#8239;B. bei Backbone- oder Überseeverbindungen)
*Single-Mode oder Multi-Mode Fasern, MM-Fasern bestehen aus mehreren parallel geführten Fasern in einem Mantel
*Licht kann zusätzlich in mehreren verschiedenen Wellenlängen über ein und dieselbe Faser übertragen werden, Kombination/Separation dann über Prismen an den Knoten

* Vorteile
** Sehr große Übertragungsraten möglich
** Sehr große Pakete in kurzer Zeit übermitteln 
** Fast ohne Einschränkungen der Reichweite gegenüber Kupferleitungen (Kupfer max. ca. 100&amp;nbsp;m)
**Performance-Upgrades möglich durch bessere Transmitter/Receiver bzw. Transceiver z.&amp;#8239;B. 10&amp;#8239;Gbit auf 40&amp;#8239;Gbit, sofern es die verlegten LWL qualitativ unterstützen
* Nachteile
** Diffizilere Verlegung; Glasfaser darf nicht im 90° Winkel (Reflexion!) verlegt werden, was bspw. bei einem UTP Kabel möglich wäre, es müssen Bögen mit bestimmten Biegeradien eingehalten werden; Kabel müssen eine gewisse Mindestlänge aufweisen, damit die Lichtstärke die Komponenten nicht beschädigt.
** Kostenintensiver gegenüber konventioneller Kupferinstallation
** direkte Verbindung bzw. Verlängerung einzelner Fasern (Spleißen) sehr aufwendig bzw. fehleranfällig und nur mit speziellen Gerätschaften möglich, daher meist der Umweg über Spleißboxen, welche den Patchfeldern in der TP-Ethernet Verkabelung entsprechen und die Verbindung einzelner Fasern mit Buchsen, Steckern und einer weiteren Faser ermöglicht- was natürlich mit Signalverlusten verbunden ist und somit nach Möglichkeit vor allem im professionellen Bereich mit langen Wegstrecken vermieden werden sollte.
* Da Glasfaser sehr teuer ist und das Verlegen mehr Vorsicht bedarf wird es hauptsächlich für weite Strecken und in Bereichen mit viel Datenverkehr (Primärbereich) verwendet.

== Signalübertragung im Basisband ==

Basisband ist ein Begriff aus der Nachrichtenübertragungstechnik. Bei einer Basisbandübertragung wird der gesamte verfügbare Frequenzbereich für ein einziges Nutzsignal verwendet, bei analoger Telefonie ist das der Bereich von 300 bis 3400&amp;#8239;Hz. Eine Mehrfachnutzung des Übertragungskanals findet nicht statt, obwohl sie möglich wäre.

== Bandbreite ==
Bandbreite bezeichnet den Abstand zweier Frequenzen, die einen bestimmten, kontinuierlich zusammenhängenden Frequenzbereich, ein Frequenzband bilden. Bandbreite B = f2 - f1. Das geometrische Mittel zwischen diesen Frequenzen (f1 für die untere Grenzfrequenz und f2 für die obere Grenzfrequenz) ist die Mittenfrequenz f0 die als geometrisches Mittel berechnet werden sollte.
Breitbandanwendungen sind zum Beispiel die DSL Technik und Kabelfernsehen.

Als visuelles Beispiel wird gerne eine Autobahn genommen. Die einzelnen Spuren stehen für die Bandbreite, während die Autos den Datenverkehr darstellen. Je mehr Spuren die Autobahn hat, desto mehr Autos können gleichzeitig fahren.
Daraus lässt sich eine einfache Faustregel ableiten:
Je größer die Bandbreite ist, desto mehr Daten können gleichzeitig fließen, was sich wiederum positiv auf die Übertragungsrate auswirkt. 
Die Bandbreite wird meistens mit den Einheiten kbit/s (Kilobit/Sekunde) oder Mbit/s (Megabit/Sekunde) angegeben.
1 Mbit/s = 1000 kbit/s

== Strukturierte Verkabelung ==
Die Strukturierte Verkabelung stellt einen einheitlichen Aufbauplan für Verkabelungen für unterschiedliche Dienste (Sprache oder Daten) dar. Eine Strukturierte Verkabelung ist Teil der technischen Infrastruktur einer Liegenschaft und wird in die Bereiche Primär-, Sekundär- und Tertiärbereich eingeteilt.

[[Bild:Strukturierte_verkabelung.png]]

=== Primärbereich (Standort) ===
Der Primärbereich ist die Verkabelung der Gebäude eines Standortes untereinander und wird auch als Campusverkabelung bezeichnet. Der Primärbereich umfasst die Gebäudeverteiler und die Kabel zwischen den Gebäudeverteilern (Primärkabel) eines LAN. Im Primärbereich sind große Entfernungen, hohe Datenübertragungsraten sowie eine geringe Anzahl von Anschlusspunkten bestimmend. Hier ist die Glasfaser als Übertragungsmedium wegen ihrer geringen Dämpfung, großen Bandbreite (und damit Einsparung vieladriger Kupferkabel) und der elektromagnetischen Unempfindlichkeit besonders geeignet. Wenn man ein Kupferkabel verwendet, kann es zu einer Gefahr bei Gewitter werden. Dadurch sind die Gebäude nicht mehr galvanisch getrennt und im Falle eines Blitzeinschlages wird das Potential angehoben und es fließt ein sehr hoher Strom über das Kabel! Verwendete Kabelarten: Glasfaserkabel.

=== Sekundärbereich (Gebäude) ===
Der Sekundärbereich ist die vertikale Stockwerkverkabelung; die Verkabelung der Stockwerke eines Gebäudes untereinander und wird auch als Steigbereichverkabelung bezeichnet. Der Sekundärbereich umfasst die Stockwerkverteiler oder Etagenverteiler (Switches) und die Kabel die vom Gebäudeverteiler (Serverraum) zu den einzelnen Stockwerkverteilern (Sekundärkabel) führen. Verwendete Kabelarten (nach DIN): Twisted-Pair-Kabel, Glasfaserkabel.

=== Tertiärbereich (Etage) ===
Der Tertiärbereich ist die horizontale Stockwerkverkabelung; die Verkabelung innerhalb der Stockwerke eines Gebäudes und wird auch als Etagenverkabelung bezeichnet. Der Tertiärbereich umfasst die Kabel vom Stockwerkverteiler zu den Anschlussdosen (Tertiärkabel). Verwendete Kabelarten: Hauptsächlich Twisted-Pair-Kabel, bei Fibre to the Desk auch Glasfaserkabel.

= Messtechnik =
== Dämpfung ==
Als Dämpfung bezeichnet man die Verringerung des Ausschlages einer Schwingung. Durch Energieverlust (Abgabe von Energie an die Umgebung, viskose Reibung, etc.) verebbt die Schwingung eines Systems, wenn ihr keine neue Energie zugeführt wird.

== Nahnebensprechen (NEXT) und Fernnebensprechen (FEXT) ==
'''Nebensprechen''' oder ''Übersprechen'' (englische Bezeichnung ''Crosstalk'', abgekürzt ''XT'') ist ein Begriff aus der Telefonie und bezeichnet ursprünglich den Effekt, dass man manchmal am Telefon ein anderes Gespräch leise mithören kann - daher der Name. Zugrunde liegt ein einfacher physikalischer Vorgang: ein Adernpaar stellt einen elektrischen Schwingkreis dar und kann daher sowohl als Sender als auch als Empfänger von elektrischen Feldern dienen. Wird nun ein elektrisches Signal, wie beispielsweise das Sprachsignal, über ein Adernpaar übertragen, das gemeinsam mit mehreren anderen Adernpaaren in einem Kabel geführt ist, so wird dieses Signal durch Induktion auf andere Adernpaare übertragen. Das derart eingestreute Signal interferiert dann mit den Signalen, die auf den anderen Adernpaaren übertragen werden.

Bei Vollduplex-Datenübertragung unterscheidet man zwei Arten von Interferenz: Nahnebensprechen (near end crosstalk, NEXT) und Fernnebensprechen (far end crosstalk, FEXT). Das erste, NEXT, bezeichnet den Effekt auf ein anderes Signal, das in derselben Richtung übertragen wird wie das Originalsignal. Die stärkste Einstreuung findet dabei an dem Leitungsende statt, das direkt beim Sender des Originalsignals liegt, also am nahen Ende. Die zweite Art, FEXT, wird auf ein Signal eingestreut, das in der Gegenrichtung zum Originalsignal übertragen wird. FEXT ist wesentlich schwächer als NEXT, da es am fernen Ende eingestreut wird.

== Basic Link ==
Misst die Leitung, die Dosen und die Patchleitung zum Messgerät. Weil bei dieser Meßmethode die Länge der Meßleitungen in die kumulierte Längenangabe aller Messungen mit eingeht (z.&amp;#8239;B. bei jeder Messung 4&amp;#8239;m Meßleitung) und daher durchaus schon mal Längen von einem km (nicht wirklich vorhandener Leitungen) zusammenkommen können, wird diese Methode nicht mehr verwendet.

[[Bild:Basic_link.jpg]]

== Permanent Link ==
Bezeichnet die Messstrecke zwischen den Dosen und der dazwischen liegenden Leitung. Also nur die fest verlegten und unveränderlichen Komponenten. Der Definitionsbereich endet an der Dose und lässt die Anschlussleitungen unberücksichtigt.


[[Bild:Permanent_link.JPG]]

Die roten Linien markieren das Ende der Messstrecke.

== Channel Link ==
Ist die Messstrecke zwischen Dose, Leitung und Patchpanel. Außerdem beinhaltet die Messung noch die Patchleitungen von der Dose zum Messgerät.


[[Bild:Channel_link.JPG]]

Die roten Linien markieren das Ende der Messstrecke.

= Normen =
== ISO ==
International Organization for Standardization (ISO) ist die internationale Vereinigung der Standardisierungsgremien von 148 Ländern; die ISO erarbeitet internationale Normen (engl.: Standards) in allen technischen Bereichen (außer in Elektrik und Elektronik, für die die IEC zuständig ist), darunter technische (z.&amp;#8239;B. MP3 oder Telefonkarten), klassifikatorische (z.&amp;#8239;B. Ländercodes wie .de, .nl, .jp.) und Verfahrensstandards (z.&amp;#8239;B. Qualitätsmanagement nach ISO 9000). Das Deutsche Institut für Normung e.V. (DIN) ist seit 1951 Mitglied der ISO. Die USA sind durch ANSI bei ISO vertreten.

== IEEE ==
Das IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers, meist als ai tripel ih gesprochen) ist ein weltweiter Berufsverband von Ingenieuren aus den Bereichen Elektrotechnik und Informatik. Es ist Veranstalter von Fachtagungen, Herausgeber diverser Fachzeitschriften und bildet Gremien für die Standardisierung von Technologien, Hardware und Software. Wissenschaftlichen Beiträgen in Zeitschriften oder zu Konferenzen des IEEE wird im Allgemeinen eine besonders hohe fachliche Güte unterstellt.

Das IEEE ist mit mehr als 360.000 Mitgliedern in 175 Ländern (2005) der größte technische Berufsverband der Welt. Es zergliedert sich in zahlreiche sog. Societies die sich mit speziellen Gebieten der Elektro- und Informationstechnik auseinandersetzen und in ihrer Vielfalt das gesamte Spektrum der Elektro- und Informationstechnik abdecken.

Das IEEE entstand am 1. Januar 1963 aus dem Zusammenschluss der beiden amerikanischen Ingenieursverbände American Institute of Electrical Engineers (AIEE) und Institute of Radio Engineers (IRE). Sein Logo zeigt stilisiert die Rechte-Hand-Regel des Elektromagnetismus innerhalb einer auf die Ecke gestellten Raute. Diese Raute symbolisiert den Drachen, mit dem Benjamin Franklin gezeigt hat, dass Blitze eine Form elektrischer Energie sind. Die Rechte-Hand-Regel wurde vom IRE übernommen, während der Drachen (die Raute) vom AIEE mitgebracht wurde. 

=== Wichtige IEEE-Standards ===
==== IEEE 802 (LAN/MAN) ====
Das IEEE 802 ist ein Projekt des IEEE , welches sich seit Ende der 70er Jahre mit Standards im Bereich der lokalen Netze (LAN) beschäftigt. Das Projekt legt Netzwerkstandards auf den Schichten 1 und 2 des OSI-Schichtenmodells fest. Dabei wird die Sicherungsschicht in die Bereiche LLC (Logical Link Controll) und MAC (Media Access Control) unterteilt. Die Arbeitsgruppen des IEEE 802 geben aber auch Hinweise für eine sinnvolle Einbettung der Systeme in einen Gesamtzusammenhang (Netzwerkmanagement, Internetworking, ISO-Interaction).

Innerhalb des 802-Projektes sind verschiedene Arbeitsgruppen gebildet worden, die sich nach Bedarf auch mit neuen Aspekten beschäftigen.

{| border=&quot;1&quot;
|-----
! Standard
! Thema der Gruppe
|-----
| 802.1 || Internetworking
|-----
| [[w:IEEE 802|802.2]] || Logical Link Control (LLC)
|-----
| 802.3 || CSMA/CD - Systeme, Ethernet
|-----
| 802.4 || Token Bus Zugriffsverfahren
|-----
| 802.5 || Token Ring Zugriffsverfahren 
|-----
| 802.6 || Metropolitan Area Network (MAN) 
|-----
| 802.7 || Breitbandübertragungstechnologie 
|-----
| 802.8
| Glasfaserübertragungstechnologie 
|-----
| 802.9
| Integrierte Sprach- und Datendienste 
|-----
| 802.10 || Netzwerksicherheit 
|-----
| [[w:IEEE_802.11|802.11]] || Drahtlose Netze 
|-----
| 802.12
| Demand Priority Verfahren / 100-Mbit/s Ethernet 
|-----
| 802.14 || Breitband Cable TV (CATV)
|-----
| 802.15
| Wireless Personal Area Network (WPAN)
|-----
| 802.16 || Broadband Wireless Access (BWA)
|-----
| 802.17 || Resilient Packet Ring (RPR)
|-----
| 802.18
| Radio Regulatory Technical Advisory Group (RRTAG)
|-----
| 802.19 || Coexistence TAG 
|-----
| 802.20 || Drahtlose Breitbandnetze 
|}

== ITU ==
Die International Telecommunication Union (ITU, frz: Union internationale des télécommunications, UIT) mit Sitz in Genf ist die einzige Organisation, die sich offiziell und weltweit mit technischen Aspekten der Telekommunikation beschäftigt. Sie geht zurück auf den 1865 gegründeten Internationalen Telegraphenverein und ist damit die älteste internationale Organisation. Heute ist sie eine Teilorganisation der UNO mit derzeit 190 Mitgliedsländern. Ihre Ziele sind Abstimmung und Förderung der internationalen Zusammenarbeit im Nachrichtenwesen. In ihrem Rahmen arbeiten Staatsregierungen, Unternehmen des privaten Sektors, sowie weitere regionale und nationale Organisationen zusammen. Grundlage der ITU ist der Internationale Fernmeldevertrag, der Aufgaben, Rechte und Pflichten der ITU-Organe festlegt.

Die Arbeitssprachen der ITU sind englisch, französisch und spanisch, und entsprechend hat diese internationale Sonderorganisation der Vereinten Nationen auch drei verschiedenen Namen, unter denen sie Dokumente veröffentlicht.

Die übergeordneten Gremien der ITU, die Plenipotentiary Conference und die World Conference bearbeiten allgemeine Prinzipien und generelle Konventionen. Die Studiengruppen der ITU hingegen leisten die eigentliche Arbeit: Sie bearbeiten technische Fragestellungen, die sie in regelmäßigen Sitzungen diskutieren. Die Ergebnisse werden als Empfehlungen (Recommendations) veröffentlicht und haben allerdings den Charakter von Normen.

== CCITT ==
Das CCITT - Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique ist die frühere Bezeichnung eines der technischen Komitees der ITU, des jetzigen ITU Telecommunication Standardization Sector (ITU-T), d.&amp;#8239;h. der Abteilung der ITU, die technische Normen, Standards, und Empfehlungen für alle Gebiete der Telekommunikation erarbeitet. ITU-T besteht seit dem 1. März 1993, die Ursprünge des CCITT gehen zurück auf das Jahr 1865.

= [[Netzwerktechnik: Protokolle|Protokolle]] =

Netzwerkprotokolle können grundsätzlich in Kommunikationsprotokoll (KP), Zugriffsprotokolle (ZP), Anmeldeprotokolle (AP), Hilfsprotokolle (HP) und Verschlüsselungsprotokolle (VP) unterteilt werden.


1.	ARP

        ARP = Adress Resolution Protokoll. Das ARP arbeitet ähnlich wie DNS. 
        Der Unterschied liegt darin, dass ARP IP – Adressen in MAC Adressen 
        umwandelt und auch umgekehrt.

        Dazu benutzt das Protokoll eine dynamische Adressermittlungstabelle,
        die auch ARP – Cache genannt wird.

        ARP ist also ein Hilfsprotokoll.


2.	ATM und ATMARP

        ATM = Asynchronous Transfer Mode. Das ATM ist ein KP. Dabei handelt es
        sich um ein verbindungsloses Protokoll, da KEINE Verbindung zwischen
        einem Sender und Empfänger bestehen muss.

        ATM benutzt andere Adressen als die üblichen IP Adressen.

        ATMARP = Asynchronous Transfer Mode  - Adress Resolution Protokoll.

        Das ATMARP arbeitet ähnlich wie das ARP mit dem Unterschied, dass die
        dynamische Adressermittlungstabelle hier ATM – Adressen in IP Adressen
        umwandelt und umgekehrt.


3.	APIPA

        APIPA = Automatic Private IP Adressierung. 

        Wenn Ihr Rechner ein DHCP – Client ist und der DHCP Server NICHT verfügbar ist, 
        wird bei einigen Betriebssystemen Ihrem Rechner mit APIPA automatisch eine 
        IP – Adresse aus dem Bereich 169.254.nnn.nnn (Klasse B Netz) zugewiesen.

        Damit wird verhindert, dass ein Client OHNE IP – Adresse im Netz vorhanden ist.

        Allerdings hat dieses Verfahren den Nachteil, dass Ihr Rechner KEINE Teilnehmer 
        in ihrem Netz mehr findet. Wenn diese anderen Workstations aber auch KEINEN DHCP 
        Server finden, werden auch diese Workstations eine APIPA Adresse besitzen und 
        sind damit wieder erreichbar. Allerdings werden APIPA-Adressen nicht geroutet.

        Sollte auf Grund eines Netzwerkfehlers (z.&amp;nbsp;B. fehlendes Netzwerkkabel) der DHCP 
        Server nicht gefunden werden, dann sind die anderen Netzwerkteilnehmer nicht mehr 
        verfügbar.


4.	BGP

        BGP = Border Gateway Protocol. Das BGP ist ein Hilfsprotokoll.

        Es wird zum Routing zwischen autonomen Systemen verwandt. Es benutzt zum Senden 
        seiner Nachrichten, (Liste der autonomen Systeme) von Router zu Router, das TCP 
        Protokoll.


5.	BOOTP

        BOOTP = BOOT Protocol. Dieses Protokoll ist ein Kommunikationsprotokoll. Es
        dient im Rahmen von PXE (Preboot eXecution Environment) dazu die Anfragen
        des Clients (zu diesem Zeitpunkt noch ohne IP Adresse) an den Server zu stellen.
        Mit BOOTP werden einfache Netzwerkeinstellungen wie IP-Adresse, Subnetzmaske und 
        Gateway übertragen, für komplexere Konfigurationen wird DHCP verwendet.


6.	CHAP

        CHAP = Challenge Handshake Authentification Protocol. CHAP ist ein Anmeldeprotokoll.
 
        CHAP ist ein Protokoll, das innerhalb von PPP zur Authentifizierung verwendet wird. 
        Um die bei PAP auftretenden Sicherheitsrisiken zu verringern wurde CHAP entwickelt. 
        Dieses Verfahren wird als 3-Wege-Handshake bezeichnet.

        Die Authentifizierung wird bei CHAP vom Host gesteuert. Hat sich der Client eingewählt 
        wird er vom Host zur Authentifizierung aufgefordert. Der Host schickt an den Client 
        einen zufälligen Wert (Challenge). 

        Aus der Zufallszahl, Benutzername und Passwort wird ein MD5-Hashwert gebildet. Er 
        wird an den Host übertragen (Response). 

        Der Host bildet ebenfalls aus der Zufallszahl und dem vorliegenden Benutzernamen 
        und Passwort einen Hashwert. Stimmen die gesendeten Benutzerdaten mit denen des 
        Hosts überein, wird die Authentifizierung akzeptiert (Accept). 

        Wenn nicht, wird sie abgelehnt (Reject). 

        Wurde die Authentifizierung akzeptiert, werden während der Verbindung die Benutzerdaten 
        periodisch geprüft (Re-Authentifizierung).

        Wird die Verbindung abgehört bekommt der Lauscher nur den Hashwert, nicht Benutzernamen 
        und Passwort. Aus dem Hashwert lassen sich die Benutzerdaten nur mit viel Aufwand oder 
        dem Einsatz vorberechneter sog. Rainbowtables ermitteln.

        Die mit CHAP ausgetauschten Benutzerdaten sind zum Beispiel durch eine Man-in-the-Middle-Attacke   
        gefährdet. Dabei schaltet sich ein Angreifer zwischen Client und Host. Er gaukelt dem Client 
        eine PAP- und dem Host eine CHAP-Authentifizierung vor. Bei PAP wird das Passwort im Klartext 
        übertragen. 

        CHAP ist im Regelfall das Verfahren, das bei der Anmeldung an den Internet-Zugang beim ISP 
        per Modem oder ISDN-Adapter durchgeführt wird.


7.	CSMA/CD

        CSMA/CD = Carrier Sense Multiple Access / Collision Detection. CSMA/CD ist ein Zugriffsprotokoll.

        CSMA ist die Abkürzung für Carrier Sense Multiple Access und ein Begriff aus dem Bereich der     
        Telekommunikation und der Computernetzwerke. 

        Es ist ein dezentrales Verfahren zum Erlangen des Zugriffsrechts (Arbitration) nach dem 
        Konkurrenzverfahren auf Busleitungen wie z.&amp;nbsp;B. den Feldbus, oder auch auf einen Funkkanal. 
        Carrier Sense steht für Überwachung des Trägerkanals und bedeutet, dass alle Teilnehmer 
        den Status der Busleitung beobachten und ihre Nachrichten nur senden, wenn gerade kein 
        anderer Teilnehmer sendet, der Kanal also frei ist. 

        CSMA teilt sich wiederum in verschiedene Verfahren zur Behandlung oder Vermeidung einer 
        Kollision auf dem Bus auf. Kollisionen können eintreten, wenn zwei oder mehr Teilnehmer 
        gleichzeitig mit dem Senden beginnen. 

        CSMA/CD erkennt Kollisionen und CSMA/CA versucht, die Konkurrenzsituation durch unter-
        schiedliche Sendeverzögerungen zu vermeiden.


8.	DHCP

        DHCP = Dynamic Host Configuration Protocol. DHCP ist ein KP.

        DHCP arbeitet mit einem DHCP Server und DHCP Clients. Der DHCP Server hat
        eine feste IP Adresse und verwaltet einen Adresspool, aus dem er Clients auf Anforderung
        eine Adresse und Optionen zusendet. Bei den Optionen handelt es sich um weitere Einstellungen
        wie z.&amp;nbsp;B. Subnetzmaske, Gateway, Hostname, DNS- oder WINS-Serveradressen.

        DHCP ist ein Weiterentwicklung des BOOTP – Protokolls.

        
9.	DNS

        DNS = Domain Name Service  oder auch Domain Name Space ist ein KP.

        DNS ist für die Auflösung von IP – Adressen in Rechnernamen und umgekehrt zuständig. Dafür 
        braucht das System eine Datei namens &quot;hosts&quot; bzw. die Datei &quot;lmhosts&quot; (Lan Manager hosts, 
        hauptsächlich bei  Windowssystemen mit NetBIOS ohne WINS benötigt). In dieser Datei stehen 
        die bekannten IP Adressen und deren Namenszuordnung bzw. deren Kurznamen.

        Für den Menschen ist einfacher sich Namen zu merken, während der Computer besser mit 
        eindeutigen Nummern zurechtkommt.

        Die Datei HOST kann von Hand editiert oder auch automatisch angepasst werden.
        Das kann über die DHCP – Einstellungen eingestellt werden.

Während Computer sich mit Nummern identifizieren, ist es für Menschen einfacherer sich Domainnamen zu merken. DNS bringt diese Adressierungen zusammen. Wenn ich also die Domain de.wikibooks.org in meinen Browser eingebe, möchte dieser lieber die IP-Adresse haben und diese dann anschreiben. Also meldet sich mein Browser bei seinem DNS-Server und fragt die Adresse &quot;de.wikibooks.org.&quot; an. Nehmen wir mal an, mein DNS-Server kennt die Adresse nicht und meldet sich nun bei einem Root-Server. Dieser kennt nur die Top- oder First Level Domains und sagt daher: &quot;Ich habe keine Ahnung welche IP-Adresse 'de.wikibooks.org.' hat, aber ich kenne .org, frage doch da nach.&quot;

Der DNS-Server geht nun zum zuständigen Server für die Top Level Domain (TLD) .org, welcher aber nur die Sub- oder Second Level Domains kennt und bekommt die Antwort: &quot;Ich weiß nur, wo Du wikibooks.org. findest. Frage doch mal da nach.&quot;

Nun fragt der DNS-Server bei wikibooks.org nach und dieser hat die Third Level Domain und nennt die IP-Adresse dem DNS-Server: 91.198.174.192

Diese IP-Adresse gibt der DNS-Server an den Browser zurück. Nun kann der Browser die Seite durch die IP-Adresse anfordern und damit die Seite für mich darstellen.

Der DNS-Server speichert die IP-Adresse für zukünftige Anfragen.

Zudem findet heutzutage eher eine günstigere Methode Anwendung, bei der der DNS-Server nur noch eine Stufe hochgeht und nicht mehr direkt den Root-Server ansteuert.


10.	EAP

        EAP = Extensible Authentification Protocol. EAP ist ein Anmeldeprotokoll.

        EAP ist die Erweiterungdes Point to Point Protocol (PPP, Einwahl über ein Modem ins Netz. 

        EAP erlaubt es, eine größere Vielfalt an Authentifizierungs-Protokollen zu nutzen und 
        damit den unbefugten Zugriff weiter zu erschweren.


11.	FTP

        FTP = File Transfer Protocol

        FTP ist ein Dateiübertragungsprotokoll und benutzt TCP zur Datenübertragung.

        Es benutzt die Ports 20 (zur Kommando-, Kontroll- und Datenübertragung sowie
        Port 21 zur Steuerung (Initiierung und Aufrechterhaltung) der jeweiligen Sitzung.

        Mit FTP können Daten als Struktur, als Sätze oder als Seiten übertragen werden.

        Die Übertragung von Strukturdaten erfolgt immer dann, wenn die Dateien keine 
        innere Struktur (keine Datensätze) enthält und somit als eine sequentielle Folge 	
        von Bytes angesehen wird.

        Die Übertragung von Sätzen erfolgt immer dann, wenn die Datei aus Datensätzen
        besteht.

        Die Übertragung von Seiten bezieht sich auf Seiten, die im Cache zwischengespeichert 
        sind (zum Beispiel Inhalte von Webseiten). 

        Da der Cache die Daten in sogenannten Seiten (Pages) speichert, handelt es sich 	
        um die Übertragung von Seiten.
		
        Zusätzlich unterscheidet man noch verschiedene Übertragungsmodi.

        Im Modus STROM werden die Daten als ein Strom von Daten (Bytestrom) übertragen.

        Im Modus BLOCK wird die Datei in Datenblöcke zerlegt (z.&amp;nbsp;B. 1 Block = 4K, 1 Block 
        = 8K etc.) und diese als eine Serie von Datenblöcken übertragen.

        Im Modus KOMPRIMIERT werden die Daten komprimiert übertragen. Dabei werden redundante 
        Informationen (z.&amp;nbsp;B. 71 Leerzeichen werden als 71 Spaces codiert und damit wird eine 
        ganze Menge Speicher gespart) auf das erforderliche Mindestmaß reduziert.

        FTP unterstützt nur eine begrenzte Anzahl von Befehlen.

        Außerdem ist FTP relativ unsicher, da die Daten unverschlüsselt übertragen werden.


12.	HTTP und HTTPS

        HTTP = HyperText Transport Protocol  ||  Secure HyperText Transport Protocol
        HTTP ist das standardmäßige Protokoll, dass von den Webservern eingesetzt wird. Für 
        sensible Bereiche (LOGINs, geschlossene Benutzergruppen, Homebanking etc.) wird HTTPS 
        (das verschlüselte HTTP Protokoll) verwandt.

        HTTP wertet in diesem Zusammenhang und unter Verwendung von DNS die übergebenen Adressen 
        (URI, URL, URN) aus.

                URI	= 	Unified Resource Identifier
                URL	=	Unified Resource Locator
                URN 	=	Unified Resource Names

        HTTP funktioniert folgendermaßen : 
        Der Client schickt eine Internetadresse an seinen zuständigen Server.

        Nun wertet dieser per DNS - Server die Adresse aus. 

        Kennt er die Adresse, so gibt er die entsprechende Anfrage an den zuständigen Server 
        weiter. Dieser schickt die zugehörige Webseite an den anfragenden Server und dieser 
        schickt sie weiter an den Client.

        Kennt er die Adresse nicht, so gibt er sie an seinen übergeordneten Server weiter.
        Dieser wertet nun seinerseits die Adresse aus.

        URL	= www.test.beispiel.
	
        Der aktuelle Server ist der letzte Punkt.

        Wenn dieser die Adresse nicht kennt, dann wird die Adresse an den Server 
        Beispiel weitergegeben, der seinerseits die Anfrage prüft.

        Dies bedeutet, dass WWW der Top Level (Hauptserver des Internets) ist.
        Der nächste Server Test ist bereits der Top Level Domain untergeordnet.

        Weitere Details würden dieses Dokument sprengen.


13.	ICMP

        ICMP = Internet Control Message Protocol
        ICMP selbst ist ein Hilfsprotokoll. 

        Sie haben sicherlich schon das ICMP Protokoll unbemerkt benutzt. 

        In dem Moment, wo sie zur Netzwerkdiagnose PING benutzen, benutzen Sie
        automatisch auch ICMP.
	
        Die Meldung von PING z.&amp;nbsp;B. „Destination Host unreachable“ ist eine ICMP
        Meldung. ICMP wird also in der Regel zur Diagnose von Netzwerkproblemen genutzt.


14.	IMAP

        IMAP = Internet Mail Access Protocol
        IMAP ist ein häufig zur Übertragung von Mails genutztes Internetprotokoll.
			

15. IPX/SPX

        IPX = Internetwork Packet Exchange
        SPX = Sequenced Packet Exchange

        IPX/SPX ist eine Protokollfamilie, die Novell für NetWare entwickelt
        hat. Sie geht auf Xerox XNS zurück: IPX entspricht dem dortigen IDP,
        SPX dem SPP.

        IPX arbeitet auf der Vermittlungsschicht und ist verbindungslos. Es
        überträgt Datagramme ohne Empfangsbestätigung, vergleichbar mit IP
        und UDP.

        SPX setzt auf IPX auf und arbeitet auf der Transportschicht. Es
        stellt eine gesicherte, verbindungsorientierte Übertragung her und
        übernimmt Flusskontrolle sowie die Bestätigung empfangener Pakete.

        Eine IPX-Adresse besteht aus einer 4 Byte langen Netznummer, einer
        6 Byte langen Knotennummer und einer 2 Byte langen Socketnummer. Als
        Knotennummer wird die MAC-Adresse der Netzwerkkarte verwendet, so
        dass eine manuelle Adressvergabe am Arbeitsplatz entfällt. Das war
        einer der Gründe für die frühere Verbreitung in kleineren Netzen.

        Da IPX/SPX ohne Konfigurationsaufwand nutzbar war, wurde es auch von
        vielen Spielen unter DOS und Windows 95 für den LAN-Modus verwendet.

       Ab NetWare 5 (1998) setzte Novell auf natives TCP/IP. Aktuelle
       Betriebssysteme unterstützen IPX/SPX nicht mehr; Windows hat die
       Unterstützung mit Vista entfernt.
			
16.	L2TP

        L2TP = Layer 2 Tunneling Protocol ist ein Hilfsprotokoll.
        L2TP richtet auf einer bestehenden Verbindung einen Tunnel auf.  Es schirmt
        bestimmte Verbindungsarten (IP-, Frame-Relay- bzw. ATM – Netz) mit einem
        Tunnel ab.

        Damit ermöglicht L2TP die Authentisierung von Remote Benutzern beim Aufbau 		
        von VPN (Virtual Private Networks) mit RAS (Remote Access Service).


17.	LDAP

        LDAP = Leightweight Directory Access Protocol ist ein Zugriffsprotokoll.
	
        LDAP ist ein Protokoll mit dem Anfragen an einen Verzeichnisdienst gestellt werden können.
        Windows benutzt LDAP um Anfragen ans Active Directory zu stellen.

        Unter Linux ist OpenLDAP verbreitet.


18.	NAS

        NAS = Network Access Service bzw. Network Access Server
        NAS ist ein Authentifizierungs- und Authentisierungsprotokoll.

        Um eine RAS (Remote Access Service) – Lösung zu implementieren, muss ein NAS
        installiert sein. 

        Dieser Service übernimmt die Autorisierungs- und Authentifizierungsprüfungen.

        Zusätzlich kann ein Logbuch erstellt werden, in dem die Accountinginformationen 
        zu jedem Benutzer gespeichert werden.

			
19.	NetBEUI

        NetBEUI = NetBIOS Extended User Interface
        NetBEUI ist ein eigenes Microsoft Protokoll, das in Windows basierten Betriebs-
        systemen eingesetzt wurde.

        Dieses Protokoll wurde hauptsächlich bei WINDOWS 3.x eingesetzt und ist auf LANs 
        beschränkt, da es kein Routing unterstützt.

        Dieses Protokoll wird von den modernen Betriebssystemen lediglich aus Kompatibilitäts-
        gründen noch unterstützt.


20.	NetBIOS

        NetBIOS = Network Basic Input Output System
        Das NetBIOS wird hauptsächlich in LANs eingesetzt, die ältere Betriebssysteme (DOS,
        WIN 3.x etc.) benutzen.

        Auch dieses Protokoll ist bereits veraltet und wird von modernen Betriebssystemen 
        ebenfalls nur aus Kompatibilitätsgründen unterstützt.


21.	NDIS

        NDIS = Network Driver Interface Specification
        Microsoft Betriebssysteme (ab WINDOWS 2000) benutzen folgende Netzwerkarchitektur :
	
        Clients (Redirector)
	
           APIs	
           Server
           TDI

        TCP/IP
	
           NetBEUI	
           NWLink (IPX)	
           AppleTalk
           NDIS - Schicht

        Netzwerkkartentreiber

	
        NDIS ist eine Schichtgrenzenschnittstelle. Unterhalb dieser Grenze liegen die 
        Netzwerkkartentreiber.


22.	OSPF und OSPFng

        OSPF = Open Shortest Path First bzw. Open Shortest Path First new generation
        OSPF (für IPv4) und OSPFng (für IPv6) sind zustandsorientierte Routing Proto-
        kolle. Beim OSPF wird der Zustand von Verbindungen (Links) berücksichtigt. 
        Es ist also eine Link-State Routing Protokoll. 

        Die Routing Information wird beim OSPF direkt in die IP Pakete eingebettet ohne 
        ein Transportprotokoll zu benutzen.

        Beim OSPF muss jeder Router für sich selbst eine Routingtabelle erstellen.
        Er muss zusätzlich die Routing Informationen jedes anderen Routers in seiner 	
        Routing Interface Datenbank speichern.


23.	PAP

        PAP = Password Authentification Protocol
        PAP ist ein Hilfsprotokoll, das von PPP zur Authentisierung benutzt wird.

        PAP wird als Prefix VOR einer PPP Dateneinheit eingefügt. Dabei werden
        zusätzlich zu den eigentlichen Nutzdaten folgende Informationen (Code, Identifier, 
        Length) übertragen.

        In CODE steht entweder
                1	= 	Authentification Request		REQ
                2	=	Authentification Acknowledgement	ACK
                3	=	Authenttification Not Acknowledgement	NAK

        Die Authentifizierung nach PAP erfolgt mit Hilfe der Angaben :
        Benutzer ID (Identification) und Password (Kennwort).

        Der Nachteil von PAP liegt darin, dass User-ID und Passwort im Klartext
        übermittelt werden.


24.	PLP

        PLP = Packet Layer Protocol
        In der Paketvermittlung nach X.25 wird in der Vermittlungsschicht das PLP benutzt. 
        Es wird auch als X.25PLP bezeichnet.

        Es ist für den Verbindungsaufbau und -abbau sowie für die Übertragung einer Verbindung 
        verantwortlich.

        Es können gleichzeitig mehrere virtuelle Verbindungen über eine physikalische Leitung 
        abgewickelt werden.		


25.	POP

        POP = Post Office Protocol
        Das POP – Protokoll (POP3 Protokoll) dient dazu, Mail – Postfächer abzufragen.

        Es arbeitet ähnlich wie IMAP und ist zuständig für den Download der Emails zum 
        lokalen PC des Postfachinhabers. 


26.	PPP

        PPP = Point to Point Protocol
        Das PPP ist ein Kommunikationsprotokoll. Es wird für die Übermittlung von Datenpaketen 
        von Protokollen der Netzwerkschicht (z.&amp;nbsp;B. IP) über physische und virtuelle Punkt zu 
        Punkt Verbindungen verwendet.

        Das PPP wird vor allem bei RAS eingesetzt.

        Zum PPP gehören auch die Hilfsprotokolle PAP und CHAP.


27.	PPTP

        PPTP = Point to Point Tunneling Protocol
        PPTP ist ebenfalls ein Hilfsprotokoll. 

        Das Tunneling ist ein Konzept, bei dem man beliebige Datenpakete über ein Weitverkehrsnetz 
        als reines Transitnetz transportiert. Dieses Konzept wird benutzt, um IP Datenpakete über 
        Netze zu transportieren, in denen man ein anderes Protokoll benutzt.


28.	RADIUS

        RADIUS = Remote Authentification Dial In User Protocol
        Die Daten zwischen RADIUS Server und RADIUS Client werden als RADIUS Pakete übertragen.

        RADIUS benutzt dazu das verbindungslose Protokoll UDP.

        RADIUS ist der Port 1813 zugeordnet, in älteren Installationen auch 1645.


29.	RTP

        RTP = Real-time Transport Protocol 
        Das RTP ist ein Kommunikationsprotokoll.

        Es dient der Übertragung von Audio- und Videodaten in Echtzeit in IP Netzen.

        Beispiele für die Anwendung von RTP sind Videokonferenzen, Filme, die in Echtzeit 
        ausgestrahlt werden (z.&amp;nbsp;B. Bilder von der Raumstation).		

        Das RTP vergibt neben einer laufenden Nummerierung einen Zeitstempel an die Audio- 
        und Videodatenpakete, um deren richtige Reihenfolge beim Empfänger zu gewährleisten.


30.	RTCP

        RTCP = Real Time Control Protocol
        Das RTCP ist ein Hilfsprotokoll für RTP.

        Für die Überwachung der QoS – Parameter (QoS = Quality of Service) sowie die 	
        zusätzliche Steuerung zwischen Sender und Empfänger wird RTCP benutzt.


31.	SLIP

	SLIP = Serial Line Internet Protocol
        Das SLIP ist ein Kommunikationsprotokoll.

        Es wird benötigt, um IP Datenpakete über eine serielle Leitung zu übertragen.

        Beispiele für SLIP sind Verbindungen über eine analoge oder digitale Telefonleitung 
        (analoge Telefonie, ISDN, DSL).


32.	SMTP

        SMTP = Simple Mail Transport Protocol
        Das SMTP ist ein Kommunikationsprotokoll, das zum Austausch von Email dient.

        Es basiert auf der Grundlage einer verbindungsorientierten Rechner zu Rechner
        Kommunikation mittels TCP.

		
33.	TCP

        TCP = Transmission Control Protocol
        Das TCP ist ein Kommunikationsprotokoll, das einen gesicherten, verbindungsorientierten
        Vollduplex Datenstrom zwischen Sender und Empfänger ermöglicht.
 
        TCP ist ein wesentlicher Bestandteil der TCP / IP Protokollfamilie.

	
34.	TCP/IP

        TCP/IP = Transmission Control Protocol – Internet Protocol
		
        TCP/IP ist kein einzelnes Protokoll sondern eine gesamte Protokollfamilie.
        Zu dieser Familie gehören eine ganze Menge anderer Protokolle.

        FTP, NNTP, HTTP, HTTPS, SMTP, TELNET, DHCP, SNMP, NFS, LDAP etc.

        Das TCP/IP ist heutzutage das Standardprotokoll für alle Arten von Netzwerken
        (WAN, LAN, WLAN, MAN).


35.	UDP

        UDP = User Datagram Protocol
        Das UDP ist ein Kommunikationsprotokoll, das über eine ungesicherte, verbindungslose 
        Kommunikation zwischen Sender und Empfänger abgewickelt wird.

        Durch UDP können Anwendungen selbständige Datenblöcke (Datagramme) senden und empfangen.

        UDP ist eine wichtige Grundlage für folgende Protokolle :

        TFTP, RPC, NFS, DNS, SNMP, BOOTP, LDAP etc.


36.	VoIP

        VoIP = Voice over IP
        VoIP ist eine Kommunikationform, die recht neu ist und zur Übertragung von Sprache ein 
        IP Netz (Internet Telefonie, Videokonferenzen) verwendet.

        Wird VoIP innerhalb eines Firmen LANs benutzt, spricht man auch von Intranet-Telefonie, 
        bei VoIP im Internet von Internet-Telefonie.

        Für den Einsatz von VoIP, müssen neben der Protokollinstallation noch bestimmte Hardware-
        komponenten (Mikrofon, Headset, Lautsprecher, WebCam) installiert sein.
 
        Selbstverständlich muss der PC über ausreichende Kapazitäten an Arbeitsspeicher sowie 
        über eine ausreichende Geschwindigkeit zur Kodierung und Dekodierung des Datenstroms verfügen.
        Außerdem sollte auch die Netzwerkverbindung schnell genug sein um die anfallenden Datenmengen 
        zu übertragen. 


37.	WAP

        WAP = Wireless Access Protocol
        Das WAP ist ein verbindungsloses Kommunikationsprotokoll, das heutzutage bereits von 
        verschiedenen Endgeräten benutzt wird.

        Zum Einen wird WAP von Mobiltelefonen benutzt, um Internetinhalte (im Rahmen von UMTS) 
        in beschränktem Umfang auf dem Handy darzustellen.

        Zum Anderen wird WAP auch von mobilen Computern (Notebooks, PDAs) benutzt, um an so 
        genannten WLAN Access Points kabellos ins Internet zu gehen.

        Zum Dritten wird WAP auch innerhalb von Gebäuden benutzt, um die sonst notwendige 
        Verkabelung zu vermeiden.

        Allen Anwendungsgebieten gemeinsam ist das Problem der Datenübertragung.

        Bei jeder Nutzung von WAP sollte darauf geachtet werden, dass die Übertragung immer 
        verschlüsselt erfolgen soll.

        Bei einer unverschlüsselten Datenübertragung ist es für fremde Personen viel zu leicht 
        in das kabellose Netzwerk einzudringen und so die übertragenden Daten mitzulesen, 
        auf Kosten des Inhabers des Netzwerks zu surfen bzw. auf dessen PC zuzugreifen, Daten 
        auszuspionieren oder zu veränderen bzw. zu löschen.

  Diese Beschreibung von Netzwerkprotokollen erhebt KEINEN Anspruch auf Vollständigkeit. Es 
  ist NUR eine kleine Auswahl der tatsächlich verfügbaren Protokolle.

= [[Netzwerktechnik: OSI|OSI-Schichtenmodell]] =

= Komponenten =

[[Bild:Komponenten schichten zuordnung.jpg]]

== Repeater ==
Repeater arbeiten optisch oder elektronisch auf der Schicht 1 des OSI-Schichtenmodells. Sie dienen dazu, mehrere Netzsegmente zu verbinden bzw. um das Signal auf langen Übertragungswegen wieder aufzufrischen.

Im Normalfall beeinflusst ein Repeater die auf der Leitung übertragenden Informationen nicht. Es gibt allerdings Ausnahmen, wie zum Beispiel die Repeater die die DTAG in ihrem Direktrufnetz verwendet um das Signal wieder mit dem Referenztakt zu synchronisieren.

== Hub ==
Ein Hub verbindet mehrere Netzwerkteilnehmer sternförmig miteinander. Er arbeitet auf Schicht 1 des OSI-Schichtenmodells und ist technisch ein Repeater mit mehreren Ports (Multiport-Repeater).

Ein Hub wertet keine Adressen aus. Jedes an einem Port eintreffende Signal wird verstärkt und unverändert an alle anderen Ports ausgegeben. Alle Teilnehmer empfangen dadurch sämtliche Daten und müssen selbst prüfen, ob diese für sie bestimmt sind.

Alle an einem Hub angeschlossenen Geräte teilen sich die Bandbreite und bilden eine gemeinsame Kollisionsdomäne. Senden zwei Teilnehmer gleichzeitig, kommt es zu einer Kollision, die über das Zugriffsverfahren CSMA/CD aufgelöst wird. Ein Betrieb im Vollduplex ist deshalb nicht möglich.

Im Gegensatz dazu wertet ein Switch die Zieladresse aus und leitet Daten gezielt nur an den Port weiter, an dem der Empfänger angeschlossen ist.

Hubs sind heute technisch überholt und werden praktisch nicht mehr hergestellt. Für Gigabit-Ethernet und schneller werden ausschließlich Switches eingesetzt.

== Switch ==
Ein Switch verbindet Endgeräte und Netzsegmente auf Schicht 2 des OSI-Schichtenmodells. Technisch ist er eine Bridge mit vielen Ports.

Der Switch lernt aus jedem empfangenen Frame die Quell-MAC-Adresse und trägt sie zusammen mit dem Eingangsport in seine MAC-Adresstabelle ein (auch Forwarding Database, FDB, oder bei Cisco CAM-Tabelle genannt). Einträge, die längere Zeit nicht mehr bestätigt werden, verfallen wieder, üblich sind 300 Sekunden.

Anhand dieser Tabelle leitet der Switch einen Frame nur an den Port weiter, hinter dem die Zieladresse liegt. Ist die Zieladresse noch unbekannt oder handelt es sich um einen Broadcast oder Multicast, sendet er den Frame an alle Ports außer dem Eingangsport (Flooding).

Jeder Switch-Port bildet eine eigene Kollisionsdomäne, im Vollduplex-Betrieb entstehen keine Kollisionen mehr. Alle Ports eines Switches gehören jedoch zur selben Broadcast-Domäne, sofern keine VLANs eingerichtet sind.

Bei der Weiterleitung unterscheidet man drei Verfahren:
* '''Store-and-Forward''': Der Frame wird vollständig empfangen und anhand der Prüfsumme kontrolliert.
* '''Cut-Through''': Die Weiterleitung beginnt, sobald die Zieladresse gelesen ist.
* '''Fragment-Free''': Die Weiterleitung beginnt nach den ersten 64 Byte, dadurch werden Kollisionsfragmente ausgefiltert.

Eine ausführliche Beschreibung der drei Verfahren mit ihren Vor- und Nachteilen findet sich bei [https://netzikon.net/lexikon/w/weiterleitungsverfahren.html netzikon.net: Store and Forward, Cut Through und Fragment Free].

Switches, die zusätzlich auf Schicht 3 routen können, bezeichnet man als Layer-3-Switch oder Multilayer-Switch.

== Bridge ==
Eine Bridge arbeitet wie ein Switch auch auf der 2. OSI-Schicht.
Ziel der Bridge ist es Kollisionen im Netzwerk zu verhindern. Sie verbindet mehrere Teilnetze miteinander und leitet nur diejenigen Pakete weiter, deren Ziel sich in einem anderen Teilnetz befindet.

== Router ==
Router arbeiten auf Schicht 3 des OSI-Schichtenmodells und sorgen dafür, dass die eintreffenden Daten den richtigen Weg finden. Router ermitteln den Weg mit Hilfe von Routingtabellen.

Dafür werden Routingprotokolle wie z.&amp;#8239;B. {{W|Border Gateway Protocol|Border Gateway Protocol (BGP)}}, {{W|Open Shortest Path First|Open Shortest Path First (OSPF)}}, {{W|Interior Gateway Routing Protocol|Interior Gateway Routing Protocol (IGRP)}}, EIGRP und {{W|Routing Information Protocol|Routing Information Protocol (RIP)}} verwendet.

Wobei zu beachten ist das EIGRP ein proprietäres Cisco-Protokoll ist und nur von Cisco-Routern unterstüzt wird.

Router verbinden Netzwerke.

Router lassen keine Broadcasts durch.

== Gateway ==
Gateways erlauben unter anderem Netzwerke, die auf vollkommen unterschiedlichen Protokollen basieren, miteinander zu kommunizieren. 
Beispiele sind SMS to E-Mail, Fax to E-Mail und E-Mail to Sprache.

= Quellen =
* {{w|Topologie (Netzwerk)}}
* {{w|Strukturierte Verkabelung}}
* {{w|Twisted-Pair-Kabel}}
* {{w|Glasfaserkabel}}
* {{w|IPv4}} / [[w:IPv6|IPv6]]
* [http://www.selflinux.org/selflinux/html/tcpip.html  SelfLinux: TCP/IP]

[[Kategorie:Buch]]</text>
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    <title>Diskussion:Netzwerktechnik</title>
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      <timestamp>2026-09-22T14:49:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Netzikon</username>
        <id>116920</id>
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      <comment>Neuer Abschnitt /* Überarbeitung und Offenlegung */</comment>
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      <text bytes="4392" sha1="59eapgfkoaf7p29l1uup61sozz2ilvn" xml:space="preserve">== Quellen ==
[[Benutzer:Heyko|Heyko]] 14:28, 4. Mär 2005 (UTC)
Ich habe leider gerade eben erst erfahren das man bei Wikipedia Inhalten den Author bzw. die 5 Hauptauthoren erwähnen muss. Vielen Dank dafür nochmal [[Benutzer:Berni]]. Dieses werde ich in Zukunft und auch rückwirkend nachholen.

== Zur Gliederung ==
Prima Material! Aber die Gliederung sollte überarbeitet werden: Strukturierte Verkabelung, OSI und anderes sollten keine Unterpunkte von Glasfaser sein. -- [[Benutzer:Klaus Eifert|Klaus Eifert]] 07:37, 7. Sep 2005 (UTC)

Topologien und Protokolle wurden in einzelne Dateien ausgelagert, weil die Haupt-Datei zu groß wurde. -- [[Benutzer:Klaus Eifert|Klaus Eifert]] 22:15, 22. Okt 2005 (UTC)

==Medien==
Luft ist für die Übertragung per WLAN-Technik nicht nötig - es ist kein Medium nötig. 
Kupfer (2-adrig ungeschirmt) - also Telefondraht ist auch ein Medium! Die ganze DSL-Technik beruht darauf. [[Benutzer:Habibi|Habibi]] 08:29, 17. Feb 2006 (UTC)
* WLAN - war auch nicht als Medium gedacht. Hab´ mich nur dumm ausgedrückt :-). Hab´s geändert. [[Benutzer:DonQuichot|DonQuichot]]

== Änderungen in Kapitel &quot;Übertragungsmedien&quot; ==

Hi!

Schreibe für einen Freund eine kleine Doku über Netzwerktechnik und
habe mir auch dieses Buch angesehen!
Darauf habe ich im Bereich &quot;Übertragungsmedien&quot; Den Punkt &quot;Patchkabel&quot;
hinzugefügt und gleich auf Wikipedia - Patchkabel verlinkt.

Außerdem finde ich Kupferkabel nicht als &quot;die Richtige Bezeichnung&quot;, deshalb
Habe ich es in Koaxialkabel umbenannt.

Mfg re_sc

== Abgrenzung LAN, WLAN, MAN, WAN, GAN ==

Ich glaube, dass diese Unterscheidung nicht ganz korrekt ist.

Ich bin der Ansicht, das die folgende Reihenfolge korrekt ist:

* VLAN (very local area network)
* LAN
* MAN
* WAN
* GAN

VLAN ist bei den meisten Switches eine Option um Ports zusammenzufassen und physikalisch vom rest des Netzwerkes zu trennen bzw. ein Subnetz zu bilden. Auch bei Virtuellen Maschinen (wie VMWare) wird ein VLAN auf der lokalen Maschine eingerichtet, die unabhängig voneinaner arbeiten.

Stichwort WLAN - Diese Bezeichung ist eher ein Marketingargument in der realität ist ein WLAN einem VLAN oder LAN zuzuordnen oder bei Mesh-Netzen auch als MAN oder WAN.

Natürlich gibt es auch noch andere Bezeichnungen wie PAN (personal area network) oder CAN (controller area network), die für beide wiederum unter VLAN und LAN zu verstehen sind.

Sollte jemand andere gedankengänge haben bitte ich um Aufklärung.

Grüße
Daniel

== Struktur ==

Ich finde die Struktur ziemlich ungünstig gewählt. Ein Teil des Buches ist auf andere Seiten ausgelagert, während der Großteil auf einer Seite Platz findet. Natürlich macht dies wegen der zahlreichen Unterkapitel Sinn, macht es aber unmöglich, eine vernünftige Druckversion zu erstellen. [[Benutzer:Dxr-Cnx|Dxr-Cnx]] 18:19, 21. Nov. 2010 (CET)

== inhaltliche Fragwürdigkeit ==

Hallo!
Das macht aus meiner Sicht keinen Sinn:
 &quot;Das WWW unterscheidet sich von anderen Netzen durch
 * Verwendung der TCP/IP-Protokollfamilie.&quot;
Auch im Lokalen Netz ist das TCP-Protokoll in meinen Augen weit verbreitet (z.B. (S)FTP, Proxies) ... Andererseits ist UDP im WWW auch weit verbreitet (DNS, Uhrzeit, Teamspeak,...).

Außerdem später bei P2P:
 &quot;begrenzter Zugriff auf andere Clients (max. 10)&quot;
Wer sagt, dass es maximal 10 sein dürfen? Bei einem /8-Netz (z.B.10.0.0.0/8) dürfen es ja theoretisch (2^24)-2 sein, oder? (die -2 sind Netz- und Broadcastadresse)

-- [[Benutzer:Thomas1311|Thomas1311]] 18:52, 13. Jan. 2016 (CET)
geändert --[[Benutzer:Thomas1311|Thomas1311]] 18:55, 13. Jan. 2016 (CET)
: Danke für deine Kritik. Wie hier das WWW definiert wird, gefällst mir auch nicht. Hinweis: UDP gehört zur TCP/IP-Protokoll'''Familie'''. Die &quot;max. 10&quot; Clients beziehen sich auf eine Begrenzung von Microsoft: Irgendein Windows (ich glaube, Win2000) erlaubte nur 10 P2P-Verbindungen. -- [[Benutzer:Klaus Eifert|Klaus]] 02:04, 14. Jan. 2016 (CET)

== Überarbeitung und Offenlegung ==
Ich habe die Abschnitte IPX/SPX, Hub und Switch überarbeitet und sachliche Fehler korrigiert. Weitere Abschnitte (Bridge, ATM, WAP, SLIP) folgen. Zur Transparenz: Ich betreibe das Netzwerklexikon netzikon.net und habe im Switch-Abschnitt einen Verweis darauf gesetzt. Falls das unerwünscht ist, bitte hier melden oder den Link entfernen. --[[Benutzer:Netzikon|Netzikon]] 16:49, 22. Sep. 2026 (CEST)</text>
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    <title>Traktorenlexikon: Hanomag R 35/45</title>
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      <text bytes="5212" sha1="gtb77tf2lu9hpk8dy2fhoip7zn429o6" xml:space="preserve">{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Hanomag |HERSTELLER= Hanomag}}
{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Hanomag|Hanomag]]
| MODELLREIHE = R
| MODELL = R 35/45
| BILD =Hanomag_R35-45A_1957.jpg
| BILDBESCHREIBUNG = Hanomag R35/45
| BAUWEISE = Halbrahmenbauweise
| PRODUKTIONSBEGINN = 1955
| PRODUKTIONSENDE = 1957
| STÜCKZAHL = 640
| EIGENGEWICHT = 2020–2122
| LÄNGE = 3050
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| RADSTAND = 1850
| BODENFREIHEIT = 450
| SPURWEITE = 
| SPURWEITE VORNE = 1300, 1382, 1464
| SPURWEITE HINTEN = 1270, 1416, 1562
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 3250
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 3950
| BEREIFUNG VORNE = 6.00-20
| BEREIFUNG HINTEN = 9-42, 11-38, 13-30
| LEISTUNG KW = 25,6–32,9
| LEISTUNG PS = 35–45
| NENNDREHZAHL = 1900
| ZYLINDER = 4
| HUBRAUM = 2799
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Diesel
| KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung
| ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb
| GETRIEBE = 5/1- oder 10/2-Getriebe
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 19,2
| KATEGORIESORTIERUNG = Hanomag R 35/45
}}

Der '''R 35/45''' ist ein in den 1950er Jahren produzierter [[Traktorenlexikon: Hanomag|Hanomag]]-Schlepper mit 35 PS bzw. mit aktiver Mehrleistung mit 45 PS. Erstmals setzte die Hanomag ein Roots-Gebläse bei einem Viertakter ein. Durch die Erhöhung der eingespritzten Kraftstoffmenge konnte die Motorleistung wahlweise um 10 PS erhöht werden.

==Motor==  
* Hanomag, Typ: D 28 LA, wassergekühlter 4-Zylinder-/4-Takt-Reihen-Vorkammer-Dieselmotor mit mechanischer Aufladung (Roots-Gebläse), nassen Zylinderlaufbuchsen, fünffach-gelagerte Kurbelwelle, Spaltfilter, Fliehkraftregler, Vollschaftkolben, Ölbadluftfilter mit Vorabscheider, hängende Kegelventile, Druckumlaufschmierung mit Zahnradpumpe und Röhrenkühler mit Thermostat-Zweikreiskühlung.
* Bosch-Fliehkraftregeler, Typ: EP/RSV 250....950 A 1/A 31
* Geregelter Drehzahlbereich = 500-1900 U/min.
* Bohrung = 90 mm, Hub = 110 mm
* Verdichtung = 18:1
* Max. Drehmoment = 15,4 mkp bei 1500 U/min.
* Bosch-Kraftstoffpumpe, Typ: FP/K 22 AC 135
* Bosch-Kraftstofffilter, Typ: Bosch FJ/AF 5/7 oder Knecht FB 402/3 C
* Bosch-Einspritzpumpe, Typ: PE 4 A 65 B 310 LS 470/11
* Bosch-Düse, Typ: DN 4 SD 24 / Bosch-Düsenhalter, Typ: KD 70 SDA 39/14
* Max. Einspritzdruck = 120 atü
==Kupplung==
* Doppelkupplung von Fichtel &amp; Sachs, Typ: DO 22/16 K

==Getriebe==
* Hanomag-Wechselgetriebe
* 5 Vorwärts-, 1 Rückwärtsgang; auf Wunsch mit Kriechgänge 10 Vorwärts-, 2 Rückwärtsgänge

==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==
* 1.Gang = 3,7 km/h; 2.Gang = 5,0 km/h; 3.Gang = 7,4 km/h; 4.Gang = 11,3 km/h; 5.Gang = 18,0 km/h; 1.R-Gang = 6,6 km/h.
Kriechgänge
* 1.Gang = 1,04 km/h; 2.Gang = 1,41 km/h; 3.Gang = 2,13 km/h; 4.Gang = 3,24 km/h; 5.Gang = 5,10 km/h; 2.R-Gang = 1,88 km/h.
==Zapfwelle==
* Unabhängige Motorzapfwelle mit Normprofil, 1 3/8&quot;-597 U/min.
* Hintenliegende Riemenscheibe, 330 mm Durchmesser und 140 mm Breite
* Drehzahl = 1210 U/min. / Riemengeschwindigkeit = 20,9 m/sek.
==Bremsen==
* Deutsche Perrot Bremse, Typ: 350x60
* Fußbetätigte Innenbackenbremse auf die Hinterräder wirkend, als Lenkbremse zu verwenden
* Mechanische Getriebe-Handbremse

==Achsen==
* Vorderachse als Hanomag-Faust-Pendelachse mit dreifach verstellbarer Spurweite
* Hanomag-Hinterachse, Stirnräder mit Geradverzahnung und vier Ausgleichkegelräder
* Mechanische Differentialsperre
* Achslast vorne = 1000 kg, hinten = 1900 kg
==Lenkung==
* mechanische Roßlenkung aus dem Hause ZF, Typ: ZF-200

==Hydrauliksystem und Kraftheber==
* Optional mit Hanomag-Kraftheber mit Dreipunktaufhängung
* Bosch-Hydraulikpumpe, Typ: HY/ZE 16 CR 13 mit 16 l/min. bei 120 bar
* Hubkraft = 1200 kg
==Steuergeräte==

==Elektrische Ausrüstung==

==Maße und Abmessungen ==
* Länge = 3050 mm, breite = 1580 mm, höhe bis Lenkrad = 1760 mm, mit Verdeck = 2375 mm
* Leergewicht je nach Ausstattung = 2020-2122 kg / zul. Gesamtgewicht = 2600 kg
===Bereifung===
* Standardbereifung vorne = 6,00-20 ASF, hinten = 9-42 AS
* Optional hinten = 11-38 und 13-30
==Füllmengen==
* Tankinhalt = 45 l
* Getriebeöl = 20 l
* Kühlsystem = 14 l
* Motoröl = 6 l
* Ölbadluftfilter = 0,75 l
* Riemenscheibenantrieb = 0,5 l
* Lenkung = 0,4 l
* Einspritzpumpe = 0,2 l
==Verbrauch==
==Kabine==
* Fahrerplattform mit gefederter Sitzschale
* Optional mit Polstersitz, Rückscheinwerfer, Kotflügelsitz und Fahrerhaus mit Windschutzscheibe
==Sonderausrüstung==
Auf Wunsch wurde der Schlepper mit einem Stahlverdeck ausgeliefert.
* Frontlader, Seilwinde, Kraftheber, Verdeck, Scheibenräder, Gitterräder, Mähbalken, seitliche Riemenscheibe, Kriechgang-Untersetzung, schwenkbare oder gefederte Zugvorrichtung, Zusatzgewichte, Rückscheinwerfer, Polstersitz, Kotflügelsitz
==Sonstiges==

Die Mehrleistung von 10 PS werden über ein handbedientes Gestänge aktiviert. Dieses ändert in der Reiheneinspritzpumpe die Einspritzmenge. Die dabei unter Vollast entstehende Geräuschkulisse ist atemberaubend!

