Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 56292 1080890 1028369 2026-05-23T15:27:44Z Bocardodarapti 2041 1080890 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Ringautomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |operiere| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |Der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R^G |SZ=}} ist ein Integritätsbereich. |Die Operation induziert eine Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Körperautomorphismen| |Kontext=| |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | Q {{makl| R^G |}} | \subseteq | (Q(R))^G || || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | R \cap (Q(R))^G || R^G || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gpfugfagw878g7t4oxfh3mtrju2tz0 0 56293 1080891 1045471 2026-05-23T15:28:33Z Bocardodarapti 2041 1080891 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1) ist wegen {{ Relationskette |R^G | \subseteq | R || || || |SZ= }} klar. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Es sei {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Zu jedem {{ Relationskette | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} setzt sich der {{ Definitionslink |Ringautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f \mapsto f \sigma|SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=aufgrund der|universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme|Faktseitenname= Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Körperautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch| f |g}} \mapsto {{op:Bruch|f \sigma|g \sigma}} |SZ=}} fort. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Ein Element aus dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q {{makl| R^G |}} |SZ=}} hat die Form {{mathl|term= {{op:Bruch| f |g}} |SZ=}} mit invarianten Elementen {{ Relationskette | f,g | \in | R^G || || || |SZ=. }} Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf {{math|term= K |SZ=.}} Daher gilt {{ Relationskette | Q {{makl| R^G |}} | \subseteq | (Q(R))^G || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4). Die Inklusion {{ Relationskette | R^G | \subseteq | R \cap Q(R)^G || || || |SZ= }} ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= R |SZ=}} die ursprüngliche Operation ist. Wenn also {{ Relationskette | f | \in | R || || || |SZ= }} ist und aufgefasst in {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} invariant ist, so ist es überhaupt invariant. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcmlinfltneq3hs96r8zsp26jfdid12 106 61362 1080914 1078185 2026-05-24T09:42:18Z ~2026-30983-57 41595 /* */ 1080914 wikitext text/x-wiki Diese Seite ist dafür gedacht, dass einige nützliche und für den Kurs hilfreiche Funktionen von Wikiversity erklärt werden. Weitere Informationen findet man auch auf den Hilfeseiten von [[w:Hilfe:Textgestaltung|Wikipedia]] und [[Wikiversity:Hilfe | Wikiversity]]. [[Datei:Ejaculation utilizing TENS device.gif|300px|[[Melken|Melken]]Gewinnung von Sperma zur künstlichen Befruchtung kinderloser Frauen]] == Eine Seite erstellen == [[File:Wikiversityseite erstellen Tutorial.JPG|thumb|Wie man einen neuen Artikel erstellen kann]] Um eine Seite zu erstellen, die zur Kursseite gehört, verändert man zunächst die URL. Am besten sollte man mindestens eine Minute über den Titel nachdenken. Man kommt nun auf eine Seite, die die Möglichkeit bietet einen neuen Wikiversity-Artikel zu erstellen (siehe Bild). In der deutschen Wikipedia existiert auch eine [[w:Hilfe:Neuen_Artikel_anlegen|Anleitung zum Erstellen einer Wikipediaseite]] == Einfügen von Inhalten und Struktur == === Dateien hochladen und einbinden === [[File:Wikimediacommons Datei hochladen Wikiversity Tutorial.JPG|thumb|Wie man eine Seite auf Wikimedia commons hochlädt und bezeichnet.]] Man kann Dateien auf Wikiversity verwenden, indem man sie auf die Seite [{{fullurl:commons:Hauptseite|uselang=de}} Wikimedia Commons] hochlädt. Die Datei kann man einer Kategorie zuweisen, in unserem Fall ist das die Kategorie "Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer". Man erhält einen Link, den man in die Seite einfügen kann. === Vorlagen verwenden === [[File:Beispiel einer Vorlage für eine Navigationsleiste.png|thumb|Vorlage der Navigationsleiste]] [[File:Quellcode der Navileiste.png|thumb|Einfügen eines Links in die Navigationsleiste]] [[File:Fertige Navigationsleiste.png|thumb|Zeigt die Navigationsleiste mit neu eingefügtem Link]] Eine Vorlage ist z.B eine Navigationsleiste, die für mehrere Seiten eines Kurses gebraucht wird. Nun muss man nicht immer und immer wieder den selben Quellcode schreiben. Die einmal erstellte Vorlage wird einfach an den gewünschten Stellen eingefügt. Man fügt diesen ein, indem man diesen Code <nowiki>{{Link zur Vorlage}}</nowiki> dafür eingibt. Man kann auch die Navigationsleiste verändern, indem man die Vorlage ändert. So werden auf allen Seiten des Kurses diese Änderungen an der Navigationsleiste übernommen. Wenn man nun die Seite "Wikiversity verwenden" in der Navigationsleiste verlinken möchte, geht man zuerst auf "Bearbeiten" der Vorlage und fügt den Link an der entsprechenden Stelle ein, wie man in der Grafik sehen kann. Nun sieht man den eingefügten Link auf allen Seiten, auf denen die Navigationsleiste eingefügt wurde. === Programmcode einbinden === Um einen Programmcode in eine Wikiversity-Seite einzubinden, kann man folgenden Befehl verwenden: {{Kasten| Text = <nowiki> <syntaxhighlight lang="C"> </nowiki> <nowiki> </syntaxhighlight></nowiki> }} Beispiel: <syntaxhighlight lang="C"> #include<stdio.h> int main() { printf("hallo") } </syntaxhighlight> === Hinweiskasten === Ein [[Vorlage:Kasten|Hinweiskasten]] kann durch folgende Funktion erstellt werden: {{Kasten| Text = <nowiki>{{Kasten| Text = Hier Text einfügen}}</nowiki>}} Ein anderer Kasten, wie dieser, kann durch das einfügen eines Leerzeichens vor dem Absatz erstellt werden: Hier Text einfügen == Tabellen == === Einfache Tabellen === Um eine Tabelle zu erstellen braucht man erst einmal das Grundgerüst: <nowiki> {| |Tabelle mit einer Spalte und Zeile |}</nowiki> Um weiter Spalten einzufügen, muss man nur eine weiter Zeile im Quellcode schreiben: <nowiki> {| |Erste Spalte |Zweite Spalte |}</nowiki> Um eine weiter Zeile einzufügen, fügt man einen senkrechten Strich und einen Bindestrich ein: <nowiki> {| |Erste Zeile |- |Zweite Zeile |}</nowiki> Wenn man eine Kopfzeile einfügen möchte, ersetzt man den senkrechten Strich durch ein Ausrufezeichen: <nowiki> {| !Kopfzeile |- |Normale Zeile |}</nowiki> === Sortierbare Tabellen === Bei einer sortierbaren Tabelle muss man im Quelltext nur eine kleine Änderung vornehmen: <nowiki> {| class="wikitable sortable" |Zeile eins |- |Zeile zwei |}</nowiki> Um eine Spalte nicht sortierbar zu machen gibt man nur den Befehl class="unsortable" vor die Kopfzeile dieser Spalte ein. === Beispiel Tabelle === {| class="wikitable sortable" ! Kopfzeile !! class="unsortable"| Unsortierbare Spalte |- |Beispiel 1 || Diese |- |Beispiel 2 || Spalte |- |Beispiel 3 || ist nicht |- |Beispiel 4 || sortierbar!! |} {{Kurs:Wie_funktioniert_eigentlich_ein_Computer/How-To_Thema_erstellen}} [[Kategorie:Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer]] [[Kategorie:Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer/Themen]] [[Kategorie:Wikiversity:Tutorial]] 9d8838x0sh6n37s9uxx4gbrua1175uu 0 86249 1080852 1037685 2026-05-23T11:59:00Z Bocardodarapti 2041 1080852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |R ||\Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{makl| 2, 1 + \sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ= }} ist, was in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige {{ Definitionslink |Idealklasse| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist {{ Relationskette/display | {{idealp}}^2 || {{makl| 4,2+ 2 \sqrt{-5}, -4+2 \sqrt{-5} |}} || (2) || || |SZ=. }} Dabei ist die Inklusion {{math|term= \subseteq |SZ=}} klar und die umgekehrte Inklusion {{math|term= \supseteq |SZ=}} ergibt sich aus {{ Relationskette/display | -4 + {{makl| 2 +2 \sqrt{-5} |}} - {{makl| -4 +2 \sqrt{-5} |}} || 2 || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || {{makl| 7, 3+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 7 |}} [X]/ {{makl| X^2+5, 3+X |}} |\cong| {{op:Zmod| 7 |}} || || || |SZ=, }} sodass ein Primideal mit der Norm {{math|term= 7 |SZ=}} vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es in {{math|term= R |SZ=}} kein Element mit Norm {{math|term= 7 |SZ=}} gibt. Die beiden Ideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}} |und|term2= {{idealq|}} |SZ= }} definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= |Q(R)| Q(R) | h |h {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5} |2}} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} |2}} || 3+ \sqrt{-5} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | (1+ \sqrt{-5} ) \cdot {{op:Bruch|3+ \sqrt{-5} |2}} || {{op:Bruch| -2 +4 \sqrt{-5} |2}} || -1+2 \sqrt{-5} || -7 +2 {{makl| 3+ \sqrt{-5} |}} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} induziert dies einen injektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealp|}} | {{idealq|}} || |SZ=, }} der wegen {{ Relationskette/display | 7 || - {{makl| -1+2 \sqrt{-5} |}} +2 {{makl| 3+\sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} auch surjektiv ist. Somit ist {{ Relationskette/display | {{idealp|}} \cdot {{makl| {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2 }} |}} || {{idealq|}} || || || |SZ= }} als gebrochene Ideale. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel |Nr= |SZ= }} wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von {{math|term= R |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8bu5e8adxkfa7j3sxdq7fv7v2xsow2s 0 86601 1080858 1037691 2026-05-23T12:09:38Z Bocardodarapti 2041 1080858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{makl| 2, 1+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ=, }} das nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} kein Hauptideal ist. Es sei {{math|term= S |SZ=}} der ganze Abschluss von {{math|term= R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term= \Z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} im Erweiterungskörper {{ Relationskette | L || \Q[\sqrt{-5}, \sqrt{2}] || || || |SZ= }} vom Grad vier über {{math|term= \Q |SZ=.}} Wir haben also eine Kette {{ Relationskette/display | \Z | \subset | R | \subset | S || || |SZ= }} von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}} S || {{makl| 2, 1+ \sqrt{-5} |}} S || || || |SZ= }} ein Hauptideal in {{math|term= S |SZ=}} ist, und zwar behaupten wir, dass {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element {{ Relationskette | z || {{op:Bruch| \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} |2 }} || {{op:Bruch| 1 + \sqrt{-5} |\sqrt{2} }} |\in | L || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | z^2 || {{makl| {{op:Bruch|\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{-5} |2 }} |}}^2 || {{op:Bruch|2 -2 \cdot 5 +4 \sqrt{-5} |4}} || -2 + \sqrt{-5} | \in | R |SZ= }} erfüllt {{math|term= z |SZ=}} eine Ganzheitsgleichung über {{math|term= R |SZ=}} und gehört somit zu {{math|term= S |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gleichheit {{ Relationskette/display | {{idealp|}} S || {{makl| \sqrt{2} |}} || || || |SZ= }} folgt einerseits aus {{ Relationskette/display | 2 || \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 1+ \sqrt{-5} || z \cdot \sqrt{2} || || || |SZ= }} und andererseits aus {{ Relationskette/display/druckalign | - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch|1-\sqrt{-5}| \sqrt{2} }} {{makl| 1+ \sqrt{-5} |}} || - \sqrt{2} \cdot 2 + {{op:Bruch| 6 | \sqrt{2} }} || - \sqrt{2} \cdot 2 + 3 \cdot \sqrt{2} || \sqrt{2} (-2+3) || \sqrt{2} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Objektkategorie2=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -10 |Objektkategorie3=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9lry1lklxe5jk3xgrkltjrwxnbcfv0 0 120732 1080917 1037755 2026-05-24T11:26:10Z Λυκας 38324 1080917 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Stirling-Zahlen zweiter Art| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Partitionszahl| n |n-2}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Polynom| |SZ= }} in {{math|term= n |SZ=}} vom Grad {{math|term= 4|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} silnxgz2unwdc0jk2udjgssqaj9entv 0 120958 1080887 1035945 2026-05-23T15:23:09Z Bocardodarapti 2041 1080887 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst {{ Relationskette | q || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 1 |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 4 |SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Relationskette | q | \neq | 5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Relationskette/display | v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Relationskette/display | \Z | \subset | \Z[ \sqrt{5} ] | \subset | \Z[ {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} ] || \Z[ x^3+x^2 ] ||S | \subset | \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} bestimmt wurde. Für {{ Relationskette/display | q || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= q |SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= q |SZ=}} ab. Bei {{ Relationskette | q || 11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11) |SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= q |SZ=}} mit {{ Relationskette | q || 1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | q || 4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1 |SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 + {{op:Bruch| \sqrt{5} + 1|2}} X+1 |}} {{makl| X^2 -{{op:Bruch| \sqrt{5} -1|2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Relationskette | q || 19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | 9^2 || 5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |q || 3 \mod 5 || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3tmq3wn51apzxcu4okj276bphvmhsi 0 121133 1080867 1038630 2026-05-23T14:05:08Z Bocardodarapti 2041 1080867 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körpererweiterung {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | \Q[ \sqrt[3]{2}] || K | \subset |\R || || |SZ=. }} Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt[3]{2}] |\cong| \Z[X]/ {{makl| X^3-2 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom {{mathl|term= X^3-2 |SZ=}} über {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und reell| |ISZ=|ESZ= }} nicht zerfällt. Oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} liegt das einzige Primideal {{mathl|term= (X) |SZ=.}} Für eine ungerade Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 2 \mod 3 || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= p-1 |und|term2= 3 |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=Z| |SZ= }} und daher ist die dritte Potenz {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| p |}} | {{op:Zmod| p |}} | z |z^3 |SZ=, }} eine Bijektion. Insbesondere besitzt die {{math|term= 2 |SZ=}} eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel {{math|term= a |SZ=}} und es gibt eine Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | X^3-2 || {{makl| X-a |}} {{makl| X^2+bX+c |}} || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=,}} wobei der hintere Faktor {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} ist. Deshalb liegen über {{math|term= (p) |SZ=}} in der Erweiterung {{ Relationskette | \Z | \subseteq | \Z[ \sqrt[3]{2}] || || || |SZ= }} zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und andererseits {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^2|}} |SZ=}} ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette/display | 3^3 || 2 \mod 5 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |X^3-2 || X^3+3 || {{makl| X+2 |}} {{makl| X^2 + 3X + 4 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/handlinks | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 5 |}} || \Z[X]/(X^3-2) {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| 5 |}} || {{op:Zmod| 5 |}} [X]/ {{makl| X^3-2 |}} || {{op:Zmod| 5 |}} [X] /(X+2) \times {{op:Zmod| 5 |}} [X]/ {{makl| X^2 + 3X + 4 |}} |\cong| {{op:Zmod| 5 |}} \times {{op:Endlicher Körper|25|}} |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | p || 1 \mod 3 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= p-1 |SZ=}} und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} Wenn die {{math|term= 2 |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 7 |}} |SZ=}} sind. Wenn die {{math|term= 2 |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit {{math|term= p^3 |SZ=}} Elementen ist. Es sei {{ Relationskette |p || 7 || || || |SZ=. }} Dritte Einheitswurzeln sind {{math|term= 1,2,4 |SZ=.}} Die andere dritte Potenz ist {{ Relationskette/display | 6 || 3^3 || 5^3 || 6^3 || |SZ=. }} D.h. {{math|term= 2 |SZ=}} ist keine dritte Potenz und {{mathl|term= {{op:Zmod| 7 |}}[X]/ {{makl| X^3-2 |}} |SZ=}} ist ein Körper mit {{math|term= 243 |SZ=}} Elementen. Es sei {{ Relationskette | p || 13 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 3, 9 |SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=12, 8=2^3, 5=11^3 |SZ=,}} die {{math|term= 2 |SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Es sei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 7, 11 |SZ=.}} Die weiteren dritten Potenzen sind {{mathl|term= -1=18, 8=2^3, 7=4^3, 11= 5^3, 12= 10^3 |SZ=,}} die {{math|term= 2 |SZ=}} ist also wieder keine dritte Potenz. Es sei {{ Relationskette | p || 31 || || || |SZ=. }} Die dritten Einheitswurzeln sind {{math|term= 1, 5, 25 |SZ=.}} Hier ist {{ Relationskette/display | 2 || 4^3 || 20^3 || 7^3 || |SZ=. }} D.h. es ist {{ Relationskette/align | \Z[ \sqrt[3]{2}] {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|31|}} || \Z[ X]/(X^3-2) {{tensor|\Z}} {{op:Zmod|31|}} || {{op:Zmod|31|}} [ X]/ {{makl| X^3-2 |}} || {{op:Zmod|31|}} [ X]/(X-4) (X-7) (X-20) |\cong| {{op:Zmod|31|}} \times {{op:Zmod|31|}} \times {{op:Zmod|31|}} |SZ=, }} die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|31|}} |SZ=}} besitzen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5bnbev5dbq8vq3eexnu1vv7fs1vtos 0 121142 1080889 1045753 2026-05-23T15:27:13Z Bocardodarapti 2041 1080889 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f | \in | S || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette/display | 0 || f^n +r_{n-1}f^{n-1} {{plusdots|}} r_2f^2+r_1f+r_0 || || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Ganzheitsgleichung| |Kontext=| |SZ= }} für {{math|term= f |SZ=}} über {{math|term= R |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/align/handlinks |0 || \sigma {{makl| f^n +r_{n-1}f^{n-1} {{plusdots|}} r_2f^2+r_1f+r_0 |}} || \sigma(f)^n +\sigma {{makl| r_{n-1} |}} \sigma (f)^{n-1} {{plusdots|}} \sigma {{makl| r_2 |}} \sigma(f)^2+\sigma {{makl| r_1 |}} \sigma(f)+\sigma(r_0) || \sigma(f)^n +r_{n-1} \sigma(f)^{n-1} {{plusdots|}} r_2\sigma (f)^2 +r_1 \sigma(f)+r_0 || || |SZ= }} und somit erfüllt auch {{math|term= \sigma(f) |SZ=}} eine Ganzheitsgleichung über {{math|term= R |SZ=,}} also {{ Relationskette | \sigma(f) | \in | S || || || |SZ=. }} Deshalb lässt sich {{math|term= \sigma|SZ=}} zu einer Abbildung von {{math|term= S |SZ=}} nach {{math|term= S |SZ=}} einschränken. Die Gleichheit {{ Relationskette | S \cap K || R || || || |SZ= }} ist klar, da {{math|term= R |SZ=}} als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist {{ Relationskette/display | S^G | \subseteq | S \cap L^G || S \cap K || R || |SZ=, }} die umgekehrte Inklusion {{ Relationskette | R | \subseteq | S^G || || || |SZ= }} ist klar. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ge8p8ui8oi0lvg437qts5nq12in9ucy 0 121150 1080896 1046326 2026-05-23T16:37:00Z Bocardodarapti 2041 1080896 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} mit {{math|term= q-1 |SZ=}} Elementen, das {{math|term= n |SZ=-}}te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum {{math|term= n |SZ=-}}ten Multiplizieren, {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod|q-1|}} | {{op:Zmod|q-1|}} | y |ny |SZ=. }} Die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn {{math|term= n |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= q-1 |SZ=}} ist, so sei {{ Relationskette | q-1 || na || || || |SZ=. }} In diesem Fall sind {{mathl|term= 0, a, 2a {{kommadots|}} (n-1)a |SZ=}} die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von {{math|term= {{op:Zmod|q-1|}} |SZ=}} einen Erzeuger {{math|term= a |SZ=,}} der ein Teiler von {{math|term= q-1 |SZ=}} ist. Wenn der Kern aus {{math|term= n |SZ=}} Elementen besteht, so ist {{ Relationskette | an || q-1 || || || |SZ=, }} was die andere Implikation beweist. Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von {{math|term= X^n-1 |SZ=}} ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}}[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=}} der Faserring über {{math|term= (q) |SZ=}} ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion| n |}} |SZ=}} besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre {{math|term= q |SZ=}} verzweigt in {{math|term= R_n |SZ=,}} so wäre {{math|term= q |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} sagen wir {{ Relationskette | n || qc || || || |SZ=, }} und dann wäre {{ Relationskette/display | X^n-1 || {{makl| X^c -1 |}}^q || || || |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen. Von (7) nach (3). Zunächst ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} d.h. {{math|term= q |SZ=}} ist eine Einheit in {{math|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es sei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung von {{math|term= q |SZ=}} in {{math|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} ||}} |SZ=.}} Dann gibt es in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} verschiedene {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle {{math|term= \zeta|SZ=}} des Kreisteilungspolynoms {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} Dessen Potenzen durchlaufen in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} gehören, ist {{ Relationskette | f || 1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wbd0q2pi8zgtf3y7nphl5te0tvp6xt 0 121230 1080886 1037481 2026-05-23T15:21:47Z Bocardodarapti 2041 1080886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Relationskette | \R[X] | \subset | {{CC|}} [X] || || || |SZ=. }} Auf der Ebene der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} liegt die {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Funktionenkörper| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette | \R(X) | \subset | {{CC}}(X) || || || |SZ= }} vor, und {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \R[X] |SZ=}} in {{math|term= {{CC}}(X) |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \neq 0 |SZ=}} von {{math|term= \R[X] |SZ=}} sind von der Form {{math|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a | \in | \R || || || |SZ= }} oder von der Form {{mathl|term= {{makl| X^2+bX+c |}} |SZ=}} mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Die Primideale in {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} sind alle von der Form {{math|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} In der Erweiterung liegt über dem Primideal {{math|term= (X-a) |SZ=}} das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also {{ Definitionslink |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 1 |SZ=}} und die Restekörpererweiterung ist {{ Relationskette | \R | \subset | {{CC|}} || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 2 |SZ=.}} Zu einem Primideal {{mathl|term= {{makl| X^2+bX+c |}} |SZ=}} zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien {{ mathkor|term1= z |und|term2= {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |SZ= }} die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} gilt die Idealzerlegung {{ Relationskette | {{makl| X^2+bX+c |}} || {{makl| X-z |}} {{makl| X- {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}} || || || |SZ=. }} Die Verzweigungsordnungen sind also {{math|term= 1 |SZ=}} und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also {{math|term= 1 |SZ=.}} Diese Primideale sind {{ Definitionslink |voll zerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über C |Kategorie3=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie4=Theorie der Körpererweiterung R in C |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdy9xdwvfsn9rmqisikheupfp671caa 0 121375 1080888 1073690 2026-05-23T15:24:57Z Bocardodarapti 2041 1080888 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in |\Z || || || |SZ= }} verschiedene quadratfreie Zahlen, sei {{ Relationskette/display | \Q | \subset | L || \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und sei {{ Relationskette/display | T || \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] | \subseteq | S || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=,}} wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen {{ mathkor|term1= T |und|term2= S |SZ= }} irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Der beschreibende Ring ist {{ Relationskette/display/druckalign | T {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Primzahlen {{math|term= \geq 3 |SZ=,}} die weder {{ mathkor|term1= a |noch|term2= b |SZ= }} teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind. Wenn {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für {{math|term= b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ist, sagen wir {{ Relationskette/display | a || r^2 || (-r)^2 || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| (X-r)(X+r) ,Y^2-b |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} [X]/((X-r)(X+r)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Identifizierung durch {{mathl|term= X \mapsto (r, -r ) |SZ=}} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und {{math|term= (p) |SZ=}} zerfällt in {{math|term= T |SZ=}} und dann auch in {{math|term= S |SZ=}} in zumindest zwei Primideale. Wenn hingegen sowohl {{ mathkor|term1= a |als auch|term2= b |SZ= }} Nichtquadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind, so ist das Produkt {{math|term= ab |SZ=}} ein Quadrat, sagen wir {{ Relationskette | ab || s^2 || (-s)^2 || || |SZ=. }} Dann gelten, da ja {{math|term= a |SZ=}} eine Einheit ist, in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X,Y] |SZ=}} die Idealgleichheiten {{ Relationskette/align | {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-ab |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, X^2Y^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, (XY-s)(XY-s) |}} |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/(X^2-a, (XY-s)(XY-s)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/(XY-s)(XY-s) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/ {{makl| Y- {{op:Bruch| s | X}} |}} {{makl| Y-{{op:Bruch| s | X}} |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} || || |SZ=, }} es liegt also wieder ein Produktring vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dmtiyygomkqcwwgj6o50e37thvkv4j 0 123847 1080906 1037724 2026-05-23T16:50:41Z Bocardodarapti 2041 1080906 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In {{math|term= \Z[\sqrt{2}] |SZ=}} ist wegen {{ Relationskette/display | {{makl| 1 + \sqrt{2} |}} {{makl| 1 - \sqrt{2} |}} || 1-2 || -1 || || |SZ= }} das Element {{mathl|term= 1 + \sqrt{2} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt |Nr= |SZ= }} handelt es sich um die eindeutig bestimmte Fundamentaleinheit {{math|term= > 1 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11ezvenfcy6rwai2kldde5dbmifloe1 0 123976 1080908 1038636 2026-05-23T16:51:44Z Bocardodarapti 2041 1080908 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | R || \Z[ \sqrt[3]{2}] || || || |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= 3 |SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| 1- \sqrt[3]{2} |}} {{makl| 1+ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}^2 |}} || 1 - \sqrt[3]{2}^3 || 1-2 || -1 || |SZ=. }} d.h. das Element {{mathl|term= 1- \sqrt[3]{2} |SZ=}} ist eine Einheit, und zwar keine Einheitswurzel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie4=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ayguna0udnqx1vgac444v5066hejrb3 0 123984 1080901 1038663 2026-05-23T16:42:30Z Bocardodarapti 2041 1080901 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subset |\Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || K || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | \alpha | \in |\R || || || |SZ= }} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^3-3X+1 |SZ=,}} so sind auch {{ mathkor|term1= \beta= \alpha^2 -2 |und|term2= \gamma= - \alpha^2 - \alpha + 2 |SZ= }} Nullstellen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der {{math|term= \alpha |SZ=}} auf {{math|term= \alpha^2-2 |SZ=}} abbildet, schickt {{math|term= \alpha^2 |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha^2-2 |}}^2 || \alpha^4-4\alpha^2+4 || 3 \alpha^2- \alpha -4\alpha^2+4 || - \alpha^2- \alpha+4 || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | R || \Z + \Z \alpha + \Z \alpha^2 || || || |SZ= }} wird die gesamte Gitterabbildung durch {{ Abbildung/display |name= | R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha+c \alpha^2 | {{op:Spaltenvektor| a+b \alpha+c \alpha^2 | a+b (\alpha^2-2)+c(- \alpha^2- \alpha+4) | a+b(- \alpha^2-\alpha+2) + c( \alpha+2) |}} |SZ=, }} gegeben. Die Basis {{math|term= 1, \alpha, \alpha^2 |SZ=}} wird auf die Gitterbasis {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 |1|1}} , {{op:Spaltenvektor| \alpha | \alpha^2-2 | - \alpha^2- \alpha+4}} , {{op:Spaltenvektor| \alpha^2 | - \alpha^2- \alpha + 4 |\alpha+2 |}} |SZ= }} abgebildet. Wenn man {{math|term= 1, \alpha, \beta |SZ=}} als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch {{ Abbildung/display |name= |R \cong \Z^3 | \R^3 | a+b \alpha +d \beta | {{op:Spaltenvektor|a+b \alpha+d \beta | a+b \beta + d {{makl| - \alpha- \beta |}} | a+b {{makl| -\alpha - \beta |}} + d \alpha|}} |SZ=, }} beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 1 | 1 }} , {{op:Spaltenvektor| \alpha | \beta | - \alpha- \beta }} , {{op:Spaltenvektor| \beta | - \alpha - \beta | \alpha | }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byqd9djj4983gm9jx75pfbu5v9sbcq9 0 123988 1080905 1073705 2026-05-23T16:49:09Z Bocardodarapti 2041 1080905 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir knüpfen an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} an, also {{ Relationskette/druckdisplay | R || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} Unter der {{ Definitionslink |logarithmischen Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} wird das Ringelement {{mathl|term= a + b\alpha +c \alpha^2 |SZ=}} auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \alpha+c \alpha^2 |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| \alpha^2-2 |}} +c {{makl| - \alpha^2- \alpha+4 |}} |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| - \alpha^2-\alpha+2 |}} + c {{makl| \alpha+2 |}} |}} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{mathl|term= a + b\alpha + d \beta|SZ=}} auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \alpha+d \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b \beta +d {{makl| - \alpha- \beta |}} |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a+b {{makl| -\alpha - \beta |}} + d \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} abgebildet. Die Einheiten {{math|term= \alpha |SZ=}} bzw. {{math|term= \beta |SZ=}} werden auf {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| -\alpha - \beta }} |}} |}} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| - \alpha- \beta |}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| \alpha|}} |}} |}} |SZ= }} und diese Vektoren liegen auf der durch {{ Relationskette | x+y+z || 0 || || || |SZ= }} definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} zeigen. Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr {{ Math/display|term= \alpha \sim 1,532, \,\, \beta \sim 0,347,\,\, \gamma \sim -1,879 |SZ=. }} Die Determinante der oberen {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Untermatrix ist ungefähr {{ Relationskette/align | {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha |}} |}} {{op:ln| {{op:Betrag|\alpha + \beta |}} |}} - {{op:ln(| {{op:Betrag| \beta |}} |}}^2 | \sim | 0,426 \cdot 0, 631 - (-1.058)^2 | \sim | 0,89 |\neq|0 || |SZ=. }} Die Bilder der beiden Einheiten {{ mathkor|term1= \alpha |und|term2= \beta |SZ= }} sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in {{math|term= R |SZ=}} keine Beziehung der Form {{ Relationskette/display | \alpha^m || \beta^n || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | (m,n) | \neq | (0,0) || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2=Theorie der kubischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ml4n1kqcmxgj0gwyw3ubv7kotlh1y1q 0 123996 1080903 1073704 2026-05-23T16:46:55Z Bocardodarapti 2041 1080903 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Definitionslink |quadratfreiem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | D | \geq |2 || || || |SZ= }} und zugehörigem {{ Definitionslink |reell-quadrati{{drucktrenn}}schen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A_D |SZ=}} mit der Gitterrealisierung {{ Abbildung/display |name= |A_D| \R^2 | (a+b \sqrt{D})| {{op:Spaltenvektor|a+b \sqrt{D}|a - b \sqrt{D} }} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist die {{ Definitionslink |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= | A_D \setminus \{0\} | \R \times \R | {{makl| a+b \sqrt{ D } |}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag| a +b \sqrt{ D } ||}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| A_D }} | \R \times \R | {{makl| a+b \sqrt{ D } |}} | {{op:Spaltenvektor| {{op:ln| {{op:Betrag|a +b \sqrt{ D }||}} |}} | {{op:ln| {{op:Betrag| a -b \sqrt{ D } }} |}} }} |SZ=, }} wobei das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} oder direkt| |ISZ=|ESZ= }} auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= | {{makl| {{op:Einheiten| A_D }}, \cdot, 1 |}} | {{makl| \R,+,0 |}} || |SZ= }} vor. Der Kern besteht aus {{mathl|term= \{1,-1\} |SZ=}} und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von {{math|term= \R |SZ=.}} {{{zusatz1|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie3=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} id80vvcpvrbbh3hc5o2gwm9gdbi3k0x 0 124016 1080907 1037727 2026-05-23T16:51:14Z Bocardodarapti 2041 1080907 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir suchen in {{math|term= \Z[\sqrt{3}] |SZ=}} gemäß {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Auffinden/Bemerkung |Nr= |SZ= }} nach der Fundamentaleinheit, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir nur {{mathl|term= a+b \sqrt{3} |SZ=}} mit ganzzahligen {{ Relationskette | a,b | \geq |1 || || || |SZ= }} überprüfen, ob {{ Relationskette/display | N {{makl| a+b \sqrt{3} |}} || a^2-3b^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} gilt. Für {{ Relationskette | a || 1 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung, und bei {{ Relationskette | a || 2 || || || |SZ= }} ist mit {{ Relationskette | b || 1 || || || |SZ= }} eine Lösung gefunden. Somit ist {{math|term= 2 + \sqrt{3} |SZ=}} die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von {{math|term= 1 |SZ=}} sind {{ Relationskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^2 || 7+ 4 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{makl| 2 + \sqrt{3} |}}^3 || 26+ 15 \sqrt{3} || || || |SZ=, }} u.s.w. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(3)) |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jl6mvaq7oficp8kya0ot8gl26lsplqm 0 124154 1080873 1046335 2026-05-23T14:56:02Z Bocardodarapti 2041 1080873 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen {{ Relationskette/display |S | {{defeq|}} | \Z[\zeta] |\cong|\Z[Y]/ {{makl| Y^{p-1}+ Y^{p-2} {{plusdots}} Y^2+Y+1 |}} | \subseteq | R_p | \subseteq | {{CC|}} || |SZ=. }} Das {{math|term= p |SZ=-}}te Kreisteilungspolynom zerfällt {{ Relationskette/display | X^{p-1} +X^{p-2} {{plusdots|}} X^2 +X+1 || \prod_{k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| X- \zeta^k |}} || || || |SZ=, }} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und auch über {{math|term= S |SZ=.}} Für {{ Relationskette | X || 1 || || || |SZ= }} ergibt sich speziell die Gleichung {{ Relationskette/display | p || \prod_{k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| 1- \zeta^k |}} || || || |SZ=. }} Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1-\zeta^k | 1- \zeta }} || 1+ \zeta + \zeta^2 {{plusdots}} \zeta^{k-1} || || || |SZ= }} und dieses Element gehört zu {{math|term= S |SZ=.}} Da {{math|term= k |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p-1 |SZ= }} ist, gibt es jeweils ein {{math|term= \ell |SZ=}} mit {{ Relationskette | k \cdot \ell || 1 \mod p || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | \zeta^p || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | {{op:Bruch|1-\zeta|1- \zeta^k}} || {{op:Bruch|1-\zeta^{k \ell}|1- \zeta^k}} || {{op:Bruch|1- {{makl| \zeta^{k} |}}^\ell|1- \zeta^k}} || 1+ \zeta^k + {{makl| \zeta^{k} |}}^2 {{plusdots}} {{makl| \zeta^k |}}^{\ell -1} || |SZ= }} gehört dieses Element ebenfalls zu {{math|term= S |SZ=,}} d.h. die Elemente {{mathl|term= {{op:Bruch| 1-\zeta^k | 1- \zeta }} |SZ=}} sind Einheiten in {{math|term= S |SZ=.}} Deshalb ist {{ Relationskette/display | p || \prod_{k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| 1- \zeta^k |}} || \prod_{k {{=}} 1}^{p-1} {{op:Bruch| 1- \zeta^k | 1-\zeta }} {{makl| 1-\zeta |}} || u \cdot {{makl| 1-\zeta |}}^{p-1} |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} aus {{math|term= S |SZ=.}} Deshalb gilt in {{math|term= S |SZ=}} und damit auch im ganzen Abschluss {{math|term= R_p |SZ=}} die Idealgleichheit {{ Relationskette | (p) || {{makl| {{makl| 1- \zeta |}}^{p-1} |}} || || || |SZ=. }} Im ganzen Abschluss liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Idealzerlegung {{ Relationskette/display | (1- \zeta) || {{idealp}}_1 \cdots {{idealp}}_r || || || |SZ= }} vor und daher gilt dort {{ Relationskette/display | (p) || {{makl| {{makl| 1- \zeta |}}^{p-1} |}} || {{idealp}}_1^{p-1} \cdots {{idealp}}_r^{p-1} || || |SZ=. }} Da der Grad der Erweiterung gleich {{math|term= p-1 |SZ=}} ist, folgt direkt {{ Relationskette | r || 1 || || || |SZ= }} und somit, dass {{mathl|term= (1- \zeta) |SZ=}} ein Primideal ist, und zwar das einzige über {{math|term= (p) |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io4ymdla9tqjb3kcydzfomkd8m7lofh 0 124161 1080876 1046308 2026-05-23T15:02:00Z Bocardodarapti 2041 1080876 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || X^{p-1} +X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 || {{makl| X- \zeta |}} {{makl| X- \zeta^2 |}} \cdots {{makl| X-\zeta^{p-1} |}} || || || |SZ=. }} Es ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Potenzbasis/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | \triangle {{makl| 1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} |}} || \prod_{0 \leq i < j \leq p-2 } (\zeta^i - \zeta^j )^2 || \pm \prod_{0 \leq i , j \leq p-2, \, i \neq j } {{makl| \zeta^i - \zeta^j |}} || || |SZ=. }} Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen {{ mathkor|term1= 1,\zeta, \zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} |und|term2= \zeta, \zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2}, \zeta^{p-1} |SZ= }} betrachtet, so ist deren Determinante gleich {{math|term= \pm 1 |SZ=}} und deshalb kann man {{ Faktlink |Präwort=wegen||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} genauso gut {{mathl|term= \pm \prod_{1 \leq i , j \leq p-1, \, i \neq j } {{makl| \zeta^i - \zeta^j |}} |SZ=}} berechnen. Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} |SZ=}} ist nach der Produktregel gleich {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 1}^{p-1} (X- \zeta) {{makl| X- \zeta^2 |}} \cdots (X-\zeta^{p-1})/ {{makl| X- \zeta^k |}} |SZ=. }} Wenn man darin {{ mathbed|term= \zeta^i ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} p-1 ||bedterm2= |SZ=, }} einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für {{ Relationskette | k || i || || || |SZ= }} zu {{math|term= 0 |SZ=,}} und der verbleibende Summand ist {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta^i |}} || \prod_{1 \leq j \leq p-1, \, j \neq i } {{makl| \zeta^i- \zeta^j |}} || || || |SZ=. }} Somit ist die Diskriminante gleich {{ Relationskette/display | \pm \prod_{ i {{=}} 1}^{p-1} {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta^i |}} || \pm \prod_{ \varphi } {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \varphi {{makl| \zeta |}} |}} || \pm \prod_{ \varphi } \varphi {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta |}} |}} || \pm N {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta |}} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \varphi |SZ=}} die Galoisgruppe durchläuft und {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |SZ= }} verwendet wurde. Aufgrund von {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || || || |SZ= }} gilt für die Ableitung auch die Beziehung {{ Relationskette/display | pX^{p-1} || (X-1) {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' - {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || || || |SZ=. }} Wenn man darin {{math|term= \zeta |SZ=}} einsetzt, so erhält man {{ Relationskette/display | p \zeta^{p-1} || p \zeta^{-1} || (\zeta-1) {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) || p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1} || || || |SZ=. }} Die Norm von {{math|term= \zeta -1 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display |N( \zeta -1) || \prod_{ k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| \zeta^k -1 |}} || \pm {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} (1) || \pm p || |SZ=. }} Deshalb ist die Diskriminante nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align | \pm N {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) |}} || \pm N {{makl| p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1} |}} || \pm N ( p ) N {{makl| \zeta^{-1} |}} N {{makl| (\zeta-1)^{-1} |}} || \pm p^{p-1} \cdot {{op:Bruch| 1 |p}} || \pm p^{p-2} || |SZ= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onz3a655iaj88r38l62ar364qwybf5p 0 124178 1080911 1044487 2026-05-23T16:58:22Z Bocardodarapti 2041 1080911 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= B |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Ortsuniformisierender| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} und sei {{ Relationskette | F | \in | B[X] || || || |SZ= }} ein normiertes irreduzibles Polynom. Es sei {{ Relationskette | R || B[X]/(F) || || || |SZ=. }} |Voraussetzung=In der Zerlegung von {{math|term= F |SZ=}} in {{mathl|term= B/(p)[X] |SZ=}} in irreduzible Faktoren, {{ Relationskette | F || F_1 \cdots F_s || || || |SZ=, }} seien alle Faktoren einfach. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= B |SZ=}} in {{mathl|term= Q(B)[X]/(F) |SZ=}} und insbesondere {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkcsxqw418uabs0bv6e7q5i0vn05fga 0 124179 1080909 1044150 2026-05-23T16:54:02Z Bocardodarapti 2041 1080909 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können direkt annehmen, dass die {{math|term= F_i |SZ=}} zu {{math|term= B[X] |SZ=}} gehören. Die {{ Definitionslink |maximalen Ideale| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} sind {{mathl|term= {{makl| p,F_j |}} |SZ=}} für {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} s || || || |SZ=. }} Die Voraussetzung bedeutet für {{mathl|term= B[X] |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette | F_1 \cdots F_s || F +pH || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette/display | R || B[X]/(F) || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | F_1 \cdots F_s || pH || || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= F_i |und|term2= F_j |SZ= }} teilerfremd sind, sind die {{math|term= F_i |SZ=}} Einheiten in der {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_{ {{makl| p, F_j |}} } |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display | F_j || {{op:Bruch| H | F_1 \cdots F_{j-1} F_{j+1} \cdots F_s |}} \cdot p || || || |SZ=. }} D.h. in {{mathl|term= R_{ {{makl| p, F_j |}} } |SZ=}} ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger {{math|term= p |SZ=}} und daher liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |Nr= |SZ= }} ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist {{math|term= R |SZ=}} normal. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tb8yedocii8lb5g6lja763c0bg7mzu9 1080915 1080909 2026-05-24T11:25:34Z Bocardodarapti 2041 1080915 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können direkt annehmen, dass die {{math|term= F_i |SZ=}} zu {{math|term= B[X] |SZ=}} gehören. Die {{ Definitionslink |maximalen Ideale| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} sind {{mathl|term= {{makl| p, F_j |}} |SZ=}} für {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} s || || || |SZ=. }} Die Voraussetzung bedeutet für {{mathl|term= B[X] |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette | F_1 \cdots F_s || F +pH || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette | H | \in | B[X] || || || |SZ= }} und somit für {{ Relationskette/display | R || B[X]/(F) || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | F_1 \cdots F_s || pH || || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= F_i |und|term2= F_j |SZ= }} teilerfremd in {{mathl|term= B/(p)[X] |SZ=}} sind, sind die {{math|term= F_i |SZ=}} Einheiten in der {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_{ {{makl| p, F_j |}} } |SZ=}} und daher ist {{ Relationskette/display | F_j || {{op:Bruch| H | F_1 \cdots F_{j-1} F_{j+1} \cdots F_s |}} \cdot p || || || |SZ=. }} D.h. in {{mathl|term= R_{ {{makl| p, F_j |}} } |SZ=}} ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger {{math|term= p |SZ=}} und daher liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |Nr= |SZ= }} ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist {{math|term= R |SZ=}} normal als Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Normal/Durchschnitt von normalen Ringen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpayqmz4v3fw4039fh35o4yd3qujdih 0 124181 1080874 1046332 2026-05-23T14:56:45Z Bocardodarapti 2041 1080874 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen, dass {{ Relationskette/display | \Z[\zeta] |\cong| \Z[Y]/ {{makl| Y^{p-1} +Y^{p-2} {{plusdots|}} Y^2+Y+1 |}} || || || |SZ= }} bereits {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ= }} ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \Z[\zeta] |SZ=}} an jedem Primideal {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette/display | {{idealq|}} \cap \Z || (q) || || || |SZ= }} mit einer Primzahl {{math|term= q |SZ=}} und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob {{ Relationskette | q || p || || || |SZ= }} ist oder nicht. Bei {{ Relationskette | q || p || || || |SZ= }} zeigt {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{ Relationskette | {{idealq|}} || ( \zeta-1) || || || |SZ= }} ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei {{ Relationskette | q |\neq| p || || || |SZ= }} lokalisieren wir die Situation an {{math|term= (q) |SZ=.}} Da {{mathl|term= X^p-1 |SZ=}} und seine Ableitung {{mathl|term= pX^{p-1} |SZ=}} teilerfremd in {{mathl|term= \Z_{(q)}[X] |SZ=}} sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}}[X] |SZ=}} einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} diskrete Bewertungsringe. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} av4pe8tsz67reobib40694ha5e3kjnx 0 124255 1080883 1038651 2026-05-23T15:16:44Z Bocardodarapti 2041 1080883 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^p-p |}} || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R |\Z}} || R/ {{makl| px^{p-1} |}} dx || || || |SZ= }} und das annullierende Ideal ist {{ Relationskette/display | {{makl| px^{p-1} |}} || {{makl| x^{2p-1} |}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich {{math|term= p^{2p-1} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9177kwm2n49knp2cqzwcgbx5hl6bgcn 0 124262 1080866 1050237 2026-05-23T14:02:45Z Bocardodarapti 2041 1080866 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | q |\neq| \pm 1 \mod 9 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was bei {{ Relationskette |q || 2 \mod 3 || || || |SZ= }} stets der Fall ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |\Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-q |}} || || || |SZ= }} gleich {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^3-q |}} |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | q || 1,-1 \mod 9 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |z || {{op:Bruch|1 +qx+x^2|3}} || || || |SZ= }} ganz über {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^3-q |}} |SZ=}} mit dem Minimalpolynom {{ Relationskette/display | T^3 -T^2 + {{op:Bruch| 1-q^2 | 3 }} T - {{op:Bruch| {{makl| q^2-1 |}}^2 |27}} || 0 || || || |SZ=. }} In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, x, z |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} huxf896wmm7ugu2n2uddrgi0urzkmvs 0 124266 1080910 981811 2026-05-23T16:55:45Z Bocardodarapti 2041 1080910 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| || }} Die Beispielklasse {{math|term= \Z_{(2)}[X]/ {{makl| X^2-D |}} |SZ=,}} wo der Faserring immer einen mehrfachen Faktor besitzt, zeigt, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} keine notwendige Voraussetzung für die Normalität ist. Die Bedingung, dass in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= F |SZ=}} in {{mathl|term= B/(p)[X] |SZ=}} jeder Faktor einfach ist, kann man auch so formulieren, dass der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R/(p) || B[X]/(F,p) || B/(p)[X]/(F) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |reduziert| |Kontext=Ring| |SZ= }} ist. Bei {{ Relationskette | F || F_1^{r_1} \cdots F_s^{r_s} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= B/(p) [X] |SZ=}} gilt ja generell nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | B/(p)[X]/(F) || B/(p)[X]/ {{makl| F_1^{r_1}) {{timesdots}} B/(p)[X]/(F_s^{r_s} |}} || || || |SZ=, }} und dies ist genau dann reduziert, wenn jeder Komponentenring reduziert ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn jeder Komponentenring ein Körper ist, also genau bei {{ Relationskette | r_j || 1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=.}} Im Allgemeinen, wenn beispielsweise der Ring durch mehrere Variablen und Gleichungen beschrieben wird, ist die Beschreibung mit reduziert wichtiger, bei nur einer Gleichung lässt sich aber die Bedingung in {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} einfacher überprüfen. {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Z/Kubisches Polynom/Generisch normal/Explizit/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Z/Normiertes Polynom/Faserring/Faktorzerlegung/Idealprodukt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Z/Normiertes Polynom/Faserring/Reduziert/Idealprodukt/Fakt|Korollar|| }} Ohne die Voraussetzung reduziert ist die Aussage nicht richtig, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Wurzel -3/Eisensteinzahlen/Keine Produktzerlegung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Wir behandeln noch den Fall, wo die Algebra durch mehrere Variablen erzeugt wird. Dies ergibt auch einen weiteren Beweis für {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ojqecu84vq3hwriqv3f7t86r20spk71 1080912 1080910 2026-05-23T17:01:12Z Bocardodarapti 2041 1080912 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| || }} Die Beispielklasse {{mathl|term= \Z_{(2)}[X]/ {{makl| X^2-D |}} |SZ=,}} wo der Faserring immer einen mehrfachen Faktor besitzt, zeigt, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} keine notwendige Voraussetzung für die Normalität ist. 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Dies ergibt auch einen weiteren Beweis für {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t6tak2lrda1mn2yyajln35qir3uss6k 1080913 1080912 2026-05-23T17:02:58Z Bocardodarapti 2041 1080913 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| || }} Die Beispielklasse {{mathl|term= \Z_{(2)}[X]/ {{makl| X^2-D |}} |SZ=,}} wo der Faserring immer einen mehrfachen Faktor besitzt, zeigt, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} keine notwendige Voraussetzung für die Normalität ist. 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Dies ergibt auch einen weiteren Beweis für {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cvib1kzwtdt56g21i5ftmzkcpdklcqi 0 124269 1080881 1038648 2026-05-23T15:07:02Z Bocardodarapti 2041 1080881 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^p-p |}} || || || |SZ=. }} Für eine Primzahl {{ Relationskette | q |\neq| p || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= (q) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^p-p |}} |SZ=.}} Da {{math|term= p |SZ=}} eine Einheit in {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} ist, sind {{mathl|term= X^p-p |SZ=}} und die Ableitung {{mathl|term= pX^{p-1} |SZ=}} teilerfremd in {{math|term= {{op:Zmod| q |}} [X ] |SZ=}} und daher ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= \Z_p [X]/ {{makl| X^p-p |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Abbildung/display |name= | \Z_{(q)} | R_{{idealq}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} ein Primideal oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=}} bezeichnet, ist gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} Für {{ Relationskette | q || p || || || |SZ= }} ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} das Hauptideal {{math|term= (X ) |SZ=,}} die Verzweigungsordnung in {{math|term= p |SZ=}} ist gleich {{math|term= p |SZ=.}} Deshalb ist insgesamt {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette | \Q | \subset | \Q[X]/ {{makl| X^p-p |}} || || || |SZ=, }} und er ist nur im Punkt {{math|term= (p) |SZ=}} verzweigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00eam6g7hs0v724hohdwu0you6j4fog 0 124270 1080882 1038654 2026-05-23T15:08:48Z Bocardodarapti 2041 1080882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= p,q |SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^p-q |}} || || || |SZ=. }} Für eine Primzahl {{ Relationskette | r |\neq| p,q || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= (r) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| r |}} [X]/ {{makl| X^p-q |}} |SZ=.}} Da {{math|term= p |SZ=}} und {{math|term= q |SZ=}} Einheiten in {{math|term= {{op:Zmod| r |}} |SZ=}} sind, gilt {{ Relationskette/display | {{makl| X^p-q ,pX^{p-1} |}} || {{makl| X^p-q ,X^{p-1} |}} || {{makl| q ,X^{p-1} |}} || (q) || 1 |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| r |}} [X ] |SZ=,}} d.h. {{mathl|term= X^p-q |SZ=}} und die Ableitung {{mathl|term= pX^{p-1} |SZ=}} sind teilerfremd in {{math|term= {{op:Zmod| r |}} [X ] |SZ=}} und daher ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= \Z_r [X]/ {{makl| X^p-q |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Abbildung/display |name= | \Z_{(r)}| R_{{idealr}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{idealr}} |SZ=}} ein Primideal oberhalb von {{math|term= (r) |SZ=}} bezeichnet, ist gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} Für {{ Relationskette |r || q || || || |SZ= }} ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=}} das Hauptideal {{math|term= (X) |SZ=,}} die Verzweigungsordnung in {{math|term= q |SZ=}} ist gleich {{math|term= p |SZ=.}} Für {{ Relationskette | r || p || || || |SZ= }} ist der Faserring gleich {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^p-q |}} || {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X-q |}}^p || || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} ist also {{mathl|term= {{makl| X-q,p |}} |SZ=,}} was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring {{math|term= R |SZ=}} ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5gqagiy2nhwo4qec9hl27qdy5io2y0 0 124292 1080868 1038633 2026-05-23T14:06:10Z Bocardodarapti 2041 1080868 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-17 |}} || || || |SZ=, }} dieser besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Beschreibung {{ Relationskette/display |R || \Z[x,z] | \subseteq | \Q[X] {{makl| X^3-17 |}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | z || {{op:Bruch|1 +17 x+x^2|3}} || || || |SZ= }} und wobei {{math|term= z |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | T^3-T^2 -96T -3072 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 17 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jaqiipnrfle8hg722sz9criywuqlx9z 0 124298 1080925 1044146 2026-05-24T11:44:23Z Bocardodarapti 2041 1080925 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=Wir betrachten die endliche Erweiterung {{ Relationskette/display |R || B[h] | \subseteq | S || || |SZ=, }} die als identisch nachzuweisen ist. Es ist {{ Relationskette | {{idealm|}} || B[h] \cap {{idealq}} || || || |SZ= }} das maximale Ideal von {{math|term= B[h] |SZ=,}} der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist {{ Relationskette | {{idealm|}} S || hS || {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display | B[h] + h S || S || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |f | \in | S || || || |SZ= }} gilt ja im Restekörper {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | \overline{f} || \overline{P}( \overline{h}) || || || |SZ= }} mit einem Polynom {{math|term= \overline{P} |SZ=}} über {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |SZ=.}} In {{math|term= S |SZ=}} gilt deshalb {{ Relationskette/display | f || P(h) + h g || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g | \in | S || || || |SZ=. }} Die endlichen {{math|term= R |SZ=-}}Moduln {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || || |SZ= }} erfüllen also {{ Relationskette | R+ {{ideaml}} S || S || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermodul/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt {{ Relationskette | R || S || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2jrs3a4xt0e8krcvrb9710x7m78j7h 1080926 1080925 2026-05-24T11:44:50Z Bocardodarapti 2041 1080926 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=Wir betrachten die endliche Erweiterung {{ Relationskette/display |R || B[h] | \subseteq | S || || |SZ=, }} die als identisch nachzuweisen ist. Es ist {{ Relationskette | {{idealm|}} || B[h] \cap {{idealq}} || || || |SZ= }} das maximale Ideal von {{math|term= B[h] |SZ=,}} der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist {{ Relationskette | {{idealm}} S || hS || {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display | B[h] + h S || S || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |f | \in | S || || || |SZ= }} gilt ja im Restekörper {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | \overline{f} || \overline{P}( \overline{h}) || || || |SZ= }} mit einem Polynom {{math|term= \overline{P} |SZ=}} über {{math|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |SZ=.}} In {{math|term= S |SZ=}} gilt deshalb {{ Relationskette/display | f || P(h) + h g || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g | \in | S || || || |SZ=. }} Die endlichen {{math|term= R |SZ=-}}Moduln {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || || |SZ= }} erfüllen also {{ Relationskette | R + {{idealm}} S || S || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermodul/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt {{ Relationskette | R || S || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr6zlsv4ff8bbcy6ttiz3feyyb3rp2f 0 124299 1080863 1073647 2026-05-23T13:58:26Z Bocardodarapti 2041 1080863 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die biquadratische Erweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-7, Y^2-19 |}} || || || |SZ=. }} Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form {{math|term= \Z[W]/(F) |SZ=}} schreiben. Modulo {{math|term= (3) |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display/drucklinks | {{op:Zmod| 3 |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-7, Y^2-19 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-1, Y^2-1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} || || |SZ=, }} er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=.