Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 108 20639 1080945 153709 2026-05-25T08:53:46Z ~2026-31196-46 41600 1080945 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Allgemeines''' | * Name: KZ-Außenlager Görlitz * Andere Namen: KZ Biesnitzer Grund, KZ Görlitz, Arbeitslager Görlitz * Erste Erwähnung: 09.06.1944 * Eröffnung: 10.08.1944 * Befreiung: 08.05.1944 * Lagerkommandant: Erich Rechenberg * Lagerführer: Winfried Zunker * Lagerältester: Hermann Czech * Gefangenenzahl: 1200 Männer, 300 Frauen * Herkunft der Häftlinge: Polen, Ungarn, Rumänien, Deutschland, Österreich, Niederlande, Griechenland }} == Lage == Im Görlitzer Stadtteil Südstadt befindet sich am Ende der Fröbelstraße eine Kleingartenkolonie namens "Biesnitzer Grund". Auf ebendiesem Gelände befand sich das KZ-Außenlager Görlitz. [[Image:Lage KZ-AL Görlitz.jpg|500px]] == Forschungsaktivitäten == * Andrea Rudorff, TU Berlin * Roland Otto (Ratsarchiv Görlitz) * Niels Seidel, Berthelsdorf ---- * hospi30, Görlitz * Sonja Bloss und Martina Wagner (Julie Curie Gymnasium Görlitz) * Kurt Wolf, Löbau * Katja Junge == Archivalien == Die gemachten Angaben geben einen groben Überblick über die bekannten Quellen. Detailliertere Angaben zu den Archivalien werden demnächst ergänzt. ==== Museum und Gedenkstätte Groß-Rosen ==== ([http://www.gross-rosen.pl/ siehe]) * Auszüge aus den Akten des Prozesses gegen den Lagerältesten Hermann Czech ==== Jüdisch Historisches Institut Warschau ==== * ca. 9 Überlebendenberichte in polnischer Sprache ==== Yad Vashem (Israel) ==== * Überlebendenberichte in Form von Texten, Videos und Audioaufzeichnungen in verschiedenen Sprachen (meist hebräisch) ==== United States Holocuast Memorial Museum (Washington / USA) ==== * ähnlich wie Yad Vashem * zwei Fotos des Lagers ==== Ratsarchiv Görlitz ==== (Signatur: Sammlungsgut KZ Biesnitzer Grund) * einzelne Überlebendenberichte * Kopie der MfS-Akten des Malitz-Meinshausen-Prozess ==== Bundesbeauftragter für die Staatssicherheit Unterlagen ==== (Otto Braun Str., Berlin) * Prozessakten im Fall Malitz – Meinshausen. ==== Landesarchiv Berlin ==== * Akten über die Vorermittlungen gegen den Görlitzer Lagerkommandanten Erich Rechenberg (Signatur: B Rep058) ==== Staatsarchiv Dresden ==== * Unterlagen über die WUMAG, insbesondere zwei Bildbände, welche die Kriegszeit des Unternehmens kritisch dokumentieren ==== Podoslst (Russland) ==== * ? ==== Jelena Gora (Polen) ==== * Prozessakten von Winfried Zunker (Lagerführer) und Hermann Czech (Lagerälteste) == Literatur == * Niels Seidel: "Die KZ-Außenlager Görlitz und Rennersdorf 1944/45 – Ein Beitrag zur Aufarbeitung der Geschehnisse im KZ Groß Rosen", Neiße Verlag, 2008, 256 Seiten. * Kurt Wolf: "Das KZ-Außenlager Görlitz Biesnitzer Grund", Stadtverwaltung Görlitz, 2005. * Wolfgang Benz / Barbara Diestel (Hrgs.): "Orte des Terrors. Geschichte der nationalsozialistischen Konzentrationslager Band 6 Natzweiler Groß-Rosen Stutthof". Verlag C. H. Beck, München 2007. * Gräfe, Karl-Heinz/ Töpfer Hans- Jürgen: "Ausgesondert und fast vergessen. KZ-Außenlager auf dem Territorium des heutigen Sachsen", Dresden 1996. * Roland Otto: "Die Verfolgung der Juden in Görlitz unter der faschistischen Diktatur 1933-1945". Stadtverwaltung Görlitz (Hrg.). Görlitz 1990. ==== Literatur von ehemaligen Häftlingen ==== * Shlomo Graber: "Schlajme. Von Ungarn durch Auschwitz-Birkenau, Fünfteichen und Görlitz nach Israel. Jüdische Familiengeschichte 1859-2001." HARTUNG-GORRE Verlag, 2002, 160 Seiten. * Simon Schweitzer (Hrg.) / Milly Charon: "Simons langer Weg". Büchergilde Gutenberg. Frankfurt a.M. 2002. * Anna Hyndráková: "Letter to my children" in: "World without human dimension". State Jewish Museum Praque. Praque 1991. * Henryk Vogler: "Autoportret z Pamįeci". Wydawnictwo Literackie. Kraków 1981. == Filmdokumente == * DEFA Wochenschau "Der Augenzeuge", Nr 102, 1948: "Kriegsverbrecherprozeß in Görlitz". Dauer: 1:03 Minuten. == Internetquellen == * [http://tc.usc.edu/vhitc/ Shoah Foundation: Institute for visual history]: ca. 144 Vidoes von ehem. Häftlingen, die für kurze oder längere Zeit im KZ-AL Görlitz inhaftiert waren. {{Coordinate|NS=51/8/32.0/N|EW=14/57/52.0/E|type=landmark|region=DE-SN}} 1ubvvjlvojtxg97oro3yo84cizmt465 106 61362 1080940 1080914 2026-05-25T07:09:27Z Intruder 30969 Änderung [[Special:Diff/1080914|1080914]] von [[Special:Contributions/~2026-30983-57|~2026-30983-57]] ([[User talk:~2026-30983-57|Diskussion]]) rückgängig gemacht (Vandalismus entfernt). 