Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 22133 1079398 1076886 2026-05-17T14:09:01Z Bocardodarapti 2041 1079398 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term=\sigma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= Z_1 {{kommadots|}} Z_k |SZ=}} die Wirkungsbereiche der {{ Definitionslink |Zyklen| |Kontext=Permutation |SZ= }} von {{math|term= \sigma |SZ=}} mit {{ Relationskette | n_i || {{op:Anzahl|Z_i }} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |x_i | \in | Z_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Z_i || \{ x_i, \sigma(x_i) {{kommadots|}} \sigma^{n_i-1}(x_i)\} || || || |SZ=. }} Dann nennt man {{ Math/display|term= \langle x_1, \sigma(x_1) {{kommadots|}} \sigma^{n_1-1}(x_1) \rangle \langle x_2, \sigma(x_2) {{kommadots|}} \sigma^{n_2-1}(x_2) \rangle \cdots \langle x_k, \sigma(x_k) {{kommadots|}} \sigma^{n_k-1}(x_k) \rangle |SZ= }} die {{Definitionswort|Zyklendarstellung|SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zyklendarstellung |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3vzoyb52p9wku0ui89zyfnfypm7u4s 1079406 1079398 2026-05-17T14:16:10Z Bocardodarapti 2041 1079406 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term=\sigma|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Es seien {{mathl|term= Z_1 {{kommadots|}} Z_k |SZ=}} die Wirkungsbereiche der {{ Definitionslink |Zyklen| |Kontext=Permutation |SZ= }} von {{math|term= \sigma |SZ=}} mit {{ Relationskette | n_i || {{op:Anzahl|Z_i }} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |x_i | \in | Z_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Z_i || \{ x_i, \sigma(x_i) {{kommadots|}} \sigma^{n_i-1}(x_i)\} || || || |SZ=. }} Dann nennt man {{ Math/display|term= \langle x_1, \sigma(x_1) {{kommadots|}} \sigma^{n_1-1}(x_1) \rangle \langle x_2, \sigma(x_2) {{kommadots|}} \sigma^{n_2-1}(x_2) \rangle \cdots \langle x_k, \sigma(x_k) {{kommadots|}} \sigma^{n_k-1}(x_k) \rangle |SZ= }} die {{Definitionswort|Zyklendarstellung|SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zyklendarstellung |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tolbn5w17osjm31mcacl7rpccccsd9p 0 22136 1079399 1076844 2026-05-17T14:11:53Z Bocardodarapti 2041 1079399 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term=\pi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Man nennt {{math|term= \pi |SZ=}} einen {{Definitionswort|Zyklus der Ordnung|SZ=}} {{math|term= r |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der Länge {{math|term= r |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn es eine {{math|term= r |SZ=-}}elementige Teilmenge {{ Relationskette |Z | \subseteq | M || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term=\pi|SZ=}} auf {{mathl|term= M \setminus Z |SZ=}} die Identität ist und {{math|term=\pi|SZ=}} die Elemente aus {{math|term= Z |SZ=}} zyklisch vertauscht. Wenn {{ Relationskette |Z || \{z, \pi(z),\, \pi^2(z) {{kommadots|}} \pi^{r-1}(z)\} || || || |SZ= }} ist, so schreibt man einfach {{ Relationskette/display | \pi || \langle z, \pi(z),\, \pi^2(z) {{kommadots|}} \pi^{r-1}(z) \rangle || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zyklus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fsaod4z7hlxatlfpyiyyf088ydrfjcb 1079404 1079399 2026-05-17T14:15:11Z Bocardodarapti 2041 1079404 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term=\pi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=.}} Man nennt {{math|term= \pi |SZ=}} einen {{Definitionswort|Zyklus der Ordnung|SZ=}} {{math|term= r |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der Länge {{math|term= r |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn es eine {{math|term= r |SZ=-}}elementige Teilmenge {{ Relationskette |Z | \subseteq | M || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term=\pi|SZ=}} auf {{mathl|term= M \setminus Z |SZ=}} die Identität ist und {{math|term=\pi|SZ=}} die Elemente aus {{math|term= Z |SZ=}} zyklisch vertauscht. Wenn {{ Relationskette |Z || \{z, \pi(z),\, \pi^2(z) {{kommadots|}} \pi^{r-1}(z)\} || || || |SZ= }} ist, so schreibt man einfach {{ Relationskette/display | \pi || \langle z, \pi(z),\, \pi^2(z) {{kommadots|}} \pi^{r-1}(z) \rangle || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zyklus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5183ptpbg42shwfx8bo9nxknc39bckf 0 22139 1079400 1076902 2026-05-17T14:13:54Z Bocardodarapti 2041 1079400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und {{math|term= \sigma|SZ=}} eine Permutation auf {{math|term= M |SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine Darstellung {{ Relationskette/display | \sigma || \sigma_1 \cdots \sigma_k || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= \sigma_i |SZ=}} {{ Definitionslink |Zyklen| |Kontext=Permutation |SZ= }} der Ordnung {{math|term= \geq 2 |SZ=}} sind mit disjunkten Wirkungsbereichen. |Zusatz=Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Zyklendarstellung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r76birbzf1chjmu5y3r2brblgblx8wm 14 22141 1079502 866052 2026-05-18T08:49:17Z Bocardodarapti 2041 1079502 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Permutationen|Endlich |Theorie der bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen|Permutation |Theorie der Abbildungen auf einer endlichen Menge|Bijektiv}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114703098|WD=Q114703099}} 3kotebhdrjlga6wfs5uep9sfzg54tik 14 22146 1079510 150391 2026-05-18T08:54:58Z Bocardodarapti 2041 1079510 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter|}} 7kpm081gc1jegfyft66f78ztalg37kx 0 23097 1079421 1076482 2026-05-17T14:24:59Z Bocardodarapti 2041 1079421 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich |SZ= }} {{math|term= \sigma|SZ=}} mit {{ Wertetabelle10 |text1= {{math|term= P|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10|text2= {{math|term= \sigma(P)|SZ=}} | 7 |10| 3 | 9 | 5 | 2 | 4 | 1 | 8 |6 }} die Potenzen {{math|term= \sigma^2|SZ=}} und {{math|term= \sigma^3|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Definitionsseitenname= Permutation/Zyklendarstellung/Definition |SZ= }} für diese drei Permutationen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S 10 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b8thepu7xzfu2mrld47ny6pnuwfz7mm 0 23142 1079416 1046196 2026-05-17T14:22:04Z Bocardodarapti 2041 1079416 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |8 |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} | 2 | 5 | 7 | 3 | 1 | 4 | 8 |6}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Fehlstände| |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nkley304eonihlnd7rx9417p00bqis2 14 23155 1079498 768300 2026-05-18T08:45:27Z Bocardodarapti 2041 1079498 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der bijektiven Abbildungen|Permutationen |Theorie der Abbildungen auf einer Menge|Bijektiv}} 4o1u7lj0e4fka424gqb9si9707ck7xp 0 23241 1079411 1076870 2026-05-17T14:17:59Z Bocardodarapti 2041 1079411 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sigma|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zyklus| |Kontext=Permutation |SZ= }} der Ordnung {{math|term= n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \sigma|SZ=}} als Produkt von {{math|term= n-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Transpositionen| |SZ= }} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2narlgzyi66w0dzbb7gu7v0e9343fxi 0 25110 1079420 1046193 2026-05-17T14:24:28Z Bocardodarapti 2041 1079420 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die beiden Permutationen {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |8 |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} | 2 | 5 | 3 | 7 | 1 | 4 | 8 |6}} und {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= 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Was ist die Ordnung von {{math|term= \sigma|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} broxqozjahyr545ggjr7p9eptj2czqo 0 28574 1079413 1046223 2026-05-17T14:20:37Z Bocardodarapti 2041 1079413 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Permutation {{ Relationskette | \tau | \in | S_7 || || || |SZ=, }} die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |text2= {{math|term= \tau (x)|SZ=}} | 1 | 3 | 5 | 7 | 6 | 4 |2 }} gegeben ist. {{ Aufzählung4/a |Man gebe die Zyklendarstellung von {{math|term= \tau |SZ=}} an und bestimme den Wirkungsbereich. |Berechne {{math|term= \tau^3 |SZ=}} und die Ordnung von {{math|term= \tau^3 |SZ=.}} |Bestimme die Fehlstände von {{math|term= \tau |SZ=}} und das Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Signum| | ESZ= }} von {{math|term= \tau |SZ=.}} |Schreibe{{n Sie}} {{math|term= \tau |SZ=}} als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von {{math|term= \tau |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmkp1f6ffat34prgya4987dyojki6uu 0 28967 1079518 1034731 2026-05-18T09:01:31Z Bocardodarapti 2041 1079518 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge. Dann heißt die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | M | M | x | x |SZ=, }} die also jedes Element {{ Relationskette | x | \in | M |SZ= }} auf sich selbst schickt, die {{Definitionswort|identische Abbildung|SZ=}} oder {{Definitionswort|Identität|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=.}} Sie wird mit {{math|term= {{op:Identität||}} |SZ=}} oder {{math|term= {{op:Identität| M |}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Identische Abbildung |Definitionswort2=Identität |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s07xw3lxstij9imhvenfi5gy1h8lj2s 0 36212 1079430 1042357 2026-05-17T16:10:45Z Λυκας 38324 1079430 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette |n,k | \in |\N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |r ||(r_1 {{kommadots|}} r_k) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^k r_j || n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{menge1n|}} | {{menge1k|}} || |SZ=, }} bei denen das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette |j | \in | {{menge1n|}} || || || |SZ= }} aus genau {{mathl|term= r_j |SZ=}} Elementen besteht, gleich dem {{ Definitionslink |Multinomialkoeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \binom{n}{r} || {{op:Bruch|n!|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzpux5veafc9w86jsi74orcbeh9o8bf 1079433 1079430 2026-05-17T16:18:33Z Λυκας 38324 1079433 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette |n,k | \in |\N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |r ||(r_1 {{kommadots|}} r_k) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^k r_j || n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{menge1n|}} | {{menge1k|}} || |SZ=, }} bei denen das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette |j | \in | {{menge1k|}} || || || |SZ= }} aus genau {{mathl|term= r_j |SZ=}} Elementen besteht, gleich dem {{ Definitionslink |Multinomialkoeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \binom{n}{r} || {{op:Bruch|n!|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0hstx234s9aogndjui87agrbzchvrn 14 36307 1079496 866108 2026-05-18T08:43:28Z Bocardodarapti 2041 1079496 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Abbildungen auf einer Menge|Fixpunkt }}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q8460857|WD=Q114703751}} p0807kzhuxgl112fcc3gse5mehubhul 106 42546 1079484 1076934 2026-05-18T08:19:23Z Bocardodarapti 2041 1079484 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2011)/Arbeitsblattgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Kommutativ/Konjugationsklassen einelementig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Konjugierte Elemente/Gleiche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zentrum einer Gruppe/Untergruppe/Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Q/C/Reelle Koordinaten nicht drin/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Normale Körpererweiterung/C/Komplexe Konjugation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Erzeugter Körper/Radikalerweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare 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Permutationen/Zyklendarstellung/Aufgabe]] nach [[Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1079409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Kontext=| |SZ= }} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zyklen und deren Längen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tq32l6t1isat4p5l7ke1cswoyv8bvff 1079487 1079481 2026-05-18T08:23:15Z Bocardodarapti 2041 1079487 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Kontext=| |SZ= }} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zyklen und deren Längen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1tekfq3zfy7x0xulj36b2qyp4d01h1 1079488 1079487 2026-05-18T08:23:34Z Bocardodarapti 2041 1079488 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} genau dann zueinander {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Kontext=| |SZ= }} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zyklen und deren Längen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7dcuh2f10842h1xhy6mp3o67mxoy0ot 1079596 1079488 2026-05-18T11:57:42Z Bocardodarapti 2041 1079596 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} genau dann zueinander {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} sind, wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellung| |Kontext=| |SZ= }} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zyklen und deren Längen übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 467kv58zkbh9etwyxj8m83qes3ig6xq 0 49148 1079516 1038141 2026-05-18T08:59:52Z Bocardodarapti 2041 1079516 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ=, }} das außer einer Variablenmenge {{math|term= V |SZ=}} aus einem einzigen einstelligen Relationssymbol {{math|term= R |SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=die Konstantenmenge und die Funktionssymbolmengen seien also leer| |ISZ=|ESZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet}} |Struktur| |Kontext=Modell| |SZ= }} besteht dann aus einer nichtleeren Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer fixierten Teilmenge {{ Relationskette |U | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Beispiele sind {{ Relationskette |M ||\N || || || |SZ= }} mit der Teilmenge der Primzahlen, oder der Teilmenge der Quadratzahlen, oder {{ Relationskette |M ||\R || || || |SZ= }} mit der Teilmenge der positiven Zahlen, oder der Teilmenge der rationalen Zahlen, u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} crmlnmcn4zlh0lffob39dmz1usnmumi 106 54863 1079485 1076936 2026-05-18T08:19:38Z Bocardodarapti 2041 1079485 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kongruenz von Dreiecken/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppen/Operation auf Vektorraum/Transitiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppen/Basis/Transitiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Isotropiegruppe/Kein Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Links- und Rechtsoperation/Diskussion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Nachweis/Nullteilerfreiheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{mathl|term=g \in G|SZ=}} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Dreiecke/S_3-Operation/Quotient/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationsgruppe/Operation durch Konjugation/Bahnen und Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konjugierte invertierbare Matrizen/Invariante Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geordnete Dreiecke/S_3-Operation/Quotient/Sechs definierende Polynome/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/R+/C/e hoch 2pi i t/Bahn, Isotropiegruppe/Quotient/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgruppe/Konjugationsklassen/Bestimme/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} }} t27qemdacbcjbjl56n9p9apha3jk4jw 0 65915 1079407 1077024 2026-05-17T14:16:48Z Bocardodarapti 2041 1079407 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=neben Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f |SZ=.}} Die Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma |SZ=}} bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau {{math|term= n |SZ=}} Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist. Ein Modell für {{math|term= \Gamma |SZ=}} ist also eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer fixierten {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f^M | M | M || |SZ= }} auf dieser Menge. Eine Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq | M || || || |SZ= }} der Form {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben {{math|term= f |SZ=}} statt {{math|term= f^M|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |T || \{ m, f(m), f^2(m) {{kommadots|}} f^{k-1} (m) \} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f^k(m) || m || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | f^{i}(m) | \neq|m || || || |SZ= }} für alle {{ mathbed|term= i ||bedterm1= 1 \leq i \leq k-1 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man Zyklus zu {{math|term= f |SZ=}} der Länge {{math|term= k |SZ=.