==Literatur==
* Hanomag-Das Typenbuch   ( A. Mößmer )
* OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 03/2017, Seite 8 ff.

==Weblinks==

{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Hanomag |HERSTELLER= Hanomag}}</text>
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    <title>Traktorenlexikon: Hanomag R 19</title>
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{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Hanomag|Hanomag]]
| MODELLREIHE = R
| MODELL = R 19
| BILD = Hanomag R19.JPG
| BILDBESCHREIBUNG = Hanomag R19
| BAUWEISE = rahmenlose Blockbauweise
| PRODUKTIONSBEGINN = 1953
| PRODUKTIONSENDE = 1957
| STÜCKZAHL = 8489
| EIGENGEWICHT = 1170–1250
| LÄNGE = 2570
| BREITE = 1515 (1500–1690)
| HÖHE = 1630–1650 mm, bis Auspuff: 2110
| RADSTAND = 1600
| BODENFREIHEIT = 400
| SPURWEITE = 1220/1375/1500
| SPURWEITE VORNE = 
| SPURWEITE HINTEN = 
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 3300
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 3800
| BEREIFUNG VORNE = 4.50-16
| BEREIFUNG HINTEN = 8-24, 8-32, 10-28, 9-24
| LEISTUNG KW = 13,9
| LEISTUNG PS = 19
| NENNDREHZAHL = 1975
| ZYLINDER = 2
| HUBRAUM = 1399
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Diesel
| KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung
| ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb
| GETRIEBE = 5/1-Getriebe
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 19,6
| KATEGORIESORTIERUNG = Hanomag R 19
}}

Der 19 PS starke [[Traktorenlexikon: Hanomag|Hanomag]]-Radschlepper '''R 19''' wurde in den 1950er Jahren gebaut. Durch Anhebung der Motordrehzahl wurde aus dem R 16 der R 19. Bei dem im Combitrac-System gebauten R 19 entfiel die zusätzliche Hochradversion. 1957 wurde die Bezeichnung in R 217 E geändert.

==Motor==
* Hanomag, Typ: D 14
* Zweizylinder-Viertakt-Reihen-Vorkammer-Dieselmotor mit Thermostat-Zweikreis-Kühlung
* Motorgewicht trocken mit Motorträger: 316 kg
* direkte Kraftübertragung
* Bohrung = 90 mm, Hub = 110 mm
* Verdichtung = 22:1
* Max. Drehmoment = 7,6 mkp bei 1500 U/min.
Kraftstoffsystem:
* Einspritzung durch Einspritzpumpe und Düsen 
* Einspritzpumpe: Bosch ''PES 2 A 60 B110 LS 41'' folgt Bosch ''PES 2 A 60 B LS 121'' 
* Einspritzventil: Bosch-Düsenhalter ''KD 82 SDA 30/14'' mit Bosch-Düse ''DN O SD 212'' 
* Kraftstoffförderung durch Gefälle 
* Drehzahlregelung: pneumatischer Regler Bosch ''EP/M 60 A 67'' mit Klappenstutzen Bosch ''EP/K 40 DA 21/2'' 
* Einspritzdruck: 120 atü 
* Kraftstoffreinigung: Bosch-Filter ''FJ/AZ 5/7'' oder Knecht-Filter ''FB 402/3 P''
* Ölbadluftfilter, Typ: LOZ 2,4/VII 9

==Kupplung==
* Einscheiben-Trockenkupplung von Fichtel &amp; Sachs, Type K 16

==Getriebe==
* Hanomag-Wechselgetriebe
* 5 Vorwärtsgänge, 1 Rückwärtsgang
* Optional mit Kriechgängen = 8 Vorwärts-und 2 Rückwärtsgänge
* Ausgleichgetriebe: 4 Ausgleichkegelräder 
* Lagerung des Ausgleichgetriebes: 2 Rillenlager 
* Lagerung der Hinterachswellen: (Steckwellen) Rillenlager 

==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==
* 1. Gang: 3,8 km/h
* 2. Gang: 4,9 km/h
* 3. Gang: 6,6 km/h
* 4. Gang: 11,9 km/h
* 5. Gang: 19,6 km/h
* Rückwärtsgang: 3,2 km/h
* Kriechgänge:
* 1.Gang: 0,76 km/h
* 2.Gang: 1,00 km/h
* 3.Gang: 1,32 km/h
* R-Gang: 0,64 km/h

==Zapfwelle==
* Heckzapfwelle als Getriebezapfwelle auf Wunsch
* Stummel = 1 3/8&quot;, Drehzahl = 572 U/min.
* Optional mit seitlicher oder hintenliegender Riemenscheibe, 275 mm Durchmesser, 120 mm Breite
* Drehzahl = 1145 U/min. / Riemengeschwindigkeit = 16,2 m/sek.
* Optional mit seitlichem Mähantrieb
==Bremsen==
* Bremssystem der Fußbremse: Hanomag und Deutsche Servo-Bremse, Typ ''350 X 60 S''
* Innenbackenbremse, gleichzeitig als Lenkbremse verwendbar, mechanische Hinterradbremse
* Optional mit mechanischer-feststellbarer Handbremse

==Achsen==
* Hanomag, Faust-Pendel-Rohrachse als Vorderachse  ( Optional als gefederte Pendelachse )
* Hanomag-Hinterachse: mit Wechselgetriebe im gemeinsamen Gehäuse
* Kegelräder mit Spiralverzahnung und vier Ausgleichskegelräder
* Achslast vorne = 600 kg, hinten = 1100 kg
==Lenkung==
* ZF-Lenkung, Typ 142
* Lenkraddurchmesser: 425 mm
* Schnecke mit feststehendem Lenkfinger
==Hydrauliksystem und Kraftheber==
* nicht vorhanden, feste Ackerschiene montiert
* Optional mit hydraulischem Bosch-Kraftheber mit Dreipunktaufhängung
* Förderpumpe = Teves A 400 83 E mit 12 l/min. bei 100 bar oder Bosch HY/ZE 16 R  ( ab 1956 = HY/ZE 16 A R 4 ) mit 16 l/min. bei 120 bar
==Steuergeräte==

==Elektrische Ausrüstung==
[[Datei:Traktor Hanomag 01 (RaBoe).jpg|thumb|Hanomag R 19 bei einem Umzug]]
* Lichtmaschine: Bosch ''REE 75/12 - 2000 R l'' oder ''REE 75/6 - 2000 R 1'', mit Keilriemenantrieb, Leistung 75 Watt
* Anlasser: Bosch ''EJD l,8 - 12 R 33'', Leistung 1,8 PS
* Glühkerze: Bosch Typ ''KE/GA 1/8'' oder Beru Typ ''214 Ge''
* Batteriekapazität: 70 A/h
* Batteriespannung: 12 Volt
* Batterietype: 12 B X 70 DIN 72 311 oder 6 B X 50 DIN 72 311

==Maße und Abmessungen==
* Spurweite vorne und hinten (verstellbar): 1250 mm, 1375 mm und 1500 mm
* Länge = 2570 mm, breite = 1515 mm, höhe mit Verdeck = 2200 mm
* Leergewicht = 1170 kg / zul. Gesamtgewicht = 1700 kg
==Bereifung==
* Räder vorn und hinten einfach 
* Felgengröße: vorne 3.00 D X 16 und hinten W 7 X 32 
* Reifengröße: vorne 4,50-16 AS Front und hinten 8-32 AS 
* Reifendruck auf dem Acker: vorne 1,5 atü und hinten 0,8 atü 
* Reifendruck auf der Straße: vorne 1,5 atü und hinten 2,0 atü

* Radnabenlagerung: Ringkegellager 
* Vorspur: 4–6 mm 
* Sturz der Vorderräder: 3° 
* Spreizung: 2° 

==Füllmengen==
[[Datei:Hanomag R19 19PS 1954.jpg|thumb|Hanomag R 19 (Baujahr 1954)]]
* Kraftstofftank: 25 l Diesel 
* Kühlwassermenge: 11 l Wasser 
* Motoröl: 5,5 l Motorenöl 
* Öl in der Einspritzpumpe: etwa 0,15 l Motorenöl 
* Schaltgetriebe: 18 l Getriebeöl 
* Kriechganggehäuse: 2,5 l Getriebeöl 
* Zwischengetriebe: 4 l Getriebeöl 
* Lenkgehäuse: 400 cm³ Getriebeöl 
* Riemenscheibenantrieb: ? l Getriebeöl 
* Ölbadluftfilter: 0,5 l Motorenöl

==Verbrauch==
* je nach Tätigkeit variabel

==Kabine==
* Fahrerplattform mit gefederter Sitzschale
* Optional mit Polstersitz, Kotflügel-Doppelsitz, Rückscheinwerfer
Eine Kabine war für den R 19 auf Wunsch erhältlich.

==Sonderausrüstung==
* Zapfwelle
* Schnellläufergetriebe
* Kabine
* Frontlader
* Hydr. Kraftheber
* Mähantrieb und Mähbalken
* Riemenscheibe
* gefederte Vorderachse
* Zusatz-Anhängerschiene
* Belastungsgewichte
* Scheibenräder
* Gitterräder
* Frontkotflügel
* Kriechgänge
* Handbremse
* Bereifung 10-28 AS oder 9,00-24 AS
* Doppelsitz auf Kotflügel
* Polstersitz
* u.a.

==Literatur==
* Hanomag-Das Typenbuch   ( A. Mößmer )
* Hanomag-Schlepper-Prospekte von 1926-1956   ( Häfner/Karle )
==Weblinks==
{{Commons|Category:Hanomag R 19|Hanomag R 19}}
* http://www.schlepperfreunde-pr-stroehen.de/html/hanomag_r19.html

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    <title>Traktorenlexikon: Hanomag R 25 C + D</title>
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      <comment>/* Bremsen */</comment>
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! Logo Hersteller
! Foto 
|- style=&quot;background: #ffffff; text-align: center;&quot;
| style=&quot;width: 145px;&quot; | [[Bild:Coats of arms of None.svg|140px|Logo fehlt]]&lt;!-- Optional: link auf Stadt-Wappenseite im Internet oder ähnliches anhängen. Wappen nur mit Genehmigung der Gemeinde einfügen, siehe Hinweise unter dem Link &quot;Wikipedia:Wappen&quot;!  --&gt; 
| style=&quot;width: 145px;&quot; | [[Bild:Hanomag R25D 25PS 1950.jpg|140px|Hanomag R25D]]
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Basisdaten
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Hersteller: || Hanomag
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Modellreihe: ||R
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Modell: || 25
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Motor
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Hubraum: || 2799 cm³
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Anzahl Zylinder: || 4 
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Leistung: || 18,3 kW / 25 PS
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Drehmomentanstieg: || XX %
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Maße und Abmessungen
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Länge: || 2990 (C) oder 2830 (D) mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Breite: || 1580 (C) oder 1620 (D) mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Höhe: || 1760 (C) oder 1580 (D) mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Radstand: || 1800 mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Spurweite: || 1300 / 1500 mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Wenderadius (mit/ohne Lenkbremse): || 1800 mm / 2500 mm
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Eigengewicht: || 1940 (C) oder 1720 (D) kg
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Bauzeit und Stückzahl
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Bauzeit: || von 1950 bis 1951
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Gesamtstückzahl: || 2700 Stück
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Sonstiges
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Höchstgeschwindigkeit: || 18,3 km/h
|- style=&quot;background: #ffffff;&quot;
| Standardbereifung (vorn / hinten): || 6.50-20 / 9-40 (C) oder 5.50-16 / 11.25-24 (D)
|}

Der '''R25''' war der erste neukonstruierte Hanomag-Ackerschlepper nach dem 2. Weltkrieg. Er war ein sehr fortschrittliches Fahrzeug und wurde in der Werbung als zugstarker, sparsamer und unverwüstlicher Allzweckschlepper beworben. Dies traf vor allem ab dem Zeitpunkt zu, ab dem man diesen Schlepper mit dem neu entwickelten D28 Motor ausrüstete. Da der ältere D19 doch Mühe hatte die angegebene 25PS Höchstleistung zu erreichen.

==Bauart==
* Halbrahmenbauweise

==Motor==
ab 1949 
* Hanomag D19
* 4-Zylinder-/4-Takt-Reihen-Vorkammer-Diesel
* Hubraum 1911ccm
* Leistung 20-25PS bei 1900u/min

ab 1950 
* Hanomag D28
* 4-Zylinder-/4-Takt-Reihen-Vorkammer-Diesel
* Hubraum 2799ccm
* Leistung 25PS/18,3kW bei 1500u/min

==Kupplung== 

==Getriebe==
* Hanomag Schaltgetriebe
* 5 Vorwärtsgänge und 1 Rückwärtsgang

==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==

==Antrieb==
* Hinterrad

==Zapfwelle==
* Hinten 570 u/min

==Bremsen==
* Hinten Trommelbremsen, Einzelrad als Lenkbremse, Perrot 350 x 60

==Achsen==
* Vorne Blattgefederte starre Pendelachse
* Hinten Serie mit Differentialsperre

==Lenkung== 
* ZF Ross-Lenkung

==Hydrauliksystem und Kraftheber==
* hydraulischer Kraftheber mod. Hanomag-Teves

==Steuergeräte==

==Elektrische Ausrüstung==

==Maße und Abmessungen ==
* Länge 2990 mm
* Breite 1580 mm  
* Höhe 1760 mm über Lenkrad
* Spurweite 1300 mm 3fach verstellbar (1400, 1500)
* Radstand 1800 mm
* Bodenfreiheit 450 mm  
* Kleinster Wenderadius: mit Lenkbremse 1800 mm, ohne Lenkbremse 2500 mm

==Eigengewicht== 
* je nach Modell: A:1860kg, B:1635kg, C:1940kg, D:1720kg

==Bereifung==
bei Hochradausführung A + C
* Vorne 6.50-20
* Hinten 9-40

bei Standardausführung B + D
* Vorne 5.50-16
* Hinten 11.25-24

==Füllmengen==

Kraftstoff 48 Liter,
Kühlwasserinhalt 11,5 Liter,
Motorölinhalt 4,5 Liter,
Schmierölinhalt Getriebe 25 Liter.

==Verbrauch==

==Kabine==
* Hanomag Allwetterdach mit Frontscheibe, Scheibenwischer und Seitenverdeckplane

==Sonstiges==
Der R25 wurde ab 1951 zugunsten des R28, mit dem stärkeren Motor und auf eine 28PS eingestellte Leistung gebrachte Version, aus dem Hanomag-Programm genommen.

==Sonderausrüstung==
* Mähbalken
* Riemenscheibe
* Frontlader (Wittenburg)
* vordere Kotflügel
* Polstersitz
* gefederte Zugvorrichtung
* hydaulischer Kraftheber

==Literatur==
* Joachim M. Köstnick: Traktoren made in Germany, Seite 102
* OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 03/2017, Seite 8 ff.
* Traktor Profile NR 3
* Betriebsanleitung Hanomag R 25 Ausgabe Oktober 1949

==Weblinks==


'''''zurück zur [[Traktorenlexikon:_Hanomag|Typenübersicht]]'''''

'''''zurück zum [[Traktorenlexikon|Inhaltsverzeichnis]]'''''</text>
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    <title>Vokabeltexte Chinesisch/ Vokabellektionen/ Lektion 551</title>
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        <username>Christian-bauer</username>
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== Zeichen ==

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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭}}  || jie2 || absaugen, auspumpen, sich anstrengen || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=竭}} [[Datei:竭-seal.svg|40px]][[Datei:竭-bigseal.svg|40px]]
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== Zusammengesetzte Wörter ==

=== 竭 ===
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭尽}}  || jie2 jin4 || Erschöpfung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭诚}}  || jie2 cheng2 || ernsthaft
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭誠}}  || jie2 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 竭诚), ernsthaft
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |肾衰竭}}  || shen4 shuai1 jie2 || Nierenversagen
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭泽而渔}}  || jie2 ze2 er2 yu2 || ein Huhn schlachten, das goldene Eier legt, Raubbau betreiben
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=== 蹙 ===
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |窮蹙}}  || qiong2 cu4 || (traditionelle Schreibweise von 穷蹙), hard-up, in dire straits, desperate
|}

=== 雲 ===
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |祥雲}}  || xiang2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 祥云), Xiangyun (Ort in Yunnan)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有雲}}  || you3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 有云), bewölken
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雨雲}}  || yu3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 雨云), Regenwolke, Nimbus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |密雲}}  || mi4 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 密云), Miyun (Ort in Beijing), dichte Wolken
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |出雲}}  || chu1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 出云), Provinz Izumo
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |行雲}}  || xing2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 行云), Rack
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |多雲}}  || duo1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 多云), Wolke, stark bewölkt	〈气〉
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |小雲}}  || xiao3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 小云), kleine Wolke (chin. Mädchenvorname)
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無雲}}  || wu2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 无云), wolkenlos
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲石}}  || yun2 shi2 || (traditionelle Schreibweise von 云石), Marmor
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲縣}}  || yun2 xian4 || (traditionelle Schreibweise von 云县), Kreis Yun (Provinz Yunnan, China)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |白雲}}  || bai2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 白云), Wolke
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |左雲}}  || zuo3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 左云), Zuoyun (Ort in Shanxi)
|-
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲和}}  || yun2 he2 || (traditionelle Schreibweise von 云和), Yunhe (Ort in Zhejiang)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |彩雲}}  || cai3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 彩云), buntgefärbte Wölkchen
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |陳雲}}  || chen2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 陈云), Chen Yun
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |星雲}}  || xing1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 星云), Nebelfleck, Nebelfleck, Nebel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |開雲}}  || kai1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 开云), Cayenne
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |青雲}}  || qing1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 青云), hohe offizielle Position
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲集}}  || yun2 ji2 || (traditionelle Schreibweise von 云集), in Massen zusammenströmen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲耳}}  || yun2 er3 || (traditionelle Schreibweise von 云耳), chinesische Morcheln, Judasohr, Holzohr, Holzohrpilz (lat: Auricularia auricula-judae), Wohrenohrenpilz (lat: Auricularia auricula-judae), Wolkenohr (lat: Auricularia auricula-judae)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲豹}}  || yun2 bao4 || (traditionelle Schreibweise von 云豹), Nebelparder (lat: Neofelis nebulosa)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲梯車}}  || yun2 ti1 che1 || (traditionelle Schreibweise von 云梯车), Drehleiter, Drehleiterfahrzeug (der Feuerwehr)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |夜光雲}}  || ye4 guang1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 夜光云), Leuchtende Nachtwolke
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金正雲}}  || jin1 zheng4 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 金正云), Kim Jong-un
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |白雲區}}  || bai2 yun2 qu1 || (traditionelle Schreibweise von 白云区), Stadtbezirk von Guangzhou (Kanton)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |祥雲縣}}  || xiang2 yun2 xian4 || (traditionelle Schreibweise von 祥云县), Kreis Xiangyun (Provinz Yunnan, China)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲起茶}}  || yun2 qi3 cha2 || (traditionelle Schreibweise von 云起茶), &quot;Wolkentee&quot;, Tee aus hohen Berglagen
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲陽縣}}  || yun2 yang2 xian4 || (traditionelle Schreibweise von 云阳县), Kreis Yunyang (regierungsunmittelbare Stadt Chongqing, China)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |鷹星雲}}  || ying1 xing1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 鹰星云), Adlernebel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |連雲港}}  || lian2 yun2 gang3 || (traditionelle Schreibweise von 连云港), Lianyungang
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |密雲縣}}  || mi4 yun2 xian4 || (traditionelle Schreibweise von 密云县), Kreis Miyun (regierungsunmittelbare Stadt Peking, China)
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |王小雲}}  || wang2 xiao3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 王小云), Wang xiao yun
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲呢拿}}  || yun2 ne5 na2 || (traditionelle Schreibweise von 云呢拿), Vanille (Gewürz) [ Lehnwort - lat: Vanilla planifolia ]
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |萬里無雲}}  || wan4 li3 wu2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 万里无云), wolkenlos
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲岡石窟}}  || yun2 gang1 shi2 ku1 || (traditionelle Schreibweise von 云冈石窟), Yungang-Grotten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲雲眾生}}  || yun2 yun2 zhong4 sheng1 || (traditionelle Schreibweise von 云云众生), Irdische, Sterbliche (Buddh.)(Philos)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |伊萬尼雲}}  || yi1 wan4 ni2 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 伊万尼云), Ivan M. Niven
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |連雲港市}}  || lian2 yun2 gang3 shi4 || (traditionelle Schreibweise von 连云港市), Lianyungang
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲貴高原}}  || yun2 gui4 gao1 yuan2 || (traditionelle Schreibweise von 云贵高原), Yunnan-Guizhou-Plateau
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲母薄片}}  || yun2 mu3 bo2 pian4 || (traditionelle Schreibweise von 云母薄片), Spaltung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |陰雲密布}}  || yin1 yun2 mi4 bu4 || (traditionelle Schreibweise von 阴云密布), bewölken, bewölkt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |判若雲泥}}  || pan4 ruo4 yun2 ni2 || (traditionelle Schreibweise von 判若云泥), unterschiedlich wie Tag und Nacht
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲頂高原}}  || yun2 ding3 gao1 yuan2 || (traditionelle Schreibweise von 云顶高原), Genting Highlands
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |風雲一時}}  || feng1 yun2 yi1 shi2 || (traditionelle Schreibweise von 风云一时), gefragt sein
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |反射星雲}}  || fan3 she4 xing1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 反射星云), Reflexionsnebel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |碼頭風雲}}  || ma3 tou5 feng1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 码头风云), Die Faust im Nacken, Die Faust im Nacken
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |南雲忠一}}  || nan2 yun2 zhong1 yi1 || (traditionelle Schreibweise von 南云忠一), Chuichi Nagumo
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |火山灰雲}}  || huo3 shan1 hui1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 火山灰云), vulkanische Aschewolke
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲南火腿}}  || yun2 nan2 huo3 tui3 || (traditionelle Schreibweise von 云南火腿), Yunnan-Schinken
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |北條早雲}}  || bei3 tiao2 zao3 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 北条早云), Hojo Soun
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲南大學}}  || yun2 nan2 da4 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 云南大学), Yunnan-Universität
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |青雲直上}}  || qing1 yun2 zhi2 shang4 || (traditionelle Schreibweise von 青云直上), eine steile Karriere machen
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |干雲蔽日}}  || gan1 yun2 bi4 ri4 || (traditionelle Schreibweise von 干云蔽日), riesig, bis zu den Wolken reichen und die Sonne verdecken
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |在陰雲下}}  || zai4 yin1 yun2 xia4 || (traditionelle Schreibweise von 在阴云下), verdächtigen, verdächtig
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |晴轉多雲}}  || qing2 zhuan3 duo1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 晴转多云), heiter bis wolkig; erst heiter, dann wolkig
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲南丁香}}  || yun2 nan2 ding1 xiang1 || (traditionelle Schreibweise von 云南丁香), Yunnan-Flieder (lat: Syringa yunnanensis)
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |風消雲散}}  || feng1 xiao1 yun2 san4 || (traditionelle Schreibweise von 风消云散), sich auflockern, der Wind läßt nach und die Wolken lösen sich auf
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |平步青雲}}  || ping2 bu4 qing1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 平步青云), Blitzkarriere machen, wie ein Meteorit aufsteigen
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲母電容器}}  || yun2 mu3 dian4 rong2 qi4 || (traditionelle Schreibweise von 云母电容器), Glimmerkondensator
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |伊雲尼斯域}}  || yi1 yun2 ni2 si1 yu4 || (traditionelle Schreibweise von 伊云尼斯域), Goran Ivanišević
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無間道風雲}}  || wu2 jian1 dao4 feng1 yun2 || (traditionelle Schreibweise von 无间道风云), The Departed
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |時代年度風雲人物}}  || shi2 dai4 nian2 du4 feng1 yun2 ren2 wu4 || (traditionelle Schreibweise von 时代年度风云人物), Person of the Year
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== Sätze ==
=== 竭 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |医生虽然已经竭尽全力，但不久病人还是死了。}}  ||   yi1 sheng1 sui1 ran2 yi3 jing4 jie2 jin4 quan2 li4 ， dan4 bu4 jiu3 bing4 ren2 hai2/huan2 shi4 si3 le5 。||  Alle ärztlichen Bemühungen waren vergeblich, und der Mann starb alsbald.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/401719 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/raggione raggione])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们已竭尽所能。}}  ||   wo3 men5 yi3 jie2 jin4 suo3 neng2 。||  Wir haben alle Möglichkeiten ausgeschöpft.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9958533 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他竭尽全力地讨好他老婆。}}  ||   ta1 jie2 jin4 quan2 li4 de4/di4 tao3 hao3 ta1 lao3 po2 。||  He bent over backward to please his wife.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2516527 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fenfang557 fenfang557] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她为了他竭尽所能。}}  ||   ta1 wei2/wei4 le5 ta1 jie2 jin4 suo3 neng2 。||  Sie tat alles Menschenmögliche für ihn.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8688142 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/slo_oth slo_oth] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
|}

=== 蹙 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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=== 榖 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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=== 雲 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |今天的雲比昨天多。}}  ||   jin1 tian1 de5 yun2 bi4 zuo2 tian1 duo1 。||  Heute ist es stärker bewölkt als gestern. Heute ist es wolkiger als gestern.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/801567 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |天上萬里無雲。}}  ||   tian1 shang4 wan4 li3 wu2 yun2 。||  Keine einzige Wolke war am Himmel zu sehen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/361953 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Roujin Roujin])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |天上一朵雲也沒有。}}  ||   tian1 shang4 yi1 duo3 yun2 ye3 mei2/mo4 you3 。||  Es ist nicht eine Wolke am Himmel.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/678909 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |今天的雲比昨天的多。}}  ||   jin1 tian1 de5 yun2 bi4 zuo2 tian1 de5 duo1 。||  Heute ist es stärker bewölkt als gestern.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/795856 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大雲，細雨。}}  ||   da4 yun2 ， xi4 yu3 。||  The clouds are large, and the raindrops are small.  (klassisch, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2065326 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sharris123 sharris123])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |忽然天氣轉為多雲。}}  ||   hu1 ran2 tian1 qi4 zhuan3 wei2/wei4 duo1 yun2 。||  All of a sudden, it became cloudy.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/797110 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雨是自雲落下的水。}}  ||   yu3 shi4 zi4 yun2 la4/lao4/luo4 xia4 de5 shui3 。||  Regen ist aus Wolken fallendes Wasser.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/816953 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Espi Espi])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |每朵雲都披著銀衣。}}  ||   mei3 duo3 yun2 dou1/du1 pi1 zhao1/zhu4/zhuo2 yin2 yi1 。||  Am Rande jeder Wolke schimmert Sonnenschein.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/806547 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |陽光穿過三色雲，射向大地。}}  ||   yang2 guang1 chuan1 guo4 san1 se4 yun2 ， she4 xiang4 da4 de4/di4 。||  The sun shines through the tri-color clouds, shooting towards the earth.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/7497323 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sharris123 sharris123])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昨天東京天氣多雲嗎？}}  ||   zuo2 tian1 dong1 jing1 tian1 qi4 duo1 yun2 ma5 ？||  War es gestern in Tokyo bewölkt?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/870056 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲越來越黑。}}  ||   yun2 yue4 lai2 yue4 hei1 。||  Die Wolken werden dunkler.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/838524 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲愈來愈多，可能快下雨了。}}  ||   yun2 yu4 lai2 yu4 duo1 ， ke3/ke4 neng2 kuai4 xia4 yu3 le5 。||  It's getting cloudy. It may rain soon.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/797108 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我小時候常常躺在草地上看天上的白雲。}}  ||   wo3 xiao3 shi2 hou4 chang2 chang2 tang3 zai4 cao3 de4/di4 shang4 kan4 tian1 shang4 de5 bai2 yun2 。||  Als ich noch ein Junge war, lag ich oft auf dem Rücken im Gras und sah den weißen Wolken nach.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/857702 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/samueldora samueldora])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雲開始多了起來。}}  ||   yun2 kai1 shi3 duo1 le5 qi3 lai2 。||  Es zieht sich zu.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6014667 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zaghawa Zaghawa])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昨天是多雲。}}  ||   zuo2 tian1 shi4 duo1 yun2 。||  Gestern war es bewölkt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6092451 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/pne pne])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那晚多雲。}}  ||   na4/nei4 wan3 duo1 yun2 。||  In jener Nacht war es bewölkt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/346116 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy])
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=== 袪 ===
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=== einzusortieren ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |尽心竭力}}  || jìn xīn jié lì || etwas mit vollem Herzen und voller Kraft tun ([[wikt:en:尽心竭力 |Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孤力难为}}  || gū lì nán wéi || mit alleiniger Kraft ist es schwer zu bewerkstelligen; zu schwierig, um etwas alleine zu schaffen ([[wikt:en:孤力难为 |Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孝当竭力　忠则尽命}}  ||   xiao4 dang1/dang4 jie2 li4 　 zhong1 ze2 jin4 ming4 ||  Kindespflicht muss mit allen Mitteln erfolgen; treu zu den Vorschriften bis zum Äußersten, dem Leben. ([[Vokabeltexte_Chinesisch/_Tausend-Zeichen-Klassiker/ Lektion 32| Tausend-Zeichen-Klassiker]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 不如人、勿生戚}}  ||    bu4 ru2 ren2 、 wu4 sheng1 qi1 || Bist Du nicht (so gut dran) wie andere Menschen, lass keine Traurigkeit entstehen. ([[Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen/_Lektion_634|Di Zi Gui Schülerregeln]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 自应分鼎在孤穷。}}  ||    zi4 ying1/ying4 fen1 ding3 zai4 gu1 qiong2 。|| it is only natural that he would divide his ding tripod, and share the pieces with the orphaned and the destitute.   ([[s:en:Special:PermanentLink/5776532 |Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]]   [[s:zh:三國演義/第001回 | 三國演義/第001回]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 玄德孤幼，事母至孝；}}  ||    xuan2 de2 gu1 you4 ， shi4 mu3 zhi4 xiao4 ；|| Xuande lost his father at a young age, but showed extreme filial piety in attending to his mother.   ([[s:en:Special:PermanentLink/5776532 |Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]]   [[s:zh:三國演義/第001回 | 三國演義/第001回]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |是月也，无竭川泽}} ||  shi4 yue4 ye3 ， wu2 jie2 chuan1 ze2 ||In diesem Monat trocknet man keine Wasserläufe und Seen aus; ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |是月也，無竭川澤}} ||  shi4 yue4 ye3 ， wu2 jie2 chuan1 ze2 ||In diesem Monat trocknet man keine Wasserläufe und Seen aus; ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昔者臣尽力竭智}} ||  xi1/xi2 zhe3 chen2 jin4 li4 jie2 zhi4 ||Ich habe schon früher mir alle Mühe gegeben und meine Weisheit erschöpft ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |多阴则蹙}} ||  duo1 yin1 ze2 蹙||Hat man zu viel Schatten, so bekommt man Rheumatismus ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |命之曰招蹙之机}} ||  ming4 zhi1 yue1 zhao1 蹙 zhi1 ji1 ||sie heißen Maschinen zur Herbeiführung der Lähmung. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |存诸孤}} ||  cun2 zhu1 gu1 ||man sorgt für alle Waisen ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |尽心竭力}} ||  jin4 xin1 jie2 li4 ||([[wikt:en:尽心竭力|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |知早啬则精不竭}} ||  zhi1 zao3 se4 ze2 jing1 bu4 jie2 || Versteht man es frühe zu sparen, so erschöpft sich die Lebenskraft nicht. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭尽全力}} ||  jie2 jin4 quan2 li4 ||([[wikt:en:竭尽全力|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他竭尽全力地讨好他老婆。}} ||  ta1 jie2 jin4 quan2 li4 de4/di4 tao3 hao3 ta1 lao3 po2 。||He bent over backward to please his wife.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2516527 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fenfang557 fenfang557] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |论早定则知早啬，知早啬则精不竭}} ||  lun4 zao3 ding4 ze2 zhi1 zao3 se4 ， zhi1 zao3 se4 ze2 jing1 bu4 jie2 ||Sind die Anschauungen frühe gefestigt, so versteht man es frühe mit seinem Leben zu sparen. Versteht man es frühe zu sparen, so erschöpft sich die Lebenskraft nicht. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |古之贤者，与其尊师若此，故师尽智竭道以教}} ||  gu3 zhi1 xian2 zhe3 ， yu3 qi2 zun1 shi1 ruo4 ci3 ， gu4 shi1 jin4 zhi4 jie2 dao4 yi3 jiao1 ||Weil nun die tüchtigen Männer des Altertums ihre Lehrer also ehrten, darum erschöpften die Lehrer ihre Weisheit und gingen bis auf den Grund der Wahrheit, um sie zu belehren. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |甘井先竭}} ||  gan1 jing3 xian1 jie2 ||([[wikt:en:甘井先竭|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吾心充哀戚。}} ||  wu2 xin1 chong1 ai1 qi1 。||Mein Herz war voller Sorge.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1957172 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |何谓六戚？父母兄弟妻子}} ||  he2 wei4 liu4 qi1 ？ fu4 mu3 xiong1 弟 qi1 zi5 ||Was sind die sechs Verwandtschaftsgrade? Es sind: Vater, Mutter, älterer Bruder, jüngerer Bruder, Weib und Kind. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一个好友胜过十个亲戚。}} ||  yi1 ge4 hao3 you3 sheng4 guo4 shi2 ge4 qin1 qi1 。||One good friend is better than ten relatives.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5883320 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她没有任何亲戚朋友照顾她。}} ||  ta1 mei2/mo4 you3 ren4 he2 qin1 qi1 peng2 you3 zhao4 gu4 ta1 。||She doesn't have any friends or relatives to take care of her.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332712 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们村里所有的村民几乎彼此都是亲戚。}} ||  wo3 men5 cun1 li3 suo3 you3 de5 cun1 min2 ji1 乎 bi3 ci3 dou1/du1 shi4 qin1 qi1 。||In unserem Dorf sind fast alle miteinander verwandt.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2174210 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你是不是长岛家的亲戚？}} ||  ni3 shi4 bu4 shi4 chang2/zhang3 dao3 jia1 de5 qin1 qi1 ？||Bist du mit den Nagashimas verwandt?  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/691193 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Vortarulo Vortarulo]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |皇亲国戚}} ||  huang2 qin1 guo2 qi1 ||([[wikt:en:皇亲国戚|Wiktionary en]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一本好书在手，我们不必孤单。}} ||  yi1 ben3 hao3 shu1 zai4 shou3 ， wo3 men5 bu4 bi4 gu1 dan1/shan2 。||With a good book in your hands you need never feel lonely.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1269267 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/eastasiastudent eastasiastudent]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |约翰逊是个自闭的人；他宁愿把自己孤立于我们班的其他学生。}} ||  yue1 han4 xun4 shi4 ge4 zi4 bi4 de5 ren2 ； ta1 ning2 yuan4 ba3 zi4 ji3 gu1 li4 yu2 wo3 men5 ban1 de5 qi2 ta1 xue2 sheng1 。||Johnson ist ein Einsiedler; er zieht es vor, sich vom Rest der Schüler in unserer Klasse abzusondern.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/502981 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孤虽知要领不属，首足异处，四枝布裂，为天下戮，孤之志必将出焉。}} ||  gu1 sui1 zhi1 yao4 ling3 bu4 shu3 ， shou3 zu3 yi4 chu4 ， si4 zhi1 bu4 lie4 ， wei2/wei4 tian1 xia4 lu4 ， gu1 zhi1 zhi4 bi4 jiang1/jiang4 chu1 yan1 。||Obwohl ich weiß, daß ich dadurch meinen Hals und meine Lenden in Gefahr bringe, daß Kopf und Füße voneinander getrennt und alle meine Glieder zerrissen werden können zur Schmach vor der Welt, so werde ich meine Absicht dennoch unter allen Umständen durchführen. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她不在，我很孤独。}} ||  ta1 bu4 zai4 ， wo3 hen3 gu1 du2 。||Ich war einsam ohne sie.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/375290 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |此孤之大愿也}} ||  ci3 gu1 zhi1 da4 yuan4 ye3 ||Das ist mein höchster Wunsch. ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我当时不孤单。}} ||  wo3 dang1/dang4 shi2 bu4 gu1 dan1/shan2 。||Ich war damals nicht allein.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5694480 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |没有你这个城市孤单又冷清。}} ||  mei2/mo4 you3 ni3 zhe4/zhei4 ge4 cheng2 shi4 gu1 dan1/shan2 you4 leng3 qing1 。||Diese Stadt ist kalt und einsam ohne dich.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1990185 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sunnywqing sunnywqing] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/virgil virgil]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孤苦零丁}} ||  gu1 ku3 ling2 ding1 ||([[wikt:en:孤苦零丁|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |则孤将弃国家}} ||  ze2 gu1 jiang1/jiang4 qi4 guo2 jia1 ||So will ich allein mein Reich verlassen ([http://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/zhs Lü Bu We] [http://www.zeno.org/pnd/119012251 Richard Wilhelm])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |每个孤单的人是孤单的，因为他害怕其他人。}} ||  mei3 ge4 gu1 dan1/shan2 de5 ren2 shi4 gu1 dan1/shan2 de5 ， yin1 wei2/wei4 ta1 hai4 pa4 qi2 ta1 ren2 。||Jeder Mensch, der allein ist, ist allein, weil er Angst vor den anderen hat.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/501340 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一意孤行}} ||  yi1 yi4 gu1 hang2/xing2 ||([[wikt:en:一意孤行|Wiktionary en]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |汤姆非常孤单。}} ||  tang1 mu3 fei1 chang2 gu1 dan1/shan2 。||Tom is very much alone.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5780625 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我孤单的时候总会想起他。}} ||  wo3 gu1 dan1/shan2 de5 shi2 hou4 zong3 hui4 xiang3 qi3 ta1 。||Wenn ich allein bin, denke ich nur an ihn.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5574566 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那是因为你不想孤单宜人。}} ||  na4/nei4 shi4 yin1 wei2/wei4 ni3 bu4 xiang3 gu1 dan1/shan2 yi2 ren2 。||Das liegt daran, dass du nicht allein sein willst.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/344967 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/zhouj1955 zhouj1955] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/ludoviko ludoviko]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我觉得很孤独。}} ||  wo3 jiao4/jue2 de2/de5/dei3 hen3 gu1 du2 。||Ich fühle mich sehr einsam.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/334544 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/lisha lisha]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |好几间小屋被洪水孤立起来了。}} ||  hao3 ji1 jian1 xiao3 wu1 bei4 hong2 shui3 gu1 li4 qi3 lai2 le5 。||Several cottages have been isolated by the flood water.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/847808 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/NekoKanjya NekoKanjya]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |当我第一次回波士顿时，我真是孤独。}} ||  dang1/dang4 wo3 di4 yi1 ci4 hui2 bo1 shi4 dun4 shi2 ， wo3 zhen1 shi4 gu1 du2 。||When I first came back to Boston, I was really lonely.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5595228 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |如果没有你，这个世界很孤单。}} ||  ru2 guo3 mei2/mo4 you3 ni3 ， zhe4/zhei4 ge4 shi4 jie4 hen3 gu1 dan1/shan2 。||Die Welt ist einsam ohne dich. Die Welt wäre sehr traurig, wenn du nicht da wärst.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332464 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Katze Katze] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你有没有给孤儿献上一首歌呢？}} ||  ni3 you3 mei2/mo4 you3 gei3 gu1 er2/er5 xian4 shang4 yi1 shou3 ge1 ne5 ？||Have you ever dedicated a song to the orphans?  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2318400 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/slqqqq slqqqq] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Amastan Amastan]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |十岁时他就成了孤儿。}} ||  shi2 sui4 shi2 ta1 jiu4 cheng2 le5 gu1 er2/er5 。||He became an orphan when he was ten.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4760129 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/ryanwoo ryanwoo] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/lukaszpp lukaszpp]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孤力难为}} ||  gu1 li4 nan2/nan4 wei2/wei4 ||([[wikt:en:孤力难为|Wiktionary en]])

|}


== Lückentexte ==

=== Haenisch: Lehrgang der klassischen chinesischen Schriftsprache === 

第七十九課

第七十九课

dì qī shí jiǔ kè

Neunundsiebzigste Lektion

Einen Teil des Textes findet man auch im [[s:zh:%E4%BA%8C%E7%A8%8B%E9%81%BA%E6%9B%B8/%E5%8D%B718|二程遗书/Èr chéng yíshū, den hinterlassenen Schriften der beiden Chengs]].
-----------------------------------
烛理

Zhú lǐ

Vernunft läuchten lassen
-----------------------------------
或問程伊川先生曰

或问程伊川先生曰

huò wèn chéng yī chuān xiān shēng yuē

Jemand fragte Meister Cheng Yichuan:
-----------------------------------
_居一室 (Variante: _處一室) 或行暗中多有__.

独居一室 (Variante: 独处一室) 或行暗中多有惊惧.

dú jū yī shì (Variante: Dú chǔ yī shì) huò xíng àn zhōng duō yǒu jīng jù.

Wenn man allein in einem Haus wohnt oder im Dunklen geht hat man viel Schrecken und Furcht.
-----------------------------------
何也. 

何也. 

Hé yě. 

Warum ist das so?
-----------------------------------
曰. 

曰. 

Yuē. 

(Meister Cheng Yichuan) sagte:
-----------------------------------
只是烛理不明.

Zhǐ shì zhú lǐ bù míng.

Das ist nur weil das Licht der Vernunft nicht hell scheint.
-----------------------------------
若能烛理,

Ruò néng zhú lǐ.

Wenn man die Vernunft leuchten lässt
-----------------------------------
則知所_皆妄.

则知所惧皆妄.

Zé zhī suǒ jù jiē wàng.

dann weiß man, dass das, was man fürchtet, alles Trugschein ist.
-----------------------------------
又何惧焉. 

Yòu hé jù yān. 

Und was soll man somit fürchten?
-----------------------------------
程伊川先生曰.

程伊川先生曰.

Chéng yī chuān xiān shēng yuē.

Meister Cheng Yichuan sagte: 
-----------------------------------
今日雜信鬼怪異說者.

今日杂信鬼怪异说者.

Jīn rì zá xìn guǐ guài yì shuō zhě.

Heutzutage ist man durch diverse Glauben an Gespenster und seltsamen Sagen beeinflusst.
-----------------------------------
只是不先烛理. 

Zhǐ shì bù xiān zhú lǐ. 

Das ist nur, weil man nicht zuerst die Vernunft leuchten lässt.
-----------------------------------
斯言可袪世俗之惑.

斯言可袪世俗之惑.

Sī yán kě qū shì sú zhī huò.

Diese Worte können irregeleitete Bräuche aus der Welt vertreiben. 
-----------------------------------
人能烛理

Rén néng zhú lǐ

Wenn Menschen die Vernunft leuchten lassen können,
-----------------------------------
則事之有無以理_之

则事之有无以理断之

zé shì zhī yǒu wú yǐ lǐ duàn zhī

dann können sie Sein und Schein (Nichtsein) der Dinge mit Vernunft voneinander trennen.
-----------------------------------
自不為邪說所惑矣

自不为邪说所惑矣

zì bù wéi xié shuō suǒ huò yǐ

Sie selbst werden nicht durch widernatürliche Sagen irregeleitet.
-----------------------------------

=== Frühling und Herbst des Lü Buwei ===
==== Wiederholung ====

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! [https://ctext.org/lv-shi-chun-qiu/meng-xia-ji/zhs Erster Sommermonat, 2. Kapitel] !! [http://www.zeno.org/nid/20009211411 Übersetzung Richard Wilhelm]
|-
| 曾子曰：君子行于道路，其有父者可知也，其有师者可知也。 || Dsong Dsï sprach: Wenn ein Edler auf der Straße geht, so kann man es aus seinem Benehmen sehen, ob er einen Vater, ob er einen Lehrer hat.
|-
| 夫无父而无师者，馀若夫何哉！ || Wer keinen Vater, keinen Lehrer hat, benimmt sich ganz anders.
|-
| 此言事师之犹事父也。 || Was besagt dieses Wort? Es sagt, daß man dem Lehrer ebenso dienen müsse, wie man dem Vater dienen muß.
|-
| 曾点使曾参，过期而不至， || Dsong Diän, der Vater Dsong Schens, hatte diesen einmal ausgeschickt, und er war über die Zeit nicht zurückgekommen.
|-
| 人皆见曾点曰： || Da kamen die Leute alle zu Dsong Diän und sprachen:
|-
| 无乃畏邪？ || Es wird ihm doch nichts zugestoßen sein!
|-
| 曾点曰：彼虽畏，我存，夫安敢畏？ || Dsong Diän erwiderte: »Wenn ihm etwas zugestoßen wäre, so wäre das ja noch zu meinen Lebzeiten. Wie sollte er daher es wagen, sich etwas zustoßen zu lassen!
|-
| 孔子畏于匡，颜渊后， || Als Meister Kung in Gefahr war in Kuang, blieb Yän Hui zurück.
|-
| 孔子曰：吾以 du 为死矣。 || Meister Kung sprach: Ich fürchtete schon, du seiest ums Leben gekommen.
|-
| 颜渊曰：子在，回何敢死？ || Yän Hui antwortete: Wie sollte ich es wagen, ums Leben zu kommen, solange der Meister noch lebt!
|-
| 颜回之于孔子也，犹曾参之事父也。 || Das Benehmen des Yän Hui Meister Kung gegenüber war genau dasselbe wie das des Dsong Schen seinem Vater gegenüber.
|-
| 古之贤者，与其尊师若此，故师尽智竭道以教。 || Weil nun die tüchtigen Männer des Altertums ihre Lehrer also ehrten, darum erschöpften die Lehrer ihre Weisheit und gingen bis auf den Grund der Wahrheit, um sie zu belehren.
|}

== Texte ==

=== [https://ctext.org/analects/ens Analekte des Konfuzius] ===
{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 子夏曰：“贤贤易色，事父母能竭其力，事君能致其身，与朋友交言而有信。虽曰未学，吾必谓之学矣。”  }}

Übersetzung James Legge

Zi Xia said, &quot;If a man withdraws his mind from the love of beauty, and applies it as sincerely to the love of the virtuous; if, in serving his parents, he can exert his utmost strength; if, in serving his prince, he can devote his life; if, in his intercourse with his friends, his words are sincere - although men say that he has not learned, I will certainly say that he has.&quot;

=== Haenisch: Lehrgang der klassischen chinesischen Schriftsprache === 


第二十九課

第二十九课

dì èr shí jiǔ kè

Neunundzwanzigste Lektion

Die folgenden Vokabeln ergänzen die bisherigen Lücken des Textes.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 艳 || yan4 || bunt, farbig, farbenprächtig, zauberhaft, amourös
|-
| 艷 || yan4 || (traditionelle Form von 艳), bunt, farbig, farbenprächtig, zauberhaft, amourös
|}

-----------------------------------

黑雲起.

黑云起.

hēi yún qǐ.

Schwarze Wolken kommen auf.
-----------------------------------
大雨下.

大雨下.

dà yǔ xià.

Starker Regen fällt herab.
-----------------------------------
忽然大雨下了起來

忽然大雨下了起来

hū rán dà yǔ xià le qǐ lái

Plötzlich kam starker Regen auf.

這場大雨下了很久

这场大雨下了很久

zhè chǎng dà yǔ xià le hěn jiǔ

Dieser Starkregen fällt schon lange herab.

-----------------------------------
雲開雨止.

云开雨止.

yún kāi yǔ zhǐ.

Die Wolken öffen sich, der Regen stoppt.
-----------------------------------
艷陽高照

艳阳高照

yàn yáng gāo zhào

Die Sonne strahlt
-----------------------------------
夕陽在山

夕阳在山

xī yáng zài shān

Die Abendsonne steht über den Bergen
-----------------------------------
紅見天空.

红见天空.

hóng xiàn tiān kōng.

Ein Regenbogen erscheint am Himmel.
-----------------------------------
其形如弓.

其形如弓.

qí xíng rú gōng.

Seine Form ist wie ein Bogen.
-----------------------------------
色甚美麗.

色甚美丽.

sè shén měi lì.

Seine Farben sind sehr schön.

== [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | Tao Te Ching]] Kapitel 39 第三十九章 ==

{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
昔之得一者：

天得一以清，

地得一以灵，

神得一以宁，

谷得一以盈，

万物得一以生，

侯王得一以为天下贞，

其致之一也。

天无以清，将恐裂；

地无以宁，将恐发；

神无以灵，将恐歇；

谷无以盈，将恐竭；

万物无以生，将恐灭；

侯王无以贞贵高，

将恐蹙。

故贵以贱为本，

高以下为基。

侯王自谓孤、寡不榖。

此其以贱为本也？非乎？

故致数车无车。

不欲琭琭如玉，

落落如石。

}} 

=== Übersetzung Richard Wilhelm ===

Die einst das Eine erlangten:

Der Himmel erlangte das Eine und wurde rein.

Die Erde erlangte das Eine und wurde fest.

Die Götter erlangten das Eine und wurden mächtig.

Das Tal erlangte das Eine und erfüllte sich.

Alle Dinge erlangten das Eine und entstanden.

Könige und Fürsten erlangten das Eine

und wurden das Vorbild der Welt.

Das alles ist durch das Eine bewirkt.

Wäre der Himmel nicht rein dadurch, so müßte er bersten.

Wäre die Erde nicht fest dadurch, so müßte sie wanken.

Wären die Götter nicht mächtig dadurch, so müßten sie erstarren.

Wäre das Tal nicht erfüllt dadurch, so müßte es sich erschöpfen.

Wären alle Dinge nicht erstanden dadurch, so müßten sie erlöschen.

Wären die Könige und Fürsten nicht erhaben dadurch, so müßten sie stürzen.

Darum: Das Edle hat das Geringe zur Wurzel.

Das Hohe hat das Niedrige zur Grundlage.

Also auch die Fürsten und Könige:

Sie nennen sich: »Einsam«, »Verwaist«, »Wenigkeit«.

Dadurch bezeichnen sie das Geringe als ihre Wurzel.

Oder ist es nicht so?

Denn: Ohne die einzelnen Bestandteile eines Wagens

gibt es keinen Wagen.

Wünsche nicht das glänzende Gleißen des Juwels,

sondern die rohe Rauheit des Steins.


=== Übersetzung [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | wikisource]] ===

When at one with the Dao:

When heaven is at one, it is clear,

When earth is at one, it is fertile,

When the spirit is at one, it is serene,

When the refuge is at one, it is rewarding,

When the myriad things are at one, there is life,

When the leaders are at one, the people are respectable,

And become at one!

If the heaven is unclear, there is fear it will fracture;

If the earth is infertile, there is dread for disaster;

If the spirit is disturbed, there is anxiety in death;

If the refuge is deprived, there is panic over recession;

If the myriad things are lifeless, there is scare of extermination;

If the leaders are disrespectful,

absorbed in the admiration

of their own supremacy, the people becomes terrorized by authority.

Therefore admiration is based on humility,

Supremacy finds foundation in lowliness.

When the leaders maintain uninvolved, irrelevant and undeserving,

Is it not based on humility?

Therefore prepare your chariots and set them aside.

Yearn not for crowns and jewels,

And remain composed in grits and gravel.

