Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 25597 1079786 1050407 2026-05-19T13:33:45Z Bocardodarapti 2041 1079786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Formel {{ Relationskette/display | \cos 3 \alpha || 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha || || || |SZ= }} aus den {{ Faktlink |Präwort=|Additionstheoremen|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} für die trigonometrischen Funktionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8ow4d3qt7w8sfwa5oa98w8yn1p9ntv 0 31918 1079785 839597 2026-05-19T13:31:52Z Bocardodarapti 2041 1079785 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=C| |SZ= }} und die trigonometrischen Reihen {{ Definitionslink |Sinus| |Kontext=C| |SZ= }} und {{ Definitionslink |Kosinus| |Kontext=C| |SZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= besitzen einen unendlichen {{ Definitionslink |Konvergenzradius| |Kontext=C| |SZ=, }} und die {{ Definitionslink |komplexe Exponentialfunktion| |Kontext=| |SZ=, }} die {{ Definitionslink |komplexe Sinusfunktion| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |komplexe Kosinusfunktion| |Kontext=| |SZ= }} sind {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=K| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie2=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Stetigkeit der Exponentialfunktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} euext1ryc32assurlxs4oijyxys26ro 14 32898 1079781 867212 2026-05-19T13:26:39Z Bocardodarapti 2041 1079781 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der reellwertigen Funktionen|Reell |Theorie der Abbildungen auf einer Menge|R}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114715531|WD=Q114715533}} 6ht5d5i1uuv2p776d59vobfbyojna17 0 34605 1079784 1043967 2026-05-19T13:31:12Z Bocardodarapti 2041 1079784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang=Es gilt die Darstellung |Folgerung= {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|\pi|2}} || \prod_{k {{=|}} 1}^ \infty {{op:Bruch|4k^2|4k^2-1}} || {{op:Folgenlimes|n= {{{m|m}}} | Glied=\prod_{k {{=|}} 1}^{ {{{m|m}}} }{{op:Bruch|4k^2|4k^2-1}} |}} || || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Zahl pi |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zahl pi |Faktname=Wallissche Produktdarstellung |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqkjppjn3oiehaibpjnebu5ljhrk00h 0 51184 1079789 848603 2026-05-19T13:35:14Z Bocardodarapti 2041 1079789 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |SZ= }} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des {{ Definitionslink |Kosinus| |Kontext=R| |SZ= }} im Punkt {{math|term= 1|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kp3917ddwibirha9z6qbcstd56cl0kl 0 113002 1079783 1046384 2026-05-19T13:30:00Z Bocardodarapti 2041 1079783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die inversen trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden {{ Definitionslink |Ableitungen| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung4 | {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:arcsin| x |}} |}}' || {{op:Bruch| 1 |\sqrt{1-x^2} }} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:arccos| x |}} |}}' || - {{op:Bruch| 1 |\sqrt{1-x^2} }} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:arctan| x |}} |}}' || {{op:Bruch| 1 | 1+x^2 }} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:arccot| x |}} |}}' || - {{op:Bruch| 1 | 1+x^2 }} || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sf15473foqe3f7mcqq11i6t7d0bfhau 106 114920 1079794 791696 2026-05-19T13:42:08Z Bocardodarapti 2041 1079794 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesungsgestaltung|13| {{ inputbild |Waeller11|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=In ihrer Freizeit tobt Vorli gerne mit dem Nachbarshund Jurek rum. Der arbeitet auch als Vorlesungshund, allerdings bei den Juristen. Vorli stellt sich das unglaublich langweilig vor. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} In dieser Vorlesung besprechen wir Zahlen, die mit der Anzahl von Abbildungen von {{math|term=M|SZ=}} in eine {{math|term=k|SZ=-}}elementige Menge zusammenhängen, und insbesondere die Anzahl von surjektiven Abbildungen. {{Zwischenüberschrift|Die Multinomialkoeffizienten}} {{:Multinomialkoeffizient/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Surjektive Abbildungen}} Im Gegensatz zur Anzahl von injektiven oder bijektiven Abbildung zwischen endlichen Mengen ist die Anzahl von surjektiven Abbildungen nicht so einfach zu bestimmen. Es gibt mehrere Formeln bzw. Ansätze dafür, wobei weder die Beziehung untereinander unmittelbar klar ist noch, welche Formel für Berechnungen besonders geeignet sind. Es besteht aber ein unmittelbarer Zusammenhang mit der Anzahl von Partitionen, auf die wir in der nächsten Vorlesung eingehen. {{:Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Anzahl/Einführung/2/Textabschnitt|}} }} 67fn6dq6dbl3umyslr4h29fimwczh3v 0 118919 1079799 1079363 2026-05-19T13:50:06Z Bocardodarapti 2041 1079799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über {{math|term= k |SZ=}} und bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. Es sei also {{math|term= k |SZ=}} fixiert und sei die Aussage für alle kleineren {{math|term= k |SZ=}} und alle {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu diesen kleineren {{math|term= k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bereits bewiesen. Für {{ Relationskette |n | < | k || || || |SZ= }} ist der Summenausdruck gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und es gibt auch keine surjektive Abbildung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine größere Menge. Bei {{ Relationskette |n || k || || || |SZ= }} ist das einzige Indextupel gleich {{mathl|term= (1 {{kommadots|}} 1) |SZ=}} und der Summenausdruck ist gleich {{math|term= k!|SZ=,}} was mit der Anzahl der surjektiven bzw. bijektiven Abbildungen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} übereinstimmt. Es sei also die Aussage auch für ein {{ Relationskette | n | \geq |k || || || |SZ= }} bewiesen. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der {{ Faktlink |Rekursionsformel |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n+1|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | \, || k \cdot \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |5teil2= +k \cdot \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} {{=|}} n,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } || \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_{k-1} + a_k + 1{{=|}} n+1,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k+1} |7teil2=+ \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} +1 {{=|}} n+1,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } \cdot k^1 ||\sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k \geq 2} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |9teil2= + \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k {{=|}} 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } || \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ay8s9cverzsl2ste4l3cf4gn1hy14nf 0 118975 1079798 1079431 2026-05-19T13:47:37Z Bocardodarapti 2041 1079798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma|| }} Als Alternative zu der oben angegebenen expliziten Formeln kann man mit der folgenden Rekursionsformel für die Anzahl von surjektiven Abbildungen arbeiten. Sie wird auch im Beweis des folgenden Satzes verwendet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a44du3jp8ezag8sgabg1qt71yaurs8d 0 120380 1079871 681492 2026-05-20T09:52:46Z DieHenkels 22627 /* klassisch */ elektrisches Feld ohne Bindestrich 1079871 wikitext text/x-wiki '''Quasi-Verteilungen''' in der Quantenoptik beschreiben Quantenzustände in einem gegebenen Phasenraum. Sie unterscheiden sich von klassischen Phasenraumverteilungen insbesondere aufgrund der zum Teil auftretenden ungewöhnlichen Eigenschaften, wie beispielsweise der Möglichkeit negativer Werte, Beschreibung von Phasenraumflächen statt -punkten aufgrund der Unschärferelation oder auch auftretender Singularitäten. Sie bilden einen semiklassischen Ansatz für die Quantenoptik und werden auch häufig als Quasi-Verteilungen bezeichnet. Prinzipiell gibt es unbeschränkt viele verschiedene dieser Verteilungen, wobei die wichtigsten durch die '''Wigner-''' sowie der '''P-''' und '''Q-Funktion''' (auch jeweils Glauber-Sudarshan P-Funktion und Husimi-Kano Q-Funktion genannt) gegeben sind. Sie werden häufig für die erleichterte Berechnung von Erwartungswerten genutzt.<ref>W. P. Schleich: ''Quantum Optics in Phase Space'', 1st ed, 2001, WILEY-VCH, Berlin, ''pp. 321-324''</ref> == Die Wigner-Funktion == ===klassisch=== Die Wigner-Funktion <math>W(x,p)</math> ist definiert als: :<math>W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}</math> mit der Wellenfunktion <math>\psi(x)</math>, dem Ort <math>x</math> und dem Impuls <math>p</math>. Hierbei können jedoch auch andere konjugierte Variablen gewählt werden (beispielsweise die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes). Einen alternativen Zugang bietet der Dichteoperator <math>\hat{\rho}</math>. Hiermit ist die Wigner-Funktion wie folgt :<math> W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy/\hbar}</math> Eine andere Darstellung der Wigner-Funktion liefert der Verschiebe-Operator <math>\hat{D}(k,s)</math>. :<math> \hat{D}(k, s)=\exp [-\mathrm{i}(k \hat{x}-\hat{p} s) / \hbar] </math> über die Fourier-Transformation seines Erwartungswertes <math> W(x, p)=\int \frac{\mathrm{d} k \mathrm{d} s}{(2 \pi)^2}\langle\hat{D}(k, s)\rangle \operatorname{exp}(i(k x-p s / \hbar)) </math> Es ist üblich, die Phasenraum-Variablen in eine komplexe Koordinate zusammenzufassen, <math>\alpha = (x + i p)/\sqrt{2}</math>. ==== Beispiel für die Wigner-Funktion eines kohärenten Zustandes ==== Der kohärente Zustand <math>| \alpha_0 \rangle</math> is ein in der Quantenoptik üblicher Zustand, in dem ein System (Oszillator, elektromagnetische Feldmode) Eigenschaften ähnlich der klassischen Physik zeigt. Nutzt man nun die Definition der Wigner-Funktion über den Erwartungswert des Verschiebeoperators, kann man die Wigner-Funktion wie folgt aufschreiben: :<math> W(\alpha) = \int \frac{\mathrm{d}^{2} \beta}{\pi^{2}} \exp \left(\beta^{*} \alpha-\beta \alpha^{*}\right) \langle \hat{D}(\beta)\rangle</math> Dann wird die Wigner-Funktion unseres kohärenten Zustands <math>|\alpha_0 \rangle</math> berechnet durch: :<math>\begin{aligned} W(\alpha) &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\alpha \beta^{*}-\alpha^{*} \beta}\langle\alpha_{0}|\hat{D}(\beta)| \alpha_{0}\rangle \\ &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\left(\alpha-\alpha_{0}\right) \beta^{*}-\left(\alpha^{*}-\alpha_{0}^{*}\right) \beta} e^{-\frac{1}{2}|\beta|^{2}} = \frac{2}{\pi} e^{-2\left|\alpha-\alpha_{0}\right|^{2}} \end{aligned}</math> Das Resultat ist also eine Gaußfunktion mit Zentrum um <math>\alpha_0</math>, also strikt positiv, was für einen klassischen Charakter des Zustandes spricht. ====Eigenschaften der Wigner-Funktion==== Hier werden einige nur genannt, wobei andere auch motiviert werden. ''Die Wigner-Funktion ist reell.'' :<math>\begin{aligned} W^{*}(x, p) &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x+y / 2) \psi(x-y / 2) \\ &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x-y / 2) \psi(x+y / 2) \\ &=W(x, p) \end{aligned}</math> Hierbei wurde nach der ersten Zeile <math>y \rightarrow -y</math> substituiert. ''Ortsverteilung.'' Hierfür integrieren wir die Definition der Wigner-Funktion über <math>p</math> und vertauschen, dank des Satzes von Fubini, die Integrationsreihenfolge von <math>y</math> und <math>p</math>. :<math>\int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p)=\int_{-\infty}^{\infty} dy \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y\rangle \frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d p \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)</math> Und identifizieren :<math>\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} dp \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)= \delta (y)</math> Damit ist <math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p) &=\int_{-\infty}^{\infty} dp \langle x+\tfrac{1}{2} p|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} p \rangle \delta(p) \\ &=\langle x | \hat{\rho}|x\rangle \\ &=|W(x)|^2 \\ \end{aligned}</math> ''Impulsverteilung.'' Hierfür integrieren wir, analog zur Ortsverteilung, die Wigner-Funktion über <math>x</math>. :<math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, W(x, p) &=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{-\infty}^{\infty} d y \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p y\right) \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y \rangle \\ &=\frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right) \langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime} \rangle \end{aligned}</math> Wobei <math>x^{\prime \prime}=x+ \tfrac{1}{2}y</math> und <math>x^{\prime }=x- \tfrac{1}{2}y</math>, welche zwei vollständige Basissysteme bilden :<math>\mathbb{1}=\int d x^{\prime}\left|x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime}\right| \quad \text { und } \quad \mathbb{1}=\int d x^{\prime \prime}\left|x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}\right|</math> Betrachten wir nun <math>|W(p)|^2</math> :<math>|W(p)|^2=\langle p|\hat{\rho}|p \rangle= \int dx^{\prime} \int dx^{\prime \prime} \left\langle p | x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} | p\right\rangle</math> Erinnere an die Darstellung einer ebenen Welle mit Impuls <math>p</math> im Ortsraum <math>\langle x^{\prime} | p \rangle</math>: :<math>\langle x^{\prime}| p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left(\frac{i}{\hbar} p x^{\prime}\right)</math> Damit können wir nun erkennen, dass: :<math>|W(p)|^2=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right)\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} d x \, W(x, p)</math> ''Berechnung von Erwartungswerten.'' Erwartungswerte von Operatoren <math>\hat{A}</math> können auch über die Wigner-Funktion bestimmt werden. :<math>\langle \hat{A} \rangle =\int \int dx dp \, W(x,p)\hat{A}(x,p)</math> Dazu ist allerdings für den Operator <math>\hat{A}</math> eine Funktion <math>\hat{A}(x,p)</math> zu konstruieren, die Produkte der nicht vertauschenden Operatoren <math>\hat{x}</math>, <math>\hat{p}</math> in einer bestimmten Reihenfolge sortiert (“symmetrische Ordnung”). ''Bewegungsgleichung der Wigner-Funktion.'' Die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Phasenraum verhält sich klassisch: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}</math> Liegt ein quadratisches Potential mit der Federkonstanten <math>K</math> vor, so gilt: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x} + K x \frac{\partial W(x, p)}{\partial p}</math> Für allgemeinere Potentiale ergeben sich Ableitungen höherer Ordnung nach <math>p</math>, die mit Potenzen von <math>\hbar</math> gewichtet werden. Auf diese Weise kann man Korrekturen zur klassischen Bewegung im semiklassischen Grenzfall diskutieren. ===nicht-klassisch=== == Zustände in der Quantenoptik == === Fock-Zustände === Die Eigenzustände der Hamiltonfunktion der freien Strahlung sind aus Anzahlzustände <math>|n_l\rangle</math> (auch Fock-Zustände genannt) zusammengesetzt. Sie beschreiben die Anzahl der Photonen in einer Mode <math>l</math> und werden durch die Relation :<math>\hat{N}_l|n_l\rangle=n_l|n_l\rangle</math> charakterisiert. Hierbei bezeichnet <math>\hat{N}_l=\hat{a}^\dagger\hat{a}</math> den Teilchenzahloperator, ausgedrückt durch den Erzeugungs- sowie Vernichtungsoperator des harmonischen Oszillators.<noinclude> Der Eigenzustand des Strahlungshamilton ist dann aufgrund der Summe über alle möglichen Moden <math>l</math> das Tensorprodukt aller Modenzustände <math>|n_1,\,n_2,\,...,\,n_l,\,...\rangle=|n_1\rangle\otimes|n_2\rangle\,\otimes\,...\,\otimes\,|n_l\rangle\,\otimes\,...</math></noinclude><ref>G. Gilbert, A. Aspect, C. Fabre: ''Introduction to Quantum Optics'', 1st ed, 2010, Cambridge University Press, New York, pp. 320 f.</ref><br> === Kohärente Zustände === Der zum Vernichtungsoperator <math>\hat{a}</math> zugehörige Eigenzustand ist der kohärente Zustand (auch Glauber-Zustand oder quasi-klassischer Zustand): :<math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math> Da der Vernichtungsoperator nicht hermitesch ist, sind die Eigenwerte <math>\alpha</math> im Allgemeinen komplex. Kohärente Zustände werden häufig in der Basis der Fock-Zustände dargestellt <math>|\alpha\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle</math>, die Koeffizienten <math>c_n</math> ergeben sich aus der Rekursionsbedingung <math>\sqrt{n}\,c_n=\alpha\,c_{n-1}</math>. Nach Normierung erhält ein Glauber-Zustand letztlich die Form: :<math>|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^2}2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> Die Eigenwerte lassen sich als komplexe Zahl in der Form <math>\alpha=\alpha_r+i\,\alpha_i</math> schreiben, Realteil und Imaginärteil bilden damit ein Paar Variablen, mit denen ein kohärenter Zustand vollständig charakterisiert werden kann, sie spannen einen Phasenraum auf, der insbesondere für die P- und Q-Funktion von besonderer Bedeutung sind und den klassischen Phasenraum mit den Variablen Ort <math>x</math> und Impuls <math>p</math> ersetzt. == P-/Q-Funktion == == Momenterzeugende Funktion und Operatorordnung == == Gauß-Zustände und Phasenraumbewegung == === Gaußsche Zustände === Jeder Zustand kann durch die Form seiner Wignerfunktion <math>W(x,p)</math> charakterisiert werden. Ist diese eine Gaußfunktion, liegt ein Gaußscher Zustand vor. Dies ist gleichwertig damit, dass die charakteristische Funktion <math>\chi </math> eine Gaußfunktion ist. Gauß'sche Zustände lassen sich durch ihre mittlere Position im Phasenraum <math>\langle\alpha\rangle</math> und die zugehörige Kovarianzmatrix <math>C</math> beschreiben.<br> Dabei gilt <math>\langle\alpha\rangle=\frac{\langle x + i p \rangle}{\sqrt{2}}</math>. Für die Kovarianzmatrix einer Mode gilt (mit <math>R_1 = x</math> und <math>R_2 = p</math>): :<math> C_{ij} = \frac{1}{2}\langle R_iR_j+R_jR_i\rangle -\langle R_i\rangle\langle R_j\rangle</math>. <math> C </math> ist positiv, also gilt für alle Quadraturen <math>q \cdot R = q_1 x + q_2 p</math>: <math> \Delta\left(q\cdot R\right)^2 \geq 0</math>.<br> Bestimmte Transformationen, die den Gauß-Charakter eines Zustandes beibehalten, nennt man ''Gaußsche Transformationen''. Beispiele hierfür sind Rotation, Verschiebung und ''Squeezing'', welche später erläutert werden. <br> Bei unitären Transformationen, also solche, für die gilt: <math> S^\dagger S = I </math> (mit der Identitätstransformation <math>I</math>), bleibt die Kommutatorrelation von <math>x</math> und <math>p</math> erhalten: :<math> \left[ x' , p' \right] = \left[ S^\dagger x S, S^\dagger p S \right] = S^\dagger\left[ x, p \right] S = i\hbar S^\dagger S =i\hbar</math>. <br> Wie oben bereits beschrieben (siehe 2.1.1), sind kohärente Zustände <math>| \alpha \rangle</math> ein Beispiel für Gaußzustände, da die zugehörige Wignerfunktion eine Gaußfunktion ist. <br> === Verschiebung === Verschiebungen im Phasenraum werden durch den ''Verschiebe-Operator'' <math>\hat{D}</math> beschrieben (im Folgenden werden die Hüte aus Gründen der Einfachheit nicht immer geschrieben, Der Bezeichner <math>D</math> meint aber immer den Verschiebe-Operator). Der Operator ist gegeben durch: :<math>D(\alpha) = \text{exp}(\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})</math>. Dabei sind <math>\hat{a}^\dagger </math> und <math>\hat{a}</math> die Erzeuger- und Vernichteroperatoren und <math>\alpha</math> eine komplexe Zahl. Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Operators gezeigt:<br> * Der Operator ist unitär: <math> D^\dagger(\alpha )=D^{-1}(\alpha )=D(-\alpha ) </math><br> :<math> D^\dagger(\alpha )D(\alpha )= \text{exp}\left( (\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = D(-\alpha)D(\alpha) = \text{exp}\left(\alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger + \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a}\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math>.<br> * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat{a}</math> um <math> \alpha</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat{a}D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a\right]}_{=0} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a \right]}_{=-1} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha</math> :Hier wurde in der dritten Gleichheit die [https://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel Liesche Entwicklungsformel] genutzt, wobei die Terme höherer Kommutatoren verschwinden, da <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1\in\mathbb{C}</math> und somit mit Operatoren kommutiert. * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat a^\dagger</math> um <math> \alpha^*</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a^\dagger \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a^\dagger\right]}_{=1} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a^\dagger \right]}_{=0} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*</math> :Auch hier wurde die Liesche Entwicklungsformel genutzt und die Terme höherer Kommutatoren verschwinden ebenfalls, da der Kommutator <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1\in\mathbb{C}</math> ist.<br> ==== Zusammenhang zu kohärenten Zuständen ==== Mit dem Verschiebe-Operator lassen sich kohärente Zustände <math> |\alpha\rangle</math> aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math> erzeugen. Mit der Definition kohärenter Zustände <math>\hat a|\alpha\rangle=\alpha |\alpha\rangle</math> ergibt sich: :<math> \hat a D(-\alpha) |\alpha\rangle = D(-\alpha) \underbrace{D^\dagger (-\alpha) \hat a D(-\alpha)}_{=(\hat a -\alpha)}|\alpha\rangle = D(-\alpha) \left( \hat a - \alpha \right)|\alpha\rangle=0</math> Es gilt also :<math> \hat a D(-\alpha)|\alpha\rangle = 0 \iff D(-\alpha)|\alpha\rangle = |0\rangle \iff |\alpha\rangle = D(\alpha)|0\rangle </math> === Rotation === Neben dem Verschiebe-Operator <math> D </math>, definiert man den ''Phase Shift Operator'', also den Phasen-Verschiebe-Operator <math>\hat U</math> bzw. <math>U</math>. Er ist gegeben durch: :<math> U(\theta) = \text{exp}\left(-i\theta\hat N \right)</math> mit dem Anzahl-Operator <math> \hat N = \hat a^\dagger \hat a</math>. Auch für diesen Operator lassen sich bestimmte Eigenschaften festmachen: *<math> U </math> ist unitär: :<math> U^\dagger U = \text{exp}\left(i\theta\hat N\right)\text{exp}\left(-i\theta\hat N\right)=\text{exp}\left(i\theta(\hat N-\hat N)\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math> *<math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta) = \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>. Dies folgt aus der Differentialgleichung, die man erhält, wenn man <math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)</math> nach <math>\theta</math> differenziert: :<math> \frac{\text {d}}{\text{d}\theta}\left( U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)\right) = \left( i\hat N U^\dagger\hat a U -i U^\dagger\hat a \hat N U\right) = i U^\dagger \left[\hat N , \hat a\right]U=i U^\dagger \left[\hat a^\dagger \hat a , \hat a\right]U=i U^\dagger \left(\hat a^\dagger \hat a\hat a - \hat a \hat a^\dagger \hat a\right)U = iU^\dagger\left( \hat a^\dagger \hat a- \hat a\hat a^\dagger\right) \hat a U =iU^\dagger\underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a\right]}_{=-1} \hat a U = -i U\hat a U</math>. :Analog erhält man für <math> \hat a^\dagger</math>: *<math> U^\dagger (\theta) \hat a^\dagger U(\theta) = \hat a^\dagger \text{ exp}\left(i\theta\right) </math> Der Operator <math>U(\theta)</math> fügt also der Phase den Wert <math>\theta</math> hinzu. So können zum Beispiel kohärente Zustände im Phasenraum rotiert werden: :<math> \hat a |\tilde \alpha \rangle =\hat aU(\theta)|\alpha\rangle= U(\theta)\underbrace{U^\dagger(\theta)\hat aU(\theta)}_{= \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right)}|\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\hat a |\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\alpha |\alpha\rangle=\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) U(\theta)|\alpha\rangle</math>. Der rotierte Zustand <math>|\tilde \alpha \rangle = U(\theta)|\alpha\rangle</math> ist ein Eigenzustand des Operators <math> \hat a </math> mit Eigenwert <math>\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>und als solcher ebenfalls ein kohärenter Zustand. === Squeezed States === ==== gequetscher Vakuumzustand ==== Im Vakuumzustand sind die Unschärfen der beiden Quadraturen <math>x</math> und <math>p</math> gleich groß: <math>\Delta x = \Delta p</math>. Wenn man nun eine dieser beiden Unschärfen verringert und die andere dafür vergrößert, würde das Produkt immernoch der Unschärferelation genügen. Der Resultierende Zustand ist in einer Variable ''gequetscht'' (engl. ''squeezed''). Deswegen nennt man diese Zustände ''gequetschte Zustände'' oder ''squeezed states''. Man definiert dazu den Quetschoperator (im Nachfolgenden nur ''Squeeze-Operator'' genannt) <math>S(z)</math> wie folgt: :<math>S(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right)</math> Hierbei ist <math>z</math> eine komplexe Zahl und <math>a^\dagger</math> und <math>a</math> die bekannten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren. Für diesen Operator lassen sich wie schon für den Displacement-Operator einige Eigenschaften feststellen: *Der Operator ist unitär: :<math>S^\dagger(z)S(z) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} \right) \text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} +\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(0\right)=I</math> *Weiterhin ist wie schon beim Displacement-Operator <math>S^\dagger(z)=S(-z)</math>: :<math>S^\dagger(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z a^{\dagger 2}-z^* a^2 \right)\right)^\dagger =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(\left(z a^{\dagger 2}\right)^\dagger-\left(z^* a^2 \right)^\dagger\right)\right)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z^* a^{2}-z a^{\dagger2} \right)\right) =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left( (-z) a^{\dagger 2}-(-z)^* a^2 \right)\right)=S(-z)</math> Mit diesem Operator lassen sich Zustände ''squeezen'' und man schreibt <math>|z\rangle=S(z)|0\rangle</math> mit dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math>. Man kann auch schreiben <math> |\xi \rangle = S(\xi)|0\rangle</math> indem man den Faktor <math> \frac{1}{2}</math> im Exponenten von <math> S</math> in den Parameter <math>\xi</math> integriert. Dann lautet <math>S(\xi)=\text{exp}\left(\xi a^{\dagger 2}-\xi^* a^2 \right)</math>. Hier muss aber beachtet werden, dass <math> |z|= 2|\xi| </math>, konkret: <math> z = r e^{i\varphi}</math> und <math>\xi = \frac{r}{2} e^{i\phi} </math>. Man nennt <math>r </math> den ''squeezing Parameter''.