Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 49637 1091782 1091449 2026-09-28T16:40:03Z Netzikon 116920 /* SRAM */ Aufbau der Speicherzelle korrigiert (6T-Zelle statt Transistoren mit Widerständen und Dioden) 1091782 wikitext text/x-wiki <noinclude><div class="noprint">{{:Computerhardware/ NAV/ RAM}}</div> <div style="float:right; margin-left:20px; margin-bottom:20px; font-size:0.9em;"> __TOC__ </div></noinclude> Die RAM-Speicherbausteine lassen sich in zwei Arten unterteilen, die auf ganz unterschiedlichen Technologien beruhen und dementsprechend in allen Kenndaten sehr unterschiedlich sind. Es gibt dynamischen RAM (DRAM) und statischen RAM (SRAM). == DRAM == Der '''Dynamische Speicher (DRAM)''' ist verblüffend einfach aufgebaut. Jede Speicherzelle besteht aus einem Kondensator (das ist ein Kurzzeitspeicher für Elektrizität) und einem Transistor. Um eine „Eins“ zu speichern, wird der Kondensator aufgeladen. Soll eine „Null“ gespeichert werden, bleibt der Kondensator ungeladen. Wenn die CPU wissen will, was gespeichert ist (das nennt man eine Leseanforderung), gibt der Transistor die elektrische Ladung frei. Wenn eine „Eins“ gespeichert ist, fließt für einen kurzen Moment ein Entladestrom. Wenn eine „Null“ gespeichert war, fließt kein Strom. So oder so ist der Kondensator anschließend entladen. Das nennt man „zerstörendes Lesen“. Deshalb muss in einem zweiten Schritt der frühere Speicherinhalt wiederhergestellt werden. Ein solcher „Lesen-und-Wiederherstellen“-Zyklus dauert etwa fünf bis zehn&nbsp;ns (10&nbsp;Nano-Sekunden), er kann also bis zu 200&nbsp;Millionen mal pro Sekunde erfolgen. Das Lesen der Daten beansprucht etwa die Hälfte dieser Zeit, die andere Hälfte wird für das Zurückschreiben (Wiederherstellen) gebraucht. {|align="right" |[[File:2114 IMG 0806.JPG|thumb|180px|Einzelchip vor 1991]]||[[File:Samsung PC3200U-30331-Z 256MB 20060809.jpg|thumb|180px|PC-3200-Modul mit DDR-400 Speicherschaltkreisen]]||[[File:Corsair CM2X1024-6400C5DHX 20080221.jpg|thumb|220px|RAM mit Kühlkörper]] |} Warum aber wird der Speicher als „dynamisch“ bezeichnet? Halbleitermaterial ist kein perfekter Isolator. Wie der Name sagt, leitet es elektrischen Strom, wenn auch wenig. Deshalb verlieren die Kondensatoren ihre Ladung nicht nur durch das Lesen, sondern auch durch „Leckströme“. Darum muss die Ladung der winzigen Kondensatoren einige tausend Male in der Sekunde aufgefrischt (nachgeladen) werden. Während des Vorgangs der Auffrischung, die englisch als „Refresh” bezeichnet wird, kann die CPU nicht auf die Daten zugreifen. DRAM ist wegen des simplen Funktionsprinzips günstig zu produzieren, wobei man hohe Packungsdichten erreicht. Deshalb wird DRAM als Arbeitsspeicher im PC eingesetzt. Bis etwa 1991 wurden DRAM-Einzelchips verwendet. 36 Stück davon mussten in die Fassungen der Hauptplatine eingesteckt werden, um ein Megabyte Arbeitsspeicher zu bestücken. Stellen Sie sich den Aufwand vor, wenn einer davon defekt war und man durch Auswechseln ermitteln muss, welcher der defekte ist! Zum Glück kamen die Konstrukteure auf die Idee, 9 oder 18 dieser Schaltkreise auf eine kleine Platine von etwa 13 x&nbsp;3&nbsp;cm aufzulöten. Eine solche Platine nennt man „Speichermodul“, siehe übernächste Seite. Die Hauptplatine mit maximal vier derartigen Modulen statt mit 36 einzelnen Chips zu bestücken, ist eine große Erleichterung. {{clear}} === Bauformen von DRAM === {{:Computerhardware: RAM: Geschwindigkeit}} Dynamischer RAM wird seit Jahrzehnten in den verschiedensten Bauformen gefertigt. Vor dem Jahr 2002 wurden die PCs mit RAM in der Bauform SDRAM bestückt, das ist die Abkürzung für „Synchronous Dynamic Random Access Memory“. Seitdem heißen die verwendeten Bauformen DDR-1, DDR-2, DDR-3 und DDR-4. ==== DDR-1 ==== Die Pentium-CPUs bis zum Pentium III arbeiteten mit sogenannten SDRAM-Speichermodulen zusammen, deren Geschwindigkeit für den Pentium&nbsp;4 nicht ausreichte. 1999 kamen die ersten „DDR“-Module auf den Markt. DDR steht für '''D'''oppelte '''D'''aten-'''R'''ate und bedeutet, dass zweimal pro Speichertakt Daten übertragen werden. Die erste Generation dieser Speicher (DDR-1) wurde mit 100&nbsp;MHz getaktet, wegen der Verdopplung wurden daraus 200 MHz. Da bei jedem Speicherzugriff gleichzeitig 8&nbsp;Byte (64&nbsp;Bit) übertragen werden, errechnet sich die Datenübertragungsrate als 200&nbsp;MHz x 8&nbsp;Byte = 1600&nbsp;MByte/s. Ein Speichermodul „PC3200“, bestückt mit „DDR-400“ Chips, erreichte maximal 3200&nbsp;MByte/s bei 200&nbsp;MHz. ==== DDR-2 ==== Eine erneute Verdopplung: Pro Speichertakt werden viermal Daten übertragen. Dadurch verdoppelt sich die Datenübertragungsrate erneut: Bei 100&nbsp;MHz Takt werden 3200&nbsp;MByte/s erreicht, maximal 8500&nbsp;MByte/s bei 266&nbsp;MHz sind möglich. ==== DDR-3 ==== Die Datenübertragungsrate verdoppelt sich zum dritten Mal: Pro Takt werden achtmal Daten übertragen. Die Datenübertragungsrate verdoppelt sich zum dritten Mal: Bei 100&nbsp;MHz Takt werden 6400&nbsp;MByte/s erreicht, maximal 19200&nbsp;MByte/s bei 300&nbsp;MHz sind möglich. ==== DDR-4 ==== Die Datenübertragungsrate wurde nicht verdoppelt, insofern ist DDR-4 keine neue Technologie. Die höhere Geschwindigkeit wird einerseits durch den höheren Speichertakt erreicht, andererseits durch eine höhere interne „Parallelisierung“. Bei DDR3-Modulen muss alle 64 Millisekunden ein Refresh-Zyklus stattfinden. Die DDR4-Speichermodule steuern die Refreshrate dynamisch: Bei niedriger Temperatur verlieren die Speicherzellen weniger Elektronen und die Refresh-Häufigkeit kann verringert werden. Das spart etwa 20 % Energie und die CPU muss seltener auf das Ende eines Refresh-Zyklus warten. Weitere 15 % Energie spart die auf 1,2 Volt verringerte Betriebsspannung. Erste Hersteller haben 2014 mit der Serienproduktion von „Stacked-DDR-4-RAM“ begonnen. Beim sogenannten „3D-Stacking“ werden wie bei der 3D-NAND-Technologie von SSDs mehrere Lagen Speicherzellen im Inneren des Chips übereinander gestapelt. Der Standard erlaubt bis zu acht Schichten von RAM-Zellen übereinander zu stapeln. Damit werden RAM-Riegel mit bis zu 512 GB möglich. ==== DDR-5 ==== DDR-5 wurde 2020 von der JEDEC standardisiert, die ersten Module und passenden Hauptplatinen kamen Ende 2021 auf den Markt. Die Betriebsspannung sank auf 1,1 Volt, die Spannungsregelung sitzt nun direkt auf dem Modul. Jedes Modul ist intern in zwei unabhängige 32-Bit-Kanäle aufgeteilt, was gleichzeitige Zugriffe beschleunigt. Die Geschwindigkeiten beginnen bei DDR5-4800. DDR-4- und DDR-5-Module haben beide 288 Kontakte, passen wegen einer anderen Kerbenposition aber nicht in den jeweils falschen Steckplatz. In Notebooks werden neben SO-DIMM-Modulen vereinzelt CAMM2-Module eingesetzt, die flach auf die Hauptplatine geschraubt werden. === Fehlerkorrektur === Normale Speichermodule für Desktop-PCs und Notebooks haben keine Fehlerkorrektur. Dafür gibt es spezielle ECC-Module (Error Correcting Code) mit zusätzlichen Speicherchips für Prüfbits. Sie können Einzelbitfehler korrigieren und Zweibitfehler erkennen. ECC funktioniert nur, wenn Prozessor und Hauptplatine es unterstützen, und wird vor allem in Servern und Workstations eingesetzt. Seit DDR-5 besitzt jeder Speicherchip zusätzlich eine interne Fehlerkorrektur (On-Die-ECC). Sie schützt die Daten innerhalb des Chips, nicht aber auf dem Weg zum Prozessor, und ersetzt deshalb keine ECC-Module. Auch der Inhalt von Prozessor-Cache, Flash-Speicher und Festplatten wird durch Fehlerkorrekturverfahren geschützt. Wozu ist das nötig? Es gibt zufällige Störungen, z. B. durch Spannungsspitzen von der Energieversorgung. Überall auf der Erde gibt es eine natürliche Radioaktivität. Außerdem dringen Reste des Sonnenwindes und von energiereicher kosmischer Strahlung bis zur Erdoberfläche vor und können die Ladung aus einem Bit herausschlagen. Einmal im Monat (sehr grob geschätzt) wird einer Ihrer RAM-Bausteine so getroffen, dass ein Bit seinen Wert verliert. Dazu ein interessantes Fundstück aus den 70er Jahren: ''„Das National Laboratory in Los Alamos (New Mexico, USA) hat sich bei IBM einmal beschwert, dass bei ihren Kollegen in Livermore (Kalifornien, USA) bei den gleichen Rechnern viel weniger Fehler auftreten. Dazu muss man wissen, dass Los Alamos auf ca. 2200 m Höhe liegt, während Livermore in der Nähe von San Francisco etwa auf Meereshöhe liegt. In Los Alamos ist die kosmische Neutronenstrahlung fünfmal stärker als auf Meereshöhe.“'' (gefunden auf http://www.elektronik-kompendium.de/sites/com/1504141.htm). Einzelbitfehler führen nur selten zu Abstürzen: Meist trifft es ungenutzte Programmteile oder Massendaten. Wenn in einer Video- oder Audiodatei ein Bit falsch ist, können Sie das unmöglich sehen oder hören. {|{{prettytable}} align="right" |+ Abstand der Mitte der Kerbe vom nächstgelegenen Rand ! ||Typ||Abstand |- |Desktop||SDRAM||24,5 mm |- |Desktop||DDR(-1)||60,0 mm |- |Desktop||DDR-2||62,7 mm |- |Desktop||DDR-3||55,0 mm |- |Desktop||DDR-4|| |- |Notebook||DDR-2||15,5 mm |- |Notebook||DDR-3||24,8 mm |} === Welcher RAM ist der richtige für Sie? === Ob Sie DDR-1, -2, -3, -4 oder -5 brauchen, hängt ausschließlich von Ihrer Hauptplatine ab, denn für jeden RAM-Typ sieht der Steckplatz anders aus und er benötigt eine andere Versorgungsspannung. Die Anzahl der Kontakte ist unterschiedlich, und die Kerben befinden sich an unterschiedlichen Positionen. Sehen Sie im Handbuch der Hauptplatine nach, welcher Typ passt und welche Mindest- und Höchstgeschwindigkeit gefordert sind. Falls Sie aus dem englischen Handbuch nicht schlau werden, zeigen Sie es dem Verkäufer. Vielleicht können Sie auch einen der vorhandenen RAM-Bausteine ausbauen und als Muster mitnehmen. Oder Sie installieren SiSoft Sandra. Über „Hardware-Informationen“ → „Onboard-Geräte“ → „Hauptplatine“ → „Speicherbänke“ finden Sie die technischen Informationen zu Ihren Speichermodulen. Die Geschwindigkeit können und sollten Sie (außer bei Laptops) etwas höher als das geforderte Minimum wählen. Meist ist die schnellste der gängigen Geschwindigkeiten gleichzeitig die beliebteste und aufgrund der hohen Verkaufszahlen auch die günstigste. Damit verbunden ist bei kompletter Neubestückung ein messbarer, aber kaum spürbarer Geschwindigkeitsvorteil. Bei Mischbestückungen sollte das BIOS den Speichertakt so einstellen, dass das langsamste Modul damit zurechtkommt. Das klappt fast immer. Wenn Sie z. B. ein langsames 0,5-GB-Speichermodul DDR2-400 mit einem schnellen 2-GB-Modul DDR2-1000 ergänzen, würde das schnelle Modul von 1000 MHz auf 400 MHz heruntergetaktet. In diesem Fall ist es wahrscheinlich sinnvoller, auf das langsamere Speichermodul zu verzichten. Sie haben dann zwar weniger Speicher, der aber schneller getaktet wird. Schnellere Speichertypen benötigen manuelle Einstellungen, da sonst nur der vom Hauptplatinen-Hersteller freigegebene Maximaltakt benutzt wird. Der Preis solcher Module steigt aber unverhältnismäßig stark an, obwohl keine spürbare Mehrleistung im normalen Betrieb erzielt wird. {{clear}} === Warum den Arbeitsspeicher aufrüsten? === Die Größe des Arbeitsspeichers beeinflusst stark die Geschwindigkeit des Rechners. Wenn der Arbeitsspeicher knapp wird, muss das Betriebssystem prognostizieren, welche Programmkomponenten demnächst vermutlich nicht benötigt werden, und diese auf die (vieltausendmal langsamere) Festplatte auslagern. Wenn Sie einen vom Betriebssystem nicht vorausgeahnten Klick machen, muss das Betriebssystem ganz schnell irgendein ungenutztes Programmteil auslagern, um das von Ihnen gewünschte Programmteil laden zu können. Zu wenig Arbeitsspeicher bremst deshalb auch den schnellsten PC aus. Komplettsysteme sind mit RAM eher knapp ausgestattet, um einen günstigen Preis zu erreichen. Für ein wenig Surfen, Musik hören und Videos betrachten reicht das auch. Doch wenn es die Möglichkeit gibt, sollte man schon beim Kauf eine bessere RAM-Ausstattung wählen. Selbst wenn Ihr PC gleich nach dem Kauf schnell genug ist, wird er im Laufe der Monate immer langsamer. Wieso? * Im Laufe der Zeit werden immer mehr Programme installiert. Vergleichen Sie einmal die heutige Anzahl der installierten Programme mit dem Stand kurz nach dem Kauf! * Nicht nur die Programme belegen mehr Platz. Immer mehr Daten sammeln sich an. Fotos, Musik und Videos belegen viel Platz. Die Magnetköpfe der Festplatte müssen immer länger werdende Wege zurücklegen, um die benötigten Daten heranzuschaffen. * Das Antivirenprogramm lädt jeden Tag eine Liste von neuen Bedrohungen herunter. Je umfangreicher diese Liste ist, desto länger dauert das Scannen jeder einzelnen Datei. * Im Laufe der Zeit werden sowohl Windows als auch die installierten Programme durch Updates sowohl umfangreicher als auch langsamer. Ein Beispiel: Windows 7 Home in der 64-Bit-Version mit Servicepack 1 benötigte 1 + 80 + 11 + 1 Update, um den Stand vom 01.08.2012 zu erreichen. * Windows bewahrt alle je verwendeten Bibliotheken, Treiber u. a. im „Komponentenspeicher“ WinSXS auf, auch die nach Updates (voraussichtlich) nicht mehr benötigten Dateien. Allerdings wird nicht nur die Festplatte voller, sondern die zahlreicheren und größeren Dateien belegen mehr Arbeitsspeicher als vorher. Windows muss zunehmend oft ungenutzte Programmteile auslagern. Deshalb ist eine Aufrüstung (Vergrößerung) des Arbeitsspeichers meist sinnvoll. Durch ständige technologische Fortschritte sinken die RAM-Preise, etwa 20 bis 40 % in manchen Jahren. Doch das gilt nur für die jeweils neueste Technologie. Veraltete Technologien werden nicht mehr weiterentwickelt und die Produktionsmengen sinken, deshalb bleiben die Preise für ältere RAM-Typen auf hohem Niveau. 12 bis 18 Monate nach dem Kauf eines PC können Sie passende RAM-Module billig nachkaufen. Wesentlich länger als zwei Jahre mit dem Nachkauf zu warten kann riskant sein, weil dann die passende RAM-Sorte möglicherweise nicht mehr hergestellt wird oder in so geringer Menge, dass wegen andauernder Nachfrage die Preise nicht sinken. Mit der Vergrößerung des Arbeitsspeichers erzielt man ein sehr günstiges Verhältnis zwischen Preis und Leistungszuwachs. Mehr Leistung kann man auch durch das Auswechseln der CPU erreichen (falls das geht). Aber so eine Investition ist teuer (weil Sie die ausgebaute CPU nicht weiterverwenden können) und bringt vermutlich ein bescheidenes Resultat. == SRAM == Der statische Speicher (SRAM) speichert jedes Bit in einem Flipflop, einer Schaltung aus zwei über Kreuz verbundenen Invertern. Die übliche Speicherzelle besteht aus sechs Transistoren: vier bilden das Flipflop, zwei weitere verbinden die Zelle beim Lesen und Schreiben mit den Datenleitungen. Dieser höhere Schaltungsaufwand bringt deutliche Vorteile: * SRAM ist etwa einhundert mal schneller als DRAM. * SRAM benötigt keine Auffrischung (Refresh). * Die Information wird beim Auslesen nicht gelöscht, deshalb entfällt der bei DRAM notwendige Wiederherstellen-Zyklus. Deshalb wird SRAM in der CPU als Cache-Speicher verwendet. Ein großer Cache-Speicher ist derart wichtig für die Leistung der CPU, dass ungefähr die Hälfte der in einer CPU enthaltenen Transistoren für den Cache verwendet werden. Bitte nicht verwechseln: * SRAM = statisch (eine Transistorschaltung), * DRAM = dynamisch (Kondensatoren), * SDRAM = Synchroner DRAM = synchron angesteuerte Kondensatoren. == Warum kann man den Arbeitsspeicher nicht aus dem schnelleren SRAM fertigen? == Die CPU benötigt laufend Daten aus dem RAM. Während Prozessoren heute mit mehr als 2000 bis 3000&nbsp;Megahertz arbeiten, schaffen DRAM-Speicher bestenfalls 800&nbsp;MHz. Dieses Missverhältnis zwischen Speicher und Prozessortakt zwingt die CPU, sogenannte Wartezyklen einzuschieben, um auf Daten aus dem Speicher zu warten. Anders gesagt: Je schneller der Prozessor ist, desto öfter muss er auf Daten warten. In den letzten zehn Jahren sind CPUs etwa einhundert mal schneller geworden, während die RAM-Zugriffszeit im gleichen Zeitraum lediglich von 10&nbsp;ns auf 7&nbsp;ns gefallen ist. Schnellerer Speicher wäre wunderbar. Die DRAM-Technologie ist an der Grenze des Erreichbaren. Es wird intensiv nach alternativen Technologien gesucht, aber bisher ist keine der neuen Erfindungen in Massenproduktion gegangen. SRAM wäre wegen mit seiner Zugriffszeit von unter 0,1&nbsp;ns der ideale Ersatz, hat aber leider einige schwere Nachteile. * Ein Arbeitsspeicher aus SRAM von 1 GB Kapazität würde einige tausend Euro kosten. * SRAM belegt pro Bit eine etwa 15mal größere Fläche im Schaltkreis als DRAM * SRAM benötigt deutlich mehr Energie Der höhere Energie- und Flächenbedarf begrenzen die Verwendung von SRAM, vom Preis mal abgesehen. Die benötigte Leiterplattenfläche wäre riesig und die Datenwege würden zu lang werden. Um eine Strecke von 30 cm zu durchlaufen, braucht ein Lichtstrahl eine Nanosekunde. Elektrische Signale sind geringfügig langsamer als das Licht. Was nützt eine Zugriffszeit von unter 0,1 ns, wenn die Daten für den Weg bis zur CPU eine Nanosekunde brauchen? Die CPU müsste ganze drei Takte warten (bei einer 3-GHz-CPU entfallen drei CPU-Takte auf eine Nanosekunde). Abgesehen von den oben genannten Nachteilen wäre die Leistungssteigerung eines SRAM Hauptspeichers nicht signifikant im Vergleich zu modernen Cachearchitekturen. Mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Cache#Cachehierarchie Multilevelcaches], gefertigt aus SRAM (mit maximal nur wenigen MB Kapazität) und intelligenten [http://de.wikipedia.org/wiki/Cache#Arbeitsweise Schreibstrategien] sind vergleichbare Zugriffszeiten wie mit vollständig aus statischem RAM bestehendem Hauptspeicher möglich. {{:Computerhardware/ Vorlage/ Links2|RAM| * [[Computerhardware: RAM: 1 GB SRAM|Was würde 1 GB SRAM kosten?]] * {{w|Static_Random_Access_Memory#Statisches_RAM_.28SRAM.29|SRAM}} * {{w|Dynamic Random Access Memory|DRAM}} * {{w|Dynamisches_RAM#Produktgenerationen_von_DRAMs|Produktgenerationen von DRAMs}} | * {{w|Halbleiterspeicher#Halbleiterspeichertypen|Stammbaum der Halbleiterspeicher}} * [[Computerhardware: RAM: Aufrüstung|Speicher aufrüsten]] * [[Computerhardware: RAM: Kauf|Kaufberatung]] * [[Computerhardware: RAM: Montage|RAM einbauen]] }} j3u7v1d4o131kwxxpnszam81k57vfnv 1091783 1091782 2026-09-28T16:45:32Z Netzikon 116920 Kerbentabelle: DDR-4 ergänzt, DDR-5 und Notebook-Werte hinzugefügt, Notebook-DDR-2 korrigiert, Quelle angegeben 1091783 wikitext text/x-wiki <noinclude><div class="noprint">{{:Computerhardware/ NAV/ RAM}}</div> <div style="float:right; margin-left:20px; margin-bottom:20px; font-size:0.9em;"> __TOC__ </div></noinclude> Die RAM-Speicherbausteine lassen sich in zwei Arten unterteilen, die auf ganz unterschiedlichen Technologien beruhen und dementsprechend in allen Kenndaten sehr unterschiedlich sind. Es gibt dynamischen RAM (DRAM) und statischen RAM (SRAM). == DRAM == Der '''Dynamische Speicher (DRAM)''' ist verblüffend einfach aufgebaut. Jede Speicherzelle besteht aus einem Kondensator (das ist ein Kurzzeitspeicher für Elektrizität) und einem Transistor. Um eine „Eins“ zu speichern, wird der Kondensator aufgeladen. Soll eine „Null“ gespeichert werden, bleibt der Kondensator ungeladen. Wenn die CPU wissen will, was gespeichert ist (das nennt man eine Leseanforderung), gibt der Transistor die elektrische Ladung frei. Wenn eine „Eins“ gespeichert ist, fließt für einen kurzen Moment ein Entladestrom. Wenn eine „Null“ gespeichert war, fließt kein Strom. So oder so ist der Kondensator anschließend entladen. Das nennt man „zerstörendes Lesen“. Deshalb muss in einem zweiten Schritt der frühere Speicherinhalt wiederhergestellt werden. Ein solcher „Lesen-und-Wiederherstellen“-Zyklus dauert etwa fünf bis zehn&nbsp;ns (10&nbsp;Nano-Sekunden), er kann also bis zu 200&nbsp;Millionen mal pro Sekunde erfolgen. Das Lesen der Daten beansprucht etwa die Hälfte dieser Zeit, die andere Hälfte wird für das Zurückschreiben (Wiederherstellen) gebraucht. {|align="right" |[[File:2114 IMG 0806.JPG|thumb|180px|Einzelchip vor 1991]]||[[File:Samsung PC3200U-30331-Z 256MB 20060809.jpg|thumb|180px|PC-3200-Modul mit DDR-400 Speicherschaltkreisen]]||[[File:Corsair CM2X1024-6400C5DHX 20080221.jpg|thumb|220px|RAM mit Kühlkörper]] |} Warum aber wird der Speicher als „dynamisch“ bezeichnet? Halbleitermaterial ist kein perfekter Isolator. Wie der Name sagt, leitet es elektrischen Strom, wenn auch wenig. Deshalb verlieren die Kondensatoren ihre Ladung nicht nur durch das Lesen, sondern auch durch „Leckströme“. Darum muss die Ladung der winzigen Kondensatoren einige tausend Male in der Sekunde aufgefrischt (nachgeladen) werden. Während des Vorgangs der Auffrischung, die englisch als „Refresh” bezeichnet wird, kann die CPU nicht auf die Daten zugreifen. DRAM ist wegen des simplen Funktionsprinzips günstig zu produzieren, wobei man hohe Packungsdichten erreicht. Deshalb wird DRAM als Arbeitsspeicher im PC eingesetzt. Bis etwa 1991 wurden DRAM-Einzelchips verwendet. 36 Stück davon mussten in die Fassungen der Hauptplatine eingesteckt werden, um ein Megabyte Arbeitsspeicher zu bestücken. Stellen Sie sich den Aufwand vor, wenn einer davon defekt war und man durch Auswechseln ermitteln muss, welcher der defekte ist! Zum Glück kamen die Konstrukteure auf die Idee, 9 oder 18 dieser Schaltkreise auf eine kleine Platine von etwa 13 x&nbsp;3&nbsp;cm aufzulöten. Eine solche Platine nennt man „Speichermodul“, siehe übernächste Seite. Die Hauptplatine mit maximal vier derartigen Modulen statt mit 36 einzelnen Chips zu bestücken, ist eine große Erleichterung. {{clear}} === Bauformen von DRAM === {{:Computerhardware: RAM: Geschwindigkeit}} Dynamischer RAM wird seit Jahrzehnten in den verschiedensten Bauformen gefertigt. Vor dem Jahr 2002 wurden die PCs mit RAM in der Bauform SDRAM bestückt, das ist die Abkürzung für „Synchronous Dynamic Random Access Memory“. Seitdem heißen die verwendeten Bauformen DDR-1, DDR-2, DDR-3 und DDR-4. ==== DDR-1 ==== Die Pentium-CPUs bis zum Pentium III arbeiteten mit sogenannten SDRAM-Speichermodulen zusammen, deren Geschwindigkeit für den Pentium&nbsp;4 nicht ausreichte. 1999 kamen die ersten „DDR“-Module auf den Markt. DDR steht für '''D'''oppelte '''D'''aten-'''R'''ate und bedeutet, dass zweimal pro Speichertakt Daten übertragen werden. Die erste Generation dieser Speicher (DDR-1) wurde mit 100&nbsp;MHz getaktet, wegen der Verdopplung wurden daraus 200 MHz. Da bei jedem Speicherzugriff gleichzeitig 8&nbsp;Byte (64&nbsp;Bit) übertragen werden, errechnet sich die Datenübertragungsrate als 200&nbsp;MHz x 8&nbsp;Byte = 1600&nbsp;MByte/s. Ein Speichermodul „PC3200“, bestückt mit „DDR-400“ Chips, erreichte maximal 3200&nbsp;MByte/s bei 200&nbsp;MHz. ==== DDR-2 ==== Eine erneute Verdopplung: Pro Speichertakt werden viermal Daten übertragen. Dadurch verdoppelt sich die Datenübertragungsrate erneut: Bei 100&nbsp;MHz Takt werden 3200&nbsp;MByte/s erreicht, maximal 8500&nbsp;MByte/s bei 266&nbsp;MHz sind möglich. ==== DDR-3 ==== Die Datenübertragungsrate verdoppelt sich zum dritten Mal: Pro Takt werden achtmal Daten übertragen. Die Datenübertragungsrate verdoppelt sich zum dritten Mal: Bei 100&nbsp;MHz Takt werden 6400&nbsp;MByte/s erreicht, maximal 19200&nbsp;MByte/s bei 300&nbsp;MHz sind möglich. ==== DDR-4 ==== Die Datenübertragungsrate wurde nicht verdoppelt, insofern ist DDR-4 keine neue Technologie. Die höhere Geschwindigkeit wird einerseits durch den höheren Speichertakt erreicht, andererseits durch eine höhere interne „Parallelisierung“. Bei DDR3-Modulen muss alle 64 Millisekunden ein Refresh-Zyklus stattfinden. Die DDR4-Speichermodule steuern die Refreshrate dynamisch: Bei niedriger Temperatur verlieren die Speicherzellen weniger Elektronen und die Refresh-Häufigkeit kann verringert werden. Das spart etwa 20 % Energie und die CPU muss seltener auf das Ende eines Refresh-Zyklus warten. Weitere 15 % Energie spart die auf 1,2 Volt verringerte Betriebsspannung. Erste Hersteller haben 2014 mit der Serienproduktion von „Stacked-DDR-4-RAM“ begonnen. Beim sogenannten „3D-Stacking“ werden wie bei der 3D-NAND-Technologie von SSDs mehrere Lagen Speicherzellen im Inneren des Chips übereinander gestapelt. Der Standard erlaubt bis zu acht Schichten von RAM-Zellen übereinander zu stapeln. Damit werden RAM-Riegel mit bis zu 512 GB möglich. ==== DDR-5 ==== DDR-5 wurde 2020 von der JEDEC standardisiert, die ersten Module und passenden Hauptplatinen kamen Ende 2021 auf den Markt. Die Betriebsspannung sank auf 1,1 Volt, die Spannungsregelung sitzt nun direkt auf dem Modul. Jedes Modul ist intern in zwei unabhängige 32-Bit-Kanäle aufgeteilt, was gleichzeitige Zugriffe beschleunigt. Die Geschwindigkeiten beginnen bei DDR5-4800. DDR-4- und DDR-5-Module haben beide 288 Kontakte, passen wegen einer anderen Kerbenposition aber nicht in den jeweils falschen Steckplatz. In Notebooks werden neben SO-DIMM-Modulen vereinzelt CAMM2-Module eingesetzt, die flach auf die Hauptplatine geschraubt werden. === Fehlerkorrektur === Normale Speichermodule für Desktop-PCs und Notebooks haben keine Fehlerkorrektur. Dafür gibt es spezielle ECC-Module (Error Correcting Code) mit zusätzlichen Speicherchips für Prüfbits. Sie können Einzelbitfehler korrigieren und Zweibitfehler erkennen. ECC funktioniert nur, wenn Prozessor und Hauptplatine es unterstützen, und wird vor allem in Servern und Workstations eingesetzt. Seit DDR-5 besitzt jeder Speicherchip zusätzlich eine interne Fehlerkorrektur (On-Die-ECC). Sie schützt die Daten innerhalb des Chips, nicht aber auf dem Weg zum Prozessor, und ersetzt deshalb keine ECC-Module. Auch der Inhalt von Prozessor-Cache, Flash-Speicher und Festplatten wird durch Fehlerkorrekturverfahren geschützt. Wozu ist das nötig? Es gibt zufällige Störungen, z. B. durch Spannungsspitzen von der Energieversorgung. Überall auf der Erde gibt es eine natürliche Radioaktivität. Außerdem dringen Reste des Sonnenwindes und von energiereicher kosmischer Strahlung bis zur Erdoberfläche vor und können die Ladung aus einem Bit herausschlagen. Einmal im Monat (sehr grob geschätzt) wird einer Ihrer RAM-Bausteine so getroffen, dass ein Bit seinen Wert verliert. Dazu ein interessantes Fundstück aus den 70er Jahren: ''„Das National Laboratory in Los Alamos (New Mexico, USA) hat sich bei IBM einmal beschwert, dass bei ihren Kollegen in Livermore (Kalifornien, USA) bei den gleichen Rechnern viel weniger Fehler auftreten. Dazu muss man wissen, dass Los Alamos auf ca. 2200 m Höhe liegt, während Livermore in der Nähe von San Francisco etwa auf Meereshöhe liegt. In Los Alamos ist die kosmische Neutronenstrahlung fünfmal stärker als auf Meereshöhe.“'' (gefunden auf http://www.elektronik-kompendium.de/sites/com/1504141.htm). Einzelbitfehler führen nur selten zu Abstürzen: Meist trifft es ungenutzte Programmteile oder Massendaten. Wenn in einer Video- oder Audiodatei ein Bit falsch ist, können Sie das unmöglich sehen oder hören. {|{{prettytable}} align="right" |+ Abstand der Mitte der Kerbe vom nächstgelegenen Rand ! ||Typ||Abstand |- |Desktop||SDRAM||24,5 mm |- |Desktop||DDR(-1)||60,0 mm |- |Desktop||DDR-2||62,7 mm |- |Desktop||DDR-3||55,0 mm |- |Desktop||DDR-4||62,4 mm |- |Desktop||DDR-5||64,1 mm |- |Notebook||DDR-2||16,3 mm |- |Notebook||DDR-3||24,8 mm |- |Notebook||DDR-4||31,3 mm |- |Notebook||DDR-5||33,6 mm |- |colspan="3" style="font-size:90%"|Alle Bauformen mit Pinzahl, Spannung und Maßen: [https://netzikon.net/guides/ram/speicher-bauformen.html RAM-Bauformen] |} === Welcher RAM ist der richtige für Sie? === Ob Sie DDR-1, -2, -3, -4 oder -5 brauchen, hängt ausschließlich von Ihrer Hauptplatine ab, denn für jeden RAM-Typ sieht der Steckplatz anders aus und er benötigt eine andere Versorgungsspannung. Die Anzahl der Kontakte ist unterschiedlich, und die Kerben befinden sich an unterschiedlichen Positionen. Sehen Sie im Handbuch der Hauptplatine nach, welcher Typ passt und welche Mindest- und Höchstgeschwindigkeit gefordert sind. Falls Sie aus dem englischen Handbuch nicht schlau werden, zeigen Sie es dem Verkäufer. Vielleicht können Sie auch einen der vorhandenen RAM-Bausteine ausbauen und als Muster mitnehmen. Oder Sie installieren SiSoft Sandra. Über „Hardware-Informationen“ → „Onboard-Geräte“ → „Hauptplatine“ → „Speicherbänke“ finden Sie die technischen Informationen zu Ihren Speichermodulen. Die Geschwindigkeit können und sollten Sie (außer bei Laptops) etwas höher als das geforderte Minimum wählen. Meist ist die schnellste der gängigen Geschwindigkeiten gleichzeitig die beliebteste und aufgrund der hohen Verkaufszahlen auch die günstigste. Damit verbunden ist bei kompletter Neubestückung ein messbarer, aber kaum spürbarer Geschwindigkeitsvorteil. Bei Mischbestückungen sollte das BIOS den Speichertakt so einstellen, dass das langsamste Modul damit zurechtkommt. Das klappt fast immer. Wenn Sie z. B. ein langsames 0,5-GB-Speichermodul DDR2-400 mit einem schnellen 2-GB-Modul DDR2-1000 ergänzen, würde das schnelle Modul von 1000 MHz auf 400 MHz heruntergetaktet. In diesem Fall ist es wahrscheinlich sinnvoller, auf das langsamere Speichermodul zu verzichten. Sie haben dann zwar weniger Speicher, der aber schneller getaktet wird. Schnellere Speichertypen benötigen manuelle Einstellungen, da sonst nur der vom Hauptplatinen-Hersteller freigegebene Maximaltakt benutzt wird. Der Preis solcher Module steigt aber unverhältnismäßig stark an, obwohl keine spürbare Mehrleistung im normalen Betrieb erzielt wird. {{clear}} === Warum den Arbeitsspeicher aufrüsten? === Die Größe des Arbeitsspeichers beeinflusst stark die Geschwindigkeit des Rechners. Wenn der Arbeitsspeicher knapp wird, muss das Betriebssystem prognostizieren, welche Programmkomponenten demnächst vermutlich nicht benötigt werden, und diese auf die (vieltausendmal langsamere) Festplatte auslagern. Wenn Sie einen vom Betriebssystem nicht vorausgeahnten Klick machen, muss das Betriebssystem ganz schnell irgendein ungenutztes Programmteil auslagern, um das von Ihnen gewünschte Programmteil laden zu können. Zu wenig Arbeitsspeicher bremst deshalb auch den schnellsten PC aus. Komplettsysteme sind mit RAM eher knapp ausgestattet, um einen günstigen Preis zu erreichen. Für ein wenig Surfen, Musik hören und Videos betrachten reicht das auch. Doch wenn es die Möglichkeit gibt, sollte man schon beim Kauf eine bessere RAM-Ausstattung wählen. Selbst wenn Ihr PC gleich nach dem Kauf schnell genug ist, wird er im Laufe der Monate immer langsamer. Wieso? * Im Laufe der Zeit werden immer mehr Programme installiert. Vergleichen Sie einmal die heutige Anzahl der installierten Programme mit dem Stand kurz nach dem Kauf! * Nicht nur die Programme belegen mehr Platz. Immer mehr Daten sammeln sich an. Fotos, Musik und Videos belegen viel Platz. Die Magnetköpfe der Festplatte müssen immer länger werdende Wege zurücklegen, um die benötigten Daten heranzuschaffen. * Das Antivirenprogramm lädt jeden Tag eine Liste von neuen Bedrohungen herunter. Je umfangreicher diese Liste ist, desto länger dauert das Scannen jeder einzelnen Datei. * Im Laufe der Zeit werden sowohl Windows als auch die installierten Programme durch Updates sowohl umfangreicher als auch langsamer. Ein Beispiel: Windows 7 Home in der 64-Bit-Version mit Servicepack 1 benötigte 1 + 80 + 11 + 1 Update, um den Stand vom 01.08.2012 zu erreichen. * Windows bewahrt alle je verwendeten Bibliotheken, Treiber u. a. im „Komponentenspeicher“ WinSXS auf, auch die nach Updates (voraussichtlich) nicht mehr benötigten Dateien. Allerdings wird nicht nur die Festplatte voller, sondern die zahlreicheren und größeren Dateien belegen mehr Arbeitsspeicher als vorher. Windows muss zunehmend oft ungenutzte Programmteile auslagern. Deshalb ist eine Aufrüstung (Vergrößerung) des Arbeitsspeichers meist sinnvoll. Durch ständige technologische Fortschritte sinken die RAM-Preise, etwa 20 bis 40 % in manchen Jahren. Doch das gilt nur für die jeweils neueste Technologie. Veraltete Technologien werden nicht mehr weiterentwickelt und die Produktionsmengen sinken, deshalb bleiben die Preise für ältere RAM-Typen auf hohem Niveau. 