== Wiederholung Zeichen Tao Te Ching ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昔}}  || xi2 || Xi/ xi1: vergangen, vorüber
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |灵}}  || ling2 || Geist; Seele; Intelligenz, wirkungsvoll; effektiv, gewandt; geschickt; flink
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |宁}}  || ning2 || Frieden
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贞}}  || zhen1 || rein, keusch
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |恐}}  || kong3 || Angst haben, befürchten, ängstlich, besorgt
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |裂}}  || lie4 || platzen. zersplittern; Spalte
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |歇}}  || xie1 || ausruhen, bleiben
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |竭}}  || jie2 || absaugen, auspumpen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |灭}}  || mie4 || abschalten, ausmachen, beenden, ertrinken, löschen, ausmachen (Licht, Feuer, Kerze), vernichten, erloschen (Licht, Feuer, Kerze)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |蹙}}  || cu4 || dringend, plötzlich, lamentieren, betrübt
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贱}}  || jian4 || bescheiden, niedrig, von niederem Stand, billig, für wenig Geld; Bsp.: 賤金屬 贱金属 -- unedles Metall (Das Neue Chinesisch-Deutsche Wörterbuch)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |本}}  || ben3 || ZEW für gebundene Druckerzeugnisse (z.B. Buch, Heft); Bsp.: 這本書 这本书 -- dieses Buch, Stamm, Ursprung, Quelle, Grundlage, Basis, Wurzel, ursprünglich
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |基}}  || ji1 || basisch, grundlegend, gründlich, radikal, Gründung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孤}}  || gu1 || einsam, Gu
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |榖}}  || gu3 || Papiermaulbeere (Broussonetia papyrifera)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |琭}}  || lu4 || Jadeähnlicher Stein
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |落}}  || luo4 || absetzen, fallen, fallen, absinken, landen, Luo/ la4: hinterlassen, zurücklassen/ lao4: gleich wie 落; wird in manchen umgangsprachlichen Wörtern verwendet; Bsp.: 落枕 落枕 -- einen steifen Nacken, Hals kriegen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |石}}  || shi2 || Gestein, Shi, Radikal Nr. 112 = Stein, steinern, Steinschnitzerei
|}

&lt;noinclude&gt;
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== Zeichen ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung !! Lernhilfen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝}}  || yu2 || ändern, widerrufen, Chongqing || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=渝}}
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |隅}}  || yu2 || abgelegener/entfernter Ort, Rand, Winkel, Ecke || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=隅}}
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷}}  || dai4 || leihen, Kredit, Darlehen, verzeihen, abwälzen || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=贷}}
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵}}  || chao3 || jemanden stören, Zank, zanken, lärmen || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=吵}} (HSK 3.0 Band 3)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議}}  || yi4 || (traditionelle Schreibweise von 议), debattieren, diskutieren, Ansicht, Meinung || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=議}}
|}

== Zusammengesetzte Wörter ==

=== 渝 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不渝}}  || bu4 yu2 || konstant
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝中}}  || Yu2 zhong1 || Yuzhong (or central Chongqing) district of central Chongqing municipality, formerly in Sichuan
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝水}}  || Yu2 shui3 || old name of Jialing River 嘉陵江[Jia1 ling2 Jiang1] in Sichuan through Chongqing, Yushui District of Xinyu city 新餘市|新余市[Xin1 yu2 shi4], Jiangxi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |成渝}}  || Cheng2 Yu2 || Chengdu 成都 and Chongqing 重慶|重庆
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝北}}  || Yu2 bei3 || Yubei district of central Chongqing municipality, formerly in Sichuan
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝北区}}  || yu2 bei3 qu1 || Yubei
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝北區}}  || yu2 bei3 qu1 || (traditionelle Schreibweise von 渝北区), Yubei
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |周渝民}}  || Zhou1 Yu2 min2 || Zhou Yumin or Vic Zhou, Taiwan singer and actor, member of pop group F4
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝水区}}  || Yu2 shui3 Qu1 || Yushui District of Xinyu city 新餘市|新余市[Xin1 yu2 shi4], Jiangxi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝水區}}  || Yu2 shui3 Qu1 || (traditionelle Schreibweise von 渝水区), Yushui District of Xinyu city 新餘市|新余市[Xin1 yu2 shi4], Jiangxi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝中区}}  || Yu2 zhong1 qu1 || Yuzhong (or central Chongqing) district of central Chongqing municipality, formerly in Sichuan
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝中區}}  || Yu2 zhong1 qu1 || (traditionelle Schreibweise von 渝中区), Yuzhong (or central Chongqing) district of central Chongqing municipality, formerly in Sichuan
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |始终不渝}}  || shi3 zhong1 bu4 yu2 || beharrlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |始終不渝}}  || shi3 zhong1 bu4 yu2 || (traditionelle Schreibweise von 始终不渝), beharrlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |忠贞不渝}}  || zhong1 zhen1 bu4 yu2 || unerschütterlich Treu bleiben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |矢志不渝}}  || shi3 zhi4 bu4 yu2 || unbeirrbare Entschlossenheit geloben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |始终不渝地}}  || shi3 zhong1 bu4 yu2 de5 || konsequent
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |始終不渝地}}  || shi3 zhong1 bu4 yu2 de5 || (traditionelle Schreibweise von 始终不渝地), konsequent
|}

=== 隅 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |察隅}}  || cha2 yu2 || Chayu (Ort in Tibet)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |三隅}}  || san1 yu2 || drei Ecken
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一隅}}  || yi1 yu2 || eine Ecke
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |向隅}}  || xiang4 yu2 || lit. to face the corner, fig. to miss out on sth
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |海隅}}  || hai3 yu2 || coastal area
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |夷隅市}}  || yi2 yu2 shi4 || Isumi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大隅国}}  || da4 yu2 guo2 || Provinz Ōsumi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大隅國}}  || da4 yu2 guo2 || (traditionelle Schreibweise von 大隅国), Provinz Ōsumi
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |察隅县}}  || cha2 yu2 xian4 || Kreis Zayü (Autonomes Gebiet Tibet, China)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |察隅縣}}  || cha2 yu2 xian4 || (traditionelle Schreibweise von 察隅县), Kreis Zayü (Autonomes Gebiet Tibet, China)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |向隅而泣}}  || xiang4 yu2 er2 qi4 || sich schmollend zurückziehen, sich unberücksichtigt fühlren
|}

=== 贷 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷记}}  || dai4 ji4 || Habenbuchung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |次贷}}  || ci4 dai4 || fauler Kredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷}}  || xin4 dai4 || Kredit, Entlastung || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷差}}  || dai4 cha4 || Aktivsaldo
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |房贷}}  || fang2 dai4 || Wohnungskredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |宽贷}}  || kuan1 dai4 || begnadigen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款}}  || dai4 kuan3 || kreditieren, Kredit gewähren, Kredit || (HSK 3.0 Band 5)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |借贷}}  || jie4 dai4 || Kredit aufnehmen, beleihen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款处}}  || dai4 kuan3 chu4 || Darlehnsabteilung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷部}}  || xin4 dai4 bu4 || Kreditabteilung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷员}}  || xin4 dai4 yuan2 || Darlehensberater
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款人}}  || dai4 kuan3 ren2 || Kreditnehmer
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷方项}}  || dai4 fang1 xiang4 || Gutschrift
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |高利贷}}  || gao1 li4 dai4 || Wucherzinsdarlehen, Darlehen zu Wucherzinsen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |转换贷款}}  || zhuan3 huan4 dai4 kuan3 || Umschuldung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |消费信贷}}  || xiao1 fei4 xin4 dai4 || Anschaffungskredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |买方信贷}}  || mai3 fang1 xin4 dai4 || Bestellerkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |担保贷款}}  || dan1 bao3 dai4 kuan3 || Kredit gegen Bürgschaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |担保信贷}}  || dan1 bao3 xin4 dai4 || Realkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |财政贷款}}  || cai2 zheng4 dai4 kuan3 || Finanzkredit(Wirtsch)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银行信贷}}  || yin2 hang2 xin4 dai4 || Bankdarlehen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷业务}}  || xin4 dai4 ye4 wu4 || Kreditgeschäft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贴现信贷}}  || tie1 xian4 xin4 dai4 || Wechselkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款条件}}  || dai4 kuan3 tiao2 jian4 || Kreditbedingung, Anleihebedingung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷方分录}}  || dai4 fang1 fen4 lu4 || Habenbuchung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷担保}}  || xin4 dai4 dan1 bao3 || Kreditbürgschaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |高利贷者}}  || gao1 li4 dai4 zhe3 || Blutegel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款机构}}  || dai4 kuan3 ji1 gou4 || Kreditgeber, Finanzdienstleister, Kreditinstitut
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |无息贷款}}  || wu2 xi1 dai4 kuan3 || zinsfreier Kredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吸收贷款}}  || xi1 shou1 dai4 kuan3 || Kredit aufnehmen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分期贷款}}  || fen1 qi1 dai4 kuan3 || Abzahlungskredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷机构}}  || xin4 dai4 ji1 gou4 || Kreditinstitut
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银团贷款}}  || yin2 tuan2 dai4 kuan3 || Konsortialkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不良贷款}}  || bu4 liang2 dai4 kuan3 || notleidender Kredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信用贷款}}  || xin4 yong4 dai4 kuan3 || Darlehen ohne Deckung, Kredit ohne Deckung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |国家贷款}}  || guo2 jia1 dai4 kuan3 || Staatsanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |次级贷款}}  || ci4 ji2 dai4 kuan3 || Subprime-Markt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |股票贷款}}  || gu3 piao4 dai4 kuan3 || Aktienanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷政策}}  || xin4 dai4 zheng4 ce4 || Kreditpolitik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |发放贷款}}  || fa1 fang4 dai4 kuan3 || Einräumung eines Kredites
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |借贷资本}}  || jie4 dai4 zi1 ben3 || Fremdkapital
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |卖方信贷}}  || mai4 fang1 xin4 dai4 || Lieferantenkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |商业贷款}}  || shang1 ye4 dai4 kuan3 || Firmenkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |资贷危机}}  || zi1 dai4 wei1 ji1 || Kreditkrise, Finanz- und Hypothekenkrise
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |专项贷款}}  || zhuan1 xiang4 dai4 kuan3 || besondere
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |外国贷款}}  || wai4 guo2 dai4 kuan3 || Auslandsanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |临时借贷}}  || lin2 shi2 jie4 dai4 || pumpen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷申请}}  || xin4 dai4 shen1 qing3 || Akkreditivauftrag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |接受贷款}}  || jie1 shou4 dai4 kuan3 || Kreditaufnahme
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |保值借贷}}  || bao3 zhi2 jie4 dai4 || Indexanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷危机}}  || xin4 dai4 wei1 ji1 || Kreditkrise
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷交易}}  || xin4 dai4 jiao1 yi4 || Kreditverkehr
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |出口信贷}}  || chu1 kou3 xin4 dai4 || Exportfinanzierung, Exportkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银行贷款}}  || yin2 hang2 dai4 kuan3 || Bankdarlehen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |接收贷款}}  || jie1 shou1 dai4 kuan3 || Kredit aufnehmen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信贷资金}}  || xin4 dai4 zi1 jin1 || Kreditfonds
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |长期贷款}}  || chang2 qi1 dai4 kuan3 || langfristiges Geld
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |短期贷款}}  || duan3 qi1 dai4 kuan3 || kurzfristiges Geld
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银行借贷}}  || yin2 hang2 jie4 dai4 || Bankdarlehen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |政府贷款}}  || zheng4 fu3 dai4 kuan3 || Staatsanleihen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款资助}}  || dai4 kuan3 zi1 zhu4 || Darlehnsfinanzierung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |确保贷款}}  || que4 bao3 dai4 kuan3 || gesicherter Kredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷款标准}}  || dai4 kuan3 biao1 zhun3 || Kreditstandard
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |消费者贷款}}  || xiao1 fei4 zhe3 dai4 kuan3 || Ratenkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |消费者信贷}}  || xiao1 fei4 zhe3 xin4 dai4 || Ratenkredit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷方通知单}}  || dai4 fang1 tong1 zhi1 dan1 || Gutschrift
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |中长期贷款}}  || zhong1 chang2 qi1 dai4 kuan3 || mittel- und langfristige Kredite
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |放高利贷者}}  || fang4 gao1 li4 dai4 zhe3 || Halsabschneider
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |新美贷款银行}}  || xin1 mei3 dai4 kuan3 yin2 xing2 || Summit Mortgage Bankers Inc.
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |出口信贷保险}}  || chu1 kou3 xin4 dai4 bao3 xian3 || Exportkreditversicherung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |瑞士信贷银行}}  || rui4 shi4 xin4 dai4 yin2 hang2 || Credit Suisse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |发放外币贷款}}  || fa1 fang4 wai4 bi4 dai4 kuan3 || Fremdwährungsanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |结构调整贷款}}  || jie2 gou4 tiao2 zheng3 dai4 kuan3 || Anleihe für Strukturregulierung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |中央信贷机构}}  || zhong1 yang1 xin4 dai4 ji1 gou4 || Zentralkasse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |固定资产贷款}}  || gu4 ding4 zi1 chan3 dai4 kuan3 || Anlagedarlehen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |可交换的贷款}}  || ke3 jiao1 huan4 de5 dai4 kuan3 || Wandelanleihe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |长期信贷市场}}  || chang2 qi1 xin4 dai4 shi4 chang3 || Markt für langfristige Kredite
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |资金信贷机构}}  || zi1 jin1 xin4 dai4 ji1 gou4 || Geld- und Kreditinstitut
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |商业银行贷款}}  || shang1 ye4 yin2 hang2 dai4 kuan3 || Kredite kommerzieller Banken
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |中央银行贷款}}  || zhong1 yang1 yin2 hang2 dai4 kuan3 || Zentralbankmittel (Kredite)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |特别贷款设备}}  || te4 bie2 dai4 kuan3 she4 bei4 || Spitzenrefinanzierungsfazilität
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |发贷通知和帐单}}  || fa1 dai4 tong1 zhi1 he2 zhang4 dan1 || Versandanzeige und Rechnung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |日本长期信贷银行}}  || ri4 ben3 chang2 qi1 xin4 dai4 yin2 hang2 || jap. Bank
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |限制性的信贷政策}}  || xian4 zhi4 xing4 de5 xin4 dai4 zheng4 ce4 || restriktive Kreditpolitik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |国际商业信贷银行}}  || guo2 ji4 shang1 ye4 xin4 dai4 yin2 hang2 || Bank of Credit and Commerce International
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |代办贷款的经纪人}}  || dai4 ban4 dai4 kuan3 de5 jing1 ji4 ren2 || Geldvermittler
|}

=== 吵 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵嘴}}  || chao3 zui3 || Streit, streiten || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵闹}}  || chao3 nao4 || Tumult, Stimmengewirr, Getöse, laut streiten, keifen, Tumult, geräuschvoll, lautstark, tumultartig, turbulent, vorlaut
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵架}}  || chao3 jia4 || eine Auseinandersetzung haben, streiten || (HSK 3.0 Band 3)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵醒}}  || chao3 xing3 || aufwachen (von Lärm)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |争吵}}  || zheng1 chao3 || Entzweiung, Streit, Krach, Unfriede, Unfrieden, Zwist, Zwistigkeit, streiten, zerstreiten || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爭吵}}  || zheng1 chao3 || (traditionelle Schreibweise von 争吵), Entzweiung, Streit, Krach, Unfriede, Unfrieden, Zwist, Zwistigkeit, streiten, zerstreiten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |好吵嘴}}  || hao3 chao3 zui3 || zänkisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵闹声}}  || chao3 nao4 sheng1 || Getöse, Geschreie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爱吵架}}  || ai4 chao3 jia4 || zänkisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |愛吵架}}  || ai4 chao3 jia4 || (traditionelle Schreibweise von 爱吵架), zänkisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |好争吵}}  || hao3 zheng1 chao3 || streitsüchtig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |好爭吵}}  || hao3 zheng1 chao3 || (traditionelle Schreibweise von 好争吵), streitsüchtig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爱吵闹}}  || ai4 chao3 nao4 || bissig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大吵大叫}}  || da4 chao3 da4 jiao4 || laut schreien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |喜欢吵架}}  || xi3 huan1 chao3 jia4 || streitsüchtig, zänkisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |喜歡吵架}}  || xi3 huan1 chao3 jia4 || (traditionelle Schreibweise von 喜欢吵架), streitsüchtig, zänkisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吵吵闹闹}}  || chao3 chao3 nao4 nao4 || furchtbar lärmen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |好吵闹的人}}  || hao3 chao3 nao4 de5 ren2 || Radaubruder
|}

=== 議 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建議}}  || jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 建议), vorschlagen, empfehlen, Vorschlag, Empfehlung, Rat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議價}}  || yi4 jia4 || (traditionelle Schreibweise von 议价), Abmachung, Angebot, Gelegenheitskauf, Geschäft, über einen Preis verhandeln
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |再議}}  || zai4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 再议), nochmalige Prüfung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議席}}  || yi4 xi2 || (traditionelle Schreibweise von 议席), Parlamentssitz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爭議}}  || zheng1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 争议), Kontroverse, Meinungsverschiedenheit, Streit, Zwist
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會}}  || yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 议会), Abgeordnetenkammer, Parlament
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議論}}  || yi4 lun4 || (traditionelle Schreibweise von 议论), Diskussion, diskutieren, kommentieren, sich zusprechen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提議}}  || ti2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 提议), andeuten, empfehlen, Angebotsende, Serviceleistung, Vorschlag, bieten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |商議}}  || shang1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 商议), raten, Rat, beraten, besprechen, feilschen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議題}}  || yi4 ti2 || (traditionelle Schreibweise von 议题), auflegen, ausgeben, Fragenkomplex, Thema, Lehrfach, Untertan
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議案}}  || yi4 an4 || (traditionelle Schreibweise von 议案), Vorlage, Antrag, Vorschlag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議程}}  || yi4 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 议程), Tagesordnung, Agenda
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議長}}  || yi4 zhang3 || (traditionelle Schreibweise von 议长), Parlamentspräsident, Parlamentspräsidentin
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |非議}}  || fei1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 非议), vorwerfen, tadeln
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議}}  || hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 会议), Meeting, Versammlung, Konferenzgespräch, Konvention, Ratsversammlung, Session
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |廷議}}  || ting2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 廷议), Hofberatungen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議定}}  || yi4 ding4 || (traditionelle Schreibweise von 议定), vereinbaren
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議}}  || yi4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 异议), Einspruch, Einwand
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |思議}}  || si1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 思议), sich vorstellen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議院}}  || yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 议院), Parlament
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議和}}  || yi4 he2 || (traditionelle Schreibweise von 议和), Friedensverhandlungen führen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |合議}}  || he2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 合议), Podiumsdiskussion
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議室}}  || hui4 yi4 shi4 || (traditionelle Schreibweise von 会议室), Konferenzraum
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爭議案}}  || zheng1 yi4 an4 || (traditionelle Schreibweise von 争议案), Streitsache, Rechtsstreit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議者}}  || yi4 yi4 zhe3 || (traditionelle Schreibweise von 异议者), Andersdenkende
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |反提議}}  || fan3 ti2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 反提议), Gegenvorschlag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議書}}  || yi4 yi4 shu1 || (traditionelle Schreibweise von 异议书), Protestnote
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |眾議院}}  || zhong4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 众议院), Abgeordnetenhaus, Repräsentantenhaus, Unterhaus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提議者}}  || ti2 yi4 zhe3 || (traditionelle Schreibweise von 提议者), Verfechter
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |參議院}}  || can1 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 参议院), Oberhaus, Senat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建議性}}  || jian4 yi4 xing4 || (traditionelle Schreibweise von 建议性), Zweideutigkeit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會外}}  || yi4 hui4 wai4 || (traditionelle Schreibweise von 议会外), außerparlamentarisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無爭議}}  || wu2 zheng1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 无争议), unangefochten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |上議院}}  || shang4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 上议院), Oberhaus, Senat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |小建議}}  || xiao3 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 小建议), Tipp
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |商議好}}  || shang1 yi4 hao3 || (traditionelle Schreibweise von 商议好), vereinbaren
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |下議院}}  || xia4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 下议院), Repräsentantenhaus, Unterhaus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爭議性}}  || zheng1 yi4 xing4 || (traditionelle Schreibweise von 争议性), Anfechtbarkeit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |州議會}}  || zhou1 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 州议会), Landtag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提議過}}  || ti2 yi4 guo4 || (traditionelle Schreibweise von 提议过), Angebot, anbieten, angeboten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無異議}}  || wu2 yi4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 无异议), Einhelligkeit, ausnahmslos, unangefochten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建議者}}  || jian4 yi4 zhe3 || (traditionelle Schreibweise von 建议者), Ratgeber
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會制}}  || yi4 hui4 zhi4 || (traditionelle Schreibweise von 议会制), Parlamentarisches Regierungssystem
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有爭議}}  || you3 zheng1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 有争议), bestreiten, umkämpfen, bestreitbar, tadelsüchtig, umstritten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |參議長}}  || can1 yi4 chang2 || (traditionelle Schreibweise von 参议长), Senatspräsident (Frankreich)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |可建議}}  || ke3 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 可建议), angebracht, erwähnenswert
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |合議庭}}  || he2 yi4 ting2 || (traditionelle Schreibweise von 合议庭), Kammer; Spruchkörper
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建議過}}  || jian4 yi4 guo4 || (traditionelle Schreibweise von 建议过), Angebot, anbieten, angeboten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議定者}}  || yi4 ding4 zhe3 || (traditionelle Schreibweise von 议定者), Unterhändler
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |反建議}}  || fan3 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 反建议), Gegenvorschlag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |市議會}}  || shi4 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 市议会), Stadtrat, Bürgerschaft (städtisches Parlament)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大陸會議}}  || da4 lu4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 大陆会议), Kontinentalkongress
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |幹部會議}}  || gan4 bu4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 干部会议), Fraktionssitzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |全體會議}}  || quan2 ti3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 全体会议), Vollversammlung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |裁軍會議}}  || cai2 jun1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 裁军会议), Abrüstungskonferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |背後議論}}  || bei4 hou4 yi4 lun4 || (traditionelle Schreibweise von 背后议论), Geschrei, Klatsch, Klatschen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |電話會議}}  || dian4 hua4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 电话会议), Konferenzschaltung, Telefonkonferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |萬隆會議}}  || wan4 long2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 万隆会议), Bandung-Staaten
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |律師建議}}  || lü4 shi1 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 律师建议), Rechtsbeistand, Rechtsberatung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |生活會議}}  || sheng1 huo2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 生活会议), Sondersitzung???
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議中心}}  || hui4 yi4 zhong1 xin1 || (traditionelle Schreibweise von 会议中心), Kongresszentrum
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |電視會議}}  || dian4 shi4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 电视会议), Videokonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議主席}}  || hui4 yi4 zhu3 xi2 || (traditionelle Schreibweise von 会议主席), Präsident der Konferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建議方案}}  || jian4 yi4 fang1 an4 || (traditionelle Schreibweise von 建议方案), Lösungsvorschlag
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |羅馬會議}}  || luo2 ma3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 罗马会议), Concilium Plebis
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |共同議價}}  || gong4 tong2 yi4 jia4 || (traditionelle Schreibweise von 共同议价), Tarifverhandlung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |保安會議}}  || bao3 an1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 保安会议), Sicherheitskonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |地方議會}}  || di4 fang1 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 地方议会), Gemeinderat
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |工作會議}}  || gong1 zuo4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 工作会议), Arbeitssitzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |大公會議}}  || da4 gong1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 大公会议), Ökumenisches Konzil
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |表示異議}}  || biao3 shi4 yi4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 表示异议), eine andere Meinung äußern, einen Einwand erheben, gegen etw. sein, etw. dagegen haben
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |傳道議會}}  || chuan2 dao4 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 传道议会), Kongregation für die Evangelisierung der Völker
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議成立}}  || yi4 yi4 cheng2 li4 || (traditionelle Schreibweise von 异议成立), der Einspruch ist begründet.(Adj, Rechtsw)
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |安全會議}}  || an1 quan2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 安全会议), Sicherheitskonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會制度}}  || yi4 hui4 zhi4 du4 || (traditionelle Schreibweise von 议会制度), parlamentarisches System
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |法律建議}}  || fa3 lü4 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 法律建议), Gesetzesvorschlag(Rechtsw)
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |主持會議}}  || zhu3 chi2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 主持会议), eine Sitzung leiten, eine Versammlung leiten
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無可爭議}}  || wu2 ke3 zheng1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 无可争议), nicht zu bestreiten
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |洛桑會議}}  || luo4 sang1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 洛桑会议), Konferenz von Lausanne
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會主席}}  || yi4 hui4 zhu3 xi2 || (traditionelle Schreibweise von 议会主席), Parlamentspräsident
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |沒有爭議}}  || mei2 you3 zheng1 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 没有争议), unstrittig
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |遵義會議}}  || zun1 yi4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 遵义会议), Konferenz von Zunyi
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議人士}}  || yi4 yi4 ren2 shi4 || (traditionelle Schreibweise von 异议人士), Andersdenkende, Dissident
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議價能力}}  || yi4 jia4 neng2 li4 || (traditionelle Schreibweise von 议价能力), Verhandlungsstärke
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議事日程}}  || yi4 shi4 ri4 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 议事日程), Tagesordnung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |專家會議}}  || zhuan1 jia1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 专家会议), Fachkongress
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |民族會議}}  || min2 zu2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 民族会议), Nationalkongress
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |內閣會議}}  || nei4 ge2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 内阁会议), Kabinettssitzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |公共會議}}  || gong1 gong4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 公共会议), Generalversammlung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |緊急會議}}  || jin3 ji2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 紧急会议), Dringlichkeitssitzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議會會議}}  || yi4 hui4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 议会会议), Ratsversammlung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |商議好的}}  || shang1 yi4 hao3 de5 || (traditionelle Schreibweise von 商议好的), vereinbart
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |德國議會}}  || de2 guo2 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 德国议会), Bundestag
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議事規則}}  || yi4 shi4 gui1 ze2 || (traditionelle Schreibweise von 议事规则), Verfahrensordnung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |區域會議}}  || qu1 yu4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 区域会议), Regionalkonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |首腦會議}}  || shou3 nao3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 首脑会议), Gipfel, Gipfelkonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |國會議長}}  || guo2 hui4 yi4 zhang3 || (traditionelle Schreibweise von 国会议长), Parlamentspräsident
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |歐洲議會}}  || ou1 zhou1 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 欧洲议会), Europaparlament, Europaparlaments, Europäisches Parlament
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |代議政制}}  || dai4 yi4 zheng4 zhi4 || (traditionelle Schreibweise von 代议政制), Repräsentative Demokratie
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提出異議}}  || ti2 chu1 yi4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 提出异议), Einspruch einlegen, Einspruch erheben
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |特別會議}}  || te4 bie2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 特别会议), Sondersitzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |國會議席}}  || guo2 hui4 yi4 xi2 || (traditionelle Schreibweise von 国会议席), Parlamentssitze
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |沒有異議}}  || mei2 you3 yi4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 没有异议), Einmütigkeit, Einstimmigkeit
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |遠程會議}}  || yuan3 cheng2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 远程会议), Telekonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |國民議會}}  || guo2 min2 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 国民议会), Nationalversammlung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |外交會議}}  || wai4 jiao1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 外交会议), Regierungskonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |立法會議}}  || li4 fa3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 立法会议), Gesetzgebendes Komitee
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |預備會議}}  || yu4 bei4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 预备会议), Vorbesprechung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |教育會議}}  || jiao4 yu4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 教育会议), Bildungskongress
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亞歐會議}}  || ya4 ou1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 亚欧会议), ASEM(Wirtsch)
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |萬湖會議}}  || wan4 hu2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 万湖会议), Wannseekonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |異議份子}}  || yi4 yi4 fen4 zi3 || (traditionelle Schreibweise von 异议分子), Andersdenkende
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |改革議程}}  || gai3 ge2 yi4 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 改革议程), Reformagenda
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |多數决議}}  || duo1 shu4 jue2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 多数决议), Mehrheitsbeschluss
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |影像會議}}  || ying3 xiang4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 影像会议), Videokonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提上議程}}  || ti2 shang4 yi4 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 提上议程), auf die Tagesordnung setzen, auf der Tagesordnung stehen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |危機會議}}  || wei1 ji1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 危机会议), Krisensitzung, Krisentreffen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |專家建議}}  || zhuan1 jia1 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 专家建议), Expertenrat, Experte rät, Experte meint
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亞非會議}}  || ya4 fei1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 亚非会议), afro-asiatische Konferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |日內瓦會議}}  || ri4 nei4 wa3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 日内瓦会议), Indochinakonferenz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |尼西亞會議}}  || ni2 xi1 ya4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 尼西亚会议), Konzil von Nicäa
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |以色列議會}}  || yi3 se4 lie4 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 以色列议会), Knesset
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不可思議地}}  || bu4 ke3 si1 yi4 de5 || (traditionelle Schreibweise von 不可思议地), wie durch Zauber
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雅爾塔會議}}  || ya3 er3 ta3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 雅尔塔会议), Erklärung von Jalta
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |代議民主制}}  || dai4 yi4 min2 zhu3 zhi4 || (traditionelle Schreibweise von 代议民主制), Repräsentative Demokratie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |合理化建議}}  || he2 li3 hua4 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 合理化建议), Verbesserungsvorschlag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |美國參議院}}  || mei3 guo2 can1 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 美国参议院), US-Senat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |五百人會議}}  || wu3 bai3 ren2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 五百人会议), Boule
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |英國上議院}}  || ying1 guo2 shang4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 英国上议院), House of Lords
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |日本參議院}}  || ri4 ben3 can1 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 日本参议院), Japanisches Oberhaus
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |京都議定書}}  || jing1 du1 yi4 ding4 shu1 || (traditionelle Schreibweise von 京都议定书), Kyoto-Protokoll
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |開幹部會議}}  || kai1 gan4 bu4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 开干部会议), Fraktionssitzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |索爾維會議}}  || suo3 er3 wei2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 索尔维会议), Solvay-Konferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |董事會會議}}  || dong3 shi4 hui4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 董事会会议), Aufsichtsratssitzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |同音異議詞}}  || tong2 yin1 yi4 yi4 ci2 || (traditionelle Schreibweise von 同音异议词), Homonymie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |日本眾議院}}  || ri4 ben3 zhong4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 日本众议院), Japanisches Unterhaus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不信任動議}}  || bu4 xin4 ren4 dong4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 不信任动议), Misstrauensvotum
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |馬拉松會議}}  || ma3 la1 song1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 马拉松会议), Marathonsitzung; eine sehr lange Sitzung, Versamlung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |紅衣教會議}}  || hong2 yi1 jiao4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 红衣教会议), Kirchenrat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |美國眾議院}}  || mei3 guo2 zhong4 yi4 yuan4 || (traditionelle Schreibweise von 美国众议院), US-Repräsentantenhaus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |世界安全會議}}  || shi4 jie4 an1 quan2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 世界安全会议), Weltsicherheitsrat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |議院集體合同}}  || yi4 yuan4 ji2 ti3 he2 tong2 || (traditionelle Schreibweise von 议院集体合同), Haustarifvertrag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |文化部長會議}}  || wen2 hua4 bu4 zhang3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 文化部长会议), Kultusministerkonferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |內政部長會議}}  || nei4 zheng4 bu4 zhang3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 内政部长会议), Innenministerkonferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |列入議事日程}}  || lie4 ru4 yi4 shi4 ri4 cheng2 || (traditionelle Schreibweise von 列入议事日程), in die Tagesordnung aufnehmen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |被提議的法案}}  || bei4 ti2 yi4 de5 fa3 an4 || (traditionelle Schreibweise von 被提议的法案), Gesetzentwurf
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |召開遠程會議}}  || zhao4 kai1 yuan3 cheng2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 召开远程会议), eine Telekonferenz einberufen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |背後議論別人}}  || bei4 hou4 yi4 lun4 bie2 ren2 || (traditionelle Schreibweise von 背后议论别人), lästern
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |北約首腦會議}}  || bei3 yue1 shou3 nao3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 北约首脑会议), Nato-Gipfel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不公開的會議}}  || bu4 gong1 kai1 di4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 不公开的会议), Klausurtagung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |國家保安會議}}  || guo2 jia1 bao3 an1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 国家保安会议), Sicherheitskonferenz des Landes, Landessicherheitskonferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議進度報告}}  || hui4 yi4 jin4 du4 bao4 gao4 || (traditionelle Schreibweise von 会议进度报告), Sitzungsprotokoll
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有爭議的問題}}  || you3 zheng1 yi4 de5 wen4 ti2 || (traditionelle Schreibweise von 有争议的问题), strittige Frage
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |地球首腦會議}}  || di4 qiu2 shou3 nao3 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 地球首脑会议), Erdgipfel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |威爾斯國民議會}}  || wei1 er3 si1 guo2 min2 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 威尔斯国民议会), National Assembly for Wales
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |美國眾議院議長}}  || mei3 guo2 zhong4 yi4 yuan4 yi4 zhang3 || (traditionelle Schreibweise von 美国众议院议长), Sprecher des Repräsentantenhauses
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一個小小的建議}}  || yi1 ge4 xiao3 xiao3 de5 jian4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 一个小小的建议), A Modest Proposal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |光電光波比長議}}  || guang1 dian4 guang1 bo1 bi3 chang2 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 光电光波比长议), fotoelektrischer Lichtwellenlängenkomparator
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |海運合作議定書}}  || hai3 yun4 he2 zuo4 yi4 ding4 shu1 || (traditionelle Schreibweise von 海运合作议定书), Protokoll über die Zusammenarbeit auf dem Gebiet des Seeverkehrs
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |游說通過議案者}}  || you2 shui4 tong1 guo4 yi4 an4 zhe3 || (traditionelle Schreibweise von 游说通过议案者), Lobbyist
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |董事會理事會會議}}  || dong3 shi4 hui4 li3 shi4 hui4 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 董事会理事会会议), Vorstandssitzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |土耳其大國民議會}}  || tu3 er3 qi2 da4 guo2 min2 yi4 hui4 || (traditionelle Schreibweise von 土耳其大国民议会), Große Nationalversammlung der Türkei
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |敦巴頓橡樹園會議}}  || dun1 ba1 dun4 xiang4 shu4 yuan2 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 敦巴顿橡树园会议), Konferenz von Dumbarton Oaks
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |阿爾赫西拉斯會議}}  || a1 er3 he4 xi1 la1 si1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 阿尔赫西拉斯会议), Algeciras-Konferenz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |第一次尼西亞公會議}}  || di4 yi1 ci4 ni2 xi1 ya4 gong1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 第一次尼西亚公会议), Erstes Konzil von Nicäa
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |第二次尼西亞公會議}}  || di4 er4 ci4 ni2 xi1 ya4 gong1 hui4 yi4 || (traditionelle Schreibweise von 第二次尼西亚公会议), Zweites Konzil von Nicäa
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |無可爭議的支付能力}}  || wu2 ke3 zheng1 yi4 de5 zhi1 fu4 neng2 li4 || (traditionelle Schreibweise von 无可争议的支付能力), einwandfreie Bonität
|}

== Sätze  ==

=== 渝 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|}
=== 隅 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|}
=== 贷 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不需要贷款了。}}  ||   wo3 bu4 xu1 yao4 dai4 kuan3 le5 。||  I do not need a loan anymore.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/721050 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kuma kuma])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你可以从银行贷款。}}  ||   ni3 ke3/ke4 yi3 cong2 yin2 hang2/xing2 dai4 kuan3 。||  You can get a loan from a bank.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1992652 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他想还清贷款。}}  ||   ta1 xiang3 hai2/huan2 qing1 dai4 kuan3 。||  Er will seinen Kredit zurückbezahlen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5670769 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dani6187 Dani6187])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他从银行得到了贷款。}}  ||   ta1 cong2 yin2 hang2/xing2 de2/de5/dei3 dao4 le5 dai4 kuan3 。||  Er bekam einen Kredit von der Bank.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/804608 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jakov jakov])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银行对风险客户收取较高的贷款利息。}}  ||   yin2 hang2/xing2 dui4 feng1 xian3 ke4 yong4 shou1 qu3 jiao4 gao1 de5 dai4 kuan3 li4 xi1 。||  Banken verlangen höhere Zinsen für Kredite an riskante Kunden.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332651 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |银行对风险客户收取较高个贷款利息。}}  ||   yin2 hang2/xing2 dui4 feng1 xian3 ke4 yong4 shou1 qu3 jiao4 gao1 ge4 dai4 kuan3 li4 xi1 。||  Banken verlangen höhere Zinsen für Kredite an riskante Kunden.  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/487882 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这个家庭非常贫穷以至于无法偿还贷款。}}  ||   zhe4/zhei4 ge4 jia1 ting2 fei1 chang2 贫 qiong2 yi3 zhi4 yu2 wu2 fa3 chang2 hai2/huan2 dai4 kuan3 。||  Die Familie ist zu arm um die Schulden zurückzuzahlen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/733157 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mcq mcq] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Vortarulo Vortarulo])
|}
=== 吵 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她要求我们别吵她。}}  ||   ta1 yao4 qiu2 wo3 men5 bie2 chao3 ta1 。||  Sie bat uns, sie allein zu lassen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/891749 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/virgil virgil])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们别吵了。}}  ||   wo3 men5 bie2 chao3 le5 。||  Lass uns nicht streiten!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2660863 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/wolfgangth wolfgangth])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你知道吗，他们又在吵架。}}  ||   ni3 zhi1 dao4 ma5 ， ta1 men5 you4 zai4 chao3 jia4 。||  Weißt du, sie streiten sich wieder.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9955754 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你和肯吵架了吗?}}  ||   ni3 he2/he4/huo2 ken3 chao3 jia4 le5 ma5 ?||  Hast du dich mit Ken gestritten?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/875261 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她一直和她的兄弟争吵。}}  ||   ta1 yi1 zhi2 he2/he4/huo2 ta1 de5 xiong1 弟 zheng1 chao3 。||  Sie streitet sich immer mit ihren Brüdern.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332633 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们可以继续玩，别吵到别人就行了。}}  ||   wo3 men5 ke3/ke4 yi3 ji4 xu4 wan2/wan4 ， bie2 chao3 dao4 bie2 ren2 jiu4 hang2/xing2 le5 。||  Wir können weiterspielen, solange wir nicht zu viel Lärm machen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/474088 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/samueldora samueldora])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |咱们停止争吵和好吧。}}  ||   zan2 men5 ting2 zhi3 zheng1 chao3 he2/he4/huo2 hao3 ba5 。||  Beenden wir unseren Streit und vertragen wir uns!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6075730 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mendel mendel] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们吵架了。}}  ||   ta1 men5 chao3 jia4 le5 。||  Sie haben sich gestritten.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/380181 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kellenparker kellenparker] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |Jean和Paul为他们孩子的教育吵了起来。}}  ||  Jean he2/he4/huo2 Paul wei2/wei4 ta1 men5 hai2 zi5 de5 jiao1 yu4 chao3 le5 qi3 lai2 。||  Jean has fallen out with Paul over the education of their children.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1397141 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mtdot mtdot])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她要求我們別吵她。}}  ||   ta1 yao4 qiu2 wo3 men5 bie2 chao3 ta1 。||  Sie bat uns, sie allein zu lassen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/891749 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/virgil virgil])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我們別吵了。}}  ||   wo3 men5 bie2 chao3 le5 。||  Lass uns nicht streiten!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2660863 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/wolfgangth wolfgangth])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |为了不吵醒宝宝，我静静地关上了门。}}  ||   wei2/wei4 le5 bu4 chao3 xing3 bao3 bao3 ， wo3 jing4 jing4 de4/di4 guan1 shang4 le5 men2 。||  Ich schloss die Tür leise, um das Baby nicht zu wecken.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/804804 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你别再跟他争吵了。}}  ||   ni3 bie2 zai4 gen1 ta1 zheng1 chao3 le5 。||  Don't quarrel with him any more.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3526195 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/trieuho trieuho] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/easononizuka easononizuka])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们总是为了小事吵架。}}  ||   ta1 men5 zong3 shi4 wei2/wei4 le5 xiao3 shi4 chao3 jia4 。||  Sie zanken sich immer um Kleinigkeiten.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8744878 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/slo_oth slo_oth] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他和老婆吵架没问题，但是动手打老婆就不应该了。}}  ||   ta1 he2/he4/huo2 lao3 po2 chao3 jia4 mei2/mo4 wen4 ti2 ， dan4 shi4 dong4 shou3 da3 lao3 po2 jiu4 bu4 ying1/ying4 gai1 le5 。||  It's not an issue if he argues with his wife, but he shouldn't hit her.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/397196 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/aliene aliene])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们争吵后，一周都没有再说话。}}  ||   ta1 men5 zheng1 chao3 hou4 ， yi1 zhou1 dou1/du1 mei2/mo4 you3 zai4 shuo1 hua4 。||  Nach der Auseinandersetzung haben sie sich eine Woche lang nicht gesprochen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/812220 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他和老婆吵架沒問題，但是動手打老婆就不應該了。}}  ||   ta1 he2/he4/huo2 lao3 po2 chao3 jia4 mei2/mo4 wen4 ti2 ， dan4 shi4 dong4 shou3 da3 lao3 po2 jiu4 bu4 ying1/ying4 gai1 le5 。||  It's not an issue if he argues with his wife, but he shouldn't hit her.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/397196 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/aliene aliene])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你又和汤姆吵架了吗？}}  ||   ni3 you4 he2/he4/huo2 tang1 mu3 chao3 jia4 le5 ma5 ？||  Did you have another fight with Tom?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10314039 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/DaoSeng DaoSeng] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你和肯吵架了嗎?}}  ||   ni3 he2/he4/huo2 ken3 chao3 jia4 le5 ma5 ?||  Hast du dich mit Ken gestritten?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/875261 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |两个男孩儿吵起来了。}}  ||   liang3 ge4 nan2 hai2 er2/er5 chao3 qi3 lai2 le5 。||  Beide Jungen riefen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/651229 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/peipei peipei] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Soesoe Soesoe])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她很吵闹，不是吗？}}  ||   ta1 hen3 chao3 nao4 ， bu4 shi4 ma5 ？||  Sie ist sehr laut, oder?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9408593 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/BobbyLee BobbyLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/neco neco])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不要吵醒熟睡中的孩子。}}  ||   bu4 yao4 chao3 xing3 shu2 shui4 zhong1/zhong4 de5 hai2 zi5 。||  Don't wake up the sleeping child.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/781448 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |伊一直跟伊拉兄弟吵相骂。}}  ||   yi1 yi1 zhi2 gen1 yi1 la1 xiong1 弟 chao3 xiang1/xiang4 ma4 。||  Sie hat sich immer mit ihren Brüdern gestritten.  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/487823 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |争吵的时候，男人和女人的区别就像步枪和机关枪的区别。}}  ||   zheng1 chao3 de5 shi2 hou4 ， nan2 ren2 he2/he4/huo2 nü3/ru3 ren2 de5 qu1 bie2 jiu4 xiang4 bu4 qiang1 he2/he4/huo2 ji1 guan1 qiang1 de5 qu1 bie2 。||  In einem Streit ist der Unterschied zwischen einem Mann und einer Frau wie zwischen einem Gewehr und einem Maschinengewehr.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/838410 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/neco neco])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |周围太吵了，我无法专心学习。}}  ||   zhou1 wei2 tai4 chao3 le5 ， wo3 wu2 fa3 zhuan1 xin1 xue2 xi2 。||  It is too noisy around here; I can't concentrate.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2428206 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/huangfen huangfen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sharris123 sharris123])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他总是与他的妻子吵架。}}  ||   ta1 zong3 shi4 yu3 ta1 de5 qi1 zi5 chao3 jia4 。||  Er streitet sich immer mit seiner Frau.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/840758 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们的对话总是以争吵收场。}}  ||   wo3 men5 de5 dui4 hua4 zong3 shi4 yi3 zheng1 chao3 shou1 chang3 。||  Unser Gespräch endet immer im Streit.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/466084 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |什麼吵醒你了?}}  ||   shi2 me5 chao3 xing3 ni3 le5 ?||  Was hat dich geweckt?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/793225 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他和他弟弟吵了起来。}}  ||   ta1 he2/he4/huo2 ta1 弟弟 chao3 le5 qi3 lai2 。||  Er hat sich mit seinem Bruder gestritten.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/464758 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Ole Ole])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你昨晚确实很吵。}}  ||   ni3 zuo2 wan3 que4 shi2 hen3 chao3 。||  You sure were noisy last night.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6468685 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不要吵，我在读书。}}  ||   bu4 yao4 chao3 ， wo3 zai4 du2 shu1 。||  Mach keinen Krach, ich lerne.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9684703 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/LeeSooHa LeeSooHa] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们的邻居晚上很吵。}}  ||   wo3 men5 de5 lin2 ju1 wan3 shang4 hen3 chao3 。||  Unsere Nachbarn sind abends sehr laut.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9929785 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们总是吵个不停。}}  ||   ta1 men5 zong3 shi4 chao3 ge4 bu4 ting2 。||  They are always at each other's throats.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1974790 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/bigfatpanda bigfatpanda] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她总和她父母吵架。}}  ||   ta1 zong3 he2/he4/huo2 ta1 fu4 mu3 chao3 jia4 。||  Sie stritt sich ständig mit ihren Eltern.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5581668 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们的争吵因误解而起。}}  ||   ta1 men5 de5 zheng1 chao3 yin1 wu4 jie3 er2 qi3 。||  Their quarrel sprung from misunderstanding.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/775428 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们太吵了，我没办法集中精神了。}}  ||   ta1 men5 tai4 chao3 le5 ， wo3 mei2/mo4 ban4 fa3 ji2 zhong1/zhong4 jing1 shen2 le5 。||  Sie machen zu viel Lärm, ich kann mich nicht konzentrieren.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/503116 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不能吵，宝宝在睡觉。}}  ||   wo3 bu4 neng2 chao3 ， bao3 bao3 zai4 shui4 jiao4/jue2 。||  Ich kann keinen Krach machen. Das Baby schläft.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2782522 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们俩又在吵架了。}}  ||   ta1 men5 liang3 you4 zai4 chao3 jia4 le5 。||  Die beiden streiten sich schon wieder.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10265779 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |当夜晚满月掉落在屋顶上时,所有的农夫都被吵醒了。}}  ||   dang1/dang4 ye4 wan3 man3 yue4 diao4 la4/lao4/luo4 zai4 wu1 ding3 shang4 shi2 , suo3 you3 de5 nong2 fu2 dou1/du1 bei4 chao3 xing3 le5 。||  Fällt der Vollmond nachts aufs Dach, werden alle Bauern wach.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/790723 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们吵得不可开交，以至于没有专注于共同的理想。}}  ||   ta1 men5 chao3 de2/de5/dei3 bu4 ke3/ke4 kai1 jiao1 ， yi3 zhi4 yu2 mei2/mo4 you3 zhuan1 zhu4 yu2 gong4 tong2 de5 li3 xiang3 。||  Sie sind zu sehr damit beschäftigt, sich gegenseitig zu bekämpfen, als dass sie sich gemeinsamen Idealen widmen könnten.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/501308 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不要吵醒孩子。}}  ||   wo3 bu4 yao4 chao3 xing3 hai2 zi5 。||  Ich will die Kinder nicht wecken.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9409406 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/BobbyLee BobbyLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |对不起，把你吵醒了？}}  ||   dui4 bu4 qi3 ， ba3 ni3 chao3 xing3 le5 ？||  Entschuldige! Habe ich dich geweckt?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4906187 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/musclegirlxyp musclegirlxyp] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一阵敲门的响声吵醒了他。}}  ||   yi1 zhen4 qiao1 men2 de5 xiang3 sheng1 chao3 xing3 le5 ta1 。||  Ein lautes Klopfen an der Tür weckte ihn auf.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1584486 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Gustav249 Gustav249] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我在自己家中哪裡都不能讀書，那裏太吵了。}}  ||   wo3 zai4 zi4 ji3 jia1 zhong1/zhong4 na3/na5/nei3 li3 dou1/du1 bu4 neng2 du2 shu1 ， na4/nei4 li3 tai4 chao3 le5 。||  At my house, I have nowhere to study - it's too noisy there.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2635790 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cienias cienias] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/iainmb93 iainmb93])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那两个人一遇到彼此就开始吵架。}}  ||   na4/nei4 liang3 ge4 ren2 yi1 yu4 dao4 bi3 ci3 jiu4 kai1 shi3 chao3 jia4 。||  Those two people start arguing whenever they meet.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2367590 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/eastasiastudent eastasiastudent])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |汤姆开始跟妻子吵架。}}  ||   tang1 mu3 kai1 shi3 gen1 qi1 zi5 chao3 jia4 。||  Tom and his wife started fighting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9415057 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/BobbyLee BobbyLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Hybrid Hybrid])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |阿拉可以继续白相，勿要吵到别人就可以了。}}  ||   a1 la1 ke3/ke4 yi3 ji4 xu4 bai2 xiang1/xiang4 ， wu4 yao4 chao3 dao4 bie2 ren2 jiu4 ke3/ke4 yi3 le5 。||  Wir können weiterspielen, solange wir nicht zu viel Lärm machen.  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/481551 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/samueldora samueldora])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那街道非常吵。}}  ||   na4/nei4 jie1 dao4 fei1 chang2 chao3 。||  Die Straße ist sehr laut.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1020096 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/joro joro] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这儿太吵了。}}  ||   zhe4/zhei4 er2/er5 tai4 chao3 le5 。||  Hier ist es zu laut.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8706874 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shou shou] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请您们别再吵了。}}  ||   qing3 nin2 men5 bie2 zai4 chao3 le5 。||  Hören Sie bitte auf zu streiten!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4117395 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這兒太吵了。}}  ||   zhe4/zhei4 er2/er5 tai4 chao3 le5 。||  Hier ist es zu laut.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8706874 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shou shou] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我在自己家中哪裡都不能读书，那里太吵了。}}  ||   wo3 zai4 zi4 ji3 jia1 zhong1/zhong4 na3/na5/nei3 li3 dou1/du1 bu4 neng2 du2 shu1 ， na4/nei4 li3 tai4 chao3 le5 。||  At my house, I have nowhere to study - it's too noisy there.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2635790 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cienias cienias] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/iainmb93 iainmb93])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |請您們別再吵了。}}  ||   qing3 nin2 men5 bie2 zai4 chao3 le5 。||  Hören Sie bitte auf zu streiten!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4117395 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |當夜晚滿月掉落在屋頂上時,所有的農夫都被吵醒了。}}  ||   dang1/dang4 ye4 wan3 man3 yue4 diao4 la4/lao4/luo4 zai4 wu1 頂 shang4 shi2 , suo3 you3 de5 nong2 fu2 dou1/du1 bei4 chao3 xing3 le5 。||  Fällt der Vollmond nachts aufs Dach, werden alle Bauern wach.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/790723 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |跟他吵没用。}}  ||   gen1 ta1 chao3 mei2/mo4 yong4 。||  It's no use arguing with him.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5905030 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这里有点吵，请你讲话大点声。}}  ||   zhe4/zhei4 li3 you3 dian3 chao3 ， qing3 ni3 jiang3/jiang5 hua4 da4 dian3 sheng1 。||  It's noisy around here, so speak a little louder.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3077990 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/hsuan07 hsuan07])
|}
=== 議 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她建議他多喝奶。}}  ||   ta1 jian4 yi4 ta1 duo1 he1 nai3 。||  She advised him to drink more milk.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1531663 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cc_neko cc_neko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我們沒有必要參加會議。}}  ||   wo3 men5 mei2/mo4 you3 bi4 yao4 can1 jia1 hui4 yi4 。||  It is not necessary for us to attend the meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6535840 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/darinmex darinmex])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他勉強同意了我的建議。}}  ||   ta1 mian3 jiang4/qiang2/qiang3 tong2 yi4 le5 wo3 de5 jian4 yi4 。||  Er stimmte wiederwillig meinem Vorschlag zu.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/848546 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mrtaistoi mrtaistoi])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |彼得不需要參加會議。}}  ||   bi3 de2/de5/dei3 bu4 xu1 yao4 can1 jia1 hui4 yi4 。||  Peter muss an dem Treffen nicht teilnehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/894429 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zaghawa Zaghawa])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你是那個建議我們一起唱歌的人。}}  ||   ni3 shi4 na4/nei4 ge4 jian4 yi4 wo3 men5 yi1 qi3 chang4 ge1 de5 ren2 。||  You're the one who suggested that we sing together.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6581652 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/SofiaLee SofiaLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他最後一場會議沒來。}}  ||   ta1 zui4 hou4 yi1 chang3 hui4 yi4 mei2/mo4 lai2 。||  Er ist nicht zum letzten Treffen erschienen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/889122 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Wolf Wolf])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他不同意我們的建議。}}  ||   ta1 bu4 tong2 yi4 wo3 men5 de5 jian4 yi4 。||  He would not agree to our proposal.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/781213 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你應該參加這個會議的。}}  ||   ni3 ying1/ying4 gai1 can1 jia1 zhe4/zhei4 ge4 hui4 yi4 de5 。||  Du hättest zur Versammlung gehen sollen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/874731 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你覺得他的建議怎樣？}}  ||   ni3 jiao4/jue2 de2/de5/dei3 ta1 de5 jian4 yi4 zen3 yang4 ？||  Was hältst du von seinem Vorschlag?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/542501 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你是那個建議我們一起旅行的人。}}  ||   ni3 shi4 na4/nei4 ge4 jian4 yi4 wo3 men5 yi1 qi3 lü3 hang2/xing2 de5 ren2 。||  You're the one who suggested that we travel together.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6581648 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/SofiaLee SofiaLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他代表我們公司出席了會議。}}  ||   ta1 dai4 biao3 wo3 men5 gong1 si1 chu1 席 le5 hui4 yi4 。||  Er vertrat unsere Firma in der Konferenz. Er nahm an der Sitzung teil als Vertreter der Firma.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/346085 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Esperantostern Esperantostern])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你可以給我一些建議嗎？}}  ||   ni3 ke3/ke4 yi3 gei3 wo3 yi1 xie1 jian4 yi4 ma5 ？||  Könntest du mir einen Rat geben? Kannst du mir einen Rat erteilen?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/344236 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Wolf Wolf] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |只有六人出席了會議。}}  ||   zhi3 you3 liu4 ren2 chu1 席 le5 hui4 yi4 。||  Lediglich sechs Leute waren auf der Versammlung.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/346142 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你和我其中一個要出席這次的會議。}}  ||   ni3 he2/he4/huo2 wo3 qi2 zhong1/zhong4 yi1 ge4 yao4 chu1 席 zhe4/zhei4 ci4 de5 hui4 yi4 。||  Either you or I must attend the meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/452388 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他建議她戒酒。}}  ||   ta1 jian4 yi4 ta1 jie4 jiu3 。||  He advised her to stop drinking.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/839510 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他被任命為議長。}}  ||   ta1 bei4 ren4 ming4 wei2/wei4 yi4 chang2/zhang3 。||  He was appointed chairman.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/805814 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cherylting cherylting] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他不同意我的建議。}}  ||   ta1 bu4 tong2 yi4 wo3 de5 jian4 yi4 。||  Er war mit meinem Vorschlag nicht einverstanden.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/844513 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你給了我很好的建議。}}  ||   ni3 gei3 le5 wo3 hen3 hao3 de5 jian4 yi4 。||  Du hast mir einen guten Rat erteilt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/842298 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他出席會議。}}  ||   ta1 chu1 席 hui4 yi4 。||  Nimm an der Versammlung teil.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4060567 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/giefingl giefingl])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你的建議似乎是合理的。}}  ||   ni3 de5 jian4 yi4 si4 乎 shi4 he2 li3 de5 。||  Your suggestion seems reasonable.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/833241 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她給了我一些實用的建議。}}  ||   ta1 gei3 le5 wo3 yi1 xie1 shi2 yong4 de5 jian4 yi4 。||  Sie gab mir praktische Ratschläge.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/805188 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她給了我一些很好的建議。}}  ||   ta1 gei3 le5 wo3 yi1 xie1 hen3 hao3 de5 jian4 yi4 。||  Sie gab mir einen guten Rat.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/805190 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Esperantostern Esperantostern])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他聽從了我的建議。}}  ||   ta1 ting1 cong2 le5 wo3 de5 jian4 yi4 。||  He listened to my suggestion.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3322642 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cienias cienias] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sharris123 sharris123])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他很重視老師的建議。}}  ||   ta1 hen3 chong2/zhong4 shi4 lao3 shi1 de5 jian4 yi4 。||  He valued the professor's advice.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3710604 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cromwellt cromwellt])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我們不必參加那場會議。}}  ||   wo3 men5 bu4 bi4 can1 jia1 na4/nei4 chang3 hui4 yi4 。||  Wir müssen nicht an dem Treffen teilnehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/905985 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/waeltken waeltken])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不喜歡在清晨開的會議。}}  ||   wo3 bu4 xi3 歡 zai4 qing1 chen2 kai1 de5 hui4 yi4 。||  Ich mag keine frühen Morgenzusammenkünfte.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/770330 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你是那個建議我們一起做那件事的人。}}  ||   ni3 shi4 na4/nei4 ge4 jian4 yi4 wo3 men5 yi1 qi3 zuo4 na4/nei4 jian4 shi4 de5 ren2 。||  You're the one who suggested that we do that together.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6581647 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/SofiaLee SofiaLee] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你明天可以來參加會議嗎？}}  ||   ni3 ming2 tian1 ke3/ke4 yi3 lai2 can1 jia1 hui4 yi4 ma5 ？||  Können Sie morgen zur Besprechung kommen?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/872108 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不接受你給我的建議。}}  ||   wo3 bu4 jie1 shou4 ni3 gei3 wo3 de5 jian4 yi4 。||  I do not accept your suggestion.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/876389 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/szilviez szilviez])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他的建議不算什麼。}}  ||   ta1 de5 jian4 yi4 bu4 suan4 shi2 me5 。||  His advice counted for little.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/781119 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |即使我們給他提了很多建議，他還是做了他想做的。}}  ||   ji2 shi3/shi4 wo3 men5 gei3 ta1 ti2 le5 hen3 duo1 jian4 yi4 ， ta1 hai2/huan2 shi4 zuo4 le5 ta1 xiang3 zuo4 de5 。||  Ganz gleich wie viele Ratschläge wir ihm geben, er tut immer noch genau das, was er will.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/686638 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/offdare offdare] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他打電話來說他不能參加會議。}}  ||   ta1 da3 dian4 hua4 lai2 shuo1 ta1 bu4 neng2 can1 jia1 hui4 yi4 。||  He called in to say he could not attend the meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6624667 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你建議我們跟誰講話？}}  ||   ni3 jian4 yi4 wo3 men5 gen1 shei2 jiang3/jiang5 hua4 ？||  Who do you suggest we talk to?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6678447 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他及時趕到了會議。}}  ||   ta1 ji2 shi2 gan3 dao4 le5 hui4 yi4 。||  Er kam pünktlich zu dem Treffen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/887861 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Kerstin Kerstin])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你從來不聽我們的建議。}}  ||   ni3 cong2 lai2 bu4 ting1 wo3 men5 de5 jian4 yi4 。||  Du hörst nie auf unsere Ratschläge.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/7015506 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/neco neco])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你真笨去接受他的提議。}}  ||   ni3 zhen1 ben4 qu4 jie1 shou4 ta1 de5 ti2 yi4 。||  Es war dumm von dir, sein Angebot anzunehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/760729 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/studybrick_samuel studybrick_samuel])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你要參加會議嗎？}}  ||   ni3 yao4 can1 jia1 hui4 yi4 ma5 ？||  Wirst du am Meeting teilnehmen?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/874470 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/futuro futuro])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不管喜不喜歡，我們都得參加那個會議。}}  ||   bu4 guan3/guan5 xi3 bu4 xi3 歡， wo3 men5 dou1/du1 de2/de5/dei3 can1 jia1 na4/nei4 ge4 hui4 yi4 。||  Wir müssen wohl oder übel an der Sitzung teilnehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5344344 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |如果可能的話,我希望你參加下一次的會議。}}  ||   ru2 guo3 ke3/ke4 neng2 de5 hua4 , wo3 xi1 wang4 ni3 can1 jia1 xia4 yi1 ci4 de5 hui4 yi4 。||  If it's at all possible, I'd like you to take part in the next meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/759115 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議將於明天舉行。}}  ||   hui4 yi4 jiang1/jiang4 yu2 ming2 tian1 ju3 hang2/xing2 。||  Die Besprechung findet morgen statt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/874217 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/samueldora samueldora])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昨天的董事會會議是一個大成功。}}  ||   zuo2 tian1 de5 dong3 shi4 hui4 hui4 yi4 shi4 yi1 ge4 da4 cheng2 gong1 。||  Die gestrige Vorstandssitzung war ein großer Erfolg.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/895625 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我願意參加這場會議。}}  ||   wo3 yuan4 yi4 can1 jia1 zhe4/zhei4 chang3 hui4 yi4 。||  Ich habe vor, an dem Treffen teilzunehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/917962 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Vortarulo Vortarulo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爸爸建議今天下午去看電影。}}  ||  爸爸 jian4 yi4 jin1 tian1 xia4 wu3 qu4 kan4 dian4 ying3 。||  Father suggested to go to the movies this afternoon.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/780368 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我將出席這個會議。}}  ||   wo3 jiang1/jiang4 chu1 席 zhe4/zhei4 ge4 hui4 yi4 。||  I'm going to attend the meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/860831 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這個會議很重要的，你不要不來。}}  ||   zhe4/zhei4 ge4 hui4 yi4 hen3 chong2/zhong4 yao4 de5 ， ni3 bu4 yao4 bu4 lai2 。||  Das ist ein sehr wichtiges Meeting. Sie sollten es nicht verpassen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/385990 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Hans_Adler Hans_Adler])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議我們去個更安全的地方。}}  ||   wo3 jian4 yi4 wo3 men5 qu4 ge4 geng4 an1 quan2 de5 de4/di4 fang1 。||  I suggest we move to a safer location.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6198189 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |毋輕議禮。}}  ||   wu2 qing1 yi4 li3 。||  Let no one lightly discuss the subject of rites.  (klassisch, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2112347 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有人還有什麼建議嗎?}}  ||   you3 ren2 hai2/huan2 you3 shi2 me5 jian4 yi4 ma5 ?||  Does anyone else have any advice?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3322736 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cienias cienias] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我因為有你的建議纔能成功。}}  ||   wo3 yin1 wei2/wei4 you3 ni3 de5 jian4 yi4 纔 neng2 cheng2 gong1 。||  Dank deinem Rat konnte ich es schaffen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6114389 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Sudajaengi Sudajaengi])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我提議我們在那裏再待一天。}}  ||   wo3 ti2 yi4 wo3 men5 zai4 na4/nei4 li3 zai4 dai1 yi1 tian1 。||  I suggested that we should stay there another day.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/616626 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議開到了中午。}}  ||   hui4 yi4 kai1 dao4 le5 zhong1/zhong4 wu3 。||  Das Meeting ging bis mittags.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6005059 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Roujin Roujin])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我參加了一個IAA的會議。}}  ||   wo3 can1 jia1 le5 yi1 ge4 IAA de5 hui4 yi4 。||  I was in an IAA meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/904878 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我將參加這個會議。}}  ||   wo3 jiang1/jiang4 can1 jia1 zhe4/zhei4 ge4 hui4 yi4 。||  Ich werde an der Sitzung teilnehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/819443 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cost cost])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |沒人支持他的動議。}}  ||   mei2/mo4 ren2 zhi1 chi2 ta1 de5 dong4 yi4 。||  No one supported his motion.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6109356 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/_undertoad _undertoad])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我忘了會議的日期。}}  ||   wo3 wang4 le5 hui4 yi4 de5 ri4 ji1/qi1 。||  I forgot the date of the meeting.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/876708 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |牢記他的建議。}}  ||   lao2 ji4 ta1 de5 jian4 yi4 。||  Bear his advice in mind.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6119417 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昨天我出席了會議。}}  ||   zuo2 tian1 wo3 chu1 席 le5 hui4 yi4 。||  Ich nahm am Treffen gestern teil.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/834366 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議你轉身回家。}}  ||   wo3 jian4 yi4 ni3 zhuan3 shen1 hui2 jia1 。||  I suggest you turn around and go back home.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6325138 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |要是他有參加這場會議就好了。}}  ||   yao4 shi4 ta1 you3 can1 jia1 zhe4/zhei4 chang3 hui4 yi4 jiu4 hao3 le5 。||  Ich wünschte, er wäre auf dem Treffen gewesen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/894307 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Hans_Adler Hans_Adler])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議將會在七月十五日（星期二）的下午、七月十六日（星期三）的全天和七月十七日（星期四）的早上舉行。}}  ||   hui4 yi4 jiang1/jiang4 hui4 zai4 qi1 yue4 shi2 wu3 ri4 （ xing1 ji1/qi1 er4 ） de5 xia4 wu3 、 qi1 yue4 shi2 liu4 ri4 （ xing1 ji1/qi1 san1 ） de5 quan2 tian1 he2/he4/huo2 qi1 yue4 shi2 qi1 ri4 （ xing1 ji1/qi1 si4 ） de5 zao3 shang4 ju3 hang2/xing2 。||  Meetings are to be held on the afternoon of July 15 (Tuesday), all day July 16 (Wednesday), and the morning of July 17 (Thursday).  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/722414 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/arashmehrad arashmehrad])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議你換衣服。}}  ||   wo3 jian4 yi4 ni3 huan4 yi1 fu2 。||  I advise you to change clothes.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6728909 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這場會議很重要，不要錯過了！}}  ||   zhe4/zhei4 chang3 hui4 yi4 hen3 chong2/zhong4 yao4 ， bu4 yao4 cuo4 guo4 le5 ！||  This conference is very important. Don't miss it.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1236341 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/tsayng tsayng] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我說過了，這是一個會議室，不是臥室。}}  ||   wo3 shuo1 guo4 le5 ， zhe4/zhei4 shi4 yi1 ge4 hui4 yi4 shi4 ， bu4 shi4 wo4 shi4 。||  Ich hab’ gesagt, das hier ist ein Besprechungszimmer, kein Schlafzimmer!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6107694 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |讓我給你一些建議。}}  ||   rang4 wo3 gei3 ni3 yi1 xie1 jian4 yi4 。||  Let me give you some advice.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/858244 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |昨天的董事會會議非常成功。}}  ||   zuo2 tian1 de5 dong3 shi4 hui4 hui4 yi4 fei1 chang2 cheng2 gong1 。||  Die gestrige Vorstandssitzung war ein großer Erfolg.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/895624 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |還有其他建議嗎？}}  ||   hai2/huan2 you3 qi2 ta1 jian4 yi4 ma5 ？||  Are there any other suggestions?  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6135014 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議是在這裏舉行的。}}  ||   hui4 yi4 shi4 zai4 zhe4/zhei4 li3 ju3 hang2/xing2 de5 。||  Das Treffen fand hier statt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/362620 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dokuyaku Dokuyaku])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |會議將在東京舉行。}}  ||   hui4 yi4 jiang1/jiang4 zai4 dong1 jing1 ju3 hang2/xing2 。||  Die Konferenz wird in Tokio stattfinden. Die Konferenz soll in Tokio stattfinden.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/349856 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/alik_farber alik_farber] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議她去乘早車。}}  ||   wo3 jian4 yi4 ta1 qu4 cheng2/sheng4 zao3 che1 。||  Ich riet ihr, den Morgenzug zu nehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/337223 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jakov jakov])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我同意你的建議。}}  ||   wo3 tong2 yi4 ni3 de5 jian4 yi4 。||  Ich bin mit deinem Vorschlag einverstanden.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/834397 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我將參加下次的會議。}}  ||   wo3 jiang1/jiang4 can1 jia1 xia4 ci4 de5 hui4 yi4 。||  Ich werde am nächsten Meeting teilnehmen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/762013 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Peanutfan Peanutfan])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |所有這些會議都是以英語進行的。}}  ||   suo3 you3 zhe4/zhei4 xie1 hui4 yi4 dou1/du1 shi4 yi3 ying1 yu3 jin4 hang2/xing2 de5 。||  Alle diese Sitzungen sind auf Englisch.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/811563 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |醫生建議他多做運動。}}  ||   yi1 sheng1 jian4 yi4 ta1 duo1 zuo4 yun4 dong4 。||  The doctor advised him to do more exercise.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/780065 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議她一個人去。}}  ||   wo3 jian4 yi4 ta1 yi1 ge4 ren2 qu4 。||  I suggested that she go alone.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/862743 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這個議案合符我們的政策內容。}}  ||   zhe4/zhei4 ge4 yi4 an4 he2 fu2 wo3 men5 de5 zheng4 策 nei4 rong2 。||  This measure is in accord with our policy.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/361746 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這是個很重要的會議。}}  ||   zhe4/zhei4 shi4 ge4 hen3 chong2/zhong4 yao4 de5 hui4 yi4 。||  Das ist eine sehr wichtige Versammlung.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3742504 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Sudajaengi Sudajaengi])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我建議她九點前來。}}  ||   wo3 jian4 yi4 ta1 jiu3 dian3 qian2 lai2 。||  Ich riet ihr, spätestens um neun Uhr dazusein.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/920099 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |叫好不叫座}}  || jiào hǎo bù jiào zuò || Ein Theater- oder Kinostück, das gute Kritiken bekommt, aber wenig Erfolg an der Kasse hat. ([[wikt:en:叫好不叫座 |Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |古埃及出现第一座城市}}  ||   gu3 ai1 ji2 chu1 xian4 di4 yi1 zuo4 cheng2 shi4 ||  In Altägypten entsteht die erste Stadt. ([[Vokabeltexte_Chinesisch/_Geschichtsdetails/ 4._Jahrtausend_v._Chr. |Geschichtsdetails]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |5.42有求你的，就给他；有向你借贷的，不可推辞。}} || 5.42 you3 qiu2 ni3 de5 ， jiu4 gei3 ta1 ； you3 xiang4 ni3 jie4 dai4 de5 ， bu4 ke3/ke4 tui1 ci2 。|| 5.42 Gib dem, der dich bittet, und weise den nicht ab, der von dir borgen will. ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Matthäusevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |座上一人推案直出}} ||  zuo4 shang4 yi1 ren2 tui1 an4 zhi2 chu1 ||One of them pushed away his table, (and stood up in front of everybody)  ([[s:en:Special:PermanentLink/5495659 |Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]] [[s:zh:三國演義/第003回 | 三國演義/第003回]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |4.8魔鬼又带他上了一座最高的山，将世上的万国与万国的荣华都指给他看，}} || 4.8 mo2 gui3 you4 dai4 ta1 shang4 le5 yi1 zuo4 zui4 gao1 de5 shan1/shan5 ， jiang1/jiang4 shi4 shang4 de5 wan4 guo2 yu3 wan4 guo2 de5 rong2 hua4 dou1/du1 zhi3 gei3 ta1 kan4 ，|| 4.8 Wiederum nimmt der Teufel ihn mit auf einen sehr hohen Berg und zeigt ihm alle Reiche der Welt und ihre Herrlichkeit und spricht zu ihm:  ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Matthäusevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |23.22人指着天起誓，就是指着神的宝座和那坐在上面的起誓。}} || 23.22 ren2 zhi3 zhao2/zhe2 tian1 qi3 shi4 ， jiu4 shi4 zhi3 zhao2/zhe2 shen2 de5 bao3 zuo4 he2/he4/huo2 na4/nei4 zuo4 zai4 shang4 mian4 de5 qi3 shi4 。|| 23.22 Und wer bei dem Himmel schwört, schwört bei dem Throne Gottes und bei dem, der darauf sitzt.  ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Matthäusevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |叫好又叫座}} ||  jiao4 hao3 you4 jiao4 zuo4 ||([[wikt:en:叫好又叫座|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |2.23到了一座城，名叫拿撒勒，就住在那里。这是要应验先知所说，他将称为拿撒勒人的话了。}} || 2.23 dao4 le5 yi1 zuo4 cheng2 ， ming2 jiao4 na2 sa1/sa3 le4/lei1 ， jiu4 zhu4 zai4 na4/nei4 li3 。 zhe4/zhei4 shi4 yao4 ying1/ying4 yan4 xian1 zhi1 suo3 shuo1 ， ta1 jiang1/jiang4 cheng1 wei2/wei4 na2 sa1/sa3 le4/lei1 ren2 de5 hua4 le5 。||2.23 und kam und wohnte in einer Stadt, genannt Nazareth; damit erfüllt würde, was durch die Propheten geredet ist: &quot;Er wird Nazarener genannt werden.&quot;  ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Matthäusevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |座上一人挺身出曰：}} ||  zuo4 shang4 yi1 ren2 ting3 shen1 chu1 yue1 ：||A man on the dais defiantly stood up and said:  ([[s:en:Special:PermanentLink/5495657 |Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]] [[s:zh:三國演義/第002回 | 三國演義/第002回]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |25.31当人子在他荣耀里、同着众天使降临的时候，要坐在他荣耀的宝座上。}} || 25.31 dang1/dang4 ren2 zi5 zai4 ta1 rong2 耀 li3 、 tong2 zhao2/zhe2 zhong4 tian1 shi3/shi4 jiang4 lin2 de5 shi2 hou4 ， yao4 zuo4 zai4 ta1 rong2 耀 de5 bao3 zuo4 shang4 。|| 25.31 Wenn aber der Sohn des Menschen kommen wird in seiner Herrlichkeit, und alle Engel mit ihm, dann wird er auf seinem Throne der Herrlichkeit sitzen;  ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Matthäusevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你可以从银行贷款。}} ||  ni3 ke3/ke4 yi3 cong2 yin2 hang2/xing2 dai4 kuan3 。||You can get a loan from a bank.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1992652 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他想还清贷款。}} ||  ta1 xiang3 hai2/huan2 qing1 dai4 kuan3 。||Er will seinen Kredit zurückbezahlen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5670769 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dani6187 Dani6187])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不需要贷款了。}} ||  wo3 bu4 xu1 yao4 dai4 kuan3 le5 。||I do not need a loan anymore.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/721050 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kuma kuma])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们的对话总是以争吵收场。}} ||  wo3 men5 de5 dui4 hua4 zong3 shi4 yi3 zheng1 chao3 shou1 chang3 。||Unser Gespräch endet immer im Streit.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/466084 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |两个男孩儿吵起来了。}} ||  liang3 ge4 nan2 hai2 er2/er5 chao3 qi3 lai2 le5 。||Beide Jungen riefen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/651229 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/peipei peipei] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Soesoe Soesoe])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |跟他吵没用。}} ||  gen1 ta1 chao3 mei2/mo4 yong4 。||It's no use arguing with him.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5905030 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这里有点吵，请你讲话大点声。}} ||  zhe4/zhei4 li3 you3 dian3 chao3 ， qing3 ni3 jiang3/jiang5 hua4 da4 dian3 sheng1 。||It's noisy around here, so speak a little louder.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3077990 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/hsuan07 hsuan07])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他和他弟弟吵了起来。}} ||  ta1 he2/he4/huo2 ta1 弟弟 chao3 le5 qi3 lai2 。||Er hat sich mit seinem Bruder gestritten.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/464758 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Ole Ole])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们吵得不可开交，以至于没有专注于共同的理想。}} ||  ta1 men5 chao3 de2/de5/dei3 bu4 ke3/ke4 kai1 jiao1 ， yi3 zhi4 yu2 mei2/mo4 you3 zhuan1 zhu4 yu2 gong4 tong2 de5 li3 xiang3 。||Sie sind zu sehr damit beschäftigt, sich gegenseitig zu bekämpfen, als dass sie sich gemeinsamen Idealen widmen könnten.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/501308 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她一直和她的兄弟争吵。}} ||  ta1 yi1 zhi2 he2/he4/huo2 ta1 de5 xiong1 弟 zheng1 chao3 。||She was always quarreling with her brothers.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332633 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她总和她父母吵架。}} ||  ta1 zong3 he2/he4/huo2 ta1 fu4 mu3 chao3 jia4 。||Sie stritt sich ständig mit ihren Eltern.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5581668 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那街道非常吵。}} ||  na4/nei4 jie1 dao4 fei1 chang2 chao3 。||Die Straße ist sehr laut.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1020096 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/joro joro] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |咱们停止争吵和好吧。}} ||  zan2 men5 ting2 zhi3 zheng1 chao3 he2/he4/huo2 hao3 ba5 。||Let's patch up our argument.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6075730 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mendel mendel])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你和肯吵架了嗎?}} ||  ni3 he2/he4/huo2 ken3 chao3 jia4 le5 ma5 ?||Hast du dich mit Ken gestritten?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/875261 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我們別吵了。}} ||  wo3 men5 bie2 chao3 le5 。||Let's not argue.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2660863 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她要求我們別吵她。}} ||  ta1 yao4 qiu2 wo3 men5 bie2 chao3 ta1 。||Sie bat uns, sie allein zu lassen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/891749 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/virgil virgil])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们总是吵个不停。}} ||  ta1 men5 zong3 shi4 chao3 ge4 bu4 ting2 。||They are always at each other's throats.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1974790 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/bigfatpanda bigfatpanda] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们太吵了，我没办法集中精神了。}} ||  ta1 men5 tai4 chao3 le5 ， wo3 mei2/mo4 ban4 fa3 ji2 zhong1/zhong4 jing1 shen2 le5 。||Sie machen zu viel Lärm, ich kann mich nicht konzentrieren.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/503116 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们吵架了。}} ||  ta1 men5 chao3 jia4 le5 。||Sie haben sich gestritten.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/380181 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kellenparker kellenparker] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们争吵后，一周都没有再说话。}} ||  ta1 men5 zheng1 chao3 hou4 ， yi1 zhou1 dou1/du1 mei2/mo4 you3 zai4 shuo1 hua4 。||Nach der Auseinandersetzung haben sie sich eine Woche lang nicht gesprochen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/812220 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |为什么我们不停止为细枝末节的争吵而进入正题呢？}} ||  wei2/wei4 shi2 me5 wo3 men5 bu4 ting2 zhi3 wei2/wei4 xi4 zhi1 mo4 jie2 de5 zheng1 chao3 er2 jin4 ru4 zheng4 ti2 ne5 ？||Why don't we stop arguing over these piddling matters and get to the issues at hand?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5574683 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |Jean和Paul为他们孩子的教育吵了起来。}} || Jean he2/he4/huo2 Paul wei2/wei4 ta1 men5 hai2 zi5 de5 jiao1 yu4 chao3 le5 qi3 lai2 。||Jean has fallen out with Paul over the education of their children.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1397141 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mtdot mtdot])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那两个人一遇到彼此就开始吵架。}} ||  na4/nei4 liang3 ge4 ren2 yi1 yu4 dao4 bi3 ci3 jiu4 kai1 shi3 chao3 jia4 。||Those two people start arguing whenever they meet.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2367590 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/eastasiastudent eastasiastudent])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不可以吵。婴儿在睡觉。}} ||  wo3 bu4 ke3/ke4 yi3 chao3 。 ying1 er2/er5 zai4 shui4 jiao4/jue2 。||Ich kann keinen Krach machen. Das Baby schläft.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2782522 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這是一座古城。}} ||  zhe4/zhei4 shi4 yi1 zuo4 gu3 cheng2 。||Das ist eine historische Stadt.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/348184 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Espi Espi])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们被抛弃在一座荒岛上。}} ||  ta1 men5 bei4 pao1 qi4 zai4 yi1 zuo4 huang1 dao3 shang4 。||Sie wurden auf einer einsamen Insel ausgesetzt.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/817248 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Sudajaengi Sudajaengi])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那房子比他那座好得多了。}} ||  na4/nei4 fang2 zi5 bi4 ta1 na4/nei4 zuo4 hao3 de2/de5/dei3 duo1 le5 。||Dieses Haus ist viel besser als sein Haus.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/365889 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/L3581 L3581])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座建筑物将在城市建。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 jian4 zhu2 wu4 jiang1/jiang4 zai4 cheng2 shi4 jian4 。||This building will be built in the city.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2777873 Tatoeba])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我家在这座桥的另一头。}} ||  wo3 jia1 zai4 zhe4/zhei4 zuo4 qiao2 de5 ling4 yi1 tou2 。||Mein Haus liegt auf der anderen Seite dieser Brücke.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/397143 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那是一座塔。}} ||  na4/nei4 shi4 yi1 zuo4 ta3 。||Das ist ein Turm.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1531777 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cc_neko cc_neko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那是一座宝塔。}} ||  na4/nei4 shi4 yi1 zuo4 bao3 ta3 。||Das ist eine Pagode.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4446213 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Esperantostern Esperantostern])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那个年经人住在一座老房子里。}} ||  na4/nei4 ge4 nian2 jing4 ren2 zhu4 zai4 yi1 zuo4 lao3 fang2 zi5 li3 。||Der junge Mann lebt in einem alten Haus.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/686913 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Sinci Sinci])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座城市的景色让我想起了伦敦。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 cheng2 shi4 de5 jing3 se4 rang4 wo3 xiang3 qi3 le5 lun2 dun1 。||Die Szenerie der Stadt erinnerte mich an London.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1953594 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fercheung fercheung] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这是一座塔。}} ||  zhe4/zhei4 shi4 yi1 zuo4 ta3 。||Das ist ein Turm.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4446210 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我的房子有两座楼梯。}} ||  wo3 de5 fang2 zi5 you3 liang3 zuo4 lou2 ti1 。||Mein Haus hat zwei Treppen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/815251 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我來自一座位於中西部的小城。}} ||  wo3 lai2 zi4 yi1 zuo4 wei4 yu2 zhong1/zhong4 xi1 bu4 de5 xiao3 cheng2 。||Ich komme aus einer kleinen Stadt im mittleren Westen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/686697 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/offdare offdare] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Wolf Wolf])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |听讲座时，你应该保持安静。}} ||  ting1 jiang3/jiang5 zuo4 shi2 ， ni3 ying1/ying4 gai1 bao3 chi2 an1 jing4 。||When listening to a lecture, you should be quiet.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5819704 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |把这些座位留给老人。}} ||  ba3 zhe4/zhei4 xie1 zuo4 wei4 liu2 gei3 lao3 ren2 。||Keep these seats for the elderly.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332502 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我想登上这座山。}} ||  wo3 xiang3 deng1 shang4 zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 。||I want to climb this mountain.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2145237 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/toughbird toughbird] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zifre Zifre])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座城市被群山环绕。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 cheng2 shi4 bei4 qun2 shan1/shan5 huan2 rao4 。||The mountains were all around the city.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/686610 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/offdare offdare] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Source_VOA Source_VOA])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我們去年爬上了這座山。}} ||  wo3 men5 qu4 nian2 pa2 shang4 le5 zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 。||We climbed the mountain last year.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/865486 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我想你坐到我的座位了。}} ||  wo3 xiang3 ni3 zuo4 dao4 wo3 de5 zuo4 wei4 le5 。||Ich glaube, Sie sitzen auf meinem Platz.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/876705 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黑人不得不坐在公交车的后面，如果后面的座位满了则只能站在那里。}} ||  hei1 ren2 bu4 de2/de5/dei3 bu4 zuo4 zai4 gong1 jiao1 che1 de5 hou4 mian4 ， ru2 guo3 hou4 mian4 de5 zuo4 wei4 man3 le5 ze2 zhi3 neng2 zhan4 zai4 na4/nei4 li3 。||Black people had to sit in the back of the bus, or stand if the back was full.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2442139 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fenfang557 fenfang557] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/papabear papabear])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我不确定那座桥到底有多长。}} ||  wo3 bu4 que4 ding4 na4/nei4 zuo4 qiao2 dao4 di3 you3 duo1 chang2/zhang3 。||Ich kenne die genaue Länge dieser Brücke nicht.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3078796 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/hsuan07 hsuan07] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/TomSFox TomSFox])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |波士顿是一座非常好的城市。}} ||  bo1 shi4 dun4 shi4 yi1 zuo4 fei1 chang2 hao3 de5 cheng2 shi4 。||Boston ist eine herrliche Stadt.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5096833 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mirrorvan mirrorvan] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她把她的座位让给了一个老人。}} ||  ta1 ba3 ta1 de5 zuo4 wei4 rang4 gei3 le5 yi1 ge4 lao3 ren2 。||Sie überließ einer alten Person ihren Sitz.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/847867 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |奥克兰是一座新西兰的城市。}} ||  ao4 ke4 lan2 shi4 yi1 zuo4 xin1 xi1 lan2 de5 cheng2 shi4 。||Auckland ist eine Stadt in Neuseeland.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/4265147 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/notabene notabene] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |Cóngyuǎnchùkàn，nàzuòshānxiàngyìtóudàxiàng。从远处看，那座山像一头大象。}} || Cóngyuǎnchùkàn，nàzuòshānxiàngyìtóudàxiàng。 cong2 yuan3 chu4 kan4 ， na4/nei4 zuo4 shan1/shan5 xiang4 yi1 tou2 da4 xiang4 。||Seen from a distance, the hill looks like an elephant.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1529461 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cynthia cynthia] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Nero Nero])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |电影院座无虚席。}} ||  dian4 ying3 yuan4 zuo4 wu2 xu1 席。||Der Kinosaal war gerammelt voll.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/842608 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那座桥不长。}} ||  na4/nei4 zuo4 qiao2 bu4 chang2/zhang3 。||Diese Brücke ist nicht lang.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/348907 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/zhouj1955 zhouj1955] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那座桥是罗马人修建的。}} ||  na4/nei4 zuo4 qiao2 shi4 luo1 ma3 ren2 xiu1 jian4 de5 。||Die Brücke wurde von den Römern erbaut. Die Brücke ist von den Römern gebaut worden.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/707688 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Vortarulo Vortarulo] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/samueldora samueldora])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她们被抛弃在一座荒岛上。}} ||  ta1 men5 bei4 pao1 qi4 zai4 yi1 zuo4 huang1 dao3 shang4 。||Sie wurden auf einer einsamen Insel ausgesetzt.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/817247 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Sudajaengi Sudajaengi])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那里有两座桥。}} ||  na4/nei4 li3 you3 liang3 zuo4 qiao2 。||There were two bridges.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5670796 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Source_VOA Source_VOA])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |做一次文学讲座。}} ||  zuo4 yi1 ci4 wen2 xue2 jiang3/jiang5 zuo4 。||Give a lecture on literature.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/353867 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/ruicong ruicong])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |没有更多免费座位了。}} ||  mei2/mo4 you3 geng4 duo1 mian3 fei4 zuo4 wei4 le5 。||There were no more free seats.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5900393 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Eldad Eldad])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座山海拔2000米。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 hai3 ba2 2000 mi3 。||Der Berg liegt 2000 Meter über dem Meeresspiegel.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/862761 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Chris Chris])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |很久很久以前，在一座小岛上，住着一个老国王。}} ||  hen3 jiu3 hen3 jiu3 yi3 qian2 ， zai4 yi1 zuo4 xiao3 dao3 shang4 ， zhu4 zhao2/zhe2 yi1 ge4 lao3 guo2 wang2 。||A long time ago, there lived an old king on a small island.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1866985 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fercheung fercheung] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请看那座红屋顶的房子。}} ||  qing3 kan4 na4/nei4 zuo4 hong2 wu1 ding3 de5 fang2 zi5 。||Schau dir bitte das Haus mit dem roten Dach an.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/348887 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/zhouj1955 zhouj1955] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/tatomeimei tatomeimei])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |羅馬是座古城。}} ||  luo2 ma3 shi4 zuo4 gu3 cheng2 。||Rom ist eine alte Stadt.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/350700 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你知道有些狐狸住在這座山上嗎?}} ||  ni3 zhi1 dao4 you3 xie1 hu2 li2 zhu4 zai4 zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 shang4 ma5 ?||Weißt du, dass es auf diesem Berg Füchse gibt?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/907302 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Jens_Odo Jens_Odo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有二十五座的車嗎？}} ||  you3 er4 shi2 wu3 zuo4 de5 che1 ma5 ？||Is there a car that seats twenty-five?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5551575 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/n1ls n1ls])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |塞纳河的一个岛上有一座名为圣母院的大教堂。}} ||  sai1/se4 na4 he2 de5 yi1 ge4 dao3 shang4 you3 yi1 zuo4 ming2 wei2/wei4 sheng4 mu3 yuan4 de5 da4 jiao1 tang2 。||Auf einer Seine-Insel steht eine große Kirche namens Notre Dame.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/426871 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |您愿意跟我换座位吗？}} ||  nin2 yuan4 yi4 gen1 wo3 huan4 zuo4 wei4 ma5 ？||Würdest du mit mir die Plätze wechseln?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/512054 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那座红楼顶的房子是我叔叔的。}} ||  na4/nei4 zuo4 hong2 lou2 ding3 de5 fang2 zi5 shi4 wo3 shu1 shu1 de5 。||Das Haus mit dem roten Dach ist das Haus meines Onkels.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1300390 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/shanghainese shanghainese] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Trinkschokolade Trinkschokolade])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那座山很容易爬。}} ||  na4/nei4 zuo4 shan1/shan5 hen3 rong2 yi4 pa2 。||Der Berg ist leicht zu erklettern.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/874697 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Espi Espi])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座山没有富士山高。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 mei2/mo4 you3 fu4 shi4 shan1/shan5 gao1 。||The mountain is not as high as Mt. Fuji.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1882101 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fercheung fercheung])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座城市海拔1600米。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 cheng2 shi4 hai3 ba2 1600 mi3 。||Diese Stadt liegt 1600 Meter über dem Meeresspiegel.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/819758 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这是我父亲工作的那座楼。}} ||  zhe4/zhei4 shi4 wo3 fu4 qin1 gong1 zuo4 de5 na4/nei4 zuo4 lou2 。||Jenes Gebäude ist, wo mein Vater arbeitet.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1050446 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/tatomeimei tatomeimei] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Nero Nero])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |在墨西哥有一座金字塔比在埃及的任何一座都大。}} ||  zai4 mo4 xi1 ge1 you3 yi1 zuo4 jin1 zi4 ta3 bi4 zai4 ai1 ji2 de5 ren4 he2 yi1 zuo4 dou1/du1 da4 。||In Mexiko gibt es eine Pyramide, die größer ist als die in Ägypten.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/845948 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Esperantostern Esperantostern])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她家在一座山的山脚下。}} ||  ta1 jia1 zai4 yi1 zuo4 shan1/shan5 de5 shan1/shan5 jiao3 xia4 。||Ihr Haus ist am Fuße eines Berges.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/799197 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那个讲座是关于什么主题的？}} ||  na4/nei4 ge4 jiang3/jiang5 zuo4 shi4 guan1 yu2 shi2 me5 zhu3 ti2 de5 ？||Worum geht es in dieser Vorlesung?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2188392 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |第一排的座位5美元。}} ||  di4 yi1 pai2 de5 zuo4 wei4 5 mei3 yuan2 。||The charge for a front row seats is 5 dollars.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/332848 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座桥最大承重只有10吨。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 qiao2 zui4 da4 承 chong2/zhong4 zhi3 you3 10 dun1 。||Diese Brücke trägt nur zehn Tonnen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/352943 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/zhouj1955 zhouj1955] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我每天都从那座教堂前经过。}} ||  wo3 mei3 tian1 dou1/du1 cong2 na4/nei4 zuo4 jiao1 tang2 qian2 jing4 guo4 。||Ich gehe jeden Tag an dieser Kirche vorbei.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/408471 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |男人正在用座机打电话。}} ||  nan2 ren2 zheng4 zai4 yong4 zuo4 ji1 da3 dian4 hua4 。||The man is using the landline to call. The man is making a telephone call.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3625659 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/trieuho trieuho] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/mingzhouren mingzhouren])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请留个座位。}} ||  qing3 liu2 ge4 zuo4 wei4 。||Bitte bleibt sitzen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2333752 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/anndiana anndiana] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/al_ex_an_der al_ex_an_der])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这个座位空着吗？}} ||  zhe4/zhei4 ge4 zuo4 wei4 kong1/kong4 zhao2/zhe2 ma5 ？||Ist dieser Platz frei? Ist dieser Platz noch frei?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3805065 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/rickjiang rickjiang] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tamy Tamy] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/glavkos glavkos])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這座山的景色非常美。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 de5 jing3 se4 fei1 chang2 mei3 。||Die Landschaft bei diesem Berg ist sehr schön.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/378273 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/tatomeimei tatomeimei])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |回到你的座位。}} ||  hui2 dao4 ni3 de5 zuo4 wei4 。||Geh auf deinen Platz zurück.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/834384 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/dasbeispielholz dasbeispielholz])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那部影片很叫座。}} ||  na4/nei4 bu4 ying3 pian4 hen3 jiao4 zuo4 。||That film was a great draw.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/897539 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/egg0073 egg0073])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们远远地就看见了那座塔。}} ||  wo3 men5 yuan3 yuan3 de4/di4 jiu4 kan4 jian4/xian4 le5 na4/nei4 zuo4 ta3 。||We saw the tower in the distance.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1880301 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fercheung fercheung] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |讲座八点钟开始。}} ||  jiang3/jiang5 zuo4 ba1 dian3 zhong1 kai1 shi3 。||Die Vorlesung fängt um 8.00 Uhr an.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2188390 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/TRANG TRANG])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這座山有一個美麗的外形。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 you3 yi1 ge4 mei3 li2/li4 de5 wai4 xing2 。||Der Berg hat eine schöne Form.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/872411 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |车后座可以坐三个人。}} ||  che1 hou4 zuo4 ke3/ke4 yi3 zuo4 san1 ge4 ren2 。||Der Rücksitz des Autos fasst drei Personen.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1991945 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fercheung fercheung] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你什么星座啊？}} ||  ni3 shi2 me5 xing1 zuo4 a1 ？||Was bist du für ein Sternzeichen?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1119597 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Vortarulo Vortarulo])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座山有3000米高。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 shan1/shan5 you3 3000 mi3 gao1 。||Dieser Berg hat eine Höhe von 3000 Metern.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/502624 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/biglion biglion] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这座城市的人口约有100000。}} ||  zhe4/zhei4 zuo4 cheng2 shi4 de5 ren2 kou3 yue1 you3 100000。||Die Stadt hat etwa 100.000 Einwohner.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5585183 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Serienchiller Serienchiller])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这个座位没人。}} ||  zhe4/zhei4 ge4 zuo4 wei4 mei2/mo4 ren2 。||Niemand sitzt hier. Der Platz ist frei.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/426433 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/FeuDRenais FeuDRenais] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你以前住的是哪一座房子？}} ||  ni3 yi3 qian2 zhu4 de5 shi4 na3/na5/nei3 yi1 zuo4 fang2 zi5 ？||In welchem Haus hast du gewohnt?  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/421982 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们很快就可以安排您入座。}} ||  wo3 men5 hen3 kuai4 jiu4 ke3/ke4 yi3 an1 pai2 nin2 ru4 zuo4 。||We can seat you soon.  ([https://tatoeba.org/eng/sentences/show/336461 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])