<br> Um die Eigenschaften dieser Zustände zu betrachten, muss erst festgestellt werden, wie <math>S</math> auf die Leiteroperatoren wirkt. Hierfür lässt sich <math>S(z)</math> auch ausdrücken als <math>S(z) = e^{A(z)}</math> mit einem neuem Operator <math>A(z) = \frac{1}{2}\left( za^{\dagger 2}-z^*a^2 \right)</math>. *Der Squeeze Operator wirkt auf a wie folgt: :<math>S(z)aS^\dagger(z)=e^{A(z)} a e^{A^\dagger(z)}=e^{A(z)} a e^{-A(z)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m</math> :Es ist also wichtig zu wissen wie <math>A</math> und <math>a</math> kommutieren. :<math>[A,a]=\frac{1}{2}\left(z[a^\dagger a^\dagger,a]-z^* \underbrace{[aa,a]}_{=0}\right)=\frac{z}{2}\left(a^\dagger \underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}+\underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}a^\dagger\right) = -za^\dagger</math>. :Außerdem ist :<math>[A,a^\dagger]=\frac{1}{2}\left( z \underbrace{[a^\dagger a^\dagger,a^\dagger]}_{=0} -z^* [aa,a^\dagger] \right)=-\frac{z^*}{2}\left( a\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}+\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}a \right)= -z^*a </math>. :Es lässt sich erkennen, dass die wiederholte Ausführung des Kommutators dann lautet: :<math> [A,a]_n = \begin{cases}|z|^n a&\text{n gerade} \\ -z|z|^{n-1}a^\dagger&\text{n ungerade}\end{cases}</math> :Damit ergibt sich dann :<math>S(z)aS^\dagger(z) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{|z|^{2k}}{(2k)!} -a^\dagger \frac{z}{|z|}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|z|^{2k+1}}{(2k+1)!} =a \text{cosh}\left(|z|\right)-a^\dagger e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) = \mu a - \nu a^\dagger</math> mit <math> \mu = \text{cosh}\left(|z|\right)</math> und <math> \nu = e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) </math>. *Analog ergibt sich für <math>a^\dagger</math>: :<math> S(z)a^\dagger S^\dagger(z) = \mu a^\dagger -\nu^* a </math> Mit diesem Wissen lassen sich nun die gequetschten Zustände betrachten: *Der transformierte Vernichter-Operator wirkt auf den gequetschten Zustand, wie der Vernichter-Operator auf den Vakuumzustand. :<math> S(z)aS^\dagger(z)|z\rangle = S(z)a\underbrace{S^\dagger(z)S(z)}_{=I}|0\rangle = S(z)\underbrace{a|0\rangle}_{=0} = 0 </math>. *Die mittlere Photonenzahl im gequetschten Zustand ist <math> |\nu|^2</math>: :<math>\langle z| \hat N | z \rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)a^\dagger a S(z)|0\rangle = \langle 0 | \underbrace{S^\dagger(z)a^\dagger S(z)}_{=\mu a-\nu a^\dagger} \underbrace{S^\dagger(z)a S(z)}_{=\mu a^\dagger - \nu^* a}|0\rangle = \langle 0 | \left(\mu a^\dagger - \nu^* a\right) \left( \mu a^\dagger - \nu^* a\right)|0\rangle = \langle 0 | \mu^2 a a^\dagger -\mu\nu^* a a - \nu\mu a^\dagger a^\dagger+\nu^*\nu a a^\dagger|0\rangle = \mu^2\langle 0 | a a^\dagger |0\rangle-\mu\nu^*\langle 0 | a a |0\rangle- \nu\mu\langle 0 | a^\dagger a^\dagger|0\rangle+\nu^*\nu\langle 0 | a a^\dagger|0\rangle = |\nu|^2 \langle0|0\rangle = |\nu|^2 </math>. *Der gequetschte Vakuumzustand ist um den Ursprung zentriert: :<math> \langle z|a|z\rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)aS(z)|0\rangle = \langle 0 | \mu a-\nu a^\dagger |0\rangle = \mu \underbrace{\langle 0|a|0\rangle}_{=0} - \nu \langle 0|\underbrace{a^\dagger|0\rangle}_{=|1\rangle} =-\nu\underbrace{\langle 0 | 1\rangle}_{=0} = 0 </math> ==== gequetschte Kohärente Zustände ==== Wie oben beschrieben, lassen sich die kohärenten Zustände <math> |\alpha\rangle </math> mit Hilfe des Verschiebe-Operators aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle </math> gewinnen. Auf die selbe Art kann nun auch der gequetschte Vakuumzustand verschoben werden, um einen verschobenen und gequetschten Zustand zu gewinnen. Hierbei ist zu beachten, dass der Squeeze-Operator '''nicht''' mit dem Verschiebe-Operator kommutiert! Es ist also: :<math> |z,\alpha\rangle = S(z)D(\alpha)|0\rangle \neq D(\alpha)S(z)|0\rangle = |\alpha, z\rangle \iff [S(z),D(\alpha)]\neq 0</math> === kanonische bzw. symplektische Transformationen === Gaußsche Transformationen (auch kanonisch oder symplektisch genannt) lassen sich mit der ''symplektischen Form'' formulieren. Die symplektische Form zweier Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> ist gegeben durch :<math>\vec{x}\wedge\vec{y}=x_1y_2-x_2y_1</math> und entspricht der von den beiden Vektoren aufgespannten Fläche. <br> Eine unitäre Transformation <math> S </math> heißt nun ''symplektisch'', wenn sie zwei Eigenschaften erfüllt: *<math>S^\dagger Q_i S = \sum_{j}M_{ij}Q_j </math> bzw. <math>S^\dagger\vec{Q}S=\mathbf{M}\vec{Q}</math> (linear mit Darstellung durch Matrix <math> \mathbf M</math>) *<math> (\mathbf M \vec x)\wedge(\mathbf M\vec y)=\vec x\wedge \vec y</math> (die symplektische Form ist erhalten) Nun ist interessant zu betrachten, was mit der Wignerfunktion unter einer solchen Transformation geschieht. Die charakteristische Wignerfunktion lautet: :<math>\chi(\vec x) = \langle D(z)\rangle </math> und transformiert zu :<math> \chi'(\vec x) = \langle S^\dagger D(z) S \rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( za^\dagger - z^*a \right)S\rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \vec Q \right)S\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge S^\dagger \vec Q S\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \mathbf M\vec Q\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\mathbf M^{-1}\vec x \wedge \vec Q\right)\rangle = \chi(\mathbf M^{-1}\vec x) </math>. Hier wird also nur zuerst die Inverse der Matrix <math> \mathbf M</math> auf <math> \vec x </math> angewandt und dann die ursprüngliche Funktion ausgewertet. Hierbei wurde der Term <math> za^\dagger - z^* a</math> zu <math> -i\vec x \wedge \vec Q</math> umgeschrieben, was man mit <math> z = \frac{x+iy}{\sqrt{2}}</math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt{2}}</math> ergibt wenn man die Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math> \vec Q = (\alpha_x, \alpha_p)</math> einführt. Man beachte, dass dieser Term eine reine Phase darstellt und keinen Realteil besitzt. Nun setzen wir die transformierte charakteristische Funktion in die Formel für die Wigner-Funktion ein. Die resultierende Wigner Funktion ist dann: :<math> W'(\vec q) = \int\frac{\text{d}^2 x}{\pi^2}e^{i\vec x\wedge\vec q}\chi(\mathbf M^{-1}\vec x) \overset{\vec x = \mathbf M \vec x'}{=} \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf M\vec x'\wedge\vec q}\chi(\vec x') = \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf \vec x'\wedge\mathbf M^{-1}\vec q}\chi(\vec x') = W(\mathbf M^{-1}\vec q) </math>. Auch hier sieht man wieder, dass die transformierte Funktion einfach nur die ursprüngliche Funktion ist, aber erst nach der inversen Transformation ausgewertet wird. Die Substitution im zweiten Schritt beruht darauf, dass <math> \text{det}(\mathbf M)=1</math> ist. Die oben genannten Transformationen ''Translation'', ''Rotation'' und ''Squeezing'' sind Beispiele für solche symplektischen Transformationen. Setzt man als entsprechende Transformation beispielsweise die Verschiebung ein, erhält man die Wignerfunktion des verschobenen Zustandes: :Nutze also als Transformation den Verschiebe Operator: :<math> \chi'(z) = \langle S^\dagger D(z) S(z)\rangle = \langle \text{exp}\left( z S^\dagger a^\dagger S - z^* S^\dagger a S \right)\rangle \overset{\text{setze } S = D)}{=} \langle \text{exp}\left( z (a^\dagger + \alpha^*) - z^* (a+\alpha) \right)\rangle = \langle \text{exp}\left( z a^\dagger - z^* a \right) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) \rangle = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) </math> :Jetzt Formulieren wir das Argument der Exponentialfunktion entsprechend um: :Wir nutzen <math> z=\frac{x+iy}{\sqrt 2} </math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt 2} </math>. Das ergibt beim Einsetzen: :<math>2( z\alpha^* - z^*\alpha ) = (x+iy)(\alpha_x-i\alpha_p)-(x-iy)(\alpha_x+i\alpha_p) = x\alpha_x +y\alpha_p-ix\alpha_p +iy\alpha_x -(y\alpha_x+ix\alpha_p-iy\alpha_x+y\alpha_p) = 2i(\alpha_xy-x\alpha_p) \Rightarrow z\alpha^* - z^*\alpha = i(\alpha_xy-x\alpha_p) </math> :Und mit den Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math>\vec\alpha=(\alpha_x,\alpha_p)</math> identifizieren wir <math> \alpha_xy-x\alpha_p = -\vec x\wedge\vec\alpha </math>, sodass wir die transformierte charakteristische Funktion schreiben können als: :<math>\chi'(z) = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) = \chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) </math>. Betrachten wir nun die transformierte Wigner Funktion, die sich aus dieser charakteristischen Funktion ergibt: :<math> W(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( qz^*-q^*z \right)\chi(z)= \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \Rightarrow W'(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi'(z) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge(\vec q-\vec \alpha) \right)\chi(z) = W(\vec q - \vec \alpha)</math>. Man sieht also, dass die Transformation mit dem Verschiebe Operator die Wigner Funktion tatsächlich nur verschoben hat, nicht aber ihre Gestalt verändert. <hr /> <references /> jb8e8utdb5diwzq98v13pe1fazz7pd1 1079874 1079871 2026-05-20T10:00:46Z DieHenkels 22627 /* Verschiebung */ nach Komma klein weiterschreiben / "Bezeichner" vermeiden 1079874 wikitext text/x-wiki '''Quasi-Verteilungen''' in der Quantenoptik beschreiben Quantenzustände in einem gegebenen Phasenraum. Sie unterscheiden sich von klassischen Phasenraumverteilungen insbesondere aufgrund der zum Teil auftretenden ungewöhnlichen Eigenschaften, wie beispielsweise der Möglichkeit negativer Werte, Beschreibung von Phasenraumflächen statt -punkten aufgrund der Unschärferelation oder auch auftretender Singularitäten. Sie bilden einen semiklassischen Ansatz für die Quantenoptik und werden auch häufig als Quasi-Verteilungen bezeichnet. Prinzipiell gibt es unbeschränkt viele verschiedene dieser Verteilungen, wobei die wichtigsten durch die '''Wigner-''' sowie der '''P-''' und '''Q-Funktion''' (auch jeweils Glauber-Sudarshan P-Funktion und Husimi-Kano Q-Funktion genannt) gegeben sind. Sie werden häufig für die erleichterte Berechnung von Erwartungswerten genutzt.<ref>W. P. Schleich: ''Quantum Optics in Phase Space'', 1st ed, 2001, WILEY-VCH, Berlin, ''pp. 321-324''</ref> == Die Wigner-Funktion == ===klassisch=== Die Wigner-Funktion <math>W(x,p)</math> ist definiert als: :<math>W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}</math> mit der Wellenfunktion <math>\psi(x)</math>, dem Ort <math>x</math> und dem Impuls <math>p</math>. Hierbei können jedoch auch andere konjugierte Variablen gewählt werden (beispielsweise die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes). Einen alternativen Zugang bietet der Dichteoperator <math>\hat{\rho}</math>. Hiermit ist die Wigner-Funktion wie folgt :<math> W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy/\hbar}</math> Eine andere Darstellung der Wigner-Funktion liefert der Verschiebe-Operator <math>\hat{D}(k,s)</math>. :<math> \hat{D}(k, s)=\exp [-\mathrm{i}(k \hat{x}-\hat{p} s) / \hbar] </math> über die Fourier-Transformation seines Erwartungswertes <math> W(x, p)=\int \frac{\mathrm{d} k \mathrm{d} s}{(2 \pi)^2}\langle\hat{D}(k, s)\rangle \operatorname{exp}(i(k x-p s / \hbar)) </math> Es ist üblich, die Phasenraum-Variablen in eine komplexe Koordinate zusammenzufassen, <math>\alpha = (x + i p)/\sqrt{2}</math>. ==== Beispiel für die Wigner-Funktion eines kohärenten Zustandes ==== Der kohärente Zustand <math>| \alpha_0 \rangle</math> is ein in der Quantenoptik üblicher Zustand, in dem ein System (Oszillator, elektromagnetische Feldmode) Eigenschaften ähnlich der klassischen Physik zeigt. Nutzt man nun die Definition der Wigner-Funktion über den Erwartungswert des Verschiebeoperators, kann man die Wigner-Funktion wie folgt aufschreiben: :<math> W(\alpha) = \int \frac{\mathrm{d}^{2} \beta}{\pi^{2}} \exp \left(\beta^{*} \alpha-\beta \alpha^{*}\right) \langle \hat{D}(\beta)\rangle</math> Dann wird die Wigner-Funktion unseres kohärenten Zustands <math>|\alpha_0 \rangle</math> berechnet durch: :<math>\begin{aligned} W(\alpha) &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\alpha \beta^{*}-\alpha^{*} \beta}\langle\alpha_{0}|\hat{D}(\beta)| \alpha_{0}\rangle \\ &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\left(\alpha-\alpha_{0}\right) \beta^{*}-\left(\alpha^{*}-\alpha_{0}^{*}\right) \beta} e^{-\frac{1}{2}|\beta|^{2}} = \frac{2}{\pi} e^{-2\left|\alpha-\alpha_{0}\right|^{2}} \end{aligned}</math> Das Resultat ist also eine Gaußfunktion mit Zentrum um <math>\alpha_0</math>, also strikt positiv, was für einen klassischen Charakter des Zustandes spricht. ====Eigenschaften der Wigner-Funktion==== Hier werden einige nur genannt, wobei andere auch motiviert werden. ''Die Wigner-Funktion ist reell.'' :<math>\begin{aligned} W^{*}(x, p) &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x+y / 2) \psi(x-y / 2) \\ &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x-y / 2) \psi(x+y / 2) \\ &=W(x, p) \end{aligned}</math> Hierbei wurde nach der ersten Zeile <math>y \rightarrow -y</math> substituiert. ''Ortsverteilung.'' Hierfür integrieren wir die Definition der Wigner-Funktion über <math>p</math> und vertauschen, dank des Satzes von Fubini, die Integrationsreihenfolge von <math>y</math> und <math>p</math>. :<math>\int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p)=\int_{-\infty}^{\infty} dy \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y\rangle \frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d p \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)</math> Und identifizieren :<math>\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} dp \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)= \delta (y)</math> Damit ist <math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p) &=\int_{-\infty}^{\infty} dp \langle x+\tfrac{1}{2} p|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} p \rangle \delta(p) \\ &=\langle x | \hat{\rho}|x\rangle \\ &=|W(x)|^2 \\ \end{aligned}</math> ''Impulsverteilung.'' Hierfür integrieren wir, analog zur Ortsverteilung, die Wigner-Funktion über <math>x</math>. :<math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, W(x, p) &=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{-\infty}^{\infty} d y \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p y\right) \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y \rangle \\ &=\frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right) \langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime} \rangle \end{aligned}</math> Wobei <math>x^{\prime \prime}=x+ \tfrac{1}{2}y</math> und <math>x^{\prime }=x- \tfrac{1}{2}y</math>, welche zwei vollständige Basissysteme bilden :<math>\mathbb{1}=\int d x^{\prime}\left|x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime}\right| \quad \text { und } \quad \mathbb{1}=\int d x^{\prime \prime}\left|x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}\right|</math> Betrachten wir nun <math>|W(p)|^2</math> :<math>|W(p)|^2=\langle p|\hat{\rho}|p \rangle= \int dx^{\prime} \int dx^{\prime \prime} \left\langle p | x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} | p\right\rangle</math> Erinnere an die Darstellung einer ebenen Welle mit Impuls <math>p</math> im Ortsraum <math>\langle x^{\prime} | p \rangle</math>: :<math>\langle x^{\prime}| p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left(\frac{i}{\hbar} p x^{\prime}\right)</math> Damit können wir nun erkennen, dass: :<math>|W(p)|^2=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right)\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} d x \, W(x, p)</math> ''Berechnung von Erwartungswerten.'' Erwartungswerte von Operatoren <math>\hat{A}</math> können auch über die Wigner-Funktion bestimmt werden. :<math>\langle \hat{A} \rangle =\int \int dx dp \, W(x,p)\hat{A}(x,p)</math> Dazu ist allerdings für den Operator <math>\hat{A}</math> eine Funktion <math>\hat{A}(x,p)</math> zu konstruieren, die Produkte der nicht vertauschenden Operatoren <math>\hat{x}</math>, <math>\hat{p}</math> in einer bestimmten Reihenfolge sortiert (“symmetrische Ordnung”). ''Bewegungsgleichung der Wigner-Funktion.'' Die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Phasenraum verhält sich klassisch: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}</math> Liegt ein quadratisches Potential mit der Federkonstanten <math>K</math> vor, so gilt: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x} + K x \frac{\partial W(x, p)}{\partial p}</math> Für allgemeinere Potentiale ergeben sich Ableitungen höherer Ordnung nach <math>p</math>, die mit Potenzen von <math>\hbar</math> gewichtet werden. Auf diese Weise kann man Korrekturen zur klassischen Bewegung im semiklassischen Grenzfall diskutieren. ===nicht-klassisch=== == Zustände in der Quantenoptik == === Fock-Zustände === Die Eigenzustände der Hamiltonfunktion der freien Strahlung sind aus Anzahlzustände <math>|n_l\rangle</math> (auch Fock-Zustände genannt) zusammengesetzt. Sie beschreiben die Anzahl der Photonen in einer Mode <math>l</math> und werden durch die Relation :<math>\hat{N}_l|n_l\rangle=n_l|n_l\rangle</math> charakterisiert. Hierbei bezeichnet <math>\hat{N}_l=\hat{a}^\dagger\hat{a}</math> den Teilchenzahloperator, ausgedrückt durch den Erzeugungs- sowie Vernichtungsoperator des harmonischen Oszillators.<noinclude> Der Eigenzustand des Strahlungshamilton ist dann aufgrund der Summe über alle möglichen Moden <math>l</math> das Tensorprodukt aller Modenzustände <math>|n_1,\,n_2,\,...,\,n_l,\,...\rangle=|n_1\rangle\otimes|n_2\rangle\,\otimes\,...\,\otimes\,|n_l\rangle\,\otimes\,...</math></noinclude><ref>G. Gilbert, A. Aspect, C. Fabre: ''Introduction to Quantum Optics'', 1st ed, 2010, Cambridge University Press, New York, pp. 320 f.</ref><br> === Kohärente Zustände === Der zum Vernichtungsoperator <math>\hat{a}</math> zugehörige Eigenzustand ist der kohärente Zustand (auch Glauber-Zustand oder quasi-klassischer Zustand): :<math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math> Da der Vernichtungsoperator nicht hermitesch ist, sind die Eigenwerte <math>\alpha</math> im Allgemeinen komplex. Kohärente Zustände werden häufig in der Basis der Fock-Zustände dargestellt <math>|\alpha\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle</math>, die Koeffizienten <math>c_n</math> ergeben sich aus der Rekursionsbedingung <math>\sqrt{n}\,c_n=\alpha\,c_{n-1}</math>. Nach Normierung erhält ein Glauber-Zustand letztlich die Form: :<math>|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^2}2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> Die Eigenwerte lassen sich als komplexe Zahl in der Form <math>\alpha=\alpha_r+i\,\alpha_i</math> schreiben, Realteil und Imaginärteil bilden damit ein Paar Variablen, mit denen ein kohärenter Zustand vollständig charakterisiert werden kann, sie spannen einen Phasenraum auf, der insbesondere für die P- und Q-Funktion von besonderer Bedeutung sind und den klassischen Phasenraum mit den Variablen Ort <math>x</math> und Impuls <math>p</math> ersetzt. == P-/Q-Funktion == == Momenterzeugende Funktion und Operatorordnung == == Gauß-Zustände und Phasenraumbewegung == === Gaußsche Zustände === Jeder Zustand kann durch die Form seiner Wignerfunktion <math>W(x,p)</math> charakterisiert werden. Ist diese eine Gaußfunktion, liegt ein Gaußscher Zustand vor. Dies ist gleichwertig damit, dass die charakteristische Funktion <math>\chi </math> eine Gaußfunktion ist. Gauß'sche Zustände lassen sich durch ihre mittlere Position im Phasenraum <math>\langle\alpha\rangle</math> und die zugehörige Kovarianzmatrix <math>C</math> beschreiben.<br> Dabei gilt <math>\langle\alpha\rangle=\frac{\langle x + i p \rangle}{\sqrt{2}}</math>. Für die Kovarianzmatrix einer Mode gilt (mit <math>R_1 = x</math> und <math>R_2 = p</math>): :<math> C_{ij} = \frac{1}{2}\langle R_iR_j+R_jR_i\rangle -\langle R_i\rangle\langle R_j\rangle</math>. <math> C </math> ist positiv, also gilt für alle Quadraturen <math>q \cdot R = q_1 x + q_2 p</math>: <math> \Delta\left(q\cdot R\right)^2 \geq 0</math>.<br> Bestimmte Transformationen, die den Gauß-Charakter eines Zustandes beibehalten, nennt man ''Gaußsche Transformationen''. Beispiele hierfür sind Rotation, Verschiebung und ''Squeezing'', welche später erläutert werden. <br> Bei unitären Transformationen, also solche, für die gilt: <math> S^\dagger S = I </math> (mit der Identitätstransformation <math>I</math>), bleibt die Kommutatorrelation von <math>x</math> und <math>p</math> erhalten: :<math> \left[ x' , p' \right] = \left[ S^\dagger x S, S^\dagger p S \right] = S^\dagger\left[ x, p \right] S = i\hbar S^\dagger S =i\hbar</math>. <br> Wie oben bereits beschrieben (siehe 2.1.1), sind kohärente Zustände <math>| \alpha \rangle</math> ein Beispiel für Gaußzustände, da die zugehörige Wignerfunktion eine Gaußfunktion ist. <br> === Verschiebung === Verschiebungen im Phasenraum werden durch den ''Verschiebe-Operator'' <math>\hat{D}</math> beschrieben (im Folgenden werden die Hüte aus Gründen der Einfachheit nicht immer geschrieben, die Notation <math>D</math> meint aber immer den Verschiebe-Operator). Der Operator ist gegeben durch: :<math>D(\alpha) = \text{exp}(\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})</math>. Dabei sind <math>\hat{a}^\dagger </math> und <math>\hat{a}</math> die Erzeuger- und Vernichteroperatoren und <math>\alpha</math> eine komplexe Zahl. Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Operators gezeigt:<br> * Der Operator ist unitär: <math> D^\dagger(\alpha )=D^{-1}(\alpha )=D(-\alpha ) </math><br> :<math> D^\dagger(\alpha )D(\alpha )= \text{exp}\left( (\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = D(-\alpha)D(\alpha) = \text{exp}\left(\alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger + \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a}\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math>.