}} Die Menge {{math|term= M |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |SZ= }} von Zyklen unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente {{ Relationskette | m,n | \in | M || || || |SZ= }} sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht unbedingt im gleichen| |ISZ=|ESZ= }} Zyklus liegen: Einerseits lässt sich die Zykluslänge {{math|term= k |SZ=}} erststufig formalisieren, etwa durch {{ Math/display|term= f^kx=x {{logund|}} f^{k-1}x \neq x {{logunddots|}} fx \neq x |SZ=, }} wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zyklus {{math|term= Z_j |SZ=}} ein Element {{math|term= m_j |SZ=}} auswählt und dieses auf ein beliebiges Element {{ Relationskette | n_j || \psi(m_j) || || || |SZ= }} eines Zyklus gleicher Länge schickt, wobei jeder Zyklus genau einmal getroffen wird. Durch {{ Relationskette/display | \psi(f^i(m_j)) | {{defeq|}} |f^i( \psi(m_j)) || || || |SZ= }} erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} abbildet. Wenn man {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=elementar äquivalent zu {{math|term= m |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklus zu {{math|term= m |SZ=}} abbilden muss. Es muss nämlich {{ Relationskette | \psi(f(m)) || f (\psi(m)) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \psi(f(f(m))) || f(f (\psi(m))) || || || |SZ=, }} u.s.w. gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8pakhk232ipziiumeblz2157jov4v1 0 76574 1079507 1041344 2026-05-18T08:52:51Z Bocardodarapti 2041 1079507 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7 |text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 |text2= {{math|term= \varphi(x)|SZ=}} | 4 | 7 | 4 | 5 | 1 |1|2}} gegebene Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\{1,2,3,4,5,6,7\} |\{1,2,3,4,5,6,7\} || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{mathl|term= \{1,2,3\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= \{4,5,6,7\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} c) Erstelle eine Wertetabelle für {{ Relationskette/display |\varphi^3 || \varphi \circ \varphi \circ \varphi || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kxs10uwqcbvhjqusu5z7uda7ofxo2v9 0 76577 1079499 1041395 2026-05-18T08:47:12Z Bocardodarapti 2041 1079499 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine endliche Menge und {{ Abbildung |name=\varphi | M | M || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{math|term= \varphi^n |SZ=}} die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen {{ Relationskette | m | > | n | \geq | 1 || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |\varphi^n || \varphi^m || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5uxo0og8a0bctrdolzx9gg3btu3fix1 0 77650 1079422 846739 2026-05-17T14:25:45Z Bocardodarapti 2041 1079422 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man jede {{ Definitionslink |endliche Permutation| |Kontext=| |SZ= }} durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dhcipudpk52b07fij17y5ui5qs9411k 0 77724 1079503 1042155 2026-05-18T08:50:17Z Bocardodarapti 2041 1079503 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} eine endliche Menge und {{ Abbildung/display |name=\varphi | I | I || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term= \varphi|SZ=}} als die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |\varphi || \tau_1 {{circdots}} \tau_k \circ \rho_1 {{circdots}} \rho_m || || || |SZ= }} schreiben kann, wobei die {{math|term= \tau_i |SZ=}} Transpositionen und die {{math|term= \rho_j |SZ=}} Abbildungen derart sind, dass es {{mathl|term= r , s \in I|SZ=}} gibt mit {{ Relationskette/display |\rho {{|}}_{I \setminus \{r\} } || {{op:Identität| I \setminus \{r\} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\rho (r) || s || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwny2zwb5k74z3sj7kn8mtjgtpg4abi 0 77782 1079412 1074950 2026-05-17T14:19:57Z Bocardodarapti 2041 1079412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Permutation8|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Skizziere{{n Sie}} ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c47tjddickdglmdzjnybtr1mb7u8qwl 0 85596 1079521 786979 2026-05-18T09:03:53Z Bocardodarapti 2041 1079521 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T(x) |SZ=}} ein Term in der einen Variablen {{math|term= x |SZ=,}} der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich klar, dass die Einsetzung {{mathl|term= a \mapsto T(a)|SZ=}} eine Abbildung von {{math|term= \N |SZ=}} nach {{math|term= \N |SZ=}} definiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3hohe6gv7u7scu0slr5vr95t9hag93n 14 89038 1079517 497523 2026-05-18T09:00:33Z Bocardodarapti 2041 1079517 wikitext text/x-wiki {{Bemerkungs-Kategorie unter}} 3455m3wga4ghco6djzc4nepq77ptx44 0 93073 1079522 1048397 2026-05-18T09:04:11Z Bocardodarapti 2041 1079522 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\Q_{\geq 0}| \Q_{\geq 0} | x |x^2 |SZ=, }} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=? }} Ist sie {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2=Theorie der Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jk9vuha5dgicg5pl9uz6rfseaqkye6p 0 95275 1079506 1041345 2026-05-18T08:52:32Z Bocardodarapti 2041 1079506 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7 |text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 |text2= {{math|term= \varphi(x)|SZ=}} | 1 | 5 | 2 | 5 | 4 | 7 |4}} gegebene Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\{1,2,3,4,5,6,7\} |\{1,2,3,4,5,6,7\} || |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{mathl|term= \{5,6,7\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} das Urbild von {{mathl|term= \{1,2,3,4\}|SZ=}} unter {{math|term= \varphi|SZ=.}} c) Erstelle eine Wertetabelle für {{ Relationskette/display |\varphi^3 || \varphi \circ \varphi \circ \varphi || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1d27f3vpoubb95uhswr71hgwqcg10h 0 97100 1079419 1046199 2026-05-17T14:23:19Z Bocardodarapti 2041 1079419 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |8 |text2= {{math|term= \sigma(x)|SZ=}} | 4 | 7 | 2 | 5 | 3 | 8 | 6 |1}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Fehlstände| |SZ= }} und das {{ Definitionslink |Vorzeichen| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Permutationsgruppe S8 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpa1mnv00c0oixtjrjvxfxgohsnf14n 106 100148 1079483 1076935 2026-05-18T08:19:03Z Bocardodarapti 2041 1079483 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2018-2019)/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Kommutativ/Konjugationsklassen einelementig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Konjugierte Elemente/Gleiche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Klassengleichung/Permutationsgruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Klassengleichung/Würfelgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsgruppen/Konjugationsklassen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche p-Gruppe/Auflösbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Q/C/Reelle Koordinaten nicht drin/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Erzeugter Körper/Radikalerweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom/Nullstellen sind konstruierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom/Zerfällungskörper/Radikalerweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Auflösbare Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Galoiserweiterung/Primzahlpotenz/Zwischenerweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterungen/Kette/Fortsetzung zu Galoiserweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Vierte Wurzel aus 3/Finde Galoiserweiterung mit Zweierpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Endliche Körperkette/Irreduzibles Polynom/Zerfällt in M/Keine Nullstelle in L/Irreduzibel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstruierbare Zahl/Automorphismus/Konstruierbar/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Zahlen/Irreduzibles rationales Polynom/Linearkombination von Nullstellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Galoiserweiterung/Normalbasis/Zugehöriges Polynom/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bypuo4kjmfppvacaeys2y6p5plqixgm 106 103137 1079434 1073785 2026-05-17T16:33:14Z ~2026-29742-22 41577 /* Beweisteil 1.6: Betragsmäßige Abschätzung der Integrale über Teildreiecke */ 1079434 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das '''Lemma von Goursat''', manchmal auch als Satz von Goursat bezeichnet, ist ein Satz aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Das Lemma von Goursat ist eine Vorstufe des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchyschen Integralsatzes]] und wird auch oft für dessen Beweis genutzt. Es spielt im Aufbau der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Bemerkenswert ist, dass das Lemma lediglich die [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexe]] [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] voraussetzt, nicht aber die [[w:de:Stetigkeit|stetige]] Differenzierbarkeit. Das Lemma wurde von [[w:de:Édouard Goursat|Édouard Goursat]] ([[w:de:1858|1858]]-[[w:de:1936|1936]]) in der Rechteckform bewiesen und [[w:de:1884|1884]] veröffentlicht. Die heute übliche Dreiecksform stammt von [[w:de:Alfred Pringsheim|Alfred Pringsheim]]. == Lemma von Goursat == Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. === Behauptung === Für das Integral über den Rand des Dreiecks <math> \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> (also über den Weg <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}</math> gilt dann die folgenden Behauptungen: * (C1) <math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee == Der Beweis lässt sich in 4 Teile zerlegen: * '''(1) Dreieck:''' sukzessize Zerlegung eines gegebenen Dreiecks <math>\Delta^{(n)}</math> in 4 [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Teildreiecke * '''(2) Auswahl Teildreieck:''' Auswahl eines von 4 Teildreieck <math>\Delta^{(n+1)}</math>, über dessen Rand das Integral betragsmäßig maximal wird. Abschätzung des Integrals nach oben gegen das Vierfache des Integrals über Rand von <math>\Delta^{(n+1)}</math>. * '''(3) Punkt im Schnitt aller Dreiecke''' Schnitt über alle Dreiecke <math>\Delta^{(n)}</math> enthält genau einen Punkt <math>z_o</math>. Darstellung der Funktion <math>f(z)</math> als Taylorsumme bis zur Ordnung 1 mit Restglied <math>r(z)</math>. * '''(4) Abschätzung des Integrals''' Durch die Abschätzung des Integrals nach oben und dem [[w:de:Sandwichtheorem|Sandwichtheorem]] erhält man die Behauptung (C1). == Beweis == [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] [[Datei:Lemma goursat2 seitenmitten m1m2m3.svg|mini|Aufteilung der äußeren Wegen und Einfügen von zusätzlichen Wegen zwischen den Seitenmitten, die sich durch die umgekehrte Richtung des Integrationsweges im Wegintegral als Summe 0 ergeben und somit das Gesamtintegral nicht verändern.]] [[Datei:Lemma goursat3 wege.svg|mini|Induktive Definition der Wege. Die Teildreieck sind [[w:de:Ähnlichkeit_(Geometrie)|ähnlich]] zum Ausgangsdreieck. Durch die Verwendung der Seitenmitten halbiert sich jeweils der Umfang von einem Dreieck <math>\Delta^{(n)}</math> zu <math>\Delta^{(n+1)}</math> ]] In dem Beweis definiert man wird eine Folge von [[Integrationsweg|Wegen]] über den Rand von Dreieicken rekursiv <math>\gamma^{(n)} := {\left\langle z_{1}^{(n)} , z_{2}^{(n)} , z_{3}^{(n)} \right\rangle}</math>. Bei jedem Iterationsschritt geht man zu ähnlichen Dreiecken mit halber Weglänge über. === Beweisteil 1: Definition der Dreieckswege === Man startet bei der induktiven Definition der Dreieckswege mit dem [[Integrationsweg]] über den Rand des gegebenen Ausgangsdreieck aus dem Lemma. D.h. für <math>{n}={0}</math> sei der geschlossene Dreiecksweg <math>\gamma^{(0)} : [0,3] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: :<math> \gamma^{(0)}(t) := \left\langle z_1 ,z_2 ,z_3 \right\rangle (t) := \begin{cases} (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 & \text{ wenn } t \in [0,1] \\ (2-t)\cdot z_2 + (t-1) \cdot z_3 & \text{ wenn } t \in (1,2] \\ (3-t)\cdot z_3 + (t-2) \cdot z_1 & \text{ wenn } t \in (2,3] \\ \end{cases} </math> ==== Beweisteil 1.1: Seitenmitten für das Dreieck ==== Bei eine induktiven Definition der Dreiecksweg sei nun <math>\gamma^{(n)}</math> bereits definiert. Wir definieren nun <math>\gamma^{(n+1)}</math>. Dabei werden die Seitenmitten des Dreiecks verwendet, um die Teildreiecke zu definieren. <math>\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}</math> in der folgenden Definition die Seitenmitten zwischen den Punkten <math>z_{1}^{(n)}</math> und <math>z_{2}^{(n)}</math>. ==== Beweisteil 1.2: Definition Dreieck 1==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{1}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}, z_{2}^{(n)} ,\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.3: Definition Dreieck 2==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{2}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}, z_{3}^{(n)} ,\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.4: Definition Dreieck 3==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{3}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}, z_{1}^{(n)} , \frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.5: Definition Dreieck 4==== Definition des vierten (rot markierten) Dreieckswege beinhaltet hat als inneres Dreick die 3 Seitenmitten als Eckpunkte :<math>{\gamma_{4}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}},\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}},\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math> ==== Beweisteil 1.6: Betragsmäßige Abschätzung der Integrale über Teildreiecke ==== Vergleicht man den Betrag der Integrale über die 4 Dreieckswege, so gibt es einen Index <math>{i}\in{\left\lbrace{1},{2},{3},{4}\right\rbrace}</math> des Absolutwert des Integrals am größten ist. Für diesen Index <math>i</math> gilt dann: :<math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},{2},{3},{4}\right\rbrace}}}:{\left|\int_{{{\gamma_{{k}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\le{\left|\int_{{{\gamma_{{i}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}</math> ==== Beweisteil 1.7: Definition des n+1-ten Dreiecksweges ==== Wenn <math>i</math> Index ist, bei dem das betragsmäßige Integral am größten ist, so definitiert man in der induktiven Definition nun den nächsten Dreiecksweg über: <math>\gamma^{{{\left({n}+{1}\right)}}} := {\gamma_{{i}}^{(n)}}</math> === Beweisteil 2: Abschätzungen === In dem folgenden Beweisteil wird der Betrag des Integrals über den Dreiecksrand gegen das betragsmäßig größte Integral der 4 oben definierten Teildreiecke abgeschätzt. ==== Beweisteil 2.1 - Abschätzungen ==== Da das rote Dreieck in der obigen Abbildung für die die ergänzten grün markierten Integrationswege jeweil einen Integrationsweg mit umgekehrter Richtung liefert, ändert sich der Gesamtwert des Integral über <math>f</math> durch das Hinzufügen der Wege nicht. Dies formuliert die folgende Gleichung, wobei die Summe die Integration über die 4 Teildreiecke darstellt: : <math> \int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{4} \int_{\gamma_{k}^{(n)}} f(z) \, dz</math> ==== Beweisteil 2.2 - Abschätzungen ==== Durch Anwendung der Dreiecksungleichung kann man den Betrag des Integral nach oben gegen die Summe der Beträge der Integrale über die 4 Einzeldreiecke abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} {\left|\int_{{\gamma^{{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} & = & \left|{\displaystyle \sum_{{{k}={1}}}^{{4}}}\int_{{{\gamma_{{k}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right| \\ & \leq & 4 \cdot \left|\int_{{{\gamma_{{i}}^{(n)}}}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right| = 4 \cdot \left|\int_{{{\gamma^{(n+1)}}}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right| \\ \end{array}, </math> wobei der Weg <math>\gamma_{{i}}^{(n)} = \gamma^{(n+1)}</math> der Integrationsweg über dem Dreiecksrand mit dem maximalen betragsmäßigen Integral ist. ==== Beweisteil 2.3 - Abschätzungen ==== Diese Abschätzung gilt für alle <math>{n}\in\mathbb{N}</math> Interationsschritte, kann man auch wieder das Integral über <math>\left|\int_{\gamma^{(n+1)}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|</math> mit der gleichen geometrischen Grundidee immer weiter nach oben abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n-1}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n-1)}} f(z) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz \right| \\ \end{array} </math> === Beweisteil 3: Durchmesser der Teildreiecke === Durch die oben definierte geschachtelte Definition der Teildreiecke gilt für alle <math>{n}\in\mathbb{N}</math> die Teilmengenbeziehung <math>\Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\supset\Delta{\left({{z}_{1}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}},{{z}_{2}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}},{{z}_{3}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}}\right)}</math>, wobei der Durchmesser (engl. "diameter") der Teildreiecke für wachsende <math>n</math> gegen 0 geht: : <math>\lim_{n\to\infty} \, \text{diam} \left(\Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\right) = 0 </math> ==== Beweisteil 3.1: Schnitt über alle Teildreiecke ==== Der Schnitt über alle Teildreiecke enthält mit den obigen Eigenschaften einen einzelnen Punkt <math>z_o</math>, der in allen Teildreiecken enthalten ist, d.h. :<math>\exists_{{{z}_{{0}}\in{U}}}\forall_{{{n}\in\mathbb{N}}}:{z}_{{0}}\in\Delta^{(n)} := \Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}</math> und es gilt :<math>{\left\lbrace{z}_{{0}}\right\rbrace}=\bigcap_{{{n}\in\mathbb{N}}}\Delta^{(n)}</math> === Beweisteil 4: Holomorphie verwenden (P3) === Durch die Holomorphie von <math>f</math> auf <math>U</math> lässt sich <math>f</math> durch eine [[w:de:Taylorsumme|Taylorsumme]] bis zu Ordnung 1 in <math>z_0 \in U </math> mit einem Restglied <math>r(z)</math> entwickeln : <math>f(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot ( z - z_0 ) + r(z),</math> wobei das Restglied <math>r</math> die Eigenschaft <math>\lim_{z \to z_0} \frac{r(z)}{z - z_0} = 0 </math> und <math> r(z_o) = 0 </math> erfüllt - Begründung (P3) ==== Beweisteil 4.1: Zerlegung von f in zwei Funktionen ==== Die Funktion <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> lässt damit in ein Polynom vom Grad 1 <math>{h}:{U}\to\mathbb{C}</math> mit <math>h(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot ( z - z_0 )</math> und ein Restglied <math>r(z)</math> zerlegen. Da die Funktion <math>h</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>H(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot \frac{1}{2}\cdot (z - z_0)^2 </math> besitzt, ist das Wegintegral über geschlossene Weg 0 - Begründung: (SF). Das Wegintegral über <math>\gamma^{(n)}</math> der Funktion <math>{h}:{U}\to\mathbb{C}</math> ist damit <math> \int_{\gamma^{(n)}} h(z) \, dz = 0 </math> ==== Beweisteil 4.2: Zerlegung von f in zwei Funktionen ==== Durch Anwendung der Linearität des Integral für die Zerlegung erhält man für Wegintegral über geschlossene Wege <math>\gamma^{(n)}</math> der Funktion <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> gilt <math>\int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz = \underbrace{\int_{\gamma^{(n)}} h(z) \, dz}_{=0} + \int_{\gamma^{(n)}} r(z) \, dz = \int_{\gamma^{(n)}} {r}{\left({z}\right)}{\left.