1080940 wikitext text/x-wiki Diese Seite ist dafür gedacht, dass einige nützliche und für den Kurs hilfreiche Funktionen von Wikiversity erklärt werden. Weitere Informationen findet man auch auf den Hilfeseiten von [[w:Hilfe:Textgestaltung|Wikipedia]] und [[Wikiversity:Hilfe | Wikiversity]]. == Eine Seite erstellen == [[File:Wikiversityseite erstellen Tutorial.JPG|thumb|Wie man einen neuen Artikel erstellen kann]] Um eine Seite zu erstellen, die zur Kursseite gehört, verändert man zunächst die URL. Am besten sollte man mindestens eine Minute über den Titel nachdenken. Man kommt nun auf eine Seite, die die Möglichkeit bietet einen neuen Wikiversity-Artikel zu erstellen (siehe Bild). In der deutschen Wikipedia existiert auch eine [[w:Hilfe:Neuen_Artikel_anlegen|Anleitung zum Erstellen einer Wikipediaseite]] == Einfügen von Inhalten und Struktur == === Dateien hochladen und einbinden === [[File:Wikimediacommons Datei hochladen Wikiversity Tutorial.JPG|thumb|Wie man eine Seite auf Wikimedia commons hochlädt und bezeichnet.]] Man kann Dateien auf Wikiversity verwenden, indem man sie auf die Seite [{{fullurl:commons:Hauptseite|uselang=de}} Wikimedia Commons] hochlädt. Die Datei kann man einer Kategorie zuweisen, in unserem Fall ist das die Kategorie "Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer". Man erhält einen Link, den man in die Seite einfügen kann. === Vorlagen verwenden === [[File:Beispiel einer Vorlage für eine Navigationsleiste.png|thumb|Vorlage der Navigationsleiste]] [[File:Quellcode der Navileiste.png|thumb|Einfügen eines Links in die Navigationsleiste]] [[File:Fertige Navigationsleiste.png|thumb|Zeigt die Navigationsleiste mit neu eingefügtem Link]] Eine Vorlage ist z.B eine Navigationsleiste, die für mehrere Seiten eines Kurses gebraucht wird. Nun muss man nicht immer und immer wieder den selben Quellcode schreiben. Die einmal erstellte Vorlage wird einfach an den gewünschten Stellen eingefügt. Man fügt diesen ein, indem man diesen Code <nowiki>{{Link zur Vorlage}}</nowiki> dafür eingibt. Man kann auch die Navigationsleiste verändern, indem man die Vorlage ändert. So werden auf allen Seiten des Kurses diese Änderungen an der Navigationsleiste übernommen. Wenn man nun die Seite "Wikiversity verwenden" in der Navigationsleiste verlinken möchte, geht man zuerst auf "Bearbeiten" der Vorlage und fügt den Link an der entsprechenden Stelle ein, wie man in der Grafik sehen kann. Nun sieht man den eingefügten Link auf allen Seiten, auf denen die Navigationsleiste eingefügt wurde. === Programmcode einbinden === Um einen Programmcode in eine Wikiversity-Seite einzubinden, kann man folgenden Befehl verwenden: {{Kasten| Text = <nowiki> <syntaxhighlight lang="C"> </nowiki> <nowiki> </syntaxhighlight></nowiki> }} Beispiel: <syntaxhighlight lang="C"> #include<stdio.h> int main() { printf("hallo") } </syntaxhighlight> === Hinweiskasten === Ein [[Vorlage:Kasten|Hinweiskasten]] kann durch folgende Funktion erstellt werden: {{Kasten| Text = <nowiki>{{Kasten| Text = Hier Text einfügen}}</nowiki>}} Ein anderer Kasten, wie dieser, kann durch das einfügen eines Leerzeichens vor dem Absatz erstellt werden: Hier Text einfügen == Tabellen == === Einfache Tabellen === Um eine Tabelle zu erstellen braucht man erst einmal das Grundgerüst: <nowiki> {| |Tabelle mit einer Spalte und Zeile |}</nowiki> Um weiter Spalten einzufügen, muss man nur eine weiter Zeile im Quellcode schreiben: <nowiki> {| |Erste Spalte |Zweite Spalte |}</nowiki> Um eine weiter Zeile einzufügen, fügt man einen senkrechten Strich und einen Bindestrich ein: <nowiki> {| |Erste Zeile |- |Zweite Zeile |}</nowiki> Wenn man eine Kopfzeile einfügen möchte, ersetzt man den senkrechten Strich durch ein Ausrufezeichen: <nowiki> {| !Kopfzeile |- |Normale Zeile |}</nowiki> === Sortierbare Tabellen === Bei einer sortierbaren Tabelle muss man im Quelltext nur eine kleine Änderung vornehmen: <nowiki> {| class="wikitable sortable" |Zeile eins |- |Zeile zwei |}</nowiki> Um eine Spalte nicht sortierbar zu machen gibt man nur den Befehl class="unsortable" vor die Kopfzeile dieser Spalte ein. === Beispiel Tabelle === {| class="wikitable sortable" ! Kopfzeile !! class="unsortable"| Unsortierbare Spalte |- |Beispiel 1 || Diese |- |Beispiel 2 || Spalte |- |Beispiel 3 || ist nicht |- |Beispiel 4 || sortierbar!! |} {{Kurs:Wie_funktioniert_eigentlich_ein_Computer/How-To_Thema_erstellen}} [[Kategorie:Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer]] [[Kategorie:Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer/Themen]] [[Kategorie:Wikiversity:Tutorial]] 7gzjgpy4cs3amhz88380pljfudi9cno 106 168655 1080928 1080647 2026-05-24T12:59:16Z Bocardodarapti 2041 1080928 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Graph/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Ringe/4 Elemente/Multiplikation/Faseranzahltupel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Teilbarkeitsdiagramm/Konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei der folgenden Aufgabe orientiere man sich an {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt |Nr= |SZ=. }} Man braucht allerdings den {{ Definitionslink |Prämath= |Mächtigkeitsbegriff| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Bijektive Abbildungen/Konjugiert/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} g7agw5m5lgkvesqhp3dt3zy5pk8rd7f 1080932 1080928 2026-05-24T13:04:15Z Bocardodarapti 2041 1080932 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Endliche Mengen/Potenzmenge/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Graph/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorphie/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstante Abbildungen/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ist eine Neuformulierung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Faseranzahltupel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Ringe/4 Elemente/Multiplikation/Faseranzahltupel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Links- und rechtsisomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen auf Menge/Begriffe/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Teilbarkeitsdiagramm/Konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/Identität/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei der folgenden Aufgabe orientiere man sich an {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt |Nr= |SZ=. }} Man braucht allerdings den {{ Definitionslink |Prämath= |Mächtigkeitsbegriff| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Bijektive Abbildungen/Konjugiert/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Faseranzahltupel/5 nach 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/6-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.) }} }} 09sw58nt8gczw84mpzr0r8ap2v5colo 106 168658 1080944 1079579 2026-05-25T07:59:29Z Bocardodarapti 2041 1080944 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man soll also nur die {{Anführung|Isomorphieklassen}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname=Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition |SZ= }} auflisten. }} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Pferdsprung/Schachbrett/3x3/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Läuferzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Teilerfremdheitsgraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Komplementärgraph. }} {{ inputaufgabe |Pferdsprung/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} pwq87n8uv27472v4dde2jouwx9y6ab8 0 169406 1080938 1079926 2026-05-24T14:39:19Z Bocardodarapti 2041 1080938 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} Unter linearer Rekursion versteht man sowohl die angegebene Gleichung als auch die dadurch definierte Folge. Genauer ist, von einer linear-rekursiven Folge zu sprechen. Eine lineare Rekursion kann man als eine Matrixrekursion {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x_n | x_{n-1} | \vdots | x_{ n-{{{d|d}}}+1 } }} || {{op:Matrix44| a_1 | a_2 | \ldots | a_{{{d|d}}} | 1 | 0 | \ldots | 0 | \vdots | \ddots | \ddots | \vdots | 0 | \ldots | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| x_{n-1} | x_{n-2} | \vdots| x_{ n-{{{d|d}}} } }} || || || |SZ= }} schreiben. Die Wirkungsweise ist so, dass in der ersten Zeile die eigentliche Rechung durchgeführt wird und in den weiteren Zeilen die Glieder bis auf {{math|term= x_{n-{{{d|d}}}} |SZ=}} übernommen werden, wobei die Rolle der Einträge um eins