}} Ein Ring der Form {{mathl|term= {{op:Zmod| 3 |}} [W]/(F) |SZ=}} kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} besitzen, da es in {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung {{mathl|term= \Z_{(3)} |SZ=}} mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie3=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9yzexs7c67n65fbogzw8mfrqzi87853 1080927 1080863 2026-05-24T11:45:37Z Bocardodarapti 2041 1080927 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die biquadratische Erweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-7, Y^2-19 |}} || || || |SZ=. }} Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form {{mathl|term= \Z[W]/(F) |SZ=}} schreiben. Modulo {{math|term= (3) |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display/drucklinks | {{op:Zmod| 3 |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-7, Y^2-19 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-1, Y^2-1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} || || |SZ=, }} er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=.}} Ein Ring der Form {{mathl|term= {{op:Zmod| 3 |}} [W]/(F) |SZ=}} kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} besitzen, da es in {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung {{mathl|term= \Z_{(3)} |SZ=}} mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie3=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eusx9m38dz2y8vgjz2o0nq267f0hrba 0 124321 1080878 1037646 2026-05-23T15:03:47Z Bocardodarapti 2041 1080878 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | K[Y] | K[X] | Y | X^n |SZ=, }} zu {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=, }} der der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x |x^n {{=|}} y |SZ= }} entspricht. Zu einem maximalen Ideal {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} (X-a) || {{makl| Y-a^n |}} || || || |SZ=, }} und oberhalb von {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} liegen die maximalen Ideale {{math|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a^n || b || || || |SZ=. }} Dies ist die idealtheoretische Interpretation der {{math|term= n |SZ=-}}ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen {{ Abbildung/display |name= | K[Y]_{(Y-b)} | K[X]_{(X-a)} | Y | X^n |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsringen| |Kontext=| |SZ= }} vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende {{math|term= (Y-b) |SZ=}} auf {{ Relationskette/display/handlinks | X^n-b || X^n-a^n || (X-a) {{makl| X^{n-1} + X^{n-2} a^1 {{plusdots|}} Xa^{n-2} +a^{n-1} |}} || || |SZ= }} abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für {{math|term= X |SZ=}} die Zahl {{math|term= a |SZ=}} einsetzt, zu {{math|term= na^{n-1} |SZ=.}} Wenn {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= a |SZ=}} beide Einheiten in {{math|term= K |SZ=}} sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in {{mathl|term= K[X]_{(X-a)} |SZ=}} und daher ist die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{math|term= 1 |SZ=,}} es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen {{math|term= n |SZ=}} keine Einheit ist, wenn also die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn {{ Relationskette | n || p || || || |SZ= }} die positive Charakteristik ist, so ist {{ Relationskette || X^p-a^p || (X-a)^p || || || |SZ= }} und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich {{math|term= p |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich {{math|term= n |SZ=}} im Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxck4bskrt2apcyw9us81ktnc17sej3 0 124327 1080879 1037721 2026-05-23T15:05:07Z Bocardodarapti 2041 1080879 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} Zahl {{math|term= \neq 0,1 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Restklassenbeschreibung {{ Relationskette |A_D || \Z[X]/ {{makl| X^2-D |}} || || || |SZ= }} besitzt. Die Ableitung von {{ Relationskette/display | F || X^2-D || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= 2X |SZ=}} und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} das Ideal {{mathl|term= {{makl| 2X,X^2-D |}} |SZ=}} zu betrachten. Wenn {{ Relationskette | p | \neq | 2 || || || |SZ= }} und kein Teiler von {{math|term= D |SZ=}} ist, so ist dies über {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn {{math|term= p |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= D |SZ=}} oder {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung {{math|term= 2 |SZ=}} vor. Bei {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette | A_D || \Z[Y]/ {{makl| Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1|4}} |}} || || || |SZ=. }} Die Ableitung ist {{mathl|term= 2Y-1 |SZ=.}} Oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} findet keine Verzweigung statt. Es sei also {{ Relationskette | p | \neq | 2 || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| Y^2 - Y - {{op:Bruch|D-1|4}}, 2Y-1 |}} || {{makl| 4Y^2 -4 Y - D+1, 2Y-1 |}} || 1-2 -D +1 || D || |SZ=. }} Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von {{math|term= D |SZ=}} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5buh038vh8s16p8t66vbkvttreu4ybg 0 124347 1080880 1037469 2026-05-23T15:05:49Z Bocardodarapti 2041 1080880 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | p | > | 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Relationskette/display |K(t)[Y] | \subseteq | K(t) [Y] [X]/ {{makl| X^p-t |}} || K(t) [X]/ {{makl| X^p-t |}} [Y] |\cong| K(x) [Y] || || |SZ=, }} die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| X^p-t |}}' || pX^{p-1} || 0 || || |SZ=, }} deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist {{ Abbildung/display |name= | K(t)[Y]_{(Y)} | K(x) [Y]_{(Y)} || |SZ= }} {{ Definitionslink |unverzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ=, }} da {{math|term= Y |SZ=}} in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in positiver Charakteristik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqqwa6syad6dzhsxu67dtxjt8fmzur3 0 124413 1080857 1043762 2026-05-23T12:08:25Z Bocardodarapti 2041 1080857 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir gehen von der Zuordnung aus, die jedem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} S |SZ=}} zuordnet, das ebenfalls von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Diese Zuordnung ist mit dem {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Ideal| |SZ= }} von Idealen verträglich. Deshalb liegt ein {{ Definitionslink |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} zwischen den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen vor. Ein {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} kann man nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Idealdarstellung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} in der Form {{mathl|term= {{ideala}} {{idealb}}^{-1} |SZ=}} mit Idealen {{math|term= {{ideala|}}, {{idealb|}} |SZ=}} schreiben und diesem das gebrochene Ideal {{mathl|term= {{ideala}}S ( {{idealb|}} S)^{-1} |SZ=}} zuordnen. Dies ist wohldefiniert und so erhält man einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der gebrochenen Ideale {{math|term= \neq 0 |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in die Gruppe der gebrochenen Ideale {{math|term= \neq 0 |SZ=}} von {{math|term= S |SZ=.}} Das Erweiterungsideal eines Hauptideals ist wieder ein Hauptideal, und deshalb werden gebrochene Hauptideale auf gebrochene Hauptideale abgebildet. {{ Faktlink |Präwort=Der|Satz vom induzierten Homomorphismus|Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt somit einen Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} | {{op:Divisorenklassengruppe| S |}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} niosa1l3dq4m7tsiwfyhfux3uynsdm5 0 126458 1080885 1049127 2026-05-23T15:18:55Z Bocardodarapti 2041 1080885 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{math|term= A |SZ=}} reduziert ist, so liegt eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K | \subseteq | A || || || |SZ= }} vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers {{ Definitionslink |separabel| |Kontext=| |SZ= }} ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir {{ Relationskette | A || K[x] || K[X]/(F) || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} erzeugen {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} das {{ Definitionslink |Einheitsideal| |Kontext=| |SZ= }} und somit folgt aus {{ Relationskette | F'(x) dx || 0 || || || |SZ=, }} dass sogar {{ Relationskette | dx || 0 || || || |SZ= }} ist. Somit folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es sei nun angenommen, dass {{math|term= A |SZ=}} nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da {{math|term= A |SZ=}} eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit {{ mathbed|term= x \in A ||bedterm1= x \notin K ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{mathl|term= K[x] |SZ=}} ein Erweiterungskörper von {{math|term= K |SZ=.}} Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} annehmen, dass nur die Elemente aus {{math|term= K \setminus {0} |SZ=}} Einheiten in {{math|term= A |SZ=}} sind. Dann ist {{ Relationskette/display | A || K[x_1 {{kommadots|}} x_n ] || || || |SZ= }} und die {{math|term= x_i |SZ=}} gehören zum {{ Definitionslink |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} Indem wir die Restklassenabbildung {{ Abbildung/display |name= | A | A/ {{idealm|}}^2 || |SZ= }} betrachten und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation {{ Relationskette/display | A || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{makl| X_iX_j,\, 1 \leq i \leq j \leq n |}} || || || |SZ= }} vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger {{ Relationskette | x_1 | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo {{mathl|term= (x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} gehen und erhalten die Situation {{mathl|term= K[X]/ {{makl| X^2 |}} |SZ=.}} Dafür zeigt {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{ Relationskette | dx | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5x6xn32ecsdetbcw4u7x3qxquregn4 0 126693 1080853 1073644 2026-05-23T12:00:36Z Bocardodarapti 2041 1080853 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Refname= |SZ= }} und es sei {{ Relationskette | S | \subseteq | R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | 0 | \notin | S || || || |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Nenneraufnahme| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R_S |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegt eine {{ Definitionslink |exakter Komplex| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= 1 \longrightarrow {{op:Einheiten| R |}} \longrightarrow {{op:Einheiten|R_S|}} \longrightarrow \Z^{ ( {{Mengebed| {{idealp|}} | {{idealp|}} \cap S \neq \emptyset }} ) }\longrightarrow {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} \longrightarrow {{op:Divisorenklassengruppe|R_S|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} vor. |Zusatz= Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit {{ Relationskette | f | \in | {{op:Einheiten|R_S|}} || || || |SZ= }} die Einschrän{{drucktrenn}}kung des {{ Definitionslink |Hauptdivisors| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einem Divisor {{mathl|term= \sum_{ {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_{{idealp|}} {{idealp|}} |SZ=}} die zugehörige Klasse in {{math|term= {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} |SZ=}} zu. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Divisorenklassengruppe bei Nenneraufnahme |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19vkz65e3gzvucrcdf3s2fdtp2buxul 0 126694 1080854 1043750 2026-05-23T12:03:36Z Bocardodarapti 2041 1080854 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Injektivität links ist klar. Die Einheiten aus {{math|term= R |SZ=}} haben überhaupt an jedem Primideal die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=,}} deshalb ist an der nächsten Stelle die Zusammensetzung die triviale Abbildung. Es sei {{ Relationskette | f | \in | {{op:Einheiten|R_S||}} || || || |SZ= }} derart, dass es unter der folgenden Abbildung auf {{math|term= 0 |SZ=}} geht. Das bedeutet, das es an allen Primidealen, die nicht zu {{math|term= R_S|SZ=}} gehören, die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Da es eine Einheit in {{math|term= R_S |SZ=}} ist, hat es auch an allen Primidealen, die zu {{math|term= R_S |SZ=}} gehören, und damit überhaupt an jedem Primideal von {{math|term= R |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} und ist somit eine Einheit in {{math|term= R |SZ=.}} Die dritte Abbildung ist einfach die Hauptdivisorabbildung, da in den Primidealen, die zu {{math|term= S |SZ=}} disjunkt sind, die Ordnung einer Einheit aus {{math|term= R_S |SZ=}} stets {{math|term= 0 |SZ=}} ist und sich der relevante Teil des Hauptdivisors in den angegebenen Primidealen abspielt. Die zusammengesetzte Abbildung ist daher die Nullabbildung, da in der Klassengruppe die Hauptdivisoren zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht werden. Wenn ein Divisor {{mathl|term= \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_{{idealp|}} {{idealp|}} |SZ=}} in der Klassengruppe von {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} wird, so bedeutet dies die Existenz eines {{ Relationskette | f | \in | Q(R) \setminus \{0 \} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| f |}} || \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_ {{idealp|}} {{idealp|}} || || || |SZ=. }} Dabei sind dann insbesondere die Ordnungen von {{math|term= f |SZ=}} an den Primidealen, die mit {{math|term= S |SZ=}} einen leeren Durchschnitt haben, gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und dann gehört {{math|term= f |SZ=}} zu {{math|term= R_S |SZ=}} und ist dort eine Einheit. Ein Divisor mit der angegebenen Trägermenge wird in der Klassengruppe von {{math|term= R_S |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=,}} da diese Primideale in der Nenneraufnahme nicht überleben. Es sei {{ Relationskette | [D] | \in | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} || || || |SZ= }} eine Divisorklasse, repräsentiert durch {{ Relationskette |D || \sum_{ {{idealp}} } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || || || |SZ=, }} die in der Divisorenklassengruppe von {{math|term= R_S |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} wird. Wir schreiben {{ Relationskette/display | D || \sum_{ {{idealp}} } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset } n_{{idealp|}} {{idealp|}} + \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S {{=|}} \emptyset } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || D_1 + D_2 || |SZ=. }} Unter der Abbildung wird dies nach {{mathl|term= [D_2] |SZ=}} abgebildet. Aus {{ Relationskette/display | D_2 || {{op:Hauptdivisor| f |}} || || || |SZ= }} in der Divisorengruppe zu {{math|term= R_S |SZ=}} folgt, dass die Differenz zwischen {{ mathkor|term1= D |und|term2= {{op:Hauptdivisor| f |}} |SZ= }} in der Divisorengruppe zu {{math|term= R |SZ=}} mit Primidealen geschrieben werden kann, die zu {{math|term= S |SZ=}} einen nichtleeren Durchschnitt haben. Diese Differenz kommt also von rechts. Die Surjektivität an der letzten Stelle ist klar. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gvh3e4eptuhb1k8v51d11n3rp104i6 0 126750 1080859 1074365 2026-05-23T12:14:00Z Bocardodarapti 2041 1080859 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | R || \R[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} || || || |SZ=, }} der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ= }} der Form {{mathl|term= (X-a,Y-b) |SZ=}} darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ=, }} wobei die {{ Definitionslink |Normalität| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ= }} aus der Glattheit des Kreises folgt. {{ inputbild |Möbius strip|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Moebius_strip |Text=Das {{Stichwort|Möbiusband|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Dbenbenn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Das Ideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || (X, Y-1) || || || |SZ= }} ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir {{ Relationskette/display | (X,Y-1)^2 || {{makl| X^2 , XY-X, (Y-1)^2 |}} || (Y-1) || || |SZ=, }} wobei die Inklusion {{math|term= \subseteq|SZ=}} klar ist und sich die andere Inklusion aus {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |2}} {{makl| -X^2 - (Y-1)^2 |}} || {{op:Bruch| 1 |2}} {{makl| -1+ Y^2 - (Y-1)^2 |}} || Y-1 || |SZ= }} ergibt. Da {{math|term= Y-1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} keine Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und auch nicht multipliziert mit einer Einheit| |ISZ=|ESZ= }} besitzt, ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes {{ Zusatz/Klammer |text=ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display/druckelementzeile |name= | R {{=|}} \R[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} | S {{=|}} \R[U,V]/ {{makl| U^2+V^2-1 |}} | (X,Y ) | {{makl| U^2-V^2,2UV |}} |SZ=, }} des Ringes in sich {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben rechts {{math|term= S |SZ=,}} um die unterschiedlichen Rollen zu betonen| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display/druckalign | X^2+Y^2 || {{makl| U^2-V^2 |}}^2 + {{makl| 2UV |}}^2 || U^4 -2U^2 V^2 +V^4 +4U^2V^2 || U^4 +2U^2V^2+V^4 || {{makl| U^2+V^2 |}}^2 || 1 |SZ= }} ist dies wohldefiniert {{ Zusatz/Klammer |text=es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis| |ISZ=|ESZ=. }} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |ganze Ringerweiterung| |Kontext=| |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= (X,Y-1) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | {{makl| U^2-V^2,2UV-1 |}} || {{makl| 1-2 V^2, 2UV-1 |}} || (U-V) || || |SZ=, }} also ein Hauptideal. Dies beruht auf {{ Relationskette/display | U^2-V^2 || (U+V) (U-V) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 2UV -1 || 2UV - U^2-V^2 || (V-U) (U-V) || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | U-V || V {{makl| U^2-V^2 |}} - U {{makl| 2UV -1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie2=Theorie der komplexen Quadratabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} liejox6mv8l9yhlk5tw9zg7ac4oe2n0 0 127041 1080865 1073679 2026-05-23T14:01:55Z Bocardodarapti 2041 1080865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Polynom besitzt {{mathl|term= X^3-ab^2 |SZ=}} keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} vor. {{ Aufzählung4 |Es ist unmittelbar klar, dass {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= L |SZ=}} gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist {{ Relationskette/display | y || \sqrt[3]{a^2b} || {{op:Bruch| 1 |b}} \sqrt[3]{ab^2}^2 || {{op:Bruch| 1 |b}} x^2 || |SZ=, }} d.h. {{math|term= y |SZ=}} gehört ebenfalls zu {{math|term= L |SZ=,}} die Ganzheit ist klar. |Wegen {{ Relationskette | X^3 || bY X || ab^2 || || |SZ= }} liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch {{mathl|term= X \mapsto x |SZ=}} und {{mathl|term= Y \mapsto y |SZ=}} einen surjektiven Ringhomomorpismus {{ Abbildung/display |name= | S {{=|}} \Z[X,Y]/ {{makl| XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} | \Z[x,y] || |SZ=, }} da {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe {{mathl|term= \Z \oplus \Z x \oplus \Z y |SZ=}} steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da {{math|term= 1,x,y |SZ=}} über {{math|term= \Q |SZ=}} linear unabhängig sind. |Wir zeigen nun, dass {{math|term= S |SZ=}} unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt und nicht {{math|term= 3 |SZ=}} ist, so ist {{ Relationskette/display | S_{ \Z \setminus (p) } || \Z_{(p)} [X,Y]/ {{makl| XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} |\cong| \Z_{(p)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || || |SZ=, }} da man {{ Relationskette | Y || {{op:Bruch| X^2 | b }} || || || |SZ= }} schreiben und überall ersetzen kann, da {{math|term= b |SZ=}} in {{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind {{mathl|term= X^3-ab^2 |SZ=}} und Vielfache davon. Die Faser über {{math|term= p |SZ=}} ist somit {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^3-u |}} |SZ=}} mit einer Einheit {{ Relationskette | u | \in | {{op:Zmod| p |}} || || || |SZ=. }} Das beschreibende Polynom {{math|term= X^3 -u |SZ=}} und seine Ableitung {{math|term= 3X^2 |SZ=}} erzeugen das Einheitsideal {{ Zusatz/Klammer |text= die Faser über {{math|term= p |SZ=}} ist also reduziert| |ISZ=|ESZ= }} und damit ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} die Nenneraufnahme von {{math|term= S |SZ=}} an {{math|term= \Z \setminus (p) |SZ=}} normal. Es sei nun {{math|term= p |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Fall {{ Relationskette/k | p || 3 || || || |SZ= }} erlaubt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist wieder {{ Relationskette | S_{ \Z \setminus (p) } |\cong| \Z_{(p)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist dies {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^3 |}} |SZ=,}} somit ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} gleich {{math|term= (p,X) |SZ=.