{d}{z}\right.}</math> === Beweisteil 4: Abschätzung des Restglieds r(z) === Definiert man nun <math>g(z):=\frac{r(z)}{ z - z_0 }</math> für <math>z\not= z_o</math> und <math>g(z_o):=0</math>, so liefert die Eigenschaft <math>\lim_{z \to z_0} \frac{r(z)}{ z - z_0 }= 0 </math> die Stetigkeit von <math>g</math> in <math>z_0</math>. Für <math>z_o</math> wendet man nun das Epsilon-Delta-Kriterium an. ==== Beweisteil 4.1: Epsilon-Delta-Kriterium ==== Für alle <math>\epsilon>{0}</math> gibt es also ein <math>\delta>{0}</math> mit <math> z\not= z_o </math>: : <math> | z - z_0 | < \delta \ \Longrightarrow \ |g(z) - \underbrace{g(z_o)}_{=0} | = \left| \frac{ r(z) }{ z - z_0 } \right| < \epsilon</math> ==== Beweisteil 4.2: Epsilon-Delta-Kriterium ==== Für alle <math>\epsilon>{0}</math> gibt es ein <math>\delta > 0</math>: :<math>| z - z_0 | < \delta\Rightarrow | r(z) | < \epsilon \cdot | z - z_0 |</math> Da das <math>z</math> für wachsende <math>n</math> immer auf dem Dreiecksrand von <math>\Delta_n</math> und der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss sich <math>z</math> für wachsenden <math>n</math> gegen <math>z_o</math> konvergieren. ==== Beweisteil 4.3: Anwendung in der Abschätzung ==== Die Abschätzung aus 4.2 wird nun auf die Abschätzung des Restgliedes <math>r(z)</math> angewendet und man erhält: :<math> \left| \int_{ \gamma^{(n)} } f(z)\, dz \right| = \left| \int_{ \gamma^{(n)} } r(z) \, dz \right| \leq \left| \varepsilon \cdot \int_{ \gamma^{(n)} } |z-z_o| \, dz \right| </math> Dabei wählt man das <math>n \geq n_\delta </math>, wobei man aus der Bedingung <math>\lim_{n\to\infty}\text{diam} \left( \Delta^{(n)} \right) = 0</math> und <math>z \in \Delta^{(n)} </math> für alle <math>\epsilon > 0</math> ein <math>n_{\delta} \in\mathbb{N}</math> mit <math>\Delta^{(n)}\subseteq {D}_{\delta}(z_0)</math> für alle <math>n > n_{\delta}</math>. ==== Bemerkung 4.4: Anwendung in der Abschätzung ==== Wenn also der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss ab einer Indexschranke <math>n_\delta</math> das Dreieck <math>\Delta^{(n)}</math> ganz in der offenen Kreisschreibe <math>{D}_{\delta}(z_0)</math> mit dem Radius <math>\delta > 0 </math> um <math>z_o</math> liegen. ==== Beweisteil 4.5: Anwendung in der Abschätzung ==== Wenn man nun diese Abschätzung auf das Ausgangsintegral und das Dreieck <math>\Delta^{(0)}</math> an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} r(z) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} |z-z_o| \, dz \right| \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.6: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== <math> z </math> ist in dem obigen Integral ein Punkt auf dem Rand des Dreiecks <math> \Delta^{(n)}</math> und <math> z_o</math> ist ein innerer Punkt des Dreiecks <math> \Delta^{(n)}</math>. Abstand <math>|z-z_o|</math> zwischen einem Randpunkt <math>z</math> und einem inneren Punkt <math>z_o</math> des Dreiecks ist damit kleiner als die Länge <math>\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)</math> des Intergrationswege <math> \gamma^{(n)} </math>. ==== Beweisteil 4.7: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} |z-z_o| \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.8: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Da sich mit jeder weiteren Zerlegung des Dreiecks <math>\Delta^{(n)}</math> in <math>\Delta^{(n+1)}</math> die Länge des Integrationswege von <math> \gamma^{(n-1)} </math> zu <math> \gamma^{(n)} </math> halbiert, erhält :<math>| z - z_0 | < \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) = \frac{1}{2^n} \cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) </math> für alle <math> n \in\mathbb{N}</math> und alle <math> z \in \Delta^{(n)}</math> Begründung: Der Faktor <math>\frac{1}{2^n}</math> entsteht durch die fortgesetzte Halbierung der Seiten der Dreiecke <math>\Delta^{(n)}</math> ==== Beweisteil 4.9: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\left| \int_{\gamma^{(n)}} 1 \, dz \right|}_{\leq \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) } \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)}_{\leq \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) } \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.10: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Die Abschätzung von der zweiten zur dritten Zeile erfolgt mit der unten angegebenen Begründung für da Wegintegral [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)#IAL|(IAL)]]. :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\left| \int_{\gamma^{(n)}} 1 \, dz \right|}_{\leq \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) } \\ & \leq & {4}^{n}\varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)}_{\leq \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) } \\ & \leq & \varepsilon \cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right)^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.11: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Da <math>\mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) </math> eine Konstante ist und die Aussage 4.10 für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, muss Betrag <math> \left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right| = 0</math> gelten. Damit gilt auch <math> \int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z} = 0</math> und es folgt die Behauptung des [[Lemma von Goursat|Lemmas von Goursat]]. == Abkürzungen für Begründungen == * <span id="DU"></span>(DU) <math>\forall_{a,b \in\mathbb{C}} : | a+b | \leq |a| + |b| </math> <!-- * (DG) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c </math> * (AG<math>+</math>) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a+ (b + c) = (a + b) + c </math> * (AG<math>\cdot</math>) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a\cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c </math> --> * <span id="DI"></span>(DI) Definition: Sei <math> M\subset{C}</math> eine Menge <math>\text{diam}(M) :=\text{sup} \lbrace |b-a| \, :\, a,b \in M \rbrace </math> * <span id="WE"></span>(WE) Definition (Weg): Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine Teilmenge und <math> a,b \in\mathbb{R}</math> mit <math>a < b </math>. Ein Weg <math>\gamma</math> in <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ist eine stetige Abbildung <math>\gamma: [a,b] \to U </math>. * <span id="SPU"></span>(SPU) Definition (Spur): Sei <math>\gamma: [a,b] \to U</math> eine Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>. Die Spur von <math>\gamma</math> ist definiert als: <math>\text{Spur}(\gamma) := \lbrace \gamma(t)\in\mathbb{C} \, {\mid} \, t \in [a,b] \rbrace </math>. * <span id="WZ"></span>(WZ) Definition (wegzusammenhängend): Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine Teilmenge. <math>{U}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zu beliebigen Punkt <math> z_1 , z_2 \in U </math> einen Weg <math>\gamma:[a,b] \to U</math> in <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> gibt, mit <math> \gamma(a) = z_1 </math>, <math>\gamma(b) = z_2 </math> und <math>\text{Spur}(\gamma) \subseteq U</math>. * <span id="GE"></span>(GE) Definition (Gebiet): Eine Teilmenge <math>{G}\subseteq\mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn (1) <math>{G}</math> offen, (2) <math>{G}\ne\emptyset</math> und (3) <math>{G}</math> wegzusammenhängend ist. * (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist. * <span id="UT"></span>(UT) Definition (Unterteilung): Sei <math>[a,b]</math> ein Intervall, <math>n \in\mathbb{N}</math> und <math>{a}={u}_{{0}} < {\ldots} < {{u}}_{n}={b}</math>. <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}\in\mathbb{R}^{n+1}</math> heißt dann Unterteilung von <math>{\left[{a},{b}\right]}</math>. * <span id="WG2"></span>(WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> ein Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>, <math>{n}\in\mathbb{N}</math>, <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}</math> eine Unterteilung von <math>[a,b]</math>, <math>\gamma_{{k}}:{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right]}\to\mathbb{C}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> ein Weg in <math>{U}</math>. <math>{\left(\gamma_{{{1}}},\ldots,\gamma_{{{n}}}\right)}</math> heißt Wegunterteilung von <math>\gamma</math>, wenn gilt <math>\gamma_{{n}}{\left({b}\right)}=\gamma{\left({b}\right)}</math> und <math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}}}\forall_{{{t}\in{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right)}}}:\gamma_{{k}}{\left({t}\right)}=\gamma{\left({t}\right)}\wedge\gamma_{{k}}{\left({u}_{{{k}-{1}}}\right)}=\gamma_{{{k}-{1}}}{\left({u}_{{k}}\right)}</math>. * <span id="WG3"></span>(WG3) Definition (Integrationsweg/Weg stückweise glatt): Ein Weg <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> existiert. * <span id="WG4"></span>(WG4) Definition (Wegintegral): Sei <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine stetige Funktion und <math>\gamma: [a,b] \to U </math> ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: <math>\int_{\gamma} f := \int_{\gamma} f(z) \, dz := \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot\gamma'(t)\, dt </math>. Ist <math>\gamma</math> nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung <math>( \gamma_1 ,\ldots,\gamma_n ) </math>, dann definiert man <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz :=\sum_{k=1}^{n} \int_{\gamma_k} f(z) \, dz</math>. * <span id="SF"></span>(SF) Satz (Stammfunktion mit geschlossenen Wegen): Besitzt eine stetige Funktion <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F : U \to\mathbb{C}</math>, dann gilt für den stückweise glatten Weg <math>\gamma: [a,b] \to U</math>, dass <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz =F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))</math> gilt. * <span id="LIW"></span>(LIW) Länge des Integrationsweges: Sei <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> ein glatter Weg, dann ist die <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> wie folgt definiert :: <math>\mathcal{L}(\gamma) := \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math>. : Ist <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> allgemein ein Integrationsweg mit der Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math>, so ist <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> als Summe der Länge der glatten Wege <math>\gamma_{{k}}</math> definiert, also: :: <math>\mathcal{L}(\gamma) := \sum_{k=1}^{n} \mathcal{L}(\gamma_{k})</math> * <span id="IAL"></span>(IAL) Integralabschätzung über die Länge des Integrationsweges: <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{G}</math> ein Integrationsweg auf dem Gebiet <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann gilt für eine auf <math>\text{Spur}(\gamma)</math> stetigen Funktion folgende Abschätzung: ::<math>\left| \int_{\gamma} f(z) \, dz \right| \leq \max_{z \in \text{Spur}(\gamma)} |f(z)| \cdot \mathcal{L}(\gamma)</math> == Aufgabe 1 == Gegeben sind die Punkte <math>z_1= 1-i</math>, <math>z_2= i</math> und <math>z_3= -1-i</math>. * Stellen Sie den Gesamtweg <math>\gamma:[0,3] \to \mathbb{C} </math> über den Dreiecksrand als Integral von drei Wegen <math>\gamma_k:[0,1] \to \mathbb{C} </math> mit <math>k\in\{1,2,3\} </math> jeweils als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] dar. * Berechnen Sie die einzelnen Wegintegrale :: <math>\int_{\gamma_k} e^z \, dz </math> * Berechnen Sie mit <math>\gamma = \sum_{k=1}^3 \gamma_k</math> das gesamte Integral :: <math> \int_{\gamma} e^z \, dz = \sum_{k=1}^3 \int_{\gamma_k} e^z \, dz </math> == Aufgabe 2 == Gegeben sind die Punkte <math>z_1= 1-i</math>, <math>z_2= i</math> und <math>z_3= -1-i</math>. * Betrachten Sie <math>\gamma_1: [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math>. * Berechnen Sie die Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>(f\circ \gamma_1) \cdot \gamma_1' </math>. * Berechnen Sie das Integral von <math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_1(t)} \cdot \gamma_1'(t) \, dt </math> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat]] - Kurzform * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] - Erweiterung * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Korollar mit Ausnahme eines Punktes]] - Erweiterung für Wegintegration auf Kreisrändern * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz (Geometrie)]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|Wegintegral für stetige Funktion mit Stammfunktion]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Goursat, Lemma von]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat Lemma von Goursat] https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat * Datum: 14.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/Goursat's Lemma (Details)]]</noinclude> mdyk6vykbgx14d1350rwv7abk9i7wln 0 111255 1079514 1034609 2026-05-18T08:58:30Z Bocardodarapti 2041 1079514 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= H |SZ=}} die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=lebenden oder verstorbenen| |ISZ=|ESZ= }} Menschen. Wir untersuchen die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi | H | H || |SZ=, }} die jedem Menschen seine {{ Zusatz/Klammer |text=biologische| |ISZ=|ESZ= }} Mutter zuordnet. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da jeder Mensch eine eindeutig bestimmte Mutter besitzt. Diese Abbildung ist nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da es ja verschiedene Menschen {{ Zusatz/Klammer |text=Geschwister| |ISZ=|ESZ= }} gibt, die die gleiche Mutter haben. Sie ist auch nicht {{ Definitionslink |surjektiv| |Kontext=| |SZ=, }} da nicht jeder Mensch Mutter von jemandem ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4flhwpw4prr887wz2sza4e0rgfz51x 0 116725 1079570 1043706 2026-05-18T11:37:46Z Bocardodarapti 2041 1079570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=(1). Es sei {{ Relationskette |e ||\{u,v\} || || || |SZ=. }} Wir zeigen {{ Relationskette/display | {{op:Chromatisches Polynom|G \setminus \{e\} |}} || {{op:Chromatisches Polynom| G |}} + {{op:Chromatisches Polynom|G /e |}} || || || |SZ=, }} indem wir die {{ Definitionslink |zulässigen Färbungen| |Kontext=| |SZ= }} analysieren. Eine zulässige Färbung von {{math|term= G |SZ=}} ist eine zulässige Färbung {{math|term= f |SZ=}} von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=,}} bei der auch die Bedingung {{ Relationskette |f(u) |\neq|f(v) || || || |SZ= }} erfüllt ist. Somit müssen wir zeigen, dass die zulässigen Färbungen von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} mit {{ Relationskette |f(u) || f(v) || || || |SZ= }} den zulässigen Färbungen von {{math|term= G/e|SZ=}} entsprechen. Über den surjektiven {{ Definitionslink |schwachen Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | G/e || |SZ= }} erhält man aus einer zulässigen Färbung {{math|term= f |SZ=}} von {{math|term= G/e|SZ=}} direkt eine {{ Zusatz/Klammer |text=nichtzulässige| |ISZ=|ESZ= }} Färbung {{math|term= f \circ \varphi|SZ=}} von {{math|term= G |SZ=}} mit identischem Wert auf {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} und damit direkt eine zulässige Färbung auf {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} mit identischem Wert auf {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ=. }} Diese Gesamtzuordnung ist injektiv. Wenn umgekehrt eine zulässige Färbung {{ Abbildung/display |name=g |G \setminus \{e\}|B || |SZ= }} mit {{ Relationskette |g(u) || g(v) || || || |SZ= }} gegeben ist, so kann man dies direkt als eine Färbung auf {{math|term= G/e|SZ=}} auffassen. Wenn {{math|term= d |SZ=}} eine Kante von {{math|term= G/e|SZ=}} ist, so liegt dieser Kante eine Kante {{math|term= d'|SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} zugrunde, und daher überträgt sich die Zulässigkeit. (2). Eine zulässige Färbung auf {{mathl|term= G_1 \uplus G_2 |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Farben besteht einfach aus einer zulässigen Färbung von {{math|term= G_1 |SZ=}} und einer zulässigen Färbung von {{math|term= G_2 |SZ=,}} es gibt darüber hinaus keine weitere Bedingung, da es ja keine Kanten zwischen {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} gibt. Die Anzahl der zulässigen Gesamtfärbungen ist daher das Produkt der Anzahlen der einzelnen zulässigen Färbungen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xuj1gl4kt9cz2uxgz1w4yqvqnww08p 14 117035 1079444 621522 2026-05-17T16:49:39Z Bocardodarapti 2041 1079444 wikitext text/x-wiki {{Vorlagen-Kategorie unter|Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art}} 03setpks7vy1t7tim3gticabulqtxd7 0 117207 1079569 1074810 2026-05-18T11:35:38Z Bocardodarapti 2041 1079569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Butterfly graph|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butterfly_graph |Text= |Autor= |Benutzer=KoKo90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebende Verfahren, um, falls die Gradbedingung erfüllt ist, einen geschlossenen eulerschen Kantenzug über die kantendisjunkten Kreise zu finden, ist grundsätzlich konstruktiv. Man nennt das Verfahren den {{Stichwort|Algorithmus von Hierholzer|SZ=.}} Bei einem Knotenpunkt vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Kantendurchlauf für einen Eulerzug bis auf die Orientierung vorgegeben. Man kann aber im Allgemeinen bei einem Knotenpunkt mit einem Grad {{math|term= >2 |SZ=}} nicht frei vorgeben, in welcher Reihenfolge die in dem Punkt zusammenlaufenden Kanten hintereinander gelegt werden. Im {{Stichwort|Schmetterlingsgraphen|msw=Schmetterlingsgraph|SZ=}} können in einem Eulerzug die beiden rechten Kanten, die am Kreuzungspunkt anliegen, nicht direkt aufeinander folgen, da sonst der rechten Kreis geschlossen wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9y8yamvtov2moflm82wxppzq3146e4 0 117267 1079466 951276 2026-05-18T06:59:10Z Bocardodarapti 2041 1079466 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Jeder endliche {{ Definitionslink |boolesche Verband| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= B |SZ=}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= ist {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Relation Menge| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} einer endlichen Menge. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen booleschen Verbände |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Isomorphiesatz für endliche boolesche Verbände |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aq47hw6mjgqxy9tvw9pmcfwu0f8geox 14 118196 1079537 865765 2026-05-18T09:44:34Z Bocardodarapti 2041 1079537 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Monoide|Abbildung |Theorie der Verknüpfung von Abbildungen|Monoid |Theorie der Abbildungsmengen|Monoid |Theorie der Abbildungen auf einer Menge|Monoid}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114681815|WD=Q114681818}} 2axpchf7vy59ro4qusniklezeapjmdp 2 118466 1079460 992811 2026-05-18T06:37:48Z Bocardodarapti 2041 1079460 wikitext text/x-wiki {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Permutationen/Einführung/Textabschnitt|}} Kugel und Urnen unterscheidbar, ununterscheidbar. unterscheidbar durchnummeriert ; Vorgang hintereinander Abbildungsanzahl {{ inputfakt |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||A=L|B=M|k=m|n=\ell || }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne belegt werden muss. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen und mit Trefferzwang {{ Zusatz/Klammer |text=jedes Element muss mindestens einmal gezogen werden| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Lemma||k= \ell|n=m }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} ununterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=welche {{math|term=\ell |SZ=}} Urnen werden getroffen| |ISZ=|ESZ=? }} Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. Zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |L|M || |SZ= }} kann man sich für die Anzahl interessieren, mit der jedes Element aus {{math|term=M |SZ=}} getroffen wird. Dies ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\theta |M|\N |y| {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} |SZ=. }} Wertverteilung oder Stimmenverteilung. Wenn die Anzahl von {{math|term=L |SZ=}} gleich {{math|term=\ell |SZ=}} ist, so ist dabei {{ Relationskette/display | \sum_{y \in M} {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} || \ell || || || |SZ=. }} Abbildungen von {{math|term=M |SZ=}} nach {{math|term=\N |SZ=}} mit einer bestimmten Summenanzahl {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt|Lemma|| || }} Wahlausgang, Treffertupel, Monome, Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputbild |Methan Lewis|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputbild |Budapest-metro|png|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Somebody |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Copenhagen Metro with City Circle Line map|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Arsenikk |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Planskizze_Blauhöhlensystem|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Plan Sophienhöhle|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} disjunkte kantenfreie Vereinigung, disjunkte vollkantige Vereinigung, Vereinigung, Durchschnitt qjd9aa24ht1sqjcv8v4zf9p7j39obw2 1079491 1079460 2026-05-18T08:28:20Z Bocardodarapti 2041 1079491 wikitext text/x-wiki {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Einführung/Textabschnitt}} Kugel und Urnen unterscheidbar, ununterscheidbar. unterscheidbar durchnummeriert ; Vorgang hintereinander Abbildungsanzahl {{ inputfakt |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||A=L|B=M|k=m|n=\ell || }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne belegt werden muss. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen und mit Trefferzwang {{ Zusatz/Klammer |text=jedes Element muss mindestens einmal gezogen werden| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Lemma||k= \ell|n=m }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} ununterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=welche {{math|term=\ell |SZ=}} Urnen werden getroffen| |ISZ=|ESZ=? }} Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. Zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |L|M || |SZ= }} kann man sich für die Anzahl interessieren, mit der jedes Element aus {{math|term=M |SZ=}} getroffen wird. Dies ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\theta |M|\N |y| {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} |SZ=. }} Wertverteilung oder Stimmenverteilung. Wenn die Anzahl von {{math|term=L |SZ=}} gleich {{math|term=\ell |SZ=}} ist, so ist dabei {{ Relationskette/display | \sum_{y \in M} {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} || \ell || || || |SZ=. }} Abbildungen von {{math|term=M |SZ=}} nach {{math|term=\N |SZ=}} mit einer bestimmten Summenanzahl {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt|Lemma|| || }} Wahlausgang, Treffertupel, Monome, Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputbild |Methan Lewis|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputbild |Budapest-metro|png|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Somebody |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Copenhagen Metro with City Circle Line map|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Arsenikk |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Planskizze_Blauhöhlensystem|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Plan Sophienhöhle|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} disjunkte kantenfreie Vereinigung, disjunkte vollkantige Vereinigung, Vereinigung, Durchschnitt 6jq8d3oiovmrjx8td4oe5s8st207hyh 1079547 1079491 2026-05-18T10:26:17Z Bocardodarapti 2041 1079547 wikitext text/x-wiki [[/Isomorph]] Kugel und Urnen unterscheidbar, ununterscheidbar. unterscheidbar durchnummeriert ; Vorgang hintereinander Abbildungsanzahl {{ inputfakt |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||A=L|B=M|k=m|n=\ell || }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne belegt werden muss. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen und mit Trefferzwang {{ Zusatz/Klammer |text=jedes Element muss mindestens einmal gezogen werden| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Lemma||k= \ell|n=m }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} ununterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=welche {{math|term=\ell |SZ=}} Urnen werden getroffen| |ISZ=|ESZ=? }} Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. Zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |L|M || |SZ= }} kann man sich für die Anzahl interessieren, mit der jedes Element aus {{math|term=M |SZ=}} getroffen wird. Dies ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\theta |M|\N |y| {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} |SZ=. }} Wertverteilung oder Stimmenverteilung. Wenn die Anzahl von {{math|term=L |SZ=}} gleich {{math|term=\ell |SZ=}} ist, so ist dabei {{ Relationskette/display | \sum_{y \in M} {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} || \ell || || || |SZ=. }} Abbildungen von {{math|term=M |SZ=}} nach {{math|term=\N |SZ=}} mit einer bestimmten Summenanzahl {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt|Lemma|| || }} Wahlausgang, Treffertupel, Monome, Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputbild |Methan Lewis|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputbild |Budapest-metro|png|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Somebody |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Copenhagen Metro with City Circle Line map|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Arsenikk |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Planskizze_Blauhöhlensystem|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Plan Sophienhöhle|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} disjunkte kantenfreie Vereinigung, disjunkte vollkantige Vereinigung, Vereinigung, Durchschnitt 85s27cevtys1brvol66tbzyb5mqfa5r 0 118590 1079469 626531 2026-05-18T07:02:43Z Bocardodarapti 2041 1079469 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=isomorph (Relation)|Anf=Is| |Siehe= |Ziel=Relationen/Isomorph/Definition }} 9b6qorns2jm55jho21ejxwdxxw4f833 0 118591 1079463 836494 2026-05-18T06:46:15Z Bocardodarapti 2041 1079463 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zwei Mengen mit {{ Definitionslink |Relationen| |SZ= }} {{ mathkor|term1= (M,R) |und|term2= (N,S) |SZ= }} heißen {{ Definitionswort |isomorph| |msw=Isomorphe Relationen auf einer Menge |SZ=, }} wenn es einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=Relation| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |(M,R)|(N,S) || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der relationserhaltenden Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Isomorphe Relationen auf einer Menge |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3hbklj5n2w59zypmlfbid9u4ktd23y 0 118975 1079431 902346 2026-05-17T16:11:39Z Λυκας 38324 1079431 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} Als Alternative zu den oben angegebenen expliziten Formeln, hinter denen jeweils eine aufwändige Summation steht, kann man mit der folgenden Rekursionsformel für die Anzahl von surjektiven Abbildungen arbeiten. Die Grundidee hierzu wurde schon im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} verwendet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kv7jhuvbb4f6p7q1y45o7pm1qirkw94 106 121958 1079597 1077321 2026-05-18T11:58:34Z Bocardodarapti 2041 1079597 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p||| |Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe|p||| |Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} grr3tfpcjj5d9h4kzvqtv8oekv4133e 106 121960 1079429 1077322 2026-05-17T14:40:17Z Bocardodarapti 2041 1079429 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p||| |2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0xj73g2cizu7e39pnpdxddn9zcdcmvu 0 122008 1079468 1018568 2026-05-18T07:00:31Z Bocardodarapti 2041 1079468 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Jeder endliche {{ Definitionslink |boolesche Verband| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= B|SZ=}} ist {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Relation Menge| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} einer endlichen Menge. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 317d1p8emltmpai8s7026xsxhr21fjx 0 153297 1079520 909443 2026-05-18T09:02:56Z Bocardodarapti 2041 1079520 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Inwiefern bedeutet die Variable {{math|term= x |SZ=}} die Identität? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3=Theorie der Terme |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qzua0fpiw2ydgkjs71yv2x3ykyirxhl 0 159827 1079418 949297 2026-05-17T14:22:36Z Bocardodarapti 2041 1079418 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fingerpermutation3|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Signum| |Kontext=Permutation| |SZ= }} der im Bild gezeigten Permutation {{ Zusatz/Klammer |text=die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0x4vjgpve68jkqs9zcys7ebu87rv8om 0 159839 1079417 949334 2026-05-17T14:22:22Z Bocardodarapti 2041 1079417 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Fingerpermutation1|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Signum| |Kontext=Permutation| |SZ= }} der im Bild gezeigten Permutation {{ Zusatz/Klammer |text=die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich. Der linke Daumen geht auf den kleinen Finger| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ry1lr3u8zqr1x47h1vn34oh63oon783 0 161258 1079415 1001610 2026-05-17T14:21:18Z Bocardodarapti 2041 1079415 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Permutation {{ Relationskette | \tau |\in| S_6 || || || |SZ=, }} die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle6|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|text2= {{math|term= \tau (x)|SZ=}} |2|4|3|6|1|5 }} gegeben ist. {{ Aufzählung4/a |Man gebe die Zyklendarstellung von {{math|term= \tau |SZ=}} an und bestimme den Wirkungsbereich. |Berechne{{n Sie}} die Ordnung von {{math|term= \tau |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Fehlstände von {{math|term= \tau |SZ=}} und das Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Signum| |ESZ= }} von {{math|term= \tau |SZ=.}} |Schreibe{{n Sie}} {{math|term= \tau |SZ=}} als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von {{math|term= \tau |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omyggt459f2yrggiv23idnkwz5bb14z 0 161306 1079423 996203 2026-05-17T14:26:05Z Bocardodarapti 2041 1079423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Permutation {{ Relationskette | \tau |\in| S_7 || || || |SZ=, }} die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|text2= {{math|term= \tau (x)|SZ=}} |3|6|5|2|1|7|4 }} gegeben ist. {{ Aufzählung4/a |Man gebe die Zyklendarstellung von {{math|term= \tau |SZ=}} an und bestimme den Wirkungsbereich. |Erstelle eine Wertetabelle für {{math|term= \tau^2 |SZ=}} |Berechne die Ordnung von {{math|term= \tau |SZ=.}} |Bestimme die Fehlstände von {{math|term= \tau |SZ=}} und das Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text=Signum| |ESZ=}} von {{math|term= \tau |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk3n4nc48z0xw9tgeqbogzrasrgp9bb 2 164117 1079582 1073718 2026-05-18T11:50:40Z Falko Wilms 8588 /* Benotungskriterien */ 1079582 wikitext text/x-wiki ==<span style="color:blue;">Relationale Benotung</span>== Gemäß dem Vertrag von Bologna erfolgt eine relationale Benotung, in der jede Arbeit im Direktvergleich mit allen anderen abgegebenen Arbeiten begutachtet wird. Es sind somit nur Vergleiche in einem Jahrgang und niemals zwischen verschiedenen Jahrgängen möglich. Die Arbeit mit der höchsten erreichten Punktezahl wird mit "sehr gut" benotet. Je weiter die erreichte Punktezahl von der erreichten maximalen Punktezahl entfernt ist, desto weniger gut fällt Benotung aus. Das im Kurs erwartete Leistungs-Niveau der besten Arbeit sollte als Orientierungsmarke für das eigene Tun benutzen, denn: Die Benotung der eigenen Arbeit hängt davon ab, wie weit die Qualität der eigenen Arbeit von der Qualität der besten Arbeit entfernt ist. '''Sinnvolle Fragen zum Niveau der besten Arbeit''' sind beispielsweise: * Welche Art von Quellen verwendet die beste Arbeit? * Wie viele Quellenangaben beinhaltet die beste Arbeit? * Wird in der besten Arbeit alles in der Gegenwart ausgedrückt oder auch Vergangenheit und Zukunft verwendet? * Wird in der besten Arbeit die Grammatik und insbesondere die Kommasetzung korrekt angewandt? * Werden in der besten Arbeit klare, verständliche, prägnante Sätze verwendet? * ... ==<span style="color:blue;">Benotungskriterien</span>== '''Methode''' * Die Problemstellung ist nachvollziehbar erklärt * Die Einflussmatrix ist korrekt beschrieben und ausgefüllt * Die Rollenzuordnung ist korrekt durchgeführt Diese Kriterien bilden die Basis der Erarbeitung einer guten Lösung und haben 3-faches Gewicht. '''Praxis''' * Die vorgeschlagene Problemlösung ist praxistauglich und orientiert sich an den abgeleiteten Ergebnissen * Es werden erhoffte positive Folgen der Problemlösung dargelegt * Es werden erwartbare negative Folgen der Problemlösung skizziert Diese Kriterien prägen die Umsetzbarkeit der erarbeitetne Lösung und haben 2-faches Gewicht. '''Formal''' * Rechtschreibung und Satzbau sind fehlerfrei * Zusatzpunkte, wenn mehr Quellen als im Durchschnitt angegeben werden * es wird eine vollständige Literaturliste erstellt * Zitierregeln werden eingehalten Diese Kriterien kennzeichnen eine wiss. Arbeit und haben 1-faches Gewicht. <br> '''Je mehr Kriterien erfüllt sind, desto größer ist die Zahl der erreichten Punkte.''' Anhand der jeweils erreichten Punkte wird jerder Arbeit eine Noten und ein Rangplatz ermittelt. . ==<span style="color:blue;">Unbedingt zu beachten</span>== * Internetquellen werden nur dann als Quellen anerkannt, wenn es sich dabei '''''nicht''''' um Wikipedia, Youtube oder Wikiversity handelt * Folien und Semesterunterlagen des Kurses werden keinesfalls als Quelle anerkannt. * Sollte Ihre Prüfungsleistung :* das erforderliche Template ignoriert haben oder :* nicht die Namen aller Autorinnen und Autoren in der ausgedruckten Datei notiert haben oder :* nicht im PDF-Dateiformat hochgeladen worden sein oder :* keine von allen unterschiebene Eidesstattliche Erklärung enthalten oder :* nach dem angegebenen spätesten Endtermin eingelangt sein würden Ihrer Prüfungsleistung 10 von 100 möglichen Punkten abgezogen! * Sollte Ihre Prüfungsleistung mehr verschiedene Quellen aufweisen als der Durchschnitt, dann werden Ihrer Prüfungsleistung 5 von 100 möglichen Punkten hinzugefügt!<br><br> [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] e4c3wmk8sifa4mzgpqhhbrtw7r3lvig 106 166142 1079482 1076933 2026-05-18T08:18:47Z Bocardodarapti 2041 1079482 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kongruenz von Dreiecken/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppen/Operation auf Vektorraum/Transitiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppen/Basis/Transitiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Isotropiegruppe/Kein Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Links- und Rechtsoperation/Diskussion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Dreiecke/S_3-Operation/Quotient/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationsgruppe/Operation durch Konjugation/Bahnen und Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konjugierte invertierbare Matrizen/Invariante Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Dreiecke/S_3-Operation/Quotient/Sechs definierende Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgruppe/Konjugationsklassen/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/M und N/Abbildungsmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/M und N/Abbildungsmenge/Invariant/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Nachweis/Nullteilerfreiheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/R+/C/e hoch 2pi i t/Bahn, Isotropiegruppe/Quotient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Operation auf R/Periodische Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ddbhvazuncgvzhhfhre4h6kv3lcu8zo 106 168364 1079492 1072460 2026-05-18T08:32:15Z Paul Sutermeister 37610 1079492 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''IT Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 19.