verschoben werden. Wenn man die {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} nennt, so geht es um die Matrixpotenzen {{math|term= M^n |SZ=}} angewendet auf einen Startvektor {{ Relationskette | {{op:Spaltenvektor| x_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | x_0 }} || {{op:Spaltenvektor| c_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | c_0 }} || || || |SZ=. }} Es ist naheliegend, diese Situation allgemein für eine beliebige {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} zu untersuchen und dabei Ergebnisse der linearen Algebra heranzuziehen. In diesem Fall ist die folgende vektorielle Schreibweise sinnvoll. {{ inputdefinition |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Rekursion/Ordnung 1/Lösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Abhängigkeit von Startvektor/Linear/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt|Satz|| }} Da man die Eigenwerte einer quadratischen Matrix aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix erhalten kann, und da zu einer linearen Rekursion die Matrix, die die zugehörige Matrixrekursion beschreibt, eine besonders einfache Gestalt besitzt, ist es wichtig, für diese das charakteristische Polynom zu bestimmen. Es stellt sich heraus, dass man dieses direkt aus den Koeffizienten der linearen Rekursion ablesen kann. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Matrix/Charakteristisches Polynom/Fakt|Lemma|| }} Entsprechend heißt {{mathl|term= T^{{{d|d}}} -a_1 T^{{{{d|d}}}-1} -a_2 T^{{{{d|d}}} -2} {{minusdots}} a_{{{{d|d}}}-1} T - a_{{{d|d}}} |SZ=}} auch das charakteristische Polynom der linearen Rekursion. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Ordnung 2/Explizite Lösungsformel/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Fibonacci-Zahlen/Rekursion/Matrix und Lösungsformel/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} nqytc4dw02ake1pj0bcfjbvkmfyini2 0 169631 1080939 1079921 2026-05-24T14:41:40Z Bocardodarapti 2041 1080939 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung3/a |Ein Startvektor {{ Relationskette | v_0 | \in | K^{{{d|d}}} || || || |SZ= }} legt eine eindeutige Folge {{mathl|term= {{Folge|v}} |SZ=}} in {{math|term= K^{{{d|d}}} |SZ=}} fest, die der {{ Definitionslink |Prämath= |Matrixrekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | v_{n+1} || M v_n || || || |SZ= }} genügt. |Die zum Startvektor {{ Relationskette | v_0 | \in | K^{{{d|d}}} || || || |SZ= }} gehörende Folge {{mathl|term= {{Folge|v}} |SZ=}} und die zum Startvektor {{mathl|term= bv_0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | b | \in | K || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gehörende Folge {{mathl|term= {{Folge|w}} |SZ=}} stehen in der Beziehung {{ Relationskette/display | w_n || bv_n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} |Die zum Startvektor {{ Relationskette | v_0 | \in | K^{{{d|d}}} || || || |SZ= }} gehörende Folge {{mathl|term= {{Folge|v}} |SZ=}} und die zum Startvektor {{math|term= w_0 |SZ=}} gehörende Folge {{mathl|term= {{Folge|w}} |SZ=}} stehen in der Beziehung {{ Relationskette/display | u_n || v_n +w_n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=,}} wobei {{math|term= u_n |SZ=}} die zum Startvektor {{mathl|term= v_0+w_0 |SZ=}} gehörende Folge bezeichnet. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Matrixrekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} lwvaac8lc1krpenisqu6hrzuzojb79i 106 170118 1080943 1080021 2026-05-25T07:54:43Z Bocardodarapti 2041 1080943 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ay5hcgnlhbxkdwsabtmv8wnaqdv46mz 106 170119 1080942 1080614 2026-05-25T07:53:58Z Bocardodarapti 2041 1080942 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} a9kt7g2vkzix76j2qsbr6jbx8mfbn86 106 170120 1080941 1080242 2026-05-25T07:52:47Z Bocardodarapti 2041 1080941 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} r2bl8uv8vgnvmlr5dqzyvgbgtffd6lk 0 170379 1080929 1079848 2026-05-24T12:59:58Z Bocardodarapti 2041 1080929 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} Dies bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} vorliegt. Die Bedingung {{ Relationskette/display | f_1 || \psi^{-1} \circ f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} kann man auch als {{ Relationskette/display | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} schreiben. Zwei Abbildungen sind genau dann zueinander isomorph, wenn die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} als Relationen zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungen/Graph/Isomorphie/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wir wollen für endliche Mengen die Isomorphie von Abbildungen durch numerische Invarianten charakterisieren und führen dazu das Faseranzahltupel ein. {{ inputdefinition |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} Man betrachtet also die Anzahlen der verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Fasern| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f^{-1}(y) |SZ=}} zu den Elementen {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} und schreibt diese als ein Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} auf. Dabei ist {{ Relationskette | k || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=, }} da ja zu jedem Element aus {{math|term= M |SZ=}} eine Faser und damit auch eine Faseranzahl gehört. Ferner ist {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=}} 1}^k r_j || {{op:Anzahl|L|}} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Beispiel|| }} Jedes Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_k|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | \leq |r_1 | \leq| r_2 | {{leqdots}} | r_k || |SZ= }} kommt als Faseranzahltupel zu einer Abbildung von einer {{mathl|term= \sum_{j {{=}} 1}^k r_j |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge vor. Eine Abbildung ist genau dann injektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur die Zahlen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} vorkommen, sie ist genau dann surjektiv, wenn in ihrem Faseranzahltupel alle Zahlen positiv sind, sie ist genau dann konstant, wenn in ihrem Faseranzahltupel nur eine Zahl ungleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Verschiedene Abbildungen können das gleiche Faseranzahltupel besitzen, beispielsweise haben alle bijektiven Abbildungen auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge das gleiche Faseranzahltupel, nämlich das Tupel, das aus {{math|term= n |SZ=}} Einsen besteht. {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} bjq4pfb69y3gpt7t7cn5kqg74zc7z7g 0 170387 1080934 1079850 2026-05-24T13:09:04Z Bocardodarapti 2041 1080934 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die beiden Abbildungen zueinander isomorph. Das bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|L_1|M_1|L_2|M_2|abb12=f_1|abb34=f_2|abb13= \varphi \! \! \! |abb24=\psi}} mit bijektiven Abbildungen {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} vorliegt. Wegen {{ Relationskette | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} ist zu {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} || {{makl| \psi \circ f_1 |}}^{-1} (w) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}}^{-1} (w) || \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} |}} || {{op:Anzahl| \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} }} || || || |SZ=. }} Wegen der Bijektivität von {{math|term= \psi |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi^{-1}(w) |SZ=}} einelementig. Wegen der Bijektivität von {{math|term= \varphi |SZ=}} bedeutet dies, dass die Faser zu {{math|term= f_1 |SZ=}} über {{mathl|term= \psi^{-1} (w) |SZ=}} die gleiche Anzahl besitzt wie die Faser zu {{math|term= f_2 |SZ=}} über {{math|term= w |SZ=.}} Da dies für jedes {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} gilt und jedes {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} gleich dem Urbild zu einem {{ Relationskette | w | \in | M || || || |SZ= }} ist, folgt, dass die Faseranzahltupel übereinstimmen. {{parskip}} Es sei nun vorausgesetzt, dass die beiden Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1 |SZ=}} und zu {{math|term= f_2 |SZ=}} übereinstimmen. Dies bedeutet insbesondere, dass ihre Längen und ihre Gesamtsummen übereinstimmen. Daher ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Anzahl|L_1|}} || {{op:Anzahl|L_2|}} || || || |SZ=. }} Wir führen Induktion über {{ Relationskette/display | m || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | m || 1 || || || |SZ= }} sind beide Abbildungen konstant und surjektiv, und man kann für {{math|term= \varphi |SZ=}} eine beliebige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} und für {{math|term= \psi |SZ=}} die einzige Abbildung zwischen den einelementigen Mengen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} nehmen. Es sei nun die Aussage für {{math|term= m |SZ=}} bewiesen und es sei {{ Relationskette | m +1 || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=, }} das gemeinsame Faseranzahltupel sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_m| r_{m+1} |}} |SZ=.