Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 8 17724 1080062 683965 2026-05-21T16:53:00Z WikiBayer 20987 1080062 javascript text/javascript // Version 0.32 - Anpassung an "modern"-Skin // Version 0.31 - Rücknahme der Version 0.3 (faktisch also Version 0.2), da // in Version 0.3 nun jedesmal die "Aboliste" sichtbar editiert wird. // Version 0.3 - Besserer Schutz der Privatsphäre durch Vermeidung der // Übertragung des PageWatcher-Cookies zum Server bei jedem Seitenaufruf. // Version 0.2 - Schutz der Privatsphäre durch Verwendung von Cookies // (mit fallback: [[MediaWiki:PageWatcher-File]]) // Version 0.1 // (c) 2008 by Exxu // Released under GPL or CC-by-SA 2.5 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de) // at your choice //****************************************************************************************** // Änderungsüberwachung für Einträge in der "Aboliste" ([[MediaWiki:PageWatcher-File]]). // Es wird jeder Eintrag der Form: // [[Lemma_des_interessierenden_Artikels]] // berücksichtigt. Ausgeschlossen werden derartige Links auf Spezialseiten, Kategorien, // und die eigene oder fremde Abolisten. // Nach Änderungen wird der Nutzer durch eine Meldung auf der aktuellen Seite informiert, // wenn eine Seite zum Ansehen aufgerufen wird. Ausnahmen bilden hiervon Spezialseiten, // die Aboliste und der Aufruf irgendeiner Seite zum Bearbeiten. // Insoweit wird die Meldung verzögert. //****************************************************************************************** // Verwendete MediaWiki-Dateien: // [[MediaWiki:PageWatcher-File]] - Lemma der Aboliste (ohne "/"); // Diese sollte auf ".js" enden, weil dadurch nur der Eigentümer (oder ein Admin) // Änderungen durchführen kann. Diese Datei wird im Benutzernamensraum erwartet. // Beispiel: Benutzer:Anonymous/Aboliste.js. // Fehlt diese Datei wird "WatchFile.js" angenommen. // [[MediaWiki:PageWatcher-Summary]] - Zusammenfassungstext für automatische Edits // Fehlt diese Datei, wird "Updates" angenommen // [[MediaWiki:PageWatcher-Updates]] - Text für die Benutzerinformation bei Änderungen // Fehlt diese Datei, wird "There are updates for files you are watching" angenommen. //****************************************************************************************** // Verwendete Javascript-Variablen: // wgAction, wgCanonicalName,wgServer, wgScript, wgUserName, //****************************************************************************************** // <nowiki> var PageWatcher = { _msgUpdated: null, _watchfile: null, _msgSummary: null, _myDate: null, _HTTPReqObj: { _HRO: null, call: function( method, uri, async, callback, options ) { PageWatcher._HRO = ( !PageWatcher._HRO && typeof sajax_init_object == 'function' ) ? sajax_init_object() : PageWatcher._HRO; if( !PageWatcher._HRO ) { if( window.XMLHttpRequest ) { PageWatcher._HRO = new XMLHttpRequest(); } else { try { PageWatcher._HRO = new ActiveXObject( 'Msxml2.XMLHTTP' ); } catch( e ) { try { PageWatcher._HRO = new ActiveXObject( 'Microsoft.XMLHTTP' ); } catch( e ) { } } } } if( PageWatcher._HRO ) { PageWatcher._HRO.open( method, uri, async ); if ( options && options.headers ) { for ( key in options.headers ) { PageWatcher._HRO.setRequestHeader( key, options.headers[key] ); } } PageWatcher._HRO.onreadystatechange = ( callback ) ? callback : null; PageWatcher._HRO.send( ( options && options['data'] ) ? options['data'] : null ); } return PageWatcher._HRO; } }, _editAboList: function( links ) { var request = PageWatcher._get( 'User:' + mw.config.get('wgUserName') + PageWatcher._watchfile, 'edit' ); if( !request || request.status >= 400 ) { return false; } var div = document.createElement( 'div' ); div.innerHTML = request.responseText; var form = div.getElementsByTagName( 'form' ); if ( typeof form == 'undefined' || form.length < 1 ) { return false; } form = form[0]; var content = form.getElementsByTagName( 'textarea' ); if ( typeof content == 'undefined' || content.length < 1 ) { return false; } return PageWatcher._postData( form, links ); }, _extractLinks: function( text ) { var links = {}; var regexp = /\[\[([^\|\]]+)[\|\]][^\]]*\]([^\d\*]*(\d[^\n$]*))?[\n$]?/g; while ( regx = regexp.exec( text ) ) { // Überwachungslinks extrahieren if( regx[1].match( /^Spe[cz]ial:/i ) || // Spezialseiten ausschließen regx[1].match( /^[CK]ategor[iy]e?:/i ) || // Kategorielinks ausschließen regx[1].indexOf( PageWatcher._watchfile ) > 0 // Aboliste ausschließen ) { continue; } links[regx[1].replace( / /g, '_' )] = regx[3]; }; return links; }, _formatLinks: function( links ) { data = ''; for ( key in links ) { data += PageWatcher._myEncodeURIComponent( '* [[' + key.replace( /_/g, ' ' ) + ']] ' + links[key] + "\n" ); } return data; }, /* Read some file by given action. If cached equals to false, read it from server */ _get: function( file, action, cached ) { return PageWatcher._HTTPReqObj.call( 'GET', mw.config.get('wgServer') + mw.config.get('wgScript') + '?title=' + file + '&action=' + action + ( !cached ? '&' + PageWatcher._myDate.getTime() : '' ), false ); }, /* Read content of MediaWiki-Files perhaps from the browser's cache */ _getText: function( msg, file, val ) { if ( !msg ) { request = PageWatcher._get( file, 'raw', true ); return ( ( !request || request.status >= 400 ) ? val : request.responseText ); } else { return msg; } }, _hasCookies: function() { return document.cookie && document.cookie.indexOf( 'PageWatcher=' ) == 0; }, _lastModified: function( lemma ) { var request = PageWatcher._get( lemma, 'history' ); if ( !request || request.status >= 400 || !request.responseText ) { return null; } var div = document.createElement( 'div' ); div.innerHTML = request.responseText; var ul = div.getElementsByTagName( 'ul' ); var lastversion = null; for ( i = 0; i < ul.length; i++ ) { if ( ul[i].getAttribute( 'id' ) == 'pagehistory' ) { lastversion = ul[i]; break; } } if ( !lastversion ) { return null; } var anchors = lastversion.getElementsByTagName( 'li' )[0].getElementsByTagName( 'a' ); if( typeof anchors == 'undefined' ) { return null; } for ( i = 0; i < anchors.length; i++ ) { if( !anchors[i].firstChild.nodeValue.match( /(\d\d:\d\d,.+\d\d\d\d)/ ) ) { continue; } return RegExp.$1; } return null; }, _myEncodeURIComponent: function( val ) { val = val.replace( /\&lt;/gi, '<' ); val = val.replace( /\&gt;/gi, '>' ); val = val.replace( /\&quot;/gi, '"' ); val = val.replace( /\&amp;/gi, '&' ); return encodeURIComponent( val ); }, _postData: function( form, links ) { PageWatcher._msgSummary = PageWatcher._getText( PageWatcher._msgSummary, 'MediaWiki:PageWatcher-Summary', 'Updates' ); var data = ''; var inputFields = form.getElementsByTagName( 'input' ); for ( var i = 0; i < inputFields.length; i++ ) { if ( inputFields[i].type == 'submit' && inputFields[i].name != 'wpSave' ) { continue; } data += '&' + inputFields[i].name; data += ( inputFields[i].name == 'wpMinoredit' ) ? '=1' : ( inputFields[i].name == 'wpWatchthis' ) ? '=1' : ( inputFields[i].name == 'wpSummary' ) ? '=' + PageWatcher._msgSummary : '=' + PageWatcher._myEncodeURIComponent( inputFields[i].value ); } data += '&wpTextbox1=' + PageWatcher._formatLinks( links ); return PageWatcher._HTTPReqObj.call( 'POST', form.action, false, null, { 'data': data, 'headers': { 'Content-Type': 'application/x-www-form-urlencoded', 'Referer': mw.config.get('wgServer') + mw.config.get('wgScript') + '?title=User:' + mw.config.get('wgUserName') + PageWatcher._watchfile + '&action=edit' } } ); }, _setCookies: function( links ) { var futdate = new Date(); // Get the current time and date var expdate = futdate.getTime(); // Get the milliseconds since Jan 1, 1970 expdate += 3600 * 1000 * 24 * 90; // expires in 90 days (milliseconds) futdate.setTime( expdate ); var newCookie = 'PageWatcher=' + PageWatcher._formatLinks( links ); newCookie += '; path=/; domain=de.wikiversity.org;'; newCookie += ' expires=' + futdate.toGMTString(); window.document.cookie=newCookie; // Write the cookie }, _usermsg: function( files ) { PageWatcher._msgUpdated = PageWatcher._getText( PageWatcher._msgUpdated, 'MediaWiki:PageWatcher-Updates', 'There are updates for files you are watching' ); var msg = document.createElement( 'a' ); var reducedWatchfile = PageWatcher._watchfile; if( reducedWatchfile.indexOf( '.' ) > 0 ) { // Ziellink als Lemma ohne Punkt-Anhang reducedWatchfile = reducedWatchfile.substr( 0, reducedWatchfile.indexOf( '.' ) ); } msg.setAttribute( 'href', mw.config.get('wgServer') + '/wiki/User:' + mw.config.get('wgUserName') + reducedWatchfile ); msg.setAttribute( 'title', 'User:' + mw.config.get('wgUserName') + reducedWatchfile ); msg.appendChild( document.createTextNode( PageWatcher._msgUpdated ) ); var msgDiv = document.createElement( 'div' ); msgDiv.setAttribute( 'class', 'usermessage mw-topbox' ); msgDiv.appendChild( msg ); for ( key in files ) { var aFile = document.createElement( 'a' ); aFile.setAttribute( 'href', mw.config.get('wgServer') + '/wiki/' + key ); aFile.setAttribute( 'title', key.replace( /_/g, ' ' ) ); aFile.appendChild( document.createTextNode( key.replace( /_/g, ' ' ) ) ); msgDiv.appendChild( document.createTextNode( ' ' ) ); msgDiv.appendChild( aFile ); msgDiv.appendChild( document.createTextNode( ';' ) ); } var msgContainer = document.getElementById( 'bodyContent' ); if ( !msgContainer && getElementsByClassName( document, 'div', 'mw-topboxes' ) ) { msgContainer = getElementsByClassName( document, 'div', 'mw-topboxes' )[0]; } msgContainer.insertBefore( msgDiv, msgContainer.firstChild ); }, watch: function() { if( typeof mw.config.get('wgAction') != 'undefined' && mw.config.get('wgAction') == 'edit' || // im Editmodus keine Überwachung mw.config.get('wgCanonicalNamespace') == 'Special' // auf Spezialseiten keine Überwachung ) { return false; } PageWatcher._myDate = new Date(); PageWatcher._watchfile = '/' + PageWatcher._getText( PageWatcher._watchfile, 'MediaWiki:PageWatcher-File', 'WatchFile.js' ); PageWatcher._watchfile = PageWatcher._watchfile.replace( /\s/g, '' ); if ( mw.config.get('wgPageName').indexOf( PageWatcher._watchfile ) > 1 ) { return false; // auf der Aboliste keine Überwachung } request = PageWatcher._get( 'User:' + mw.config.get('wgUserName') + PageWatcher._watchfile, 'raw' ); if( !request || request.status >= 400 ) { return false; // keine Aboliste -> keine Überwachung } var links = PageWatcher._extractLinks( request.responseText ); var cookies = {}; if ( PageWatcher._hasCookies() ) { var content = decodeURIComponent( document.cookie.substring( document.cookie.indexOf( '=' ) + 1 ) ); cookies = PageWatcher._extractLinks( content ); } var unbold = false; var updated = false; var updatedFiles = {}; for ( key in links ) { if ( cookies[key] ) { links[key] = cookies[key]; } if ( !links[key] ) { links[key] = '00.00, 0000'; } if ( links[key].indexOf( "'" ) >= 0 ) { unbold = true; } links[key] = links[key].replace( /'/g, '' ); var lastversion = PageWatcher._lastModified( key ); if(lastversion && links[key] != lastversion ) { links[key] = "'''" + lastversion + "'''"; updated = true; updatedFiles[key] = 1; } } PageWatcher._setCookies( links ); if ( ( unbold || updated ) && ( PageWatcher._hasCookies() || PageWatcher._editAboList( links ) ) ) { if( updated ) { PageWatcher._usermsg( updatedFiles ); } } } }; $( PageWatcher.watch ); // </nowiki> crdgcb0gknkf7i1hzae2v5fnicx2tbu 0 97958 1080001 1079982 2026-05-21T13:22:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel */ 1080001 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == In === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. == Konvergenz von Laurent-Reihen == Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. === Beispiel - Laurent-Reihe auf Kreisring === Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. ==== Pol k-ter Ordnung ==== Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> 60plwlr19ukeypw6dw9wp5htvozdl1r 1080004 1080001 2026-05-21T13:24:29Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenz von Laurent-Reihen */ 1080004 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == In === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. ==== Pol k-ter Ordnung ==== Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> co690v7dw3i7uf810mxyphnmy8sfct3 1080006 1080004 2026-05-21T13:26:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1080006 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte: * Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität, * Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren, * Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. ==== Pol k-ter Ordnung ==== Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> 6tasdt7hxujwf05u611qy8kl56cqd74 1080007 1080006 2026-05-21T13:26:39Z Bert Niehaus 20843 /* Pol k-ter Ordnung */ 1080007 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte: * Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität, * Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren, * Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. === Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung ==== Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> aeuhmmbe3lxus98b785jpeogi4b20kf 1080008 1080007 2026-05-21T13:27:03Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring */ 1080008 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte: * Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität, * Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren, * Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. === Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung ==== Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. ==== Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring ==== Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> g403rx9478pk6ovp0852uj2wyu9r6k6 1080009 1080008 2026-05-21T13:27:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung = */ 1080009 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte: * Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität, * Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren, * Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. === Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung === Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. ==== Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring ==== Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> r7ughrtlilvsluwu30ixn2ggxexcnh7 1080010 1080009 2026-05-21T13:33:01Z Bert Niehaus 20843 /* Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen */ 1080010 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> * <math display="inline">a_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">z_0</math> Entwicklungspunkt der Laurent-Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe - Wahl der Taylorreihen === Man definiert nun Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math>. Bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> wählt man zwei holomorphe Funktionen <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen, die sich um jeden Punkt aus <math>G_o</math> in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Wegen <math>z_0 \in G</math> liegt insbesondere <math>0 = z_0-z_0 \in G_o</math>. Diese Potenzreihen für den Entwicklungspunkt <math>0</math> seien mit den Konvergenzradien <math>R_{g} , R_{h} >0</math> wie folgt definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> === Darstellung der Laurentreihe - Entwicklungspunkte === Mit den holomorphen Funktion <math>g:G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math> kann für <math>f</math> die Darstellung in dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> ausdrücken: :<math> g(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n \quad \quad h(z-z_0) := \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n \quad </math> Für den Hauptteil benötigt man noch einen negativen Exponenten, den man über Potenzgesetze und Definition einer Funktion <math>\widehat{h}: G_o \rightarrow \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert ist: :<math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> === Darstellung der Funktion f über die Laurentreihe === Für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wurde ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> und bezogen auf die Menge :<math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> die Taylorentwicklungen in <math>z_0</math> bzgl. <math>g</math> und <math>h</math> als holomorphe Funktionen verwendet. Die Definition von <math>f</math> erfolgt dann lokal auf Kreisringe über :<math>f(z):=g(z-z_o)+\widehat{h}(z-z_o) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-z_0)^n </math> === Darstellung der Funktion f - Konstante der Laurentreihe === Mit den holomorphen Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> ist allerdings nicht eindeutig festgelegt, wie sich die Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> in der Laurent-Reihe für <math>f</math> auf die beiden Taylorentwicklungen für <math>g</math> und <math>h</math> mit <math>c_0=a_0 +b_0</math> verteilt. In diesem Sinne ist die Wahl der holomorphen Funktionen nicht eindeutig. Wenn man für den Hauptteil <math>\widehat{h}(z-z_0) = h\big((z-z_0)^{-1}\big)</math> die Konstante <math>b_0=0</math> festlegt, wird die Darstellung mit dem [[Identitätssatz]] für <math>h</math> eindeutig und man definiert: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n \quad \quad h(z) := \sum_{n=1}^\infty b_n \cdot z^n \quad </math> == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\widehat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Dabei ist <math>R:= R_g</math> und <math>r=\tfrac{1}{R_h} </math> und in dem Fall <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich die Eigenschaft <math>|z| > r</math> und <math>|z| < R</math> erfüllen muss, damit sowohl Hauptteil als auch Nebenteil konvergieren. === Aufgabe - Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, wobei <math>a_n=\left(\tfrac{8}{3}\right)^n</math> für <math>n\geq 0</math> und <math>b_n=\left(\tfrac{3}{2}\right)^n</math> für <math>n \leq -1</math> gilt. Berechnen Sie den Radius <math>R_{\widehat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\widehat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\widehat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \underbrace{z^{-n}}_{=\left(\frac{1}{z}\right)^n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0\in\mathbb{C}</math>: :<math>f(z)=g(z-z_0)+h\left(\frac{1}{z-z_0}\right)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n</math> == Beispiele == Die folgenden Beispiele behandeln folgende Aspekte: * Laurent-Reihe über Exponentialfunktion mit wesentlicher Singularität, * Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen konstruieren, * Pole k-ter Ordnung und punktierte Umgebungen === Beispiel 1 - Laurent-Reihe mit Exponentialfunktion === Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Beispiel 2 - Laurent-Reihen aus geometrischen Reihen === Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. In dem folgenden Beispiel wird über geometrischen Reihen für den Haupt- und Nebenteil eine Larentreihe erzeugt, die auf einem Kreisring konvergiert. ==== Beispiel 2 - Laurent-Reihe auf Kreisring ==== Für die geometrische Reihe erhält man mit <math>q\in \mathbb{C}</math> die Konvergenz für <math>|q| < 1</math> und dem Grenzwert: :<math> \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} </math> ==== Beispiel 2 - Definition der Koeffizienten ==== Man definiert für <math>0 \leq r < R \leq \infty </math> die Koeffizienten wie folgt: * <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math> für <math>n \geq 0</math> * <math> a_n:= r^n </math> für <math>n < 0</math> ==== Definition der Laurent-Reihe ==== Die Laurent-Reihe ergibt sich direkt über die Festlegung der Koeffizienten: :<math> \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n </math> Die Larent-Reihe konvergiert, wenn sowohl Hauptteil als auch der Nebenteil konvergieren. ==== Konvergenzbereiche - Nebenteil ==== Für den Nebenteil betrachtet man die nicht-negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= \tfrac{1}{R^n} </math>: :<math> \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\tfrac{1}{R^n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{z-z_0}{R} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{z-z_0}{R} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| < R </math> gilt. ==== Konvergenzbereiche - Hauptteil ==== Für den Hauptteil betrachtet man die negativen Exponenten der Laurent-Reihe mit den Koeffizienten <math> a_n:= r^{-n} </math>, wobei mit negativem <math>n</math> der Exponent <math>-n </math> positiv ist: :<math> \sum_{n=-\infty}^{-1} \underbrace{r^{-n}}_{=a_n} \cdot (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \underbrace{\tfrac{r}{z-z_0} }_{=q} \bigg)^n , </math> wobei die Reihe konvergiert, wenn <math> |q| = \left| \tfrac{r}{z-z_0} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left| z-z_0 \right| > r </math> gilt. === Beispiel 3 - Pol k-ter Ordnung === Liegt ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung vor, ist <math>r=0</math>, denn der Hauptteil hat dann die folgende Form: :<math> \sum_{n=-k}^{-1} a_n \cdot (z-z_0)^n </math> konvergiert dann für alle <math>z\not= z_0</math>. Damit ist dann bei Polen <math>r=0</math>. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. ==== Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring ==== Es gibt zwei eindeutig bestimmte Radien <math>r</math> und <math>R</math>, so dass die Laurent-Reihe auf dem offenen Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergiert. ==== Bemerkung - lokal gleichmäßige Konvergenz ==== Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>K_{(r,R)}</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>K_{(r,R)}</math> und auch abgeschlossenen Kreisringen :<math>\overline{K_{(\widetilde{r\,},\widetilde{R})}}:=\{z\in \mathbb{C} \, : \, r < \widetilde{r\,} \leq |z-z_0| \leq \widetilde{R} < R\}.</math> Die Laurent-Reihe definiert auf <math>K_{(r,R)}</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>K_{(r,R)}</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}} := \{ z \in \mathbb{C} \, \, : r < \vert z - z_0 \vert\vee\vert z - z_0 \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven Exponenten im Nebenteil oder die Terme mit negativen Exponenten aus dem Hauptteil divergieren in bei einem <math>z\in \mathbb{C}\setminus \overline{K_{(r,R)}}</math>. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>K_{(r,R)} := \{ z : r < \vert z - z_0 \vert < R \}</math> und einer auf <math>K_{(r,R)}</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math>, die (mindestens) auf <math>K_{(r,R)}</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">z_0 = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> owrcu69i5q14hodogo5krp9k42dvmbu 106 99342 1080126 1005609 2026-05-22T11:23:12Z Bert Niehaus 20843 /* Laurententwicklung auf einem Kreisring */ 1080126 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_1 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_1 < r < r_2</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\gamma_r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw</math></center> da <math>\gamma_r</math> wegen <math>|z-z_0| > r </math> den Punkt <math>z</math> nicht umläuft. ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^1 \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> 71jbnwy8rk2fcoas7g482npj5iwbds0 1080127 1080126 2026-05-22T11:23:37Z Bert Niehaus 20843 /* Existenz */ 1080127 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_1 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_o < r < R_o</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\gamma_r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw</math></center> da <math>\gamma_r</math> wegen <math>|z-z_0| > r </math> den Punkt <math>z</math> nicht umläuft. ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^1 \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> 9kbltg10qiotij3xt5yob3bf8cox0aq 1080128 1080127 2026-05-22T11:24:01Z Kaan Bauer 38603 /* Laurententwicklung auf einem Kreisring */ 1080128 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_0 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_o < r < R_o</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\gamma_r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw</math></center> da <math>\gamma_r</math> wegen <math>|z-z_0| > r </math> den Punkt <math>z</math> nicht umläuft. ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^1 \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> p5akcs7y3vxg3f8i8ivw3790dciwkp2 1080129 1080128 2026-05-22T11:27:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy */ 1080129 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_0 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_o < r < R_o</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> n(\Gamma, z) \cdot f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\Gamma} f(w)\, dw</math></center> da <math>\gamma_r</math> wegen <math>|z-z_0| > r </math> den Punkt <math>z</math> nicht umläuft. ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^1 \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> tublh9s6ukcu1zbbz1u84twp3glt5rm 1080130 1080129 2026-05-22T11:30:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy */ 1080130 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_0 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_o < r < R_o</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> n(\Gamma, z) \cdot f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\Gamma} f(w)\, dw</math></center> ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^1 \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> 3t3i9sj7hdvee2h8gh10hzin0iy18g9 1080131 1080130 2026-05-22T11:33:05Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe */ 1080131 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema '' Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe * (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung == Laurententwicklung um einen Punkt == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und <math>f \colon G\setminus\{z_0\}\to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion. Eine Laurententwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> ist eine Darstellung von <math>f</math> als [[Laurent-Reihe]] <center><math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math></center> mit <math>a_n \in \mathbb C</math>, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt <math>z_0</math>) Kreisscheibe um <math>z_0</math> konvergiert. == Laurententwicklung auf einem Kreisring == Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien <math>0 \le r_o < R_o</math> zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht <math>r_0 = 0</math>), und sei <math>A_{r_0,R_o} := \{z \in \mathbb C: r_o < |z-z_0| < R_o\} </math> ein Kreisring um <math>z_0</math>, sei weiterhin <math>f \colon A \to \mathbb C</math> eine holomorphe Funktion, dann ist die [[Laurent-Reihe]] <center><math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n </math></center> mit <math>a_n\in \mathbb C</math> eine Laurententwicklung von <math>f</math> auf <math>A_{r_o,R_o}</math>, wenn die Reihe für alle <math>z \in A_{r_o,R_o}</math> konvergiert. === Existenz === Jede auf <math>A_{r_o,R_o}</math> holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um <math>z_0</math>, die Koeffizienten <math>a_n</math> aus obiger Darstellung sind durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> für einen Radius <math>r</math> mit <math>r_o < r < R_o</math> gegeben. === Eindeutigkeit === Die Koeffizienten sind eindeutig durch <center><math>a_n = \frac1{2\pi i}\int_{|z-z_0| = r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math></center> bestimmt. == Beweis - Laurentdarstellung == Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: * Eindeutigkeit der Darstellung und * Existenz der Darstellung. === Beweisteil 1 - Eindeutigkeit === Die Eindeutigkeit folgt aus dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] für [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]], wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] angewendet wird. === Beweisteil 2 - Existenz der Laurent-Darstellung === Zur Existenz wähle für <math>r_0 < R_0</math> der offenen Kreisscheibe ein <math>r, R</math>, so dass <math>r_0 < r < R <R_0</math>. Sei nun <math>z \in K_{r,R}</math> aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt. [[Datei:Kreisring r R Definition.svg|mini|Kreisring]] ==== Beweisteil 2.1 - Kreisring für Laurent-Darstellung ==== Für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> seien nun zwei [[w:de:nullhomotop|nullhomotope Kurven]] <math>\gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma_R:[0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> gewählt. :<math> \gamma_r(t) := z_o + r\cdot e^{it} \qquad \gamma_R(t) := z_o + R\cdot e^{-it} </math> ==== Beweisteil 2.2 - Nullhomologer Zyklus für den Kreisring ==== Über <math> \Gamma := \gamma_R + \gamma_r </math> wird ein [[w:de:nullhomolog|nullhomologer Zyklus]] für den Kreisring <math>K_{r,R}</math> definiert. ==== Beweisteil 2.3 - Anwendung Integralsatz von Cauchy ==== Nach dem [[Integralsatz von Cauchy]] für nullhomologe Zyklen gilt nun <center><math> n(\Gamma, z) \cdot f(z) = \frac1{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> und <center><math> 0 = \frac 1{2\pi i}\int_{\Gamma} f(w)\, dw</math></center> ==== Beweisteil 2.4 - Zerlegung des Integrals ==== Also ist wegen <math>\gamma_R + \gamma_r = \partial D_{R}(z_0) - \partial D_{r}(z_0)</math> <center><math> f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw - \frac 1{2\pi i}\int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math></center> ==== Beweisteil 2.5 - Cauchykern ==== Bei der Integration über den <math>\gamma_R</math> gilt <math>|w-z_0| = R</math> für alle <math>z \in Spur(\gamma_R)</math> und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.6 - Konvergenz der Reihe ==== Die ([[w:de:geometrische Reihe|geometrische]]) Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < |w-z_0|</math> absolut und man erhält die Darstellung <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = R} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = R} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.7 - Verkleinerung des Radius ==== Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring <math>K_{r_0,R_0}</math> holomorph ist und die beiden Wege <math> \gamma_R</math> und <math>- \gamma_r</math> in <math>K_{r_0,R_0}</math> homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von <math>K_{r_0,R_0}</math> nicht unterscheiden). ==== Beweisteil 2.8 - Integral über inneren Kreisrand ==== Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit <math>|w - z_0| = r</math> (also über <math>-\gamma_r</math>). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für <math>|w - z_0| = R</math> entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] darauf geachtet werden, dass <math>|q| = \left| \frac{w-z_0}{z-z_0} \right| < 1 </math> für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen <math>|w-z_0| < |z-z_0|</math> im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht. ==== Beweisteil 2.9 - Cauchy-Kern für Haupteil der Laurent-Reihe ==== Für den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac {-1}{z-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n} \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.10 - Darstellung des Integranden - Haupteil der Laurent-Reihe ==== Damit erhält man <math>r = |w-z_0| < |z-z_0|</math> die Konvergenz der Reihe und damit <center><math> \begin{array}{rl} -\displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{w-z} \, dw &= -\displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{|w-z_0| = r} \frac {-1}{z-z_0} \frac{f(w)(w-z_0)^n}{(z-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{-n}}\, dw \cdot (z-z_0)^{-n-1}\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^{-1} \int_{|w-z_0| = r} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math></center> ==== Beweisteil 2.11 - Darstellung der Laurent-Reihe ==== Zusammen folgt, dass für <math>z \in K_{r, R}</math> aus dem Kreisring: <center><math>f(z) = \frac 1{2\pi i} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{|w-z_0|=r} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n</math></center> und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen]] * [[w:de:Laurentreihe|Wikipedia: Laurentreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Laurententwicklung&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/development in Laurent series]]</noinclude> qfx3h3rta42yphu7gectirjuhtaprtt 106 99410 1080124 1004222 2026-05-22T11:00:14Z Kaan Bauer 38603 /* Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor (z-z_o)^0 */ 1080124 wikitext text/x-wiki ==Definition - Residuum == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und eine Abbildung <math>f</math> bis auf die Menge der isolierten Singularitäten <math>S\subset G</math> holomorph, d.h. <math>f\colon G\setminus S \to \mathbb{C}</math> ist holomorph. Ist <math>z_0 \in S \subset G</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] von <math>f</math> mit <math>D_r(z_0) \cap S = \{z_0\}</math>, so definiert man das Residuum als: :<math>\mathrm{res}_{z_0}(f) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi-z_o|=r} f(\xi)\, d\xi</math>. == Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung == Stellt man <math>f</math> um eine isolierte Singularität <math>z_0 \in S \subset G</math> als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> gilt: :<math>\mathrm{res}_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = a_{-1}</math>. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> nur die eine Singularität <math>z_0 \in S </math> enthält, d.h. <math>\overline{D_r(z_0)} \cap S = \{z_0\}</math>. Damit kann man das ''Residuum'' <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) = a_{-1}</math> aus der Laurentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> am (-1)-ten Koeffizienten ablesen. ==Namensgebung== Das Residuum (von lat. ''residuere'' - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg <math>\gamma(t):= z_o + r\cdot e^{it}</math> mit <math>t \in [0,2\pi]</math> über den Kreisrand um <math>z_o</math> gilt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{|w-z_0|=r} f(w)\, dw &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{|w-z_0|=r} (w-z_0)^n \, dw\\ &= 2\pi i \cdot a_{-1} \end{array} </math></center> gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt. ==Berechnung für Pole== Ist <math>z_0 \in U</math> ein Pol der Ordnung <math>m</math> von <math>f</math>, so hat die [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> die Form :<math> f(z) = \sum_{k=-m}^\infty a_k (z-z_0)^k </math> mit <math>a_{-m} \ne 0</math>. === Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation === Multiplizieren wir mit <math>(z-z_0)^m</math>, so erhalten wir :<math> g_m(z):=(z-z_0)^m \cdot f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_{k-m} (z-z_0)^k </math> Das Residuum <math>a_{-1}</math> ist nun als Koeffizienten von <math>(z-z_0)^{m-1}</math> in der Potenzreihe der Funktion <math>g_m(z)</math> zu finden. === Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation === Durch <math>m-1</math>-faches Differenzieren verschwinden die ersten <math>m-1</math> Summanden der Reihe vom Exponent <math>n=0</math> bis zum Exponenten <math>m-2</math>. Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor <math>(z-z_0)^0</math> und man erhält: :<math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=m-1}^\infty \frac{k!}{(k-m+1)!} a_{k-m}(z-z_0)^{k-m+1} </math> === Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor <math>(z-z_o)^0</math> === Durch Indexverschiebung erhält man: : <math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=-1}^\infty \frac{(m+k)!}{(k+1)!} a_{k}(z-z_0)^{k+1} </math> Durch einen Grenzwertprozess <math>z\to z_0</math> verschwinden alle Summanden mit <math>k\geq 0</math> und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z) = \frac{(m-1)!}{0!} \cdot a_{-1} \cdot (z-z_0)^{0} = (m-1)! \cdot a_{-1}</math> Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert <math>z \to z_0</math> berechnen: :<math> \mathrm{res}_{z_0} (f) = a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z)</math> == Aufgaben für Studierende == * Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index <math>n \in \mathbb{Z}</math> mit <math>n \not= -1 </math> bei der Integration das Integral :<math>\int_{\partial D_r(z_0)} a_{n}\cdot (\xi - z_0)^{n}\, d\xi = 0</math> ergeben. * Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen? ::<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\partial D_r(z_0)} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \int_{\partial D_r(z_0)} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \mathrm{res}_{z_0}(f) </math> * Gegeben sei die Funktion <math>f:\mathbb{C}\setminus \{i\} \to \mathbb{C}</math> mit <math> z\mapsto f(z)=\frac{e^{z-i}}{(z-i)^5}</math>. Berechnen Sie das Residuum <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) </math> mit <math>z_0:=i</math> ! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_Laurentreihen|Beispiele_Laurentreihen]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Residue]]</noinclude> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Residuals]]</noinclude> 9b0efwkopoqj3frj77lzbweo0yz0ff1 106 111212 1079995 601153 2026-05-21T13:14:14Z ~2026-23518-21 41493 /* Grundlagen der Komplexen Zahlen */ 1079995 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen. ==[[w:de:Komplexe Zahl| Grundlagen der Komplexen Zahlen]]== (Vertiefung folgt in der Vorlesung) 1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. <math display="inline">z_j = x_j + i y_j</math> mit <math display="inline">j = 1,2</math> seien dabei komplexe Zahlen und es gelte <math display="inline">i^2=-1</math>. ; Addition : <math display="inline">z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)</math> ; Subtraktion : <math display="inline">z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2)</math> ; Multiplikation : <math display="inline">z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2-y_1 y_2) + i (x_1y_2 + x_2y_1)</math> ; Kehrwert : Sei <math display="inline">z \neq 0</math>.<br /> <math display="inline">\frac 1 z = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}</math> ; Quadratische Gleichung : Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form <math display="inline">x^2+ax+b = 0</math> mit <math display="inline">a,b \in \mathbb{C}</math> auch im Komplexen <math display="inline">x_{1,2} = - \frac a 2 \pm \sqrt{(\frac a 2)^2 - b}</math> lautet. 