|}

== Lückentexte ==

=== Haenisch: Lehrgang der klassischen chinesischen Schriftsprache === 

==== 第八十四課 ====

第八十四课

dì bā shí sì kè

Vierundachtzigste Lektion
-----------------------------------
天津直_省都會

天津直隶省都会

tiān jīn zhí lì shěng dū huì

Tianjin ist eine Metropole in der Provinz Zhili
-----------------------------------
其地 Handel 甚盛

qí de mào yì shén shèng

Der Handel an diesem Ort gedeiht sehr.
-----------------------------------
學堂林立. 

学堂林立. 

xué táng lín lì. 

Schulgebäude stehen (dort wie Bäume im) Wald
-----------------------------------
近_鐵路. 

近筑铁路. 

jìn zhù tiě lù. 

Kürzlich baute man Eisenbahnen.
-----------------------------------
西北通京師. 

西北通京师. 

xī běi tōng jīng shī. 

Nach Nordwesten gibt es eine Verbindung mit der Hauptstadt.
-----------------------------------
東北通奉天省. 

东北通奉天省. 

dōng běi tōng fèng tiān shěng. 

Nach Nordosten gibt es eine Verbindung mit der Provinzhauptstadt Fengtian.
-----------------------------------
縣之東南隅各國租界在焉. 

县之东南隅各国租界在焉. 

xiàn zhī dōng nán yú gè guó zū jiè zài yān. 

In der südöstlichen Ecke der Kreisstadt haben die verschiedenen Länder Gebiete gepachtet
-----------------------------------
天津之東為 Tanggu. 

天津之东为 Tanggu. 

tiān jīn zhī dōng wèi táng gū. 

In Tianjins Osten liegt Tanggu.
-----------------------------------
Tanggu 之東為大-gu.

Tanggu 之东为大-gu.

táng gū zhī dōng wéi dà gū.

In Tanggus Osten liegt Dagu.
-----------------------------------
地临 Bo-海

dì lín bó hǎi

Das Gebiet liegt in der Nähe des Bohai-Meers.
-----------------------------------
汽船往來甚便

汽船往来甚便

qì chuán wǎng lái shén biàn

Der Dampfschiffsverkehr (dort) ist sehr angenehm
-----------------------------------

====第一百零九課====

第一百零九课

dì yī bǎi líng jiǔ kè

Hundertneunte Lektion

Der Text dieser Lektion findet sich im [[s:zh:%E4%BA%94%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%B3%A8%E6%98%8C%E9%BB%8E%E6%96%87%E9%9B%86_(%E5%9B%9B%E5%BA%AB%E5%85%A8%E6%9B%B8%E6%9C%AC)/%E5%8D%B713|Wubai jia zhu Changli wenji, den Anmerkungen der fünfhundert Schulen zu den Werken von Changli]].
---------------------------------
子產(不 zerstören 鄉校_)

子产(不 zerstören 乡校颂)

zǐ chǎn (bù huǐ xiāng xiào sòng)

(Lobrede auf) Zichan (, der die Gemeindeschulen nicht zerstören ließ)
---------------------------------
[[w:zh:%E5%AD%90%E4%BA%A7|Wikipedia]]

子产（？－前522年）是春秋末期郑国的政治家、思想家、改革家。

zǐ chǎn (?-qián 522 nián) shì chūn qiū mò qí zhèng guó de zhèng zhì jiā, sī xiǎng jiā, gǎi gé jiā.

Zichan (?-522 v. Chr.) war ein am Ende der Frühling-und-Herbstperiode im Staat Zheng lebender Staatsmann, Denker und Reformer.
---------------------------------
_人_於鄉校以論執政

郑人游于乡校以论执政

zhèng rén yóu yú xiāng xiào yǐ lùn zhí zhèng

Die Menschen von Zheng gingen zur Gemeindeschule, um über die Machthabenden zu diskutieren.

Alternative

Ein Mensch aus Zheng ging zu Gemeindeschulen, um über die Machthabenden zu diskutieren.

---------------------------------
然明謂子產曰，

然明谓子产曰，

rán míng wèi zǐ chǎn yuē,

Ran Ming sagt zu Zichan:
---------------------------------
zerstören 鄉校何如， 

zerstören 乡校何如， 

huǐ xiāng xiào hé rú, 

Zerstören wir die Gemeindeschule? Wie wäre das?
---------------------------------
子產曰，

子产曰，

zǐ chǎn yuē,

Zichan sagte:
---------------------------------
何為，

何为，

hé wèi,

Warum sollen wir das machen?
---------------------------------
夫人朝夕退而游焉，

夫人朝夕退而游焉，

fū rén zhāo xì tuì ér yóu yān,

Wenn die Menschen sich morgens und abends zurückziehen und dorthin gehen,
---------------------------------
以議執政之善否。 

以议执政之善否。

yǐ yì zhí zhèng zhī shàn fǒu.

um zu diskutieren, ob die Taten der Machthabenden gut sind oder nicht,
---------------------------------
其所善者，吾則行之；

其所善者，吾则行之；

qí suǒ shàn zhě, wú zé xíng zhī;

dann lasse ich das weiterlaufen, was gut ist.
---------------------------------
其所惡者，吾則改之

其所恶者，吾则改之

qí suǒ è zhě, wú zé gǎi zhī

Das, was schlecht ist, das ändere ich daraufhin.

---------------------------------
是吾師也，

是吾师也，

shì wú shī yě,

Sie sind meine Lehrer.
---------------------------------
若之何 zerstören 之

若之何 zerstören 之

ruò zhī hé huǐ zhī

Wenn dem so ist, warum soll ich das zerstören.
---------------------------------
孔子聞是語也曰

孔子闻是语也曰

kǒng zǐ wén shì yǔ yě yuē

Als Konfuzius diese Worte hörte, sagte er:
---------------------------------
以是观之

yǐ shì guān zhī

Von daher betrachtet gilt:
---------------------------------
人謂子產不仁，

人谓子产不仁，

rén wèi zǐ chǎn bù rén,

Wenn die Menschen sagen, das Zichan nicht gütig ist,
---------------------------------
吾不信也

吾不信也

wú bù xìn yě

so glaube ich das nicht.
---------------------------------

== Texte ==

=== [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.282654 Progressive Exercises In The Chinese Written Language: Exercise 22 (Teil 2, Seite 92, traditionell) ] ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;4. 可望此書通行萬國.
&lt;br/&gt;5. 大小麥一年一熟.
&lt;br/&gt;6. 彼此商議如何可得熟手.
&lt;br/&gt;7. 無師講明,經書不易通.
&lt;br/&gt;8. 不可講論他人好歹.
&lt;br/&gt;9. 上月初間,人心不定,議論最多.
&lt;br/&gt;10. 人云,我亦云.
&lt;br/&gt;11. 詩云,自東自西自南自北,無思不服.
&lt;br/&gt;12. 士子論古之人先讀其書.
}} 
|| 
&lt;br/&gt;4. ke3/ke4 wang4 ci3 shu1 tong1 hang2/xing2 wan4 guo2 .
&lt;br/&gt;5. da4 xiao3 mai4 yi1 nian2 yi1 shu2 .
&lt;br/&gt;6. bi3 ci3 shang1 yi4 ru2 he2 ke3/ke4 de2/de5/dei3 shu2 shou3 .
&lt;br/&gt;7. wu2 shi1 jiang3/jiang5 ming2 , jing4 shu1 bu4 yi4 tong1 .
&lt;br/&gt;8. bu4 ke3/ke4 jiang3/jiang5 lun4 ta1 ren2 hao3 dai3 .
&lt;br/&gt;9. shang4 yue4 chu1 jian1 , ren2 xin1 bu4 ding4 , yi4 lun4 zui4 duo1 .
&lt;br/&gt;10. ren2 yun2 , wo3 yi4 yun2 .
&lt;br/&gt;11. shi1 yun2 , zi4 dong1 zi4 xi1 zi4 nan2 zi4 bei3 , wu2 si1 bu4 fu2 .
&lt;br/&gt;12. shi4 zi5 lun4 gu3 zhi1 ren2 xian1 du2 qi2 shu1 .
||
&lt;br/&gt;4. One may hope that this book will become current throughout the world. 
&lt;br/&gt;5. Barley and wheat produce one crop in a year. 
&lt;br/&gt;6. The two men took counsel together, how they could secure experienced hands. 
&lt;br/&gt;7. Without a teacher to explain them, the Canons and Books are not easy to understand. 
&lt;br/&gt;8. One may not discuss other men’s good and bad [qualities]. 
&lt;br/&gt;9. At the beginning of last month men's minds were unsettled, and there was a great deal of talking. 
&lt;br/&gt;10. What others say, I also say.
&lt;br/&gt;11. [The Book of] Poetry says, 'From the ease, from the west, from the south, from the north, none thought of not submitting.
&lt;br/&gt;12. When the scholar discusses the men of old, he first reads their books.
|}


== [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | Tao Te Ching]] Kapitel 40 第四十章 ==

{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
反者道之动，

弱者道之用。

天下万物生於有，

有生於无。

}} 

=== Übersetzung Richard Wilhelm ===

Rückkehr ist die Bewegung des Sinns.

Schwachheit ist die Wirkung des Sinns.

Alle Dinge unter dem Himmel entstehen im Sein.

Das Sein entsteht im Nichtsein.

=== Übersetzung [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | wikisource]] ===

Resilience is the Dao in action,

Vulnerability is the Dao in expression.

The myriad things in the universe are conceived by existence,

Existence is conceived by inexistence.

== [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | Tao Te Ching]] Kapitel 41 第四十一章 ==

{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |

上士闻道，勤而行之；

中士闻道，若存若亡；

下士闻道，大笑之，

不笑不足以为道！

故建言有之：

明道若昧，

进道若退，

夷道若类，

上德若谷，

大白若辱，

广德若不足，

建德若偷，

质直若渝，

大方无隅，

大器晚成，

大音希声，

大象无形。

夫惟道，善贷且成。

}} 

=== Übersetzung Richard Wilhelm ===

Wenn ein Weiser höchster Art vom SINN hört,

so ist er eifrig und tut danach.

Wenn ein Weiser mittlerer Art vom SINN hört,

so glaubt er halb, halb zweifelt er.

Wenn ein Weiser niedriger Art vom SINN hört,

so lacht er laut darüber.

Wenn er nicht laut lacht,

so war es noch nicht der eigentliche SINN.

Darum hat ein Spruchdichter die Worte:

»Der klare SINN erscheint dunkel.

Der SINN des Fortschritts erscheint als Rückzug.

Das höchste Leben erscheint als Tal.

Der ebene SINN erscheint rauh.

Die höchste Reinheit erscheint als Schmach.

Das weite Leben erscheint als ungenügend.

Das starke Leben erscheint verstohlen.

Das wahre Wesen erscheint veränderlich.

Das große Geviert hat keine Ecken.

Das große Gerät wird spät vollendet.

Der große Ton hat unhörbaren Laut.

Das große Bild hat keine Form.«

Der SINN in seiner Verborgenheit ist ohne Namen.

Und doch ist gerade der SINN gut

im Spenden und Vollenden.


=== Übersetzung [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | wikisource]] ===

The learned discovers the Dao, duly obliges;

The learning discovers the Dao, and questions its potency;

The unlearned discovers the Dao, and roars into laughter,

Without the laughs, it would not be the Dao.

Therefore words of wisdom goes:

Those enlightened by the Dao seem confused,

Those progressing towards the Dao seem to fall behind,

Those who discredit the Dao seem honourable,

Those Virtuous seem desolate,

Those honest seem humiliated,

Those with noble Virtue seem lacking,

Those building on Virtue seem fraudulent,

Those of principled character seem to waver,

Great squareness is without turning corners,

Great instruments are deliberately constructed,

Great vocalists seldom raise their voices,

Great icons are shapeless.

The Dao is a master of provisioning and empowerment.

== Wiederholung Zeichen Tao Te Ching ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |士}}  || shi4 || Geisteswissenschaftler, Gelehrte, Shi, Leibwächter (schwarzer Stein im chinesischen Schach), Radikal Nr. 33 = Gelehrter, Intellektueller
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |笑}}  || xiao4 || lachen, lächeln
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |建}}  || jian4 || erbauen, errichten
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |进}}  || jin4 || eintreten, hineingehen, nah
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |类}}  || lei4 || Kategorie, Klasse
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |广}}  || guang3 || breit, umfangreich, weit reichend, weit, Radikal Nr. 53 = Schrägdach, Schutz, Unterschlupf, Unterbringung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |偷}}  || tou1 || mau, sich für etw Zeit nehmen, stibitzen, heimlich
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |质}}  || zhi4 || Natur, Art, Charakter
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |渝}}  || yu2 || Chongqing, ändern, widerrufen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |方}}  || fang1 || Richtung, viereckig, Quadrat
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |隅}}  || yu2 || abgelegener Ort, Rand, Ecke, Winkel
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |晚}}  || wan3 || abends, spät, Abend, der später Geborene; Ihr sehr ergebener ...
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贷}}  || dai4 || leihen, Kredit, Darlehen
|}

&lt;noinclude&gt;
{{Navigation zurückhochvor|
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 zurücklink=Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen/ Lektion 551|
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    <title>Vokabeltexte Chinesisch/ Vokabellektionen/ Lektion 553</title>
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{{Navigation zurückhochvor|
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== Zeichen ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung !! Lernhilfen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损}}  || sun3 || beschädigen, schädigen, verletzen, verlieren, vermindern, Verlust, sarkastische Bemerkungen machen || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=损}}  (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析}}  || xi1 || trennen, spalten, analysieren, untersuchen, aufteilen, ausscheiden, analytisch || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=析}}
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚}}  || gun3 || drehen, rollen, sieden, kochen, verschwinden || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=滚}} (HSK 3.0 Band 5)
|-
| rowspan=&quot;2&quot;|{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼}}  || heng1 || mmh, schnauben, leise singen || rowspan=&quot;2&quot;|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=哼}} (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
| ng5 || (drückt Unzufriedenheit oder Zweifel aus)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬}}  || shu3 ||  (traditionelle Schreibweise von 属), Familienmitglied, geboren im Jahre des (Tierzeichens), Kategorie, Gattung, einer Institution unterstellt, abhängig von, gehören zu || {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Texte_Zeichen_Externe_Links|Zeichen=屬}}
|}

== Zusammengesetzte Wörter ==

=== 损 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung !! Lernhilfen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损坏}}  || sun3 huai4  || Schaden || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损害}}  || sun3 hai4 || beeinträchtigen, schaden, schädigen, verletzen, Schaden zufügen || (HSK 3.0 Band 5)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |船损}}  || chuan2 sun3 || aufreiben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |无损}}  || wu2 sun3 || Schaden, heil
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |残损}}  || can2 sun3 || mangelhaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |易损}}  || yi4 sun3 || filigran
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |坏损}}  || huai4 sun3 || abbruchreif
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失}}  || sun3 shi1 || Verlust, verlieren || (HSK 3.0 Band 5)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |消损}}  || xiao1 sun3 || Verbrauch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |贬损}}  || bian3 sun3 || abfällig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损人}}  || sun3 ren2 || Anderen schaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损}}  || mo2 sun3 || Abrasion, Abrieb, Verschleiß, abschleifen, abtragen || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亏损}}  || kui1 sun3 || Verlust, entkräftet, ausgezehrt || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |受损}}  || shou4 sun3 || Schaden, beschädigt, defekt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |风损}}  || feng1 sun3 || Windbruch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有损}}  || you3 sun3 || schädlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损益}}  || sun3 yi4 || Gewinn und Verlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |破损}}  || po4 sun3 || beschädigt, kaputt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损益表}}  || sun3 yi4 biao3 || Gewinn- und Verlustrechnung, GuV
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损的}}  || mo2 sun3 de5 || abgenutzt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |易损件}}  || yi4 sun3 jian4 || Verschleißteil
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损坏者}}  || sun3 huai4 zhe3 || Verderber
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损处}}  || mo4 sun3 chu4 || Abrieb
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损件}}  || mo2 sun3 jian4 || Verschleißteil
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |总损失}}  || zong3 sun3 shi1 || Gesamtverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |未损坏}}  || wei4 sun3 huai4 || Unversehrtheit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |总亏损}}  || zong3 kui1 sun3 || Gesamtverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |受损害}}  || shou4 sun3 hai4 || beschädigt werden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |净损失}}  || jing4 sun3 shi1 || Nettoverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |热损失}}  || re4 sun3 shi1 || Wärmeverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |易损零件}}  || yi4 sun3 ling2 jian4 || Verschleißteil
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损之物}}  || mo4 sun3 zhi1 wu4 || Entstellung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |强度损失}}  || qiang2 du4 sun3 shi1 || starker Verlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |信息损失}}  || xin4 xi1 sun3 shi1 || Informationsverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |帐上损失}}  || zhang4 shang4 sun3 shi1 || Buchverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损保护}}  || mo4 sun3 bao3 hu4 || Verschleißschutz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |能源消损}}  || neng2 yuan2 xiao1 sun3 || Energieverbrauch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失赔偿}}  || sun3 shi1 pei2 chang2 || Ausgleichszahlung, Entschädigung, Schadensersatz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |未受损害}}  || wei4 shou4 sun3 hai4 || unbeschädigt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |间接损失}}  || jian4 jie1 sun3 shi1 || Folgeschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损颗粒}}  || mo2 sun3 ke1 li4 || Abrieb
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |数据损失}}  || shu4 ju4 sun3 shi1 || Informationsverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |机械磨损}}  || ji1 xie4 mo2 sun3 || mechanische Abnutzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压力损失}}  || ya1 li4 sun3 shi1 || Druckverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |完好无损}}  || wan2 hao3 wu2 sun3 || Unversehrtheit, einwandfreie Beschaffenheit, unbeschädigt, einwandfrei, intakt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |道德损害}}  || dao4 de2 sun3 hai4 || Moral Hazard
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失理算}}  || sun3 shi1 li3 suan4 || Schaden regulieren, Schadensregulierung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亏损风险}}  || kui1 sun3 feng1 xian3 || Verlustrisiko
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |减少磨损}}  || jian3 shao3 mo4 sun3 || Verschleißschutz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |引起损害}}  || yin3 qi3 sun3 hai4 || Folgeschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有损健康}}  || you3 sun3 jian4 kang1 || schädlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |提出亏损}}  || ti2 chu1 kui1 sun3 || Schaden einreichen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |巨大损失}}  || ju4 da4 sun3 shi1 || riesiger Verlust, enormen Verlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |辐射损失}}  || fu2 she4 sun3 shi1 || Abstrahlungsverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |百万损失}}  || bai3 wan4 sun3 shi1 || Millionenschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |房屋受损}}  || fang2 wu1 shou4 sun3 || Häuserschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |无谓损失}}  || wu2 wei4 sun3 shi1 || Wohlfahrtsverlust(Wirtsch)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |实际损失}}  || shi2 ji4 sun3 shi1 || Vermögensschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |时间损失}}  || shi2 jian1 sun3 shi1 || Zeitverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |赔偿损失}}  || pei2 chang2 sun3 shi1 || Schadensersatz leisten, Schadenersatz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不损坏性}}  || bu4 sun3 huai4 xing4 || Unzerstörbarkeit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |经济损失}}  || jing1 ji4 sun3 shi1 || wirtschaftlichen Schaden, wirtschaftlichen Verlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有损名誉}}  || you3 sun3 ming2 yu4 || Ehrverletzung, Verleumdung, ehrenkränkende Behauptung, üble Nachrede
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |账面亏损}}  || zhang4 mian4 kui1 sun3 || Buchverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |物质损失}}  || wu4 zhi2 sun3 shi1 || Sachschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |会计损失}}  || kuai4 ji4 sun3 shi1 || Buchverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磨损程度}}  || mo2 sun3 cheng2 du4 || Abnutzungsgrad
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损害赔偿}}  || sun3 hai4 pei2 chang2 || Schadensersatz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |没有受损}}  || mei2 you3 shou4 sun3 || ungetragen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损人利己}}  || sun3 ren2 li4 ji3 || Spaß auf Kosten anderer || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |造成损失}}  || zao4 cheng2 sun3 shi1 || einen Verlust verursachen(Wirtsch)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |海损保证书}}  || hai3 sun3 bao3 zheng4 shu1 || Averagebond
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |印刷机磨损}}  || yin4 shua1 ji1 mo2 sun3 || Druckmaschinenverschleiss
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |道路损坏处}}  || dao4 lu4 sun3 huai4 chu4 || Straßenschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |外观的损坏}}  || wai4 guan1 de5 sun3 huai4 || Verschandelung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神损失费}}  || jing1 shen2 sun3 shi1 fei4 || Schmerzensgeld
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失通知书}}  || sun3 shi1 tong1 zhi1 shu1 || Schadensanzeige, Schadensmitteilung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损益计算书}}  || sun3 yi4 ji4 suan4 shu1 || Gewinn- und Verlustrechnung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |运输中的损坏}}  || yun4 shu1 zhong1 de5 sun3 huai4 || Transportschaden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |健康受损的人}}  || jian4 kang1 shou4 sun3 de5 ren2 || Wrack
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |历来最大亏损}}  || li4 lai2 zui4 da4 kui1 sun3 || Rekordverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亿万元的亏损}}  || yi4 wan4 yuan2 de5 kui1 sun3 || Milliardenverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |要求赔偿损失}}  || yao1 qiu2 pei2 chang2 sun3 shi1 || Schadenersatzklage
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亿万元的损失}}  || yi4 wan4 yuan2 de5 sun3 shi1 || Milliardenverlust
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |从而减少损失}}  || cong2 er2 jian3 shao3 sun3 shi1 || und bewirkte damit eine Senkung der Verluste)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |赔偿损失的要求}}  || pei2 chang2 sun3 shi1 de5 yao1 qiu2 || Schadensersatzforderung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |破损车辆托运站}}  || po4 sun3 che1 liang4 tuo1 yun4 zhan4 || Abschleppdienst
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黑体字和破损字}}  || hei1 ti3 zi4 he2 po4 sun3 zi4 || gebrochene Schriften
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神损失赔偿费}}  || jing1 shen2 sun3 shi1 pei2 chang2 fei4 || Schmerzensgeld
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |易损件和备件清单}}  || yi4 sun3 jian4 he2 bei4 jian4 qing1 dan1 || Verschleißteil- und Ersatzteilliste
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |使某人也受到损害}}  || shi3 mou3 ren2 ye3 shou4 dao4 sun3 hai4 || jn in Mitleidenschaft ziehen
|}

=== 析 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung !! Lernhilfen
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析薪}}  || xi1 xin1 || Feuerholz spalten
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析疑}}  || xi1 yi2 || Zweifel lösen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析出}}  || xi1 chu1 || entmischen,  abscheiden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析取}}  || xi1 qu3 || herauslösen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析}}  || fen1 xi1 || Analyse, analysieren || (HSK 3.0 Band 5)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |析像}}  || xi1 xiang4 || Zerlegung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |解析}}  || jie3 xi1 || Analyse, analysieren, auflösen, beschließen, analytisch || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |浅析}}  || qian3 xi1 || kurze Analyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |淺析}}  || qian3 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 浅析), kurze Analyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |偏析}}  || pian1 xi1 || entmischen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |透析}}  || tou4 xi1 || Dialyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |郑明析}}  || zheng4 ming2 xi1 || Jung Myung-seok
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |再分析}}  || zai4 fen1 xi1 || neue Darlegung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |解析法}}  || jie3 xi1 fa3 || Analytische Methode
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析家}}  || fen1 xi1 jia1 || Analysator, Analytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |复分析}}  || fu4 fen1 xi1 || Funktionentheorie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |热分析}}  || re4 fen1 xi1 || Thermoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |熱分析}}  || re4 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 热分析), Thermoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析学}}  || fen1 xi1 xue2 || höhere Mathematik, Rechenart
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析學}}  || fen1 xi1 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 分析学), höhere Mathematik, Rechenart
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |解析度}}  || jie3 xi1 du4 || Auflösung (eines Bildschirms, Fotos etc.)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析师}}  || fen1 xi1 shi1 || Analyst, Analytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析師}}  || fen1 xi1 shi1 || (traditionelle Schreibweise von 分析师), Analyst, Analytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析者}}  || fen1 xi1 zhe3 || Analyst
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |色析法}}  || se4 xi1 fa3 || Chromatographie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析机}}  || fen1 xi1 ji1 || Analysator
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析機}}  || fen1 xi1 ji1 || (traditionelle Schreibweise von 分析机), Analysator
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析提}}  || fen1 xi1 ti2 || Textaufgabe, Analyseaufgabe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |可分析}}  || ke3 fen4 xi1 || analysierbar
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |离析器}}  || li2 xi1 qi4 || Abscheider, Separator
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |離析器}}  || li2 xi1 qi4 || (traditionelle Schreibweise von 离析器), Abscheider, Separator
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析器}}  || fen1 xi1 qi4 || Analyser
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |元分析}}  || yuan2 fen1 xi1 || Freizeitzentrum
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金属析出}}  || jin1 shu3 xi1 chu1 || Metallabscheidung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析报告}}  || fen1 xi1 bao4 gao4 || Analyse, analytischer Bericht
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析報告}}  || fen1 xi1 bao4 gao4 || (traditionelle Schreibweise von 分析报告), Analyse, analytischer Bericht
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析問題}}  || fen1 xi1 wen4 ti2 || (traditionelle Schreibweise von 分析问题), Problemanalyse
|-
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |小波分析}}  || xiao3 bo1 fen1 xi1 || Wavelet
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |相關分析}}  || xiang1 guan1 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 相关分析), Korrelationsanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |基本分析}}  || ji1 ben3 fen1 xi1 || Fundamentalanalyse
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |需求分析}}  || xu1 qiu2 fen1 xi1 || Anforderungsanalyse, Anforderungserhebung, Requirements Engineering
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |环境分析}}  || huan2 jing4 fen1 xi1 || Umweltanalytik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |数值分析}}  || shu4 zhi2 fen1 xi1 || Numerische Mathematik
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |风险分析}}  || feng1 xian3 fen1 xi1 || Risikoanalyse
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |可以分析}}  || ke3 yi3 fen1 xi1 || analysierbar
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |弱点分析}}  || ruo4 dian3 fen1 xi1 || Schwachstellenanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |弱點分析}}  || ruo4 dian3 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 弱点分析), Schwachstellenanalyse
|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |解析几何}}  || jie3 xi1 ji3 he2 || Analytische Geometrie
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |市場分析}}  || shi4 chang3 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 市场分析), Bedarfsanalyse, Marktanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析系统}}  || fen1 xi1 xi4 tong3 || Ansy
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|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析哲学}}  || fen1 xi1 zhe2 xue2 || Analytische Philosophie
|-
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |网站分析}}  || wang3 zhan4 fen1 xi1 || Web Analytics, auch Web Controlling, Web-Analyse, Datenverkehrsanalyse, Traffic-Analyse, Clickstream-Analyse, Webtracking
|-
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|-
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|-
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|-
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析化学}}  || fen1 xi1 hua4 xue2 || Analytische Chemie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析化學}}  || fen1 xi1 hua4 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 分析化学), Analytische Chemie
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |數理分析}}  || shu4 li3 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 数理分析), höhere Mathematik, Rechenart
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |联合分析}}  || lian2 he2 fen1 xi1 || Conjoint-Analyse
|-
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|-
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|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |色层分析法}}  || se4 ceng2 fen1 xi1 fa3 || Chromatographie, chromatographisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |可行性分析}}  || ke3 xing2 xing4 fen1 xi1 || Bedarfsanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |差动热分析}}  || cha1 dong4 re4 fen1 xi1 || Differentialthermoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |差動熱分析}}  || cha1 dong4 re4 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 差动热分析), Differentialthermoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |心理分析师}}  || xin1 li3 fen1 xi1 shi1 || Psychoanalytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |心理分析師}}  || xin1 li3 fen1 xi1 shi1 || (traditionelle Schreibweise von 心理分析师), Psychoanalytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |系统分析员}}  || xi4 tong3 fen1 xi1 yuan2 || Systemberater
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |傅立叶分析}}  || fu4 li4 ye4 fen1 xi1 || Fourieranalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |傅立葉分析}}  || fu4 li4 ye4 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 傅立叶分析), Fourieranalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有限元分析}}  || you3 xian4 yuan2 fen1 xi1 || Finite Elemente
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神分析学}}  || jing1 shen2 fen1 xi1 xue2 || Psychoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神分析學}}  || jing1 shen2 fen1 xi1 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 精神分析学), Psychoanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |润滑油分析}}  || run4 hua2 you2 fen1 xi1 || Ölanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |潤滑油分析}}  || run4 hua2 you2 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 润滑油分析), Ölanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |基本面分析}}  || ji1 ben3 mian4 fen1 xi1 || Fundamentanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |主成分分析}}  || zhu3 cheng2 fen4 fen1 xi1 || Hauptkomponentenanalyse (English: Principal Components Analysis, PCA)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析心理学}}  || fen1 xi1 xin1 li3 xue2 || Analytische Psychologie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分析心理學}}  || fen1 xi1 xin1 li3 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 分析心理学), Analytische Psychologie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |色谱分析法}}  || se4 pu3 fen1 xi1 fa3 || Chromatographie, chromatographisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |高清析度电视}}  || gao1 qing1 xi1 du4 dian4 shi4 || HDTV, High Definition Television
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |系统分析专家}}  || xi4 tong3 fen1 xi1 zhuan1 jia1 || Systemanalytiker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |经济状况分析}}  || jing1 ji4 zhuang4 kuang4 fen1 xi1 || Konjunkturanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |地址解析协议}}  || di4 zhi3 jie3 xi1 xie2 yi4 || Address Resolution Protocol, ARP
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神分析医师}}  || jing1 shen2 fen1 xi1 yi1 shi1 || Analyst
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精神分析醫師}}  || jing1 shen2 fen1 xi1 yi1 shi1 || (traditionelle Schreibweise von 精神分析医师), Analyst
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |多重变量分析}}  || duo1 chong2 bian4 liang4 fen1 xi1 || Multivariate Verfahren
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |财务收支分析}}  || cai2 wu4 shou1 zhi1 fen1 xi1 || Bilanzananalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |实际矿物分析}}  || shi2 ji4 kuang4 wu4 fen1 xi1 || Modalanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |红外光谱分析}}  || hong2 wai4 guang1 pu3 fen1 xi1 || IR-Spektroskopie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |时间序列分析}}  || shi2 jian1 xu4 lie4 fen1 xi1 || Zeitreihenanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |時間序列分析}}  || shi2 jian1 xu4 lie4 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 时间序列分析), Zeitreihenanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |场地和市场分析}}  || chang3 di4 he2 shi4 chang3 fen1 xi1 || Standort- und Marktanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |場地和市場分析}}  || chang3 di4 he2 shi4 chang3 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 场地和市场分析), Standort- und Marktanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |特许财务分析师}}  || te4 xu3 cai2 wu4 fen1 xi1 shi1 || Chartered Financial Analyst
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |需求和过程分析}}  || xu1 qiu2 he2 guo4 cheng2 fen1 xi1 || Bedarfs- und Prozessanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |需求和過程分析}}  || xu1 qiu2 he2 guo4 cheng2 fen1 xi1 || (traditionelle Schreibweise von 需求和过程分析), Bedarfs- und Prozessanalyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |气体色谱分析法}}  || qi4 ti3 se4 pu3 fen1 xi1 fa3 || Gaschromatographie, gaschromatographisch(Adj, Chem)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |红外线分光分析}}  || hong2 wai4 xian4 fen1 guang1 fen1 xi1 || Infrarot-Spektroskopie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |原子吸光分析法}}  || yuan2 zi3 xi1 guang1 fen4 xi1 fa3 || Atomabsorptions-Spektroskopie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |电子光谱化学分析}}  || dian4 zi3 guang1 pu3 hua4 xue2 fen1 xi1 || Elektronen-Spektroskopie zur Chemischen Analyse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |原子吸光光谱分析法}}  || yuan2 zi3 xi1 guang1 guang1 pu3 fen1 xi1 fa3 || Atomabsoptions-Spektroskopie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |误差可能性影响分析}}  || wu4 cha1 ke3 neng2 xing4 ying3 xiang3 fen1 xi1 || Fehlermöglichkeiteinflussanalyse
|}