<br> * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat{a}</math> um <math> \alpha</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat{a}D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a\right]}_{=0} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a \right]}_{=-1} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha</math> :Hier wurde in der dritten Gleichheit die [https://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel Liesche Entwicklungsformel] genutzt, wobei die Terme höherer Kommutatoren verschwinden, da <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1\in\mathbb{C}</math> und somit mit Operatoren kommutiert. * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat a^\dagger</math> um <math> \alpha^*</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a^\dagger \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a^\dagger\right]}_{=1} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a^\dagger \right]}_{=0} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*</math> :Auch hier wurde die Liesche Entwicklungsformel genutzt und die Terme höherer Kommutatoren verschwinden ebenfalls, da der Kommutator <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1\in\mathbb{C}</math> ist.<br> ==== Zusammenhang zu kohärenten Zuständen ==== Mit dem Verschiebe-Operator lassen sich kohärente Zustände <math> |\alpha\rangle</math> aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math> erzeugen. Mit der Definition kohärenter Zustände <math>\hat a|\alpha\rangle=\alpha |\alpha\rangle</math> ergibt sich: :<math> \hat a D(-\alpha) |\alpha\rangle = D(-\alpha) \underbrace{D^\dagger (-\alpha) \hat a D(-\alpha)}_{=(\hat a -\alpha)}|\alpha\rangle = D(-\alpha) \left( \hat a - \alpha \right)|\alpha\rangle=0</math> Es gilt also :<math> \hat a D(-\alpha)|\alpha\rangle = 0 \iff D(-\alpha)|\alpha\rangle = |0\rangle \iff |\alpha\rangle = D(\alpha)|0\rangle </math> === Rotation === Neben dem Verschiebe-Operator <math> D </math>, definiert man den ''Phase Shift Operator'', also den Phasen-Verschiebe-Operator <math>\hat U</math> bzw. <math>U</math>. Er ist gegeben durch: :<math> U(\theta) = \text{exp}\left(-i\theta\hat N \right)</math> mit dem Anzahl-Operator <math> \hat N = \hat a^\dagger \hat a</math>. Auch für diesen Operator lassen sich bestimmte Eigenschaften festmachen: *<math> U </math> ist unitär: :<math> U^\dagger U = \text{exp}\left(i\theta\hat N\right)\text{exp}\left(-i\theta\hat N\right)=\text{exp}\left(i\theta(\hat N-\hat N)\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math> *<math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta) = \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>. Dies folgt aus der Differentialgleichung, die man erhält, wenn man <math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)</math> nach <math>\theta</math> differenziert: :<math> \frac{\text {d}}{\text{d}\theta}\left( U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)\right) = \left( i\hat N U^\dagger\hat a U -i U^\dagger\hat a \hat N U\right) = i U^\dagger \left[\hat N , \hat a\right]U=i U^\dagger \left[\hat a^\dagger \hat a , \hat a\right]U=i U^\dagger \left(\hat a^\dagger \hat a\hat a - \hat a \hat a^\dagger \hat a\right)U = iU^\dagger\left( \hat a^\dagger \hat a- \hat a\hat a^\dagger\right) \hat a U =iU^\dagger\underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a\right]}_{=-1} \hat a U = -i U\hat a U</math>. :Analog erhält man für <math> \hat a^\dagger</math>: *<math> U^\dagger (\theta) \hat a^\dagger U(\theta) = \hat a^\dagger \text{ exp}\left(i\theta\right) </math> Der Operator <math>U(\theta)</math> fügt also der Phase den Wert <math>\theta</math> hinzu. So können zum Beispiel kohärente Zustände im Phasenraum rotiert werden: :<math> \hat a |\tilde \alpha \rangle =\hat aU(\theta)|\alpha\rangle= U(\theta)\underbrace{U^\dagger(\theta)\hat aU(\theta)}_{= \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right)}|\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\hat a |\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\alpha |\alpha\rangle=\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) U(\theta)|\alpha\rangle</math>. Der rotierte Zustand <math>|\tilde \alpha \rangle = U(\theta)|\alpha\rangle</math> ist ein Eigenzustand des Operators <math> \hat a </math> mit Eigenwert <math>\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>und als solcher ebenfalls ein kohärenter Zustand. === Squeezed States === ==== gequetscher Vakuumzustand ==== Im Vakuumzustand sind die Unschärfen der beiden Quadraturen <math>x</math> und <math>p</math> gleich groß: <math>\Delta x = \Delta p</math>. Wenn man nun eine dieser beiden Unschärfen verringert und die andere dafür vergrößert, würde das Produkt immernoch der Unschärferelation genügen. Der Resultierende Zustand ist in einer Variable ''gequetscht'' (engl. ''squeezed''). Deswegen nennt man diese Zustände ''gequetschte Zustände'' oder ''squeezed states''. Man definiert dazu den Quetschoperator (im Nachfolgenden nur ''Squeeze-Operator'' genannt) <math>S(z)</math> wie folgt: :<math>S(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right)</math> Hierbei ist <math>z</math> eine komplexe Zahl und <math>a^\dagger</math> und <math>a</math> die bekannten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren. Für diesen Operator lassen sich wie schon für den Displacement-Operator einige Eigenschaften feststellen: *Der Operator ist unitär: :<math>S^\dagger(z)S(z) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} \right) \text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} +\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(0\right)=I</math> *Weiterhin ist wie schon beim Displacement-Operator <math>S^\dagger(z)=S(-z)</math>: :<math>S^\dagger(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z a^{\dagger 2}-z^* a^2 \right)\right)^\dagger =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(\left(z a^{\dagger 2}\right)^\dagger-\left(z^* a^2 \right)^\dagger\right)\right)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z^* a^{2}-z a^{\dagger2} \right)\right) =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left( (-z) a^{\dagger 2}-(-z)^* a^2 \right)\right)=S(-z)</math> Mit diesem Operator lassen sich Zustände ''squeezen'' und man schreibt <math>|z\rangle=S(z)|0\rangle</math> mit dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math>. Man kann auch schreiben <math> |\xi \rangle = S(\xi)|0\rangle</math> indem man den Faktor <math> \frac{1}{2}</math> im Exponenten von <math> S</math> in den Parameter <math>\xi</math> integriert. Dann lautet <math>S(\xi)=\text{exp}\left(\xi a^{\dagger 2}-\xi^* a^2 \right)</math>. Hier muss aber beachtet werden, dass <math> |z|= 2|\xi| </math>, konkret: <math> z = r e^{i\varphi}</math> und <math>\xi = \frac{r}{2} e^{i\phi} </math>. Man nennt <math>r </math> den ''squeezing Parameter''.<br> Um die Eigenschaften dieser Zustände zu betrachten, muss erst festgestellt werden, wie <math>S</math> auf die Leiteroperatoren wirkt. Hierfür lässt sich <math>S(z)</math> auch ausdrücken als <math>S(z) = e^{A(z)}</math> mit einem neuem Operator <math>A(z) = \frac{1}{2}\left( za^{\dagger 2}-z^*a^2 \right)</math>. *Der Squeeze Operator wirkt auf a wie folgt: :<math>S(z)aS^\dagger(z)=e^{A(z)} a e^{A^\dagger(z)}=e^{A(z)} a e^{-A(z)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m</math> :Es ist also wichtig zu wissen wie <math>A</math> und <math>a</math> kommutieren. :<math>[A,a]=\frac{1}{2}\left(z[a^\dagger a^\dagger,a]-z^* \underbrace{[aa,a]}_{=0}\right)=\frac{z}{2}\left(a^\dagger \underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}+\underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}a^\dagger\right) = -za^\dagger</math>. :Außerdem ist :<math>[A,a^\dagger]=\frac{1}{2}\left( z \underbrace{[a^\dagger a^\dagger,a^\dagger]}_{=0} -z^* [aa,a^\dagger] \right)=-\frac{z^*}{2}\left( a\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}+\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}a \right)= -z^*a </math>. :Es lässt sich erkennen, dass die wiederholte Ausführung des Kommutators dann lautet: :<math> [A,a]_n = \begin{cases}|z|^n a&\text{n gerade} \\ -z|z|^{n-1}a^\dagger&\text{n ungerade}\end{cases}</math> :Damit ergibt sich dann :<math>S(z)aS^\dagger(z) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{|z|^{2k}}{(2k)!} -a^\dagger \frac{z}{|z|}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|z|^{2k+1}}{(2k+1)!} =a \text{cosh}\left(|z|\right)-a^\dagger e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) = \mu a - \nu a^\dagger</math> mit <math> \mu = \text{cosh}\left(|z|\right)</math> und <math> \nu = e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) </math>. *Analog ergibt sich für <math>a^\dagger</math>: :<math> S(z)a^\dagger S^\dagger(z) = \mu a^\dagger -\nu^* a </math> Mit diesem Wissen lassen sich nun die gequetschten Zustände betrachten: *Der transformierte Vernichter-Operator wirkt auf den gequetschten Zustand, wie der Vernichter-Operator auf den Vakuumzustand. :<math> S(z)aS^\dagger(z)|z\rangle = S(z)a\underbrace{S^\dagger(z)S(z)}_{=I}|0\rangle = S(z)\underbrace{a|0\rangle}_{=0} = 0 </math>. *Die mittlere Photonenzahl im gequetschten Zustand ist <math> |\nu|^2</math>: :<math>\langle z| \hat N | z \rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)a^\dagger a S(z)|0\rangle = \langle 0 | \underbrace{S^\dagger(z)a^\dagger S(z)}_{=\mu a-\nu a^\dagger} \underbrace{S^\dagger(z)a S(z)}_{=\mu a^\dagger - \nu^* a}|0\rangle = \langle 0 | \left(\mu a^\dagger - \nu^* a\right) \left( \mu a^\dagger - \nu^* a\right)|0\rangle = \langle 0 | \mu^2 a a^\dagger -\mu\nu^* a a - \nu\mu a^\dagger a^\dagger+\nu^*\nu a a^\dagger|0\rangle = \mu^2\langle 0 | a a^\dagger |0\rangle-\mu\nu^*\langle 0 | a a |0\rangle- \nu\mu\langle 0 | a^\dagger a^\dagger|0\rangle+\nu^*\nu\langle 0 | a a^\dagger|0\rangle = |\nu|^2 \langle0|0\rangle = |\nu|^2 </math>. *Der gequetschte Vakuumzustand ist um den Ursprung zentriert: :<math> \langle z|a|z\rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)aS(z)|0\rangle = \langle 0 | \mu a-\nu a^\dagger |0\rangle = \mu \underbrace{\langle 0|a|0\rangle}_{=0} - \nu \langle 0|\underbrace{a^\dagger|0\rangle}_{=|1\rangle} =-\nu\underbrace{\langle 0 | 1\rangle}_{=0} = 0 </math> ==== gequetschte Kohärente Zustände ==== Wie oben beschrieben, lassen sich die kohärenten Zustände <math> |\alpha\rangle </math> mit Hilfe des Verschiebe-Operators aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle </math> gewinnen. Auf die selbe Art kann nun auch der gequetschte Vakuumzustand verschoben werden, um einen verschobenen und gequetschten Zustand zu gewinnen. Hierbei ist zu beachten, dass der Squeeze-Operator '''nicht''' mit dem Verschiebe-Operator kommutiert! Es ist also: :<math> |z,\alpha\rangle = S(z)D(\alpha)|0\rangle \neq D(\alpha)S(z)|0\rangle = |\alpha, z\rangle \iff [S(z),D(\alpha)]\neq 0</math> === kanonische bzw. symplektische Transformationen === Gaußsche Transformationen (auch kanonisch oder symplektisch genannt) lassen sich mit der ''symplektischen Form'' formulieren. Die symplektische Form zweier Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> ist gegeben durch :<math>\vec{x}\wedge\vec{y}=x_1y_2-x_2y_1</math> und entspricht der von den beiden Vektoren aufgespannten Fläche. <br> Eine unitäre Transformation <math> S </math> heißt nun ''symplektisch'', wenn sie zwei Eigenschaften erfüllt: *<math>S^\dagger Q_i S = \sum_{j}M_{ij}Q_j </math> bzw. <math>S^\dagger\vec{Q}S=\mathbf{M}\vec{Q}</math> (linear mit Darstellung durch Matrix <math> \mathbf M</math>) *<math> (\mathbf M \vec x)\wedge(\mathbf M\vec y)=\vec x\wedge \vec y</math> (die symplektische Form ist erhalten) Nun ist interessant zu betrachten, was mit der Wignerfunktion unter einer solchen Transformation geschieht. Die charakteristische Wignerfunktion lautet: :<math>\chi(\vec x) = \langle D(z)\rangle </math> und transformiert zu :<math> \chi'(\vec x) = \langle S^\dagger D(z) S \rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( za^\dagger - z^*a \right)S\rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \vec Q \right)S\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge S^\dagger \vec Q S\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \mathbf M\vec Q\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\mathbf M^{-1}\vec x \wedge \vec Q\right)\rangle = \chi(\mathbf M^{-1}\vec x) </math>. Hier wird also nur zuerst die Inverse der Matrix <math> \mathbf M</math> auf <math> \vec x </math> angewandt und dann die ursprüngliche Funktion ausgewertet. Hierbei wurde der Term <math> za^\dagger - z^* a</math> zu <math> -i\vec x \wedge \vec Q</math> umgeschrieben, was man mit <math> z = \frac{x+iy}{\sqrt{2}}</math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt{2}}</math> ergibt wenn man die Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math> \vec Q = (\alpha_x, \alpha_p)</math> einführt. Man beachte, dass dieser Term eine reine Phase darstellt und keinen Realteil besitzt. Nun setzen wir die transformierte charakteristische Funktion in die Formel für die Wigner-Funktion ein. Die resultierende Wigner Funktion ist dann: :<math> W'(\vec q) = \int\frac{\text{d}^2 x}{\pi^2}e^{i\vec x\wedge\vec q}\chi(\mathbf M^{-1}\vec x) \overset{\vec x = \mathbf M \vec x'}{=} \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf M\vec x'\wedge\vec q}\chi(\vec x') = \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf \vec x'\wedge\mathbf M^{-1}\vec q}\chi(\vec x') = W(\mathbf M^{-1}\vec q) </math>. Auch hier sieht man wieder, dass die transformierte Funktion einfach nur die ursprüngliche Funktion ist, aber erst nach der inversen Transformation ausgewertet wird. Die Substitution im zweiten Schritt beruht darauf, dass <math> \text{det}(\mathbf M)=1</math> ist. Die oben genannten Transformationen ''Translation'', ''Rotation'' und ''Squeezing'' sind Beispiele für solche symplektischen Transformationen. Setzt man als entsprechende Transformation beispielsweise die Verschiebung ein, erhält man die Wignerfunktion des verschobenen Zustandes: :Nutze also als Transformation den Verschiebe Operator: :<math> \chi'(z) = \langle S^\dagger D(z) S(z)\rangle = \langle \text{exp}\left( z S^\dagger a^\dagger S - z^* S^\dagger a S \right)\rangle \overset{\text{setze } S = D)}{=} \langle \text{exp}\left( z (a^\dagger + \alpha^*) - z^* (a+\alpha) \right)\rangle = \langle \text{exp}\left( z a^\dagger - z^* a \right) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) \rangle = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) </math> :Jetzt Formulieren wir das Argument der Exponentialfunktion entsprechend um: :Wir nutzen <math> z=\frac{x+iy}{\sqrt 2} </math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt 2} </math>. Das ergibt beim Einsetzen: :<math>2( z\alpha^* - z^*\alpha ) = (x+iy)(\alpha_x-i\alpha_p)-(x-iy)(\alpha_x+i\alpha_p) = x\alpha_x +y\alpha_p-ix\alpha_p +iy\alpha_x -(y\alpha_x+ix\alpha_p-iy\alpha_x+y\alpha_p) = 2i(\alpha_xy-x\alpha_p) \Rightarrow z\alpha^* - z^*\alpha = i(\alpha_xy-x\alpha_p) </math> :Und mit den Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math>\vec\alpha=(\alpha_x,\alpha_p)</math> identifizieren wir <math> \alpha_xy-x\alpha_p = -\vec x\wedge\vec\alpha </math>, sodass wir die transformierte charakteristische Funktion schreiben können als: :<math>\chi'(z) = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) = \chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) </math>. Betrachten wir nun die transformierte Wigner Funktion, die sich aus dieser charakteristischen Funktion ergibt: :<math> W(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( qz^*-q^*z \right)\chi(z)= \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \Rightarrow W'(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi'(z) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge(\vec q-\vec \alpha) \right)\chi(z) = W(\vec q - \vec \alpha)</math>. Man sieht also, dass die Transformation mit dem Verschiebe Operator die Wigner Funktion tatsächlich nur verschoben hat, nicht aber ihre Gestalt verändert. <hr /> <references /> ck857q4bkhkhu0phayz71w9f92vynso 1079876 1079874 2026-05-20T10:01:15Z DieHenkels 22627 /* Verschiebung */ In der Klammer ein ganzer Satz 1079876 wikitext text/x-wiki '''Quasi-Verteilungen''' in der Quantenoptik beschreiben Quantenzustände in einem gegebenen Phasenraum. Sie unterscheiden sich von klassischen Phasenraumverteilungen insbesondere aufgrund der zum Teil auftretenden ungewöhnlichen Eigenschaften, wie beispielsweise der Möglichkeit negativer Werte, Beschreibung von Phasenraumflächen statt -punkten aufgrund der Unschärferelation oder auch auftretender Singularitäten. Sie bilden einen semiklassischen Ansatz für die Quantenoptik und werden auch häufig als Quasi-Verteilungen bezeichnet. Prinzipiell gibt es unbeschränkt viele verschiedene dieser Verteilungen, wobei die wichtigsten durch die '''Wigner-''' sowie der '''P-''' und '''Q-Funktion''' (auch jeweils Glauber-Sudarshan P-Funktion und Husimi-Kano Q-Funktion genannt) gegeben sind. Sie werden häufig für die erleichterte Berechnung von Erwartungswerten genutzt.<ref>W. P. Schleich: ''Quantum Optics in Phase Space'', 1st ed, 2001, WILEY-VCH, Berlin, ''pp. 321-324''</ref> == Die Wigner-Funktion == ===klassisch=== Die Wigner-Funktion <math>W(x,p)</math> ist definiert als: :<math>W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}</math> mit der Wellenfunktion <math>\psi(x)</math>, dem Ort <math>x</math> und dem Impuls <math>p</math>. Hierbei können jedoch auch andere konjugierte Variablen gewählt werden (beispielsweise die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes). Einen alternativen Zugang bietet der Dichteoperator <math>\hat{\rho}</math>. Hiermit ist die Wigner-Funktion wie folgt :<math> W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy/\hbar}</math> Eine andere Darstellung der Wigner-Funktion liefert der Verschiebe-Operator <math>\hat{D}(k,s)</math>. :<math> \hat{D}(k, s)=\exp [-\mathrm{i}(k \hat{x}-\hat{p} s) / \hbar] </math> über die Fourier-Transformation seines Erwartungswertes <math> W(x, p)=\int \frac{\mathrm{d} k \mathrm{d} s}{(2 \pi)^2}\langle\hat{D}(k, s)\rangle \operatorname{exp}(i(k x-p s / \hbar)) </math> Es ist üblich, die Phasenraum-Variablen in eine komplexe Koordinate zusammenzufassen, <math>\alpha = (x + i p)/\sqrt{2}</math>. ==== Beispiel für die Wigner-Funktion eines kohärenten Zustandes ==== Der kohärente Zustand <math>| \alpha_0 \rangle</math> is ein in der Quantenoptik üblicher Zustand, in dem ein System (Oszillator, elektromagnetische Feldmode) Eigenschaften ähnlich der klassischen Physik zeigt. Nutzt man nun die Definition der Wigner-Funktion über den Erwartungswert des Verschiebeoperators, kann man die Wigner-Funktion wie folgt aufschreiben: :<math> W(\alpha) = \int \frac{\mathrm{d}^{2} \beta}{\pi^{2}} \exp \left(\beta^{*} \alpha-\beta \alpha^{*}\right) \langle \hat{D}(\beta)\rangle</math> Dann wird die Wigner-Funktion unseres kohärenten Zustands <math>|\alpha_0 \rangle</math> berechnet durch: :<math>\begin{aligned} W(\alpha) &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\alpha \beta^{*}-\alpha^{*} \beta}\langle\alpha_{0}|\hat{D}(\beta)| \alpha_{0}\rangle \\ &=\frac{1}{\pi^{2}} \int d^{2} \beta \, e^{\left(\alpha-\alpha_{0}\right) \beta^{*}-\left(\alpha^{*}-\alpha_{0}^{*}\right) \beta} e^{-\frac{1}{2}|\beta|^{2}} = \frac{2}{\pi} e^{-2\left|\alpha-\alpha_{0}\right|^{2}} \end{aligned}</math> Das Resultat ist also eine Gaußfunktion mit Zentrum um <math>\alpha_0</math>, also strikt positiv, was für einen klassischen Charakter des Zustandes spricht. ====Eigenschaften der Wigner-Funktion==== Hier werden einige nur genannt, wobei andere auch motiviert werden. ''Die Wigner-Funktion ist reell.'' :<math>\begin{aligned} W^{*}(x, p) &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x+y / 2) \psi(x-y / 2) \\ &=\int \frac{\mathrm{d} y}{2 \pi \hbar} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p y / \hbar} \psi^{*}(x-y / 2) \psi(x+y / 2) \\ &=W(x, p) \end{aligned}</math> Hierbei wurde nach der ersten Zeile <math>y \rightarrow -y</math> substituiert. ''Ortsverteilung.'' Hierfür integrieren wir die Definition der Wigner-Funktion über <math>p</math> und vertauschen, dank des Satzes von Fubini, die Integrationsreihenfolge von <math>y</math> und <math>p</math>. :<math>\int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p)=\int_{-\infty}^{\infty} dy \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y\rangle \frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d p \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)</math> Und identifizieren :<math>\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} dp \exp \left(-\frac{i}{h} p y\right)= \delta (y)</math> Damit ist <math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dp \, W(x, p) &=\int_{-\infty}^{\infty} dp \langle x+\tfrac{1}{2} p|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} p \rangle \delta(p) \\ &=\langle x | \hat{\rho}|x\rangle \\ &=|W(x)|^2 \\ \end{aligned}</math> ''Impulsverteilung.'' Hierfür integrieren wir, analog zur Ortsverteilung, die Wigner-Funktion über <math>x</math>. :<math>\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, W(x, p) &=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{-\infty}^{\infty} d y \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p y\right) \langle x+\tfrac{1}{2} y|\hat{\rho}| x-\tfrac{1}{2} y \rangle \\ &=\frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right) \langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime} \rangle \end{aligned}</math> Wobei <math>x^{\prime \prime}=x+ \tfrac{1}{2}y</math> und <math>x^{\prime }=x- \tfrac{1}{2}y</math>, welche zwei vollständige Basissysteme bilden :<math>\mathbb{1}=\int d x^{\prime}\left|x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime}\right| \quad \text { und } \quad \mathbb{1}=\int d x^{\prime \prime}\left|x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}\right|</math> Betrachten wir nun <math>|W(p)|^2</math> :<math>|W(p)|^2=\langle p|\hat{\rho}|p \rangle= \int dx^{\prime} \int dx^{\prime \prime} \left\langle p | x^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} | p\right\rangle</math> Erinnere an die Darstellung einer ebenen Welle mit Impuls <math>p</math> im Ortsraum <math>\langle x^{\prime} | p \rangle</math>: :<math>\langle x^{\prime}| p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left(\frac{i}{\hbar} p x^{\prime}\right)</math> Damit können wir nun erkennen, dass: :<math>|W(p)|^2=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d x^{\prime \prime} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} p\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\right)\left\langle x^{\prime \prime}|\hat{\rho}| x^{\prime}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} d x \, W(x, p)</math> ''Berechnung von Erwartungswerten.'' Erwartungswerte von Operatoren <math>\hat{A}</math> können auch über die Wigner-Funktion bestimmt werden. :<math>\langle \hat{A} \rangle =\int \int dx dp \, W(x,p)\hat{A}(x,p)</math> Dazu ist allerdings für den Operator <math>\hat{A}</math> eine Funktion <math>\hat{A}(x,p)</math> zu konstruieren, die Produkte der nicht vertauschenden Operatoren <math>\hat{x}</math>, <math>\hat{p}</math> in einer bestimmten Reihenfolge sortiert (“symmetrische Ordnung”). ''Bewegungsgleichung der Wigner-Funktion.'' Die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Phasenraum verhält sich klassisch: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}</math> Liegt ein quadratisches Potential mit der Federkonstanten <math>K</math> vor, so gilt: :<math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t}=\frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x} + K x \frac{\partial W(x, p)}{\partial p}</math> Für allgemeinere Potentiale ergeben sich Ableitungen höherer Ordnung nach <math>p</math>, die mit Potenzen von <math>\hbar</math> gewichtet werden. Auf diese Weise kann man Korrekturen zur klassischen Bewegung im semiklassischen Grenzfall diskutieren. ===nicht-klassisch=== == Zustände in der Quantenoptik == === Fock-Zustände === Die Eigenzustände der Hamiltonfunktion der freien Strahlung sind aus Anzahlzustände <math>|n_l\rangle</math> (auch Fock-Zustände genannt) zusammengesetzt. Sie beschreiben die Anzahl der Photonen in einer Mode <math>l</math> und werden durch die Relation :<math>\hat{N}_l|n_l\rangle=n_l|n_l\rangle</math> charakterisiert. Hierbei bezeichnet <math>\hat{N}_l=\hat{a}^\dagger\hat{a}</math> den Teilchenzahloperator, ausgedrückt durch den Erzeugungs- sowie Vernichtungsoperator des harmonischen Oszillators.