}} Da wir {{ Relationskette/display | a || p \cdot c || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a |und|term2= c |SZ= }} teilerfremd schreiben können, gilt {{ Relationskette/display | p || {{op:Bruch|X^2|cb^2}} X || || || |SZ= }} und daher wird dieses Primideal von {{math|term= X |SZ=}} erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal. Betrachten wir nun {{ Relationskette/display | p || 3 || || || |SZ= }} und nehmen weiter an, dass {{math|term= 3 |SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} |SZ=}} beschreiben. Modulo {{math|term= 3 |SZ=}} ist dies {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 3 |}} [X] / {{makl| X^3-ab^2 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X] / {{makl| X-ab^2 |}}^3 || || || |SZ= }} und somit liegt über {{math|term= (3) |SZ=}} das einzige Primideal {{mathl|term= {{makl| 3, X-ab^2 |}} |SZ=.}} Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen {{mathl|term= X-ab^2 |SZ=}} ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} |SZ=}} modulo {{mathl|term= X-ab^2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2 |}}^3-ab^2 |}} || \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2 |}}^2-1 |}} || \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |}} || || |SZ=, }} da in unserem Fall {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von {{mathl|term= {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} oder höher ist. Wir schreiben {{ Relationskette | a || 9u +r || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b || 9v +s || || || |SZ= }} und betrachten zuerst den Fall, wo {{ Relationskette | r || 1,4,7 || || || |SZ= }} ist. Dann ist {{ Relationskette | ab^2+1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Relationskette | ab^2-1 || (9u +r)(9v +s )^2-1 || || || || || |SZ= }} betrachten. Modulo {{math|term= 9 |SZ=}} ist dies {{mathl|term= rs^2-1 |SZ=.}} Dabei gilt {{ Relationskette/display | rs^2 || 1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Relationskette/display | (r,s) || (1, \pm 1), (4, \pm 4), (7, \pm 7 ) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | r || 2,5,8 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | ab^2-1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Relationskette | ab^2+1 || ( 9u +r )( 9v +s )^2+1 || rs^2 +1 \mod 9 || || || || |SZ= }} betrachten. Dabei gilt {{ Relationskette/display | rs^2 || -1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Relationskette/display | (r,s) || (2, \pm 2), (5, \pm 5), (8, \pm 8 ) || || || |SZ=. }} Unter der Voraussetzung {{ Relationskette | a |\neq| \pm b || || || |SZ= }} ist also der Exponent der {{math|term= 3 |SZ=}} in {{mathl|term= {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |SZ=}} genau {{math|term= 1 |SZ=.}} Somit ist {{ Relationskette | 3 | \in | {{makl| X-ab^2 |}} || || || |SZ= }} und das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal. |Es ist {{ Relationskette/display | z || {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1+ax+by |}} || {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1+ax+x^2 |}} || || || |SZ=. }} Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette | {{op:Spur| z |}} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 |9}} {{makl| 3 - 3 a ab^2 |}} || {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1 - a^2 b^2 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | N(z) || {{op:Bruch| 1 |27}} {{makl| 1 - 3a ab^2 +a^3 ab^2 + {{makl| ab^2 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| 1 |27}} {{makl| 1 - 3a^2b^2 +a^4b^2 + a^2b^4 |}} || {{op:Bruch| 1 |27}} {{makl| 1 + a^2b^2 {{makl| -3 + a^2 + b^2 |}} |}} || |SZ=. }} Unter der Bedingung {{ Relationskette | a || \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | a^2 || b^2 || 1,4,7 \mod 9 || |SZ=, }} wir setzen {{ Relationskette | a^2 || 9 m+t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b^2 || 9n+t || || || |SZ=. }} In diesen Fällen ist {{ Relationskette/display | 1 - a^2 b^2 || \begin{cases} 0 \text{ bei } t {{=|}} 1 \, , \\ - 15 \text{ bei } t {{=|}} 4 \, , \\ -48 \text{ bei } t {{=|}} 7 \end{cases} \mod 9 || || || |SZ=, }} also stets ein Vielfaches von {{math|term= 3 |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette/align/drucklinks | 1 + a^2b^2 ( a^2 + b^2-3 ) || 1 + {{makl| 81mn +9(m+n)r +r^2 |}} {{makl| 9(m+n) + 2r -3 |}} || 1 + 81 A + 18 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r +9(m+n) r^2 + 2r^3-3r^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) r^2 - 27 (m+n) r + 2r^3-3r^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) {{makl| r^2 -r |}} + 2r^3-3r^2 || 81 A' +1 + 2r^3-3r^2 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | t || 1,4 || || || |SZ= }} ist dies sogar ein Vielfaches von {{math|term= 81 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | t || 7 || || || |SZ= }} sind die hinteren Summanden zusammen gleich {{ Relationskette/display | 1+2 \cdot 7^3-3 \cdot 7^2 || 540 || 27 \cdot 20 || || |SZ=, }} also ein Vielfaches von {{math|term= 27 |SZ=}} und daher ist {{math|term= z |SZ=}} ganz. Wir zeigen nun, dass die von {{math|term= x,y,z |SZ=}} erzeugte Algebra normal ist. Es sei {{ Relationskette/display | w || k + mx+ nx^2 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k,m,n | \in | \Q || || || |SZ= }} ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu {{mathl|term= \Z [x,y,z] |SZ=}} gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist {{math|term= 3k |SZ=}} ganzzahlig. Wir ziehen {{math|term= z |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= 3z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= w |SZ=}} ab und können dann {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass {{ mathkor|term1= 3mn q |und|term2= m^3 q +n^3q^2 |SZ= }} ganzzahlig sind. Da {{math|term= q |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= 3 |SZ=}} ist, ist {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|mn|(3)}} | \geq | -1 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| m |(3)}} | \geq |0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| n | (3) }} | \geq |0 || || || |SZ=, }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung| m^3 +n^3q | (3) }} | \geq |0 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} an der Stelle {{math|term= (3) |SZ=}} ist {{math|term= \neq 0 |SZ=.}} Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} ganzzahlig sind. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2btxg0wot46kmi5xse6ne3k4j9f9xnk 0 127104 1080872 1074653 2026-05-23T14:52:23Z Bocardodarapti 2041 1080872 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} Die Kreisteilungskörper über {{math|term= \Q |SZ=}} bezeichnen wir mit {{mathl|term= K_n |SZ=.}} Offenbar ist {{math|term= 1 |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^n-1 |SZ=,}} daher kann man {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} durch {{mathl|term= X-1 |SZ=}} teilen und erhält {{ Relationskette/display | X^n-1 || (X-1) {{makl| X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | 1 |\in| \Q || || || |SZ= }} ist daher der {{math|term= n |SZ=-}}te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskör{{drucktrenn}}per von {{ Math/display|term= X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |SZ=. }} Da {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} auf die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebene Art über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, nämlich {{ Relationskette/display | X^n-1 || \prod_{ k {{=}} 0}^{n-1} {{makl| X- e^{k 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} / n} |}} || || || |SZ=, }} kann man {{math|term= K_n |SZ=}} als Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} realisieren, und zwar ist {{math|term= K_n |SZ=}} der von allen {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt|Lemma||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Statt {{mathl|term= {{op:exp2piibruch||n}} |SZ=}} kann man auch jede andere {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel aus {{math|term= {{CC}} |SZ=}} als Erzeuger nehmen. {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Kreis5Teilung|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel|| }} Die Menge der {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|n|}}, \cdot, 0 |}} |SZ=}} überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kreisteilungspolynom/Definition|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt|Satz|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7vqqy2w2ovf2axegqd14f2nh79dpmv2 0 127173 1080875 1074373 2026-05-23T14:58:26Z Bocardodarapti 2041 1080875 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip|}} {{ inputbild |Kreisteilungskoerper5zerlegung|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir verwenden den Zwischenring {{ Zusatz/Klammer |text= vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align |\Z | \subseteq | \Z[ \sqrt{5} ] | \subseteq | \Z[W]/ {{makl| W^2-W-1 |}} || S | \subseteq | \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || S [X]/ {{makl| X^2+XW+1 |}} || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch|v+1|2}} || x^3+x^2+1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=}} kommen als Restekörper der Primideale in {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} nur die Körper {{math|term= {{op:Zmod| p |}}, {{op:Endlicher Körper|p^2|}}, {{op:Endlicher Körper|p^3|}} , {{op:Endlicher Körper|p^4|}} |SZ=}} in Frage {{ Zusatz/Klammer |text=die Möglichkeit {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|p^3|}} |SZ=}} werden wir gleich ausschließen| |ISZ=|ESZ=, }} und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= (5) |SZ=}} fallen die zusammen| |ISZ=|ESZ= }} geben. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dies genau dann der Fall, wenn {{math|term= p^e-1 |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= 5 |SZ=}} ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten {{ Relationskette | e || 1,2,4 || || || |SZ=. }} Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten. Es sei {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= S/2S |SZ=}} ein Körper mit vier Elementen und es ist {{math|term= R/2R |SZ=}} ein Körper mit {{math|term= 16 |SZ=}} Elementen. Es sei {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} was auch von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} her klar ist. Bei {{ Relationskette | q || 11 || || || |SZ= }} sind {{math|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Oberhalb von {{math|term= (11) |SZ=}} liegen in {{math|term= {{op:Spek| R |}} |SZ=}} vier Primideale, alle mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=.}} Dabei liegen {{ mathkor|term1= (X-3) |und|term2= (X-4) |SZ= }} über {{math|term= (W-4) |SZ=}} und {{ mathkor|term1= (X+2) |und|term2= (X-5) |SZ= }} über {{math|term= (W-8) |SZ=}} in {{math|term= S |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | 9^2 || 5 || 10^2 || || |SZ=, }} in {{math|term= S |SZ=}} gibt es somit zwei Primideale oberhalb von {{math|term= (19) |SZ=,}} beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod|19|}} |SZ=.}} In {{math|term= {{op:Zmod|19|}} |SZ= }} gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von {{math|term= (19) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|361|}} |SZ=.}} Über {{math|term= (19) |SZ=}} liegt die Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} buldxhidiygu121jn8hsbbuw5gbz8kr 0 127254 1080864 1073680 2026-05-23T13:59:13Z Bocardodarapti 2041 1080864 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} natürliche Zahlen, nicht beide {{math|term= 1 |SZ=,}} und sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || L || || |SZ= }} die zugehörige kubische {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ=. }} Wir setzen {{ Relationskette | x || \sqrt[3]{ab^2} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || \sqrt[3]{a^2b} || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |{{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} sind {{ Definitionslink |ganze Elemente| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= L |SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display/drucklinks | \Z[x,y] |\cong| \Z[X,Y]/ {{makl| XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} || \Z[X,Y]/ {{makl| X^3-ab^2, Y^3-a^2b,XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} || S || |SZ=. }} |Wenn {{ Relationskette |a |\neq| \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} gilt, so ist {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=,}} und {{math|term= 1,x,y |SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette | a || \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} gehört auch {{ Relationskette/druckdisplay | z || {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1+ax+by |}} || {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1+ax+x^2 |}} || || || |SZ= }} zum Ganzheitsring, und {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} bilden eine Ganzheitsbasis. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Zahlbereich zu rein-kubischen Erweiterung |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} faekewtjthetrigkhq30jzfat61p6i3 0 127468 1080860 1050143 2026-05-23T12:49:10Z Bocardodarapti 2041 1080860 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | F | \in | \Z[X] || || || |SZ= }} ein normiertes irreduzibles Polynom, {{ Relationskette | R || \Z[X]/(F) || || || |SZ= }} und sei {{math|term= p |SZ=}} eine Primzahl derart, dass in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=}} |Voraussetzung= die Zerlegung {{ Relationskette/display | F || F_1^{r_1 } \cdots F_s^{r_s} || || || |SZ= }} mit irreduziblen Polynomen {{math|term= F_j |SZ=}} gelte. |Übergang= |Folgerung= Dann gilt in {{math|term= R |SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | pR || {{makl| p, F_1^{r_1 } |}} \cdots {{makl| p, F_s^{r_s} |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fxg29cphfzkodz9604gfmfn6eytxgcn 0 127469 1080862 1042802 2026-05-23T13:57:45Z Bocardodarapti 2041 1080862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= In {{math|term= {{op:Zmod| p |}}[X] |SZ=}} sind die {{math|term= F_j |SZ=}} zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in {{mathl|term= \Z[X]/(F) |SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | (p) || {{makl| p, F_1^{r_1 } |}} {{capdots}} {{makl| p, F_s^{r_s} |}} || {{makl| p, F_1^{r_1 } |}} \cdots {{makl| p, F_s^{r_s} |}} || || |SZ= }} gilt, wobei die letzte Gleichheit auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt |Nr= |SZ= }} beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei {{ Relationskette/display | a || a_1 p + b_1 F_1^{r_1 } || \ldots || a_sp + b_sF_s^{r_s} || |SZ=, }} es ist {{ Relationskette | a | \in | (p) || || || |SZ= }} zu zeigen. Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | a || b_1 F_1^{r_1 } || \ldots || b_sF_s^{r_s} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}}[X]/(F) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| p |}}[X]/(F) || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| F_1^{r_1 } |}} {{timesdots}} {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| F_s^{r_s} |}} || || || |SZ=. }} Die Voraussetzung bedeutet, dass {{math|term= a |SZ=}} in jeder Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist, also insgesamt gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} prfd567n3tp9uy2ayhcujgjcjy3lvi6 1080923 1080862 2026-05-24T11:41:03Z Bocardodarapti 2041 1080923 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= In {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}}[X] |SZ=}} sind die {{math|term= F_j |SZ=}} zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in {{ Relationskette | R || \Z[X]/(F) || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | (p) || {{makl| p, F_1^{r_1 } |}} {{capdots}} {{makl| p, F_s^{r_s} |}} || {{makl| p, F_1^{r_1 } |}} \cdots {{makl| p, F_s^{r_s} |}} || || |SZ= }} gilt, wobei die letzte Gleichheit auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt |Nr= |SZ= }} beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei {{ Relationskette/display | a || a_1 p + b_1 F_1^{r_1 } || \ldots || a_sp + b_sF_s^{r_s} || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_j,b_j | \in | R || || || |SZ=, }} es ist {{ Relationskette | a | \in | (p) || || || |SZ= }} zu zeigen. Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | a || b_1 F_1^{r_1 } || \ldots || b_sF_s^{r_s} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}}[X]/(F) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Zmod| p |}}[X]/(F) || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| F_1^{r_1 } |}} {{timesdots}} {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| F_s^{r_s} |}} || || || |SZ=. }} Die Voraussetzung bedeutet, dass {{math|term= a |SZ=}} in jeder Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist, also insgesamt gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qkyfub46tnq957km9g1c95nzxscg1l0 0 127475 1080920 1049157 2026-05-24T11:36:21Z Bocardodarapti 2041 1080920 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten {{math|term= F |SZ=}} als irreduzibles Polynom in {{math|term= \Q[X] |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt |Nr= |SZ=. }} In {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein irreduzibles Polynom {{math|term= F |SZ=}} zu {{math|term= F'|SZ=}} teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome {{ Relationskette | A,B | \in | \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | AF+BF' || 1 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | m | \in | \Z || || || |SZ= }} ein Hauptnenner der Koeffizienten von {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann gibt es Polynome {{ Relationskette | C,D | \in | \Z[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | CF+DF' || m || || || |SZ=. }} Entsprechend gilt {{ Relationskette | CF+DF' || m || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=}} für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Wenn {{math|term= p |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= m |SZ=}} ist, so ist {{math|term= m |SZ=}} dort eine Einheit. Deshalb sind für diese Primzahlen {{math|term= F, F' |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=}} teilerfremd und die Normalität von {{mathl|term= \Z_{(p)} [X]/(F) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rft4o9clju1bco7my21y387xsxz67j9 1080921 1080920 2026-05-24T11:37:49Z Bocardodarapti 2041 1080921 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten {{math|term= F |SZ=}} als irreduzibles Polynom in {{math|term= \Q[X] |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Gauß|Faktseitenname= Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt |Nr= |SZ=. }} In {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein irreduzibles Polynom {{math|term= F |SZ=}} zu {{math|term= F'|SZ=}} teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome {{ Relationskette | A,B | \in | \Q[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | AF+BF' || 1 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | m | \in | \Z || || || |SZ= }} ein Hauptnenner der Koeffizienten von {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann gibt es Polynome {{ Relationskette | C,D | \in | \Z[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | CF+DF' || m || || || |SZ=. }} Entsprechend gilt {{ Relationskette | CF+DF' || m || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=}} für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Wenn {{math|term= p |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= m |SZ=}} ist, so ist {{math|term= m |SZ=}} dort eine Einheit. Deshalb sind für diese Primzahlen {{math|term= F, F' |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X] |SZ=}} teilerfremd und die Normalität von {{mathl|term= \Z_{(p)} [X]/(F) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g8ygpo6r2h2mk7svzjz36c63grm0yg 0 127479 1080861 1038603 2026-05-23T13:56:22Z Bocardodarapti 2041 1080861 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kubische Polynom {{ Relationskette | X^3-3X+1 | \in | \Q[X] || || || |SZ=, }} das nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} ist, und {{ Relationskette |R || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} Die Ableitung des Polynoms ist {{mathl|term= 3X^2-3 |SZ=,}} und in {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | {{makl| 6 X+ 3 |}} {{makl| X^3-3X+1 |}} + {{makl| -2X^2-X + 4 |}} {{makl| 3X^2-3 |}} || -9 || || || |SZ=. }} Nach dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt |Nr= |SZ= }} ist daher {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |SZ=}} für jede Primzahl {{ Relationskette | p |\neq| 3 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ=. }} Über {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist der Faserring gleich {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X^3 -3X +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X^3 +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X +1 |}}^3 || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in {{mathl|term= \Z_{(3)}[X]/(X^3 -3X +1) |SZ=}} gleich {{mathl|term= (3, X+1) |SZ=}} ist. Wegen {{ Relationskette/display | \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3 -3X +1, X+1 |}} || \Z_{(3)} /{{makl| (-1)^3 -3(-1) +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} || || |SZ= }} ist aber {{math|term= X+1 |SZ=}} ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist {{math|term= R |SZ=}} überhaupt normal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Z |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9sikxftexx3bvvl2rmsp6k6nwknzln 1080922 1080861 2026-05-24T11:39:12Z Bocardodarapti 2041 1080922 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kubische Polynom {{ Relationskette | X^3-3X+1 | \in | \Q[X] || || || |SZ=, }} das nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} ist, und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ=. }} Die Ableitung des Polynoms ist {{mathl|term= 3X^2-3 |SZ=,}} und in {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt die Gleichung {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| 6 X+ 3 |}} {{makl| X^3-3X+1 |}} + {{makl| -2X^2-X + 4 |}} {{makl| 3X^2-3 |}} || -9 || || || |SZ=. }} Nach dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt |Nr= |SZ= }} ist daher {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} [X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |SZ=}} für jede Primzahl {{ Relationskette | p |\neq| 3 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ=. }} Über {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist der Faserring gleich {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X^3 -3X +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X^3 +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X]/ {{makl| X +1 |}}^3 || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in {{mathl|term= \Z_{(3)}[X]/ {{makl| X^3 -3X +1 |}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= (3, X+1) |SZ=}} ist. Wegen {{ Relationskette/display/handlinks | \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3 -3X +1, X+1 |}} || \Z_{(3)} /{{makl| (-1)^3 -3(-1) +1 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} || || |SZ= }} ist aber {{math|term= X+1 |SZ=}} ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist {{math|term= R |SZ=}} überhaupt normal. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über Z |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9am19zdv2nahhlg8h1w5w4a0yl0mn4z 0 127491 1080869 1049012 2026-05-23T14:06:38Z Bocardodarapti 2041 1080869 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfreie| |Kontext=| |SZ= }} natürliche Zahlen, nicht beide {{math|term= 1 |SZ=,}} und sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || L || || |SZ= }} die zugehörige kubische {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Übergang= Dann gilt für die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} folgende Beschreibung. |Folgerung= {{ Aufzählung2 |Bei {{ Relationskette | a |\neq| \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist die Diskriminante von {{math|term= R |SZ=}} gleich {{mathl|term= -27a^2b^2 |SZ=.}} |Bei {{ Relationskette |a || \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist die Diskriminante von {{math|term= R |SZ=}} gleich {{mathl|term= -3a^2b^2 |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Diskriminanten (Zahlbereiche) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Diskriminante von rein-kubischen Erweiterungen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4xuicykb3nkd1jjx8xy9g2cirhig54 0 127492 1080870 1048027 2026-05-23T14:07:50Z Bocardodarapti 2041 1080870 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen {{ Relationskette | x || \sqrt[3]{ab^2} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || \sqrt[3]{a^2b} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Ganzheitsring gleich {{math|term= \Z[x,y] |SZ=}} und {{mathl|term= 1,x,y |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ=, }} ferner ist {{ Relationskette | y || x^2/b || || || |SZ=. }} Wir berechnen zuerst die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Basis| |SZ= }} zu {{mathl|term= 1,x,x^2 |SZ=.}} Dabei ist {{ Relationskette | x^3 || ab^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x^4 || ab^2x || || || |SZ=. }} Die Spur von {{math|term= x |SZ=}} und von {{math|term= x^2 |SZ=}} ist gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} daher ist {{ Relationskette/display | \triangle( 1, x, x^2 ) || {{op:Determinante| {{op:Matrix33| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3ab^2 | 0 | 3ab^2 | 0 |}} |}} || -27 a^2b^4 || || |SZ=. }} Die Übergangsmatrix zwischen {{math|term= 1,x,x^2 |SZ=}} und {{mathl|term= 1,x,y |SZ=}} hat die Determinante {{mathl|term= 1/b |SZ=,}} daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= -27 a^2b^2 |SZ=.}} Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |3}} {{makl| 1+ax+by |}} , x,y |SZ=}} eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen {{ mathkor|term1= 1,x,y |und|term2= z,x,y |SZ= }} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| {{op:Bruch| 1 |3}} | {{op:Bruch| a |3}} | {{op:Bruch| b |3}} | 0 | 1 | 0 |0| 0 | 1 |}} |SZ= }} mit der Determinante {{math|term= {{op:Bruch| 1 |3}} |SZ=.}} Dies ergibt den Faktor {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |9}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzgntrwo1nsiqqhlyj3ccu0vud4beuk 0 127521 1080924 1044142 2026-05-24T11:42:24Z Bocardodarapti 2041 1080924 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |maximales Ideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Wir betrachten das kommutative Diagramm {{Kommutatives Rechteck/23/ru| B | R | R_{{idealp}} | B/(p)|R/pR|(R/pR)_{{idealp|}} \cong R_{{idealp}}/p R_{{idealp}} ||||SZ=.}} Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass {{ Relationskette/display | (p)R_{{idealp}} || {{idealp}} R_{{idealp}} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= R_{{idealp}} |SZ=}} gilt und das bedeutet, dass {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} ein diskreter Bewertungsring ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt81ozngwfchgkmlta4580tuz2b8zxh 0 127604 1080877 1073683 2026-05-23T15:02:36Z Bocardodarapti 2041 1080877 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ=, }} {{ Relationskette | q || p^r || || || |SZ= }} und {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{ Definitionslink |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |SZ= }} {{math|term= p^r |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Einheitswurzel| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Basis| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= 1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{ {{op:Eulersche Phi-Funktion|p^r|}} -1 } |SZ=}} des {{math|term= p^r|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Kreisteilungskörpers| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | \triangle {{makl| 1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{ {{op:Eulersche Phi-Funktion|p^r|}} -1} |}} || \pm p^{p^{r-1}(rp-r-1)} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkqnsu01i0o33e8xb5e5orauhf02o0j 0 127929 1080893 1046323 2026-05-23T16:34:26Z Bocardodarapti 2041 1080893 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Wenn {{math|term= q |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so ist eine {{math|term= q |SZ=-}}te Einheitswurzel auch eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Die {{math|term= q |SZ=-}}ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K_q | \subseteq | K_n || || || |SZ=. }} Damit ist auch {{ Relationskette | R_q | \subseteq | R_n || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ= }} verzweigt {{math|term= (q) |SZ=}} in {{math|term= R_q |SZ=}} und damit {{ Aufgabelink |Präwort=nach|| Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auch in {{math|term= R_n |SZ=.}} Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von (3) nach (4) ist klar wegen {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Teiler ebenfalls/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar. Von (4) nach (1). Wenn {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so ist {{math|term= n |SZ=}} eine Einheit in {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} und somit sind {{ mathkor|term1= X^n-1 |und|term2= {{makl| X^n-1 |}}' {{=}} nX^{n-1} |SZ= }} teilerfremd über {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=,}} was nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die Separabilität bedeutet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74ly9x86bzazlbpm1g98lxe90x4wux8 0 128034 1080895 1073695 2026-05-23T16:35:59Z Bocardodarapti 2041 1080895 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung ist {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} und damit eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung {{math|term= f |SZ=,}} also die kleinste positive Zahl mit {{ Relationskette | q^f || 1 \mod n || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n}} |SZ=,}} der Ordnung der Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der kleinste Erweiterungskörper von {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=,}} der {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einheitswurzeln enthält. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist lediglich zu zeigen, dass {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der Restekörper der Primideale oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=}} ist. Betrachten wir also {{math/druckdisplay|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=.}} Da {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^n-1 |}} | {{op:Endlicher Körper|q^f|}} || |SZ=. }} Diese faktorisiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| m |}} |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= m |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist und dann gibt es auch eine Surjektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^m-1 |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=. }} Wenn {{math|term= m |SZ=}} ein echter Teiler von {{math|term= n |SZ=}} wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von {{math|term= X |SZ=}} eine Ordnung {{math|term= < n |SZ=}} hätte. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqis4o5oivq02brwoy0pk8qkuuqovwg 0 128035 1080894 1047077 2026-05-23T16:34:52Z Bocardodarapti 2041 1080894 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei. Es sei {{math|term= f |SZ=}} die multiplikative {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} von {{math|term= q |SZ=}} in {{math|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} }} |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegen oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Spek|R_n |}} |SZ=}} genau {{math|term= {{op:Bruch|\varphi(n)|f}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Restekörper| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} sind. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die Zerlegung von Primzahlen in Kreisteilungsringen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1swb2xaru28rvpvamsr30wkphyz0504 0 128038 1080897 1047068 2026-05-23T16:37:28Z Bocardodarapti 2041 1080897 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Das Element {{math|term= q |SZ=}} erzeugt die Einheitengruppe von {{math|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} |Über {{math|term= (q) |SZ=}} liegt ein Primideal in {{math|term= R_n |SZ=,}} d.h. {{math|term= (q) |SZ=}} ist {{ Definitionslink |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ= }} im Kreisteilungsring. |Das Kreisteilungspolynom {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung der Unzerlegtheit bei Kreisteilungsringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njipbz3docyiojnx1upfb1jcgicxr9t 0 128201 1080898 1074024 2026-05-23T16:38:46Z Bocardodarapti 2041 1080898 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Galoisgruppe| K_n | \Q }} |\cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || |SZ= }} auf dem {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | a | \in | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || || |SZ= }} durch die Substitution {{mathl|term= X \mapsto X^a |SZ=}} wirkt. Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei, und es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= (q) |SZ=.}} Das Element {{math|term= q |SZ=}} gehört zur Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=,}} seine Ordnung sei {{math|term= f |SZ=,}} vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zu {{math|term= q |SZ=}} gehört der Automorphismus {{math|term= \psi |SZ=}} von {{math|term= R_n |SZ=,}} der {{math|term= X |SZ=}} auf die {{math|term= q |SZ=-}}te Potenz von {{math|term= X |SZ=}} abbildet, wobei dies nur von der Restklasse von {{math|term= q |SZ=}} modulo {{math|term= n |SZ=}} abhängt. Dieser stimmt auf dem {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_n/(q)R_n |SZ=}} der Charakteristik {{math|term= q |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt und da der Frobenius auf {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} die Identität ist. Daher gilt {{ Relationskette | \psi ( {{idealq}} ) || {{idealq|}} || || || |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{math|term= \psi |SZ=}} gehört zur {{ Definitionslink |Zerlegungsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq}} }} |SZ=.}} Da {{math|term= q |SZ=}} die Ordnung {{math|term= f |SZ=}} besitzt, und die Zerlegungsgruppe nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} {{math|term= f |SZ=}} Elemente besitzt, wird die Zerlegungsgruppe von diesem Element erzeugt. Da {{math|term= \psi |SZ=}} auf dem Faserring den Frobenius induziert, gilt dies auch auf dessen Restekörpern. Somit wird unter der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} beschriebenen natürlichen Korrespondenz zwischen der Zerlegungsgruppe und der Galoisgruppe der Restekörpererweiterungen die Substitution {{math|term= X \mapsto X^q |SZ=}} auf den Frobenius abgebildet. Damit ist insbesondere zu jeder Primzahl {{math|term= q |SZ=}} das Frobenius-Element {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} im Fall von Kreisteilungsringen explizit gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 178h0a9toutcb8om4jvrtyc5nz0ljeh 0 128364 1080899 1049181 2026-05-23T16:40:24Z Bocardodarapti 2041 1080899 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass die {{ mathbed|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} {{makl| b_k |}} ||bedterm1= k= 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} linear unabhängig sind. Über die {{math|term= \R |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^r \times \R^{2s}| {{CC}}^{r} \times {{CC}}^{2s} | {{op:Spaltenvektor|x_1 | \vdots| x_r | u_1 | v_1 | \vdots | u_s |v_s }} | {{op:Spaltenvektor| x_1 | \vdots | x_r | u_1 + {{imaginäre Einheit|}} v_1 | u_1 - {{imaginäre Einheit|}} v_1 | \vdots | u_s + {{imaginäre Einheit|}} v_s | u_s - {{imaginäre Einheit|}} v_s }} |SZ=, }} erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente {{math|term= \R |SZ=-}}linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8fl2izh2k3flbxlbwj9cn4nwdw99g7 0 128404 1080902 1046419 2026-05-23T16:45:19Z Bocardodarapti 2041 1080902 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei {{ Relationskette | \zeta | \in | K || || || |SZ= }} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Dies definiert einen {{ Definitionslink |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | \Q[X]/ {{makl| X^n-1 |}} | K | X | \zeta |SZ=. }} Somit gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt |Nr= |SZ= }} einen induzierten Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | \Q[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| d |}} |}} | K || |SZ= }} mit einem Teiler {{math|term= d |SZ=}} von {{math|term= n |SZ=.}} Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | \Q[X]/ {{makl| X^d-1 |}} | K | X | \zeta |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | d | < | n || || || |SZ= }} ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von {{math|term= \zeta |SZ=.}} Also ist {{ Relationskette | d || n || || || |SZ= }} und es gibt einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | K_n {{=}} \Q[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} | K || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cin1019p5lylyhtb8387153lzxckxoy 0 128985 1080884 1038621 2026-05-23T15:17:53Z Bocardodarapti 2041 1080884 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | q || \pm 1 \mod 9 || || || |SZ= }} eine Primzahl und {{ Relationskette | R || \Z[x,z] | \subset | \Q[X]/ {{makl| X^3-q |}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | z || {{op:Bruch|1+qx+x^2|3}} || || || |SZ= }} der Ganzheitsring, vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} wird als {{math|term= R |SZ=-}}Modul von {{ mathkor|term1= dx |und|term2= dz |SZ= }} erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger {{math|term= dz |SZ=}} überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt {{ Relationskette/display | 3 dz || d3z || d {{makl| 1+qx+x^2 |}} || qdx +2xdx || (q+2x) dx |SZ=. }} Ferner ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display |xdz+zdx || dxz || d {{makl| {{op:Bruch|1-q^2|3}} x+q z |}} || {{op:Bruch|1-q^2|3}} dx + qd z || |SZ=, }} woraus wir {{ Relationskette/display | (x-q) dz || -zdx -{{op:Bruch|1-q^2|3}} dx || - {{makl| z+ {{op:Bruch|1-q^2|3}} |}} dx || || |SZ= }} gewinnen. Schließlich ist {{ Relationskette/display | 2zdz || dz^2 || d {{makl| {{op:Bruch|q^2-1|9}} + {{op:Bruch| -q^3-q |9}} x + {{op:Bruch|q^2+2|3}} z |}} || {{op:Bruch| -q^3-q |9}} dx + {{op:Bruch|q^2+2|3}} dz || |SZ=, }} woraus wir {{ Relationskette/display | {{makl| 2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} dz || {{op:Bruch| -q^3-q |9}} dx || || || |SZ= }} gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von {{math|term= dz |SZ=}} als Vielfache von {{math|term= dx |SZ=}} ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} also {{Math/display|term= {{makl| 3, x-q ,2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} |SZ=.