12 bis 18 Monate nach dem Kauf eines PC können Sie passende RAM-Module billig nachkaufen. Wesentlich länger als zwei Jahre mit dem Nachkauf zu warten kann riskant sein, weil dann die passende RAM-Sorte möglicherweise nicht mehr hergestellt wird oder in so geringer Menge, dass wegen andauernder Nachfrage die Preise nicht sinken. Mit der Vergrößerung des Arbeitsspeichers erzielt man ein sehr günstiges Verhältnis zwischen Preis und Leistungszuwachs. Mehr Leistung kann man auch durch das Auswechseln der CPU erreichen (falls das geht). Aber so eine Investition ist teuer (weil Sie die ausgebaute CPU nicht weiterverwenden können) und bringt vermutlich ein bescheidenes Resultat. == SRAM == Der statische Speicher (SRAM) speichert jedes Bit in einem Flipflop, einer Schaltung aus zwei über Kreuz verbundenen Invertern. Die übliche Speicherzelle besteht aus sechs Transistoren: vier bilden das Flipflop, zwei weitere verbinden die Zelle beim Lesen und Schreiben mit den Datenleitungen. Dieser höhere Schaltungsaufwand bringt deutliche Vorteile: * SRAM ist etwa einhundert mal schneller als DRAM. * SRAM benötigt keine Auffrischung (Refresh). * Die Information wird beim Auslesen nicht gelöscht, deshalb entfällt der bei DRAM notwendige Wiederherstellen-Zyklus. Deshalb wird SRAM in der CPU als Cache-Speicher verwendet. Ein großer Cache-Speicher ist derart wichtig für die Leistung der CPU, dass ungefähr die Hälfte der in einer CPU enthaltenen Transistoren für den Cache verwendet werden. Bitte nicht verwechseln: * SRAM = statisch (eine Transistorschaltung), * DRAM = dynamisch (Kondensatoren), * SDRAM = Synchroner DRAM = synchron angesteuerte Kondensatoren. == Warum kann man den Arbeitsspeicher nicht aus dem schnelleren SRAM fertigen? == Die CPU benötigt laufend Daten aus dem RAM. Während Prozessoren heute mit mehr als 2000 bis 3000&nbsp;Megahertz arbeiten, schaffen DRAM-Speicher bestenfalls 800&nbsp;MHz. Dieses Missverhältnis zwischen Speicher und Prozessortakt zwingt die CPU, sogenannte Wartezyklen einzuschieben, um auf Daten aus dem Speicher zu warten. Anders gesagt: Je schneller der Prozessor ist, desto öfter muss er auf Daten warten. In den letzten zehn Jahren sind CPUs etwa einhundert mal schneller geworden, während die RAM-Zugriffszeit im gleichen Zeitraum lediglich von 10&nbsp;ns auf 7&nbsp;ns gefallen ist. Schnellerer Speicher wäre wunderbar. Die DRAM-Technologie ist an der Grenze des Erreichbaren. Es wird intensiv nach alternativen Technologien gesucht, aber bisher ist keine der neuen Erfindungen in Massenproduktion gegangen. SRAM wäre wegen mit seiner Zugriffszeit von unter 0,1&nbsp;ns der ideale Ersatz, hat aber leider einige schwere Nachteile. * Ein Arbeitsspeicher aus SRAM von 1 GB Kapazität würde einige tausend Euro kosten. * SRAM belegt pro Bit eine etwa 15mal größere Fläche im Schaltkreis als DRAM * SRAM benötigt deutlich mehr Energie Der höhere Energie- und Flächenbedarf begrenzen die Verwendung von SRAM, vom Preis mal abgesehen. Die benötigte Leiterplattenfläche wäre riesig und die Datenwege würden zu lang werden. Um eine Strecke von 30 cm zu durchlaufen, braucht ein Lichtstrahl eine Nanosekunde. Elektrische Signale sind geringfügig langsamer als das Licht. Was nützt eine Zugriffszeit von unter 0,1 ns, wenn die Daten für den Weg bis zur CPU eine Nanosekunde brauchen? Die CPU müsste ganze drei Takte warten (bei einer 3-GHz-CPU entfallen drei CPU-Takte auf eine Nanosekunde). Abgesehen von den oben genannten Nachteilen wäre die Leistungssteigerung eines SRAM Hauptspeichers nicht signifikant im Vergleich zu modernen Cachearchitekturen. Mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Cache#Cachehierarchie Multilevelcaches], gefertigt aus SRAM (mit maximal nur wenigen MB Kapazität) und intelligenten [http://de.wikipedia.org/wiki/Cache#Arbeitsweise Schreibstrategien] sind vergleichbare Zugriffszeiten wie mit vollständig aus statischem RAM bestehendem Hauptspeicher möglich. {{:Computerhardware/ Vorlage/ Links2|RAM| * [[Computerhardware: RAM: 1 GB SRAM|Was würde 1 GB SRAM kosten?]] * {{w|Static_Random_Access_Memory#Statisches_RAM_.28SRAM.29|SRAM}} * {{w|Dynamic Random Access Memory|DRAM}} * {{w|Dynamisches_RAM#Produktgenerationen_von_DRAMs|Produktgenerationen von DRAMs}} | * {{w|Halbleiterspeicher#Halbleiterspeichertypen|Stammbaum der Halbleiterspeicher}} * [[Computerhardware: RAM: Aufrüstung|Speicher aufrüsten]] * [[Computerhardware: RAM: Kauf|Kaufberatung]] * [[Computerhardware: RAM: Montage|RAM einbauen]] }} tlz286bj1ysx4nxsijts8hsac8mo6it 0 67035 1091781 1091451 2026-09-28T16:16:43Z Netzikon 116920 1091781 wikitext text/x-wiki < [[Computerhardware: RAM|hoch zu RAM]] {|{{prettytable-R}} !Typ||Modul||Chip||Speichertakt||Übertragungsrate |- |rowspan="2"|SDRAM||PC100||PC100||100 MHz||800 MByte/s |- |PC133||PC133||133 MHz||1066 MByte/s |- |rowspan="4"|DDR-1||PC1600||DDR-200||100 MHz||1600 MByte/s |- |PC2100||DDR-266||133 MHz||2100 MByte/s |- |PC2700||DDR-333||166 MHz||2666 MByte/s |- |PC3200||DDR-400||200 MHz||3200 MByte/s |- |rowspan="6"|DDR-2||PC2-3200||DDR2-400||100 MHz||3200 MByte/s |- |PC2-4200||DDR2-533||133 MHz||4200 MByte/s |- |PC2-5300||DDR2-666||166 MHz||5300 MByte/s |- |PC2-6400||DDR2-800||200 MHz||6400 MByte/s |- |PC2-8000||DDR2-1000||250 MHz||8000 MByte/s |- |PC2-8500||DDR2-1066||266 MHz||8500 MByte/s |- |rowspan="7"|DDR-3||PC3-6400||DDR3-800||100 MHz||6400 MByte/s |- |PC3-8500||DDR3-1066||133 MHz||8500 MByte/s |- |PC3-10600||DDR3-1333||166 MHz||10666 MByte/s |- |PC3-12800||DDR3-1600||200 MHz||12800 MByte/s |- |PC3-16000||DDR3-2000||250 MHz||16000 MByte/s |- |PC3-17066||DDR3-2133||266 MHz||17066 MByte/s |- |PC3-19200||DDR3-2400||300 MHz||19200 MByte/s |- |rowspan="7"|DDR-4||PC4-12800||DDR4-1600||200 MHz||12800 MByte/s |- |PC4-17000||DDR4-2133||266 MHz||17066 MByte/s |- |PC4-19200||DDR4-2400||300 MHz||19200 MByte/s |- |PC4-21300||DDR4-2666||333 MHz||21333 MByte/s |- |PC4-22400||DDR4-2800||350 MHz||22400 MByte/s |- |PC4-24000||DDR4-3000||375 MHz||24000 MByte/s |- |PC4-25600||DDR4-3200||400 MHz||25600 MByte/s |- |rowspan="4"|DDR-5||PC5-38400||DDR5-4800||300 MHz||38400 MByte/s |- |PC5-44800||DDR5-5600||350 MHz||44800 MByte/s |- |PC5-48000||DDR5-6000||375 MHz||48000 MByte/s |- |PC5-51200||DDR5-6400||400 MHz||51200 MByte/s |} {{clear}} kdtplsghsuca8yg0hyg7m64hmkamh6k 0 78103 1091780 1091773 2026-09-28T15:47:33Z Intruder 1513 auf Version vom 27. November 2025, 18:26 Uhr von 20041027 tatsu zurückgesetzt (Vandaismus entfernt) 1091780 wikitext text/x-wiki {{Regal|ort=Religion}} [[Datei:Amitabha.JPG|miniatur|Buddha des unendlichen Lichtes (Mahayana)]] Buddhismus und Hinduismus sind zwei Religionen, die aus demselben Land (Indien) stammen und ähnliche spirituelle Begriffe verwenden. [[Wikipedia:de:Buddha|Buddha]] ist für viele Menschen ein hilfreiches spirituelles Vorbild. Er verkörpert den Weg der Ruhe und der Meditation. Der Hinduismus steht für lebensfrohe Feste, viele Götter und vor allem für Yoga als Entspannungs- und Gesundheitstechnik. Das Zentrum beider Religionen ist die [[w:Erleuchtung|Erleuchtung]]. In vielen Punkten stimmen der Buddhismus und der Hinduismus überein und in manchen nicht. Dabei ist zu beachten, dass es im Buddhismus und im Hinduismus unterschiedliche Richtungen gibt. == Grundzüge des Buddhismus == [[Datei:Buddha's statue near Belum Caves Andhra Pradesh India.jpg|miniatur|Buddha segnend]] Der Buddhismus ist die viertgrößte Religion der Erde. Die Buddhisten berufen sich auf die Lehren von Siddhartha Gautama, der im 5. Jahrhundert v. Chr. in Nordindien lebte. Ein Buddhist nimmt Zuflucht zum Buddha, zum Dharma (zu seiner Lehre) und zum Sangha (zur buddhistischen Gemeinschaft). Das Ziel der buddhistischen Praxis ist es, die Erleuchtung zu erlangen. „Buddha“ (wörtlich „Erwachter“) ist ein Ehrentitel, der sich auf die dauerhafte Erfahrung der Erleuchtung ("Erwachen") bezieht. Im Buddhismus versteht man unter einem Buddha ein Wesen, das die vollständige Erleuchtung erreicht hat. Ein Buddha hat das Nirwana verwirklicht und ist damit nach buddhistischer Überzeugung nicht mehr an den Kreislauf der Reinkarnation (Samsara) gebunden. Die Lehre Buddhas wird Dharma genannt. Basis des Dharma sind die Vier edlen Wahrheiten: 1. Das Leben im Daseinskreislauf beinhaltet Leid. 2. Die Ursachen des Leidens sind Anhaftung an weltliche Genüsse, Ablehnung von unangenehmen Situationen und Unwissenheit vom tieferen Sinn des Lebens (inneres Glück). 3. Werden die Ursachen aufgelöst, verschwindet das Leiden. 4. Der Weg zur Überwindung des Leidens ist der Edle Achtfache Pfad. Der Achtfache Pfad zur Erleuchtung besteht aus der richtigen Einsicht (im Wesentlichen leben), dem richtigen Entschluss (zum spirituellen Üben), der richtigen Rede (nicht lügen, andere durch Worte nicht verletzen), dem richtigen Handeln (nicht stehlen, nicht töten), dem richtigen Lebenserwerb (anderen Wesen nicht schaden, Gutes tun), dem richtigen Streben (nach Erleuchtung), der richtigen Achtsamkeit (auf die Gedanken) und der richtigen Sammlung (Meditation). Man kann die Essenz des Buddhismus zusammenfassen in '''Gedankenarbeit''' (Achtsamkeit auf die Eigenschaften innerer Frieden, Weisheit und Liebe) und '''Meditation'''. Die Meditation findet im Liegen, Sitzen, Stehen und Gehen statt. Die Gedanken werden durch das Gedankenstoppen und das Verweilen in der Meditation zur Ruhe gebracht. Die Hauptmeditation Buddhas sind '''die vier Versenkungsstufen''' Nachdenken, innere Ruhe, inneres Glück, Egoauflösung/Erleuchtung. Die vierte Versenkungsstufe ist für einen ungeübten Menschen schwer zu verwirklichen. Sie erfolgt grundsätzlich durch Gnade (von alleine). Je umfassender und ausdauernder ein Mensch den spirituellen Weg geht, desto eher kann er in ein Leben im Licht (Nirwana) gelangen. Es gibt heutzutage drei Hauptrichtungen des Buddhismus (Theravada, Mahayana und Vajrayana) und viele Unterformen (zum Beispiel den [[w:Amitabha-Buddhismus|Amitabha-Buddhismus]] und den [[w:Zen|Zen]]-Buddhismus). Der [[w:Theravada|Theravada]]-Buddhismus konzentriert sich auf die ursprüngliche Lehre Buddhas. Dabei geht es vor allem um die eigene Erleuchtung. Das Hauptziel ist es ein Heiliger (Arhat) zu werden und im Nirwana (Einheit) zu leben. Der [[w:Mahayana|Mahayana]]-Buddhismus ist der Weg der umfassenden Liebe. Das Hauptziel ist nicht die eigene Erleuchtung, sondern das Glück aller Wesen. Ein Mahayana-Buddhist sieht sich nicht getrennt von seinen Mitwesen, sondern empfindet sich als Teil der Welt. Er möchte alle Wesen auf dem Weg zur Erleuchtung mitnehmen. Er wünscht eine glückliche Welt und einen glücklichen Kosmos. Das Ideal im Mahayana ist es als [[w:Bodhisattva|Bodhisattva]] zu leben. Ein Bodhisattva arbeitet gleichzeitig für die eigene Erleuchtung und für die Erleuchtung aller Wesen. Wenn ein Bodhisattva die Erleuchtung erlangt hat, verzichtet er so lange auf das große Erlöschen im Parinirwana nach dem Tod, bis er alle seine Mitwesen auch gerettet hat. Er inkarniert sich grundsätzlich öfter auf der Erde. Der [[w:Vajrayana|Vajrayana]] („Diamantfahrzeug“) ist im Westen als Tibetischer Buddhismus bekannt. Er beruht auf den philosophischen Grundlagen des Mahayana, ergänzt diese aber um vielfältige Techniken. Dazu gehören Körperübungen (Niederwerfungen), Visualisierungen (Gottheiten-Yoga), Mantras, spirituelle Rituale, spezielle Meditationen, Einweihungen (Energieübertragungen) und die Arbeit mit erleuchteten Meistern ([[w:Guruyoga|Guruyoga]]). == Grundzüge des Hinduismus == Der [[w:Hinduismus|Hinduismus]] ist eine Religion, aus vielen Einzelreligionen, mit jeweils speziellen Vorbildern (Göttern) und spirituellen Techniken. Für den persönlichen Glauben haben religiöse Lehrer (Gurus) oft einen großen Stellenwert. Nur einzelne Richtungen gehen auf einen bestimmten Begründer zurück. Trotz aller Unterschiede können Hindus der verschiedenen Richtungen weitgehend gemeinsam feiern und beten. „Einheit in der Vielfalt“ ist eine oft verwendete Redewendung zur Selbstdefinition im modernen Hinduismus. Die wichtigsten Strömungen innerhalb des Hinduismus sind der Vishnuismus, der Shivaismus und der Shaktismus. Vishnuiten glauben, dass ihr höchster Gott [[w:Vishnu|Vishnu]] sich in mehreren Inkarnationen (Avatara) in der Welt manifestiert. Vishnu inkarniert sich vor allem dann in der Welt, wenn die kosmische Ordnung (Dharma) gefährdet ist und der Rettung bedarf. Zu den klassischen zehn Inkarnationen zählen [[w:Rama|Rama]] und [[w:Krishna|Krishna]]. Shivaiten halten [[w:Shiva|Shiva]] für den höchsten Gott. Shiva gilt als Gott der Asketen, der im Himalaya meditiert. Shivaiten können Dualisten (Gott und die Welt sind getrennt), Monisten (es gibt nur Gott) im Sinne [[w:Shankara|Shankaras]] oder auch [[w:Tantra|Tantriker]] (Gott ist männlich und weiblich) wie im Shivaismus Kaschmirs, sein. In manchen Strömungen des Shivaismus spielt Yoga eine große Rolle. Im [[w:Shaktismus|Shaktismus]] werden weibliche Gottheiten wie Durga, Lakshmi, Sarasvati, Kali oder Devi als wichtigste Hauptgottheit angesehen. Devi gilt als [[w:Mahadevi|Mahadevi]] (große Göttin), die alle anderen Göttinnen in sich vereint. Der Shaktismus betont die Rolle der Mutter als wichtiges Symbol für Gott. Wie die Kinder aus der Mutter so sind alle Wesen aus Gott (der höchsten kosmischen Dimension) entstanden. Die Verehrung der göttlichen Mutter kann ein hilfreicher Weg zur Erleuchtung sein. Man sieht sich dabei als Kind in der Geborgenheit der großen Mutter (des Kosmos) und entwickelt so ein Einheitsbewusstsein. === Moksha=== Moksha ist das Zentrum des Hinduismus. Es bedeutet Erlösung und wird oft auch als Erleuchtung bezeichnet. Moksha beinhaltet die Befreiung aus der Kette von Geburt, Tod (Shira) und Wiedergeburt (Samsara) und stellt das letzte Ziel des menschlichen Lebens dar. Zwar gibt es auch im Hinduismus eine Vorstellung vom Himmel, den eine Person mit gutem Karma nach dem Tod des Körpers genießen kann, dieser ist jedoch nur vorübergehend. Viele Traditionen beschreiben [[w:Erleuchtung|Erleuchtung]] als einen Zustand der Losgelöstheit vom 'Ich' und von der Anhaftung an die Welt. Der Mensch gelangt ins Sat-Chit-Ananda. Sat bedeutet in einem Zustand des Seins zu leben (in der anhaftungslosen Ruhe). Chit bezieht sich auf das Bewusstsein und wird meist im Sinne eines reinen unpersönlichen Bewusstseins verstanden (Einheitsbewusstsein, Gottesbewusstsein). Ananda ist die Glückseligkeit der Erleuchtung. Wer das anhaftungslose Sein und das Einheitsbewusstsein (kosmisches Bewusstsein) übt und verwirklicht, in dem entsteht von allein (durch Gnade) das innere Glück (die heitere Gelassenheit der Erleuchteten). Die Person, die während des Lebens vollkommende Erlösung erlangt hat, nennt man Jivan Mukta (befreite Seele). Die Traditionen des Hinduismus empfehlen drei, gelegentlich auch vier, verschiedene Wege, Moksha zu erreichen: [[w:Bhakti-Yoga|Bhakti-Yoga]] (den Weg der Gottesliebe), [[w:Jnana Yoga|Jnana Yoga]] (den Weg des Wissens) sowie [[w:Karma-Yoga|Karma-Yoga]] (den Weg der selbstlosen Tat). Der vierte Weg ist der [[w:Raja Yoga|Raja Yoga]]. Der Raja Yoga (königlicher Yoga) ist der Weg Gedankenarbeit (positives Denken) und der Meditation. Eine Vorstufe zum Raja Yoga ist der Hatha Yoga, der Weg der Körperübungen (Asanas). Erst trainiert ein Yogi seinen Körper und öffnet seine Energiekanäle (Chakren). Dadurch erwirbt er dann die Kraft (Energie) längere Zeit in der Meditation zu verweilen und in höhere Stufen des inneren Glücks zu gelangen. Wenn der Körper und der Geist ausreichend durch spirituelle Übungen (Yoga, Visualisierungen, Mantras, Atemtechniken) gereinigt sind, erwacht die Kundalini-Energie (inneres Glück) und der Yogi kann sich auf höhere Stufen der Meditation konzentrieren (Kundalini-Yoga, Gottheiten-Yoga, höhere Atemtechniken, Mudras, Verweilen in der Erleuchtung). Diese Übungen sind in der Hatha-Yoga-Pradipika, dem Grundwerk des Hatha Yoga, genau beschrieben. === Dharma === [[w:Dharma|Dharma]] ist ein zentraler Begriff sowohl im Hinduismus als auch im Buddhismus. Dharma beinhaltet im Hinduismus Gesetz, Recht und Sitte, ethische und religiöse Verpflichtungen. Hindus sehen die Beachtung des Dharmas nicht nur als Voraussetzung für soziales Wohlergehen, sondern auch für eine gute persönliche Entwicklung. Von der Erfüllung des Dharmas hängt für sie das zukünftige Karma ab. Das in den Schriften des Hinduismus beschriebene Ideal der vier Lebensstadien (Ashrama) teilt das Leben in vier Phasen ein: Brahmacharin (Schüler), Grihastha (Haushälter), Vanaprastha (in die Waldeinsamkeit Gehender) und Samnyasin (die Welt Aufgebender). Die Pflicht des Schülers ist, zu lernen und soziale Dienste zu leisten. Als „Haushälter“ soll man heiraten, Kinder haben, die Familie versorgen, den Bedürftigen geben, den sozialen und politischen Bedürfnissen der Gemeinschaft dienen. In die „Waldeinsamkeit“ soll man erst gehen, wenn die familiären Pflichten erfüllt sind. Dann kann man sich von materiellen Dingen lösen. Daraus entsteht dann als letzte Phase die Welt aufzugeben und erleuchtet in [[w:Brahman|Brahman]] (im Sat-Chit-Ananda) zu leben. Im Buddhismus beinhaltet Dharma die Lehre von den Vier Edlen Wahrheiten und vom Achtfachen Pfad zur Erleuchtung. Im Mahayana und Vajrayana verweist der Begriff neben der Lehre Buddhas zudem auf die Lehren der großen Bodhisattvas und aller Meister, die in der Nachfolge Buddhas Erleuchtung erlangt haben. Der tiefere Sinn des Lebens liegt sowohl nach dem Buddhismus als auch nach dem Hinduismus in der Erleuchtung. Der Weg dorthin ist die richtige Ausübung des Dharma. Dabei zentriert sich der Buddhismus auf das Leben als [[w:Buddhistisches Mönchtum|Mönch oder Nonne]]. Es ist aber auch möglich als Laienanhänger (weltlich lebender Mensch) ein Buddhist zu sein. Im Hinduismus wird meistens die Verbindung von Leben und Spiritualität betont. Es gibt aber auch das Leben in einem [[w:Ashram|Ashram]] oder als abgeschiedener Yogi. === Karma === [[w:Karma|Karma]] bezeichnet ein spirituelles Konzept, nach dem jede Handlung – physisch wie geistig – unweigerlich eine Folge hat. Diese muss nicht unbedingt im aktuellen Leben wirksam werden, sondern kann sich möglicherweise erst in einem der nächsten Leben manifestieren. Die Lehre des Karma ist eng mit dem Glauben an Samsara, den Kreislauf der Wiedergeburten, verbunden und an die Gültigkeit des Ursache-Wirkungs-Prinzips auf geistiger Ebene auch über mehrere Lebensspannen hinweg. Zu der Frage, wie sich die Früchte der Taten realisieren, gibt es mehrere Auffassungen: (1) die Seele verlässt nach dem Tod den Körper und wird in einem neuen, durch das Karma bedingten Leib neu geboren. (2) Die Vergeltung findet teils im Jenseits, teils in der neuen Existenz statt. (3) Gutes Karma kann eine zeitlich begrenzte Seligkeit im „Himmel" erwirken, schlechtes Karma dagegen einen Aufenthalt in der „Hölle“, jedoch nicht als endgültiger Zustand, sondern z. B. im Wechsel mit einer Tiergeburt. Alle guten Werke können religiöse Verdienste (punya) schaffen, die Karma abbauen. Eine gegensätzliche Strömung im Hinduismus betont die [[w:Karma#Hinduismus|„Nichttätigkeit“]] (nivritti). Sie wird insbesondere von den Yogis und Asketen vertreten. Ihr Weg besteht darin, sich aus der Welt zurückzuziehen, um alle Anhaftungen abzubauen und in ein glückseliges Sein zu gelangen. Auch gute Taten können zu Anhaftungen an andere Menschen oder an den Erfolg führen. Deshalb lehrte Krishna in der [[w:Bhagavad Gita|Bhagavad Gita]] den Weg des anhaftungslosen Tuns. Ein Mensch tut Gutes (Arjuna kämpft für die Guten), haftet aber nicht am Ergebnis seines Handelns an. Er trägt mit Gleichmut Sieg oder Niederlage. So wächst man durch positive Taten zur Erleuchtung. Die Bhagavad Gita akzeptiert aber auch den Weg des Yogis, der durch ein Leben in der Ruhe seine Anhaftungen (sein Karma) auflöst. [[w:Siddhartha Gautama|Buddha]] bevorzugte als Asket den Weg des Nichtstuns (als Yogi/Mönch leben). Er empfahl aber auch den Weg des Tuns. Er sprach: "Von allem Bösen abzusehen, das Gute zu tun und seinen eigenen Geist zu läutern, das ist die Lehre Buddhas. Wer andere Wesen quält, der hat kein Glück im nächsten Leben. Die Geizigen steigen nicht zur Götterwelt auf. Wer Gutes tut, erfährt Gutes im Jenseits und auch im nächsten Leben. Besser als die Geburt im Götterreich ist aber der Weg der Erleuchtung. Die glücklichen Buddhas werden auch von den Göttern verehrt." <ref>Nyanatiloka Mahathera: ''Dhammapada'', Seite 53 ff.</ref> Der Mahayana-Buddhismus gibt dem positiven Handeln sogar den Vorzug vor dem erleuchteten Nichtstun, solange es noch Leid auf der Welt gibt und nicht alle Wesen erleuchtet sind. Daraus entwickelte sich der sozial [[w:Engagierter Buddhismus|engagierte Buddhismus]] ([[w:Thich Nhat Hanh|Thich Nhat Hanh]]), für den soziales Handeln ein wichtiger Teil der spirituellen Praxis ist. Auch der [[w:Tendzin Gyatsho|Dalai Lama]] stellt das Glück aller Wesen in den Mittelpunkt seiner Lehre und führt ein aktives Leben. Dabei praktizieren der Dalai Lama und Thich Nhat Hanh jeder auf seine Art einen [[w:Mittlerer Weg|mittleren Weg]]. Sie handeln aus der Ruhe heraus für eine glückliche Welt. Sie leben im Gleichgewicht von Meditation und Gutes tun. == Gott == [[Datei:Brahma sarawati.jpg|miniatur|Brahma (Person) in Brahman (Gott, Einheitsbewusstsein). Das Einheitsbewusstsein entsteht durch die gleichzeitige Meditation in alle Himmelsrichtungen (vier Gesichter).]] Der Begriff [[w:Gott|Gott]] bezeichnet ein höheres Prinzip im Kosmos. Dieses Prinzip ist mit dem normalen dualistischen Verstand nicht vollständig zu erfassen. Gott ist ein [[w:Mystische Erfahrung|Mysterium]], das man in der Erleuchtung begreift und erfährt.<ref> Nils Horn: [http://knol.google.com/k/erleuchtung-gott-und-gottesbeweis ''Erleuchtung, Gott und Gottesbeweis''] (Knol-Artikel 2009)</ref> Es gibt in den Religionen den persönlichen und den abstrakten Gottesbegriff. Manche Erleuchtete ([[w:Mystik|Mystiker]]) beschreiben Gott eher als Person und manche als höhere Dimension im Kosmos. Im Hinduismus dominiert die abstrakte Gottesvorstellung und wird Brahman genannt. Im Buddhismus wird das oberste Prinzip nicht explizit benannt, denn "Dhamma" (Pali) bzw. "Dharma" (Sanskrit) steht für "ewige Wahrheit" sowie für die buddhistische Lehre dahin, "Nirvana" hingegen für einen erlösten Bewusstseins- bzw. Seins- Zustand, der sowohl metaphysisch abstrakt wie auch konkret für das "Hier und Jetzt" verstanden werden kann. Um Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Buddhismus und Hinduismus zu erkennen, müssen die Begriffe genau analysiert werden. [[w:Nirwana|Nirwana]] ist das buddhistische Heilsziel. Es wird erreicht durch Erleuchtung (Bodhi), einer erlösenden Erkenntnis jenseits der dimensionalen Begrenzung und der Begehrensverzeichnung des gewöhnlichen Bewusstseins und damit einhergehend gleichermaßen einer Erlösung des individuellen Sein, den Austritt aus [[w:Samsara|Samsara]], dem Kreislauf des Leidens und der Wiedergeburten (Reinkarnation). Nirwana wird auch bezeichnet als „Erlöschen“ (wörtlich „Ver-wehen“) und verweist neben der Erkenntnis der Allheit und der ungetrennten Erlebensteilhabe eben daran gleichsam auf ein Verlöschen des Ich-Bewusstseins. Der Erleuchtete nimmt sich nicht mehr als getrennte Entität von anderen wahr sondern lebt mit seinem Bewusstsein in einer höheren Dimension der Einheit (Fülle, Glück), der Allheit (umfassendes Begreifen und Auflösung des unterscheidenden Bewußtseins) sowie der Leere (von Gedankenmanifestationen). Nirwana ist nicht etwas, das sich erst mit dem Tod einstellt, sondern kann schon im Leben erreicht werden (Zustand des Arhat, Heiligen). Es ist gleichbedeutend mit einem Leben in der Ruhe und im Glück: "Ein Buddha lebt sanftmütig in einer Welt des Kampfes. Er verweilt suchtlos in einer Welt der Süchte. Er ruht leidbefreit in einer Welt des Leidens. Nirwana ist das höchste Glück. Gut ist es einen Erleuchteten zu treffen. Sein Licht erhellt die Welt. Seine Weisheit weist den Weg zum Glück."<ref>Nach Nyanatiloka Mahathera: ''Dhammapada'', Seite 57 ff.</ref> Im Mahayana-Buddhismus wird ähnlich wie im Christentum und im Hinduismus auch mit einem persönlichen Gottesbegriff gearbeitet. Buddha wird als Personifizierung des Nirwanas gesehen. Als erleuchtetes Wesen verfügt er über besondere spirituelle Kräfte und kann damit anderen Wesen helfen. Buddhastatuen und Bilder dienen deshalb als Verehrungsobjekte und können angebetet werden. Dazu werden im Buddhismus meistens Mantras gesprochen. [[w:Brahman (Philosophie)|Brahman]] bezeichnet in der hinduistischen Philosophie eine unveränderliche und transzendente Realität, aus der alle Materie hervorgeht. Brahman ist das Unsterbliche, das noch über den Göttern steht. Alle Götter im Hinduismus sind Wesensheiten, die aus der Ursubstanz Brahman hervorgegangen sind. Gott ist in seinem Zentrum "Brahman", die höchste Dimension im Kosmos. Abgeleitet von der Wurzel brh, wachsen, sich weiten, bedeutet Brahman das Weite, das Unendliche, das Absolute. Brahman ist ein unpersönliches Konzept vom Göttlichen, das keinen Schöpfer und keinen Lenker beinhaltet, ein Urgrund des Seins, eine höhere Dimension, ohne Anfang und ohne Ende. Brahman ist nicht definierbar in Raum und Zeit. Obwohl attributlos wird es doch als [[w:Sat-Chit-Ananda|Sat-Chit-Ananda]] beschrieben und erfahren. Sat-Chit-Ananda ist im Hinduismus ein Begriff für einen Bewusstseinszustand, den man durch die Erleuchtung erlangt. Ein Erleuchteter lebt in der Ruhe, im Einheitsbewusstsein (kosmischen Bewusstsein) und im Glück. Sat bezieht sich auf das anhaftungslose Sein. Das Ich-Bewusstsein erlöscht und der Mensch gelangt in das Einheitsbewusstsein (Chit). Aus der Verbindung des Seins mit dem Einheitsbewusstsein entsteht dann von alleine (aus Gnade) das innere Glück (Ananda). Swami [[w:Sivananda|Sivananda]] schrieb über Brahman: "Wer Brahman verwirklicht hat, wird still. Absolutes Glück ist die höchste Wirklichkeit. Erhebe dich Schritt für Schritt zur transzendenten Erfahrung, wo alle Namen und Formen verschwinden und nur noch die Freude im Selbst existiert. Die göttliche Gnade ist der größte Schatz im Leben. Unwissenheit besteht so lange, wie das Ichdenken vorhanden ist. Ichdenken ist große Verwirrung. Gott ist die Quelle allen Glücks. Alle Wesen sind in ihm. Gott ist reiner Geist. Gott ist der Weg und das Ziel. Denke daran, dass Gott immer mit dir, in dir und um dich herum ist. Du wirst dadurch große Kraft, inneren Frieden und inneres Glück haben."<ref>Swami Sivananda: ''Sadhana", Seite 404 f.</ref> Der Unterschied zwischen dem Buddhismus und dem Hinduismus in Bezug auf das höchste Ziel besteht darin, dass der Begriff ''Nirwana'' die Leerheit (die Ich-Auflösung) und der Begriff ''Brahman'' die Einheit (das Einheitsbewusstsein, die Fülle) betont. In der Erleuchtung existieren beide Wahrnehmungen gleichzeitig. Es sind zwei Seiten derselben Münze. Das ergibt sich bereits aus den Aussagen Buddhas zur Erleuchtung.<ref>Nyanatiloka Mahathera: ''Dhammapada'', Seite 57 ff.</ref> Der erleuchtete Hindu-Meister Swami Sivananda sagte dasselbe.<ref>Swami Sivananda: ''Sadhana", Seite 404 f.</ref> Manche Menschen müssen sich auf die eine Seite und manche auf die andere Seite der Münze konzentrieren, um in den Zustand der Erleuchtung zu gelangen. == Seele == [[Datei:Vishnu Mandala.jpg|miniatur|Der Gott der Liebe Vishnu mit seinen zehn Inkarnationen]] [[w:Atman|Atman]] ist ein Begriff aus der indischen Philosophie. Er bezeichnet das individuelle Selbst und wird häufig als Seele übersetzt. Nach hinduistischer Vorstellung ist der Mensch in seinem innersten Wesen eine unsterbliche Seele (Atman), die sich nach dem Tode des Körpers reinkarniert. Die buddhistische Lehre von Anatman ([[w:Anatta|Anatta]]) erklärt das Nichtvorhandensein eines permanenten und unveränderlichen Selbsts, eines festen Wesenskernes oder einer unveränderlichen Seele. Was normalerweise als das „Selbst“ betrachtet wird, ist danach nur eine Ansammlung von sich konstant verändernden, physischen und psychischen Bestandteilen. Wenn es nach dem Buddhismus kein festes Selbst gibt, keine dauerhafte Essenz einer Person, was wird dann wiedergeboren? Es ist der karmische Impuls (die Gedankenstrukturen), der die Verbindung zwischen den einzelnen Leben herstellt. Das Selbst ist wie eine brennende Kerze. Im Moment des Verlöschens wird eine neue Kerze an der Flamme entzündet. Die Flamme (der Charakter) bleibt erhalten, die Kerze (der Mensch) ist eine neue. Es besteht kein großer Unterschied zwischen der hinduistischen und der buddhistischen Seelentheorie, wenn man die Seele als ein Schwingungsfeld aus Gedanken und Gefühlen ansieht. Der Hinduismus betont die Kontinuität der Seele und der Buddhismus die Eigenständigkeit der einzelnen Inkarnationen. Beides ist gleichzeitig wahr. Es gibt Kontinuität verbunden mit Eigenständigkeit. Der Charakter eines Menschen bleibt erhalten, aber jede Inkarnation fühlt sich als eigenes Ich. Eine Seele kann sich weiter entwickeln. Sie kann positive Eigenschaften üben, meditieren und so ihr Wesen bis zur Erleuchtung hin verändern. Dann erfährt sie sich als Nicht-Selbst (Anatman, Anatta). Sie löst ihr Ich-Bewusstsein auf und erkennt sich als Teil des Kosmos (kosmisches Bewusstsein). Sie sieht sich in allen Erscheinungen des Universums. Sie lebt als reines Bewusstsein im Frieden und Glück des Nirwana (in Gott). Eine Seele stabilisiert ihr inneres Glück (Erleuchtung), wenn sie in der Ruhe lebt, alle Wesen liebt, allen auf dem Weg des Glücks hilft und sich selbst das gibt, was sie für sich selbst braucht. Die große Frage ist, was mit einem Buddha (vollständig erleuchteten Wesen) nach dem Tod geschieht. Buddha Shakyamuni ([[w:Siddhartha Gautama|Siddhartha Gautama]]) hat diese Frage als spekulativ angesehen und nicht beantwortet. <ref>Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha.'' Seite 163.</ref> Wenn alle Bewusstseinsschwingungen (Gedankenimpulse) zur Ruhe kommen, müsste die Seele (Bewusstseinsflamme) sich in das große Bewusstseinsmeer der höchsten kosmischen Dimension auflösen (wenn die Idee stimmt, dass der Kosmos im Zentrum aus Bewusstsein besteht). Nur noch die Lehre eines Buddhas, sein symbolisches Vorbild und seine Anhänger (Sangha) bleiben auf der Erde zurück. Swami [[w:Sivananda|Sivananda]] hat als erleuchteter Hindu die Frage mit einem Gebet beantwortet: "Möge meine Seele ewig bestehen bleiben, um den Wesen im Kosmos zu helfen."<ref>Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis'', Seite 172.</ref> Andererseits lehrte er aber auch das Ziel des Nirwana. <ref>Swami Sivananda: ''Sadhana", Seite 348.