<noinclude> Der Eigenzustand des Strahlungshamilton ist dann aufgrund der Summe über alle möglichen Moden <math>l</math> das Tensorprodukt aller Modenzustände <math>|n_1,\,n_2,\,...,\,n_l,\,...\rangle=|n_1\rangle\otimes|n_2\rangle\,\otimes\,...\,\otimes\,|n_l\rangle\,\otimes\,...</math></noinclude><ref>G. Gilbert, A. Aspect, C. Fabre: ''Introduction to Quantum Optics'', 1st ed, 2010, Cambridge University Press, New York, pp. 320 f.</ref><br> === Kohärente Zustände === Der zum Vernichtungsoperator <math>\hat{a}</math> zugehörige Eigenzustand ist der kohärente Zustand (auch Glauber-Zustand oder quasi-klassischer Zustand): :<math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math> Da der Vernichtungsoperator nicht hermitesch ist, sind die Eigenwerte <math>\alpha</math> im Allgemeinen komplex. Kohärente Zustände werden häufig in der Basis der Fock-Zustände dargestellt <math>|\alpha\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle</math>, die Koeffizienten <math>c_n</math> ergeben sich aus der Rekursionsbedingung <math>\sqrt{n}\,c_n=\alpha\,c_{n-1}</math>. Nach Normierung erhält ein Glauber-Zustand letztlich die Form: :<math>|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^2}2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> Die Eigenwerte lassen sich als komplexe Zahl in der Form <math>\alpha=\alpha_r+i\,\alpha_i</math> schreiben, Realteil und Imaginärteil bilden damit ein Paar Variablen, mit denen ein kohärenter Zustand vollständig charakterisiert werden kann, sie spannen einen Phasenraum auf, der insbesondere für die P- und Q-Funktion von besonderer Bedeutung sind und den klassischen Phasenraum mit den Variablen Ort <math>x</math> und Impuls <math>p</math> ersetzt. == P-/Q-Funktion == == Momenterzeugende Funktion und Operatorordnung == == Gauß-Zustände und Phasenraumbewegung == === Gaußsche Zustände === Jeder Zustand kann durch die Form seiner Wignerfunktion <math>W(x,p)</math> charakterisiert werden. Ist diese eine Gaußfunktion, liegt ein Gaußscher Zustand vor. Dies ist gleichwertig damit, dass die charakteristische Funktion <math>\chi </math> eine Gaußfunktion ist. Gauß'sche Zustände lassen sich durch ihre mittlere Position im Phasenraum <math>\langle\alpha\rangle</math> und die zugehörige Kovarianzmatrix <math>C</math> beschreiben.<br> Dabei gilt <math>\langle\alpha\rangle=\frac{\langle x + i p \rangle}{\sqrt{2}}</math>. Für die Kovarianzmatrix einer Mode gilt (mit <math>R_1 = x</math> und <math>R_2 = p</math>): :<math> C_{ij} = \frac{1}{2}\langle R_iR_j+R_jR_i\rangle -\langle R_i\rangle\langle R_j\rangle</math>. <math> C </math> ist positiv, also gilt für alle Quadraturen <math>q \cdot R = q_1 x + q_2 p</math>: <math> \Delta\left(q\cdot R\right)^2 \geq 0</math>.<br> Bestimmte Transformationen, die den Gauß-Charakter eines Zustandes beibehalten, nennt man ''Gaußsche Transformationen''. Beispiele hierfür sind Rotation, Verschiebung und ''Squeezing'', welche später erläutert werden. <br> Bei unitären Transformationen, also solche, für die gilt: <math> S^\dagger S = I </math> (mit der Identitätstransformation <math>I</math>), bleibt die Kommutatorrelation von <math>x</math> und <math>p</math> erhalten: :<math> \left[ x' , p' \right] = \left[ S^\dagger x S, S^\dagger p S \right] = S^\dagger\left[ x, p \right] S = i\hbar S^\dagger S =i\hbar</math>. <br> Wie oben bereits beschrieben (siehe 2.1.1), sind kohärente Zustände <math>| \alpha \rangle</math> ein Beispiel für Gaußzustände, da die zugehörige Wignerfunktion eine Gaußfunktion ist. <br> === Verschiebung === Verschiebungen im Phasenraum werden durch den ''Verschiebe-Operator'' <math>\hat{D}</math> beschrieben. (Im Folgenden werden die Hüte aus Gründen der Einfachheit nicht immer geschrieben, die Notation <math>D</math> meint aber immer den Verschiebe-Operator.) Der Operator ist gegeben durch: :<math>D(\alpha) = \text{exp}(\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})</math>. Dabei sind <math>\hat{a}^\dagger </math> und <math>\hat{a}</math> die Erzeuger- und Vernichteroperatoren und <math>\alpha</math> eine komplexe Zahl. Im Folgenden werden einige Eigenschaften dieses Operators gezeigt:<br> * Der Operator ist unitär: <math> D^\dagger(\alpha )=D^{-1}(\alpha )=D(-\alpha ) </math><br> :<math> D^\dagger(\alpha )D(\alpha )= \text{exp}\left( (\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a})^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\text{exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = D(-\alpha)D(\alpha) = \text{exp}\left(\alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger + \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a}\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math>.<br> * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat{a}</math> um <math> \alpha</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat{a}D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a\right]}_{=0} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a \right]}_{=-1} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_2\right) = \hat a + \alpha</math> :Hier wurde in der dritten Gleichheit die [https://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel Liesche Entwicklungsformel] genutzt, wobei die Terme höherer Kommutatoren verschwinden, da <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a \right]_1\in\mathbb{C}</math> und somit mit Operatoren kommutiert. * Der Operator ''verschiebt'' <math> \hat a^\dagger</math> um <math> \alpha^*</math>: :<math>D^\dagger(\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = D(-\alpha)\hat a^\dagger D(\alpha) = \text{exp}\left( \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger \right)\hat a^\dagger \text{ exp}\left( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a} \right) = \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_0 + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1 + \mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right] +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*\underbrace{\left[\hat a,\hat a^\dagger\right]}_{=1} - \alpha \underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a^\dagger \right]}_{=0} +\mathcal{O}\left(\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_2\right) = \hat a^\dagger + \alpha^*</math> :Auch hier wurde die Liesche Entwicklungsformel genutzt und die Terme höherer Kommutatoren verschwinden ebenfalls, da der Kommutator <math>\left[ \alpha^* \hat{a} - \alpha\hat{a}^\dagger , \hat a^\dagger \right]_1\in\mathbb{C}</math> ist.<br> ==== Zusammenhang zu kohärenten Zuständen ==== Mit dem Verschiebe-Operator lassen sich kohärente Zustände <math> |\alpha\rangle</math> aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math> erzeugen. Mit der Definition kohärenter Zustände <math>\hat a|\alpha\rangle=\alpha |\alpha\rangle</math> ergibt sich: :<math> \hat a D(-\alpha) |\alpha\rangle = D(-\alpha) \underbrace{D^\dagger (-\alpha) \hat a D(-\alpha)}_{=(\hat a -\alpha)}|\alpha\rangle = D(-\alpha) \left( \hat a - \alpha \right)|\alpha\rangle=0</math> Es gilt also :<math> \hat a D(-\alpha)|\alpha\rangle = 0 \iff D(-\alpha)|\alpha\rangle = |0\rangle \iff |\alpha\rangle = D(\alpha)|0\rangle </math> === Rotation === Neben dem Verschiebe-Operator <math> D </math>, definiert man den ''Phase Shift Operator'', also den Phasen-Verschiebe-Operator <math>\hat U</math> bzw. <math>U</math>. Er ist gegeben durch: :<math> U(\theta) = \text{exp}\left(-i\theta\hat N \right)</math> mit dem Anzahl-Operator <math> \hat N = \hat a^\dagger \hat a</math>. Auch für diesen Operator lassen sich bestimmte Eigenschaften festmachen: *<math> U </math> ist unitär: :<math> U^\dagger U = \text{exp}\left(i\theta\hat N\right)\text{exp}\left(-i\theta\hat N\right)=\text{exp}\left(i\theta(\hat N-\hat N)\right)=\text{exp}\left(0\right)=I</math> *<math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta) = \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>. Dies folgt aus der Differentialgleichung, die man erhält, wenn man <math> U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)</math> nach <math>\theta</math> differenziert: :<math> \frac{\text {d}}{\text{d}\theta}\left( U^\dagger (\theta) \hat a U(\theta)\right) = \left( i\hat N U^\dagger\hat a U -i U^\dagger\hat a \hat N U\right) = i U^\dagger \left[\hat N , \hat a\right]U=i U^\dagger \left[\hat a^\dagger \hat a , \hat a\right]U=i U^\dagger \left(\hat a^\dagger \hat a\hat a - \hat a \hat a^\dagger \hat a\right)U = iU^\dagger\left( \hat a^\dagger \hat a- \hat a\hat a^\dagger\right) \hat a U =iU^\dagger\underbrace{\left[\hat a^\dagger , \hat a\right]}_{=-1} \hat a U = -i U\hat a U</math>. :Analog erhält man für <math> \hat a^\dagger</math>: *<math> U^\dagger (\theta) \hat a^\dagger U(\theta) = \hat a^\dagger \text{ exp}\left(i\theta\right) </math> Der Operator <math>U(\theta)</math> fügt also der Phase den Wert <math>\theta</math> hinzu. So können zum Beispiel kohärente Zustände im Phasenraum rotiert werden: :<math> \hat a |\tilde \alpha \rangle =\hat aU(\theta)|\alpha\rangle= U(\theta)\underbrace{U^\dagger(\theta)\hat aU(\theta)}_{= \hat a \text{ exp}\left(-i\theta\right)}|\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\hat a |\alpha\rangle=U(\theta)\text{ exp}\left(-i\theta\right)\alpha |\alpha\rangle=\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) U(\theta)|\alpha\rangle</math>. Der rotierte Zustand <math>|\tilde \alpha \rangle = U(\theta)|\alpha\rangle</math> ist ein Eigenzustand des Operators <math> \hat a </math> mit Eigenwert <math>\alpha\text{ exp}\left(-i\theta\right) </math>und als solcher ebenfalls ein kohärenter Zustand. === Squeezed States === ==== gequetscher Vakuumzustand ==== Im Vakuumzustand sind die Unschärfen der beiden Quadraturen <math>x</math> und <math>p</math> gleich groß: <math>\Delta x = \Delta p</math>. Wenn man nun eine dieser beiden Unschärfen verringert und die andere dafür vergrößert, würde das Produkt immernoch der Unschärferelation genügen. Der Resultierende Zustand ist in einer Variable ''gequetscht'' (engl. ''squeezed''). Deswegen nennt man diese Zustände ''gequetschte Zustände'' oder ''squeezed states''. Man definiert dazu den Quetschoperator (im Nachfolgenden nur ''Squeeze-Operator'' genannt) <math>S(z)</math> wie folgt: :<math>S(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right)</math> Hierbei ist <math>z</math> eine komplexe Zahl und <math>a^\dagger</math> und <math>a</math> die bekannten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren. Für diesen Operator lassen sich wie schon für den Displacement-Operator einige Eigenschaften feststellen: *Der Operator ist unitär: :<math>S^\dagger(z)S(z) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} \right) \text{exp}\left(\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(\frac{1}{2}z^* a^{ 2}-\frac{1}{2}z a^{\dagger 2} +\frac{1}{2}z a^{\dagger 2}-\frac{1}{2}z^* a^2 \right) = \text{exp}\left(0\right)=I</math> *Weiterhin ist wie schon beim Displacement-Operator <math>S^\dagger(z)=S(-z)</math>: :<math>S^\dagger(z)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z a^{\dagger 2}-z^* a^2 \right)\right)^\dagger =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(\left(z a^{\dagger 2}\right)^\dagger-\left(z^* a^2 \right)^\dagger\right)\right)=\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left(z^* a^{2}-z a^{\dagger2} \right)\right) =\text{exp}\left(\frac{1}{2}\left( (-z) a^{\dagger 2}-(-z)^* a^2 \right)\right)=S(-z)</math> Mit diesem Operator lassen sich Zustände ''squeezen'' und man schreibt <math>|z\rangle=S(z)|0\rangle</math> mit dem Vakuumzustand <math>|0\rangle</math>. Man kann auch schreiben <math> |\xi \rangle = S(\xi)|0\rangle</math> indem man den Faktor <math> \frac{1}{2}</math> im Exponenten von <math> S</math> in den Parameter <math>\xi</math> integriert. Dann lautet <math>S(\xi)=\text{exp}\left(\xi a^{\dagger 2}-\xi^* a^2 \right)</math>. Hier muss aber beachtet werden, dass <math> |z|= 2|\xi| </math>, konkret: <math> z = r e^{i\varphi}</math> und <math>\xi = \frac{r}{2} e^{i\phi} </math>. Man nennt <math>r </math> den ''squeezing Parameter''.<br> Um die Eigenschaften dieser Zustände zu betrachten, muss erst festgestellt werden, wie <math>S</math> auf die Leiteroperatoren wirkt. Hierfür lässt sich <math>S(z)</math> auch ausdrücken als <math>S(z) = e^{A(z)}</math> mit einem neuem Operator <math>A(z) = \frac{1}{2}\left( za^{\dagger 2}-z^*a^2 \right)</math>. *Der Squeeze Operator wirkt auf a wie folgt: :<math>S(z)aS^\dagger(z)=e^{A(z)} a e^{A^\dagger(z)}=e^{A(z)} a e^{-A(z)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m</math> :Es ist also wichtig zu wissen wie <math>A</math> und <math>a</math> kommutieren. :<math>[A,a]=\frac{1}{2}\left(z[a^\dagger a^\dagger,a]-z^* \underbrace{[aa,a]}_{=0}\right)=\frac{z}{2}\left(a^\dagger \underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}+\underbrace{[a^\dagger,a]}_{=-1}a^\dagger\right) = -za^\dagger</math>. :Außerdem ist :<math>[A,a^\dagger]=\frac{1}{2}\left( z \underbrace{[a^\dagger a^\dagger,a^\dagger]}_{=0} -z^* [aa,a^\dagger] \right)=-\frac{z^*}{2}\left( a\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}+\underbrace{[a,a^\dagger]}_{=1}a \right)= -z^*a </math>. :Es lässt sich erkennen, dass die wiederholte Ausführung des Kommutators dann lautet: :<math> [A,a]_n = \begin{cases}|z|^n a&\text{n gerade} \\ -z|z|^{n-1}a^\dagger&\text{n ungerade}\end{cases}</math> :Damit ergibt sich dann :<math>S(z)aS^\dagger(z) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[A,a\right]_m = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{|z|^{2k}}{(2k)!} -a^\dagger \frac{z}{|z|}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|z|^{2k+1}}{(2k+1)!} =a \text{cosh}\left(|z|\right)-a^\dagger e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) = \mu a - \nu a^\dagger</math> mit <math> \mu = \text{cosh}\left(|z|\right)</math> und <math> \nu = e^{i\varphi}\text{sinh}\left(|z|\right) </math>. *Analog ergibt sich für <math>a^\dagger</math>: :<math> S(z)a^\dagger S^\dagger(z) = \mu a^\dagger -\nu^* a </math> Mit diesem Wissen lassen sich nun die gequetschten Zustände betrachten: *Der transformierte Vernichter-Operator wirkt auf den gequetschten Zustand, wie der Vernichter-Operator auf den Vakuumzustand. :<math> S(z)aS^\dagger(z)|z\rangle = S(z)a\underbrace{S^\dagger(z)S(z)}_{=I}|0\rangle = S(z)\underbrace{a|0\rangle}_{=0} = 0 </math>. *Die mittlere Photonenzahl im gequetschten Zustand ist <math> |\nu|^2</math>: :<math>\langle z| \hat N | z \rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)a^\dagger a S(z)|0\rangle = \langle 0 | \underbrace{S^\dagger(z)a^\dagger S(z)}_{=\mu a-\nu a^\dagger} \underbrace{S^\dagger(z)a S(z)}_{=\mu a^\dagger - \nu^* a}|0\rangle = \langle 0 | \left(\mu a^\dagger - \nu^* a\right) \left( \mu a^\dagger - \nu^* a\right)|0\rangle = \langle 0 | \mu^2 a a^\dagger -\mu\nu^* a a - \nu\mu a^\dagger a^\dagger+\nu^*\nu a a^\dagger|0\rangle = \mu^2\langle 0 | a a^\dagger |0\rangle-\mu\nu^*\langle 0 | a a |0\rangle- \nu\mu\langle 0 | a^\dagger a^\dagger|0\rangle+\nu^*\nu\langle 0 | a a^\dagger|0\rangle = |\nu|^2 \langle0|0\rangle = |\nu|^2 </math>. *Der gequetschte Vakuumzustand ist um den Ursprung zentriert: :<math> \langle z|a|z\rangle = \langle 0 | S^\dagger(z)aS(z)|0\rangle = \langle 0 | \mu a-\nu a^\dagger |0\rangle = \mu \underbrace{\langle 0|a|0\rangle}_{=0} - \nu \langle 0|\underbrace{a^\dagger|0\rangle}_{=|1\rangle} =-\nu\underbrace{\langle 0 | 1\rangle}_{=0} = 0 </math> ==== gequetschte Kohärente Zustände ==== Wie oben beschrieben, lassen sich die kohärenten Zustände <math> |\alpha\rangle </math> mit Hilfe des Verschiebe-Operators aus dem Vakuumzustand <math>|0\rangle </math> gewinnen. Auf die selbe Art kann nun auch der gequetschte Vakuumzustand verschoben werden, um einen verschobenen und gequetschten Zustand zu gewinnen. Hierbei ist zu beachten, dass der Squeeze-Operator '''nicht''' mit dem Verschiebe-Operator kommutiert! Es ist also: :<math> |z,\alpha\rangle = S(z)D(\alpha)|0\rangle \neq D(\alpha)S(z)|0\rangle = |\alpha, z\rangle \iff [S(z),D(\alpha)]\neq 0</math> === kanonische bzw. symplektische Transformationen === Gaußsche Transformationen (auch kanonisch oder symplektisch genannt) lassen sich mit der ''symplektischen Form'' formulieren. Die symplektische Form zweier Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> ist gegeben durch :<math>\vec{x}\wedge\vec{y}=x_1y_2-x_2y_1</math> und entspricht der von den beiden Vektoren aufgespannten Fläche. <br> Eine unitäre Transformation <math> S </math> heißt nun ''symplektisch'', wenn sie zwei Eigenschaften erfüllt: *<math>S^\dagger Q_i S = \sum_{j}M_{ij}Q_j </math> bzw. <math>S^\dagger\vec{Q}S=\mathbf{M}\vec{Q}</math> (linear mit Darstellung durch Matrix <math> \mathbf M</math>) *<math> (\mathbf M \vec x)\wedge(\mathbf M\vec y)=\vec x\wedge \vec y</math> (die symplektische Form ist erhalten) Nun ist interessant zu betrachten, was mit der Wignerfunktion unter einer solchen Transformation geschieht. Die charakteristische Wignerfunktion lautet: :<math>\chi(\vec x) = \langle D(z)\rangle </math> und transformiert zu :<math> \chi'(\vec x) = \langle S^\dagger D(z) S \rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( za^\dagger - z^*a \right)S\rangle = \langle S^\dagger \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \vec Q \right)S\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge S^\dagger \vec Q S\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\vec x \wedge \mathbf M\vec Q\right)\rangle = \langle \text{exp}\left( -i\mathbf M^{-1}\vec x \wedge \vec Q\right)\rangle = \chi(\mathbf M^{-1}\vec x) </math>. Hier wird also nur zuerst die Inverse der Matrix <math> \mathbf M</math> auf <math> \vec x </math> angewandt und dann die ursprüngliche Funktion ausgewertet. Hierbei wurde der Term <math> za^\dagger - z^* a</math> zu <math> -i\vec x \wedge \vec Q</math> umgeschrieben, was man mit <math> z = \frac{x+iy}{\sqrt{2}}</math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt{2}}</math> ergibt wenn man die Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math> \vec Q = (\alpha_x, \alpha_p)</math> einführt. Man beachte, dass dieser Term eine reine Phase darstellt und keinen Realteil besitzt. Nun setzen wir die transformierte charakteristische Funktion in die Formel für die Wigner-Funktion ein. Die resultierende Wigner Funktion ist dann: :<math> W'(\vec q) = \int\frac{\text{d}^2 x}{\pi^2}e^{i\vec x\wedge\vec q}\chi(\mathbf M^{-1}\vec x) \overset{\vec x = \mathbf M \vec x'}{=} \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf M\vec x'\wedge\vec q}\chi(\vec x') = \int\frac{\text{d}^2 x'}{\pi^2}e^{i\mathbf \vec x'\wedge\mathbf M^{-1}\vec q}\chi(\vec x') = W(\mathbf M^{-1}\vec q) </math>. Auch hier sieht man wieder, dass die transformierte Funktion einfach nur die ursprüngliche Funktion ist, aber erst nach der inversen Transformation ausgewertet wird. Die Substitution im zweiten Schritt beruht darauf, dass <math> \text{det}(\mathbf M)=1</math> ist. Die oben genannten Transformationen ''Translation'', ''Rotation'' und ''Squeezing'' sind Beispiele für solche symplektischen Transformationen. Setzt man als entsprechende Transformation beispielsweise die Verschiebung ein, erhält man die Wignerfunktion des verschobenen Zustandes: :Nutze also als Transformation den Verschiebe Operator: :<math> \chi'(z) = \langle S^\dagger D(z) S(z)\rangle = \langle \text{exp}\left( z S^\dagger a^\dagger S - z^* S^\dagger a S \right)\rangle \overset{\text{setze } S = D)}{=} \langle \text{exp}\left( z (a^\dagger + \alpha^*) - z^* (a+\alpha) \right)\rangle = \langle \text{exp}\left( z a^\dagger - z^* a \right) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) \rangle = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) </math> :Jetzt Formulieren wir das Argument der Exponentialfunktion entsprechend um: :Wir nutzen <math> z=\frac{x+iy}{\sqrt 2} </math> und <math> \alpha = \frac{\alpha_x+i\alpha_p}{\sqrt 2} </math>. Das ergibt beim Einsetzen: :<math>2( z\alpha^* - z^*\alpha ) = (x+iy)(\alpha_x-i\alpha_p)-(x-iy)(\alpha_x+i\alpha_p) = x\alpha_x +y\alpha_p-ix\alpha_p +iy\alpha_x -(y\alpha_x+ix\alpha_p-iy\alpha_x+y\alpha_p) = 2i(\alpha_xy-x\alpha_p) \Rightarrow z\alpha^* - z^*\alpha = i(\alpha_xy-x\alpha_p) </math> :Und mit den Vektoren <math> \vec x = (x,y)</math> und <math>\vec\alpha=(\alpha_x,\alpha_p)</math> identifizieren wir <math> \alpha_xy-x\alpha_p = -\vec x\wedge\vec\alpha </math>, sodass wir die transformierte charakteristische Funktion schreiben können als: :<math>\chi'(z) = \chi(z) \text{exp}\left( z\alpha^* - z^*\alpha \right) = \chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) </math>. Betrachten wir nun die transformierte Wigner Funktion, die sich aus dieser charakteristischen Funktion ergibt: :<math> W(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( qz^*-q^*z \right)\chi(z)= \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \Rightarrow W'(\vec q) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi'(z) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge\vec q \right)\chi(z) \text{exp}\left( -i\vec x\wedge\vec\alpha \right) = \int \frac{\text{d}^2z}{\pi^2}\text{exp}\left( i\vec x\wedge(\vec q-\vec \alpha) \right)\chi(z) = W(\vec q - \vec \alpha)</math>. Man sieht also, dass die Transformation mit dem Verschiebe Operator die Wigner Funktion tatsächlich nur verschoben hat, nicht aber ihre Gestalt verändert. <hr /> <references /> 1gi2m967mc24daw471yk3wsuaeice17 0 121727 1079790 1036915 2026-05-19T13:35:35Z Bocardodarapti 2041 1079790 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x,y) || x {{op:sin| y |}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Kontext=Funktion| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term=\R^2|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |lokalen Extrema| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term= f |SZ=}} auf die durch {{ Relationskette |y || x || || || |SZ= }} gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt. |Bestimme{{n Sie}}, ob die Einschränkung von {{math|term= f |SZ=}} auf die durch {{ Relationskette |y || x || || || |SZ= }} gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=4 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vvwr5hzsciro41g401nvzr4kv4tl3n 106 121868 1079838 1077412 2026-05-20T08:15:41Z Bocardodarapti 2041 1079838 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/2/Aufgabe|p||| |100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Sechs_Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pmxx3lg14r5hxqz03dl9uylk9xn2xta 106 121953 1079826 1077307 2026-05-20T06:33:49Z Bocardodarapti 2041 1079826 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe|p||| |U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p||| |Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6u5n1o3pdoam7sv58wjoz1do5gtu37m 106 121961 1079830 1077289 2026-05-20T06:37:24Z Bocardodarapti 2041 1079830 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Polynomring/Eine Variable/Kein Körper/Aufgabe|p||| |Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0zux59fkhan00am2pxdcju8pbz9uk2u 0 121964 1079824 1077152 2026-05-20T06:31:55Z Bocardodarapti 2041 1079824 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt| |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt| |/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gz4es12b9ycy9rd34b1o86sy1tl06fk 0 121965 1079822 642835 2026-05-20T06:29:54Z Bocardodarapti 2041 1079822 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt| |/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsuloyxze2j2ax059me5evy57eokdcj 0 124158 1079805 1038555 2026-05-19T15:50:46Z Bocardodarapti 2041 1079805 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |\Z | \subseteq | R || \Z[X]/(X^2+3) | \subseteq | \Z[Y]/(Y^2+Y+1) ||S || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2Y+1 |SZ=,}} die beide quadratische Erweiterungen von {{math|term= \Z|SZ=}} sind und wobei {{math|term= S |SZ=}} der Ring der {{ Definitionslink |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} ist und die Normalisierung von {{math|term= R |SZ=}} ist. Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= R |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X^2+3) || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X^2+1) || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X+1)^2 || || |SZ=, }} er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu {{math|term= S |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zmod| 2 |}} [Y]/(Y^2+Y+1) |SZ= }} und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In {{math|term= S |SZ=}} liegt die Zerlegung in Primideale {{ Relationskette |(2) ||(2) || || || |SZ= }} vor. In {{math|term= R |SZ=}} kann man hingegen das Ideal {{math|term= (2) |SZ=}} nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Das Quadrat davon ist aber bereits {{ Relationskette/align | (2,X+1) \cdot (2,X+1) || (4,2X+2,X^2+2X+1 ) || (4,2X+2,X^2-1 ) || (4,2X+2) | \subset | (2) |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring {{mathl|term= R/(4,2X+2) |SZ=}} besitzt {{math|term= 8 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-3)) |Objektkategorie2=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8zfqsaacc1iqs09pajyhmui0z59hds 1079807 1079805 2026-05-19T15:54:50Z Bocardodarapti 2041 1079807 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |\Z | \subseteq | R || \Z[X]/ {{makl| X^2+3 |}} | \subseteq | \Z[Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} ||S || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2Y+1 |SZ=,}} die beide quadratische Erweiterungen von {{math|term= \Z |SZ=}} sind und wobei {{math|term= S |SZ=}} der Ring der {{ Definitionslink |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} ist und die Normalisierung von {{math|term= R |SZ=}} ist. Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= R |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | R/(2) || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+3 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X+1)^2 || || |SZ=, }} er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu {{math|term= S |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zmod| 2 |}} [Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} |SZ= }} und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In {{math|term= S |SZ=}} liegt die Zerlegung in Primideale {{ Relationskette |(2) ||(2) || || || |SZ= }} vor. In {{math|term= R |SZ=}} kann man hingegen das Ideal {{math|term= (2) |SZ=}} nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Das Quadrat davon ist aber bereits {{ Relationskette/align | (2,X+1) \cdot (2,X+1) || {{makl| 4,2X+2,X^2+2X+1 |}} || {{makl| 4,2X+2,X^2-1 |}} || {{makl| 4,2X+2 |}} | \subset | (2) |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring {{mathl|term= R/(4,2X+2) |SZ=}} besitzt nämlich {{math|term= 8 |SZ=}} Elemente, der Restklassenring modulo {{math|term= 2 |SZ=}} dagegen {{math|term= 4 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-3)) |Objektkategorie2=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q57rx306jgwxdxkxjiip5f6zlxiu3lf 0 125727 1079788 1074827 2026-05-19T13:34:42Z Bocardodarapti 2041 1079788 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Eisenbeis_Sprungrampe|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge {{ Zusatz/Klammer |text=alle Angaben in Meter| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \ell || 1,2 || || || |SZ= }} verlaufen und eine Sprunghöhe von {{ Relationskette |h || 0,2 || || || |SZ= }} erreichen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe Bild| |ISZ=|ESZ=. }} Welche {{ Zusatz/Klammer |text=implizite| |ISZ=|ESZ= }} Bedingung muss der Winkel {{math|term=\alpha|SZ=}} erfüllen {{ Zusatz/Klammer |text=die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden| |ISZ=|ESZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Dr. Eisenbeis |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llo3yqvhpj8a9zcgq3d6qawgc4bzgu1 0 126785 1079787 1034960 2026-05-19T13:34:22Z Bocardodarapti 2041 1079787 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir möchten {{math|term=\pi/2|SZ=}} möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe {{ Relationskette/display | {{op:cos| x |}} || {{op:cosinusreihe| x |n=k}} || || || || |SZ= }} und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/3/Verfahren |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als {{math|term= n|SZ=-}}te Approximation {{math|term= y_n |SZ=}} für {{math|term=\pi/2|SZ=}} die untere Intervallgrenze der {{math|term= n|SZ=-}}ten Intervallhalbierung {{ Zusatz/Klammer |text=des Ausgangsintervalls {{mathl|term=[1,2] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe {{math|term= \sum_{k {{=}} 0 }^n (-1)^k {{op:Bruch|x^{2k} |(2k)!}} |SZ=}} zu verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion| |ISZ=|ESZ= }} {{ManSie|Man entwerfe|Entwerfen Sie}} ein Computer-Programm {{ Zusatz/Klammer |text=Pseudocode| |ISZ=|ESZ=, }} das die Folgenglieder {{math|term= y_n |SZ=}} berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen. {{ Auflistung6 |Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können. |Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit {{ Zusatz/Klammer |text=diese müssen also nicht erzeugt werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann die rationalen Rechenoperationen {{ Zusatz/Klammer |text=Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl {{math|term= \neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. |Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahl pi |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxhujvylo62ptcy6wmycse3x5gtlf8w 0 133501 1079875 1078016 2026-05-20T10:01:15Z C.Koltzenburg 13981 /* Berichte (FSP, Teil 2) */ 1079875 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Beispielformulierungen für Ihre Berichte == [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] == Berichte (FSP, Teil 2) == (Die jüngsten Berichte stehen oben.) * 25. [[Anamneseberichte/Sina_Gowitz_22_J|'''Sina Gowitz 22 J.''']] (VD Appendizitis) * 24. [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|'''Alexander Weiss 34 J.''']] (VD Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand - mit [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 23. [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J|'''Uschi Strohbach 45 J.''']] (VD Rheumatoide Arthritis - mit [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 22. [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J|'''Sandra Ummendorf 39 J.''']] (VD Hyperthyreose - mit [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 21. [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J|'''Thomas Bredenmeyer, 70 J.''']] (VD Sprunggelenksfraktur - mit [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 20. [[Anamneseberichte/Hans-Jörg_Meier_34_J|'''Hans-Jörg Meier, 36 J.''']] (VD obere GiB) * 19. [[Anamneseberichte/Olga_Müller_36_J|'''Olga Müller, 36 J.''']] (VD Pyelonephritis, FSP in Karlsruhe am 29.1.2026) * 18. [[Anamneseberichte/Nina_Hagenbeck_58_J|'''Nina Hagenbeck, 58 J.''']] (VD Ulcus ventriculi mit oberer gastrointestinaler Blutung) * 17. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|'''Ralf Merklinger, 48 J.''']] (VD Panikattacke) -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_8|Patientenvorstellung dazu]] * 16. [[Anamneseberichte/Janus_Hubertus_48_J|'''Janus Hubertus, 48 J.''']] (VD Phäochromozytom) * 15. [[Anamneseberichte/Arnold_Hartmann_78_J|'''Arnold Hartmann, 78 J.''']] (VD TIA) * 14. [[Anamneseberichte/Julia_Nolte_28_J|'''Julia Nolte, 28 J.''']] (VD Endokarditis) * 13. [[Anamneseberichte/Wulf_Albrecht_51_J|'''Wulf Albrecht, 51 J.''']] (VD Pneumonie) * 12. [[Anamneseberichte/Walter_Schumann_73_J|'''Walter Schumann, 73 J.''']] (VD Lungenembolie) * 11. [[Anamneseberichte/Erich_Neumeister_66_J|'''Erich Neumeister, 66 J.''']] (VD Leberzirrhose) * 10. [[Anamneseberichte/Katharina_Strauß-Huber_45_J|'''Katharina Strauß-Huber, 45 J.''']] (VD Karzinoid) * 9. [[Anamneseberichte/Renate-Marija_Kovermeyer_40_J|'''Renate-Marija Kovermeyer, 40 J.''']] (VD Migräne) * 8. [[Anamneseberichte/Walter_Vogelmayr_65_J|'''Walter Vogelmayr, 65 J.''']] (VD Periphere arterielle Verschlusskrankheit (pAVK)) * 7. [[Anamneseberichte/Rolf_Pfander_45_J|'''Rolf Pfander, 45 J.''']] (VD Lymphom, div.) * 6. [[Anamneseberichte/Maren_Scharbowski_75_J|'''Maren Scharbowski, 75 J.''']] (VD Angina pectoris) * 5. [[Anamneseberichte/Susanne_Bay_35_J|'''Susanne Bay, 35 J.''']] (VD Colon irritabile/ Reizdarmsyndrom (RDS)) * 4. [[Anamneseberichte/Hans-Joachim_Klinkmüller_43_J|'''Hans-Joachim Klinkmüller, 43 J.''']] (VD (Non-)Hodgkin Lymphom) * 3. [[Anamneseberichte/Manfred_ Markovich_84_J|'''Manfred Markovich, 84 J.''']] (zwei verschiedene VD) * 2. [[Anamneseberichte/Fabian_Hartmann_48_J|'''Fabian Hartmann, 48 J. / Joachim Metzmacher, 48 J.''']] (VD Panikattacke, Berichte (5 Beispiele), teilweise mit Formulierungen wie für eine Patientenvorstellung, plus Wortschatz und Tipps für Fragen) * 1. [[Anamneseberichte/Gertraude_Heinrichsmeier_80_J|'''Gertraude Heinrichsmeier, 80 J.''']], (VD Fraktur, Hüftgelenk oder Oberschenkelhals) 2zmgf9yys3o1vtym36he497t407r350 1079885 1079875 2026-05-20T10:56:20Z C.Koltzenburg 13981 /* Berichte (FSP, Teil 2) */ 1079885 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Beispielformulierungen für Ihre Berichte == [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] == Berichte (FSP, Teil 2) == (Die jüngsten Berichte stehen oben.) * 25. [[Anamneseberichte/ Sina_Gowitz_22_J|'''Sina Gowitz 22 J.''']] (VD Appendizitis) * 24. [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|'''Alexander Weiss 34 J.''']] (VD Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand - mit [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 23. [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J|'''Uschi Strohbach 45 J.''']] (VD Rheumatoide Arthritis - mit [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 22. [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J|'''Sandra Ummendorf 39 J.''']] (VD Hyperthyreose - mit [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 21. [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J|'''Thomas Bredenmeyer, 70 J.''']] (VD Sprunggelenksfraktur - mit [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 20. [[Anamneseberichte/Hans-Jörg_Meier_34_J|'''Hans-Jörg Meier, 36 J.''']] (VD obere GiB) * 19. [[Anamneseberichte/Olga_Müller_36_J|'''Olga Müller, 36 J.''']] (VD Pyelonephritis, FSP in Karlsruhe am 29.1.2026) * 18. [[Anamneseberichte/Nina_Hagenbeck_58_J|'''Nina Hagenbeck, 58 J.''']] (VD Ulcus ventriculi mit oberer gastrointestinaler Blutung) * 17. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|'''Ralf Merklinger, 48 J.''']] (VD Panikattacke) -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_8|Patientenvorstellung dazu]] * 16. [[Anamneseberichte/Janus_Hubertus_48_J|'''Janus Hubertus, 48 J.''']] (VD Phäochromozytom) * 15. [[Anamneseberichte/Arnold_Hartmann_78_J|'''Arnold Hartmann, 78 J.''']] (VD TIA) * 14. [[Anamneseberichte/Julia_Nolte_28_J|'''Julia Nolte, 28 J.''']] (VD Endokarditis) * 13. [[Anamneseberichte/Wulf_Albrecht_51_J|'''Wulf Albrecht, 51 J.''']] (VD Pneumonie) * 12. [[Anamneseberichte/Walter_Schumann_73_J|'''Walter Schumann, 73 J.''']] (VD Lungenembolie) * 11. [[Anamneseberichte/Erich_Neumeister_66_J|'''Erich Neumeister, 66 J.''']] (VD Leberzirrhose) * 10. [[Anamneseberichte/Katharina_Strauß-Huber_45_J|'''Katharina Strauß-Huber, 45 J.''']] (VD Karzinoid) * 9. [[Anamneseberichte/Renate-Marija_Kovermeyer_40_J|'''Renate-Marija Kovermeyer, 40 J.''']] (VD Migräne) * 8. [[Anamneseberichte/Walter_Vogelmayr_65_J|'''Walter Vogelmayr, 65 J.''']] (VD Periphere arterielle Verschlusskrankheit (pAVK)) * 7. [[Anamneseberichte/Rolf_Pfander_45_J|'''Rolf Pfander, 45 J.''']] (VD Lymphom, div.) * 6. [[Anamneseberichte/Maren_Scharbowski_75_J|'''Maren Scharbowski, 75 J.''']] (VD Angina pectoris) * 5. [[Anamneseberichte/Susanne_Bay_35_J|'''Susanne Bay, 35 J.''']] (VD Colon irritabile/ Reizdarmsyndrom (RDS)) * 4. [[Anamneseberichte/Hans-Joachim_Klinkmüller_43_J|'''Hans-Joachim Klinkmüller, 43 J.''']] (VD (Non-)Hodgkin Lymphom) * 3. [[Anamneseberichte/Manfred_ Markovich_84_J|'''Manfred Markovich, 84 J.''']] (zwei verschiedene VD) * 2. [[Anamneseberichte/Fabian_Hartmann_48_J|'''Fabian Hartmann, 48 J. / Joachim Metzmacher, 48 J.''']] (VD Panikattacke, Berichte (5 Beispiele), teilweise mit Formulierungen wie für eine Patientenvorstellung, plus Wortschatz und Tipps für Fragen) * 1. [[Anamneseberichte/Gertraude_Heinrichsmeier_80_J|'''Gertraude Heinrichsmeier, 80 J.''']], (VD Fraktur, Hüftgelenk oder Oberschenkelhals) 6cza1fvf1pn8rwnboqrdv5iywjzhpmq 108 134217 1079779 1079778 2026-05-19T12:09:55Z Jeb 26942 /* BiblioCON 2026 */ query title 1079779 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=1Lib1Nearby |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:jeb|jeb]] |LAUFZEIT=jährlich: 6. Februar bis 14. Mai + 6. Juni bis 14. Januar |ZUSAMMENARBEIT=[[Benutzer:erfurth|erfurth]], [[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] |KURZBESCHREIBUNG=Übersichtsseite für OER (Sammlungen und Kurse) im Zusammenhang mit der Wikidata-Abfrage [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] |BILD=1Lib1Nearby.svg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Wikiversity: OER == * Jens Bemme: ''#Nearby. Landeskunde und Citizen Science mit Pandemie im Frühjahr 2020'', Informationspraxis, Bd. 6 Nr. 2 (2020), 27. September 2020, doi [https://doi.org/10.11588/ip.2020.2.73402 10.11588/ip.2020.2.73402] * [https://hackdash.org/projects/623987036d202d739f69cb52 Coding da Vinci*''Nearby''], März 2022 * Matthias Erfurth: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022. * Alan Riedel: ''Auf Alt-Leipziger Kneipentour durch Raum und Zeit – eine Projektskizze'', https://saxorum.hypotheses.org/6523, 28. Dezember 2021. * Christian Erlinger: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6345 Multilinguales regionales Weltwissen – Regiowikis mit Wikipedia-Sprachversionen in Wikidata verknüpfen]'', Saxorum, 19. Oktober 2021. * [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]: ''[https://osl.hypotheses.org/8131 Walnuss-Alleen verlinken: Urkunden, Straßen oder Baumnetze offen kartieren, Datenpunkte und Datenberge]'', Open Science Lab-Blog, 22. September 2023 * Jens Bemme: ''Offene Geodaten aus Partnerstädten – auch für Bibliotheken relevant'', 5. Juli 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11390 * Jens Bemme: ''1Lib1Nearby mit Wikidata: Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung.'' o-bib. Das Offene Bibliotheksjournal, Herausgeber VDB, 2023, https://doi.org/10.5282/o-bib/5970 * Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Call for edits * ''Call: Gastbeiträge für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung im Sommer 2021 – mit Nearby-Spezialabfragen'', https://saxorum.hypotheses.org/6117, 2. Juli 2021. * Jens Bemme: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'', SLUBlog, 23. Juli 2020 * ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren – Call'', 16. Januar 2025, https://saxorum.hypotheses.org/12360 * Jens Bemme und Alexander Winkler: ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 ; Varianten * [[d:User:Gerd_Fahrenhorst#Nearby_ohne_Stolpersteine,_Stra%C3%9Fen_und_Sonderausstellungen]] u.a. == BiblioCON 2026 == {{SPARQL|query= #title: Wikidata-Nearby-Query für teilnehmende Institutionen der BiblioCON 2026 SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 wd:Q1565517 wd:Q1567759 wd:Q1573209 wd:Q15792046 wd:Q15824236 wd:Q15834499 wd:Q15848804 wd:Q15848805 wd:Q15852122 wd:Q15979678 wd:Q1600777 wd:Q1616201 wd:Q1622088 wd:Q1622135 wd:Q1622216 wd:Q1622220 wd:Q1622239 wd:Q162684 wd:Q1667281 wd:Q1668388 wd:Q1680376 wd:Q170109 wd:Q17122276 wd:Q1718711 wd:Q1722676 wd:Q1770764 wd:Q1802138 wd:Q1802141 wd:Q1806348 wd:Q18085187 wd:Q1821142 wd:Q18333131 wd:Q18333276 wd:Q189441 wd:Q189928 wd:Q190260 wd:Q1937092 wd:Q2073008 wd:Q2239285 wd:Q224514 wd:Q2324633 wd:Q2324644 wd:Q2326818 wd:Q2326823 wd:Q2326882 wd:Q2326915 wd:Q2326921 wd:Q2327009 wd:Q233098 wd:Q2359904 wd:Q23786596 wd:Q2399120 wd:Q2496248 wd:Q2496254 wd:Q2496255 wd:Q2496260 wd:Q2496283 wd:Q2496287 wd:Q2496293 wd:Q2496296 wd:Q2496307 wd:Q2496314 wd:Q2496319 wd:Q2496322 wd:Q2496324 wd:Q2496326 wd:Q2496330 wd:Q2496342 wd:Q2496344 wd:Q2496347 wd:Q2496350 wd:Q2496355 wd:Q256507 wd:Q27302 wd:Q27429972 wd:Q27863572 wd:Q27978762 wd:Q27991306 wd:Q27991358 wd:Q280017 wd:Q284992 wd:Q28650468 wd:Q28662066 wd:Q28662072 wd:Q28662104 wd:Q28662469 wd:Q28681438 wd:Q28681746 wd:Q28681836 wd:Q28681888 wd:Q28681997 wd:Q28686653 wd:Q28733444 wd:Q28733446 wd:Q28733453 wd:Q28733486 wd:Q28733515 wd:Q28733533 wd:Q28733704 wd:Q28734971 wd:Q28737538 wd:Q28738818 wd:Q28738830 wd:Q304037 wd:Q309988 wd:Q310695 wd:Q311801 wd:Q312653 wd:Q315175 wd:Q317032 wd:Q317070 wd:Q317179 wd:Q319333 wd:Q323270 wd:Q37979269 wd:Q391028 wd:Q42944 wd:Q462763 wd:Q472839 wd:Q49117 wd:Q4957110 wd:Q500692 wd:Q501851 wd:Q50280985 wd:Q50378813 wd:Q51985 wd:Q52662334 wd:Q54166 wd:Q54804519 wd:Q55152800 wd:Q55153258 wd:Q55153331 wd:Q55153443 wd:Q55153532 wd:Q564783 wd:Q568704 wd:Q574571 wd:Q604066 wd:Q64826802 wd:Q66780064 wd:Q679913 wd:Q683842 wd:Q684773 wd:Q686171 wd:Q687017 wd:Q689400 wd:Q689854 wd:Q695267 wd:Q696757 wd:Q697111 wd:Q702499 wd:Q707283 wd:Q734324 wd:Q77077361 wd:Q80796 wd:Q827220 wd:Q829096 wd:Q833738 wd:Q835440 wd:Q856423 wd:Q856475 wd:Q856552 wd:Q872896 wd:Q875587 wd:Q896706 wd:Q913987 wd:Q98380085 } ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} == Verwandte Seiten == * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/nearby Nearby]'' und ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/1lib1nearby 1lib1nearby]'' * Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Stadtwiki:Nearby Stadtwiki:Nearby] * [[VBIB21|#vBIB21]]: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)|Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen]]'', Matthias Erfurth, 2. Dezember 2021 [[Kategorie:Wikidata]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Citizen Science]] tkma93pe1r5d53ft62yvi66807icqfx 1079780 1079779 2026-05-19T12:18:09Z Jeb 26942 /* BiblioCON 2026 */ 1079780 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=1Lib1Nearby |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:jeb|jeb]] |LAUFZEIT=jährlich: 6. Februar bis 14. Mai + 6. Juni bis 14. Januar |ZUSAMMENARBEIT=[[Benutzer:erfurth|erfurth]], [[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] |KURZBESCHREIBUNG=Übersichtsseite für OER (Sammlungen und Kurse) im Zusammenhang mit der Wikidata-Abfrage [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] |BILD=1Lib1Nearby.svg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Wikiversity: OER == * Jens Bemme: ''#Nearby. Landeskunde und Citizen Science mit Pandemie im Frühjahr 2020'', Informationspraxis, Bd. 6 Nr. 2 (2020), 27. September 2020, doi [https://doi.org/10.11588/ip.2020.2.73402 10.11588/ip.2020.2.73402] * [https://hackdash.org/projects/623987036d202d739f69cb52 Coding da Vinci*''Nearby''], März 2022 * Matthias Erfurth: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022. * Alan Riedel: ''Auf Alt-Leipziger Kneipentour durch Raum und Zeit – eine Projektskizze'', https://saxorum.hypotheses.org/6523, 28. Dezember 2021. * Christian Erlinger: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6345 Multilinguales regionales Weltwissen – Regiowikis mit Wikipedia-Sprachversionen in Wikidata verknüpfen]'', Saxorum, 19. Oktober 2021. * [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]: ''[https://osl.hypotheses.org/8131 Walnuss-Alleen verlinken: Urkunden, Straßen oder Baumnetze offen kartieren, Datenpunkte und Datenberge]'', Open Science Lab-Blog, 22. September 2023 * Jens Bemme: ''Offene Geodaten aus Partnerstädten – auch für Bibliotheken relevant'', 5. Juli 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11390 * Jens Bemme: ''1Lib1Nearby mit Wikidata: Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung.'' o-bib. Das Offene Bibliotheksjournal, Herausgeber VDB, 2023, https://doi.org/10.5282/o-bib/5970 * Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Call for edits * ''Call: Gastbeiträge für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung im Sommer 2021 – mit Nearby-Spezialabfragen'', https://saxorum.hypotheses.org/6117, 2. Juli 2021. * Jens Bemme: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'', SLUBlog, 23. Juli 2020 * ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren – Call'', 16. Januar 2025, https://saxorum.hypotheses.org/12360 * Jens Bemme und Alexander Winkler: ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 ; Varianten * [[d:User:Gerd_Fahrenhorst#Nearby_ohne_Stolpersteine,_Stra%C3%9Fen_und_Sonderausstellungen]] u.a. == BiblioCON 2026 == ; BibliCON-Bibliotheken und das multilinguale Weltwissen ihrer nahen Umgebungen in Wikidata {{SPARQL|query= #title: Wikidata-Nearby-Query für Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 wd:Q1565517 wd:Q1567759 wd:Q1573209 wd:Q15792046 wd:Q15824236 wd:Q15834499 wd:Q15848804 wd:Q15848805 wd:Q15852122 wd:Q15979678 wd:Q1600777 wd:Q1616201 wd:Q1622088 wd:Q1622135 wd:Q1622216 wd:Q1622220 wd:Q1622239 wd:Q162684 wd:Q1667281 wd:Q1668388 wd:Q1680376 wd:Q170109 wd:Q17122276 wd:Q1718711 wd:Q1722676 wd:Q1770764 wd:Q1802138 wd:Q1802141 wd:Q1806348 wd:Q18085187 wd:Q1821142 wd:Q18333131 wd:Q18333276 wd:Q189441 wd:Q189928 wd:Q190260 wd:Q1937092 wd:Q2073008 wd:Q2239285 wd:Q224514 wd:Q2324633 wd:Q2324644 wd:Q2326818 wd:Q2326823 wd:Q2326882 wd:Q2326915 wd:Q2326921 wd:Q2327009 wd:Q233098 wd:Q2359904 wd:Q23786596 wd:Q2399120 wd:Q2496248 wd:Q2496254 wd:Q2496255 wd:Q2496260 wd:Q2496283 wd:Q2496287 wd:Q2496293 wd:Q2496296 wd:Q2496307 wd:Q2496314 wd:Q2496319 wd:Q2496322 wd:Q2496324 wd:Q2496326 wd:Q2496330 wd:Q2496342 wd:Q2496344 wd:Q2496347 wd:Q2496350 wd:Q2496355 wd:Q256507 wd:Q27302 wd:Q27429972 wd:Q27863572 wd:Q27978762 wd:Q27991306 wd:Q27991358 wd:Q280017 wd:Q284992 wd:Q28650468 wd:Q28662066 wd:Q28662072 wd:Q28662104 wd:Q28662469 wd:Q28681438 wd:Q28681746 wd:Q28681836 wd:Q28681888 wd:Q28681997 wd:Q28686653 wd:Q28733444 wd:Q28733446 wd:Q28733453 wd:Q28733486 wd:Q28733515 wd:Q28733533 wd:Q28733704 wd:Q28734971 wd:Q28737538 wd:Q28738818 wd:Q28738830 wd:Q304037 wd:Q309988 wd:Q310695 wd:Q311801 wd:Q312653 wd:Q315175 wd:Q317032 wd:Q317070 wd:Q317179 wd:Q319333 wd:Q323270 wd:Q37979269 wd:Q391028 wd:Q42944 wd:Q462763 wd:Q472839 wd:Q49117 wd:Q4957110 wd:Q500692 wd:Q501851 wd:Q50280985 wd:Q50378813 wd:Q51985 wd:Q52662334 wd:Q54166 wd:Q54804519 wd:Q55152800 wd:Q55153258 wd:Q55153331 wd:Q55153443 wd:Q55153532 wd:Q564783 wd:Q568704 wd:Q574571 wd:Q604066 wd:Q64826802 wd:Q66780064 wd:Q679913 wd:Q683842 wd:Q684773 wd:Q686171 wd:Q687017 wd:Q689400 wd:Q689854 wd:Q695267 wd:Q696757 wd:Q697111 wd:Q702499 wd:Q707283 wd:Q734324 wd:Q77077361 wd:Q80796 wd:Q827220 wd:Q829096 wd:Q833738 wd:Q835440 wd:Q856423 wd:Q856475 wd:Q856552 wd:Q872896 wd:Q875587 wd:Q896706 wd:Q913987 wd:Q98380085 } ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} == Verwandte Seiten == * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/nearby Nearby]'' und ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/1lib1nearby 1lib1nearby]'' * Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Stadtwiki:Nearby Stadtwiki:Nearby] * [[VBIB21|#vBIB21]]: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)|Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen]]'', Matthias Erfurth, 2. Dezember 2021 [[Kategorie:Wikidata]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Citizen Science]] pg3sin7larqn10mpmvjhdxex8c6livd 0 136185 1079782 1036585 2026-05-19T13:28:48Z Bocardodarapti 2041 1079782 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Für die reelle {{ Definitionslink |Kosinusfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= {{op:cos||}} |\R| \R || |SZ= }} erhält man aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. direkt mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} für jedes {{math|term= m |SZ=}} die Abschätzungen {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:cos| x |}} - \sum_{ i {{=|}} 0}^m {{op:Bruch| (-1)^{ i } x^{2 i } | (2i)! }} |}} | \leq | {{op:Bruch| {{op:Betrag| x |}}^{2m+1} | (2m+1)!}} || || || |SZ=. }} Damit kann man den Funktionsverlauf des Kosinus beliebig gut approximieren und auch die Zahl {{math|term= \pi |SZ=}} beliebig genau bestimmen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Taylor-Formel in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tf1inoaekrx596h4gjyjb8t5y00neh 108 149443 1079869 889062 2026-05-20T09:48:20Z ChristianSW 15793 + 1079869 wikitext text/x-wiki == Infrarotfahrzeug II == === Fahrgestell === <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Datei:Tüftlerclub 18.02.2023 Bagger I.jpg Datei:Tüftlerclub 18.02.2023 Bagger II.jpg </gallery> === Fahrgestell mit Smartphone === <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Datei:Tüftlerclub IR-Fahrzeug mit Smartphone I.jpg Datei:Tüftlerclub IR-Fahrzeug mit Smartphone II.jpg </gallery> === Beispiel für eine Videoübertragung === <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Datei:Tüftlerclub_Videodrohne.