}} Wir fixieren ein {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_1^{-1}(y) |SZ=}} aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | r_{m+1} | \geq | 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und ein {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_2^{-1}(w) |SZ=}} ebenfalls aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht. Wir betrachten {{ Relationskette | M_1' || M_1 \setminus \{y\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_2' || M_2 \setminus \{w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_1' || L_1 \setminus f_1^{-1} (y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2' || L_2 \setminus f_2^{-1} (w) || || || |SZ=. }} Die Abbildungen {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} kann man zu Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1' | L_1' | M_1' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name=f_2' | L_2' | M_2' || |SZ= }} einschränken. Dabei entstehen die Faseranzahltupel zu {{ mathkor|term1= f_1' |bzw.|term2= f_2' |SZ= }} aus denen zu {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ=, }} indem der letzte Eintrag {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} weggelassen wird. Insbesondere stimmen die Faseranzahltupel zu {{mathl|term= f_1',f_2' |SZ=}} wieder überein und man kann auf diese Situation die Induktionsvoraussetzung anwenden, da {{math|term= M_1' |SZ=}} und {{math|term= M_2' |SZ=}} genau {{math|term= m |SZ=}} Elemente besitzen. Es gibt also nach Induktionsvoraussetzung bijektive Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi' | L_1' | L_2' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi' | M_1' | M_2' || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \psi' \circ f_1' || f_2' \circ \varphi' || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \theta |SZ=}} eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= f_1^{-1} (y) |SZ=}} nach {{mathl|term= f_2^{-1} (w) |SZ=,}} die es gibt, da beide Mengen die Anzahl {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} besitzen. Wir setzen {{math|term= \varphi' |SZ=}} mit Hilfe von {{math|term= \theta |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} fort, und wir setzen {{math|term= \psi' |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} über {{ Relationskette | \psi(y) || w || || || |SZ= }} fort. Dann zeigen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ=, }} dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} isomorph sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 11qavwwu6m9qdn1samxazmvvz3gigac 0 170420 1080937 1079859 2026-05-24T14:23:25Z Bocardodarapti 2041 1080937 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} zueinander konjugiert über die Permutation {{math|term= \varphi |SZ=,}} es gelte also {{ Relationskette/display | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || || || |SZ=. }} Aus der Zyklendarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Fixpunkte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \tau || \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k || || || |SZ= }} ergibt sich gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Mengen/Selbstabbildungen/Konjugation/Abbildungsmonoid/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | \sigma || \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi || \varphi^{-1} \circ \tau_1 \circ \tau_2 {{circdots}} \tau_k \circ \varphi || {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_1\circ \varphi |}} \circ {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_2 \circ \varphi |}} {{circdots}} {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau_k \circ \varphi |}} || |SZ=. }} Dabei sind die {{mathl|term= \varphi^{-1} \circ \tau_i \circ \varphi |SZ=}} Zyklen der gleichen Länge wie {{math|term= \tau_i |SZ=}} und sie konstituieren zusammen die Zyklendarstellung von {{math|term= \sigma |SZ=.