</ref> Nach seiner Sicht kann eine erleuchtete Seele vollständig eins mit Brahman (Gott, dem Bewusstseinsmeer) werden und sich so buddhistisch gesehen auflösen. Ein Hindu würde sagen, dass die erleuchtete Seele jetzt als Urseele (Brahman) ewig weiterexistiert. Ein Erleuchteter kann aber die Entscheidung treffen, nicht vollständig ins höchste Sein (ins höchste Glück) einzugehen, sondern entweder im Jenseits aus Liebe zu seinen Mitwesen weiter zu existieren oder sich sogar wieder auf der Erde zu inkarnieren (Nitya Siddha). Ein [[w:Mahayana|Mahayana]]-Buddhist hat diese Entscheidung bereits getroffen. Solange es leidende Wesen gibt, wird er als Helfer ([[w:Bodhisattva|Bodhisattva]]) weiterleben. == Vorbilder == [[Datei:Meditating Buddha.JPG|miniatur|Meditierender Buddha (Zen)]] Der Buddhismus und der Hinduismus unterscheiden sich im spirituellen Vorbild. Das spirituelle Hauptvorbild aller Buddhisten ist Buddha. Wobei es wiederum sehr vielfältige Buddhavorstellungen unter den Buddhisten gibt. Buddha wird als historische Person und als transzendentes Prinzip, als Name für die vollendete Erleuchtung, angesehen. Und dann gibt es im Mahayana-Buddhismus noch viele Bodhisattvas und einige Götter, die aus dem Hinduismus übernommen wurden (Tara, Sarasvati, Ganesha). Trotzdem bleibt der Begriff Buddha ein spirituelles Symbol, das alle Buddhisten verbindet und den Buddhismus von anderen Religionen abgrenzt. Buddha sah sich weder als Gott noch als Überbringer der Lehre eines Gottes. Er stellte klar, dass er die Lehre, Dhamma (Pali) bzw. Dharma (Sanskrit), nicht aufgrund göttlicher Offenbarung erhalten, sondern vielmehr durch eigene meditative Schau (Kontemplation) ein Verständnis der Natur des eigenen Geistes und der Natur aller Dinge gewonnen habe. <ref>Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha.'' Seite 92.</ref> Diese Erkenntnis sei jedem zugänglich, der seiner Lehre und Methodik folge. Dabei sei die von ihm aufgezeigte Lehre nicht dogmatisch zu befolgen. Im Gegenteil warnte er vor blinder Autoritätsgläubigkeit und hob die Selbstverantwortung des Menschen hervor. Im Hinduismus werden viele verschiedene Vorbilder verehrt. Zwar ist Brahman das gemeinsame Ziel, aber aus der absoluten Realität (dem Licht, Gott, der höheren Bewusstseinsdimension im Kosmos) manifestieren sich dann viele Gottheiten und erleuchtete Meister. Diese Gottheiten werden als symbolische Vorbilder für die Erleuchtung und auch als reale Wesen gesehen, die man anbeten kann. Die Gottheiten können sich als reale Personen auf der Erde inkarnieren (Avatar). Der Gott der Liebe Vishnu inkarniert sich zehnmal auf der Erde, um die Welt zu retten und das Gleichgewicht unter den Guten und den Schlechten wieder herzustellen. In seiner siebten Inkarnation kam er als Rama und in seiner achten Inkarnation als Krishna. Viele indische Gurus wie Sathya Sai Baba, Mata Amritanandamayi und [[w:Mutter Meera|Mutter Meera]] verstehen sich als Avatar. Buddha wird im Hinduismus als der neunte Avatar Vishnus angesehen.<ref>Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis'', Seite 60.</ref> Darin kann man den Versuch sehen, den Buddhismus durch den Hinduismus aufzusaugen. Man kann es aber auch positiv als eine Geste der Toleranz deuten. Umgekehrt wurden auch Götter des Hinduismus vom Mahayana-Buddhismus übernommen und den Inkarnationen Vishnus durch die Bodhisattvas (erleuchtete Wesen der umfassenden Liebe) eine Konkurrenz geschaffen. Manche Hindus glauben, dass der Buddhismus nur eine Reformation des Hinduismus ist. Dass Buddha nur einige Missstände innerhalb des Hinduismus reformieren wollte.<ref>Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis'', Seite 57.</ref> Buddha selbst unterstützt diese Ansicht mit den Worten: "Ich lehre nur das, was alle Weisen sagen."<ref>Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha.'' Seite 212 f.</ref> Er sah vor allem die Einheit der Religionen und der Erkenntnis aller Erleuchteten. == Kastenwesen == Ein wichtiger Unterschied zwischen dem Hinduismus und dem Buddhismus ist das Kastenwesen. Der Buddhismus lehnt die Einteilung der Menschen in Kasten ab. Für ihn sind alle Menschen gleich, weil alle das Erleuchtungspotential in sich tragen.<ref>Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha.'' Seite 366.</ref> Diese Auffassung wird auch von vielen hinduistischen Yoga-Meistern vertreten (Patanjali/Yogasutra, Amritanandamayi, Swami Sivananda, Mutter Meera). Im modernen Yoga geht man von der Gleichheit aller Menschen aus. In der indischen Verfassung ist die Diskriminierung aufgrund der Kastenzugehörigkeit verboten. In der sozialen Realität in Indien spielt sie aber weiterhin eine große Rolle.<ref>Hans Wolfgang Schumann: ''Die großen Götter Indiens. Seite 29 ff.</ref> Viele Hindus sind wegen der Kastendiskriminierung zum Buddhismus übergetreten.<ref>Hans Wolfgang Schumann: ''Die großen Götter Indiens. Seite 36.</ref> == Spirituelle Techniken == [[Datei:Bangalore Shiva.jpg|miniatur|Meditierender Yogagott Shiva]] Die spirituellen Techniken von Buddha und des Yogaweisen Patanjali (Yoga-Sutra, Raja-Yoga) sind ähnlich. Buddha lehrte den achtfachen Pfad, der mit der Gedankenarbeit (richtiges Denken, richtiges Verhalten) beginnt und mit der richtigen Versenkung endet. Patanjali (Hinduismus) lehrte den achtfachen Yogaweg (Ashtanga Yoga) beginnend mit den richtigen Verhaltensweisen (Yama und Niyama) und abschließend der Meditation. Der Weg der Erleuchtung besteht im Wesentlichen aus konsequenter Gedankenarbeit (innerer Frieden, umfassende Liebe, Weisheit, Selbstdisziplin und inneres Glück üben) und regelmäßiger Meditation. Dann kommt der Geist zur Ruhe, der Mensch ruht in seiner wahren Natur (in Gott) und das innere Glück erwacht. Buddha lehrte dazu den Weg der vier Versenkungsstufen. So gelangt man ins Nirwana. Patanjali erklärte, dass Yoga im Zentrum Beruhigung der Gedanken ist (Yogasutra). Bei Patanjali gibt es den Dreischritt aus Konzentration, Meditation und Samadhi. Erst bringt der Yogi durch Konzentration seine Gedanken bewusst zur Ruhe. Dann beobachtet er die Gedanken nur, läßt sie frei fließen und sich von selbst im Laufe der Zeit weiter beruhigen. Irgendwann gibt es einen inneren Umschwung und der Yogi ist im Glück. Er ruht in Brahman, im Sat-Chit-Ananda (Sein-Einheitsbewusstsein-Glückseligkeit). [[w:Vipassana|Vipassana]] und [[w:Zazen|Zazen]] sind die im Westen bekanntesten buddhistischen Meditationsformen. Beide Schulen lehren das nicht wertende und absichtsvolle Gewahrsein im Hier und Jetzt, ohne an Gedanken, Empfindungen oder Gefühlen zu haften. Ziel der Meditation ist die transzendente spirituelle Erfahrung, die als Auflösung der Dualität beschrieben wird. Bei der Samatha-Meditation, die auch Geistesruhe-Meditation genannt wird, konzentriert sich der Übende auf ein Objekt wie zum Beispiel den Atem, ein Bild, einen Gedanken oder ein Mantra. Die Samatha-Meditation führt dann meistens zur Vipassana-Meditation, bei der die Gedanken kommen und gehen können wie sie wollen. Die Zen-Meditation ähnelt der Vipassana-Meditation. Sie ist nur stärker ritualisiert. Und vor allem findet normalerweise ein ständiger Wechsel zwischen Gehen und Sitzen statt. Die Gehmeditation ist eine Besonderheit im Buddhismus. Im Hinduismus gibt es vergleichbar dazu die Körper-Übungen im Hatha Yoga und die Technik des Pilgerns. Swami Sivananda praktizierte das tägliche Joggen und bei Swami Vishnu-devananda gab es regelmäßige Waldspaziergänge. Im 7. Jahrhundert nach Christi entwickelten die Shiva-Anhänger Matsyendra und sein Schüler [[w:Goraksha|Goraksha]] den Weg des Hatha Yoga, der aus einer Vielfalt von Techniken besteht. Es gibt Körperübungen (Yoga) und verschiedene Meditationstechniken, die auf der Aktivierung der Kundalini-Energie durch den Atem, Visualisierungen und Mantras beruhen. Der heutige Yoga ist ein System aus vielfältigen Methoden zur Erweckung der Erleuchtungsenergie (Glücksenergie). Er hat den einfachen Erleuchtungsweg aus Konzentration (Samatha) und Meditation (Achtsamkeit) weit überschritten und ist zu einer vielfältigen spirituellen Praxis übergegangen (Gottheiten-Yoga, Meister-Yoga, Karma-Yoga, Mantra-Yoga, Tantra-Yoga). Parallel zum Hatha Yoga entstand in Tibet der [[w:Vajrayana|Vajrayana]]. Der indische Yogi und Buddhist Padmasambhava brachte die ganze Vielfalt der Yogatechniken nach Tibet. In der Folgezeit wurde daraus das spirituelle System des tibetischen Buddhismus entwickelt. Für den Hinduismus hat Swami [[w:Sivananda|Sivananda]] das indische Yogawissen zusammengefasst und in ein spirituelles System gebracht. <ref>Swami Sivananda: ''Sadhana", Seite 179.</ref> [[w:Anandamayi Ma|Anandamayi Ma]] hat den kreativen Hatha Yoga und Gottheiten-Yoga entwickelt, bei dem intuitiv die jeweils passenden Übungen gefunden werden.<ref>Bithika Mukerji: ''Matri Lila'', Seite 61 ff.</ref> Ramakrishna hat die Einheit aller Religionen erfahren und Übungen aus vielen Religionen praktiziert. Die heutigen Yoga-Meister lehren bei individuellen Unterschieden meistens einen vielfältigen Übungsweg. Im Westen dominiert dabei der Weg der Körperübungen (Yoga). Zusammenfassend kann gesagt werden, dass es im Buddhismus den ruheorientierten Weg des Vipassana und des Zen gibt. Daneben existiert der vielfältige tibetische Buddhismus (Vajrayana). Im Hinduismus findet man parallel dazu den traditionellen Weg von Patanjali (Raja-Yoga) und den vielfältigen Übungsweg der neueren Zeit (Hatha-Yoga, Bhakti-Yoga, Karma-Yoga, Tantra-Yoga, Gottheiten-Yoga, Mantra-Yoga). Eine große Gefahr auf jedem spirituellen Weg ist das formale Üben, bei dem man leere Rituale praktiziert, die einen spirituell nicht wirklich voranbringen. Buddha wandte sich gegen diese Form des spirituellen Übens. Er riet den Brahmen statt äußerlich perfekter Rituale lieber die Erleuchtung (Vereinigung mit Brahma) zu verwirklichen. Ohne eine eigene Erleuchtungserfahrung (Brahma von Angesicht sehen) blieben alle ihre spirituellen Unterweisungen nur leeres Gerede.<ref>Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha.'' Seite 366 ff.</ref> Es ist hilfreich spirituelle Bücher (Jnana Yoga) zu lesen und eine gute spirituelle Ausbildung zu machen. Letztlich kann man nach der im Hinduismus herrschenden Ansicht der Gefahr des formalen Übens nur entgehen, wenn man einen erleuchteten Meister hat. Ansonsten bringt man alle Übungsanweisungen immer in das persönliche System des rationalen dualistischen Denkens. Erleuchtung besteht aber gerade darin, die dualistische Weltsicht zu überschreiten und in eine höhere Bewusstseinsebene (Nirwana, Brahman) zu gelangen.<ref>Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis'', Seite 20.</ref> Dabei kann einem nur jemand helfen, der das spirituelle Ziel bereits kennt. Insofern ist es gut, dass der tibetische Buddhismus ebenso wie der hinduistische Yoga (Swami Sivananda, Amritanandamayi, Mutter Meera) die Bedeutung eines erleuchteten Meisters hervorheben (Guruyoga).<ref>Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis'', Seite 58.</ref> Andererseits gibt es gerade im Hinduismus und manchmal auch im tibetischen Buddhismus kritikwürdige Gurus. Der Dalai Lama empfiehlt deshalb jeden Meister genau zu prüfen, bevor man sich auf den Weg mit ihm begibt. <ref>Dalai Lama: ''Dzogchen.'' Seite 40.</ref> Es gibt viele Fallen auf dem spirituellen Weg, die man am besten mit einer klaren Verankerung in seiner persönlichen Wahrheit und Weisheit überwindet. Und mit ewiger Ausdauer und Selbstdisziplin, bis man das spirituelle Ziel erreicht hat.<ref>Padmasambhava: ''Der Führer auf dem Weg zur Wahrheit,'' Seite 34 ff.</ref> <gallery> Datei:Meditating Buddha.JPG|Buddha der Ruhe (Zen-Buddhismus) Datei:Buddha's statue near Belum Caves Andhra Pradesh India.jpg|Buddha segnend (Mahayana-Buddhismus) Datei:Vajrasattva Tibet.jpg|Buddha der Kraft (Vajrayana, Tibet) Datei:Buddha der Liebe.jpg|Budda der Liebe gehend (Amitabha) Datei:Brahma sarawati.jpg|Brahma (Person) in Brahman (Gott) Datei:Vishnu Mandala.jpg|Vishnu mit seinen zehn Inkarnationen (Avataren) Datei:Bangalore Shiva.jpg|Shiva meditierend (Selbstdisziplin) </gallery> == Literatur == * Amritatma Chaitanya (Herausgeber): ''Mata Amritanandamayi. Mutter der unsterblichen Glückseligkeit. Leben und Lehre einer jungen indischen Weisen unserer Zeit.'' 2. Auflage, Ansata-Verlag, Interlaken (Schweiz) 1993, ISBN 3-7157-0121-8. * Hans-Peter Dürr: ''Am Anfang war der Quantengeist.'' In: [http://www.pm-magazin.de/de/heftartikel/ganzer_artikel.asp?artikelid=1944 PM Magazin 05/2007]. * Amit Goswami: ''Das bewusste Universum. Wie Bewusstsein die materielle Welt erschafft.'' Lüchow Verlag, Stuttgart 2007, ISBN 978-3-7831-9032-8. * Dalai Lama: ''Dzogchen. Die Herz-Essenz der Großen Vollkommenheit.'' Theseus Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-89620-171-9. * Bithika Mukerji: ''Matri Lila. Shri Anandamayi Ma. Ihr Leben - Ihre Lehre.'' Mangalam Verlag S. Schang, Lautersheim 1999, ISBN 3-922-477-05-4. * Nils Horn: [http://knol.google.com/k/erleuchtung-gott-und-gottesbeweis ''Erleuchtung, Gott und Gottesbeweis.''] Knol-Artikel, Hamburg 2009, ISBN 978-1-4092-9637-9. * Nyanatiloka Mahathera: ''Dhammapada. Worte des Buddha.'' Jhana Verlag, Uttenbühl 1995, ISBN 3-931274-01-2. * Hermann Oldenberg: ''Reden des Buddha. Lehre, Verse, Erzählungen.'' Verlag Herder im Breisgau 1993, ISBN 3-451-4112-X. * Padmasambhava: ''Der Führer auf dem Weg zur Wahrheit.'' Arbor Verlag, Schönau 1991, ISBN 3-924195-12-9. * Swami Sivananda: ''Göttliche Erkenntnis''. Mangalam Verlag, S. Schang, Lautersheim 2001, ISBN 3-922477-00-3, Seite 57 ff (Kapitel Buddhismus). * Swami Sivananda: ''Sadhana. Ein Lehrbuch mit Techniken zur spirituellen Vollkommenheit". Mangalam Verlag, S. Schang, Lautersheim 1998, ISBN 3-92247-07-3. * Hans Wolfgang Schumann: ''Die großen Götter Indiens. Grundzüge von Hinduismus und Buddhismus.'' Eugen Diederichs Verlag, München 1996, ISBN 3-424-01332-3. == Einzelnachweise == <references /> == Projektdefinition == * '''Zielgruppe:''' "Alle Interessierten" * '''Lernziele:''' "Grundverständnis Buddhismus, Hinduismus, Gott, Seele und Erleuchtung“ [[Kategorie: Buch]] egglj5jgqbv40yr0mm147guw1jyvwpt 0 86894 1091789 1066511 2026-09-29T06:16:46Z ~2026-52106-70 116969 /* */ 1091789 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson |HERSTELLER= Massey Ferguson}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = Massey Ferguson | MODELLREIHE = 303er Baureihe | MODELL = MF 383 (A) | BILD = Massey Ferguson 383.jpg | BILDBESCHREIBUNG = Massey Ferguson 383 | BAUWEISE = Blockbauweise | PRODUKTIONSBEGINN = 1987 | PRODUKTIONSENDE = 1994 | STÜCKZAHL = | EIGENGEWICHT = 2.860 (A: 3.065) | LÄNGE = 3.710 (A: 3.800) | BREITE = 1.990 | HÖHE = 2.320 | RADSTAND = 2.281 (A: 2.257) | BODENFREIHEIT = 515 (A: 410) | SPURWEITE = | SPURWEITE VORNE = 1.420-1.920 (A: 1.500-2.048) | SPURWEITE HINTEN = 1.324-2.006 | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 3.960 (A: 4.130) | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 4.560 (A: 4.780) | BEREIFUNG VORNE = 9.00-16 ASF (A: 13.6 R 24 AS ) | BEREIFUNG HINTEN = 16.9 R 34 AS | LEISTUNG KW = 52,3 | LEISTUNG PS = 71 | NENNDREHZAHL = 2.200 | ZYLINDER = 4 | HUBRAUM = 3.866 | DREHMOMENTANSTIEG = 17 | KRAFTSTOFF = Diesel | KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung | ANTRIEBSTYP = Heck- oder Allradantrieb | GETRIEBE = 12V/4R | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 40 | KATEGORIESORTIERUNG = }} Als zweites Vierzylinder-Modell stand der MF 383 im Massey Ferguson-Programm. Der in Italien gefertigte Schlepper hatte sein Äquivalent im Landini 7860. Die technische Ausstattung entsprach der 303er Baureihe. ==Motor== * Perkins, Typ: A 4.236, stehender wassergekühlter Viertakt-Vierzylinder-Reihen-Saugmotor mit Direkteinspritzung, CAV-Fliehkraft-Verstellregler, kopfgesteuerten Ventilen, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, Fünfring-Leichtmetall-Kolben, CAV-Verteiler-Einspritzpumpe, trockene-auswechselbare Zylinderlaufbuchsen, Fispa-Ölbadluftfilter mit Zyklon-Vorabscheider, CAV-Mehrloch-Einspritzdüsen, fünffach-gelagerte Kurbelwelle, Thermostarteinrichtung, zahnradgetriebener Nockenwelle und Lamellenkühler mit Lüfter. * Bohrung = 98,44 mm, Hub = 127 mm * Verdichtung = 16,1:1 * Drehmoment bei Höchstleistung = 226 Nm * Max. Drehmoment = 264 Nm bei 1.250 U/min. * Geregelter Drehzahlbereich = 750 bis 2.295 U/min. * Einspritzdruck = 170 bar * Einspritzmenge = 60,3 bis 61,8 mm³/Hub und Nenndrehzahl * CAV-Einspritzpumpe, Typ: DPA 3340 F 000 * CAV-Einspritzdüse, Typ: P/N 2646 826 * Kühler-Lüfter mit sechs Blätter und 410 mm Durchmesser ==Kupplung== * Trockene und luftgekühlte OMG-Doppelkupplung * Pedal-betätigte Fahrkupplung mit 305 mm Scheiben-Durchmesser * Handhebel-betätigte Zapfwellenkupplung mit 305 mm Scheiben-Durchmesser ==Getriebe== * Im Ölbad laufendes, synchronisiertes MF-Gruppen-Triebwerk mit Zweihebel-Bedienung * Synchronisiertes Wechselgetriebe mit vier Gängen * Unsynchronisiertes Gruppengetriebe mit drei Vorwärts- und einer Rückwärtsgruppe, in die Gruppen L-M-H und R unterteilt * 12 Vorwärts- und 4 Rückwärtsgänge * Optional mit Kriechgruppe * 24 Vorwärts- und 12 Rückwärtsgänge Gesamtübersetzung: "Gruppe-L" * 1.Gang = 358,12:1 * 2.Gang = 227,83:1 * 3.Gang = 180,40:1 * 4.Gang = 122,27:1 "Gruppe-M" * 1.Gang = 149,91:1 * 2.Gang = 95,37:1 * 3.Gang = 75,52:1 * 4.Gang = 51,18:1 "Gruppe-H" * 1.Gang = 60,77:1 * 2.Gang = 38,66:1 * 3.Gang = 30,52:1 * 4.Gang = 20,75:1 "Gruppe-R" * 1.Gang = 134,18:1 * 2.Gang = 85,36:1 * 3.Gang = 57,59:1 * 4.Gang = 45,81:1 ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== Geschwindigkeiten mit Bereifung 16.9 R 34 AS "Gruppe-L" * 1.Gang = 1,67 km/h * 2.Gang = 2,62 km/h * 3.Gang = 3,31 km/h * 4.Gang = 4,88 km/h "Gruppe-M" * 1.Gang = 3,98 km/h * 2.Gang = 6,26 km/h * 3.Gang = 7,91 km/h * 4.Gang = 11,67 km/h "Gruppe-H" * 1.Gang = 9,83 km/h * 2.Gang = 15,45 km/h * 3.Gang = 19,50 km/h * 4.Gang = 28,78 km/h "Gruppe-R" * 1.Gang = 4,45 km/h * 2.Gang = 7,00 km/h * 3.Gang = 8,83 km/h * 4.Gang = 13,04 km/h ==Zapfwelle== * Handhebel-betätigte, unabhängige Motorzapfwelle als Wegzapfwelle verwendbar * Stummel = 1 3/8"- 6 Keile * Zweifach schaltbar, 540 und 1.000 U/min. * 540er-Zapfwelle: Übersetzungsverhältnis = 3,6:1 * Drehzahl = 540 bei 1.944 U/min.- Motordrehzahl Oder 611 U/min. mit Nenndrehzahl * Wegzapfwelle mit 0,4563 m Fahrstrecke bei 9,9136 Umdrehungen * 1.000er-Zapfwelle: Übersetzungsverhältnis = 1,9167:1 * 1.000 U/min. bei 1.917 U/min.- Motordrezahl Übertragbare Leistung = 45,1 kw * 1.148 U/min. mit Nenndrehzahl Übertragbare Leistung = 48,0 kW * Wegzapfwelle mit 0,2430 m Fahrstrecke bei 18,6203 Umdrehungen * Optional mit unabhängigen-lastschaltbaren Frontzapfwelle * 1.000 U/min. bei 1.980 U/min.- Motordrehzahl ==Bremsen== * Hydraulisch-betätigte, nasse SIRMAC-Mehrscheibenbremse, auf die Differential-Seitenwellen wirkend, als Einzelradbremse zu verwenden Fünf Scheiben mit 178 mm Durchmesser * Vorderradbremse bei Allradantrieb als Festsattelbremse ausgebildet, auf die Kardanwelle wirkend * Handhebelbetätigte Feststellbremse auf die Betriebsbremse wirkend * Optional mit Einkreis- oder Zweikreis-Druckluftbremsanlage Anhängerbremse mit 140 bar ==Achsen== * Pendelnd gelagerte Vorderachse mit ausziehbaren Halbachsen Fünffach verstellbare Spurweite in Stufen von 100 mm = 1.420 bis 1.920 mm * Mechanisch über Klauenkupplung betätigte, lastschaltbare Lenktrieb-Pendelachse mit zentraler Gelenkwelle Max. Einschlagwinkel = 50° * Hydraulisch über Druckknopf betätigte Klauensperre, wird synchron mit hinterer Sperre geschaltet Verstellbare Spurweite = 1.500, 1.588, 1.688 und 1.772 mm * Mit Radumschlag zusätzlich = 1.776, 1.860, 1.960 und 2.048 mm * Hinterachse mit Kegelradgetriebe, Ritzel und Planetenendantrieben * Pedalbetätigte, lastschaltbare Klauen-Differentialsperre Verstellbare Spurweite in Stufen von 100 mm = 1.324 bis 1.824 mm * Mit Radumschlag zusätzlich = 1.506 bis 2.006 mm * Vordere Achslast = 1.005 kg Vordere Achslast-Allrad = 1.235 * Hintere Achslast = 1.855 kg Hintere Achslast-Allrad = 1.830 kg ==Lenkung== "Heckantrieb-Variante" * Hydrostatische Danfoss-Lenkung, Typ: Orbitrol-80 OSPC mit Turolla-Pumpe, Typ: TFA/211 S * Ein doppelt wirkender Gleichlaufzylinder mit 45 mm Durchmesser und 165 mm Kolbenhub * Förderleistung = 24,8 l/min. bei 120 bar "Allrad-Variante" * Hydrstatische Danfoss-Lenkung, Typ: Orbitrol-100 OSPC mit Turolla-Pumpe, Typ: TFA/211 S * Ein doppelt wirkender Gleichlaufzylinder mit 57 mm Durchmesser und 234 mm Kolbenhub * Förderleistung = 24,8 l/min. bei 150 bar ==Hydrauliksystem und Kraftheber== * Hydraulischer MF-Regel-Kraftheber mit mechanischer Oberlenkerregelung * Ein einfach wirkender Hubzylinder mit 100 mm Kolbendurchmesser und 127 mm Kolbenhub * Optional Zusatz-Hubzylinder mit 40 mm Durchmesser und 207 mm Kolbenhub * Sicherheitsventil des Zylinders auf 190 bar eingestellt * Dreipunktkupplung der Kategorie II mit Schnellkuppler und Seitenstabilisierung Funktionen: * Heben, Senken und Transport- und Schwimmstellung * Tiefen-, Reaktions-, Misch- und Positionsregelung * Open Center mit Sundstrand-Turolla-Hydraulikpumpe, Typ: TFA/211 S Max. Fördermenge = 37,0 l/min. bei 175 bar * Oder 36,4 l/min. bei 156 bar * Leistung der Hydraulik = 9,5 kW * Max. Hubkraft an den Koppelpunkten = 2.400 kg, mit Zusatz-Hubzylinder = 3.000 kg * Optional mit Fronthubwerk * Dreipunktkupplung der Kategorie II ==Steuergeräte== * Serienmäßig ein einfach- und doppel wirkendes Steuergerät * Optional bis zu drei einfach- und doppelt wirkende Zusatz-Steuergeräte ==Elektrische Ausrüstung== * 12 Volt-Einrichtung nach StVZO * Batterie, 12 V-95 Ah (510 A) * Lucas-Anlasser, Typ: 12 V-2,5 kW * Lucas-Lichtmaschine, Typ: 12 V-500 W ==Maße und Abmessungen== "Heckantrieb-Variante" * Länge über alles = 3.710 mm * Breite bei kleinster Spurweite = 1.990 mm * Höhe über Auspuff = 2.320 mm * Radstand = 2.281 mm * Bodenfreiheit = 515 mm * Leergewicht = 2.860 kg "Allrad-Variante" * Länge über alles = 3.800 mm * Breite bei kleinster Spurweite = 1.990 mm * Höhe über Auspuff = 2.320 mm * Radstand = 2.257 mm * Bodenfreiheit = 410 mm * Leergewicht = 3.065 kg ==Bereifung== Standardbereifung der Heckantrieb-Variante: * Vorne = 9.00-16 AS Front * Hinten = 16.9 R 34 AS Optional: * Vorne = 7.50-18, 7.50-16 und 7.50-20 AS Front * Hinten = 13.6 R 36, 13.6 R 38, 18.4 R 30 und 16.9 R 30 AS Standardbereifung der Allrad-Variante: * Vorne = 13.6 R 24 AS * Hinten = 16.9 R 34 AS Optional: * Vorne = 11.2 R 24 und 12.4 R 24 AS * Hinten = 13.6 R 38, 16.9 R 30, 13.6 R 36 und 18.4 R 30 AS ==Füllmengen== * Tankinhalt = 86,0 l * Motoröl = 7,5 l * Kühlsystem = 15,1 l * Triebwerk + Hydraulik = 33,0 l * Allrad-Vorderachse = 5,8 l * Endantriebe je 1,4 l * Lenkung = 2,3 l * Endantrieb-Hinterachse je 3,6 l ==Verbrauch== * Optimaler Kraftstoffverbrauch = 223 g/kWh bei 28,7 kW und 1.430 U/min. ==Kabine== * Fahrerstand mit ebenen Boden und Schutzrahmen, körpergerechtem Fahrersitz, hängende Pedale, Betriebsstundenzähler, Traktormeter, Sicherheitsstartvorrichtung, Amperemeter, Öldruckanzeige, Kraftstoffanzeige, Fernthermometer und Beifahrersitz * Optional mit Verdeck oder Sicherheitskabine ==Sonderausrüstung== * Zusatz-Steuergeräte * Frontgewichte * Druckluftbremse * Zugpendel * Lange Ackerschiene * Frontzapfwelle * Fronthubwerk * Verdeck oder Kabine ==Literatur== * Massey Ferguson-Das Typenbuch (Albert Mößmer) Seite 117 ==Quellen== <references /> * DLG-Datenblatt ==Weblinks== {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson |HERSTELLER= Massey Ferguson}} m53afdxkazkqad8susl4pijgyq39lnf 0 109787 1091784 1091457 2026-09-28T17:30:06Z Intruder 1513 /* subplot */ Beispiel hinzu 1091784 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -> GNU Octave'' gestartet werden. == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Sonstige einfache Berechnungen == In octave gibt es eine "umgekehrte" Division: 11 / 2 % normale Division (Rechtsdivision) 11 \ 2 % umgekehrte Division (Linksdivision) Ausgabe: ans = 5.5000 ans = 0.1818 Potenzieren kann man so: 12^5 Ausgabe: ans = 248832 Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen y = mod(20, 3) Ausgabe: y = 2 Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so: a = int32(10); b = int32(3); x = a / b y = int32(15) / int32(4) Ausgabe: x = 3 y = 4 Siehe dazu aber auch die Funktionen <code>floor</code>, <code>ceil</code> und <code>idivide</code>. Mittels <code>int32()</code> werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich <code>double</code>. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. Beispiel: clear(); a = int32(10); b = int32(3); x = a / b c = 10; d = 3; y = c / d whos() Ausgabe: x = 3 y = 3.3333 Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 4 int32 b 1x1 4 int32 c 1x1 8 double d 1x1 8 double x 1x1 4 int32 y 1x1 8 double Total is 6 elements using 36 bytes Ist der Wertebereich von <code>int32</code> zu klein (4 Bytes, <math>-2^{31}</math> bis <math>2^{31} - 1</math>), so gibt es auch <code>int64</code> (8 Bytes, <math>-2^{63}</math> bis <math>2^{63} - 1</math>). <code>clear</code> löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. <code>whos()</code> liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen. == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. * Welche Zahl ergibt sich durch <code>3 / 4 \ 2</code>? * Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben? idivide(int32(10), int32(3), "fix") idivide(int32(10), int32(3), "round") idivide(int32(10), int32(3), "floor") idivide(int32(10), int32(3), "ceil") floor(10.3) ceil(10.3) = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler. #{ Das ist kein Blockkommentar #} Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar. == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == Gitterlinien und Koordinatenachsen == * Zwischengitterlinien aktivieren: <code>grid minor;</code> * Gitterabstände exakt selbst festlegen, z.B.: <code>set(gca, "XTick", -10 : 1 : 10);</code> * Gitterfarben und -linienstile anpassen, z.B.: set(gca, 'GridColor', [0.1, 0.1, 0.1]); set(gca, 'GridLineStyle', '-'); set(gca, 'MinorGridColor', [0.2, 0.2, 0.2]); set(gca, 'MinorGridLineStyle', '--'); * Koordinatenachsen selbst festlegen, z.B. axis([-2, 10, -3, 8]); % x-Achse von -2 bis 10, y-Achse von -3 bis 8 * Markierungen auf den Achsen einstellen, z.B. <code>xticks(0:1:10);</code> * Achsenkreuz auf 0 setzen: set(gca, "xaxislocation", "origin"); set(gca, "yaxislocation", "origin"); * Umhüllende Linien abschalten: <code>box off;</code> <code>gca</CODE> steht übrigens für '''g'''et '''c'''urrent '''a'''xes. Analog dazu gibt es auch <code>gcf</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''f'''igure) und <code>gco</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''o'''bject). Das ist aber alles schon sehr speziell und wird hier nicht vertieft. === Aufgabe === Probieren Sie die oben stichpunktartig angegebenen Möglichkeiten an konkreten Programmbeispielen aus. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Beim obigen Beispiel ist die z-Achse ein bisschen zusammengedrückt. Dies wollen wir mit nachfolgendem Code ansatzweise "verbessern" und ein paar weitere Spielereien mit Subplots durchführen. t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); % fig = figure(); ax1 = subplot(4, 1, 1:2); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); grid(ax1, "minor"); axis(ax1, [0, 10, 0, 20, -2, 2]); ax2 = subplot(413); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); ax3 = subplot(414); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); % refresh(); % input(); [[Datei:octave_subplot105.svg| 400px]] Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B. m1 = [1, 3; 0, -5]; m2 = [1, 2; 4, 2]; % falksches Schema m1 * m2 % elementweise Multiplikation m1 .* m2 Ausgabe: ans = 13 8 -20 -10 ans = 1 6 0 -10 Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1+3*4 1*2+3*2 ] [ 13 8 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5 0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ] Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1 3*2 ] [ 1 6 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4 -5*2 ] = [ 0 -10 ] === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 oder noch kürzer (@(a,b) a+b)(10, 20) Ausgabe: ans = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Das symbolic-Paket = Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic). == Rechnen mit wirklich großen Zahlen == Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. <code>vpa</code> steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic. pkg load symbolic; digits(50); vpa(0.1) vpa("0.1") Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000 Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an <code>vpa</code> zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein. Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen: pkg load symbolic; digits(50); x = vpa("1.12345e500"); y = vpa("20000.0"); x*y Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Um die Meldung "Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0" zu unterdrücken, gibt es den Schalter/Befehl <code>sympref quiet on</code>: pkg load symbolic; sympref quiet on; x = vpa("1.12345e500", 50); y = vpa("20000.0", 50); x*y Ausgabe: ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt. == Aufgaben == * Recherchieren Sie im Internet zur <code>diff()</code>-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch: ** <math>f(x) = \sin(x)\cdot x</math> (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht) ** <math>g(x) = x^3</math> (die 2. Ableitung ist gesucht) * Recherchieren Sie im Internet zur <code>int()</code>-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch: ** <math>\int{x^3 \ d\text{x}}</math> ** <math>\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}</math> * Gegeben sei das lineare Gleichungssystem <math>2x+3y=7</math>; <math>\ -1x-3y=5</math>. ** Recherchieren Sie dazu im Internet zu <code>syms</code> und <code>solve()</code> aus dem symbolic-Paket ** Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem symbolisch. * Bestimmen Sie die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden mittels Octave und dem symbolic-Paket (nichtlineares Gleichungssystem). Das funktioniert auch mittels <code>solve()</code>. Gegeben sind die Gerade <math>y = x + 2</math> und der Kreis <math>x^2 + y^2 = 9</math>. <small> Eine mögliche Lösung wird nachfolgend gezeigt (weil das etwas diffiziler ist und die im Internet angebotenen Lösungen teils in die Irre führen - Warnungen und Fehlermeldungen beim Ausführen der Scripte): pkg load symbolic; syms x y; gerade = -y + x + 2; kreis = x^2 + y^2 - 9; lsg = solve([gerade, kreis], [x, y]); disp(lsg{1}.x); disp(lsg{1}.y); disp("---------------"); disp(lsg{2}.x); disp(lsg{2}.y); Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. √14 -1 + ─── 2 √14 1 + ─── 2 --------------- √14 - ─── - 1 2 √14 1 - ─── 2 Dass das Ergebnis stimmt, kann man grafisch nachvollziehen: % Kreis t = 0 : .1: 2*pi+.1; x = 3 * cos(t); y = 3 * sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; % Gerade hold on; x = -4 : .1 : 4; y = x+2; plot(x,y); % Schnittpunkte plot(-1+sqrt(14)/2., 1+sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); plot(-1-sqrt(14)/2., 1-sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); % refresh(); % input(""); Ausgabe: </small> [[Bild:octave_nlin_gs1.svg|350px]] * Führen Sie symbolische Laplace-Transformationen durch: ** Recherchieren Sie dazu im Internet zum Thema "Wie führt man eine Laplace-Transformation mit dem Octave-Paket symbolic aus?". Dies führt auf die Funktion <code>laplace()</code>. ** Gegeben ist die Sprungfunktion (1). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. ** Gegeben ist die Sinusfunktion (<math>\sin{\omega t}</math>). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. = Regelungstechnische Aufgabenstellungen = Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket <code>control</code>. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei <math>G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}</math>. Octave-Code: pkg load control; zaehler = [1]; nenner = [30., 20., 10., 1.5]; G = tf(zaehler, nenner); bode(G); grid on; % refresh(); % input(""); Ausgabe: [[Bild:octave_rt1.jpg|400px]] <code>tf()</code> steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das <code>control</code>-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier]. = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen. Programmcode: d = dialog("Position", [300, 300, 250, 150], "Name", "Dialog"); txt = uicontrol("Parent", d, ... "Style", "text", ... "Position", [20, 80, 210, 40], ... "String", "Hallo Welt"); btn_servus = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [30, 20, 80, 30], ... "String", "Servus", ... "Callback", "disp('Servus angeklickt!');"); btn_hallo = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [140, 20, 80, 30], ... "String", "Hallo", ... "Callback", "disp('Hallo angeklickt!');"); uiwait(d); Ausgegebenes Dialogfenster: [[Bild:octave_dialog100.jpg]] Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.: Servus angeklickt! Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen. [[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]] Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar == Aufgaben == === Aufgabe 1 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen: [[Bild:octave_dialog105.jpg]] Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben: Datei button_callback.m: function button_callback(editHandle) eingegText = get(editHandle, "String"); disp(eingegText); end Codefragement in test1.m: % ... edit = uicontrol(% ... "Style", "edit", ... %, ... "HorizontalAlignment", "left"); btn = uicontrol(% ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit)); % ... Aufruf mit: octave test1.m Eingabe von z.B. "Hallo Welt!": [[Bild:octave_dialog106.jpg]] Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons: Hallo Welt! === Aufgabe 2 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben. Datei button_callback.m: function button_callback(edit1, edit2) zahl1 = str2double(get(edit1, 'String')); zahl2 = str2double(get(edit2, 'String')); disp(zahl1 * zahl2); end Codefragment Datei test1.m: % ... btn = uicontrol("Parent", d, ... % ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit1, edit2)); % ... Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt? = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = {{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}} * {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute * {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse) * {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts * {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann * {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse "erbt" Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung. == UML == * {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet. [[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]] * {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}: ** + ... public (öffentlich) ** - ... private (privat) ** # ... protected (geschützt) * Vererbung: <gallery> InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung) Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung) </gallery> Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.: * Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2 * Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0 == Klassen und Vererbung == Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt. [[Bild:octave_oop1.svg|200px]] Datei Auto.m: classdef Auto properties marke1 = "Beemweh" endproperties methods function zeige1(obj) disp(["Marke: ", obj.marke1]); endfunction endmethods endclassdef Datei Cabrio.m: classdef Cabrio < Auto properties marke2 = "Cabrio" endproperties methods function zeige2(obj) disp(["Marke: ", obj.marke2]); endfunction endmethods endclassdef Datei test1.m: obj = Cabrio(); obj.zeige1(); obj.zeige2(); Ausgabe (Aufruf mittels "octave test1.m"): Marke: Beemweh Marke: Cabrio GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung: [[Bild:octave_oop2.svg|200px]] classdef Unterklasse < Oberklasse1 & Oberklasse2 Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang. Man kann mittels <code>private, protected, public</code> Daten auch kapseln: properties(SetAccess = private, GetAccess = public) methods (Access = public) Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute <code>public</code>. Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation]. = Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen = Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen: * GNU Octave -> andere Programmiersprache * andere Programmiersprache -> GNU Octave Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. == .oct-Dateien == Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code. 1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden) #include <octave/oct.h> DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, "Quadrat einer Zahl berechnen") { double x = args(0).double_value(); double res = x*x; return octave_value(res); } * <code>DEFUN_DLD</code> ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution). * Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier <code>quadrat</code>. * <code>args</code>: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden. * <code>nargout</code>: Anzahl der Rückgabewerte. * "Quadrat einer Zahl berechnen": Dokumentationsstring 2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren # Terminal öffnen # In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln # Octave aufrufen # cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: <code>mkoctfile quadrat.cc</code> # Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein. 3. Schritt: Funktion <code>quadrat()</code> in Octave aufrufen, z.B.: y = quadrat(5) Es ergibt sich folgende Ausgabe: y = 25 Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen. Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html]. == Andere Möglichkeiten == * .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss * Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien) Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]). = Octave und die Tabellenkalkulation = == Lesen == GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen. Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods): Februar März Freitag 23 26 Samstag 17 41 Sonntag 34 37 === Direkt als ODS-Datei einlesen === Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen. pkg load io [num, txt, raw] = odsread('test1.ods'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Ausgabe: 23 26 17 41 34 37 ------------ { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = [3,2] = [4,2] = [1,3] = März [2,3] = [3,3] = [4,3] = } ------------ { [1,1] = [](0x0) [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } === Als CSV-Datei einlesen === Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!): ;Februar;März Freitag;23;26 Samstag;17;41 Sonntag;34;37 ==== Mit csv2cell ==== Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert. pkg load io; data = csv2cell("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data{2, 2}); Ausgabe: { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } --------------- 23 ==== Mit dlmread ==== data = dlmread("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data(2, 2)); Ausgabe: 0 0 0 0 23 26 0 17 41 0 34 37 --------------- 23 ==== Mit importdata ==== data = importdata("test1.csv"); disp(data) disp("------------") disp(data.data); disp("------------") disp(data.data(2,2)); Ausgabe: data = 23 26 17 41 34 37 textdata = { [1,1] = ;Februar;März [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag } rowheaders = { [1,1] = Freitag [2,1] = Samstag [3,1] = Sonntag } ------------ 23 26 17 41 34 37 ------------ 41 Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu diesem Zweck sind z.B. * csvread * textscan === Als XLSX-Datei einlesen === Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden. pkg load io [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion. == Schreiben == === Direkt als ODS-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; odswrite('test1.ods', data); === Als XLSX-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; xlswrite('test1.xlsx', data); === Als CSV-Datei schreiben === * dlmwrite * csvwrite * fprintf = Octave GUI = Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} rhwj6mclpcbmm11sxaknv8n8jl53ojk 1091785 1091784 2026-09-28T17:30:59Z Intruder 1513 /* subplot */ 1091785 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -> GNU Octave'' gestartet werden. == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Sonstige einfache Berechnungen == In octave gibt es eine "umgekehrte" Division: 11 / 2 % normale Division (Rechtsdivision) 11 \ 2 % umgekehrte Division (Linksdivision) Ausgabe: ans = 5.5000 ans = 0.1818 Potenzieren kann man so: 12^5 Ausgabe: ans = 248832 Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen y = mod(20, 3) Ausgabe: y = 2 Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so: a = int32(10); b = int32(3); x = a / b y = int32(15) / int32(4) Ausgabe: x = 3 y = 4 Siehe dazu aber auch die Funktionen <code>floor</code>, <code>ceil</code> und <code>idivide</code>. Mittels <code>int32()</code> werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich <code>double</code>. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. Beispiel: clear(); a = int32(10); b = int32(3); x = a / b c = 10; d = 3; y = c / d whos() Ausgabe: x = 3 y = 3.3333 Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 4 int32 b 1x1 4 int32 c 1x1 8 double d 1x1 8 double x 1x1 4 int32 y 1x1 8 double Total is 6 elements using 36 bytes Ist der Wertebereich von <code>int32</code> zu klein (4 Bytes, <math>-2^{31}</math> bis <math>2^{31} - 1</math>), so gibt es auch <code>int64</code> (8 Bytes, <math>-2^{63}</math> bis <math>2^{63} - 1</math>). <code>clear</code> löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. <code>whos()</code> liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen. == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. * Welche Zahl ergibt sich durch <code>3 / 4 \ 2</code>? * Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben? idivide(int32(10), int32(3), "fix") idivide(int32(10), int32(3), "round") idivide(int32(10), int32(3), "floor") idivide(int32(10), int32(3), "ceil") floor(10.3) ceil(10.3) = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler. #{ Das ist kein Blockkommentar #} Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar. == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == Gitterlinien und Koordinatenachsen == * Zwischengitterlinien aktivieren: <code>grid minor;</code> * Gitterabstände exakt selbst festlegen, z.B.: <code>set(gca, "XTick", -10 : 1 : 10);</code> * Gitterfarben und -linienstile anpassen, z.B.: set(gca, 'GridColor', [0.1, 0.1, 0.1]); set(gca, 'GridLineStyle', '-'); set(gca, 'MinorGridColor', [0.2, 0.2, 0.2]); set(gca, 'MinorGridLineStyle', '--'); * Koordinatenachsen selbst festlegen, z.B. axis([-2, 10, -3, 8]); % x-Achse von -2 bis 10, y-Achse von -3 bis 8 * Markierungen auf den Achsen einstellen, z.B. <code>xticks(0:1:10);</code> * Achsenkreuz auf 0 setzen: set(gca, "xaxislocation", "origin"); set(gca, "yaxislocation", "origin"); * Umhüllende Linien abschalten: <code>box off;</code> <code>gca</CODE> steht übrigens für '''g'''et '''c'''urrent '''a'''xes. Analog dazu gibt es auch <code>gcf</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''f'''igure) und <code>gco</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''o'''bject). Das ist aber alles schon sehr speziell und wird hier nicht vertieft. === Aufgabe === Probieren Sie die oben stichpunktartig angegebenen Möglichkeiten an konkreten Programmbeispielen aus. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Beim obigen Beispiel ist die z-Achse ein bisschen zusammengedrückt. Dies wollen wir mit nachfolgendem Code ansatzweise "verbessern" und ein paar weitere Spielereien mit Subplots durchführen. t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); % fig = figure(); ax1 = subplot(4, 1, 1:2); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); grid(ax1, "minor"); axis(ax1, [0, 10, 0, 20, -2, 2]); ax2 = subplot(413); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); ax3 = subplot(414); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); % refresh(); % input(); [[Datei:octave_subplot105.svg| 400px]] Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B. m1 = [1, 3; 0, -5]; m2 = [1, 2; 4, 2]; % falksches Schema m1 * m2 % elementweise Multiplikation m1 .* m2 Ausgabe: ans = 13 8 -20 -10 ans = 1 6 0 -10 Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1+3*4 1*2+3*2 ] [ 13 8 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5 0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ] Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1 3*2 ] [ 1 6 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4 -5*2 ] = [ 0 -10 ] === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 oder noch kürzer (@(a,b) a+b)(10, 20) Ausgabe: ans = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Das symbolic-Paket = Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic). == Rechnen mit wirklich großen Zahlen == Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. <code>vpa</code> steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic. pkg load symbolic; digits(50); vpa(0.1) vpa("0.1") Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000 Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an <code>vpa</code> zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein. Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen: pkg load symbolic; digits(50); x = vpa("1.12345e500"); y = vpa("20000.0"); x*y Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Um die Meldung "Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0" zu unterdrücken, gibt es den Schalter/Befehl <code>sympref quiet on</code>: pkg load symbolic; sympref quiet on; x = vpa("1.12345e500", 50); y = vpa("20000.0", 50); x*y Ausgabe: ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt. == Aufgaben == * Recherchieren Sie im Internet zur <code>diff()</code>-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch: ** <math>f(x) = \sin(x)\cdot x</math> (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht) ** <math>g(x) = x^3</math> (die 2. Ableitung ist gesucht) * Recherchieren Sie im Internet zur <code>int()</code>-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch: ** <math>\int{x^3 \ d\text{x}}</math> ** <math>\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}</math> * Gegeben sei das lineare Gleichungssystem <math>2x+3y=7</math>; <math>\ -1x-3y=5</math>. ** Recherchieren Sie dazu im Internet zu <code>syms</code> und <code>solve()</code> aus dem symbolic-Paket ** Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem symbolisch. * Bestimmen Sie die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden mittels Octave und dem symbolic-Paket (nichtlineares Gleichungssystem). Das funktioniert auch mittels <code>solve()</code>. Gegeben sind die Gerade <math>y = x + 2</math> und der Kreis <math>x^2 + y^2 = 9</math>. <small> Eine mögliche Lösung wird nachfolgend gezeigt (weil das etwas diffiziler ist und die im Internet angebotenen Lösungen teils in die Irre führen - Warnungen und Fehlermeldungen beim Ausführen der Scripte): pkg load symbolic; syms x y; gerade = -y + x + 2; kreis = x^2 + y^2 - 9; lsg = solve([gerade, kreis], [x, y]); disp(lsg{1}.x); disp(lsg{1}.y); disp("---------------"); disp(lsg{2}.x); disp(lsg{2}.y); Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. √14 -1 + ─── 2 √14 1 + ─── 2 --------------- √14 - ─── - 1 2 √14 1 - ─── 2 Dass das Ergebnis stimmt, kann man grafisch nachvollziehen: % Kreis t = 0 : .1: 2*pi+.1; x = 3 * cos(t); y = 3 * sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; % Gerade hold on; x = -4 : .1 : 4; y = x+2; plot(x,y); % Schnittpunkte plot(-1+sqrt(14)/2., 1+sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); plot(-1-sqrt(14)/2., 1-sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); % refresh(); % input(""); Ausgabe: </small> [[Bild:octave_nlin_gs1.svg|350px]] * Führen Sie symbolische Laplace-Transformationen durch: ** Recherchieren Sie dazu im Internet zum Thema "Wie führt man eine Laplace-Transformation mit dem Octave-Paket symbolic aus?". Dies führt auf die Funktion <code>laplace()</code>. ** Gegeben ist die Sprungfunktion (1). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. ** Gegeben ist die Sinusfunktion (<math>\sin{\omega t}</math>). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. = Regelungstechnische Aufgabenstellungen = Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket <code>control</code>. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei <math>G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}</math>. Octave-Code: pkg load control; zaehler = [1]; nenner = [30., 20., 10., 1.5]; G = tf(zaehler, nenner); bode(G); grid on; % refresh(); % input(""); Ausgabe: [[Bild:octave_rt1.jpg|400px]] <code>tf()</code> steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das <code>control</code>-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier]. = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen. Programmcode: d = dialog("Position", [300, 300, 250, 150], "Name", "Dialog"); txt = uicontrol("Parent", d, ... "Style", "text", ... "Position", [20, 80, 210, 40], ... "String", "Hallo Welt"); btn_servus = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [30, 20, 80, 30], ... "String", "Servus", ... "Callback", "disp('Servus angeklickt!');"); btn_hallo = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [140, 20, 80, 30], ... "String", "Hallo", ... "Callback", "disp('Hallo angeklickt!');"); uiwait(d); Ausgegebenes Dialogfenster: [[Bild:octave_dialog100.jpg]] Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.: Servus angeklickt! Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen. [[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]] Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar == Aufgaben == === Aufgabe 1 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen: [[Bild:octave_dialog105.jpg]] Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben: Datei button_callback.m: function button_callback(editHandle) eingegText = get(editHandle, "String"); disp(eingegText); end Codefragement in test1.m: % ... edit = uicontrol(% ... "Style", "edit", ... %, ... "HorizontalAlignment", "left"); btn = uicontrol(% ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit)); % ... Aufruf mit: octave test1.m Eingabe von z.B. "Hallo Welt!": [[Bild:octave_dialog106.jpg]] Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons: Hallo Welt! === Aufgabe 2 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben. Datei button_callback.m: function button_callback(edit1, edit2) zahl1 = str2double(get(edit1, 'String')); zahl2 = str2double(get(edit2, 'String')); disp(zahl1 * zahl2); end Codefragment Datei test1.m: % ... btn = uicontrol("Parent", d, ... % ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit1, edit2)); % ... Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt? = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = {{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}} * {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute * {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse) * {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts * {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann * {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse "erbt" Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung. == UML == * {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet. [[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]] * {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}: ** + ... public (öffentlich) ** - ... private (privat) ** # ... protected (geschützt) * Vererbung: <gallery> InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung) Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung) </gallery> Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.: * Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2 * Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0 == Klassen und Vererbung == Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt. [[Bild:octave_oop1.svg|200px]] Datei Auto.m: classdef Auto properties marke1 = "Beemweh" endproperties methods function zeige1(obj) disp(["Marke: ", obj.marke1]); endfunction endmethods endclassdef Datei Cabrio.m: classdef Cabrio < Auto properties marke2 = "Cabrio" endproperties methods function zeige2(obj) disp(["Marke: ", obj.marke2]); endfunction endmethods endclassdef Datei test1.m: obj = Cabrio(); obj.zeige1(); obj.zeige2(); Ausgabe (Aufruf mittels "octave test1.m"): Marke: Beemweh Marke: Cabrio GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung: [[Bild:octave_oop2.svg|200px]] classdef Unterklasse < Oberklasse1 & Oberklasse2 Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang. Man kann mittels <code>private, protected, public</code> Daten auch kapseln: properties(SetAccess = private, GetAccess = public) methods (Access = public) Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute <code>public</code>. Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation]. = Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen = Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen: * GNU Octave -> andere Programmiersprache * andere Programmiersprache -> GNU Octave Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. == .oct-Dateien == Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code. 1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden) #include <octave/oct.h> DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, "Quadrat einer Zahl berechnen") { double x = args(0).double_value(); double res = x*x; return octave_value(res); } * <code>DEFUN_DLD</code> ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution). * Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier <code>quadrat</code>. * <code>args</code>: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden. * <code>nargout</code>: Anzahl der Rückgabewerte. * "Quadrat einer Zahl berechnen": Dokumentationsstring 2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren # Terminal öffnen # In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln # Octave aufrufen # cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: <code>mkoctfile quadrat.cc</code> # Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein. 3. Schritt: Funktion <code>quadrat()</code> in Octave aufrufen, z.B.: y = quadrat(5) Es ergibt sich folgende Ausgabe: y = 25 Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen. Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html]. == Andere Möglichkeiten == * .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss * Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien) Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]). = Octave und die Tabellenkalkulation = == Lesen == GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen. Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods): Februar März Freitag 23 26 Samstag 17 41 Sonntag 34 37 === Direkt als ODS-Datei einlesen === Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen. pkg load io [num, txt, raw] = odsread('test1.ods'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Ausgabe: 23 26 17 41 34 37 ------------ { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = [3,2] = [4,2] = [1,3] = März [2,3] = [3,3] = [4,3] = } ------------ { [1,1] = [](0x0) [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } === Als CSV-Datei einlesen === Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!): ;Februar;März Freitag;23;26 Samstag;17;41 Sonntag;34;37 ==== Mit csv2cell ==== Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert. pkg load io; data = csv2cell("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data{2, 2}); Ausgabe: { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } --------------- 23 ==== Mit dlmread ==== data = dlmread("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data(2, 2)); Ausgabe: 0 0 0 0 23 26 0 17 41 0 34 37 --------------- 23 ==== Mit importdata ==== data = importdata("test1.csv"); disp(data) disp("------------") disp(data.data); disp("------------") disp(data.data(2,2)); Ausgabe: data = 23 26 17 41 34 37 textdata = { [1,1] = ;Februar;März [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag } rowheaders = { [1,1] = Freitag [2,1] = Samstag [3,1] = Sonntag } ------------ 23 26 17 41 34 37 ------------ 41 Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu diesem Zweck sind z.B. * csvread * textscan === Als XLSX-Datei einlesen === Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden. pkg load io [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion. == Schreiben == === Direkt als ODS-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; odswrite('test1.ods', data); === Als XLSX-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; xlswrite('test1.xlsx', data); === Als CSV-Datei schreiben === * dlmwrite * csvwrite * fprintf = Octave GUI = Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} do70qce280a9s6250y2t6pfrguqltb8 1091786 1091785 2026-09-28T18:25:10Z Intruder 1513 /* figure */ 1091786 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -> GNU Octave'' gestartet werden. == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Sonstige einfache Berechnungen == In octave gibt es eine "umgekehrte" Division: 11 / 2 % normale Division (Rechtsdivision) 11 \ 2 % umgekehrte Division (Linksdivision) Ausgabe: ans = 5.5000 ans = 0.1818 Potenzieren kann man so: 12^5 Ausgabe: ans = 248832 Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen y = mod(20, 3) Ausgabe: y = 2 Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so: a = int32(10); b = int32(3); x = a / b y = int32(15) / int32(4) Ausgabe: x = 3 y = 4 Siehe dazu aber auch die Funktionen <code>floor</code>, <code>ceil</code> und <code>idivide</code>. Mittels <code>int32()</code> werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich <code>double</code>. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. Beispiel: clear(); a = int32(10); b = int32(3); x = a / b c = 10; d = 3; y = c / d whos() Ausgabe: x = 3 y = 3.3333 Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 4 int32 b 1x1 4 int32 c 1x1 8 double d 1x1 8 double x 1x1 4 int32 y 1x1 8 double Total is 6 elements using 36 bytes Ist der Wertebereich von <code>int32</code> zu klein (4 Bytes, <math>-2^{31}</math> bis <math>2^{31} - 1</math>), so gibt es auch <code>int64</code> (8 Bytes, <math>-2^{63}</math> bis <math>2^{63} - 1</math>). <code>clear</code> löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. <code>whos()</code> liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen. == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. * Welche Zahl ergibt sich durch <code>3 / 4 \ 2</code>? * Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben? idivide(int32(10), int32(3), "fix") idivide(int32(10), int32(3), "round") idivide(int32(10), int32(3), "floor") idivide(int32(10), int32(3), "ceil") floor(10.3) ceil(10.3) = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler. #{ Das ist kein Blockkommentar #} Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar. == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == Gitterlinien und Koordinatenachsen == * Zwischengitterlinien aktivieren: <code>grid minor;</code> * Gitterabstände exakt selbst festlegen, z.B.: <code>set(gca, "XTick", -10 : 1 : 10);</code> * Gitterfarben und -linienstile anpassen, z.B.: set(gca, 'GridColor', [0.1, 0.1, 0.1]); set(gca, 'GridLineStyle', '-'); set(gca, 'MinorGridColor', [0.2, 0.2, 0.2]); set(gca, 'MinorGridLineStyle', '--'); * Koordinatenachsen selbst festlegen, z.B. axis([-2, 10, -3, 8]); % x-Achse von -2 bis 10, y-Achse von -3 bis 8 * Markierungen auf den Achsen einstellen, z.B. <code>xticks(0:1:10);</code> * Achsenkreuz auf 0 setzen: set(gca, "xaxislocation", "origin"); set(gca, "yaxislocation", "origin"); * Umhüllende Linien abschalten: <code>box off;</code> <code>gca</CODE> steht übrigens für '''g'''et '''c'''urrent '''a'''xes. Analog dazu gibt es auch <code>gcf</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''f'''igure) und <code>gco</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''o'''bject). Das ist aber alles schon sehr speziell und wird hier nicht vertieft. === Aufgabe === Probieren Sie die oben stichpunktartig angegebenen Möglichkeiten an konkreten Programmbeispielen aus. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Beim obigen Beispiel ist die z-Achse ein bisschen zusammengedrückt. Dies wollen wir mit nachfolgendem Code ansatzweise "verbessern" und ein paar weitere Spielereien mit Subplots durchführen. t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); % fig = figure(); ax1 = subplot(4, 1, 1:2); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); grid(ax1, "minor"); axis(ax1, [0, 10, 0, 20, -2, 2]); ax2 = subplot(413); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); ax3 = subplot(414); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); % refresh(); % input(); [[Datei:octave_subplot105.svg| 400px]] Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] Die Größe und Position eines Fensters kann festgelegt werden: f1 = figure(1, "Position", [100, 100, 800, 600]); Hintergrundfarbe setzen f2 = figure(2, 'Color', [1.0, 0.0, 0.0]); oder auch per set(f1, 'Color', [1.0, 0.0, 0.0]); === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B. m1 = [1, 3; 0, -5]; m2 = [1, 2; 4, 2]; % falksches Schema m1 * m2 % elementweise Multiplikation m1 .* m2 Ausgabe: ans = 13 8 -20 -10 ans = 1 6 0 -10 Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1+3*4 1*2+3*2 ] [ 13 8 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5 0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ] Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1 3*2 ] [ 1 6 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4 -5*2 ] = [ 0 -10 ] === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 oder noch kürzer (@(a,b) a+b)(10, 20) Ausgabe: ans = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Das symbolic-Paket = Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic). == Rechnen mit wirklich großen Zahlen == Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. <code>vpa</code> steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic. pkg load symbolic; digits(50); vpa(0.1) vpa("0.1") Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000 Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an <code>vpa</code> zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein. Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen: pkg load symbolic; digits(50); x = vpa("1.12345e500"); y = vpa("20000.0"); x*y Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Um die Meldung "Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0" zu unterdrücken, gibt es den Schalter/Befehl <code>sympref quiet on</code>: pkg load symbolic; sympref quiet on; x = vpa("1.12345e500", 50); y = vpa("20000.0", 50); x*y Ausgabe: ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt. == Aufgaben == * Recherchieren Sie im Internet zur <code>diff()</code>-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch: ** <math>f(x) = \sin(x)\cdot x</math> (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht) ** <math>g(x) = x^3</math> (die 2. Ableitung ist gesucht) * Recherchieren Sie im Internet zur <code>int()</code>-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch: ** <math>\int{x^3 \ d\text{x}}</math> ** <math>\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}</math> * Gegeben sei das lineare Gleichungssystem <math>2x+3y=7</math>; <math>\ -1x-3y=5</math>. ** Recherchieren Sie dazu im Internet zu <code>syms</code> und <code>solve()</code> aus dem symbolic-Paket ** Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem symbolisch. * Bestimmen Sie die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden mittels Octave und dem symbolic-Paket (nichtlineares Gleichungssystem). Das funktioniert auch mittels <code>solve()</code>. Gegeben sind die Gerade <math>y = x + 2</math> und der Kreis <math>x^2 + y^2 = 9</math>. <small> Eine mögliche Lösung wird nachfolgend gezeigt (weil das etwas diffiziler ist und die im Internet angebotenen Lösungen teils in die Irre führen - Warnungen und Fehlermeldungen beim Ausführen der Scripte): pkg load symbolic; syms x y; gerade = -y + x + 2; kreis = x^2 + y^2 - 9; lsg = solve([gerade, kreis], [x, y]); disp(lsg{1}.x); disp(lsg{1}.y); disp("---------------"); disp(lsg{2}.x); disp(lsg{2}.y); Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. √14 -1 + ─── 2 √14 1 + ─── 2 --------------- √14 - ─── - 1 2 √14 1 - ─── 2 Dass das Ergebnis stimmt, kann man grafisch nachvollziehen: % Kreis t = 0 : .1: 2*pi+.1; x = 3 * cos(t); y = 3 * sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; % Gerade hold on; x = -4 : .1 : 4; y = x+2; plot(x,y); % Schnittpunkte plot(-1+sqrt(14)/2., 1+sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); plot(-1-sqrt(14)/2., 1-sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); % refresh(); % input(""); Ausgabe: </small> [[Bild:octave_nlin_gs1.svg|350px]] * Führen Sie symbolische Laplace-Transformationen durch: ** Recherchieren Sie dazu im Internet zum Thema "Wie führt man eine Laplace-Transformation mit dem Octave-Paket symbolic aus?". Dies führt auf die Funktion <code>laplace()</code>. ** Gegeben ist die Sprungfunktion (1). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. ** Gegeben ist die Sinusfunktion (<math>\sin{\omega t}</math>). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. = Regelungstechnische Aufgabenstellungen = Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket <code>control</code>. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei <math>G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}</math>. Octave-Code: pkg load control; zaehler = [1]; nenner = [30., 20., 10., 1.5]; G = tf(zaehler, nenner); bode(G); grid on; % refresh(); % input(""); Ausgabe: [[Bild:octave_rt1.jpg|400px]] <code>tf()</code> steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das <code>control</code>-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier]. = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen. Programmcode: d = dialog("Position", [300, 300, 250, 150], "Name", "Dialog"); txt = uicontrol("Parent", d, ... "Style", "text", ... "Position", [20, 80, 210, 40], ... "String", "Hallo Welt"); btn_servus = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [30, 20, 80, 30], ... "String", "Servus", ... "Callback", "disp('Servus angeklickt!');"); btn_hallo = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [140, 20, 80, 30], ... "String", "Hallo", ... "Callback", "disp('Hallo angeklickt!');"); uiwait(d); Ausgegebenes Dialogfenster: [[Bild:octave_dialog100.jpg]] Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.: Servus angeklickt! Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen. [[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]] Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar == Aufgaben == === Aufgabe 1 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen: [[Bild:octave_dialog105.jpg]] Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben: Datei button_callback.m: function button_callback(editHandle) eingegText = get(editHandle, "String"); disp(eingegText); end Codefragement in test1.m: % ... edit = uicontrol(% ... "Style", "edit", ... %, ... "HorizontalAlignment", "left"); btn = uicontrol(% ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit)); % ... Aufruf mit: octave test1.m Eingabe von z.B. "Hallo Welt!": [[Bild:octave_dialog106.jpg]] Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons: Hallo Welt! === Aufgabe 2 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben. Datei button_callback.m: function button_callback(edit1, edit2) zahl1 = str2double(get(edit1, 'String')); zahl2 = str2double(get(edit2, 'String')); disp(zahl1 * zahl2); end Codefragment Datei test1.m: % ... btn = uicontrol("Parent", d, ... % ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit1, edit2)); % ... Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt? = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = {{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}} * {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute * {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse) * {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts * {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann * {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse "erbt" Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung. == UML == * {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet. [[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]] * {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}: ** + ... public (öffentlich) ** - ... private (privat) ** # ... protected (geschützt) * Vererbung: <gallery> InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung) Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung) </gallery> Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.: * Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2 * Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0 == Klassen und Vererbung == Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt. [[Bild:octave_oop1.svg|200px]] Datei Auto.m: classdef Auto properties marke1 = "Beemweh" endproperties methods function zeige1(obj) disp(["Marke: ", obj.marke1]); endfunction endmethods endclassdef Datei Cabrio.m: classdef Cabrio < Auto properties marke2 = "Cabrio" endproperties methods function zeige2(obj) disp(["Marke: ", obj.marke2]); endfunction endmethods endclassdef Datei test1.m: obj = Cabrio(); obj.zeige1(); obj.zeige2(); Ausgabe (Aufruf mittels "octave test1.m"): Marke: Beemweh Marke: Cabrio GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung: [[Bild:octave_oop2.svg|200px]] classdef Unterklasse < Oberklasse1 & Oberklasse2 Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang. Man kann mittels <code>private, protected, public</code> Daten auch kapseln: properties(SetAccess = private, GetAccess = public) methods (Access = public) Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute <code>public</code>. Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation]. = Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen = Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen: * GNU Octave -> andere Programmiersprache * andere Programmiersprache -> GNU Octave Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. == .oct-Dateien == Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code. 1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden) #include <octave/oct.h> DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, "Quadrat einer Zahl berechnen") { double x = args(0).double_value(); double res = x*x; return octave_value(res); } * <code>DEFUN_DLD</code> ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution). * Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier <code>quadrat</code>. * <code>args</code>: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden. * <code>nargout</code>: Anzahl der Rückgabewerte. * "Quadrat einer Zahl berechnen": Dokumentationsstring 2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren # Terminal öffnen # In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln # Octave aufrufen # cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: <code>mkoctfile quadrat.cc</code> # Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein. 3. Schritt: Funktion <code>quadrat()</code> in Octave aufrufen, z.B.: y = quadrat(5) Es ergibt sich folgende Ausgabe: y = 25 Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen. Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html]. == Andere Möglichkeiten == * .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss * Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien) Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]). = Octave und die Tabellenkalkulation = == Lesen == GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen. Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods): Februar März Freitag 23 26 Samstag 17 41 Sonntag 34 37 === Direkt als ODS-Datei einlesen === Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen. pkg load io [num, txt, raw] = odsread('test1.ods'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Ausgabe: 23 26 17 41 34 37 ------------ { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = [3,2] = [4,2] = [1,3] = März [2,3] = [3,3] = [4,3] = } ------------ { [1,1] = [](0x0) [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } === Als CSV-Datei einlesen === Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!): ;Februar;März Freitag;23;26 Samstag;17;41 Sonntag;34;37 ==== Mit csv2cell ==== Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert. pkg load io; data = csv2cell("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data{2, 2}); Ausgabe: { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } --------------- 23 ==== Mit dlmread ==== data = dlmread("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data(2, 2)); Ausgabe: 0 0 0 0 23 26 0 17 41 0 34 37 --------------- 23 ==== Mit importdata ==== data = importdata("test1.csv"); disp(data) disp("------------") disp(data.data); disp("------------") disp(data.data(2,2)); Ausgabe: data = 23 26 17 41 34 37 textdata = { [1,1] = ;Februar;März [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag } rowheaders = { [1,1] = Freitag [2,1] = Samstag [3,1] = Sonntag } ------------ 23 26 17 41 34 37 ------------ 41 Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu diesem Zweck sind z.B. * csvread * textscan === Als XLSX-Datei einlesen === Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden. pkg load io [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion. == Schreiben == === Direkt als ODS-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; odswrite('test1.ods', data); === Als XLSX-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; xlswrite('test1.xlsx', data); === Als CSV-Datei schreiben === * dlmwrite * csvwrite * fprintf = Octave GUI = Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} rnu35vf2v5fjsyonjymuoqimm8bqfhq 1091787 1091786 2026-09-28T18:29:37Z Intruder 1513 /* subplot */ 1091787 wikitext text/x-wiki {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} = Hallo Welt und allgemeine Hinweise = == Was ist Octave == * Octave ist eine Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme. * Octave ist Open-Source (GPL-Lizenz). * Octave ist für viele Betriebssysteme erhältlich (z.B. für Linux, MS Windows, macOS). * Octave ist weitgehend kompatibel zum Numerik-Standardprogramm {{W|Matlab|MATLAB}}. * Octave ist ein Interpreter. * Octave als Programmiersprache ist case-sensitive - d.h. Groß- und Kleinschreibung ist relevant bei der Eingabe von Befehlen. {{Wikipedia | GNU Octave}} == Octave installieren == === MS Windows === Laden Sie das aktuelle Octave-Paket von der Webseite [https://octave.org/download] herunter. Weiter geht es wie bei jedem anderen größeren zu installierenden Programm. Einfach das Installationsprogramm im Explorer doppelklicken und den Anweisungen des Setup-Programmes folgen. === Linux === Entweder ist Octave bereits standardmäßig installiert, ansonsten ist die Installation mittels Paketmanagementsystem einfach möglich. Dazu gehen Sie auf die Seite [https://wiki.octave.org/Category:Installation], wählen die vorhandene Linux-Variante und folgen der angegebenen Beschreibung (z.B. <code>zypper ... </code> für openSUSE. Oder Sie benutzen unter openSUSE Tumbleweed direkt das Setup-Programm {{W|YaST}}). == Octave starten == === MS Windows === Das Icon für das Octave-Programm doppelklicken (für das Konsolenprogramm ... CLI, für die grafische Benutzeroberfläche ... GUI). Und schon startet das Programm. [[Datei:octavestart1.jpg]] === Linux === In einer Linux-Konsole den Befehl "octave" eintippen, mit der RETURN-Taste bestätigen, und das Programm (CLI) startet: GNU Octave (x86_64-suse-linux-gnu) version 11.1.0 Copyright (C) 1993-2026 The Octave Project Developers. License GPLv3+: GNU GPL version 3 or later <https://gnu.org/licenses/gpl.html> This is free software; see the source code for copying conditions. There is NO WARRANTY, to the extent permitted by law. For details, type 'warranty'. Home page: <https://octave.org> Support resources: <https://octave.org/support> Improve Octave: <https://octave.org/get-involved> For changes from previous versions, type 'news'. octave:1> Um Octave mit der eingebauten GUI zu starten, kann der Befehl <code>octave --force-gui</code> verwendet werden: [[File:Gnu_Octave_IDE.png|600px]] Alternativ kann, z.B. unter openSUSE Tumbleweed (mit {{W|KDE Plasma 6|KDE-Plasma}}), die Octave-IDE auch über den Application Launcher im Menü ''Education -> GNU Octave'' gestartet werden. == Ein paar Worte zur Erklärung == Im Folgenden wird immer das Konsolenprogramm (CLI ... Command Line Interface) für die Eingabe von Befehlen benutzt. Erst gegen Ende dieses Textes wird auch kurz auf das GUI von Octave eingegangen. Teilweise werden Ergebnisse der älteren Octave-Version 3.0.3 dargestellt. Die dargestellten Grafiken und Ausgabetexte können je nach Version leicht voneinander abweichen. Der Text wurde ursprünglich mit der Octave-Version 3.0.3 erstellt und anschließend auf die Versionen 5.2 bis 11.1.0 aktualisiert. Dieser Mischmasch sollte aber kein Problem darstellen. Getestet wurden die Beispiele ursprünglich unter dem Betriebssystem MS Windows 10, später auch mit MS Windows 11, bzw. mit openSUSE Leap 15.6 (Octave 6.4.0, nur vereinzelt) und ab März 2026 auch mit openSUSE Tumbleweed (ab Octave 10.3.0, nur vereinzelt). == Ein erstes Programm == Kommentare werden in Octave mit dem Prozentzeichen (%) oder alternativ mit der Raute (#) eingeleitet. Sie werden vom Octave-Interpreter ignoriert. Will man kompatibel mit MATLAB bleiben, so ist die Version mit dem %-Zeichen vorzuziehen. Text kann mit der disp-Funktion ausgegeben werden. Starten Sie Octave und geben sie folgende Anweisungen zeilenweise ein octave-3.0.3.exe:1> % Das ist ein Kommentar octave-3.0.3.exe:2> # und das auch octave-3.0.3.exe:3> disp "Hallo Welt!" Als Ergebnis erhalten Sie Hallo Welt! Der Prompt (z.B. octave-3.0.3.exe:1>) ist natürlich abhängig von der Octave-Version und den schon eingegebenen Zeilen. Er ist selbstverständlich nicht einzutippen, sondern wird vom Octave-System geliefert. Strings können in Octave entweder in Anführungszeichen (") gesetzt werden oder in Hochkommatas('). In diesem Text wird die erste Variante bevorzugt eingesetzt. = Octave als Taschenrechner = == Allgemeines == Wir wollen 3 * 5 berechnen. Dazu starten wir Octave. Geben Sie dann die Formel octave-3.0.3.exe:1> 3 * 5 ein, drücken die Taste ENTER/RETURN und erhalten als Ergebnis ans = 15 Auch kompliziertere Ausdrücke sind möglich. Beispielsweise mit Winkelfunktionen, Quadratwurzeln etc. Wir wollen nun den Ausdruck <math>\sin\sqrt{15}</math> berechnen : octave-3.0.3.exe:2> sin(sqrt(15)) ans = -0.6679 Octave kennt eine Handvoll von Konstanten, z.B.: Zeilenweise Eingabe: % Die Kreiszahl PI pi % Die Eulersche Zahl e % Zur Maschinengenauigkeit eps Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 2.7183 ans = 2.2204e-016 "ans" steht übrigens für den Begriff "answer" (auf Deutsch "Antwort"). Mit "ans" kann wie mit jeder anderen Variable oder Konstanten weitergerechnet werden, z.B.: Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10 % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 10 ans = 62.832 Die Ausgabe eines Befehls am Bildschirm (das "Echo") kann übrigens durch Anwendung des Semikolons (;) unterdrückt werden. Gezeigt werden soll dies nun mit Hilfe des obigen Beispiels. Es soll nur der Umfang ausgegeben werden, nicht der Radius. Eingabe: % Der Kreisradius sei 10 10; % Der Kreis-Umfang mit diesem Radius sei folgendes 2 * pi * ans Ausgabe: ans = 62.832 Vielleicht ist manchem die Genauigkeit, mit der Echo bzw. der Befehl disp Werte ausgibt, nicht ausreichend. Dem kann Abhilfe verschafft werden und zwar so: Eingabe: format short pi format long pi format longe pi % usw. Ausgabe: ans = 3.1416 ans = 3.14159265358979 ans = 3.14159265358979e+00 Beenden lässt sich das Octave-Programm durch Eingabe von quit oder exit (und natürlich zur Bestätigung die RETURN-Taste drücken). == Die Hilfefunktion von Octave == Die Eingabe von help mit Angabe eines Funktionsnamens liefert detaillierte Infos zu der gesuchten Funktion. Eingabe: help sin Ausgabe: 'sin' is a built-in function from the file libinterp/corefcn/mappers.cc -- Y = sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh. Additional help for built-in functions and operators is available in the online version of the manual. Use the command 'doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at https://www.octave.org and via the help@octave.org mailing list. Auch gibt es die doc-Funktion für eine vollständige Dokumentation des Octave-Systems, z.B.: Eingabe: doc Ausgabe: [[Datei:Octave_730_doc_screenshot.jpg]] == Sonstige einfache Berechnungen == In octave gibt es eine "umgekehrte" Division: 11 / 2 % normale Division (Rechtsdivision) 11 \ 2 % umgekehrte Division (Linksdivision) Ausgabe: ans = 5.5000 ans = 0.1818 Potenzieren kann man so: 12^5 Ausgabe: ans = 248832 Den Modulo-Operator % wie in C/C++, Java oder Python gibt es in Octave '''nicht'''. Das Prozentzeichen ist dem Kommentar vorbehalten. Man kann aber eine Funktion hierfür benutzen y = mod(20, 3) Ausgabe: y = 2 Runden mit und auf Ganzzahlen kann man in Octave so: a = int32(10); b = int32(3); x = a / b y = int32(15) / int32(4) Ausgabe: x = 3 y = 4 Siehe dazu aber auch die Funktionen <code>floor</code>, <code>ceil</code> und <code>idivide</code>. Mittels <code>int32()</code> werden Zahlen als 32-Bit-Ganzzahlen dargestellt. Standardmäßig ist der Datentyp nämlich <code>double</code>. Das ist zu beachten, es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. Beispiel: clear(); a = int32(10); b = int32(3); x = a / b c = 10; d = 3; y = c / d whos() Ausgabe: x = 3 y = 3.3333 Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 4 int32 b 1x1 4 int32 c 1x1 8 double d 1x1 8 double x 1x1 4 int32 y 1x1 8 double Total is 6 elements using 36 bytes Ist der Wertebereich von <code>int32</code> zu klein (4 Bytes, <math>-2^{31}</math> bis <math>2^{31} - 1</math>), so gibt es auch <code>int64</code> (8 Bytes, <math>-2^{63}</math> bis <math>2^{63} - 1</math>). <code>clear</code> löscht Namen und gibt den Speicherplatz wieder frei. <code>whos()</code> liefert detaillierte Informationen der aktuell definierten Variablen. == Aufgaben == * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>\frac{1}{2}\cdot e^2 \cdot \tan(\pi/3)</math>. * Berechnen Sie mit Octave den Ausdruck <math>2\; \text{cosd}(60) - 3\sin(\pi/5)</math>. Anmerkung: cosd erwartet den Parameter im Gradmaß (d für "degree"), sin erwartet den Parameter im Bogenmaß. * Erkunden Sie die Fehlerfunktion "erf" mittels Octave-Hilfe. * Welche Zahl ergibt sich durch <code>3 / 4 \ 2</code>? * Welche Zahlen werden durch die folgenden Anweisungen ausgegeben? idivide(int32(10), int32(3), "fix") idivide(int32(10), int32(3), "round") idivide(int32(10), int32(3), "floor") idivide(int32(10), int32(3), "ceil") floor(10.3) ceil(10.3) = Octave als Scriptsprache = Häufig wird man aber kompliziertere Anweisungsfolgen verarbeiten müssen. Diese will man normalerweise nicht jedesmal neu eingeben, sondern in einer Datei speichern und diese Datei dann zur Ausführung bringen. Speichern Sie dazu folgenden Code in einer Textdatei, z.B. unter MS Windows als c:\tmp\test1.m % Das ist ein Kommentar # und das auch disp "Hallo Welt!" Skriptdateien müssen mit der Dateiendung .m versehen werden. In der Octave-Konsole fügen Sie den Dateipfad mittels octave-3.0.3.exe:1> addpath("c:/tmp") hinzu (es ist der UNIX-spezifische Slash (/) zu benutzen). Alternativ können Sie zumindest unter MS Windows auch einen Doppel-Backslash (\\) einsetzen. Oder Sie wechseln mittels <code>cd c:/tmp</code> direkt ins Verzeichnis <code>c:/tmp</code>. Danach bringen Sie die Skriptdatei test1.m (sozusagen das Hauptprogramm) zur Ausführung octave-3.0.3.exe:2> test1 Achtung: Die Datei (die Funktion oder das Hauptprogramm) ist in der Octave-Kommandozeile ohne .m-Dateiendung anzugeben. Wie erwartet ergibt sich folgende Ausgabe am Bildschirm Hallo Welt! Zumindest unter Linux können Sie z.B. auch komfortabel den {{W|Shebang|Shebang}} (<code>#!</code>) nutzen. Gegeben sei das Octave-Script #!/usr/bin/octave disp("Hallo Welt!"); Gepeichert sei es ebenfalls als <code>test1.m</code>. Starten Sie ein Terminal, wechseln Sie in das entsprechende Arbeitsverzeichnis und geben Sie ./test1.m ein, so erhalten Sie wieder Hallo Welt! als Ausgabe auf dem Terminal. Die Zugriffsberechtigung muss natürlich mittels <code>chmod</code> richtig gesetzt werden. Oder Sie führen direkt Octave mit der Datei <code>test1.m</code> aus: octave test1.m Sie sehen, mehrere Wege führen zum Ziel. == Blockkommentare == In neueren Octave-Versionen ab dem Jahr 2009 sind auch Blockkommentare möglich. Blockkommentare werden wie normale Kommentare vom Octave-Interpreter ignoriert. %{ Das ist ein Blockkommentar %} #{ und das auch #} Achtung! Folgendes wäre kein Blockkommentar, sondern ergibt einen Fehler. #{ Das ist kein Blockkommentar #} Die erste Zeile würde zwar durch das # auskommentiert (Zeilenkommentar), die zweite Zeile aber nicht. Die dritte Zeile ist wieder ein Zeilenkommentar. == Variablen == Variablenbezeichner können aus Buchstaben (A-Za-z), Ziffern (0-9) und Underscores (_) bestehen, dürfen aber nicht mit einer Zahl beginnen. Gültige Variablenbezeichner wären also: xyz x1 _wert name_anzahl Da Octave case-sensitiv ist, repräsentieren folgende Bezeichner verschiedene Variablen: xyz XYZ xYz Werte werden an Variablen mittels Gleich-Zeichen (=) zugewiesen. Im Folgenden wird der Code immer in der Datei c:\tmp\test1.m gespeichert. x = 5 y = 10 z = x*y Bringen Sie die Datei test1.m zur Ausführung, so erhalten Sie folgende Bildschirmausgabe x = 5 y = 10 z = 50 Normalerweise will man aber nur z anzeigen, die Werte von x und y sind ja bereits bekannt. Dazu fügen Sie an den Anweisungsenden, wie bereits weiter oben erwähnt, bei x und y jeweils ein Semikolon (;) an, um das Anweisungsende explizit zu markieren. x = 5; y = 10; z = x*y Nun erhalten Sie als Ergebnis nur noch z = 50 Sie können auch mehrere Anweisungen in einer Zeile durch Semikolon getrennt schreiben. x = 5; y = 10; z = x*y Ausgabe: z = 50 Auch aus der Programmiersprache C/C++ oder Java bekannte Konstrukte können Sie verwenden, z.B. x = 5; % inkrementiere x ++x % x = x - 2 x -= 2 Bildschirmausgabe: ans = 6 x = 4 Beachten Sie, dass mit dem =-Zeichen eine Wertezuweisung durchgeführt wird. Dies ist nicht äquivalent zum mathematischen =-Zeichen, wie am vorigen Beispiel zu ersehen ist. Soll eine Anweisung auf mehrere Zeilen verteilt werden, z.B. weil sie zu lang ist, so kann dies durch Verwendung von drei Punkten (...) geschehen, wie nachfolgend dargestellt. x = 5; y = 1000 * x + ... sin(x/2) Ausgabe: y = 5000.6 Diese Drei-Punkte-Methode soll nicht für in Anführungszeichen (") eingeschlossene Strings verwendet werden. Diese Methode ist seit geraumer Zeit "deprecated" und funktioniert mit der Version 9.1.0 gar nicht mehr. Benutzen Sie statt dessen den Backslash (\): txt = "xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\ yyyyyyyyyyyyyyyyy" Ausgabe: txt = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyy Variablen sind nicht an einen bestimmten Datentyp gebunden, folgendes ist in Octave problemlos möglich: wert = 10 wert = 35.5 wert = "Hallo" wert = pi Ausgabe: wert = 10 wert = 35.500 wert = Hallo wert = 3.1416 Der Befehl <code>who</code>, bzw. <code>whos</code> listet die gegenwärtig definierten Variablen, z.B.: clear; a = 10.5; v = [1 2 3 4 5 12 13]; m = ["s1", "s2"; "s3", "s4"]; disp "***** Der Befehl who *****" who disp "***** Der Befehl whos *****" whos Ausgabe: ***** Der Befehl who ***** Variables visible from the current scope: a m v ***** Der Befehl whos ***** Variables visible from the current scope: variables in scope: top scope Attr Name Size Bytes Class ==== ==== ==== ===== ===== a 1x1 8 double m 2x4 8 char v 1x7 56 double Total is 16 elements using 72 bytes ==Hexadezimale und binäre Zahlen== % Hexadezimale Zahl disp( 0xABC ) % Binäre Zahl disp( 0b1000011 ) Ausgabe (als Dezimalzahlen): 2748 67 Octave kann auch dezimale in binäre Zahlen etc. umwandeln: dec2bin( 214 ) Ausgabe: ans = 11010110 Siehe dazu in der Octave-Hilfe auch folgende Funktionen: bin2dec, dec2base, dec2hex, hex2dec, base2dec == Zahlenkolonnen == Eine Zahlenkolonne (oder ein Vektor) mit gleichen Abständen der Werte kann folgendermaßen erzeugt werden: % a ... Startwert % b ... Schrittweite % c ... Endwert a = 0; b = 10; c = 100; x = a : b : c; disp(x); Ausgabe: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ähnliche Resultate lassen sich auch durch Anwendung der linspace-Funktion erhalten, z.B.: % a ... Startwert % b ... Endwert % c ... Anzahl der Werte a = 0; b = 100; c = 11; v = linspace(a, b, c) Ausgabe: v = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 == Verzweigungen == === Die IF-Verzweigung === Die IF-Verzweigung ist aus anderen Programmiersprachen bereits bekannt. In Pseudocode lässt sie sich folgendermaßen darstellen: WENN bedingung TRUE führe block1 aus SONST führe block2 aus ENDE Die test1.m-Datei laute also wie folgt: x = 5; if x < 4 disp "x ist kleiner als 4"; else disp "Der else-Zweig wird ausgefuehrt"; disp "x ist groesser oder gleich 4"; end Ausgabe: Der else-Zweig wird ausgefuehrt x ist groesser oder gleich 4 Octave kennt eine Reihe von Vergleichs- und Verknüpfungsoperatoren: * <, <= ... kleiner (gleich) * >, >= ... größer (gleich) * == ... gleich * ~=, != ... ungleich * &, && ... AND * |, || ... OR * ~, ! ... NOT Beispielsweise: a = 5; b = 9; if a<=10 & b!=7 disp("OK"); else disp("Nicht OK"); end Ausgabe: OK === Die SWITCH-Verzweigung === In Pseudocode: WECHSLE ZU var FALLS wert1 == var führe block1 aus FALLS wert2 == var führe block2 aus ... SONST führe blockn aus ENDE Eine Beispielsimplementierung in Octave könnte so aussehen: x = "g"; switch(x) case "k" disp("klein"); case "g" disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: gross Anmerkungen für C-Programmierer: * in Octave darf zum Abschluß von ''case'' kein Doppelpunkt folgen (würde einen Syntaxfehler auslösen). * ein ''break'' als Abschluß eines ''case''-Blocks ist nicht erlaubt (würde in Octave einen parse error auslösen). ''break'' ist Schleifen vorbehalten. ''switch'' hat in Octave keinen "Durchfall" und ähnelt somit eher der Fortran-Anweisung ''select case''. Mehrere Fälle in einem ''case'' können wie nachfolgend behandelt werden: x = "K"; switch(x) case {"k" "K"} disp("klein"); case {"g" "G"} disp("gross"); otherwise disp("sonstiges") end Ausgabe: klein == Schleifen == === Die WHILE-Schleife === Die WHILE-Schleife ist kopfgesteuert. Sie funktioniert wie aus anderen Programmiersprachen bekannt. In Pseudocode: SOLANGE bedingung TRUE führe block aus ENDE In Octave: x = 0; while x <= 10 disp(x); x++; end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 === Die DO-UNTIL-Schleife === Die DO-UNTIL-Schleife ist fußgesteuert. Beachte: Diese Schleife ist nicht äquivalent zu der aus anderen Programmiersprachen bekannten DO-WHILE-Schleife. DO-WHILE bedeutet "TUE SOLANGE", DO-UNTIL bedeutet "TUE BIS". Sie wird mindestens einmal ausgeführt. Pseudocode: TUE führe block aus BIS bedingung TRUE Mittels Octave: x = 0; do disp(x); x++; until(x >= 5) Ausgabe: 0 1 2 3 4 === Die FOR-Schleife === for x = 0 : 2 : 10 disp(x); end Ausgabe: 0 2 4 6 8 10 Der FOR-Schleifenkopf ist in Form einer Zahlenkolonne folgendermaßen aufgebaut: for variable = startwert : schrittweite : endwert Man beachte, dass Vektorisierung gegenüber einem Schleifendurchlauf eine erhebliche Zeiteinsparung bewirken kann (man siehe in der [https://docs.octave.org/latest/Vectorization-and-Faster-Code-Execution.html Octave-Dokumentation das Kapitel 19 "Vectorization and Faster Code Execution"]). Folgendes Beispiel ist an genanntes Octave-Kapitel angelehnt. Zuerst wird eine Berechnung mittels Schleifendurchlauf durchgeführt und der Zeitbedarf ausgegeben. Dieser Zeitbedarf hängt natürlich auch von der verwendeten Hardware etc. ab. Eingabe: n = m = 500; a = b = eye(500); t1 = time(); for i = 1:n for j = 1:m c(i,j) = a(i,j) + b(i,j); endfor endfor t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 3.7566 Der Zeitverbrauch beträgt hier also ca. 4 Sekunden. Im Gegensatz dazu Eingabe: a = b = eye(500); t1 = time(); c = a + b; t2 = time(); t_diff = t2-t1 Ausgabe: t_diff = 1.5974e-05 ist der Zeitverbrauch hier sehr gering. Vektoren und Matrizen werden etwas später in diesem Text detailliert behandelt. Hier nur soviel: Mittels ''eye'' wird eine Einheitsmatrix kreiert. Octave hat im Gegensatz zu MATLAB keinen {{W|Just-in-time-Kompilierung|JIT-Compiler}} (JIT ... '''J'''ust '''i'''n '''T'''ime). Darum ist Vektorisierung gerade hier von eminenter Bedeutung. === Schleifen abbrechen === Zum Abbrechen einer Schleife gibt es den Befehl "break". for var = 0 : 1 : 100 disp (var); if var == 5 break; end end Ausgabe: 0 1 2 3 4 5 "continue" setzt mit dem nächsten Schleifendurchlauf fort, z.B. for var = 0 : 1 : 10 if var == 5 continue; end disp (var); end Ausgabe: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 == Aufgaben == * Berechnen Sie die Summe der ersten 10000 natürlichen Zahlen (bei 1 beginnend) ** in Form einer WHILE-Schleife ** in Form einer DO-UNTIL-Schleife ** in Form einer FOR-Schleife ** mittels sum-Befehl (siehe dazu auch die von Octave zur Verfügung gestellte Hilfefunktion). ** mittels gaußscher Summenformel (<math>\sum_{i=1}^n{i} = 1+2+...+n = n(n+1) / 2</math>) * Schreiben Sie für obige Alternativen Programme mit denen der Zeitbedarf der Schleifen, Befehle bzw. Formeln gemessen werden kann. Welche Alternativen sind aus Zeitgründen (minimale Laufzeit) empfehlenswert? = Grafiken zeichnen = == 2D == === Graph einer Funktion === Es soll die cosh-Funktion im Intervall <math>x\in[-3,3]</math> gezeichnet werden. Der Programmcode lautet in der einfachsten Form: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_cosh.jpg]] Der Code ist quasi selbsterklärend. x läuft von -3 bis +3. y wird für jeden x-Wert per Formel ausgerechnet. "plot" ist der Zeichenbefehl. "grid on" schaltet ein Zeichengitter ein. Die Schrittweite 0.1 wurde so gewählt, um einen ausreichend glatten Verlauf des Graphen zu gewährleisten. Das ist immer ein Kompromiss zwischen Berechnungszeit und Ansehnlichkeit. Testen Sie einfach ein paar verschiedene Werte, um ein Gefühl dafür zu zu bekommen. Sie könnten nun auf die Idee kommen, obiges Script unter Linux mit der Shebang-Zeile zu erweitern, um es direkt als Programm auszuführen. #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; Die Enttäuschung folgt auf dem Fuß. Außer einem kurzen Aufblinken des Grafikfensters ist nicht viel zu sehen. Das Programm läuft einfach durch und wird nach der letzten Anweisung beendet. Abhilfe kann z.B. der <code>input</code>-Befehl schaffen: #!