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === Notizbuch === * [https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch] fenjk4bross10w4t1xsna0ynwtspgqd 1079870 1079869 2026-05-20T09:48:52Z ChristianSW 15793 ... 1079870 wikitext text/x-wiki == Infrarotfahrzeug II == === Fahrgestell === <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Datei:Tüftlerclub 18.02.2023 Bagger I.jpg Datei:Tüftlerclub 18.02.2023 Bagger II.jpg </gallery> === Fahrgestell mit Smartphone === <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Datei:Tüftlerclub IR-Fahrzeug mit Smartphone I.jpg Datei:Tüftlerclub IR-Fahrzeug mit Smartphone II.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === Notizbuch === * [https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch] j5f6uogj0y6axvbrkj6zm0ouhmuqqds 106 167013 1079849 1079359 2026-05-20T08:34:22Z Paul Sutermeister 37610 1079849 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' || Seiten 10-14 |- | 07.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Thema '''INDIREKTE REDE'''.</br>2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>3. Thema '''GESCHÄFTSBRIEF'''. Zum Beispiel: Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl.<br/>Bewertungskriterien für die beiden Fliesstexte ''Stellungnahme'' und ''Angebot'' gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]]; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] ap24oi1dxxshcti3ez8gl84wg9f5t0y 0 167745 1079801 1079698 2026-05-19T14:00:24Z Jeb 26942 gallery 1079801 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Digital nebenan: Wikidata ermöglicht Bibliothekskooperationen ‘nearby’, lokal und überregional weltweit'''| Eingereicht: ''Abgelehnt.'' | '''Methode''' | Vortrag | '''Termin'''| 2026 | '''Autoren''' | Jens Bemme (SLUB Dresden), [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] und Alexander Winkler (digiS), [https://scholia.toolforge.org/author/Q124745332 (Q124745332)] }} == Abstract == Kooperationen von, in und mit Bibliotheken profitieren von den offenen Meta- und Kulturdaten, die durch Portale der Wikimediabewegung und OpenStreetMap zur Verfügung stehen. Für lokale, regionale und auch internationale Kooperationen birgt insbesondere der geographische Ansatz großes Potenzial. Die räumliche Dimension begünstigt kollaborative digitale Bildungsprojekte, Datenpflege und -visualisierung. Durch Features wie etwa den ‘Nearby’-Abfragen<ref>Nearby: https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby, https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Nearby</ref> der Wikimedia-Projekte können relevante Objekte in einem geographischen Bereich ermittelt und für Bibliotheks- und Beteiligungsprojekte genutzt werden: zur Vermittlung digitaler Methoden für Nutzer:innen wie für Mitarbeiter:innen in GLAM-Institutionen, Datenpflege mit Partnerbibliotheken, für Initiativen mit zivilgesellschaftlichen Gruppen sowie für Geodatenprojekte in der Stadtentwicklung.<ref>https://saxorum.hypotheses.org/11390</ref> ‘Nearby’-Spezialabfragen für Wikidata, Wikipedias und Wikimedia Commons (dt. ‘In der Nähe'-Abfragen<ref>Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he</ref>) bieten Zugriff auf lokale Wissens- und Datenbestände – in Bibliotheken, für ihre Standorte, ortsbezogen für ihre lokalen Gemeinschaften und auch ortsunabhängig.<ref>''1Lib1Nearby mit Wikidata : Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung'', https://doi.org/10.5282/o-bib/5970</ref> Internationale Zusammenarbeit anhand von gemeinsamen Daten, durch kollaborative Datenpflege und in geteilten digitalen und zudem multilingualen Räumen wird ‘nearby’ einfacher. Der Vortrag thematisiert anhand konkreter Beispiele analoges sowie digitales ‘Community Building’ mit offener Datenkultur, nächste Schritte für die Datenpflege in GLAM-Kooperationsprojekten und für solche Zusammenarbeit im lokalen wie institutionellen Umfeld und mit dem Publikum der eigenen Bibliothek.<ref>https://de.wikiversity.org/wiki/DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe_Abstrakt</ref> Der [[Projekt:1Lib1Nearby|Nearby-Ansatz]] stärkt Beteiligung, Methodenkompetenz sowie institutionelle ‘Outreach’-Aktivitäten mit Bürger:innen, die mit offenen Daten recherchieren, forschen & entwickeln, lokal und überregional: potentiell weltweit.<ref>https://saxorum.hypotheses.org/7728</ref> == Open GLAM cluster nearby == ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 <gallery> WikiBiblioCon.svg Minerva icon nearby.svg|[https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] </gallery> === Fußnoten === <references/> hjm1vnbbfp6lc7tvzk6zg1724ctvwt2 106 167988 1079855 1063823 2026-05-20T08:46:54Z Kim Celine Cilius 38892 /* Inhalte des Kurses */ 1079855 wikitext text/x-wiki =='''Herzlich Willkommen!'''== {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Fachangestellte für Medien- und Informationsdienste |ANSPRECHPARTNER= [[Benutzer:Kim Celine Cilius|Kim Celine Cilius]] ([[Benutzer Diskussion:Kim Celine Cilius|Diskussion]]) |LAUFZEIT= |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Dieser Kurs wird während meiner Ausbildung zur Fachangestellten für Medien- und Informationsdienste erstellt. Da ich meine Ausbildung in Nordrhein-Westfalen in der Fachrichtung Archiv absolviere, können die Themen für andere Bundesländer abweichen. '''Es wird kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben.''' }} == Inhalte des Kurses == {| class="wikitable" | |- ! Kursübersicht - SBL Archiv |- | [[Kurs:Fachangestellte_für_Medien-_und_Informationsdienste/Allgemeine_Wirtschaftslehre|Allgemeine Wirtschaftslehre]] |- | Archive - Aufgaben und Geschichte |- |Archivsparten |- |Hilfswissenschaften/Schriftgeschichte |- | Records Management |- | Bewertung |- | Aussonderung |- | Dokumentationsprofil |- | |- | |} dq10z3l8h7xx3fwu28obbbr5wjimsm9 106 167989 1079851 1063822 2026-05-20T08:36:17Z Kim Celine Cilius 38892 /* */ 1079851 wikitext text/x-wiki == '''Spezielle Betriebslehre - Archiv''' == tseqpk0yzcnsyb8hajr9wvv9hpxyb3o 1079854 1079851 2026-05-20T08:40:43Z Kim Celine Cilius 38892 /* Spezielle Betriebslehre - Archiv */ 1079854 wikitext text/x-wiki {{Löschen|Begründung --[[Benutzer:Kim Celine Cilius|Kim Celine Cilius]] ([[Benutzer Diskussion:Kim Celine Cilius|Diskussion]]) 10:40, 20. Mai 2026 (CEST)}}Habe die Seite falsch benannt und würde einen neuen Kursinhalt erstellen wollen. == '''Spezielle Betriebslehre - Archiv''' == iagzrmxp7yf6g8lmll47ogu3v0rwa7a 106 168625 1079831 1079658 2026-05-20T06:46:00Z Bocardodarapti 2041 1079831 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{:Mathematische Strukturen/Gleichheit und Isomorphie/Motivation/Bemerkung}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Links- und rechtsisomorph/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorph-konjugierte Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Permutationen}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Typ/Textabschnitt}} }} ffb1efl6cvhc565gjb1sklfb620hizs 1079832 1079831 2026-05-20T06:48:22Z Bocardodarapti 2041 1079832 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{:Mathematische Strukturen/Gleichheit und Isomorphie/Diskrete Situation/Motivation/Bemerkung}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Links- und rechtsisomorph/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorph-konjugierte Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Permutationen}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Typ/Textabschnitt}} }} 7luo4r62db24lnka6kgwql6vzrm3n0f 1079834 1079832 2026-05-20T07:17:01Z Bocardodarapti 2041 1079834 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{:Mathematische Strukturen/Gleichheit und Isomorphie/Diskrete Situation/Motivation/Bemerkung}} In dieser Vorlesung werden wir diese Fragen für Relationen genauer untersuchen, mit dem Fokus auf Abbildungen zwischen endlichen Mengen, Äquivalenzrelationen auf endlichen Mengen und Permutationen. {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Links- und rechtsisomorph/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorph-konjugierte Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Permutationen}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Typ/Textabschnitt}} }} o271w6jmu48efhvdxzpy51djf8zqe27 1079837 1079834 2026-05-20T07:31:34Z Bocardodarapti 2041 1079837 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{:Mathematische Strukturen/Gleichheit und Isomorphie/Diskrete Situation/Motivation/Bemerkung}} In dieser Vorlesung werden wir diese Fragen für Relationen genauer untersuchen, mit dem Fokus auf Abbildungen zwischen endlichen Mengen, Äquivalenzrelationen auf endlichen Mengen und Permutationen. {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Links- und rechtsisomorphe Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen/Links- und rechtsisomorph/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Isomorph-konjugierte Relationen}} {{:Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Abbildungen}} {{:Isomorphe Strukturen/Abbildungen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konjugierte Permutationen}} {{:Permutationen/Zyklendarstellung/Typ/Textabschnitt}} }} tiizz3ejo1q5mowwcnw9050dlca8hlq 106 168655 1079836 1079760 2026-05-20T07:26:30Z Bocardodarapti 2041 1079836 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} kgn6ivj4srbdjjr447pbb3q0eaefupn 1079839 1079836 2026-05-20T08:15:57Z Bocardodarapti 2041 1079839 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} 0y1a3v5xwgmx0rg3aqmng0lrkmlkhye 1079845 1079839 2026-05-20T08:26:34Z Bocardodarapti 2041 1079845 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} md4vi6il9jelepybq534xq7cys7fy3u 1079860 1079845 2026-05-20T09:14:55Z Bocardodarapti 2041 1079860 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Isomorph und konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} 73tnc7k30qf0piox1r59ii2io3ultjv 1079862 1079860 2026-05-20T09:16:57Z Bocardodarapti 2041 1079862 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} nul1glqndo14r1dwe68pthqmzkew7x9 106 168671 1079800 1078333 2026-05-19T13:51:26Z Bocardodarapti 2041 1079800 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Permutation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Inverses Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfungen/Monoid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linkseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linksvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtsvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Reflexiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Transitiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Symmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Beschränkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Komplementär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Distributiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Boolesch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Äquivalenzrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Pfad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Blatt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Regulär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Rang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Laplace-Matrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonkreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonsch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Kantendisjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Zulässig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Planar/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> dl8s7mf4sc0s1d8nkpvvesuphak655i 106 168673 1079808 1078334 2026-05-19T15:59:07Z Bocardodarapti 2041 1079808 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma|| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Aufgabe|| }} {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Lineare Rekursion/C/Lösung/Explizite Darstellung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> b13htlbj7mt2p4zmzd8ykt4u4fqn2lc 106 168842 1079806 1072011 2026-05-19T15:51:44Z Bocardodarapti 2041 1079806 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Dedekind}} {{:Dedekindbereich/Satz von Dedekind/Textabschnitt|}} {{ inputbeispiel |Wurzel -3/Eisensteinzahlen/Keine Produktzerlegung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Chinesischer Restsatz für Dedekindbereiche}} Wir kommen zum chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche, der den klassischen chinesischen Restsatz für ganze Zahlen wesentlich verallgemeinert. Dazu erinnern wir kurz an Produktringe und idempotente Elemente. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} besitzen, idempotent, also beispielsweise {{mathl|term= (1,0) |SZ=.}} {{:Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Faserring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} Wir formulieren explizit die beiden folgenden Spezialfälle des chinesischen Restsatzes. {{ inputfakt |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfakt |Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Multipliktivität der Norm}} {{:Zahlbereich/Ideal/Norm/Multiplikativität/Textabschnitt}} {{ inputbemerkung |Zahlbereich/Hauptdivisor/Berechnung mit Restsatz/Bemerkung|| }} }} o6rnwi086g1v01uailq82tfmm7jchdg 106 168891 1079809 1077828 2026-05-19T16:00:39Z Bocardodarapti 2041 1079809 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Diophantische Gleichung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer Teiler ist Einheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Überkreuzrelation/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringhomomorphismus/Faserring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Galois-Erweiterung/Über Automorphismenanzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganz-abgeschlossen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche freie Algebra/Element/Norm/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition|}} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Diskriminante/Definition|}} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Komplexe Einbettungen/Komplexe Ganzheitsmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Primideal/Ordnung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Element/Hauptdivisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Algebra/Monogen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungspolynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungsring/Z/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungskörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitskörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gaußsche Summe/Quadratisch/1/Legendre-Symbol/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Klassenzahl/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Regulator/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> rtrzyelbvzkquabx9iyx4bn5fqcnr93 106 168893 1079810 1077829 2026-05-19T16:01:08Z Bocardodarapti 2041 1079810 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Z ist Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt|Proposition|||zusatz2={{{zusatz2|}}} }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|}} {{ inputfaktklappe |Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt|Korollar||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt|Lemma||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Korollar||||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt|Korollar|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> 77lmf2dupjd585olrpht0iqvfnc1vhe 106 169102 1079816 1071892 2026-05-19T16:09:18Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079816 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|13|7|Kurs=|}} n48znwu2shwv3amz5p73gglh6okg2q4 106 169103 1079817 1071893 2026-05-19T16:09:38Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079817 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|13|8|Kurs=|}} m09ajuofdz9nkbexlsba5ww5sx25yx2 106 169106 1079815 1071896 2026-05-19T16:08:58Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079815 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|13|6|Kurs=|}} 12v5obfma1r7oi7p3hvmaoe1xs4zhfj 106 169253 1079814 1072078 2026-05-19T16:03:01Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079814 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|12|9|Kurs=|}} 8gvfgfp2uit8ejwzqcuulnwr16xhtit 106 169256 1079813 1072081 2026-05-19T16:02:51Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079813 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|12|8|Kurs=|}} s4w1ec61ex42lysu3jy3uq585khyaaz 106 169257 1079812 1072082 2026-05-19T16:02:41Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079812 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|12|7|Kurs=|}} gb4rq0ngpkct8lmojujsrbfvfsg4f5e 106 169269 1079811 1072100 2026-05-19T16:02:31Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079811 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|12|4|Kurs=|}} jmcxbzhtf6t3kfpl53z6ein4adyqrr9 0 169621 1079818 1072819 2026-05-19T16:11:37Z Bocardodarapti 2041 1079818 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Relationskette |0 |<| m_1 |<| m_2 |< \ldots < | m_k || || |SZ= }} natürliche Zahlen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} als Summe {{ Relationskette/display | n || c_1 m_1 +c_2m_k {{plusdots|}} c_km_k || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_i | \in | \N || || || |SZ= }} darzustellen, gleich dem {{math|term= n |SZ=-}}ten Koeffizienten der {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugenden Funktion| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} }} {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_2 j} }} \cdots {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_k j} }} || {{op:Bruch|1|1-z^{m_1} }} \cdot {{op:Bruch|1|1-z^{m_2} }} \cdots {{op:Bruch|1|1-z^{m_k} }} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Darstellungsmöglichkeiten von natürlichen Zahlen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qaxaorzklufay75cde32cwq2ymf0r8m 0 169623 1079819 1073059 2026-05-19T16:12:53Z Bocardodarapti 2041 1079819 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Induktion über {{math|term= k |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} ist eine Darstellung {{ Relationskette/display | n || c_1m_1 || || || |SZ= }} genau dann möglich, wenn {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= m_1 |SZ=}} ist, und in diesem Fall gibt es genau eine Darstellung. Deshalb ist die zugehörige Potenzreihe gleich {{mathl|term= \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} |SZ=.}} Diese kann man so auffassen, dass in die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Reihe| |Kontext=| |SZ= }} der Term {{math|term= z^{m_1} |SZ=}} eingesetzt wird. Deshalb beschreibt diese Potenzreihe die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-z^{m_1} }} |SZ=.}} Zum Beweis des Induktionsschlusses sei angenommen, dass die Aussage für {{math|term= k |SZ=}} bewiesen ist und seien {{mathl|term= k+1 |SZ=}} natürliche Zahlen gegeben. Die Anzahl der Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k+1} }} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^{k+1} c_im_i || n || || || |SZ= }} kann man auffassen als die Summe über die Anzahl der Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k} }} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^{k} c_im_i || r || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | 0 |\leq| r | \leq| n || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= n-r |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= m_{k+1} |SZ=}} sein muss. Daher ist aufgrund der Indultionsvoraussetzung, dem Fall {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} und der Definition des Cauchy-Produktes für Potenzreihen {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Anzahl| {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k+1} }} | \sum_{i {{=}} 1}^{k+1} c_im_i {{=}} n }} }} || \sum_{ 0 \leq r \leq n} {{op:Anzahl| {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k} }} | \sum_{i {{=}} 1}^{k} c_im_i {{=}} r }} }} \cdot {{op:Anzahl| {{Mengebed| c_{k+1} | c_{k+1} m_{k+1} {{=}} n-r }} }} || \sum_{ 0 \leq r \leq n} {{makl| r-\text{ter Koeffizient von } {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} }} |5teil2= \cdots {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_k j} }} |}} \cdot {{makl| (n-r)-\text{ter Koeffizient von } \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_{k+1} j} |}} || {{makl| n-\text{ter Koeffizient von } {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} }} \cdots {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_k j} }} \cdot {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_{k+1} j} }} |}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} c7zcv0gnhff4ppf4bz3e9dyiud0po6y 1079820 1079819 2026-05-19T16:18:01Z Bocardodarapti 2041 1079820 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Induktion über {{math|term= k |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} ist eine Darstellung {{ Relationskette/display | n || c_1m_1 || || || |SZ= }} genau dann möglich, wenn {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= m_1 |SZ=}} ist, und in diesem Fall gibt es genau eine Darstellung. Deshalb ist die zugehörige Potenzreihe gleich {{mathl|term= \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} |SZ=.}} Diese kann man so auffassen, dass in die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Reihe| |Kontext=| |SZ= }} der Term {{math|term= z^{m_1} |SZ=}} eingesetzt wird. Deshalb beschreibt diese Potenzreihe die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-z^{m_1} }} |SZ=.}} Zum Beweis des Induktionsschlusses sei angenommen, dass die Aussage für {{math|term= k |SZ=}} bewiesen ist und seien {{mathl|term= k+1 |SZ=}} natürliche Zahlen gegeben. Die Anzahl der Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k+1} }} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^{k+1} c_im_i || n || || || |SZ= }} kann man auffassen als die Summe über die Anzahl der Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k} }} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^{k} c_im_i || r || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | 0 |\leq| r | \leq| n || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= n-r |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= m_{k+1} |SZ=}} sein muss. Daher ist aufgrund der Indultionsvoraussetzung, dem Fall {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} und der Definition des Cauchy-Produktes für Potenzreihen {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Anzahl| {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k+1} }} | \sum_{i {{=}} 1}^{k+1} c_im_i {{=}} n }} }} || \sum_{ 0 \leq r \leq n} {{op:Anzahl| {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor|c_1|\ldots|c_{k} }} | \sum_{i {{=}} 1}^{k} c_im_i {{=}} r }} }} |3teil2= \cdot {{op:Anzahl| {{Mengebed| c_{k+1} | c_{k+1} m_{k+1} {{=}} n-r }} }} || \sum_{ 0 \leq r \leq n} {{makl| r-\text{ter Koeffizient von } {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} }} |5teil2= \cdots {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_k j} }} |}} \cdot {{makl| (n-r)-\text{ter Koeffizient von } \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_{k+1} j} |}} || {{makl| n-\text{ter Koeffizient von } {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_1 j} }} \cdots {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_k j} }} \cdot {{makl| \sum_{ j {{=}} 0 }^\infty z^{m_{k+1} j} }} |}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jlgfnl5bohlv0drzx9yglw600jovk6c 106 170056 1079821 1079251 2026-05-19T16:21:17Z Bocardodarapti 2041 1079821 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=11 |von1=25 |bis1=30 |Blatt2=12 |von2=43 |bis2=48 |}} [[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]] t1e9hg4fnlyw8s7strdpkypc2581icc 106 170118 1079829 1079641 2026-05-20T06:36:34Z Bocardodarapti 2041 1079829 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} osc0hl539wr7vrt55rhlrhcslquca4a 0 170199 1079793 1077490 2026-05-19T13:39:46Z Bocardodarapti 2041 1079793 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= ( R,0,1,+, \cdot) |SZ=}} heißt ein {{Definitionswort|Ring|SZ=,}} wenn es zu jedem {{ Relationskette | a | \in | R || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | b | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a+b || 0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ring |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mrxn8o4tzxytignuw97x4w4211jc2cw 0 170225 1079878 1077869 2026-05-20T10:02:14Z C.Koltzenburg 13981 /* Bericht */ 1079878 wikitext text/x-wiki == Bericht == (am Schluss nicht vollständig) Name: Alexander Weiß <br /> Alter: 34 J. <br /> Größe: 186 cm <br /> Gewicht: 78 kg <br /> Allergien/ Unverträglichkeiten Amoxicillin (Luftnot) <br /> Milchzucker (Blähungen, Durchfall) Genussmittel/ Drogen verneint Sozialanamnese verheiratet, mit seiner Frau zusammenlebend, keine Kinder <br /> Elektrotechniker bei der DB Familienanamnese M: aHT <br /> V: Kehlkopfkrebs beim Vater (in Remission) <br /> B: Asthma Aktuelle Anamnese Der Patient stellt sich aufgrund eines Sturzes vor vier Stunden beim Inlineskating vor. Er wurde von seiner Freundin gebracht. Laut Patient ist er mit einem entgegenkommenden Fahrrad zusammengestoßen, mit der linken Körperseite gegen einen Fahrradständer geprallt und hat sich mit seiner linken Hand auf dem Boden abgestützt. Sofort nach dem Sturz seien plötzlich links Handschmerzen (NRS 8/10) sowie blaue Flecken (Hämatom), eine Schwellung (Tumor) und starke Schmerzen bei Bewegung (Functio Laesa) der betroffenen Hand aufgetreten. Zusätzlich berichtete er, dass vor 2 Stunden drückende Schmerzen oben links im Bauch (in der linken Regio hipochondriaca) (NRS 6/10) aufgetreten seien, die sich beim Einatmen (Inspiration) verstärken und ohne Ausstrahlung sind. <br /> Ferner leide er unter Nackenschmerzen (in der Regio Cervicalis) (NRS 8/10) und könne sich kaum bewegen (mit verminderter Mobilität der betroffenen Regio). Er sei an der Unfallstelle nicht bewusstlos gewesen, aber ihm sei etwas schwindelig gewesen, was noch andauere. <br /> Laut Patient ist er an der Unfallstelle nicht bewusstlos gewesen, aber ihm war etwas schwindelig, was noch andauert. Nach dem Sturz sei ihm übel gewesen (Nausea), er habe drückende Kopfschmerzen (Cephalgie) gehabt und es gebe einen großen Bluterguss am Bauch (Makrohämaturie). Während der Anamnese war er plötzlich müde und unkonzentriert. An Vorerkrankungen leide er an: <br /> - Palpebra superior Entzündung seit 1 Woche <br /> - Migräne seit 9 Jahren <br /> - Hörsturz vor 5 Jahren <br /> - Infektiöse Mononukleose mit 15 (in der Jugend) <br /> In Bezug auf die Medikation nehme er: <br /> - Cortisol Salbe seit 1 Woche <br /> - Espumisan b.B. <br /> - Paracetamol b.B. <br /> - Coffeinum b.B. <br /> - Eisentabletten b.B. <br /> Die Reiseanamnese ist unauffällig. <br /> Er sei vollständig geimpft. <...> * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10a|'''Patientenvorstellung 10a''' (nur der Anfang)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10b|'''Patientenvorstellung 10b''' (vollständig)]] == OA-Fragen == Was machen Sie zuerst? In welchem Fall machen Sie eine Sonografie? Was könnte der Auslöser für den Unfall gewesen sein? 86juw0yaltdxtzl532mqrqie0kcpgv0 108 170335 1079861 1079631 2026-05-20T09:16:31Z ChristianSW 15793 /* Programmiercodes */ 1079861 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG EMIB 01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG EMIB 01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG EMIB 01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. b5nerxo3cgd6x577nxvil92m4cjy8xg 1079867 1079861 2026-05-20T09:24:17Z ChristianSW 15793 korr. 1079867 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. p04i5q3vgpqc1jh81lo74szgxskpboh 1079872 1079867 2026-05-20T10:00:03Z ChristianSW 15793 +Bedienung 1079872 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wir kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. gpm9kt91bcy9wod7x4ede449gn7vaia 1079873 1079872 2026-05-20T10:00:35Z ChristianSW 15793 ... 1079873 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wir kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. 0mi1iq4v1u98v1y23cscf7q7tkog0ej 1079877 1079873 2026-05-20T10:01:46Z ChristianSW 15793 /* Bedienung */ 1079877 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wird kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. tqw08b1g8kucejqvmzlaf7dhwmoop84 0 170376 1079803 1079462 2026-05-19T15:49:02Z Bocardodarapti 2041 1079803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R_1 | \subseteq | M_1 \times N_1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= N_1 |SZ= }} und {{ Relationskette | R_2 | \subseteq | M_2 \times N_2 || || || |SZ= }} eine Relation zwischen {{ mathkor|term1= M_2 |und|term2= N_2 |SZ=. }} Die beiden Relationen heißen {{ Definitionswort |Prämath= |isomorph| |msw=Isomorphe Relationen |SZ=, }} wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi |M_1|M_2 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi |N_1|N_2 || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette | (x,y) | \in | R_1 || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Relationskette | (\varphi(x), \psi(y)) | \in | R_2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Isomorphe Relationen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8ae1c1veoc6eloe1tivhfe0e2gvhlp7 0 170379 1079848 1079479 2026-05-20T08:31:56Z Bocardodarapti 2041 1079848 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} vorliegt. Die Bedingung {{ Relationskette/display | f_1 || \psi^{-1} \circ f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} kann man auch als {{ Relationskette/display | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} schreiben. Zwei Abbildungen sind genau dann zueinander isomorph, wenn die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} als Relationen zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. Wir wollen für endliche Mengen die Isomorphie von Abbildungen durch numerische Invarianten charakterisieren und führen dazu das Faseranzahltupel ein. {{ inputdefinition |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} Man betrachtet also die Anzahlen der verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f^{-1}(y) |SZ=}} zu den Elementen {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} und schreibt diese als ein Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} auf. Dabei ist {{ Relationskette | k || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=, }} da ja zu jedem Element aus {{math|term= M |SZ=}} eine Faser und damit auch eine Faseranzahl gehört. Ferner ist {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=}} 1}^k r_j || {{op:Anzahl|L|}} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Beispiel|| }} Jedes Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} kommt als Faseranzahltupel zu einer Abbildung von einer {{mathl|term= \sum_{j {{=}} 1}^k r_j |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge vor. Eine Abbildung ist genau dann injektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur die Zahlen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} vorkommen, sie ist genau dann surjektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel alle Zahlen positiv sind, sie ist genau dann konstant, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur eine Zahl ungleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Verschiedene Abbildungen können das gleiche Faseranzahltupel besitzen, beispielsweise haben alle bijektiven Abbildungen auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge das gleiche Faseranzahltupel, nämlich das Tupel, das aus {{math|term= n |SZ=}} Einsen besteht. {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} c23l20neo3by0fwdejs0lv3febo0be7 0 170387 1079850 1079480 2026-05-20T08:35:38Z Bocardodarapti 2041 1079850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die beiden Abbildungen zueinander isomorph. Das bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} mit bijektiven Abbildungen {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} vorliegt. Wegen {{ Relationskette | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} ist zu {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} || {{makl| \psi \circ f_1 |}}^{-1} (w) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}}^{-1} (w) || \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} |}} || {{op:Anzahl| \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} }} || || || |SZ=. }} Wegen der Bijektivität von {{math|term= \psi |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi^{-1}(w) |SZ=}} einelementig. Wegen der Bijektivität von {{math|term= \varphi |SZ=}} bedeutet dies, dass die Faser zu {{math|term= f_1 |SZ=}} über {{mathl|term= \psi^{-1} (w) |SZ=}} die gleiche Anzahl besitzt wie die Faser zu {{math|term= f_2 |SZ=}} über {{math|term= w |SZ=.}} Da dies für jedes {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} gilt und jedes {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} gleich dem Urbild zu einem {{ Relationskette | w | \in | M || || || |SZ= }} ist, folgt, dass die Faseranzahltupel übereinstimmen. Es sei nun vorausgesetzt, dass die beiden Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1 |SZ=}} und zu {{math|term= f_2 |SZ=}} übereinstimmen. Dies bedeutet insbesondere, dass ihre Längen und ihre Gesamtsummen übereinstimmen. Daher ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Anzahl|L_1|}} || {{op:Anzahl|L_2|}} || || || |SZ=. }} Wir führen Induktion über {{ Relationskette/display | m || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | m || 1 || || || |SZ= }} sind beide Abbildungen konstant und surjektiv, und man kann für {{math|term= \varphi |SZ=}} eine beliebige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} und für {{math|term= \psi |SZ=}} die einzige Abbildung zwischen den einelementigen Mengen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} nehmen. Es sei nun die Aussage für {{math|term= m |SZ=}} bewiesen und es sei {{ Relationskette | m +1 || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=, }} das gemeinsame Faseranzahltupel sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_m| r_{m+1} |}} |SZ=.}} Wir fixieren ein {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_1^{-1}(y) |SZ=}} aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | r_{m+1} | \geq | 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und ein {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_2^{-1}(w) |SZ=}} ebenfalls aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht. Wir betrachten {{ Relationskette | M_1' || M_1 \setminus \{y\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_2' || M_2 \setminus \{w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_1' || L_1 \setminus f_1^{-1} (y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2' || L_2 \setminus f_2^{-1} (w) || || || |SZ=. }} Die Abbildungen {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} kann man zu Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1' | L_1' | M_1' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name=f_2' | L_2' | M_2' || |SZ= }} einschränken. Dabei entstehen die Faseranzahltupel zu {{ mathkor|term1= f_1' |bzw.|term2= f_2' |SZ= }} aus denen zu {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ=, }} indem der letzte Eintrag {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} weggelassen wird. Insbesondere stimmen die Faseranzahltupel zu {{mathl|term= f_1',f_2' |SZ=}} wieder überein und man kann auf diese Situation die Induktionsvoraussetzung anwenden, da {{math|term= M_1' |SZ=}} und {{math|term= M_2' |SZ=}} genau {{math|term= m |SZ=}} Elemente besitzen. Es gibt also nach Induktionsvoraussetzung bijektive Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi' | L_1' | L_2' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi' | M_1' | M_2' || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \psi' \circ f_1' || f_2' \circ \varphi' || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \theta |SZ=}} eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= f_1^{-1} (y) |SZ=}} nach {{mathl|term= f_2^{-1} (w) |SZ=,}} die es gibt, da beide Mengen die Anzahl {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} besitzen. Wir setzen {{math|term= \varphi' |SZ=}} mit Hilfe von {{math|term= \theta |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} fort, und wir setzen {{math|term= \psi' |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} über {{ Relationskette | \psi(y) || w || || || |SZ= }} fort. Dann zeigen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ=, }} dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} isomorph sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jokq9v33z8fwumqcfchcuxs0h5ezj0g 0 170391 1079856 1079545 2026-05-20T09:06:04Z Bocardodarapti 2041 1079856 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | M_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | M_2 | M_2 || |SZ= }} Abbildungen, jeweils von einer Menge in sich selbst. Für den Isomorphiebegriff macht es einen sehr großen Unterschied, ob man wie in der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| Definitionsseitenname=Abbildungen/Isomorph/Definition |SZ= }} vorne und hinten verschiedene bijektive Abbildungen zulässt oder aber nicht. Wenn man dies erlaubt, so sind je zwei bijektive Abbildungen {{math|term= f_1,f_2 |SZ=}} auf Mengen mit gleicher Anzahl zueinander isomorph. Man übersieht dann aber völlig solche Phänomene, die für eine Selbstabbildung charakteristisch sind, wie die Existenz von Fixpunkten, Zyklen, Verhalten bei Hintereinanderschaltung, etc. Es ist daher sinnvoll, auch den folgenden strengeren Isomorphiebegriff zu betrachten. {{ inputdefinition |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugiert/Definition|| }} Diese Sprechweise wird insbesondere bei {{ Relationskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} verwendet. Wenn man in dieser Situation sich weiterhin auf bijektive Abbildungen einschränkt, stimmt dieser Konjugationsbegiff mit dem gruppentheoretischen {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugationsbegriff| |Kontext=Gruppe Element| |SZ= }} überein. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Abbildungsmonoid/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 5z3dh6i3efa0nquz8p3pv3ewdxrbgba 0 170420 1079859 1079734 2026-05-20T09:11:33Z Bocardodarapti 2041 1079859 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} zueinander konjugiert über die Permutation {{math|term= \varphi |SZ=,}} es gelte also {{ Relationskette/display | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || || || |SZ=. }} Aus der Zyklendarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Fixpunkte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \tau || \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k || || || |SZ= }} ergibt sich gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Abbildungsmonoid/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display/druckalign | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || \varphi^{-1} \circ \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k \circ \varphi || {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_1\circ \varphi |}} \circ {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_2 \circ \varphi |}} {{circdots}} {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_k\circ \varphi |}} || |SZ=. }} Dabei sind die {{mathl|term= \varphi^{-1} \circ \tau_i \circ \varphi |SZ=}} Zyklen der gleichen Länge wie {{math|term= \tau_i |SZ=}} und sie konstituieren zusammen die Zyklendarstellung von {{math|term= \sigma |SZ=.}} Es seien nun Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} gegeben, die über den gleichen Typ {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|t_1| \ldots |t_k}} |SZ=}} verfügen. Wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | x_i | \in | M_1 || || || |SZ= }} heraus, und wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \tau_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der gleichen Länge wie {{math|term= \sigma_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \tau |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | y_i | \in | M_2 || || || |SZ= }} heraus. Es besitzt jedes Element {{ Relationskette | x | \in | M_1 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} mit einem {{math|term= i |SZ=}} und einem {{math|term= j |SZ=}} zwischen {{math|term= 1 |SZ=}} und der Länge des Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=.}} Entsprechend besitzt jedes Element {{ Relationskette | y | \in | M_2 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun die bijektive Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi |M_1|M_2 || |SZ=, }} die {{ Relationskette | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ= }} abbildet. Diese ist bijektiv und erfüllt {{ Relationskette/align | {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi |}} (x) || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi (x) |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \tau^j {{makl| y_i |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau^{j+1} {{makl| y_i |}} |}} || \sigma^{j+1} {{makl| x_i |}} || \sigma {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} || \sigma(x) |SZ=, }} sie stiftet also eine Konjugation zwischen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fz6yk7viai6vab6bvqt0dg6042914iv 0 170422 1079852 1079555 2026-05-20T08:36:55Z Bocardodarapti 2041 1079852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten Situationen von Paaren von Abbildungen, wo die Definitionsmenge oder die Wertemenge fixiert ist und wo wir nur bijektive Übergänge in den nichtfixierten Mengen erlauben. {{ inputdefinition |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru|L|M_1|M_2|abb12=f_1|abb13=f_2|abb23=\psi }} vorliegt. {{ inputdefinition |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/lo|L_1|M|L_2|abb12=f_1|abb32=f_2|abb13=\varphi \!\!\!}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Konstante Abbildungen/Rechtsisomorph/Nicht linksisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Wertetabellen/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sinus und Kosinus/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 791iuvqyy262qn6qmmlhnp8t5nis1yx 0 170430 1079853 1079561 2026-05-20T08:37:51Z Bocardodarapti 2041 1079853 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | L || \{u,v,w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M || \{a,b\} || || || |SZ= }} und seien {{ Abbildung |name=f_1,f_2 | L|M || |SZ= }} durch {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x |SZ=}} |text2= {{math|term= f_1 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|a|b}} bzw. {{Wertetabelle3|text1= {{math|term= x |SZ=}} |text2= {{math|term= f_2 (x) |SZ=}} |u|v|w|a|b|a}} gegeben. Die Transposition auf {{math|term= L |SZ=,}} die {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} vertauscht, zeigt, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linksisomorph| |Kontext=| |SZ= }} sind. Die beiden Abbildungen sind dagegen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=| |SZ=, }} da eine Bijektion {{math|term= \psi |SZ=}} einerseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(u) || f_2(u) || a || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf sich selbst, aber andererseits wegen {{ Relationskette/display | f_1(v) || a | \neq | b || f_2(v) || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abbilden müsste. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5pavekgzzri2lisx6c5ot2vmf9f2pmf 0 170439 1079857 1079611 2026-05-20T09:10:03Z Bocardodarapti 2041 1079857 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten {{ Definitionslink |Prämath= |konjugierte| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=endlich| |SZ= }} numerisch charakterisieren. Jede Permutation besitzt nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ=. }} {{ inputdefinition |Endliche Permutation/Zyklendarstellung/Typ/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zyklendarstellung von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} f7e0wc2zd0cnhn728jdbjr3pib80zmh 106 170469 1079879 1079701 2026-05-20T10:27:49Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079879 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|10|Kurs=|}} rylkg3gj2wmyg9dxwdkvfzdhppirybm 106 170470 1079880 1079702 2026-05-20T10:27:59Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079880 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|11|Kurs=|}} idrb4ervfn4keo4dnnccjkk7fv3vyrp 106 170473 1079881 1079705 2026-05-20T10:28:09Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079881 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|14|Kurs=|}} e79hdrhqex6w74fuy7d1okr8yqeztrz 0 170478 1079791 2026-05-19T13:38:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079791 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Identität {{ Abbildung |name= {{op:Identität|\R|}} | \R | \R || |SZ= }} nicht zu einer anderen linearen Funktion {{ Abbildung/display |name= | \R | \R |x| ax |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b6c67fv5fxxvwdq29w5za4i0o2acp7p 0 170479 1079792 2026-05-19T13:39:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079792 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=konjugiert (Abbildung)|Anf=Ko| |Siehe= |Ziel=Mengen/Selbstabbildungen/Konjugiert/Definition }} 71n9sreocolt0rctryu9cvrha2oha9o 0 170480 1079795 2026-05-19T13:43:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079795 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} Als Alternative zu den oben angegebenen expliziten Formeln, hinter denen jeweils eine aufwändige Summation steht, kann man mit der folgenden Rekursionsformel für die Anzahl von surjektiven Abbildungen arbeiten. Die Grundidee hierzu wurde schon im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} verwendet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8e4t803rcv7s1tqgsf7xem8ebdhrr69 1079797 1079795 2026-05-19T13:45:26Z Bocardodarapti 2041 1079797 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} Als Alternative zu den oben angegebenen expliziten Formeln, hinter denen jeweils eine aufwändige Summation steht, kann man mit der folgenden Rekursionsformel für die Anzahl von surjektiven Abbildungen arbeiten. Die Grundidee hierzu wurde schon im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} verwendet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} i6jfb6fbheppvg7yqwdftz614zkwivn 0 170481 1079796 2026-05-19T13:44:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über {{math|term= k |SZ=}} und bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. Es sei also {{math|term= k |SZ=}} fixiert und sei die Aussage für alle kleineren {{math|term= k |SZ=}} und alle {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu diesen kleineren {{math|term= k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bereits bewiesen. Für {{ Relationskette |n | < | k || || || |SZ= }} ist der Summenausdruck gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und es gibt auch keine surjektive Abbildung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine größere Menge. Bei {{ Relationskette |n || k || || || |SZ= }} ist das einzige Indextupel gleich {{mathl|term= (1 {{kommadots|}} 1) |SZ=}} und der Summenausdruck ist gleich {{math|term= k!|SZ=,}} was mit der Anzahl der surjektiven bzw. bijektiven Abbildungen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} übereinstimmt. Es sei also die Aussage auch für ein {{ Relationskette | n | \geq |k || || || |SZ= }} bewiesen; wir betrachten eine surjektive Abbildung {{math|term= f |SZ=}} von {{mathl|term= {{Menge1n+1|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=.