=== 滚 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung !! Lernhilfen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚轮}}  || gun3 lun2 || Rolle
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚珠}}  || gun3 zhu1 || Kugel (im Rollenlager, umg. Kugellager)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |回滚}}  || hui2 gun3 || wiederholen (rollback)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |煮滚}}  || zhu3 gun3 || aufkochen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚过}}  || gun3 guo4 || abrollen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚落}}  || gun3 luo4 || fallen, hinfallen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚圆}}  || gun3 yuan2 || rundlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚蛋}}  || gun3 dan4 || Hau ab! Verpiss dich!
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚开}}  || gun3 kai1 || hau ab
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚压}}  || gun3 ya1 || Abwicklung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒}}  || gun3 tong3 || Zylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚梯}}  || gun3 ti1 || Rolltreppe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚针}}  || gun3 zhen1 || Lagernadel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕}}  || gun3 zhen3 || Zylinderlaufring, Schmitzring
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚动}}  || gun3 dong4 || rollen, scrollen (am Computer)|| (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚子}}  || gun3 zi5 || Rolle
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚丝机}}  || gun3 si1 ji1 || Gewindewälzmaschine
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |使滚动}}  || shi3 gun3 dong4 || rollt, rollen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚齿机}}  || gun3 chi3 ji1 || Wälzfräsmaschine,Zahnradwälzfräsmaschine
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚动条}}  || gun3 dong4 tiao2 || Rollbalken
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |8滚筒}}  || 8 gun3 tong3 || Achtzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |备用滚}}  || bei4 yong4 gun3 || Ersatzwalze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒振}}  || gun3 tong3 zhen4 || Zylinderanschaukelung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚雪球}}  || gun3 xue3 qiu2 || Schneeball
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压花滚}}  || ya1 hua1 gun3 || Dessinwalze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |连滚带爬}}  || liann2 gun3 dai4 pa2 || stolpernd und taumelnd, Hals über Kopf || (HSK 3.0 Band 7-9)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚滚热浪}}  || gun3 gun3 re4 lang4 || flimmernde Hitze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |吸气滚筒}}  || xi1 qi4 gun3 tong3 || Sauglufttrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |订书滚筒}}  || ding4 shu1 gun3 tong3 || Heftzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒零位}}  || gun3 tong2 ling2 wei4 || Zylindernullstellung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚动物资}}  || gun3 dong4 wu4 zi1 || rollendes Material
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |折刀滚筒}}  || zhe2 dao1 gun3 tong3 || Falzmesserzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |制动滚筒}}  || zhi4 dong4 gun3 tong2 || Bremstrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒起动}}  || gun3 tong3 qi3 dong4 || Zylinderanlauf
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒表面}}  || gun3 tong3 biao3 mian4 || Zylinderoberfläche
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒脱离}}  || gun3 tong3 tuo1 li2 || Zylinderabstellung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒垫衬}}  || gun3 tong3 dian4 chen4 || Zylinderzurichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |自动滚动}}  || zi4 dong4 gun3 dong4 || Automatischer Bildlauf
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒滚压}}  || gun3 tong2 gun3 ya1 || Abwicklung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |印板滚筒}}  || yin4 ban3 gun3 tong3 || Formzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒包衬}}  || gun3 tong3 bao1 chen4 || Zylinderaufzug
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |拉削滚刀}}  || la1 xiao1 gun3 dao1 || Raumwalzfräser
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |气垫滚筒}}  || qi4 dian4 gun3 tong3 || Luftkissentrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒锻件}}  || gun3 tong3 duan4 jian4 || Zylinderballen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮滚筒}}  || xiang4 pi2 gun3 tong2 || Gummidruckzylinder, Gummizylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |版台滚枕}}  || ban3 tai2 gun3 zhen3 || Schmitzleisten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕刮片}}  || gun3 zhen3 gua1 pian4 || Schmitzringabstreifer
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚石杂志}}  || gun3 shi2 za2 zhi4 || Rolling Stone
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |显影滚筒}}  || xian3 ying3 gun3 tong2 || Entwicklungstrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚石乐队}}  || gun3 shi2 yue4 dui4 || The Rolling Stones
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕高度}}  || gun3 zhen3 gao1 du4 || Schmitzringhöhe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕技术}}  || gun3 zhen3 ji4 shu4 || Schmitzringtechnik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚压方向}}  || gun3 ya1 fang1 xiang4 || Abwicklungsrichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |扫描滚筒}}  || sao4 miao2 gun3 tong2 || Abtasttrommel,  Abtastwalze, Abtastzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒排列}}  || gun3 tong2 pai2 lie4 || Zylinderanordnung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |印刷滚筒}}  || yin4 shua4 gun3 tong2 || druckender Zylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 || Gegendruckzylinder, Druckzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |印版滚筒}}  || yin4 ban3 gun3 tong2 || Plattenzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |资金滚动}}  || zi1 jin1 gun3 dong4 || Kapitalzirkulation
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒合上}}  || gun3 tong2 he2 shang4 || Druckanstellung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磁性滚筒}}  || ci2 xing4 gun3 tong2 || Magnetzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕压力}}  || gun3 zhen3 ya1 li4 || Schmitzringpressung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |毛刷滚筒}}  || mao2 shua4 gun3 tong3 || Bürstenwalze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |传页滚筒}}  || chuan2 ye4 gun3 tong3 || Falzklappenzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |财源滚滚}}  || cai2 yuan2 gun3 gun3 || stetig fließende Geldquelle (Wunsch zum Frühlingsfest)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |折页滚筒}}  || zhe2 ye4 gun3 tong2 || Falztrommel, Falzzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒墙板}}  || gun3 tong3 qiang2 ban3 || Zylinderwand
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒量规}}  || gun3 tong2 liang4 gui1 || Zylindermarke
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |气动滚筒}}  || qi4 dong4 gun3 tong3 || Pneumatikzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |输纸滚筒}}  || shu1 zhi3 gun3 tong3 || Anlagetrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |除废滚筒}}  || chu2 fei4 gun3 tong3 || Ausbrechzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |草地滚球}}  || cao3 di4 gun3 qiu2 || Bowls(Rechtsw)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |空心滚筒}}  || kong1 xin1 gun3 tong2 || Hohlzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚压状态}}  || gun3 ya1 zhuang4 tai4 || Abwicklungsverhältnisse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮布滚筒}}  || xiang4 pi2 bu4 gun3 tong3 || Gummituchzylinder, Gummizylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒打样机}}  || gun3 tong3 da3 yang4 ji1 || Zylinderabziehpresse, Zylinderandruckpresse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒洗衣机}}  || gun3 tong2 xi3 yi1 ji1 || Waschmaschine, Frontlader (von vorne befüllbare Wasschmaschine)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |双圆周滚筒}}  || shuang1 yuan2 zhou1 gun3 tong3 || Doppelumfangszylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |钢带滚圆盘}}  || gang1 dai4 gun3 yuan2 pan2 || Rollbogen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |双幅宽滚筒}}  || shuang1 fu2 kuan1 gun3 tong3 || doppeltbreiter Zylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |精确的滚压}}  || jing1 que4 de5 gun3 ya1 || genaue Abwicklung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |磁力分离滚筒}}  || ci2 li4 fen1 li2 gun3 tong2 || Magnettrommel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |折页存页滚筒}}  || zhe2 ye4 cun2 ye4 gun3 tong3 || Falzsammelzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒式洗衣机}}  || gun3 tong2 shi4 xi3 yi1 ji1 || Waschmaschine, Trommelwaschmaschine
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |显示计量滚筒}}  || xian3 shi4 ji4 liang4 gun3 tong3 || Dosierzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒最高转速}}  || gun3 tong2 zui4 gao1 zhuan3 su4 || maximale Zylinderumdrehungen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |清洗压印滚筒}}  || qing1 xi3 ya1 yin4 gun3 tong3 || Druckzylinder waschen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒比滚筒比值}}  || gun3 tong3 bi3 gun3 tong3 bi3 zhi2 || Zylinderverhältnis
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |共用滚筒印刷机}}  || gong4 yong4 gun3 tong3 yin4 shua4 ji1 || Einzylinderdruckmaschine
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮滚筒对滚式}}  || xiang4 pi2 gun3 tong3 dui4 gun3 shi4 || Gummi, Gummi-
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮布印版滚筒}}  || xiang4 pi2 bu4 yin4 ban3 gun3 tong3 || Gummituchplattenzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |五滚筒排列形式}}  || wu3 gun3 tong3 pai2 lie4 xing2 shi4 || Fünfzylindersystem
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |安置在滚筒前面}}  || an1 zhi4 zai4 gun3 tong3 qian2 mian4 || vor dem Zylinder angebracht sein
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |三滚筒式印刷机租}}  || san1 gun3 tong3 shi4 yin4 shua4 ji1 zu1 || Dreizylinderdruckwerk
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒吹风装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 chui1 feng1 zhuang1 zhi4 || Druckzylinderblaseinrichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚筒之间压力太大}}  || gun3 tong2 zhi1 jian1 ya1 li4 tai4 da4 || zu hohe Druckbeistellung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒清洗装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 qing1 xi3 zhuang1 zhi4 || Druckzylinderwascheinrichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |共用压印滚筒印刷机}}  || gong4 yong4 ya1 yin4 gun3 tong3 yin4 shua4 ji1 || Druckmaschine mit gemeinsamem Gegendruckzylinder, EinzylinderdruckmaschineÖ
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚枕高于滚筒表面部分}}  || gun3 zhen3 gao1 yu2 gun3 tong3 biao3 mian4 bu4 fen1 || Einstichtiefe (Zylinderunterschliff)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒上的保护装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 shang4 de5 bao3 hu4 zhuang1 zhi4 || Schutz über Druckzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |自动清洗压印滚筒装置}}  || zi4 dong4 qing1 xi3 ya1 yin4 gun3 tong3 zhuang1 zhi4 || automatische Druckzylinderwascheinrichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |带张紧装置的橡皮布滚筒}}  || dai4 zhang1 jin3 zhuang1 zhi4 de5 xiang4 pi2 bu4 gun3 tong3 || Gummizylinder mit Spindelspannung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮滚筒对钢制滚筒的结构}}  || xiang4 pi2 gun3 tong3 dui4 gang1 zhi4 gun3 tong3 de5 jie2 gou4 || Gummistahltechnik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |由六个滚筒组成的印刷机组}}  || you2 liu4 ge4 gun3 tong3 zu3 cheng2 de5 yin4 shua4 ji1 zu3 || Sechszylinderdruckeinheit
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮布和压印滚筒之间压力进给}}  || xiang4 pi2 bu4 he2 ya1 yin4 gun3 tong3 zhi1 jian1 ya1 li4 jin4 gei3 || Druckbeistellung zwischen Gummi und Druckzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒吹风装置前的保护装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 chui1 feng1 zhuang1 zhi4 qian2 de5 bao3 hu4 zhuang1 zhi4 || Schutz vor Druckzylinderblaseinrichtung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |橡皮滚筒对橡皮滚筒式印刷机单元}}  || xiang4 pi2 gun3 tong3 dui4 xiang4 pi2 gun3 tong3 shi4 yin4 shua4 ji1 dan1 yuan2 || Druckeinheit fur Gummi, Gummidruck, Gummi, Gummi-Druckwerk
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒和印版滚筒之间的保护装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 he2 yin4 ban3 gun3 tong3 zhi1 jian1 de5 bao3 hu4 zhuang1 zhi4 || Schutz zwischen Druckzylinder und Formzylinder
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |压印滚筒和橡皮布滚筒前的保护装置}}  || ya1 yin4 gun3 tong3 he2 xiang4 pi2 bu4 gun3 tong3 qian2 de5 bao3 hu4 zhuang1 zhi4 || Schutz vor Druck- und Gummizylinder
|}

=== 哼 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼歌}}  || heng1 ge1 || summen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼声}}  || heng1 sheng1 || summen, Gebrumm
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼聲}}  || heng1 sheng1 || (traditionelle Schreibweise von 哼声), summen, Gebrumm
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼唱}}  || heng1 chang4 || summen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |气哼哼}}  || qi4 heng1 heng1 || wutschnaubend
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |氣哼哼}}  || qi4 heng1 heng1 || (traditionelle Schreibweise von 气哼哼), wutschnaubend
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |作哼声}}  || zuo4 heng1 sheng1 || schnupfen, schnauben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |作哼聲}}  || zuo4 heng1 sheng1 || (traditionelle Schreibweise von 作哼声), schnupfen, schnauben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼儿哈儿}}  || heng1 r5 ha1 r5 || to hem and haw (loanword)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哼兒哈兒}}  || heng1 r5 ha1 r5 || (traditionelle Schreibweise von 哼儿哈儿), to hem and haw (loanword)
|}

=== 屬 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |所屬}}  || suo3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 所属), zugehörig, einschlägig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬國}}  || shu3 guo2 || (traditionelle Schreibweise von 属国), Satellitenstaat, Vasallenstaat
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |專屬}}  || zhuan1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 专属), exklusiv
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |豹屬}}  || bao4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 豹属), Großkatzen, Panthera
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |歸屬}}  || gui1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 归属), Anhänglichkeit, Zugehörigkeit, zurückführen, attributiv
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬地}}  || shu3 di4 || (traditionelle Schreibweise von 属地), Besitz, Schutzgebiet, Gebiet (territorial)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬托}}  || zhu3 tuo1 || (traditionelle Schreibweise von 属托), anvertrauen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亞屬}}  || ya4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 亚属), Unterart
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬實}}  || shu3 shi2 || (traditionelle Schreibweise von 属实), richtig, echt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |分屬}}  || fen1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 分属), Klassifizierung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬性}}  || shu3 xing4 || (traditionelle Schreibweise von 属性), Merkmal, Attribute, Eigenschaften, attributiv
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬下}}  || shu3 xia4 || (traditionelle Schreibweise von 属下), unterordnen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |直屬}}  || zhi2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 直属), unmittelbar unterstehend, direkt unterstellt, unmittelbar unterstellt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |茄屬}}  || qie2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 茄属), Nachtschatten
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |狐屬}}  || hu2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 狐属), Vulpes
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |係屬}}  || xi5 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 系属), verantwortlich sein, zugehörig sein
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |稻屬}}  || dao4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 稻属), Reis
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬格}}  || shu3 ge2 || (traditionelle Schreibweise von 属格), Genitiv
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |依屬}}  || yi1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 依属), Abhängigkeit, Anlehnung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |犬屬}}  || quan5 shu5 || (traditionelle Schreibweise von 犬属), Canis
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |楊屬}}  || yang2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 杨属), Gattung (Familie) der Pappeln [ lat. Populus ]
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬相}}  || shu3 xiang4 || (traditionelle Schreibweise von 属相), Tierkreiszeichen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |家屬}}  || jia1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 家属), Angehörige, Angehöriger, Familienangehörige, Familienmitglied, Familienmitglieder, Verwandte, Verwandtschaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |李屬}}  || li3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 李属), Prunus (eine Gattung der Rosaceae)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |親屬}}  || qin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 亲属), Sippe, Verwandte, Angehörige, Verwandtschaft, verwenden, verwandtschaftlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬}}  || jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 金属), Metall, metallen, metallisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |軍屬}}  || jun1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 军属), Familie eines Armeeangehörigen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |羊屬}}  || yang2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 羊属), Schafe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |實屬}}  || shi2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 实属), wirklich, tatsächlich
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬於}}  || shu3 yu2 || (traditionelle Schreibweise von 属于), zu ... zählen, gehört, anhören, beziehen, bezogen, gehören, zugehören, angehörig, zugehörig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |下屬}}  || xia4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 下属), Untergebene, Untergeordnte, Unterstellte
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |松屬}}  || song1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 松属), Kiefern (Nadelholzgattung, Pinus)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |樟屬}}  || zhang1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 樟属), Cinnamomum
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬管}}  || jin1 shu3 guan3 || (traditionelle Schreibweise von 金属管), Metallrohr
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |海馬屬}}  || hai3 ma3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 海马属), Seepferdchen, Seepferd, Hippocampus spec.
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |麥雞屬}}  || mai4 ji1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 麦鸡属), Kiebitz
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |產金屬}}  || chan3 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 产金属), erzhaltig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |棉花屬}}  || mian2 hua5 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 棉花属), Baumwolle, Baumwollpflanze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |雷鳥屬}}  || lei2 niao3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 雷鸟属), Schneehühner (eine Vogelgattung), Lagopus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |百合屬}}  || bai3 he2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 百合属), Lilien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬板}}  || jin1 shu3 ban3 || (traditionelle Schreibweise von 金属板), Metallplatte, Metallplatte
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬網}}  || jin1 shu3 wang3 || (traditionelle Schreibweise von 金属网), Maschendraht
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |從屬物}}  || cong2 shu3 wu4 || (traditionelle Schreibweise von 从属物), Abhängige
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬盤}}  || jin1 shu3 pan2 || (traditionelle Schreibweise von 金属盘), Metallplatte
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |輕金屬}}  || qing1 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 轻金属), Leichtmetalle
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |半金屬}}  || ban4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 半金属), Halbmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |燕麥屬}}  || yan1 mai4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 燕麦属), Hafer
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬制}}  || jin1 shu3 zhi4 || (traditionelle Schreibweise von 金属制), metallen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬盒}}  || jin1 shu3 he2 || (traditionelle Schreibweise von 金属盒), Blechschachtel, Metallgehäuse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |重金屬}}  || zhong4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 重金属), Schwermetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |丁香屬}}  || ding1 xiang1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 丁香属), Flieder (lat: Syringa)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬片}}  || jin1 shu3 pian4 || (traditionelle Schreibweise von 金属片), Metallplatte
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黑金屬}}  || hei1 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 黑金属), Black metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |含金屬}}  || han2 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 含金属), erzhaltig
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |貴金屬}}  || gui4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 贵金属), Edelmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |木賊屬}}  || mu4 zei2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 木贼属), Schachtelhalme
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |歸屬感}}  || gui1 shu3 gan3 || (traditionelle Schreibweise von 归属感), Loyalität
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |赫蕉屬}}  || he4 jiao1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 赫蕉属), Helikonien, Heliconia
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |泡桐屬}}  || pao4 tong2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 泡桐属), Paulownien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |花鼠屬}}  || hua1 shu3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 花鼠属), (Gattung der) Streifenhörnchen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬絲}}  || jin1 shu3 si1 || (traditionelle Schreibweise von 金属丝), Draht
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬塊}}  || jin1 shu3 kuai4 || (traditionelle Schreibweise von 金属块), Blockmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |火雞屬}}  || huo3 ji1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 火鸡属), Truthühner (lat: Meleagris)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |所屬國}}  || suo3 shu3 guo2 || (traditionelle Schreibweise von 所属国), Herkunftsland
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |楊梅屬}}  || yang2 mei2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 杨梅属), Erdbeerbaum
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |石南屬}}  || shi2 nan2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 石南属), Heidekraut, Heide
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |脫金屬}}  || tuo1 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 脱金属), entmetallisieren
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |木瓜屬}}  || mu4 gua1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 木瓜属), Zierquitte
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |感情歸屬}}  || gan3 qing2 gui1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 感情归属), Zuneigung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |下屬部門}}  || xia4 shu3 bu4 men2 || (traditionelle Schreibweise von 下属部门), Unterabteilung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬析出}}  || jin1 shu3 xi1 chu1 || (traditionelle Schreibweise von 金属析出), Metallabscheidung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有色金屬}}  || you3 se4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 有色金属), Nichteisenmetall, Buntmetall, NE-Metall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |貴重金屬}}  || gui4 zhong4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 贵重金属), Edelmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |從屬的人}}  || cong2 shu3 de5 ren2 || (traditionelle Schreibweise von 从属的人), Abhängige
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬工作}}  || jin1 shu3 gong1 zuo4 || (traditionelle Schreibweise von 金属工作), Metallberuf
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |從屬關系}}  || cong2 shu3 guan1 xi4 || (traditionelle Schreibweise von 从属关系), Hypotaxe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |親屬關係}}  || qin1 shu3 guan1 xi5 || (traditionelle Schreibweise von 亲属关系), nahe Verwandtschaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |非鐵金屬}}  || fei1 tie3 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 非铁金属), Nichteisenmetall, Ne-Metall, Buntmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |薄金屬片}}  || bo2 jin1 shu3 pian4 || (traditionelle Schreibweise von 薄金属片), Metallfolie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬容器}}  || jin1 shu3 rong2 qi4 || (traditionelle Schreibweise von 金属容器), Blechemballage
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬絲網}}  || jin1 shu3 si1 wang3 || (traditionelle Schreibweise von 金属丝网), Drahtgaze (Siebdruck)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬蓋板}}  || jin1 shu3 gai4 ban3 || (traditionelle Schreibweise von 金属盖板), Abdeckblech
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |哥特金屬}}  || ge1 te4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 哥特金属), Gothic Metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬配件}}  || jin1 shu3 pei4 jian4 || (traditionelle Schreibweise von 金属配件), Beschlag, Metallbeschlag
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |百里香屬}}  || bai3 li3 xiang1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 百里香属), Thymian
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |南天竹屬}}  || nan2 tian1 zhu2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 南天竹属), Himmelsbambusgewächse (lat: Nandina, eine Pflanzengattung)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |過渡金屬}}  || guo4 du4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 过渡金属), Übergangsmetalle
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |羽扇豆屬}}  || yu3 shan1 dou4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 羽扇豆属), Lupine
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |法屬印度}}  || fa3 shu3 yin4 du4 || (traditionelle Schreibweise von 法属印度), Französisch-Indien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬切割}}  || jin1 shu3 qie1 ge1 || (traditionelle Schreibweise von 金属切割), Metallschnitt
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |三葉草屬}}  || san1 ye4 cao3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 三叶草属), Klee
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |維京金屬}}  || wei2 jing1 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 维京金属), Viking Metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |仙人掌屬}}  || xian1 ren2 zhang3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 仙人掌属), Opuntien (Pflanzengattung der Kakteengewächse)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |扇尾魚屬}}  || shan4 wei3 yu2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 扇尾鱼属), Desmodema (eine Sensenfischgattung)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬相界}}  || jin1 shu3 xiang1 jie4 || (traditionelle Schreibweise von 金属相界), Metallphasengrenze
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬薄片}}  || jin1 shu3 bo2 pian4 || (traditionelle Schreibweise von 金属薄片), Folie, Metallfolie, Metallplatte, Spiegelbelag, vereiteln, Fischblase
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |稀土金屬}}  || xi1 tu3 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 稀土金属), Metalle der Seltenen Erden
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |爬山虎屬}}  || pa2 shan1 hu3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 爬山虎属), Jungfernreben
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬元素}}  || jin1 shu3 yuan2 su4 || (traditionelle Schreibweise von 金属元素), metallisches Element
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |父系親屬}}  || fu4 xi4 qin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 父系亲属), Verwandte väterlicherseits
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬表面}}  || jin1 shu3 biao3 mian4 || (traditionelle Schreibweise von 金属表面), Metalloberfläche
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金合歡屬}}  || jin1 he2 huan1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 金合欢属), Gattung der Akazien [ lat. Acacia ]
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |英屬印度}}  || ying1 shu3 yin4 du4 || (traditionelle Schreibweise von 英属印度), Britisch-Indien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |衣原體屬}}  || yi1 yuan2 ti3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 衣原体属), Chlamydien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬加工}}  || jin1 shu3 jia1 gong1 || (traditionelle Schreibweise von 金属加工), Metallbearbeitung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金絲燕屬}}  || jin1 si1 yan4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 金丝燕属), Salanganen (eine Vogelfamilie)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |葡屬印度}}  || pu2 shu3 yin4 du4 || (traditionelle Schreibweise von 葡属印度), Portugiesisch-Indien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |接骨木屬}}  || jie1 gu3 mu4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 接骨木属), Holunder, Holundergewächse (lat: Sambucus)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |貴金屬塊}}  || gui4 jin1 shu3 kuai4 || (traditionelle Schreibweise von 贵金属块), Goldklumpen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |羽衣草屬}}  || yu3 yi1 cao3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 羽衣草属), Frauenmantel
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬光澤}}  || jin1 shu3 guang1 ze2 || (traditionelle Schreibweise von 金属光泽), metallischer Glanz
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |穿山甲屬}}  || chuan1 shan1 jia3 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 穿山甲属), Schuppentiere
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |男性親屬}}  || nan2 xing4 qin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 男性亲属), männliche Verwandtschaft
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |稀有金屬}}  || xi1 you3 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 稀有金属), seltenes Metall, Spurenmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |含有金屬}}  || han2 you3 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 含有金属), metallisch
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |市屬公園}}  || shi4 shu3 gong1 yuan2 || (traditionelle Schreibweise von 市属公园), städtischer Park
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |屬於公司}}  || shu3 yu2 gong1 si1 || (traditionelle Schreibweise von 属于公司), hauseigen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |力量金屬}}  || li4 liang5 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 力量金属), Power Metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黑色金屬}}  || hei1 se4 jin1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 黑色金属), Schwarzmetall, Eisenmetall
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |長春花屬}}  || chang2 chun1 hua1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 长春花属), Catharanthus
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬音樂}}  || jin1 shu3 yin1 yue4 || (traditionelle Schreibweise von 金属音乐), Metal-Musik
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |眼子菜屬}}  || yan3 zi3 cai4 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 眼子菜属), Laichkraut
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬交易所}}  || jin1 shu3 jiao1 yi4 suo3 || (traditionelle Schreibweise von 金属交易所), Metallbörse
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |美洲野牛屬}}  || mei3 zhou1 ye3 niu2 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 美洲野牛属), Bisons
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |重金屬音樂}}  || zhong4 jin1 shu3 yin1 yue4 || (traditionelle Schreibweise von 重金属音乐), Heavy-Metal, Metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |毛皮海獅屬}}  || mao2 pi2 hai3 shi1 shu3 || (traditionelle Schreibweise von 毛皮海狮属), Südliche Seebären (lat: Arctocephalus)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黑金屬音樂}}  || hei1 jin1 shu3 yin1 yue4 || (traditionelle Schreibweise von 黑金属音乐), Black-Metal
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬回火色}}  || jin1 shu3 hui2 huo3 se4 || (traditionelle Schreibweise von 金属回火色), Anlauffarbe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬錯合物}}  || jin1 shu3 cuo4 he2 wu4 || (traditionelle Schreibweise von 金属错合物), Metallkomplex
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |法屬圭亞那}}  || fa3 shu3 gui1 ya4 na4 || (traditionelle Schreibweise von 法属圭亚那), Französisch-Guayana (Überseedepartement in Frankreich)
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |前後屬詞素}}  || qian2 hou4 shu3 ci2 su4 || (traditionelle Schreibweise von 前后属词素), Klitika
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |荷屬東印度}}  || he4 shu3 dong1 yin4 du4 || (traditionelle Schreibweise von 荷属东印度), Niederländisch-Ostindien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |意屬裡維耶拉}}  || yi4 shu3 li3 wei2 ye1 la1 || (traditionelle Schreibweise von 意属里维耶拉), Riviera
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |德屬西南非洲}}  || de2 shu3 xi1 nan2 fei1 zhou1 || (traditionelle Schreibweise von 德属西南非洲), Deutsch-Südwestafrika
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬加工工人}}  || jin1 shu3 jia1 gong1 gong1 ren2 || (traditionelle Schreibweise von 金属加工工人), Metallarbeiter
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |有機金屬化學}}  || you3 ji1 jin1 shu3 hua4 xue2 || (traditionelle Schreibweise von 有机金属化学), Organometallchemie
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬色亮光油}}  || jin1 shu3 se4 liang4 guang1 you2 || (traditionelle Schreibweise von 金属色亮光油), Metallpigmentlack
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬切削機床}}  || jin1 shu3 qie1 xue1 ji1 chuang2 || (traditionelle Schreibweise von 金属切削机床), spanende Werkzeugmaschinen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |彩色金屬油墨}}  || cai3 se4 jin1 shu3 you2 mo4 || (traditionelle Schreibweise von 彩色金属油墨), Metallikbuntdruckfarbe
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |千里光屬雜草}}  || qian1 li3 guang1 shu3 za2 cao3 || (traditionelle Schreibweise von 千里光属杂草), Pusteblume
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |死亡金屬音樂}}  || si3 wang2 jin1 shu3 yin1 yue4 || (traditionelle Schreibweise von 死亡金属音乐), Death-Metal
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |荷屬安的列斯}}  || he4 shu3 an1 di4 lie4 si1 || (traditionelle Schreibweise von 荷属安的列斯), Niederländische Antillen
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬印刷油墨}}  || jin1 shu3 yin4 shua4 you2 mo4 || (traditionelle Schreibweise von 金属印刷油墨), Metalldruckfarbe
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |英屬印度洋領地}}  || ying1 shu3 yin4 du4 yang2 ling3 de5 || (traditionelle Schreibweise von 英属印度洋领地), Britisches Territorium im Indischen Ozean
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |法屬玻里尼西亞}}  || fa3 shu3 bo1 li3 ni2 xi1 ya4 || (traditionelle Schreibweise von 法属玻里尼西亚), Französisch-Polynesien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |法屬玻利尼西亞}}  || fa3 shu3 bo1 li4 ni2 xi1 ya4 || (traditionelle Schreibweise von 法属玻利尼西亚), Französisch-Polynesien
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬錯合物染料}}  || jin1 shu3 cuo4 he2 wu4 ran3 liao4 || (traditionelle Schreibweise von 金属错合物染料), Metallkomplexfarbstoff
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬瓶蓋印刷機}}  || jin1 shu3 ping2 gai4 yin4 shua4 ji1 || (traditionelle Schreibweise von 金属瓶盖印刷机), Kronkorkendrucker
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |金屬吹樂器制造匠}}  || jin1 shu3 chui1 le4 qi4 zhi4 zao4 jiang4 || (traditionelle Schreibweise von 金属吹乐器制造匠), Metallblasinstrumentenmacher
|}

== Sätze  ==

=== 损 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不能按时交付货款的话会给客户带来很大损失。}}  ||   bu4 neng2 an4 shi2 jiao1 fu4 huo4 kuan3 de5 hua4 hui4 gei3 ke4 yong4 dai4 lai2 hen3 da4 sun3 shi1 。||  Not being able to carry out payments on time can cause very large losses for the consumer.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2432825 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fenfang557 fenfang557] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/FeuDRenais2 FeuDRenais2])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们的损失到达了一百万日圆。}}  ||   ta1 men5 de5 sun3 shi1 dao4 da2 le5 yi1 bai3 wan4 ri4 yuan2 。||  Ihr Verlust erreichte eine Million Yen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/794022 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |为了这次的损失，他扛起责任，辞职了。}}  ||   wei2/wei4 le5 zhe4/zhei4 ci4 de5 sun3 shi1 ， ta1 kang2 qi3 ze2 ren4 ， ci2 zhi2 le5 。||  He resigned from the job to take the responsibility for the loss.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1404403 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sirpoot sirpoot])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |伊个过世对阿拉公司是一个巨大个损失。}}  ||   yi1 ge4 guo4 shi4 dui4 a1 la1 gong1 si1 shi4 yi1 ge4 ju4 da4 ge4 sun3 shi1 。||  Sein Tod war ein großer Verlust für unsere Firma.  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/915710 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |在这个社会裡一切都是用完即丢,用东西直到它磨损是一种美德。}}  ||   zai4 zhe4/zhei4 ge4 she4 hui4 li3 yi1 qie1 dou1/du1 shi4 yong4 wan2 ji2 diu1 , yong4 dong1 xi1 zhi2 dao4 ta1/tuo2 mo4 sun3 shi4 yi1 chong2/zhong3/zhong4 mei3 de2 。||  In einer Wegwerfgesellschaft wie dieser ist es eine Tugend, etwas so lange zu verwenden, bis es sich verbraucht hat.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/771947 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/raggione raggione])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |你需要赔偿他损失的钱。}}  ||   ni3 xu1 yao4 pei2 chang2 ta1 sun3 shi1 de5 qian2 。||  You must compensate him for the money he lost.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10342272 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/iiujik iiujik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/AlanF_US AlanF_US])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一切人都是平等和独立的，没有人有权损害另一个人的生命、健康、自由和财产。}}  ||   yi1 qie1 ren2 dou1/du1 shi4 ping2 deng3 he2/he4/huo2 du2 li4 de5 ， mei2/mo4 you3 ren2 you3 quan2 sun3 hai4 ling4 yi1 ge4 ren2 de5 sheng1 ming4 、 jian4 kang1 、 zi4 you2 he2/he4/huo2 cai2 chan3 。||  Alle Menschen sind gleich und unabhängig. Keiner hat das Recht, eines anderen Leben, Gesundheit, Freiheit oder Besitz zu schädigen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3554256 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们状告政府赔偿损失。}}  ||   ta1 men5 zhuang4 gao4 zheng4 fu3 pei2 chang2 sun3 shi1 。||  Sie verklagen die Regierung darauf, sie für den Verlust zu entschädigen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/781079 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/AC AC])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一方面我们虽然蒙受了损失，但另一方面我们从这次经验中学到了很多。}}  ||   yi1 fang1 mian4 wo3 men5 sui1 ran2 meng2 shou4 le5 sun3 shi1 ， dan4 ling4 yi1 fang1 mian4 wo3 men5 cong2 zhe4/zhei4 ci4 jing4 yan4 zhong1/zhong4 xue2 dao4 le5 hen3 duo1 。||  Wir erlitten einerseits zwar einen schweren Verlust, doch andererseits lernten wir auch viel aus der Erfahrung.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3081615 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/hsuan07 hsuan07] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他的死对我们公司是一个巨大的损失。}}  ||   ta1 de5 si3 dui4 wo3 men5 gong1 si1 shi4 yi1 ge4 ju4 da4 de5 sun3 shi1 。||  Sein Tod war ein großer Verlust für unsere Firma.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/847761 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他们完全损坏了国家的形象。}}  ||   ta1 men5 wan2 quan2 sun3 huai4 le5 guo2 jia1 de5 xing2 xiang4 。||  Sie haben das Ansehen des Landes komplett ruiniert.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/6154339 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xjjAstrus xjjAstrus] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请不要做任何有损松野家族名声的事！}}  ||   qing3 bu4 yao4 zuo4 ren4 he2 you3 sun3 song1 野 jia1 zu2 ming2 sheng1 de5 shi4 ！||  Bitte tue nichts, dass den Ruf der Matsunos schädigen könnte!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/333112 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |私人银行像个女孩似的—如果人们过多谈论它，就会损害它的声誉。}}  ||   si1 ren2 yin2 hang2/xing2 xiang4 ge4 nü3/ru3 hai2 si4 de5 — ru2 guo3 ren2 men5 guo4 duo1 tan2 lun4 ta1/tuo2 ， jiu4 hui4 sun3 hai4 ta1/tuo2 de5 sheng1 yu4 。||  Mit einer Privatbank verhält es sich wie mit einem Mädchen – wenn die Leute zu viel darüber reden, schädigt das den guten Ruf.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10019620 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Esperantostern Esperantostern])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |那家公司去年亏损了10亿日元。}}  ||   na4/nei4 jia1 gong1 si1 qu4 nian2 kui1 sun3 le5 10 yi4 ri4 yuan2 。||  Die Firma hat letztes Jahr eine Milliarde Yen Verlust gemacht.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8832720 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/crescat crescat] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |比尔承担了损失的过失责任。}}  ||   bi4 er3 承担 le5 sun3 shi1 de5 guo4 shi1 ze2 ren4 。||  Bill nahm die Schuld für den Schaden auf sich.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/798266 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/lilygilder lilygilder])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请勿要做任何有损松野家族名声个事体！}}  ||   qing3 wu4 yao4 zuo4 ren4 he2 you3 sun3 song1 野 jia1 zu2 ming2 sheng1 ge4 shi4 ti3 ！||  Bitte tue nichts, dass die Matsunos in Verruf bringen könnte!  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/489698 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |这会损害我们的信誉。}}  ||   zhe4/zhei4 hui4 sun3 hai4 wo3 men5 de5 xin4 yu4 。||  Das wird unser Ansehen schädigen.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8743560 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/slo_oth slo_oth] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失高达了二百万美元。}}  ||   sun3 shi1 gao1 da2 le5 er4 bai3 wan4 mei3 yuan2 。||  Der Verlust belief sich auf zwei Million Dollar.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/858512 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |问一下不会有什么损失。}}  ||   wen4 yi1 xia4 bu4 hui4 you3 shi2 me5 sun3 shi1 。||  Fragen kostet nichts.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/805108 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |文件已损坏。}}  ||   wen2 jian4 yi3 sun3 huai4 。||  Die Datei ist beschädigt.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/7773121 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jiangche jiangche] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |洪水造成了很大的损害。}}  ||   hong2 shui3 zao4 cheng2 le5 hen3 da4 de5 sun3 hai4 。||  The flood caused a lot of damage.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/907508 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失高达一百万美元。}}  ||   sun3 shi1 gao1 da2 yi1 bai3 wan4 mei3 yuan2 。||  Der Verlust beträgt eine Million Dollar.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/336658 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/whosnick whosnick])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失高达一百万美元。}}  ||   sun3 shi1 gao1 da2 yi1 bai3 wan4 mei3 yuan2 。||  Der Verlust beläuft sich auf eine Millionen Dollar.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/686651 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/offdare offdare] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
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=== 析 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们要详细的分析一下意外发生的前因后果。}}  ||   wo3 men5 yao4 详 xi4 de5 fen1 xi1/xi4 yi1 xia4 yi4 wai4 fa1 sheng1 de5 qian2 yin1 hou4 guo3 。||  We have to make a close analysis of the accident. We need to study the cause and effect of the accident closely.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/422002 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Swift Swift] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/aliene aliene])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不遵守命名规则会导致解析错误。}}  ||   bu4 zun1 shou3 ming4 ming2 gui1 ze2 hui4 dao3 zhi4 jie3 xi1/xi4 cuo4 wu4 。||  Nichtbeachtung der Namenskonventionen führt zu Parsefehlern.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2915541 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/vicch vicch] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们要详细地分析一下意外发生的前因后果。}}  ||   wo3 men5 yao4 详 xi4 de4/di4 fen1 xi1/xi4 yi1 xia4 yi4 wai4 fa1 sheng1 de5 qian2 yin1 hou4 guo3 。||  We have to make a close analysis of the accident.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2109962 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Swift Swift])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一些分析家认为索马里是非常失败的国家。}}  ||   yi1 xie1 fen1 xi1/xi4 jia1 ren4 wei2/wei4 suo2 ma3 li3 shi4 fei1 chang2 shi1 bai4 de5 guo2 jia1 。||  Some analysts consider Somalia as the failed state par excellence.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/816903 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们已经将它做了分析。}}  ||   wo3 men5 yi3 jing4 jiang1/jiang4 ta1/tuo2 zuo4 le5 fen1 xi1/xi4 。||  We've had it analyzed.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5762984 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |在那个年代，心理学的两个主要学派是行为主义学派与精神分析学派。}}  ||   zai4 na4/nei4 ge4 nian2 dai4 ， xin1 li3 xue2 de5 liang3 ge4 zhu3 yao4 xue2 pai4 shi4 hang2/xing2 wei2/wei4 zhu3 yi4 xue2 pai4 yu3 jing1 shen2 fen1 xi1/xi4 xue2 pai4 。||  Zu jener Zeit waren die zwei Hauptströmungen der Psychologie der Behaviorismus und die Psychoanalyse.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2188467 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |听那些只看CCAV的老百姓进行全球经济的个人分析一直是很有趣的。}}  ||   ting1 na4/nei4 xie1 zhi3 kan4 CCAV de5 lao3 bai3 xing4 jin4 hang2/xing2 quan2 qiu2 jing4 ji4 de5 ge4 ren2 fen1 xi1/xi4 yi1 zhi2 shi4 hen3 you3 qu4 de5 。||  Listening to the personal analysis about global economy made by people who watch only CCAV has always been kinda funny.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2110063 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |航空专家详细分析了统计数据。}}  ||   hang2 kong1/kong4 zhuan1 jia1 详 xi4 fen1 xi1/xi4 le5 tong3 ji4 shu3/shuo4 ju4 。||  Der Luftfahrtexperte analysierte die Statistiken genau.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5576759 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jast jast])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |汤姆是一名金融分析师。}}  ||   tang1 mu3 shi4 yi1 ming2 jin1 rong2 fen1 xi1/xi4 shi1 。||  Tom is a financial analyst.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10193685 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/iiujik iiujik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
|}
=== 滚 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孩子从山上滚了下来。}}  ||   hai2 zi5 cong2 shan1/shan5 shang4 gun3 le5 xia4 lai2 。||  Die Kinder rollten den Hügel herunter.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1529427 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cynthia cynthia] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zaghawa Zaghawa])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |放点盐到滚水裡。}}  ||   fang4 dian3 yan2 dao4 gun3 shui3 li3 。||  Gib Salz in das kochende Wasser.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/797047 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/boscowitch boscowitch])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |收好你的东西，滚出去。}}  ||   shou1 hao3 ni3 de5 dong1 xi1 ， gun3 chu1 qu4 。||  Nimm deine Sachen und hau ab. Nimm deine Sachen und geh.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/811238 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/enteka enteka] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚！}}  ||   gun3 ！||  Verpiss dich!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/884704 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tajfun Tajfun] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出我家！}}  ||   gun3 chu1 wo3 jia1 ！||  Verlass mein Haus!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1358450 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/EzRhil EzRhil])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出我的房子。}}  ||   gun3 chu1 wo3 de5 fang2 zi5 。||  Verschwinden Sie aus meinem Haus!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2982159 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出房子。}}  ||   gun3 chu1 fang2 zi5 。||  Get out of this house.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9955911 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |给我滚出去！}}  ||   gei3 wo3 gun3 chu1 qu4 ！||  Raus hier!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/10084006 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/ColawithIce ColawithIce] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出去！}}  ||   gun3 chu1 qu4 ！||  Raus!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/819288 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Espi Espi])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |把去皮切成小块的土豆放在滚水里煮20分钟。}}  ||   ba3 qu4 pi5 qie1 cheng2 xiao3 kuai4 de5 tu3 dou4 fang4 zai4 gun3 shui3 li3 zhu3 20 fen1 zhong1 。||  Kochen Sie die geschälten und geschnittenen Kartoffeln 20 Minuten in heißem Wasser.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/811065 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/driini driini])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚。}}  ||   gun3 。||  Verpiss dich!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/8696338 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/crescat crescat] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚。}}  ||   gun3 。||  Verpiss dich!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/398538 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kellenparker kellenparker] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚蛋！}}  ||   gun3 dan4 ！||  Scher dich fort!  (Shanghai, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/766034 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出我的草坪！}}  ||   gun3 chu1 wo3 de5 cao3 ping2 ！||  Runter von meinem Rasen!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/9958199 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/GlossaMatik GlossaMatik] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚开！}}  ||   gun3 kai1 ！||  Verpiss dich!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2302280 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tsetseg Tsetseg] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |死得滚！}}  ||   si3 de2/de5/dei3 gun3 ！||  Verrecke!  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1926373 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/futureboy futureboy])
|}
=== 哼 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |「哼，就算是这样，我的分数还是比你高得多呀！」「你说甚麼？！如果我用尽全力，你还会是我的对手吗？」}}  ||  「 heng1/ng5 ， jiu4 suan4 shi4 zhe4/zhei4 yang4 ， wo3 de5 fen1 shu3/shuo4 hai2/huan2 shi4 bi4 ni3 gao1 de2/de5/dei3 duo1 ya5 ！」「 ni3 shuo1 shen4 me5 ？！ ru2 guo3 wo3 yong4 jin4 quan2 li4 ， ni3 hai2/huan2 hui4 shi4 wo3 de5 dui4 shou3 ma5 ？」||  &quot;Well, even so my score is far above yours isn't it?&quot; &quot;What did you say!? If I was to go all out you'd be as nothing to me!&quot;  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/406432 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow])
|}

=== 屬 ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |由此可見，英文已經不再是專屬英國人的語言了。}}  ||   you2 ci3 ke3/ke4 jian4/xian4 ， ying1 wen2 yi3 jing4 bu4 zai4 shi4 zhuan1 shu3 ying1 guo2 ren2 de5 yu3 yan2 le5 。||  It shows that English is no longer the language only of the people of England.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/520652 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這棟房子是屬於他的。}}  ||   zhe4/zhei4 dong4 fang2 zi5 shi4 shu3 yu2 ta1 de5 。||  Dieses Haus gehört ihm.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/793206 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kaz71 kaz71])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我有一張金屬桌子。}}  ||   wo3 you3 yi1 zhang1 jin1 shu3 桌 zi5 。||  I have a metal table.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/780614 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/lukaszpp lukaszpp])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |這棟房子屬於我的叔叔。}}  ||   zhe4/zhei4 dong4 fang2 zi5 shu3 yu2 wo3 de5 shu1 shu1 。||  Dieses Haus gehört meinem Onkel.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/872434 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Dejo Dejo])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |銅和銀都是金屬。}}  ||   tong2 he2/he4/huo2 yin2 dou1/du1 shi4 jin1 shu3 。||  Copper and silver are both metals.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/722489 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/nickyeow nickyeow] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |家屬對軍方的說法高度置疑。}}  ||   jia1 shu3 dui4 jun1 fang1 de5 shuo1 fa3 gao1 du4 zhi4 yi2 。||  Die Angehörigen zweifelten stark an der Aussage des Militärs.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2094645 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jjbraam jjbraam] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Yorwba Yorwba])
|-
|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |以動物命名人的屬相，是因為我們的先民與這些動物有密切關係。}}  ||   yi3 dong4 wu4 ming4 ming2 ren2 de5 shu3 xiang1/xiang4 ， shi4 yin1 wei2/wei4 wo3 men5 de5 xian1 min2 yu3 zhe4/zhei4 xie1 dong4 wu4 you3 mi4 qie1 guan1 xi4 。||  Our ancestors used animals to name the years of people's births as their lives were closely connected to these animals.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/737798 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/eastasiastudent eastasiastudent])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |它屬於我兄弟。}}  ||   ta1/tuo2 shu3 yu2 wo3 xiong1 弟。||  Das gehört meinem Bruder.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/780235 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/kolonjano kolonjano])
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|  {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |她想搬出去，找個屬於自己的地方。}}  ||   ta1 xiang3 ban1 chu1 qu4 ， zhao3 ge4 shu3 yu2 zi4 ji3 de5 de4/di4 fang1 。||  She wants to move out and find a place of her own.  (Mandarin, [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3149498 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cienias cienias] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CM CM])
|}


=== einzusortieren ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损人不利己}}  || sǔn rén bù lì jǐ || Menschen schädigen,selbst keinen Gewinn haben ([[wikt:en:损人不利己 |Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |连滚带爬}}  || lián gǔn dài pá || rollen und krabbeln; eine chaotische Flucht vieler Menschen ([[wikt:en:连滚带爬 |Wiktionary en]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 损友来、益友却}}  ||    sun3 you3 lai2 、 yi4 you3 que4 || dann kommen schlechte Freunde, aber gute Freunde gehen. ([[Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen/_Lektion_635|Di Zi Gui Schülerregeln]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 滚滚人马，自天而下。}}  ||    gun3 gun3 ren2 ma3 ， zi4 tian1 er2 xia4 。||A steady stream of people and horses appeared from nowhere.  ([[s:en:Special:PermanentLink/5495657 | Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]] [[s:zh:三國演義/第002回 | 三國演義/第002回]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 滚鞍下马 }}  ||    gun3 an1 xia4 ma3 ||He scrambled off of his horse  ([[s:en:Special:PermanentLink/5495657 | Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]] [[s:zh:三國演義/第002回 | 三國演義/第002回]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch | 玄德大惊，滚鞍下马 }}  ||    xuan2 de2 da4 jing1 ， gun3 an1 xia4 ma3 ||Xuande was shocked, and scrambled off of his horse   ([[s:en:Special:PermanentLink/5776532 |Wikisource: Romance of the Three Kingdoms]]   [[s:zh:三國演義/第001回 | 三國演義/第001回]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损人不利己}} ||  sun3 ren2 bu4 li4 ji3 ||([[wikt:en:损人不利己|Wiktionary en]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不能按时交付货款的话会给客户带来很大损失。}} ||  bu4 neng2 an4 shi2 jiao1 fu4 huo4 kuan3 de5 hua4 hui4 gei3 ke4 yong4 dai4 lai2 hen3 da4 sun3 shi1 。||Not being able to carry out payments on time can cause very large losses for the consumer.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2432825 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fenfang557 fenfang557] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/FeuDRenais FeuDRenais]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |声明的时间损害了警察的公共关系。}} ||  sheng1 ming2 de5 shi2 jian1 sun3 hai4 le5 jing3 察 de5 gong1 gong4 guan1 xi4 。||The timing of the announcement hurts the public relations of the police.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5640733 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fekundulo fekundulo]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |然而，你们连一根头发也必不损坏。	}} ||  ran2 er2 ， ni3 men5 lian2 yi1 gen5 tou2 fa1 ye3 bi4 bu4 sun3 huai4 。	||21.18 Und nicht ein Haar von eurem Haupte wird verloren gehen. ([[Diskussion:Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen#Das_Neue_Testament|Die Bibel - Lukasevangelium]])
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |问一下不会有什么损失。}} ||  wen4 yi1 xia4 bu4 hui4 you3 shi2 me5 sun3 shi1 。||Fragen kostet nichts.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/805108 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失高达一百万美元。}} ||  sun3 shi1 gao1 da2 yi1 bai3 wan4 mei3 yuan2 。||Der Verlust beträgt eine Million Dollar.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/336658 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/whosnick whosnick]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |一方面我们虽然蒙受了损失，但另一方面我们从这次经验中学到了很多。}} ||  yi1 fang1 mian4 wo3 men5 sui1 ran2 meng2 shou4 le5 sun3 shi1 ， dan4 ling4 yi1 fang1 mian4 wo3 men5 cong2 zhe4/zhei4 ci4 jing4 yan4 zhong1/zhong4 xue2 dao4 le5 hen3 duo1 。||Wir erlitten einerseits zwar einen schweren Verlust, doch andererseits lernten wir auch viel aus der Erfahrung.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/3081615 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/hsuan07 hsuan07] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损失高达了二百万美元。}} ||  sun3 shi1 gao1 da2 le5 er4 bai3 wan4 mei3 yuan2 。||Der Verlust belief sich auf zwei Million Dollar.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/858512 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/U2FS U2FS] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |请不要做任何有损松野家族名声的事！}} ||  qing3 bu4 yao4 zuo4 ren4 he2 you3 sun3 song1 野 jia1 zu2 ming2 sheng1 de5 shi4 ！||Please don't do anything that would besmirch the Matsuno family name!  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/333112 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fcbond fcbond]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |他的死对我们公司是一个巨大的损失。}} ||  ta1 de5 si3 dui4 wo3 men5 gong1 si1 shi4 yi1 ge4 ju4 da4 de5 sun3 shi1 。||Sein Tod war ein großer Verlust für unsere Firma.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/847761 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Manfredo Manfredo]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不遵守命名规则会导致解析错误。}} ||  bu4 zun1 shou3 ming4 ming2 gui1 ze2 hui4 dao3 zhi4 jie3 xi1/xi4 cuo4 wu4 。||Not complying with the naming conventions will result in parse errors.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2915541 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/vicch vicch]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |航空专家详细分析了统计数据。}} ||  hang2 kong1/kong4 zhuan1 jia1 详 xi4 fen1 xi1/xi4 le5 tong3 ji4 shu3/shuo4 ju4 。||Der Luftfahrtexperte analysierte die Statistiken genau.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5576759 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/jast jast]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们要详细地分析一下意外发生的前因后果。}} ||  wo3 men5 yao4 详 xi4 de4/di4 fen1 xi1/xi4 yi1 xia4 yi4 wai4 fa1 sheng1 de5 qian2 yin1 hou4 guo3 。||We have to make a close analysis of the accident.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2109962 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Swift Swift]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |听那些只看CCAV的老百姓进行全球经济的个人分析一直是很有趣的。}} ||  ting1 na4/nei4 xie1 zhi3 kan4 CCAV de5 lao3 bai3 xing4 jin4 hang2/xing2 quan2 qiu2 jing4 ji4 de5 ge4 ren2 fen1 xi1/xi4 yi1 zhi2 shi4 hen3 you3 qu4 de5 。||Listening to the personal analysis about global economy made by people who watch only CCAV has always been kinda funny.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2110063 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sysko sysko]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |我们已经将它做了分析。}} ||  wo3 men5 yi3 jing4 jiang1/jiang4 ta1/tuo2 zuo4 le5 fen1 xi1/xi4 。||We've had it analyzed.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/5762984 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/verdastelo9604 verdastelo9604] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CK CK]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出我家！}} ||  gun3 chu1 wo3 jia1 ！||Get out of my house!  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1358450 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/sadhen sadhen] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Ketutar Ketutar]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |收好你的东西，滚出去。}} ||  shou1 hao3 ni3 de5 dong1 xi1 ， gun3 chu1 qu4 。||Nimm deine Sachen und geh. Nimm deine Sachen und hau ab.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/811238 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/xtofu80 xtofu80] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/enteka enteka]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚开！}} ||  gun3 kai1 ！||Scher dich fort!  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2302280 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Tsetseg Tsetseg] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |连滚带爬}} ||  lian2 gun3 dai4 pa2 ||([[wikt:en:连滚带爬|Wiktionary en]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |把去皮切成小块的土豆放在滚水里煮20分钟。}} ||  ba3 qu4 pi5 qie1 cheng2 xiao3 kuai4 de5 tu3 dou4 fang4 zai4 gun3 shui3 li3 zhu3 20 fen1 zhong1 。||Lassen Sie die geschälten und in Stücke geschnittenen Kartoffeln 20 Minuten im kochenden Wasser garen.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/811065 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/fucongcong fucongcong] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/MUIRIEL MUIRIEL]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |滚出我的房子。}} ||  gun3 chu1 wo3 de5 fang2 zi5 。||Verschwinden Sie aus meinem Haus!  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/2982159 Tatoeba]  [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Pfirsichbaeumchen Pfirsichbaeumchen]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |孩子从山上滚了下来。}} ||  hai2 zi5 cong2 shan1/shan5 shang4 gun3 le5 xia4 lai2 。||Die Kinder rollten den Hügel herunter.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/1529427 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/cynthia cynthia] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zaghawa Zaghawa]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |官运亨通}} ||  guan1 yun4 heng1 tong1 ||([[wikt:en:官运亨通|Wiktionary en]])
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |卡羅非常用功，亨利也是。}} ||  ka3/qia3 luo2 fei1 chang2 yong4 gong1 ， heng1 li4 ye3 shi4 。||Carol studiert sehr hart. Henry auch.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/875097 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Zaghawa Zaghawa]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |亨利想要見你。}} ||  heng1 li4 xiang3 yao4 jian4/xian4 ni3 。||Henry will dich sehen.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/833052 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/dima555 dima555]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |每的人都尊敬亨利。}} ||  mei3 de5 ren2 dou1/du1 zun1 jing4 heng1 li4 。||Everybody looks up to Henry.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/833187 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CN CN]
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |安妮接受了亨利的求婚。}} ||  an1 ni1 jie1 shou4 le5 heng1 li4 de5 qiu2 hun1 。||Anne accepted Henry's proposal.  [https://tatoeba.org/eng/sentences/show/825122 Tatoeba] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/Martha Martha] [https://tatoeba.org/eng/user/profile/CN CN]

|}

== Texte ==


=== Han Titel ===

Auszug aus der [[w:en:Translation_of_Han_dynasty_titles|englischen Wikipedia: Translation of Han dynasty titles]]

{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Chinesisch !! englische Übersetzungen
|-
| 博士 || Erudit, Academician
|-
| 刺史 || (Regional) Inspector
|-
| 從事 || Attendant Clerk, Attendant Official, Assistant Officer, Retainer
|-
| 大夫 || Grandee, Counsellor, Grand Master
|-
| 大將軍 || General-in-chief, Grand General
|-
| 大理 || Grand Judge, Chamberlain for Law Enforcement, Superintendent of Trials
|-
| 大司馬 || Commander-in-chief, Grand Minister of War, Grand Marshal, Marshal of State
|-
| 大司農 || Grand Minister of Agriculture, Minister of Finance, Chamberlain for the National Treasury, Superintendent of Agriculture
|-
| 大行令 || (Prefect) Grand Usher, Prefect of the Grand March, Director of Messengers, Superintendent of State Visits
|-
| 典客 || Director of Guests, Chamberlain for Dependencies, Superintendent of State Visits
|-
| 典屬國 || Director of Dependent States, Supervisor of Dependent Countries
|-
| 奉常 || Upholder of Ceremonies, Minister of Imperial Ancestral Ceremonies, Chamberlain for Ceremonials, Superintendent of Ceremonial
|-
| 符節令 || Prefect of Insignia and Credentials, Prefect of Tallies and Credentials, Manager of Credentials
|-
| 功曹[史] || (Officer of the) Bureau of Merit, Merit Evaluator, Officer of Merit, Labor Section Serviceman
|-
| 公車[司馬]令 || Prefect of the Majors in Charge of Official Carriages, Prefect of Official Carriage's at the Major's Gate, Prefect of the Majors for Official Carriages, Director of Gate Traffic Control, Director of Official Carriages
|-
| 黃門侍郎 || Gentleman(-in-Attendance) of the Yellow Gates, (Attendant) Gentleman at the Yellow Gate, Gentleman Attendant at the Palace Gate
|-
| 祭酒 || Libationer, Chancellor of the National University
|-
| 將作大匠 || Court Architect, Grand Court Architect, Chamberlain for the Palace Buildings
|-
| 令 || Prefect, (County) magistrate, Director
|-
| 三公 || Three Excellencies, Three Ducal Ministers, Three Dukes
|-
| 尚書 || Master of Writing, Minister of Writing, (Imperial) Secretariat, Chief Steward for Writing, Imperial Secretary 
|-
| 少府 || Privy Treasurer, Minister of the Privy Treasury, Minister Steward, Chamberlain of the Palace Revenues, Superintendent of the Lesser Treasury
|-
| 侍御史 || Attending Secretary, Attendant Imperial Secretary, Imperial Clerk, Attendant Censor, Secretary in Attendance on the Imperial Counsellor
|-
| 侍中 || Palace Attendant
|-
| 司空 || Minister of Works, Excellency of Works, Imperial Counsellor,
|-
| 司馬 || Commander, Major
|-
| 司徒 || Minister over the Masses, Minister of the Masses, Excellency over the Masses, Minister of Education, Chancellor
|-
| 太常 || Grand Master/Minister of Ceremonies, Minister of Ceremonies, Chamberlain of Ceremonials, Superintendent of Ceremonial
|-
| 太傅 || Grand Tutor, Grand Mentor, Senior Tutor
|-
| 太官[令] || ((Prefect) Grand) Provisioner, Court Provisioner
|-
| 太史令 || (Prefect) Grand Astrologer, Prefect of the Grand Clerks, Court Astronomer, Director of Astronomy
|-
| 太守 || (Grand) Administrator, Governor, Grand Protector
|-
| 太學 || Academy, Imperial University, Grand College, National University
|-
| 太醫令 || Prefect (of the) Grand Physicians, Court Physician, Imperial Physician, Director of the Physicians-in-Chief
|-
| 太中大夫 || Grand Palace Grandee, Palace Counsellor, Superior Grand Master of the Palace, Grand Counsellor of the Palace
|-
| 太子少傅 || Junior Tutor of the Heir Apparent, Lesser Tutor of the Heir Apparent, Junior Mentor of the Heir Apparent
|-
| 太子太傅 || Grand Tutor of the Heir-apparent, Grand Mentor of the Heir Apparent, Senior Tutor to the Heir Apparent
|-
| 五官中郎將 || General of the Gentlemen-of-the-Household for All Purposes, General of the Palace Gentlemen of the Five Offices, General of the Household for All Purposes, Leader of the Court Gentlemen for Miscellaneous Uses, Leader of the Gentlemen of the Palace, all purposes
|-
| 縣令 || Prefect, District Magistrate, County Magistrate
|-
| 縣長 || Chief, County Magistrate, District Magistrate
|-
| 相國 || Chancellor of State, Counselor-in-Chief
|-
| 議郎 || (Gentleman) Consultant, Court Gentleman for Consultation
|-
| 尹 || Governor, Intendant
|-
| 右中郎將 || General of the Gentlemen-of-the-Household of the Right, General of the Palace Gentlemen of the Right, General of the Household of the Right, Leader of Court Gentlemen of the Right, Leader of the Gentlemen of the Palace of the Right
|-
| 羽林 || Feathered Forest imperial guard(s), The Forest of Feathers guards, Palace Guard, Elite Yulin Corps
|-
| 御史大夫 || Grandee Secretary, Imperial Counsellor, Censor-in-Chief
|-
| 長史 || Chief Clerk, Aide
|-
| 正 || Director, Supervisor, Head
|-
| 執金吾 || Bearer of the (Gilded) Mace, Chief of Police, Chamberlain for the Imperial Insignia, Superintendent of the Capital
|-
| 中郎將 || General of the (Gentlemen-of-the-)Household, General of the Palace Gentlemen, Leader of Court Gentlemen, Leader of the Gentlemen of the Palace
|-
| 中散大夫 || Palace Attendant Grandee, Palace Grandee Without Specified Appointment, Attendant Counsellor, Grand Master of Palace Leisure
|-
| 中書 || Palace Writer, Palace Secretary
|-
| 中書官 || Eunuch Palace Writer
|-
| 宗正 || Director of the Imperial Clan, Superintendent of the Imperial Clan, Minister of the Imperial Clan, Chamberlain for the Imperial Clan,
|-
| 左中郎將 || General of the Gentlemen-of-the-Household of the Left, General of the Palace Gentlemen of the Left, General of the Household of the Left, Leader of Court Gentlemen of the Left, Leader of the Gentlemen of the Palace of the Left,
|}

=== [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.282654 Progressive Exercises In The Chinese Written Language: Exercise 24 (Teil 2, Seite 98, traditionell) ] ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;4. 事雖議定,實屬難行.
&lt;br/&gt;5. 父母責之,則無怨恨.
&lt;br/&gt;6. 大夫樂善好施,百姓喜而不忘.
&lt;br/&gt;7. 不能害人,反害自己.
&lt;br/&gt;8. 七百口共食,凡屬一家一姓.
&lt;br/&gt;9. 我要知彼人何姓何名,若長若短若中,若黑若白.
&lt;br/&gt;10. 正己而後發,發而不中,不怨勝己者,反求諸己而已矣.
}} 
|| 
&lt;br/&gt;4. shi4 sui1 yi4 ding4 , shi2 shu3 nan2/nan4 hang2/xing2 .
&lt;br/&gt;5. fu4 mu3 ze2 zhi1 , ze2 wu2 yuan4 hen4 .
&lt;br/&gt;6. da4 fu2 le4/yue4 shan3/shan4 hao3 shi1 , bai3 xing4 xi3 er2 bu4 wang4 .
&lt;br/&gt;7. bu4 neng2 hai4 ren2 , fan3 hai4 zi4 ji3 .
&lt;br/&gt;8. qi1 bai3 kou3 gong4 shi2 , fan2 shu3 yi1 jia1 yi1 xing4 .
&lt;br/&gt;9. wo3 yao4 zhi1 bi3 ren2 he2 xing4 he2 ming2 , ruo4 chang2/zhang3 ruo4 duan3 ruo4 zhong1/zhong4 , ruo4 hei1 ruo4 bai2 .
&lt;br/&gt;10. zheng4 ji3 er2 hou4 fa1 , fa1 er2 bu4 zhong1/zhong4 , bu4 yuan4 sheng4 ji3 zhe3 , fan3 qiu2 zhu1 ji3 er2 yi3 yi3 .
||
&lt;br/&gt;4. Though the affair has been discussed and settled, it really is hard to carry out. 
&lt;br/&gt;5. When his father and mother blame him, he (a son) does not [feel] resentment or hatred. 
&lt;br/&gt;6. When the great officers delight in goodness and are fond of giving, the people rejoice and do not forget it. 
&lt;br/&gt;7. He could not hurt others, but hurt himself instead. 
&lt;br/&gt;8. Seven hundred persons took their meals together, all being of one family and one name. 
&lt;br/&gt;9. I want to know what is the surname and what the name of that man, whether he be tall or short or of medium height, whether he be black or white. 
&lt;br/&gt;10. [The archer] straightens himself and then shoots: if he shoots and does not hit, he is not angry with the man who surpasses him; but he turns round and seeks in himself [for what is wrong], and that is all.
|}

=== [https://ctext.org/yangzi-fayan/juan-si/ens Yangzi Fayan -&gt;  Asking About the Dao]===
{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
或问“新敝”。曰：“新则袭之，敝则益损之。”
}}

Englische Übersetzung siehe ctext.org

=== [https://ctext.org/yangzi-fayan/juan-wu/ens Yangzi Fayan -&gt;  Asking About Shen]===
{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
或曰：“经可损益与？”曰：“《易》始八卦，而文王六十四，其益可知也。《诗》、《书》、《礼》、《春秋》，或因或作而成于仲尼，其益可知也。故夫道非天然，应时而造者，损益可知也。”
}}

Englische Übersetzung siehe ctext.org

=== Haenisch: Lehrgang der klassischen chinesischen Schriftsprache === 

==== 第八十七課 ====

第八十七课

dì bā shí qī kè

Siebenundachtzigste Lektion
-----------------------------------
上海

上海

shàng hǎi

Shanghai
-----------------------------------
上海屬江_省

上海属江苏省

shàng hǎi shǔ jiāng sū shěng

Shanghai gehört zur Provinz Jiangsu.
-----------------------------------
在扬子江口之南. 

zài yáng zǐ jiāng kǒu zhī nán. 