</ref> und auf dem [[:w:International Certification of Digital Literacy|ECDL]]-Syllabus.<ref>[https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/Downloads/Syllabus_Standard_web.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> Die ECDL-Tests '''Computer-Grundlagen''' und '''Online-Grundlagen''' werden absolviert. Wichtige Lehrmittel (neben den [[:Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)|Wikiversity-Seiten]]) sind die Website easy4me.info der [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichischen Computer Gesellschaft]]<ref>[https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]]</ref> und der [[:w:Herdt-Verlag|Herdt]]-Band 1<ref>''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2</ref>. <small>(kleine Programmänderungen vorbehalten)</small> {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 9.-12. Februar 2026</br>[[Datei:Windows_logo_-_2021.svg|frameless|50px]] | E-Mails und WhatsApp-Gruppe testen, Netzwerk Minerva ([[:w:OpenOlat|OpenOlat]])</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Betriebssystem|Betriebssystem]]'''<br/>Anmelden am PC</br>Startmenü inkl. Suchleiste, Desktop, Fenster, Ablagesystem | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 5-16 |- | 16.-19. Februar</br>[[Datei:Microsoft_PowerToys-Logo_File_Explorer_Preview_02.png|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Dateiverwaltung|Datenverwaltung]]'''</br>Arbeiten mit Dateien/Ordnern, Verknüpfungen, Papierkorb</br>Dateien suchen/finden, Laufwerke</br>Windows-Hilfe benutzen | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 17-32 |- | 23.-26. Februar</br>[[Datei:Authenticator App by 2Stable.svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Datensicherheit|Datensicherheit]]'''</br>Passwortschutz</br>Firewall</br>Viren/Malware | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 33-47 |- | 2.-5. März | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Datenspeicher|Datenspeicher]]''' | easy4me |- | 9.-12. März | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Hardware|Hardware]]'''</br>Laptop auseinanderschrauben, Teile benennen | easy4me</br> |- | 16.-19. März | Alte Diplomprüfungen IT Skills | easy4me</br> |- | 23.-26. März | <span style="color:red;">'''ECDL Computer-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 30. März-2. April</br>[[Datei:Microsoft_Edge_logo_(2019).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Internet|Internet]]''' und E-Mail</br>Browser und Suchmaschinen</br>Online-Formulare ausfüllen, Bildschirmfotos von Webseiten in Office-Dokumente einfügen | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 48-65 |- | 20.-23. April</br>[[Datei:Microsoft_OneDrive_Icon_(2025_-_present).svg|frameless|50px]] | Sicher im Internet arbeiten</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Datenschutz|Datenschutz]]''' und Urheberrecht</br>Cloud Computing | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 66-88 |- | 27.-30. April | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/World Wide Web|World Wide Web (WWW)]]''':</br>Foren, Wiki, Blog / Online-Community und soziale Netzwerke | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 104-108 |- | 4.-7. Mai</br>[[Datei:Microsoft_Outlook_Icon_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Outlook|Outlook]]''':</br>'''E-Mails''' senden, empfangen und bearbeiten; Ordnung im Postfach</br>'''Kontakte''', Gruppen und Adressbuch</br>'''Besprechungen''' organisieren, Kalender</br>'''Aufgaben''' verwalten, Ordner und Elemente verwalten | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 109-180 |- | 11. Mai | Alte Diplomprüfungen IT Skills | easy4me</br> |- | 18.-21. Mai | Alte Diplomprüfungen IT Skills | easy4me</br> |- | 1.-4. Juni | Alte Diplomprüfung IT-Skills | easy4me</br> |- | 8.-11. Juni | Modulprüfungs-Vorbereitung | easy4me</br> |- | 15.-18. Juni | <span style="color:red;">'''ECDL Online-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 22.-25. Juni | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> | |- | 29. Juni und folgende Tage/Woche | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] insgesamt 12 Lektionen | |} = Lehrmittel = * [https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]] * ''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] pvcyumswsb9nv6an4w7dqlaqtymimzm 106 168625 1079593 1072780 2026-05-18T11:55:05Z Bocardodarapti 2041 1079593 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Links- und rechtsisomorph/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Permutationen}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Einführung/Textabschnitt}} }} 10yvmr4yzaycv4tjoz257edqg331dyt 106 168626 1079592 1072777 2026-05-18T11:54:41Z Bocardodarapti 2041 1079592 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|Lineare Rekursion}} {{:Lineare Rekursion/Matrixrekursion/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Allgemeine Lösungsbeschreibung}} {{:Lineare Rekursion/Matrixrekursion/Allgemeine Lösungsbeschreibung/Textabschnitt}} }} 3dggjf9h8hfbsec480svh01fa5mjpro 106 168627 1079591 1075194 2026-05-18T11:54:24Z Bocardodarapti 2041 1079591 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Potenzreihen}} {{:Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Erzeugende Funktionen}} {{:Erzeugende Funktion/C/Einführung/Textabschnitt}} Die folgende Aussage kann beispielsweise auf die Situation anwenden, wo {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig viele| |ISZ=|ESZ= }} Münzen mit {{math|term= k |SZ=}} verschiedenen Werten {{mathl|term= m_1 {{kommadots|}} m_k |SZ=}} gegeben sind und man sich fragt, auf wie viele Arten man einen bestimmten Betrag {{math|term= n |SZ=}} begleichen kann. {{ inputfaktbeweis |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Lineare Rekursionen und erzeugende Funktionen}} {{ inputfaktbeweis |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt|Satz|| }} }} 9t3gopbukhb9oqmmc6dv6z4fuj6olw2 106 168628 1079590 1072268 2026-05-18T11:54:05Z Bocardodarapti 2041 1079590 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Ungerichtete Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Es gibt noch weitere Konzepte von Graphen: gerichtete Graphen, mit denen man auch nicht symmetrische Relationen darstellen kann, Graphen mit Schleifen, wo ein Punkt mit sich selbst verbunden werden kann, Graphen mit Mehrfachkanten. Gelegentlich werden wir auch auf diese Konzepte eingehen, im Mittelpunkt stehen aber die ungerichteten, schleifenfreien, einfachen Graphen.}} {{:Ungerichtete Graphen/Typische Interpretationen/Einführung/Textabschnitt}} Wir besprechen die ersten strukturellen Eigenschaften, die ein Graph haben kann. Generell ist zu sagen, dass graphentheoretische Begriffe zumeist recht natürlich, naheliegend und intuitiv zugänglich sind. Es gibt Begriffe für einzelne Graphen und Klassen von Graphen und Begriffe und Invarianten für spezielle Eigenschaften. Man kann die Begriffe meistens direkt anhand von einfachen Graphen überprüfen und sich aneignen, was auch dadurch unterstützt wird, dass man kleine Graphen einfach skizzieren kann, und dabei die Skizzen wirklich die vollständige Information über den Graphen offen legen. Dennoch muss man auch in der Graphentheorie die genauen Definitionen und die gewählten Wörter lernen. Dieser vergleichsweise konkreten Bedeutung der graphentheoretischen Konzepte steht entgegen, dass die Komplexität eines Graphen mit seiner Knoten- und Kantenzahl sehr schnell wächst und dadurch die Theorie dann doch wieder, wie sich das für eine mathematische Theorie gehört, beliebig kompliziert wird, wovon tiefe Sätze wie der Vier-Farben-Satz und unbewiesene Vermutungen zeugen. {{ inputbild |Grafo completo|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Grafo_completo |Text= |Autor= |Benutzer=Skriom |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition|| }} Der vollständige Graph auf einer {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Menge wird mit {{math|term=K_n|SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition|| }} {{ inputbild |Path-graph|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Dalnord, Momotaro |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Pfad/Definition|| }} Statt von einem linearen Graphen spricht man auch von einem {{Stichwort|Pfadgraphen|msw=Pfadgraph|SZ=.}} {{ inputbild |Intercpunetstar|png|200px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Poil~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-ba-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Würfelgraph/Dimension d/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene/Geraden/Schnittverhalten/Graph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Potenzmengengraph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Teilerfremdheitsgraph/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Knotengrad}} {{:Ungerichteter Graph/Grad/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |3-regular graph|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=3-regular_graph |Text=Ein {{math|term=3|SZ=-}}regulärer Graph. |Autor= |Benutzer=0x24a537r9 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Regulär/Definition|| }} }} 1bfyy4dfwvp451vebba4py6jh7ajihr 106 168629 1079589 1073168 2026-05-18T11:53:42Z Bocardodarapti 2041 1079589 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Untergraphen}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} Einen Untergraphen kann man auch durch die beiden Eigenschaften {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | F | \subseteq | E \cap {{op:Potenzmengezwei|W|}} || || || |SZ= }} charakterisieren. Zu einem Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und einer Teilmenge {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} gibt es eine Vielzahl an Untergraphstrukturen, abhängig davon, welche Kanten aus {{math|term= E |SZ=,}} deren beide Endpunkte zu {{math|term= W |SZ=}} gehören, in {{math|term= F |SZ=}} übernommen werden und welche nicht. Jede Teilmenge {{math|term= W |SZ=}} ist mit der leeren Kantenmenge ein Untergraph. Für jeden Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette | (V, \emptyset) |\subseteq| G |\subseteq| (V, {{op:Potenzmengezwei|V|}} ) || || |SZ=. }} Zum Sprachgebrauch der folgenden Definition vergleiche auch {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition |SZ=. }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} Bei einem vollen Untergraphen werden also alle Kanten aus {{math|term= E |SZ=}} übernommen, die Bezug auf die Teilmenge {{math|term= W |SZ=}} nehmen. Statt von einem vollen Untergraphen spricht man auch von einem {{Stichwort|induzierten Untergraphen|msw=Induzierter Untergraph|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Homomorphismen von Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Homomorphismus/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen für Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Äquivalenzrelationen und Quotientengraphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Äquivalenzrelation und Quotientengraph/Textabschnitt|zusatz1=Eine rekursive Argumentation unter Bezug auf Kontraktionsgraphen werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} und in {{ Faktlink |Faktseitenname= Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt |Nr= |SZ= }} verwenden.}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen aus mehreren Graphen}} Es gibt eine Vielzahl an Möglichkeiten, aus zwei Graphen einen neuen Graphen zusammenzusetzen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} Beispielsweise ist das kartesische Produkt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} ein rechteckiger Gittergraph, es gibt dort nur horizontale und vertikale Kanten. {{Zwischenüberschrift|Die Automorphismengruppe eines Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Automorphismengruppe/Einführung/Textabschnitt|}} }} e02l9dva36xrf3fce7c1zypt51svpfv 106 168630 1079588 1075198 2026-05-18T11:53:11Z Bocardodarapti 2041 1079588 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| Schon in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |SZ= }} sind wir einer Situation begegnet, wo eine Kante in einem Graphen eine direkte Verbindung bedeutet, wo aber auch die passende Aneinanderreihung von Kanten eine naheliegende und sinnvolle Interpretation besitzt. {{Zwischenüberschrift|Wege und Zusammenhang}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Zusammenhang/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Weglänge und Abstand}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Numerische Invarianten/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Zyklen und Kreise}} {{:Ungerichteter Graph/Zyklus/Kreis/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kreis/Kein Blatt/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Bäume und Wälder}} {{:Ungerichteter Graph/Bäume und Wälder/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Tetrapod Cladogram|png|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Tetrapod_Cladogram |Text=Ein Kladogramm der Tetrapoden (Landwirbeltiere) |Autor= |Benutzer=Ceballosvg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} }} dkfslw5ll5hnoudxsyhp2jyz8wmrvk4 106 168631 1079587 1072271 2026-05-18T11:52:50Z Bocardodarapti 2041 1079587 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Bäume}} {{ inputbild |4x4 grid spanning tree|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=4x4_grid_spanning_tree |Text= |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Die U-Bahn Osnabrück soll renoviert werden, deshalb müssen einzelne Stre{{drucktrenn}}ckenabschnitte geschlossen werden. Einerseits möchte man möglichst viele Streckenabschnitte gleichzeitig renovieren, andererseits möchte man sicherstellen, dass noch jede Station angefahren wird und dass das Netz zusammenhängend bleibt. In einem engmaschigen Netz wie der Osnabrücker U-Bahn gibt es viele Möglichkeiten, das Netz in der beschriebenen Weise aufzubrechen. Ein solches verbleibendes Restnetz nennt man einen Spannbaum oder aufspannenden Baum. {{:Graph/Aufspannender Baum/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Matroide}} Wie wollen die Gesamtheit aller Wälder und insbesondere aller Bäume in einem Graphen verstehen. Dazu ist ein kombinatorisches Konzept hilfreich, das auch in anderen Kontexten auftritt und eine abstakte Theorie von Unabhängigkeit beschreibt. {{:Matroide/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden im Folgenden zeigen, dass auch die Wälder in einem Graphen ein Matroid bilden. {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Wälder}} {{:Graph/Aufspannender Baum/Matroid/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Multigraphen}} Wir beschreiben eine rekursive Möglichkeit, um die Anzahl der aufspannenden Bäume in einem Graphen zu bestimmen. Dazu ist es für den induktiven Aufbau der Argumentation sinnvoll, mit Multigraphen zu arbeiten. {{:Ungerichteter Multigraph/Schleifenfrei/Einführung/Textabschnitt|}} Die Definition eines Spannbaumes ändert sich für einen Multigraphen nicht. Unter der Kontraktion entlang einer Kante {{math|term= e |SZ=}} verstehen wir im Kontext von Multigraphen denjenigen Graphen, der entsteht, wenn die beiden Endpunkte von {{math|term= e |SZ=}} miteinander identifiziert werden und jede Kante des Ausgangsgraphen im Kontraktionsgraphen übernommen wird, entstehende Schleifen aber weggelassen werden. Insbesondere werden sämtliche Kanten, die mit {{math|term= e |SZ=}} Anfangs- und Endpunkt teilen, ebenfalls kontrahiert. Dabei kann aus einem einfachen Graphen ein Multigraph entstehen. Diese Kontraktion wird wieder mit {{math|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. {{Zwischenüberschrift|Zur Anzahl von aufspannenden Bäumen}} {{ inputbild |Spanning Trees qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Spanning_Trees_qtl1 |Text=Die Spannbäume des vollständigen Graphen {{math|term= K_4 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} Im vorstehenden Lemma ist es durchaus erlaubt, dass der Graph nicht zusammenhängend ist {{ Zusatz/Klammer |text=dann gibt es keine aufspannenden Bäume| |ISZ=|ESZ=, }} oder dass durch die Herausnahme einer Kante der Zusammenhang verloren geht. Das Konzept Multigraph ist für die vorstehende Argumentation unverzichtbar, man denke etwa an einen Rundgang mit drei Knotenpunkten. Dieser hat offenbar drei Spannbäume. Wenn man eine Kante herausnimmt, so erhält man einerseits einen dreipunktigen Pfad und andererseits bei der Kontraktion einen zweipunktigen Graphen, wo aber zwei verbindende Kanten geerbt werden. {{ inputbeispiel |Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel|| }} }} fut7867b5yvu71rfo3tjys0cnaco5mf 106 168632 1079586 1073193 2026-05-18T11:52:28Z Bocardodarapti 2041 1079586 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|Graphen und Matrizen}} {{:Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Einführung/Textabschnitt}} In einem Graphen gibt es zwischen zwei Knotenpunkten {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} im Allgemeinen mehrere {{ Definitionslink |Prämath= |Wege| |Kontext=Graph| |SZ= }} einer vorgegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Länge| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= \ell |SZ=.