}} {{parskip}} Es seien nun Permutationen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ= }} gegeben, die über den gleichen Typ {{mathl|term= {{op:Zeilentupel| t_1 | \ldots | t_k }} |SZ=}} verfügen. Wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | x_i | \in | M_1 || || || |SZ= }} heraus, und wir wählen aus dem Wirkungsbereich eines jeden Zyklus {{math|term= \tau_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der gleichen Länge wie {{math|term= \sigma_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \tau |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | y_i | \in | M_2 || || || |SZ= }} heraus. Es besitzt jedes Element {{ Relationskette | x | \in | M_1 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} mit einem {{math|term= i |SZ=}} und einem {{math|term= j |SZ=}} zwischen {{math|term= 1 |SZ=}} und der Länge des Zyklus {{math|term= \sigma_i |SZ=.}} Entsprechend besitzt jedes Element {{ Relationskette | y | \in | M_2 || || || |SZ= }} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette/display | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun die bijektive Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi |M_1|M_2 || |SZ=, }} die {{ Relationskette | x || \sigma^j {{makl| x_i |}} || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | y || \tau^j {{makl| y_i |}} || || || |SZ= }} abbildet. Diese ist bijektiv und erfüllt {{ Relationskette/align | {{makl| \varphi^{-1} \circ \tau \circ \varphi |}} (x) || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi (x) |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \varphi {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau {{makl| \tau^j {{makl| y_i |}} |}} |}} || \varphi^{-1} {{makl| \tau^{j+1} {{makl| y_i |}} |}} || \sigma^{j+1} {{makl| x_i |}} || \sigma {{makl| \sigma^j {{makl| x_i |}} |}} || \sigma(x) |SZ=, }} sie stiftet also eine Konjugation zwischen {{ mathkor|term1= \sigma |und|term2= \tau |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3y9dx1w0n2zka8argz409sw6jygf11y 0 171204 1080930 2026-05-24T13:02:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080930 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} genau dann als Abbildungen zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} sind, wenn die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=| |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cjk48i3m69qnmxf56abf87hopx0dr13 1080931 1080930 2026-05-24T13:03:15Z Bocardodarapti 2041 1080931 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} genau dann als Abbildungen zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} sind, wenn die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=| |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3qmlqwjlspyqwy4r5vcan4y6dyeurbg 0 171205 1080933 2026-05-24T13:07:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080933 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ=, }} die zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}} die folgenden Äquivalenzen. {{ Aufzählung4 |{{math|term= f_1 |SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{math|term= f_2 |SZ=}} injektiv ist. |{{math|term= f_1 |SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{math|term= f_2 |SZ=}} surjektiv ist. |{{math|term= f_1 |SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{math|term= f_2 |SZ=}} bijektiv ist. |{{math|term= f_1 |SZ=}} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |konstant| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{math|term= f_2 |SZ=}} konstant ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie2=Theorie der surjektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 04ub269knc1fl9v4yx9htkt0rb37r9s 10 171206 1080935 2026-05-24T13:09:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1080935 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex\par \smallskip |#default=\n }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage||}}</noinclude> h310q8ga2ffzzxdrlu83bzitc6mrbeo 1080936 1080935 2026-05-24T13:11:00Z Bocardodarapti 2041 1080936 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex\par \smallskip |#default= }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Strukturvorlage unter|Materialien zur Mathematik|Skip}}</noinclude> r3p90k907jnd59rf85fppmmlnhx3edm