/usr/bin/octave x = -3 : .1: 3; y = cosh(x); plot(x,y); grid on; refresh(); input("Zum Beenden RETURN-Taste drücken"); Das Programm wartet somit, bis Sie im Terminal die RETURN-Taste drücken. <code>refresh()</code> dient dazu, das Grafikfenster unmittelbar zu aktualisieren. Sonst würde das Ausgabefenster leer bleiben, bis es durch externe Anreize aktualisiert wird (z.B. durch Fenster minimieren/maximieren). Gleiches gilt für die <code>octave test1.m</code>-Variante. Ein etwas komplexeres Beispiel ist Folgendes x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; plot(x,y); grid on; Man beachte den Punkt bei 2.^x (2 hoch x). Vergisst man den Punkt, dann erhält man eine Fehlermeldung (ähnlich dieser): error: for x^y, only square matrix arguments are permitted and one argument must be scalar. Use .^ for elementwise power. error: called from test1 at line 2 column 3 Ausgabe: [[Datei:octave_cosh2.jpg]] Der Funktionsgraph kann auch als Fläche eingefärbt werden: x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; fill (x, y, "b"); Ausgabe: [[Datei:octave_cosh3.jpg | 500px]] === Graphen mehrerer Funktionen und weiteres === Mehrere Graphen lassen sich folgendermaßen in ein Fenster zeichnen: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, x,y2); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Bild:octave_cosh14.jpg|600px]] Um die Linienstile etwas individueller zu gestalten, ist folgender Programmcode gedacht: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1,"*r", x,y2,"ob"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_cosh4.jpg]] Bei plot kann auch der Linienstil des jeweiligen Graphen angegeben werden, z.B. steht * für Sternchenlinie o für Kreise in der Linie r für rot b für blau Ein ähnliches Resultat liefert der Code: x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red", "*", x,y2, "Color", "blue", "o"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; Will man mehrere Graphen in ein Fenster zeichnen, aber nicht alles in einen plot-Befehl quetschen, so kann die "hold on"-Anweisung die Lösung des Problems sein: %Lösche alle benutzerdefinierten Variablen aus der Symboltabelle clear; %Schließe alle Fenster close all; %Lösche Konsolenfenster und setze Cursor zurück clc; x = -3 : .1: 3; y1 = cosh(x) + 2.^x; y2 = sin(x) .* cos(x); plot(x,y1, "Color", "red"); hold on; plot(x,y2, "Color", "blue"); title("Funktionsgraphen"); legend("cosh ...", "sin ..."); xlabel("x"); ylabel("y"); grid on; [[Datei:octave_coshsin1.jpg]] Bei diesem Program wurden auch einige Möglichkeiten (clear, close, clc) gezeigt, um das System aufzuräumen. Ein "hold off" würde natürlich die hold-Funktion wieder ausschalten. === Funktion in Parameterdarstellung === Es soll die archimedische Spirale <math>x = t \cos(t), y = t \sin(t)</math> im Intervall <math>[0, 6\pi]</math> gezeichnet werden. clear; close all; clc; t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; [[Datei:octave_spirale1.jpg]] Diese Darstellung erscheint verzerrt. Will man gleiche Achsenskalierungen, so kann man den axis-Befehl verwenden (axis muss nach plot erscheinen). t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; [[Datei:octave_spirale222.jpg]] === Strichstärke === Für manche Zwecke ist es sinnvoll die Strichstärke des Graphen zu erhöhen. Dies kann über den Parameter "LineWidth" der plot-Funktion geschehen. t = 0 : .1: 6*pi; x = t .* cos(t); y = t .* sin(t); plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; axis equal; Ausgabe: [[Datei:octave_spirale3.jpg]] === Beliebigen Text ausgeben === x = -10:0.1:10; plot (x, sin (x), "LineWidth", 2); text (2.7, 0.8, "Das ist die sin-Funktion"); Ausgabe: [[Datei:octave_text1.jpg]] === Logarithmische Achseneinteilung === x = -3 : .1: 3; y = cosh(x) + 2.^x; % Halblogarithmische Darstellung semilogy(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_semilog1.jpg]] Auch die x-Achse kann mit "semilogx" logarithmisch skaliert werden. Mit "loglog" werden beide Achsen logarithmisch skaliert. === Aufgaben === * Zeichnen Sie die Strophoide <math>x = \frac{a(t^2-1)}{t^2+1}, y = \frac{at(t^2-1)}{t^2+1}, a = 2, -3 \leq t \leq 3</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_strophoide.jpg]] * Zeichnen Sie die verschlungene Hypozykloide <math>x = (R-r)\cos t + c\cos\frac{R-r}{r}t, y = (R-r)\sin t - c\sin\frac{R-r}{r}t, c = 3, r = 2, R = 6, -15 \leq t \leq 15</math>. Das Ganze sollte in etwa so aussehen wie folgende Grafik: [[Datei:octave_hypozykloide.jpg]] * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Linienstile und Farben (Hinweis: Siehe dazu auch die Octave-Hilfefunktion für den plot-Befehl). * Testen Sie bei den obigen Übungsaufgaben verschiedene Werte für a, c, r und R. * Erkunden Sie in der Octave-Hilfe den ezplot-Befehl. == Gitterlinien und Koordinatenachsen == * Zwischengitterlinien aktivieren: <code>grid minor;</code> * Gitterabstände exakt selbst festlegen, z.B.: <code>set(gca, "XTick", -10 : 1 : 10);</code> * Gitterfarben und -linienstile anpassen, z.B.: set(gca, 'GridColor', [0.1, 0.1, 0.1]); set(gca, 'GridLineStyle', '-'); set(gca, 'MinorGridColor', [0.2, 0.2, 0.2]); set(gca, 'MinorGridLineStyle', '--'); * Koordinatenachsen selbst festlegen, z.B. axis([-2, 10, -3, 8]); % x-Achse von -2 bis 10, y-Achse von -3 bis 8 * Markierungen auf den Achsen einstellen, z.B. <code>xticks(0:1:10);</code> * Achsenkreuz auf 0 setzen: set(gca, "xaxislocation", "origin"); set(gca, "yaxislocation", "origin"); * Umhüllende Linien abschalten: <code>box off;</code> <code>gca</CODE> steht übrigens für '''g'''et '''c'''urrent '''a'''xes. Analog dazu gibt es auch <code>gcf</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''f'''igure) und <code>gco</code> ('''g'''et '''c'''urrent '''o'''bject). Das ist aber alles schon sehr speziell und wird hier nicht vertieft. === Aufgabe === Probieren Sie die oben stichpunktartig angegebenen Möglichkeiten an konkreten Programmbeispielen aus. == 3D == === Räumliche Kurven === Mittels "plot3" lassen sich Raumkurven zeichnen. t = 0 : .1 : 9*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = 1.3 .^ t; plot3(x,y,z); grid on; [[Datei:octave_raumkurve1.jpg]] === Flächen === ==== ezsurf ==== Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit 3D-Flächen zu erzeugen, besteht in der Verwendung des ezsurf-Befehls. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol (elementweise Multiplikation soll verwendet werden, keine Matrizenmultiplikation) in der anonymen Funktion. Was eine anonyme Funktion ist, wird weiter hinten in diesem Text kurz erklärt. Fürs Erste reicht es zu wissen, dass die Funktion f(x, y) jeweils im Intervall [0, 10] gezeichnet werden soll. clear; close all; clc; clf; f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_ezsurf1.jpg|600px]] Dieses Bild wurde mit der Octave-Version 5.2 erstellt. Es ist im Prinzip identisch zu jenen des folgenden Abschnitts, die mit der Version 3.0.3 erstellt wurden, nur die Farbschattierung ist anders. Ändern lässt sich diese Eigenschaft mit dem colormap-Befehl (siehe auch Octave-Hilfe): clear; close all; clc; clf; colormap(hot); f = @(x, y) sin(x) + 3.*cos(y); ezsurf (f, [0, 10]); [[Bild:octave_colormap_hot.jpg|600px]] ==== surf und mesh ==== Für das Zeichnen von Flächen existiert der surf-Befehl. Der meshgrid-Befehl kreiert ein Netz in der xy-Zeichenebene. Beachten Sie beim folgenden Beispiel auch wieder den Punkt beim Multiplikationssymbol der Formel für z. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); [[Datei:octave_flaeche1.jpg]] Auch ein Farbstreifen kann via "colorbar" zur Grafik hinzugefügt werden. x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); surf(x_grid, y_grid, z); colorbar("East"); [[Datei:octave_flaeche2.jpg]] Das Ganze in Netzdarstellung läßt sich so programmieren: x = 0 : .2 : 10; y = 0 : .2 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); z = sin(x_grid) + 3.*cos(y_grid); mesh(x_grid, y_grid, z); Ausgabe: [[Datei:octave_mesh1.jpg]] ==== Ellipsoide und Kegel ==== Für das Zeichnen von Kugeln oder Ellipsoiden stellt Octave den "sphere"-Befehl bzw. den "ellipsoid"-Befehl zur Verfügung. clear; close all; clc; % Ellipsoiden zeichnen [x, y, z] = sphere(30); surf(5*x, 4*y, 3*z); hold on; [x, y, z] = ellipsoid(5, 5, 5, 6, 3, 2, 30); surf(x, y, z); axis equal; [[Bild:octave_ellipsoid2.jpg|600px]] Für Zylinder und Kegel ist der "cylinder"-Befehl zuständig. clear; close all; clc; % Kegel und Zylinder zeichnen [x, y, z] = cylinder([1 2], 100); surf(x, y, z*3); hold on; [x, y, z] = cylinder([0.5 0.5], 50); surf(x+3, y, z*2); axis equal; [[Bild:octave_cylinder2.jpg|600px]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie die räumliche Kurve <math>x = 2 \cdot \cosh(t)</math>, <math>y = 5 \cdot \sin(t)</math>, <math> z = t^{2} - t</math>, <math>0 \leq t \leq 3\pi</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_kurve10.jpg]] * Zeichnen Sie die Fläche <math>z = \log(x) + \cos(y)</math>. Das Ganze sollte etwa wie folgt aussehen: [[Datei:octave_flaeche10.jpg]] == Weiteres == === subplot === Zeichnen mit Untergrafiken: Hier wird z.B. ein Fenster mit drei Untergrafiken gezeichnet. Eingabe: t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); subplot(311); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); subplot(312); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); subplot(313); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot2.jpg]] Die dreistellige Ziffer beim subplot-Befehl bedeutet folgendes: * Die erste Ziffer ist die Zeilenanzahl * Die zweite Ziffer ist die Reihenanzahl und * Die dritte Ziffer ist der Index. Beim obigen Beispiel ist die z-Achse ein bisschen zusammengedrückt. Dies wollen wir mit nachfolgendem Code ansatzweise "verbessern" und ein paar weitere Spielereien mit Subplots durchführen. t = 0 : .5 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(t, t); % fig = figure(); ax1 = subplot(4, 1, 1:2); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid) ); grid(ax1, "minor"); axis(ax1, [0, 10, 0, 20, -2, 2]); ax2 = subplot(413); surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid) ); ax3 = subplot(414); surf(x_grid, y_grid, x_grid + cos(y_grid) ); % refresh(); % input(); [[Datei:octave_subplot105.svg| 400px]] Nun sei ein Beispiel mit 3x2-Untergrafiken angeführt. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; subplot(321); plot(x, sin(x)); text(2, -0.5, "Index 1"); subplot(322); plot(x, tan(x)); text(2, 2, "Index 2"); subplot(323); plot(x, cosh(x) ); text(2, 3000, "Index 3"); subplot(324); plot(x, gamma(x) ) text(2, 100000, "Index 4"); subplot(325); plot(x, log(x) ); text(2, 0, "Index 5"); subplot(326); plot(x, exp(x) ); text(2, 10000, "Index 6"); Ausgabe: [[Datei:octave_subplot3.jpg]] Hier ist sehr gut zu sehen, in welcher Reihenfolge der Index läuft. Will man bspw. die Hintergrundfarbe eines Subplots setzen (z.B. auf die Farbe rot), so kann dies über folgende Befehle geschehen: ax1 = subplot(321); set(ax1, "color", [1.0, 0.0, 0.0]); === figure === Zeichnen in verschiedene Fenster, z.B. clear; close all; clc; x = 0 : .1 : 10; y = 0 : .1 : 10; [x_grid, y_grid] = meshgrid(x, y); figure(1) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + cos(y_grid)); figure(2) surf(x_grid, y_grid, sin(x_grid) + log(y_grid)); Ausgabe: [[Datei:octave_figure111.jpg|700px]] Die Größe und Position eines Fensters kann festgelegt werden: f1 = figure(1, "Position", [100, 100, 800, 600]); Hintergrundfarbe setzen f2 = figure(2, 'Color', [1.0, 0.0, 0.0]); oder auch per set(f1, 'Color', [1.0, 0.0, 0.0]); === Linien zeichnen === Zeichnen Sie eine Linie von der Koordinate [-15, 0] zu [15, 5]: clear; close all; clc; x = line([-15 15], [0, 5], "Color", "black", "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_linie1.jpg]] Man beachte, dass Octave nicht Punkte P1(x1, y1), P2(x2, y2) erwartet, sondern einen x-Vektor [x1 x2] und einen y-Vektor [y1 y2]. Ein allgemeines Viereck wird z.B. mit folgendem Befehl gezeichnet. line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_viereck2.jpg]] Auch dreidimensionale Formen lassen sich mit dem line-Befehl zeichnen: clear; close all; clc; line([-15 15 10 -5, -15], [0, 5, 20, 15, 0], [10, 20, 30, 40, 50], "LineWidth", 2); [[Datei:octave_dreidim2.jpg]] === Aufgaben === * Zeichnen Sie mittels "subplot" die Funktionsgrafen <math>y_1=\tan(x), y_2=\tan(2x), y_3=\tan\sqrt x, y_4=x\cdot \tan(x)</math> in folgender Form in ein Fenster: ** in 2x2-Darstellung ** in 1x4-Darstellung. * Zeichnen Sie die im obigen Beispiel angegebenen Funktionsgrafen mittels "figure" jeweils in ein eigenes Fenster. = Vektoren und Matrizen = == Vektoren == Vektoren sollten jedem aus der Linearen Algebra bekannt sein. === Zeilen- und Spaltenvektoren === % Ein Zeilenvektor v1 = [1, 2, 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6; 7; 8] Ausgabe: v1 = 1 2 3 v2 = 6 7 8 Alternative Schreibweisen: % Ein Zeilenvektor v1 = [1 2 3] % Ein Spaltenvektor v2 = [6 7 8] Die Ausgabe entspricht der obigen Darstellung. === Zugriff auf Vektorelemente === Nachfolgend seien einige Zugriffsmöglichkeiten auf die einzelnen Vektorelemente erläutert. Auf ein einzelnes Element kann via Index zugegriffen werden. Der Index startet bei 1: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3) Ausgabe: v2 = 4 Mehrere Elemente werden folgendermaßen angesprochen: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:4) Ausgabe: v2 = 4 8 Liefere den Teilvektor von einem gegebenen Index bis zum letzten Element: v1 = [1 2 4 8 16]; v2 = v1(3:end) Ausgabe: v2 = 4 8 16 === Addition und Subtraktion von Vektoren === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 7, 9]; res = v1 + v2 res = v1 - v2 Ausgabe: res = 6 9 12 res = -4 -5 -6 === Multiplikation mit Skalaren === faktor = 3; v = [1, 2, 3]; res = faktor * v Ausgabe: res = 3 6 9 === Skalarprodukt === Das Skalarprodukt ist bekanntermaßen als <math>v_1 \cdot v_2 = |v_1| |v_2| \cos(\angle(v_1, v_2))</math> definiert. In Octave sieht das so aus: v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = dot(v1, v2) Ausgabe: res = 38 === Vektorprodukt === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5, 6, 7]; res = cross(v1, v2) Ausgabe: res = -4 8 -4 Enger an die mathematische Darstellung lehnt sich folgender Code an. Die zu multiplizierenden Vektoren seien in Form von Spaltenvektoren gegeben. Mathematisch: <math>a\ast b=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{array}\right)\ast\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{array}\right) </math> Octave-Code: a = [1 2 3]; b = [5 6 7]; res = cross(a, b) Ausgabe: res = -4 8 -4 === Transponierter Vektor === v1 = [1, 2, 3]; v2 = [5; 6; 7]; res1 = v1' res2 = v2' Ausgabe: res1 = 1 2 3 res2 = 5 6 7 === Einige weitere Vektorfunktionen === Beispiel: % 1 + 2 + 3 v = [1 2 3]; sum(v) Ausgabe: ans = 6 Beispiel: % 1 * 2 * 3 * 4 v = [1 2 3 4]; prod(v) Ausgabe: ans = 24 Beispiel: % 1^2 + 2^2 + 3^2 v = [1 2 3]; sumsq (v) Ausgabe: ans = 14 == Matrizen == Gegeben sei folgende 2x3-Matrix <math>m=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)</math>. Eingabe: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] Ausgabe: m = 1 2 3 4 5 6 Alternativ und anschaulicher kann diese 2x3-Matrix auch so eingegeben werden: m = [1 2 3 4 5 6] Dies ist schon sehr nahe an der mathematischen Darstellungsweise. === Zugriff auf Matrizenelemente === m = [1 2 3 4 5 6]; % Element aus Zeile 2 und Spalte 3 m(2,3) Ausgabe: ans = 6 Eine andere Zugriffsmöglichkeit ist diese: m = [1 2 3 4 5 6]; % Auf das fünfte Element soll zugegriffen werden m(5) Ausgabe: ans = 3 Die Matrix wird also spaltenweise durchlaufen (nicht zeilenweise). Dies ist vielleicht auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich, wird aber z.B. auch in Fortran so gehandhabt. Auch Teilmatrizen können einfach gebildet werden: m = [1 2 3 4 5 6]; m(2:end, 2:end) Ausgabe: ans = 5 6 Siehe zu diesem Thema auch etwas weiter hinten in diesem Text den Abschnitt "Teilmatrizen". === Addition und Subtraktion von Matrizen === m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [-4, -2, 0; 2, 4, 6]; m1 + m2 m1 - m2 Ausgabe: ans = -3 0 3 6 9 12 ans = 5 4 3 2 1 0 === Transponierte Matrix === m = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m' Ausgabe: ans = 1 4 2 5 3 6 === Rang einer Matrix === Der Rang einer Matrix Rg(M) ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). m1 = [1, 2, 3; 4, 5, 6]; m2 = [1, 2; 2, 4]; rank(m1) rank(m2) Ausgabe: ans = 2 ans = 1 Regulär ist eine nxn-Matrix, wenn der Rg(M) = n. D.h. die erste Matrix m1 ist regulär, die zweite m2 singulär. === Inverse Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; inv(m1) inv(m2) Ausgabe: ans = 1.00000 0.60000 0.00000 -0.20000 warning: matrix singular to machine precision warning: called from test1 at line 4 column 1 ans = Inf Inf Inf Inf Die Matrix m2 in diesem Beispiel ist singulär (d.h. die Determinante ist 0). Determinanten werden etwas weiter unten in diesem Text behandelt. Inf steht für Infinity (= Unendlich). === Multiplikation von Matrizen (falksches Schema) === m1 = [1, 3, 4; 0, -5, 1]; m2 = [1, 2; 2, 3; 0, 2]; m1 * m2 Ausgabe: ans = 7 19 -10 -13 Will man aus irgendwelchen Gründen nicht das falksche Schema ausführen, sondern elementweise Multiplikation, so funktioniert das mit dem Punkt-Operator, z.B. m1 = [1, 3; 0, -5]; m2 = [1, 2; 4, 2]; % falksches Schema m1 * m2 % elementweise Multiplikation m1 .* m2 Ausgabe: ans = 13 8 -20 -10 ans = 1 6 0 -10 Verifikation, falksches Schema (Zeile*Spalte): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1+3*4 1*2+3*2 ] [ 13 8 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*1-4*5 0*2-5*2 ] = [ -20 -10 ] Verifikation, elementweise Multiplikation (homologe Elemente): [ 1 3 ] [ 1 2 ] [ 1*1 3*2 ] [ 1 6 ] [ 0 -5 ] [ 4 2 ] = [ 0*4 -5*2 ] = [ 0 -10 ] === Determinante einer Matrix === m1 = [1, 3; 0, -5 ]; m2 = [1, 2; 2, 4]; det(m1) det(m2) Ausgabe: ans = -5 ans = 0 m1 ist regulär, m2 ist singulär. Determinanten können nur von quadratischen Matrizen gebildet werden. === Teilmatrizen === m = [1, 2, 3; 0, 5, 1]; % Die Matrix in einen Spaltenvektor umwandeln m1 = m(:) % Das Element aus der 1. Zeile und der 2. Spalte extrahieren m2 = m(1,2) % Erste Zeile extrahieren m3 = m(1, 1:3) m4 = m(1, :) % Zweite Spalte extrahieren m5 = m(1:2, 2) m6 = m(:, 2) Ausgabe: m1 = 1 0 2 5 3 1 m2 = 2 m3 = 1 2 3 m4 = 1 2 3 m5 = 2 5 m6 = 2 5 === Einheitsmatrizen === eye(3,2) Ausgabe: ans = 1 0 0 1 0 0 === Nullmatrizen === zeros(2,3) Ausgabe: ans = 0 0 0 0 0 0 === Diagonalmatrizen === diag([1, 2, 3]) Ausgabe: ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 === Spur einer Matrix === trace([1,2,3; 6,9, 0]) Ausgabe: ans = 10 === LR-Zerlegung einer Matrix === Führen Sie die LR-Faktorisierung (LR ... links/rechts bzw. LU ... left/upper) einer Matrix m aus. l sei die linke Dreiecksmatrix, r die rechte Dreiecksmatrix und p die Permutationsmatrix m = [1 0 5 -1 1 -2 0 0 3]; [l, r, p] = lu(m) Ausgabe: l = 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 r = 1 0 5 0 1 3 0 0 3 p = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 === Eigenwerte === a = [5 8 1 3]; % Eigenvektoren und Eigenwerte [ev, ew] = eig(a) Ausgabe: ev = 0.9701 -0.8944 0.2425 0.4472 ew = Diagonal Matrix 7 0 0 1 Die Eigenwerte sind hier <math>\lambda_1 = 7</math> und <math>\lambda_2 = 1</math>. Die Eigenvektoren sind [0.9701 0.2425] bzw. [-0.8944 0.4472]. Da das Gleichungssystem <math>(A - \lambda_i E) x_i = 0</math> singulär ist, sind alle Lösungsvektoren Vielfache dieser Eigenvektoren. === Schwach besetzte Matrizen === {{Wikipedia | Dünnbesetzte Matrix}} Gegeben sei die schwach besetzte Matrix m = [0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7] Mittels dem sparse-Befehl kann man einfach die Elemente != 0 nach folgendem Schema eingeben. sparse ([zeilenindizes] [spaltenindizes] [werte]) also in unserem Fall: ms = sparse([1 2 3 3 4 5 5], [2 4 1 4 3 4 5], [1 3 4 2 1 1 7]) Ausgabe: ms = Compressed Column Sparse (rows = 5, cols = 5, nnz = 7) (3, 1) -> 4 (1, 2) -> 1 (4, 3) -> 1 (2, 4) -> 3 (3, 4) -> 2 (5, 4) -> 1 (5, 5) -> 7 Die volle Matrix erhält man mit dem Befehl full: m = full(ms) Ausgabe: m = 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 7 Grafisch anzeigen lassen kann man sich die Besetzung von Matrizen mit dem spy-Befehl: spy(ms); oder (für allgemeine Matrizen auch mittels) spy(m); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse1.jpg]] Wirklich interessant ist der spy-Befehl für größere Matrizen, z.B. um die Bandstruktur zu visualisieren. e = eye(200); es = sparse(e); % Auf sparse-Matrizen kann genauso zugegriffen werden wie auf normalen Matrizen es(100, 15) = 100; spy(es); Ausgabe: [[Datei:octave_sparse2.jpg]] === Matrizen mit Zufallswerten === Insbesondere für Testzwecke kann es manchmal sinnvoll sein größere Matrizen mit Zufallswerten zu bilden. Dazu stellt Octave u.a. den rand-Befehl zur Verfügung. m = rand(5, 6) Ausgabe: m = 0.86605 0.61108 0.71347 0.97119 0.52428 0.21993 0.74059 0.49062 0.56073 0.68592 0.74737 0.62680 0.20790 0.84874 0.36834 0.31102 0.25813 0.28933 0.84732 0.98777 0.91512 0.42240 0.87891 0.63757 0.76823 0.80367 0.24639 0.78208 0.77170 0.95281 Die Zufallszahlen liegen gleichverteilt zwischen 0 und 1 und werden nach dem Mersenne-Twister-Verfahren mit einer Periode von <math>2^{19937}-1</math> gebildet. Andere Verfahren sind: * randn: Normalverteilte Pseudozufallselemente mit Mittelwert=0 und Varianz=1 * rande: Exponentialverteilte Zufallselemente * randg: Gammaverteilte Zufallselemente * randp: Poissonverteilte Zufallselemente Details dazu siehe in der Octave-Hilfefunktion. == Aufgaben == * Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = [1 2 0] und b = [2 1 1]. Hinweis: Siehe diesbezüglich auch im Oktave-Hilfesystem den Befehl "norm". * Gegeben seien Vektoren a = [1 2 5], b = [0 0 -1] und c = [-1 -2 2]. Berechnen Sie das Spatprodukt aus diesen drei Vektoren. * Multiplizieren Sie die beiden Matrizen A und B (mit Octave und zur Kontrolle händisch) A = [0 0 1 1 2 1] B = [1 1 1 2 0 4] * Ist die Matrix C regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. C = [-1 0 0 -4 2 0 1 5 7 6 2 0 3 0 2 6] * Ist die Matrix D regulär? Wenn ja, dann bilden Sie die inverse Matrix. D = [2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0] * Berechnen Sie die Konditionszahl der folgenden Matrix. Hinweis: Siehe diesbezüglich im Oktave-Hilfesystem den Befehl cond [3 4 -5 6 0 3 1 1 2] * Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix [6 -3 4 0 0 7 -1 1 0 10 -3 -2 0 1 -2 1] = Komplexe Zahlen = Die imaginäre Einheit wird in Octave durch den Buchstaben i, j, I oder J symbolisiert. Darstellen kann man eine komplexe Zahl bekannterweise in mehreren Formen: * Kartesische Darstellung <math>z = \Re(z) + i \cdot \Im(z)</math> * Polardarstellungen <math>z = r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) = r \cdot e^{i\cdot \phi}</math> Die konjugiert komplexe Zahl ist <math>z^* = \Re(z) - i \cdot \Im(z)</math> == Mit komplexen Zahlen rechnen == z1 = 2 + 5i; % kartesische Darstellung z2 = 3 * exp(3j); % Polardarstellung % Addition res = z1 + z2; disp("z1 + z2 = "); disp(res); % Multiplikation res = z1 * z2; disp("z1 * z2 = "); disp(res); % Realteil res = real(z2); disp("Realteil von z2 = "); disp(res); % Imaginärteil res = imag(z2); disp("Imaginaerteil von z2 = "); disp(res); % Betrag res = abs(z1); disp("Betrag von z1 = "); disp(res); % Argument res = angle(z1); disp("Argument von z1 = "); disp(res); % Konjugiert komplexe Zahl res = conj(z1); disp("Konjugiert komplexe Zahl von z1 = "); disp(res); Ausgabe: z1 + z2 = -0.96998 + 5.42336i z1 * z2 = -8.0568 - 14.0032i Realteil von z2 = -2.9700 Imaginaerteil von z2 = 0.42336 Betrag von z1 = 5.3852 Argument von z1 = 1.1903 Konjugiert komplexe Zahl von z1 = 2 - 5i == Die gaußsche Zahlenebene == clear; close all; clc; z1 = 3 + 5i; z2 = 5 * exp(0.5i); hold on; plot(z1, "*"); compass(z1); plot(z2, "o"); compass(z2); grid on; [[Datei:octave_komplex1.jpg]] == Aufgaben == * Berechnen Sie die Quadratwurzel der komplexen Zahl <math>z = 3 + 2i</math>. * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung: <math>-11 - 3i</math> und <math>(1+i)^{10}</math> * Verwandeln Sie folgende Zahlen in die Normaldarstellung: <math>12 \cdot e^{i\cdot \pi / 4}</math> und <math>3 \cdot (\cos(\pi / 3) + i \cdot \sin(\pi / 3))</math> * Zeichnen Sie die Zahl <math>3 + 5i</math> in der gaußschen Zahlenebene als Zeiger. = Funktionen = Um Programme zu strukturieren und einfacher zu gestalten können Programmteile in Funktionen ausgelagert werden. Eingebaute Funktionen haben wir schon kennengelernt (z.B. die Sinus-Funktion sin). Nun wollen wir sehen, wie man selbst solche Funktionen schreiben kann. == Eine einfache Funktion schreiben == Datei addiere.m: function res = addiere(a, b) % Addiere zwei Zahlen a + b res = a + b; end Datei test1.m: addiere(10, 15) Ausgabe: ans = 25 * Jede Funktion sollte in einer eigenen m-Datei stehen. * Der Dateiname sollte mit dem Funktionsnamen (natürlich ohne Dateiendung .m) übereinstimmen. * Der Kommentar unter dem Funktionskopf wird als Hilfstext angezeigt, wenn die help-Funktion (hier "help addiere") aufgerufen wird. == Inline-Funktionen == Kurze Funktionen können auch als Inline-Funktionen geschrieben werden. addiere = inline("a + b"); x = 5; y = 10; z = addiere(x, y) Oder in diesem Fall noch kürzer addiere = inline("a + b"); z = addiere(5, 10) Ausgabe: z = 15 Bei neueren Octave-Versionen kann bei der Verwendung von Inline-Funktionen die Warnung warning: inline is obsolete; use anonymous functions instead erscheinen. Ein Blick in die Hilfe-Funktion help inline zeigt das selbe Ergebnis. Es sollen also anonyme Funktionen (siehe etwas weiter unten in diesem Text) anstelle von Inline-Funktionen verwendet werden. == Funktionsstring == addiere = "a + b"; a = 5; b = 10; z = eval(addiere) Ausgabe: z = 15 == Anonyme Funktionen == {{Wikipedia | Anonyme Funktion}} addiere = @(a, b) a + b; x = 10; y = 20; z = addiere(x, y) oder kürzer addiere = @(a, b) a + b; z = addiere(10, 20) Ausgabe: z = 30 oder noch kürzer (@(a,b) a+b)(10, 20) Ausgabe: ans = 30 == Nullstellen von Funktionen bestimmen == sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; z = fzero(sinh2, 1) Ausgabe: z = -1.4436 Zur Kontrolle soll hier der Graph der Funktion dargestellt werden clear; close all; clc; sinh2 = @(x) sinh(x) + 2; x = -2 : 0.1 : 0; y = sinh2(x); z = fzero(sinh2, 1) plot(x, y); hold on; plot(z, 0, "o", "Color", "red", "LineWidth", 2); text (-1.8, 0.8, "Nullstelle"); line([z -1.7], [0, .7], "Color", "black"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_funktion5.jpg]] Weiter unten im Text wird die ähnliche Funktion "fsolve" beschrieben. "fzero" benutzt zwei verschiedene Funktionen zur Problemlösung, darunter eben auch "fsolve". Für die Nullstellenbestimmung von Polynomen gibt es die Funktion "roots". Näheres dazu folgt im nächsten Kapitel. == Globale Variablen == Datei addiere.m: function res = addiere() global a b; res = a + b; end Datei test1.m: clear; close all; clc; global a b; a = 5; b = 3; addiere() Ausgabe: ans = 8 == Aufgaben == * Schreiben Sie eine Funktion "ellipse", welche eine Ellipse am Bildschirm darstellt. Zur Erinnerung: Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet <math>x = a\cdot\cos(t), y = b\cdot\sin(t), 0 \leq t \leq 2\pi</math>, Funktionsargumente seien a und b. * Schreiben Sie <math>y = 2\cdot\sin(x) + 3\cdot\cos(x/2)</math> ** als normale Funktion ** als Funktionsstring ** als Inlinefunktion ** als anonyme Funktion ** stellen Sie diese Funktion grafisch am Bildschirm dar. = Polynome = == Einzelne Polynomwerte berechnen == % y = 2*x^3 + 5*x^2 + 4 für x = 2 berechnen p = [2, 5, 0, 4]; polyval(p, 2) Ausgabe: ans = 40 == Polynome zeichnen == % y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 für das Intervall -5 <= x <= 5 grafisch darstellen x = -5 : .1 : 5; p = [2, 5, 0, 4]; y = polyval(p, x); plot(x,y); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_polynom1.jpg]] == Nullstellen bestimmen == Für Polynome existiert die Funktion "roots" zur Nullstellenbestimmung. % Nullstellen für y = 2*x^3 - 5*x^2 + 4 bestimmen p = [2, 5, 0, 4]; r = roots(p) Ausgabe: r = -2.76214 + 0.00000i 0.13107 + 0.84077i 0.13107 - 0.84077i Dieses Polynom hat nur eine reelle Nullstelle. Diese liegt, wie am obigen Grafen zu ersehen ist, in der Nähe von -2.762. Die beiden anderen Nullstellen sind konjugiert komplex zueinander (wie es auch sein sollte). == Aufgaben == * Berechnen Sie den Wert für x = 3 des Polynoms <math>y = 2x^4 - 3x^3 - x + 7</math>. * Berechnen Sie die Nullstellen von <math>y = 7x^5 - 3x^2 + 12</math>. * Zeichnen Sie das Polynom <math>y = 12x^4 - 70x</math> im Intervall <math>-5 \leq x \leq 5</math>. = Lineare Gleichungssysteme = Sei <math>Ax = b</math> ein lineares Gleichungssystem. <math>A</math> sei die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Lösungsvektor und <math>b</math> ein bekannter Vektor. == Einfache Berechnung mittels Gauß-Verfahren == {{Wikipedia | Gaußsches Eliminationsverfahren}} Beispiel: A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = A \ b Ausgabe: x = 0 1 == Das gmres-Verfahren == gmres steht für Generalized Minimal Residual. {{Wikipedia | GMRES-Verfahren}} A = [5 1 0 2]; b = [1 2]; x = gmres(A, b) Ausgabe: gmres converged at iteration 2 to a solution with relative residual 2.22045e-16 x = -1.6653e-16 1.0000e+00 Das Ergebnis weicht etwas vom gaußschen Verfahren ab, ist aber trotzdem im Rahmen der Näherung korrekt. Weiters kennt Octave noch andere iterative Verfahren, z.B. cgs (Conjugate Gradient Squared) oder bicgstab (Bi-Conjugate Gradient Stabilized). Näheres zu diesen Verfahren siehe in der weiterführenden Literatur (z.B. bei Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vieweg+Teubner, 2011) {{Wikipedia | CGS-Verfahren}} == Aufgabe == * Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mittels Octave (und zur Kontrolle auch händisch): 5x + 6y - 2z = 12 3x - y - 3z = 6 2x + 2y + 4z = 5 = Nichtlineare Gleichungssysteme = == fsolve und fzero == Löse eine beliebige Gleichung f(x) = 0, z.B. <math> f(x) = x^2 - 5\cos(x) - 10 = 0 </math>: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; xstart = 1; [x, fval, info] = fsolve(f, xstart) Ausgabe: x = 2.4681 fval = -1.7764e-015 info = 1 * x ist eine Nullstelle in der Nähe vom Startwert xstart. * fval ist die Abweichung, den f bei x aufweist. * info ist ein "Fehlercode": 1 bedeutet, dass der relative Fehler in der spezifizierten Toleranz liegt (wie es sein soll). 3 würde bedeuten, dass der Algorithmus nicht konvergiert (z.B. weil keine Nullstelle existiert). Zur Kontrolle plotten wir den Funktionsgraphen: x = - 1 : .1 : 3; y = x.^2 - 5.*cos(x) - 10; plot(x,y, "LineWidth", 2); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_nichtlin1.jpg]] Und siehe da, die gesuchte Nullstelle liegt wie berechnet bei einem Wert nahe 2,5. Die Funktion <math>x^2 - 5\cos(x) - 10</math> hat noch eine zweite Nullstelle, wie in der folgenden Abbildung zu erkennen ist. [[Datei:octave_nichtlin2.jpg]] Diese zweite Nullstelle erhalten wir, wenn der Startwert in der Nähe dieser zweiten Nullstelle liegt, also z.B. bei -1. Ändern Sie einfach den entsprechenden Startwert im obigen Programmcode, und das Programm sollte die Nullstelle in der Nähe von -2.5 liefern. Auch die Funktion ''fzero'' kann zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden. Die Hilfe-Funktion von Octave empfiehlt dies sogar eindringlich für den Fall einer nichtlinearen Gleichung in einer Variablen. Für das gleiche Beispiel wie oben kann der Programmcode folgendermaßen aussehen: Eingabe: f = @(x) x^2 - 5*cos(x) - 10; [x0, y0] = fzero (f, [0, 3]) Ausgabe: x0 = 2.4681 y0 = -1.2434e-14 == Gleichungssysteme == Folgende Aufgabe ist dem Buch "Knorrenschild: Numerische Mathematik, Hanser, 2017, Seite 72" entnommen. Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem <math>f_1 = 2x_1 + 4x_2 = 0 </math> <math>f_2 = 4x_1 + 8x_2^3 = 0</math> Lösung: f.m: function y = f(x) y(1) = 2*x(1) + 4*x(2); y(2) = 4*x(1) + 8*x(2)^3; end test1.m: clear; close all; clc; [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, -1]) [x, fval, info] = fsolve (@f, [0, 0]) Ausgabe: x = -2 1 fval = 0 7.4930e-09 info = 1 x = 2 -1 fval = 0 -7.4930e-09 info = 1 x = 0 0 fval = 0 0 info = 1 == Aufgaben == * Bestimmen Sie die Nullstellen von <math>f(x) = x^2 - 3</math>. Plotten Sie den Grafen. * Bestimmen Sie die Nullstelle von <math>f(x) = sin(x) - x - 1</math>. Plotten Sie den Grafen. * Lösen Sie das folgende Gleichungssystem (und stellen Sie das Ganze grafisch am Bildschirm dar): <math> f_1 = x_1 + x_2 = 0; f_2 = x_1 + \sin{x_2} = 0</math> = Interpolation = == Eindimensionale Interpolation == {{Wikipedia | Interpolation (Mathematik)}} Bezüglich eindimensionaler Interpolation sei auf die [https://docs.octave.org/v11.1.0/One_002ddimensional-Interpolation.html Octave-Dokumentation und Hilfefunktion zum Befehl " interp1"] verwiesen. Dort findet sich auch ein Programmbeispiel, das als Grundlage des folgenden Plots dient: [[Datei:octave_interpol1.jpg]] == Mehrdimensionale Interpolation == Bezüglich mehrdimensionaler Interpolation siehe die [https://docs.octave.org/v11.1.0/Multi_002ddimensional-Interpolation.html Hilfefunktion zu "interp2", "interp3" und "interpn"]. == Aufgabe == * Gegeben seinen die fünf Stützpunkte p1 = [1, 0], p2 = [2, -5], p3 = [3, 2], p4 = [4, 7], p5 = [5, 6]. Legen Sie eine Funktion (die Interpolierende) durch diese Stützpunkte. Eine Lösungsmöglichkeit: xp = [1 2 3 4 5]; yp = [0, -5, 2, 7, 6]; xf = 1 : .1 : 5; spl = interp1(xp, yp, xf, "spline"); pch = interp1(xp, yp, xf, "pchip"); plot(xp, yp, "or", "LineWidth", 2, xf, spl, "LineWidth", 2, ... xf, pch, "LineWidth", 2); legend("stuetzpunkte", "spline", "pchip", "location", "southeast"); [[Datei:octave_interpol3.jpg]] = Differenzialrechnung = == Polynome differenzieren == Es soll das Polynom <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> differenziert werden. % Differenzieren des Polynoms y = 2*x^3 - 5*x^2 + 7 p = [2, -5, 0, 7]; polyder(p) Ausgabe: ans = 6 -10 0 D.h. also, die Ableitung von <math>y = 2x^3 - 5x^2 + 7</math> ist <math>y' = 6x^2 - 10x</math>. == Sonstige Funktionen differenzieren == Als Beispiel differenzieren wir <math>y = 5x\sin{x}</math> und stellen das Ganze grafisch dar. clear; close all; clc; x = 0 : 0.01 : 10; y = 5 .* x .* sin(x); y_strich = diff(y) / 0.01; plot(x, y, "Color", "red", "LineWidth", 2); hold on; plot(x(1:length(x)-1), y_strich, "Color", "blue", "LineWidth", 2); legend("y", "y'"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_diff1.jpg]] diff(y) ist der Vektor aus den Differenzen y(2)-y(1), ..., y(n)-y(n-1). Für die genaue Arbeitsweise der diff-Funktion siehe "help diff". == Aufgaben == * Differenzieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y^4 + 6y - 4</math>. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. * Differenzieren Sie die Funktion <math>y = \frac{\sinh(x)}{(1+x)}</math> und stellen Sie y, sowie y' grafisch am Bildschirm dar. = Integralrechnung = == Polynome integrieren == Berechnen Sie das unbestimmte Integral von <math>y = 2x^3 - 7x^2 + 7</math> p = [2, -7, 0, 7]; p_int = polyint(p) Ausgabe: p_int = 0.50000 -2.33333 0.00000 7.00000 0.00000 Das Ergebnis lautet also <math>\int{y dx} = 0.5x^4 - 2.33333x^3 + 7x + C</math> (auf die Integrationskonstante C darf nicht vergessen werden!). == Gauß-Quadratur == {{Wikipedia | Gauß-Quadratur}} Berechnen Sie das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Gauß-Quadratur. Datei f.m: function y = f(x) y = x^2; end Datei test1.m: [v, ier, nfun, err] = quad ("f", 0, 3) Ausgabe: v = 9.0000 ier = 0 nfun = 21 err = 9.9920e-014 Erläuterung zur Ausgabe: * v ... Resultat der Integration * ier ... integer error code * nfun ... Anzahl der Funktionsaufrufe * err ... Fehler in der Lösung == Quadratur mittels adaptiver Lobatto-Regel == Berechnen Sie diesmal das Integral <math>\int_{0}^{3}x^2 dx</math> mittels Lobatto-Quadratur. f = inline("x.^2"); v = quadl (f, 0, 3) Ausgabe: v = 9 Wie weiter oben bereits angesprochen kann bei der Ausgabe eine Warnung erfolgen. Inline-Funktionen sind inzwischen als obsolet erklärt und es sollen stattdessen anonyme Funktionen verwendet werden. Zwecks Übung sei nachfolgend nochmals dieses Beispiel berechnet. Diesmal wird aber eine anonyme Funktion verwendet. v = quadl (@(x) x.^2, 0, 3) == Aufgaben == * Integrieren Sie das Polynom <math>y = 5y^5 - y4 + 6y - 4</math>. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = \log(x) + 10x</math> von -5 bis 5. * Integrieren Sie die Funktion <math>y = x^3</math> von 0 bis 4. Verwenden Sie hierzu die Simpsonregel (siehe dazu in der Hilfefunktion den Befehl "quadv"). = Gewöhnliche Differenzialgleichungen = == ode23, ode45 und lsode == Für die Lösung von Differenzialgleichungen stehen die Funktionen * ode23 bzw. * ode45 zur Verfügung. Diese Funktionen implementieren das Runge-Kutta-Verfahren. "ode" steht für "Ordinary Differential Equation" (also auf Deutsch für "Gewöhnliche Differentialgleichung"). Die Zahlen bei ode23 oder ode45 stehen für die Ordnung. {{Wikipedia | Runge-Kutta-Verfahren}} Beispiel <math>y' = x^2 + y^3</math>: clear; close all; clc; [x, y] = ode45(@(x,y) (x^2+y^3), [0 1], 0); plot(x, y, "LineWidth", 2); Ausgabe: [[Datei:octave_ode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "ode45" (oder "ode23") siehe die Octave-Hilfe. Auch die Funktion "lsode" steht zur Lösung von ODEs zur Verfügung. Beispiel <math>y' = x + y</math>: clear; close all; clc; t = 0 : .1 : 5; [y2, istate, msg] = lsode(@(x,y) (x + y), 1, t); istate msg plot(t, y2); Ausgabe: istate = 2 msg = successful exit [[Datei:octave_lsode1.jpg]] Bezüglich der genauen Funktionsweise von "lsode" siehe die Octave-Hilfe. == Aufgaben == * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \frac{1}{x\cdot y}</math> mit Octave. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>m' = -k\cdot m</math>. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die DGl händisch lösen. * Lösen Sie die Differenzialgleichung <math>y' = \sqrt{|y|}</math>. = Die Fast-Fourier-Transformation = {{Wikipedia | Schnelle Fourier-Transformation}} Für die Funktion "fft" siehe das Octave-Hilfesystem. = Mengenrechnung = == Vereinigungsmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; union(v1, v2) Ausgabe: ans = 1 2 3 4 6 == Schnittmenge == v1 = [1 2 3 4]; v2 = [2 4 6]; intersect(v1, v2) Ausgabe: ans = 2 4 = Logik = Logische Operatoren werden oft benötigt, z.B. bei Schleifen und Verzweigungen. Octave kennt die logischen Operatoren <code>or, and, not</code> und <code>xor</code>. Als Beispiel sei die Wahrheitstabelle für den Operator <code>or</code> dargestellt. A B A or B -------------------- true true true true false true false true true false false false In Octave kann das so ausgedrückt werden: or( true, true ) or( true, false ) or( false, true ) or( false, false ) Ausgabe: ans = 1 ans = 1 ans = 1 ans = 0 Zahlen ungleich 0 stehen für true, 0 für false. Z.B.: or( 22, 0) Ausgabe: ans = 1 Äquivalent zu <code>or</code> ist der Operator <code>|</code>: 22 | 0 Ausgabe: ans = 1 Zwecks näheren Informationen zu den Operatoren <code>and (&, &&), not (~, !)</code> und <code>xor</code> bemühe man Octaves Help-Funktion. Bitweise logische Funktionen kennt Octave auch, so kann man z.B. zwei Zahlen mit dem bitweisen OR-Operator verknüpfen: 0b1100101 0b0110001 --------- 0b1110101 Oder in Dezimalzahlen: 101 49 --- 117 In Octave: bitor( 0b1100101, 0b0110001 ) dec2bin( ans ) Ausgabe: ans = 117 ans = 1110101 Zu <code>bitand, bitxor</code> usw. siehe die Octave-Hilfe-Funktion. = Stochastik = ==Deskriptive Statistik == === Lageparameter === Arithmetischer Mittelwert: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; mw = mean(vec) Ausgabe: mw = 5.7143 Der Median oder Zentralwert läßt sich folgendermaßen berechnen: vec = [1 2 3 4 5 12 13]; median(vec) Ausgabe: ans = 4 Der Modus oder häufigste Wert läßt sich mittels "mode"-Funktion eruieren: vec = [1 2 1 3 5 1 2 7]; [m, f, c] = mode (vec); disp(m); disp(f); disp(c); Ausgabe: 1 3 { [1,1] = 1 } m (erste Zeile der Ausgabe) ist der Modus. f (zweite Zeile) ist die Häufigkeit. Näheres dazu siehe im Octave-Hilfesystem. === Streuungsparameter === Varianz: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; v = var(vec) Ausgabe: v = 6.3333 Standardabweichung: vec = [1 2 3 1 1 6 7]; s = std(vec) Ausgabe: s = 2.5166 === Grafiken erzeugen === Histogramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6 1 1 1 2]; hist(v, max(v)); Ausgabe: [[Datei:octave_histo2.jpg]] Balkendiagramme: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; bar(v); Ausgabe: [[Datei:octave_bar111.jpg]] Treppendiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stairs(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stairs1.jpg]] Stabdiagramm: v = [1 1 2 3 1 6 7 6]; stem(v); Ausgabe: [[Datei:octave_stem1.jpg]] === Aufgaben === Gegeben sei folgende Datentabelle mit den Werten: v1 = [3 4 1 1 7 2 1 9 2 5 9 7 2 2 9 2 2 1 2 8] v2 = [1 1 0 2 3 4 1 2 7 0 2 1 5 5 5 4 5 2 5 0] * Berechnen Sie die Lageparameter und Streuungsparameter des Vektors v1. * Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient der beiden zugeordneten Vektoren v1 und v2. * Zeichnen Sie das Histogramm des Vektors v1. == Wahrscheinlichkeitsrechnung == === Kombinatorik === Der Binomialkoeffizient: <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> In Octave z.B.: n = 30; k = 4; n_ueber_k = nchoosek (n, k) Ausgabe: n_ueber_k = 27405 Permutationen sind die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten mit der Anzahl n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. Beispiel: v = [1, 2, 3]; p = perms(v) Ausgabe: p = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 n! (n-Fakultät) selbst kann so berechnet werden: % 10! n = 10; factorial (n) Ausgabe: ans = 3628800 === Verteilungen === Octave kennt eine ganze Reihe von Dichte- und Verteilungsfunktionen und zwar * Probability Density Functions (PDF, Dichtefunktionen) * Cumulative Distribution Functions (CDF, Verteilungsfunktionen) Z.B.: * Binomialverteilung: ** binopdf ** binocdf * Hypergeometrische Verteilung: ** hygepdf ** hygecdf * Normalverteilung: ** normpdf ** normcdf * Studentverteilung: ** tpdf ** tcdf * Weibullverteilung: ** wblpdf ** wblcdf Ein Codebeispiel zur Binomialverteilung: clear; close all; clc; x = 0 : 1 : 10; n = 10; p = 0.1; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(221); bar(x, b1); title("binopdf"); text(1, 0.1, "n=10; p=0.1"); subplot(222); bar(x, b2); title("binocdf"); text(1, 0.5, "n=10; p=0.1"); n = 10; p = 0.5; b1 = binopdf (x, n, p); b2 = binocdf (x, n, p); subplot(223); bar(x, b1); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); subplot(224); bar(x, b2); text(1, 0.1, "n=10; p=0.5"); Ausgabe: [[Datei:octave_bino3.jpg]] Möglicherweise erhalten Sie bei diesem Beispiel eine Fehlermeldung in der Form error: 'binopdf' undefined near line 8, column 6 The 'binopdf' function belongs to the statistics package from Octave Forge which you have installed but not loaded. To load the package, run 'pkg load statistics' from the Octave prompt. Laden Sie einfach das Paket für die Statistikfunktionen, wie in der Fehlermeldung beschrieben. Ein Codebeispiel zur Normalverteilung: clear; close all; clc; x = -4 : .1 : 4; b1 = normpdf(x); b2 = normcdf(x); subplot(121); plot(x, b1); title("normpdf"); grid on; subplot(122); plot(x, b2); title("normcdf"); grid on; Ausgabe: [[Datei:octave_norm111.jpg]] == Zufallszahlengeneratoren == Octave kann Zufallszahlen aus einer großen Anzahl von Verteilungen generieren, z.B. * Chi-Quadrat-Verteilung: chi2rnd * Log-Normal-Verteilung: lognrnd * Normalverteilung: normrnd Codebeispiel: mean = 0; standardabweichung = 1; zufallszahl = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe (gibt eine Zufallszahl rund um den Mittelwert 0 aus), z.B. zufallszahl = 1.0451 Auch Zufallsvektoren (oder Zufallsmatrizen) können erstellt werden: mean = [0 0 0 0 0]; standardabweichung = 1; zufallsvektor = normrnd (mean, standardabweichung) Ausgabe, z.B.: zufallsvektor = 1.47108 -0.51280 0.52726 0.31730 -1.04422 = Das symbolic-Paket = Octave ist kein CAS ('''C'''omputer '''A'''lgebra '''S'''ystem). Stattdessen kann man eine Schnittstelle zu SymPy (Python) etablieren, und zwar über das symbolic-Paket. Es muss vorab installiert werden, z.B. bei openSUSE mittels YaST (octave-forge-symbolic). == Rechnen mit wirklich großen Zahlen == Das symbolic-Paket bietet u.a. die Möglichkeit mit großen Zahlen exakt zu hantieren. <code>vpa</code> steht nachfolgend für '''v'''ariable-'''p'''recision '''a'''rithmetic. pkg load symbolic; digits(50); vpa(0.1) vpa("0.1") Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 0.10000000000000000555111512312578270211815834045410 ans = (sym) 0.10000000000000000000000000000000000000000000000000 Hier sieht man, dass es nötig ist, die Zahlen als String an <code>vpa</code> zu übergeben, ansonsten handelt man sich Rundungsfehler ein. Nun noch ein Beispiel für große Gleitpunktzahlen: pkg load symbolic; digits(50); x = vpa("1.12345e500"); y = vpa("20000.0"); x*y Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Um die Meldung "Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0" zu unterdrücken, gibt es den Schalter/Befehl <code>sympref quiet on</code>: pkg load symbolic; sympref quiet on; x = vpa("1.12345e500", 50); y = vpa("20000.0", 50); x*y Ausgabe: ans = (sym) 2.2469000000000000000000000000000000000000000000000e+504 Mit dem symbolic-Paket können auch noch andere Probleme gelöst werden (z.B. symbolische Integration oder Differentiation). Dies wird aber hier nicht demonstriert, sondern als Aufgabe gestellt. == Aufgaben == * Recherchieren Sie im Internet zur <code>diff()</code>-Funktion von symbolic. Differenzieren Sie mit Octave folgende Funktionen symbolisch: ** <math>f(x) = \sin(x)\cdot x</math> (und zwar ist die 1. Ableitung gesucht) ** <math>g(x) = x^3</math> (die 2. Ableitung ist gesucht) * Recherchieren Sie im Internet zur <code>int()</code>-Funktion von symbolic. Integrieren sie mit Octave symbolisch: ** <math>\int{x^3 \ d\text{x}}</math> ** <math>\int_0^2{x^3 \ d\text{x}}</math> * Gegeben sei das lineare Gleichungssystem <math>2x+3y=7</math>; <math>\ -1x-3y=5</math>. ** Recherchieren Sie dazu im Internet zu <code>syms</code> und <code>solve()</code> aus dem symbolic-Paket ** Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem symbolisch. * Bestimmen Sie die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden mittels Octave und dem symbolic-Paket (nichtlineares Gleichungssystem). Das funktioniert auch mittels <code>solve()</code>. Gegeben sind die Gerade <math>y = x + 2</math> und der Kreis <math>x^2 + y^2 = 9</math>. <small> Eine mögliche Lösung wird nachfolgend gezeigt (weil das etwas diffiziler ist und die im Internet angebotenen Lösungen teils in die Irre führen - Warnungen und Fehlermeldungen beim Ausführen der Scripte): pkg load symbolic; syms x y; gerade = -y + x + 2; kreis = x^2 + y^2 - 9; lsg = solve([gerade, kreis], [x, y]); disp(lsg{1}.x); disp(lsg{1}.y); disp("---------------"); disp(lsg{2}.x); disp(lsg{2}.y); Ausgabe: Symbolic pkg v3.2.2: Python communication link active, SymPy v1.14.0. √14 -1 + ─── 2 √14 1 + ─── 2 --------------- √14 - ─── - 1 2 √14 1 - ─── 2 Dass das Ergebnis stimmt, kann man grafisch nachvollziehen: % Kreis t = 0 : .1: 2*pi+.1; x = 3 * cos(t); y = 3 * sin(t); plot(x,y); grid on; axis equal; % Gerade hold on; x = -4 : .1 : 4; y = x+2; plot(x,y); % Schnittpunkte plot(-1+sqrt(14)/2., 1+sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); plot(-1-sqrt(14)/2., 1-sqrt(14)/2., 'r.', 'MarkerSize', 20); % refresh(); % input(""); Ausgabe: </small> [[Bild:octave_nlin_gs1.svg|350px]] * Führen Sie symbolische Laplace-Transformationen durch: ** Recherchieren Sie dazu im Internet zum Thema "Wie führt man eine Laplace-Transformation mit dem Octave-Paket symbolic aus?". Dies führt auf die Funktion <code>laplace()</code>. ** Gegeben ist die Sprungfunktion (1). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. ** Gegeben ist die Sinusfunktion (<math>\sin{\omega t}</math>). Gesucht ist die Laplace-Transformierte. = Regelungstechnische Aufgabenstellungen = Für regelungstechnische Aufgaben gibt es u.a. das externe Paket <code>control</code>. Dieses muss vorab installiert werden (z.B. bei openSUSE mittels YaST). Hier soll nicht detailliert darauf eingegangen werden. Anhand eines Beispiels soll anschließend nur die Visualisierung in Form eines Bode-Diagramms gezeigt werden. Gegeben sei <math>G(s)= \frac{1}{30s^3+20s^2+10s+1,5}</math>. Octave-Code: pkg load control; zaehler = [1]; nenner = [30., 20., 10., 1.5]; G = tf(zaehler, nenner); bode(G); grid on; % refresh(); % input(""); Ausgabe: [[Bild:octave_rt1.jpg|400px]] <code>tf()</code> steht für '''t'''ransfer '''f'''unction (engl. für Übertragungsfunktion). Die Dokumentation für das <code>control</code>-Paket findet sich [https://gnu-octave.github.io/pkg-control/doc_control.html hier]. = Einfache Benutzeroberflächen erstellen= == Input == fflush (stdout); x = input("Gib eine Zahl ein: "); disp(2 * x); Ein-/Ausgabe: Gib eine Zahl ein: 12 24 Der "fflush"-Befehl sollte immer vor dem Aufruf des input-Befehls aufgerufen werden. Näheres zu "fflush" siehe im Octave-Hilfesystem. == Diverse einfache vorgefertigte Dialoge == Fehlermeldung: errordlg("Fehlermeldung"); [[Bild:octave_fehlermeldung1.jpg]] Warnung: warndlg("Warnung"); [[Bild:octave_warnung1.jpg]] Hilfedialog: helpdlg [[Bild:octave_hilfe1.jpg]] Abfragedialog: button = questdlg ("Frage") [[Bild:octave_abfrage1.jpg]] Eingabedialog: in = inputdlg("Eingabe") [[Bild:octave_eingabe1.jpg]] Messagebox: h = msgbox ("Eine Mitteilung!"); [[Bild:octave_messagebox1.jpg]] == Komplexere vorgefertigte Dialogboxen == === Menübox === auswahl = menu("Auswahl", "Affe", "Elefant", "Loewe", "Sonstiges"); switch(auswahl) case 1 disp "Affe quietscht" case 2 disp "Elefant trompetet" case 3 disp "Loewe bruellt" otherwise disp "Sonstiges" end Ausgabe: [[Bild:octave_menu1.jpg]] Es werde beispielsweise die Nummer 2 gewählt. Ausgabe: Elefant trompetet === Dialogliste === clear; close all; clc; opt = {"Eins", "Zwei", "Drei"}; [sel, ok] = listdlg ("ListString", opt, "SelectionMode", "Multiple"); if (ok == 1) for i = 1 : numel(sel) disp(opt{sel(i)}); end else disp("Cancel"); end [[Bild:octave_dialog1.jpg]] Es werden beispielsweise alle Optionen ausgewählt. Ausgabe: Eins Zwei Drei === Fortschrittsbalken === h = waitbar ([0.5]) [[Bild:octave_fortschritt1.jpg]] === Datei- und Verzeichnisdialoge === Dateidialog: [fname, fpath, fltidx] = uigetfile () [[Bild:octave_dateidialog2.jpg]] Ähnlich sind die Befehle "uiputfile" und "uigetdir". Dazu sei auf die Octave-Hilfe verwiesen. == Eigene Dialoge kreieren == Dieses Thema sei hier nur kurz angerissen. Programmcode: d = dialog("Position", [300, 300, 250, 150], "Name", "Dialog"); txt = uicontrol("Parent", d, ... "Style", "text", ... "Position", [20, 80, 210, 40], ... "String", "Hallo Welt"); btn_servus = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [30, 20, 80, 30], ... "String", "Servus", ... "Callback", "disp('Servus angeklickt!');"); btn_hallo = uicontrol("Parent", d, ... "Position", [140, 20, 80, 30], ... "String", "Hallo", ... "Callback", "disp('Hallo angeklickt!');"); uiwait(d); Ausgegebenes Dialogfenster: [[Bild:octave_dialog100.jpg]] Ausgabe auf der Konsole (je nach gedrücktem Button), z.B.: Servus angeklickt! Die Position wird als [links, unten, breite, höhe] angegeben. Der Koordinatennullpunkt liegt, bezogen auf das Elternfenster, links unten. Es sind auch negative Koordinatenwerte möglich. Sinnvoll ist das z.B. bei einem dynamischen Ausblenden ohne zu löschen, oder für Animationen. [[Bild:Cartesian-coordinate-system.svg | 150px]] Wer mehr dazu wissen will, sei auf die Octave-Dokumentation verwiesen. Insbesondere siehe * dialog * uicontrol * uipanel * uibuttongroup * uitable * uimenu * uitoolbar == Aufgaben == === Aufgabe 1 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit einem Texteingabefeld und einem Button. Beim Klicken auf den Button soll der Eingabetext auf der Konsole ausgegeben werden. Das Dialogfenster soll also in etwa so aussehen: [[Bild:octave_dialog105.jpg]] Da dies etwas komplizierter als das oben gezeigte Beispiel ist, werden nachfolgend ein paar Codefragmente zwecks Lösung angegeben: Datei button_callback.m: function button_callback(editHandle) eingegText = get(editHandle, "String"); disp(eingegText); end Codefragement in test1.m: % ... edit = uicontrol(% ... "Style", "edit", ... %, ... "HorizontalAlignment", "left"); btn = uicontrol(% ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit)); % ... Aufruf mit: octave test1.m Eingabe von z.B. "Hallo Welt!": [[Bild:octave_dialog106.jpg]] Ausgabe auf der Konsole nach dem Drücken des Buttons: Hallo Welt! === Aufgabe 2 === Erzeugen Sie ein Dialogfenster mit zwei Eingabefeldern und einem Button. Eingegeben in diese zwei Eingabefelder werden vom Benutzer Zahlen. Auf der Konsole ausgegeben werden soll, nach Drücken des Buttons, das Produkt dieser zwei Zahlen. Auch hier werden wieder Codefragemente angegeben. Datei button_callback.m: function button_callback(edit1, edit2) zahl1 = str2double(get(edit1, 'String')); zahl2 = str2double(get(edit2, 'String')); disp(zahl1 * zahl2); end Codefragment Datei test1.m: % ... btn = uicontrol("Parent", d, ... % ... "Callback", @(src, event) button_callback(edit1, edit2)); % ... Was passiert, wenn der Benutzer keine Zahlen, sondern beliebige Strings eingibt? = Fehlerhandling mit try/catch = Die try/catch-Anweisung entspricht weitgehend jener, die aus höheren Programmiersprachen wie C++ oder Java bekannt sind. Aufgebaut ist diese Anweisungsfolge so: try BODY catch CLEANUP end Beispiel: clear; close all; clc; try a = 10 / "zahl"; disp(a); disp("Weiter im try-Block"); catch disp("Catch: Kann nicht durch einen String dividieren"); end Ausgabe: Catch: Kann nicht durch einen String dividieren Sinnvoll ist die try/catch-Folge, wenn z.B. auch in einem Fehlerfall Dateien wieder geschlossen werden sollen. = Ein- und Ausgabe = == Formatierte Ausgabe am Bildschirm, formatiertes Lesen von der Tastatur == Folgendes Beispiel ist der Octave-Hilfe (von Octave 3.0.3) entnommen: pct = 37; filename = "foo.txt"; printf ("Processed %d%% of `%s'.\nPlease be patient.\n", pct, filename); Ausgabe: Processed 37% of `foo.txt'. Please be patient. "printf" gibt einen formatierten String am Bildschirm (genauer in den Stream stdout) aus. Wie man sieht, orientiert sich das Format an der Programmiersprache C. Für das formatierte Lesen vom Stream stdin (normalerweise also von der Tastatur) steht das Pendant "scanf" bereit. == Von einem String lesen bzw. in einen String schreiben == Bezüglich der Funktionen * sprintf und * sscanf sei auf die Octave-Hilfefunktion verwiesen. == Lesen und Schreiben von einer Datei == === Datei schreiben === % Datei c:\tmp\datei.test zum Schreiben öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "w"); % Etwas in die Datei schreiben fprintf(datei, "Hallo, Welt!"); % Datei schließen fclose(datei); === Datei lesen === % Datei c:\tmp\datei.test zum Lesen öffnen datei = fopen ("c:/tmp/datei.test", "r"); % Etwas aus der Datei lesen [string] = fscanf(datei, "%s"); disp(string); % Datei schließen fclose(datei); Ausgabe: Hallo,Welt! === Dateiende prüfen === Mittels des Befehls feof(FID); kann das Dateiende geprüft werden. Wenn die EOF-Bedingung zutrifft, dann wird 1 zurückgegeben, wenn nicht dann 0. Ein Beispiel folgt später als Lösung einer Aufgabe. === warning und error === Eine Warnung kann man am stderr-Stream ausgeben. Die warning-Funktion entspricht ansonsten der printf-Funktion. Nach Ausgabe der Warnung wird das Programm normal fortgesetzt. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) warning("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: warning: Matrix ist singulaer warning: called from test1 at line 5 column 3 Weiter geht's Schärfer ist der error-Befehl. Die Fehlermeldung wird am stderr-Stream ausgegeben. Vom Format her entspricht diese Funktion dem printf-Befehl. Nach Ausgabe der Fehlermeldung wird das Programm beendet. m = [1 2 3 6]; if(det(m) == 0) error("Matrix ist singulaer"); end disp("Weiter geht's"); Ausgabe: error: Matrix ist singulaer error: called from test1 at line 5 column 3 == Aufgaben == * Schreiben Sie ein Programm, das die Zahlen 1 bis 10 zeilenweise in eine Datei ausgibt. * Lesen Sie diese Zeilen wieder von der Datei ein und geben Sie sie am Bildschirm aus. * Gegeben sei eine Datei. Lesen Sie die Daten aus dieser Datei ein und rechnen Sie per Octave-Programm den Gesamtpreis für alle Tiere aus. Die Anzahl der Zeilen und der genaue Dateinhalt sei Ihnen vorab nicht bekannt. Bekannt ist nur das Datenformat wie folgt: Nr. Name Einzelpreis Stueck 1 Affe 15000.50 2 2 Loewe 11000.90 1 3 Nashorn 45000.10 1 4 Elefant 51245.90 3 5 Tiger 9000.70 2 6 Maus 34.90 12 Eine einfache Lösung ohne Schnickschnack (Fehlerüberprüfungen etc.) für dieses Beispiel könnte wie folgt aussehen: clear; close all; clc; datei = fopen ("c:/tmp/daten1.txt", "r"); gesamtpreis = 0; % Kopfzeile einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%s %s %s %s", "C"); while(feof(datei) == 0) % Datensätze einlesen [nr, name, preis, stk] = fscanf(datei, "%d %s %f %d", "C"); gesamtpreis += preis*stk; end fclose(datei); disp("Gesamtpreis = "); format long; disp(gesamtpreis); Ausgabe: Gesamtpreis = 258159.900000000 = Datencontainer = == Datenstrukturen == Pseudocode: STRUKTUR s ZAHL a VEKTOR b STRING c END Octave-Code: s.a = 45.9; s.b = [1 2 3 4 5]; s.c = "Hallo!"; s Ausgabe: s = scalar structure containing the fields: a = 45.90000000000000 b = 1 2 3 4 5 c = Hallo! Um ein paar weitere Möglichkeiten zum Handling mit Datenstrukturen aufzuzeigen, sei folgender Code aufgeführt. Datei addsub.m function res = addsub(a, b) res.x = a + b; res.y = a - b; end Datei test1.m clear; clc; addsub(10, 50) r = addsub(30, 70) r.x r.y ++r.x Ausgabe: ans = scalar structure containing the fields: x = 60 y = -40 r = scalar structure containing the fields: x = 100 y = -40 ans = 100 ans = -40 ans = 101 Die Funktion "addsub" liefert die Struktur res mit zwei Zahlenwerten. Die Elemente der Datenstruktur können auch außerhalb der Funktion angesprochen werden. Auch gerechnet werden kann mit diesen Elementen. == Cell Arrays == Manchmal kann es sinnvoll sein mehrere Variablen verschiedenen Typs und Größe in einer Variablen zu speichern. Dies funktioniert ähnlich wie bei Vektoren. Es werden aber geschweifte Klammern verwendet. Eingabe: c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44} c{1} c{1:2} Ausgabe: c = { [1,1] = Hallo Welt! [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } ans = Hallo Welt! ans = Hallo Welt! ans = 2 2 Elemente des Cell Arrays können auch wieder mit Variablen anderen Typs überschrieben werden. c = {"Hallo Welt!", [2 2], 44}; c{1} = 5; c Ausgabe: c = { [1,1] = 5 [1,2] = 2 2 [1,3] = 44 } = Objektorientierte Programmierung = {{Wikipedia|Objektorientierte Programmierung}} * {{W|Klasse (Objektorientierung)|Klasse}} ... die Schablone oder der Bauplan, enthält Methoden und Attribute * {{W|Objekt (Programmierung)|Objekt}} ... eine Klasseninstanz (die konkrete Ausprägung der Klasse) * {{W|Attribut (Programmierung)|Attribute}} ... die Eigenschaften eines Objekts * {{W|Methode (Programmierung)|Methoden}} ... die Aktionen (Operationen), die ein Objekt ausführen kann * {{W|Vererbung (Programmierung)|Vererbung}} ... neue Klassen (Subklassen, Unterklassen, abgeleitete Klassen) aus vorhandenen Klassen (Superklassen, Oberklassen, Basisklassen, Elternklassen) ableiten. Ermöglicht den Aufbau von Klassenhierarchien. Die Subklasse "erbt" Attribute und Methoden von der Superklasse. Octave unterstützt (so wie C++ und Python, aber im Gegensatz zu Java) Mehrfachvererbung. == UML == * {{W|Unified Modeling Language|UML}} ... '''U'''nified '''M'''odeling '''L'''anguage, eine Modellierungssprache. Die UML enthält zahlreiche Diagrammarten, um Programme zu modellieren. Im Nachfolgenden wird nur das {{W|Klassendiagramm}} verwendet. [[File:UmlCd Klasse-3.svg|300px]] * {{W|Sichtbarkeit (Programmierung)|Sichtbarkeit}}: ** + ... public (öffentlich) ** - ... private (privat) ** # ... protected (geschützt) * Vererbung: <gallery> InheritancePgmUML.svg | Abgeleitete Klasse erbt von Basisklasse (Einfachvererbung) Diamond inheritance.svg | D erbt von B und C (Mehrfachvererbung). B und C erben von A (Einfachvererbung) </gallery> Für weitergehende Betrachtungen zur UML wird auf Spezialliteratur verwiesen, z.B.: * Seidl et al.: UML@Classroom. dpunkt, 2012, ISBN 978-3-89864-776-2 * Rupp et al.: UML 2 glasklar. Hanser, 4. Aufl., 2012, ISBN 978-3-446-43057-0 == Klassen und Vererbung == Octave unterstützt auch objektorientierte Programmierung mit dem Schlüsselwort <code>classdef</code> (ab Version 4.0). Dieses Thema ist zwar etwas fortgeschritten, wird aber trotzdem kurz behandelt. [[Bild:octave_oop1.svg|200px]] Datei Auto.m: classdef Auto properties marke1 = "Beemweh" endproperties methods function zeige1(obj) disp(["Marke: ", obj.marke1]); endfunction endmethods endclassdef Datei Cabrio.m: classdef Cabrio < Auto properties marke2 = "Cabrio" endproperties methods function zeige2(obj) disp(["Marke: ", obj.marke2]); endfunction endmethods endclassdef Datei test1.m: obj = Cabrio(); obj.zeige1(); obj.zeige2(); Ausgabe (Aufruf mittels "octave test1.m"): Marke: Beemweh Marke: Cabrio GNU Octave kann auch Mehrfachvererbung: [[Bild:octave_oop2.svg|200px]] classdef Unterklasse < Oberklasse1 & Oberklasse2 Für die Reihenfolge der Vererbung gilt: Die zuerst genannte Klasse hat Vorrang. Man kann mittels <code>private, protected, public</code> Daten auch kapseln: properties(SetAccess = private, GetAccess = public) methods (Access = public) Standardmäßig sind alle Methoden und Attribute <code>public</code>. Weiterführendes siehe z.B. in der [https://docs.octave.org/latest/Object-Oriented-Programming.html Octave-Dokumentation]. = Octave im Zusammenspiel mit anderen Programmiersprachen = Man kann GNU Octave zur Kommunikation mit anderen Programmiersprachen bewegen, und das in beide Richtungen: * GNU Octave -> andere Programmiersprache * andere Programmiersprache -> GNU Octave Hier die ganzen Möglichkeiten detailliert zu beschreiben würde zu weit führen. Wir beschränken uns im Wesentlichen auf die Erstellung von .oct-Files (C/C++; Fortran würde auch gehen, ist aber komplizierter) und zählen im Anschluss daran ein paar weitere Varianten auf. == .oct-Dateien == Eine .oct-Datei in GNU Octave ist eine kompilierte C/C++-Datei, die als dynamisch ladbares Objekt direkt in Octave ausgeführt werden kann. oct-Dateien sind meist schneller als nativer Octave-Code. 1. Schritt: Erstelle z.B. eine C++-Datei ''quadrat.cc'' (es soll das Quadrat einer Zahl berechnet werden) #include <octave/oct.h> DEFUN_DLD(quadrat, args, nargout, "Quadrat einer Zahl berechnen") { double x = args(0).double_value(); double res = x*x; return octave_value(res); } * <code>DEFUN_DLD</code> ist ein Makro. Damit wird angezeigt, dass es sich um eine dynamisch ladbare Funktion handelt ('''De'''fine '''Fun'''ction – '''D'''ynamically '''L'''inked '''D'''istribution). * Der erste Parameter muss mit dem Namen der Funktion und der erstellten oct-Datei übereinstimmen, also hier <code>quadrat</code>. * <code>args</code>: Argumente die beim Aufruf in Octave übergeben werden. * <code>nargout</code>: Anzahl der Rückgabewerte. * "Quadrat einer Zahl berechnen": Dokumentationsstring 2. Schritt: ''quadrat.cc'' kompilieren # Terminal öffnen # In das quadrat.cc-Verzeichnis wechseln # Octave aufrufen # cc-Datei