Es liegt südlich der Mündung des Jangtsekiang.
-----------------------------------
乃吳淞江入海之口. 

乃吴淞江入海之口. 

nǎi wú sōng jiāng rù hǎi zhī kǒu. 

und zwar an der Mündung, in der der Wusong-Fluß ins Meer fließt.
-----------------------------------
汽船往來.

汽船往来.

qì chuán wǎng lái.

Dampfschiffe fahren dort hin und her.
-----------------------------------
交通便利. 

交通便利. 

jiāo tōng biàn lì. 

Die Verkehrsverbindungen sind sehr bequem
-----------------------------------
縣城之北為各國租界

县城之北为各国租界

xiàn chéng zhī běi wèi gè guó zū jiè

Im Norden der Kreisstadt liegen die Pachtgebiete von anderen Staaten. 
-----------------------------------
商貨咸集

商货咸集

shāng huò xián jí

Dort sammeln sich alle Handelswaren.
-----------------------------------
我國通商口岸之盛此為第一

我国通商口岸之盛此为第一

wǒ guó tōng shāng kǒu àn zhī shèng cǐ wéi dì yī

Von den blühenden Handelshäfen unseres Landes ist dies der erste.
-----------------------------------

== [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | Tao Te Ching]] Kapitel 42 第四十二章 ==

{{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
道生一，

一生二，

二生三，

三生万物。

万物负阴而抱阳，

冲气以为和。

人之所恶，

孤、寡、不榖，

而王公以为称。

故物，或损之而益，

或益之而损。

人之所教，我亦教之：

强梁者不得其死，

吾将以为教父。

}} 

=== Übersetzung Richard Wilhelm ===

Der SINN erzeugt die Eins.

Die Eins erzeugt die Zwei.

Die Zwei erzeugt die Drei.

Die Drei erzeugt alle Dinge.

Alle Dinge haben im Rücken das Dunkle

und streben nach dem Licht,

und die strömende Kraft gibt ihnen Harmonie.

Was die Menschen hassen,

ist Verlassenheit, Einsamkeit, Wenigkeit.

Und doch wählen Fürsten und Könige

sie zu ihrer Selbstbezeichnung.

Denn die Dinge werden

entweder durch Verringerung vermehrt

oder durch Vermehrung verringert.

Was andre lehren, lehre ich auch:

»Die Starken sterben nicht eines natürlichen Todes«.

Das will ich zum Ausgangspunkt meiner Lehre machen.

=== Übersetzung [[s:en:Translation:Tao_Te_Ching | wikisource]] ===

The Dao provisions unity,

Unity provisions duality,

Duality provisions trinity,

Trinity provisions the myriad things.

The myriad things bear shadows and embrace radiance,

Are infused with the breath of life

To achieve the harmonized trinity of darkness, light and soul.

People hate to be uninvolved, irrelevant and undeserving,

Yet true leaders associate themselves with these characters.

Therefore, things may be gained by losing,

May be lost by gaining.

What others profess, I will also proclaim:

“Forced principles will not be viable”,

Let this be the heart and soul of the message.

== Wiederholung Zeichen Tao Te Ching ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |负}}  || fu4 || übernehmen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |阴}}  || yin1 || Mond, Nordseite eines Berges, Gebiet südlich eines Flußes, Schatten, bewölkt, bedeckt, von Wolken überzogen, heimtückisch,  unehrlich, negativ(Adj, Phys), schattig, versteckt, geheim, hinter dem Rücken anderer, vertieft eingeschnitten, eingeritzt, weiblich, Yin
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |阳}}  || yang2 || Sonne; Bsp.: 陽光 阳光 -- Sonnenlicht; Sonnenstrahl, irdisch, von dieser Welt, positiv, Yang (das männliche oder positive Prinzip in der Natur nach der altchinesischen Philosophie, Medizin usw.)
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |称}}  || cheng1 || jmdn., etw. als jmdn., etw. bezeichnen, jmdn., etw. etw., jmdn. nennen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |损}}  || sun3 || beschädigen, schädigen, beschädigen, verletzen, schädigen, verlieren
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |益}}  || yi4 || Vorteil, Nutzen, Überlegenheit, nützlich, vorteilhaft, noch mehr, in zunehmendem Maße
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |教}}  || jiao1 || lehren, unterrichten, beibringen
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |梁}}  || liang2 || Balken, Träger [ auch 樑 ], Brücke, Einschraubbrücke  [ auch 樑 ], Dachbalken [ auch 樑 ], Liang-Dynastie [ 502-557 ], Liang
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |父}}  || fu4 || Vater
|}

&lt;noinclude&gt;
{{Navigation zurückhochvor|
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 zurücklink=Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen/ Lektion 552|
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  </page>
  <page>
    <title>Ing Mathematik: Numerische Mathematiksysteme am Beispiel von Octave</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-09-22T15:08:04Z</timestamp>
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        <id>1513</id>
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      <text bytes="89892" sha1="kacwdyra954ht06wyb44ndkkt9ie500" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
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zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
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vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 refresh();
 input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion).

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>kacwdyra954ht06wyb44ndkkt9ie500</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091326</id>
      <parentid>1091323</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T15:13:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Regelungstechnische Aufgabenstellungen */</comment>
      <origin>1091326</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="89902" sha1="q1mwzstpehohxyq1ncg1jfttr8u8wqw" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion).

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>q1mwzstpehohxyq1ncg1jfttr8u8wqw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091327</id>
      <parentid>1091326</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T15:55:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Regelungstechnische Aufgabenstellungen */</comment>
      <origin>1091327</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="90034" sha1="9bsmh5yppsmemhi5pmqwh1io8hoedcj" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>9bsmh5yppsmemhi5pmqwh1io8hoedcj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091340</id>
      <parentid>1091327</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T06:44:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Anonyme Funktionen */</comment>
      <origin>1091340</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="90095" sha1="ilo25j2xjhnky9c6torje0h2d6kmt5u" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>ilo25j2xjhnky9c6torje0h2d6kmt5u</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091356</id>
      <parentid>1091340</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:09:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Blockkommentare */</comment>
      <origin>1091356</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
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zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
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        <username>Intruder</username>
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zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
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vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
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 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Rechnen mit wirklich großen Zahlen =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen zu hantieren. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

Beispiel zu Ganzzahlen:
 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;100000000000000000000000000000000000000000000000000000000&quot;);
 res = x * 2

Ausgabe:
 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 res = (sym) 2.0000000000000000000000000000000000000000000000000e+56

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht für '''V'''ariable-'''P'''recision '''A'''rithmetic

Aber auch für Gleitpunktzahlen kann dieses Paket sinnvoll benutzt werden:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert.

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>tinvw3htz85lxvb22u27n9ww7v06dj8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091417</id>
      <parentid>1091416</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T10:00:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rechnen mit wirklich großen Zahlen */</comment>
      <origin>1091417</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92235" sha1="bpsqqh5asj1n1il6imkhymc0zpe5cdh" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Rechnen mit wirklich großen Zahlen =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen zu hantieren. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

Beispiel zu Ganzzahlen:
 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;100000000000000000000000000000000000000000000000000000000&quot;);
 res = x * 2

Ausgabe:
 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 res = (sym) 2.0000000000000000000000000000000000000000000000000e+56

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht für '''V'''ariable-'''P'''recision '''A'''rithmetic

Aber auch für Gleitpunktzahlen kann dieses Paket sinnvoll benutzt werden:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Um die Meldung &quot;Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0&quot; zu unterdrücken,  gibt es den Schalter/Befehl &lt;code&gt;sympref quiet on;&lt;/code&gt;.

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert.

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>bpsqqh5asj1n1il6imkhymc0zpe5cdh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091428</id>
      <parentid>1091417</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T10:55:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rechnen mit wirklich großen Zahlen */ gekürzt, ergänzt etc.</comment>
      <origin>1091428</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92064" sha1="bu8427dc3oenf9a4q80txrr0g3s0sim" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Rechnen mit wirklich großen Zahlen =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic.

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Um die Meldung &quot;Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0&quot; zu unterdrücken,  gibt es den Schalter/Befehl &lt;code&gt;sympref quiet on&lt;/code&gt;:

 pkg load symbolic;
 
 sympref quiet on;
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;, 50);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;, 50);
 x*y

Ausgabe:
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert.

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>bu8427dc3oenf9a4q80txrr0g3s0sim</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091437</id>
      <parentid>1091428</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T11:33:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rechnen mit wirklich großen Zahlen */ Aufgaben hinzu</comment>
      <origin>1091437</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92561" sha1="f9jhu300t86zfj60q1w3dc3e6n2hnnb" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Rechnen mit wirklich großen Zahlen =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic.

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Um die Meldung &quot;Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0&quot; zu unterdrücken,  gibt es den Schalter/Befehl &lt;code&gt;sympref quiet on&lt;/code&gt;:

 pkg load symbolic;
 
 sympref quiet on;
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;, 50);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;, 50);
 x*y

Ausgabe:
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt.

&lt;u&gt;Aufgaben&lt;/u&gt;: 
* Recherchieren Sie im Internet zur diff()-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch:
** &lt;math&gt;f(x) = \sin(x)\cdot x&lt;/math&gt; (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht)
** &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt; (die 2. Ableitung ist gesucht)
* Recherchieren Sie im Internet zur int()-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch:
** &lt;math&gt;\int{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>f9jhu300t86zfj60q1w3dc3e6n2hnnb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091439</id>
      <parentid>1091437</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T11:39:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rechnen mit wirklich großen Zahlen */ etwas umorganisiert</comment>
      <origin>1091439</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92585" sha1="700y6ck0dxcxsi9soz24hbszl3u1kz0" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Das symbolic-Paket =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

== Rechnen mit wirklich großen Zahlen ==
Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. 

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic.

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Um die Meldung &quot;Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0&quot; zu unterdrücken,  gibt es den Schalter/Befehl &lt;code&gt;sympref quiet on&lt;/code&gt;:

 pkg load symbolic;
 
 sympref quiet on;
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;, 50);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;, 50);
 x*y

Ausgabe:
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt.

== Aufgaben ==
* Recherchieren Sie im Internet zur diff()-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch:
** &lt;math&gt;f(x) = \sin(x)\cdot x&lt;/math&gt; (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht)
** &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt; (die 2. Ableitung ist gesucht)
* Recherchieren Sie im Internet zur int()-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch:
** &lt;math&gt;\int{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
      <sha1>700y6ck0dxcxsi9soz24hbszl3u1kz0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091441</id>
      <parentid>1091439</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T11:56:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Intruder</username>
        <id>1513</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Aufgaben */</comment>
      <origin>1091441</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92585" sha1="sd27nuc0z47yw9p5g6n7zk95i0okdl3" xml:space="preserve">{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}

= Hallo Welt und allgemeine Hinweise =
== Was ist Octave ==
* Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme.
* Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz).
* Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS).
* Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}.
* Octave ist ein Interpreter.
* Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen.

{{Wikipedia | GNU Octave}}

== Octave installieren ==
=== MS Windows ===
Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen.

=== Linux ===
Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. &lt;code&gt;zypper ... &lt;/code&gt; für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}).

== Octave starten ==
=== MS Windows ===
Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm.

[[Datei:octavestart1.jpg]]

=== Linux ===
In einer Linux-Konsole den Befehl &quot;octave&quot; eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet:

 GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0
 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers.
 License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later &lt;https://gnu.org/licenses/gpl.html&gt;
 
 This is free software; see the source code for copying conditions.
 There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law.  For details, type 'warranty'.
 
 Home page:            &lt;https://octave.org&gt;
 Support resources:    &lt;https://octave.org/support&gt;
 Improve Octave:       &lt;https://octave.org/get-involved&gt;
 
 For changes from previous versions, type 'news'.
 
 octave:1&gt;

Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl &lt;code&gt;octave --force-gui&lt;/code&gt; verwendet werden:

[[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]]

Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -&gt; GNU Octave'' gestartet werden.

== Ein paar Worte zur Erklärung ==
Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. 

Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen.

Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt).

== Ein erstes Programm ==
Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein

 octave-3.0.3.exe:1&gt; % Das ist ein Kommentar
 octave-3.0.3.exe:2&gt; # und das auch
 octave-3.0.3.exe:3&gt; disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Als Ergebnis erhalten Sie

 Hallo Welt!

Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1&gt;) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert.

Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (&quot;) gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt.

= Octave als Taschenrechner =
== Allgemeines ==
Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel  

 octave-3.0.3.exe:1&gt; 3 * 5

ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis

 ans =  15

Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck &lt;math&gt;\sin\sqrt{15}&lt;/math&gt; berechnen :

 octave-3.0.3.exe:2&gt; sin(sqrt(15))
 ans = -0.6679

Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.:

Zeilenweise Eingabe:
 % Die Kreiszahl PI
 pi
 % Die Eulersche Zahl
 e
 % Zur Maschinengenauigkeit
 eps

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  2.7183
 ans = 2.2204e-016

&quot;ans&quot; steht übrigens für den Begriff &quot;answer&quot; (auf Deutsch &quot;Antwort&quot;). Mit &quot;ans&quot; kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.:

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  10
 ans =  62.832

Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das &quot;Echo&quot;) kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius.

Eingabe:
 % Der Kreisradius sei 10
 10;
 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes
 2 * pi * ans 

Ausgabe:
 ans =  62.832

Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so:

Eingabe:
 format short
 pi 
 
 format long
 pi
 
 format longe
 pi
 
 % usw.

Ausgabe:
 ans =  3.1416
 ans =  3.14159265358979
 ans = 3.14159265358979e+00

Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken).

== Die Hilfefunktion von Octave ==
Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion.

Eingabe:
 help sin

Ausgabe:
 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc
 
  -- Y = sin (X)
      Compute the sine for each element of X in radians.
 
      See also: asin, sind, sinh.
 
 Additional help for built-in functions and operators is
 available in the online version of the manual.  Use the command
 'doc &lt;topic&gt;' to search the manual index.
 
 Help and information about Octave is also available on the WWW
 at https://www.octave.org and via the help@octave.org
 mailing list.

Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.:

Eingabe:
 doc

Ausgabe:

[[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]]

== Sonstige einfache Berechnungen ==
In octave gibt es eine &quot;umgekehrte&quot; Division:

 11 / 2   % normale Division (Rechtsdivision)
 11 \ 2   % umgekehrte Division (Linksdivision)

Ausgabe:

 ans = 5.5000
 ans = 0.1818

Potenzieren kann man so:

 12^5

Ausgabe:

 ans = 248832

Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen

 y = mod(20, 3)

Ausgabe:

 y = 2

Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so:

 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 y = int32(15) / int32(4)

Ausgabe:

 x = 3
 y = 4

Siehe dazu aber auch die Funktionen &lt;code&gt;floor&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;ceil&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;idivide&lt;/code&gt;.

Mittels &lt;code&gt;int32()&lt;/code&gt; werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich &lt;code&gt;double&lt;/code&gt;. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. 

Beispiel:

 clear();
 
 a = int32(10);
 b = int32(3);
 x = a / b
 
 c = 10;
 d = 3;
 y = c / d 
 
 whos()

Ausgabe:

 x = 3
 y = 3.3333
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope 
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  ===== 
          a           1x1                          4  int32
          b           1x1                          4  int32
          c           1x1                          8  double
          d           1x1                          8  double
          x           1x1                          4  int32
          y           1x1                          8  double
 
 Total is 6 elements using 36 bytes

Ist der Wertebereich von &lt;code&gt;int32&lt;/code&gt; zu klein (4 Bytes, &lt;math&gt;-2^{31}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{31} - 1&lt;/math&gt;), so gibt es auch &lt;code&gt;int64&lt;/code&gt; (8 Bytes, &lt;math&gt;-2^{63}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;2^{63} - 1&lt;/math&gt;).

&lt;code&gt;clear&lt;/code&gt; löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. &lt;code&gt;whos()&lt;/code&gt; liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck &lt;math&gt;2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)&lt;/math&gt;. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für &quot;degree&quot;), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß.
* Erkunden Sie die Fehlerfunktion &quot;erf&quot; mittels Octave-Hilfe.
* Welche Zahl ergibt sich durch &lt;code&gt;3 / 4 \ 2&lt;/code&gt;?
* Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben?
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;fix&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;round&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;floor&quot;)
 idivide(int32(10), int32(3), &quot;ceil&quot;)
 floor(10.3)
 ceil(10.3)

= Octave als Scriptsprache =
Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m

 % Das ist ein Kommentar
 # und das auch
 disp &quot;Hallo Welt!&quot;

Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels

 octave-3.0.3.exe:1&gt; addpath(&quot;c:/tmp&quot;)

hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels &lt;code&gt;cd c:/tmp&lt;/code&gt; direkt ins Verzeichnis &lt;code&gt;c:/tmp&lt;/code&gt;.

Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung

 octave-3.0.3.exe:2&gt; test1

Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm

 Hallo Welt!

Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (&lt;code&gt;#!&lt;/code&gt;) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script

 #!/usr/bin/octave
 disp(&quot;Hallo Welt!&quot;);

Gepeichert sei es ebenfalls als &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt;. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie 

 ./test1.m 

ein, so erhalten Sie wieder

 Hallo Welt!

als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels &lt;code&gt;chmod&lt;/code&gt; richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei &lt;code&gt;test1.m&lt;/code&gt; aus:

 octave test1.m

Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel.

== Blockkommentare ==
In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert.

 %{
   Das ist ein 
   Blockkommentar
 %}
 
 #{
   und das auch
 #}

Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler.

 #{ Das ist kein 
    Blockkommentar
 #} 

Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar.

== Variablen ==
Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen.

Gültige Variablenbezeichner wären also:
 xyz
 x1
 _wert
 name_anzahl

Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen:
 xyz
 XYZ
 xYz

Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert.

 x = 5
 y = 10
 z = x*y

Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe

 x =  5
 y =  10
 z =  50

Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren.

 x = 5;
 y = 10;
 z = x*y

Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch

 z = 50

Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben.

 x = 5; y = 10; z = x*y

Ausgabe:
 z =  50

Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B.
 x = 5;
 % inkrementiere x
 ++x
 % x = x - 2
 x -= 2

Bildschirmausgabe:

 ans =  6
 x =  4

Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist.

Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt.

 x = 5;
 y = 1000 * x + ...
     sin(x/2)

Ausgabe:

 y = 5000.6

Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (&quot;) eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit &quot;deprecated&quot; und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\):

 txt = &quot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\
 yyyyyyyyyyyyyyyyy&quot;

Ausgabe:

 txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy

Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich:

 wert = 10
 wert = 35.5
 wert = &quot;Hallo&quot;
 wert = pi

Ausgabe:

 wert =  10
 wert =  35.500
 wert = Hallo
 wert =  3.1416

Der Befehl &lt;code&gt;who&lt;/code&gt;, bzw. &lt;code&gt;whos&lt;/code&gt; listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.:

 clear; 
 
 a = 10.5;
 v = [1 2 3 4 5 12 13];
 m = [&quot;s1&quot;, &quot;s2&quot;; &quot;s3&quot;, &quot;s4&quot;];
 
 disp &quot;***** Der Befehl who *****&quot;
 who
 
 disp &quot;***** Der Befehl whos *****&quot;
 whos

Ausgabe:
 ***** Der Befehl who *****
 Variables visible from the current scope:
 
 a  m  v
 
 ***** Der Befehl whos *****
 Variables visible from the current scope:
 
 variables in scope: top scope
 
   Attr   Name        Size                     Bytes  Class
   ====   ====        ====                     =====  =====
          a           1x1                          8  double
          m           2x4                          8  char
          v           1x7                         56  double
 
 Total is 16 elements using 72 bytes

==Hexadezimale und binäre Zahlen==
 % Hexadezimale Zahl
 disp( 0xABC )
 
 % Binäre Zahl
 disp( 0b1000011 )

Ausgabe (als Dezimalzahlen):
 2748
 67

Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln:
  dec2bin( 214 )

Ausgabe:
 ans = 11010110

Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen:
 bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec

== Zahlenkolonnen ==
Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden:
 
 % a ... Startwert
 % b ... Schrittweite
 % c ... Endwert
 a = 0;
 b = 10;
 c = 100;
 
 x = a : b : c;
 disp(x); 

Ausgabe:

 0   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100

Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.:
 % a ... Startwert
 % b ... Endwert
 % c ... Anzahl der Werte
 a = 0;
 b = 100;
 c = 11;
 v = linspace(a, b, c)

Ausgabe:
 v =
 
      0    10    20    30    40    50    60    70    80    90   100

== Verzweigungen ==
=== Die IF-Verzweigung ===
Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen:
 WENN bedingung TRUE
   führe block1 aus
 SONST
   führe block2 aus
 ENDE 

Die test1.m-Datei laute also wie folgt:

 x = 5;
 
 if x &lt; 4
   disp &quot;x ist kleiner als 4&quot;;
 else
   disp &quot;Der else-Zweig wird ausgefuehrt&quot;;
   disp &quot;x ist groesser oder gleich 4&quot;;  
 end

Ausgabe:

 Der else-Zweig wird ausgefuehrt
 x ist groesser oder gleich 4

Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren:
* &lt;, &lt;= ... kleiner (gleich)
* &gt;, &gt;= ... größer (gleich)
* == ... gleich
* ~=, != ... ungleich
* &amp;, &amp;&amp; ... AND
* |, || ... OR
* ~, ! ... NOT 

Beispielsweise:
 a = 5;
 b = 9;
 
 if a&lt;=10 &amp; b!=7
   disp(&quot;OK&quot;);
 else
   disp(&quot;Nicht OK&quot;);
 end

Ausgabe:
 OK

=== Die SWITCH-Verzweigung ===
In Pseudocode:
 WECHSLE ZU var
   FALLS wert1 == var
     führe block1 aus
   FALLS wert2 == var
     führe block2 aus
   ...
   SONST
     führe blockn aus
 ENDE

Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen:
 x = &quot;g&quot;;
 
 switch(x)
   case &quot;k&quot;
     disp(&quot;klein&quot;);
   case &quot;g&quot;
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end 

Ausgabe:
 gross

Anmerkungen für C-Programmierer: 
* in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen).
* ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen &quot;Durchfall&quot; und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''.

Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden:

 x = &quot;K&quot;;
 
 switch(x)
   case {&quot;k&quot; &quot;K&quot;}
     disp(&quot;klein&quot;);
   case {&quot;g&quot; &quot;G&quot;}
     disp(&quot;gross&quot;);
   otherwise
     disp(&quot;sonstiges&quot;)
 end

Ausgabe:
 klein

== Schleifen ==
=== Die WHILE-Schleife ===
Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. 

In Pseudocode:
 SOLANGE bedingung TRUE
   führe block aus
 ENDE

In Octave:
 x = 0;
 
 while x &lt;= 10
   disp(x);
   x++;
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10

=== Die DO-UNTIL-Schleife ===
Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet &quot;TUE SOLANGE&quot;, DO-UNTIL bedeutet &quot;TUE BIS&quot;. Sie wird mindestens einmal ausgeführt.

Pseudocode:
  TUE
    führe block aus
  BIS bedingung TRUE

Mittels Octave:
 x = 0;
 
 do
   disp(x);
   x++;
 until(x &gt;= 5)

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4

=== Die FOR-Schleife ===
 for x = 0 : 2 : 10
   disp(x);
 end

Ausgabe:
 0
 2
 4
 6
 8
 10

Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut:
 for variable = startwert : schrittweite : endwert

Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 &quot;Vectorization and Faster Code Execution&quot;]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab.

Eingabe: 
 n = m = 500;
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 for i = 1:n
   for j = 1:m
     c(i,j) = a(i,j) + b(i,j);
   endfor
 endfor
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 3.7566

Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu

Eingabe:
 a = b = eye(500);
 
 t1 = time();
 
 c = a + b;
 
 t2 = time();
 
 t_diff = t2-t1

Ausgabe:
 t_diff = 1.5974e-05

ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert.

Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung.

=== Schleifen abbrechen ===
Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl &quot;break&quot;.

 for var = 0 : 1 : 100
   disp (var);
   if var == 5
     break;
   end
 end

Ausgabe:
 0
 1
 2
 3
 4
 5

&quot;continue&quot; setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B.

 for var = 0 : 1 : 10
    if var == 5
      continue;
    end
    disp (var);
  end

Ausgabe:
 0
 1
 2 
 3
 4
 6
 7
 8
 9
 10

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend)
** in Form einer WHILE-Schleife
** in Form einer DO-UNTIL-Schleife
** in Form einer FOR-Schleife
** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion).
** mittels gaußscher Summenformel (&lt;math&gt;\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n =  n(n+1) / 2&lt;/math&gt;)
* Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert?

= Grafiken zeichnen =
== 2D ==
=== Graph einer Funktion ===
Es soll die cosh-Funktion im Intervall &lt;math&gt;x\in[-3,3]&lt;/math&gt; gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form:

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh.jpg]]

Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. &quot;plot&quot; ist der Zeichenbefehl. &quot;grid on&quot; schaltet ein Zeichengitter ein.

Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen.  

Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen.

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;

Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der &lt;code&gt;input&lt;/code&gt;-Befehl schaffen:

 #!/usr/bin/octave
 
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x);
 plot(x,y);
 grid on;
 refresh();
 
 input(&quot;Zum Beenden RETURN-Taste drücken&quot;);

Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. &lt;code&gt;refresh()&lt;/code&gt; dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die &lt;code&gt;octave test1.m&lt;/code&gt;-Variante.

Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes

 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 plot(x,y);
 grid on;

Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser):

 error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar.  Use .^ for elementwise power.
 error: called from
     test1 at line 2 column 3

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh2.jpg]]

Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden:
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 fill (x, y, &quot;b&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]]

=== Graphen mehrerer Funktionen und weiteres ===
Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen:
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, x,y2);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]]

Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1,&quot;*r&quot;, x,y2,&quot;ob&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_cosh4.jpg]]

Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht

 * für Sternchenlinie
 o für Kreise in der Linie
 r für rot
 b für blau

Ein ähnliches Resultat liefert der Code:

 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;*&quot;, x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;o&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die &quot;hold on&quot;-Anweisung die Lösung des Problems sein:

 %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle
 clear;
 %Schließe alle Fenster
 close all;
 %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück
 clc;
 
 x = -3 : .1: 3;
 y1 = cosh(x) + 2.^x;
 y2 = sin(x) .* cos(x);
 plot(x,y1, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;);
 hold on;
 plot(x,y2, &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;);
 title(&quot;Funktionsgraphen&quot;);
 legend(&quot;cosh ...&quot;, &quot;sin ...&quot;);
 xlabel(&quot;x&quot;);
 ylabel(&quot;y&quot;);
 grid on;

[[Datei:octave_coshsin1.jpg]]

Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein &quot;hold off&quot; würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten.

=== Funktion in Parameterdarstellung ===
Es soll die archimedische Spirale &lt;math&gt;x = t \cos(t), y = t  \sin(t)&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;[0, 6\pi]&lt;/math&gt; gezeichnet werden.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;

[[Datei:octave_spirale1.jpg]]

Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen).

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y);
 grid on;
 axis equal;

[[Datei:octave_spirale222.jpg]]

=== Strichstärke ===
Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter &quot;LineWidth&quot; der plot-Funktion geschehen.

 t = 0 : .1: 6*pi;
 x = t .* cos(t);
 y = t .* sin(t);
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;
 axis equal;

Ausgabe:

[[Datei:octave_spirale3.jpg]]

=== Beliebigen Text ausgeben ===
 x = -10:0.1:10;
 plot (x, sin (x), &quot;LineWidth&quot;, 2);
 text (2.7, 0.8, &quot;Das ist die sin-Funktion&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_text1.jpg]]

=== Logarithmische Achseneinteilung ===
 x = -3 : .1: 3;
 y = cosh(x) + 2.^x;
 % Halblogarithmische Darstellung
 semilogy(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_semilog1.jpg]]

Auch die x-Achse kann mit &quot;semilogx&quot; logarithmisch skaliert werden. Mit &quot;loglog&quot; werden beide Achsen logarithmisch skaliert.

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die Strophoide &lt;math&gt;x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_strophoide.jpg]]

* Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide &lt;math&gt;x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik:

[[Datei:octave_hypozykloide.jpg]]

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl).

* Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R.

* Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl.

== 3D ==
=== Räumliche Kurven ===
Mittels &quot;plot3&quot; lassen sich Raumkurven zeichnen.

 t = 0 : .1 : 9*pi;
 x = cos(t);
 y = sin(t);
 z = 1.3 .^ t;
 plot3(x,y,z);
 grid on;

[[Datei:octave_raumkurve1.jpg]]

=== Flächen ===
==== ezsurf ====
Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll.

 clear; close all; clc; clf;
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]]

Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe):

 clear; close all; clc; clf;
 
 colormap(hot);
 
 f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y);
 ezsurf (f, [0, 10]);

[[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]]

==== surf und mesh ====
Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);

[[Datei:octave_flaeche1.jpg]]

Auch ein Farbstreifen kann via &quot;colorbar&quot; zur Grafik hinzugefügt werden.

 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 surf(x_grid, y_grid, z);
 colorbar(&quot;East&quot;);

[[Datei:octave_flaeche2.jpg]]

Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren:

 x = 0 : .2 : 10;
 y = 0 : .2 : 10;
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid);
 mesh(x_grid, y_grid, z);

Ausgabe:

[[Datei:octave_mesh1.jpg]]

==== Ellipsoide und Kegel ====
Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den &quot;sphere&quot;-Befehl bzw. den &quot;ellipsoid&quot;-Befehl zur Verfügung.

 clear; close all; clc;
 
 % Ellipsoiden zeichnen
 [x, y, z] = sphere(30);
 surf(5*x, 4*y, 3*z); 
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); 
 surf(x, y, z);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]]

Für Zylinder und Kegel ist der &quot;cylinder&quot;-Befehl zuständig.

 clear; close all; clc;
 
 % Kegel und Zylinder zeichnen
 [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); 
 surf(x, y, z*3);
 
 hold on;
 
 [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); 
 surf(x+3, y, z*2);
 
 axis equal;

[[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie die räumliche Kurve &lt;math&gt;x = 2 \cdot \cosh(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y = 5 \cdot \sin(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z = t^{2} - t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;0 \leq t \leq 3\pi&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_kurve10.jpg]]

* Zeichnen Sie die Fläche &lt;math&gt;z = \log(x) + \cos(y)&lt;/math&gt;. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen:

[[Datei:octave_flaeche10.jpg]]

== Weiteres ==

=== subplot === 
Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet.

Eingabe: 
 t = 0 : .5 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t);
 
 subplot(311);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) );
 
 subplot(312);
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) );
 
 subplot(313);
   surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) );

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot2.jpg]]

Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes:
* Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl
* Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und
* Die dritte Ziffer ist der Index.

Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 
 subplot(321);
   plot(x, sin(x));
   text(2, -0.5, &quot;Index 1&quot;);
 
 subplot(322);
   plot(x, tan(x));
   text(2, 2, &quot;Index 2&quot;);
 
 subplot(323); 
   plot(x, cosh(x) );
   text(2, 3000, &quot;Index 3&quot;);
  
 subplot(324); 
   plot(x, gamma(x) )
   text(2, 100000, &quot;Index 4&quot;);
 
 subplot(325); 
   plot(x, log(x) );  
   text(2, 0, &quot;Index 5&quot;);
 
 subplot(326); 
   plot(x, exp(x) );
   text(2, 10000, &quot;Index 6&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_subplot3.jpg]]

Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft.

=== figure ===
Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B.
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : .1 : 10;
 y = 0 : .1 : 10;
 
 [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y);
 
 figure(1)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid));
 
 figure(2)
   surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid));

Ausgabe:

[[Datei:octave_figure111.jpg|700px]]

=== Linien zeichnen ===
Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]:

 clear;
 close all;
 clc; 
 
 x = line([-15 15], [0, 5], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_linie1.jpg]]

Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2].

Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet.

 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_viereck2.jpg]]

Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen:

 clear; close all; clc;
 line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], &quot;LineWidth&quot;, 2);

[[Datei:octave_dreidim2.jpg]]

=== Aufgaben ===
* Zeichnen Sie mittels &quot;subplot&quot; die Funktionsgrafen &lt;math&gt;y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)&lt;/math&gt; in folgender Form in ein Fenster:
** in 2x2-Darstellung
** in 1x4-Darstellung.
* Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels &quot;figure&quot; jeweils in ein eigenes Fenster.

= Vektoren und Matrizen =
== Vektoren ==
Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein.
 
=== Zeilen- und Spaltenvektoren ===
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1, 2, 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6; 7; 8]

Ausgabe:
 v1 =
 
    1   2   3
 
 v2 =
 
    6
    7
    8

Alternative Schreibweisen:
 % Ein Zeilenvektor
 v1 = [1 2 3]
 
 % Ein Spaltenvektor
 v2 = [6
       7
       8]

Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung.

=== Zugriff auf Vektorelemente ===
Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert.

Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3)

Ausgabe:
 v2 =  4

Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: 
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:4)

Ausgabe:
 v2 =
 
   4   8

Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element:
 v1 = [1 2 4 8 16];
 v2 = v1(3:end)

Ausgabe:
 v2 =
 
    4    8   16

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 7, 9];
 
 res = v1 + v2
 res = v1 - v2

Ausgabe:
 res =
 
     6    9   12
 
 res = 
 
   -4  -5  -6

=== Multiplikation mit Skalaren ===
 faktor = 3;
 v = [1, 2, 3];
 res = faktor * v

Ausgabe:
 res =
 
    3   6   9

=== Skalarprodukt ===
Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als &lt;math&gt;v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))&lt;/math&gt; definiert. In Octave sieht das so aus:
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = dot(v1, v2)

Ausgabe:
 res =  38

=== Vektorprodukt ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5, 6, 7];
 res = cross(v1, v2)

Ausgabe:
 res =
 
   -4   8  -4

Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben.

Mathematisch:
&lt;math&gt;a\ast b=\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)
&lt;/math&gt;

Octave-Code: 
 a  = [1
       2
       3];
  
 b  = [5
       6
       7];
 
 res = cross(a, b)

Ausgabe:
 res =
 
   -4
    8
   -4

=== Transponierter Vektor ===
 v1 = [1, 2, 3];
 v2 = [5; 6; 7];
 res1 = v1'
 res2 = v2'

Ausgabe:
 res1 =
 
    1
    2
    3
 
 res2 = 
 
    5   6   7

=== Einige weitere Vektorfunktionen ===
Beispiel:
 % 1 + 2 + 3
 v = [1 2 3];
 sum(v)

Ausgabe:
 ans = 6

Beispiel:
 % 1 * 2  * 3 * 4
 v = [1 2 3 4];
 prod(v)

Ausgabe:
 ans = 24

Beispiel:
 % 1^2 + 2^2 + 3^2
 v = [1 2 3];
 sumsq (v)

Ausgabe:
 ans = 14

== Matrizen ==
Gegeben sei folgende 2x3-Matrix &lt;math&gt;m=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 2 &amp; 3\\
4 &amp; 5 &amp; 6
\end{array}\right)&lt;/math&gt;.

Eingabe:
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

Ausgabe:
 m =
 
    1   2   3
    4   5   6

Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6]

Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise.

=== Zugriff auf Matrizenelemente ===
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Element aus Zeile 2 und Spalte 3
 m(2,3)

Ausgabe:
 ans =  6

Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese:
 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden
 m(5)

Ausgabe:
 ans =  3

Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt.

Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden:

 m = [1 2 3
      4 5 6];
 
 m(2:end, 2:end)

Ausgabe:
 ans =
 
    5   6

Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt &quot;Teilmatrizen&quot;.

=== Addition und Subtraktion von Matrizen ===
 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6];
 m1 + m2
 m1 - m2

Ausgabe:
 ans =
 
    -3    0    3
     6    9   12
 
 ans =
 
    5   4   3
    2   1   0

=== Transponierte Matrix ===
 m = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m'

Ausgabe:
 ans =
 
   1   4
   2   5
   3   6

=== Rang einer Matrix ===
Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren).

 m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 rank(m1)
 rank(m2)

Ausgabe:
 ans =  2
 ans =  1

Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär.

=== Inverse Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 inv(m1)
 inv(m2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1.00000   0.60000
    0.00000  -0.20000
 
 warning: matrix singular to machine precision
 warning: called from
     test1 at line 4 column 1
 
 ans =
 
    Inf   Inf
    Inf   Inf

Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich).

=== Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) ===
 m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1];
 m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2];
 m1 * m2

Ausgabe:
 ans =
 
     7   19
   -10  -13

Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B.

 m1 = [1, 3; 0, -5];
 m2 = [1, 2; 4, 2];
 
 % falksches Schema
 m1 * m2
 
 % elementweise Multiplikation
 m1 .* m2

Ausgabe:
 ans =
 
    13    8
   -20  -10
 
 ans =
 
     1    6
     0  -10

Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1+3*4  1*2+3*2 ]   [  13   8 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5  0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ]

Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente):
 [ 1   3 ] [ 1 2 ]   [ 1*1   3*2 ]   [ 1    6 ]
 [ 0  -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4  -5*2 ] = [ 0  -10 ]

=== Determinante einer Matrix ===
 m1 = [1, 3; 0, -5 ];
 m2 = [1, 2; 2, 4];
 det(m1)
 det(m2)

Ausgabe:
 ans = -5
 ans = 0

m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden.

=== Teilmatrizen ===
 m = [1, 2, 3; 0, 5, 1];
 
 % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln
 m1 = m(:)
 
 % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren
 m2 = m(1,2)
 
 % Erste Zeile extrahieren
 m3 = m(1, 1:3)
 m4 = m(1, :)
 
 % Zweite Spalte extrahieren
 m5 = m(1:2, 2)
 m6 = m(:, 2)

Ausgabe:
 m1 = 
 
    1
    0
    2
    5
    3
    1 
 
 m2 =  2
 m3 =
 
    1   2   3
 
 m4 =
 
    1   2   3
 
 m5 =
 
    2
    5
 
 m6 =
 
    2
    5

=== Einheitsmatrizen ===
 eye(3,2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0
    0   1
    0   0

=== Nullmatrizen ===
 zeros(2,3)

Ausgabe:
 ans =
 
    0   0   0
    0   0   0

=== Diagonalmatrizen ===
 diag([1, 2, 3])

Ausgabe:
 ans =
 
    1   0   0
    0   2   0
    0   0   3

=== Spur einer Matrix ===
 trace([1,2,3; 6,9, 0])

Ausgabe:
 ans =  10

=== LR-Zerlegung einer Matrix ===
Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix

 m = [1  0  5
      -1 1  -2
      0  0  3];
     
 [l, r, p] = lu(m)

Ausgabe:
 l =
 
    1   0   0
   -1   1   0
    0   0   1
 
 r =
  
    1   0   5
    0   1   3
    0   0   3
 
 p = 
 
    1   0   0
    0   1   0
    0   0   1

=== Eigenwerte ===
 a = [5 8
      1 3];
 
 % Eigenvektoren und Eigenwerte 
 [ev, ew] = eig(a)

Ausgabe:
 ev =
 
    0.9701  -0.8944
    0.2425   0.4472
 
 ew =
 
 Diagonal Matrix
 
    7   0
    0   1

Die Eigenwerte sind hier &lt;math&gt;\lambda_1 = 7&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_2 = 1&lt;/math&gt;. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem &lt;math&gt;(A - \lambda_i E) x_i = 0&lt;/math&gt; singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren.

=== Schwach besetzte Matrizen ===
{{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}}

Gegeben sei die schwach besetzte Matrix

 m = [0  1  0  0  0
      0  0  0  3  0
      4  0  0  2  0
      0  0  1  0  0
      0  0  0  1  7]

Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. 

 sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte])

also in unserem Fall:

 ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7])

Ausgabe:
 ms =
 
 Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7)
 
   (3, 1) -&gt;  4
   (1, 2) -&gt;  1
   (4, 3) -&gt;  1
   (2, 4) -&gt;  3
   (3, 4) -&gt;  2
   (5, 4) -&gt;  1
   (5, 5) -&gt;  7

Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full:

 m = full(ms)

Ausgabe:
 m =
 
    0   1   0   0   0
    0   0   0   3   0
    4   0   0   2   0
    0   0   1   0   0
    0   0   0   1   7

Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen  mit dem spy-Befehl:

 spy(ms);

oder (für allgemeine Matrizen auch mittels)
 spy(m);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse1.jpg]]

Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren.

 e = eye(200);
 es = sparse(e);
 
 % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen
 es(100, 15) = 100;
 
 spy(es);

Ausgabe:

[[Datei:octave_sparse2.jpg]]

=== Matrizen mit Zufallswerten ===
Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung.

 m = rand(5, 6)

Ausgabe:
  m =
 
    0.86605   0.61108   0.71347   0.97119   0.52428   0.21993
    0.74059   0.49062   0.56073   0.68592   0.74737   0.62680
    0.20790   0.84874   0.36834   0.31102   0.25813   0.28933
    0.84732   0.98777   0.91512   0.42240   0.87891   0.63757
    0.76823   0.80367   0.24639   0.78208   0.77170   0.95281

Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von &lt;math&gt;2^{19937}-1&lt;/math&gt; gebildet.

Andere Verfahren sind:
* randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1
* rande: Exponentialverteilte Zufallselemente
* randg: Gammaverteilte Zufallselemente
* randp: Poissonverteilte Zufallselemente

Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion.

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl &quot;norm&quot;.
* Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. 
* Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch)
 A = [0 0 1
      1 2 1]
 B = [1 1
      1 2
      0 4]
* Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 C = [-1 0 0 -4
       2 0 1  5
       7 6 2  0
       3 0 2  6]
* Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix.
 D = [2 1 0 0
      0 0 2 1
      0 0 0 2
      1 1 0 0]
* Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond
 [3  4 -5
  6  0  3
  1  1  2]
* Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix 
 [6 -3   4  0
  0  7  -1  1
  0  10 -3 -2
  0  1  -2  1]

= Komplexe Zahlen =
Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen:
* Kartesische Darstellung &lt;math&gt;z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;
* Polardarstellungen &lt;math&gt;z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}&lt;/math&gt;

Die konjugiert komplexe Zahl ist &lt;math&gt;z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)&lt;/math&gt;

== Mit komplexen Zahlen rechnen ==
 z1 = 2 + 5i;        % kartesische Darstellung
 z2 = 3 * exp(3j);   % Polardarstellung
 
 % Addition
 res = z1 + z2;
 disp(&quot;z1 + z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Multiplikation
 res = z1 * z2;
 disp(&quot;z1 * z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Realteil
 res = real(z2);
 disp(&quot;Realteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Imaginärteil
 res = imag(z2);
 disp(&quot;Imaginaerteil von z2 = &quot;); disp(res);
 
 % Betrag
 res = abs(z1);
 disp(&quot;Betrag von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Argument
 res = angle(z1);
 disp(&quot;Argument von z1 = &quot;); disp(res);
 
 % Konjugiert komplexe Zahl
 res = conj(z1);
 disp(&quot;Konjugiert komplexe Zahl von z1 = &quot;); disp(res);

Ausgabe:

 z1 + z2 =
 -0.96998 + 5.42336i
 z1 * z2 =
  -8.0568 - 14.0032i
 Realteil von z2 =
 -2.9700
 Imaginaerteil von z2 =
  0.42336
 Betrag von z1 =
  5.3852
 Argument von z1 =
  1.1903
 Konjugiert komplexe Zahl von z1 =
  2 - 5i

== Die gaußsche Zahlenebene ==
 clear; close all; clc;
 
 z1 = 3 + 5i;
 z2 = 5 * exp(0.5i);
 hold on;
 plot(z1, &quot;*&quot;);
 compass(z1);
 plot(z2, &quot;o&quot;);
 compass(z2);
 grid on;

[[Datei:octave_komplex1.jpg]]

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl &lt;math&gt;z = 3 + 2i&lt;/math&gt;.
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: &lt;math&gt;-11 - 3i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1+i)^{10}&lt;/math&gt;
* Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: &lt;math&gt;12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))&lt;/math&gt;
* Zeichnen Sie die Zahl &lt;math&gt;3 + 5i&lt;/math&gt; in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger.

= Funktionen =
Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann.

== Eine einfache Funktion schreiben ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere(a, b)
   % Addiere zwei Zahlen a + b
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 addiere(10, 15)

Ausgabe:
 ans =  25

* Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen.
* Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen.
* Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier &quot;help addiere&quot;) aufgerufen wird.

== Inline-Funktionen ==
Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden.

 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 x = 5;
 y = 10;
 z = addiere(x, y)

Oder in diesem Fall noch kürzer
 addiere = inline(&quot;a + b&quot;);
 z = addiere(5, 10)

Ausgabe:
 z =  15

Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung 
 warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead
erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion 
 help inline 
zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden.

== Funktionsstring ==
 addiere = &quot;a + b&quot;;
 a = 5;
 b = 10;
 z = eval(addiere)

Ausgabe:
 z =  15

== Anonyme Funktionen ==
{{Wikipedia | Anonyme Funktion}}

 addiere = @(a, b) a + b;
 x = 10;
 y = 20;
 z = addiere(x, y)

oder kürzer
 addiere = @(a, b) a + b;
 z = addiere(10, 20)

Ausgabe:
 z =  30

oder noch kürzer
 (@(a,b) a+b)(10, 20)

Ausgabe:
 ans = 30

== Nullstellen von Funktionen bestimmen ==
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 z = fzero(sinh2, 1)

Ausgabe:
 z = -1.4436

Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden
 clear;
 close all;
 clc;
 
 sinh2 = @(x) sinh(x) + 2;
 
 x = -2 : 0.1 : 0;
 y = sinh2(x);
 z = fzero(sinh2, 1)
 
 plot(x, y);
 hold on;
 plot(z, 0, &quot;o&quot;, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 text (-1.8, 0.8, &quot;Nullstelle&quot;);
 line([z -1.7], [0, .7], &quot;Color&quot;, &quot;black&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_funktion5.jpg]]

Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion &quot;fsolve&quot; beschrieben. &quot;fzero&quot; benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch &quot;fsolve&quot;.

Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion &quot;roots&quot;. Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel.

== Globale Variablen ==
Datei addiere.m:
 function res = addiere()
   global a b;  
   res = a + b;
 end

Datei test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 global a b;
 
 a = 5; 
 b = 3;
  
 addiere() 

Ausgabe:
 ans =  8

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie eine Funktion &quot;ellipse&quot;, welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet &lt;math&gt;x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi&lt;/math&gt;, Funktionsargumente seien a und b.
* Schreiben Sie &lt;math&gt;y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)&lt;/math&gt;
** als normale Funktion
** als Funktionsstring
** als Inlinefunktion
** als anonyme Funktion
** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar.

= Polynome =
== Einzelne Polynomwerte berechnen ==
 % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen
 p = [2, 5, 0, 4];
 polyval(p, 2)

Ausgabe:
 ans =  40

== Polynome zeichnen ==
 % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 &lt;= x &lt;= 5 grafisch darstellen
 x = -5 : .1 : 5;
 p = [2, 5, 0, 4];
 y = polyval(p, x);
 plot(x,y);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_polynom1.jpg]]

== Nullstellen bestimmen ==
Für Polynome existiert die Funktion &quot;roots&quot; zur Nullstellenbestimmung.

 % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen
 p = [2, 5, 0, 4];
 r = roots(p)

Ausgabe:
 r =
 
   -2.76214 + 0.00000i
    0.13107 + 0.84077i
    0.13107 - 0.84077i

Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte).

== Aufgaben ==
* Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms &lt;math&gt;y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7&lt;/math&gt;.
* Berechnen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;y = 7x^5 - 3x^2 + 12&lt;/math&gt;.
* Zeichnen Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 12x^4 - 70x&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;-5 \leq x \leq 5&lt;/math&gt;.

= Lineare Gleichungssysteme =
Sei &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; ein lineares Gleichungssystem. &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; sei die Koeffizientenmatrix, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; der Lösungsvektor und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ein bekannter Vektor.

== Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren ==
{{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}}

Beispiel:
 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = A \ b

Ausgabe:
 x =
 
    0
    1

== Das gmres-Verfahren ==
gmres steht für Generalized Minimal Residual.

{{Wikipedia | GMRES-Verfahren}}

 A = [5 1
      0 2];
 b = [1
      2];   
 x = gmres(A, b)

Ausgabe:
 gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16
 x =
 
   -1.6653e-16
    1.0000e+00

Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt.

Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011)

{{Wikipedia | CGS-Verfahren}}

== Aufgabe ==
* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 
 5x + 6y - 2z = 12
 3x - y  - 3z = 6
 2x + 2y + 4z = 5

= Nichtlineare Gleichungssysteme =
== fsolve und fzero ==
Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. &lt;math&gt; f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 &lt;/math&gt;:

 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 xstart = 1;
 [x, fval, info] = fsolve(f, xstart)

Ausgabe:
 x =  2.4681
 fval = -1.7764e-015
 info =  1

* x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart.
* fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist.
* info ist ein &quot;Fehlercode&quot;: 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert).

Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen:

 x = - 1 : .1 : 3;
 y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10;
 plot(x,y, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_nichtlin1.jpg]]

Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion &lt;math&gt;x^2 - 5\cos(x) - 10&lt;/math&gt; hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist.

[[Datei:octave_nichtlin2.jpg]]

Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern.

Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen:

Eingabe:
 f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10;
 [x0, y0] = fzero (f, [0, 3])

Ausgabe:
 x0 = 2.4681
 y0 = -1.2434e-14

== Gleichungssysteme ==
Folgende Aufgabe ist dem Buch &quot;Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72&quot; entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem

&lt;math&gt;f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0&lt;/math&gt;

Lösung:

f.m:
 function y = f(x)
   y(1) = 2*x(1) + 4*x(2);
   y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3;
 end

test1.m:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1])
 [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0])

Ausgabe:
 x =
 
   -2   1
 
 fval =
 
             0   7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    2  -1
 
 fval =
 
             0  -7.4930e-09
 
 info = 1
 x =
 
    0   0
 
 fval =
 
    0   0
 
 info = 1

== Aufgaben ==
* Bestimmen Sie die Nullstellen von &lt;math&gt;f(x) = x^2 - 3&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Bestimmen Sie die Nullstelle von &lt;math&gt;f(x) = sin(x) - x - 1&lt;/math&gt;. Plotten Sie den Grafen.
* Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): &lt;math&gt; f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0&lt;/math&gt;

= Interpolation =
== Eindimensionale Interpolation ==
{{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}}

Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl &quot; interp1&quot;] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient:

[[Datei:octave_interpol1.jpg]]

== Mehrdimensionale Interpolation ==
Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu &quot;interp2&quot;, &quot;interp3&quot; und &quot;interpn&quot;].

== Aufgabe ==
* Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit:
 xp = [1 2 3 4 5]; 
 yp = [0, -5, 2, 7, 6];
 xf = 1 : .1 : 5; 
 
 spl = interp1(xp, yp, xf, &quot;spline&quot;);
 pch = interp1(xp, yp, xf, &quot;pchip&quot;);
 
 plot(xp, yp, &quot;or&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2, xf, spl, &quot;LineWidth&quot;, 2, ...
      xf, pch, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 legend(&quot;stuetzpunkte&quot;, &quot;spline&quot;, &quot;pchip&quot;, &quot;location&quot;, &quot;southeast&quot;);

[[Datei:octave_interpol3.jpg]]

= Differenzialrechnung =
== Polynome differenzieren ==
Es soll das Polynom &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; differenziert werden.

 % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7
 p = [2, -5, 0, 7];
 polyder(p)

Ausgabe:
 ans =
 
     6  -10    0

D.h. also, die Ableitung von  &lt;math&gt;y = 2x^3 - 5x^2 + 7&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;y' = 6x^2 - 10x&lt;/math&gt;.

== Sonstige Funktionen differenzieren ==
Als Beispiel differenzieren wir &lt;math&gt;y = 5x\sin{x}&lt;/math&gt; und stellen das Ganze grafisch dar.

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 0.01 : 10; 
 
 y = 5 .* x .* sin(x);
 y_strich = diff(y) / 0.01;
 
 plot(x, y, &quot;Color&quot;, &quot;red&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 hold on;
 
 plot(x(1:length(x)-1), y_strich,  &quot;Color&quot;, &quot;blue&quot;, &quot;LineWidth&quot;, 2);
 
 legend(&quot;y&quot;, &quot;y'&quot;);
 
 grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_diff1.jpg]]

diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe &quot;help diff&quot;.

== Aufgaben ==
* Differenzieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.
* Differenzieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}&lt;/math&gt; und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar.

= Integralrechnung =
== Polynome integrieren ==
Berechnen Sie das unbestimmte Integral von &lt;math&gt;y = 2x^3 - 7x^2 + 7&lt;/math&gt;
 p = [2, -7, 0, 7];
 p_int = polyint(p)

Ausgabe:
 p_int =
 
    0.50000  -2.33333   0.00000   7.00000   0.00000

Das Ergebnis lautet also &lt;math&gt;\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C&lt;/math&gt; (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!).

== Gauß-Quadratur ==
{{Wikipedia | Gauß-Quadratur}}

Berechnen Sie das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Gauß-Quadratur.

Datei f.m:
 function y = f(x)
   y = x^2;
 end


Datei test1.m:
 [v, ier, nfun, err] = quad (&quot;f&quot;, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9.0000
 ier = 0
 nfun =  21
 err = 9.9920e-014

Erläuterung zur Ausgabe:
* v ... Resultat der Integration
* ier ... integer error code
* nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe
* err ... Fehler in der Lösung

== Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel ==
Berechnen Sie diesmal das Integral &lt;math&gt;\int_{0}^{3}x^2 dx&lt;/math&gt; mittels Lobatto-Quadratur.

 f = inline(&quot;x.^2&quot;);
 v = quadl (f, 0, 3)

Ausgabe:
 v =  9

Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden.

Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet.
 v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3)

== Aufgaben ==
* Integrieren Sie das Polynom &lt;math&gt;y = 5y^5 - y4 + 6y - 4&lt;/math&gt;.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = \log(x) + 10x&lt;/math&gt; von -5 bis 5.
* Integrieren Sie die Funktion &lt;math&gt;y = x^3&lt;/math&gt; von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl &quot;quadv&quot;).

= Gewöhnliche Differenzialgleichungen =
== ode23, ode45 und lsode ==
Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen 
* ode23 
bzw. 
* ode45 
zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. &quot;ode&quot; steht für &quot;Ordinary Differential Equation&quot; (also auf Deutsch für &quot;Gewöhnliche Differentialgleichung&quot;). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung.

{{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}}

Beispiel &lt;math&gt;y' = x^2 + y^3&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0);
 plot(x, y, &quot;LineWidth&quot;, 2);

Ausgabe:

[[Datei:octave_ode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;ode45&quot; (oder &quot;ode23&quot;) siehe die Octave-Hilfe.

Auch die Funktion &quot;lsode&quot; steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung.

Beispiel &lt;math&gt;y' = x + y&lt;/math&gt;:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 t = 0 : .1 : 5;
 
 [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t);
 istate
 msg
 plot(t, y2);

Ausgabe:
 istate =  2
 msg = successful exit

[[Datei:octave_lsode1.jpg]]

Bezüglich der genauen Funktionsweise von &quot;lsode&quot; siehe die Octave-Hilfe.

== Aufgaben ==
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \frac{1}{x\cdot y}&lt;/math&gt; mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;m' = -k\cdot m&lt;/math&gt;. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen.
* Lösen Sie die Differenzialgleichung &lt;math&gt;y' = \sqrt{|y|}&lt;/math&gt;.

= Die Fast-Fourier-Transformation =
{{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}}

Für die Funktion &quot;fft&quot; siehe das Octave-Hilfesystem.

= Mengenrechnung =
== Vereinigungsmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 union(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    1   2   3   4   6

== Schnittmenge ==
 v1 = [1 2 3 4];
 v2 = [2 4 6];
 intersect(v1, v2)

Ausgabe:
 ans =
 
    2   4

= Logik =
Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen.
Octave kennt die logischen Operatoren &lt;code&gt;or, and, not&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt;. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; dargestellt.
 A      B      A or B
 --------------------
 true   true   true
 true   false  true
 false  true   true
 false  false  false

In Octave kann das so ausgedrückt werden:
 or( true, true )
 or( true, false )
 or( false, true )
 or( false, false )

Ausgabe:
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 1
 ans = 0

Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.:
 or( 22, 0)

Ausgabe: 
  ans = 1

Äquivalent zu &lt;code&gt;or&lt;/code&gt; ist der Operator &lt;code&gt;|&lt;/code&gt;:
 22 | 0

Ausgabe:
  ans = 1

Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren &lt;code&gt;and (&amp;, &amp;&amp;), not (~, !)&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;xor&lt;/code&gt; bemühe man Octaves Help-Funktion.


Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 
 0b1100101
 0b0110001
 ---------
 0b1110101

Oder in Dezimalzahlen:
 101
  49
 ---
 117
  
In Octave:
 bitor( 0b1100101, 0b0110001 )
 dec2bin( ans )

Ausgabe:
 ans = 117
 ans = 1110101

Zu &lt;code&gt;bitand, bitxor&lt;/code&gt; usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion.

= Stochastik =
==Deskriptive Statistik ==
=== Lageparameter ===
Arithmetischer Mittelwert: 
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 mw = mean(vec)

Ausgabe:
 mw =  5.7143

Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen:
 vec = [1 2 3 4 5 12 13];
 median(vec)

Ausgabe:
 ans = 4

Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels &quot;mode&quot;-Funktion eruieren:

 vec = [1 2 1 3 5 1 2 7];
 [m, f, c] = mode (vec);
 disp(m);
 disp(f);
 disp(c);

Ausgabe:
  1
  3
 {
   [1,1] =  1
 }

m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem.

=== Streuungsparameter ===
Varianz:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 v = var(vec)

Ausgabe:
 v =  6.3333
 
Standardabweichung:
 vec = [1 2 3 1 1 6 7];
 s = std(vec)

Ausgabe:
 s =  2.5166

=== Grafiken erzeugen ===
Histogramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2];
 hist(v, max(v));

Ausgabe:

[[Datei:octave_histo2.jpg]]

Balkendiagramme:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 bar(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bar111.jpg]]

Treppendiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stairs(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stairs1.jpg]]

Stabdiagramm:
 v = [1 1 2 3 1 6 7 6];
 stem(v);

Ausgabe:

[[Datei:octave_stem1.jpg]]

=== Aufgaben ===
Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten:
 v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8]
 v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0]
* Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1.  
* Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2.
* Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1.

== Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
=== Kombinatorik ===
Der Binomialkoeffizient:
  
&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}&lt;/math&gt; 
  
In Octave z.B.:
 n = 30;
 k = 4;
 n_ueber_k = nchoosek (n, k)

Ausgabe:

 n_ueber_k =  27405

Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.

Beispiel:

 v = [1, 2, 3];
 p = perms(v)

Ausgabe:

 p =
 
   1   2   3
   2   1   3
   1   3   2
   2   3   1
   3   1   2
   3   2   1

n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden:

 % 10!
 n = 10;
 factorial (n)

Ausgabe:

 ans =  3628800

=== Verteilungen ===
Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar
* Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen)
* Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen)

Z.B.:
* Binomialverteilung:
** binopdf
** binocdf
* Hypergeometrische Verteilung:
** hygepdf
** hygecdf
* Normalverteilung:
** normpdf
** normcdf
* Studentverteilung:
** tpdf
** tcdf
* Weibullverteilung:
** wblpdf
** wblcdf

Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = 0 : 1 : 10;
 n = 10;
 p = 0.1;
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(221);
   bar(x, b1);
   title(&quot;binopdf&quot;);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 subplot(222);
   bar(x, b2);
   title(&quot;binocdf&quot;);
   text(1, 0.5, &quot;n=10; p=0.1&quot;);
 
  n = 10;
  p = 0.5;
 
 b1 = binopdf (x, n, p);
 b2 = binocdf (x, n, p);
 
 subplot(223);
   bar(x, b1);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);
 subplot(224);
   bar(x, b2);
   text(1, 0.1, &quot;n=10; p=0.5&quot;);

Ausgabe:

[[Datei:octave_bino3.jpg]]

Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form

 error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6
 
 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave
 Forge which you have installed but not loaded.  To load the package, run
 'pkg load statistics' from the Octave prompt.
 
Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben.

Ein Codebeispiel zur Normalverteilung:

 clear;
 close all;
 clc;
 
 x = -4 : .1 : 4;
 b1 = normpdf(x);
 b2 = normcdf(x);
 
 subplot(121);
   plot(x, b1);
   title(&quot;normpdf&quot;);
   grid on;
 subplot(122);
   plot(x, b2);
   title(&quot;normcdf&quot;);  
   grid on;

Ausgabe:

[[Datei:octave_norm111.jpg]]

== Zufallszahlengeneratoren ==
Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B.

* Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd
* Log-Normal-Verteilung: lognrnd
* Normalverteilung: normrnd

Codebeispiel:
 mean = 0;
 standardabweichung = 1;
 zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung)
 
Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B.
 zufallszahl =  1.0451

Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden:
 mean = [0 0 0 0 0];
 standardabweichung = 1;
 zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung)

Ausgabe, z.B.:
 zufallsvektor =
 
    1.47108  -0.51280   0.52726   0.31730  -1.04422

= Das symbolic-Paket =
Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic).

== Rechnen mit wirklich großen Zahlen ==
Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. 

&lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic.

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 vpa(0.1)
 vpa(&quot;0.1&quot;)
  
Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000

Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an &lt;code&gt;vpa&lt;/code&gt; zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein.

Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen:

 pkg load symbolic;
 
 digits(50);
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;);
 x*y

Ausgabe:

 Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0.
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Um die Meldung &quot;Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0&quot; zu unterdrücken,  gibt es den Schalter/Befehl &lt;code&gt;sympref quiet on&lt;/code&gt;:

 pkg load symbolic;
 
 sympref quiet on;
 x = vpa(&quot;1.12345e500&quot;, 50);
 y = vpa(&quot;20000.0&quot;, 50);
 x*y

Ausgabe:
 ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504

Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt.

== Aufgaben ==
* Recherchieren Sie im Internet zur diff()-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch:
** &lt;math&gt;f(x) = \sin(x)\cdot x&lt;/math&gt; (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht)
** &lt;math&gt;g(x) = x^3&lt;/math&gt; (die 2. Ableitung ist gesucht)
* Recherchieren Sie im Internet zur int()-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch:
** &lt;math&gt;\int{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}&lt;/math&gt;

= Regelungstechnische Aufgabenstellungen =
Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei &lt;math&gt;G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}&lt;/math&gt;. 

Octave-Code:

 pkg load control;
 
 zaehler = [1];
 nenner = [30., 20., 10., 1.5];
 G = tf(zaehler, nenner);
 
 bode(G);
 grid on;
 % refresh();
 % input(&quot;&quot;);

Ausgabe:

[[Bild:octave_rt1.jpg|400px]]

&lt;code&gt;tf()&lt;/code&gt; steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das &lt;code&gt;control&lt;/code&gt;-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier].

= Einfache Benutzeroberflächen erstellen=
== Input ==
 fflush (stdout);
 x = input(&quot;Gib eine Zahl ein: &quot;);
 disp(2 * x);

Ein-/Ausgabe:
 Gib eine Zahl ein: 12
  24

Der &quot;fflush&quot;-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu &quot;fflush&quot; siehe im Octave-Hilfesystem.

== Diverse einfache vorgefertigte Dialoge ==
Fehlermeldung:
 errordlg(&quot;Fehlermeldung&quot;);

[[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]]

Warnung:
 warndlg(&quot;Warnung&quot;);

[[Bild:octave_warnung1.jpg]]

Hilfedialog:
 helpdlg

[[Bild:octave_hilfe1.jpg]]

Abfragedialog:
 button = questdlg (&quot;Frage&quot;)

[[Bild:octave_abfrage1.jpg]]

Eingabedialog:
 in = inputdlg(&quot;Eingabe&quot;)

[[Bild:octave_eingabe1.jpg]]

Messagebox:
 h = msgbox (&quot;Eine Mitteilung!&quot;);

[[Bild:octave_messagebox1.jpg]]

== Komplexere vorgefertigte Dialogboxen ==
=== Menübox ===
 auswahl = menu(&quot;Auswahl&quot;, &quot;Affe&quot;, &quot;Elefant&quot;, &quot;Loewe&quot;, &quot;Sonstiges&quot;);
 
 switch(auswahl)
   case 1
     disp &quot;Affe quietscht&quot;
   case 2
     disp &quot;Elefant trompetet&quot;
   case 3
     disp &quot;Loewe bruellt&quot;
   otherwise
     disp &quot;Sonstiges&quot;
 end

Ausgabe:

[[Bild:octave_menu1.jpg]]
 
Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt.

Ausgabe:
 Elefant trompetet

=== Dialogliste ===
 clear;
 close all;
 clc;
 
 opt = {&quot;Eins&quot;, &quot;Zwei&quot;, &quot;Drei&quot;}; 
 
 [sel, ok] = listdlg (&quot;ListString&quot;, opt, &quot;SelectionMode&quot;, &quot;Multiple&quot;);
           
 if (ok == 1)
   for i = 1 : numel(sel)
     disp(opt{sel(i)});
   end
 else
   disp(&quot;Cancel&quot;);
 end

[[Bild:octave_dialog1.jpg]]

Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt.

Ausgabe:
 Eins
 Zwei
 Drei

=== Fortschrittsbalken ===
 h = waitbar ([0.5])

[[Bild:octave_fortschritt1.jpg]]

=== Datei- und Verzeichnisdialoge ===
Dateidialog:

 [fname, fpath, fltidx] = uigetfile ()

[[Bild:octave_dateidialog2.jpg]]

Ähnlich sind die Befehle &quot;uiputfile&quot; und &quot;uigetdir&quot;. Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen.

== Eigene Dialoge kreieren ==
Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen.

Programmcode:

 d = dialog(&quot;Position&quot;, [300, 300, 250, 150], &quot;Name&quot;, &quot;Dialog&quot;);
 
 txt = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 &quot;Style&quot;, &quot;text&quot;, ...
                 &quot;Position&quot;, [20, 80, 210, 40], ...
                 &quot;String&quot;, &quot;Hallo Welt&quot;);
 
 btn_servus = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                        &quot;Position&quot;, [30, 20, 80, 30], ...
                        &quot;String&quot;, &quot;Servus&quot;, ...
                        &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Servus angeklickt!');&quot;);
 
 btn_hallo = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                       &quot;Position&quot;, [140, 20, 80, 30], ...
                       &quot;String&quot;, &quot;Hallo&quot;, ...
                       &quot;Callback&quot;, &quot;disp('Hallo angeklickt!');&quot;);
 
 uiwait(d);

Ausgegebenes Dialogfenster:

[[Bild:octave_dialog100.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.:

 Servus angeklickt!

Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen.

[[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]]

Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe
* dialog
* uicontrol
* uipanel
* uibuttongroup
* uitable
* uimenu
* uitoolbar

== Aufgaben ==
=== Aufgabe 1 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen:

[[Bild:octave_dialog105.jpg]]

Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben:

Datei button_callback.m:
 function button_callback(editHandle)
     eingegText = get(editHandle, &quot;String&quot;);
     disp(eingegText);
 end

Codefragement in test1.m:
 % ...
 edit = uicontrol(% ...
                    &quot;Style&quot;, &quot;edit&quot;, ...
                    %, ...
                    &quot;HorizontalAlignment&quot;, &quot;left&quot;);
 
 btn = uicontrol(% ...
                 &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit));
 % ...

Aufruf mit:
 octave test1.m

Eingabe von z.B. &quot;Hallo Welt!&quot;:

[[Bild:octave_dialog106.jpg]]

Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons:
 Hallo Welt!

=== Aufgabe 2 ===
Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. 

Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben.

Datei button_callback.m:

 function button_callback(edit1, edit2)
     zahl1 = str2double(get(edit1, 'String'));
     zahl2 = str2double(get(edit2, 'String'));
     disp(zahl1 * zahl2);    
 end

Codefragment Datei test1.m:

 % ...
 btn = uicontrol(&quot;Parent&quot;, d, ...
                 % ...
                &quot;Callback&quot;, @(src, event) button_callback(edit1, edit2));
 % ...

Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt?

= Fehlerhandling mit try/catch =
Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so:
 try
   BODY
 catch
   CLEANUP
 end

Beispiel:
 clear;
 close all;
 clc; 
 
 try
   a = 10 / &quot;zahl&quot;;
   disp(a);
   disp(&quot;Weiter im try-Block&quot;);
 catch
   disp(&quot;Catch: Kann nicht durch einen String dividieren&quot;);
 end

Ausgabe:
 Catch: Kann nicht durch einen String dividieren

Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen.

= Ein- und Ausgabe =
== Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur ==
Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen:
 pct = 37;
 filename = &quot;foo.txt&quot;;
 printf (&quot;Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n&quot;, pct, filename);
 
Ausgabe:
 Processed 37% of `foo.txt'.
 Please be patient.

&quot;printf&quot; gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C.

Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant &quot;scanf&quot; bereit.

== Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben ==
Bezüglich der Funktionen
* sprintf
und
* sscanf
sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen.

== Lesen und Schreiben von einer Datei ==
=== Datei schreiben ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;w&quot;);
 
 % Etwas in die Datei schreiben
 fprintf(datei, &quot;Hallo, Welt!&quot;);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

=== Datei lesen ===
 % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/datei.test&quot;, &quot;r&quot;);
 
 % Etwas aus der Datei lesen
 [string] = fscanf(datei, &quot;%s&quot;);
 disp(string);
 
 % Datei schließen
 fclose(datei);

Ausgabe: 
 Hallo,Welt!

=== Dateiende prüfen ===
Mittels des Befehls
 feof(FID);
kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe.

=== warning und error ===
Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt.

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   warning(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 warning: Matrix ist singulaer
 warning: called from
     test1 at line 5 column 3
 
 Weiter geht's

Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet.  

 m = [1  2
      3  6]; 
 
 if(det(m) == 0)
   error(&quot;Matrix ist singulaer&quot;);
 end
 
 disp(&quot;Weiter geht's&quot;);

Ausgabe:
 error: Matrix ist singulaer
 error: called from
     test1 at line 5 column 3

== Aufgaben ==
* Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt.
* Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus.
* Gegeben sei eine Datei.  Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt:
 Nr. Name       Einzelpreis      Stueck
 1   Affe       15000.50         2
 2   Loewe      11000.90         1
 3   Nashorn    45000.10         1
 4   Elefant    51245.90         3
 5   Tiger       9000.70         2
 6   Maus          34.90         12

Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen:
 clear;
 close all;
 clc;
 
 datei = fopen (&quot;c:/tmp/daten1.txt&quot;, &quot;r&quot;);
 
 gesamtpreis = 0;
 
 % Kopfzeile einlesen  
 [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%s %s %s %s&quot;, &quot;C&quot;);
 
 while(feof(datei) == 0)
   % Datensätze einlesen
   [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, &quot;%d %s %f %d&quot;, &quot;C&quot;);
   gesamtpreis += preis*stk;
 end
 
 fclose(datei);
 
 disp(&quot;Gesamtpreis = &quot;);
 format long;
 disp(gesamtpreis);

Ausgabe:
 Gesamtpreis =
  258159.900000000

= Datencontainer =
== Datenstrukturen ==
Pseudocode:
 STRUKTUR s
   ZAHL a
   VEKTOR b
   STRING c
 END

Octave-Code:
 s.a = 45.9;
 s.b = [1 2 3 4 5];
 s.c = &quot;Hallo!&quot;;
 
 s

Ausgabe:
 s =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     a = 45.90000000000000
     b =
 
        1   2   3   4   5
 
     c = Hallo!

Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt.

Datei addsub.m
 function res = addsub(a, b)
   res.x = a + b;
   res.y = a - b;
 end

Datei test1.m
 clear;
 clc;
 
 addsub(10, 50)
 
 r = addsub(30, 70)
 r.x
 r.y
 
 ++r.x

Ausgabe:
 ans =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 60
     y = -40
 
 r =
 
   scalar structure containing the fields:
 
     x = 100
     y = -40
 
 ans = 100
 ans = -40
 ans = 101

Die Funktion &quot;addsub&quot; liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen.

== Cell Arrays ==
Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet.

Eingabe:
 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44} 
 c{1}
 c{1:2}

Ausgabe:
 
 c =
 {
   [1,1] = Hallo Welt!
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] = 44
 }
 
 ans = Hallo Welt!
 ans = Hallo Welt!
 ans =
 
    2   2

Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden.

 c = {&quot;Hallo Welt!&quot;, [2 2], 44};
 c{1} = 5;
 c

Ausgabe:
 c =
 
 {
   [1,1] =  5
   [1,2] =
 
      2   2
 
   [1,3] =  44
 }

= Objektorientierte Programmierung =
{{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}}

* {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute
* {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse)
* {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts
* {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann
* {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse &quot;erbt&quot; Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung.

== UML ==
* {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet.

[[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]]

* {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}:
** + ... public (öffentlich)
** - ... private (privat)
** # ... protected (geschützt)

* Vererbung:
&lt;gallery&gt;
InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung)
Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung)
&lt;/gallery&gt;

Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.:
* Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2
* Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0

== Klassen und Vererbung ==
Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort &lt;code&gt;classdef&lt;/code&gt; (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt.

[[Bild:octave_oop1.svg|200px]]

Datei Auto.m:
 classdef Auto
     properties
         marke1 = &quot;Beemweh&quot;
     endproperties
     
     methods     
         function zeige1(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke1]);
         endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei Cabrio.m:
 classdef Cabrio &lt; Auto
     properties
         marke2 = &quot;Cabrio&quot;
     endproperties
     
     methods  
        function zeige2(obj)
             disp([&quot;Marke: &quot;, obj.marke2]);
        endfunction
     endmethods
 endclassdef

Datei test1.m:
 obj = Cabrio();
 obj.zeige1();
 obj.zeige2();

Ausgabe (Aufruf mittels &quot;octave test1.m&quot;):
 Marke: Beemweh
 Marke: Cabrio

GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung:

[[Bild:octave_oop2.svg|200px]]

 classdef Unterklasse &lt; Oberklasse1 &amp; Oberklasse2

Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang.

Man kann mittels &lt;code&gt;private, protected, public&lt;/code&gt; Daten auch kapseln:

 properties(SetAccess = private, GetAccess = public)
 methods (Access = public)

Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute &lt;code&gt;public&lt;/code&gt;.

Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation].

= Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen =
Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen:

* GNU Octave -&gt; andere Programmiersprache
* andere Programmiersprache -&gt; GNU Octave

Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. 

== .oct-Dateien ==
Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code.

1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden)

 #include &lt;octave/oct.h&gt;
 
 DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;)
 {
     double x = args(0).double_value();
     double res = x*x;
     return octave_value(res);
 }

* &lt;code&gt;DEFUN_DLD&lt;/code&gt; ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution).
* Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier &lt;code&gt;quadrat&lt;/code&gt;.  
* &lt;code&gt;args&lt;/code&gt;: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden.
* &lt;code&gt;nargout&lt;/code&gt;: Anzahl der Rückgabewerte.
* &quot;Quadrat einer Zahl berechnen&quot;: Dokumentationsstring

2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren
# Terminal öffnen
# In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln
# Octave aufrufen
# cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: &lt;code&gt;mkoctfile quadrat.cc&lt;/code&gt;
# Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein.

3. Schritt: Funktion &lt;code&gt;quadrat()&lt;/code&gt; in Octave aufrufen, z.B.:

 y = quadrat(5)

Es ergibt sich folgende Ausgabe:

 y = 25

Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen.

Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html].

== Andere Möglichkeiten ==
* .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss
* Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien)

Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]).

= Octave und die Tabellenkalkulation = 
== Lesen ==
GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen.

Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods):

          Februar  März
 Freitag    23      26
 Samstag    17      41
 Sonntag    34      37

=== Direkt als ODS-Datei einlesen ===
Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen.

 pkg load io 
 
 [num, txt, raw] = odsread('test1.ods');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Ausgabe:

    23   26
    17   41
    34   37
 ------------
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 
   [3,2] = 
   [4,2] = 
   [1,3] = März
   [2,3] = 
   [3,3] = 
   [4,3] = 
 }
 ------------
 {
   [1,1] = [](0x0)
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }

=== Als CSV-Datei einlesen ===
Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!):

 ;Februar;März
 Freitag;23;26
 Samstag;17;41
 Sonntag;34;37

==== Mit csv2cell ====
Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert.

 pkg load io;
 data = csv2cell(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data{2, 2});
 
Ausgabe:
 {
   [1,1] = 
   [2,1] = Freitag
   [3,1] = Samstag
   [4,1] = Sonntag
   [1,2] = Februar
   [2,2] = 23
   [3,2] = 17
   [4,2] = 34
   [1,3] = März
   [2,3] = 26
   [3,3] = 41
   [4,3] = 37
 }
 ---------------
 23

==== Mit dlmread ====

 data = dlmread(&quot;test1.csv&quot;, &quot;;&quot;);
 disp(data);
 disp(&quot;---------------&quot;);
 disp(data(2, 2));

Ausgabe:

    0    0    0
    0   23   26
    0   17   41
    0   34   37
 ---------------
 23
 
==== Mit importdata ====

 data = importdata(&quot;test1.csv&quot;);
 disp(data)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(data.data(2,2));
 
Ausgabe:

    data =
 
       23   26
       17   41
       34   37
 
    textdata =
    {
      [1,1] = ;Februar;März
      [2,1] = Freitag
      [3,1] = Samstag
      [4,1] = Sonntag
    }
 
    rowheaders =
    {
      [1,1] = Freitag
      [2,1] = Samstag
      [3,1] = Sonntag
    }
 
 ------------
   23   26
   17   41
   34   37
 ------------
 41

Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu
diesem Zweck sind z.B.
* csvread
* textscan

=== Als XLSX-Datei einlesen ===
Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden.   

 pkg load io 
 [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx');
 
 disp(num)
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(txt);
 disp(&quot;------------&quot;)
 disp(raw);

Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion.

== Schreiben ==
=== Direkt als ODS-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 odswrite('test1.ods', data);

=== Als XLSX-Datei schreiben ===

 pkg load io 
 
 data = {
     &quot;&quot;, &quot;Februar&quot;, &quot;März&quot;;
     &quot;Freitag&quot;, 23, 26;
     &quot;Samstag&quot;, 17, 41;
     &quot;Sonntag&quot;, 34, 37
 };
 
 xlswrite('test1.xlsx', data);

=== Als CSV-Datei schreiben ===
* dlmwrite
* csvwrite
* fprintf

= Octave GUI =
Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt.

[[Bild:octave_gui2.jpg|600px]]

Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus.

= Komplexere Aufgaben =
* Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. 
* Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus.

= Ausblick =
Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen.

{{Navigation_zurückhochvor_buch|
zurücktext=Maxima|
zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima|
hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis|
hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure|
vortext=Julia für Ingenieure|
vorlink=Ing Mathematik: Julia}}</text>
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    <title>Mathematrix: AT PSA/ Probetest/ 01/ G1</title>
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        <username>Yomomo</username>
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      </contributor>
      <minor />
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{{:Mathematrix: Vorlage: Oben}}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;noprint&quot;&gt;&lt;div style=&quot;background:#666666;position:fixed;right:26px;bottom: 3px; display:block; height:33px;width:33px;&quot;&gt;[[File:Escape suspect.svg|frameless|upright=0.12|verweis=Mathematrix: AT PSA/ Stoffaufbau|Zur Hauptseite des Projektes]]&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;position:fixed;right:23px;bottom: 33px; display:block; height:39px;width:39px;background:#666666;font-size:90%;&quot;&gt;[[File:InicialF.svg{{!}}x38px{{!}}link=Mathematrix: MA TER/ Formelsammlung Geometrie{{!}}Formelsammlung]]&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;div  class=&quot;nomobile&quot;&gt;&lt;ol style=&quot;list-style-position:inside;margin-left:4px;&quot;&gt;
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{{Page-break}}
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{{klappbox|noprint=1|bg1={{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=bg4o}}width:69%;border:solid 2px;|bg2={{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=bg3o}};width:69%;border:solid 1px;|ta1=left|'''Antworten (klicken)'''|Inhalt=
&lt;ol&gt;
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|verborgen=1}}
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----&lt;br&gt;
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      <contributor>
        <username>Yomomo</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <origin>1091438</origin>
      <model>wikitext</model>
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{{:Mathematrix: Vorlage: Oben}}
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|}
{|
|style=&quot;vertical-align:top&quot;|&lt;li&gt;&lt;math&gt;\ &lt;/math&gt;&lt;/li&gt;
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|}
{|
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|&lt;ol type=&quot;a&quot; style=&quot;margin-left:4px&quot;&gt;{{#lst:Mathematrix: Aufgabensammlung/ Direkte Proportionalität|{{{Nummer|01}}}}}&lt;/ol&gt;
|}
&lt;li&gt;&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;{{#lst:Mathematrix: Aufgabensammlung/ Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer|{{{Nummer|01}}}}}&lt;/ol&gt;&lt;/li&gt;
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&lt;li&gt;&lt;ol type=&quot;a&quot;&gt;{{#lst:Mathematrix: Aufgabensammlung/ Einleitung Formeln|{{{Nummer|01}}}}}&lt;/ol&gt;&lt;/li&gt;
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&lt;ol&gt;
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&lt;!--!&lt;div class=&quot;noprint&quot;&gt;&lt;br&gt;
----&lt;br&gt;
{{:Mathematrix: Vorlage: Unten}}
&lt;/div&gt;--&gt;</text>
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    <title>Benutzer:Thirunavukkarasye-Raveendran/Häufige Wörter Ungarisch 7</title>
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      <contributor>
        <username>T25N</username>
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      </contributor>
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      <text bytes="1447" sha1="dc1qzh1tdja0x7wbaoc246jc1m1t14c" xml:space="preserve">
:Falsche Freunde - ist schon online in Wikibooks - Ungarisch

== Kurzwörter ==


:Kurzwörter

:biosz →  biológia - Biologie (Unterricht)
:cuki → cukrászda  (auch: cuki - goldig, süß, niedlich)
:csoki → csokoládé
:diri → direktor (= igazgató) - Direktor
:fagyi → fagylalt
:fanta → fantasztikus →  – toll, super
:kondi → konditerem) Fitnessstudio
:matek → matematika - Mathematik (Unterricht)
:mozi → mozgófénykép – Kino
:nyugalom → nyugi! - Ruhe! (Sei mal ruhig! Komm mal runter!)
:pelus → pelenka - Windel
:randi - Rendevous, Date
:reptér → repülőtér - Flugplatz; Flughafen  
:sali → saláta - Salat
:suli → iskola - die Schule
:süti →  sütemény - Kuchen, Gebäck
:szupi / szuper → szupermarket) – Supermarkt
:telózik → telefonál →  – telefonieren
:tesi → testnevelés - Sportunterricht, Körpererziehung
:töri →  tőrténelem - Geschichte (Unterricht)
:tz - témazáró (dolgozat) - Kontrollarbeit (zum Abschluss eines Themas in der Schule)
:ubi → uborka - Gurke
:vacsi → vacsora - Abendessen

== offiziell erlaubte Varianten in Schreibung und Aussprache ==

:hová = hova


:felmegy = fölmegy - hinaufgehen 
:feláll = főláll - aufstehen (aus dem Sitze - z.B. vom Tisch),steif werden
::(felkel - aufstehen aus dem Liegen; Sonne geht auf)
:feltesz = föltesz - hinaufstellen; hochladen
:seprű = söprű


:levő - lévő - seiend, existierend, vorhanden, bestehende</text>
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    <title>CPRT/d116</title>
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        <username>Pelikam</username>
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      <comment>Pelikam verschob die Seite [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]] nach [[CPRT/d116]]</comment>
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      <text bytes="36" sha1="rn9ro4zcvzu77xaw3a9gaby05bdf71g" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]</text>
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Funktionen des Zustands und deren Differentiale in verschiedenen Koordinatensystemen =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

*[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
*[[CPRT.I.7a82| - CPRT.I.7a82]]
*[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
*[[CPRT.I.67de| - CPRT.I.67de]]
*[[CPRT.I.D| - CPRT.I.D]]
*[[CPRT.I.5521| - CPRT.I.5521]]
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*[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Funktionen des Zustands und deren Differentiale in verschiedenen Koordinatensystemen =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.7a82| - CPRT.I.7a82]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
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*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Funktionen des Zustands und deren Differentiale =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energien E, F, G, H, L, K, J, I =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energien =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energien =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energien =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases in unterschiedlichen Koordinatensystemen =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
* [[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*[[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
*[[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
*[[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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*[[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
*[[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]]
*[[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
*[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.7a82| - CPRT.I.7a82]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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*{{Stage short|25%}}[[Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
Teil I ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Teil A richtet sich an Physiker:innen ist also Mathematik-belastet und erklärt die Reversible Thermodynamik. 
Teil I ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst Teil I erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (07-2026) in ca. 6 Monaten (12-2026) fertig, bzw. Teil I ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. Teil I beruht im wesentlichen auf Formeln, die erklärt werden und anhand im Teil I befindlichen Übungen mit am Ende von Teil I aufgeführten Lösungen. Da es sich bei der Zielgruppe um Physiker:innen handelt, ist Teil I mehr formelbehaftet als das ähnliche Buch Physikalische Chemie: Reversible Thermodynamik

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (Teil I sticht ca. Ende 2026 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von Teil I, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich bei Physiker:innen kein Problem sein.

Stand: 07-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.99| - CPRT.I.99]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. CPRT ist so gedacht, daß es jeder/jede verstehen kann. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

*[[CPRT/cf51|01 Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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      <text bytes="4358" sha1="fevfb3jfxaxowylygvi3pcys6urmzo8" xml:space="preserve">[[PCRT|&lt; Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]]

== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

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= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
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      <text bytes="4377" sha1="3015sfffb5b72urabtpgifu85v01rj7" xml:space="preserve">[[PCRT|&lt; Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]]

== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.B| - CPRT.I.B]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.06| Energie H (Bezugssystem) - CPRT.I.A.06]]

== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| - CPRT/acb1]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, S, V) ==
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== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, S, V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| - CPRT/acb1]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, S, V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| - CPRT/acb1]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.D| - CPRT.I.D]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.99| - CPRT.I.99]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
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      <text bytes="4551" sha1="1r6bs5ctuztccdvza6x5ck1231jlvhu" xml:space="preserve">[[PCRT|&lt; Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]]

== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, t, V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
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*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, t, V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.C| - CPRT.I.C]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

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*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, t, V) ==
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== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| - CPRT/185f]]
*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

== Energien im Koordinatensystem (N, t, V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]

== Energien im Koordinatensystem (N, t, p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (N, t, p) - CPRT/2be7]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.D| - CPRT.I.D]]

== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
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== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
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== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
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== Energien im Koordinatensystem (X, X, X) ==
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| - CPRT/185f]]
*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.06|06 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.07|07 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (N, t, p) - CPRT/2be7]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
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= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

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*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.06|06 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.07|07 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| - CPRT/185f]]
*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
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*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.02|02 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.03|03 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.04|04 Einmal linksherum im Kreis in einer (S,V;N=const)-Ebene]]
*[[CPRT.I.D.05|05 Einmal rechtsherum im Kreis in der (S,p;N=const)-Ebene]]</text>
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.06| Energie H (Bezugssystem) - CPRT.I.A.06]]

== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (N, t, p) - CPRT/2be7]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/6657| Energien im Koordinatensystem (N, S, V) - CPRT/6657]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.E| - CPRT.I.E]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.F| - CPRT.I.F]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.99| - CPRT.I.99]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| - CPRT/185f]]
*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.06|06 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.07|07 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.08|08 Vom Differential über das Integral zum Zustand der Energie]]
*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.02|02 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.03|03 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.04|04 Einmal linksherum im Kreis in einer (S,V;N=const)-Ebene]]
*[[CPRT.I.D.05|05 Einmal rechtsherum im Kreis in der (S,p;N=const)-Ebene]]</text>
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        <username>Pelikam</username>
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.06| Energie H (Bezugssystem) - CPRT.I.A.06]]

== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
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== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
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== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
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= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (N, t, p) - CPRT/2be7]]
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= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
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*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
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*[[CPRT.I.C.08|08 Vom Differential über das Integral zum Zustand der Energie]]
*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.02|02 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,p;N=const)]]
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
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*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
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== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
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== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
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== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (N, t, V) - CPRT/acb1]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (N, t, p) - CPRT/2be7]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/6657| Energien im Koordinatensystem (N, S, V) - CPRT/6657]]
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*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.99| - CPRT.I.99]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
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*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
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*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
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*[[CPRT.I.F.02|02 (N,p,S)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.03|03 (N,V,T)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.04|04 (N,V,S(V,p))-Koordinatensystem]]</text>
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      <timestamp>2026-09-23T08:42:57Z</timestamp>
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        <username>Pelikam</username>
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      <minor />
      <comment>/* Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5959" sha1="f0oc03xyzrviejniposlp4za0si42h9" xml:space="preserve">[[PCRT|&lt; Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]]

== 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: ==
CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam
ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist.

Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln.

DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein.

Stand: 09-2026

= Formelsammlung - CPRT =

= Inhaltsverzeichnis =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/I/b4c9|Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/I/b4c9]]

= Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie allgemein =

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I in ihren (eigenen) natürlichen Koordinatensystemen ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]]

== Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) ==
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]]
*{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]]

== Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.04|Energie F (Bezugssystem) - CPRT.I.A.04]]

== Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.05| Energie G (Bezugssystem) - CPRT.I.A.05]]

== Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.06| Energie H (Bezugssystem) - CPRT.I.A.06]]

== Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.07| Energie L (Bezugssystem) - CPRT.I.A.07]]

== Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,p) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.08| Energien K (Bezugssystem) - CPRT.I.A.08]]

== Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,t,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.09| Energie J (Bezugssystem) - CPRT.I.A.09]]

== Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;,S,V) ==
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.A.10| Energie I (Bezugssystem) - CPRT.I.A.10]]

= Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases =

*{{Stage short|25%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (&lt;math&gt;N, t, V&lt;/math&gt;) - CPRT/acb1]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (&lt;math&gt;N, t, p&lt;/math&gt;) - CPRT/2be7]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/6657| Energien im Koordinatensystem (&lt;math&gt;N, S, V&lt;/math&gt;) - CPRT/6657]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (&lt;math&gt;N, S, p&lt;/math&gt;) - CPRT/ebfe]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (&lt;math&gt;\mu, t, V&lt;/math&gt;) - CPRT/396e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.G| - CPRT.I.G]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT.I.99| - CPRT.I.99]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]

= Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen =
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]]

= Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases =

== Freie Unterverzeichnisse ==

*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d3ee| - PCRT/I/d3ee]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/ea1b| - PCRT/I/ea1b]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a36e| - PCRT/I/a36e]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| - CPRT/d116]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| - CPRT/7e9a]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/bc9d| - PCRT/I/bc9d]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/a8bd| - PCRT/I/a8bd]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/d88f| - PCRT/I/d88f]]
*{{Stage short|25%}}[[PCRT/I/aa9d| - PCRT/I/aa9d]]
*{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| - CPRT/185f]]
*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.06|06 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.07|07 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.08|08 Vom Differential über das Integral zum Zustand der Energie]]
*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.02|02 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.03|03 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.04|04 Einmal linksherum im Kreis in einer (S,V;N=const)-Ebene]]
*[[CPRT.I.D.05|05 Einmal rechtsherum im Kreis in der (S,p;N=const)-Ebene]]
*[[CPRT.I.F.01|01 (N,V,S)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.02|02 (N,p,S)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.03|03 (N,V,T)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.04|04 (N,V,S(V,p))-Koordinatensystem]]</text>
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    <title>CPRT/cf51</title>
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      <timestamp>2026-09-23T06:23:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30758" sha1="pj6zcjhrof2q36xv3epfff9jm2jq6u0" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt;(15)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(16)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;(13)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt;(14)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(11)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(12)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;(09)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(10)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt;(05)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(14)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt;(17)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(18)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(19)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(20)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(24)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(23)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(22)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(21)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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      <timestamp>2026-09-23T06:29:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <comment>/* L, K, J, I */</comment>
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      <text bytes="30443" sha1="snc1sv3bsn4jq6gdp48hxaqg96josr6" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt;(17)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(18)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(19)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(20)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(24)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(23)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(22)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt;(21)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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      <timestamp>2026-09-23T06:33:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <comment>/* E, F, G, H, L, K, J, I */</comment>
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      <text bytes="30291" sha1="5272pqwl91thy9bzbmq1k94qzf95xrh" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="30285" sha1="5lyghhd7d6y12an09xcb9hp3cw3qaoe" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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      <timestamp>2026-09-23T06:36:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
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      <comment>/* dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H */</comment>
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      <text bytes="30277" sha1="k0wg1ugokpdnb2mvzwac5nf9lv3on0c" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
|}</text>
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      <timestamp>2026-09-23T06:37:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
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      <comment>/* dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I */</comment>
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= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <minor />
      <comment>/* E, F, G, H, L, K, J, I */</comment>
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= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
|}

== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
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      <timestamp>2026-09-23T07:00:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
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      <comment>/* 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 */</comment>
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      <text bytes="11574" sha1="orth1ggo0btm7bguvws4mxene0zajwn" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 01 Die Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51 =

== dE, dF, dG, dH aus E, F, G, H ==

Wir beginnen mit der Energiebilanz Gl.(02). Diese Energiebilanz gilt für ein kleines Volumenelement &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. In diesem Volumenelement sind &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; Entropie und &lt;math&gt;dN&lt;/math&gt; Teilchen enthalten. Vergrössern wir nun das Volumemelement, so vergrössern sich Entropie und Teilchenzahl in dem gleichen Maße. Den Druck &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, die Temperatur &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und die chemische Teilchenenergie &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; halten wir dabei konstant. Wir erhalten die Energie Gl.(01) eines makroskopischen Systems. Betrachten wir jetzt die Änderung dieser makroskopischen Energie, so sieht der differentielle Term anders aus, als die Energiebilanz eines mikroskopischen Volumenelements. Dies liegt daran, daß sich eine Summe von Termen in diesem Ausdruck zu Null addiert ( &lt;math&gt;dK(\mu,t,p) = 0&lt;/math&gt; ).

Die Fundamentalgleichungen (differentiale Form, links) bzw. die Zustandsfunktionen (integrale Form, rechts) in Merkform lauten
{| 
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (04)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (06)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (07)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N + t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + N\,d\mu + t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (08)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;  
|}

== dL, dK, dJ, dI aus L, K, J, I ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (15)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt;\quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (16)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (13)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,1) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;   
|-
|| &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \qquad (1,1,1) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (11)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (12)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; (09)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S + p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,dS + S\,dt + p\,d(-V) + V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;  
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt; (10)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;  
|}
Aus Gleichungen (05) und (16) folgt:
{|
|  &lt;math&gt; (05)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;         &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{G}{N} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;                    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g(t,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (14)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p)   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,d\mu &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; V\,d(-p) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; S\,dt &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; d\mu(t,p)  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{S}{N}\,dt &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \frac{V}{N}\,dp &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dg(t,p) &lt;/math&gt;
|}

== E, F, G, H, L, K, J, I ==

{| 
|  &lt;math&gt; (17)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (18)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (19)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (20)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\,N &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (0,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (24)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; H &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (23)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad = 0 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G \quad = 0&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt; (22)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,1,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; 
|-
|  &lt;math&gt; (21)\quad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,S &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \quad (1,0,0) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; G &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; E &lt;/math&gt;
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    <title>CPRT.I.A.04</title>
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      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
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= 04 Differentiale der Zustandsfunktionen in den natürlichen Variablen der Energie =

Unter der Schreibweise &lt;math&gt;(N;S,V)&lt;/math&gt; mit dem Semikolon ; hinter &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; wollen wir verstehen, daß es sich bei der Grösse vor dem Semikolon, in diesem Fall &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, im Gegensatz zu &lt;math&gt;S,V&lt;/math&gt; um eine Konstante handelt. &lt;math&gt;S,V&lt;/math&gt; sind nicht konstante Variablen. Die Schreibweise &lt;math&gt;(N;)&lt;/math&gt; mit dem Semikolon ; hinter &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; soll andeuten, daß es sich bei &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; um eine Konstante handelt, daß wir aber bezüglich der nach dem Semikolon ; in der Klammer nicht genannten Variablen keine Vorgaben machen. Sowohl die eine, wie auch die andere Schreibweise wird uns nützlich sein. Wenn wir mit konstanter Teilchenzahl &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; arbeiten, werden wir, wenn wir es nicht vergessen, immer die Schreibweisen &lt;math&gt;(N;)&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;(N;S,V)&lt;/math&gt; verwenden. &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; stehen im letzten Ausdruck für zwei intensive, zwei extensive oder jeweils eine intensive und eine extensive nicht konstante Variable. 

Die vorgenannten Vereinbarungen wollen wir für Differentiale und für partielle Ableitungen, nicht für Funktionen wie in dem nachfolgenden Fall &lt;math&gt;p(N,S,V)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;T(N,S,V)&lt;/math&gt;, die vor den Differentialen stehen, treffen. Hier werden wir uns an folgende Vereinbarung halten, denn sonst wird die Schreibweise zu detailiert und unübersichtlich: Die Funktionen, nicht die partiellen Ableitungen, die vor den Differentialen stehen, haben als unabhängige Variable immer die, bei konstantem &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; zwei, Grössen, die in den unabhängigen Differentialen des gesamten Summenausdrucks vorkommen. 

== A Energie ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (01) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dE(S,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(N,S,V)\,dN + t(N,S,V)\,dS + p(N,S,V)\,d(-V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dE(S,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dE(S,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN + t\,dS - p\,dV &lt;/math&gt;
|}

=== 1 Erste Ableitungen ===
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \mu(s,v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + t(s,v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial (-V)} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + p(s,v) &lt;/math&gt;
|}

=== 2 Zweite gemischte Ableitungen ===
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial N}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S}                              &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial S}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N}                                &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial S\,\partial N}                     &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial N\,\partial S}                     &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial s}\frac{\partial s(N,S)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{1}{N}\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial s}                        &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N}                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial s}\frac{\partial s(N,S)}{\partial N}
          +  \frac{\partial t(s,v)}{\partial v}\frac{\partial v(N,V)}{\partial N}  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,\frac{S}{N^2}\frac{\partial t(s,v)}{\partial s}
          -  \frac{V}{N^2}\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                       &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,\frac{s}{N}\frac{\partial t(s,v)}{\partial s}
          -  \frac{v}{N}\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                         &lt;/math&gt;
|}

{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial N}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial V}                              &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial V}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial N}                             &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial V\,\partial N}                     &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial N\,\partial V}                     &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial V}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial v}\frac{\partial v(N,V)}{\partial V} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{1}{N}\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial v}                        &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial N}                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}\frac{\partial s(N,S)}{\partial N}
          +  \frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial v}\frac{\partial v(N,V)}{\partial N}  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,\frac{s}{N}\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}
          -  \frac{v}{N}\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial v}                         &lt;/math&gt;
|}

{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial S}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}                                &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E(N,S,V)}{\partial V}        &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial S}                             &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial V\,\partial S}                     &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \equiv &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial S\,\partial V}                     &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}\frac{\partial v(N,V)}{\partial V} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{1}{N}\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                        &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial S}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}\frac{\partial s(N,S)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{1}{N}\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}                        &lt;/math&gt;
|}

=== 3. Erste Ableitungen Ideales Gas ===
{|
|-
|| &lt;math&gt; (02)\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0\left(\frac{v_0}{v}\right)^{2/3} 
          \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s - s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01)\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,t_0\left(\frac{v_0}{v}\right)^{2/3}\exp\left(\frac{2}{3}\frac{s - s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01)\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; \frac{\partial E(N,S,V)}{\partial V} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,p_0\left(\frac{v_0}{v}\right)^{5/3}\exp\left(\frac{2}{3}\frac{s - s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}

=== 4 Zweite gemischte Ableitungen Ideales Gas ===
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial S\,\partial N}       &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N}   &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,s\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial s}                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,s\,\frac{\partial}{\partial s}\,t_0\left(\frac{v_0}{v}\right)^{2/3}      
           \exp\left\{\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right\}                            &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,\frac{2}{3}\frac{s}{k}\,t(s,v)                                         &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,v\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,v\,\frac{\partial}{\partial v}\,t_0\left(\frac{v_0}{v}\right)^{2/3}      
           \exp\left\{\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right\}                            &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\frac{2}{3}\,v\,t_0\frac{v_0^{2/3}}{v^{5/3}}      
           \exp\left\{\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right\}                            &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\frac{2}{3}\,t(s,v)                                                      &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N}                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,s\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial s}
          -  v\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                                    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\frac{s}{k}\right)\,t(s,v)                  &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial s}                                      &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; (-1)\,t(s,v)+\left(\frac{5}{2}\,k - s\right)
          \left(\frac{2}{3}\frac{1}{k}\right)\,t(s,v)                                  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; (-1)\,t(s,v)+\left(\frac{5}{3} - \frac{2}{3}\,\frac{s}{k}\right)\,t(s,v)     &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial s}                                      &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\,\frac{s}{k}\right)\,t(s,v)               &lt;/math&gt;
|}

{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial V\,\partial N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial V} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial N} &lt;/math&gt;#
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial V}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial \mu(s,v)}{\partial v}                                      &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial N}                                &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,s\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}
          -  v\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial v}                                    &lt;/math&gt;
|}

{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial^2 E(N,S,V)}{\partial S\,\partial V} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V} &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}                                 &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial t(s,v)}{\partial v}                                      &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,N\,\frac{\partial (-p)(N,S,V)}{\partial S}                              &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\frac{\partial (-p)(s,v)}{\partial s}                                   &lt;/math&gt;
|}

== B Enthalpie ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(N,S,p)\,dN +\,t(N,S,p)\,dS - V(N,S,p)\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN + t\,dS - V\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN + t\,dS + V\,dp &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(N,S,V)\,dN + t(N,S,V)\,dS 
          + V\,\left[ +\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial N}\,dN + \frac{\partial p(N,S,V)}{\partial S}\,dS 
          + \frac{\partial p(N,S,V)}{\partial V}\,dV \right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \left[\mu(N,S,V) + V\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial N}\right] dN 
          + \left[t(N,S,V) + V\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial S}\right]\,dS
          + V \frac{\partial p(N,S,V)}{\partial V}\,dV &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left[\mu(N,S,V) -\,V\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial N}\right] dN
          + \left[t(N,S,V) -\,V\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}\right]\,dS
          + V\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial V}\,dV &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (2) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left[\mu(N,S,V) -\,V\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial N}\right] dN
          + \left[t(N,S,V) -\,V\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}\right]\,dS
          - V\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial V}\,d(-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt;(2) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\left[\mu -\,V\,\frac{\partial \mu}{\partial V}\right] dN
          + \left[t -\,V\,\frac{\partial t}{\partial V}\right]\,dS
          - V\,\frac{\partial p}{\partial V} d(-V) &lt;/math&gt;
|}

== C Freie Energie ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(N,t,V) \,dN -\,S(N,t,V)\,dt + p(N,t,V)\,d(-V)  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN -\,S\,dt + p\,d(-V)  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (1) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu\,dN -\,S\,dt - p\,dV  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,\mu(N,S,V)\,dN
          - S\left[\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N} dN + \frac{\partial t(N,S,V)}{\partial S} dS 
                   + \frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V} dV\right] 
          - p(N,S,V)\,dV &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \left[\mu(N,S,V) - S\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial N}\right] dN 
          - S\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial S} dS 
          - \left[p(N,S,V) + S\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial V}\right]\,dV &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \left[\mu(N,S,V) - S\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S}\right] dN 
          - S\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial S} dS 
          - \left[p(N,S,V) - S\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial S}\right]\,dV &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (2) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \left[\mu(N,S,V) - S\,\frac{\partial \mu(N,S,V)}{\partial S}\right] dN 
          - S\,\frac{\partial t(N,S,V)}{\partial S} dS 
          + \left[p(N,S,V) - S\,\frac{\partial p(N,S,V)}{\partial S}\right]\,d(-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (2) \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + \left[\mu - S\,\frac{\partial \mu}{\partial S}\right] dN 
          - S\,\frac{\partial t}{\partial S} dS 
          + \left[p - S\,\frac{\partial p}{\partial S}\right]\,d(-V) &lt;/math&gt;
|}

== D Freie Enthalpie ==
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dT + V\,dp + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[T - S\,\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{V,N} - V\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N}\right]\,dS
   + \left[p - S\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N} + V\,\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{S,N}\right]\,dV
   &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 
   + \left[\mu - S\left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)_{V,N} - V\left(\frac{\partial \mu}{\partial V}\right)_{S,N}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|}
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -S\,dT + V\,dp + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad (S,V,N) \qquad&lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[T - S\,\frac{\partial T}{\partial S} - V\frac{\partial T}{\partial V}\right]\,dS
   - \left[p - S\,\frac{\partial p}{\partial S} + V\,\frac{\partial p}{\partial V}\right]\,dV
   + \left[\mu - S\,\frac{\partial \mu}{\partial S} - V\frac{\partial \mu}{\partial V}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad (S,V,N) \qquad&lt;/math&gt;
|}

= 3. Differentiale in den natürlichen Variablen der inneren Energie =
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d\left(+\,T\,S-p\,V\right) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS +\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV -\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.1)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU(S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (T -\,0)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (p -\,0)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU(S,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(T\,S) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS +\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;    &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(U - (-\,p\,V)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.2)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -V\frac{\partial T}{\partial V}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                                                       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH(S,V)  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.3)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH + (-\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -V\frac{\partial T}{\partial V}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.4)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH - (+\,T\,dS) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial T}{\partial V}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; +\,V\,dp(S,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d\left(-p\,V\right) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV -\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S  \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p  \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(U - (+\,T\,S)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU -\,T\,dS -\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.5)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(T,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -S\frac{\partial p}{\partial S}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                                                       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF(S,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.6)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF + (+\,T\,dS) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -S\frac{\partial p}{\partial S}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                                                       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU -\,S\,dT &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.7)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF - (-\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(   -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(   -S\frac{\partial p}{\partial S}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                                                       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; -\,S\,dT(S,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d\left(0\right) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S  \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V  \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(U - (+\,T\,S) - (-\,p\,V)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU -\,T\,dS -\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU -\,T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.8)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG(T,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -S\frac{\partial T}{\partial S}   - V\frac{\partial T}{\partial V}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -S\frac{\partial p}{\partial S}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                                                                                           &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dG(S,V) = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.9)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG + (+\,T\,dS -\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -S\frac{\partial T}{\partial S}   - V\frac{\partial T}{\partial V}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -S\frac{\partial p}{\partial S}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU +\,S\,dT -\,V\,dp &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.1.10)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG - (-\,S\,dT +\,V\,dp) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -S\frac{\partial T}{\partial S}   - V\frac{\partial T}{\partial V}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -S\frac{\partial p}{\partial S}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU -\,T\,dS +\,p\,dV = 0 &lt;/math&gt;
|}

==== Übung 3.3.1a ====
Wir leiten Gl.(3.3.1.2) her. Dazu schreiben wir zunächst &lt;math&gt;dH&lt;/math&gt; als Summe von Differentialtermen &lt;math&gt;T\,ds + V\,dp&lt;/math&gt; in den natürlichen Variablen der Enthalpie. Nun entwickeln wir &lt;math&gt;dp(S,V)&lt;/math&gt; in den natürlichen Variablen der inneren Energie und ordnen die Summe aus Differentialtermen nach den Differentialen der natürlichen Variablen der inneren Energie &lt;math&gt;dS&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;. Unter Verwendung der Gleichheit der zweiten, gemischten Ableitungen der inneren Energie &lt;math&gt;\partial/\partial V (\partial U(S,V)/\partial S) = \partial/\partial S (\partial U(S,V)/\partial V)&lt;/math&gt; erhalten wir Gl. Gl.(3.3.1.2).

==== Übung 3.3.1b ====
Wir zeigen unter Verwendung der Gleichheit der zweiten, gemischten Ableitungen der inneren Energie nach ihren natürlichen Variablen &lt;math&gt;\partial^2 U(S,V)/\partial S\,\partial V = \partial^2 U(S,V)/\partial V\,\partial S&lt;/math&gt; , das für Gl.(3.3.1.2) die zweiten, gemischten Ableitungen der Enthalpie nach den natürlichen Variablen der Energie gleich sind: &lt;math&gt;\partial^2 H(S,V)/\partial S\,\partial V = \partial^2 H(S,V)/\partial V\,\partial S&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dH(S,V)&lt;/math&gt; ein totales Differential ist.

==== Übung 3.3.1c ====
Wir zeigen unter Verwendung der Gleichheit der zweiten, gemischten Ableitungen der inneren Energie nach ihren natürlichen Variablen &lt;math&gt;\partial^2 U(S,V)/\partial S\partial V = \partial^2 U(S,V)/\partial V\partial S&lt;/math&gt; , das für Gl.(3.3.1.4) die zweiten gemischten Ableitungen des Differentialterms der Volumenenergie &lt;math&gt;+\,V\,dp&lt;/math&gt; nach den natürlichen Variablen der Energie nicht gleich sind: &lt;math&gt;\partial^2 (V\,dp(S,V))/\partial S\partial V \neq \partial^2 (V\,dp(S,V)/\partial V\partial S&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V\,dp(S,V)&lt;/math&gt; kein totales Differential ist.

==== Übung 3.3.1d ====
Wir starten mit dem Zusammenhang der beiden Energiefunktionen &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;U = H + (-\,p\,V)&lt;/math&gt; und schreiben diese Gleichung in Differentialform: &lt;math&gt;dU = dH - p\,dV - V\,dp&lt;/math&gt;. Wir nehmen wieder &lt;math&gt;\mu\,n&lt;/math&gt; als Null der Energieskala der Zustandsfunktionen &lt;math&gt;U, H, F, G&lt;/math&gt;. Die natürlichen Variablen der inneren Enerie &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; sind &lt;math&gt;S, V&lt;/math&gt;. Die natürlichen Variablen der Enthalpie &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; sind &lt;math&gt;S, p&lt;/math&gt;. Wir schreiben jetzt die Gleichung der Differentiale so, daß auf der Seite von &lt;math&gt;dU&lt;/math&gt; der Produktterm steht, der gerade nicht eine der natürlichen Variablen von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; enthält und wir schreiben dementsprechend auf die Seite von &lt;math&gt;dH&lt;/math&gt; den Produktterm aus extensiver und intensiver Grösse, der gerade nicht das Differential einer der natürlichen Variablen von &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; enthält. Welche Summe steht auf der linken Seite der Gleichung und welche auf der rechten? Welche Terme sind auf beiden Seiten der Gleichung diesselben, welche Terme gibt es nur auf der einen oder der anderen Seite der Gleichung? Nun entwickeln wir die Differentiale &lt;math&gt;dp(S,V)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dV(S,p)&lt;/math&gt; jeweils in den natürlichen Variablen &lt;math&gt;S,V&lt;/math&gt; der inneren Energie &lt;math&gt;dp=\partial p/\partial S\,dS + \partial p/\partial V\,dV&lt;/math&gt; und in den natürlichen Variablen &lt;math&gt;S,p&lt;/math&gt; der Enthalpie &lt;math&gt;dp=\partial p/\partial S\,dS + \partial V/\partial p\,dp&lt;/math&gt; und schreiben &lt;math&gt;dU&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dH&lt;/math&gt; als Summe ihrer Produkte aus intensiver mal extensiver bzw. extensiver mal intensiver Grösse. Auf der linken Seite der Gleichung steht jetzt eine Summe aus Produkten, die nur die Differentiale der natürlichen Variablen der inneren Energie enthalten. Auf der rechten Seite steht jetzt eine Summe von Produkten, die nur die Differentiale der natürlichen Variablen der Enthalpie als Faktoren enthalten. Dann schreiben wir uns die Fundamentalgleichungen der inneren Energie und der Enthalpie auf und ersetzen die Differentialquotienten &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt; durch ihre Alternative. Wir klammern jetzt auf der linken und der rechten Seite der Gleichung jeweils die Differentiale aus. Jetzt schauen wir uns nochmal genau die obigen Gleichungen von &lt;math&gt;dU&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dH&lt;/math&gt; an. Welcher erweiterte Zusammenhang gilt jetzt zwischen den beiden verallgemeinerten Differentialen &lt;math&gt;dH(S,V)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;dU(S,p)&lt;/math&gt;. Wie lautet die Gleichung? Was könnte die Transformation der Variablen, die in diesen Gleichungen vorkommt, bewirken?

==== Übung 3.3.1e ====
Mit Gl.(3.3.1.5) wie Übung (3.3.1.a).

==== Übung 3.3.1f ====
Mit Gl.(3.3.1.5) wie Übung (3.3.1.b).

==== Übung 3.3.1g ====
Mit Gl.(3.3.1.7) wie Übung (3.3.1.c).

==== Übung 3.3.1h ====
Mit &lt;math&gt;U = F + (+\,T\,S) = F + T\,S&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dU = dF + T\,dS + S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial p&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1d.

==== Übung 3.3.1i ====
Mit Gl.(3.3.1.8) wie Übung (3.3.1.a).

==== Übung 3.3.1j ====
Mit Gl.(3.3.1.8) wie Übung (3.3.1.b).

==== Übung 3.3.1k ====
Mit Gl.(3.3.1.9) wie Übung (3.3.1.c).

==== Übung 3.3.1l ====
Mit &lt;math&gt;U = G + (+\,T\,S) + (-\,p\,V) = G + T\,S - p\,V&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dU = dF + T\,dS + S\,dT - p\,dV - V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1d.</text>
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    <title>CPRT.I.A.05</title>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="19231" sha1="rlv8vb47dxq8y0zu2njrvbx3w8082qu" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 05 Differentiale der Zustandsfunktionen in den natürlichen Variablen der Enthalpie =

Wir wollen nun die totalen Differentiale der Zustandsfunktionen in den natürlichen Variablen der jeweils drei anderen Zustandsfunktionen darstellen. Dazu benötigen wir einige Vorarbeit. Zunächst muss uns klar sein, daß eine Temperatur immer
eine Temperatur ist, egal in welchem natürlichen Koordinatensystem sie dargestellt ist. Dasselbe gilt für den Druck, das chemische Potential, das Volumen oder die Entropie. Die Funktionen derselben Grösse sind in den unterschiedlichen Koordinatensystemen verschieden. Wenn die Grösse sowohl als abhängige Variable vor der Klammer wie als unabhängige Variable in der Klammer vorkommt, handelt es sich um eine unabhängige Variable in diesem Koordinatensystem. So ist z.B. die Temperatur in den natürlichen Koordinatensystemen der freien Energie und der freien Enthalpie eine unabhängige Variable und das chemische Potential ist in keinem der bisher angegebenen natürlichen Koordinatensysteme eine unabhängige Variable.
{|
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; T(\frac{S}{N},\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T(\frac{S}{N},p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T(T,\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T(T,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(\frac{S}{N},\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p(\frac{S}{N},p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p(T,\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p(T,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(\frac{S}{N},\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu(\frac{S}{N},p) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu(T,\frac{V}{N}) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu(T,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; V(S,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V(S,p,N) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V(T,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V(T,p,N) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(S,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S(S,p,N) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S(T,V,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;&lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S(T,p,N) &lt;/math&gt;
|}
Wenn wir die Änderung der inneren Energie in den natürlichen Koordinaten der Enthalpie darstellen, wird das Volumen zur abhängigen Variablen. Wir müssen also die Änderung des Volumens in den unabhängigen Variablen Entropie, Druck und Teilchenzahl angeben. Wie wir gleich sehen werden, ist es dabei hilfreich, die gemischten 2. Ableitungen der Enthalpie in ihren natürlichen Variablen zu kennen. Wir schreiben nochmal zur Erinnerung die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie in den natürlichen Koordinaten der Enthalpie hin. Mit den gemischten 2. Ableitung der Enthalpie in ihren natürlichen Koordinaten können wir dann das Volumen vorteilhafter aufschreiben und erhalten so letztendlich die Änderung der inneren Energie in den natürlichen Koordinaten der Enthalpie.
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad \equiv \qquad &lt;/math&gt;
|  &lt;math&gt; dH(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\left(\frac{S}{N},p\right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V(S,p,N)\,dp &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\left(\frac{S}{N},p\right)\,dN &lt;/math&gt;
|}
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \left(\frac{\partial^2 H}{\partial S\partial p}\right)_N &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p,N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S,N} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad \equiv \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial p} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial V(S,p,n)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial T(S/N,p)}{\partial p} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \left(\frac{\partial^2 H}{\partial S\partial N}\right)_p &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)_{p,N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)_{S,p} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad \equiv \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial \mu(S/N,p)}{\partial S} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial T(S/N,p)}{\partial N} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \left(\frac{\partial^2 H}{\partial p\partial N}\right)_S &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{S,N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(\frac{\partial V}{\partial N}\right)_{S,p} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \quad \equiv \quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial N} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial H(S,p,N)}{\partial p} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial \mu(S/N,p)}{\partial p} &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \frac{\partial V(S,p,N)}{\partial N} &lt;/math&gt;
|}

== A Energie ==
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,T\,dS - p\,dV + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   +\,T\,dS - p\,\left[
   \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p,N} dS + 
   \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{S,N} dp + 
   \left(\frac{\partial V}{\partial N}\right)_{S,p} dN 
   \right] + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\left[T - p\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p,N}\right]\,dS
   - p\,\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{S,N} dp  
   + \left[\mu - p\left(\frac{\partial V}{\partial N}\right)_{S,p}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[T - p\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S,N}\right]\,dS
   - p\,\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{S,N} dp  
   + \left[\mu - p\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{S,N}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|}
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dU(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +\,T\left(\frac{S}{N},p\right)\,dS - p\,dV(S,p,N) + \mu\left(\frac{S}{N},p\right)\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   +\,T\left(\frac{S}{N},p\right)\,dS - p\,\left[
   \frac{\partial V(S,p,N)}{\partial S} dS + 
   \frac{\partial V(S,p,N)}{\partial p} dp + 
   \frac{\partial V(S,p,N)}{\partial N} dN 
   \right] + \mu\left(\frac{S}{N},p\right)\,dN &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\left[T\left(\frac{S}{N},p\right) - p\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial S}\right]\,dS
   - p\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial p} dp  
   + \left[\mu\left(\frac{S}{N},p\right) - p\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial N}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad dU(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[T\left(\frac{S}{N},p\right) - p\frac{\partial T(S/N,p)}{\partial p}\right]\,dS
   - p\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial p} dp  
   + \left[\mu\left(\frac{S}{N},p\right) - p\,\frac{\partial \mu(S/N,p)}{\partial p}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|}

== B Enthalpie ==
siehe oben

== C Freie Enthalpie ==
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dT + V\,dp + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   -\,S\left[
   \left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{p,N} dS + 
   \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S,N} dp + 
   \left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)_{S,p} dN 
   \right] + V\,dp + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   - S\,\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{p,N} dS 
   + \left[V - S\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S,N}\right]\,dp
   + \left[\mu - S\left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)_{S,p}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   - S\,\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{p,N} dS 
   + \left[V - S\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p,N}\right]\,dp
   + \left[\mu - S\left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)_{p,N}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|}
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dG(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dT\left(\frac{S}{N},p\right) +  V(S,p,N)\,dp + \mu\left(\frac{S}{N},p\right)\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   -\,S\left[
   \frac{\partial T(S,p,N)}{\partial S} dS + 
   \frac{\partial T(S,p,N)}{\partial p} dp + 
   \frac{\partial T(S,p,N)}{\partial N} dN 
   \right] 
   + V(S,p,N)\,dp 
   + \mu\left(\frac{S}{N},p\right)\,dN &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   - S\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial S} dS  
   + \left[V(S,p,N) - S\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial p}\right]\,dp
   + \left[\mu\left(\frac{S}{N},p\right) - S\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial N}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad dG(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   - S\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial S} dS  
   + \left[V(S,p,N) - S\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial S}\right]\,dp
   + \left[\mu\left(\frac{S}{N},p\right) - S\,\frac{\partial \mu(S,p,N)}{\partial S}\right] dN 
   &lt;/math&gt;
|}

== D Freie Energie ==
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dT - p\,dV + \mu\,dN &lt;/math&gt;
|- 
|  &lt;math&gt;\qquad dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[
     T
   - S\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{p,N}
   + p\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S,N}
     \right]\,dS
   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad    &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[
     V
   - S\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p,N}
   - p\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{S,N}
     \right]\,dp
   + \left[
     \mu
   - S\left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)_{p,N}
   - p\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{S,N}
     \right]\,dN
   &lt;/math&gt;
|}
{|
|  &lt;math&gt;\qquad dF(S,p,N) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[
     T
   - S\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial S}
   + p\,\frac{\partial T(S,p,N)}{\partial p}
     \right]\,dS
   &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left[
     V
   - S\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial S}
   - p\,\frac{\partial V(S,p,N)}{\partial p}
     \right]\,dp
   + \left[
     \mu
   - S\,\frac{\partial \mu(S,p,N)}{\partial N}
   - p\,\frac{\partial \mu(S,p,N)}{\partial N}
     \right]\,dN
   &lt;/math&gt;
|}

=== Übung a ===
Mit &lt;math&gt;H(S,p), U(S,V)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dU + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung b ===
Mit &lt;math&gt;H(S,p), G(T,p)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dG + T\,dS + S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,p)/\partial p&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung c ===
Mit &lt;math&gt;H(S,p), F(T,V)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dF + T\,dS + S\,dT + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

= 05 Differentiale in den natürlichen Variablen der Enthalpie =
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.1)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (T -\,0)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; +  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (V -\,0)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH(S,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; H + (-\,p\,V) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,p\,dV -\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.2)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU(S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -p\frac{\partial T}{\partial p}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -p\frac{\partial V}{\partial p}  \right)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU(S,p)                                               &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.3)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU + (+\,V\,dp) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -p\frac{\partial T}{\partial p}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -p\frac{\partial V}{\partial p}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,p\,dV                                           &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.4)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU - (+\,T\,dS) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -p\frac{\partial T}{\partial p}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -p\frac{\partial V}{\partial p}  \right)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; -\,p\,dV(S,p)                                         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S  \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V  \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(H - (+\,T\,S)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,T\,dS -\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.5)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG(T,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -S\frac{\partial V}{\partial S}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dG(S,p) = 0                                           &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.6)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG + (+\,T\,dS) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -S\frac{\partial V}{\partial S}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,S\,dT                                           &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.7)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG - (+\,V\,dp) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial T}{\partial S}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial V}{\partial S}  \right)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; -\,S\,dT(S,p)                                         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S  \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p  \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(H - (+\,T\,S) + (-\,p\,V)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,T\,dS -\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV -\,V\,dp       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;                      &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.8)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(T,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial T}{\partial S}   - p\frac{\partial T}{\partial p}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial V}{\partial S}   - p\frac{\partial V}{\partial p}  \right)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF(S,p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.9)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF + (+\,T\,dS +\,V\,dp) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[T  -S\frac{\partial T}{\partial S}   - p\frac{\partial T}{\partial p}  \right]\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -S\frac{\partial V}{\partial S}   - p\frac{\partial V}{\partial p}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,S\,dT -\,p\,dV &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.2.10)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF - (-\,S\,dT -\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial T}{\partial S}   - p\frac{\partial T}{\partial p}  \right)\,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -S\frac{\partial V}{\partial S}   - p\frac{\partial V}{\partial p}  \right)\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH -\,T\,dS -\,V\,dp = 0 &lt;/math&gt;
|}

=== Übung a ===
Mit Gl.(3.3.2.2) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung b ===
Mit Gl.(3.3.2.2) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung c ===
Mit Gl.(3.3.2.4) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung d ===
Mit &lt;math&gt;H = U - (-\,p\,V) = U + p\,V&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dU + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1d.