}} Dieses Ideal enthält {{math|term= q^3-q |SZ=}} und Im Restklassenring wird also {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= q |SZ=}} und {{math|term= z |SZ=}} wird zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1+qx+x^2|3}} || {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} || || |SZ=. }} Somit enthält das Ideal die Zahlen {{math|term= 3, q^3-q |SZ=}} und {{ Relationskette/display | 2 {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} - {{op:Bruch|q^2+2|3}} || q^2 || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= 3 |und|term2= q |SZ= }} teilerfremd ist, enthält es auch die {{math|term= 1 |SZ=}} und somit gibt es auch eine Darstellung von {{math|term= dz |SZ=}} als Vielfaches von {{math|term= dx |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fllf1v6lswfae71m0f0ny3srubfpdx 108 166886 1080892 1078840 2026-05-23T16:24:06Z Jeb 26942 The call remains open! Datenpflege für das Bibliothekswesen 1080892 wikitext text/x-wiki {{In Arbeit}} {{Projektdaten |PROJEKTTITEL=''Call for Edits nearby: Open archives metadata from Saxony'' |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], SLUB Dresden, [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=2025–... |ZUSAMMENARBEIT=Martin Munke [https://scholia.toolforge.org/author/Q28024172 (Q28024172)] |KURZBESCHREIBUNG=Saxorum: Call ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren'', https://saxorum.hypotheses.org/12360 |BILD= |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == The call remains open! == Datenpflege für das Bibliothekswesen ; [[Projekt:1Lib1Nearby#BiblioCON_2026|BiblioCON 2026-Bibliotheken]]: [https://query.wikidata.org/#%23title%3A%20Wikidata-Nearby-Query%20f%C3%BCr%20Wikipedia-Nearby-Queries%20der%20teilnehmenden%20Institutionen%20der%20BiblioCON%202026%0ASELECT%20%3Finst%20%3FinstLabel%20%3Furl%20WHERE%20%7B%0A%20%20VALUES%20%3Finst%20%7B%20wd%3AQ1006222%20wd%3AQ10520592%20wd%3AQ10697%20wd%3AQ107671516%20wd%3AQ109279249%20wd%3AQ111020102%20wd%3AQ111020932%20wd%3AQ1133733%20wd%3AQ113461196%20wd%3AQ114044012%20wd%3AQ114732%20wd%3AQ115573204%20wd%3AQ1204535%20wd%3AQ1204536%20wd%3AQ1204645%20wd%3AQ1205728%20wd%3AQ1205813%20wd%3AQ123021023%20wd%3AQ1233544%20wd%3AQ124218735%20wd%3AQ125153237%20wd%3AQ1255096%20wd%3AQ1273958%20wd%3AQ1278450%20wd%3AQ130473460%20wd%3AQ131875700%20wd%3AQ134532165%20wd%3AQ1367678%20wd%3AQ137610856%20wd%3AQ1379386%20wd%3AQ138472945%20wd%3AQ1388737%20wd%3AQ1391182%20wd%3AQ1391290%20wd%3AQ1391315%20wd%3AQ139846930%20wd%3AQ139847094%20wd%3AQ139847208%20wd%3AQ139847253%20wd%3AQ1407819%20wd%3AQ1415137%20wd%3AQ1430761%20wd%3AQ1436042%20wd%3AQ1458113%20wd%3AQ1478417%20wd%3AQ1484782%20wd%3AQ1485494%20wd%3AQ1504057%20wd%3AQ1504609%20wd%3AQ1518519%20wd%3AQ1518713%20wd%3AQ152087%20wd%3AQ152838%20wd%3AQ153006%20wd%3AQ1539517%20wd%3AQ1565517%20wd%3AQ1567759%20wd%3AQ1573209%20wd%3AQ15792046%20wd%3AQ15824236%20wd%3AQ15834499%20wd%3AQ15848804%20wd%3AQ15848805%20wd%3AQ15852122%20wd%3AQ15979678%20wd%3AQ1600777%20wd%3AQ1616201%20wd%3AQ1622088%20wd%3AQ1622135%20wd%3AQ1622216%20wd%3AQ1622220%20wd%3AQ1622239%20wd%3AQ162684%20wd%3AQ1667281%20wd%3AQ1668388%20wd%3AQ1680376%20wd%3AQ170109%20wd%3AQ17122276%20wd%3AQ1718711%20wd%3AQ1722676%20wd%3AQ1770764%20wd%3AQ1802138%20wd%3AQ1802141%20wd%3AQ1806348%20wd%3AQ18085187%20wd%3AQ1821142%20wd%3AQ18333131%20wd%3AQ18333276%20wd%3AQ189441%20wd%3AQ189928%20wd%3AQ190260%20wd%3AQ1937092%20wd%3AQ2073008%20wd%3AQ2239285%20wd%3AQ224514%20wd%3AQ2324633%20wd%3AQ2324644%20wd%3AQ2326818%20wd%3AQ2326823%20wd%3AQ2326882%20wd%3AQ2326915%20wd%3AQ2326921%20wd%3AQ2327009%20wd%3AQ233098%20wd%3AQ2359904%20wd%3AQ23786596%20wd%3AQ2399120%20wd%3AQ2496248%20wd%3AQ2496254%20wd%3AQ2496255%20wd%3AQ2496260%20wd%3AQ2496283%20wd%3AQ2496287%20wd%3AQ2496293%20wd%3AQ2496296%20wd%3AQ2496307%20wd%3AQ2496314%20wd%3AQ2496319%20wd%3AQ2496322%20wd%3AQ2496324%20wd%3AQ2496326%20wd%3AQ2496330%20wd%3AQ2496342%20wd%3AQ2496344%20wd%3AQ2496347%20wd%3AQ2496350%20wd%3AQ2496355%20wd%3AQ256507%20wd%3AQ27302%20wd%3AQ27429972%20wd%3AQ27863572%20wd%3AQ27978762%20wd%3AQ27991306%20wd%3AQ27991358%20wd%3AQ280017%20wd%3AQ284992%20wd%3AQ28650468%20wd%3AQ28662066%20wd%3AQ28662072%20wd%3AQ28662104%20wd%3AQ28662469%20wd%3AQ28681438%20wd%3AQ28681746%20wd%3AQ28681836%20wd%3AQ28681888%20wd%3AQ28681997%20wd%3AQ28686653%20wd%3AQ28733444%20wd%3AQ28733446%20wd%3AQ28733453%20wd%3AQ28733486%20wd%3AQ28733515%20wd%3AQ28733533%20wd%3AQ28733704%20wd%3AQ28734971%20wd%3AQ28737538%20wd%3AQ28738818%20wd%3AQ28738830%20wd%3AQ304037%20wd%3AQ309988%20wd%3AQ310695%20wd%3AQ311801%20wd%3AQ312653%20wd%3AQ315175%20wd%3AQ317032%20wd%3AQ317070%20wd%3AQ317179%20wd%3AQ319333%20wd%3AQ323270%20wd%3AQ37979269%20wd%3AQ391028%20wd%3AQ42944%20wd%3AQ462763%20wd%3AQ472839%20wd%3AQ49117%20wd%3AQ4957110%20wd%3AQ500692%20wd%3AQ501851%20wd%3AQ50280985%20wd%3AQ50378813%20wd%3AQ51985%20wd%3AQ52662334%20wd%3AQ54166%20wd%3AQ54804519%20wd%3AQ55152800%20wd%3AQ55153258%20wd%3AQ55153331%20wd%3AQ55153443%20wd%3AQ55153532%20wd%3AQ564783%20wd%3AQ568704%20wd%3AQ574571%20wd%3AQ604066%20wd%3AQ64826802%20wd%3AQ66780064%20wd%3AQ679913%20wd%3AQ683842%20wd%3AQ684773%20wd%3AQ686171%20wd%3AQ687017%20wd%3AQ689400%20wd%3AQ689854%20wd%3AQ695267%20wd%3AQ696757%20wd%3AQ697111%20wd%3AQ702499%20wd%3AQ707283%20wd%3AQ734324%20wd%3AQ77077361%20wd%3AQ80796%20wd%3AQ827220%20wd%3AQ829096%20wd%3AQ833738%20wd%3AQ835440%20wd%3AQ856423%20wd%3AQ856475%20wd%3AQ856552%20wd%3AQ872896%20wd%3AQ875587%20wd%3AQ896706%20wd%3AQ913987%20wd%3AQ98380085%20%7D%0A%20%20%3Finst%20p%3AP625%20%5B%20psv%3AP625%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLongitude%20%3Flon%20%3B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLatitude%20%3Flat%0A%20%20%20%20%5D%20%5D%0A%20%20BIND%20%28URI%28CONCAT%28%22https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FSpezial%3AIn_der_N%25C3%25A4he%23%2Fcoord%2F%22%2C%20STR%28%3Flat%29%2C%20%22%2C%22%2C%20STR%28%3Flon%29%29%29%20AS%20%3Furl%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cmul%2Cen%22.%20%7D%0A%7D Try it!] == Queries == ; Weltkarte (Auswahl ''map'' & Play-Button): https://w.wiki/7zt9 & Ergebnis '''https://w.wiki/7zwE''' {{SPARQL|query= #------------------------------------------- #title: "archiviert" in Item with geocoords, archives at (P485) #------------------------------------------- #defaultView:Map{"hide":"?coords"} SELECT ?item ?itemLabel (CONCAT("Bestand: ", STR(?bestandID)) as ?bestand) ?image ?coords WHERE { ?item wdt:P485 ?archive. # Property:P485 archives at irgendwo ?item wdt:P625 ?coords. # hole Koordinaten aus den Items OPTIONAL { ?item p:P485 [ pq:P217 ?bestandID ]. } # hole optional Bestand ID aus Qualifier OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image. } # hole optional ein Bild der Einrichtung SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],en". } } }} ; Quickstatements * 2.11.2024: https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1730553641028/edits/ & https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1730551456806/edits/ * Februar: Archiv-Ids, https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1740149199440/edits/ + neue Objekte, https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1739730531977/edits/ * Adressen am 25. März, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/244786 * Geokoordinaten am 20. Januar, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/242884 * Archives in Bavaria ID, 16. März, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/244463 == Links & Literatur == * [[Projekt:Staatsarchiv Leipzig 2023]] * [[Projekt:1Lib1Nearby]] * {{Literatur|Titel=Das Provenienzprinzip: Archivblogs plus Geo-Koordinaten|Autor=[[Benutzer:Jeb|Bemme, Jens]]; [[Benutzer:Erfurth|Matthias Erfurth]]|DOI=10.58079/13hml|Sammelwerk=Redaktionsblog|Band=|Nummer=|Datum=17. März 2025}} * [[d:Wikidata:WikiProject Archival Description]] * Matthias Erfurt: [[Projekt:Archive + Wikidata 2025/Materialsammlung]] und [[d:User:Erfurth/GLAM#Wartungslisten|Wartungslisten]], LOST-Projektseite: https://sites.google.com/view/callforglam2025/ * List of archives in Poland known to Wikidata: https://w.wiki/FC3w * https://map.wikimedia.swiss/v/archives-ch-de/ {{SPARQL|query= #alle Archiv-Items von Deutschland ohne Koordinate SELECT ?item ?itemLabel ?cityLabel WHERE { ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118. # alle Archive und Subklassen davon ?item wdt:P17 wd:Q183. # mit Land: Deutschland ?item wdt:P131 ?city. # liegt in einer Stadt minus { ?item wdt:P625 [] # nur Items ohne Geo-Koordinaten } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de". } } }} === Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse === Special Collection of the Journal of Open Humanities Data (JOHD) that focuses on Wikidata as both a tool and an object of academic research: ''Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse'', [[d:Q136325279#P1433]], https://openhumanitiesdata.metajnl.com/collections/wikidata_across_the_humanities ; Discussion paper Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Abstract ''Wikidata is including data from municipal archives, state archives and other sectors: metadata from archival records, archive creators, on provenance and the archives themselves. The metadata of German archives in Wikidata has improved massively since winter 2024/25. Users added archive Qids (the unique identifier for Wikidata items), linked new identifiers, geo data and other information. We are asking in a call of the web portal SAXORUM for blog posts, reports, ideas and queries for 'Wikidata, Geo Data and Archives' since January, https://saxorum.hypotheses.org/12360. We will discuss 'nearby' perspectives in regional use cases in Saxony, regarding archival institutions nearby in Poland, Czech Republic and nearby Bundesländer. Nearby, meaning geographically adjacent institutions, regions and its open metadata. We demonstrate that indexing of archives in Wikidata can foster cooperation and networking among memory institutions.'' ; Übersicht [[d:Wikidata:WikiProject Germany/Archivwesen]] == Beiträge == * Max Grund: ''Archivale georeferenzieren. Ein Praxisbericht aus dem Projekt DigiHistDB'', Coding Oberpfalz, 14. Oktober 2025, https://oberpfalz.hypotheses.org/411 * Alexander Winkler: ''Nachlassinformationen aus Kalliope für Wikidata erschließen'', Saxorum, 5. Mai 2026, https://saxorum.hypotheses.org/15723 == Quellen == * Wolfgang Hans Stein: Inventar von Quellen zur deutschen Geschichte in Pariser Archiven und Bibliotheken. Band 2: Archive im Bereich des Verteidigungsministeriums, Archive des Außen- und Finanzministeriums, Stadtpariser Archive und Bibliotheken, Koblenz (Verlag der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz) 2002, Veröffentlichungen der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz, Bd. 97 (Instrumenta, 5), https://perspectivia.net//publikationen/instrumenta/stein_inventar * Siwecka, D. (2021). Awareness of Linked Open Data Among the Employees of Polish Libraries, Archives, and Museums. Results of a Survey – Pilot Study. ZIN. Studia Informacyjne/Information Studies, 59(2), 7–25, https://doi.org/10.36702/zin.826. * Siwecka, D. (2025). Linked Open Data (and Wikidata) Awareness in Polish LAM Sector – Survey (Early) Results. WikiCite 2025. August 30. https://w.wiki/Fmaw. == Galerie == <gallery> WC2025 Siwecka.pdf|Dorota Siwecka: ''[[meta:Abstracts#Linked_Open_Data_awareness_in_Polish_LAM_sector_–_Survey_Results|Linked Open Data awareness in Polish LAM sector – Survey Results]]'', WikiCite 2025 </gallery> [[Kategorie:Open GLAM]] 8nt8qkchw3d8v4dot3lz3vyiq3jk9ip 1080900 1080892 2026-05-23T16:42:06Z Jeb 26942 SPARQL Wikidata-Nearby-Query für Wikidata-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 1080900 wikitext text/x-wiki {{In Arbeit}} {{Projektdaten |PROJEKTTITEL=''Call for Edits nearby: Open archives metadata from Saxony'' |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], SLUB Dresden, [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=2025–... |ZUSAMMENARBEIT=Martin Munke [https://scholia.toolforge.org/author/Q28024172 (Q28024172)] |KURZBESCHREIBUNG=Saxorum: Call ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren'', https://saxorum.hypotheses.org/12360 |BILD= |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == The call remains open! == Datenpflege für das Bibliothekswesen ; [[Projekt:1Lib1Nearby#BiblioCON_2026|BiblioCON 2026-Bibliotheken]]: [https://query.wikidata.org/#%23title%3A%20Wikidata-Nearby-Query%20f%C3%BCr%20Wikipedia-Nearby-Queries%20der%20teilnehmenden%20Institutionen%20der%20BiblioCON%202026%0ASELECT%20%3Finst%20%3FinstLabel%20%3Furl%20WHERE%20%7B%0A%20%20VALUES%20%3Finst%20%7B%20wd%3AQ1006222%20wd%3AQ10520592%20wd%3AQ10697%20wd%3AQ107671516%20wd%3AQ109279249%20wd%3AQ111020102%20wd%3AQ111020932%20wd%3AQ1133733%20wd%3AQ113461196%20wd%3AQ114044012%20wd%3AQ114732%20wd%3AQ115573204%20wd%3AQ1204535%20wd%3AQ1204536%20wd%3AQ1204645%20wd%3AQ1205728%20wd%3AQ1205813%20wd%3AQ123021023%20wd%3AQ1233544%20wd%3AQ124218735%20wd%3AQ125153237%20wd%3AQ1255096%20wd%3AQ1273958%20wd%3AQ1278450%20wd%3AQ130473460%20wd%3AQ131875700%20wd%3AQ134532165%20wd%3AQ1367678%20wd%3AQ137610856%20wd%3AQ1379386%20wd%3AQ138472945%20wd%3AQ1388737%20wd%3AQ1391182%20wd%3AQ1391290%20wd%3AQ1391315%20wd%3AQ139846930%20wd%3AQ139847094%20wd%3AQ139847208%20wd%3AQ139847253%20wd%3AQ1407819%20wd%3AQ1415137%20wd%3AQ1430761%20wd%3AQ1436042%20wd%3AQ1458113%20wd%3AQ1478417%20wd%3AQ1484782%20wd%3AQ1485494%20wd%3AQ1504057%20wd%3AQ1504609%20wd%3AQ1518519%20wd%3AQ1518713%20wd%3AQ152087%20wd%3AQ152838%20wd%3AQ153006%20wd%3AQ1539517%20wd%3AQ1565517%20wd%3AQ1567759%20wd%3AQ1573209%20wd%3AQ15792046%20wd%3AQ15824236%20wd%3AQ15834499%20wd%3AQ15848804%20wd%3AQ15848805%20wd%3AQ15852122%20wd%3AQ15979678%20wd%3AQ1600777%20wd%3AQ1616201%20wd%3AQ1622088%20wd%3AQ1622135%20wd%3AQ1622216%20wd%3AQ1622220%20wd%3AQ1622239%20wd%3AQ162684%20wd%3AQ1667281%20wd%3AQ1668388%20wd%3AQ1680376%20wd%3AQ170109%20wd%3AQ17122276%20wd%3AQ1718711%20wd%3AQ1722676%20wd%3AQ1770764%20wd%3AQ1802138%20wd%3AQ1802141%20wd%3AQ1806348%20wd%3AQ18085187%20wd%3AQ1821142%20wd%3AQ18333131%20wd%3AQ18333276%20wd%3AQ189441%20wd%3AQ189928%20wd%3AQ190260%20wd%3AQ1937092%20wd%3AQ2073008%20wd%3AQ2239285%20wd%3AQ224514%20wd%3AQ2324633%20wd%3AQ2324644%20wd%3AQ2326818%20wd%3AQ2326823%20wd%3AQ2326882%20wd%3AQ2326915%20wd%3AQ2326921%20wd%3AQ2327009%20wd%3AQ233098%20wd%3AQ2359904%20wd%3AQ23786596%20wd%3AQ2399120%20wd%3AQ2496248%20wd%3AQ2496254%20wd%3AQ2496255%20wd%3AQ2496260%20wd%3AQ2496283%20wd%3AQ2496287%20wd%3AQ2496293%20wd%3AQ2496296%20wd%3AQ2496307%20wd%3AQ2496314%20wd%3AQ2496319%20wd%3AQ2496322%20wd%3AQ2496324%20wd%3AQ2496326%20wd%3AQ2496330%20wd%3AQ2496342%20wd%3AQ2496344%20wd%3AQ2496347%20wd%3AQ2496350%20wd%3AQ2496355%20wd%3AQ256507%20wd%3AQ27302%20wd%3AQ27429972%20wd%3AQ27863572%20wd%3AQ27978762%20wd%3AQ27991306%20wd%3AQ27991358%20wd%3AQ280017%20wd%3AQ284992%20wd%3AQ28650468%20wd%3AQ28662066%20wd%3AQ28662072%20wd%3AQ28662104%20wd%3AQ28662469%20wd%3AQ28681438%20wd%3AQ28681746%20wd%3AQ28681836%20wd%3AQ28681888%20wd%3AQ28681997%20wd%3AQ28686653%20wd%3AQ28733444%20wd%3AQ28733446%20wd%3AQ28733453%20wd%3AQ28733486%20wd%3AQ28733515%20wd%3AQ28733533%20wd%3AQ28733704%20wd%3AQ28734971%20wd%3AQ28737538%20wd%3AQ28738818%20wd%3AQ28738830%20wd%3AQ304037%20wd%3AQ309988%20wd%3AQ310695%20wd%3AQ311801%20wd%3AQ312653%20wd%3AQ315175%20wd%3AQ317032%20wd%3AQ317070%20wd%3AQ317179%20wd%3AQ319333%20wd%3AQ323270%20wd%3AQ37979269%20wd%3AQ391028%20wd%3AQ42944%20wd%3AQ462763%20wd%3AQ472839%20wd%3AQ49117%20wd%3AQ4957110%20wd%3AQ500692%20wd%3AQ501851%20wd%3AQ50280985%20wd%3AQ50378813%20wd%3AQ51985%20wd%3AQ52662334%20wd%3AQ54166%20wd%3AQ54804519%20wd%3AQ55152800%20wd%3AQ55153258%20wd%3AQ55153331%20wd%3AQ55153443%20wd%3AQ55153532%20wd%3AQ564783%20wd%3AQ568704%20wd%3AQ574571%20wd%3AQ604066%20wd%3AQ64826802%20wd%3AQ66780064%20wd%3AQ679913%20wd%3AQ683842%20wd%3AQ684773%20wd%3AQ686171%20wd%3AQ687017%20wd%3AQ689400%20wd%3AQ689854%20wd%3AQ695267%20wd%3AQ696757%20wd%3AQ697111%20wd%3AQ702499%20wd%3AQ707283%20wd%3AQ734324%20wd%3AQ77077361%20wd%3AQ80796%20wd%3AQ827220%20wd%3AQ829096%20wd%3AQ833738%20wd%3AQ835440%20wd%3AQ856423%20wd%3AQ856475%20wd%3AQ856552%20wd%3AQ872896%20wd%3AQ875587%20wd%3AQ896706%20wd%3AQ913987%20wd%3AQ98380085%20%7D%0A%20%20%3Finst%20p%3AP625%20%5B%20psv%3AP625%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLongitude%20%3Flon%20%3B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLatitude%20%3Flat%0A%20%20%20%20%5D%20%5D%0A%20%20BIND%20%28URI%28CONCAT%28%22https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FSpezial%3AIn_der_N%25C3%25A4he%23%2Fcoord%2F%22%2C%20STR%28%3Flat%29%2C%20%22%2C%22%2C%20STR%28%3Flon%29%29%29%20AS%20%3Furl%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cmul%2Cen%22.%20%7D%0A%7D Try it via Wikipedia-Nearby!] {{SPARQL|query= #------------------------------------------- #title: Wikidata-Nearby-Query für Wikidata-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 #------------------------------------------- SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 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} ?inst p:P625 [ psv:P625 [ wikibase:geoLongitude ?lon ; wikibase:geoLatitude ?lat ] ] BIND (URI(CONCAT("https:/wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/", STR(?lat), ",", STR(?lon))) AS ?url) SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],mul,en". } } }} == Queries == ; Weltkarte (Auswahl ''map'' & Play-Button): https://w.wiki/7zt9 & Ergebnis '''https://w.wiki/7zwE''' {{SPARQL|query= #------------------------------------------- #title: "archiviert" in Item with geocoords, archives at (P485) #------------------------------------------- #defaultView:Map{"hide":"?coords"} SELECT ?item ?itemLabel (CONCAT("Bestand: ", STR(?bestandID)) as ?bestand) ?image ?coords WHERE { ?item wdt:P485 ?archive. # Property:P485 archives at irgendwo ?item wdt:P625 ?coords. # hole Koordinaten aus den Items OPTIONAL { ?item p:P485 [ pq:P217 ?bestandID ]. } # hole optional Bestand ID aus Qualifier OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image. } # hole optional ein Bild der Einrichtung SERVICE 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März, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/244786 * Geokoordinaten am 20. Januar, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/242884 * Archives in Bavaria ID, 16. März, https://quickstatements.toolforge.org/#/batch/244463 == Links & Literatur == * [[Projekt:Staatsarchiv Leipzig 2023]] * [[Projekt:1Lib1Nearby]] * {{Literatur|Titel=Das Provenienzprinzip: Archivblogs plus Geo-Koordinaten|Autor=[[Benutzer:Jeb|Bemme, Jens]]; [[Benutzer:Erfurth|Matthias Erfurth]]|DOI=10.58079/13hml|Sammelwerk=Redaktionsblog|Band=|Nummer=|Datum=17. März 2025}} * [[d:Wikidata:WikiProject Archival Description]] * Matthias Erfurt: [[Projekt:Archive + Wikidata 2025/Materialsammlung]] und [[d:User:Erfurth/GLAM#Wartungslisten|Wartungslisten]], LOST-Projektseite: https://sites.google.com/view/callforglam2025/ * List of archives in Poland known to Wikidata: https://w.wiki/FC3w * https://map.wikimedia.swiss/v/archives-ch-de/ {{SPARQL|query= #alle Archiv-Items von Deutschland ohne Koordinate SELECT ?item ?itemLabel ?cityLabel WHERE { ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118. # alle Archive und Subklassen davon ?item wdt:P17 wd:Q183. # mit Land: Deutschland ?item wdt:P131 ?city. # liegt in einer Stadt minus { ?item wdt:P625 [] # nur Items ohne Geo-Koordinaten } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de". } } }} === Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse === Special Collection of the Journal of Open Humanities Data (JOHD) that focuses on Wikidata as both a tool and an object of academic research: ''Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse'', [[d:Q136325279#P1433]], https://openhumanitiesdata.metajnl.com/collections/wikidata_across_the_humanities ; Discussion paper Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Abstract ''Wikidata is including data from municipal archives, state archives and other sectors: metadata from archival records, archive creators, on provenance and the archives themselves. The metadata of German archives in Wikidata has improved massively since winter 2024/25. Users added archive Qids (the unique identifier for Wikidata items), linked new identifiers, geo data and other information. We are asking in a call of the web portal SAXORUM for blog posts, reports, ideas and queries for 'Wikidata, Geo Data and Archives' since January, https://saxorum.hypotheses.org/12360. We will discuss 'nearby' perspectives in regional use cases in Saxony, regarding archival institutions nearby in Poland, Czech Republic and nearby Bundesländer. Nearby, meaning geographically adjacent institutions, regions and its open metadata. We demonstrate that indexing of archives in Wikidata can foster cooperation and networking among memory institutions.'' ; Übersicht [[d:Wikidata:WikiProject Germany/Archivwesen]] == Beiträge == * Max Grund: ''Archivale georeferenzieren. Ein Praxisbericht aus dem Projekt DigiHistDB'', Coding Oberpfalz, 14. Oktober 2025, https://oberpfalz.hypotheses.org/411 * Alexander Winkler: ''Nachlassinformationen aus Kalliope für Wikidata erschließen'', Saxorum, 5. Mai 2026, https://saxorum.hypotheses.org/15723 == Quellen == * Wolfgang Hans Stein: Inventar von Quellen zur deutschen Geschichte in Pariser Archiven und Bibliotheken. Band 2: Archive im Bereich des Verteidigungsministeriums, Archive des Außen- und Finanzministeriums, Stadtpariser Archive und Bibliotheken, Koblenz (Verlag der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz) 2002, Veröffentlichungen der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz, Bd. 97 (Instrumenta, 5), https://perspectivia.net//publikationen/instrumenta/stein_inventar * Siwecka, D. (2021). Awareness of Linked Open Data Among the Employees of Polish Libraries, Archives, and Museums. Results of a Survey – Pilot Study. ZIN. Studia Informacyjne/Information Studies, 59(2), 7–25, https://doi.org/10.36702/zin.826. * Siwecka, D. (2025). Linked Open Data (and Wikidata) Awareness in Polish LAM Sector – Survey (Early) Results. WikiCite 2025. 