2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben # <math display="inline">x^2 = -7</math> # <math display="inline">c^2 +15 = 5</math> # <math display="inline">(1+i)^4</math> # <math display="inline">(\frac{-1-i\sqrt3}{2})^3</math> # <math display="inline">(-1 + i ) \cdot( \overline{3 - 2i}) + (-1+i)</math> # <math display="inline">| (4-3i) \cdot (1 - 2i) |</math> # <math display="inline">| 3 \cdot (\cos 60 \mathrm{^\circ} - i \cdot \sin 60 \mathrm{^\circ})|</math> # Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein. ## <math display="inline">z = 2,5 \cdot e^{ i \cdot \frac 3 4 \pi}</math> ## <math display="inline">y = \frac { 6 i } {i - 1}</math> ==[[w:de:Grenzwert(Funktion)|Konvergenz]]== # Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen. # Sei <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>. Geben Sie zu <math display="inline">\epsilon = \frac 1 {10^5}</math> ein <math display="inline">n_0</math> an, sodass <math display="inline">| a_n | = | \frac n {2n+1} - \frac 1 2| < \epsilon \;\;\; \forall n >n_0</math> und <math display="inline">| b_n | = | \frac {3n + 1 } { n + 1} - 3 | < \epsilon\;\;\; \forall n > n_0</math> gilt. Interpretieren Sie die Aussage. # Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu <math display="inline">\epsilon > 0</math> passendes <math display="inline">\delta > 0</math> an. Sei <math display="inline">x \in \mathbb{R}</math>. ## <math display="inline">f(x) = 2x-1 \;\;\; x_0 = 3</math> ## <math display="inline">g(x) = cos( \frac 1 x) \;\;\; x_0 = 0, x \to x_0^+</math> # Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n ^2 + 3 n \cdot e^{-n}}{2^n(2 + cos(n))}</math> ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty} \frac {2 + cos(n)}{n}</math> ==[[w:de:Stetige Funktion| Stetigkeit von Funktionen]]== # Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle <math display="inline">x_0</math> an. # Zeigen Sie mithilfe der <math display="inline">\epsilon</math>-<math display="inline">\delta</math>-Definition, dass die Funktion <math display="inline">f(x) = 2x+1</math> bei <math display="inline">a = 2</math> stetig ist. ==[[w:de: Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion <math display="inline">f(x) = x^2+3x-2</math> (<math display="inline">x_0</math> beliebig). ==[[w:de: Riemannsches Integral| Integrierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen Sie das unbestimmte Integral <math display="inline">\int sin(x^3) \cdot 3 x^2 dx</math>. ==[[w:de: Potenzreihe|Potenzreihen]]== # Geben Sie die Definition der Potenzreihe an. # Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von <math display="inline">sin(x)</math> und <math display="inline">cos(x)</math>. # Entwickeln Sie die Funktion <math display="inline">f(x) = ln(1+x)</math>. Für welche <math display="inline">x</math> gilt diese? ==[[w:de: Taylorreihe|Taylorreihen]]== # Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung <math display="inline">m</math> zu <math display="inline">f</math> im Entwicklungszentrum <math display="inline">a</math>. # Entwickeln Sie die Taylorreihe zu <math display="inline">f(x) = x^3+7x^2-18x+5</math> mit dem Entwicklungszentrum <math display="inline">a = 1</math> und der Ordnung <math display="inline">m = 3</math>. 0r6ptz84lylzogozl95q0g6fj5yl8si 0 120755 1080082 1079970 2026-05-22T07:12:50Z Bocardodarapti 2041 1080082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Partitionen stehen in einem engen Verhältnis zu surjektiven Abbildungen. Eine surjektive Abbildung {{math|term= f |SZ=}} von einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge liefert über die Menge der Fasern {{mathl|term= f^{-1} (j) |SZ=}} zu {{ Relationskette | j | \in | \{1 {{kommadots|}} k\} || || || |SZ= }} eine Partition der Ausgangsmenge, die {{Stichwort|Faserpartition|SZ=.}} Es liegt also eine natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | \operatorname{Surj}(n,k)| \operatorname{Part}(n,k) | f | \{ f^{-1}(j), j \in {{Menge1k}} \} |SZ=, }} vor {{ Zusatz/Klammer |text=mit naheliegenden Bezeichnungen| |ISZ=|ESZ=. }} Diese ist surjektiv, da man bei einer Partition in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke die Blöcke mit {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= k |SZ=}} durchnummerieren kann und dann die Abbildung heranziehen kann, die jedes Element auf die Nummer ihres Blockes abbildet. Die Abbildung {{math|term= \Psi |SZ=}} kann man auch folgendermaßen interpretieren: Man definiert auf der Menge der surjektiven Abbildungen eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=, }} bei der man {{ Relationskette | f | \sim |g || || || |SZ= }} dadurch festlegt, dass es eine {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} {{math|term= h |SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | f || h \circ g || || || |SZ= }} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{{zusatz1|}}} Dabei sind zwei surjektive Abbildungen genau dann zueinander äquivalent, wenn sie die gleiche Partition definieren. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man also {{mathl|term= \operatorname{Part}(n,k) |SZ=}} als {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Äquivalenzrelation ansehen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp8hrrq0s9uya36fsnjo7a7wcazs9py 106 121949 1080047 1076809 2026-05-21T14:20:15Z Bocardodarapti 2041 1080047 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|p||| |Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|p||| |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} towd1wdwq3q2yfzko18c8prwqysa20z 1080051 1080047 2026-05-21T14:29:57Z Bocardodarapti 2041 1080051 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|p||| |Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|p||| |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} gbxrfl4pmf0z6sqdmwu0x4gt2kwcnpq 106 121956 1079996 1079652 2026-05-21T13:14:58Z Bocardodarapti 2041 1079996 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 4zn0dn2005kpv2lc97smdka2jesq43g 1079998 1079996 2026-05-21T13:18:51Z Bocardodarapti 2041 1079998 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} s2xmc62d9oqen81zvrd3kyymomisx1x 1079999 1079998 2026-05-21T13:19:05Z Bocardodarapti 2041 1079999 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0e2hpbwfviewkwcqokyaq23v5pgtmjp 108 134217 1080011 1079957 2026-05-21T13:40:57Z Jeb 26942 /* BiblioCON 2026 */ Nearby ''BiblioCON'' in Berlin 1080011 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=1Lib1Nearby |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:jeb|jeb]] |LAUFZEIT=jährlich: 6. Februar bis 14. Mai + 6. Juni bis 14. Januar |ZUSAMMENARBEIT=[[Benutzer:erfurth|erfurth]], [[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] |KURZBESCHREIBUNG=Übersichtsseite für OER (Sammlungen und Kurse) im Zusammenhang mit der Wikidata-Abfrage [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] |BILD=1Lib1Nearby.svg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Wikiversity: OER == * Jens Bemme: ''#Nearby. Landeskunde und Citizen Science mit Pandemie im Frühjahr 2020'', Informationspraxis, Bd. 6 Nr. 2 (2020), 27. September 2020, doi [https://doi.org/10.11588/ip.2020.2.73402 10.11588/ip.2020.2.73402] * [https://hackdash.org/projects/623987036d202d739f69cb52 Coding da Vinci*''Nearby''], März 2022 * Matthias Erfurth: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022. * Alan Riedel: ''Auf Alt-Leipziger Kneipentour durch Raum und Zeit – eine Projektskizze'', https://saxorum.hypotheses.org/6523, 28. Dezember 2021. * Christian Erlinger: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6345 Multilinguales regionales Weltwissen – Regiowikis mit Wikipedia-Sprachversionen in Wikidata verknüpfen]'', Saxorum, 19. Oktober 2021. * [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]: ''[https://osl.hypotheses.org/8131 Walnuss-Alleen verlinken: Urkunden, Straßen oder Baumnetze offen kartieren, Datenpunkte und Datenberge]'', Open Science Lab-Blog, 22. September 2023 * Jens Bemme: ''Offene Geodaten aus Partnerstädten – auch für Bibliotheken relevant'', 5. Juli 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11390 * Jens Bemme: ''1Lib1Nearby mit Wikidata: Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung.'' o-bib. Das Offene Bibliotheksjournal, Herausgeber VDB, 2023, https://doi.org/10.5282/o-bib/5970 * Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Call for edits * ''Call: Gastbeiträge für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung im Sommer 2021 – mit Nearby-Spezialabfragen'', https://saxorum.hypotheses.org/6117, 2. Juli 2021. * Jens Bemme: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'', SLUBlog, 23. Juli 2020 * ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren – Call'', 16. Januar 2025, https://saxorum.hypotheses.org/12360 * Jens Bemme und Alexander Winkler: ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 ; Varianten * [[d:User:Gerd_Fahrenhorst#Nearby_ohne_Stolpersteine,_Stra%C3%9Fen_und_Sonderausstellungen]] u.a. == BiblioCON 2026 == ; BiblioCON-Bibliotheken und das multilinguale Weltwissen ihrer nahen Umgebungen in Wikipedia {{SPARQL|query= #title: Wikidata-Nearby-Query für Wikipedia-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 wd:Q1565517 wd:Q1567759 wd:Q1573209 wd:Q15792046 wd:Q15824236 wd:Q15834499 wd:Q15848804 wd:Q15848805 wd:Q15852122 wd:Q15979678 wd:Q1600777 wd:Q1616201 wd:Q1622088 wd:Q1622135 wd:Q1622216 wd:Q1622220 wd:Q1622239 wd:Q162684 wd:Q1667281 wd:Q1668388 wd:Q1680376 wd:Q170109 wd:Q17122276 wd:Q1718711 wd:Q1722676 wd:Q1770764 wd:Q1802138 wd:Q1802141 wd:Q1806348 wd:Q18085187 wd:Q1821142 wd:Q18333131 wd:Q18333276 wd:Q189441 wd:Q189928 wd:Q190260 wd:Q1937092 wd:Q2073008 wd:Q2239285 wd:Q224514 wd:Q2324633 wd:Q2324644 wd:Q2326818 wd:Q2326823 wd:Q2326882 wd:Q2326915 wd:Q2326921 wd:Q2327009 wd:Q233098 wd:Q2359904 wd:Q23786596 wd:Q2399120 wd:Q2496248 wd:Q2496254 wd:Q2496255 wd:Q2496260 wd:Q2496283 wd:Q2496287 wd:Q2496293 wd:Q2496296 wd:Q2496307 wd:Q2496314 wd:Q2496319 wd:Q2496322 wd:Q2496324 wd:Q2496326 wd:Q2496330 wd:Q2496342 wd:Q2496344 wd:Q2496347 wd:Q2496350 wd:Q2496355 wd:Q256507 wd:Q27302 wd:Q27429972 wd:Q27863572 wd:Q27978762 wd:Q27991306 wd:Q27991358 wd:Q280017 wd:Q284992 wd:Q28650468 wd:Q28662066 wd:Q28662072 wd:Q28662104 wd:Q28662469 wd:Q28681438 wd:Q28681746 wd:Q28681836 wd:Q28681888 wd:Q28681997 wd:Q28686653 wd:Q28733444 wd:Q28733446 wd:Q28733453 wd:Q28733486 wd:Q28733515 wd:Q28733533 wd:Q28733704 wd:Q28734971 wd:Q28737538 wd:Q28738818 wd:Q28738830 wd:Q304037 wd:Q309988 wd:Q310695 wd:Q311801 wd:Q312653 wd:Q315175 wd:Q317032 wd:Q317070 wd:Q317179 wd:Q319333 wd:Q323270 wd:Q37979269 wd:Q391028 wd:Q42944 wd:Q462763 wd:Q472839 wd:Q49117 wd:Q4957110 wd:Q500692 wd:Q501851 wd:Q50280985 wd:Q50378813 wd:Q51985 wd:Q52662334 wd:Q54166 wd:Q54804519 wd:Q55152800 wd:Q55153258 wd:Q55153331 wd:Q55153443 wd:Q55153532 wd:Q564783 wd:Q568704 wd:Q574571 wd:Q604066 wd:Q64826802 wd:Q66780064 wd:Q679913 wd:Q683842 wd:Q684773 wd:Q686171 wd:Q687017 wd:Q689400 wd:Q689854 wd:Q695267 wd:Q696757 wd:Q697111 wd:Q702499 wd:Q707283 wd:Q734324 wd:Q77077361 wd:Q80796 wd:Q827220 wd:Q829096 wd:Q833738 wd:Q835440 wd:Q856423 wd:Q856475 wd:Q856552 wd:Q872896 wd:Q875587 wd:Q896706 wd:Q913987 wd:Q98380085 } ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} ; Nearby ''BiblioCON'' in Berlin * Wikidata, https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/52.4729,13.45846 * Wikipedia de, https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846 * Wikipedia sv, https://sv.wikipedia.org/wiki/Special:N%C3%A4ra#/coord/52.4729,13.45846 * Wikivoyage de, https://de.wikivoyage.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846 * ... == Verwandte Seiten == * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/nearby Nearby]'' und ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/1lib1nearby 1lib1nearby]'' * Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Stadtwiki:Nearby Stadtwiki:Nearby] * [[VBIB21|#vBIB21]]: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)|Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen]]'', Matthias Erfurth, 2. Dezember 2021 [[Kategorie:Wikidata]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Citizen Science]] kmiiv7x5qvvf62njo8tmrgk8ql8cq9w 1080014 1080011 2026-05-21T13:53:11Z Jeb 26942 /* BiblioCON 2026 */ 1080014 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=1Lib1Nearby |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:jeb|jeb]] |LAUFZEIT=jährlich: 6. Februar bis 14. Mai + 6. Juni bis 14. Januar |ZUSAMMENARBEIT=[[Benutzer:erfurth|erfurth]], [[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] |KURZBESCHREIBUNG=Übersichtsseite für OER (Sammlungen und Kurse) im Zusammenhang mit der Wikidata-Abfrage [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] |BILD=1Lib1Nearby.svg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Wikiversity: OER == * Jens Bemme: ''#Nearby. Landeskunde und Citizen Science mit Pandemie im Frühjahr 2020'', Informationspraxis, Bd. 6 Nr. 2 (2020), 27. September 2020, doi [https://doi.org/10.11588/ip.2020.2.73402 10.11588/ip.2020.2.73402] * [https://hackdash.org/projects/623987036d202d739f69cb52 Coding da Vinci*''Nearby''], März 2022 * Matthias Erfurth: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022. * Alan Riedel: ''Auf Alt-Leipziger Kneipentour durch Raum und Zeit – eine Projektskizze'', https://saxorum.hypotheses.org/6523, 28. Dezember 2021. * Christian Erlinger: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6345 Multilinguales regionales Weltwissen – Regiowikis mit Wikipedia-Sprachversionen in Wikidata verknüpfen]'', Saxorum, 19. Oktober 2021. * [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]: ''[https://osl.hypotheses.org/8131 Walnuss-Alleen verlinken: Urkunden, Straßen oder Baumnetze offen kartieren, Datenpunkte und Datenberge]'', Open Science Lab-Blog, 22. September 2023 * Jens Bemme: ''Offene Geodaten aus Partnerstädten – auch für Bibliotheken relevant'', 5. Juli 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11390 * Jens Bemme: ''1Lib1Nearby mit Wikidata: Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung.'' o-bib. Das Offene Bibliotheksjournal, Herausgeber VDB, 2023, https://doi.org/10.5282/o-bib/5970 * Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Call for edits * ''Call: Gastbeiträge für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung im Sommer 2021 – mit Nearby-Spezialabfragen'', https://saxorum.hypotheses.org/6117, 2. Juli 2021. * Jens Bemme: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'', SLUBlog, 23. Juli 2020 * ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren – Call'', 16. Januar 2025, https://saxorum.hypotheses.org/12360 * Jens Bemme und Alexander Winkler: ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 ; Varianten * [[d:User:Gerd_Fahrenhorst#Nearby_ohne_Stolpersteine,_Stra%C3%9Fen_und_Sonderausstellungen]] u.a. == BiblioCON 2026 == ; BiblioCON-Bibliotheken und das multilinguale Weltwissen ihrer nahen Umgebungen in Wikipedia {{SPARQL|query= #title: Wikidata-Nearby-Query für Wikipedia-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 wd:Q1565517 wd:Q1567759 wd:Q1573209 wd:Q15792046 wd:Q15824236 wd:Q15834499 wd:Q15848804 wd:Q15848805 wd:Q15852122 wd:Q15979678 wd:Q1600777 wd:Q1616201 wd:Q1622088 wd:Q1622135 wd:Q1622216 wd:Q1622220 wd:Q1622239 wd:Q162684 wd:Q1667281 wd:Q1668388 wd:Q1680376 wd:Q170109 wd:Q17122276 wd:Q1718711 wd:Q1722676 wd:Q1770764 wd:Q1802138 wd:Q1802141 wd:Q1806348 wd:Q18085187 wd:Q1821142 wd:Q18333131 wd:Q18333276 wd:Q189441 wd:Q189928 wd:Q190260 wd:Q1937092 wd:Q2073008 wd:Q2239285 wd:Q224514 wd:Q2324633 wd:Q2324644 wd:Q2326818 wd:Q2326823 wd:Q2326882 wd:Q2326915 wd:Q2326921 wd:Q2327009 wd:Q233098 wd:Q2359904 wd:Q23786596 wd:Q2399120 wd:Q2496248 wd:Q2496254 wd:Q2496255 wd:Q2496260 wd:Q2496283 wd:Q2496287 wd:Q2496293 wd:Q2496296 wd:Q2496307 wd:Q2496314 wd:Q2496319 wd:Q2496322 wd:Q2496324 wd:Q2496326 wd:Q2496330 wd:Q2496342 wd:Q2496344 wd:Q2496347 wd:Q2496350 wd:Q2496355 wd:Q256507 wd:Q27302 wd:Q27429972 wd:Q27863572 wd:Q27978762 wd:Q27991306 wd:Q27991358 wd:Q280017 wd:Q284992 wd:Q28650468 wd:Q28662066 wd:Q28662072 wd:Q28662104 wd:Q28662469 wd:Q28681438 wd:Q28681746 wd:Q28681836 wd:Q28681888 wd:Q28681997 wd:Q28686653 wd:Q28733444 wd:Q28733446 wd:Q28733453 wd:Q28733486 wd:Q28733515 wd:Q28733533 wd:Q28733704 wd:Q28734971 wd:Q28737538 wd:Q28738818 wd:Q28738830 wd:Q304037 wd:Q309988 wd:Q310695 wd:Q311801 wd:Q312653 wd:Q315175 wd:Q317032 wd:Q317070 wd:Q317179 wd:Q319333 wd:Q323270 wd:Q37979269 wd:Q391028 wd:Q42944 wd:Q462763 wd:Q472839 wd:Q49117 wd:Q4957110 wd:Q500692 wd:Q501851 wd:Q50280985 wd:Q50378813 wd:Q51985 wd:Q52662334 wd:Q54166 wd:Q54804519 wd:Q55152800 wd:Q55153258 wd:Q55153331 wd:Q55153443 wd:Q55153532 wd:Q564783 wd:Q568704 wd:Q574571 wd:Q604066 wd:Q64826802 wd:Q66780064 wd:Q679913 wd:Q683842 wd:Q684773 wd:Q686171 wd:Q687017 wd:Q689400 wd:Q689854 wd:Q695267 wd:Q696757 wd:Q697111 wd:Q702499 wd:Q707283 wd:Q734324 wd:Q77077361 wd:Q80796 wd:Q827220 wd:Q829096 wd:Q833738 wd:Q835440 wd:Q856423 wd:Q856475 wd:Q856552 wd:Q872896 wd:Q875587 wd:Q896706 wd:Q913987 wd:Q98380085 } ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} === Nearby ''BiblioCON'' in Berlin === * Wikidata, https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/52.4729,13.45846 * Wikipedia de, https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846, Swedish: https://sv.wikipedia.org/wiki/Special:N%C3%A4ra#/coord/52.4729,13.45846, Español: https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:Cerca#/coord/52.4729,13.45846 * Wikivoyage de, https://de.wikivoyage.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846, Spanisch: https://es.wikivoyage.org/wiki/Especial:Cerca#/coord/52.4729,13.45846 * ... == Verwandte Seiten == * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/nearby Nearby]'' und ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/1lib1nearby 1lib1nearby]'' * Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Stadtwiki:Nearby Stadtwiki:Nearby] * [[VBIB21|#vBIB21]]: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)|Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen]]'', Matthias Erfurth, 2. Dezember 2021 [[Kategorie:Wikidata]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Citizen Science]] ccy3m1cdau1czo396hhb783eey28uv1 1080015 1080014 2026-05-21T13:53:57Z Jeb 26942 /* Nearby BiblioCON in Berlin */ 1080015 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=1Lib1Nearby |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:jeb|jeb]] |LAUFZEIT=jährlich: 6. Februar bis 14. Mai + 6. Juni bis 14. Januar |ZUSAMMENARBEIT=[[Benutzer:erfurth|erfurth]], [[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] |KURZBESCHREIBUNG=Übersichtsseite für OER (Sammlungen und Kurse) im Zusammenhang mit der Wikidata-Abfrage [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Special:Nearby] |BILD=1Lib1Nearby.svg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Wikiversity: OER == * Jens Bemme: ''#Nearby. Landeskunde und Citizen Science mit Pandemie im Frühjahr 2020'', Informationspraxis, Bd. 6 Nr. 2 (2020), 27. September 2020, doi [https://doi.org/10.11588/ip.2020.2.73402 10.11588/ip.2020.2.73402] * [https://hackdash.org/projects/623987036d202d739f69cb52 Coding da Vinci*''Nearby''], März 2022 * Matthias Erfurth: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022. * Alan Riedel: ''Auf Alt-Leipziger Kneipentour durch Raum und Zeit – eine Projektskizze'', https://saxorum.hypotheses.org/6523, 28. Dezember 2021. * Christian Erlinger: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6345 Multilinguales regionales Weltwissen – Regiowikis mit Wikipedia-Sprachversionen in Wikidata verknüpfen]'', Saxorum, 19. Oktober 2021. * [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]: ''[https://osl.hypotheses.org/8131 Walnuss-Alleen verlinken: Urkunden, Straßen oder Baumnetze offen kartieren, Datenpunkte und Datenberge]'', Open Science Lab-Blog, 22. September 2023 * Jens Bemme: ''Offene Geodaten aus Partnerstädten – auch für Bibliotheken relevant'', 5. Juli 2024, https://saxorum.hypotheses.org/11390 * Jens Bemme: ''1Lib1Nearby mit Wikidata: Abfragen und Edits für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung.'' o-bib. Das Offene Bibliotheksjournal, Herausgeber VDB, 2023, https://doi.org/10.5282/o-bib/5970 * Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Call for edits * ''Call: Gastbeiträge für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung im Sommer 2021 – mit Nearby-Spezialabfragen'', https://saxorum.hypotheses.org/6117, 2. Juli 2021. * Jens Bemme: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'', SLUBlog, 23. Juli 2020 * ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren – Call'', 16. Januar 2025, https://saxorum.hypotheses.org/12360 * Jens Bemme und Alexander Winkler: ''Open GLAM Cluster near you and me'', 19. Mai 2026, https://nearby.hypotheses.org/5909 ; Varianten * [[d:User:Gerd_Fahrenhorst#Nearby_ohne_Stolpersteine,_Stra%C3%9Fen_und_Sonderausstellungen]] u.a. == BiblioCON 2026 == ; BiblioCON-Bibliotheken und das multilinguale Weltwissen ihrer nahen Umgebungen in Wikipedia {{SPARQL|query= #title: Wikidata-Nearby-Query für