}} Deren Anzahl kann man mit Hilfe der Potenzen der Adjazenzmatrix berechnen. {{ inputfaktbeweis |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma|| }} Es gibt auch naheliegende Varianten für Adjazenzmatrizen einschließlich der vorstehenden Aussage für gerichtete Graphen und für Multigraphen. {{ inputbeispiel |Kreis/Adjazenzmatrix/Potenzen/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Das charakteristische Polynom zu einem Graphen}} {{:Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Eigenräume/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Laplace-Matrix und Spannbäume}} Für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Multigraphen| |Kontext=| |SZ= }} definieren wir die Adjazenzmatrix und die Gradmatrix entsprechend wie im einfachen Fall. {{:Ungerichteter Graph/Laplace-Matrix/Satz von Kirchhoff/Textabschnitt|}} }} 21lykc1ytye0v8ws4sk0cxekxuu1uh6 106 168633 1079585 1072273 2026-05-18T11:52:02Z Bocardodarapti 2041 1079585 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Bipartite Graphen}} {{:Ungerichteter Graph/Bipartit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Paarungen}} {{ inputbild |Toepfe fcm|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Toepfe_fcm |Text=Die Töpfe und die Deckel in einem Haushalt bildet einen bipartiten Graphen, wobei ein Topf und ein Deckel durch eine Kante verbunden werden, wenn sie zueinander passen. Für das große Kochen muss man jetzt noch eine Paarung vornehmen, so dass möglichst viele Töpfe mit Deckel entstehen. |Autor=Frank C. Müller |Benutzer=Victor Korniyenko |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Austausch/Brieffreundschaft/Fragestellungen/Beispiel|| }} {{:Ungerichteter Graph/Paarungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Paarungen in bipartiten Graphen}} Der folgenden Satz heißt {{Stichwort|Paarungssatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Heiratssatz|SZ=.}} Wir formulieren ihn zuerst als eine numerische Bedingung für die Existenz einer injektiven Abbildung, später folgen graphentheoretische Interpretationen. {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz|| }} {{:Ungerichteter Graph/Bipartit/Paarungen/Einführung/Textabschnitt|}} }} 0bgynxgduh02ohi6wcqkbqe3gd1nhz7 106 168634 1079584 1072274 2026-05-18T11:51:38Z Bocardodarapti 2041 1079584 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Vergleich von Paarungen}} Wir erinnern kurz an die symmetrische Differenz von Mengen, die beispielsweise schon in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auftrat. {{:Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition}} Diese Konstruktion wird im Folgenden auf Paarungen angewendet. {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} Häufig werden alternierende Wege in Zusammenhang mit zusätzlichen Eigenschaften verwendet, wie beispielsweise, dass sie mit einer Nichtpaarungskante oder in einem nicht abgedeckten Punkt beginnen oder enden. Solche Bedingungen werden wir aber stets explizit machen. Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Berge|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungen}} {{ inputbeispiel |Straßen/Städte/Knotenüberdeckung/Beispiel|| }} {{:Graph/Knotenüberdeckung/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Knotenüberdeckungszahl und Paarungszahl}} {{ inputfaktbeweis |Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Koenigs-theorem-graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das Auswahlprinzip im Beweis des Satzes von König. Der einzige durch die Paarung {{ Zusatz/Klammer |text=blau| |ISZ=|ESZ= }} unabgedeckte Punkt von {{math|term=A|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=obere Reihe| |ISZ=|ESZ= }} ist der Punkt rechts oben. Er ist mit dem zweiten Punkt von rechts unten durch eine Kante, die nicht zur Paarung gehört, verbunden. Damit gehört schon mal aufgrund dieses einkantigen alternierenden Weges dieser Punkt zur Knotenüberdeckung und wird rot markiert. Diesen alternierenden Weg kann man fortsetzen, indem man längs der Paarungskante nach oben und dann wieder längs einer {{ Zusatz/Klammer |text=der beiden| |ISZ=|ESZ= }} Nichtpaarungskanten nach unten wandert. Dies ergibt die beiden anderen unten rot markierten Punkte. Eine weitere alternierende Fortsetzung ergibt keine neuen Verbindungen. Aus den verbleibenden Paarungskanten sind die oberen Punkte rot zu markieren. |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von König|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} }} b38ukireqp55dshgwxdjo7ry6udgazk 106 168635 1079571 1075203 2026-05-18T11:43:17Z Bocardodarapti 2041 1079571 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|Hamiltonkreise}} {{:Hamiltonkreise/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Eulersche Graphen}} {{:Eulersche Kantenzüge/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Chuan2|JPG|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=A52ljgh89 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz|| }} }} f74i5uydy7391k2y896ik553o502q3h 106 168643 1079424 1079255 2026-05-17T14:28:47Z Bocardodarapti 2041 1079424 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Alphabete/Verschiedene Mengen/Siebformel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Betrachte den Fall {{math|term= n |SZ=}} ungerade zuerst. Eine andere Beweismöglichkeit besprechen wir in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Wechselsumme/Abwechselnd positiv und negativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untervektorräume/Dimensionsformel/Siebformel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fixpunkt/M nach M/Schnitt von Graph mit der Diagonalen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelles Quadrieren/Fixpunkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Fixpunktanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige reelle Funktion/Überkreuzung/Fixpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Permutation/10/Explizites Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Überschneidungsfreies Pfeildiagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Endliche Menge/Permutation/Alternierend/Definition}} {{ inputaufgabe |Alternierende Permutation/Anzahl/Bis n ist 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfeldrehungen/Drehung um Raumdiagonale und Seitenmittelpunktsachse/Induzierte Permutation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationen/Fixpunktfrei/Berechne/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Permutationen/Mindestens r Fixpunkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Permutation/Genau ein Fixpunkt/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/5/r Fixpunkte/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilmengen/1 bis n/Abstandsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Optimale Passung/Kreis Quadrat Dreieck/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Händchen halten/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Genau r Fixpunkte/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} kutuq31v6h2q3arfyo8hjy40qpi0x83 106 168655 1079583 1073133 2026-05-18T11:51:00Z Bocardodarapti 2041 1079583 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} }} dtc8cp1jr07l5bzo2a8kdvkl8cdne6m 106 168656 1079581 1072804 2026-05-18T11:49:24Z Bocardodarapti 2041 1079581 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Matrixrekursion/Abhängigkeit von Startvektor/Linear/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Fibonacci-Zahlen/Folge/Definition}} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Bruch/Konvergenz und Limes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Binet Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixrekursion/Lineares Differentialgleichungssystem/Vergleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} oi602k9zuw26kxp4mq09aeqqah6p07g 106 168657 1079580 1072279 2026-05-18T11:49:02Z Bocardodarapti 2041 1079580 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} jmhlp3bj00lzyuxgmzto77gwjneuc7y 106 168658 1079579 1072284 2026-05-18T11:48:25Z Bocardodarapti 2041 1079579 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man soll also nur die {{Anführung|Isomorphieklassen}} auflisten, diesen Begriff werden wir das nächste Mal präzisieren. }} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Pferdsprung/Schachbrett/3x3/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Läuferzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Teilerfremdheitsgraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Komplementärgraph. }} {{ inputaufgabe |Pferdsprung/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} n1pzx3f88s95fflj62kxf70a56703ay 106 168659 1079578 1072285 2026-05-18T11:48:02Z Bocardodarapti 2041 1079578 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn/Graphinterpretationen/Graphhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Bilder/Isomorphismus/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schleifen/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/4/Kantengraph/Skizze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/3 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/4 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/5 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Trivial/Minimal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Z mod 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/3/Automorphismengruppe/Geometrisch realisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Starr/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Graph/Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Automorphismengruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Starr/7/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe 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Im ersten Fall entsprechen diese Abbildungen den surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= A \setminus \{n+1\} |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} zusammen mit dem zusätzlichen Wert {{math|term= \varphi(n+1) |SZ=.}} Dies ergibt den ersten Summand. Im zweiten Fall entsprechen diese Abbildungen den surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= A \setminus \{n+1\} |SZ=}} nach {{math|term= B \setminus \{ \varphi(n+1) \} |SZ=,}} wobei es wiederum für den Wert {{math|term= \varphi(n+1) |SZ=}} {{math|term= k |SZ=}} Möglichkeiten gibt. 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Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG EMIB 01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das erste Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, der durch einen Motor ein- oder ausgefahren wird. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. am70pfyx30syfohd38ygyjes9vm40b8 1079457 1079456 2026-05-17T18:55:21Z ChristianSW 15793 /* Fernsteuerung */ 1079457 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG EMIB 01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG EMIB 01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG EMIB 01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das erste Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, der durch einen Motor ein- oder ausgefahren wird. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. pg2qjzismn60bm2zzo0606ycdqmasgf 1079458 1079457 2026-05-17T18:57:51Z ChristianSW 15793 ... 1079458 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG EMIB 01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG EMIB 01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG EMIB 01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, der durch einen Motor ein- oder ausgefahren wird. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. 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Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. 5e86x34uc9i259yp3bbztki6t7k2m22 14 170350 1079401 2026-05-17T14:14:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079401 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 170351 1079402 2026-05-17T14:14:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079402 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Permutationen|Zyklendarstellung ||}} 28x9jhwtclfeloeaoqhnkh4r659zk35 14 170352 1079403 2026-05-17T14:14:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079403 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 14 170353 1079405 2026-05-17T14:15:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079405 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 14 170354 1079408 2026-05-17T14:16:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079408 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 14 170355 1079410 2026-05-17T14:17:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079410 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 14 170356 1079414 2026-05-17T14:20:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079414 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 0 170357 1079425 2026-05-17T14:30:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079425 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge, die ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=| |SZ= }} sind, gleich {{math|term= (n-1)! |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2wrnsqt00bcwv6js82s3xtu89ry3j7g 1079426 1079425 2026-05-17T14:31:36Z Bocardodarapti 2041 1079426 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge, die ein voller {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=| |SZ= }} sind, gleich {{math|term= (n-1)! |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rpkac0ss2m9d8hl7nkudvpntvhxfrok 1079428 1079426 2026-05-17T14:39:18Z Bocardodarapti 2041 1079428 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge, die ein voller {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=| |SZ= }} sind, gleich {{math|term= (n-1)! |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bzmyi49g1u3b9ggi64r43mn9ca4mxod 0 170358 1079427 2026-05-17T14:39:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079427 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \varphi |SZ=}} ein voller Zyklus auf der {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=,}} und sei {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | \varphi(x) | \neq| x || || || |SZ=, }} andernfalls wäre der Zyklus durch {{math|term= x |SZ=}} einelementig. Weiter ist {{ Relationskette/display | \varphi^2(x) | \neq | x, \varphi(x) || || || |SZ=, }} andernfalls wäre der Zyklus durch {{math|term= x |SZ=}} zweielementig. So ist stets für {{ Relationskette | k |<| n || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi^k(x) | \neq | x, \varphi(x), \varphi^2(x) {{kommadots}} \varphi^{k-1}(x) || || || |SZ=, }} da andernfalls der Zyklus durch {{math|term= x |SZ=}} {{math|term= k |SZ=-}}elementig wäre. Somit gibt es für {{mathl|term= \varphi(x) |SZ=}} genau {{math|term= n-1 |SZ=}} mögliche Werte, für {{mathl|term= \varphi^2(x) |SZ=}} gibt es {{mathl|term= n-2 |SZ=}} mögliche Werte, u.s.w., und daher gibt es insgesamt {{ Relationskette/display | (n-1)! || (n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 || || || |SZ= }} volle Zyklen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nbv298bxh7c7lszcq1u379f01n2dvnu 0 170359 1079435 2026-05-17T16:37:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079435 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die Anzahl der {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=,}} die {{math|term= k |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzen, heißt {{ Definitionswort |Stirling-Zahl erster Art| |msw=Stirling-Zahl erster Art |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Permutationszahl| n |k}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stirling-Zahl erster Art |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r73rbento1kd17ey0ztisxm149nw5xm 1079450 1079435 2026-05-17T17:24:25Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Stirling-Zahl/1. Art/Permutation/Definition]] nach [[Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1079435 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die Anzahl der {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=,}} die {{math|term= k |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzen, heißt {{ Definitionswort |Stirling-Zahl erster Art| |msw=Stirling-Zahl erster Art |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Permutationszahl| n |k}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stirling-Zahl erster Art |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r73rbento1kd17ey0ztisxm149nw5xm 10 170360 1079436 2026-05-17T16:37:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079436 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default=s ( { {{{1|}}} } , { {{{2|}}} } ) }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Theorie der Stirling-Zahlen erster Art|Stirling|}}</noinclude> mwvwkvnfr0x11bmuuuu8c04s0tag64d 14 170361 1079437 2026-05-17T16:38:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079437 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 14 170362 1079438 2026-05-17T16:40:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079438 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen|Stirling-Zahl ||}} nqsbye77t7d1jfkphxf8kxi6v1udnsh 14 170363 1079439 2026-05-17T16:40:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079439 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=S|Anf2=t|Anf3=i|Stirling-Zahl erster Art (MSW)}} sivwuz5fzkz3xx75xui5m8u3rq8kb9b 0 170364 1079440 2026-05-17T16:41:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079440 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Permutationen (endlich)|Anf=Pe| |Siehe=Permutation (endlich) |Ziel=/Definition }} jlh9t9uzxw5c0ba191iygz367tpz2t0 0 170365 1079441 2026-05-17T16:46:07Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Stirling-Zahl/1. Art/Permutation/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Stirling-Zahl/1. Art/Permutation/n ist 3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Stirling-Zahl/1. Art/Permutation/n ist 4/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1dx3enrxq765moscf8orgpfn8vpmx5y 1079445 1079441 2026-05-17T16:56:25Z Bocardodarapti 2041 1079445 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Stirling-Zahl/1. Art/Permutation/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 4/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oyfqr68271olqvm47m4ojvik0cea1xx 1079451 1079445 2026-05-17T17:24:49Z Bocardodarapti 2041 1079451 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 4/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 402rxiwt01q18jl18qg8unh7fd7kux9 1079454 1079451 2026-05-17T17:56:10Z Bocardodarapti 2041 1079454 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 4/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gvht07g2xsby1l8jt9vswbl1wjr9nis 14 170366 1079442 2026-05-17T16:46:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079442 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 14 170367 1079443 2026-05-17T16:49:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079443 wikitext text/x-wiki {{Vorlagen-Kategorie unter|Theorie der Stirling-Zahlen erster Art}} gydbuoas8s2hbtvttrpr2jlpq3vm0e4 0 170368 1079446 2026-05-17T17:03:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} erfüllen die Rekursionsbedingungen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette | {{op:Permutationszahl|n|n}} || 1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|0}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|k}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | k | \geq | n+1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n+1|k}} || {{op:Permutationszahl|n|k-1}} + n {{op:Permutationszahl|n|k}} || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b1ojtafou9erwyxhcdp3dsmiz9khdoj 14 170369 1079447 2026-05-17T17:03:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079447 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 0 170370 1079448 2026-05-17T17:23:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079448 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=| |SZ= }} aus {{math|term= n |SZ=}} Zyklen besteht, so muss jeder Zyklus einelementig sein. Das bedeutet, dass jeder Punkt ein Fixpunkt ist und dass es sich um die Identität handeln muss. |Dies ist klar, da es mindestens einen Zyklus geben muss. |Dies ist auch klar, da es höchstens {{math|term= n |SZ=}} Zyklen gibt. |Es sei eine Permutation {{math|term= \pi |SZ=}} auf einer {{math|term= n+1 |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Zyklen gegeben, und sei {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ= }} fixiert. Wenn {{math|term= x |SZ=}} ein Fixpunkt der Permutation ist, so kann man die Permutation mit einer Permutation auf {{math|term= M \setminus \{x\} |SZ=}} mit genau {{math|term= k-1 |SZ=}} Zyklen identifizieren. Dies ergibt den ersten Summanden. Wenn {{math|term= x |SZ=}} kein Fixpunkt der Permutation ist, so gibt es ein {{ Relationskette | y | \in | M \setminus \{x\} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \pi(x) || y || || || |SZ=. }} Dafür gibt es {{math|term= n |SZ=}} Möglichkeiten. Dann entspricht diese Permutation der Permutation auf {{mathl|term= M \setminus \{x\} |SZ=}} mit ebenfalls {{math|term= k |SZ=}} Zyklen, bei der Zyklus durch {{math|term= y |SZ=}} um {{math|term= x |SZ=}} verkürzt wird. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4u53o48fuh2vt6ylz5l3lj7tk47hwc5 14 170371 1079449 2026-05-17T17:23:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079449 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 0 170372 1079452 2026-05-17T17:25:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079452 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Stirling-Zahlen erster Art|Anf=St| |Siehe=Stirling-Zahl erster Art |Ziel=/Definition }} 3f7ko1exhnfu9tq5ga0thoqndtujai4 0 170373 1079453 2026-05-17T17:25:33Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079453 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Stirling-Zahl erster Art|Anf=St| |Siehe= |Ziel=Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition }} inkmf0dlyqcqb4h60oc4hr0q5f63ten 0 170374 1079455 2026-05-17T17:57:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079455 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} erfüllen die Gleichungen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette | \sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Permutationszahl|n|k}} || n! || || || |SZ=. }} | | }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rh8pxieehd0eochy6h7aqirqbq3velk 0 170375 1079461 2026-05-18T06:40:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079461 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Relationen/Isomorph/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} p7d3gkkshfv85nud0ux6xsb2woizy8r 1079465 1079461 2026-05-18T06:48:18Z Bocardodarapti 2041 1079465 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Relationen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Produktabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi \times \psi |M_1 \times N_1 |M_2 \times N_2 || |SZ= }} die Teilmenge {{math|term= R_1 |SZ=}} in die Teilmenge {{math|term= R_2 |SZ=}} überführt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} nymkzyn6qb7owirgkpks24yp7m6u3mn 0 170376 1079462 2026-05-18T06:45:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079462 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R_1 | \subseteq | M_1 \times N_1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} und {{ Relationskette | R_2 | \subseteq | M_2 \times N_2 || || || |SZ= }} eine Relation zwischen {{ mathkor|term1= M_2 |und|term2= N_2 |SZ=. }} Die beiden Relationen heißen {{ Definitionswort |Prämath= |isomorph| |msw=Isomorphe Relationen |SZ=, }} wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi |M_1|M_2 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi |N_1|N_2 || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette | (x,y) | \in | R_1 || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Relationskette | (\varphi(x), \psi(y)) | \in | R_2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Isomorphe Relationen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} s7gureovwno0e9e4zm9zfysfl7mirdv 14 170377 1079464 2026-05-18T06:46:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079464 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=I|Anf2=s|Anf3=o|Isomorphe Relationen auf einer Menge (MSW)}} ju3c0uazzbzryz67bptu19eukmem8le 0 170378 1079467 2026-05-18T07:00:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079467 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=isomorph (Relation Menge)|Anf=Is| |Siehe= |Ziel=Mengen/Relationen/Isomorph/Definition }} axz4extyiejhv1k3gipnsa45ly29894 0 170379 1079470 2026-05-18T07:09:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079470 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi|abb24=\psi}} vorliegt. Die Bedingung {{ Relationskette/display | f_1 || \psi^{-1} \circ f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} kann man auch als {{ Relationskette/display | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} schreiben. Zwei Abbildungen sind genau dann zueinander isomorph, wenn die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} als Relationen zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. Wir wollen für endliche Mengen die Isomorphie von Abbildungen durch numerische Invarianten charakterisieren und führen dazu das Faseranzahltupel ein. {{ inputdefinition |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} Eine Abbildung ist genau dann injektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur die Zahlen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} vorkommen, sie ist genau dann surjektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel alle Zahlen positiv sind, sie ist genau dann konstant, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur eine Zahl ungleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Jedes Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} kommt als Faseranzahltupel zu einer Abbildung von einer {{mathl|term= \sum_{j {{=}} 1}^k r_j |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge vor. {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ryuadno99w5ftmg6ls0dsrqkshzsw3b 1079475 1079470 2026-05-18T07:26:00Z Bocardodarapti 2041 1079475 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi|abb24=\psi}} vorliegt. 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Wir wollen für endliche Mengen die Isomorphie von Abbildungen durch numerische Invarianten charakterisieren und führen dazu das Faseranzahltupel ein. {{ inputdefinition |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} Man betrachtet also die Anzahlen der verschiedenen Fasern {{mathl|term= f^{-1}(y) |SZ=}} zu den Elementen {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} und schreibt diese als Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} auf. Dabei ist {{ Relationskette | k || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=, }} da ja zu jedem Element aus {{math|term= M |SZ=}} eine Faser und damit auch eine Faseranzahl gehört. Ferner ist {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=}} 1}^k r_j || {{op:Anzahl|L|}} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} Jedes Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} kommt als Faseranzahltupel zu einer Abbildung von einer {{mathl|term= \sum_{j {{=}} 1}^k r_j |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge vor. Eine Abbildung ist genau dann injektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur die Zahlen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} vorkommen, sie ist genau dann surjektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel alle Zahlen positiv sind, sie ist genau dann konstant, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur eine Zahl ungleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Verschiedene Abbildungen können das gleiche Faseranzahltupel besitzen, beispielsweise haben alle bijektiven Abbildungen auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge das gleiche Faseranzahltupel. {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 0otr8pdl6eq0z2w8a0j3c69b8pf1s8g 1079479 1079475 2026-05-18T07:41:01Z Bocardodarapti 2041 1079479 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} vorliegt. 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Wir wollen für endliche Mengen die Isomorphie von Abbildungen durch numerische Invarianten charakterisieren und führen dazu das Faseranzahltupel ein. {{ inputdefinition |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} Man betrachtet also die Anzahlen der verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f^{-1}(y) |SZ=}} zu den Elementen {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} und schreibt diese als Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} auf. Dabei ist {{ Relationskette | k || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=, }} da ja zu jedem Element aus {{math|term= M |SZ=}} eine Faser und damit auch eine Faseranzahl gehört. 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Das {{ Definitionswort |Prämath= |Faseranzahltupel| |msw= |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=}} ist das aufsteigend angeordnete Zahlentupel, in dem die Zahlen {{ Math/display|term= {{op:Anzahl| f^{-1} (y)| }} \text{ zu } y \in M |SZ= }} stehen. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Faseranzahltupel |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8iv6ocwpetybuxl9uezors1us2uwibi 14 170383 1079474 2026-05-18T07:18:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079474 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=F|Anf2=a|Anf3=s|Faseranzahltupel (MSW)}} dozk0pnan1w0ho9flndpx3xxieipfv2 0 170384 1079476 2026-05-18T07:29:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079476 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen| |Kontext=| |SZ= }} Mengen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} genau dann zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ=, }} wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ= }} übereinstimmen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Charakterisierung von isomorphen Abbildungen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7t3e4vzwgro79xc6q3mwonrakrf0985 0 170385 1079477 2026-05-18T07:29:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079477 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=isomorph (Abbildung)|Anf=Is| |Siehe= |Ziel=Abbildungen/Isomorph/Definition }} czb1siugp7jc5x40y1pl0hvs7z6i7q2 0 170386 1079478 2026-05-18T07:30:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079478 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Faseranzahltupel|Anf=Fa| |Siehe= |Ziel=Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition }} ljaaj1t7u4fduckh0ynavy1cqfl04h8 0 170387 1079480 2026-05-18T08:08:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079480 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die beiden Abbildungen zueinander isomorph. Das bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} mit bijektiven Abbildungen {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} vorliegt. Wegen {{ Relationskette | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} || {{makl| \psi \circ f_1 |}}^{-1} (w) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}}^{-1} (w) || \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} |}} || {{op:Anzahl| \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} }} || || || |SZ=. }} Wegen der Bijektivität von {{math|term= \psi |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi^{-1}(w) |SZ=}} einelementig. Wegen der Bijektivität von {{math|term= \varphi |SZ=}} bedeutet dies, dass die Faser zu {{math|term= f_1 |SZ=}} über {{math|term= \varphi^{-1} (w) |SZ=}} die gleiche Anzahl besitzt wie die Faser zu {{math|term= f_2 |SZ=}} über {{math|term= w |SZ=.}} Da dies für jedes {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} gilt und jedes {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} gleich dem Urbild zu einem {{ Relationskette | w | \in | M || || || |SZ= }} ist, folgt, dass die Faseranzahltupel übereinstimmen. Es sei nun vorausgesetzt, dass die beiden Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1 |SZ=}} und zu {{math|term= f_2 |SZ=}} übereinstimmen. Dies bedeutet insbesondere, dass ihre Länge und ihre Gesamtsumme übereinstimmt. Daher ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Anzahl|L_1|}} || {{op:Anzahl|L_2|}} || || || |SZ=. }} Wir führen Induktion über {{ Relationskette/display | m || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | m || 1 || || || |SZ= }} sind beide Abbildungen konstant und surjektiv, und man kann für {{math|term= \varphi |SZ=}} eine beliebige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} und für {{math|term= \psi |SZ=}} die einzige Abbildung zwischen den einelementigen Mengen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} nehmen. Es sei nun die Aussage für {{math|term= m |SZ=}} bewiesen und es sei {{ Relationskette | m +1 || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=, }} das gemeinsame Faseranzahltupel sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_m| r_{m+1} |}} |SZ=.}} Wir fixieren ein {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_1^{-1}(y) |SZ=}} aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | r_{m+1} | \geq | 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und ein {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_2^{-1}(w) |SZ=}} ebenfalls aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht. Wir betrachten {{ Relationskette | M_1' || M_1 \setminus \{y\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_2' || M_2 \setminus \{w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_1' || L_1 \setminus f_1^{-1} (y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2' || L_2 \setminus f_2^{-1} (w) || || || |SZ=. }} Die Abbildungen {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} kann man zu Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1' | L_1' | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name=f_2' | L_2' | M_2 || |SZ= }} einschränken. Dabei entstehen die Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1' |SZ=}} bzw. {{mathl|term= f_2' |SZ=}} aus denen zu {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ=, }} indem der letzte Eintrag {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} weggelassen wird. Insbesondere stimmen die Faseranzahltupel zu {{mathl|term= f_1',f_2' |SZ=}} wieder überein und man kann auf diese Situation die Induktionsvoraussetzung anwenden, da {{math|term= M_1' |SZ=}} und {{math|term= M_2' |SZ=}} genau {{math|term= m |SZ=}} Elemente besitzen. Es gibt also nach Induktionsvoraussetzung bijektive Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi' |L_1'|L_2' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi' |M_1'|M_2' || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \psi' \circ f_1' || f_2' \circ \varphi' || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \theta |SZ=}} eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= f_1^{-1} (y) |SZ=}} nach {{mathl|term= f_2^{-1} (w) |SZ=,}} die es gibt, da beide Mengen die Anzahl {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} besitzen. Wir setzen {{math|term= \varphi' |SZ=}} mit Hilfe von {{math|term= \theta |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} fort, und wir setzen {{math|term= \psi' |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} über {{ Relationskette | \psi(y) || w || || || |SZ= }} fort. Dann zeigen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ=, }} dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} isomorph sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} t6xp78yotsqe82a7fgckhwqnziqvukw 0 170388 1079486 2026-05-18T08:23:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079486 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} sind genau dann zueinander {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ=, }} wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellungen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Zyklendarstellung| |SZ= }} haben. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 622thv1bfefk2fws4cefksxzzaiweo9 1079534 1079486 2026-05-18T09:37:06Z Bocardodarapti 2041 1079534 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Zwei {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \sigma, \tau | \in | S_n || || || |SZ= }} sind genau dann zueinander {{ Definitionslink |konjugiert| |Kontext=Gruppenelement| |SZ=, }} wenn ihre {{ Definitionslink |Zyklendarstellungen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Permutation| |SZ= }} haben. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 13kh5jxwwa85phic6pzv0jpwg4syype 0 170389 1079489 2026-05-18T08:27:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079489 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Endliche Permutatio/Zyklendarstellung/Typ/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} nh8tvdp5bcrzw8qrkfggrys5ri47njo 1079527 1079489 2026-05-18T09:22:26Z Bocardodarapti 2041 1079527 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Endliche Permutation/Zyklendarstellung/Typ/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} bvaohxmtsc47n8fsdh64gn84j7wmbuw 14 170390 1079490 2026-05-18T08:27:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079490 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 0 170391 1079493 2026-05-18T08:41:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079493 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | M_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | M_2 | M_2 || |SZ= }} Abbildungen, jeweils von einer Menge in sich selbst. Für den Isomorphiebegriff macht es einen sehr großen Unterschied, ob man wie in der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| Definitionsseitenname=Abbildungen/Isomorph/Definition |SZ= }} vorne und hinten verschiedene bijektiven Abbildungen zulässt oder nicht. Wenn man dies erlaubt, so sind je zwei bijektive Abbildungen {{math|term= f_1,f_2 |SZ=}} auf Mengen mit gleicher Anzahl zueinander isomorph. Man übersieht dann aber völlig solche Phänomene, die für eine Selbstabbildung charakteristisch sind, wie die Existenz von Fixpunkten, Zyklen, Verhalten bei Hintereinanderschaltung, etc. Es ist daher sinnvoll, auch den strengeren Isomorphiebegriff zu betrachten. {{ inputdefinition |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugiert/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} fid1vr51gmr7k37hbuiwv6zjmmr07ca 1079525 1079493 2026-05-18T09:12:39Z Bocardodarapti 2041 1079525 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | M_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | M_2 | M_2 || |SZ= }} Abbildungen, jeweils von einer Menge in sich selbst. 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|Kontext=Permutation| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Fixpunkte| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet und die {{math|term= t_j |SZ=}} die Längen dieser Zyklen bezeichnen, den {{ Definitionswort |Prämath= |Typ| |msw=Typ (Permutation) |SZ= }} der Permutation. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Typ (Permutation) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qgmz9z9izkju4ypxop83h1cc7cmts3s 14 170410 1079530 2026-05-18T09:32:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079530 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=T|Anf2=y|Anf3=p|Typ (Permutation) (MSW)}} 0rig5xaiaw2f81e4ubtjrvsbfnv6l1p 0 170411 1079532 2026-05-18T09:36:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079532 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Zyklendarstellungen (Permutation)|Anf=Zy| 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Abbildung |name= \varphi |M_1| M_2 || |SZ= }} eine bijektive Abbildung. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Abbildungsmenge| M_1 | M_1 }} | {{op:Abbildungsmenge| M_2 | M_2 }} | f | \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} |SZ=, }} ein bijektiver {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungsmonoide| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0v2bs8nu1b2zqxbscswt06ih4oyth3f 0 170415 1079539 2026-05-18T09:51:16Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079539 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt unmittelbar aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= 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1079541 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Abbildungsmonoide|Anf=Ab| |Siehe=Abbildungsmonoid |Ziel=/Definition }} e3mt5c6vl0bslnlp8ndfmd5wfu072y8 0 170418 1079542 2026-05-18T09:53:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079542 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Abbildungsmonoid|Anf=Ab| |Siehe= |Ziel=Abbildungsmenge/Verknüpfungseigenschaften/Beispiel }} ar78rop9qw246e610cp679r2qznivg4 0 170419 1079543 2026-05-18T09:57:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079543 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} Mengen und es sei {{ Abbildung |name= \varphi |M_1| M_2 || |SZ= }} eine bijektive Abbildung. |Voraussetzung= |Übergang= Dann erfüllt die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Abbildungsmenge| M_1 | M_1 }} | {{op:Abbildungsmenge| M_2 | M_2 }} | f | \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} |SZ=, }} folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | \Psi( f \circ g) || \Psi(f) \circ \Psi(g) || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | \Psi {{makl| {{op:Identität|M_1|}} |}} || {{op:Identität|M_2|}} || || || |SZ=. }} |{{math|term= \Psi |SZ=}} ist bijektiv mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= g \mapsto \varphi^{-1} \circ g \circ \varphi |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} myixmc6dtin3f937bme7dzx66if09hk 1079567 1079543 2026-05-18T11:30:52Z Bocardodarapti 2041 1079567 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} Mengen und es sei {{ Abbildung |name= \varphi |M_1| M_2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung. |Voraussetzung= |Übergang= Dann erfüllt die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Abbildungsmenge| M_1 | M_1 }} | {{op:Abbildungsmenge| M_2 | M_2 }} | f | \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} |SZ=, }} folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | \Psi( f \circ g) || \Psi(f) \circ \Psi(g) || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | \Psi {{makl| {{op:Identität|M_1|}} |}} || {{op:Identität|M_2|}} || || || |SZ=. }} |{{math|term= \Psi |SZ=}} ist bijektiv mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= g \mapsto \varphi^{-1} \circ g \circ \varphi |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bu4ui5wf2n1b35mpl6bv9pupp6ufm8m 0 170420 1079546 2026-05-18T10:22:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079546 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} zueinander konjugiert über die Permutation {{math|term= \varphi |SZ=,}} es gelte also {{ Relationskette/display | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || || || |SZ=. }} Aus der Zyklendarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Fixpunkte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \tau || \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k || || || |SZ= }} ergibt sich gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Abbildungsmonoid/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || \varphi^{-1} \circ \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k \circ \varphi || {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_1\circ \varphi |}} \circ {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_2 \circ \varphi |}} {{circdots}} {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_k\circ \varphi |}} || |SZ=. }} Dabei sind die {{mathl|term= \varphi^{-1} \circ \tau_i \circ \varphi |SZ=}} Zyklen der gleichen Länge wie {{math|term= \tau_i |SZ=}} und sie konstituieren die Zyklendarstellung von {{math|term= \sigma |SZ=.}} Es seien nun Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} gegeben, die über den gleichen Typ {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|t_1| \ldots |t_k}} |SZ=}} verfügen. Wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | x_i | \in | M_1 || || || |SZ= }} heraus, und wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \tau_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der gleichen Länge wie {{math|term= \sigma_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \tau |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | y_i | \in | M_2 || || || |SZ= }} heraus. Es besitzt jedes Element {{ Relationskette | x | \in | M_1 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} mit einem {{math|term= i |SZ=}} und einem {{math|term= j |SZ=}} zwischen {{math|term= 1 |SZ=}} und der Länge des Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=.}} Entsprechend besitzt jedes Element {{ Relationskette | y | \in | M_2 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun die bijektive Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi |M_1|M_2 || |SZ=, }} die {{ Relationskette | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ= }} abbildet. Diese ist bijektiv und erfüllt {{ Relationskette/align | {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi |}} (x) || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi (x) |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \tau^j {{makl| y_i |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau^{j+1} {{makl| y_i |}} |}} || \sigma^{j+1} {{makl| x_i |}} || \sigma {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} || \sigma(x) |SZ=, }} sie stiftet also eine Konjugation zwischen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bfk90mxaso3u1oq0fy9wtxdg9mh40fp 0 170422 1079549 2026-05-18T10:35:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079549 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten Situation von Paaren von Abbildungen, wo die Definitionsmenge oder die Wertemenge fixiert ist und wo wir nur bijektive Übergänge in den nichtfixierten Mengen erlauben. {{ inputdefinition |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Konstante Abbildungen/Rechtsisomorph/Nicht linksisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Wertetabellen/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sinus und Kosinus/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} gpqxgnl98c315i4bn7pbqmll2cegvng 1079554 1079549 2026-05-18T10:47:09Z Bocardodarapti 2041 1079554 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten Situation von Paaren von Abbildungen, wo die Definitionsmenge oder die Wertemenge fixiert ist und wo wir nur bijektive Übergänge in den nichtfixierten Mengen erlauben. {{ inputdefinition |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru|L|M_1|M_2|abb12=f_1|abb13=f_2|abb32=\psi }} vorliegt. {{ inputdefinition |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/lo|L_1|M|L_2|abb12=f_1|abb23=f_2|abb13=\varphi \!\!\!}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Konstante Abbildungen/Rechtsisomorph/Nicht linksisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Wertetabellen/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sinus und Kosinus/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} scn70cc7nyr41w8wgyne0xjgb54171x 1079555 1079554 2026-05-18T10:49:39Z Bocardodarapti 2041 1079555 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten Situation von Paaren von Abbildungen, wo die Definitionsmenge oder die Wertemenge fixiert ist und wo wir nur bijektive Übergänge in den nichtfixierten Mengen erlauben. {{ inputdefinition |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru|L|M_1|M_2|abb12=f_1|abb13=f_2|abb23=\psi }} vorliegt. {{ inputdefinition |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/lo|L_1|M|L_2|abb12=f_1|abb32=f_2|abb13=\varphi \!\!\!}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Konstante Abbildungen/Rechtsisomorph/Nicht linksisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Wertetabellen/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sinus und Kosinus/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 3skgwsmpxba9yk54la16rmyc0j7ghmp 0 170423 1079550 2026-05-18T10:39:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079550 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L,M_1,M_2 |SZ=}} Mengen und seien {{ Abbildung |name= f_1 | L | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Wir sagen, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionswort |Prämath= |rechtsisomorph| |msw= |SZ= }} sind, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_2 || \psi \circ f_1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rechtsisomorphe Abbildungen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dq8l6nfqjrxjye9nzqqt329c5l5nvuf 14 170424 1079551 2026-05-18T10:39:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079551 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=R|Anf2=e|Anf3=c|Rechtsisomorph (MSW)}} e5l5k200wq58um1ld7gauvkzezliq5t 0 170425 1079552 2026-05-18T10:41:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079552 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L_1,L_2,M |SZ=}} Mengen und seien {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Wir sagen, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionswort |Prämath= |linksisomorph| |msw= |SZ= }} sind, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Linksisomorphe Abbildungen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} t9si51d5vrn5kqaq19ntnchlxms707i 14 170426 1079553 2026-05-18T10:41:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079553 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=L|Anf2=i|Anf3=n|Linksisomorph (MSW)}} 395idqlcq1680v2bf50jfc8zeos02xf 0 170427 1079556 2026-05-18T10:54:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079556 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Abbildung |name= f_1,f_2 |L|M || |SZ= }} konstante Abbildungen mit unterschiedlichen Werten, sagen wir {{ mathkor|term1= y_1 |bzw.|term2= y_2 |SZ=. }} Dann sind {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} da man {{math|term= y_1 |SZ=}} auf {{math|term= y_2 |SZ=}} abbilden kann und dies zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi |M|M || |SZ= }} fortsetzen kann. Dagegen sind {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |linksisomorph| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8i7vki2q6dtagv0tgsgady9kfjao6c1 0 170428 1079557 2026-05-18T10:55:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079557 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=rechtsisomorph|Anf=Re| |Siehe= |Ziel=Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition }} ca2etqsfnj2zzmz0f3qyir5kuj04kem 0 170429 1079558 2026-05-18T10:55:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079558 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=linksisomorph|Anf=Li| |Siehe= |Ziel=Abbildungen/Links fest/Linksisomorph/Definition }} 0y39ua4v1oqhdubq1k8d8ko6bsi8w0h 1079559 1079558 2026-05-18T10:55:38Z Bocardodarapti 2041 1079559 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=linksisomorph|Anf=Li| |Siehe= |Ziel=Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition }} 90anyfit4lnvqf3vsoe54hot4qx3x7q 0 170430 1079560 2026-05-18T11:12:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079560 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | L || \{u,v,w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M || \{a,b\} || || || |SZ= }} und seien {{ Abbildung |name=f_1,f_2 | L|M || |SZ= }} durch {{Wertetabelle3|text2= {{math|term= f_1 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|a|b}} bzw. {{Wertetabelle3|text2= {{math|term= f_2 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|b|a}} gegeben. Die Transposition auf {{math|term= L |SZ=,}} die {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} vertauscht, zeigt, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linksisomorph| |Kontext=| |SZ= }} sind. Die beiden Abbildungen sind dagegen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} da eine Bijektion {{math|term= \psi |SZ=}} einerseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(u) || f_2(u) || a || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf sich selbst, aber andererseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(v) || a | \neq | b || f_2(v) || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abbilden müsste. |Textart=Beispiel |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ek3yobvewlwiz7c47lvacifuy2b7b1o 1079561 1079560 2026-05-18T11:13:14Z Bocardodarapti 2041 1079561 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | L || \{u,v,w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M || \{a,b\} || || || |SZ= }} und seien {{ Abbildung |name=f_1,f_2 | L|M || |SZ= }} durch {{Wertetabelle3|text2= {{math|term= f_1 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|a|b}} bzw. {{Wertetabelle3|text2= {{math|term= f_2 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|b|a}} gegeben. Die Transposition auf {{math|term= L |SZ=,}} die {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} vertauscht, zeigt, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linksisomorph| |Kontext=| |SZ= }} sind. Die beiden Abbildungen sind dagegen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} da eine Bijektion {{math|term= \psi |SZ=}} einerseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(u) || f_2(u) || a || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf sich selbst, aber andererseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(v) || a | \neq | b || f_2(v) || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abbilden müsste. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 332hn2p9thhqrhitjtxyuedyx23wu7c 0 170431 1079562 2026-05-18T11:19:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079562 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wegen {{ Relationskette/display | {{op:cos|x|}} || {{op:sin(|x + {{op:Bruch| \pi | 2 }} |}} || || || |SZ= }} sind Kosinus und Sinus {{ Definitionslink |Prämath= |linksisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} sie sind aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 20u1e9edgum3li3k266ffc0urkwl73z 0 170432 1079563 2026-05-18T11:25:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079563 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term= L,M_1,M_2 |SZ=}} Mengen und seien {{ Abbildung |name= f_1 | L | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} genau dann zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} wenn die über {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ= }} festgelegten {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= L |SZ=}} übereinstimmen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2s469x1hrws263h3tbyrfc4itkn9hrs 1079565 1079563 2026-05-18T11:28:49Z Bocardodarapti 2041 1079565 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term= L,M_1,M_2 |SZ=}} Mengen und seien {{ Abbildung |name= f_1 | L | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= 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{{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} genau dann zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ= }} sind, wenn die über {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ= }} festgelegten {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= L |SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 41o1d0h1grpn2bgnpepx2wr9cqy9l6p 1079566 1079564 2026-05-18T11:29:09Z Bocardodarapti 2041 1079566 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= L, M_1, M_2 |SZ=}} Mengen und seien {{ Abbildung |name= f_1 | L | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 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