=== Übung e ===
Mit Gl.(3.3.2.5) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung f ===
Mit Gl.(3.3.2.5) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung g ===
Mit Gl.(3.3.2.7) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung h ===
Mit &lt;math&gt;H = G + (+\,T\,S) = G + T\,S&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dG + T\,dS + S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,p)/\partial p&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1d.

=== Übung i ===
Mit Gl.(3.3.2.8) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung j ===
Mit Gl.(3.3.2.8) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung k ===
Mit Gl.(3.3.2.10) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung l ===
Mit &lt;math&gt;H = F + (+\,T\,S) - (-\,p\,V) = F +\,T\,S +\,p\,V&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dH = dF + T\,dS + S\,dT + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1d.

=== Übung m ===
Wie viele Differentiale können wir in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie &lt;math&gt;dG = -\,S\,dT +\,V\,dp = 0&lt;/math&gt; unabhängig voneinander verändern. Wieviel unabhängige Variablen, wieviel Freiheitsgrade, hat ein ideales Gas? Welcher Term fehlt in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie und warum sind die Formeln für dH, dU, dG und dF im (S,p,N)-Koordinatensystem trotzdem richtig?</text>
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    <title>CPRT.I.A.06</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>1091304</id>
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      <timestamp>2026-09-22T12:31:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <origin>1091304</origin>
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      <text bytes="10184" sha1="0fzjvjtswmy1xtmkpaag2jpiml9hm57" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 06 Differentiale in den natürlichen Variablen der freien Energie =
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -V\frac{\partial S}{\partial V}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;           V\frac{\partial p}{\partial V}         \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-V\frac{\partial \mu}{\partial V}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p  \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (S,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;           T\frac{\partial S}{\partial T}         \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -T\frac{\partial p}{\partial T}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-T\frac{\partial \mu}{\partial T}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V  \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (S,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -T\frac{\partial S}{\partial T}   - V\frac{\partial S}{\partial V}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -T\frac{\partial p}{\partial T}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-T\frac{\partial \mu}{\partial T} - V\frac{\partial \mu}{\partial V}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|}

=== Übung a ===
Mit &lt;math&gt;F(T,V), G(T,p)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dF = dG - p\,dV - V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(T,V)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(T,p)/\partial T&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung b ===
Mit &lt;math&gt;F(T,V), U(S,V)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dF = dU - T\,dS - S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,V)/\partial V&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung c ===
Mit &lt;math&gt;F(T,V), H(S,p)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dF = dH - T\,dS - S\,dT - p\,dV - V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(T,V)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

= 06 Differentiale in den natürlichen Variablen der freien Energie =
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.1)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF(T,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (S -\,0)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; (p -\,0)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF(T,V)      &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(F - (-\,p\,V)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,p\,dV +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;       &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 0     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.2)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG(T,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -V\frac{\partial S}{\partial V}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dG(T,V) = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.3)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG + (-\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -V\frac{\partial S}{\partial V}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.4)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG - (-\,S\,dT) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial S}{\partial V}  \right)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; +\,V\,dp(T,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p  \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(F + (+\,T\,S)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,T\,dS +\,S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;     &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;     &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.5)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU(S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -T\frac{\partial S}{\partial T}  \right)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -T\frac{\partial p}{\partial T}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dU(T,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.6)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU + (-\,S\,dT) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -T\frac{\partial S}{\partial T}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p  -T\frac{\partial p}{\partial T}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,T\,dS &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.7)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU - (-\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -T\frac{\partial S}{\partial T}  \right)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0  -T\frac{\partial p}{\partial T}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; +\,T\,dS(T,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V  \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; d(F + (+\,T\,S) - (-\,p\,V)) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,T\,dS +\,S\,dT +\,p\,dV +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;         &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.8)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH(S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -T\frac{\partial S}{\partial T}   - V\frac{\partial S}{\partial V}  \right)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -T\frac{\partial p}{\partial T}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dH(T,V) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.9)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH + (-\,S\,dT -\,p\,dV) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S -T\frac{\partial S}{\partial T}   - V\frac{\partial S}{\partial V}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[p -T\frac{\partial p}{\partial T}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right]\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,T\,dS +\,V\,dp &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(3.3.3.10)\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH - (+\,T\,dS +\,V\,dp) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -T\frac{\partial S}{\partial T}   - V\frac{\partial S}{\partial V}  \right)\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left(0 -T\frac{\partial p}{\partial T}   - V\frac{\partial p}{\partial V}  \right)\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; dF +\,S\,dT +\,p\,dV = 0&lt;/math&gt;
|}

=== Übung a ===
Mit Gl.(3.3.3.2) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung b ===
Mit Gl.(3.3.3.2) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung c ===
Mit Gl.(3.3.3.4) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung d ===
Mit &lt;math&gt;F = G + (-\,p\,V) = G -\,p\,V&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;d(-\,p\,V) = -\,p\,dV -\,V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;dF +\,V\,dp = dG + (-\,p\,dV)) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(T,V)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(T,p)/\partial T&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung e ===
Mit Gl.(3.3.3.5) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung f ===
Mit Gl.(3.3.3.5) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung g ===
Mit Gl.(3.3.3.7) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung h ===
Mit &lt;math&gt;F = U - (+\,T\,S) = U -\,T\,S&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;d(+\,T\,S) = +\,T\,dS +\,S\,dT&lt;/math&gt; ,&lt;math&gt;dF = d(U -\,T\,S) = dU - T\,dS - S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,V)/\partial V&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung i ===
Mit Gl.(3.3.3.8) wie Übung (3.3.1.a).

=== Übung j ===
Mit Gl.(3.3.3.8) wie Übung (3.3.1.b).

=== Übung k ===
Mit Gl.(3.3.3.10) wie Übung (3.3.1.c).

=== Übung l ===
Mit &lt;math&gt;F = H - (+\,T\,S) + (-\,p\,V) = H - T\,S -\,p\,V&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dF = dH - T\,dS - S\,dT - p\,dV - V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(T,V)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(S,p)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung m ===
Wie viele Differentiale können wir in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie &lt;math&gt;dG = -\,S\,dT +\,V\,dp = 0&lt;/math&gt; unabhängig voneinander verändern. Wieviel unabhängige Variablen, wieviel Freiheitsgrade, hat ein ideales Gas? Welcher Term fehlt in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie und warum sind die Formeln für dF, dG, dU und dH im (T,V,N)-Koordinatensystem trotzdem richtig?</text>
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    <title>CPRT.I.A.07</title>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="2965" sha1="pl0gfzgpybymeagc3uv7ps7wbla6gbl" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 07 Differentiale in den natürlichen Variablen der freien Enthalpie =
{|
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; S\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p\,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -p\frac{\partial S}{\partial p}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;           p\frac{\partial V}{\partial p}         \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-p\frac{\partial \mu}{\partial p}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; V  \,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (S,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;           T\frac{\partial S}{\partial T}         \,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -T\frac{\partial V}{\partial T}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-T\frac{\partial \mu}{\partial T}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; T  \,dS &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; p  \,dV &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \mu\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (S,V,N) \qquad &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dU &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; - &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[S  -T\frac{\partial S}{\partial T}   - p\frac{\partial S}{\partial p}  \right]\,dT &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[V  -T\frac{\partial V}{\partial T}   - p\frac{\partial V}{\partial p}  \right]\,dp &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; \left[\mu-T\frac{\partial \mu}{\partial T} - p\frac{\partial \mu}{\partial p}\right]\,dN &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \qquad (T,p,N) \qquad &lt;/math&gt;
|}

=== Übung a ===
Mit &lt;math&gt;G(T,p), F(T,V)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dG = dF + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(T,p)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(T,V)/\partial T&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung b ===
Mit &lt;math&gt;G(T,p), H(S,p)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dG = dH - T\,dS - S\,dT&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,p)/\partial p&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.

=== Übung c ===
Mit &lt;math&gt;G(T,p), U(S,V)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;dG = dU - T\,dS - S\,dT + p\,dV + V\,dp&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial S(T,p)/\partial p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial T(S,V)/\partial V&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\partial V(T,p)/\partial T&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\partial p(S,V)/\partial S&lt;/math&gt; wie Übung 3.3.1a.</text>
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= 08 Die homogenen Formen der Zustandsfunktionen =
== A Systeme mit Teilchenaustausch ==</text>
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      <text bytes="125" sha1="kbmdbilizefumudqxx1wljvg05ghp2b" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= 09 Das Differential des chemischen Potentials =
== A Systeme mit Teilchenaustausch ==</text>
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= 10 Die molaren Zustandsfunktionen =</text>
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      <comment>Pelikam verschob die Seite [[CPRT.I.B]] nach [[CPRT/acb1]]</comment>
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      <text bytes="36" sha1="rn9ro4zcvzu77xaw3a9gaby05bdf71g" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]</text>
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      <minor />
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      <text bytes="194" sha1="f9gymoe6o0v5dpi6f11ossofj7lccot" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="611" sha1="beg2shfd0u8a8xbjejctj2jrt80gsrb" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="605" sha1="lgf3hrgnjhbx85k66kkinkut5293wni" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="641" sha1="k5zgvlg2gudspqg0nyoujhzgefx1ppm" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{V}{N\,v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,N\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  N\,k\ln\left(\frac{V}{N\,v_0}\right) + N\,s_0 &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{V} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="575" sha1="nxwtky8qdejg20ysn525lhebbnn11aj" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}+\frac{5}{2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{V} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="587" sha1="2lupyxodbq47tu9stpyezmv9mja0scr" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right]+\frac{5}{2}\right) &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{V} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="589" sha1="3dfxrosg3h37ui9wlnorjyov2xvestz" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{+3/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{+3/2}\right]+\frac{5}{2}\right) &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{V} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="587" sha1="2lupyxodbq47tu9stpyezmv9mja0scr" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right]+\frac{5}{2}\right) &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{V} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="1226" sha1="5ww4h7jegw09h6rmj9bdw0ffye1ggr4" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}

*[[CPRT.I.C.01|01 Die Entropie des idealen Gases]]
*[[CPRT.I.C.02|02 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.03|03 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.04|04 Änderungen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.05|05 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.06|06 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.07|07 Funktionen des Zustands des idealen Gases bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.C.08|08 Vom Differential über das Integral zum Zustand der Energie]]</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Energie E(N,t,V) */</comment>
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      <text bytes="611" sha1="beg2shfd0u8a8xbjejctj2jrt80gsrb" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Pelikam verschob die Seite [[CPRT.I.C]] nach [[CPRT/2be7]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="611" sha1="beg2shfd0u8a8xbjejctj2jrt80gsrb" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="611" sha1="64qib7k81mnfvyux7i86e3z760wp1em" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,p) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; v(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{p} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="605" sha1="t66plkbju6fkh3wim1bpq2pdcnxw4ad" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,p) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{5}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; v(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{p} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="581" sha1="h65pwh883lnzj0srw7fqrc1ix16ycsv" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right]+\frac{5}{2}\right) &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; V(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{p} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="581" sha1="2pk8s2nhppdzzwzwog9b5memfy5urbt" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right] &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right]+\frac{5}{2}\right) &lt;/math&gt;
|}
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; V(N,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t}{p} &lt;/math&gt;
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <minor />
      <comment>Text ersetzt durch: '[[CPRT.I.C]]' (vgl. [[WB:AZ]])</comment>
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        <username>Pelikam</username>
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      <comment>Text ersetzt durch: '[[CPRT.I.C]]' (vgl. [[WB:AZ]])</comment>
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      <text bytes="1075" sha1="givwun9080thpr999jvjed5iw9i0nyt" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}

*[[CPRT.I.D.01|01 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.02|02 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (S,p;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.03|03 Ausgetauschte Wärme dQ = +TdS und ausgetauschte Arbeit dW = -pdV bei (T,V;N=const)]]
*[[CPRT.I.D.04|04 Einmal linksherum im Kreis in einer (S,V;N=const)-Ebene]]
*[[CPRT.I.D.05|05 Einmal rechtsherum im Kreis in der (S,p;N=const)-Ebene]]</text>
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      </contributor>
      <minor />
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      <text bytes="611" sha1="beg2shfd0u8a8xbjejctj2jrt80gsrb" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <text bytes="611" sha1="pfqjqc1ir8k578nfclsdvnlr990n3wv" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <comment>/* Energie E(N,S,V) */</comment>
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      <text bytes="580" sha1="kz5dgpil1qvcsgynv86oajfzh88kgo6" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{v}\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Pelikam verschob die Seite [[CPRT.I.D]] nach [[CPRT/6657]]</comment>
      <origin>1091381</origin>
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      <text bytes="580" sha1="kz5dgpil1qvcsgynv86oajfzh88kgo6" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{v}\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="663" sha1="8r73eey9wkx6p02f1vopmw2l44bot1z" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) 
   + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{v}\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="664" sha1="lbpfqpfzwc2sufbzvfb9frkfdmmhtyv" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) 
   + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{v_0}{v}\right)^{1/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="769" sha1="jclp7v8n1m4boj7f3j40uivac7axwap" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - \frac{S}{N}\right) 
      t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{-1/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="773" sha1="mqajozcvn8v0sssc5dn8d5s9b6sddpa" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - \frac{S}{N}\right) 
      t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{N\,v_0}{V}\right)^{-1/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="772" sha1="mzkr4ndoigtbt7ebapffsy1ewqd2bnc" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==

{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - \frac{S}{N}\right) 
      t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{N\,v_0}{V}\right)^{1/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="771" sha1="4zakjxbpqnape9c8bpxeeahk7n6khn0" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - \frac{S}{N}\right) 
      t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{N\,v_0}{V}\right)^{1/3}
      \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="610" sha1="2jqnieumvy63wdl6xfqwlhe687l9kox" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; v(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{p} &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <text bytes="513" sha1="6yczt5x4llja08hk2t4yv85mrcxg3f8" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{5}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; v(t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{p} &lt;/math&gt;
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="579" sha1="1emcj1g7t6d68hcwzf1o3a5sqtfksqj" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{v}\,t_0 \left(\frac{v}{v_0}\right)^{2/3} \exp\left(\frac{2}{3}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="659" sha1="r0x993ihyvy45uhdfikmaj1cmgc8jlo" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) 
   + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{p}\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="659" sha1="r0x993ihyvy45uhdfikmaj1cmgc8jlo" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) 
   + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k}{p}\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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      <text bytes="666" sha1="cj5scyhsp5mgc2z70pt2ggvokd34nwy" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s\right) t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) 
   + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{p_0}\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{7/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,k\,t_0\left(\frac{5}{2} - \frac{S}{N\,k}\right)\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} 
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(s,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{p_0}\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{7/5} \exp\left(\frac{2}{5}\frac{s-s_0}{k}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
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== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,k\,t_0\left(\frac{5}{2} - \frac{S}{N\,k}\right)\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} 
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5}
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; V(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{p_0}\left(\frac{p_0}{p}\right)^{7/5} 
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="762" sha1="ao9bhgcndylks6n3b6zmsq486epmn5h" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,S,p) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,k\,t_0\left(\frac{5}{2} - \frac{S}{N\,k}\right)\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5} 
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; t(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,t_0\left(\frac{p_0}{p}\right)^{2/5}
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; V(N,S,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{N\,k\,t_0}{p_0}\left(\frac{p_0}{p}\right)^{7/5} 
      \exp\left[\frac{2}{5}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="831" sha1="geg20x85hp4dv9gza2zavlfo0u5gcal" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}

= A2: Formelsammlung Kreisprozesse =
*[[CPRT.I.F.01|01 (N,V,S)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.02|02 (N,p,S)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.03|03 (N,V,T)-Koordinatensystem]]
*[[CPRT.I.F.04|04 (N,V,S(V,p))-Koordinatensystem]]</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      </contributor>
      <minor />
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      <text bytes="604" sha1="3usgye92k0kv0x0em7s8mkjsu4gj9lx" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Pelikam verschob die Seite [[CPRT.I.F]] nach [[CPRT/396e]]</comment>
      <origin>1091408</origin>
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      <text bytes="604" sha1="3usgye92k0kv0x0em7s8mkjsu4gj9lx" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(N,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      <text bytes="606" sha1="0goikfa3ti7tih9qse4mf155cxgtga7" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie e(\mu,t,V) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; \mu(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\left(\frac{5}{2}\,k - s_0\right) t 
   -  \frac{3}{2}\,k\,t\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   -  k\,t\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + \mu_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; s(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{3}{2}\,k\ln\left(\frac{t}{t_0}\right) 
   +  k\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) + s_0 &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(t,v) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t}{v} &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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      <text bytes="688" sha1="dpkkc0mfk9qp216hstw7hmb7fh88t5l" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(&lt;math&gt;\mu,t,V&lt;/math&gt;) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N(\mu,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{V}{v_0}\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} 
      \exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,k\,\frac{V}{v_0}\left(\frac{5}{2}-\frac{\mu}{k\,t}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} 
      \exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(N,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
      <sha1>dpkkc0mfk9qp216hstw7hmb7fh88t5l</sha1>
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      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Energie E(\mu,t,V) */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="692" sha1="c7hb0wbxtfw2s9nb7vrmq810g4ceihj" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie E(&lt;math&gt;\mu,t,V&lt;/math&gt;) ==
{|
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N(\mu,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{V}{v_0}\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} 
      \exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; S(\mu,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,k\,\frac{V}{v_0}\left(\frac{5}{2}-\frac{\mu}{k\,t}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} 
      \exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; p(\mu,t,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\exp\left(+\frac{\mu}{k\,t}\right) &lt;/math&gt;
|}</text>
      <sha1>c7hb0wbxtfw2s9nb7vrmq810g4ceihj</sha1>
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    <title>PCRT/I/d3ee</title>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
      <origin>1091312</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="36" sha1="rn9ro4zcvzu77xaw3a9gaby05bdf71g" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]</text>
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    <title>PCRT/I/ea1b</title>
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        <username>Pelikam</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <origin>1091313</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="823" sha1="ea3hhw8d1443e4ggymu90g03cn09iif" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

= Lektion I: Entropie, Zustandsänderungen und Zustandsfunktionen des idealen Gases =
*[[PCRT/I/be0f|01 Entropie des idealen Gases - PCRT/I/be0f]]
*[[PCRT/I/f79e|02 Zustandsänderungen des idealen Gases bei (S,V;N=const) - PCRT/I/f79e]]
*[[PCRT/I/c64e|03 Zustandsänderungen des idealen Gases bei (S,p;N=const) - PCRT/I/c64e]]
*[[PCRT/I/c0ff|04 Zustandsänderungen des idealen Gases bei (T,V;N=const) - PCRT/I/c0ff]]
*[[PCRT/I/e4ee|05 Zustandsfunktionen des idealen Gases bei (S,V;N=const) - PCRT/I/e4ee]]
*[[PCRT/I/ea1c|06 Zustandsfunktionen des idealen Gases bei (S,p;N=const) - PCRT/I/ea1c]]
*[[PCRT/I/f13b|07 Zustandsfunktionen des idealen Gases bei (T,V;N=const) - PCRT/I/f13b]]
*[[PCRT/I/c2ae|08 Vom Differential über das Integral zum Zustand der inneren Energie - PCRT/I/c2ae]]</text>
      <sha1>ea3hhw8d1443e4ggymu90g03cn09iif</sha1>
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    <title>PCRT/I/a36e</title>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <minor />
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="36" sha1="rn9ro4zcvzu77xaw3a9gaby05bdf71g" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]</text>
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    <title>CPRT/e08d</title>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10846" sha1="bu1p2a6va5a0cv5wl6yukb5u24ksp15" xml:space="preserve">[[CPRT|&lt; Inhaltsverzeichnis - CPRT]]

== Energie K (Drei neue Variable) ==
&lt;math&gt;N, S, V&lt;/math&gt; kommen. &lt;math&gt;\mu, t, p&lt;/math&gt; gehen.
{|
|-
|| &lt;math&gt; (01)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,N\,d\mu - S\,dt - (-V)\,dp = 0  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (02)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(N,S,V)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\mu_{E}^{K}\,dN + t_{E}^{K}\,dS + p_{E}^{K}\,d(-V) = 0  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(\mu,t,p)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   0                                    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (03)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(N,S,V)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   +\,\mu_{E}^{K}\,N + t_{E}^{K}\,S + p_{E}^{K}\,(-V) = 0,\quad \mu_{E}^{K} = t_{E}^{K} = p_{E}^{K} = 0 &lt;/math&gt;
|}

=== Variante a) ===
(04a) folgt aus (03) und (03a). (05a) folgt aus (02a) und (03a).
{|
|-
|| &lt;math&gt; (01a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,N\,d\mu &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N}   \right] dN + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial S}   \right] dS 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial (-V)}\right] d(-V)\quad (N,S,V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dt &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - S\frac{\partial t}{\partial N}   \right] dN + \left[ 0 - S\frac{\partial t}{\partial S}   \right] dS     
   + \left[ 0 - S\frac{\partial t}{\partial (-V)}\right] d(-V)\quad (N,S,V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,(-V)\,dp &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - (-V)\frac{\partial p}{\partial N}   \right] dN + \left[ 0 - (-V)\frac{\partial p}{\partial S}   \right] dS     
   + \left[ 0 - (-V)\frac{\partial p}{\partial (-V)}\right] d(-V)\quad (N,S,V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (02a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial t}{\partial N} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial N}                                       \right] dN    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial S} - S\frac{\partial t}{\partial S} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial S}                                       \right] dS &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial (-V)} - S\frac{\partial t}{\partial (-V)} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial (-V)}                                    \right] d(-V) = 0 &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (03a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial t}{\partial N} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial N}                                       \right] N    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial S} - S\frac{\partial t}{\partial S} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial S}                                       \right] S &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial (-V)} - S\frac{\partial t}{\partial (-V)} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial (-V)}                                    \right] (-V) = 0 &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (04a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial t}{\partial N} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial N}                                       \right] N    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial S} - S\frac{\partial t}{\partial S} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial S}                                       \right] S &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial (-V)} - S\frac{\partial t}{\partial (-V)} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial (-V)}                                    \right] (-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (05a)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;
   -\,N\,d\left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial t}{\partial N} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial N}                                       \right]     
   - S\,d\left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial S} - S\frac{\partial t}{\partial S} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial S}                                       \right] &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;   &lt;/math&gt;||&lt;math&gt;  
   - (-V)\,d\left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial (-V)} - S\frac{\partial t}{\partial (-V)} 
              - (-V)\frac{\partial p}{\partial (-V)}                                    \right] &lt;/math&gt;
|}

=== Variante b) (am einfachsten zu merken) ===
(04b) folgt aus (03) und (03b). (05b) folgt aus (02b) und (03b).
{|
|-
|| &lt;math&gt; (01b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,N\,d\mu &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} \right] dN + \left[ 0 - N\frac{\partial t}{\partial N} \right] dS     
   + \left[ 0 - N\frac{\partial p}{\partial N}   \right] d(-V)\quad (N,S,V)  &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dt &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - S\frac{\partial \mu}{\partial S} \right] dN + \left[ 0 - S\frac{\partial t}{\partial S} \right] dS  
   + \left[ 0 - S\frac{\partial p}{\partial S}\right] d(-V)\quad (N,S,V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,(-V)\,dp &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - V\frac{\partial \mu}{\partial V} \right] dN + \left[ 0 - V\frac{\partial t}{\partial V} \right] dS     
   + \left[ 0 - V\frac{\partial p}{\partial V}   \right] d(-V)\quad (N,S,V)  &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (02b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial \mu}{\partial S} 
              - V\frac{\partial \mu}{\partial V}                                     \right] dN    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial t}{\partial N}   - S\frac{\partial t}{\partial S}   
              - S\frac{\partial t}{\partial S}                                       \right] dS    &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial p}{\partial N}   - S\frac{\partial p}{\partial S}   
              - V\frac{\partial p}{\partial V}                                       \right] d(-V) = 0 &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (03b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial \mu}{\partial S} 
              - V\frac{\partial \mu}{\partial V}                                     \right] N    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial t}{\partial N}   - S\frac{\partial t}{\partial S}   
              - S\frac{\partial t}{\partial S}                                       \right] S    &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial p}{\partial N}   - S\frac{\partial p}{\partial S}   
              - V\frac{\partial p}{\partial V}                                       \right] (-V) = 0 &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (04b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial \mu}{\partial S} 
              - V\frac{\partial \mu}{\partial V}                                     \right] N    
   + \left[ 0 - N\frac{\partial t}{\partial N}   - S\frac{\partial t}{\partial S}   
              - S\frac{\partial t}{\partial S}                                       \right] S    &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 - N\frac{\partial p}{\partial N}   - S\frac{\partial p}{\partial S}   
              - V\frac{\partial p}{\partial V}                                       \right] (-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (05b)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,N\,d\left[ 0 - N\frac{\partial \mu}{\partial N} - S\frac{\partial \mu}{\partial S} 
              - V\frac{\partial \mu}{\partial V}                                     \right]     
   -  S\,d\left[ 0 - N\frac{\partial t}{\partial N}   - S\frac{\partial t}{\partial S}   
              - S\frac{\partial t}{\partial S}                                       \right]   &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; \quad\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;           &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   - (-V)\,d\left[ 0 - N\frac{\partial p}{\partial N}   - S\frac{\partial p}{\partial S}   
              - V\frac{\partial p}{\partial V}                                       \right]   &lt;/math&gt;
|}

=== Variante c) ===
(04c) folgt aus (03) und (03c). (05c) folgt aus (02c) und (03c).
{|
|-
|| &lt;math&gt; (01c)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,N\,d\mu &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} \right] dN 
   + \left[ 0 + S\frac{\partial t}{\partial S}   + V\frac{\partial t}{\partial V} \right] dS     
   + \left[ 0 + S\frac{\partial p}{\partial S}   + V\frac{\partial p}{\partial V} \right] d(-V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01c)      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,S\,dt &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + V\frac{\partial \mu}{\partial V} + N\frac{\partial \mu}{\partial N} \right] dN 
   + \left[ 0 + V\frac{\partial t}{\partial V}   + N\frac{\partial t}{\partial N} \right] dS
   + \left[ 0 + V\frac{\partial p}{\partial V}   + N\frac{\partial p}{\partial N} \right] d(-V) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt; (01c)      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; -\,(-V)\,dp &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} \right] dN 
   + \left[ 0 + N\frac{\partial t}{\partial N}   + S\frac{\partial t}{\partial S} \right] dS
   + \left[ 0 + N\frac{\partial p}{\partial N}   + S\frac{\partial p}{\partial S} \right] d(-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (02c)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; dK(N,S,V) &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + 0 \right] dN + \left[ 0 + 0 \right] dS 
   + \left[ p + 0 \right] d(-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (03c)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; K(N,S,V)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + 0 \right] N + \left[ 0 + 0 \right] S 
   + \left[ 0 + 0 \right] (-V) = 0 &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (04c)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   + \left[ 0 + 0 \right] N + \left[ 0 + 0 \right] S 
   + \left[ 0 + 0 \right] (-V) &lt;/math&gt;
|- 
|| &lt;math&gt; (05c)\quad &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; 0\,(N,S,V)  &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; 
   -\,N\,d\left[ 0 + 0 \right] -  S\,d\left[ 0 + 0 \right] 
   - (-V)\,d\left[ 0 + 0 \right] &lt;/math&gt;
|}</text>
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        <username>Pelikam</username>
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      <comment>Pelikam verschob die Seite [[PCRT/I/aa9d]] nach [[CPRT/53b5]]</comment>
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== s, v, e, f, g, h, l, k, j, i ==

Zur Stoffmenge proportionale Grössen wie &lt;math&gt; S, V, U, H, F, G &lt;/math&gt; lassen sich immer als Produkt von Stoffmenge mal Grösse pro Stoffmenge schreiben. 
{| 
|  &lt;math&gt;(25)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; S &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dS &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,s) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,ds &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; s\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(26)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; V &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,v &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dV &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,v) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dv &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; v\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(27)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; E &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,e &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,e) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(28)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; F &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,f &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,f) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(29)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,g &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,g) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(30)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; H &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,h &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \mu\cdot 1 &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; )    &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,h) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(34)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,l &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;      &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,l) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(33)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; K &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,k &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) \quad = 0 &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,k) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  N\,dk &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN \quad = 0 &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(32)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; J &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,j &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,j) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(31)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; I &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,i &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; N\,( &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;  || &lt;math&gt;  &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; t\,s &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; p\,(-v) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; ) &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad&lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d(N\,i) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt;
|}

== de, df, dg, dh ==

{| 
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds + N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) + N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(35)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(36)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,de &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + dW &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,1 + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) +\,N\,{\it 1}\,d\mu + N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(37)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,p\,N\,d(-v) - N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(38)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,df &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + dW  &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1}) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,N\,{\it 1}\,d\mu &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt -  N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) - (-\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(39)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(40)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dg &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,\mu\,{\it 1} + t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + s\,dt) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = + N\,{\it 1}\,d\mu +\,t\,N\,ds  + N\,s\,dt &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) - (- N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(41)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,t\,N\,ds - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|  &lt;math&gt;(42)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dh &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== di, dj, dk, dl ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s + p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt + p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + p\,d(-v)) + N\,(+\,s\,dt + v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p))&lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(43)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(44)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,di &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + dW + dQ &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,p\,(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v) + v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,p\,d(-v)) + N\,(+\,v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) 
                                - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt + p\,d(-v)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(45)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt + p\,N\,d(-v) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(46)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dj &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + dW &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(\,0\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(47)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu - N\,s\,dt - N\,v\,d(-p) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(48)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dk &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi} + d\overline{Q} + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,d(+\,t\,s) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds + s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(+\,t\,ds) + N\,(s\,dt\,) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p)) 
                                  - N\,(-\,{\it 1}\,d\mu - s\,dt - v\,d(-p)) &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = N\,(-\,{\it 1}\,d\mu + t\,ds - v\,d(-p))   &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(49)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = -\,N\,{\it 1}\,d\mu + t\,N\,ds -\,N\,v\,d(-p)    &lt;/math&gt;
|-
|| &lt;math&gt;(50)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; N\,dl &lt;/math&gt;||&lt;math&gt; = +\,d\overline{\Xi}+ dQ + d\overline{W} &lt;/math&gt;
|}

== dE, dF, dG, dH, dI, dJ, dK, dL ==

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(51)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dE(N,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(52)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(53)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(54)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(55)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(56)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(57)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; =  &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(58)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|}

{| 
|-
||  &lt;math&gt;(59)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; e\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(60)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; f\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(61)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; g\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dG(N,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(62)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt;   &lt;/math&gt; || &lt;math&gt;       &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; h\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,S,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(63)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; i\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(64)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt;
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; j\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t,V) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(65)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{Q} &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; k\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dK(\mu,t,p) &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(66)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{\Xi} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; d\overline{W} &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; l\,dN &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,S,p) &lt;/math&gt; 
|}

== dQ, dW ==

{| 
|-
|| &lt;math&gt;(67)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,V;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(68)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dE(N,S;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(69)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dF(N,t;V) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(70)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dH(N,p;S) &lt;/math&gt; 
|-
|| &lt;math&gt;(71)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,V;S) \qquad ,\,dN(\mu,V;S) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(72)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dI(\mu,S;V) \qquad ,\,dN(\mu,S;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(73)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dW    &lt;/math&gt;  
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dJ(\mu,t;V) \qquad ,\,dN(\mu,t;V) = 0 &lt;/math&gt; 
|-
||  &lt;math&gt;(74)\qquad\qquad\qquad\qquad &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; + &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dQ    &lt;/math&gt; 
|| &lt;math&gt; = &lt;/math&gt; || &lt;math&gt; dL(\mu,p;S) \qquad ,\,dN(\mu,S;p) = 0 &lt;/math&gt; 
|}</text>
      <sha1>rsb2og1w4gkw6gfhgg7q29ca2o9e6r2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Gitarre: Training erster Fingersatz</title>
    <ns>0</ns>
    <id>119948</id>
    <revision>
      <id>1091358</id>
      <parentid>1091180</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:24:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Weiterführendes */ h2</comment>
      <origin>1091358</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15125" sha1="s2xu46a8mwwlwcvk9tbmyq27b9c1v1y" xml:space="preserve">{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}

=Training 1. Fingersatz=
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Wir wollen diese hier mit konkreten Übungen auf allen Saitenlagen üben.

Die folgenden Übungen enthalten oft eine Folge von ein- oder zweitaktigen Sequenzen. Eine Sequen ist ein Motiv, dass sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. 

Es kommen auch Ausschnitte aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderlieder o.ä. vor. Die einfache Struktur oder der Bekanntheitsgrad der Melodien sollen dir das Üben erleichtern. Du musst dir so nicht jede einzelne Note aus der Tabulatur entschlüsseln, sondern die Finger finden in Vorerwartung der Melodie leichter ihre Position. 

== Eintaktige Sequenzen ==

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Beachte, dass der Grundton (1) unter dem Ringfinger (also im zweiten Bund dieses Fingersatzes) ist. Bei deinen  freien  Improvisation in Dur fängst du anfangs günstigerweise mit der (1) an.  Den Grundton C findest du hier im 8. Bund auf der E-Saite unter dem Mittelfinger. 

Ein Powerchord (beispielsweise C5) oder ein normaler Akkord am Ende ist optional (d.h. freiwillig). So ein Akkord eicht dein Ohr auf den Grundton der gerade geforderten Tonart. Du muss jedoch etwas überlegen, wie du vom Akkord wieder zurück in den Fingersatz kommst. Das gelingt mal leichter mal schwieriger. Daher ist ein Akkord für spätere Wiederholungen gedacht. Anfangs reicht auch der Grundton als Schluss. 

{{Tipp|Lerne bei der C-Dur-Tonleiter nicht nur die Intervalle &lt;br&gt;
3 4 - 5&lt;br&gt;
j7 1 - 2 &lt;br&gt;
sondern benenne auch jede einzelne Note. &lt;br&gt;
E F - G&lt;br&gt;
H C - D&lt;br&gt;
So bekommst du einen recht einfachen Überblick über das Griffbrett.}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E- / F-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 7  3 darkgrey )
   (place-fret 4 8  4 yellow3 )
   (place-fret 4 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 8  1 black )
   (place-fret 5 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen einfacher am Notenbild verfolgen, als an der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Powerchord am Ende stabilisiert auch hier wieder den Grundton. Den Grundton F findest du im 8. Bund auf der A-Saite. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- / Bb-Form) in F-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key f \major
  f8 c' bes a   g bes a g
  f a g f e g f e  f1
  f8 c' bes a   g bes a g
  f a g f e g f e  &lt;f c' f&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
== Weiterführendes ==  
{{Navigation Vertiefung|Gitarre: CAGED-Stammtöne - Erster Fingersatz | Erster Fingersatz quer über das Griffbrett}}</text>
      <sha1>s2xu46a8mwwlwcvk9tbmyq27b9c1v1y</sha1>
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    <title>Gitarre: CAGED-Stammtöne - Erster Fingersatz</title>
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      <parentid>1091267</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T11:59:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-50710-50</username>
        <id>116926</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen */</comment>
      <origin>1091278</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27968" sha1="c4f1nyb8er4nl77488dzcq6ol1wmkgn" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==Hier gehts weiter==

== Halbtaktige Sequenzen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen einfacher am Notenbild verfolgen, als an der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Powerchord am Ende stabilisiert auch hier wieder den Grundton. Den Grundton F findest du im 8. Bund auf der A-Saite. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c' e'&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>c4f1nyb8er4nl77488dzcq6ol1wmkgn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091288</id>
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        <username>~2026-50710-50</username>
        <id>116926</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen */</comment>
      <origin>1091288</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27976" sha1="sk1n9gme0n8diih612phd2e1whah3hn" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==Hier gehts weiter==

=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>sk1n9gme0n8diih612phd2e1whah3hn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091298</id>
      <parentid>1091288</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T12:25:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-50710-50</username>
        <id>116926</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen */</comment>
      <origin>1091298</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30165" sha1="m9c0sfeofx7xanmynqm5nf3au301w59" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (A-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>m9c0sfeofx7xanmynqm5nf3au301w59</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091318</id>
      <parentid>1091298</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T12:42:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-50710-50</username>
        <id>116926</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (A-Form) */</comment>
      <origin>1091318</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32381" sha1="tp92jcbibriunutynfisbuzx52mgdsl" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>tp92jcbibriunutynfisbuzx52mgdsl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091319</id>
      <parentid>1091318</parentid>
      <timestamp>2026-09-22T12:50:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-50710-50</username>
        <id>116926</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (D-Form) */</comment>
      <origin>1091319</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="34504" sha1="furhabvjpvy7nlyn9p8bguhrrc71wu3" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>furhabvjpvy7nlyn9p8bguhrrc71wu3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091357</id>
      <parentid>1091319</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:16:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Eintaktige Sequenzen */</comment>
      <origin>1091357</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="34880" sha1="irpb1567yrjxdzvopitpobrg6ih6ucy" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>irpb1567yrjxdzvopitpobrg6ih6ucy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091360</id>
      <parentid>1091357</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:33:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Eintaktige Sequenzen */ Wiederholung</comment>
      <origin>1091360</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35346" sha1="o6tt3r0hkrcfeeb8uvp14jcwgqdcowu" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>o6tt3r0hkrcfeeb8uvp14jcwgqdcowu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091365</id>
      <parentid>1091360</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:39:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) */ C</comment>
      <origin>1091365</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35345" sha1="9yqlktbrl96ysv538lk66pqium2v1fu" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0  3 darkgrey )
   (place-fret 1 1  4 yellow3 )
   (place-fret 1 3 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1  1 black )
   (place-fret 2 3 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>9yqlktbrl96ysv538lk66pqium2v1fu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091366</id>
      <parentid>1091365</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:44:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) */ Notennamen statt Intervalle</comment>
      <origin>1091366</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35397" sha1="na6k7rkw4pyp2poh45ofc6pcgyld0gi" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2  3 darkgrey )
   (place-fret 4 3  4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>na6k7rkw4pyp2poh45ofc6pcgyld0gi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091369</id>
      <parentid>1091366</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:46:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) */</comment>
      <origin>1091369</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35404" sha1="5pum4h1zexjn791b9z670crhgg0fvqy" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 2  3 darkgrey )
   (place-fret 2 3  4 yellow3 )
   (place-fret 2 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5  1 black )
   (place-fret 3 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;


==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>5pum4h1zexjn791b9z670crhgg0fvqy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091380</id>
      <parentid>1091369</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T07:59:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (G-Form) */ fix</comment>
      <origin>1091380</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35557" sha1="dv6ys9kdclpte0rn5yy2griolsaz3ka" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • E- (F-)Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • E- (F-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré) im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>dv6ys9kdclpte0rn5yy2griolsaz3ka</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091388</id>
      <parentid>1091380</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:14:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • E- (F-)Form */ Stil ++</comment>
      <origin>1091388</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35847" sha1="t4g36fi5xdd64nlwyhipaual18jgkm0" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== 1. Fingersatz • C-Form (open) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>t4g36fi5xdd64nlwyhipaual18jgkm0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091389</id>
      <parentid>1091388</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:16:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • C-Form (open) */ h3</comment>
      <origin>1091389</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35852" sha1="oe05p1m8jfeqgq3xo5k2gesc1073l2q" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form ====
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). Auch hier ist der Fingersatz leicht.

&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • A- (Bb-)Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;
==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>oe05p1m8jfeqgq3xo5k2gesc1073l2q</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091394</id>
      <parentid>1091389</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:22:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • A- (Bb-)Form */ h3 Gliederung</comment>
      <origin>1091394</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35830" sha1="jon5y6kv8qp5tnn6yj3b9eoy20xmijw" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • G-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>jon5y6kv8qp5tnn6yj3b9eoy20xmijw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091395</id>
      <parentid>1091394</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:24:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • G-Form */ h4</comment>
      <origin>1091395</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35835" sha1="mw89w8b4z2c0kc9id8v1m2i41kmgzt3" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== 1. Fingersatz • D-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>mw89w8b4z2c0kc9id8v1m2i41kmgzt3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091399</id>
      <parentid>1091395</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:26:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • D-Form */ H4</comment>
      <origin>1091399</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35840" sha1="51xg46h1wlkx0qpnrfr609qy0md2h04" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== 1. Fingersatz • C-Form ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die C-Durtonleiter in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>51xg46h1wlkx0qpnrfr609qy0md2h04</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091401</id>
      <parentid>1091399</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:29:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* 1. Fingersatz • C-Form */ H4 + Stil</comment>
      <origin>1091401</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35850" sha1="jfnm7lvonei6wshhsq1r39nl6vked61" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die Etüde vom ersten in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) 

Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}
=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>jfnm7lvonei6wshhsq1r39nl6vked61</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091404</id>
      <parentid>1091401</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:32:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Hier gehts weiter */ erl.</comment>
      <origin>1091404</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35813" sha1="k4z8wf3q2afop3onupq0hipd2m5awl2" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die Etüde vom ersten in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) 

Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 2  3 darkgrey )
   (place-fret 3 3  4 yellow3 )
   (place-fret 3 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5  1 black )
   (place-fret 4 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>k4z8wf3q2afop3onupq0hipd2m5awl2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091405</id>
      <parentid>1091404</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:35:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (D-Form) */ Pattern</comment>
      <origin>1091405</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35848" sha1="iqn3hakq9jv9ua6uw829xv1xr3q74yp" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die Etüde vom ersten in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) 

Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 5 3 darkgrey )
   (place-fret 3 7 4 yellow3 )
   (place-fret 3 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 5 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 7 1 black )
   (place-fret 4 8 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form)
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>iqn3hakq9jv9ua6uw829xv1xr3q74yp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091413</id>
      <parentid>1091405</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:45:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (D-Form) */</comment>
      <origin>1091413</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="38046" sha1="a7l50yvt0w6gxfhjh6yupcl293wfg7l" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die Etüde vom ersten in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) 

Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7 3 darkgrey )
   (place-fret 5 8 4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8 1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom  C-Dur-Barrés ((E-) F-Form) ab. 
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((E-) F-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 5 3 darkgrey )
   (place-fret 3 7 4 yellow3 )
   (place-fret 3 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 5 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 7 1 black )
   (place-fret 4 8 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form) ab. Gleiche Tonhöhe wie die G-Form, doch der Fingersatz ist einfacher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
      <sha1>a7l50yvt0w6gxfhjh6yupcl293wfg7l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1091414</id>
      <parentid>1091413</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T08:55:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Mjchael</username>
        <id>2222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Halbtaktige Sequenzen (D-Form) */ Bundfix Chordfix</comment>
      <origin>1091414</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="38091" sha1="rygb2814z63n1j8h7n34jpljiw4mc71" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{bc|[[Gitarre: Training erster Fingersatz|Training erster Fingersatz]]}}
{{bc|[[Gitarre: CAGED-Stammtöne - Zweiter Fingersatz|Zweiter Fingersatz quer überdas Griffbrett]]}}
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;
== Erster Fingersatz ==
Stammtöne sind die Töne der C-Dur-Tonleiter, also die Töne, für die keine Vorzeichen gebraucht werden.

Neben dem ersten Fingersatz lernen wir auch Töne der C-Dur-Tonleiter. Da wir immer der gleiche Fingersatz verwenden und da wir diesen mit mehreren kleinen Etüden und Melodien üben, lernst du das Griffbrett einfacher kennen, als mit so mancher Holzhammer-Methode.

;Zur Wiederholung 
:[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]]

Das &quot;Karree&quot; ist bei diesem Fingersatz links.
{|
!Fingersatz
!width=&quot;30px&quot;|
!Intervalle
|-
|[[Image:Scala ZM K.svg]]
!width=&quot;30px&quot;|
|[[Image:Scala 71_2-34_5.svg]]
|}

Vorher haben wir jede Etüde in einer mittleren Lage geübt, wo der Abstand der Bünde weder zu weit, noch zu eng ist. 

Hier üben wir jede Etüde in allen Lagen auf dem Griffbrett. Wir bleiben in der Tonart C-Dur.

=== Eintaktige Sequenzen ===
Du wirst feststellen, dass sich die Sequenzen recht schnell lernen lassen.

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form (open)) ====
Die erste Lage mit leeren Saiten stellt noch keine Herausforderung dar.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #2
  % \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 3 darkgrey )
   (place-fret 4 3 4 yellow3 )
   (place-fret 4 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3  1 black )
   (place-fret 5 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Du musst noch nicht einmal den C-Barré im 3. Bund bemühen, um den Grundton zu finden. Die C-Dur-Tonleiter in den ersten drei Bünden reicht. Natürlich kannst du auch den Startton G suchen. Die Tabulatur sagt dir &quot;D-Saite 5. Bund&quot;. Erinnere dich daran, dass dies der Stimmton der D-Saite ist (beim Stimmen nach Bünden). 

{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (A- (Bb)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • G-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand.


Beachte den Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite. Den Grundton C kannst du dir auch vom Ringfinger auf der G-Saite des C-Barrés ableiten. 

Du musst dir hier eine Strategie zurechtlegen, wann du den Lagewechsel durchführen möchtest. Ich empfehle hier, den Lagewechsel so früh wie möglich zu machen, damit du den Zeigefinger frei hast, um gleich hintereinander zwei Töne in einem Bund zu spielen. Betrachte die Angaben zum Fingersatz nur als Vorschlag. 
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d-4 e-2 f-3 d e f
  e d c d e c-1 d-4 e-2
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

Hier eine alternative Lösung. Du kannst einen kleinen Barré über die Noten C und E legen, und den Lagewechsel später ausführen. Das V unter dem C zeigt hier den 5. Bund an, und nicht etwa Abschläge. Der Lagewechsel erfolgt hier im letzten Takt.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8-4 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d-2 
  \textSpannerDown
  \override TextSpanner.bound-details.left.text = &quot;V&quot;
  c-1\startTextSpan
  d e-1 c-1 d e-1\stopTextSpan
  d-4 c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz ((E-) F-Form)
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7  3 darkgrey )
   (place-fret 5 8  4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8  1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Den Grundton C auf der E-Saite kannst du dir vom C-Barré der E-Form (wie ein F- Barré)&lt;ref&gt;Die CAGED-Skala wird wie die F-Dur-Tonleiter aussehen, und nicht wie die E-Dur-Tonleiter. &quot;E-Form&quot; ist eine gute Eselsbrücke, um schnell den Grundton zu visualisieren, F-Form ist für die Harmonielehre geeigneter, um die komplette Skala nebst Akkorden zu verstehen.&lt;/ref&gt; im 8. Bund ableiten.  Der Fingersatz ist wieder einfach.
{{clear}}
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (E-(F)-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • D-Form 
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9  3 darkgrey )
   (place-fret 3 10  4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10  1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;Die Tonhöhe ist die selbe, wie in der G-Form, wo wir uns komplizierte Strategien für den Fingersatz zurechtlegen mussten. In dieser Lage ist alles einfacher. Wenn du später mal einen herausfordernden Lick zwischen der G- und H-Saite hast, wäre eine weitere gangbare Strategie den Lick in eine fingertechnisch günstigere Lage zu verlegen.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c'' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
&lt;br&gt;

==== Eintaktige Sequenzen (C-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
;1. Fingersatz • C-Form
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.24.4&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 4.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 12  3 darkgrey )
   (place-fret 1 13  4 yellow3 )
   (place-fret 1 15 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 12 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 13  1 black )
   (place-fret 2 15 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; Hier wurde die Etüde vom ersten in den 12. Bund verlegt. Der Grundton ist auf der H-Saite im 13. Bund. (Eine Oktave höher als bei der C-Dur Tonleiter in den ersten drei Bünden.) 

Wer keine E-Gitarre hat oder wer keine Akkustik mit Cutaway hat, der kann die C-Form auch in einem niedrigeren Bund üben.
&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Eintaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c''' {
  \set TabStaff.minimumFret = #12
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g8 f e f g e f g
  f e d e f d e f
  e d c d e c d e
  d c b c d b c d
  \once \override NoteHead #'color = #red c1
  \bar &quot;|.&quot;
 }

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant \addlyrics {
        g8 f e f g e f g
        f e d e f d e f
        e d c d e c d e
        d c b c d b c d
        c
      }
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

=== Halbtaktige Sequenzen ===
Diesmal hast du halbtaktige Sequenzen, die einmal wiederholt werden. Auch ohne Notenkenntnisse kannst du den Verlauf einfacher am Notenbild verfolgen, als in der Tabulatur; insbesondere wenn du dir gleichzeitig die Übung dabei anhörst. Der optionale Akkord am Ende stabilisiert  wieder den Grundton. 
==== Halbtaktige Sequenzen (C-Form (offen)) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 0 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 1 1 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 1 3 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 2 0 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 1 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 2 3 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Mit leeren Saiten ist die Übung leicht zu spielen. Vergiss nicht, auch die Notennamen zu lernen.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form (offen))&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
 % \set TabStaff.minimumFret = #0
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c, e g c e&gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((A-) Bb-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 4 2 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 4 3 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 5 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 5 2 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 5 3 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 5 5 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger des C-Dur-Akkordes ab, oder vom Zeigefinger des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). Warum wir in den Wikibooks zwei Namen haben, erklären wir etwas später ausfürlicher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((A-) Bb-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (G-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 &quot;E&quot; darkgrey )
   (place-fret 2 6 &quot;F&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 8 &quot;G&quot; darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;B&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 &quot;C&quot; black )
   (place-fret 3 7 &quot;D&quot; darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés ((A-) Bb-Form). 
Achte auf den Fingersatz bei den Noten.
:1=Z • 2=M • 3=R • 4=K
Er gibt dir Hinweisee, wo du gut due Lage wechseln kannst.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  c1
  c8-1 g' f e   d f e d
  c e-2 d-4 c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen ((E-) F-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 5 7 3 darkgrey )
   (place-fret 5 8 4 yellow3 )
   (place-fret 5 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 6 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 6 8 1 black )
   (place-fret 6 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom  C-Dur-Barrés ((E-) F-Form) ab. 
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz ((E-) F-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  &lt;c' g' c&gt;1^\markup { \bold {(F5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==== Halbtaktige Sequenzen (D-Form) ====
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 9 3 darkgrey )
   (place-fret 3 10 4 yellow3 )
   (place-fret 3 12 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 9 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 10 1 black )
   (place-fret 4 12 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt; 
Den Grundton C leitest du dir vom Ringfinger  des C-Dur-Barrés (A-Form) ab. Gleiche Tonhöhe wie die G-Form, doch der Fingersatz ist einfacher.
{{clear}}

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form)&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #9
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c, \major
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  c1
  c8 g' f e   d f e d
  c e d c b d c b  
  \set TabStaff.minimumFret = #8
 &lt;c, g' c e g c &gt;1^\markup { \bold {(C)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

==Hier gehts weiter==

{{Baustelle}}

== Ein Vogel wollte Hochzeit machen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 3 7  3 darkgrey )
   (place-fret 3 8  4 yellow3 )
   (place-fret 3 10 5 darkgrey ) 

   (place-fret 4 7 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 4 8  1 black )
   (place-fret 4 10 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Hier habe ich ein relativ bekanntes Kinderlied gefunden, dass perfekt zum 1. Fingersatz passt. Die Tondauern sind für Ungeübte in Sachen Noten schwer herauszulesen. Kennst du aber das Stück, oder hörst du es dir mehrmals an, so ist es keine unüberwindbare Schwierigkeit. Den Grundton Bb findest du im 8. Bund auf der D-Saite. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (D-Form) in Bb-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Ein Vogel wollte Hochzeit machen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c {
  \set TabStaff.minimumFret = #7
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  
  \key bes \major
  r2. r8 d'8 |
  f8 d f d  es c es c |
  d bes f' d  c( f) f f16 d | \break
  bes8 8 8 f'16 d  c8 c c f16 es |
  d8 bes c a  bes4 r4
  \bar &quot;|.&quot;
}

myLyrics =  \lyricmode {  
  \set stanza = &quot;1.&quot; 
  Ein Vo -- gel wol -- lte Hoch -- zeit mach -- en
In dem grü -- nen Wal -- de
Fi -- de -- ra -- la -- la, fi -- de -- ra -- la -- la
Fi -- de -- ra -- la -- la -- la -- la
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice = &quot;mySong&quot; { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
        \new Lyrics \lyricsto &quot;mySong&quot; { \myLyrics }
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 2 5 3 darkgrey )
   (place-fret 2 6 4 yellow3 )
   (place-fret 2 8 5 darkgrey ) 

   (place-fret 3 4 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 3 5 1 black )
   (place-fret 3 7 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;

Bei der G-Form kommt es zwischen der G- und H-Saite zu einem Lagewechsel. Du musst dir jedesmal eine Strategie zurechtlegen, wann und wie du am besten den Lagewechsel durchführst.

Wenn du Glück hast, findest du im Notenbild einen Hinweis, wie man günstig die Lage wechseln kann. Ich empfehle dir dort wo die 2 über den Noten steht, den Mittelfinger zu nehmen. 
*(1 = Z, 2 = M, 3 =  R, 4 = K, 0 = leere Saite)
Betrachte solche Hinweis nur als Vorschlag, denn es gibt keine verbindliche Regel, wie der Lagewechsel zu erfolgen hat. Übst du die gleiche Sequenzen ein paar Saiten höher oder tiefer, geht es leichter von der Hand. Du kannst übrigens jede einzelne Übung auf allen Saitenlagen üben. 

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (G-Form) in C-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Halbtaktige Sequenzen mit Lagewechsel&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #4
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key c \major
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d c1 
  g'8 e f g f d e f
  e c-2 d e d b c d  &lt;c g' c&gt;1^\markup { \bold {(C5)} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;

== Einsingen ==
&lt;div style=&quot;float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; &quot;&gt;
&lt;score raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.14.2&quot;
 \markup {
  \override #'(size . 3.0) {
  \override #'(fret-diagram-details . (
   (orientation . landscape )
   (finger-code . in-dot )
   (dot-color . #'black)
   (dot-radius . 0.4)
   (dot-position . 0.5)
   (top-fret-thickness . 6)
   (fret-count . 3)
   (number-type . roman-upper)
  ))

  \fret-diagram-verbose #'(

   (place-fret 1 2 3 darkgrey )
   (place-fret 1 3 4 yellow3 )
   (place-fret 1 5 5 darkgrey ) 

   (place-fret 2 2 &quot;j7&quot; yellow3 )
   (place-fret 2 3 1 black )
   (place-fret 2 5 2 darkgreen )
  ) 
}}

\paper{
     indent=0\mm
     line-width=180\mm
     oddFooterMarkup=##f
     oddHeaderMarkup=##f
     bookTitleMarkup = ##f
     scoreTitleMarkup = ##f}
&lt;/score&gt;
&lt;/div&gt;
Diese beiden Motive kennen viele, die schon einmal in einem Chor gesungen haben. Das erste Motiv übt ausschnitte einer Tonleiter. D E F# G A ist in erster Linie der Beginn der D-Dur-Tonleiter, könnte aber auch ebensogut einen Ausschnitt am Ende  der G-Dur Tonleiter darstellen. Man übt also, ohne sich dessen wirklich bewusst zu sein, den Anfang und das Ende einer Tonleiter. Das zweite Motiv eicht den Chor auf die gerade geforderte Tonart. Hier werden nur Akkordtöne in einer auf- oder absteigenden Tonfolge gespielt (auch Arpeggios genannt). Der A7-Akkord enthält sowohl den Leitton (j7) der zum Grundton (1) hin leitet, als auch den Strebeton (4) die zur Durterz (3) hin strebt. Mit den zwei spannungsreichen Tönen, die sich zum Grundakkord auflösen wollen, wird der Chor auf die Durtonart eingenordet.

&lt;score sound=&quot;1&quot; raw=&quot;1&quot;&gt;
\version &quot;2.20.0&quot;
\header {
  title=&quot;1. Fingersatz (C-Form) in D-Dur&quot;
  subtitle=&quot;Einsingen&quot;
}
%% Diskant- bzw. Melodiesaiten
Diskant = \relative c' {
  \set TabStaff.minimumFret = #2
  \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t
  \key d \major
  
  d8^\markup { \bold {D} } e fis g a g fis e | d1
  d8 e fis g a g fis e | d1
  \break
  d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | d1^\markup { \bold {D} } 
d4^\markup { \bold {D} } fis8 a | g4^\markup { \bold {A7} } e8 cis | 
  \set TabStaff.minimumFret = #0
&lt;d, a' d fis&gt;1^\markup { \bold {D} }
  \bar &quot;|.&quot;
}

%% Layout- bzw. Bildausgabe
\score {
  &lt;&lt;
    \new Voice  { 
      \clef &quot;treble_8&quot; 
      \time 4/4  
      \tempo 4 = 120 
      \set Score.tempoHideNote = ##t
      \Diskant 
    }
    \new TabStaff { \tabFullNotation \Diskant }
  &gt;&gt;
  \layout {}
}

%% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde
\score {
  &lt;&lt;
    \unfoldRepeats {
      \new Staff  &lt;&lt;
        \tempo 4 = 120
        \time 4/4
        \set Staff.midiInstrument = #&quot;acoustic guitar (nylon)&quot;
        \clef &quot;G_8&quot;
        \Diskant
      &gt;&gt;
    }
  &gt;&gt;
  \midi {}
}
%% unterdrückt im raw=&quot;!&quot;-Modus das DinA4-Format.
\paper {
  indent=0\mm
  %% DinA4 = 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm
  line-width=180\mm
  oddFooterMarkup=##f
  oddHeaderMarkup=##f
  % bookTitleMarkup=##f
  scoreTitleMarkup=##f
}
&lt;/score&gt;
=== Weiterführendes ===</text>
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    <title>Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik</title>
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      <timestamp>2026-09-22T12:22:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
      </contributor>
      <comment>Pelikam verschob die Seite [[Chemische Physik --- Reversible Thermodynamik]] nach [[CPRT/d116]]</comment>
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    <title>Physikalische Chemie --- Reversible Thermodynamik</title>
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        <username>Pelikam</username>
        <id>111447</id>
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