Wikipedia-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 wd:Q1565517 wd:Q1567759 wd:Q1573209 wd:Q15792046 wd:Q15824236 wd:Q15834499 wd:Q15848804 wd:Q15848805 wd:Q15852122 wd:Q15979678 wd:Q1600777 wd:Q1616201 wd:Q1622088 wd:Q1622135 wd:Q1622216 wd:Q1622220 wd:Q1622239 wd:Q162684 wd:Q1667281 wd:Q1668388 wd:Q1680376 wd:Q170109 wd:Q17122276 wd:Q1718711 wd:Q1722676 wd:Q1770764 wd:Q1802138 wd:Q1802141 wd:Q1806348 wd:Q18085187 wd:Q1821142 wd:Q18333131 wd:Q18333276 wd:Q189441 wd:Q189928 wd:Q190260 wd:Q1937092 wd:Q2073008 wd:Q2239285 wd:Q224514 wd:Q2324633 wd:Q2324644 wd:Q2326818 wd:Q2326823 wd:Q2326882 wd:Q2326915 wd:Q2326921 wd:Q2327009 wd:Q233098 wd:Q2359904 wd:Q23786596 wd:Q2399120 wd:Q2496248 wd:Q2496254 wd:Q2496255 wd:Q2496260 wd:Q2496283 wd:Q2496287 wd:Q2496293 wd:Q2496296 wd:Q2496307 wd:Q2496314 wd:Q2496319 wd:Q2496322 wd:Q2496324 wd:Q2496326 wd:Q2496330 wd:Q2496342 wd:Q2496344 wd:Q2496347 wd:Q2496350 wd:Q2496355 wd:Q256507 wd:Q27302 wd:Q27429972 wd:Q27863572 wd:Q27978762 wd:Q27991306 wd:Q27991358 wd:Q280017 wd:Q284992 wd:Q28650468 wd:Q28662066 wd:Q28662072 wd:Q28662104 wd:Q28662469 wd:Q28681438 wd:Q28681746 wd:Q28681836 wd:Q28681888 wd:Q28681997 wd:Q28686653 wd:Q28733444 wd:Q28733446 wd:Q28733453 wd:Q28733486 wd:Q28733515 wd:Q28733533 wd:Q28733704 wd:Q28734971 wd:Q28737538 wd:Q28738818 wd:Q28738830 wd:Q304037 wd:Q309988 wd:Q310695 wd:Q311801 wd:Q312653 wd:Q315175 wd:Q317032 wd:Q317070 wd:Q317179 wd:Q319333 wd:Q323270 wd:Q37979269 wd:Q391028 wd:Q42944 wd:Q462763 wd:Q472839 wd:Q49117 wd:Q4957110 wd:Q500692 wd:Q501851 wd:Q50280985 wd:Q50378813 wd:Q51985 wd:Q52662334 wd:Q54166 wd:Q54804519 wd:Q55152800 wd:Q55153258 wd:Q55153331 wd:Q55153443 wd:Q55153532 wd:Q564783 wd:Q568704 wd:Q574571 wd:Q604066 wd:Q64826802 wd:Q66780064 wd:Q679913 wd:Q683842 wd:Q684773 wd:Q686171 wd:Q687017 wd:Q689400 wd:Q689854 wd:Q695267 wd:Q696757 wd:Q697111 wd:Q702499 wd:Q707283 wd:Q734324 wd:Q77077361 wd:Q80796 wd:Q827220 wd:Q829096 wd:Q833738 wd:Q835440 wd:Q856423 wd:Q856475 wd:Q856552 wd:Q872896 wd:Q875587 wd:Q896706 wd:Q913987 wd:Q98380085 } ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} === Nearby BiblioCON in Berlin === * Wikidata, https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/52.4729,13.45846 * Wikipedia de, https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846, Swedish: https://sv.wikipedia.org/wiki/Special:N%C3%A4ra#/coord/52.4729,13.45846, Español: https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:Cerca#/coord/52.4729,13.45846 * Wikivoyage de, https://de.wikivoyage.org/wiki/Spezial:In_der_N%C3%A4he#/coord/52.4729,13.45846, Spanisch: https://es.wikivoyage.org/wiki/Especial:Cerca#/coord/52.4729,13.45846 * ... == Verwandte Seiten == * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/nearby Nearby]'' und ''[https://saxorum.hypotheses.org/tag/1lib1nearby 1lib1nearby]'' * Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Stadtwiki:Nearby Stadtwiki:Nearby] * [[VBIB21|#vBIB21]]: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)|Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen]]'', Matthias Erfurth, 2. Dezember 2021 [[Kategorie:Wikidata]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Citizen Science]] oyiknfz46tols5ur1bk8tp4zudybout 108 141093 1080112 1079290 2026-05-22T09:15:32Z ChristianSW 15793 ... 1080112 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Kranbrücke]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> </gallery> == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] cc2zbwih84b9477sg56oiaftukllu7w 1080113 1080112 2026-05-22T09:24:18Z ChristianSW 15793 ... 1080113 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Kranbrücke]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> Tüftlerclub Marssonde.jpg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Medien Ideen aus der Bücherei]</big></big></big> </gallery> == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 38ufr332oxl6goid4g1g9yrr91v2jto 1080114 1080113 2026-05-22T09:25:30Z ChristianSW 15793 korr. 1080114 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Kranbrücke]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> Tüftlerclub Marssonde.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Ideen aus der Bücherei]]</big></big></big> </gallery> == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 7leogguhbz553w1knfbgb6rw890aa4h 106 156347 1080063 1078781 2026-05-21T17:39:20Z Falko Wilms 8588 /* Prüfungsleistung */ 1080063 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Angewandte Entscheidungstheorie''</big>'''</span></span></span><br> <span style="color:blue;"><big>ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms im SS 2026</big></span><br><br> <span style="color:grey;">Der Kurs richtet sich an nebenberuflich und an vollzeitlich Studierende<br> Die Inhalte werden bewusst auf dem Vorwissen der Teilnehmenden abgestimmt<br> Es handelt sich ''nicht'' um zwei genau gleiche Lehrangebote<br> </span></center> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHES</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''<big>KI-Tools</big>''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:red;">'''<big>Dialog mit Chatbot</big>''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Suchmaschinen</big>'''</div> * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==<big>Worum es geht</big>== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist das Treffen betrieblicher Weichenstellungen der Erfolgsfaktor. Die Organisation bietet hierfür den strukturellen Rahmen, der Kern ist die angewandte Entscheidungstheorie. Bei jeder Problemlösung immer wieder zwischen konkurrierenden Zielen (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) begründet abzuwägen. Weil Problemstellungen bestehende Grenzen von Abteilungen überschreiten, sind Problemlösungen oft in Gruppen zu entwickeln. Dabei sind verschiedene Perspektiven und Interessen zu berücksichtigen. Um nicht allein auf die persönliche Intuition zu vertrauen, sind theoretisch fundierte Methoden in praxistauglicher Weise anzuwenden, um gut argumentierbare Entscheidungen zu treffen. Wer in Rahmen organisatorischer Bedingungen nachvollziehbar entscheidet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. <br> In der Arbeitswelt sind Entscheidungsnotwendigkeiten knapp und strukturiert aufzubereiten. Dazu dient das Erstellen von '''Decision Briefing Paper'''. Genau das ist die Prüfungsleistung des Kurses. Im Berufsalltag kommt es immer wieder vor, dass Entscheidungsträger von Absolventinnen und Absolventen einer University of Applied Sciences eine prägnante, fundierte Entscheidungsvorlage erwarten. <br> ==<span style="color:blue;">besser Studieren== <span style="color:blue;">'''Wessen Gehirn immer weniger benutzt wird, dessen Gehirn verkümmert mit der Zeit!'''<br> <span style="color:blue;">Das Paper „The Memory Paradox: Why Our Brains Need Knowledge in an Age of AI“ (Oakley, Johnston, Chen, Jung & Sejnowski, 2025) belegt mit neurowissenschaftlich fundierter Argumentation, dass ein geübtes Gedächtnis ein Leistungsträger für das Denken und Voraussetzung für den effektiven Einsatz von KI-Tools ist. [[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''<span style="color:red;">(=> Details)''']] <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten handschriftliche Notizen!''' # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen Fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. <br><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==Dozent== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Angewandte Entscheidungstheorie" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">'''Thematische Schwerpunkte des Kurses'''== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Materialien zu Excel'''</div> * [http://www.gcflearnfree.org/excel2016/ Excel-Tutorium (engl.)] * [http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Abulawi/ExceleinfuehrungWS06.pdf gute Einführung] * [http://www.grundlagen-computer.de/excel-tutorial/ Grundlagen] </div> Im Vollzeitstudium erfolgen Treffen zu 90 min., im nebenberuflichen Studienangebot werden die Treffen entweder 90 min oder 130 min. dauern. Daher unterscheiden sich die gesetzen Schwerpunkte der beiden Angebote ein wenig, nur das Wesentlichste wird in gleicher Form angeboten. Auch die Reihenfolge der bearbeiteten Oberthemen ist variabel. * '''Hinführung''' [https://www.youtube.com/watch?v=GUbytj7Hk5Q podcast] *''' Modelle''' [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Mothe.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia: '''[https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * '''Mentale Modelle''' [http://www.youtube.com/watch?v=Leex8OQN-LI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MMo.pdf geschützte PDF] |[https:////de.wikipedia.org/wiki/Mentales_Modell Mentales Modell] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mentalit%C3%A4t Mentalität] * '''Das St.Galler Management Modell''' [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 podcast] | [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 '''SGMM (2019)'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=KuSW9EheY4A <span style="color:grey;">'''<small>SGMM (2017)</small> '''] * '''Trilemma''' [http://www.youtube.com/watch?v=yufszib2i7o podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Tri.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Trilemma Trilemma] | [https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma Münchhausen-Trilemma] * '''Eingeschränkte Rationalität''' [http://www.youtube.com/watch?v=vlF3cnb8wC4 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Ra.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4t Rationalität] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Vernunft Vernunft] * '''Ziele und Zielhierarchien''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Ziel Ziel] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Unternehmensziel Unternehmensziel] * '''Goldene Regel''' * '''Problemlösungszyklus''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorgehensmodell PLZ als Vorgehensmodell] || [http://www.gitta.info/SystProbSolv/de/html/Unit1_Unit1LO1.html PLZ im System Engineering] | [https://www.projektmagazin.de/glossarterm/probleml%C3%B6sungszyklus PLZ im Projektmagazin] * '''Kooperation''' [https://www.youtube.com/watch?v=qTMMlCFqocQ podcast] * '''Multikriterielle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=gsl-wQwV7zM podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/EtheorieGr.pdf geschützte PDF] *''' Multipersonelle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=Tyhk-6bBZho podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MulitEnt.pdf geschützte PDF] ==Benutzung der Lehrmaterialien== * Das Folienset strukturiert die Thematik und gibt eine gedankliche Ordnung. * Das Skript dient der Vertiefung, indem es die Argumentation nachvollziehbar macht. * Die Übungen ermöglichen das Übersetzen von Erkenntissen und konkreten Handlungen. ''Nur wer eigenhändige Notizen zu den im Kurs besprochenen Inhalten verfasst, verarbeitet sie aktiv und macht aus den gebotenen Information belastbares persönliches Wissen. Im Skript können jederzeit gezielt die Abschnitte nachgelesen werden, die noch nicht ganz verstanden sind. Wirkliches Verständnis entsteht erst durch eigenes Denken und selbständiges Formulieren und niemals durch reines Konsumieren.'' <br> ==Vertiefung des Wissens== Die hier aufgeführten Übungen können ihre Wirkungen des besseren Verständnisses nur dann entfalten, wenn man zuerst die Übungsaufgaben bearbeitet und erst danach die Lösungen betrachtet. Die dargebotenen PDFs zeigen zunächst eine Seite mit den Fragen und danach eine weitere Seite mir den korrekten Antworten. {|style="width:70%" |-style="vertical-align:top;" | * <span style="color:blue;"><big>Multiple Choice '''Fragebögen'''</big></span> ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721336&preview=/163721336/163721375/t1.pdf '''Prolog-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/2.+Systemdenken?preview=/163721332/163721378/t2.pdf '''Systemdenken-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/0.+Thesenpapier?preview=/163722772/163722779/These1.pdf '''Thesenpapier-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/3.+Trilemma?preview=/163721338/163723963/t3.pdf '''Trilemma-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721342&preview=/163721342/163723966/t4.pdf '''Rationalität-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/5.+Mentale+Modelle?preview=/163721344/163723969/t5.pdf mentale '''Modelle Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/6.+PL-Zyklus?preview=/163721346/163723972/t6.pdf '''Problemlösungszyklus-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721361 '''Ziele & Zielhierarchie-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721363 '''multikrit. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721365&preview=/163721365/163726794/muE1.pdf '''multipers. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/10.+Kooperation?preview=/163721367/163726797/Ko1.pdf '''Kooperations-Fragen'''] | * <span style="color:blue;"><big>'''Aufgaben''' zum Ausrechnen</big> </span> **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721382&preview=/163721382/163721421/1.pdf '''Prioritäten setzen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/101.+Paarweiser+Vergleich?preview=/163721384/163721425/2.pdf '''paarweiser Vergleich'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/102.+Paarvergleich+mit+Nutzwertanalyse?preview=/163721386/163721432/3.pdf '''Paarvergleich mit Nuzwertanalyse'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/103.+Entscheidungen+unter+Risiko?preview=/163721388/163721435/4.pdf '''Entscheidungen unter Risiko'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163721438/5.pdf '''Savage-Niehans'''] '''|''' [https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163723992/2.pdf '''mehr zu Savage-Niehans'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/105+Mehrere+Kriterien '''mehrere Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721394 '''gew.Kriterien mit gleich bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721396 '''gew.Kriterien mit ungleichen bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/108+Qualitative+Kriterien '''qualitative Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721400&preview=/163721400/163726791/m1.pdf '''Stimmenmehrheit(en)'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/110+disjunktive+Stimmen?preview=/163721402/163721463/11.pdf '''disjunktive Stimmen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/111.+Systemisches+Konsensieren?preview=/163721404/163721466/12.pdf '''systemisches Konsensieren'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/112+.+Risokovermeidend+konsensieren?preview=/163721406/163721469/13.pdf '''risikovermeidend konsensieren '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/113+BORDA-Regel?preview=/163721408/163721472/14.pdf '''BORDA-Regel'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/114+Approvial-Voting?preview=/163721410/163721478/15.pdf '''Approvial-Voting'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/115.+Zielgewichtung+durch+mehrere+Personen?preview=/163721412/163721481/16.pdf '''Zielgewichtung durch mehrere Personen'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721414&preview=/163721414/163721484/17.pdf '''Zielgewichtung bei ungleichen Beiträgen'''] |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. Am Kursende werden die fertig gestgellten persönlichen Logbucheinträge als PDF-Datei in ILIAS hochgeladen: * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756669 <span style="color:green;"> '''in diesen Ordner'''] </span> * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756659 <span style="color:brown;"> '''in diesen Ordner'''] </span> <br> <br> ==<span style="color:red;"><big> '''Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Prüfungsleistung'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx Template] * [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf sehr gutes Beispiel] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers Benotung] </div> <span style="color:red;">Die Studierenden verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx <span style="color:red;"> diesem '''Template'''] ein von ihnen erstelltes '''''Decision Briefing Paper''''' und legen ihre Arbeit als PDF-Datei '''bis zum 08.05. um 23:59 Uhr''' in den dafür eingerichteten ILIAS-Übungs-Ordner ab. * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende legen ihre Arbeit in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812370<span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende legen ihren Text in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812368 <span style="color:brown;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab <br> * <span style="color:red;">'''Benotungskriterien''' sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers <span style="color:red;">'''hier'''] erläutert *<span style="color:red;">'''Voraussetzung für die Benotung der Seminararbeit ist die vorherige Abgabe des persönlichen Kurslogbuchs mit mindestens 7 Einträgen!'''</span> * <span style="color:red;"> ''' hier ein [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf <span style="color:red;">Gutes beispielhaftes Decision Briefing Paper''']. <br> <br> ==Fachliteratur== * Fischer, J./Pfeffel, F. (2010): Systematische Problemlosung in Unternehmen, Ein Ansatz zur strukturierten Analyse und Losungsentwicklung, Wiesbaden: Gabler * Laux, H./Gillenkirch, R. M./Schenk-Mathes, H. Y. (2018): Entscheidungstheorie, 10., akt. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Göbel, E. (2018): Entscheidungstheorie, 2. überarb. Aufl., Stuttgart: UTB * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 4zfe6f0t2ydk0w3jr8alcd2umjvh6xq 1080064 1080063 2026-05-21T17:41:09Z Falko Wilms 8588 /* Prüfungsleistung */ 1080064 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Angewandte Entscheidungstheorie''</big>'''</span></span></span><br> <span style="color:blue;"><big>ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms im SS 2026</big></span><br><br> <span style="color:grey;">Der Kurs richtet sich an nebenberuflich und an vollzeitlich Studierende<br> Die Inhalte werden bewusst auf dem Vorwissen der Teilnehmenden abgestimmt<br> Es handelt sich ''nicht'' um zwei genau gleiche Lehrangebote<br> </span></center> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHES</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''<big>KI-Tools</big>''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:red;">'''<big>Dialog mit Chatbot</big>''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Suchmaschinen</big>'''</div> * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==<big>Worum es geht</big>== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist das Treffen betrieblicher Weichenstellungen der Erfolgsfaktor. Die Organisation bietet hierfür den strukturellen Rahmen, der Kern ist die angewandte Entscheidungstheorie. Bei jeder Problemlösung immer wieder zwischen konkurrierenden Zielen (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) begründet abzuwägen. Weil Problemstellungen bestehende Grenzen von Abteilungen überschreiten, sind Problemlösungen oft in Gruppen zu entwickeln. Dabei sind verschiedene Perspektiven und Interessen zu berücksichtigen. Um nicht allein auf die persönliche Intuition zu vertrauen, sind theoretisch fundierte Methoden in praxistauglicher Weise anzuwenden, um gut argumentierbare Entscheidungen zu treffen. Wer in Rahmen organisatorischer Bedingungen nachvollziehbar entscheidet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. <br> In der Arbeitswelt sind Entscheidungsnotwendigkeiten knapp und strukturiert aufzubereiten. Dazu dient das Erstellen von '''Decision Briefing Paper'''. Genau das ist die Prüfungsleistung des Kurses. Im Berufsalltag kommt es immer wieder vor, dass Entscheidungsträger von Absolventinnen und Absolventen einer University of Applied Sciences eine prägnante, fundierte Entscheidungsvorlage erwarten. <br> ==<span style="color:blue;">besser Studieren== <span style="color:blue;">'''Wessen Gehirn immer weniger benutzt wird, dessen Gehirn verkümmert mit der Zeit!'''