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[[Projekt:1Lib1Nearby#BiblioCON_2026|BiblioCON 2026-Bibliotheken]]: [https://query.wikidata.org/#%23title%3A%20Wikidata-Nearby-Query%20f%C3%BCr%20Wikipedia-Nearby-Queries%20der%20teilnehmenden%20Institutionen%20der%20BiblioCON%202026%0ASELECT%20%3Finst%20%3FinstLabel%20%3Furl%20WHERE%20%7B%0A%20%20VALUES%20%3Finst%20%7B%20wd%3AQ1006222%20wd%3AQ10520592%20wd%3AQ10697%20wd%3AQ107671516%20wd%3AQ109279249%20wd%3AQ111020102%20wd%3AQ111020932%20wd%3AQ1133733%20wd%3AQ113461196%20wd%3AQ114044012%20wd%3AQ114732%20wd%3AQ115573204%20wd%3AQ1204535%20wd%3AQ1204536%20wd%3AQ1204645%20wd%3AQ1205728%20wd%3AQ1205813%20wd%3AQ123021023%20wd%3AQ1233544%20wd%3AQ124218735%20wd%3AQ125153237%20wd%3AQ1255096%20wd%3AQ1273958%20wd%3AQ1278450%20wd%3AQ130473460%20wd%3AQ131875700%20wd%3AQ134532165%20wd%3AQ1367678%20wd%3AQ137610856%20wd%3AQ1379386%20wd%3AQ138472945%20wd%3AQ1388737%20wd%3AQ1391182%20wd%3AQ1391290%20wd%3AQ1391315%20wd%3AQ139846930%20wd%3AQ139847094%20wd%3AQ139847208%20wd%3AQ139847253%20wd%3AQ1407819%20wd%3AQ1415137%20wd%3AQ1430761%20wd%3AQ1436042%20wd%3AQ1458113%20wd%3AQ1478417%20wd%3AQ1484782%20wd%3AQ1485494%20wd%3AQ1504057%20wd%3AQ1504609%20wd%3AQ1518519%20wd%3AQ1518713%20wd%3AQ152087%20wd%3AQ152838%20wd%3AQ153006%20wd%3AQ1539517%20wd%3AQ1565517%20wd%3AQ1567759%20wd%3AQ1573209%20wd%3AQ15792046%20wd%3AQ15824236%20wd%3AQ15834499%20wd%3AQ15848804%20wd%3AQ15848805%20wd%3AQ15852122%20wd%3AQ15979678%20wd%3AQ1600777%20wd%3AQ1616201%20wd%3AQ1622088%20wd%3AQ1622135%20wd%3AQ1622216%20wd%3AQ1622220%20wd%3AQ1622239%20wd%3AQ162684%20wd%3AQ1667281%20wd%3AQ1668388%20wd%3AQ1680376%20wd%3AQ170109%20wd%3AQ17122276%20wd%3AQ1718711%20wd%3AQ1722676%20wd%3AQ1770764%20wd%3AQ1802138%20wd%3AQ1802141%20wd%3AQ1806348%20wd%3AQ18085187%20wd%3AQ1821142%20wd%3AQ18333131%20wd%3AQ18333276%20wd%3AQ189441%20wd%3AQ189928%20wd%3AQ190260%20wd%3AQ1937092%20wd%3AQ2073008%20wd%3AQ2239285%20wd%3AQ224514%20wd%3AQ2324633%20wd%3AQ2324644%20wd%3AQ2326818%20wd%3AQ2326823%20wd%3AQ2326882%20wd%3AQ2326915%20wd%3AQ2326921%20wd%3AQ2327009%20wd%3AQ233098%20wd%3AQ2359904%20wd%3AQ23786596%20wd%3AQ2399120%20wd%3AQ2496248%20wd%3AQ2496254%20wd%3AQ2496255%20wd%3AQ2496260%20wd%3AQ2496283%20wd%3AQ2496287%20wd%3AQ2496293%20wd%3AQ2496296%20wd%3AQ2496307%20wd%3AQ2496314%20wd%3AQ2496319%20wd%3AQ2496322%20wd%3AQ2496324%20wd%3AQ2496326%20wd%3AQ2496330%20wd%3AQ2496342%20wd%3AQ2496344%20wd%3AQ2496347%20wd%3AQ2496350%20wd%3AQ2496355%20wd%3AQ256507%20wd%3AQ27302%20wd%3AQ27429972%20wd%3AQ27863572%20wd%3AQ27978762%20wd%3AQ27991306%20wd%3AQ27991358%20wd%3AQ280017%20wd%3AQ284992%20wd%3AQ28650468%20wd%3AQ28662066%20wd%3AQ28662072%20wd%3AQ28662104%20wd%3AQ28662469%20wd%3AQ28681438%20wd%3AQ28681746%20wd%3AQ28681836%20wd%3AQ28681888%20wd%3AQ28681997%20wd%3AQ28686653%20wd%3AQ28733444%20wd%3AQ28733446%20wd%3AQ28733453%20wd%3AQ28733486%20wd%3AQ28733515%20wd%3AQ28733533%20wd%3AQ28733704%20wd%3AQ28734971%20wd%3AQ28737538%20wd%3AQ28738818%20wd%3AQ28738830%20wd%3AQ304037%20wd%3AQ309988%20wd%3AQ310695%20wd%3AQ311801%20wd%3AQ312653%20wd%3AQ315175%20wd%3AQ317032%20wd%3AQ317070%20wd%3AQ317179%20wd%3AQ319333%20wd%3AQ323270%20wd%3AQ37979269%20wd%3AQ391028%20wd%3AQ42944%20wd%3AQ462763%20wd%3AQ472839%20wd%3AQ49117%20wd%3AQ4957110%20wd%3AQ500692%20wd%3AQ501851%20wd%3AQ50280985%20wd%3AQ50378813%20wd%3AQ51985%20wd%3AQ52662334%20wd%3AQ54166%20wd%3AQ54804519%20wd%3AQ55152800%20wd%3AQ55153258%20wd%3AQ55153331%20wd%3AQ55153443%20wd%3AQ55153532%20wd%3AQ564783%20wd%3AQ568704%20wd%3AQ574571%20wd%3AQ604066%20wd%3AQ64826802%20wd%3AQ66780064%20wd%3AQ679913%20wd%3AQ683842%20wd%3AQ684773%20wd%3AQ686171%20wd%3AQ687017%20wd%3AQ689400%20wd%3AQ689854%20wd%3AQ695267%20wd%3AQ696757%20wd%3AQ697111%20wd%3AQ702499%20wd%3AQ707283%20wd%3AQ734324%20wd%3AQ77077361%20wd%3AQ80796%20wd%3AQ827220%20wd%3AQ829096%20wd%3AQ833738%20wd%3AQ835440%20wd%3AQ856423%20wd%3AQ856475%20wd%3AQ856552%20wd%3AQ872896%20wd%3AQ875587%20wd%3AQ896706%20wd%3AQ913987%20wd%3AQ98380085%20%7D%0A%20%20%3Finst%20p%3AP625%20%5B%20psv%3AP625%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLongitude%20%3Flon%20%3B%0A%20%20%20%20%20%20wikibase%3AgeoLatitude%20%3Flat%0A%20%20%20%20%5D%20%5D%0A%20%20BIND%20%28URI%28CONCAT%28%22https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FSpezial%3AIn_der_N%25C3%25A4he%23%2Fcoord%2F%22%2C%20STR%28%3Flat%29%2C%20%22%2C%22%2C%20STR%28%3Flon%29%29%29%20AS%20%3Furl%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cmul%2Cen%22.%20%7D%0A%7D Try it via Wikipedia-Nearby!] {{SPARQL|query= #------------------------------------------- #title: Wikidata-(Nearby)-Query für Wikidata-Nearby-Queries der teilnehmenden Institutionen der BiblioCON 2026 #------------------------------------------- SELECT ?inst ?instLabel ?url WHERE { VALUES ?inst { wd:Q1006222 wd:Q10520592 wd:Q10697 wd:Q107671516 wd:Q109279249 wd:Q111020102 wd:Q111020932 wd:Q1133733 wd:Q113461196 wd:Q114044012 wd:Q114732 wd:Q115573204 wd:Q1204535 wd:Q1204536 wd:Q1204645 wd:Q1205728 wd:Q1205813 wd:Q123021023 wd:Q1233544 wd:Q124218735 wd:Q125153237 wd:Q1255096 wd:Q1273958 wd:Q1278450 wd:Q130473460 wd:Q131875700 wd:Q134532165 wd:Q1367678 wd:Q137610856 wd:Q1379386 wd:Q138472945 wd:Q1388737 wd:Q1391182 wd:Q1391290 wd:Q1391315 wd:Q139846930 wd:Q139847094 wd:Q139847208 wd:Q139847253 wd:Q1407819 wd:Q1415137 wd:Q1430761 wd:Q1436042 wd:Q1458113 wd:Q1478417 wd:Q1484782 wd:Q1485494 wd:Q1504057 wd:Q1504609 wd:Q1518519 wd:Q1518713 wd:Q152087 wd:Q152838 wd:Q153006 wd:Q1539517 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März 2025}} * [[d:Wikidata:WikiProject Archival Description]] * Matthias Erfurt: [[Projekt:Archive + Wikidata 2025/Materialsammlung]] und [[d:User:Erfurth/GLAM#Wartungslisten|Wartungslisten]], LOST-Projektseite: https://sites.google.com/view/callforglam2025/ * List of archives in Poland known to Wikidata: https://w.wiki/FC3w * https://map.wikimedia.swiss/v/archives-ch-de/ {{SPARQL|query= #alle Archiv-Items von Deutschland ohne Koordinate SELECT ?item ?itemLabel ?cityLabel WHERE { ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118. # alle Archive und Subklassen davon ?item wdt:P17 wd:Q183. # mit Land: Deutschland ?item wdt:P131 ?city. # liegt in einer Stadt minus { ?item wdt:P625 [] # nur Items ohne Geo-Koordinaten } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de". } } }} === Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse === Special Collection of the Journal of Open Humanities Data (JOHD) that focuses on Wikidata as both a tool and an object of academic research: ''Wikidata across the humanities: datasets, methodologies, reuse'', [[d:Q136325279#P1433]], https://openhumanitiesdata.metajnl.com/collections/wikidata_across_the_humanities ; Discussion paper Jens Bemme, Martin Munke: ''Call for Edits Nearby: Open Archives Metadata from Saxony'', 20. Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Abstract ''Wikidata is including data from municipal archives, state archives and other sectors: metadata from archival records, archive creators, on provenance and the archives themselves. The metadata of German archives in Wikidata has improved massively since winter 2024/25. Users added archive Qids (the unique identifier for Wikidata items), linked new identifiers, geo data and other information. We are asking in a call of the web portal SAXORUM for blog posts, reports, ideas and queries for 'Wikidata, Geo Data and Archives' since January, https://saxorum.hypotheses.org/12360. We will discuss 'nearby' perspectives in regional use cases in Saxony, regarding archival institutions nearby in Poland, Czech Republic and nearby Bundesländer. Nearby, meaning geographically adjacent institutions, regions and its open metadata. We demonstrate that indexing of archives in Wikidata can foster cooperation and networking among memory institutions.'' ; Übersicht [[d:Wikidata:WikiProject Germany/Archivwesen]] == Beiträge == * Max Grund: ''Archivale georeferenzieren. Ein Praxisbericht aus dem Projekt DigiHistDB'', Coding Oberpfalz, 14. Oktober 2025, https://oberpfalz.hypotheses.org/411 * Alexander Winkler: ''Nachlassinformationen aus Kalliope für Wikidata erschließen'', Saxorum, 5. Mai 2026, https://saxorum.hypotheses.org/15723 == Quellen == * Wolfgang Hans Stein: Inventar von Quellen zur deutschen Geschichte in Pariser Archiven und Bibliotheken. Band 2: Archive im Bereich des Verteidigungsministeriums, Archive des Außen- und Finanzministeriums, Stadtpariser Archive und Bibliotheken, Koblenz (Verlag der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz) 2002, Veröffentlichungen der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz, Bd. 97 (Instrumenta, 5), https://perspectivia.net//publikationen/instrumenta/stein_inventar * Siwecka, D. (2021). Awareness of Linked Open Data Among the Employees of Polish Libraries, Archives, and Museums. Results of a Survey – Pilot Study. ZIN. Studia Informacyjne/Information Studies, 59(2), 7–25, https://doi.org/10.36702/zin.826. * Siwecka, D. (2025). Linked Open Data (and Wikidata) Awareness in Polish LAM Sector – Survey (Early) Results. WikiCite 2025. August 30. https://w.wiki/Fmaw. == Galerie == <gallery> WC2025 Siwecka.pdf|Dorota Siwecka: ''[[meta:Abstracts#Linked_Open_Data_awareness_in_Polish_LAM_sector_–_Survey_Results|Linked Open Data awareness in Polish LAM sector – Survey Results]]'', WikiCite 2025 </gallery> [[Kategorie:Open GLAM]] 6y9kt6w0hactkzt86a39e1agtdfai7n 106 168624 1080916 1080089 2026-05-24T11:25:44Z Λυκας 38324 1080916 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| In dieser Vorlesung besprechen wir Partitionen einer Menge in Beziehung zu Äquivalenzrelationen und insbesondere die Anzahl von Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge {{math|term= M |SZ=}} in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke. Diese Zahl hängt eng mit der Anzahl von surjektiven Abbildungen zusammen. {{Zwischenüberschrift|Partitionen}} {{:Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Dies ist auch ein Spezialfall von {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsisomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} aus der nächsten Vorlesung. }} {{ inputfaktbeweis |Partitionen/Klassenanzahltupel/Anzahl mit Multinomialkoeffizient/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen zweiter Art}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Rekursionseigenschaften}} {{:Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Bellzahl}} {{ inputdefinition |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Stirling-Zahlen erster Art}} Wir erinnern daran, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} auf einer endlichen Menge nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine im Wesentlichen eindeutige {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklendarstellung| |Kontext=Permutation| |SZ= }} besitzt. Über die Zyklendarstellung liegt insbesondere eine Partition der zugrundeliegenden Menge vor, nämlich allein über die Wirkungsbereiche. Die Zyklendarstellung enthält aber mehr Information, da in den einzelnen Wirkungsbereichen noch festzulegen ist, in welcher Reihenfolge die Elemente zyklisch zu durchlaufen sind. In diesem Kontext werden die Stirling-Zahlen erster Art definiert. {{:Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Aufgaben/Einführung/Textabschnitt}} }} 6p7rl2t1ubqszfptbmhov7fsxyzxlzh 106 168844 1080855 1072021 2026-05-23T12:04:52Z Bocardodarapti 2041 1080855 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe}} In vielen Gebieten der Mathematik spielen homologische Methoden eine wichtige Rolle. Dabei wird den mathematischen Objekten eine Gruppe als Invariante zugeordnet, die relevante Information über das ursprüngliche Objekt beinhaltet aber zugleich deutlich einfacher strukturiert ist. Beispiele hierfür sind die Fundamentalgruppe in der Topologie, Homotopie- und Homologiegruppen in der algebraischen Topologie, Kohomologiegruppen zu Garben in der algebraischen Geometrie, ... . Das Verschwinden dieser Gruppen charakterisiert dabei wichtige geometrische Eigenschaften. Die Konstruktion dieser Gruppen ist im Allgemeinen aufwändig und geht dabei häufig über den Weg von {{Anführung|sehr großen}} Gruppen modulo sehr großen Untergruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Normalteilern| |ISZ=|ESZ=, }} wobei die Restklassengruppen dann {{Anführung|ziemlich klein}} sind. In diesen Zusammenhang fügt sich auch die Divisorenklassengruppe für algebraische Zahlbereiche ein. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition|}} Die Divisorenklassengruppe wird häufig auch als {{Stichwort|Idealklassengruppe}} oder einfach als {{Stichwort|Klassengruppe}} bezeichnet. Sie ist kommutativ und wird additiv geschrieben. Ihre Elemente sind Äquivalenzklassen und werden durch Divisoren repräsentiert, wobei zwei Divisoren genau dann die gleiche Klasse repräsentieren, wenn ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Sie heißen {{Stichwort|Divisorklassen|msw=Divisorklasse|SZ=}} oder {{Stichwort|Idealklassen|msw=Idealklasse|SZ=.}} Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man die Divisorenklasse auch als die Restklassengruppe zur Gruppe der gebrochenen Ideale modulo der Untergruppe der gebrochenen Hauptideale erhalten. Ein späteres Hauptresultat, das aber einige Vorbereitungen braucht, wird sein, dass die Klassengruppe von Zahlbereichen endlich ist, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt |Nr= |SZ=. }} Sie ist eine wesentliche {{ Zusatz/Klammer |text=ko| |ISZ=|ESZ=- }}homologische Invariante eines Zahlbereichs und enthält wesentliche Informationen über diesen. Generell lässt sich sagen, dass ihre Größe zum Ausdruck bringt, wie weit ein Zahlbereich von der Faktorialität entfernt ist. Der nächste Satz charakterisiert die Faktorialität dadurch, dass die Klassengruppe trivial ist. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz|}} Insofern ist die erste wichtige Frage bei einem Dedekindbereich, ob seine Klassengruppe gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist oder nicht. {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Quadrat des Standardideals/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe unter Homomorphismen}} Ein wichtiger Aspekt von homologischen Invarianten ist, dass sie nicht nur den Objekten Gruppen zuordnen, sondern auch den richtigen Abbildungen zwischen den Objekten Gruppenhomomorphismen. Wir besprechen zuerst den Fall einer Nenneraufnahme {{ Abbildung |name= | R | R_S || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |multiplikativen System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | S | \subseteq | R || || || |SZ= }} in einem Dedekindbereich. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} entsprechen die Primideale von {{math|term= R_S |SZ=}} den Primidealen von {{math|term= R |SZ=,}} die mit {{math|term= S |SZ=}} einen leeren Schnitt haben. Bei gegebenem {{math|term= S |SZ=}} kann man also die Primideale von {{math|term= R |SZ=}} dahingehend aufteilen, ob sie einen leeren oder einen nichtleeren Durchschnitt mit {{math|term= S |SZ=}} haben. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| }} Die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} | {{op:Divisorenklassengruppe| R_S |}} || |SZ= }} fügt sich in das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Divisorengruppe| R |}}| {{op:Divisorengruppe| R_S |}} |{{op:Divisorenklassengruppe| R |}} |{{op:Divisorenklassengruppe| R_S |}} }} ein, wobei die obere horizontale Abbildung einen Divisor {{mathl|term= \sum_{{idealp}} n_{{idealp}} {{idealp}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} einfach auf denjenigen Divisor von {{math|term= R_S |SZ=}} abbildet, bei dem die Primideale {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} \cap S |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} ignoriert {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|vergessen}}| |ISZ=|ESZ= }} werden. Dies entspricht der Abbildung, bei der ein {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} {{math|term= {{idealf|}} |SZ=}} auf das Erweiterungsideal {{math|term= {{idealf|}} R_S |SZ=}} abgebildet wird. {{:Dedekindbereich/Erweiterung/Klassengruppe/Rückzug/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Einheitskreis/R/Möbiusband/Ideal/Beispiel|| }} }} sgaq21758zil6l6fzasihmaaqx8v16l 1080856 1080855 2026-05-23T12:07:03Z Bocardodarapti 2041 1080856 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe}} In vielen Gebieten der Mathematik spielen homologische Methoden eine wichtige Rolle. Dabei wird den mathematischen Objekten eine Gruppe als Invariante zugeordnet, die relevante Information über das ursprüngliche Objekt beinhaltet aber zugleich deutlich einfacher strukturiert ist. Beispiele hierfür sind die Fundamentalgruppe in der Topologie, Homotopie- und Homologiegruppen in der algebraischen Topologie, Kohomologiegruppen zu Garben in der algebraischen Geometrie, ... . Das Verschwinden dieser Gruppen charakterisiert dabei wichtige geometrische Eigenschaften. Die Konstruktion dieser Gruppen ist im Allgemeinen aufwändig und geht dabei häufig über den Weg von {{Anführung|sehr großen}} Gruppen modulo sehr großen Untergruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Normalteilern| |ISZ=|ESZ=, }} wobei die Restklassengruppen dann {{Anführung|ziemlich klein}} sind. In diesen Zusammenhang fügt sich auch die Divisorenklassengruppe für algebraische Zahlbereiche ein. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition|}} Die Divisorenklassengruppe wird häufig auch als {{Stichwort|Idealklassengruppe}} oder einfach als {{Stichwort|Klassengruppe}} bezeichnet. Sie ist kommutativ und wird additiv geschrieben. Ihre Elemente sind Äquivalenzklassen und werden durch Divisoren repräsentiert, wobei zwei Divisoren genau dann die gleiche Klasse repräsentieren, wenn ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Sie heißen {{Stichwort|Divisorklassen|msw=Divisorklasse|SZ=}} oder {{Stichwort|Idealklassen|msw=Idealklasse|SZ=.}} Insbesondere werden Hauptdivisoren zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht. Die Hauptdivisoren werden also innerhalb der Klassengruppe als trivial angesehen. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man die Divisorenklasse auch als die Restklassengruppe zur Gruppe der gebrochenen Ideale modulo der Untergruppe der gebrochenen Hauptideale erhalten. Ein späteres Hauptresultat, das aber einige Vorbereitungen braucht, wird sein, dass die Klassengruppe von Zahlbereichen endlich ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt |Nr= |SZ=. }} Sie ist eine wesentliche {{ Zusatz/Klammer |text=ko| |ISZ=|ESZ=- }}homologische Invariante eines Zahlbereichs und enthält wesentliche Informationen über diesen. Generell lässt sich sagen, dass ihre Größe zum Ausdruck bringt, wie weit ein Zahlbereich von der Faktorialität entfernt ist. Der nächste Satz charakterisiert die Faktorialität dadurch, dass die Klassengruppe trivial ist. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz|}} Insofern ist die erste wichtige Frage bei einem Dedekindbereich, ob seine Klassengruppe gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist oder nicht. {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Quadrat des Standardideals/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe unter Homomorphismen}} Ein wichtiger Aspekt von homologischen Invarianten ist, dass sie nicht nur den Objekten Gruppen zuordnen, sondern auch den richtigen Abbildungen zwischen den Objekten Gruppenhomomorphismen. Wir besprechen zuerst den Fall einer Nenneraufnahme {{ Abbildung |name= | R | R_S || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |multiplikativen System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | S | \subseteq | R || || || |SZ= }} in einem Dedekindbereich. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} entsprechen die Primideale von {{math|term= R_S |SZ=}} den Primidealen von {{math|term= R |SZ=,}} die mit {{math|term= S |SZ=}} einen leeren Schnitt haben. 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