}} Dabei ist entweder schon die Einschränkung {{math|term= g |SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} surjektiv oder nicht. Im ersten Fall gibt es bei gegebenem {{math|term= g |SZ=}} genau {{math|term= k |SZ=}} Möglichkeiten für {{math|term= f |SZ=,}} da ja {{math|term= n+1 |SZ=}} auf eines der {{math|term= k |SZ=}} Elemente abgebildet werden kann. Im zweiten Fall, wenn {{math|term= g |SZ=}} nicht surjektiv ist, so wird durch {{math|term= g |SZ=}} genau ein Element der Bildmenge nicht getroffen, und {{math|term= f |SZ=}} muss {{mathl|term= n+1 |SZ=}} auf dieses nicht getroffene Element abbilden, um die Surjektivität sicherzustellen. Es gibt hierbei {{math|term= k |SZ=}} Möglichkeiten, welches Element von {{math|term= g |SZ=}} nicht getroffen wird. Ferner ist {{math|term= g |SZ=}} eine surjektive Abbildung auf eine {{math|term= k-1 |SZ=-}}elementige Teilmenge. Somit ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n+1|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | \, || {{op:Anzahl| {{Mengebed|f:{{Menge1n+1|}} \rightarrow {{Menge1k|}} |f {{|}}_{{Menge1n|}} \text{ surjektiv} }} |}} |3teil2= + {{op:Anzahl| {{Mengebed|f:{{Menge1n+1|}} \rightarrow {{Menge1k|}} |f {{|}}_{{Menge1n|}} \text{ nicht surjektiv} }} |}} || k \cdot \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |5teil2= +k \cdot \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} {{=|}} n,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } || \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_{k-1} + a_k + 1{{=|}} n+1,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k+1} |7teil2=+ \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} +1 {{=|}} n+1,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } \cdot k^1 ||\sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k \geq 2} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |9teil2= + \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k {{=|}} 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } || \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4sztamxybm66rk3sqa8woyz6di99t3 1 170482 1079802 2026-05-19T14:46:14Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Fehler */ 1079802 wikitext text/x-wiki == Fehler == Müsste das erste <math>M_2</math> nicht ein <math>N_1</math> sein? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 16:46, 19. Mai 2026 (CEST) rklas230smr0ymhmuvaw9xrbjlhk1zl 1079804 1079802 2026-05-19T15:49:32Z Bocardodarapti 2041 1079804 wikitext text/x-wiki == Fehler == Müsste das erste <math>M_2</math> nicht ein <math>N_1</math> sein? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 16:46, 19. Mai 2026 (CEST) stimmt, Danke. 4vnandcharg6mvn31xa11z93yujwq1m 0 170483 1079823 2026-05-20T06:30:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079823 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Anzahl der Abbildungen mit vorgeschriebener Faseranzahl. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gfkbfpjldeyjaxenpdyfykj52cxhhqu 0 170484 1079825 2026-05-20T06:32:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079825 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Charakterisierung von isomorphen Abbildungen zwischen endlichen Mengen. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grwzkzxr16vhsqc357jymbg6tr3ktr5 0 170485 1079827 2026-05-20T06:34:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079827 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Charakterisierung von isomorphen Abbildungen zwischen endlichen Mengen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 781zhthige0llljrv0z1old08hlft3n 0 170486 1079828 2026-05-20T06:34:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079828 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9ivmep6czhlitjevj033qwlxec13fb4 0 170487 1079833 2026-05-20T07:14:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079833 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei mathematische Strukturen, die auf dem Mengenbegriff aufgebaut sind, gibt es direkt einen natürlichen Begriff, wann diese als gleich zu betrachten sind, nämlich nur dann, wenn die Gleichheit aufgrund der zugrundeliegenden mengentheoretischen Situation gilt. Beispielsweise sind zwei Abbildungen nur dann gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Zielmenge besitzen, und wenn sie an jeder Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=jedem Element| |ISZ=|ESZ= }} des Definitionsbereiches den gleichen Wert haben. Man kann sich aber auch die Frage stellen, ob man zwei mathematische Strukturen so ineinander übersetzen kann, dass dabei alle relevanten mathematischen Sachverhalte erhalten bleiben. In einer Menge sind alle Elemente verschieden, ohne weitere Struktur sind aber alle Elemente gleichberechtigt. Zwischen je zwei endlichen Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} mit der gleichen Anzahl gibt es bijekive Abbildungen, mit denen man jede Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} in eine Struktur auf {{math|term= N |SZ=}} übersetzen kann. Wenn dabei noch Teilmengen {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | N || || || |SZ= }} mit der gleichen Anzahl fixiert sind, so gibt es auch bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= N |SZ=,}} die zusätzlich {{math|term= S |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} überführen. Je zwei Transpositionen auf einer Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind im Wesentlichen gleich, es gibt keine mathematische Begrifflichkeit, mit der man sie voneinander unterscheiden könnte. Dagegen kann man eine Transposition von der Identität oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} anderer Länge begrifflich unterscheiden, beispielsweise über die Anzahl der Fixpunkte. Hier erheben sich drei Fragen, die sich durch die Mathematik ziehen. {{ Aufzählung3 |Was ist genau damit gemeint, wenn man sagt, dass mathematische Strukturen im Wesentlichen, d.h. im mathematisch-begrifflichen Sinne gleich sind? |Wenn dies für eine Struktur geklärt ist: Wie kann man nachweisen, dass zwei mathematische Strukturen wesentlich verschieden sind? Was sind numerische Invarianten, die solche Strukturen voneinander trennen? |Kann man die verschiedenen Strukturen klassifizieren? }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2=Diskrete Mathematik |Kategorie3=Prinzipien der Mathematik |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5ywr7dg9cv1g5zuvime9y5wawq0mr8e 1079835 1079833 2026-05-20T07:18:16Z Bocardodarapti 2041 1079835 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei mathematische Strukturen, die auf dem Mengenbegriff aufgebaut sind, gibt es direkt einen natürlichen Begriff, wann diese als gleich zu betrachten sind, nämlich nur dann, wenn die Gleichheit aufgrund der zugrundeliegenden mengentheoretischen Situation gilt. Beispielsweise sind zwei Abbildungen nur dann gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Zielmenge besitzen, und wenn sie an jeder Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=jedem Element| |ISZ=|ESZ= }} des Definitionsbereiches den gleichen Wert haben. Man kann sich aber auch die Frage stellen, ob man zwei mathematische Strukturen so ineinander übersetzen kann, dass dabei alle relevanten mathematischen Sachverhalte erhalten bleiben. In einer Menge sind alle Elemente verschieden, ohne weitere Struktur sind aber alle Elemente gleichberechtigt. Zwischen je zwei endlichen Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} mit der gleichen Anzahl gibt es bijekive Abbildungen, mit denen man jede Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} in eine Struktur auf {{math|term= N |SZ=}} übersetzen kann. Wenn dabei noch Teilmengen {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | N || || || |SZ= }} mit der gleichen Anzahl fixiert sind, so gibt es auch bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= N |SZ=,}} die zusätzlich {{math|term= S |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} überführen. Je zwei Transpositionen auf einer Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind im Wesentlichen gleich, es gibt keine mathematische Begrifflichkeit, mit der man sie voneinander unterscheiden könnte. Dagegen kann man eine Transposition von der Identität oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} anderer Länge begrifflich unterscheiden, beispielsweise über die Anzahl der Fixpunkte. Hier erheben sich die folgenden Fragen, die sich durch die Mathematik ziehen. {{ Aufzählung4 |Was ist genau damit gemeint, wenn man sagt, dass mathematische Strukturen im Wesentlichen, d.h. im mathematisch-begrifflichen Sinne gleich sind? |Wenn dies für eine Struktur geklärt ist: Wie kann man nachweisen, dass zwei mathematische Strukturen wesentlich verschieden sind? Was sind numerische Invarianten, die solche Strukturen voneinander trennen? |Kann man die verschiedenen Strukturen klassifizieren? |Wie viele Einzelobjekte stehen hinter einem bestimmten Strukturtyp? }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2=Diskrete Mathematik |Kategorie3=Prinzipien der Mathematik |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ha6oz7q0409w90fnke66jnd9qyiscdm 1079868 1079835 2026-05-20T09:25:16Z Bocardodarapti 2041 1079868 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei mathematische Strukturen, die auf dem Mengenbegriff aufgebaut sind, gibt es direkt einen natürlichen Begriff, wann diese als gleich zu betrachten sind, nämlich nur dann, wenn die Gleichheit aufgrund der zugrundeliegenden mengentheoretischen Situation gilt. Beispielsweise sind zwei Abbildungen nur dann gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Zielmenge besitzen, und wenn sie an jeder Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=jedem Element| |ISZ=|ESZ= }} des Definitionsbereiches den gleichen Wert haben. Man kann sich aber auch die Frage stellen, ob man zwei mathematische Strukturen so ineinander übersetzen kann, dass dabei alle relevanten mathematischen Sachverhalte erhalten bleiben. In einer Menge sind alle Elemente verschieden, ohne weitere Struktur sind aber alle Elemente gleichberechtigt. Zwischen je zwei endlichen Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} mit der gleichen Anzahl gibt es bijekive Abbildungen, mit denen man jede Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} in eine Struktur auf {{math|term= N |SZ=}} übersetzen kann. Wenn dabei noch Teilmengen {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | N || || || |SZ= }} mit der gleichen Anzahl fixiert sind, so gibt es auch bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= N |SZ=,}} die zusätzlich {{math|term= S |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} überführen. Je zwei Transpositionen auf einer Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind im Wesentlichen gleich, es gibt keine mathematische Begrifflichkeit, mit der man sie voneinander unterscheiden könnte. Dagegen kann man eine Transposition von der Identität oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} anderer Länge begrifflich unterscheiden, beispielsweise über die Anzahl der Fixpunkte. Hier erheben sich die folgenden Fragen, die sich durch die Mathematik ziehen. {{ Aufzählung5 |Was ist genau damit gemeint, wenn man sagt, dass mathematische Strukturen im Wesentlichen, d.h. im mathematisch-begrifflichen Sinne gleich sind? |Wenn dies für eine Struktur geklärt ist: Wie kann man nachweisen, dass zwei mathematische Strukturen wesentlich verschieden sind? Was sind numerische Invarianten, die solche Strukturen voneinander trennen? |Kann man die verschiedenen Strukturen klassifizieren? |Wie viele Einzelobjekte stehen hinter einem bestimmten Strukturtyp? |Wie viele strukturerhaltende Abbildungen bilden ein Einzelobjekt in sich selbst ab {{ Zusatz/Klammer |text=Automorphismengruppe| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2=Diskrete Mathematik |Kategorie3=Prinzipien der Mathematik |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 06cj5o61qg10lvyo9w1pyrzkdkn1uu3 1079882 1079868 2026-05-20T10:35:44Z Bocardodarapti 2041 1079882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei mathematischen Strukturen, die auf dem Mengenbegriff aufgebaut sind, gibt es direkt einen natürlichen Begriff, wann diese als gleich zu betrachten sind, nämlich nur dann, wenn die Gleichheit aufgrund der zugrundeliegenden mengentheoretischen Situation gilt. Beispielsweise sind zwei Abbildungen nur dann gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Zielmenge besitzen, und wenn sie an jeder Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=jedem Element| |ISZ=|ESZ= }} des Definitionsbereiches den gleichen Wert haben. Man kann sich aber auch die Frage stellen, ob man zwei mathematische Strukturen so ineinander übersetzen kann, dass dabei alle relevanten mathematischen Sachverhalte erhalten bleiben. In einer Menge sind alle Elemente verschieden, ohne weitere Struktur sind aber alle Elemente gleichberechtigt. Zwischen je zwei endlichen Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} mit der gleichen Anzahl gibt es bijekive Abbildungen, mit denen man jede Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} in eine Struktur auf {{math|term= N |SZ=}} übersetzen kann. Wenn dabei noch Teilmengen {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | N || || || |SZ= }} mit der gleichen Anzahl fixiert sind, so gibt es auch bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= N |SZ=,}} die zusätzlich {{math|term= S |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} überführen. Je zwei Transpositionen auf einer Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind im Wesentlichen gleich, es gibt keine mathematische Begrifflichkeit, mit der man sie voneinander unterscheiden könnte. Dagegen kann man eine Transposition von der Identität oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} anderer Länge begrifflich unterscheiden, beispielsweise über die Anzahl der Fixpunkte. Hier erheben sich die folgenden Fragen, die sich durch die Mathematik ziehen. {{ Aufzählung5 |Was ist genau damit gemeint, wenn man sagt, dass mathematische Strukturen im Wesentlichen, d.h. im mathematisch-begrifflichen Sinne gleich sind? |Wenn dies für eine Struktur geklärt ist: Wie kann man nachweisen, dass zwei mathematische Strukturen wesentlich verschieden sind? Was sind numerische Invarianten, die solche Strukturen voneinander trennen? |Kann man die verschiedenen Strukturen klassifizieren? |Wie viele Einzelobjekte stehen hinter einem bestimmten Strukturtyp? |Wie viele strukturerhaltende Abbildungen bilden ein Einzelobjekt in sich selbst ab {{ Zusatz/Klammer |text=Automorphismengruppe| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2=Diskrete Mathematik |Kategorie3=Prinzipien der Mathematik |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sbuxh3pciuo3h8krqop6xiyu2xxsjxe 1079883 1079882 2026-05-20T10:45:00Z Bocardodarapti 2041 1079883 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei mathematischen Strukturen, die auf dem Mengenbegriff aufgebaut sind, gibt es direkt einen natürlichen Begriff, wann diese als gleich zu betrachten sind, nämlich nur dann, wenn die Gleichheit aufgrund der zugrundeliegenden mengentheoretischen Situation gilt. Beispielsweise sind zwei Abbildungen nur dann gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Zielmenge besitzen, und wenn sie an jeder Stelle {{ Zusatz/Klammer |text=jedem Element| |ISZ=|ESZ= }} des Definitionsbereiches den gleichen Wert haben. Man kann sich aber auch die Frage stellen, ob man zwei mathematische Strukturen so ineinander übersetzen kann, dass dabei alle relevanten mathematischen Sachverhalte erhalten bleiben. In einer Menge sind alle Elemente verschieden, ohne weitere Struktur sind aber alle Elemente gleichberechtigt. Zwischen je zwei endlichen Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} mit der gleichen Anzahl gibt es bijektive Abbildungen, mit denen man jede Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} in eine Struktur auf {{math|term= N |SZ=}} übersetzen kann. Wenn dabei noch Teilmengen {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | N || || || |SZ= }} mit der gleichen Anzahl fixiert sind, so gibt es auch bijektive Abbildungen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= N |SZ=,}} die zusätzlich {{math|term= S |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} überführen. Je zwei Transpositionen auf einer Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind im Wesentlichen gleich, es gibt keine mathematische Begrifflichkeit, mit der man sie voneinander unterscheiden könnte. Dagegen kann man eine Transposition von der Identität oder einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} anderer Länge begrifflich unterscheiden, beispielsweise über die Anzahl der Fixpunkte. Hier erheben sich die folgenden Fragen, die sich durch die Mathematik ziehen. {{ Aufzählung5 |Was ist genau damit gemeint, wenn man sagt, dass mathematische Strukturen im Wesentlichen, d.h. im mathematisch-begrifflichen Sinne, gleich sind {{ Zusatz/Klammer |text=isomorph| |ISZ=|ESZ=? }} |Wenn dies für eine Struktur geklärt ist: Wie kann man nachweisen, dass zwei mathematische Strukturen wesentlich verschieden sind? Was sind numerische Invarianten, die solche Strukturen voneinander trennen? |Kann man die verschiedenen Strukturen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Isomorphie| |ISZ=|ESZ= }} klassifizieren? |Wie viele Einzelobjekte stehen hinter einem bestimmten Strukturtyp {{ Zusatz/Klammer |text=Isomorphietyp| |ISZ=|ESZ=? }} |Wie viele strukturerhaltende Abbildungen bilden ein Einzelobjekt in sich selbst ab {{ Zusatz/Klammer |text=Automorphismengruppe| |ISZ=|ESZ=? }} }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2=Diskrete Mathematik |Kategorie3=Prinzipien der Mathematik |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4sod1p4le86wbzg1qutl9zohtdzzwn0 0 170488 1079840 2026-05-20T08:17:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079840 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle8|text1= {{math|term= x |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(x) |SZ=}} |a|b|c|d|e|f|g|h|v|w|w|u|u|v|w|z|}} gegebene Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | \{a,b,c,d,e,f,g,h \} | \{u,v,w,y,z \} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qunqv119e0cxgxzsjhsxziy1z3frfsx 0 170489 1079841 2026-05-20T08:17:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079841 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|0|1|2|2|3}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mk8g2llfumdutbdiqyklq0136sg7kw5 0 170490 1079842 2026-05-20T08:19:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079842 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle9|text1= {{math|term= x |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(x) |SZ=}} |a|b|c|d|e|f|g|h|i|z|v|w|y|y|u|v|u|z|}} gegebene Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | \{a,b,c,d,e,f,g,h ,i \} | \{u,v,w,y,z \} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} tn5zjtziwud4eq9etwcb2fx5x5wut54 0 170491 1079843 2026-05-20T08:25:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M_1,M_2 |SZ=}} endliche Mengen und seien {{math|term= I_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= I_2 |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Inzidenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= {{op:Potenzmenge|M_1|}} |SZ= }} bzw. zwischen {{ mathkor|term1= M_2 |und|term2= {{op:Potenzmenge|M_2|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese beiden Relationen genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind, wenn {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} die gleiche Anzahl besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2qr5u9vidhtb8oo6fie6js1acw1ohmp 1079844 1079843 2026-05-20T08:26:28Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Inzidenzrelation/Endliche Menge/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe]] nach [[Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1079843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M_1,M_2 |SZ=}} endliche Mengen und seien {{math|term= I_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= I_2 |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Inzidenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= {{op:Potenzmenge|M_1|}} |SZ= }} bzw. zwischen {{ mathkor|term1= M_2 |und|term2= {{op:Potenzmenge|M_2|}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese beiden Relationen genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind, wenn {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} die gleiche Anzahl besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2qr5u9vidhtb8oo6fie6js1acw1ohmp 0 170492 1079846 2026-05-20T08:29:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079846 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Inzidenzrelationen|Anf=In| |Siehe=Inzidenzrelation |Ziel=/Definition }} ok31oy90at7j0pxga86s0cgdbghhl01 0 170493 1079847 2026-05-20T08:29:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079847 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Inzidenzrelation|Anf=In| |Siehe= |Ziel=Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel }} 1r7kvuooi4apmui54i2ro9hjhrn1y86 0 170494 1079858 2026-05-20T09:10:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079858 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=konjugierte (Abbildung)|Anf=Ko| |Siehe=konjugiert (Abbildung) |Ziel=/Definition }} 7v6a7tdh6uk3elbnjk6bimaz1riztnh 0 170495 1079863 2026-05-20T09:19:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079863 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Begriffe {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphie| |Kontext=Relation| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei der man beidseitig Bijektionen erlaubt| |ISZ=|ESZ= }} nicht erhalten bleiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ket9warudma2qmxk4l5bci8azgdgu2y 0 170496 1079864 2026-05-20T09:20:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079864 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Begriffe {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |SZ= }} unter der {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=Relation| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=Menge| |SZ= }} erhalten bleiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6e0tz365ti8rh9qas7qdwgkp2z925a6 0 170497 1079865 2026-05-20T09:21:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079865 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Konjugation (Relation)|Anf=Ko| |Siehe= |Ziel=Isomorphe Strukturen/Relationen auf einer Menge/Einführung/Textabschnitt }} s6ff5dlc9qdl6bnoq576ohhi0jyu76g 0 170498 1079866 2026-05-20T09:22:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079866 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Isomorphie (Relation)|Anf=Is| |Siehe= |Ziel=Relationen/Isomorph/Definition }} 6cov7dp3eswada86w92zhph3syk5w0f 0 170499 1079884 2026-05-20T10:56:00Z C.Koltzenburg 13981 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079884 wikitext text/x-wiki == Bericht, mit der Aktuellen Anamnese in 3 Varianten == === Stichworte (in Varianten) === ['''in Stuttgart/ BaWü''': Name = Vorname Nachname] <br /> Sina Gowitz ['''in München/ Bayern''': Nachname, Vorname] <br /> Gowitz, Sina [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 [Gewicht]<br /> 80 kg [Größe]<br /> 184 cm [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m ([https://de.wikipedia.org/wiki/Dezimaltrennzeichen Dezimaltrennzeichen])] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] Nikotin: Nichtraucherin <br /> C2: <br /> | ''trinke'' 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | ''trinke'' 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> ''[+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I]'' Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert ''[+ Verb im Konjunktiv I]'' [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in | einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> | einer 6-er-WG [genauer] [FA] <br /> Mutter: Herzschwäche (Herzinsuffizienz ?) <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) [Ende des Abschnitts im Stichwortstil] <br /> === Aktuelle Anamnese === '''ab hier in ganzen Sätzen schreiben''' ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten progredienten dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, plötzlich aufgetretenen, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS = Fachsprache] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. [BS] Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] [VA] | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. | In der VA bestehen | schmerzbedingte Insomnie. | berufsbedingte Insomnie. | familiär bedingte Insomnie. [VE/VO] | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie unterzogen. | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). [Med] Die Anamnese der Medikation ergab: Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen Die Medikation besteht aus ... [VD] | Meine VD lautet: akute Appendizitis. | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. [DD] | An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] | Therapeutisch empfehle ich: | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: laporoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. dle7h07v11evrfzpxcm03ciy8ykon3l 3 170500 1079886 2026-05-20T11:53:54Z ElisaHoff 41592 Neuer Abschnitt /* Welcome here. */ 1079886 wikitext text/x-wiki == Welcome here. == Welcome here. [[Benutzer:ElisaHoff|ElisaHoff]] ([[Benutzer Diskussion:ElisaHoff|Diskussion]]) 13:53, 20. Mai 2026 (CEST) nh61vvp5ekp0rq2f0egfyykeey5ny4q