<br> <span style="color:blue;">Das Paper „The Memory Paradox: Why Our Brains Need Knowledge in an Age of AI“ (Oakley, Johnston, Chen, Jung & Sejnowski, 2025) belegt mit neurowissenschaftlich fundierter Argumentation, dass ein geübtes Gedächtnis ein Leistungsträger für das Denken und Voraussetzung für den effektiven Einsatz von KI-Tools ist. [[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''<span style="color:red;">(=> Details)''']] <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten handschriftliche Notizen!''' # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen Fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. <br><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==Dozent== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Angewandte Entscheidungstheorie" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">'''Thematische Schwerpunkte des Kurses'''== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Materialien zu Excel'''</div> * [http://www.gcflearnfree.org/excel2016/ Excel-Tutorium (engl.)] * [http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Abulawi/ExceleinfuehrungWS06.pdf gute Einführung] * [http://www.grundlagen-computer.de/excel-tutorial/ Grundlagen] </div> Im Vollzeitstudium erfolgen Treffen zu 90 min., im nebenberuflichen Studienangebot werden die Treffen entweder 90 min oder 130 min. dauern. Daher unterscheiden sich die gesetzen Schwerpunkte der beiden Angebote ein wenig, nur das Wesentlichste wird in gleicher Form angeboten. Auch die Reihenfolge der bearbeiteten Oberthemen ist variabel. * '''Hinführung''' [https://www.youtube.com/watch?v=GUbytj7Hk5Q podcast] *''' Modelle''' [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Mothe.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia: '''[https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * '''Mentale Modelle''' [http://www.youtube.com/watch?v=Leex8OQN-LI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MMo.pdf geschützte PDF] |[https:////de.wikipedia.org/wiki/Mentales_Modell Mentales Modell] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mentalit%C3%A4t Mentalität] * '''Das St.Galler Management Modell''' [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 podcast] | [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 '''SGMM (2019)'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=KuSW9EheY4A <span style="color:grey;">'''<small>SGMM (2017)</small> '''] * '''Trilemma''' [http://www.youtube.com/watch?v=yufszib2i7o podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Tri.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Trilemma Trilemma] | [https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma Münchhausen-Trilemma] * '''Eingeschränkte Rationalität''' [http://www.youtube.com/watch?v=vlF3cnb8wC4 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Ra.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4t Rationalität] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Vernunft Vernunft] * '''Ziele und Zielhierarchien''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Ziel Ziel] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Unternehmensziel Unternehmensziel] * '''Goldene Regel''' * '''Problemlösungszyklus''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorgehensmodell PLZ als Vorgehensmodell] || [http://www.gitta.info/SystProbSolv/de/html/Unit1_Unit1LO1.html PLZ im System Engineering] | [https://www.projektmagazin.de/glossarterm/probleml%C3%B6sungszyklus PLZ im Projektmagazin] * '''Kooperation''' [https://www.youtube.com/watch?v=qTMMlCFqocQ podcast] * '''Multikriterielle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=gsl-wQwV7zM podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/EtheorieGr.pdf geschützte PDF] *''' Multipersonelle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=Tyhk-6bBZho podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MulitEnt.pdf geschützte PDF] ==Benutzung der Lehrmaterialien== * Das Folienset strukturiert die Thematik und gibt eine gedankliche Ordnung. * Das Skript dient der Vertiefung, indem es die Argumentation nachvollziehbar macht. * Die Übungen ermöglichen das Übersetzen von Erkenntissen und konkreten Handlungen. ''Nur wer eigenhändige Notizen zu den im Kurs besprochenen Inhalten verfasst, verarbeitet sie aktiv und macht aus den gebotenen Information belastbares persönliches Wissen. Im Skript können jederzeit gezielt die Abschnitte nachgelesen werden, die noch nicht ganz verstanden sind. Wirkliches Verständnis entsteht erst durch eigenes Denken und selbständiges Formulieren und niemals durch reines Konsumieren.'' <br> ==Vertiefung des Wissens== Die hier aufgeführten Übungen können ihre Wirkungen des besseren Verständnisses nur dann entfalten, wenn man zuerst die Übungsaufgaben bearbeitet und erst danach die Lösungen betrachtet. Die dargebotenen PDFs zeigen zunächst eine Seite mit den Fragen und danach eine weitere Seite mir den korrekten Antworten. {|style="width:70%" |-style="vertical-align:top;" | * <span style="color:blue;"><big>Multiple Choice '''Fragebögen'''</big></span> ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721336&preview=/163721336/163721375/t1.pdf '''Prolog-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/2.+Systemdenken?preview=/163721332/163721378/t2.pdf '''Systemdenken-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/0.+Thesenpapier?preview=/163722772/163722779/These1.pdf '''Thesenpapier-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/3.+Trilemma?preview=/163721338/163723963/t3.pdf '''Trilemma-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721342&preview=/163721342/163723966/t4.pdf '''Rationalität-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/5.+Mentale+Modelle?preview=/163721344/163723969/t5.pdf mentale '''Modelle Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/6.+PL-Zyklus?preview=/163721346/163723972/t6.pdf '''Problemlösungszyklus-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721361 '''Ziele & Zielhierarchie-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721363 '''multikrit. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721365&preview=/163721365/163726794/muE1.pdf '''multipers. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/10.+Kooperation?preview=/163721367/163726797/Ko1.pdf '''Kooperations-Fragen'''] | * <span style="color:blue;"><big>'''Aufgaben''' zum Ausrechnen</big> </span> **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721382&preview=/163721382/163721421/1.pdf '''Prioritäten setzen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/101.+Paarweiser+Vergleich?preview=/163721384/163721425/2.pdf '''paarweiser Vergleich'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/102.+Paarvergleich+mit+Nutzwertanalyse?preview=/163721386/163721432/3.pdf '''Paarvergleich mit Nuzwertanalyse'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/103.+Entscheidungen+unter+Risiko?preview=/163721388/163721435/4.pdf '''Entscheidungen unter Risiko'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163721438/5.pdf '''Savage-Niehans'''] '''|''' [https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163723992/2.pdf '''mehr zu Savage-Niehans'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/105+Mehrere+Kriterien '''mehrere Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721394 '''gew.Kriterien mit gleich bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721396 '''gew.Kriterien mit ungleichen bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/108+Qualitative+Kriterien '''qualitative Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721400&preview=/163721400/163726791/m1.pdf '''Stimmenmehrheit(en)'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/110+disjunktive+Stimmen?preview=/163721402/163721463/11.pdf '''disjunktive Stimmen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/111.+Systemisches+Konsensieren?preview=/163721404/163721466/12.pdf '''systemisches Konsensieren'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/112+.+Risokovermeidend+konsensieren?preview=/163721406/163721469/13.pdf '''risikovermeidend konsensieren '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/113+BORDA-Regel?preview=/163721408/163721472/14.pdf '''BORDA-Regel'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/114+Approvial-Voting?preview=/163721410/163721478/15.pdf '''Approvial-Voting'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/115.+Zielgewichtung+durch+mehrere+Personen?preview=/163721412/163721481/16.pdf '''Zielgewichtung durch mehrere Personen'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721414&preview=/163721414/163721484/17.pdf '''Zielgewichtung bei ungleichen Beiträgen'''] |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. Am Kursende werden die fertig gestgellten persönlichen Logbucheinträge als PDF-Datei in ILIAS hochgeladen: * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756669 <span style="color:green;"> '''in diesen Ordner'''] </span> * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756659 <span style="color:brown;"> '''in diesen Ordner'''] </span> <br> <br> ==<span style="color:red;"><big> '''Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Prüfungsleistung'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx Template] * [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf gutes Beispiel] * [https://falko-wilms.de/HL/sGut.pdf 1. sehr gutes Beispiel] * [https://falko-wilms.de/HL/sGut2.pdf 2. gutes Beispiel] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers Benotung] </div> <span style="color:red;">Die Studierenden verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx <span style="color:red;"> diesem '''Template'''] ein von ihnen erstelltes '''''Decision Briefing Paper''''' und legen ihre Arbeit als PDF-Datei '''bis zum 08.05. um 23:59 Uhr''' in den dafür eingerichteten ILIAS-Übungs-Ordner ab. * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende legen ihre Arbeit in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812370<span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende legen ihren Text in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812368 <span style="color:brown;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab <br> * <span style="color:red;">'''Benotungskriterien''' sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers <span style="color:red;">'''hier'''] erläutert *<span style="color:red;">'''Voraussetzung für die Benotung der Seminararbeit ist die vorherige Abgabe des persönlichen Kurslogbuchs mit mindestens 7 Einträgen!'''</span> <br> <br> ==Fachliteratur== * Fischer, J./Pfeffel, F. (2010): Systematische Problemlosung in Unternehmen, Ein Ansatz zur strukturierten Analyse und Losungsentwicklung, Wiesbaden: Gabler * Laux, H./Gillenkirch, R. M./Schenk-Mathes, H. Y. (2018): Entscheidungstheorie, 10., akt. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Göbel, E. (2018): Entscheidungstheorie, 2. überarb. Aufl., Stuttgart: UTB * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] io3v5m4ot1aihjbfgfgomonbe7x6qca 1080065 1080064 2026-05-21T17:41:46Z Falko Wilms 8588 /* Prüfungsleistung */ 1080065 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Angewandte Entscheidungstheorie''</big>'''</span></span></span><br> <span style="color:blue;"><big>ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms im SS 2026</big></span><br><br> <span style="color:grey;">Der Kurs richtet sich an nebenberuflich und an vollzeitlich Studierende<br> Die Inhalte werden bewusst auf dem Vorwissen der Teilnehmenden abgestimmt<br> Es handelt sich ''nicht'' um zwei genau gleiche Lehrangebote<br> </span></center> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHES</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''<big>KI-Tools</big>''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:red;">'''<big>Dialog mit Chatbot</big>''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Suchmaschinen</big>'''</div> * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==<big>Worum es geht</big>== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist das Treffen betrieblicher Weichenstellungen der Erfolgsfaktor. Die Organisation bietet hierfür den strukturellen Rahmen, der Kern ist die angewandte Entscheidungstheorie. Bei jeder Problemlösung immer wieder zwischen konkurrierenden Zielen (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) begründet abzuwägen. Weil Problemstellungen bestehende Grenzen von Abteilungen überschreiten, sind Problemlösungen oft in Gruppen zu entwickeln. Dabei sind verschiedene Perspektiven und Interessen zu berücksichtigen. Um nicht allein auf die persönliche Intuition zu vertrauen, sind theoretisch fundierte Methoden in praxistauglicher Weise anzuwenden, um gut argumentierbare Entscheidungen zu treffen. Wer in Rahmen organisatorischer Bedingungen nachvollziehbar entscheidet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. <br> In der Arbeitswelt sind Entscheidungsnotwendigkeiten knapp und strukturiert aufzubereiten. Dazu dient das Erstellen von '''Decision Briefing Paper'''. Genau das ist die Prüfungsleistung des Kurses. Im Berufsalltag kommt es immer wieder vor, dass Entscheidungsträger von Absolventinnen und Absolventen einer University of Applied Sciences eine prägnante, fundierte Entscheidungsvorlage erwarten. <br> ==<span style="color:blue;">besser Studieren== <span style="color:blue;">'''Wessen Gehirn immer weniger benutzt wird, dessen Gehirn verkümmert mit der Zeit!'''<br> <span style="color:blue;">Das Paper „The Memory Paradox: Why Our Brains Need Knowledge in an Age of AI“ (Oakley, Johnston, Chen, Jung & Sejnowski, 2025) belegt mit neurowissenschaftlich fundierter Argumentation, dass ein geübtes Gedächtnis ein Leistungsträger für das Denken und Voraussetzung für den effektiven Einsatz von KI-Tools ist. [[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''<span style="color:red;">(=> Details)''']] <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten handschriftliche Notizen!''' # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen Fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. <br><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==Dozent== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Angewandte Entscheidungstheorie" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">'''Thematische Schwerpunkte des Kurses'''== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Materialien zu Excel'''</div> * [http://www.gcflearnfree.org/excel2016/ Excel-Tutorium (engl.)] * [http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Abulawi/ExceleinfuehrungWS06.pdf gute Einführung] * [http://www.grundlagen-computer.de/excel-tutorial/ Grundlagen] </div> Im Vollzeitstudium erfolgen Treffen zu 90 min., im nebenberuflichen Studienangebot werden die Treffen entweder 90 min oder 130 min. dauern. Daher unterscheiden sich die gesetzen Schwerpunkte der beiden Angebote ein wenig, nur das Wesentlichste wird in gleicher Form angeboten. Auch die Reihenfolge der bearbeiteten Oberthemen ist variabel. * '''Hinführung''' [https://www.youtube.com/watch?v=GUbytj7Hk5Q podcast] *''' Modelle''' [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Mothe.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia: '''[https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * '''Mentale Modelle''' [http://www.youtube.com/watch?v=Leex8OQN-LI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MMo.pdf geschützte PDF] |[https:////de.wikipedia.org/wiki/Mentales_Modell Mentales Modell] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mentalit%C3%A4t Mentalität] * '''Das St.Galler Management Modell''' [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 podcast] | [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 '''SGMM (2019)'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=KuSW9EheY4A <span style="color:grey;">'''<small>SGMM (2017)</small> '''] * '''Trilemma''' [http://www.youtube.com/watch?v=yufszib2i7o podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Tri.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Trilemma Trilemma] | [https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma Münchhausen-Trilemma] * '''Eingeschränkte Rationalität''' [http://www.youtube.com/watch?v=vlF3cnb8wC4 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Ra.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4t Rationalität] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Vernunft Vernunft] * '''Ziele und Zielhierarchien''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Ziel Ziel] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Unternehmensziel Unternehmensziel] * '''Goldene Regel''' * '''Problemlösungszyklus''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorgehensmodell PLZ als Vorgehensmodell] || [http://www.gitta.info/SystProbSolv/de/html/Unit1_Unit1LO1.html PLZ im System Engineering] | [https://www.projektmagazin.de/glossarterm/probleml%C3%B6sungszyklus PLZ im Projektmagazin] * '''Kooperation''' [https://www.youtube.com/watch?v=qTMMlCFqocQ podcast] * '''Multikriterielle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=gsl-wQwV7zM podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/EtheorieGr.pdf geschützte PDF] *''' Multipersonelle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=Tyhk-6bBZho podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MulitEnt.pdf geschützte PDF] ==Benutzung der Lehrmaterialien== * Das Folienset strukturiert die Thematik und gibt eine gedankliche Ordnung. * Das Skript dient der Vertiefung, indem es die Argumentation nachvollziehbar macht. * Die Übungen ermöglichen das Übersetzen von Erkenntissen und konkreten Handlungen. ''Nur wer eigenhändige Notizen zu den im Kurs besprochenen Inhalten verfasst, verarbeitet sie aktiv und macht aus den gebotenen Information belastbares persönliches Wissen. Im Skript können jederzeit gezielt die Abschnitte nachgelesen werden, die noch nicht ganz verstanden sind. Wirkliches Verständnis entsteht erst durch eigenes Denken und selbständiges Formulieren und niemals durch reines Konsumieren.'' <br> ==Vertiefung des Wissens== Die hier aufgeführten Übungen können ihre Wirkungen des besseren Verständnisses nur dann entfalten, wenn man zuerst die Übungsaufgaben bearbeitet und erst danach die Lösungen betrachtet. Die dargebotenen PDFs zeigen zunächst eine Seite mit den Fragen und danach eine weitere Seite mir den korrekten Antworten. {|style="width:70%" |-style="vertical-align:top;" | * <span style="color:blue;"><big>Multiple Choice '''Fragebögen'''</big></span> ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721336&preview=/163721336/163721375/t1.pdf '''Prolog-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/2.+Systemdenken?preview=/163721332/163721378/t2.pdf '''Systemdenken-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/0.+Thesenpapier?preview=/163722772/163722779/These1.pdf '''Thesenpapier-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/3.+Trilemma?preview=/163721338/163723963/t3.pdf '''Trilemma-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721342&preview=/163721342/163723966/t4.pdf '''Rationalität-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/5.+Mentale+Modelle?preview=/163721344/163723969/t5.pdf mentale '''Modelle Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/6.+PL-Zyklus?preview=/163721346/163723972/t6.pdf '''Problemlösungszyklus-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721361 '''Ziele & Zielhierarchie-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721363 '''multikrit. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721365&preview=/163721365/163726794/muE1.pdf '''multipers. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/10.