zu einer oct-Datei kompilieren: <code>mkoctfile quadrat.cc</code> # Wenn das ohne Fehlermeldung durchläuft, so sollte im Anschluss eine (relativ große) ''quadrat.oct''-Datei im entsprechenden Verzeichnis zu finden sein. 3. Schritt: Funktion <code>quadrat()</code> in Octave aufrufen, z.B.: y = quadrat(5) Es ergibt sich folgende Ausgabe: y = 25 Damit das funktioniert, müssen natürlich die entsprechenden Werkzeuge (Compiler etc.) installiert sein. Darauf wird hier aber nicht näher eingegangen. Die Dokumentation zu den .oct-Dateien findet sich auf [https://docs.octave.org/v11.1.0/Oct_002dFiles.html]. == Andere Möglichkeiten == * .mex-Dateien ('''M'''ATLAB '''Ex'''ecutables): Wenn man kompatibel zu MATLAB bleiben muss * Java- oder Python-Schnittstelle (Nachteil: langsamer als .oct-Dateien) Bevor man aber diese Möglichkeiten in Anspruch nimmt, sollte man vektorisieren. Damit lassen sich oft schon höhere Geschwindigkeiten erzielen. Dieses Thema wurde früher schon kurz behandelt ([[Ing_Mathematik:_Numerische_Mathematiksysteme_am_Beispiel_von_Octave#Die_FOR-Schleife|FOR-Schleife]]). = Octave und die Tabellenkalkulation = == Lesen == GNU Octave kann auch CSV-, LibreOffice Calc- oder MS Excel-Dateien einlesen. Gegeben sei folgende schematisierte Datei im LibreOffice Calc-Format (test1.ods): Februar März Freitag 23 26 Samstag 17 41 Sonntag 34 37 === Direkt als ODS-Datei einlesen === Die odsread-Funktion muss via io-Package geladen werden. Dieses Package ist nicht standardmäßig installiert, sondern kann z.B. bei openSUSE Tumbleweed mittels YaST als octave-forge-io installiert werden. Danach wird das Package geladen (pkg load io) und die Daten mittels odsread eingelesen. pkg load io [num, txt, raw] = odsread('test1.ods'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Ausgabe: 23 26 17 41 34 37 ------------ { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = [3,2] = [4,2] = [1,3] = März [2,3] = [3,3] = [4,3] = } ------------ { [1,1] = [](0x0) [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } === Als CSV-Datei einlesen === Die Datei test1.ods wird per LibreOffice Calc als CSV-Datei test1.csv (Trennzeichen ist der Strichpunkt) gespeichert (Achtung: gespeichert, nicht exportiert!): ;Februar;März Freitag;23;26 Samstag;17;41 Sonntag;34;37 ==== Mit csv2cell ==== Wir wollen hier den Strichpunkt als Trennzeichen verwenden. Per Default wird nämlich der Beistrich als Trennzeichen interpretiert. pkg load io; data = csv2cell("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data{2, 2}); Ausgabe: { [1,1] = [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag [1,2] = Februar [2,2] = 23 [3,2] = 17 [4,2] = 34 [1,3] = März [2,3] = 26 [3,3] = 41 [4,3] = 37 } --------------- 23 ==== Mit dlmread ==== data = dlmread("test1.csv", ";"); disp(data); disp("---------------"); disp(data(2, 2)); Ausgabe: 0 0 0 0 23 26 0 17 41 0 34 37 --------------- 23 ==== Mit importdata ==== data = importdata("test1.csv"); disp(data) disp("------------") disp(data.data); disp("------------") disp(data.data(2,2)); Ausgabe: data = 23 26 17 41 34 37 textdata = { [1,1] = ;Februar;März [2,1] = Freitag [3,1] = Samstag [4,1] = Sonntag } rowheaders = { [1,1] = Freitag [2,1] = Samstag [3,1] = Sonntag } ------------ 23 26 17 41 34 37 ------------ 41 Damit haben wir schon etliche Funktionen zu diesem Zweck kennengelernt. Weitere Funktionen zu diesem Zweck sind z.B. * csvread * textscan === Als XLSX-Datei einlesen === Wir speichern unsere test1.ods-Datei als test1.xlsx-Datei. Dies ist das MS Excel-Standardformat. Und schon können wir den xlsread-Befehl zum Einlesen der Daten verwenden. pkg load io [num, txt, raw] = xlsread('test1.xlsx'); disp(num) disp("------------") disp(txt); disp("------------") disp(raw); Die Ausgabe ist gleich wie oben bei der odsread-Funktion. == Schreiben == === Direkt als ODS-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; odswrite('test1.ods', data); === Als XLSX-Datei schreiben === pkg load io data = { "", "Februar", "März"; "Freitag", 23, 26; "Samstag", 17, 41; "Sonntag", 34, 37 }; xlswrite('test1.xlsx', data); === Als CSV-Datei schreiben === * dlmwrite * csvwrite * fprintf = Octave GUI = Das GUI-Programm ('''G'''raphical '''U'''ser '''I'''nterface) von Octave entspricht im Wesentlichen anderen Programmier-Benutzeroberflächen (IDEs ... '''I'''ntegrated '''D'''evelopment '''E'''nvironments), wie z.B. Eclipse (Java), Code::Blocks (C/C++) oder Spyder (Python). Nachfolgend ist ein Screenshot des Octave-GUI mit einigen Anmerkungen dargestellt. [[Bild:octave_gui2.jpg|600px]] Probieren Sie einfach die Möglichkeiten der zur Verfügung gestellten GUI/IDE aus. = Komplexere Aufgaben = * Berechnen Sie die Fläche, den Umfang, die Seitenlängen, den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks. Stellen Sie das Dreieck inklusive In- und Umkreis grafisch dar. Speichern Sie die Daten in einer Datei. Die drei Eckpunkte dieses Dreiecks sollen vom Benutzer beliebig vorgegeben werden. * Die Werte einer beliebig großen quadratischen Matrix seien in einer Datei gespeichert. Lesen Sie diese Datei ein und berechnen Sie daraus die Determinante der Matrix, die inverse Matrix, die Eigenvektoren und -werte, die Spur. Führen Sie die LR-Zerlegung durch. Geben Sie diese Werte am Bildschirm aus. = Ausblick = Dies war eine kurze Einführung in die Berechnungs- und Darstellungsmöglichkeiten mit Octave. Es sollten etliche relevante Themen behandelt, oder zumindest kurz angesprochen worden sein. Wem dieser Text nicht ausreichend ist, der sei auf die entsprechende weiterführende Literatur, die Octave-Hilfefunktion und die Octave-Dokumentation verwiesen. Octave kennt noch viel mehr Befehle, als hier dargestellt wurden. Aber auch Octave selbst ist erweiterbar. Man siehe z.B. Octave Packages (https://gnu-octave.github.io/packages/) oder man schreibt selbst Erweiterungen. {{Navigation_zurückhochvor_buch| zurücktext=Maxima| zurücklink=Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima| hochtext=Gesamtinhaltsverzeichnis| hochlink=Ing:_Mathematik_für_Ingenieure| vortext=Julia für Ingenieure| vorlink=Ing Mathematik: Julia}} befmu6z061soqljpc9aup0uz0y9rr3a 0 117512 1091777 1091750 2026-09-28T14:02:59Z Mjchael 2222 /* Hier geht es weiter */ zw 1091777 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (C-Form (offen) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgrey ) (place-fret 1 1 "F" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 2 0 "B" yellow3 ) (place-fret 2 1 "C" black ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgrey ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 6 0 "E" darkgrey ) (place-fret 6 1 "F" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> :[[Image:Scala Carree.svg]] == Töne der C-Dur Tonleiter auf dem Griffbrett == :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] <div class="noprint"> ;Animation [[Image:Crd Grundtonschema ani.gif]] </div> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a:m c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < c-1\5 g-3\4 c'-3\3 e'-4\2 g'-1 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 e-2\5 g-1\4 c'-1\3 e'-1\2 c''-4\1> < a,-1\6 e-3\5 a-4\4 c'-1\3 e'-1\2 a'-1\1 > < c-1\6 g-2\5 c'-3\4 e'-4\3 g'-1\2 c''-1\1> < c'-4\5 e'-3\4 g'-1\3 c''-2\2 e''-1\1 > } >> </score> Leite dir also die Grundtöne C und A von den dir bekannten Barré-Akkorden ab und spare dir die ungewöhnlicheren Akkordformen auf, bis sie dir später beim Fingerstyle oder Jazz begegnen. Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. lfe27sbar70ejjiqrynpjdh7pwkdphb 1091778 1091777 2026-09-28T15:02:27Z Mjchael 2222 /* Hier geht es weiter */ 1091778 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (C-Form (offen) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgrey ) (place-fret 1 1 "F" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 2 0 "B" yellow3 ) (place-fret 2 1 "C" black ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgrey ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 6 0 "E" darkgrey ) (place-fret 6 1 "F" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. 36t89pgvrycsogfpzxm5n6qo1lkp0tk 1091779 1091778 2026-09-28T15:26:15Z Mjchael 2222 /* Hier geht es weiter */ zw 1091779 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; Bb-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 6) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (capo 1) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; F-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" yellow3 ) (place-fret 1 1 "F" black ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgrey ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" darkgrey ) (place-fret 3 3 "Bb" yellow3 ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" black ) (place-fret 5 0 "A" darkgrey ) (place-fret 5 1 "Bb" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" darkgrey ) (place-fret 6 0 "E" yellow3 ) (place-fret 6 1 "F" black ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((E-) F-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (D-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgrey ) (place-fret 1 1 "F" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 2 0 "B" yellow3 ) (place-fret 2 1 "C" black ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgrey ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 6 0 "E" darkgrey ) (place-fret 6 1 "F" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (C-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 1 15 "G" darkgrey ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 2 15 "D" darkgreen ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 3 14 "A" darkgreen ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 4 14 "E" darkgrey ) (place-fret 4 15 "F" yellow3 ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 5 14 "B" yellow3 ) (place-fret 5 15 "C" black ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) (place-fret 6 15 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} :[[Image:Scala Carree.svg]] == Töne der C-Dur Tonleiter auf dem Griffbrett == :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] <div class="noprint"> ;Animation [[Image:Crd Grundtonschema ani.gif]] </div> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a:m c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < c-1\5 g-3\4 c'-3\3 e'-4\2 g'-1 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 e-2\5 g-1\4 c'-1\3 e'-1\2 c''-4\1> < a,-1\6 e-3\5 a-4\4 c'-1\3 e'-1\2 a'-1\1 > < c-1\6 g-2\5 c'-3\4 e'-4\3 g'-1\2 c''-1\1> < c'-4\5 e'-3\4 g'-1\3 c''-2\2 e''-1\1 > } >> </score> Leite dir also die Grundtöne C und A von den dir bekannten Barré-Akkorden ab und spare dir die ungewöhnlicheren Akkordformen auf, bis sie dir später beim Fingerstyle oder Jazz begegnen. Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. 6wa20cgl6ze277mepa4sbkmu1ygn1cg 1091790 1091788 2026-09-29T06:17:33Z Mjchael 2222 /* Hier geht es weiter */ zw 1091790 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; Bb-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 1 "F" darkgrey ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgrey ) (place-fret 2 4 "Eb" yellow3 ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" yellow3 ) (place-fret 3 3 "Bb" black ) (place-fret 4 0 "D" darkgrey ) (place-fret 4 1 "Eb" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" darkgrey ) (place-fret 5 0 "A" yellow3 ) (place-fret 5 1 "Bb" black ) (place-fret 5 3 "C" darkgreen ) (place-fret 6 1 "F" darkgrey ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 5) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; F-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" yellow3 ) (place-fret 1 1 "F" black ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgrey ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" darkgrey ) (place-fret 3 3 "Bb" yellow3 ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" black ) (place-fret 5 0 "A" darkgrey ) (place-fret 5 1 "Bb" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" darkgrey ) (place-fret 6 0 "E" yellow3 ) (place-fret 6 1 "F" black ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((E-) F-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (D-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. a4zlerjyxd6nkmfcddmsvt77xzz5hi0 1091791 1091790 2026-09-29T06:32:04Z Mjchael 2222 /* Hier geht es weiter */ h4 1091791 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] ====Von der C-Dur-Tonleiter leitet sich die C-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgrey ) (place-fret 1 1 "F" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 2 0 "B" yellow3 ) (place-fret 2 1 "C" black ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgrey ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 6 0 "E" darkgrey ) (place-fret 6 1 "F" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (C-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 1 15 "G" darkgrey ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 2 15 "D" darkgreen ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 3 14 "A" darkgreen ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 4 14 "E" darkgrey ) (place-fret 4 15 "F" yellow3 ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 5 14 "B" yellow3 ) (place-fret 5 15 "C" black ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) (place-fret 6 15 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der Bb-Dur-Tonleiter leitet sich die Bb-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; Bb-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 1 "F" darkgrey ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgrey ) (place-fret 2 4 "Eb" yellow3 ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" yellow3 ) (place-fret 3 3 "Bb" black ) (place-fret 4 0 "D" darkgrey ) (place-fret 4 1 "Eb" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" darkgrey ) (place-fret 5 0 "A" yellow3 ) (place-fret 5 1 "Bb" black ) (place-fret 5 3 "C" darkgreen ) (place-fret 6 1 "F" darkgrey ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 5) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der G-Dur-Tonleiter leitet sich die G-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. 7pw9g8ye3m8bj4kqg67dixy6y2e8s8b 1091792 1091791 2026-09-29T06:33:35Z Mjchael 2222 /* Von der F-Dur-Tonleiter leitet sich die F-Form ab */ 1091792 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] ====Von der C-Dur-Tonleiter leitet sich die C-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. gpewvvtu06yqzt33vasm8os55m3g7j7 1091793 1091792 2026-09-29T06:52:28Z Mjchael 2222 /* Töne der C-Dur Tonleiter auf dem Griffbrett */ 1091793 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] ====Von der C-Dur-Tonleiter leitet sich die C-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 5) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der G-Dur-Tonleiter leitet sich die G-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der F-Dur-Tonleiter leitet sich die F-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; F-Dur <br> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" yellow3 ) (place-fret 1 1 "F" black ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgrey ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" darkgrey ) (place-fret 3 3 "Bb" yellow3 ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" black ) (place-fret 5 0 "A" darkgrey ) (place-fret 5 1 "Bb" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" darkgrey ) (place-fret 6 0 "E" yellow3 ) (place-fret 6 1 "F" black ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((E-) F-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der D-Dur-Tonleiter leitet sich die D-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (D-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} == Töne der C-Dur Tonleiter auf dem Griffbrett == :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] <div class="noprint"> ;Animation [[Image:Crd Grundtonschema ani.gif]] </div> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a:m c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < c-1\5 g-3\4 c'-3\3 e'-4\2 g'-1 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 e-2\5 g-1\4 c'-1\3 e'-1\2 c''-4\1> < a,-1\6 e-3\5 a-4\4 c'-1\3 e'-1\2 a'-1\1 > < c-1\6 g-2\5 c'-3\4 e'-4\3 g'-1\2 c''-1\1> < c'-4\5 e'-3\4 g'-1\3 c''-2\2 e''-1\1 > } >> </score> Leite dir also die Grundtöne C und A von den dir bekannten Barré-Akkorden ab und spare dir die ungewöhnlicheren Akkordformen auf, bis sie dir später beim Fingerstyle oder Jazz begegnen. Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. 6ai2j5dngk8676e136e0gle73a1zzmz 1091794 1091793 2026-09-29T07:04:46Z Mjchael 2222 /* Von der G-Dur-Tonleiter leitet sich die G-Form ab */ 1091794 wikitext text/x-wiki {{:Gitarre/ Navi|Sologitarre| {{:Gitarre: Sologitarre/ Navi Improvisation in Dur und Moll}}| img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}} = Wiederholung der Fingersätze = {{Baustelle}} {{Notiz|Der Inhalt wurde wegen seines Umfangs auf 3 Seiten verteilt.}} ; Schwerpunkt: Alle Stammtöne auf dem Griffbrett sicher beherrschen Stammtöne sind die Töne '''A B C D E F G''' ohne Vorzeichen – also die Töne der C-Dur- bzw. A-Moll-Tonleiter. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_first_fingering.svg]] :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] In den vorherigen Lektionen wurden die Fingersätze vorwiegend in den mittleren Bünden geübt, wo sie ergonomisch günstig liegen. Nun wiederholen wir sie systematisch in '''allen Saiten- und Bundlagen''' – unabhängig davon, ob die Finger eng beieinander stehen oder weit gespreizt werden müssen. == Ziel == Du lernst die Töne der C-Dur-Tonleiter und die Fingersätze des CAGED-System '''über das gesamte Griffbrett''' sicher und flexibel zu greifen. Die Übungen sind nicht dafür gedacht, an einem Wochenende „durchgespielt“ zu werden. Plane sie als '''langfristige Routine''' ein. Als Lehrkraft kannst du sie auch als '''Auflockerungsübungen''' in andere Lektionen einstreuen, etwa wenn Barré-Griffe besonders anstrengend werden. == Aufbau der Etüden == Die folgenden Etüden bestehen häufig aus ein- oder zweitaktigen '''Sequenzen''': * Eine Sequenz ist ein kurzes Motiv, das sich auf verschiedenen Tonhöhen wiederholt. * Etüden sind kleine, melodische Stücke, die gezielt ein musiktheoretisches Thema oder eine technische Fähigkeit trainieren. == Notenbild und Tabulatur == Auch ohne Notenkenntnisse lohnt es sich, den Verlauf und die Wiederholungen der Sequenzen im '''Notenbild''' mitzuverfolgen – besonders, wenn du die Übung gleichzeitig anhörst. Im Notenbild erkennst du Muster und Wiederholungen meist klarer als in der Tabulatur. Die Tabulatur bleibt natürlich als praktische Griffhilfe erhalten. Einzelne Abschnitte stammen aus klassischen Stücken, Folksongs, Kinderliedern o. Ä. Der oft hohe Bekanntheitsgrad erleichtern ebenfalls das Üben. Durch die einfache Struktur oder die bekannte Melodie finden die Finger schneller ihre Position, als wenn jede einzelne Note erst mühsam aus der Tabulatur „entschlüsselt“ werden muss. == Hier geht es weiter == :[[Datei:Scala Griffbrett.svg]] ====Von der C-Dur-Tonleiter leitet sich die C-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgrey ) (place-fret 1 1 "F" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 2 0 "B" yellow3 ) (place-fret 2 1 "C" black ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgrey ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 6 0 "E" darkgrey ) (place-fret 6 1 "F" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (C-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 1 15 "G" darkgrey ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 2 15 "D" darkgreen ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 3 14 "A" darkgreen ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 4 14 "E" darkgrey ) (place-fret 4 15 "F" yellow3 ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 5 14 "B" yellow3 ) (place-fret 5 15 "C" black ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) (place-fret 6 15 "G" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der Bb-Dur-Tonleiter leitet sich die Bb-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; Bb-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 1 "F" darkgrey ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgrey ) (place-fret 2 4 "Eb" yellow3 ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" yellow3 ) (place-fret 3 3 "Bb" black ) (place-fret 4 0 "D" darkgrey ) (place-fret 4 1 "Eb" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" darkgrey ) (place-fret 5 0 "A" yellow3 ) (place-fret 5 1 "Bb" black ) (place-fret 5 3 "C" darkgreen ) (place-fret 6 1 "F" darkgrey ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((A-) Bb-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 5) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 3 "G" darkgrey ) (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 4 2 "E" darkgrey ) (place-fret 4 3 "F" yellow3 ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 5 2 "B" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" black ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 6 3 "G" darkgrey ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der G-Dur-Tonleiter leitet sich die G-Form ab ==== In höheren Lagen kann die große Septime (hier F#) von der D-Saite auf diie B-Saite verlegt werden (hier B). <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; G-Dur <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" darkgreen ) (place-fret 1 2 "F#" yellow3 ) (place-fret 1 3 "G" black ) (place-fret 2 0 "B" darkgrey ) (place-fret 2 1 "C" yellow3 ) (place-fret 2 3 "D" darkgrey ) (place-fret 3 0 "G" black ) (place-fret 3 2 "A" darkgreen ) (place-fret 4 0 "D" darkgrey ) (place-fret 4 2 "E" darkgreen ) (place-fret 4 4 "F#" yellow3 ) (place-fret 5 0 "A" darkgreen ) (place-fret 5 2 "B" darkgrey ) (place-fret 5 3 "C" yellow3 ) (place-fret 6 0 "E" darkgreen ) (place-fret 6 2 "F#" yellow3 ) (place-fret 6 3 "G" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (G-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 5 "A" darkgreen ) (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 2 5 "E" darkgrey ) (place-fret 2 6 "F" yellow3 ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 3 4 "B" yellow3 ) (place-fret 3 5 "C" black ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 4 5 "G" darkgrey ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 5 5 "D" darkgreen ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 6 5 "A" darkgreen ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der F-Dur-Tonleiter leitet sich die F-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; F-Dur <br> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 0 "E" yellow3 ) (place-fret 1 1 "F" black ) (place-fret 1 3 "G" darkgreen ) (place-fret 2 1 "C" darkgrey ) (place-fret 2 3 "D" darkgreen ) (place-fret 3 0 "G" darkgreen ) (place-fret 3 2 "A" darkgrey ) (place-fret 3 3 "Bb" yellow3 ) (place-fret 4 0 "D" darkgreen ) (place-fret 4 2 "E" yellow3 ) (place-fret 4 3 "F" black ) (place-fret 5 0 "A" darkgrey ) (place-fret 5 1 "Bb" yellow3 ) (place-fret 5 3 "C" darkgrey ) (place-fret 6 0 "E" yellow3 ) (place-fret 6 1 "F" black ) (place-fret 6 3 "G" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur ((E-) F-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 7 "B" yellow3 ) (place-fret 1 8 "C" black ) (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 2 8 "G" darkgrey ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 3 7 "D" darkgreen ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 4 7 "A" darkgreen ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 5 7 "E" darkgrey ) (place-fret 5 8 "F" yellow3 ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 6 7 "B" yellow3 ) (place-fret 6 8 "C" black ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ==== Von der D-Dur-Tonleiter leitet sich die D-Form ab ==== <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ; C-Dur (D-Form) <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup { \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . landscape ) (finger-code . in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 10 "D" darkgreen ) (place-fret 1 12 "E" darkgrey ) (place-fret 1 13 "F" yellow3 ) (place-fret 2 10 "A" darkgreen ) (place-fret 2 12 "B" yellow3 ) (place-fret 2 13 "C" black ) (place-fret 3 9 "E" darkgrey ) (place-fret 3 10 "F" yellow3 ) (place-fret 3 12 "G" darkgrey ) (place-fret 4 9 "B" yellow3 ) (place-fret 4 10 "C" black ) (place-fret 4 12 "D" darkgreen ) (place-fret 5 10 "G" darkgrey ) (place-fret 5 12 "A" darkgreen ) (place-fret 6 10 "D" darkgreen ) (place-fret 6 12 "E" darkgrey ) (place-fret 6 13 "F" yellow3 ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} == Töne der C-Dur Tonleiter auf dem Griffbrett == :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] <div class="noprint"> ;Animation [[Image:Crd Grundtonschema ani.gif]] </div> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a:m c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < c-1\5 g-3\4 c'-3\3 e'-4\2 g'-1 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 e-2\5 g-1\4 c'-1\3 e'-1\2 c''-4\1> < a,-1\6 e-3\5 a-4\4 c'-1\3 e'-1\2 a'-1\1 > < c-1\6 g-2\5 c'-3\4 e'-4\3 g'-1\2 c''-1\1> < c'-4\5 e'-3\4 g'-1\3 c''-2\2 e''-1\1 > } >> </score> Leite dir also die Grundtöne C und A von den dir bekannten Barré-Akkorden ab und spare dir die ungewöhnlicheren Akkordformen auf, bis sie dir später beim Fingerstyle oder Jazz begegnen. Es macht dabei garnichts aus, wenn du zum Auffinden der Grundtöne und zum Finden des Starttons ein paar Sekunden brauchst. Du wirst sehen, dass die Wiederholungen der bekannten Übungen auf den verschiedenen Bünden und in verschiedenen Oktavebereichen leicht von der Hand gehen. Lediglich beim Lagewechsel zwischen der G- und H-Saite musst du etwas überlegen. <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c c a c c }} \new FretBoards { % \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot % \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 c'-1 > < c-1\5 c'-3\3 > \once \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white < c-3\6 c'-1\3 c''-4\1> < a,-1\6 a-4\4 a'-1\1 > < c-1\6 c'-3\4 c''-1\1> < c'-4\5 c''-2\2 > } >> </score> Diese wenigen"Eckpunkte" reichen aus, um dich grob auf dem Griffbrett zurechtzufinden. Suche sie noch einmal in der Skala und natürlich auch auf deinem Griffbrett. :[[Datei:C-Major-Scale on the fretboard.svg]] == Zweiter Fingersatz == :[[Datei:Scala 6_71-2_34.svg]] Zuerst suchen wir uns in der C-Dur-Tonleiter überall den zweiten Fingersatz heraus. :[[Datei:C-Major-Scale_on_the_fretboard_second_fingering.svg]] Zur leichteren Orientierung wird die Grafik bei jeder neuen Melodie wiederholt. qs0oexfkjs4yycp0jgyc2ivjiwnuwck 0 117878 1091795 1091776 2026-09-29T09:03:39Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Zusatz 1091795 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die allen ,Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die als noch unbestimmte Variablen frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Die GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(konkret jedoch durch Beispiele ,belegbar‘)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> phbiqmsxwecdoaqssnyq9o05owtqg0a 1091800 1091795 2026-09-29T10:07:32Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ 1091800 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die allen ,Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die als noch unbestimmte Variablen frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(konkret jedoch durch Beispiele ,belegbar‘)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> q2hoz3owt2hqaoyc1h7up0zg5z6rsou 1091801 1091800 2026-09-29T10:18:36Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Umformulierung 1091801 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die allen ,Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die als noch unbestimmte Variablen frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> kar4r04o5kbab130tp6nsno94qd3h9y 1091802 1091801 2026-09-29T10:22:39Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ 1091802 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die als noch unbestimmte Variablen frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> hturzv71u6hvti0ofap6horrsqodg1e 1091803 1091802 2026-09-29T10:42:30Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Apostroph 1091803 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> 4wpkho0dpipcoikhpb4vob3lm97tduj 1091804 1091803 2026-09-29T11:01:22Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */::ebenfalls:: hinzugefügt 1091804 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler‘ Notwendigkeit, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien ebenfalls miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen werden jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für GOTT'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''das Wesen'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurden, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v.Ch. durch die Truppen des NEBUKADNEZZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ sein Dasein ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird; jedoch nicht ohne uns. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS für sich ,annehmen‘ zu können.</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000">(speziell ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die dann genauer als ,Transzendentalia‘ bestimmt wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit allgemein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für positive Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18 steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für ,GOTT‘. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘, die weder positiv noch negativ sind, zutrifft, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-1 und Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(zueinander)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das Axiom-2 wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Das Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer, wie folgt, gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Ihm ging es um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. <u>ob der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. ,Rationalität‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei heute <span style="color:#FF6000">»''noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, und beweist, mit dem GÖDEL-Kalkül, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>. ---- ---- ;Fußnoten <references /> nwlufwh69dnkgpcammc6m7e0gynjxnp 0 121654 1091796 1070695 2026-09-29T09:21:36Z Xqbot 113275 Korrigiere doppelte Weiterleitung von [[PCRT/I/bc9d]] auf [[CPRT/8dfb]] 1091796 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[CPRT/8dfb]] m6zkorq7fhzttnbl6skw08689lz6ylu 0 121655 1091797 1070698 2026-09-29T09:22:05Z Xqbot 113275 Korrigiere doppelte Weiterleitung von [[PCRT/I/a8bd]] auf [[CPRT/4576]] 1091797 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[CPRT/4576]] f46xf3hecn4k7b5waa8cij0cnr7hh7i 0 121656 1091798 1070701 2026-09-29T09:22:10Z Xqbot 113275 Korrigiere doppelte Weiterleitung von [[PCRT/I/d88f]] auf [[CPRT/e08d]] 1091798 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[CPRT/e08d]] k61w1m1nct262i45cj1syv2ipqraszw 0 121657 1091799 1070704 2026-09-29T09:22:15Z Xqbot 113275 Korrigiere doppelte Weiterleitung von [[PCRT/I/aa9d]] auf [[CPRT/53b5]] 1091799 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[CPRT/53b5]] s6c51r7zhkqrwmnovyb27l9uvkqdr6y