+Kooperation?preview=/163721367/163726797/Ko1.pdf '''Kooperations-Fragen'''] | * <span style="color:blue;"><big>'''Aufgaben''' zum Ausrechnen</big> </span> **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721382&preview=/163721382/163721421/1.pdf '''Prioritäten setzen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/101.+Paarweiser+Vergleich?preview=/163721384/163721425/2.pdf '''paarweiser Vergleich'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/102.+Paarvergleich+mit+Nutzwertanalyse?preview=/163721386/163721432/3.pdf '''Paarvergleich mit Nuzwertanalyse'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/103.+Entscheidungen+unter+Risiko?preview=/163721388/163721435/4.pdf '''Entscheidungen unter Risiko'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163721438/5.pdf '''Savage-Niehans'''] '''|''' [https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163723992/2.pdf '''mehr zu Savage-Niehans'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/105+Mehrere+Kriterien '''mehrere Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721394 '''gew.Kriterien mit gleich bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721396 '''gew.Kriterien mit ungleichen bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/108+Qualitative+Kriterien '''qualitative Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721400&preview=/163721400/163726791/m1.pdf '''Stimmenmehrheit(en)'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/110+disjunktive+Stimmen?preview=/163721402/163721463/11.pdf '''disjunktive Stimmen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/111.+Systemisches+Konsensieren?preview=/163721404/163721466/12.pdf '''systemisches Konsensieren'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/112+.+Risokovermeidend+konsensieren?preview=/163721406/163721469/13.pdf '''risikovermeidend konsensieren '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/113+BORDA-Regel?preview=/163721408/163721472/14.pdf '''BORDA-Regel'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/114+Approvial-Voting?preview=/163721410/163721478/15.pdf '''Approvial-Voting'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/115.+Zielgewichtung+durch+mehrere+Personen?preview=/163721412/163721481/16.pdf '''Zielgewichtung durch mehrere Personen'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721414&preview=/163721414/163721484/17.pdf '''Zielgewichtung bei ungleichen Beiträgen'''] |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. Am Kursende werden die fertig gestgellten persönlichen Logbucheinträge als PDF-Datei in ILIAS hochgeladen: * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756669 <span style="color:green;"> '''in diesen Ordner'''] </span> * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756659 <span style="color:brown;"> '''in diesen Ordner'''] </span> <br> <br> ==<span style="color:red;"><big> '''Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Prüfungsleistung'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx Template] * [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf echt gutes Beispiel] * [https://falko-wilms.de/HL/sGut.pdf 1. '''sehr gutes''' Beispiel] * [https://falko-wilms.de/HL/sGut2.pdf 2. '''sehr gutes''' Beispiel] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers Benotung] </div> <span style="color:red;">Die Studierenden verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx <span style="color:red;"> diesem '''Template'''] ein von ihnen erstelltes '''''Decision Briefing Paper''''' und legen ihre Arbeit als PDF-Datei '''bis zum 08.05. um 23:59 Uhr''' in den dafür eingerichteten ILIAS-Übungs-Ordner ab. * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende legen ihre Arbeit in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812370<span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende legen ihren Text in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812368 <span style="color:brown;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab <br> * <span style="color:red;">'''Benotungskriterien''' sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers <span style="color:red;">'''hier'''] erläutert *<span style="color:red;">'''Voraussetzung für die Benotung der Seminararbeit ist die vorherige Abgabe des persönlichen Kurslogbuchs mit mindestens 7 Einträgen!'''</span> <br> <br> ==Fachliteratur== * Fischer, J./Pfeffel, F. (2010): Systematische Problemlosung in Unternehmen, Ein Ansatz zur strukturierten Analyse und Losungsentwicklung, Wiesbaden: Gabler * Laux, H./Gillenkirch, R. M./Schenk-Mathes, H. Y. (2018): Entscheidungstheorie, 10., akt. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Göbel, E. (2018): Entscheidungstheorie, 2. überarb. Aufl., Stuttgart: UTB * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 258vgn73lr49kmhge1ij4i0uclkdv72 106 168624 1080071 1079968 2026-05-21T19:10:29Z Bocardodarapti 2041 1080071 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| In dieser Vorlesung besprechen wir Partitionen einer Menge in Beziehung zu Äquivalenzrelationen und insbesondere die Anzahl von Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke. Diese Zahl hängt eng mit der Anzahl von surjektiven Abbildungen zusammen. {{Zwischenüberschrift|Partitionen}} {{:Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Dies ist auch ein Spezialfall von {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} aus der nächsten Vorlesung. }} {{ inputfaktbeweis |Partitionen/Klassenanzahltupel/Anzahl mit Multinomialkoeffizient/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Rekursionseigenschaften}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Bellzahl}} {{ inputdefinition |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} Wir erinnern daran, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer endlichen Mengen nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzt. In diesem Kontext werden die Stirling-Zahl erster Art definiert. {{:Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Aufgaben/Einführung/Textabschnitt}} }} bblgv5u92hj5d3j7a6z3p5pvkdxh8xh 1080080 1080071 2026-05-21T19:56:29Z Bocardodarapti 2041 1080080 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| In dieser Vorlesung besprechen wir Partitionen einer Menge in Beziehung zu Äquivalenzrelationen und insbesondere die Anzahl von Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke. Diese Zahl hängt eng mit der Anzahl von surjektiven Abbildungen zusammen. {{Zwischenüberschrift|Partitionen}} {{:Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Dies ist auch ein Spezialfall von {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} aus der nächsten Vorlesung. }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Rekursionseigenschaften}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Bellzahl}} {{ inputdefinition |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} Wir erinnern daran, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer endlichen Mengen nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzt. In diesem Kontext werden die Stirling-Zahl erster Art definiert. {{:Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Aufgaben/Einführung/Textabschnitt}} }} 7pcnepglmg9w4i5i67a16buy0fl5m9b 1080086 1080080 2026-05-22T07:24:52Z Bocardodarapti 2041 1080086 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| In dieser Vorlesung besprechen wir Partitionen einer Menge in Beziehung zu Äquivalenzrelationen und insbesondere die Anzahl von Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke. Diese Zahl hängt eng mit der Anzahl von surjektiven Abbildungen zusammen. {{Zwischenüberschrift|Partitionen}} {{:Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Dies ist auch ein Spezialfall von {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} aus der nächsten Vorlesung. }} {{ inputfaktbeweis |Partitionen/Klassenanzahltupel/Anzahl mit Multinomialkoeffizient/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Rekursionseigenschaften}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Bellzahl}} {{ inputdefinition |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} Wir erinnern daran, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer endlichen Mengen nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzt. In diesem Kontext werden die Stirling-Zahl erster Art definiert. {{:Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Aufgaben/Einführung/Textabschnitt}} }} bblgv5u92hj5d3j7a6z3p5pvkdxh8xh 1080089 1080086 2026-05-22T07:37:04Z Bocardodarapti 2041 1080089 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| In dieser Vorlesung besprechen wir Partitionen einer Menge in Beziehung zu Äquivalenzrelationen und insbesondere die Anzahl von Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke. Diese Zahl hängt eng mit der Anzahl von surjektiven Abbildungen zusammen. {{Zwischenüberschrift|Partitionen}} {{:Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Dies ist auch ein Spezialfall von {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} aus der nächsten Vorlesung. }} {{ inputfaktbeweis |Partitionen/Klassenanzahltupel/Anzahl mit Multinomialkoeffizient/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Rekursionseigenschaften}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Bellzahl}} {{ inputdefinition |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen erster Art}} Wir erinnern daran, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer endlichen Menge nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzt. Über die Zyklendarstellung liegt insbesondere eine Partition der zugrundeliegenden Menge vor, nämlich allein über die Wirkungsbereiche. Die Zyklendarstellung enthält aber mehr Information, da in den einzelnen Wirkungsbereichen noch festzulegen ist, in welcher Reihenfolge die Elemente zyklisch zu durchlaufen sind. In diesem Kontext werden die Stirling-Zahl erster Art definiert. {{:Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Aufgaben/Einführung/Textabschnitt}} }} 91yv6e44ddn8mshq1b0av6frhlijkxk 106 168654 1080077 1079384 2026-05-21T19:35:14Z Bocardodarapti 2041 1080077 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Partitionen/Aus k elementiger Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Leerer Block/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Partition/Verfeinerung/Definition}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/8/Verfeinerungen/Auflistung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Atome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Verband/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Programm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Partitionszahlen/Abschätzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/10/Geradzahlige Blöcke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Rekursionsformel/Aus surjektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Mit Formel/7 in 3 Blöcke/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n-r Blöcke/Polynom/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ooz7pjei447tep7lr2cjmqb5xiplf42 1080091 1080077 2026-05-22T07:39:06Z Bocardodarapti 2041 1080091 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Partitionen/Aus k elementiger Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Leerer Block/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Partition/Verfeinerung/Definition}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/8/Verfeinerungen/Auflistung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Atome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Verband/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Programm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Partitionszahlen/Abschätzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/10/Geradzahlige Blöcke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Rekursionsformel/Aus surjektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Mit Formel/7 in 3 Blöcke/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n-r Blöcke/Polynom/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} s1iu1u3sanvrycn8361oeeblm3h0ely 1080096 1080091 2026-05-22T07:57:13Z Bocardodarapti 2041 1080096 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Partitionen/Aus k elementiger Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Leerer Block/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Partition/Verfeinerung/Definition}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/8/Verfeinerungen/Auflistung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Atome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Verband/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Programm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Partitionszahlen/Abschätzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/10/Geradzahlige Blöcke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Formel mit Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Rekursionsformel/Aus surjektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Mit Formel/7 in 3 Blöcke/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n-r Blöcke/Polynom/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 2o9j2g959rhkhu9une1tobkb19zoizb 1080099 1080096 2026-05-22T08:25:27Z Bocardodarapti 2041 1080099 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Partitionen/Aus k elementiger Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Leerer Block/Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Partition/Verfeinerung/Definition}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/8/Verfeinerungen/Auflistung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Atome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Verband/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Programm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Partitionszahlen/Abschätzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/10/Geradzahlige Blöcke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/7 und 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Formel mit Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Rekursionsformel/Aus surjektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stirling-Zahlen/Zweite Art/Mit Formel/7 in 3 Blöcke/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partitionen/Stirling-Zahl/n-r Blöcke/Polynom/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 1grys7yoly84gofu5y6iv5fr5gk39mu 106 168655 1080060 1079888 2026-05-21T14:42:44Z Bocardodarapti 2041 1080060 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Teilbarkeitsdiagramm/Konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} of0me4w63zwo064391x5bq5qnplwuyp 106 169107 1080121 1071897 2026-05-22T09:37:24Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1080121 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|14|13|Kurs=|}} essmr1wxhdqtusou9drvtch9j8ujiqq 106 169108 1080122 1071898 2026-05-22T09:37:34Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1080122 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|14|14|Kurs=|}} ga2mjc6g8dke0dm5y307an7ykgvuv4k 106 169109 1080119 1071899 2026-05-22T09:37:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1080119 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|14|8|Kurs=|}} d1whe2ehak5xvstnsttbbumdstcpyaa 106 169158 1080120 1071949 2026-05-22T09:37:14Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1080120 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|14|12|Kurs=|}} r7hq1v6ixge4r2sali88p7b42wmck4o 0 169445 1080123 1072818 2026-05-22T09:37:53Z Bocardodarapti 2041 1080123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette/display | x_n || a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} {{plusdots}} a_{{{d|d}}} x_{n-{{{d|d}}}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_i | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a_d |\neq| 0 || || || |SZ=, }} und es seien Startwerte {{mathl|term= x_0 {{kommadots|}} x_{d-1} |SZ=}} gegeben. Es sei {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Charakteristisches Polynom||T}} || T^{{{d|d}}} -a_1T^{{{{d|d}}}-1}-a_2T^{{{{d|d}}}-2} {{minusdots}} a_{{{{d|d}}}-1} T -a_{{{d|d}}} || {{makl| T-\lambda_1 |}}^{d_1} \cdots {{makl| T-\lambda_k |}}^{d_k} || || || |SZ= }} die kanonische Faktorzerlegung des {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynoms| |Kontext=lineare Rekursion| |SZ= }} dieser linearen Rekursion. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es Polynome {{ Relationskette | P_1 {{kommadots|}} P_k | \in | {{CC|}} [T] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Grad Polynom|P_i|}} | \leq | d_i -1 || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette/display | x_n || \sum_{i {{=}} 1}^k \lambda_i^n P_i(n) || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=}} gilt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die explizite Lösung einer linearen Rekursion |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} p1la151baz47lud71p4tmpwzturxb82 0 169456 1080117 1072472 2026-05-22T09:36:45Z Bocardodarapti 2041 1080117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Ausdruck links ist linear in {{math|term= v |SZ=,}} daher genügt es, die Aussage für eine Basis von {{math|term= {{CC|}}^d |SZ=}} zu zeigen. Ferner können wir {{math|term= M |SZ=}} durch die beschreibende Matrix bezüglich einer anderen Basis ersetzen. Wir verwenden die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordansche Normalform| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= J |SZ=}} von {{math|term= M |SZ=,}} ohne Einschränkung sei also {{math|term= M |SZ=}} in jordanscher Normalform. {{math|term= M |SZ=}} ist also die direkte Summe von Jordanblöcken. Es sei {{math|term= e |SZ=}} ein Basisvektor, für den der {{math|term= i |SZ=-}}te Jordanblock {{math|term= J_i |SZ=}} {{ Math/display|term= {{Jordanblock/klein|\lambda_i|}} |SZ= }} zuständig ist. Die anderen Jordanblöcke sind für die Berechnung von {{math|term= M^n e |SZ=}} irrelevant. Wir schreiben {{ Relationskette/display | J_i || D_i +N_i || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= D_i |SZ=}} die in {{math|term= J_i |SZ=}} enthaltene Diagonalmatrix bezeichnet. In dieser Situation ist {{ Relationskette/display | D_i \circ N_i || N_i \circ D_i || || || |SZ=, }} vergleiche auch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/K/Potenz/Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | J_i^n || D_i^n + n D_i^{n-1} \circ N_i + {{op:Binomialkoeffizient| n |2}} D_i^{n-2} \circ N_i^2 + {{op:Binomialkoeffizient| n |3}} D_i^{n-3} \circ N_i^3 {{plusdots|}} |3teil2= {{op:Binomialkoeffizient| n |d_i-1}} D_i^{n-d_i+ 1} \circ N_i^{d_i-1} || || || |SZ=, }} da die höheren Potenzen von {{math|term= N |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Hier kann man {{mathl|term= D_i^{n-d_i+1} |SZ=}} ausklammern und erhält als anderen Faktor {{ Math/display|term= D_i^{d_i-1} + n D_i^{d_i-2} \circ N_i + {{op:Binomialkoeffizient| n |2}} D_i^{d_i-3} \circ N_i^2 {{plusdots|}} {{op:Binomialkoeffizient| n |d_i-1}} N_i^{d_i-1} |SZ=. }} Die Binomialkoeffizienten sind Polynome in {{math|term= n |SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq d_i-1 |SZ=,}} die auftretenden Matrizen sind unabhängig von {{math|term= n |SZ=.}} Diese Matrizen haben also die Form {{ Relationskette/display | A_n || {{makl| Q_{rs}(n) |}}_{rs} || || || |SZ= }} mit Polynomen {{mathl|term= Q_{rs} |SZ=}} vom Grad {{math|term= \leq d_i -1 |SZ=.}} Somit ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| M^n(e) |}}_j || {{makl| J_i^n(e) |}}_j || {{makl| {{makl| A_n \circ D_i^{n-d_i+1} |}} (e) |}}_j || {{makl| A_n {{makl| \lambda_i^{n-d_i+1}e |}} |}}_j || \lambda_i^{n-d_i+1} Q_{js}(n) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{math|term= s |SZ=}} die Position von {{math|term= e |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette | \lambda_i | \neq| 0 || || || |SZ= }} kann man das Polynom durch {{math|term= \lambda_i^{d_i-1} |SZ=}} teilen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bgc5bjta56776cg3ezkjyfobj7gyq3m 106 170118 1080000 1079964 2026-05-21T13:20:03Z Bocardodarapti 2041 1080000 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} abn2xmlv2j3mg58o7cw15yyute2kcyo 1080021 1080000 2026-05-21T14:02:48Z Bocardodarapti 2041 1080021 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pjgom7mj91xtf9aahm5kcc2zv8wdesh 106 170119 1080035 1079960 2026-05-21T14:09:39Z Bocardodarapti 2041 1080035 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 2c4ksirw34i51nmn4epsehdj0jf8nei 1080042 1080035 2026-05-21T14:15:12Z Bocardodarapti 2041 1080042 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1lnqele3d8zi4kks98738djb966c08n 106 170120 1080016 1079962 2026-05-21T13:57:28Z Bocardodarapti 2041 1080016 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8qb6wtieu30ofln0vjtbdsj77nfhlhm 1080059 1080016 2026-05-21T14:40:05Z Bocardodarapti 2041 1080059 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5mgzajci742ehumb77npe7xyu7x3l4u 106 170121 1080023 1079963 2026-05-21T14:03:47Z Bocardodarapti 2041 1080023 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8xzy29ph9cxkx6o0ljgsdd50kt34xc2 1080026 1080023 2026-05-21T14:05:15Z Bocardodarapti 2041 1080026 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nbedrhwmk2o8o0gift70fy90opbp08s 1080028 1080026 2026-05-21T14:05:41Z Bocardodarapti 2041 1080028 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} g4iehkmsdbfcu28l5qaooul47n15z7x 1080032 1080028 2026-05-21T14:08:02Z Bocardodarapti 2041 1080032 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nzka3puyfng9opnzfohw51qqb49lp4p 1080036 1080032 2026-05-21T14:10:39Z Bocardodarapti 2041 1080036 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} duls9cohvq78s4k5g65mog1tvmu8t6p 1080037 1080036 2026-05-21T14:11:09Z Bocardodarapti 2041 1080037 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} tf8ydwysdonmex2a0suqzkmxc8qkfh0 1080038 1080037 2026-05-21T14:11:24Z Bocardodarapti 2041 1080038 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} s7yc62e376aol16bp68dw76ig448wd5 1080048 1080038 2026-05-21T14:21:03Z Bocardodarapti 2041 1080048 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 11me14t760ldhu30fq12jwn9tyqyz2g 1080049 1080048 2026-05-21T14:22:38Z Bocardodarapti 2041 1080049 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} kffq7j2xfg06gasinzzhi4zcdak3ww1 1080058 1080049 2026-05-21T14:38:48Z Bocardodarapti 2041 1080058 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Diamantgraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rlvg7wpdwah26cl4ppjrjbe9oyw5fjk 106 170122 1080017 1079961 2026-05-21T13:58:39Z Bocardodarapti 2041 1080017 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 64mvzrdtwkgjsgqpisisd62fft6q433 1080018 1080017 2026-05-21T13:59:49Z Bocardodarapti 2041 1080018 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 08hre6muavyu88fgvfiljl4r1vy1keo 1080022 1080018 2026-05-21T14:03:42Z Bocardodarapti 2041 1080022 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} drx8yko43lwwkmv21rd7d5saiaznq51 1080030 1080022 2026-05-21T14:06:35Z Bocardodarapti 2041 1080030 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8fuddy3g7ly41dxau2yh4an4tehldqp 1080041 1080030 2026-05-21T14:13:31Z Bocardodarapti 2041 1080041 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 27rrcqdq4gs01sy863sim61ib1nnp8c 1080056 1080041 2026-05-21T14:37:24Z Bocardodarapti 2041 1080056 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0q6og6o50bo0ftg5xz6ovf9qaihxkmj 1080057 1080056 2026-05-21T14:38:06Z Bocardodarapti 2041 1080057 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} q7xo02ublwsgsrmquwxf2942agxgofd 106 170123 1080019 1079965 2026-05-21T14:00:16Z Bocardodarapti 2041 1080019 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k93mqutb7fmmn2wl9nw93hwe1zbdqh0 1080020 1080019 2026-05-21T14:01:29Z Bocardodarapti 2041 1080020 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9r6c3kmhi1idcj7am23jysloj6tcxul 1080044 1080020 2026-05-21T14:16:22Z Bocardodarapti 2041 1080044 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} bx716f63mgeq1hfeiz3auy9i1dmojen 1080050 1080044 2026-05-21T14:29:05Z Bocardodarapti 2041 1080050 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} genjdlfx5i8h8lsg0sildsdhbhjoy2n 1080052 1080050 2026-05-21T14:31:17Z Bocardodarapti 2041 1080052 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 3akxqweigx5ckotab8nx7d0oxqlvryl 1080054 1080052 2026-05-21T14:33:33Z Bocardodarapti 2041 1080054 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rp6c1ts0n7lms3wamk7mw4iskwuvqi5 0 170133 1080034 1077127 2026-05-21T14:08:33Z Bocardodarapti 2041 1080034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt| |/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 105qvsv8lmh6s8mcmh04h62lydwm9ci 1080040 1080034 2026-05-21T14:13:13Z Bocardodarapti 2041 1080040 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ixotbqenmfd9kjc859xfd25qlgqma4 1080045 1080040 2026-05-21T14:17:26Z Bocardodarapti 2041 1080045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt| |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gx2z3ddvzr6yfzib9jazhgo79ihp4x3 1080046 1080045 2026-05-21T14:19:10Z Bocardodarapti 2041 1080046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt| |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rz7297fmxxlvcvroy8gaxjnigl4lk2e 0 170134 1080031 1077128 2026-05-21T14:07:03Z Bocardodarapti 2041 1080031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt| |/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sinhxfumcjshsretdbphhx8bgj7rdm9 1080043 1080031 2026-05-21T14:15:59Z Bocardodarapti 2041 1080043 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enptvyboingtxyicro7rc275yjfzi8q 1080055 1080043 2026-05-21T14:36:01Z Bocardodarapti 2041 1080055 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt| |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 472bqr71ulqg67wg6cpu12rwa51q1jf 0 170135 1080024 1077129 2026-05-21T14:04:30Z Bocardodarapti 2041 1080024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |/Fakt| |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvy27vo6mm8327o0plz07470675h819 1080039 1080024 2026-05-21T14:11:41Z Bocardodarapti 2041 1080039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |/Fakt| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt| |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 498ruyecxt1uebnuu0z9z8eipm7lvqd 1080053 1080039 2026-05-21T14:32:17Z Bocardodarapti 2041 1080053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt| |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80i4vyt1e31tdh80fznkx0izmfr0jjl 106 170340 1079994 1079974 2026-05-21T12:02:44Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1079994 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... sustainable d goals == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mwqav2urwk1wewovpx2j2illcfkur6m 1080002 1079994 2026-05-21T13:23:32Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080002 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch zu modellieren und dabei nachhaltige sowie gesellschaftlich relevante Fragen und Probleme zu untersuchen und bei einer Antwort unterstützend zu helfen. Passende sustainable development goals nach lpb-bw sind: - (3) Gesundheit und Wohlergehen Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Maßnahmen ergreifen zur Reduktion der Gefahren - (11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (13) Maßnahmen zum Klimaschutz Ziel: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fdldhwnmsynred9ar2i05hovet87rfs 1080003 1080002 2026-05-21T13:24:01Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080003 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch zu modellieren und dabei nachhaltige sowie gesellschaftlich relevante Fragen und Probleme zu untersuchen und bei einer Antwort unterstützend zu helfen. Passende sustainable development goals nach lpb-bw sind: - (3) Gesundheit und Wohlergehen Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Maßnahmen ergreifen zur Reduktion der Gefahren - (11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (13) Maßnahmen zum Klimaschutz Ziel: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ov8hk5uj2nx625p9a5cvsg5wjxv5md5 1080005 1080003 2026-05-21T13:25:08Z Felix Bohl 41569 /* Literatur/Quellennachweise */ 1080005 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch zu modellieren und dabei nachhaltige sowie gesellschaftlich relevante Fragen und Probleme zu untersuchen und bei einer Antwort unterstützend zu helfen. Passende sustainable development goals nach lpb-bw sind: - (3) Gesundheit und Wohlergehen Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Maßnahmen ergreifen zur Reduktion der Gefahren - (11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (13) Maßnahmen zum Klimaschutz Ziel: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e0ejd9na4wt9q9t1joh16mxtzfqol48 1080012 1080005 2026-05-21T13:41:18Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080012 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dazu verknüpft werden, sind: -Umweltprobleme/ Umweltschutz -Gesundheit -nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals nach lpb-bw sind: - (3) Gesundheit und Wohlergehen Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Maßnahmen ergreifen zur Reduktion der Gefahren - (11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (13) Maßnahmen zum Klimaschutz Ziel: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fxqbabv1184af7ksxto5j88bqaqp6aa 1080013 1080012 2026-05-21T13:44:30Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080013 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: -Umweltprobleme/ Umweltschutz -Gesundheit -nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals nach lpb-bw sind: - (3) Gesundheit und Wohlergehen Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Maßnahmen ergreifen zur Reduktion der Gefahren - (11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (13) Maßnahmen zum Klimaschutz Ziel: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tawdnooql4ma5zej0c2sxwmdakb0za6 1080025 1080013 2026-05-21T14:04:56Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080025 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: -Umweltprobleme/ Umweltschutz -Gesundheit -nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] akwamdp01er5bvakmcf48pvv95gfa7f 1080027 1080025 2026-05-21T14:05:32Z Felix Bohl 41569 /* Literatur/Quellennachweise */ 1080027 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: -Umweltprobleme/ Umweltschutz -Gesundheit -nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] afyw1maup5ovc2exlmxxtnn3jrukmco 1080029 1080027 2026-05-21T14:06:04Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080029 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: -Umweltprobleme/ Umweltschutz -Gesundheit -nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1zj5qb0ahpvnjqqyp3qonjbrz40avid 1080033 1080029 2026-05-21T14:08:12Z Felix Bohl 41569 /* Zielsetzung */ 1080033 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: - Umweltprobleme/ Umweltschutz - Gesundheit - nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] thp8lgtv86f6jfbmaob5g18mmhl1u4q 1080097 1080033 2026-05-22T08:18:49Z Patrick Rutz 41567 /* Einleitung */ 1080097 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: - Umweltprobleme/ Umweltschutz - Gesundheit - nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fk7qgcbzqs5lkyus8uyn19q6nu2fg3k 1080098 1080097 2026-05-22T08:19:49Z Patrick Rutz 41567 /* Einleitung */ 1080098 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+</math> die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: - Umweltprobleme/ Umweltschutz - Gesundheit - nachhaltige Stadtplanung Passende sustainable development goals der UN sind: - (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten - (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung - (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pem0z8nuxsp837epa53y1bwi6en3nrj 1080101 1080098 2026-05-22T08:41:48Z Patrick Rutz 41567 /* Zielsetzung */ 1080101 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+</math> die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: * Umweltprobleme/ Umweltschutz * Gesundheit * nachhaltige Stadtplanung ===Nachhaltigkeitsziele=== *(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen -Feinstaubbelastung *(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden - *(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz - geringe CO2 Emission Passende sustainable development goals der UN sind: ====(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen==== Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten ====(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden==== Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung ====(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz==== Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9u3skyqv0ef4gvd91xkrri142yyl3kc 1080104 1080101 2026-05-22T08:43:47Z Patrick Rutz 41567 /* Zielsetzung */ 1080104 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+</math> die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: * Umweltprobleme/ Umweltschutz * Gesundheit * nachhaltige Stadtplanung ===Nachhaltigkeitsziele=== Passende sustainable development goals der UN sind: * (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen -Feinstaubbelastung * (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden - * (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz - geringe CO2 Emission ====(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen==== Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten ====(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden==== Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung ====(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz==== Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ecb3l5bsm4908y7yp498dulggfsqyz5 1080105 1080104 2026-05-22T08:46:47Z Patrick Rutz 41567 /* Modellierungszyklen */ 1080105 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Im Projekt soll die räumliche Feinstaubbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Dabei werden insbesondere Emissionen durch Straßenverkehr betrachtet, darunter Verbrennungsemissionen sowie Reifen- und Bremsabrieb. Ziel ist die Konstruktion einer Funktion <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+</math> die jedem Ort (x,y) im betrachteten Stadtgebiet einen Belastungswert zuordnet. Die Belastung soll mithilfe geeigneter Funktionen visualisiert und in GeoGebra bzw. Python als 3D-Fläche dargestellt werden. Zusätzlich sollen verschiedene Szenarien, beispielsweise Veränderungen des Verkehrsaufkommens oder politische Maßnahmen, untersucht werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das für reale gesellschaftliche und ökologische Fragestellungen relevant ist. Die Hauptthemen, die dabei verknüpft werden, sind: * Umweltprobleme/ Umweltschutz * Gesundheit * nachhaltige Stadtplanung ===Nachhaltigkeitsziele=== Passende sustainable development goals der UN sind: * (SDG3) Gesundheit und Wohlergehen -Feinstaubbelastung * (SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden - * (SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz - geringe CO2 Emission ====(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen==== Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten ====(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden==== Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung ====(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz==== Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Modellierungszyklen == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 1|Sekundarstufe 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bbpvhh07mx0yg002lz0el6nmc337zc2 106 170342 1079993 1079992 2026-05-21T11:59:48Z Jonas Dächert 41519 /* 🎓 SDG 15 (Life on land) */ 1079993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🏥 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2qy07pvze46s5ejp6o5mxhwgb82pvmu 1080102 1079993 2026-05-22T08:42:03Z ~2026-29316-36 41570 1080102 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🏥 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pcwo3z4nmlhgqapp4f5807l3hdp63bl 1080103 1080102 2026-05-22T08:42:49Z ~2026-29316-36 41570 1080103 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gcunzwto7cmk0qeso93pxsygkv7cf9x 106 170343 1080106 1079978 2026-05-22T08:47:41Z Patrick Rutz 41567 /* Didaktik und didaktische Reduktion */ 1080106 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend in ein Koordinatensystem übertragen. Aus den Messwerten entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung über die Zeit beschreibt. Durch Zerlegung des Graphen in einfache geometrische Formen (Rechtecke, Trapeze) wird näherungsweise der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt. Dieser beschreibt die gesamte Verkehrsmenge im betrachteten Zeitraum und dient als erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff. Darauf aufbauend soll ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit einfacher Mathematik, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe 1 schon lernen, kann vereinfacht ein Modell erstellt werden. Mathematisch betrachtet man sich den Sachverhalt und die Formeln wie folgt: Zeit: t Verkehrsrate: v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise: <math>\int_a^b v(t)\,dt</math> also die Gesamtanzahl der Fahrzeuge im Zeitraum [a,b]. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Rechtecken oder Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung zu Chemie sowie gesellschaftlichen und politischen Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fgbsao8w8i43xlpxt3hxnzinijh4wji 1080107 1080106 2026-05-22T08:50:39Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1080107 wikitext text/x-wiki ==Sekundarstufe 1== * Fächerübegreifender Bereich * Implementation: Tabellenkalkulation bedingte Tabellelkalkulation * mathematische Inhalte: durch Algebra in Tabelleklakulation, Flächenbegriff, Mittelwerte * :) ===Projektidee=== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend in ein Koordinatensystem übertragen. Aus den Messwerten entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung über die Zeit beschreibt. Durch Zerlegung des Graphen in einfache geometrische Formen (Rechtecke, Trapeze) wird näherungsweise der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt. Dieser beschreibt die gesamte Verkehrsmenge im betrachteten Zeitraum und dient als erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff. Darauf aufbauend soll ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ===Mathematische Idee=== Mit einfacher Mathematik, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe 1 schon lernen, kann vereinfacht ein Modell erstellt werden. Mathematisch betrachtet man sich den Sachverhalt und die Formeln wie folgt: Zeit: t Verkehrsrate: v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise: <math>\int_a^b v(t)\,dt</math> also die Gesamtanzahl der Fahrzeuge im Zeitraum [a,b]. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Rechtecken oder Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung zu Chemie sowie gesellschaftlichen und politischen Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] miypa4p8fcrnhicrxi1an8n6jqchv1z 1080108 1080107 2026-05-22T08:55:12Z Patrick Rutz 41567 /* Mathematische Idee */ 1080108 wikitext text/x-wiki ==Sekundarstufe 1== * Fächerübegreifender Bereich * Implementation: Tabellenkalkulation bedingte Tabellelkalkulation * mathematische Inhalte: durch Algebra in Tabelleklakulation, Flächenbegriff, Mittelwerte * :) ===Projektidee=== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend in ein Koordinatensystem übertragen. Aus den Messwerten entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung über die Zeit beschreibt. Durch Zerlegung des Graphen in einfache geometrische Formen (Rechtecke, Trapeze) wird näherungsweise der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt. Dieser beschreibt die gesamte Verkehrsmenge im betrachteten Zeitraum und dient als erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff. Darauf aufbauend soll ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ===Mathematische Idee=== Mit einfacher Mathematik, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe 1 schon lernen, kann vereinfacht ein Modell erstellt werden. Mathematisch betrachtet man sich den Sachverhalt und die Formeln wie folgt: Zeit: :<math>t</math> Verkehrsrate: :<math>v(t)</math> Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise: :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> also die Gesamtanzahl der Fahrzeuge im Zeitraum <math>[a,b]</math>. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Rechtecken oder Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung zu Chemie sowie gesellschaftlichen und politischen Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s7a9u1k6brb4kplt1k6scxjfn24ekx7 1080109 1080108 2026-05-22T09:01:04Z Patrick Rutz 41567 /* Didaktik und didaktische Reduktion */ 1080109 wikitext text/x-wiki ==Sekundarstufe 1== * Fächerübegreifender Bereich * Implementation: Tabellenkalkulation bedingte Tabellelkalkulation * mathematische Inhalte: durch Algebra in Tabelleklakulation, Flächenbegriff, Mittelwerte * :) ===Projektidee=== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend in ein Koordinatensystem übertragen. Aus den Messwerten entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung über die Zeit beschreibt. Durch Zerlegung des Graphen in einfache geometrische Formen (Rechtecke, Trapeze) wird näherungsweise der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt. Dieser beschreibt die gesamte Verkehrsmenge im betrachteten Zeitraum und dient als erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff. Darauf aufbauend soll ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ===Mathematische Idee=== Mit einfacher Mathematik, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe 1 schon lernen, kann vereinfacht ein Modell erstellt werden. Mathematisch betrachtet man sich den Sachverhalt und die Formeln wie folgt: Zeit: :<math>t</math> Verkehrsrate: :<math>v(t)</math> Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise: :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> also die Gesamtanzahl der Fahrzeuge im Zeitraum <math>[a,b]</math>. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung (siehe [https://static.bildung-rp.de/pl-materialien/daten-zufall_kap1-4.pdf Daten und Zufall]). Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. <ref>Schule XY(2017) Daten und Zufall - URL: https://static.bildung-rp.de/pl-materialien/daten-zufall_kap1-4.pdf zugriff am 22.05.2026</ref> Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Rechtecken oder Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung zu Chemie sowie gesellschaftlichen und politischen Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b42mcot0dnc32c163yxgxp0o32ap58q 1080110 1080109 2026-05-22T09:01:50Z Patrick Rutz 41567 /* Seiteninformation */ 1080110 wikitext text/x-wiki ==Sekundarstufe 1== * Fächerübegreifender Bereich * Implementation: Tabellenkalkulation bedingte Tabellelkalkulation * mathematische Inhalte: durch Algebra in Tabelleklakulation, Flächenbegriff, Mittelwerte * :) ===Projektidee=== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend in ein Koordinatensystem übertragen. Aus den Messwerten entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung über die Zeit beschreibt. Durch Zerlegung des Graphen in einfache geometrische Formen (Rechtecke, Trapeze) wird näherungsweise der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt. Dieser beschreibt die gesamte Verkehrsmenge im betrachteten Zeitraum und dient als erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff. Darauf aufbauend soll ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ===Mathematische Idee=== Mit einfacher Mathematik, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe 1 schon lernen, kann vereinfacht ein Modell erstellt werden. Mathematisch betrachtet man sich den Sachverhalt und die Formeln wie folgt: Zeit: :<math>t</math> Verkehrsrate: :<math>v(t)</math> Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise: :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> also die Gesamtanzahl der Fahrzeuge im Zeitraum <math>[a,b]</math>. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung (siehe [https://static.bildung-rp.de/pl-materialien/daten-zufall_kap1-4.pdf Daten und Zufall]). Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. <ref>Schule XY(2017) Daten und Zufall - URL: https://static.bildung-rp.de/pl-materialien/daten-zufall_kap1-4.pdf zugriff am 22.05.2026</ref> Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Rechtecken oder Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung zu Chemie sowie gesellschaftlichen und politischen Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7xd8kgjg7vh2rzltyuyo8a5dudzg22b 0 170365 1080067 1079454 2026-05-21T18:43:26Z Bocardodarapti 2041 1080067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 5/k ist 3/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} td7o9mxo1o0a2sxm9srx5r49hf766gb 0 170374 1080066 1079455 2026-05-21T18:40:14Z Bocardodarapti 2041 1080066 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} erfüllen die Gleichungen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette | {{op:Permutationszahl|n|1}} || (n-1)! || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | \sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Permutationszahl|n|k}} || n! || || || |SZ=. }} | | }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nod2h6awq1z60lu6asp1dqr3mo3atbe 0 170447 1080087 1079762 2026-05-22T07:25:37Z Bocardodarapti 2041 1080087 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= L |SZ=}} eine Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen und {{math|term= M |SZ=}} eine Menge mit {{math|term= k |SZ=}} Elementen. Es sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1| \ldots|r_k}} |SZ=}} ein erlaubtes {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ=, }} und es sei {{math|term= m |SZ=}} die Anzahl der Nullen in dem Tupel. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Abbildungen {{ Abbildung/display |name= | L | M || |SZ=, }} die dieses Faseranzahltupel besitzen, gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|k!| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ= }} ist, wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Faseranzahltupel vorkommt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9rd27hig1ycua7tbeoz4wegd9idzw0t 0 170448 1080111 1079632 2026-05-22T09:06:24Z Bocardodarapti 2041 1080111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Anzahl der Abbildungen von {{math|term= L |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Anzahl|f^{-1} (j)|}} || s_j || || || |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient| n | s_1 | s_k }} |SZ=,}} wobei aber die {{math|term= s_j |SZ=}} nicht geordnet sein müssen. Hinter dem geordneten Faseranzahltupel stehen also mehrere endliche Folgen {{mathl|term= s_1 {{kommadots}} s_k |SZ=.}} Deren Anzahl ist {{mathl|term= {{op:Bruch|k!| m_0 ! \cdots m_n ! }} |SZ=,}} wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Faseranzahltupel vorkommt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d1vj3bd83irro4omcq9vzjpjr5inwyx 106 170473 1080118 1079881 2026-05-22T09:36:54Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1080118 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|15|Kurs=|}} 1n7yb4d6zvwo1e1smor50kgws1sdyhj 0 170511 1079997 2026-05-21T13:18:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079997 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine kombinatorische Formel, die sowohl direkt als auch durch eine inhaltliche Überlegung bewiesen werden kann. {{ManSie|Man führe|Führen Sie}} beide Beweise vor. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qm0muqxpqbqyoztf1zm48nlok70f7wf 0 170512 1080061 2026-05-21T14:48:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n |SZ=}} eine natürliche Zahl und sei {{math|term= (T_n, {{|}} ) |SZ=}} die Menge aller natürlichen Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |SZ=, }} die durch die Teilbarkeitsrelation gegeben ist. Charakterisiere{{n Sie}} über die Primfaktorzerlegung von {{math|term= n |SZ=}} bzw. {{math|term= m |SZ=,}} wann {{ mathkor|term1= (T_n, {{|}} ) |und|term2= (T_m, {{|}} ) |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4i4fo75sbyd0tqv02gutyhbqdaoymdk 0 170513 1080068 2026-05-21T19:02:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge und sei {{ Relationskette | 1 | \leq| r_1 | \leq | r_2 |{{leqdots}} | r_k || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=}} 1}^k || n || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke mit der Bedingung, dass es zu jedem {{math|term= j |SZ=}} einen Block mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen gibt, gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1|k!}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} |SZ= }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bxech56k7urwqlty4kciifm524wr39l 1080081 1080068 2026-05-21T20:16:23Z Bocardodarapti 2041 1080081 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge und sei {{ Relationskette | 1 | \leq| r_1 | \leq | r_2 |{{leqdots}} | r_k || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=}} 1}^k || n || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke mit der Bedingung, dass es zu jedem {{math|term= j |SZ=}} einen Block mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen gibt, gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} |SZ=, }} wobei {{math|term= m_j |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= j |SZ=}} im Tupel vorkommt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dyqi0co8vb7t3x06rgjs1elibhnl7vs 1080084 1080081 2026-05-22T07:17:17Z Bocardodarapti 2041 1080084 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge und sei {{ Relationskette | 1 | \leq| r_1 | \leq | r_2 |{{leqdots}} | r_k || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=}} 1}^k || n || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke mit der Bedingung, dass es zu jedem {{math|term= j |SZ=}} einen Block mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen gibt, gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} |SZ=, }} wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Tupel vorkommt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dhgnc4hl29vqycig11yklhjecbm80wz 1080125 1080084 2026-05-22T11:05:40Z Λυκας 38324 1080125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge und sei {{ Relationskette | 1 | \leq| r_1 | \leq | r_2 |{{leqdots}} | r_k || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \sum_{j {{=}} 1}^k r_j || n || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke mit der Bedingung, dass es zu jedem {{math|term= j |SZ=}} einen Block mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen gibt, gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} |SZ=, }} wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Tupel vorkommt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i2va3o2f6yg4esauzae0d6l6ztb2fxz 0 170514 1080069 2026-05-21T19:06:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ns4qznt2b4bqd16cun0b4ypwrm88716 1080085 1080069 2026-05-22T07:24:22Z Bocardodarapti 2041 1080085 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine Partition mit den angegebenen Eigenschaften kann man als Faserpartition zu einer surjektiven Abbildung von {{math|term= M |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} realisieren, indem man einen Block mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen auf {{math|term= j |SZ=}} abbildet. Deren Anzahl ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath= |Multinomialkoeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} |SZ=.}} Wenn die Zahl {{math|term= i |SZ=}} im Tupel mehrfach vorkommt, also {{ Relationskette/display | i || r_{j+1} || r_{j+2} || \ldots || r_{j+m_i} |SZ=, }} so liefern die verschiedenen Surjektionen, die die {{math|term= m_i |SZ=}} Blöcke mit {{math|term= i |SZ=}} Elementen auf {{mathl|term= \{j+1,\ldots ,j+m_{i} \} |SZ=}} abbilden, die gleiche Faserpartition. Deshalb muss man durch den Vorfaktor dividieren. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8zbdpx63rt8a9ispfuykhiabif8h2um 14 170515 1080070 2026-05-21T19:06:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080070 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 0 170516 1080072 2026-05-21T19:19:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 5/k ist 3/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3iglehruwu7d1xse9fmlbk99esmklky 1080092 1080072 2026-05-22T07:40:19Z Bocardodarapti 2041 1080092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/n ist 5/k ist 3/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Formel mit Multinomialkoeffizienten/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l1dzs3xdjw0z4v04rt5pn0672tu7p73 0 170517 1080073 2026-05-21T19:34:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080073 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} die folgenden Rekursionsbedingungen erfüllen. {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette | {{op:Permutationszahl|n|n}} || 1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|0}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|k}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | k | \geq | n+1 || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n+1|k}} || {{op:Permutationszahl|n|k-1}} + n {{op:Permutationszahl|n|k}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hsdhph02uml2ri4cepxrobv846rpjqf 14 170518 1080074 2026-05-21T19:34:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080074 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 0 170519 1080075 2026-05-21T19:34:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Rekursionsformel/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rm0wem24sm3t8q0ma46xyva64c5cdhy 14 170520 1080076 2026-05-21T19:34:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080076 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 0 170521 1080078 2026-05-21T19:51:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080078 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer fünfelementigen Mengen mit drei {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklen| |Kontext=Permutation| |SZ= }} gibt es die numerischen Möglichkeiten {{mathl|term= (1,1,3) |SZ=}} und {{mathl|term= (1,2,2) |SZ=.}} Im ersten Fall geht es Permutationen mit {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkten| |Kontext=| |SZ= }} und einem Dreierzyklus. Für die Wahl der dreielementigen Teilmenge gibt es {{ Relationskette | {{op:Binomialkoeffizient|5|3}} || 10 || || || |SZ= }} Möglichkeiten, im Dreierzyklus gibt es dann noch {{math|term= 2 |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, wie der Zyklus angeordnet ist. Das sind {{math|term= 20 |SZ=}} Möglichkeiten. Im zweiten Fall geht es um Permutationen mit einem Fixpunkt und zwei Zweierzyklen. Für die Wahl des Fixpunktes gibt es {{math|term= 5 |SZ=}} Möglichkeiten, für die Partition der verbleibenden vierelementigen Teilmengen in die beiden zweielementigen Teilmengen gibt es drei Möglichkeiten. Dies ergibt {{ Relationskette | 5 \cdot 3 || 15 || || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette | {{op:Permutationszahl|n|k}} || 20+15 || 35 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4qzmnbn5de70j9p7oqaan28re23neon 14 170522 1080079 2026-05-21T19:51:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080079 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 14 170523 1080083 2026-05-22T07:12:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080083 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=F|Anf2=a|Anf3=s|Faserpartition (MSW)}} 4d1c8s1ysih25j3n7c6ygshgvs7vclz 0 170524 1080088 2026-05-22T07:31:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} erfüllen |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|k}} || \sum_{ (r_1 {{kommadots|}} r_k):\, r_1+r_2 {{plusdots|}} r_k {{=|}} n,\, r_j \geq 1} {{op:Bruch| n ! | m_0 ! \cdots m_n ! }} \cdot {{op:Bruch|1|r_1 \cdots r_k}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1| \ldots|r_k}} |SZ=}} vorkommt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} pt1lkh8998plezkhlki5h08n1egstm8 0 170525 1080090 2026-05-22T07:38:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080090 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} die folgenden Gleichungen erfüllen. {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette | {{op:Permutationszahl|n|1}} || (n-1)! || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | \sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Permutationszahl|n|k}} || n! || || || |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9uw5su0vqmbs5jgbcb3y8kwemzlko02 0 170526 1080093 2026-05-22T07:54:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080093 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Stirling-Zahl erster Art ergibt sich offenbar als Summe über die Anzahlen der Permutationen zu den verschiedenen Zerlegungen in {{math|term= k |SZ=}} Wirkungsbereiche mit vorgegebenen Anzahltupeln {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1| \ldots|r_k}} |SZ=.}} Die Anzahl dieser Zerlegungen ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Partitionen/Klassenanzahltupel/Anzahl mit Multinomialkoeffizient/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1|r_k}} || {{op:Bruch|1| m_0 ! \cdots m_n !}} \cdot {{op:Bruch|n !|r_1! \cdots r_k!}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Tupel vorkommt. In jedem Wirkungsbereich mit {{math|term= r_j |SZ=}} Elementen gibt es für die möglichen Reihenfolgen im Zyklus {{mathl|term= {{makl| r_j-1 |}} ! |SZ=}} Möglichkeiten. Deshalb muss man mit {{mathl|term= |SZ=}} {{mathl|term= {{makl| r_1-1 |}} ! \cdots {{makl| r_k-1 |}} ! |SZ=}} multiplizieren, sodass im Nenner nur noch {{mathl|term= r_1 \cdots r_k |SZ=}} übrig bleibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fit2ittunilm38t5wedezoxss0c8ypg 0 170527 1080094 2026-05-22T07:56:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahlen erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|n|k}} |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Permutationszahl|n|k}} || \sum_{ (r_1 {{kommadots|}} r_k):\, r_1+r_2 {{plusdots|}} r_k {{=|}} n,\, r_j \geq 1} {{op:Bruch| n ! | m_0 ! \cdots m_n ! }} \cdot {{op:Bruch|1|r_1 \cdots r_k}} || || || |SZ= }} erfüllen, wobei {{math|term= m_i |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= i |SZ=}} im Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1| \ldots|r_k}} |SZ=}} vorkommt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} a1kom5st212ikd1pfy4tb8qhfgsb5ay 0 170528 1080095 2026-05-22T07:56:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080095 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Formel mit Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} q1w2bdfwaax59vo3m6z1dni90vbsr8h 0 170529 1080100 2026-05-22T08:27:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080100 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Stirling-Zahl erster Art| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl|7|4}} |SZ=}} auf möglichst viele Arten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen erster Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} eb6b338wultsg3cdlkjjggs5zwwauvg 106 170530 1080115 2026-05-22T09:36:34Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1080115 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|14|18|Kurs=|}} kljzgkbmz1nmdcs3geg3wbgqatpp8kl 106 170531 1080116 2026-05-22T09:36:44Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1080116 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|14|16|Kurs=|}} 6b218orcxqgtpephxbrpdqvbm6hg5zy